КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни «Планування та прогнозування

в умовах ринку»

на тему: Довірчі інтервали прогнозу

Оцінка адекватності та точності моделей

Глава 1. Теоретична частина

Довірчі інтервали прогнозу. Оцінка адекватності та точності моделей

1.1 Довірчі інтервали прогнозу

Заключним етапомзастосування кривих зростання є екстраполяція тенденції з урахуванням обраного рівняння. Прогнозні значення досліджуваного показника обчислюють шляхом підстановки рівняння кривої значень часу t, що відповідають періоду попередження. Отриманий в такий спосіб прогноз називають точковим, оскільки кожного моменту часу визначається лише одне значення прогнозованого показника.

Насправді на додаток до точкового прогнозу бажано визначити межі можливої ​​зміни прогнозованого показника, задати "вилку" можливих значень прогнозованого показника, тобто. обчислити прогноз інтервальний.

Розбіжність фактичних даних з точковим прогнозом, отриманим шляхом екстраполяції тенденції щодо кривих зростання, може бути спричинена:

1. суб'єктивною помилковістю вибору виду кривої;

2. похибкою оцінювання властивостей кривих;

3. похибкою, пов'язаною з відхиленням окремих спостережень від тренда, що характеризує деякий середній рівеньряду на кожний момент часу.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу. Довірчий інтервал, що враховує невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, та можливість відхилення від цього тренда, визначається у вигляді:

де n-довжина часового ряду;

L-період попередження;

y n + L -точковий прогноз на момент n + L;

ta - значення t-статистики Стьюдента;

S p – середня квадратична помилка прогнозу.

Припустимо, що тренд характеризується прямою:

Оскільки оцінки параметрів визначаються за вибіркової сукупності, представленої тимчасовим рядом, вони містять похибку. Похибка параметра а призводить до вертикального зсуву прямої, похибка параметра a 1 - до зміни кута нахилу прямої щодо осі абсцис. З урахуванням розкиду конкретних реалізацій щодо ліній тренду, дисперсію можна подати у вигляді:

(1.2.),

де – дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових;

t 1 - час попередження, котрій робиться екстраполяція;

t 1 = n + L ;

t- Порядковий номер рівнів ряду, t = 1,2, ..., n;

Порядковий номеррівня, що стоїть у середині ряду,

Тоді довірчий інтервал можна подати у вигляді:

(1.3.),

Позначимо корінь у виразі (1.3.) через До. Значення залежить тільки від n і L, тобто. від довжини ряду та періоду попередження. Тому можна скласти таблиці значень або К*= t a K . Тоді інтервальна оцінка матиме вигляд:

(1.4.),

Вираз, аналогічний (1.3.), можна отримати для поліном другого порядку:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових визначається виразом:

(1.7.),

де y t- Фактичні значення рівнів ряду,

Розрахункові значення рівнів ряду,

n- Довжина часового ряду,

k- Число оцінюваних параметрів кривої, що вирівнює.

Таким чином, ширина довірчого інтервалу залежить від рівня значущості, періоду попередження, середнього квадратичного відхилення від тренду та ступеня полінома.

Чим вище ступінь полінома, тим ширше довірчий інтервал при тому самому значенні S y, оскільки дисперсія рівняння тренду обчислюється як зважена сума дисперсій відповідних параметрів рівняння

Малюнок 1.1. Довірчі інтервали прогнозу для лінійного тренду

Довірчі інтервали прогнозів, отриманих з допомогою рівняння експоненти, визначають аналогічним чином. Відмінність полягає в тому, що як при обчисленні параметрів кривої, так і при обчисленні середньої квадратичної помилки використовують не значення рівнів часового ряду, а їх логарифми.

За такою ж схемою можуть бути визначені довірчі інтервали для ряду кривих, що мають асимптоти, якщо значення асимптоти відомо (наприклад, для модифікованої експоненти).

У таблиці 1.1. наведено значення К*залежно від довжини часового ряду nта періоду попередження Lдля прямої та параболи. Очевидно, що при збільшенні довжини рядів ( n) значення К*зменшуються, зі зростанням періоду попередження Lзначення К*збільшуються. При цьому вплив періоду попередження неоднаковий для різних значень n: чим більша довжина ряду, тим менший вплив має період попередження L .

