Vectơ nào trong các vectơ đã cho vuông góc với nhau. Tích vô hướng của vectơ

Chỉ dẫn

Nếu vectơ ban đầu được hiển thị trong bản vẽ trong hệ tọa độ hai chiều hình chữ nhật và vuông góc cần được xây dựng ở cùng một vị trí, hãy tiến hành từ định nghĩa về độ vuông góc của vectơ trên một mặt phẳng. Nó nói rằng góc giữa một cặp phân đoạn có hướng như vậy phải bằng 90°. Có thể xây dựng vô số vectơ như vậy. Vì vậy, vẽ trong bất kỳ vị trí thuận tiện mặt phẳng vuông góc với vectơ ban đầu, dành một đoạn trên nó, bằng chiều dài cặp điểm đã cho theo thứ tự và gán một trong các điểm cuối của nó làm điểm bắt đầu vectơ vuông góc. Làm điều này với thước đo góc và thước kẻ.

Nếu vectơ ban đầu được cho bởi tọa độ hai chiều ā = (X₁;Y₁), xuất phát từ thực tế là tích vô hướng của một cặp vectơ vuông góc phải bằng không. Điều này có nghĩa là bạn cần chọn cho vectơ ō = (X₂,Y₂) mong muốn sao cho tọa độ tại đó đẳng thức (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Điều này có thể được thực hiện như sau: chọn bất kỳ giá trị khác không nào cho tọa độ X₂ và tính toán tọa độ Y₂ bằng cách sử dụng công thức Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Ví dụ, đối với một vectơ ā = (15;5) sẽ có một vectơ ō, với một trục hoành, bằng một, và tung độ bằng -(15*1)/5 = -3, tức là o = (1;-3).

Đối với một hệ tọa độ ba chiều và bất kỳ hệ tọa độ trực giao nào khác, điều kiện cần và đủ đối với tính vuông góc của các vectơ là đúng - tích vô hướng của chúng phải bằng không. Do đó, nếu đoạn có hướng ban đầu được cho bởi tọa độ ā = (X₁,Y₁,Z₁), đối với cặp điểm theo thứ tự ō = (X₂,Y₂,Z₂) vuông góc với nó, chọn tọa độ sao cho thỏa mãn điều kiện (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cách dễ nhất là gán các giá trị đơn lẻ cho X₂ và Y₂, đồng thời tính Z₂ từ phương trình đơn giản hóa Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Ví dụ: đối với vectơ ā = (3,5,4), giá trị này sẽ có dạng sau: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Sau đó, lấy hoành độ và tung độ của vectơ vuông góc là đơn vị và trong trường hợp này sẽ bằng -(3+5)/4 = -2.

Nguồn:

• tìm vectơ nếu nó vuông góc

Vuông góc được gọi là véc tơ, góc giữa nó là 90º. Các vectơ vuông góc được xây dựng bằng các công cụ vẽ. Nếu biết tọa độ của chúng, thì bạn có thể kiểm tra hoặc tìm độ vuông góc của các vectơ Phương pháp phân tích.

Bạn sẽ cần

• - thước đo góc;
• - la bàn;
• - cái thước kẻ.

Chỉ dẫn

Dựng véc tơ vuông góc với véc tơ đã cho. Để làm điều này, tại điểm bắt đầu của vectơ, khôi phục vuông góc với nó. Điều này có thể được thực hiện với một thước đo góc, đặt một góc 90º. Nếu không có thước đo góc, hãy làm nó bằng la bàn.

Đặt nó vào điểm bắt đầu của vectơ. Vẽ đường tròn có bán kính tùy ý. Sau đó, xây dựng hai trung tâm tại các điểm mà đường tròn đầu tiên cắt đường thẳng mà vectơ nằm trên đó. Bán kính của các đường tròn này phải bằng nhau và lớn hơn bán kính của đường tròn được tạo đầu tiên. Tại các giao điểm của các đường tròn, dựng một đường thẳng vuông góc với vectơ ban đầu tại điểm bắt đầu của nó và đặt trên đó một vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Bài viết này trình bày ý nghĩa của sự vuông góc của hai vectơ trên một mặt phẳng trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của vectơ vuông góc với một hoặc cả cặp vectơ. Chuyên đề có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

Chúng ta sẽ xem xét điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc, quyết định phương pháp tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho và tìm hiểu các tình huống tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc

Hãy áp dụng quy tắc về vectơ vuông góc trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều.

định nghĩa 1

Cho giá trị của góc giữa hai vectơ khác 0 bằng 90° (π 2 radian) được gọi là vuông góc.

Điều này có nghĩa là gì, và trong những tình huống nào thì cần phải biết về tính vuông góc của chúng?

Việc thiết lập độ vuông góc có thể thông qua bản vẽ. Khi vẽ một vectơ trên một mặt phẳng từ các điểm đã cho, bạn có thể đo góc giữa chúng theo phương pháp hình học. Tính vuông góc của các vectơ, nếu nó được thiết lập, cũng không hoàn toàn chính xác. Thông thường, những nhiệm vụ này không cho phép bạn thực hiện việc này bằng thước đo góc, do đó phương pháp này chỉ áp dụng khi không có gì khác được biết về các vectơ.

Hầu hết các trường hợp chứng minh sự vuông góc của hai vectơ khác 0 trên một mặt phẳng hoặc trong không gian được thực hiện bằng điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc.

Định lý 1

tích vô hướng hai vectơ khác không a → và b → bằng 0 để thỏa mãn đẳng thức a → , b → = 0 là đủ để chúng vuông góc với nhau.

Bằng chứng 1

Để các vectơ a → và b → đã cho vuông góc với nhau thì ta sẽ chứng minh đẳng thức a ⇀ , b → = 0 .

Từ định nghĩa của tích vô hướng của vectơ chúng ta biết rằng nó bằng tích độ dài của các vectơ đã cho và cosin của góc giữa chúng. Theo điều kiện, a → và b → vuông góc, và do đó, dựa trên định nghĩa, góc giữa chúng là 90 °. Khi đó ta có a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90° = 0 .

Phần thứ hai của bằng chứng

Với điều kiện khi a ⇀ , b → = 0 chứng minh tính vuông góc của a → và b → .

Trên thực tế, bằng chứng ngược lại với cái trước. Biết a → và b → khác không nên từ đẳng thức a ⇀ , b → = a → b → cos(a → , b →) ^ ta tìm được cosin. Sau đó, chúng ta nhận được cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Vì cosin bằng 0, nên chúng ta có thể kết luận rằng góc a → , b → ^ của các vectơ a → và b → là 90 ° . Theo định nghĩa, đây là thuộc tính cần và đủ.

Điều kiện vuông góc trên mặt phẳng tọa độ

chương chấm sản phẩm trong tọa độ chứng minh bất đẳng thức (a → , b →) = a x b x + a y b y , có giá trị đối với các vectơ có tọa độ a → = (a x , a y) và b → = (b x , b y) , trên mặt phẳng và (a → , b → ) = a x b x + a y b y đối với các vectơ a → = (a x , a y , a z) và b → = (b x , b y , b z) trong không gian. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với nhau mặt phẳng tọa độ có dạng a x b x + a y b y = 0 , với không gian ba chiều a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Hãy áp dụng nó vào thực tế và xem xét các ví dụ.

ví dụ 1

Kiểm tra tính chất vuông góc của hai vectơ a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Giải pháp

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tìm tích vô hướng. Nếu theo điều kiện, nó sẽ bằng 0, thì chúng vuông góc với nhau.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Điều kiện được thỏa mãn, nghĩa là các vectơ đã cho vuông góc với nhau trong mặt phẳng.

Trả lời: vâng, các vectơ a → và b → đã cho vuông góc với nhau.

ví dụ 2

Cho các vectơ tọa độ i → , j → , k → . Kiểm tra xem các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → có vuông góc với nhau không.

Giải pháp

Để nhớ cách xác định tọa độ của một vectơ, bạn cần đọc một bài viết về tọa độ véc tơ trong hệ chữ nhật tọa độ. Như vậy, ta thu được các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → đã cho có tọa độ tương ứng là (1, - 1, 0) và (1, 2, 2). Thay thế Giá trị kiểu số và ta được: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Biểu thức khác không, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , có nghĩa là các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc vì không thỏa mãn điều kiện.

Trả lời: không, các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc.

ví dụ 3

Cho các vectơ a → = (1 , 0 , - 2) và b → = (λ , 5 , 1) . Tìm giá trị λ để các vectơ đã cho vuông góc với nhau.

Giải pháp

Ta sử dụng điều kiện về sự vuông góc của hai vectơ trong không gian hình vuông, sau đó chúng tôi nhận được

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Trả lời: các vectơ vuông góc tại giá trị λ = 2.

Có những trường hợp không thể đặt câu hỏi về tính vuông góc ngay cả trong điều kiện cần và đủ. Với dữ liệu đã biết về ba cạnh của một tam giác trên hai vectơ, có thể tìm thấy góc giữa các vectơ và kiểm tra xem nó ra.

Ví dụ 4

Cho tam giác A B C có các cạnh A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm Kiểm tra độ vuông góc của các vectơ A B → và A C →.

Giải pháp

Khi các vectơ A B → và A C → vuông góc với nhau thì tam giác A B C được coi là hình chữ nhật. Sau đó, chúng ta áp dụng định lý Pitago, trong đó BC là cạnh huyền của tam giác. Đẳng thức B C 2 = A B 2 + A C 2 phải được thỏa mãn. Suy ra 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Do đó A B và A C là hai chân của tam giác A B C nên A B → và A C → vuông góc.

Điều quan trọng là học cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Điều này có thể xảy ra cả trên mặt phẳng và trong không gian, với điều kiện là các vectơ vuông góc với nhau.

Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ cho trước trong một mặt phẳng.

Một vectơ khác không a → có thể có vô số vectơ vuông góc với nhau trong mặt phẳng. Hãy biểu diễn nó trên đường tọa độ.

Cho trước một vectơ khác 0 a → , nằm trên đường thẳng a. Khi đó b → , nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng a, trở nên vuông góc và a → . Nếu vectơ j → hoặc bất kỳ vectơ λ j → vuông góc với vectơ i → với λ bằng bất kỳ số thực ngoại trừ 0, sau đó tìm tọa độ của vectơ b → vuông góc với a → = (a x , a y) rút gọn thành vô số nghiệm. Nhưng cần tìm tọa độ của vectơ vuông góc với a → = (a x , a y) . Để làm được điều này cần viết điều kiện vuông góc của các vectơ dưới dạng a x · b x + a y · b y = 0 . Chúng ta có b x và b y , là tọa độ mong muốn của vectơ vuông góc. Khi a x ≠ 0 , giá trị của b y khác 0 và b x được tính từ bất đẳng thức a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Khi a x = 0 và a y ≠ 0, chúng ta gán cho b x bất kỳ giá trị nào khác 0 và b y được tìm thấy từ biểu thức b y = - a x · b x a y .

Ví dụ 5

Cho một vectơ có tọa độ a → = (- 2 , 2) . Tìm vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Giải pháp

Biểu thị vectơ mong muốn là b → (b x , b y) . Bạn có thể tìm tọa độ của nó từ điều kiện là các vectơ a → và b → vuông góc với nhau. Sau đó, chúng tôi nhận được: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Gán b y = 1 và thế vào: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Do đó từ công thức chúng ta có b x = - 2 - 2 = 1 2 . Do đó, vectơ b → = (1 2 , 1) là vectơ vuông góc với a → .

Trả lời: b → = (1 2 , 1) .

Nếu câu hỏi về không gian ba chiều được đặt ra, vấn đề được giải quyết theo nguyên tắc tương tự. Tại véc tơ đã cho a → = (a x , a y , a z) tồn tại bộ vô hạn các vectơ vuông góc. Sẽ sửa nó trên tọa độ mặt phẳng ba chiều. Cho a → nằm trên đường thẳng a . Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng a kí hiệu là α. Trong trường hợp này, mọi vectơ khác 0 b → từ mặt phẳng α đều vuông góc với a → .

Cần tìm tọa độ b → vuông góc với vectơ khác không a → = (a x , a y , a z) .

Đặt b → được cho với các tọa độ b x , b y và b z . Để tìm chúng, cần áp dụng định nghĩa về điều kiện vuông góc của hai vectơ. Đẳng thức a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 phải đúng. Từ điều kiện a → - khác không, có nghĩa là một trong các tọa độ có giá trị khác không. Giả sử rằng a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 hoặc a z ≠ 0). Do đó, ta có quyền chia toàn bộ bất phương trình a x b x + a y b y + a z b z = 0 cho tọa độ này, ta được biểu thức b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = − a y b y + a z b z a x . Chúng tôi gán giá trị bất kỳ cho tọa độ b y và b x , tính giá trị b x , dựa trên công thức, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vectơ vuông góc mong muốn sẽ có giá trị a → = (a x , a y , a z) .

Hãy xem bằng chứng với một ví dụ.

Ví dụ 6

Cho một vectơ có tọa độ a → = (1 , 2 , 3) ​​  . Tìm vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Giải pháp

Biểu thị vectơ mong muốn là b → = (b x , b y , b z) . Dựa vào điều kiện là các vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng phải bằng không.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Nếu giá trị b y = 1 , b z = 1 thì b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Suy ra tọa độ của vectơ b → (- 5 , 1 , 1) . Vectơ b → là một trong các vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Trả lời: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho

Bạn cần tìm tọa độ của vectơ trong không gian ba chiều. Nó vuông góc với các vectơ không thẳng hàng a → (a x , a y , a z) và b → = (b x , b y , b z) . Với điều kiện các vectơ a → và b → thẳng hàng, trong bài toán chỉ cần tìm một vectơ vuông góc với a → hoặc b → .

Khi giải sử dụng khái niệm tích vectơ của các vectơ.

Tích chéo của các vectơ a → và b → là một vectơ đồng thời vuông góc với cả a → và b → . Để giải quyết vấn đề này, tích vectơ a → × b → được sử dụng. Đối với không gian ba chiều, nó có dạng a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Hãy để chúng tôi phân tích tích vectơ chi tiết hơn bằng cách sử dụng ví dụ của bài toán.

Ví dụ 7

Các vectơ b → = (0 , 2 , 3) ​​và a → = (2 , 1 , 0) đã cho. Tìm tọa độ của bất kỳ vectơ vuông góc với dữ liệu cùng một lúc.

Giải pháp

Để giải, bạn cần tìm tích chéo của các vectơ. (Phải tham khảo đoạn phép tính định thức ma trậnđể tìm véc tơ). Chúng tôi nhận được:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Trả lời: (3 , - 6 , 4) - tọa độ của một vectơ đồng thời vuông góc với a → và b → .

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Điều kiện vuông góc của vectơ

Các vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng không.

Cho trước hai vectơ a(xa;ya) và b(xb;yb). Các vectơ này sẽ vuông góc nếu biểu thức xaxb + yayb = 0.

Các vectơ song song nếu tích chéo của chúng bằng 0

Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng. Các công việc cơ bản về đường thẳng trên mặt phẳng.

Mọi đường thẳng trên mặt phẳng đều có thể cho bởi phương trình bậc nhất Ax + Vy + C = 0, và các hằng số A, B không đồng thời bằng 0, tức là A2 + B2  0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát thẳng. Tùy thuộc vào các giá trị hằng số A, B và C có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau: - C = 0, A  0, B  0 - đường thẳng đi qua gốc tọa độ - A = 0, B  0, C  0 ( By

C \u003d 0) - đường thẳng song song với trục Ox - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - đường thẳng song song với trục Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - đường thẳng trùng với trục Oy - A \u003d C \u003d 0, B  0 - đường thẳng trùng với trục Ox Phương trình của đường thẳng có thể biểu diễn bằng nhiều mẫu khác nhau phụ thuộc vào bất kỳ điều kiện ban đầu nào.

Nếu ít nhất một trong các hệ số A, B, C ur-i Ax+By+C=0 là 0, ur-e
gọi điện chưa hoàn thiện. Qua dạng phương trình của một đường thẳng, người ta có thể phán đoán vị trí của nó trên
ôi chết tiệt. Các trường hợp có thể xảy ra:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) thỏa mãn phương trình này, có nghĩa là đường thẳng
đi qua gốc tọa độ
2 A=0 L: Wu+C=0 - v-r bình thường n=(0,B) vuông góc với trục OX từ đây
suy ra đường thẳng song song với trục x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - pháp tuyến v-r n \u003d (A, 0) từ đây vuông góc với trục OY
suy ra đường thẳng song song với trục y
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A ( 0 , B ( 0 , C ( 0 L ; - không đi qua gốc tọa độ và cắt
cả hai trục.

phương trình thẳng　trên máy bayđi qua hai điểm đã cho Và :

Góc giữa các mặt phẳng.

Tính định thức

Việc tính toán các định thức dựa trên các tính chất đã biết của chúng, áp dụng cho các định thức của tất cả các bậc. Những thuộc tính này là:

1. Nếu sắp xếp lại hai hàng (hoặc hai cột) của định thức thì định thức đổi dấu.

2. Nếu các phần tử tương ứng ở hai cột (hoặc hai hàng) của định thức bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì định thức bằng không.

3. Giá trị của định thức không thay đổi nếu đổi chỗ các hàng và các cột mà vẫn giữ nguyên thứ tự.

4. Nếu mọi phần tử của một hàng (hoặc cột) bất kỳ đều có nhân tử chung thì có thể rút nhân tử đó ra khỏi dấu định thức.

5. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu ta cộng các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột) khác với các phần tử của hàng (hoặc cột) này nhân với cùng một số.

Ma trận và hành động trên chúng

ma trận- một đối tượng toán học được viết dưới dạng một bảng số hình chữ nhật (hoặc các phần tử vòng) và cho phép thực hiện các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, v.v.) giữa nó và các đối tượng tương tự khác. Thông thường ma trận được biểu diễn bằng bảng hai chiều (hình chữ nhật). Đôi khi ma trận nhiều chiều hoặc ma trận không phải hình chữ nhật được xem xét.

Ma trận thường được ký hiệu chữ viết hoa bảng chữ cái Latinh và phân bổ với dấu ngoặc đơn "(...)" (cũng có một lựa chọn dấu ngoặc vuông"[…]" hoặc hai đường thẳng "||…||").

Các số tạo thành ma trận (các phần tử của ma trận) thường được ký hiệu bằng chữ cái giống như chính ma trận, nhưng chữ thường (ví dụ: a11 là một phần tử của ma trận A).

Mỗi phần tử của ma trận có 2 chỉ số con (aij) - chữ "i" đầu tiên biểu thị số hàng chứa phần tử và chữ "j" thứ hai là số cột. Họ nói "ma trận thứ nguyên", nghĩa là ma trận có m hàng và n cột. Luôn luôn trong cùng một ma trận

Phép toán ma trận

Cho aij là các phần tử của ma trận A và bij là các phần tử của ma trận B.

hoạt động tuyến tính:

Phép nhân ma trận A với một số λ (ký hiệu: λA) bao gồm việc xây dựng ma trận B, các phần tử của ma trận này thu được bằng cách nhân từng phần tử của ma trận A với số này, nghĩa là mỗi phần tử của ma trận B đều bằng nhau ĐẾN

Phép cộng ma trận A + B là phép toán tìm ma trận C có tất cả các phần tử bằng tổng từng cặp của tất cả các phần tử tương ứng của ma trận A và B, nghĩa là mỗi phần tử của ma trận C bằng

Phép trừ ma trận A − B được định nghĩa tương tự như phép cộng, đó là phép toán tìm ma trận C có các phần tử

Phép cộng và phép trừ chỉ được phép đối với các ma trận có cùng kích thước.

Có một ma trận không Θ sao cho phép cộng của nó vào một ma trận A khác không làm A thay đổi, tức là

Tất cả các phần tử của ma trận không đều bằng không.

Hoạt động phi tuyến tính:

Phép nhân ma trận (kí hiệu: AB, ít khi có dấu nhân) là phép tính để tính một ma trận C có các phần tử bằng tổng tích các phần tử ở hàng tương ứng của thừa số thứ nhất và cột của ma trận. thứ hai.cij = ∑ aikbkj k

Hệ số nhân đầu tiên phải có số cột bằng số hàng trong hệ số thứ hai. Nếu ma trận A có số chiều B - , thì tích của chúng có số chiều AB = C là. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Phép nhân ma trận là kết hợp. Chỉ ma trận vuông mới có thể nâng lên lũy thừa.

Chuyển vị ma trận (ký hiệu: AT) là phép toán trong đó ma trận được phản ánh dọc theo đường chéo chính, tức là

Nếu A là ma trận kích thước thì AT là ma trận kích thước

Phát sinh chức năng phức tạp

Hàm phức có dạng: F(x) = f(g(x)), tức là là một chức năng của một chức năng. Ví dụ: y = sin2x, y = ln(x2+2x), v.v.

Nếu tại điểm x hàm g(x) có đạo hàm g "(x) và tại điểm u \u003d g(x) hàm f(u) có đạo hàm f"(u) thì đạo hàm của tồn tại hàm phức f (g (x)) tại điểm x và bằng f"(u)g"(x).

Phát sinh hàm ẩn

Trong nhiều bài toán, hàm y(x) được xác định theo cách gián tiếp. Ví dụ, đối với các chức năng dưới đây

không thể có được sự phụ thuộc y(x) một cách rõ ràng.

Thuật toán tính đạo hàm y"(x) của một hàm ẩn như sau:

Đầu tiên, bạn cần lấy đạo hàm cả hai vế của phương trình theo x, giả sử rằng y là một hàm khả vi của x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một hàm phức;

Giải phương trình kết quả đối với đạo hàm y "(x).

Hãy xem xét một vài ví dụ để minh họa.

Đạo hàm hàm y(x) cho bởi phương trình.

Đạo hàm cả hai vế của phương trình đối với biến x:

dẫn đến kết quả

Quy tắc Lapital

quy tắc L'Hopital. Đặt f-tion f(x) và g(x) có trong env. t-ki x0 pr-nye f‘ và g‘ loại trừ khả năng của chính t-ku x0 này. Đặt lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 sao cho f(x)/g(x) đối với x®x0 cho 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) khi nó trùng với giới hạn tỉ số của hàm số lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Tiêu chuẩn về tính đơn điệu của hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho hàm số bật liên tục

(a,b) và có đạo hàm f"(x) tại mọi điểm. Khi đó

1)f tăng (a,b) khi và chỉ khi

2) giảm trên (a,b) khi và chỉ khi

2. (Đủ điều kiện tính đơn điệu nghiêm ngặt của hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho hàm số liên tục trên (a,b) và có đạo hàm f"(x) tại mọi điểm. Khi đó

1) nếu thì f tăng nghiêm ngặt trên (a,b);

2) nếu thì f giảm nghiêm ngặt trên (a,b).

Điều ngược lại nói chung là không đúng. Đạo hàm của một hàm đơn điệu nghiêm ngặt có thể triệt tiêu. Tuy nhiên, tập hợp các điểm tại đó đạo hàm không bằng 0 phải dày đặc trên khoảng (a,b). Chính xác hơn, nó diễn ra.

3. (Tiêu chuẩn về tính đơn điệu nghiêm ngặt của hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho và đạo hàm f"(x) được xác định ở mọi nơi trên khoảng. Khi đó f tăng nghiêm ngặt trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

Tích vô hướng của các vectơ. Góc giữa các vectơ. Điều kiện về sự song song hoặc vuông góc của các vectơ.

Tích vô hướng của các vectơ là tích độ dài của chúng và cosin của góc giữa chúng:

Tương tự như trong phép đo phẳng, các khẳng định sau đây được chứng minh:

Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ này vuông góc với nhau.

Bình phương chấm của một vectơ, tức là tích vô hướng của chính nó và của chính nó, bằng bình phương độ dài của nó.

Tích vô hướng của hai vectơ và được cho bởi tọa độ của chúng có thể được tính theo công thức

Các vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng không. Ví dụ. Cho hai vectơ và . Các vectơ này sẽ vuông góc nếu biểu thức x1x2 + y1y2 = 0. Góc giữa các vectơ khác 0 là góc giữa các đường thẳng mà các vectơ này là hướng dẫn. Theo định nghĩa, góc giữa bất kỳ vectơ nào và vectơ không được coi là bằng không. Nếu góc giữa các vectơ bằng 90° thì các vectơ đó được gọi là vuông góc. Góc giữa các vectơ sẽ được ký hiệu như sau: