Cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Cấu trúc của giải pháp chung

Đối với tuyến tính không thuần nhất phương trình vi phân N- gọi món

y(N) + một 1(x)y(N- 1) + ... + một- 1 (x) y" + một(x)y = f(x),

ở đâu y = y(x) - không phải hàm đã biết, một 1(x),một 2(x), ..., một- 1(x), một(x), f(x) - đã biết, liên tục, công bằng:
1) nếu y 1(x) và y 2(x) - hai giải pháp không phải phương trình thuần nhất, thì hàm
y(x) = y 1(x) - y 2(x) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng;
2) nếu y 1(x) nghiệm của phương trình không thuần nhất, và y 2(x) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng thì hàm
y(x) = y 1(x) + y 2(x) là nghiệm của phương trình không thuần nhất;
3) nếu y 1(x), y 2(x), ..., có(x) - N nghiệm độc lập tuyến tính của một phương trình thuần nhất, và ych(x) - quyết định tùy tiện phương trình không thuần nhất,
sau đó cho bất kỳ giá trị ban đầu
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,N- 1
Biểu hiện
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
gọi là giải pháp chung phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất N-thứ tự.

Để tìm các giải pháp cụ thể cho phương trình vi phân không thuần nhất với hệ số không đổi với các phần bên phải của mẫu:
pk(x) exp(a x)cos( bx) + Q tôi(x) exp(a x)tội( bx),
ở đâu pk(x), Q tôi(x) - đa thức bậc k và tôi theo đó, có một thuật toán đơn giản để xây dựng một giải pháp cụ thể, được gọi là phương pháp lựa chọn.

Phương pháp lựa chọn, hoặc phương pháp hệ số bất định, là như sau.
Giải pháp mong muốn của phương trình được viết là:
(trước(x) exp(a x)cos( bx) + QR(x) exp(a x)tội( bx))xs,
ở đâu trước(x), QR(x) - đa thức bậc r= tối đa ( k, tôi) Với không xác định hệ số
pr , pr- 1, ..., P 1, P 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
Bằng cách này, để tìm giải pháp chung phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính với các hệ số hằng sau
tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (viết phương trình đặc trưng, tìm tất cả các nghiệm phương trình đặc trưng tôi 1, tôi 2, ... , ln, viết ra hệ thống cơ bản quyết định y 1(x), y 2(x), ..., có(x));
tìm bất kỳ nghiệm cụ thể nào của phương trình không thuần nhất ych(x);
viết biểu thức tìm nghiệm tổng quát
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2 với hệ số không đổi với bên phải Loại đặc biệt. Phương pháp hệ số bất định.

Phương trình vi phân dạng (1)

trong đó , f là một hàm đã biết, được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số không đổi. Nếu thì phương trình (1) gọi là thuần nhất, ngược lại gọi là không thuần nhất.

Đối với các phương trình không thuần nhất tuyến tính có hệ số không đổi và có vế phải ở dạng đặc biệt, cụ thể là bao gồm các tổng và tích của các hàm , một giải pháp cụ thể có thể được tìm kiếm bằng phương pháp hệ số không xác định. Dạng của nghiệm cụ thể phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng. Dưới đây là bảng các loại nghiệm cụ thể của phương trình tuyến tính không thuần nhất có vế phải đặc biệt.

mặt phẳng phức hợp. Mô đun và đối số của một số phức. Giá trị chính của đối số. ý nghĩa hình học

Số phức được viết dưới dạng: a + bi. Ở đây a và b là các số thực và i là đơn vị ảo, tức là tôi 2 \u003d -1. Số a được gọi là hoành độ và b được gọi là hoành độ của số phức a + bi. Hai số phức a + bi và a - bi được gọi là số phức liên hợp.

biểu diễn hình học số phức. Số thực biểu diễn bằng các điểm trên trục số:

Ở đây điểm A có nghĩa là số -3, điểm B là số 2 và O là số không. Ngược lại, số phức được biểu diễn bằng dấu chấm trên mặt phẳng tọa độ. Đối với điều này, chúng tôi chọn tọa độ hình chữ nhật (Cartesian) có cùng tỷ lệ trên cả hai trục. sau đó số phức a + bi sẽ được biểu diễn bởi điểm P với hoành độ a và hoành độ b (xem Hình.). Hệ tọa độ này được gọi là mặt phẳng phức.

Mô đun của một số phức là độ dài của vectơ OP biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ (phức). Mô đun của một số phức a+ bi được ký hiệu là | a + bi | hoặc chữ r và bằng:

Các số phức liên hợp có cùng mô đun. __

Đối số của một số phức là góc giữa trục OX và vectơ OP biểu diễn số phức đó. Do đó, tan = b / a .