Таблиця 1.1.

Значення К* для оцінки довірчих інтервалівпрогнозу на основі лінійного тренду та параболічного тренду при довірчої ймовірності 0,9 (7).

Лінійний тренд	Параболічний тренд
Довжина ряду (п)	Період попередження (L)	довжина ряду (п)	період попередження (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Розділ 2. Практична частина

Завдання 1.5. Використання адаптивних методів у економічному прогнозуванні

1. Розрахувати експоненційну середню для часового ряду курсу акцій фірми ЮМ. В якості початкового значенняекспоненціальної середньої взяти середнє значення з 5 перших рівнів ряду. Значення параметра адаптації прийняти рівним 0,1.

Таблиця 1.2.

Курс акцій фірми IBM

t	y t	t	y t	t	y t
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. За даними завдання №1 розрахувати експоненційну середню при значенні параметра адаптації арівним 0,5. Порівняти графічно вихідний часовий ряд і ряди експоненційних середніх, отримані при а=0,1 та а=0,5. Вказати, який ряд має більш гладкий характер.

3. Прогнозування курсу акцій фірми IBM здійснювалося з урахуванням адаптивної поліноміальної моделі другого порядку

,

де – період попередження.

На останньому кроці отримано такі оцінки коефіцієнтів:

на день вперед (=1);

На 2 дні наперед (=2).

Рішення завдання 1.5

1. Визначимо

Знайдемо значення експоненційної середньої при а =0,1.

. а=0,1 – за умовою;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 і т.д.

а=0,5 – за умовою.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 і т.д.

Результати розрахунків представлені у таблиці 1.3.

Таблиця 1.3.

Експонентні середні

t	Експонентна середня		t	Експонентна середня
	а =0,1	а =0,5		а =0,1	а =0,5
1	506,4	508	16	505,7	513,3
2	505,5	502,5	17	506,1	511,7
3	505,3	503,2	18	506,1	508,8
4	505,8	506,6	19	507,0	511,9
5	506,1	507,8	20	508,5	517
6	505,8	505,4	21	509,9	520
7	505,2	502,7	22	511,6	523,5
8	504,7	501,4	23	512,8	523,2
9	504,2	500,7	24	514,3	525,6
10	503,4	497,8	25	515,8	527,3
11	502,4	495,9	26	518,0	532,7
12	502,0	497,5	27	520,1	525,8
13	502,0	499,7	28	522,2	538,4
14	502,7	504,4	29	524,3	540,7
15	505,0	514,7	30	525,9	540,9

Малюнок 1.2. Експонентне згладжуваннятимчасового низки курсу акций: А – фактичні дані; В - експоненційна середня при альфа = 0,1; С – експоненційна середня при альфа = 0,5

При а=0,1 експоненційна середня має більш гладкий характер, т.к. у цьому випадку найбільше поглинаються випадкові коливання часового ряду.

3. Прогноз щодо адаптивної поліноміальної моделі другого порядку формується на останньому кроці шляхом підстановки в рівняння моделі останніх значенькоефіцієнтів та значення – часу попередження.

Прогноз на 1 день наперед (= 1):

Прогноз на 2 дні вперед (= 2):

Список використаної літератури

1. Дуброва Т.А. Статистичні методипрогнозування економіки: Навчальний посібник/ Московський державний університетекономіки, статистики та інформатики. - М.: МЕСІ, 2003. - 52с.

2. Афанасьєв В.М., Юзбашев М.М. Аналіз часових рядів та прогнозування М.: Фінанси та статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регресійні та адаптивні методи прогнозування. Навчальний посібник. - М.: МЕСІ, 1997.

Якщо при аналізі розвитку об'єкта прогнозу є підстави прийняти два базові припущення екстраполяції, про які ми говорили вище, то процес екстраполяції полягає у підстановці відповідної величини періоду попередження у формулу, яка описує тренд.

Екстраполяція, власне кажучи, дає точкову прогностичну оцінку. Інтуїтивно відчувається недостатність такої оцінки та необхідність отримання інтервальної оцінкидля того, щоб прогноз, охоплюючи деякий інтервал значень прогнозованої змінної, був надійнішим. Як уже сказано вище, точне збіг фактичних даних та прогностичних точкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, - явище малоймовірне Відповідна похибка має такі джерела:

1) вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою або тим найкращою для екстраполяції в даних конкретних умовах;

2) оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренду) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу у просторі властива деяка невизначеність;

3) тренд характеризує деякий середній рівень низки кожного моменту времени. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому. Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Похибка, пов'язана з другим та третім її джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий екстраполяційний прогноз перетворюється на інтервальний.

Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може суттєво змінитися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. У останньому випадкуосновне припущення екстраполяції відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження прогнозу.

Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренду, полягає у визначенні довірчих інтервалів прогнозу. Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчого інтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірювач коливання ряду значень ознаки, що спостерігаються. Чим вище ця коливання, тим менш виразно становище тренда у просторі “рівень - час” і тим ширше має бути інтервал для варіантів прогнозу за однієї й тієї ж ступеня довіри. Отже, при побудові довірчого інтервалу прогнозу слід зважити на оцінку коливання або варіації рівнів ряду. Зазвичай такою оцінкою є середня квадратичне відхилення(стандартне відхилення) фактичних спостережень від розрахункових, отриманих під час вирівнювання динамічного ряду.

Перш ніж приступити до визначення довірчого інтервалу прогнозу, необхідно зробити застереження про деяку умовність розрахунків, що розглядається. Те, що слідує далі, є певною мірою довільним перенесенням результатів, знайдених для регресії вибіркових показників, на аналіз динамічних рядів. Справа в тому, що припущення регресійного аналізупро нормальність розподілу відхилень навколо лінії регресії неспроможна, по суті, беззастережно затверджуватись при аналізі динамічних рядів.

Отримані в ході статистичного оцінювання параметри не вільні від похибки, пов'язаної з тим, що обсяг інформації, на основі якої проводилося оцінювання, обмежений і в певному сенсі цю інформацію можна розглядати як вибірку. У будь-якому випадку зміщення періоду спостереження тільки на один крок або додавання або усунення членів ряду в силу того, що кожен член ряду містить випадкову компоненту, призводить до зміни чисельних оцінок параметрів. Звідси розрахункові значення несуть у собі тягар невизначеності, що з помилками у значенні параметрів.

У загальному виглядідовірчий інтервал для тренду визначається як

де середня квадратична помилка тренда;

¾ розрахункове значення yt;

¾ значення t-Статистики Стьюдента.

Якщо t = i+ Lто рівняння визначить значення довірчого інтервалу для тренду, продовженого на Lодиниць часу.

Довірчий інтервал для прогнозу, очевидно, має враховувати як невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, а й можливість відхилення від цього тренда. У практиці трапляються випадки, коли більш менш обґрунтовано для екстраполяції можна застосувати кілька типів кривих. При цьому міркування іноді зводяться до наступного. Оскільки кожна з кривих характеризує один з альтернативних трендів, то очевидно, що простір між екстраполованими трендами і є деякою “природною” довірчу область” для прогнозованої величини. З таким твердженням не можна погодитись. Насамперед тому, що кожна з можливих ліній тренду відповідає деякій заздалегідь прийнятій гіпотезі розвитку. Простір між трендами не пов'язане з жодною з них - через нього можна провести необмежену кількість трендів. Слід також додати, що довірчий інтервал пов'язаний із деяким рівнем ймовірності виходу за його межі. Простір між трендами не пов'язане з рівнем ймовірності, а залежить від вибору типів кривих. До того ж за досить тривалого періоду попередження цей простір, як правило, стає настільки значним, що подібний “довірчий інтервал” втрачає будь-який сенс.

За умови врахування стандартних помилок оцінок параметрів рівняння тренду (які за визначенням є вибірковими, а отже, можуть не бути оцінками невідомих генеральних параметрів через прояви випадкової помилкирепрезентативності), і не розглядаючи послідовність перетворень отримаємо загальну формулудовірчого інтервалу прогнозу

де - значення прогнозу, розрахованого за рівнянням тренду на період t+L

¾ середня квадратична помилка тренду;

К - коефіцієнт, що враховує помилки коефіцієнтів рівняння тренду

¾ значення t-Статистики Стьюдента.

Коефіцієнт Дорозраховується так

n кількість спостережень (довжина ряду динаміки);

L – кількість прогнозів

Значення До залежить тільки від п і L, тобто тривалості спостереження та періоду прогнозування.

Приклад розрахунку прогнозу та побудови довірчого інтервалу прогнозу.

Оптимальним трендом є лінійний тренд . Необхідно розрахувати прогнози обсягів імпорту у Німеччині на 1996 та 1997 рік. Для цього необхідно визначити значення рівнів тренду при значеннях тимчасового фактора 14 та 15.

Обсяг імпорту в 1996 р.

Обсяг імпорту в 1997 р.

Стандартна помилкатренда Sy = 30,727. p align="justify"> Коефіцієнт довіри розподілу Ст'юдента при рівні значимості 0,05 і числі ступенів свобод дорівнює 2,16. Коефіцієнт До дорівнює 1,428:

Таким чином, нижня межа першого довірчого інтервалу дорівнює 378,62: 473,452-30,727*2,16*1,428.

Верхня межа дорівнює 568,28: 473,452 +30,727 * 2,16 * 1,428.

Результати розрахунків необхідно оформити у вигляді таблиці та графічно

	Фактичне значення обсягу імпорту у Німеччині за 1996 рік	Прогнозне значення обсягу імпорту у Німеччині за 1996 рік
Нижня межа 95% довірчого інтервалу	Фактичне значення обсягу імпорту у Німеччині за 1997 рік	Прогнозне значення обсягу імпорту у Німеччині за 1997 рік	Верхня межа 95% довірчого інтервалу

Даний графік малюється так:

1) необхідно зробити копію вже існуючого графіка згладжування динамічного ряду лінійним трендом

2) домалювати недостатні значення (фактичні рівні низки за 1996 та 1997 рік, прогнози на 1996 та 1997 рік, а також межі довірчих інтервалів).

Графік певною мірою умовний, оскільки точний масштабнавряд чи вдасться виставити. Малювати можна як від руки, так і за допомогою інструментів малювання Excel.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни «Планування та прогнозування

в умовах ринку»

на тему: Довірчі інтервали прогнозу

Оцінка адекватності та точності моделей

Глава 1. Теоретична частина

Довірчі інтервали прогнозу. Оцінка адекватності та точності моделей

1.1 Довірчі інтервали прогнозу

Заключним етапом застосування кривих зростання є екстраполяція тенденції з урахуванням обраного рівняння. Прогнозні значення досліджуваного показника обчислюють шляхом підстановки рівняння кривої значень часу t, що відповідають періоду попередження. Отриманий в такий спосіб прогноз називають точковим, оскільки кожного моменту часу визначається лише одне значення прогнозованого показника.

Насправді на додаток до точкового прогнозу бажано визначити межі можливої ​​зміни прогнозованого показника, задати "вилку" можливих значень прогнозованого показника, тобто. обчислити прогноз інтервальний.

Розбіжність фактичних даних з точковим прогнозом, отриманим шляхом екстраполяції тенденції щодо кривих зростання, може бути спричинена:

1. суб'єктивною помилковістю вибору виду кривої;

2. похибкою оцінювання властивостей кривих;

3. похибкою, що з відхиленням окремих спостережень від тренда, що характеризує певний середній рівень низки за кожен час.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу. Довірчий інтервал, що враховує невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, та можливість відхилення від цього тренда, визначається у вигляді:

(1.1.),

де n-довжина часового ряду;

L-період попередження;

y n + L -точковий прогноз на момент n + L;

ta - значення t-статистики Стьюдента;

S p – середня квадратична помилка прогнозу.

Припустимо, що тренд характеризується прямою:

Так як оцінки параметрів визначаються за вибірковою сукупністю, представленою тимчасовим рядом, вони містять похибку. Похибка параметра а призводить до вертикального зсуву прямої, похибка параметра a 1 - до зміни кута нахилу прямої щодо осі абсцис. З урахуванням розкиду конкретних реалізацій щодо ліній тренду, дисперсію

можна уявити у вигляді: (1.2.) - дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових;

t 1 - час попередження, котрій робиться екстраполяція;

t 1 = n + L ;

t- Порядковий номер рівнів ряду, t = 1,2, ..., n;

- порядковий номер рівня, що стоїть у середині ряду,

Тоді довірчий інтервал можна подати у вигляді:

(1.3.),

Позначимо корінь у виразі (1.3.) через До. Значення залежить тільки від n і L, тобто. від довжини ряду та періоду попередження. Тому можна скласти таблиці значень або К*= t a K . Тоді інтервальна оцінка матиме вигляд:

(1.4.),

Вираз, аналогічний (1.3.), можна отримати для поліном другого порядку:

(1.5.), (1.6.),

Дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових визначається виразом:

(1.7.),

де y t- Фактичні значення рівнів ряду,

- Розрахункові значення рівнів ряду,

n- Довжина часового ряду,

k- Число оцінюваних параметрів кривої, що вирівнює.

Таким чином, ширина довірчого інтервалу залежить від рівня значущості, періоду попередження, середнього квадратичного відхилення від тренду та ступеня полінома.

Чим вище ступінь полінома, тим ширше довірчий інтервал при тому самому значенні S y, оскільки дисперсія рівняння тренду обчислюється як зважена сума дисперсій відповідних параметрів рівняння

Малюнок 1.1. Довірчі інтервали прогнозу для лінійного тренду

Довірчі інтервали прогнозів, отриманих з допомогою рівняння експоненти, визначають аналогічним чином. Відмінність полягає в тому, що як при обчисленні параметрів кривої, так і при обчисленні середньої квадратичної помилки використовують не значення рівнів часового ряду, а їх логарифми.

За такою ж схемою можуть бути визначені довірчі інтервали для ряду кривих, що мають асимптоти, якщо значення асимптоти відомо (наприклад, для модифікованої експоненти).

У таблиці 1.1. наведено значення К*залежно від довжини часового ряду nта періоду попередження Lдля прямої та параболи. Очевидно, що при збільшенні довжини рядів ( n) значення К*зменшуються, зі зростанням періоду попередження Lзначення К*збільшуються. При цьому вплив періоду попередження неоднаковий для різних значень n: чим більша довжина ряду, тим менший вплив має період попередження L .

Таблиця 1.1.

Значення К* для оцінки довірчих інтервалів прогнозу на основі лінійного тренду та параболічного тренду за довірчої ймовірності 0,9 (7).

Лінійний тренд	Параболічний тренд
Довжина ряду (п)	Період попередження (L) 1 2 3	довжина ряду (п)	період попередження (L) 1 2 3
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практична частина

Завдання 1.5. Використання адаптивних методів у економічному прогнозуванні

1. Розрахувати експоненційну середню для часового ряду курсу акцій фірми ЮМ. Як початкове значення експоненційної середньої взяти середнє значення з 5 перших рівнів ряду. Значення параметра адаптації прийняти рівним 0,1.

Таблиця 1.2.

Курс акцій фірми IBM

t	y t	t	y t	t	y t
1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. За даними завдання №1 розрахувати експоненційну середню при значенні параметра адаптації арівним 0,5. Порівняти графічно вихідний часовий ряд і ряди експоненційних середніх, отримані при а=0,1 та а=0,5. Вказати, який ряд має більш гладкий характер.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни «Планування та прогнозування

в умовах ринку»

на тему: Довірчі інтервали прогнозу

Оцінка адекватності та точності моделей

Розділ 1. Теоретична частина. 3

Глава 2. Практична частина. 9

Список використаної літератури. 13

Розділ 1. Теоретична частина

Довірчі інтервали прогнозу. Оцінка адекватності та точності моделей

1.1 Довірчі інтервали прогнозу

Заключним етапом застосування кривих зростання є екстраполяція тенденції з урахуванням обраного рівняння. Прогнозні значення досліджуваного показника обчислюють шляхом підстановки рівняння кривої значень часу t, відповідних періоду попередження. Отриманий в такий спосіб прогноз називають точковим, оскільки кожного моменту часу визначається лише одне значення прогнозованого показника.

Насправді на додаток до точкового прогнозу бажано визначити межі можливої ​​зміни прогнозованого показника, задати "вилку" можливих значень прогнозованого показника, тобто. обчислити прогноз інтервальний.

Розбіжність фактичних даних з точковим прогнозом, отриманим шляхом екстраполяції тенденції щодо кривих зростання, може бути спричинена:

1. суб'єктивною помилковістю вибору виду кривої;

2. похибкою оцінювання властивостей кривих;

3. похибкою, що з відхиленням окремих спостережень від тренда, що характеризує певний середній рівень низки за кожен час.

Похибка, пов'язана з другим та третім джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу. Довірчий інтервал, що враховує невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, та можливість відхилення від цього тренда, визначається у вигляді:

де n - Довжина часового ряду;

L-період попередження;

y n + L -точковий прогноз на момент n + L;

ta - значення t-статистики Стьюдента;

S p – середня квадратична помилка прогнозу.

Припустимо, що тренд характеризується прямою:

Так як оцінки параметрів визначаються за вибірковою сукупністю, представленою тимчасовим рядом, вони містять похибку. Похибка параметра а призводить до вертикального зсуву прямої, похибка параметра a 1 - до зміни кута нахилу прямої щодо осі абсцис. З урахуванням розкиду конкретних реалізацій щодо ліній тренду, дисперсію можна подати у вигляді:

(1.2.),

де – дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових;

t 1 - час попередження, для якого виробляється екстраполяція;

t – порядковий номер рівнів ряду, t = 1,2,..., n;

Порядковий номер рівня, що стоїть у середині ряду,

Тоді довірчий інтервал можна подати у вигляді:

(1.3.),

Позначимо корінь у виразі (1.3.) через До. Значення залежить тільки від n і L, тобто. від довжини ряду та періоду попередження. Тому можна скласти таблиці значень або К*= t a K . Тоді інтервальна оцінка матиме вигляд:

(1.4.),

Вираз, аналогічний (1.3.), можна отримати для поліном другого порядку:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсія відхилень фактичних спостережень від розрахункових визначається виразом:

(1.7.),

де y t - фактичні значення рівнів ряду,

Розрахункові значення рівнів ряду,

n- довжина часового ряду,

k - число оцінюваних параметрів кривої, що вирівнює.

Таким чином, ширина довірчого інтервалу залежить від рівня значущості, періоду попередження, середнього квадратичного відхилення від тренду та ступеня полінома.

Чим вище ступінь полінома, тим ширше довірчий інтервал при тому самому значенні S y , так як дисперсія рівняння тренду обчислюється як зважена сума дисперсій відповідних параметрів рівняння

Малюнок 1.1. Довірчі інтервали прогнозу для лінійного тренду

Довірчі інтервали прогнозів, отриманих з допомогою рівняння експоненти, визначають аналогічним чином. Відмінність полягає в тому, що як при обчисленні параметрів кривої, так і при обчисленні середньої квадратичної помилки використовують не значення рівнів часового ряду, а їх логарифми.

За такою ж схемою можуть бути визначені довірчі інтервали для ряду кривих, що мають асимптоти, якщо значення асимптоти відомо (наприклад, для модифікованої експоненти).

У таблиці 1.1. наведено значення К* залежно від довжини часового ряду n та періоду попередження L для прямої та параболи. Очевидно, що при збільшенні довжини рядів (n) значення * зменшуються, зі зростанням періоду попередження L значення * збільшуються. При цьому вплив періоду попередження неоднаково для різних значень n: чим більша довжина ряду, тим менший вплив має період попередження L.

Таблиця 1.1.

Значення К* для оцінки довірчих інтервалів прогнозу на основі лінійного тренду та параболічного тренду за довірчої ймовірності 0,9 (7).

	Лінійний тренд		Параболічний тренд
Довжина ряду (п)	Період попередження (L)	довжина ряду (п)	період попередження (L)
7	2,6380 2,8748 3,1399	7	3,948 5,755 8,152
8	2,4631 2,6391 2,8361	8	3,459 4,754 6,461
9	2,3422 2,4786 2,6310	9	3,144 4,124 5,408
10	2,2524 2,3614 2,4827	10	2,926 3,695 4,698
11	2,1827 2,2718 2,3706	11	2,763 3,384 4,189
12	2,1274 2,2017 2,2836	12	2,636 3,148 3,808
13	2,0837 2,1463 2,2155	13	2,536 2,965 3,516
14	2,0462 2,1000 2,1590	14	2,455 2,830 3,286
15	2,0153 2,0621 2,1131	15	2,386 2,701 3,100
16	1,9883 2,0292 2,0735	16	2,330 2,604 2,950
17	1,9654 2,0015 2,0406	17	2,280 2,521 2,823
18	1,9455 1,9776 2,0124	18	2,238 2,451 2,717
19	1,9280 1,9568 1,9877	19	2,201 2,391 2,627
20	1,9117 1,9375 1,9654	20	2,169 2,339 2,549
21	1,8975 1,9210 1,9461	21	2,139 2,293 2,481
22	1,8854 1,9066 1,9294	22	2,113 2,252 2,422
23	1,8738 1,8932 1,9140	23	2,090 2,217 2,371
24	1,8631 1,8808 1,8998	24	2,069 2,185 2,325
25	1,8538 1,8701 1,8876	25	2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практична частина

Завдання 1.5. Використання адаптивних методів у економічному прогнозуванні

1. Розрахувати експоненційну середню для часового ряду курсу акцій фірми ЮМ. Як початкове значення експоненційної середньої взяти середнє значення з 5 перших рівнів ряду. Значення параметра адаптації прийняти рівним 0,1.

Таблиця 1.2.

Курс акцій фірми IBM

1	510	11	494	21	523
2	497	12	499	22	527
3	504	13	502	23	523
4	510	14	509	24	528
5	509	15	525	25	529
6	503	16	512	26	538
7	500	17	510	27	539
8	500	18	506	28	541
9	500	19	515	29	543
10	495	20	522	30	541

2. За даними завдання №1 розрахувати експоненційну середню при значенні параметра адаптації рівним 0,5. Порівняти графічно вихідний часовий ряд та ряди експоненційних середніх, отримані при а=0,1 та а=0,5. Вказати, який ряд має більш гладкий характер.

Якщо при аналізі розвитку об'єкта прогнозу є підстави прийняти два базові припущення екстраполяції, то процес екстраполяції полягає у підстановці відповідної величини періоду попередження у формулу, яка описує тренд. Причому, якщо з будь-яких міркувань при екстраполяції зручніше початок відліку часу встановити на момент, що відрізняється від початкового моменту, прийнятого при оцінюванні параметрів рівняння, то для цього у відповідному багаточлен достатньо змінити постійний член. Так у рівнянні прямої при зрушенні початку відліку часу на т років вперед постійний член дорівнюватиме a + bm, для параболи другого ступеня він складе величину а + bт + ст2.

Екстраполяція, власне кажучи, дає точкову прогностичну оцінку. Інтуїтивно відчувається недостатність такої оцінки та необхідність отримання інтервальної оцінки для того, щоб прогноз, охоплюючи деякий інтервал значень прогнозованої змінної, був би надійнішим. Як сказано вище, точне збіг фактичних даних і прогностичних точкових оцінок, отриманих шляхом екстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, - явища малоймовірне. Відповідна похибка має такі джерела: вибір форми кривої, що характеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі, часто немає твердої основи для того, щоб стверджувати, що обрана форма кривої є єдино можливою або найкращою для екстраполяції в даних конкретних умовах;

• 1. оцінювання параметрів кривих (іншими словами, оцінювання тренда) проводиться на основі обмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадкову компоненту. З огляду на це параметрам кривої, отже, та її становищу про простір властива деяка невизначеність;
• 2. тренд характеризує деякий середній рівень низки, кожний час. Окремі спостереження, зазвичай, відхилялися від нього у минулому. Природно очікувати, що подібні відхилення відбуватимуться і в майбутньому.

Похибка, пов'язана з другим та третім її джерелом, може бути відображена у вигляді довірчого інтервалу прогнозу при прийнятті деяких припущень про властивість ряду. За допомогою такого інтервалу точковий екстраполяційний прогноз перетворюється на інтервальний. Цілком можливі випадки, коли форма кривої, що описує тенденцію, обрана неправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може істотно змінюватися і не дотримуватися такого типу кривої, який був прийнятий при вирівнюванні. В останньому випадку основне припущення екстраполяції не відповідає фактичному стану речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризує тенденцію лише межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяція такого тренду неминуче призведе до помилкового результату, причому таку помилку не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку з цим можна лише відзначити те, що, мабуть, слід очікувати зростання такої похибки (або ймовірності її виникнення) зі збільшенням періоду попередження прогнозу. Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренду, полягає у визначенні довірчих інтервалів прогнозу. Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчого інтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірювач коливання ряду значень ознаки, що спостерігаються. Чим вище ця коливання, тим менш виразно положення тренду в просторі "рівень - час" і тим ширше має бути інтервал для варіантів прогнозу за однієї й тієї ж міри довіри. Отже, питання про довірчий інтервал прогнозу слід розпочати з розгляду вимірювача коливання. Зазвичай такий вимірювач визначають як середнього квадратичного відхилення ( стандартного відхилення) фактичних спостережень від розрахункових, отриманих під час вирівнювання динамічного ряду. У загальному вигляді середнє відхилення від тренда можна виразити як:

Загалом довірчий інтервал для тренду визначається як:

Якщо t = i + L, то рівняння визначить значення довірчого інтервалу для тренду, подовженого L одиниць часу. Довірчий інтервал для прогнозу, очевидно, повинен враховувати не тільки невизначеність, пов'язану зі становищем тренда, але можливість відхилення від цього тренду. У практиці трапляються випадки, коли більш менш обґрунтовано для екстраполяції можна застосувати кілька типів кривих. При цьому міркування іноді зводяться до наступного. Оскільки кожна з кривих характеризує один з альтернативних трендів, то очевидно, що простір між екстраполюваними трендами є деякою природною довірчою областю для прогнозованої величини. З таким твердженням не можна погодитись.

Насамперед тому, що кожна на можливих лініях тренду відповідає деякій заздалегідь прийнятій гіпотезі розвитку. Простір між трендами не пов'язане з жодною з них - через нього можна провести необмежену кількість трендів. Слід також додати, що довірчий інтервал пов'язаний із деяким рівнем ймовірності виходу за його межі. Простір між трендами не пов'язане з рівнем ймовірності, а залежить від вибору типів кривих. До того ж за досить тривалого періоду попередження цей простір, як правило, стає настільки значним, що подібний довірчий інтервал втрачає всякий сенс.

Малюнок 2 - Пошук максимального інтервалу кореляції

Анімація, розваги Кадрів: 20, Кількість повторень: 7, Об'єм: 55,9 Кб

Для порівняння якості розв'язання задач прогнозування за традиційного і пропонованого підходу використовуються довірчі інтервали прогнозу для лінійного тренду. Як приклад аналізу впливу якісних характеристик часових рядів на глибину прогнозу було взято три часових ряди розмірністю n рівною 30 з різними коливаннями навколо тренду. Через війну обчислень значень площі ділянок кривих вибіркових автокореляційних функційвийшли такі оцінки для оптимальної глибини прогнозу: для слабоколеблемого ряду - 9 рівнів, для середньо коливаного - 3 рівня, для сильно коливаного - 1 рівень (Малюнок

Рисунок 3 - Отримані результати оцінки глибини прогнозу

Аналіз результатів показує, що навіть при середній коливання значень ряду навколо тренду довірчий інтервал виявляється досить широким (при довірчій ймовірності 90%) для періоду попередження, що перевищує розрахунковий запропонованим способом. Вже для випередження на 4 рівні довірчий інтервал становив майже 25% розрахункового рівня. Досить швидко екстраполяція призводить до невизначених у статистичному сенсі результатів. Це доводить можливість застосування запропонованого підходу.

Оскільки вище розрахунок проводився ґрунтуючись на оцінках величин, можна побудувати залежність оцінки глибини економічного прогнозу від значень його бази, задавши значення тимчасового лага k і відповідні їм значення глибини економічного прогнозу.

Таким чином, запропонований новий підхіддо оцінки глибини економічного прогнозу синтезує кількісну та якісну характеристикувихідних значень динамічного ряду і дозволяє обґрунтовано з математичної точкизору задавати період попередження для тимчасових рядів, що екстраполюються.

прогноз екстраполяція стратегічне планування