Система раціональних нерівностей - приклади. Раціональні нерівності та їх системи

Продовжуємо розбирати способи розв'язання нерівностей, що мають у складі одну змінну. Ми вже вивчили лінійні та квадратні нерівності, які являють собою окремі випадки. раціональних нерівностей. У цій статті ми уточнимо, нерівності якого типу ставляться до раціональних, розповімо, які види вони діляться (цілі і дробові). Після цього покажемо, як правильно їх вирішувати, наведемо потрібні алгоритмита розберемо конкретні завдання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття раціональних рівностей

Коли у школі вивчають тему розв'язання нерівностей, то одразу беруть раціональні нерівності. Там купуються і відточуються навички роботи з цим видом висловлювань. Сформулюємо визначення даного поняття:

Визначення 1

Раціональна нерівність являє собою таку нерівність зі змінними, що містить в обох частинах раціональні вирази.

Зазначимо, що визначення ніяк не торкається питання кількості змінних, отже, їх може бути скільки завгодно багато. Отже, можливі раціональні нерівності з 1, 2, 3 та більше змінними. Найчастіше доводиться мати справу з виразами, що містять лише одну змінну, рідше дві, а нерівності з великою кількістюзмінних зазвичай у межах шкільного курсуне розглядають зовсім.

Таким чином, ми можемо дізнатися раціональну нерівність, подивившись на її запис. І з правого, і з лівого боку у нього мають бути розташовані раціональні вирази. Наведемо приклади:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А ось нерівність виду 5+x+1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Усі раціональні нерівності поділяються на цілі та дробові.

Визначення 2

Ціла раціональна рівність складається з цілих раціональних виразів (в обох частинах).

Визначення 3

Дробно раціональна рівність– це така рівність, яка містить дробовий виразв одній чи обох своїх частинах.

Наприклад, нерівності виду 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 і 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 є дробово раціональними, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 ​​− 5 · y)і 1: x + 3 > 0- Цілими.

Ми розібрали, що являють собою раціональні нерівності, і виділили їх основні типи. Можемо переходити далі до огляду способів їх вирішення.

Припустимо, що нам потрібно знайти рішення цілої раціональної нерівності r(x)< s (x) , яке включає лише одну змінну x . При цьому r(x)і s(x)являють собою будь-які цілі раціональні числаабо вирази, а знак нерівності може відрізнятись. Щоб вирішити це завдання, нам потрібно перетворити його і здобути рівносильну рівність.

Почнемо з перенесення виразу із правої частини до лівої. Отримаємо таке:

виду r(x) − s(x)< 0 (≤ , > , ≥)

Ми знаємо, що r(x) − s(x)буде цілим значенням, а будь-яке вираз припустимо перетворити на многочлен. Перетворюємо r(x) − s(x) h (x) . Це вираз буде тотожно рівним багаточленом. Враховуючи, що у r(x) − s(x) та h(x) область допустимих значень x однакова, ми можемо перейти до нерівностей h(x)< 0 (≤ , >, ≥) , яке буде рівносильним вихідному.

Найчастіше такого простого перетворення буде достатньо для вирішення нерівності, оскільки в результаті може вийти лінійне або квадратна нерівністьзначення якого обчислити нескладно. Розберемо такі завдання.

Приклад 1

Умова:розв'яжіть цілу раціональну нерівність x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Рішення

Почнемо з перенесення виразу з правої частини до лівої з протилежним знаком.

x · (x + 3) + 2 · x - (x + 1) 2 - 1 ≤ 0

Тепер, коли ми виконали всі дії з багаточленами зліва, можна переходити до лінійній нерівності 3 · x − 2 ≤ 0, рівносильний тому, що було дано в умові. Вирішити його нескладно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Відповідь: x ≤ 2 3 .

Приклад 2

Умова:знайдіть розв'язання нерівності (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x).

Рішення

Переносимо вираз із лівої частини у праву і виконуємо подальші перетворення за допомогою формул скороченого множення.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В результаті наших перетворень ми отримали нерівність, яка буде вірною за будь-яких значень x , отже, рішенням вихідної нерівності може бути будь-яке дійсне число.

Відповідь:будь-яке дійсно число.

Приклад 3

Умова:розв'яжіть нерівність x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0.

Рішення

З правої частини ми нічого переносити не будемо, бо там 0 . Почнемо відразу з перетворення лівої частини на багаточлен:

x + 6 + 2 · x 3 - 2 · x 3 - 2 · x 2 + 10 · x > 0 - 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Ми вивели квадратну нерівність, рівносильну вихідному, яку легко вирішити кількома методами. Застосуємо графічний метод.

Почнемо з обчислення коренів квадратного тричлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6:

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Тепер на схемі відзначимо усі необхідні нулі. Оскільки старший коефіцієнт менший за нуль, гілки параболи на графіку будуть дивитися вниз.

Нам буде потрібна область параболи, розташована над віссю абсцис, оскільки у нерівності ми маємо знак > . Потрібний інтервал дорівнює (− 0 , 5 , 6) Отже, ця область значень і буде потрібним нам рішенням.

Відповідь: (− 0 , 5 , 6) .

Бувають і більше складні випадки, коли зліва виходить багаточлен третьої чи більше високого ступеня. Щоб усунути таку нерівність, рекомендується використовувати метод інтервалів. Спочатку ми обчислюємо всі коріння багаточлена h(x)що найчастіше робиться за допомогою розкладання многочлена на множники.

Приклад 4

Умова:обчисліть (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Рішення

Почнемо, як завжди, з перенесення виразу в ліву частину, після чого потрібно буде виконати розкриття дужок та приведення подібних доданків.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

У результаті перетворень у нас вийшла рівносильна вихідна рівність, ліворуч у якої стоїть багаточлен третього ступеня. Застосуємо метод інтервалів щодо його вирішення.

Спочатку обчислюємо коріння багаточлена, для чого нам треба вирішити кубічне рівняння x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0. Чи має воно раціональне коріння? Вони можуть лише серед дільників вільного члена, тобто. серед чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Підставимо їх по черзі у вихідне рівняння та з'ясуємо, що числа 1, 2 та 3 будуть його корінням.

Значить, багаточлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6може бути описаний у вигляді твору (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), і нерівність x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6< 0 може бути представлено як (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . З нерівністю такого виду нам потім буде легко визначити знаки на проміжках.

Далі виконуємо кроки, що залишилися. інтервального методу: малюємо числову пряму та точки на ній з координатами 1, 2, 3. Вони розбивають пряму на 4 проміжки, у яких потрібно визначити знаки. Заштрихуємо проміжки з мінусом, оскільки вихідна нерівність має знак < .

Нам залишилося лише записати готову відповідь: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

Відповідь: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

У деяких випадках виконувати перехід від нерівності r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) до h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , де h(x)- многочлен у ступені вище 2, недоцільно. Це поширюється на ті випадки, коли уявити r(x) − s(x) як добуток лінійних двочленів і квадратних тричленівпростіше, ніж розкласти h(x) на окремі множники. Розберемо таке завдання.

Приклад 5

Умова:знайдіть розв'язання нерівності (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1).

Рішення

Ця нерівність відноситься до цілих. Якщо ми перенесемо вираз із правої частини вліво, розкриємо дужки та виконаємо приведення доданків, то отримаємо x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Вирішити таку нерівність непросто, оскільки доведеться шукати коріння багаточлена четвертого ступеня. Воно немає жодного раціонального кореня (так, 1 , − 1 , 19 чи − 19 не підходять), а шукати інше коріння складно. Отже, скористатися цим способом ми можемо.

Але є й інші способи розв'язання. Якщо ми перенесемо вирази з правої частини вихідної нерівності до лівої, то зможемо виконати винесення за дужки загального множника x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Ми отримали нерівність, рівносильну вихідному, і її рішення дасть нам відповідь. Знайдемо нулі вирази в лівій частині, для чого вирішимо квадратні рівняння x 2 − 2 · x − 1 = 0і x 2 − 2 · x − 19 = 0. Їхнє коріння – 1 ± 2, 1 ± 2 5 . Переходимо до рівності x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , яку можна вирішити методом інтервалів:

Відповідно до малюнка, відповіддю буде - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Відповідь: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Додамо, що іноді немає можливості знайти все коріння багаточлена h(x)Отже, ми не можемо уявити його у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів. Тоді розв'язати нерівність виду h(x)< 0 (≤ , >, ≥) ми не можемо, значить, вирішити вихідну раціональну нерівність теж не можна.

Допустимо, треба розв'язати дробово раціонально нерівностей виду r(x)< s (x) (≤ , >, ≥) , де r (x) та s(x)є раціональними виразами, x – змінною. Хоча б одне з вказаних виразівбуде дрібним. Алгоритм рішення у цьому випадку буде таким:

1. Визначаємо область допустимих значень змінної x.
2. Переносимо вираз із правої частини нерівності наліво, а вираз, що вийшов. r(x) − s(x)подаємо у вигляді дробу. При цьому де p(x)і q (x)будуть цілими виразами, які є творами лінійних двочленів, квадратних тричленів, що не розкладаються, а також ступенів з натуральним показником.
3. Далі вирішуємо отриману нерівність шляхом інтервалів.
4. Останнім кроком є ​​виключення точок, отриманих у ході рішення, з області допустимих значень змінної x, яку ми визначили на початку.

Це і є алгоритм розв'язання дрібно раціональної нерівності. Більша частинайого зрозуміла, невеликі пояснення потрібні лише п. 2 . Ми перенесли вираз із правої частини ліворуч і отримали r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) , а як потім привести його до виду p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Спочатку визначимо, чи завжди можна виконати це перетворення. Теоретично, така можливість є завжди, оскільки раціональний дрібможна перетворити будь-яке раціональний вираз. Тут же у нас є дріб із багаточленами в чисельнику та знаменнику. Згадаймо основну теорему алгебри і теорему Безу і визначимо, що будь-який многочлен n-ного ступеня, що містить одну змінну, може бути перетворений на твір лінійних двочленів. Отже, теоретично ми можемо перетворити вираз таким чином.

Насправді розкладання многочленів на множники найчастіше виявляється досить важким завданням, якщо ступінь вище 4 . Якщо ми не зможемо виконати розкладання, то не зможемо і вирішити цю нерівність, однак у рамках шкільного курсу такі проблеми зазвичай не вивчаються.

Далі нам треба вирішити, чи буде отримана нерівність p(x) q(x)< 0 (≤ , >, ≥) рівносильним по відношенню до r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) та до вихідного. Є ймовірність, що воно може виявитися нерівносильним.

Рівносильність нерівності буде забезпечена тоді, коли область припустимих значень p(x) q(x)збігається з областю значень виразу r(x) − s(x). Тоді останній пункт інструкції щодо розв'язання дробово раціональних нерівностей виконувати не потрібно.

Але область значень для p(x) q(x)може виявитися ширшим, ніж у r(x) − s(x)наприклад, за рахунок скорочення дробів. Прикладом може бути перехід від x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 до x · x - 1 x + 3. Або це може відбуватися при приведенні подібних доданків, наприклад, тут:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 до 1 x + 3

Для таких випадків і додано останній крок алгоритму. Виконавши його, ви позбавитеся від сторонніх значень змінної, які виникають через розширення області допустимих значень. Візьмемо кілька прикладів, щоб було зрозуміліше, про що йдеться.

Приклад 6

Умова:знайдіть рішення раціональної рівності x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Рішення

Діємо за алгоритмом, вказаним вище. Спочатку визначаємо область припустимих значень. У даному випадкувона визначається системою нерівностей x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , вирішенням якої буде безліч (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

Після цього нам потрібно перетворити його так, щоб було зручно застосувати метод інтервалів. Насамперед наводимо алгебраїчні дробидо найменшого спільного знаменника (x − 3) 2 · (x + 1):

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Згортаємо вираз у чисельнику, застосовуючи формулу квадрата суми:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областю допустимих значень виразу, що вийшов, є (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Ми бачимо, що вона аналогічна до тієї, що була визначена для вихідної рівності. Укладаємо, що нерівність x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 є рівносильною вихідному, отже, останній крок алгоритму нам не потрібен.

Використовуємо метод інтервалів:

Бачимо рішення ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) , яке і буде вирішенням вихідної раціональної нерівності x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Відповідь: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Приклад 7

Умова:обчисліть рішення x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Рішення

Визначаємо область допустимих значень. У разі цієї нерівності вона дорівнюватиме всім дійсним числам, крім − 2 , − 1 , 0 та 1 .

Переносимо вирази з правої частини до лівої:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Враховуючи результат, що вийшов, запишемо:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для виразу - 1 x - 1 областю допустимих значень буде безліч всіх дійсних чисел, крім одиниці. Ми бачимо, що область значень розширилася: до неї були додані − 2 , − 1 і 0 . Отже, нам слід виконати останній крок алгоритму.

Оскільки ми дійшли нерівності - 1 x - 1 > 0 , можемо записати рівносильне йому 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Виключаємо точки, які не входять до області допустимих значень вихідної рівності. Нам треба виключити з (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 та 0 . Таким чином, розв'язанням раціональної нерівності x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будуть значення (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Відповідь: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

На закінчення наведемо ще один приклад завдання, в якому остаточна відповідь залежить від області допустимих значень.

Приклад 8

Умова:знайдіть розв'язання нерівності 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Рішення

Область допустимих значень нерівності, заданої в умові, визначає система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Рішень у цієї системи немає, оскільки

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Отже, вихідна рівність 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не має рішення, оскільки немає таких значень змінної, при якій вона мала б сенс.

Відповідь:рішень немає.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Приклади:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)

\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .

При розв'язанні дрібних раціональних нерівностей використовується метод інтервалів. Тому якщо алгоритм, наведений нижче, викличе у вас труднощі, перегляньте статтю по .

Як вирішувати дробові раціональні нерівності:

Алгоритм розв'язання дробово-раціональних нерівностей.

Приклади:



Розставте знаки на інтервалах числової осі. Нагадаю правила розміщення знаків:

Визначаємо знак у крайньому правому інтервалі - беремо число з цього інтервалу і підставляємо його в нерівність замість ікса. Після цього визначаємо знаки у дужках та результат перемноження цих знаків;

Приклади:




Виділіть потрібні проміжки. Якщо є корінь, що окремо стоїть, то позначте його прапорцем, щоб не забути внести його у відповідь (див. приклад нижче).

Приклади:


Запишіть у відповідь виділені проміжки та коріння, позначені прапорцем (якщо вони є).

Приклади:
Відповідь: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪)