6 клас

УРОК №12.Глава 1 . Відносини, пропорції, відсотки (26 годин)

Тема . Пряма та зворотна пропорційність. С/р №3.

Ціль. П роверити знання учнів на тему «Пропорції». Дати визначення прямо пропорційних і обернено пропорційних величин. Навчиться вирішувати завдання з цієї теми.

Хід уроку.

Варіант 1. Варіант 1.

Розв'язати пропорцію: Розв'язати пропорцію:

1)
, 1)
,

,
,

. Відповідь:
.
. Відповідь:
.

2) , 2)
,

,
,

. Відповідь: .
. Відповідь:
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Відповідь:
.
. Відповідь:
.

Пояснення нового матеріалу.

Пряма та зворотна пропорційність.

Мультимедійні ради.Електронна програма. Каталог. Анімація, розваги. Витрата електроенергії у квартирі. (1 хв 31 секунди)

(Слайд 2). Нехай ручка коштує 3р. (Це ціна). Тоді легко розрахувати вартість двох, трьох тощо. ручок за такою формулою: .

Кількість ручок, шт.

Вартість, н.

Зауважимо, що зі збільшенням кількості ручок у кілька разів їхня вартість збільшується в стільки ж разів.

Говорять, що вартість покупки прямо пропорційна кількості куплених ручок.

(Слайд 3). Визначення. Дві величини називаютьсяпрямо пропорційними якщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів.

Якщо дві величини прямо пропорційні, відносини відповідних значень цих величин рівні.

(Слайд 4). Приклади прямо пропорційних величин:

1. Периметр квадрата та довжина сторони квадрата – прямо пропорційні величини.
.

2. Якщо швидкість руху стала, то пройдений шлях і час руху - прямо пропорційні величини.
.

3. Якщо продуктивність праці стала, то обсяг виконаних робіт і час – прямо пропорційні величини.
.

4. Виручка каси кінотеатру прямо пропорційна кількості проданих квитків за однаковою ціною. І т.д.

(Слайд 5). Завдання 1 . За 5 зошитів у клітку заплатили 40 нар. Скільки заплатять за 12 таких же зошитів?

Кількість Вартість

5 зошитів – 40 грн. Пряма пропорційність

12 зошитів – х р.

Рішення.

Т.к. величини прямо пропорційні одно

,

,

.

96 р. заплатять за 12 зошитів. Відповідь: 96 грн.

(Слайд 6). Бажають придбати на 120 р. кілька однакових книжок. Тоді легко розрахувати кількість книг по 10 р., 20 р., 30 р. 40 грн. і т.д. за формулою:
.

Ціна, н.

Кількість книг, прим.

Зауважимо, що зі збільшенням ціни книги у кілька разів їх кількість зменшується у стільки ж разів. .

Говорять, що кількість куплених книг Обернено пропорційноїхня ціна.

(Слайд 7). Визначення. Дві величини називаютьсяназад пропорційними , якщо зі збільшенням однієї з них у кілька разів інша зменшується в стільки ж разів.

Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню значень іншої величини.

(Слайд 8). Приклади обернено пропорційних величин:

1. Якщо пройдений шлях постійний, швидкість руху і час руху – назад пропорційні величини.
.

2. Якщо продуктивність праці стала, то обсяг виконаних робіт і час – обернено пропорційні величини.
.

(Слайд 9). Завдання 2 . 6 робітників виконають роботу за 5 годин. За який час упораються з цією роботою 3 робітники?

Кількість Час

6 робітників – 5 год Зворотня пропорційність

3 робітників – х год

Рішення.

Т.к. величини назад пропорційні, то відносини двох довільно взятих значень однієї величини і зворотномувідношенню відповідних значень іншої величини.

,

,

.

За 10 год впораються з цією роботою 3 робітники. Відповідь: 10 год.

Алгоритм розв'язання задач.

Скласти короткий записта визначити вид пропорційності. (Найменні величини записуються один під одним)

Скласти пропорцію.

• Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

  Якщо дві величини назад пропорційні, то відносини двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

Знайти невідомого члена пропорції.

Проаналізувати отриманий результат та записати відповідь.

Розв'язання вправ.

Уч.с.21 № 75(а). 100 г розчину міститься 4 г солі. Скільки солі міститься у 300 г цього розчину?

Р-р Сіль

100 г – 4 г Пряма пропорційність

300 г – х г

Рішення.

Т.к. величини прямо пропорційні, то відносини двох довільно взятих значень першої величини одновідношенню двох відповідних значень другої величини.

,

,

.

12 г солі міститься у 300 г цього розчину. Відповідь: 12 р.

Уч.с.22 № 88. Деяку роботу 6 людей зроблять за 18 днів. За скільки днів зроблять цю роботу 9 осіб, які працюють так само успішно, як і перші?

Кількість Час

6 осіб – 18 днів. Зворотня пропорційність кг багатої на залізо руди. Скільки руди замінюють на 4 т металобрухту?

Домашнє завдання.§ 1.5 (вивчити теорію). № 73, 75(б), 77(а), 84(б).

Для вирішення системи лінійних рівняньз двома змінними методом підстановки надаємо наступним чином:

1) виражаємо одну змінну через іншу в одному з рівнянь системи (х через у або у через х);

2) підставляємо отриманий вираз в інше рівняння системи та отримуємо лінійне рівняння з однією змінною;

3) вирішуємо отримане лінійне рівняння з однією змінною та знаходимо значення цієї змінної;

4) знайдене значення змінної підставляємо у вираз (1) для іншої змінної та знаходимо значення цієї змінної.

приклади. Вирішити шляхом підстановки систему лінійних рівнянь.

Висловимо хчерез у з 1-го рівняння. Отримаємо: х = 7 + у. Підставимо вираз (7+у) замість ху друге рівняння системи.

Ми отримали рівняння: 3 · (7+у)+2у=16. Це рівняння з однією змінною у. Вирішуємо його. Розкриємо дужки: 21+3у+2у=16. Збираємо доданки зі змінною уу лівій частині, а вільні доданки - у правій. При перенесенні доданку з однієї частини рівності в іншу змінюємо знак доданку на протилежний.

Отримуємо: 3у+2у=16-21. Наводимо подібні доданкиу кожній частині рівності. 5у = -5. Ділимо обидві частини рівності на коефіцієнт при змінній. у=-5:5; у=-1. Підставляємо це значення уу вираз х = 7 + у і знаходимо х. Отримуємо: х = 7-1; х = 6. Пара значень змінних х=6 і у=-1 є рішенням системи.

Записують: (6; -1). Відповідь: (6; -1). Ці міркування зручно записувати те, як показано нижче, тобто. системи рівнянь - ліворуч один під одним. Праворуч - викладки, необхідні пояснення, перевірка рішення та ін.

За допомогою даної математичної програми ви можете вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома змінними методом підстановки та методом складання.

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й наводить докладне рішенняз поясненнями кроків рішення двома способами: методом підстановки та методом складання.

Ця програмаможе бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення рівнянь

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

При введенні рівнянь можна використовувати дужки. У цьому рівняння спочатку спрощуються. Рівняння після спрощень мають бути лінійними, тобто. виду ax+by+c=0 з точністю порядку прямування елементів.
Наприклад: 6x+1 = 5(x+y)+2

У рівняннях можна використовувати не тільки цілі, а й дробові числау вигляді десяткових та звичайних дробів.

Правила введення десяткових дробів.
Ціла і дробова частина в десяткових дробахможе розділятися як точкою, так і комою.
Наприклад: 2.1n + 3,5m = 55

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробучисельник відокремлюється від знаменника знаком поділу: /
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &

приклади.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Розв'язати систему рівнянь

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Вирішення систем лінійних рівнянь. Спосіб підстановки

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом підстановки:
1) виражають із якогось рівняння системи одну змінну через іншу;
2) підставляють в інше рівняння системи замість цієї змінної отриманий вираз;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Виразимо з першого рівняння y через x: y = 7-3x. Підставивши у друге рівняння замість y вираз 7-Зx, отримаємо систему:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Неважко показати, що перша і друга системи мають одні й самі рішення. У другій системі друге рівняння містить лише одну змінну. Вирішимо це рівняння:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Підставивши рівність y=7-3x замість x число 1, знайдемо відповідне значення y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1; 4) - рішення системи

Системи рівнянь із двома змінними, що мають одні й ті самі рішення, називаються рівносильними. Системи, які мають рішень, також вважають рівносильними.

Розв'язання систем лінійних рівнянь способом складання

Розглянемо ще один спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь – спосіб складання. При розв'язанні систем цим способом, як і при вирішенні способом підстановки, ми переходимо від даної системи до іншої рівносильної їй системі, в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Послідовність дій під час вирішення системи лінійних рівнянь способом складання:
1) помножують почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами;
2) складають почленно ліві та праві частини рівнянь системи;
3) вирішують рівняння, що вийшло, з однією змінною;
4) знаходять відповідне значення другої змінної.

приклад. Розв'яжемо систему рівнянь:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

У рівняннях цієї системи коефіцієнти за y є протилежними числами. Склавши почленно ліві та праві частини рівнянь, отримаємо рівняння з однією змінною 3x=33. Замінимо одне з рівнянь системи, наприклад, перше, рівнянням 3x=33. Отримаємо систему
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

З рівняння 3x=33 знаходимо, що x=11. Підставивши це значення x до рівняння (x-3y = 38) отримаємо рівняння зі змінною y: (11-3y = 38). Вирішимо це рівняння:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким чином ми знайшли рішення системи рівнянь способом додавання: \(x=11; y=-9 \) або \((11; -9) \)

Скориставшись тим, що в рівняннях системи коефіцієнти за y є протилежними числами, ми звели її рішення до вирішення рівносильної системи(Підсумувавши обидві частини кожного з рівнянь вихідної симтеми), в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну.

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу

Системою лінійних рівнянь із двома невідомими - це два або кілька лінійних рівнянь, для яких необхідно знайти всі їх загальні рішення. Ми розглядатимемо системи з двох лінійних рівнянь із двома невідомими. Загальний виглядсистеми з двох лінійних рівнянь із двома невідомими представлені на малюнку нижче:

(a1 * x + b1 * y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Тут х і у невідомі змінні, a1, a2, b1, b2, с1, с2 - деякі речові числа. Рішенням системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими називають пару чисел (x,y) таку, що якщо підставити ці числа до рівняння системи, то кожне із рівнянь системи звертається до правильної рівності. Розглянь один із способів розв'язання системи лінійних рівнянь, а саме спосіб підстановки.

Алгоритм рішення способом підстановки

Алгоритм розв'язання системи лінійних рівнянь способом підстановки:

1. Вибрати одне рівняння (краще вибирати те, де числа менше) і виразити з нього одну змінну через іншу, наприклад, x через y. (можна і у через x).

2. Отриманий вираз підставити замість відповідної змінної в інше рівняння. Таким чином у нас вийде лінійне рівняння з однією невідомою.

3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння та отримуємо рішення.

4. Підставляємо отримане рішення у вираз, отримане у першому пункті, отримуємо другу невідому від рішення.

5. Виконати перевірку одержаного рішення.

приклад

Для того, щоб було зрозуміліше, вирішимо невеликий приклад.

приклад 1.Розв'язати систему рівнянь:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Рішення:

1. З першого рівняння даної системи виражаємо змінну х. Маємо x=(12-2*y);

2. Підставляємо цей вираз у друге рівняння, отримуємо 2*x-3*y=-18; 2 * (12 -2 * y) - 3 * y = -18; 24 - 4y - 3 * y = -18;

3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння: 24 - 4y - 3 * y = -18; 24-7 * y = -18; -7 * y = -42; y=6;

4. Підставляємо отриманий результат у вираз, отриманий у першому пункті. x = (12 -2 * y); x = 12-2 * 6 = 0; x=0;

5. Перевіряємо отримане рішення, для цього підставляємо знайдені числа у вихідну систему.

(x + 2 * y = 12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Здобули вірні рівності, отже, ми правильно знайшли рішення.

Вирішення систем рівнянь методом підстановки

Згадаймо, що таке система рівнянь.

Система двох рівнянь із двома змінними – це записані один під одним два рівняння, об'єднані фігурною дужкою. Вирішити систему - це означає знайти таку пару чисел, яка буде рішенням і першого, і другого рівняння одночасно.

У цьому уроці познайомимося з таким способом вирішення систем, як спосіб підстановки.

Давайте розглянемо систему рівнянь:

Можна розв'язати цю систему графічно. Для цього нам треба буде побудувати в одній системі координат графіки кожного з рівнянь, перетворивши їх на вигляд:

Потім знайти координати точки перетину графіків, які будуть рішенням системи. Але графічний спосібякі завжди зручний, т.к. відрізняється малою точністю, або навіть зовсім недоступністю. Спробуємо розглянути нашу систему уважніше. Тепер вона має вигляд:

Можна помітити, що ліві частини рівнянь рівні, а отже, мають бути рівними і правими. Тоді ми отримаємо рівняння:

Це знайоме нам рівняння з однією змінною, яке ми вирішуватимемо. Перенесемо невідомі доданки в ліву частину, а відомі - у праву, не забувши змінити знаки +, - при переносі. Отримаємо:

Тепер підставимо знайдене значення х у будь-яке рівняння системи та знайдемо значення у. У нашій системі зручніше використовувати друге рівняння у = 3 – х, після підстановки отримаємо у = 2. А тепер проаналізуємо виконану роботу. Спочатку ми в першому рівнянні висловили змінну у через змінну х. Потім отриманий вираз - 2х + 4 підставили друге рівняння замість змінної у. Потім вирішили отримане рівняння з однією змінною х та знайшли її значення. І на завершення використовували знайдене значення х для знаходження іншої змінної у. Тут виникає запитання: а чи обов'язково було виражати змінну з обох рівнянь відразу? Звичайно, ні. Ми могли виразити одну змінну через іншу лише в одному рівнянні системи та використовувати його замість відповідної змінної у другому. Причому можна висловити будь-яку змінну з будь-якого рівняння. Тут вибір залежить виключно із зручності рахунку. Подібний порядок дій математики назвали алгоритмом розв'язання систем двох рівнянь із двома змінними методом підстановки. Ось як він виглядає.

1.Виразити одну із змінних через іншу в одному з рівнянь системи.

2.Підставити отриманий вираз замість відповідної змінної в інше рівняння системи.

3. Вирішити отримане рівняння з однією змінною.

4.Знайдене значення змінної підставити у вираз, отриманий у пункті першому, і знайти значення інший змінної.

5. Записати відповідь у вигляді пари чисел, які були знайдені на третьому та четвертому кроці.

Давайте розглянемо ще один приклад. Розв'язати систему рівнянь:

Тут зручніше висловити змінну з першого рівняння. Отримаємо у = 8 – 2х. Отримане вираз треба підставити замість у друге рівняння. Отримаємо:

Випишемо це рівняння окремо та вирішимо його. Спочатку розкриємо дужки. Отримаємо рівняння 3х - 16 + 4х = 5. Зберемо невідомі доданки в лівій частині рівняння, а відомі - у правій і наведемо подібні доданки. Отримаємо рівняння 7х = 21, звідси х = 3.

Тепер, використовуючи знайдене значення х, можна знайти:

Відповідь: пара чисел (3; 2).

Таким чином, на цьому уроці ми навчилися вирішувати системи рівнянь із двома невідомими аналітичним, точним способом, не вдаючись до сумнівного графічного.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх установ/ А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007.
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича - 10-е видання, перероблене - Москва, "Мнемозіна", 2007.
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-те видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботив новій формідля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, "Мнемозина", 2011.
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботидля учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича - 6-е видання, стереотипне, Москва, "Мнемозіна", 2010.