D U đơn đặt hàng cao hơn

Như chúng ta đã nói, phương trình vi phân có thể chứa đạo hàm của các bậc khác nhau.

Các phương trình vi phân như vậy có nghiệm chứa bao nhiêu hằng số tích phân tùy ý → bậc của phương trình vi phân là bao nhiêu, tức là đối với một phương trình vi phân bậc 2, sẽ có hai hằng số tùy ý C1 và C2, đối với bậc 3 → C1, C2 và C3, v.v.

Do đó, nghiệm chung (tích phân tổng quát) của một phương trình vi phân như vậy sẽ là hàm

Để có được nghiệm riêng của phương trình vi phân đó, cần đặt bao nhiêu điều kiện ban đầu là bậc của phương trình vi phân, hay bao nhiêu hằng số tùy ý thu được trong nghiệm chung.

D tổng chênh lệch. yếu tố tích hợp

Một phương trình vi phân có dạng được gọi là phương trình vi phân trong tổng vi phân nếu vế trái của nó là tổng vi phân của một số Chức năng mịn, I E. nếu , . cần thiết và đủ điều kiện cho sự tồn tại của một hàm như vậy có dạng:

Để giải phương trình vi phân trong tổng vi phân, bạn cần tìm một hàm. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng cho một hằng số C tùy ý.

Hệ số tích phân cho phương trình vi phân

một hàm như vậy được gọi, sau phép nhân mà phương trình vi phân biến thành một phương trình trong tổng vi phân. Nếu các hàm M và N trong phương trình có đạo hàm riêng liên tục và không đồng biến thì tồn tại thừa số tích phân. Tuy nhiên, phương pháp chung không tồn tại để tìm thấy nó.

Cấu trúc giải pháp chung của LNDE

Xét một phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− bất kể điểm ban đầu (x0, y0, ) , x0∈ , có các giá trị C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 sao cho hàm số y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Khẳng định sau đúng (một định lý về cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất).

Nếu tất cả các hệ số của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên tục trên đoạn , và các hàm số y1(x), y2(x),..., yn(x) lập thành hệ nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng thì thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

trong đó C1,...,Cn là các hằng số tùy ý, y*(x) là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.

LNDE bậc 2

Phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính cấp hai.

Một phương trình dạng y " + py" + qy \u003d f (x), trong đó p và q là số thực, f(x) - chức năng liên tục, được gọi là phương trình không thuần nhất tuyến tính cấp hai với các hệ số không đổi.

Nghiệm chung của phương trình là tổng của nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất và nghiệm chung của phương trình thuần nhất tương ứng. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất đã học. Để tìm một giải pháp cụ thể, chúng tôi sử dụng phương pháp hệ số không xác định, không chứa quy trình tích phân.

Xem xét các loại khác nhau vế phải của phương trình y" + py" + qy = f(x).

1) Vế phải có dạng F(x) = Pn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. Khi đó, một nghiệm cụ thể y có thể được tìm ở dạng trong đó Qn(x) là đa thức cùng bậc với Pn(x), và r là số nghiệm không của phương trình đặc trưng.

Thí dụ. Tìm nghiệm chung của phương trình y "- 2y" + y \u003d x + 1.

Dung dịch: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng Y = ex(C1 + C2x) . Vì không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng k2 – 2k + 1 = 0 bằng 0 (k1 = k2 = 1), nên chúng ta đang tìm một nghiệm cụ thể ở dạng trong đó A và B là các hệ số chưa biết. Lấy đạo hàm hai lần và thay " và " vào phương trình này, ta tìm được -2A + Ax + B = x + 1.

Cân bằng các hệ số ở cùng một lũy thừa của x trong cả hai phần của phương trình: A = 1, –2A + B = 1, - chúng tôi tìm thấy A = 1, B = 3. Vì vậy, một giải pháp cụ thể phương trình đã cho có dạng = x + 3 và nghiệm tổng quát của nó là y = ex(C1 + C2x) + x + 3.

2) Vế phải có dạng f(x) = eax Pn(x), trong đó Рn (х) là đa thức bậc n. Sau đó, một giải pháp cụ thể nên được tìm kiếm ở dạng trong đó Qn(x) là một đa thức cùng bậc với Pn(x), và r là số nghiệm của phương trình đặc trưng bằng a. Nếu a = 0 thì f(x) = Pn(x), tức là xảy ra trường hợp 1.

LODU với các hệ số không đổi.

