Tại sao hai công thức lại là tích vô hướng? Giới thiệu

tích vô hướng vectơ (sau đây gọi tắt là SP). bạn thân mến! Đề thi toán bao gồm một nhóm các bài toán về giải vectơ. Chúng tôi đã xem xét một số vấn đề. Bạn có thể nhìn thấy chúng trong danh mục “Vector”. Nhìn chung, lý thuyết về vectơ không phức tạp, điều chính là nghiên cứu nó một cách nhất quán. Tính toán và hoạt động với vectơ trong khóa học Toán học rất đơn giản, công thức không phức tạp. Hãy xem. Trong bài viết này chúng tôi sẽ phân tích các bài toán về SP của vectơ (có trong Kỳ thi Thống nhất). Bây giờ “đắm chìm” vào lý thuyết:

H Để tìm tọa độ của một vectơ, bạn cần trừ tọa độ điểm cuối của nótọa độ tương ứng của điểm gốc của nó

Và xa hơn:

*Độ dài vectơ (mô đun) được xác định như sau:

Những công thức này phải được ghi nhớ!!!

Hãy chỉ ra góc giữa các vectơ:

Rõ ràng là nó có thể thay đổi từ 0 đến 180 0(hoặc tính bằng radian từ 0 đến Pi).

Chúng ta có thể rút ra một số kết luận về dấu của tích vô hướng. Độ dài vectơ là giá trị dương, Quá rõ ràng. Điều này có nghĩa là dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào giá trị cosin của góc giữa các vectơ.

Các trường hợp có thể xảy ra:

1. Nếu góc giữa các vectơ là nhọn (từ 0 0 đến 90 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị dương.

2. Nếu góc giữa các vectơ tù (từ 90 0 đến 180 0) thì cosin của góc sẽ có giá trị âm.

*Ở 0 độ, nghĩa là khi các vectơ cùng hướng, cosin bằng một và theo đó kết quả sẽ khả quan.

Ở 180 o, tức là khi các vectơ có hướng ngược nhau thì cosin bằng trừ một,và theo đó kết quả sẽ âm tính.

Bây giờ ĐIỂM QUAN TRỌNG!

Ở 90 o, nghĩa là khi các vectơ vuông góc với nhau thì cosin bằng 0 và do đó SP bằng 0. Thực tế này (hậu quả, kết luận) được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề mà chúng ta đang nói đến vị trí tương đối vectơ, bao gồm cả các vấn đề có trong mở ngân hàng bài tập toán.

Chúng ta hãy phát biểu: tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi các vectơ này nằm trên các đường vuông góc.

Vì vậy, các công thức cho vectơ SP:

Nếu biết tọa độ của các vectơ hoặc tọa độ điểm đầu và điểm cuối của chúng thì chúng ta luôn có thể tìm được góc giữa các vectơ:

Hãy xem xét các nhiệm vụ:

27724 Tìm tích vô hướng của vectơ a và b.

Chúng ta có thể tìm tích vô hướng của vectơ bằng một trong hai công thức:

Góc giữa các vectơ không xác định, nhưng chúng ta có thể dễ dàng tìm tọa độ của các vectơ và sau đó sử dụng công thức đầu tiên. Vì gốc của cả hai vectơ trùng với gốc tọa độ nên tọa độ của các vectơ này bằng tọa độ hai đầu của chúng, nghĩa là

Cách tìm tọa độ của vectơ được mô tả trong.

Chúng tôi tính toán:

Đáp án: 40

Hãy tìm tọa độ của các vectơ và sử dụng công thức:

Để tìm tọa độ của một vectơ, cần trừ tọa độ tương ứng của điểm đầu của nó với tọa độ của điểm cuối của vectơ, nghĩa là

Chúng tôi tính toán tích vô hướng:

Đáp án: 40

Tìm góc giữa các vectơ a và b. Đưa ra câu trả lời của bạn theo độ.

Cho tọa độ các vectơ có dạng:

Để tìm góc giữa các vectơ, chúng ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của vectơ:

Cosin của góc giữa các vectơ:

Kể từ đây:

Tọa độ của các vectơ này bằng nhau:

Hãy thay thế chúng vào công thức:

Góc giữa các vectơ là 45 độ.

