Khi nghiên cứu phương trình đường thẳng trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều chúng tôi dựa vào đại số vectơ. trong đó Ý nghĩa đặc biệt có một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến. Trong bài này chúng ta sẽ xem xét kỹ hơn về vectơ đường pháp tuyến. Hãy bắt đầu với định nghĩa Vector bình thường trực tiếp, chúng tôi đưa ra ví dụ và minh họa đồ họa. Tiếp theo, chúng ta chuyển sang tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của một đường thẳng bằng cách sử dụng các phương trình đã biết của đường thẳng và chúng ta sẽ chỉ ra giải pháp chi tiết nhiệm vụ.

Điều hướng trang.

Vector đường chuẩn - định nghĩa, ví dụ, minh họa.

Để hiểu được tài liệu, bạn cần phải hiểu rõ về đường thẳng, mặt phẳng, đồng thời biết các định nghĩa cơ bản liên quan đến vectơ. Vì vậy, chúng tôi khuyên bạn trước tiên nên ôn lại trí nhớ các nội dung trong bài: đường thẳng trên mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, ý tưởng về mặt phẳng và.

Hãy đưa ra định nghĩa của vectơ đường chuẩn.

Sự định nghĩa.

Vectơ đường chuẩn là bất kỳ vectơ nào khác 0 nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng đã cho.

Từ định nghĩa của vectơ đường chuẩn tắc, rõ ràng là tồn tại tập vô hạn vectơ pháp tuyến của một đường thẳng nhất định.

Định nghĩa vectơ pháp tuyến của một đường thẳng và định nghĩa vectơ chỉ phương của một đường thẳng cho phép chúng ta kết luận rằng mọi vectơ pháp tuyến của một đường thẳng đã cho đều vuông góc với bất kỳ vectơ chỉ phương nào của đường thẳng này.

Hãy cho một ví dụ về một vectơ đường chuẩn.

Đưa Oxy lên máy bay. Một trong các tập hợp vectơ pháp tuyến của đường tọa độ Ox là vectơ tọa độ. Thật vậy, vectơ khác 0 và nằm trên đường tọa độ Oy, vuông góc với trục Ox. Tập hợp tất cả các vectơ pháp tuyến của đường tọa độ Ox trong hệ tọa độ chữ nhật Oxy có thể được xác định là .

Trong hệ tọa độ chữ nhật Oxyz trong không gian ba chiều, vectơ pháp tuyến của đường thẳng Oz là vectơ . Vectơ tọa độ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Oz. Rõ ràng, mọi vectơ khác 0 nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào vuông góc với trục Oz sẽ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Oz.

Tọa độ của vectơ pháp tuyến của một đường thẳng - tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của một đường thẳng bằng cách sử dụng các phương trình đã biết của đường thẳng này.

Nếu chúng ta xem xét một đường thẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật Oxy, thì nó sẽ tương ứng với phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng nào đó và các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ được xác định bởi tọa độ của chúng (xem bài viết). Điều này đặt ra câu hỏi: “làm thế nào để tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của một đường thẳng khi biết phương trình của đường thẳng này”?

Chúng ta hãy tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt ra cho các đường thẳng được xác định trên mặt phẳng bằng các phương trình có nhiều loại khác nhau.

Nếu một đường thẳng trên mặt phẳng được xác định bằng phương trình đường thẳng tổng quát có dạng thì các hệ số A và B biểu thị tọa độ tương ứng của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Ví dụ.

Tìm tọa độ của một số vectơ đường pháp tuyến .

Giải pháp.

Vì đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát nên chúng ta có thể viết ngay tọa độ của vectơ pháp tuyến của nó - chúng là các hệ số tương ứng đứng trước các biến x và y. Nghĩa là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng có tọa độ .

Trả lời:

Một trong các số A hoặc B trong phương trình tổng quát của một đường thẳng có thể bằng 0. Điều này không nên làm phiền bạn. Hãy xem một ví dụ.

Ví dụ.

Chỉ định bất kỳ vector đường bình thường.

Giải pháp.

Chúng ta được cho một phương trình tổng quát không đầy đủ của một đường thẳng. Nó có thể được viết lại dưới dạng , từ đó hiển thị ngay tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này: .

Trả lời:

Phương trình của một đường thẳng có dạng các đoạn hoặc phương trình của đường thẳng có hệ số góc có thể dễ dàng rút gọn thành phương trình tổng quátđường thẳng, từ đó tìm thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Ví dụ.

Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Giải pháp.

Rất dễ dàng để chuyển từ phương trình đường thẳng theo đoạn sang phương trình tổng quát của đường thẳng: . Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng này có tọa độ .

Trả lời:

Nếu một đường thẳng được xác định bằng phương trình chính tắc của một đường thẳng trên mặt phẳng có dạng hoặc phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng có dạng , thì tọa độ của vectơ pháp tuyến sẽ khó thu được hơn một chút. Từ các phương trình này người ta có thể thấy ngay tọa độ vectơ chỉ hướng của đường thẳng - . Và cho phép bạn tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Bạn cũng có thể thu được tọa độ của vectơ pháp tuyến của một đường thẳng bằng cách rút gọn phương trình chính tắc của đường thẳng hoặc phương trình tham số của đường thẳng thành một phương trình tổng quát. Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các phép biến đổi sau:

Tùy bạn quyết định phương pháp nào bạn thích.

Hãy chỉ ra giải pháp cho các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm một số vector đường chuẩn .

Giải pháp.

Vectơ chỉ hướng là đường thẳng là vectơ . Vectơ đường chuẩn vuông góc với vectơ thì nó bằng 0: . Từ đẳng thức này, cho n x một giá trị thực khác 0 tùy ý, chúng ta tìm được n y. Cho n x = 1 thì , do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng ban đầu có tọa độ .

Giải pháp thứ hai.

Hãy chuyển từ phương trình chính tắc của đường thẳng sang phương trình tổng quát: . Bây giờ tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường này đã hiển thị.

Trả lời:

Phương trình của một mặt phẳng. Làm thế nào để viết một phương trình của mặt phẳng?
Sắp xếp lẫn nhau máy bay. Nhiệm vụ

Hình học không gian không phức tạp hơn nhiều so với hình học “phẳng” và các chuyến bay của chúng ta trong không gian bắt đầu bằng bài viết này. Để nắm vững chủ đề, bạn cần phải hiểu rõ về vectơ Ngoài ra, nên làm quen với hình học của mặt phẳng - sẽ có nhiều điểm tương đồng, nhiều điểm tương đồng nên thông tin sẽ được tiếp thu tốt hơn rất nhiều. Trong loạt bài học của tôi, thế giới 2D mở đầu bằng một bài viết Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng. Nhưng bây giờ Batman đã rời khỏi màn hình TV phẳng và phóng từ Sân bay vũ trụ Baikonur.

Hãy bắt đầu với các hình vẽ và ký hiệu. Về mặt sơ đồ, mặt phẳng có thể được vẽ dưới dạng hình bình hành, tạo ra ấn tượng về không gian:

Mặt phẳng là vô hạn, nhưng chúng ta chỉ có cơ hội khắc họa một phần của nó. Trong thực tế, ngoài hình bình hành, người ta còn vẽ một hình bầu dục hoặc thậm chí là đám mây. Vì lý do kỹ thuật, sẽ thuận tiện hơn cho tôi khi mô tả mặt phẳng theo cách này và ở vị trí chính xác như vậy. Máy bay thật mà chúng ta sẽ xem xét trong ví dụ thực tế, có thể được định vị theo bất kỳ cách nào - hãy nhẩm lấy bản vẽ trong tay và xoay nó trong không gian, tạo cho mặt phẳng bất kỳ độ nghiêng, góc nào.

Chỉ định: các mặt phẳng thường được biểu thị bằng các chữ cái Hy Lạp nhỏ, rõ ràng là để không nhầm lẫn chúng với đường thẳng trên mặt phẳng Hoặc với đường thẳng trong không gian. Tôi đã quen với việc sử dụng lá thư. Trong bản vẽ nó là chữ “sigma” chứ không phải một cái lỗ nào cả. Mặc dù vậy, chiếc máy bay Holey chắc chắn khá buồn cười.

Trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng các chữ cái Hy Lạp tương tự với các chỉ số dưới thấp hơn để chỉ định các mặt phẳng, ví dụ: .

Rõ ràng mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba nhiều điểm khác nhau, không nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, các ký hiệu ba chữ cái của các mặt phẳng khá phổ biến - chẳng hạn như theo các điểm thuộc về chúng, v.v. Thông thường các chữ cái được đặt trong dấu ngoặc đơn: , để không nhầm lẫn mặt phẳng với một hình hình học khác.

Đối với những độc giả có kinh nghiệm tôi sẽ cung cấp menu truy cập nhanh:

• Làm thế nào để tạo phương trình mặt phẳng khi sử dụng một điểm và hai vectơ?
• Làm thế nào để tạo phương trình của mặt phẳng khi sử dụng một điểm và vectơ pháp tuyến?

và chúng ta sẽ không mòn mỏi chờ đợi lâu:

Phương trình mặt phẳng tổng quát

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng , trong đó các hệ số không bằng 0 cùng một lúc.

Một số tính toán lý thuyết và các bài toán thực tế có giá trị cho cả cơ sở trực chuẩn thông thường và cho cơ sở affine chỗ trống (nếu dầu là dầu, quay lại bài Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ). Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng tất cả các sự kiện xảy ra trên cơ sở trực giao và hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes.

Bây giờ chúng ta hãy luyện tập một chút trí tưởng tượng không gian. Nếu cái của bạn tệ cũng không sao, bây giờ chúng ta sẽ phát triển nó một chút. Ngay cả việc chơi đùa cũng cần phải luyện tập.

Chớm ban đầu trường hợp chung, khi các số khác 0 thì mặt phẳng cắt cả ba trục tọa độ. Ví dụ như thế này:

Tôi nhắc lại một lần nữa rằng chiếc máy bay tiếp tục vô tận theo mọi hướng và chúng ta chỉ có cơ hội khắc họa một phần của nó.

Hãy xem xét các phương trình đơn giản nhất của mặt phẳng:

Lam cach nao để hiểu được phương trình đã cho? Hãy suy nghĩ về điều này: “Z” LUÔN bằng 0 đối với mọi giá trị của “X” và “Y”. Phương trình này là "bản địa" mặt phẳng tọa độ. Thật vậy, về mặt hình thức phương trình có thể được viết lại như sau: , từ đó bạn có thể thấy rõ rằng chúng tôi không quan tâm đến giá trị “x” và “y” nhận, điều quan trọng là “z” bằng 0.

Tương tự:
– phương trình mặt phẳng tọa độ;
- phương trình mặt phẳng tọa độ.

Hãy phức tạp hóa vấn đề một chút, hãy xem xét một mặt phẳng (ở đây và trong đoạn này, chúng tôi giả định rằng các hệ số số không bằng 0). Viết lại phương trình dưới dạng: . Chúng ta nên hiểu nó như thế nào? “X” LUÔN LUÔN, với mọi giá trị của “y” và “z”, bằng một số nhất định. Mặt phẳng này song song với mặt phẳng tọa độ. Ví dụ, một mặt phẳng song song với một mặt phẳng và đi qua một điểm.

Tương tự:
- phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ;
- Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ.

Hãy thêm thành viên: . Phương trình có thể được viết lại như sau: , nghĩa là “zet” có thể là bất cứ thứ gì. Nó có nghĩa là gì? “X” và “Y” được nối với nhau bằng mối quan hệ vẽ một đường thẳng nhất định trong mặt phẳng (bạn sẽ tìm ra phương trình đường thẳng trong mặt phẳng?). Vì “z” có thể là bất cứ thứ gì nên đường thẳng này được “sao chép” ở bất kỳ độ cao nào. Do đó phương trình xác định một mặt phẳng song song với trục tọa độ

Tương tự:
- phương trình mặt phẳng song song với trục tọa độ;
- Phương trình mặt phẳng song song với trục tọa độ.

Nếu các số hạng tự do bằng 0 thì các mặt phẳng sẽ trực tiếp đi qua các trục tương ứng. Ví dụ: “tỷ lệ thuận trực tiếp” cổ điển: . Vẽ một đường thẳng trong mặt phẳng và nhẩm nhân nó lên xuống (vì “Z” là bất kỳ). Kết luận: mặt phẳng cho bởi phương trình, đi qua trục tọa độ.

Chúng tôi hoàn thành việc xem xét: phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Vâng, ở đây khá rõ ràng là điểm thỏa mãn phương trình này.

Và cuối cùng, trường hợp trong hình vẽ: – mặt phẳng thân thiện với tất cả các trục tọa độ, trong khi nó luôn “cắt đứt” một hình tam giác, tam giác này có thể nằm ở bất kỳ góc nào trong tám quãng tám.

Bất đẳng thức tuyến tính trong không gian

Để hiểu rõ thông tin bạn cần học tốt bất đẳng thức tuyến tính trong mặt phẳng, bởi vì nhiều thứ sẽ giống nhau. Đoạn văn này sẽ có tính chất tổng quan ngắn gọn với một số ví dụ, vì tài liệu này khá hiếm trong thực tế.

Nếu phương trình xác định một mặt phẳng thì các bất đẳng thức
hỏi nửa khoảng trống. Nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt (hai bất đẳng thức cuối cùng trong danh sách), thì nghiệm của bất đẳng thức, ngoài nửa không gian, còn bao gồm chính mặt phẳng.

Ví dụ 5

Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng .

Giải pháp: Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1. Hãy biểu thị vectơ đã cho bởi vì . Rõ ràng là các vectơ thẳng hàng:

Đầu tiên, chúng ta loại bỏ vectơ pháp tuyến khỏi phương trình của mặt phẳng: .

Làm thế nào để tìm một vector đơn vị? Để tìm vectơ đơn vị, bạn cần mọi chia tọa độ vectơ cho chiều dài vectơ.

Hãy viết lại vectơ pháp tuyến dưới dạng và tìm độ dài của nó:

Theo như trên:

Trả lời:

Xác minh: những gì cần phải được xác minh.

Bạn đọc đọc kỹ đoạn cuối của bài học có thể nhận thấy rằng tọa độ của vectơ đơn vị chính xác là cosin chỉ phương của vectơ:

Chúng ta hãy tạm dừng vấn đề hiện tại: khi bạn được cho một vectơ khác 0 tùy ý, và tùy theo điều kiện cần tìm cosin hướng của nó (xem các bài toán cuối bài Tích vô hướng của vectơ), thì trên thực tế, bạn sẽ tìm thấy một vectơ đơn vị thẳng hàng với vectơ này. Trên thực tế hai nhiệm vụ trong một chai.

Nhu cầu tìm vectơ pháp tuyến đơn vị nảy sinh trong một số bài toán giải tích.

Chúng ta đã tìm ra cách tìm ra một vectơ pháp tuyến, bây giờ hãy trả lời câu hỏi ngược lại:

Làm thế nào để tạo phương trình của mặt phẳng khi sử dụng một điểm và vectơ pháp tuyến?

Cấu trúc cứng nhắc của một vectơ pháp tuyến và một điểm đã được biết rõ đối với bảng phóng phi tiêu. Hãy đưa tay về phía trước và lựa chọn trong tâm trí điểm tùy ý không gian, ví dụ như một con mèo nhỏ trong tủ búp phê. Rõ ràng, qua điểm này bạn có thể vẽ một mặt phẳng vuông góc với bàn tay của mình.

Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm vuông góc với vectơ được biểu diễn bằng công thức:

Để nghiên cứu phương trình đường thẳng, bạn cần phải hiểu rõ về đại số vectơ. Điều quan trọng là tìm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Bài viết này sẽ xem xét vectơ pháp tuyến của một đường thẳng bằng các ví dụ và hình vẽ, tìm tọa độ của nó nếu biết phương trình của đường thẳng. Một giải pháp chi tiết sẽ được thảo luận.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Để làm cho tài liệu dễ hiểu hơn, bạn cần hiểu các khái niệm về đường thẳng, mặt phẳng và các định nghĩa liên quan đến vectơ. Đầu tiên chúng ta làm quen với khái niệm vectơ đường thẳng.

Định nghĩa 1

Vectơ đường chuẩn là bất kỳ vectơ nào khác 0 nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng đã cho.

Rõ ràng là có vô số vectơ pháp tuyến nằm trên một đường thẳng cho trước. Chúng ta hãy nhìn vào hình dưới đây.

Ta thấy đường thẳng này vuông góc với một trong hai đường thẳng song song cho trước thì độ vuông góc của nó kéo dài đến đường thẳng song song thứ hai. Từ đó chúng ta thu được rằng các tập hợp vectơ pháp tuyến của các đường thẳng song song này trùng nhau. Khi đường thẳng a và a 1 song song và n → được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a, cũng được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a 1. Khi đường thẳng a có vectơ trực tiếp thì vectơ t · n → khác 0 đối với bất kỳ giá trị nào của tham số t và cũng chuẩn tắc đối với đường thẳng a.

Sử dụng định nghĩa của vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương, chúng ta có thể kết luận rằng vectơ pháp tuyến vuông góc với phương. Hãy xem một ví dụ.

Nếu cho mặt phẳng O x y thì tập vectơ của O x là vectơ tọa độ j → . Nó được coi là khác 0 và thuộc trục tọa độ O y, vuông góc với O x. Toàn bộ tập hợp các vectơ pháp tuyến đối với O x có thể được viết dưới dạng t · j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Hệ chữ nhật O x y z có vectơ pháp tuyến i → liên hệ với đường thẳng O z. Vectơ j → cũng được coi là chuẩn tắc. Điều này cho thấy rằng mọi vectơ khác 0 nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào và vuông góc với O z đều được coi là bình thường đối với O z.

Tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng - tìm tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng bằng cách sử dụng các phương trình đã biết của đường thẳng

Khi xét hệ tọa độ chữ nhật O x y, ta thấy phương trình đường thẳng trên mặt phẳng tương ứng với nó và việc xác định vectơ pháp tuyến được thực hiện từ tọa độ. Nếu biết phương trình đường thẳng và cần tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến thì cần xác định các hệ số từ phương trình A x + B y + C = 0 tương ứng với tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho.

ví dụ 1

Cho đường thẳng có dạng 2 x + 7 y - 4 = 0 _, tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến.

Giải pháp

Theo điều kiện, ta có đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát, nghĩa là cần viết các hệ số là tọa độ của vectơ pháp tuyến. Điều này có nghĩa là tọa độ của vectơ có giá trị 2, 7.

Trả lời: 2 , 7 .

Đôi khi A hoặc B trong một phương trình bằng 0. Hãy xem giải pháp cho một nhiệm vụ như vậy bằng một ví dụ.

Ví dụ 2

Xác định vectơ pháp tuyến cho đường thẳng đã cho y - 3 = 0.

Giải pháp

Theo điều kiện, chúng ta có một phương trình tổng quát của đường thẳng, nên hãy viết nó như sau: 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Bây giờ chúng ta thấy rõ các hệ số là tọa độ của vectơ pháp tuyến. Điều này có nghĩa là chúng ta tìm thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến là 0, 1.

Trả lời: 0, 1.

Nếu cho phương trình có dạng x a + y b = 1 hoặc phương trình có dốc y = k · x + b thì cần phải rút gọn về phương trình tổng quát của đường thẳng, tại đó bạn có thể tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Ví dụ 3

Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu cho phương trình đường thẳng x 1 3 - y = 1.

Giải pháp

Trước tiên, bạn cần chuyển từ phương trình trong các đoạn x 1 3 - y = 1 sang phương trình tổng quát. Khi đó chúng ta nhận được x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Điều này chứng tỏ tọa độ của vectơ pháp tuyến có giá trị 3, - 1.

Trả lời: 3 , - 1 .

Nếu đường thẳng được xác định bằng phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng x - x 1 a x = y - y 1 a y hoặc tham số x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ thì thu được tọa độ trở thành phức tạp hơn. Từ các phương trình này, rõ ràng tọa độ của vectơ chỉ phương sẽ là a → = (a x , a y) . Khả năng tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến n → là có thể do điều kiện vuông góc của vectơ n → và a →.

Có thể thu được tọa độ của một vectơ pháp tuyến bằng cách giảm vectơ chuẩn hoặc phương trình tham số trực tiếp tới tổng thể. Sau đó chúng tôi nhận được:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

Để giải quyết vấn đề này, bạn có thể chọn bất kỳ phương pháp thuận tiện nào.

Ví dụ 4

Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Giải pháp

Từ đường thẳng x - 2 7 = y + 3 - 2 rõ ràng vectơ phương hướng sẽ có tọa độ a → = (7 , - 2) . Vectơ pháp tuyến n → = (n x , n y) của một đường thẳng đã cho vuông góc với a → = (7 , - 2) .

Chúng ta hãy tìm hiểu tích vô hướng bằng bao nhiêu. Để tìm sản phẩm chấm vectơ a → = (7 , - 2) và n → = (n x , n y) ta viết a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Giá trị của n x là tùy ý; Nếu n x = 1, từ đây chúng ta nhận được 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Điều này có nghĩa là vectơ pháp tuyến có tọa độ 1, 7 2.

Giải pháp thứ hai bắt nguồn từ thực tế là cần phải đạt được Nhìn tổng thể phương trình từ phương trình chính tắc. Để làm điều này, chúng tôi biến đổi

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Kết quả tọa độ của vectơ pháp tuyến là 2, 7.

Đáp án: 2, 7 hoặc 1 , 7 2 .

Ví dụ 5

Cho biết tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Giải pháp

Đầu tiên, bạn cần thực hiện một phép biến đổi để chuyển sang dạng tổng quát của đường thẳng. Chúng ta hãy làm:

x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Từ đó ta thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến bằng -3, 0.

Trả lời: - 3 , 0 .

Hãy xem xét các phương pháp tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến cho phương trình đường thẳng trong không gian đã cho hệ thống hình chữ nhật tọa độ O x y z.

Khi một đường thẳng được cho bởi các phương trình mặt phẳng giao nhau A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng gọi A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 thì ta được các vectơ viết dưới dạng n 1 → = (A 1, B 1, C 1) và n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Khi một đường thẳng được xác định bằng phương trình không gian chính tắc, có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z hoặc phương trình tham số, có dạng x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, do đó a x, a y và a z được coi là tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng cho trước. Bất kỳ vectơ nào khác 0 đều có thể bình thường đối với một đường thẳng cho trước và vuông góc với vectơ a → = (a x , a y , a z) . Theo đó, việc tìm tọa độ của pháp tuyến với tham số và phương trình chính tắcđược tạo ra bằng cách sử dụng tọa độ của vectơ vuông góc với vectơ đã cho a → = (a x , a y , a z) .

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Trong trường hợp tổng quát nhất, pháp tuyến của một bề mặt biểu thị độ cong cục bộ của nó và do đó hướng phản xạ gương (Hình 3.5). Liên quan đến kiến ​​thức của chúng ta, chúng ta có thể nói rằng pháp tuyến là vectơ xác định hướng của khuôn mặt (Hình 3.6).

Cơm. 3.5 Hình. 3.6

Nhiều thuật toán loại bỏ đường ẩn và bề mặt chỉ sử dụng các cạnh và đỉnh, vì vậy để kết hợp chúng với mô hình chiếu sáng, bạn cần biết giá trị gần đúng của pháp tuyến tại các cạnh và đỉnh. Cho phương trình các mặt phẳng của các mặt đa giác, khi đó pháp tuyến của các đỉnh chung của chúng bằng giá trị trung bình của các pháp tuyến của tất cả các đa giác hội tụ về đỉnh này. Ví dụ, trong hình. 3.7 Hướng của pháp tuyến gần đúng tại một điểm V. 1 Có:

N v1 = (một 0 + một 1 + một 4 ) tôi + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

Ở đâu Một 0 ,Một 1 ,Một 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - hệ số của phương trình mặt phẳng của ba đa giác P 0 , P 1 , P 4 , những người xung quanh V. 1 . Lưu ý rằng nếu bạn chỉ cần tìm hướng pháp tuyến thì việc chia kết quả cho số mặt là không cần thiết.

Nếu phương trình của các mặt phẳng không được cho trước thì pháp tuyến của đỉnh có thể được xác định bằng cách lấy trung bình các tích vectơ của tất cả các cạnh giao nhau tại đỉnh. Một lần nữa, nhìn vào đỉnh V 1 trong hình. 3.7, ta tìm được hướng của pháp tuyến gần đúng:

N v1 = V 1 V. 2 V. 1 V. 4 +V 1 V. 5 V. 1 V. 2 + V 1 V. 4  V. 1 V. 5 (3.16)

Cơm. 3.7 - Xấp xỉ mặt pháp tuyến với mặt đa giác

Xin lưu ý rằng chỉ cần các quy tắc bên ngoài. Ngoài ra, nếu vectơ kết quả không được chuẩn hóa, thì giá trị của nó phụ thuộc vào số lượng và diện tích của các đa giác cụ thể, cũng như số lượng và độ dài của các cạnh cụ thể. Ảnh hưởng của đa giác với diện tích lớn hơn và xương sườn dài hơn.

Khi pháp tuyến bề mặt được sử dụng để xác định cường độ và phép biến đổi phối cảnh được thực hiện trên một đối tượng hoặc hình ảnh cảnh, pháp tuyến đó phải được tính toán trước khi phân chia phối cảnh. Nếu không, hướng bình thường sẽ bị biến dạng và điều này sẽ khiến cường độ do mô hình chiếu sáng chỉ định được xác định không chính xác.

Nếu mô tả phân tích của mặt phẳng (bề mặt) được biết thì bình thường sẽ được tính trực tiếp. Biết phương trình mặt phẳng của mỗi mặt của khối đa diện, bạn có thể tìm ra hướng của pháp tuyến bên ngoài.

Nếu phương trình của mặt phẳng là:

thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này được viết như sau:

, (3.18)

Ở đâu
- vectơ đơn vị trục XYZ tương ứng.

Kích cỡ dđược tính bằng cách sử dụng một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng, ví dụ: đối với điểm (
)

Ví dụ. Xét một đa giác phẳng 4 cạnh được mô tả bởi 4 đỉnh V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) và V4(1,1,1) (xem . Hình . 3.7).

Phương trình của mặt phẳng là:

x + y + z - 1 = 0.

Chúng ta hãy lấy bình thường của mặt phẳng này bằng cách sử dụng tích vectơ của một cặp vectơ là các cạnh liền kề với một trong các đỉnh, ví dụ: V1:

Nhiều thuật toán loại bỏ đường ẩn và bề mặt chỉ sử dụng các cạnh hoặc đỉnh, vì vậy để kết hợp chúng với mô hình chiếu sáng, cần phải biết giá trị gần đúng của pháp tuyến tại các cạnh và đỉnh.

Cho phương trình các mặt phẳng của các mặt của một khối đa diện, khi đó pháp tuyến của các đỉnh chung của chúng bằng giá trị trung bình của các pháp tuyến của tất cả các mặt hội tụ tại đỉnh này.