на даному уроцібуде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробівз різними знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з різними знаменниками. Для цього дробу необхідно призвести до спільному знаменнику. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити дроби алгебри до спільного знаменника. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками - одна з найбільш важливих і складних тем в курсі 8 класу. При цьому дана темабуде зустрічатися в багатьох темах курсу алгебри, які ви вивчатимете надалі. В рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілий рядтипових прикладів.

Розглянемо найпростіший прикладдля звичайних дробів.

приклад 1.Скласти дроби: .

Рішення:

Згадаймо правило додавання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше загальне кратне(НОК) вихідних знаменників.

Визначення

Найменше натуральне число, яке ділиться одночасно на числа і .

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати всі прості множники, які входять до розкладання обох знаменників.

; . Тоді до НОК чисел повинні входити дві двійки та дві трійки: .

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожного з дробів знайти додатковий множник (фактично поділити спільний знаменник на знаменник відповідного дробу).

Потім кожен дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, складати та віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

Отримуємо: .

Відповідь:.

Розглянемо тепер додавання алгебраїчних дробів із різними знаменниками. Спочатку розглянемо дроби, знаменники яких числами.

приклад 2.Скласти дроби: .

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний до попереднього прикладу. Легко підібрати загальний знаменник цих дробів: і додаткові множники кожної з них.

.

Відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший загальний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного дробу (поділивши спільний знаменник на знаменник даного дробу).

3. Примножити чисельники на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад із дробами, у знаменнику яких присутні буквені вирази.

приклад 3.Скласти дроби: .

Рішення:

Оскільки буквені вирази в обох знаменниках однакові, слід знайти загальний знаменник для чисел . Підсумковий загальний знаменник матиме вид: . Таким чином, рішення даного прикладумає вигляд:.

Відповідь:.

приклад 4.Відняти дроби: .

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то як спільний знаменник доводиться брати добуток знаменників обох дробів.

Відповідь:.

Взагалі, при вирішенні подібних прикладів, найбільш складним завданнямє знаходження спільного знаменника.

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 5.Спростити: .

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно насамперед спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

У даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники та вирішуємо даний приклад:

Відповідь:.

Тепер закріпимо правила складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити: .

Рішення:

Відповідь:.

Приклад 7.Спростити: .

Рішення:

.

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому складаються не два, а три дроби (адже правила додавання та віднімання для більшої кількостідробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити: .

Розглянемо дріб $ frac63 $. Її величина дорівнює 2, тому що $ frac63 = 6:3 = 2 $. А що станеться, якщо чисельник та знаменник помножити на 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Очевидно, величина дробу не змінилася, так як $\frac(12)(6)$ як у дорівнює 2. Можна помножити чисельник та знаменникна 3 і отримати $ frac (18) (9) $, або на 27 і отримати $ frac (162) (81) $ або на 101 і отримати $ frac (606) (303) $. У кожному з цих випадків величина дробу, яку ми отримуємо, розділивши чисельник на знаменник, дорівнює 2. Це означає, що не змінилася.

Така сама закономірність спостерігається й у разі інших дробів. Якщо чисельник і знаменник дробу $\frac(120)(60)$ (рівний 2) розділити на 2 (результат $\frac(60)(30)$), або на 3 (результат $\frac(40)(20) $), або 4 (результат $\frac(30)(15)$) тощо, то кожному разі величина дробу залишається незмінною і дорівнює 2.

Це правило поширюється також на дроби, які не рівні цілого числа.

Якщо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (3) $ помножити на 2, ми отримаємо $ frac (2) (6) $, тобто величина дробу не змінилася. І справді, якщо ви розділите пиріг на 3 частини та візьмете одну з них або розділите його на 6 частин та візьмете 2 частини, ви в обох випадках отримаєте однакову кількість пирога. Отже, числа $ frac (1) (3) $ і $ frac (2) (6) $ ідентичні. Сформулюємо загальне правило.

Чисельник і знаменник будь-якого дробу можна помножити або розділити на те саме число, і при цьому величина дробу не змінюється.

Це правило виявляється дуже корисним. Наприклад, воно дозволяє в ряді випадків, але не завжди уникнути операцій з великими числами.

Наприклад, ми можемо розділити чисельник і знаменник дробу $\frac(126)(189)$ на 63 і отримати дріб $\frac(2)(3)$ з яким набагато простіше робити розрахунки. Ще один приклад. Чисельник і знаменник дробу $\frac(155)(31)$ можемо розділити на 31 і отримати дріб $\frac(5)(1)$ або 5, оскільки 5:1=5.

У цьому прикладі ми вперше зустрілися з дробом, знаменник якого дорівнює 1. Такі дроби грають важливу рольпри обчисленнях. Слід пам'ятати, що будь-яке число можна розділити на 1 і його величина не зміниться. Тобто $ \ frac (273) (1) $ дорівнює 273; $\frac(509993)(1)$ дорівнює 509993 і так далі. Отже, ми можемо не розділяти числа на , оскільки кожне ціле число можна подати у вигляді дробу зі знаменником 1.

З такими дробами, знаменник яких дорівнює 1, можна робити ті самі арифметичні дії, Що і з усіма іншими дробами: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac (3)(1)=\frac(12)(1)$.

Ви можете запитати, яка користь від того, що ми представимо ціле число у вигляді дробу, у якого під рисою стоятиме одиниця, адже з цілим числом працювати зручніше. Але річ у тому, що уявлення цілого числа у вигляді дробу дає можливість ефективніше виробляти різні діїколи ми маємо справу одночасно і з цілими, і з дробовими числами. Наприклад, щоб навчитися складати дроби з різними знаменниками. Припустимо, нам треба скласти $\frac(1)(3)$ і $\frac(1)(5)$.

Ми знаємо, що складати можна лише ті дроби, знаменники яких рівні. Отже, нам треба навчитися приводити дроби до такого виду, коли їхні знаменники є рівними. У цьому випадку нам знову знадобиться те, що можна множити чисельник і знаменник дробу на те саме число без зміни його величини.

Спочатку помножимо чисельник і знаменник дробу $\frac(1)(3)$ на 5. Отримаємо $\frac(5)(15)$, величина дробу не змінилася. Потім помножимо чисельник і знаменник дробу $ frac (1) (5) $ на 3. Отримаємо $ frac (3) (15) $, знову величина дробу не змінилася. Отже, $ frac (1) (3) + frac (1) (5) = frac (5) (15) + frac (3) (15) = frac (8) (15) $.

Тепер спробуємо застосувати цю систему до додавання чисел, що містять як цілу, так і дробову частини.

Нам треба скласти $3 + frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Спочатку переведемо всі складові у форму дробів і отримаємо: $ frac31 + frac (1) (3) + frac (5) (4) $. Тепер нам треба привести всі дроби до спільного знаменника, для цього ми чисельник і знаменник першого дробу множимо на 12, другого - на 4, а третього - на 3. У результаті отримуємо $\frac(36)(12) + \frac(4) )(12)+\frac(15)(12)$, що дорівнює $\frac(55)(12)$. Якщо ви хочете позбутися неправильного дробу, її можна перетворити на число, що складається з цілої та дробової частин: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ або $4\frac(7)( 12) $.

Усі правила, що дозволяють проводити операції з дробами, які ми з вами щойно вивчили, також справедливі у разі негативних чисел. Так, -1: 3 можна записати як $ frac (-1) (3) $, а 1: (-3) як $ frac (1) (-3) $.

Оскільки як при розподілі негативного числа на позитивне, так і при розподілі позитивного числа на негативне в результаті ми отримуємо негативні числа, в обох випадках отримаємо відповідь у вигляді негативного числа. Тобто

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ або $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Знак мінус при такому написанні відноситься до всього дробу цілком, а не окремо до чисельника чи знаменника.

З іншого боку, (-1) : (-3) можна записати як $\frac(-1)(-3)$, а оскільки при розподілі негативного числа на негативне число ми отримуємо додатне число, то $\frac(-1)(-3)$ можна записати як $+\frac(1)(3)$.

Додавання та віднімання негативних дробівпроводять за тією ж схемою, що і додавання, і віднімання позитивних дробів. Наприклад, що таке $1-1\frac13$? Представимо обидва числа у вигляді дробів і отримаємо $ frac (1) (1) - frac (4) (3) $. Приведемо дроби до спільного знаменника і отримаємо $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, тобто $\frac(3)(3)-\frac(4) (3)$, або $-\frac(1)(3)$.

Калькулятор онлайн.
Обчислення виразу з числовими дробами.
Множення, віднімання, розподіл, додавання та скорочення дробів з різними знаменниками.

За допомогою даного калькулятора онлайн ви можете помножити, відняти, поділити, скласти і скоротити числові дроби з різними знаменниками.

Програма працює з правильними, неправильними та змішаними числовими дробами.

Ця програма (калькулятор онлайн) вміє:
- виконувати додавання змішаних дробів з різними знаменниками
- виконувати віднімання змішаних дробів із різними знаменниками
- Виконувати поділ змішаних дробів з різними знаменниками
- виконувати множення змішаних дробів із різними знаменниками
- Приводити дроби до спільного знаменника
- перетворювати змішані дроби на неправильні
- скорочувати дроби

Також можна ввести не вираз із дробами, а один єдиний дріб.
У цьому випадку дріб буде скорочено і з результату виділено цілу частину.

Калькулятор онлайн для обчислення виразів з числовими дробами не просто відповідає за завдання, він наводить докладне рішенняіз поясненнями, тобто. відображає процес знаходження рішення.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братівабо сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення виразів із числовими дробами, рекомендуємо з ними ознайомитись.

Правила введення виразів із числовими дробами

Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Введення: -2/3 + 7/5
Результат: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Розподіл дробів вводиться знаком двокрапки:
Введення: -9&37/12: -3&5/14
Результат: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Пам'ятайте, що на нуль ділити не можна!

При введенні виразів із числовими дробами можна використовувати дужки.
Введення: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Введіть вираз із числовими дробами.

Обчислити

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Прості дроби. Поділ із залишком

Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від розподілу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).

Компоненти розподілу у лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого поділу залишок дорівнює нулю. У нашому випадку залишок дорівнює 1.

Залишок завжди менший за дільник.

Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.

Часто у випадках, коли виконується поділ із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.

Приватне від поділу натуральних чиселможна записати як дробу.

Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.

Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію поділу. Іноді зручно записувати поділ у вигляді дробу, не використовуючи знак «:».

Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Вірні такі правила:

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю поділити на n рівних частин(часткою) і взяти m таких частин.

Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.

Щоб знайти частину від цілого, треба число, що відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.

Щоб знайти ціле по його частині, треба число, відповідне до цієї частини, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.

Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.

Два останні перетворення називають скороченням дробу.

Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільного знаменника.

Правильні та неправильні дроби. Змішані числа

Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо поділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глуздпідказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менше знаменника, називають правильними дробами.

Як ви знаєте, будь-яку звичайний дріб, і правильну, і неправильну, можна як результат поділу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.

Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не поділяється на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо застосовувати його тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.

Події з дробами. Додавання дробів.

З дрібними числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) і \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити тим самим.

Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід привести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості додавання.

Додавання змішаних дробів

Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиною змішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дрібною частиною. Запис \(2\frac(2)(3) \) читають так: «дві та дві третини».

При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.

Віднімання дробів (дрібних чисел)

Віднімання дробових чисел, Як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це означає знайти таке число, яке при складанні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)

Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.

За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Розмноження дробів

Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.

За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, змішаний дріб, і навіть перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.

Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.

Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальна та поєднана властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.

Розподіл дробів

Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).

Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.

Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).

За допомогою букв взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)

Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.

Правило поділу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.

Дробові висловлювання складні розуміння дитиною. У більшості виникають складності, пов'язані з . При вивченні теми «складання дробів з цілими числами», дитина впадає в ступор, важко вирішити завдання. У багатьох прикладах перед тим як виконати дію необхідно зробити низку обчислень. Наприклад, перетворити дроби або перевести неправильний дріб у правильний.

Пояснимо дитині наочно. Візьмемо три яблука, два з яких будуть цілими, а третє розріжемо на 4 частини. Від розрізаного яблука відокремимо одну часточку, а решту три покладемо поруч із двома цілими фруктами. Отримаємо ¼ яблука в одній стороні та 2 ¾ — в іншій. Якщо ми їх з'єднаємо, то отримаємо цілих три яблука. Спробуємо зменшити 2 ¾ яблука на ¼, тобто приберемо ще одну часточку, отримаємо 2 2/4 яблука.

Розглянемо докладніше дії з дробами, у складі яких є цілі числа:

Для початку згадаємо правило обчислення для дробових виразівіз спільним знаменником:

На перший погляд, все легко і просто. Але це стосується лише виразів, що не потребують перетворення.

Як знайти значення виразу де знаменники різні

У деяких завданнях необхідно визначити значення виразу, де знаменники різні. Розглянемо конкретний випадок:
3 2/7+6 1/3

Знайдемо значення цього виразу, при цьому знайдемо для двох дробів спільний знаменник.

Для чисел 7 і 3 – це 21. Цілі частини залишаємо колишніми, а дробові – наводимо до 21, для цього перший дріб множимо на 3, другий – на 7, отримуємо:
6/21+7/21, не забуваємо, що цілі частини не підлягають перетворенню. У результаті отримуємо два дроби з одним знаменникам та обчислюємо їх суму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Що якщо в результаті додавання виходить неправильний дріб, який вже має цілу частину:
2 1/3+3 2/3
У даному випадкускладаємо цілі частини та дробові, отримуємо:
5 3/3, як відомо, 3/3 – це одиниця, отже 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Зі знаходженням суми все зрозуміло, розберемо віднімання:

З усього сказаного випливає правило дій над змішаними числами, Яке звучить так:

• Якщо ж від дробового виразу необхідно відняти ціле число, не потрібно представляти друге число у вигляді дробу, достатньо зробити дію лише над цілими частинами.

Спробуємо самостійно обчислити значення виразів:

Розберемо докладніше прикладпід літерою «м»:

4 5/11-2 8/11, чисельник першого дробу менший, ніж другий. Для цього займаємо одне ціле число у першого дробу, отримуємо,
3 5/11+11/11=3 цілих 16/11, віднімаємо від першого дробу другу:
3 16/11-2 8/11=1 ціла 8/11

• Будьте уважні під час виконання завдання, не забувайте перетворювати неправильні дробиу змішані, виділяючи цілу частину. Для цього необхідно значення чисельника розділити на значення знаменника, що вийшло, встає на місце цілої частини, залишок – буде чисельником, наприклад:

19/4=4 ¾, перевіримо: 4*4+3=19, у знаменнику 4 залишається без змін.

Підведемо підсумок:

Перед тим як приступити до виконання завдання, пов'язаного з дробами, необхідно проаналізувати, що це за вираз, які перетворення потрібно зробити над дробом, щоб рішення було правильним. Шукайте раціональніший спосіб рішення. Не йдіть складними шляхами. Розплануйте всі дії, вирішуйте спочатку в чорновому варіанті, потім переносіть у шкільний зошит.

Щоб не відбулося плутанини при вирішенні дробових виразів, необхідно керуватися правилом послідовності. Вирішуйте все уважно, не поспішаючи.

У статті покажемо, як вирішувати дробина простих зрозумілих прикладах. Розберемося, що таке дріб і розглянемо вирішення дробів!

Концепція дробивводиться курс математики починаючи з 6 класу середньої школи.

Дроби мають вигляд: ±X/Y, де Y - знаменник, повідомляє на скільки частин розділили ціле, а X - чисельник, він повідомляє, скільки таких частин взяли. Для наочності візьмемо приклад із тортом:

У першому випадку торт розрізали порівну і взяли половину, тобто. 1/2. У другому випадку торт розрізали на 7 частин, у тому числі взяли 4 частини, тобто. 4/7.

Якщо частина від розподілу одного числа на інше не є цілим числом, її записують у вигляді дробу.

Наприклад, вираз 4:2 = 2 дає ціле число, а ось 4:7 націло не ділиться, тому такий вираз записується у вигляді дробу 4/7.

Іншими словами дріб- це вираз, який позначає розподіл двох чисел або виразів, і який записується за допомогою дробової межі.

Якщо чисельник менший за знаменник - дріб є правильним, якщо навпаки - неправильним. До складу дробу може входити ціле число.

Наприклад, 5 цілих 3/4.

Цей запис означає, що для того, щоб отримати цілу 6, не вистачає однієї частини від чотирьох.

Якщо ви хочете запам'ятати, як вирішувати дроби за 6 клас, вам треба зрозуміти, що вирішення дробів, в основному, зводиться до розуміння кількох простих речей.

• Дріб по суті це вираз частки. Тобто числове виразтого, яку частину становить дане значеннявід одного цілого. Наприклад дріб 3/5 висловлює, що, якщо ми поділили щось ціле на 5 частин і кількість часток чи частин це цього цілого - три.
• Дроб може бути менше 1, наприклад 1/2 (або по суті половина), тоді він правильний. Якщо дріб більше 1, наприклад 3/2(три половини чи з половиною), вона неправильна й у спрощення рішення, краще виділити цілу частину 3/2= 1 ціла 1/2.
• Дроби це такі ж числа, як 1, 3, 10, і навіть 100, тільки числа це не цілі, а дробові. З ними можна виконувати ті самі операції, що з числами. Вважати дроби не складніше, і далі на конкретні прикладими це покажемо.

Як вирішувати дроби. приклади.

До дробів застосовні різні арифметичні операції.

Приведення дробу до спільного знаменника

Наприклад, необхідно порівняти дроби 3/4 та 4/5.

Щоб розв'язати завдання, спочатку знайдемо найменший спільний знаменник, тобто. найменше число, що ділиться без залишку на кожен із знаменників дробів

Найменший загальний знаменник(4,5) = 20

Потім знаменник обох дробів наводиться до найменшого спільного знаменника

Відповідь: 15/20

Додавання та віднімання дробів

Якщо потрібно порахувати суму двох дробів, їх спочатку призводять до спільного знаменника, потім складають чисельники, при цьому знаменник залишиться без змін. Різниця дробів вважається аналогічним чином, відмінність лише в тому, що чисельники віднімаються.

Наприклад, необхідно знайти суму дробів 1/2 та 1/3

Тепер знайдемо різницю дробів 1/2 та 1/4

Множення та поділ дробів

Тут рішення дробів нескладне, тут усе досить просто:

• Множення - чисельники та знаменники дробів перемножуються між собою;
• Розподіл - спершу отримуємо дріб, обернений до другого дробу, тобто. міняємо місцями її чисельник та знаменник, після чого отримані дроби перемножуємо.

Наприклад:

На цьому про те, як вирішувати дроби, всі. Якщо у вас залишилися якісь питання щодо рішенню дробівЩо то незрозуміло, то пишіть у коментарі і ми обов'язково вам відповімо.

Якщо ви вчитель, то можна завантажити презентацію для початкової школи(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) буде вам до речі.