Đáp án: 45

Ứng dụng. 1. Chấm tích các hàm số.

1. Tích chấm của hàm số.

Hãy trên đoạn [ Một, b] cho một hệ hàm khả tích bình phương trên [ Một, b]:

bạn 0 (x), bạn 1 (x), bạn 2 (x), …, bạn n(x), …, (1)

Tương tự như cách giữa các phần tử không gian vectơđược giới thiệu hoạt động sản phẩm chấm vectơ, khớp với một cặp vectơ không gian nhất định một số số - vô hướng , và giữa các phần tử của hệ thống chức năng này bạn tôi(x), bạn(x) có thể được định nghĩa phép tính tích vô hướng của các hàm, ký hiệu dưới đây là ( bạn tôi(x), bạn(x)).

Theo định nghĩa, phép tính tích vô hướng giữa các phần tử x , y Và z Một số không gian (bao gồm cả giữa các phần tử của hệ thống chức năng) phải có các thuộc tính sau:

Tích chấm giữa các phần tử của không gian hàm bạn tôi(x), bạn(x) Tôi, j= 0, 1, 2,..., tích phân trên [ Một, b] với một hình vuông, được nhập bằng phép tính tích phân:

Định nghĩa 1. Hệ thống (1) là hệ trực giao của hàm trên đoạn [ Một, b], nếu có hai hàm bạn tôi(x), bạn(x), Tôi, j= 0, 1, 2, ... của một hệ thống nhất định
trực giao (với nhau) trên [ Một, b].

Định nghĩa 2. Hãy gọi hai hàm bạn tôi(x), bạn(x), Tôi, j= 0, 1, 2, ... hệ thống (1)
trực giao trên đoạn [ Một, b], nếu tích vô hướng của chúng thỏa mãn điều kiện sau:

(4)

Con số - gọi điện định mức chức năng bạn tôi(x).

Nếu tất cả các chức năng bạn tôi(x) có tỷ lệ duy nhất , I E.

tôi Tôi = 1, Tôi = 0, 1, 2, ... (5)

và hệ hàm số (1) trực giao với [ Một, b], thì hệ thống như vậy được gọi là
trực giao hoặc Bình thường hệ thống trực giao trên đoạn [ Một, b].

Nếu ban đầu các điều kiện về tính quy tắc của hàm không được đáp ứng, từ hệ thống (1), nếu cần, bạn có thể chuyển sang hệ thống (6), hệ thống này chắc chắn sẽ bình thường:

, Tôi = 0, 1, 2, ... (6)

Lưu ý rằng từ tài sản tính trực giao các yếu tố của một số hệ thống, chúng nên độc lập tuyến tính , I E. tuyên bố sau đây là đúng: Bất kỳ hệ trực giao nào của các vectơ khác 0(yếu tố)độc lập tuyến tính.

2 .Khái niệm hàm cơ sở.

Từ khóa học đại số tuyến tính, bạn biết rằng trong không gian vectơ bạn có thể nhập cơ sở véc tơ- một tập hợp các vectơ sao cho bất kỳ vectơ nào của một không gian vectơ nhất định đều có thể cách duy nhấtđược biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở. trong đó không có vectơ cơ sở nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các vectơ cơ sở còn lại (độc lập tuyến tính của các vectơ cơ sở).

Vì vậy, ví dụ, bất kỳ vectơ nào không gian ba chiều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở :

= .

Ở đâu Một, b, Và c- một số con số Và do độc lập tuyến tính(tính trực giao) của vectơ cơ sở không có vectơ riêng lẻ nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở còn lại.

Tương tự như trên, trong không gian hàm đa thức, I E. trong không gian các đa thức bậc không lớn hơn N:

P n(x) = Một 0 + Một 1 x + Một 2 x 2 + … + một n x n. (7)

một cơ sở có thể được giới thiệu từ đa thức cơ bản (biểu thị) chức năng :

x 0 , x, x 2 , x 3 , …, xn(8)

Hơn nữa, rõ ràng là các hàm cơ sở (8) độc lập tuyến tính, tức là không có hàm cơ sở nào (8) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở còn lại. Hơn nữa, hiển nhiên là bất kỳ đa thức bậc nào cũng không cao hơn N có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng (7), tức là dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở (8).

tôi(x) = g Tôi(x-a) Tôi + (x-a)tôi + 1 , Tôi= 1, 2, …, N(9)

Lời giải thích cho điều này một phần được đưa ra bởi các chuyên gia nổi tiếng. phân tích toán họcĐịnh lý Weierstrass, theo đó bất kỳ đường liên tục nào trên khoảng [ Một, b] chức năng f(x) Có lẽ " Khỏe» được xấp xỉ trên đoạn này bằng một số đa thức P n(x) độ N, I E. tăng mức độ Nđa thức P n(x), nó luôn có thể gần như bạn muốn phù hợp với hàm liên tục f(x).

Vì bất kỳ đa thức nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đa thức cơ bản loại (8) hoặc (9), nên, theo định lý Weierstrass, một hàm liên tục (tức là hàm vi phân hai lần là một nghiệm phương trình vi phân bậc hai) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở (9), có khả vi hai lần và độc lập tuyến tính theo cặp.

Câu hỏi về chủ đề

“Các phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị biên cho bài toán thông thường
phương trình vi phân".

(Bài giảng 25 - 26)

1. Định nghĩa cơ bản: Phát biểu bài toán giá trị biên tuyến tính cho ODE bậc hai; các loại và phân loại các bài toán giá trị biên.

2. Các phương pháp rút gọn bài toán giá trị biên về bài toán giá trị ban đầu: xây dựng bài toán; phương pháp quan sát; phương pháp giảm; phương pháp quét vi sai.

3. Phương pháp sai phân hữu hạn: xây dựng bài toán; tính phổ quát của phương pháp sai phân hữu hạn để giải các bài toán giá trị biên; lựa chọn các dạng xấp xỉ của đạo hàm để rút gọn bài toán giá trị biên về SALU với ma trận có cấu trúc ba đường chéo.

4. Phương pháp nội suy hoặc phương pháp sắp xếp thứ tự: tìm kiếm lời giải gần đúng dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàm cơ sở, yêu cầu hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên; tìm kiếm các hệ số tổ hợp tuyến tính dựa trên điều kiện trùng khớp của lời giải chính xác và gần đúng tại các nút sắp xếp thứ tự; lựa chọn các hàm cơ sở

5. Phương pháp Galerkin- những khái niệm cơ bản về lý thuyết của phương pháp Galerkin. Tìm lời giải gần đúng dưới dạng tổ hợp tuyến tính hàm cơ sở , yêu cầu đối với các chức năng cơ bản. Lựa chọn các hệ số của tổ hợp tuyến tính xác định loại nghiệm gần đúng từ điều kiện cực tiểu hóa dư lượng , do việc thay thế giải pháp chính xác vấn đề khác biệt giải pháp gần đúng mong muốn.

Cơ quan Giáo dục Liên bang

Cơ sở giáo dục nhà nước về giáo dục chuyên nghiệp cao hơn Viện khai thác mỏ bang St. Petersburg được đặt theo tên. G.V. Plekhanova

(Đại học kỹ thuật)

A.P. Gospodarikov, G.A. Colton, SA Khachatryan

Loạt Fourier. Tích phân Fourier.

phép tính hoạt động

Sổ tay giáo dục và phương pháp

THÁNH PETERSBURG

UDC 512 + 517.2 (075.80)

Cẩm nang giáo dục và phương pháp này tạo cơ hội để đạt được các kỹ năng thực tế trong việc phân tích các hàm bằng cách sử dụng mở rộng chuỗi Fourier hoặc biểu diễn bằng tích phân Fourier và dành cho công việc độc lập của các sinh viên chuyên ngành toàn thời gian và bán thời gian.

Cuốn sách này xem xét các vấn đề chính của phép tính toán tử và một loạt các vấn đề kỹ thuật sử dụng các nguyên tắc cơ bản của phép tính toán tử.

Biên tập viên khoa học PGS. . A.P. Gospodarikov

Người đánh giá: bộ phận toán cao hơnĐại học Kỹ thuật Điện bang St. Petersburg số 1; Tiến sĩ Vật lý và Toán học khoa học V.M. Chistyak(Đại học Bách khoa bang St. Petersburg).

Gospodarikov A.P.

G723. Loạt Fourier. Tích phân Fourier. Phép tính hoạt động: Sổ tay giáo dục và phương pháp / A.P. Gospodarikov,G.A. Colton,SA Khachatryan; Viện Khai thác mỏ bang St. Petersburg (Đại học Kỹ thuật). St.Petersburg, 2005. 102 tr.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

Giới thiệu

Từ lý thuyết Fourier, người ta biết rằng với một số ảnh hưởng đến các hệ thống vật lý, kỹ thuật và các hệ thống khác, kết quả của nó lặp lại hình dạng của tín hiệu đầu vào ban đầu, chỉ khác nhau ở hệ số tỷ lệ. Rõ ràng là hệ thống phản ứng với các tín hiệu như vậy (chúng được gọi là của chính nó) theo cách đơn giản nhất. Nếu tín hiệu đầu vào tùy ý là sự kết hợp tuyến tính của các tín hiệu của chính nó và hệ thống là tuyến tính thì phản ứng của hệ thống đối với tín hiệu tùy ý này là tổng của các phản ứng đối với tín hiệu của chính nó. Và do đó đầy đủ thông tin thông tin về một hệ thống có thể được lấy từ “các khối xây dựng” của nó—các phản hồi của hệ thống đối với các tín hiệu đầu vào của chính nó. Ví dụ, điều này được thực hiện trong kỹ thuật điện khi đưa ra đáp ứng tần số của hệ thống (hàm truyền). Đối với các hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian đơn giản nhất (ví dụ, các hệ thống được mô tả bằng các phương trình vi phân thông thường có hệ số không đổi), trong một số trường hợp, các hàm riêng là các hàm điều hòa có dạng . Bằng cách này, có thể thu được kết quả của tác động tùy ý lên hệ thống, nếu kết quả sau được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các sóng hài (trong trường hợp chung, ở dạng chuỗi Fourier hoặc tích phân Fourier) . Đây là một trong những lý do vì sao trong lý thuyết và ứng dụng cần phải sử dụng khái niệm chuỗi lượng giác (chuỗi Fourier) hay tích phân Fourier.

Chương 1. Chuỗi Fourier

§ 1. Không gian vectơ

Đây là thông tin ngắn gọn từ đại số vectơ, cần thiết để hiểu rõ hơn về các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết chuỗi Fourier.

Chúng ta hãy xem xét tập hợp  các vectơ hình học (không gian vectơ), trong đó khái niệm đẳng thức của vectơ được đưa ra theo cách thông thường, hoạt động tuyến tính(cộng và trừ vectơ, nhân vectơ với một số) và các phép tính nhân vectơ vô hướng.

Chúng ta hãy giới thiệu một cơ sở trực giao trong không gian , gồm ba vectơ trực giao từng cặp ,Và . Vectơ miễn phí
là sự kết hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở:

. (1.1)

Các hệ số  Tôi (Tôi= 1, 2, 3), gọi là tọa độ vectơ so với cơ sở
, có thể được định nghĩa như sau. Tích vô hướng của một vectơ và một trong các vectơ cơ sở

Do tính trực giao của cơ sở nên tích vô hướng
Tại
, do đó, ở vế phải của đẳng thức cuối cùng chỉ có một số hạng khác 0, tương ứng
, Đó là lý do tại sao
, Ở đâu

, (1.2)

Ở đâu
.

Nếu các vectơ Và được cho bởi tọa độ của chúng
Và
, thì tích vô hướng của chúng

Kể từ khi
tích vô hướng
, thì trong một tổng kép chỉ có các số hạng có chỉ số bằng nhau là khác 0, do đó

Đặc biệt khi
từ (1.3) suy ra

. (1.4)

§ 2. Sản phẩm bên trong và chuẩn mực chức năng

Hãy biểu thị bằng ký hiệu
tập hợp các hàm số liên tục từng đoạn trên khoảng [ Một, b], I E. hàm số có trên khoảng [ Một, b] một số hữu hạn các điểm gián đoạn loại một và liên tục tại tất cả các điểm khác của khoảng này.