Добуток коренів квадратного рівняння. Як знайти суму коренів рівняння

Визначення суми коренів рівняння — один із потрібних кроків при розв'язанні квадратних рівнянь (рівнянь виду ax² + bx + c = 0, де показники a, b і c - довільні числа, причому a ? 0) за допомогою теореми Вієта.

Інструкція

1. Запишіть квадратне рівняння як ax² + bx + c = 0Приклад: Початкове рівняння: 12 + x²= 8xПравильно записане рівняння: x² — 8x + 12 = 0

2. Застосуйте теорему Вієта, згідно з якою, сума коренів рівняння дорівнюватиме числу «b», взятому зі зворотним знаком, а їх добуток — числу «c». =8×1∗x2=12

3. Дізнайтеся, правильними чи негативними числами є коріння рівнянь. Якщо і добуток і сума коренів — позитивні числа, весь корінь — правильне число. Якщо добуток коренів — правильний, а сума коренів – негативне число, то обидва корені – негативні. Якщо добуток коренів – негативний, то коріння має один корінь має знак «+», а інший знак «-». негативне число — більший за модулем корінь — негативний». Приклад: У рівнянні, що розглядається, і сума, і добуток — правильні числа: 8 і 12, значить обидва корені — позитивні числа.

4. Розв'яжіть отриману систему рівнянь шляхом підбору коренів. Комфортніше буде почати підбір з множників, а після цього, для перевірки, підставити будь-яку пару множників у друге рівняння і перевірити, чи відповідає сума даних коренів рішенню. 2, 4 та 3Перевірте отримані пари з підтримкою рівняння x1+x2=8. Пари 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Відповідно корінням рівняння є числа 6 та 8.

Рівнянням називають рівність виду f(x,y,…)=g(x,y,..), де f і g функції однієї чи кількох змінних. Виявити корінь рівняння - значить виявити такий комплект доводів, при якому ця рівність виконується.

Вам знадобиться

• Знання з математичного огляду.

Інструкція

1. Можливо, ви маєте рівняння виду: x+2=x/5. Для початку перенесемо всі компоненти цієї рівності з правої частини в ліву, змінивши при цьому знак компонента на протилежний. У правій частині цього рівняння залишиться нуль, тобто отримаємо наступне: x+2-x/5 = 0.

2. Наведемо подібні доданки. Отримаємо таке: 4х/5+2=0.

3. Далі з отриманого наведеного рівняння знайдемо невідомий доданок, даному випадкуце х. Отримане значення невідомої змінної буде рішенням початкового рівняння. У разі отримаємо таке: x = -2,5.

Відео на тему

Зверніть увагу!
У результаті рішення можу виникати зайве коріння. Вони не будуть рішенням початкового рівняння, навіть якщо ви все позитивно вирішили. Обов'язково перевіряйте всі отримані рішення.

Корисна порада
Отримані значення незнайомої постійно перевіряйте. Це можна примітивно зробити, підставивши отримане значення в початкове рівняння. Якщо рівність правильна, то рішення правильне.

Теорема Вієта встановлює прямий зв'язок між корінням (х1 та х2) та показниками (b та c, d) рівняння типу bx2+cx+d=0. З допомогою цієї теореми можна, не визначаючи значення коренів, порахувати їх суму, зухвало кажучи, в умі. У цьому немає нічого складного, головне знати деякі правила.

Вам знадобиться

• - Калькулятор;
• - Папір для записів.

Інструкція

1. Приведіть до стандартного виглядудосліджуване квадратне рівняння, щоб усі показники ступеня йшли по порядку спадання, тобто спочатку найвищий ступінь- Х2, а в кінці нульовий ступінь - Х0. Рівняння набуде вигляду: b * x2 + c * x1 + d * х0 = b * x2 + c * x + d = 0.

2. Перевірте невід'ємність дискримінанта. Ця перевірка потрібна для того, щоб переконатися, що коріння рівняння має. D (дискримінант) набуває вигляду: D = c2 – 4*b*d. Тут є кілька варіантів. D – дискримінант – правильний, що означає, що у рівняння є два корені. D - дорівнює нулю, з цього випливає, що корінь є, але він двоїстий, тобто х1 = х2. D – негативний, для курсу шкільної алгебри ця умова означає, що коріння немає, для вищої математики– коріння є, але воно комплексне.

3. Визначте суму коренів рівняння. За допомогою теореми Вієта це легко: b*x2+c*x+d = 0. Сума коренів рівняння прямо пропорційна «–c» і обернено пропорційна показнику «b». Зокрема, x1+x2 = -c/b. Визначте добуток коренів за формулюванням – добуток коренів рівняння прямо пропорційно «d» і обернено пропорційно показнику «b»: х1*х2 = d/b.

Зверніть увагу!
Якщо ви отримали негативний дискримінант, це не означає, що немає коріння. Це означає, що корінням рівняння є так звані комплексні корені. Теорема Вієта застосовна і в цьому випадку, але її вид буде трохи змінений: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Корисна порада
Якщо ви зіткнулися не з квадратним рівнянням, а з кубічним або рівнянням ступеня n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, то для обчислення суми або добутку коренів рівняння ви так само можете скористатися теоремою Вієта :1. -b1/b0 = x1 + x2 + x3 + ... + xn,2. b2/b0 = x1 * x2 + .... + xn-1 * xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1 * x2 * x3 * .... * xn.

Якщо при підстановці числа рівняння виходить правильна рівність, таке число називають коренем. Коріння може бути правильним, негативним і нульовим. Серед кожної множини коренів рівняння виділяють максимальні та мінімальні.

Інструкція

1. Виявіть усі корені рівняння, серед них виберіть негативний, якщо такий є. Нехай, скажімо, дано квадратне рівняння 2x-3x+1=0. Застосуйте формулу пошуку коренів квадратного рівняння: x(1,2)=/2=/2=/2, тоді x1=2, x2=1. Неважко зауважити, що негативних у тому числі немає.

2. Виявити коріння квадратного рівняння можна також з допомогою теореми Виета. Відповідно до цієї теореми x1+x1=-b, x1?x2=c, де b і c – відповідно показники рівняння x?+bx+c=0. Застосовуючи цю теорему, можна не обчислювати дискримінант b?-4ac, що у деяких випадках може значно спростити завдання.

3. Якщо квадратному рівнянні показник при x парний, можна використовувати не основну, а скорочену формулу для пошуку коренів. Якщо основна формула виглядає як x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, то у скороченому вигляді вона записується так: x(1,2)=[-b/2±?( b?/4-ac)]/a. Якщо квадратному рівнянні немає вільного члена, досить легко перенести x за дужки. А зрідка ліва частина складається в повний квадрат: x?+2x+1=(x+1)?

4. Існують види рівнянь, які дають не одне число, а ціле безліч рішень. Скажімо, тригонометричні рівняння. Так, результатом рівняння 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 буде x=?/4+?k, де k – ціле число. Тобто при підстановці будь-якого цілого значення параметра k довід x задовольнятиме заданому рівнянню.

5. У тригонометричних задачахможе знадобитися виявити все негативне коріння чи найвищий з негативних. У вирішенні таких завдань використовуються логічні міркування чи спосіб математичної індукції. Підставте кілька цілих значень для k у вираз x=?/4+?k і поспостерігайте, як поводиться доказ. До речі, найбільшим негативним коренем попереднього рівняння буде x=-3?/4 при k=1.

Відео на тему

Зверніть увагу!
У даному прикладібуло розглянуто варіант квадратного рівняння, у якому a=1. Для того щоб тим самим способом вирішити повне квадратне рівняння, де a&ne 1, необхідно скласти допоміжне рівняння, привівши «a» до одиниці.

Корисна порада
Використовуйте даний методрозв'язання рівнянь для того, щоб швидко виявити коріння. Також він допоможе у випадку, якщо вам потрібно вирішити рівняння в умі, не вдаючись до записів.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту протилежним знаком, А добуток коренів дорівнює вільному члену.

(Нагадаємо: наведене квадратне рівняння – це рівняння, де перший коефіцієнт дорівнює 1).

Пояснення:

Нехай квадратне рівняння ax 2 +bx +c= 0 має коріння х 1 та х 2 . Тоді за теоремою Вієта:

Приклад 1:

Наведене рівняння x 2 – 7x + 10 = 0 має коріння 2 та 5.

Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10.

На нашому рівнянні другий коефіцієнт дорівнює -7, а вільний член 10.

Таким чином, сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коренів – вільному члену.

Досить часто зустрічаються квадратні рівняння, які можна легко вирахувати за допомогою теореми Вієта. більш того, З її допомогою їх обчислювати простіше. У цьому легко переконатись як на попередньому прикладі, так і на наступному.

Приклад 2 . Розв'язати квадратне рівняння х 2 – 2х – 24 = 0.

Рішення .

Застосовуємо теорему Вієта і записуємо дві тотожності:

х 1 · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Підбираємо такі множники для -24, щоб їх сума дорівнювала 2. Після недовгих роздумів знаходимо: 6 і -4. Перевіримо:

6 · (-4) = -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Як ви помітили, на практиці суть теореми Вієта полягає в тому, щоб у наведеному квадратному рівнянні вільний член розкласти на такі множники, сума яких дорівнює другому коефіцієнту протилежним знаком. Ці множники і будуть корінням.

Отже, корінням нашого квадратного рівняння є 6 та –4.

Відповідь: х 1 = 6, х 2 = –4.

Приклад 3 . Розв'яжемо квадратне рівняння 3х 2 + 2х - 5 = 0.

Тут ми маємо справу не з наведеним квадратним рівнянням. Але й такі рівняння теж можна вирішувати за допомогою теореми Вієта, якщо їх коефіцієнти врівноважені – наприклад, якщо сума першого та третього коефіцієнтів дорівнює другому зі зворотним знаком.

Рішення .

Коефіцієнти рівняння врівноважені: сума першого та третього членів дорівнюють другому з протилежним знаком:

3 + (–5) = –2.

Відповідно до теореми Вієта

х 1 + х 2 = -2/3
х 1 · х 2 = -5/3.

Нам треба знайти такі два числа, сума яких дорівнює –2/3, а добуток –5/3. Ці числа і будуть корінням рівняння.

Перше число вгадується відразу: це 1. Адже при х = 1 рівняння перетворюється на просте додавання-віднімання:
3 + 2 – 5 = 0. Як знайти друге коріння?
Представимо 1 у вигляді 3/3, щоб усі числа мали однаковий знаменник: так простіше. І одразу напрошуються подальші дії. Якщо х 1 = 3/3, то:

3/3 + х 2 = -2/3.

Вирішуємо просте рівняння:

х 2 = -2/3 - 3/3.

Відповідь: х 1 = 1; х 2 = -5/3

Приклад 4: Розв'язати квадратне рівняння 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Рішення :

Один корінь виявляється відразу - він прямо в очі впадає: х 1 = 1 (оскільки виходить проста арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коефіцієнти рівняння врівноважені: сума першого та третього рівні другого зі зворотним знаком:
7 + (– 1) = 6.

Відповідно до теореми Вієта складаємо дві тотожності (хоча в даному випадку достатньо одного з них):

х 1 · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Підставляємо значення х 1 у будь-який з цих двох виразів і знаходимо х 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Відповідь: х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискримінант наведеного квадратного рівняння.

Дискримінант наведеного квадратного рівняння можна обчислювати як загальною формулою, так і за спрощеною:

ПриD = 0 коріння наведеного рівняння можна обчислювати за такою формулою:

Якщо D< 0, то уравнение не имеет корней.

Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

Між корінням і коефіцієнтами квадратного рівняння, крім формул коренів, існують інші корисні співвідношення, які задаються теорема Вієта. У цій статті ми дамо формулювання та доказ теореми Вієта для квадратного рівняння. Далі розглянемо теорему, обернену до теореми Вієта. Після цього розберемо рішення найхарактерніших прикладів. Нарешті, запишемо формули Вієта, що задають зв'язок між дійсним корінням алгебраїчного рівняння ступеня n та його коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Теорема Вієта, формулювання, доказ

З формул коренів квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 виду , де D = b 2 -4 a c, витікають співвідношення x 1 +x 2 = b / a x 1 x 2 = c/a. Ці результати затверджуються теорема Вієта:

Теорема.

Якщо x 1 і x 2 – коріння квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 то сума коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів b і a взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів c і a тобто, .

Доведення.

Доказ теореми Вієта проведемо за такою схемою: складемо суму та добуток коренів квадратного рівняння, використовуючи відомі формуликоріння, після цього перетворимо отримані вирази, і переконаємося, що вони рівні −b/a та c/a відповідно.

Почнемо із суми коріння, складаємо її . Тепер наводимо дроби до спільному знаменнику, маємо. У чисельнику отриманого дробу, після чого: . Нарешті, після 2 , отримуємо . Цим доведено перше співвідношення теореми Вієта для суми коренів квадратного рівняння. Переходимо до другого.

Складаємо добуток коренів квадратного рівняння: . Відповідно до правила множення дробів, останній твірможна записати як . Тепер виконуємо множення дужки на дужку в чисельнику, але швидше згорнути цей твір формулі різниці квадратів, так. Далі, згадавши, виконуємо наступний перехід. Оскільки дискримінанту квадратного рівняння відповідає формула D=b 2 −4·a·c , то останній дріб замість D можна підставити b 2 −4·a·c , отримуємо . Після розкриття дужок та приведення подібних доданківприходимо до дробу , яке скорочення на 4·a дає . Цим доведено друге співвідношення теореми Вієта для коріння.

Якщо опустити пояснення, то доказ теореми Вієта набуде лаконічного вигляду:
,
.

Залишається лише помітити, що з рівному нулю дискримінанту квадратне рівняння має один корінь. Однак, якщо вважати, що рівняння в цьому випадку має два однакові корені, то рівності з теореми Вієта також мають місце. Дійсно, при D=0 корінь квадратного рівняння дорівнює , тоді і , а так як D=0 , тобто b 2 −4·a·c=0 , звідки b 2 =4·a·c , то .

На практиці найчастіше теорема Вієта використовується стосовно наведеного квадратного рівняння (зі старшим коефіцієнтом a, рівним 1) виду x 2 + p · x + q = 0. Іноді її і формулюють для квадратних рівнянь саме такого виду, що не обмежує спільності, тому що будь-яке квадратне рівняння можна замінити рівносильним рівнянням, виконавши розподіл його обох частин на відмінне від нуля число a. Наведемо відповідне формулювання теореми Вієта:

Теорема.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 дорівнює коефіцієнту при x , взятому з протилежним знаком, а добуток коренів – вільному члену, тобто x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Друге формулювання теореми Вієта, наведене у попередньому пункті, вказує, що якщо x 1 і x 2 коріння наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 , то справедливі співвідношення x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q. З іншого боку, із записаних співвідношень x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q слід, що x 1 і x 2 є корінням квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 . Інакше кажучи, справедливе твердження, протилежне теоремі Вієта. Сформулюємо його як теореми, і доведемо її.

Теорема.

Якщо числа x 1 і x 2 такі, що x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q, то x 1 і x 2 є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p x + q = 0 .

Доведення.

Після заміни в рівнянні x 2 +p·x+q=0 коефіцієнтів p і q їх вираження через x 1 і x 2 воно перетворюється в рівносильне рівняння.

Підставимо в отримане рівняння замість x число x 1 маємо рівність x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0, яке за будь-яких x 1 і x 2 являє собою вірну числову рівність 0=0 , так як x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 1 – корінь рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, x 1 – корінь і рівносильного йому рівняння x 2 +p·x+q=0 .

Якщо ж до рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0підставити замість x число x 2 то отримаємо рівність x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0. Це вірна рівність, оскільки x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 2 теж є коренем рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, і рівняння x 2 +p·x+q=0 .

На цьому завершено доказ теореми, зворотній теореміВієта.

Приклади використання теореми Вієта

Настав час поговорити про практичне застосування теореми Вієта та оберненої їй теореми. У цьому вся пункті ми розберемо рішення кількох найбільш характерних прикладів.

Почнемо із застосування теореми, зворотної теореми Вієта. Її зручно застосовувати для перевірки, чи є дані два числа корінням заданого квадратного рівняння. При цьому обчислюється їх сума та різницю, після чого перевіряється справедливість співвідношень . Якщо виконуються обидва ці співвідношення, то з теореми, зворотної теореме Виета, робиться висновок, що ці числа є корінням рівняння. Якщо ж хоча б одне із співвідношень не виконується, то дані числа не є корінням квадратного рівняння. Такий підхід можна використовувати при вирішенні квадратних рівнянь для перевірки знайденого коріння.

приклад.

Яка з пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , чи 2) , чи 3) є парою коренів квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Рішення.

Коефіцієнтами заданого квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 є a=4 , b=−16 , c=9 . Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати −b/a , тобто, 16/4=4 , а добуток коренів має дорівнювати c/a , тобто, 9/4 .

Тепер обчислимо суму та добуток чисел у кожній із трьох заданих пар, і порівняємо їх із щойно отриманими значеннями.

У першому випадку маємо x1+x2=−5+3=−2. Отримане значення відмінно від 4 тому подальшу перевірку можна не здійснювати, а по теоремі, зворотній теоремі Вієта, відразу зробити висновок, що перша пара чисел не є парою коренів заданого квадратного рівняння.

Переходимо на другий випадок. Тут, тобто, перша умова виконана. Перевіряємо друге умова: , отримане значення від 9/4 . Отже, і друга пара чисел не є парою коренів квадратного рівняння.

Залишився останній випадок. Тут і . Обидві умови виконані, тому ці числа х 1 і х 2 є корінням заданого квадратного рівняння.

Відповідь:

Теорему, зворотну теоремі Вієта, практично можна використовуватиме підбору коренів квадратного рівняння. Зазвичай підбирають цілі коріння наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами, оскільки в інших випадках це зробити досить складно. У цьому користуються тим фактом, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння. Розберемося з цим на прикладі.

Візьмемо квадратне рівняння x 2 −5·x+6=0. Щоб числа x 1 і x 2 були корінням цього рівняння, повинні виконуватися дві рівності x 1 + x 2 = 5 і x 1 x 2 = 6 . Залишається підібрати такі цифри. В даному випадку це зробити досить просто: такими числами є 2 і 3, тому що 2+3=5 та 2·3=6. Таким чином, 2 та 3 – коріння даного квадратного рівняння.

Теорему, обернену до теореми Вієта, особливо зручно застосовувати для знаходження другого кореня наведеного квадратного рівняння, коли вже відомий або очевидний один з коренів. У цьому випадку другий корінь знаходиться з будь-якого із співвідношень.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 512 x 2 −509 x 3=0 . Тут легко помітити, що одиниця є коренем рівняння, оскільки сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Отже, х 1 =1. Другий корінь x 2 можна знайти, наприклад, із співвідношення x 1 x 2 = c/a . Маємо 1 · x 2 = -3/512, звідки x 2 = -3/512. Так ми визначили обидва корені квадратного рівняння: 1 та −3/512 .

Зрозуміло, що підбір коренів доцільний лише в самих простих випадках. В інших випадках для пошуку коренів можна застосувати формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.

Ще одне практичне застосуваннятеореми, зворотної теоремі Вієта, полягає у складанні квадратних рівнянь за заданим корінням x 1 і x 2 . Для цього достатньо обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при x з протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коренів, що дає вільний член.

приклад.

Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа −11 та 23 .

Рішення.

Позначимо x 1 =−11 та x 2 =23 . Обчислюємо суму і добуток даних чисел: x 1 + x 2 = 12 і x 1 · x 2 = -253. Отже, вказані числає корінням наведеного квадратного рівняння з другим коефіцієнтом -12 і вільним членом -253. Тобто, x 2 −12·x−253=0 – шукане рівняння.

Відповідь:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Вієта дуже часто використовується при вирішенні завдань, пов'язаних із знаками коренів квадратних рівнянь. Як пов'язана теорема Вієта зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 ? Наведемо два відповідні твердження:

• Якщо вільний член q – додатне числоі якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, то або вони обидва позитивні, або обидва негативні.
• Якщо ж вільний член q – негативне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, їх знаки різні, інакше кажучи, один корінь позитивний, а інший - негативний.

Ці твердження випливають із формули x 1 x 2 =q , а також правил множення позитивних, негативних чиселта чисел з різними знаками. Розглянемо приклади їх застосування.

приклад.

R він позитивний. За формулою дискримінанта знаходимо D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 значення виразу r 2 +8 позитивно при будь-яких дійсних r , таким чином, D>0 при будь-яких дійсних r . Отже, вихідне квадратне рівняння має два корені за будь-яких дійсних значень параметра r .

Тепер з'ясуємо, коли коріння має різні знаки. Якщо знаки коренів різні, їх добуток негативно, а, по теореме Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Отже, нас цікавлять ті значення r , у яких вільний член r−1 негативний. Таким чином, щоб знайти значення r , що цікавлять нас, треба вирішити лінійна нерівність r−1<0 , откуда находим r<1 .

Відповідь:

при r<1 .

Формули Вієта

Вище ми говорили про теорему Вієта для квадратного рівняння і розбирали затверджувані їй співвідношення. Але існують формули, що пов'язують дійсне коріння та коефіцієнти не тільки квадратних рівнянь, а й кубічних рівнянь, рівнянь четверного ступеня, і взагалі, алгебраїчних рівняньступеня n. Їх називають формулами Вієта.

Запишемо формули Вієта для рівняння алгебри ступеня n виду , при цьому вважатимемо, що воно має n дійсних коренів x 1 , x 2 , ..., x n (серед них можуть бути збігаються):

Отримати формули Вієта дозволяє теорема про розкладання багаточлена на лінійні множники, і навіть визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів. Так многочлен та її розкладання на лінійні множники виду рівні. Розкривши дужки в останньому творі та прирівнявши відповідні коефіцієнти, отримаємо формули Вієта.

Зокрема, при n=2 маємо вже знайомі нам формули Вієта для квадратного рівняння .

Для кубічного рівняння формули Вієта мають вигляд

Залишається лише помітити, що у лівій частині формул Вієта знаходяться так звані елементарні симетричні багаточлени.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.