Xét phương trình vi phân

đâu là hằng số thực.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (8), ta tiến hành như sau. Ta lập phương trình đặc trưng cho phương trình (8): (9)

Gọi là nghiệm của phương trình (9), và trong số đó có thể có bội số. Khả thi các trường hợp sau:

a) - thực và khác. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất sẽ là ;

b) nghiệm của phương trình đặc trưng là nghiệm thực, nhưng có bội số giữa chúng, tức là , thì giải pháp chung sẽ là

c) nếu nghiệm của phương trình đặc trưng là phức (k=a±bi), thì nghiệm tổng quát có dạng .

Cơ cấu tổng thể. Giải pháp LODE của thứ tự thứ 2

Xét phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Nghiệm tổng quát của phương trình này trên một khoảng là một hàm số y = Φ(x, C1,..., Cn) phụ thuộc vào n hằng số tùy ý C1,..., Cn và thỏa mãn các điều kiện sau:

- cho bất kỳ giá trị được phép hằng số C1,..., Cn thì hàm số y = Φ(x, C1,..., Cn) là nghiệm của phương trình trên ;

− bất kể điểm ban đầu (x0, y0, ) , x0∈ , có các giá trị C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 sao cho hàm số y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Kiến thức về hệ thống cơ bản của các giải pháp cho phương trình giúp bạn có thể xây dựng một giải pháp chung cho phương trình này. Nhắc lại định nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình vi phân P-thứ tự

Hàm số
, được xác định trong một số phạm vi biến
, tại mỗi điểm tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, và có đạo hàm riêng liên tục đối với X lên đến đặt hàng P bao gồm, được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (15) trong tích xác định, nếu:

hệ phương trình

có thể giải được trong vùng được chỉ định đối với các hằng số tùy ý
, vì thế

(16)

2. chức năng
là nghiệm của phương trình (15) với mọi giá trị của hằng số tùy ý
, được biểu thị bằng công thức (16), khi điểm
thuộc khu vực đang xét.

Định lý 1. (về cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất). Nếu chức năng
,
, …,
tạo thành một hệ thống cơ bản của các giải pháp cho phương trình tuyến tính thuần nhất P-thứ tự
trong khoảng thời gian
, I E. trong khoảng liên tục của các hệ số thì hàm số
là nghiệm tổng quát của phương trình này trong miền D:
,
,
.

Bằng chứng. Tại mỗi điểm của miền xác định đều tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra rằng hàm
thỏa mãn định nghĩa của một giải pháp chung cho phương trình P-thứ tự.

hệ phương trình

có thể giải quyết trong khu vực Dđối với các hằng số tùy ý
vì định thức của hệ này là định thức Wronsky cho hệ nghiệm cơ bản (12) và do đó, là khác không.

2. Chức năng
bởi tính chất của các nghiệm của một phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của phương trình
với mọi giá trị của hằng số tùy ý
.

Do đó, chức năng
là nghiệm tổng quát của phương trình
trong khu vực của D. Định lý đã được chứng minh.

Thí dụ.

Các nghiệm của phương trình này rõ ràng là các hàm
,
. Những giải pháp này tạo thành một hệ thống giải pháp cơ bản, vì

Do đó, nghiệm chung của phương trình ban đầu là hàm .

Cấu trúc nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc n.

Xem xét một sự không đồng nhất phương trình đường thẳng P-thứ tự

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng, như trong trường hợp phương trình không thuần nhất tuyến tính bậc nhất, tích phân của phương trình (1) được rút gọn thành tích phân của phương trình thuần nhất, nếu một nghiệm cụ thể của phương trình (1) được biết.

Để cho
- một giải pháp cụ thể của phương trình (1), tức là

,
. (2)

Chúng ta hãy đặt
, ở đâu z là một chức năng chưa biết mới từ X. Khi đó phương trình (1) có dạng

hoặc
,

từ đó, nhờ sự đồng nhất (2), chúng ta có được

. (3)

Đây là một phương trình tuyến tính thuần nhất, vế trái của nó giống như phương trình không thuần nhất đã xét (1). Những thứ kia. ta thu được phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình không thuần nhất (1) này.

,
, …,
,

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (3). Sau đó, tất cả các giải pháp của phương trình này được chứa trong công thức cho giải pháp chung của nó, tức là

Thay thế giá trị này z vào công thức
, chúng tôi nhận được

Hàm kết quả là nghiệm tổng quát của phương trình (1) trong miền D.

Như vậy, ta đã chỉ ra rằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) bằng tổng một số nghiệm riêng của phương trình này và nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Thí dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình