Таблиця знаходження експонентів. Сенс числа e

У цій статті ми обговоримо, що ж таке експонента в Excel і, найголовніше, для чого вона може стати в нагоді в звичайного життяабо у бізнесі.

У студентські роки часто доводилося чути фрази на кшталт: «Навіщо ми взагалі вчимо 'це', у житті нам 'це' ніколи не знадобитися». Одним із таких 'це' часто була експонента або, наприклад, . У мене була слабка вища математикапри першій освіті, про що я шкодую. І ось зараз доводиться наздоганяти, що втратив раніше. Ділюсь переказом своїх знань.

Ми знаємо, що наш світ описаний точними науками- Тобто. набором правил і законів, що більш-менш точно описують те, що відбувається. Для цього здебільшого допомагають функції/формули. У природі досить часто зустрічаються експонентні явища (описуємо експонентою) формулою з числом e,а у = e у ступені x вже буде експоненційною функцією:

Число e- Це т.зв. число Ейлера приблизно дорівнює 2,72. Примітно воно тим, що похідна від цієї функції дорівнює функції exp(x)` = exp(x).

Що це взагалі таке і що для нас означає?

Найкраще, дія експоненти показують графіки нижче:

Дві функції: y = 2 x і y = eу ступеня x , де x = час, наприклад. Ми бачимо, що швидкість зростання експоненційного графіка збільшується швидше. А чому? Тому що похідна (швидкість зростання чи зменшення) функції дорівнює самій функції, тобто. швидкість збільшення функції дорівнює значенню функції.

Якщо грубо, то в природі це дійсно зустрічається часто — чим більше клітин діляться, тим швидше їх ставати більше. Чим більше грошей у банку, тим більший прибуток вони приносять. Наприклад:

Ви вклали 1000 руб. у банк, за рік вони принесли свої 100 руб. відсотками, ще через рік на вас працюють уже 2 працівники 1000 руб. та 100 руб. і так далі поки ви не заберете гроші або не станеться банківська криза.

До речі населення на планеті Земля теж росте експонентом;)

Принцип Парето та експонента

Чи чули про такий принцип? Думаю так. "20% зусиль приносять 80% результату". Це він. Найкраще визначеннядля запам'ятовування, мені здається:

20% любителів пива вживають 80% всього пива

На принципі Парето побудовано і ABC аналіззапасів, наприклад.

Цей принцип Парето є ще одним прикладом експонентів.

До речі, дуже справедливий закон у реального життя, підтверджую своїм досвідом. Колись на першому своєму проекті я помітив, що приблизно за 20% часу ти створюєш 80% продукту (у кількісному еквіваленті), далі працюєш на якість. Тобто. ще 80% часу допилюєш, шукаєш помилки, налаштовуєш. Я навіть чув, що кажуть «розробка на стадії експоненти» — тобто. у стадії наближення до ідеалу.

За такого «допилювання» проекту важливо вчасно зупинитися, адже продукт ніколи не буде ідеальним. Тому заздалегідь визначте яку якість ви хотіли б отримати в кінці. Якщо робите не собі, обов'язково зберіть вимоги із замовника. Принцип виглядає приблизно так:

Експонента (число e) - ірраціональне числоприблизно дорівнює 2,71828. Число e грає велику роль у диференціальному та інтегральному численніі використовується практично у всіх наукових сферах. Таке сухе математичне визначеннязовсім не розкриває суті про фізичному сенсіекспонентів. Розглянемо докладніше.

Сенс числа e

Число Пі є не просто ірраціональним числом, що дорівнює 3,1415, а однакове для всіх випадків співвідношення довжини кола до діаметра. Так само і число e має власний сенс.

Експонента - це базове співвідношення зростання всім зростаючих процесів. Будь-яке число можна розглядати як збільшену одиницю, будь-який квадрат – як масштабований одиничний квадрат, будь-який рівносторонній трикутник- як збільшений чи зменшений правильний трикутник, А будь-який коефіцієнт зростання можна представити у вигляді масштабованого коефіцієнта е.

Саме операції з числом e дадуть вам можливість визначити темпи зростання таких ситуаціях, як приріст населення, нарахування відсотків за депозитом чи обсяг напіврозпаду радіоактивної речовини.

Дискретне зростання

Як базовий приклад системи безперервного подвоєння можна навести розмноження бактерій, які подвоюються щодня. Якщо подвоєння відбувається один раз, то математично ми отримуємо 2 в першому ступені, тобто просто 2. Якщо подвоєння x разів, то в результаті ми отримуємо 2 в ступені x бактерій, грошей або будь-якого іншого добра.

Однак система може змінюватися не вдвічі, а наприклад на 20% або 120%. У цьому випадку ми можемо уявити подвоєння не як двійку, а як 1+1 або 1+100%. У такому записі ми можемо підставити будь-який коефіцієнт приросту та отримати формулу зростання як:

Зростання = (1 + приріст) x ,

де x – це кількість циклів приросту.

Завдяки цій формулі ми можемо дізнатися скільки бактерій ми отримаємо з однієї клітини через 30 днів. Проте бактерії діляться дискретно, тобто доки нова клітина не сформується протягом доби, вона зможе виробляти нові організми. Застосовуючи цю формулу до грошей, ми матимемо зовсім інший результат.

Безперервне зростання

При нарахуванні відсотків за гроші відбувається не дискретний, а безперервне зростання. Як тільки за депозитом нараховується прибуток у розмірі пари пенні, ці гроші починають приносити свій прибуток. Немає потреби чекати, поки народиться цілий долар, який почне ділитися подобою бактерій. Достатньо сформуватися центу, який почне генерувати свій мікроприбуток.

Уявімо, що ми вклали $1 у бізнес, який обіцяє нам 100% прибутку за рік. Це означає, що ми отримаємо приріст:

Дохід = (1 + 1) 1 = 2

Усього $2 - негусто. Однак якщо ми розіб'ємо рік на два півріччя, то отримаємо по 50 центів за кожні півроку. Отримані центи можуть самостійно генерувати прибуток, і тоді формула зміниться.

Дохід = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Оскільки ми маємо два періоди подвоєння, ми звели приріст у квадрат і отримали додаткові 25 центів доходу. Якщо розбити наш прибуток на 5 частин по 20 центів, то вийде ще привабливіше:

Дохід = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Можливо, ми зможемо поділити прибуток на нескінченно велика кількість дрібних частинта отримаємо нескінченний прибуток? На жаль немає. Навіть якщо ми розділимо наш долар на 100 000 частин, дохід становитиме:

Дохід = (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

При нескінченному дробленні долара прибуток збільшуватиметься на стотисячні знаки після коми. Наші 2,71826 долара прибутку прагнутимуть значення 2,718281828, що є ніщо інше як число Е.

І що все це означає

Експонента - це можливий результат стовідсоткового безперервного зростання за конкретний період. Так, спочатку нам обіцяють 100% прибутку, тобто всього $2, але кожен цент приносить свої дивіденди і за підсумками у нас виявляється рівно $2,71828 прибутку. Число е - це максимум, який ми можемо отримати при розбитті прибутку на суми нескінченно малих величин.

Це означає, що якщо при потенційному стовідсотковому прибутку ми вкладемо у бізнес $1, то отримаємо $2,718 чистого прибутку. Якщо $2, то ми отримаємо 2е чистого прибутку, а якщо $100, то наш прибуток складе 100е. Таким чином, e - це гранична константа, яка обмежує процеси зростання точно так, як швидкість світла обмежує пересування інформації в просторі. Число е - це максимально можливий результат, важкодосяжний на практиці, тому насправді багато процесів описуються з використанням частин експоненти.

Використання експонентів на практиці

На перший погляд зростання зображується у вигляді додавання 1%, проте, математично така надбавка виражається як множення на 1,01. Таким чином, при операціях з числом e ми використовуємо ступінь або коріння. Або натуральні логарифми, якщо нам потрібна зворотна операція. Який би коефіцієнт приросту ми не взяли, він означатиме ступінь для числа е. Наприклад, якщо ми знаємо, що протягом 3 років отримаємо прибуток у розмірі 200%, ми просто множимо приріст (e 2) на 3 періоди і отримуємо:

Зростання = (е 3) 2 = e 6

Для кращого розумінняРозглянемо приклади.

Депозит у банку

Припустимо, ми поклали на депозит у банку $100 під річну ставку у розмірі 8%. Вибраний банк пропонує нам повну капіталізацію відсотків, який прибуток ми отримаємо через 5 років? Так як банк забезпечує нам безперервне зростання грошей, через 5 років на нашому рахунку вже буде:

Прибуток = 100 × е (0,08 × 5) = 149,1

Приголомшливо, правда? На жаль, реальні банки рідко використовують складні відсотки, А якщо і розраховують капіталізацію, то за своїми формулами, які дещо відрізняються від класичної експоненти.

Період напіврозпаду

Уявіть, що ви маєте 5 кг радіоактивного урану, який розпадається зі швидкістю 100% на рік. Скільки урану у вас залишиться за 2 роки? За ідеєю весь уран повинен розпастися за перший же рік, проте це не так. Через 6 місяців у вас залишиться лише 2,5 кг урану, який, у свою чергу, почне розпадатися зі швидкістю всього 2,5 кг на рік. Ще через пару місяців у вашому сховищі залишиться 1 кг урану, але і він розпадатиметься з ще меншою швидкістюна рівні 1 кг на рік. З часом ви втрачаєте радіоактивне паливо, при цьому знижується і швидкість розпаду. Таким чином, через 2 роки у вас залишиться:

Радіоактивний залишок = 5 × e −2 = 0,676

Висновок

Експонента знаходить широке застосування у ситуаціях, де щось безперервно чи дискретно зростає. Ви можете використовувати калькулятор зведення числа e у ступінь для підрахунку результатів зростання будь-яких безперервних процесів.

Обчислювати значення математичних функцій. Ведіть, експоненту якого необхідно порахувати. Потім просто натисніть кнопку експоненти. На більшості калькуляторів вона виглядає як «ехр» або «е» з маленьким «іксом», розташованим трохи вище та правіше за «е». На індикаторі калькулятора одразу з'явиться результат (натискати на кнопку «=» не потрібно).

Для підрахунку експонентів на комп'ютері скористайтеся стандартним калькулятором Windows. Для цього запустіть програму «калькулятор» (натисніть кнопку «Пуск», потім «Виконати», наберіть у вікні «calc», що з'явилося, і натисніть «Ок»). Якщо на клавіатурі віртуального калькулятора немає клавіш для обчислення математичних функцій, переключіть в інженерний режим (виберіть пункт меню «Вид», а потім вкажіть на «Інженерний»).

Тепер наберіть число, експоненту якого потрібно порахувати. Потім поставте галку в віконці Inv і натисніть на кнопку обчислення ln. Зверніть увагу, що після обчислення у віконці «Inv» автоматично скидається, і її необхідно виставляти знову. Не використовуйте для обчислення експоненти кнопкою з написом "ехр"! У калькуляторі Windows ця кнопка використовується для інших цілей.

Існує три види інженерних ів: зі зворотним польським, арифметичним та формульним записом. Бувають і такі калькулятори, що підтримують перемикання методів введення виразів. Використання кожного має свої особливості.

Інструкція

Визначте, який метод введення підтримує . Якщо на ньому немає клавіші зі знаком рівності, але є клавіша зі стрілкою, спрямованою вгору, перед вами - машинка зі зворотним польським записом. Наявність клавіші зі знаком рівності свідчить, що у приладі використовується метод введення. Нарешті, якщо індикатор калькулятора, крім сегментних знайомств, має ще й матричні, то апарат розрахований на формульний запис. У останньому випадкузамість знака рівності на відповідній клавіші може бути нанесено "EXE" або "Enter".

Щоб зробити розрахунок на калькуляторзі зворотним польським записом, необхідно спочатку визначити черговість виконання дій. Робиться це за загальноприйнятими математичними правилами. Дії з двома операндами виконуйте в такий спосіб. Введіть перший операнд. Натисніть кнопку зі стрілкою вгору, щоб на один регістр стека вгору. Введіть другий операнд, і лише після цього натисніть клавішу математичної дії. На індикаторі з'явиться результат обчислення.Для виконання дії з одним операндом просто введіть його, а потім натисніть на відповідну кнопку.

На калькуляторі з арифметичним записом дії з двома операндами виконуйте так само, як на звичайному калькуляторі. Дії ж з одним операндом виконуйте так само, як на машинці зі зворотним польським записом. Якщо на клавіатурі присутні клавіші з дужками, необхідність визначення черговості обчислень відсутня. Слід, однак, не допускати перевищення рівня вкладеності дужок, вказаних в інструкції. За відсутності інструкції визначити цей можна досвідченим шляхом, натиснувши клавішу з дужкою, що відкриває кілька разів і відзначивши, після якого за рахунком натискання виникло про помилку.

У калькулятор з формульним записом вираз вводять так само, як записується на папері. Якщо поле введення однорядкове, формули, що містять дроби, перетворюють на «одноповерхові» за допомогою дужок та знака поділу. При необхідності, введений вираз можна відкоригувати, використовуючи клавіші з горизонтальними стрілками, а також кнопками "Insert", "Backspace" і "Delete" (на різних калькуляторах їх можуть відрізнятися). Потім натискають клавішу "EXE" або "Enter" та результат. Якщо цей результат потрібно помістити у таку формулу, користуються кнопкою "ANS".

У багатьох калькуляторах деякі з кнопок здатні виконувати більше однієї функції. Просте натискання кнопки відповідає виконанню тієї операції, якою вказано прямо на ній. Інші операції позначені поруч із кнопкою тим чи іншим кольором. Щоб змусити калькулятор виконати таку функцію, слід спочатку натиснути реєстрову клавішу, що має той самий колір (вона може називатися "F", "2ndF", "S"), а потім кнопку, поруч з якою вказана потрібна вам операція.

Відео на тему

Із загального ряду логарифмівдва виділені особливо - це логарифм на підставі 10 (десятковий) та на підставі, рівному числу"e" - константі, яку називають "числом Ейлера". Ця константа є числом ірраціональним, тобто не має точного значення, а є нескінченний дріб. Логарифм з такою основою називається натуральним і має набагато більше застосування в інтегральному та диференціальному обчисленні, ніж десятковий логарифм.

Інструкція

Використовуйте калькулятори як найбільш швидкий спосібобчислення натуральних

Функція Exp у Паскалі (та багатьох інших мовах програмування) обчислює експоненту. Синтаксис:

function Exp(X: ValReal): ValReal;

Функція Exp X обчислює та повертає експоненту числа X.

Обчислення експоненти - це обчислення числа е у ступені X. Тобто

Подробиці див. у відео та читайте у статті далі.

Зворотна функція Ln

Якщо ви пам'ятаєте, то ви також пам'ятаєте, що вона обчислює натуральний логарифм.

Так ось, зворотною функцією Exp є функція Ln. Іншими словами, зворотна функціяЕкспонентні функції (експоненти) - це натуральний логарифм. Тобто:

Log e(Y) = Ln(Y) = X

e X = Y = Exp (X)

e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y

Є ще ось така корисна формула:

x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))

З цього випливає, що використовуючи функції Ln та Exp, ми можемо звести будь-яке число до будь-якого ступеня. Зробити це можна, наприклад, так:

P: = Exp (Y * Ln (X))

Якщо описати це математичною мовою, то наведене вище вираз буде еквівалентно наступному запису:

Щоправда, слід сказати, що тут є нюанси. Є окремі випадки, коли наведене вище вираз видасть неправильний результат. Наприклад, коли Y чи X негативні числа, або коли вони дорівнюють нулю. Такі ситуації треба опрацьовувати додатково. Однак ця стаття не про зведення в ступінь, тому ми розглядатимемо ці окремі випадки в іншій статті.

Приклад вихідного коду, де використовується функція Exp:

program funcexp; uses Math; var x, y: single; begin y:= Exp(2); //y = Exp(2) = 7,39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); x:= Exp(3 * Ln(2)); //x = 2 у ступені 3 WriteLn("2 ^ 3 = ", x: 0:4); ReadLn; end.