Теорія меж – це один із розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми роздивились найпростіша межа, Але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з більшим числомвгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника та знаменника: в даному прикладівони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, вкрай бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве число нуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняннята (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсуматематики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Розглянемо на показових прикладах.

Нехай х – числова змінна величина, Х – область її зміни. Якщо кожному х, що належить Х, поставлене у відповідність деяке число у, то кажуть, що на множині Х визначено функцію, і записують у = f(x).
Безліч Х у цьому випадку – площина, що складається з двох координатних осей- 0X та 0Y. Наприклад зобразимо функцію у = х 2 . Осі 0X та 0Y утворюють Х – область її зміни. На малюнку чудово видно, як поводиться функція. У такому разі говорять, що на множині Х визначено функцію у = х 2 .

Сукупність Y всіх часткових значень функції називається безліччю значень f(x). Інакше кажучи, безліч значень – це проміжок по осі 0Y, де визначено функцію. Зображена парабола явно показує, що f(x) > 0 т.к. x2 > 0. Тому область значень буде . Безліч значень дивимося по 0Y.

Сукупність усіх х називається областю визначення f(x). Безліч визначень дивимося по 0X і в нашому випадку областю допустимих значеньє [-; +].

Точка а (а належить або Х) називається граничною точкою множини Х, якщо в будь-якій околиці точки а є точки множини Х, відмінні від а.

Настав час зрозуміти – що ж таке межа функції?

Чисто b, якого прагне функція при прагненні х до числа а, називається межею функції. Записується це так:

Наприклад, f(x) = х2. Нам треба дізнатися, чого прагне (не дорівнює) функція при х 2. Спочатку запишемо межу:

Подивимося на графік.

Проведемо паралельно осі 0Y лінію через точку 2 на осі 0X. Вона перетне наш графік у точці (2; 4). Опустимо з цієї точки на вісь 0Y перпендикуляр – і потрапимо до точки 4. Ось чого прагне наша функція при х 2. Якщо тепер підставити в функцію f(x) значення 2, то відповідь буде такою ж.

Тепер перш ніж перейти до обчислення меж, введемо базові визначення.

Введено французьким математикомОгюстеном Луї Коші у ХІХ столітті.

Допустимо, функція f(x) визначена на деякому інтервалі, в якому міститься точка x = A, проте зовсім не обов'язково, щоб значення f(А) було визначено.

Тоді, згідно з визначенням Коші, межею функції f(x) буде деяке число B при x, що прагне А, якщо для кожного C > 0 знайдеться число D > 0, при якому

Тобто. якщо функція f(x) при x А обмежена межею, це записується у вигляді

Межою послідовностіназивається деяке число А, якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числаУ > 0 знайдеться таке число N, коли всі значення у разі n > N задовольняють нерівності

Така межа має вигляд.

Послідовність, яка має межу, називатимемо схожою, якщо ні - розбіжною.

Як Ви вже помітили, межі позначаються значком lim, під яким записується деяка умова для змінної, і далі записується сама функція. Такий набір читатиметься, як «межа функції за умови…». Наприклад:

- межа функції при х, що прагнуть 1.

Вираз «які прагнуть 1» означає, що х послідовно приймає такі значення, які нескінченно близько наближаються до 1.

Тепер стає ясно, що для обчислення даної межі достатньо підставити замість x значення 1:

Крім конкретного числового значеннях може прагнути і до нескінченності. Наприклад:

Вираз x означає, що x постійно зростає і необмежено близько наближається до нескінченності. Тому підставивши замість х нескінченність стане очевидним, що функція 1-х буде прагнути до , але зі зворотним знаком:

Таким чином, обчислення межзводиться до знаходження його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.

З вищевикладеного слід, що з обчисленні меж важливо користуватися кількома правилами:

Розуміючи сутність межіта основні правила обчислення меж, ви отримаєте ключове уявленняпро те, як їх вирішувати. Якщо якась межа викликатиме у вас труднощі, то пишіть у коментарі і ми обов'язково вам допоможемо.

Нотатка: Юриспруденція - наука про закони, що допомагає в конфлітних та інших життєвих труднощах.

Цей математичний калькуляторонлайн допоможе вам якщо потрібно обчислити межу функції. Програма вирішення межне просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішенняз поясненнями, тобто. відображає процес обчислення межі.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Введіть вираз функції

Обчислити межу

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Межа функції при х->х 0

Нехай функція f(x) визначена на деякій множині X і нехай точка \(x_0 \in X \) або \(x_0 \notin X \)

Візьмемо з X послідовність точок, відмінних від х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
що сходить до х *. Значення функції у точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
і можна порушувати питання про існування її межі.

Визначення. Число А називається межею функції f(х) у точці х = х 0 (або при х -> x 0), якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 (1), значень аргументу x, відмінних від x 0 відповідна послідовність (2) значень функції сходиться до A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функція f(x) може мати у точці x 0 лише одну межу. Це випливає з того, що послідовність
(f(x n)) має лише одну межу.

Існує інше визначення межі функції.

ВизначенняЧисло А називається межею функції f(x) у точці х = x 0 якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0 \) існує число \(\delta > 0 \) таке, що для всіх \(x \in X, \;x \neq x_0 \), що задовольняють нерівності \(|x-x_0| Використовуючи логічні символи, це визначення можна записати у вигляді
((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Зазначимо, що нерівності \(x \neq x_0 , \;|x-x_0| Перше визначення ґрунтується на понятті межі числової послідовностітому його часто називають визначенням «мовою послідовностей». Друге визначення називають визначенням «мовою \(\varepsilon - \delta\)».
Ці два визначення межі функції еквівалентні і можна використовувати будь-яке з них залежно від того, яке зручніше при вирішенні того чи іншого завдання.

Зауважимо, що визначення межі функції «мовою послідовностей» називають також визначенням межі функції за Гейном, а визначення межі функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)» - визначенням межі функції по Коші.

Межа функції при x-> x 0 - і при x-> x 0 +

Надалі будуть використані поняття односторонніх меж функції, які визначаються в такий спосіб.

ВизначенняЧисло А називається правою (лівою) межею функції f(x) у точці x 0 якщо для будь-якої послідовності (1), що сходить до x 0, елементи x n якої більше (менше) x 0 , відповідна послідовність (2) сходиться до А.

Символічно це записується так:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можна дати рівносильне визначення односторонніх меж функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)»:

Визначеннячисло А називається правою (лівою) межею функції f(х) у точці x 0 якщо для будь-якого \(\varepsilon > 0 \) існує \(\delta > 0 \) таке, що для всіх x, що задовольняють нерівностям \(x_0 Символічні записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Тема 4.6.Обчислення меж

Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.

1. Якщо функція є елементарною і якщо граничне значення аргументу належить її області визначення, обчислення межі функції зводиться до простої підстановці граничного значення аргументу, т.к. межа елементарної функції f (x) при х прагне доа , яке входить у область визначення, дорівнює частковому значенню функції при х= а, тобто. lim f(x)=f( a) .

2. Якщо х прагне до нескінченностіабо аргумент прагне до, яке належить області визначення функції, то кожному такому разі перебування межі функції вимагає спеціального дослідження.

Нижче наведені найпростіші межі, що ґрунтуються на властивостях меж, які можна використовувати як формули:

Більше складні випадкизнаходження межі функції:

розглядаються кожен окремо.

У цьому розділі буде наведено основні способи розкриття невизначеностей.

1. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє відношення двох нескінченно малих величин

а) Спочатку потрібно переконається, що межу функції не можна знайти безпосередньою підстановкою і при зазначеній зміні аргументу вона представляє відношення двох нескінченно малих величин. Робляться перетворення, щоб скоротити дріб на множник, що прагне 0. Згідно з визначенням межі функції аргумент х прагне свого граничного значення, ніколи з ним не збігаючись.

Взагалі якщо шукається межа функції при х прагне доа , то необхідно пам'ятати, що х не набуває значення а, тобто. х не дорівнює а.

б) Застосовується теорема Безу. Якщо шукається межа дробу, чисельник і знаменник якого багаточлени, що звертаються до 0 у граничній точці х= а, то відповідно до вищезгаданої теореми обидва багаточлени діляться без залишку на х- а.

в) Знищується ірраціональність у чисельнику чи знаменнику шляхом множення чисельника чи знаменника на сполучене до ірраціональний виразпотім після спрощення дріб скорочується.

г) Використовується 1-й чудова межа (4.1).

д) Використовується теорема про еквівалентність нескінченно малих та наступні б.м.:

2. Випадок, коли при х прагне доа функція f(x) представляє відношення двох нескінченно великих величин

а) Розподіл чисельника та знаменника дробу на найвищий ступіньневідомого.

б) У випадку можна використовувати правило

3. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє добуток нескінченно малої величини на нескінченно більшу

Дроб перетворюється на вигляд, чисельник і знаменник якої одночасно прагнуть 0 або до нескінченності, тобто. випадок 3 зводиться до випадку 1 або випадку 2.

4. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє різницю двох позитивних нескінченно великих величин

Цей випадок зводиться до вигляду 1 або 2 одним із таких способів:

а) приведення дробів до спільного знаменника;

б) перетворення функції до виду дробу;

в) звільнення від ірраціональності.

5. Випадок, коли при х прагне доа функція f (x) представляє ступінь, основа якої прагне 1, а показник до нескінченності.

Функція перетворюється таким чином, щоб використовувати 2-у чудову межу (4.2).

приклад.Знайти .

Так як х прагне до 3, то чисельник дробу прагне до 3 2 +3 *3+4=22, а знаменник-до 3+8=11. Отже,

приклад

Тут чисельник і знаменник дробу при х прагне до 2прагнуть 0 (невизначеність виду), розкладемо чисельник і знаменник на множники, отримаємо lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

приклад

Помножимо чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний до чисельника, маємо

Розкриваємо дужки в чисельнику, отримаємо

приклад

Рівень 2 приклад. Наведемо приклад застосування поняття межі функції економічних розрахунках. Розглянемо звичайну фінансову угоду: надання у борг суми S 0 з умовою, що через період часу Tбуде повернуто суму S T. Визначимо величину r відносного зростанняформулою

r=(ST-S 0)/S 0 (1)

Відносне зростання можна виразити у відсотках, помноживши отримане значення rна 100.

З формули (1) легко визначити величину S T:

S T= S 0 (1 + r)

При розрахунку за довгостроковими кредитами, що охоплюють кілька повних років, використовують схему складних відсотків. Вона полягає в тому, що якщо за 1-й рік сума S 0 зростає в (1 + r) раз, то за другий рік у (1 + r) разів зростає сума S 1 = S 0 (1 + r), тобто S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Аналогічно виходить S 3 = S 0 (1 + r) 3 . З наведених прикладів можна вивести загальну формулудля обчислення зростання суми за nроків при розрахунку за схемою складних відсотків:

S n= S 0 (1 + r) n.

У фінансових розрахунках застосовуються схеми, де нарахування складних відсотків провадиться кілька разів на рік. При цьому обмовляються річна ставка rі кількість нарахувань за рік k. Як правило, нарахування проводяться через рівні проміжки часу, тобто довжина кожного проміжку T kскладає частину року. Тоді для терміну у Tроків (тут Tне обов'язково є цілим числом) сума S Tрозраховується за формулою

(2)

де - ціла частиначисла, що збігається з самим числом, якщо, наприклад, T? ціле число.

Нехай річна ставка дорівнює rта виробляється nнарахувань за рік через рівні проміжки часу. Тоді за рік сума S 0 нарощується до величини, що визначається формулою

(3)

У теоретичному аналізій у практиці фінансової складової діяльності часто зустрічається поняття “безперервно начисляемый відсоток”. Щоб перейти до відсотка, що безперервно нараховується, потрібно у формулах (2) і (3) необмежено збільшувати відповідно, числа kі n(тобто спрямувати kі nдо нескінченності) і обчислити, до якої межі прагнутимуть функції S Tі S 1 . Застосуємо цю процедуру до формули(3):

Зауважимо, що межа у фігурних дужках збігається з другою чудовою межею. Звідси випливає, що за річної ставки rпри відсотку, що безперервно нараховується, сума S 0 за 1 рік нарощується до величини S 1 * , яка визначається з формули

S 1 * = S 0 e r (4)

Нехай тепер сума S 0 надається у борг з нарахуванням відсотка nЩорічно через рівні проміжки часу. Позначимо r eрічну ставку, за якої наприкінці року сума S 0 нарощується до величини S 1* із формули (4). У цьому випадку говоритимемо, що r e- це річна ставка при нарахуванні відсотка nщорічно, еквівалентна річному відсотку rпри безперервному нарахуванні.З формули (3) отримуємо

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Прирівнюючи праві частини останньої формули та формули (4), вважаючи в останній T= 1, можна вивести співвідношення між величинами rі r e:

Ці формули широко використовуються у фінансових розрахунках.

Існує в математиці таке поняття, як межа функції. Щоб розуміти, як знаходити межі, потрібно пам'ятати визначення межі функції: функція f (x) має межу L у точці x = a, якщо для кожної послідовності значень х, що сходить до точки a, послідовність значень наближається до:

• L lim f(x) = L

Поняття та властивості меж

Що таке межа, можна зрозуміти з прикладу. Припустимо, маємо функцію у=1/х. Якщо ми будемо послідовно збільшувати значення х і дивитися, чому дорівнює у, то отримаємо всі значення, що зменшуються: при х = 10000 у = 1/10000; при х = 1000000 у = 1/1000000. Тобто. що більше х, то менше у. Якщо х=∞, у буде настільки малий, що його можна вважати рівним 0. Таким чином, межа функції у=1/х при х, що прагне до ∞ дорівнює 0. Записується це так:

• lim1/х=0

Межа функції має кілька властивостей, які потрібно пам'ятати: це суттєво полегшить вирішення задач на знаходження меж:

• Межа суми дорівнює сумімеж: lim(x+y)=lim x+lim y
• Межа твору дорівнює творумеж: lim(xy)=lim x*lim y
• Межа частки дорівнює частці від меж: lim(x/y)=lim x/lim y
• Постійний множник виносять за межі: lim(Cx)=C lim x

У функції у = 1 / x, в якій x → ∞, межа дорівнює нулю, при x → 0, межа дорівнює ∞.

• lim (sin x)/x=1 x→0