Виды уравнений и способы их решения. Линейные уравнения
Министерство общего и профессионального образования РФ
Муниципальное образовательное учреждение
Гимназия № 12
сочинение
на тему: Уравнения и способы их решения
Выполнил: ученик 10 "А" класса
Крутько Евгений
Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна
Тюмень 2001
План................................................................................................................................... 1
Введение........................................................................................................................... 2
Основная часть................................................................................................................. 3
Заключение..................................................................................................................... 25
Приложение................................................................................................................... 26
Список использованной литературы.......................................................................... 29
План.
Введение.
Историческая справка.
Уравнения. Алгебраически уравнения.
а) Основные определения.
б) Линейное уравненение и способ его решения.
в) Квадратные уравнения и способы его решения.
г) Двучленные уравнения способ их решения.
д) Кубические уравнения и способы его решения.
е) Биквадратное уравнение и способ его решения.
ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.
ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.
з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его
и) Иррациональные уравнения и способы его решения.
к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.
абсолютной величины и способ его решения.
Трансцендентные уравнения.
а) Показательные уравнения и способ их решения.
б) Логарифмические уравнения и способ их решения.
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.
Математика... выявляет порядок,
симметрию и определенность,
а это – важнейшие виды прекрасного.
Аристотель.
Историческая справка
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
уравнения. Алгебраические уравнения
Основные определения
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв ). Для записи тождества наряду со знаком
также используется знак .Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:
, , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...).В общем виде уравнение может быть записано так:
(, , ..., ).В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например: соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях x.
Если уравнение, содержащее неизвестное x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
В разделе математики, который называется теорией уравнений, основным предметом изучения являются методы решения уравнений. В школьном курсе алгебры уравнениям уделяется большое внимание.
История изучения уравнений насчитывает много веков. Самыми известными математиками, внесшими вклад в развитие теории уравнений, были:
Архимед (около 287–212 до н. э.) - древнегреческий ученый, математик и механик. При исследовании одной задачи, сводящейся к кубическому уравнению, Архимед выяснил роль характеристики, которая позже получила название дискриминанта.
Франсуа Виет жил в XVI в. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики. В частности, он ввел буквенные обозначения коэффициентов уравнения и установил связь между корнями квадратного уравнения.
Леонард Эйлер (1707 – 1783) - математик, механик, физик и астроном. Автор св. 800 работ по математическаму анализу, дифференциальных уравнений, геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки, и т. д. Оказал значительное влияниена развитие науки. Вывел формулы (Формулы Эйлера), выражающие тригонометрические функции переменного х через показательную функцию.
Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813 гг.), французский математик и механик. Ему принадлежат выдающиеся исследования, среди них исследования по алгебре (симметрической функции корней уравнения, по дифференциальным уравнениям (теория особых решений, метод вариации постоянных).
Ж. Лагранж и А. Вандермонд - французские математики. В 1771 г. впервые применили способ решения систем уравнений (способ подстановки).
Гаусс Карл Фридрих (1777 -1855 гг.) - немецкий математик. Написал книгу, в которой излагается теория уравнений деления круга (т. е. уравнений xn - 1 = 0), которая во многом была прообразом Галуа теории. Помимо общих методов решения этих уравнений, установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он, впервые после древнегреческих учёных, сделал значительный шаг вперёд в этом вопросе, а именно: нашёл все те значения n, для которых правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой. Изучал способ сложения. Сделал вывод, что системы уравнений можно между собой складывать, делить, и умножать.
О. И. Сомов – обогатил разные части математики важными и многочисленными трудами, среди них теория определённых алгебраических уравнений высших степеней.
Галуа Эварист (1811-1832 гг.), - французский математик. Основной его заслугой является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем, Н. Абелем и др. , создал теорию алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным.
А. В. Погорелов (1919 – 1981 гг.) - В его творчестве связаны геометрические методы с аналитическими методами теории дифференциальных уравнений с частными производными. Его труды оказали существенное влияние также на теорию нелинейных дифференциальных уравнений.
П. Руффини - итальянский математик. Посвятил ряд работ, доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени, систематически использует замкнутость множества подстановок.
Не смотря на то, что ученые давно изучают уравнения, науке не известно, как и когда у людей возникла необходимость использовать уравнения. Известно только, что задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали с того времени, как стали людьми. Еще 3 - 4 тысячи лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели решать уравнения. Правило решения этих уравнений, совпадает с современным, но неизвестно, как они до этого дошли.
В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения. Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с целые числа. По правилам арифметических действий ах = с - b,
Если Ь > с, то с b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке). Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения. В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или «неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно: «ага». Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах = b. Этот способ заключается в том, что каждую часть уравнения делят на а. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне. У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получен ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет в части своей книги, излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть, Яко можеши ею все класть. Не токмо что есть во гражданстве, Но и высших наук в пространстве, Яже числятся в сфере неба, Якоже мудрым есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые встают перед «мудрыми». Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов». Индийские математики часто давали задачи в стихах. Задача о лотосе:
Над озером тихим, с полмеры над водой, Был виден лотоса цвет. Он рос одиноко, и ветер волной Нагнул его в сторону, и уж нет
Цветка над водой. Нашёл его глаз рыбака В двух мерах от места, где рос. Сколько озера здесь вода глубока? Тебе предложу я вопрос.
Виды уравнений
Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные. Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = - b: а (ах + b; ах = - b; х = - b: а.).
Например: решить линейное уравнение: 4х + 12 = 0.
Решение: Т. к а = 4, а b = 12, то х = - 12: 4; х = - 3.
Проверка: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.
Т. к 0 = 0, то -3 является корнем исходного уравнения.
Ответ. х = -3
Если а равно нулю, и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число.
Например:
0 = 0. Т. к 0 равно 0, то корнем уравнения 0х + 0 = 0 является любое число.
Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.
Например:
0 = 6. Т. к 0 не равно 6, то 0х – 6 = 0 не имеет корней.
Системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений – это система, все уравнения которой линейные.
Решить систему - значит найти все ее решения.
Прежде чем решать систему линейных уравнений, можно определить число её решений.
Пусть дана система уравнений: {а1х + b1y = с1, {а2х + b2y = c2.
Если а1 делённое на а2 не равно b1 делённое на b2, то система имеет одно единственное решение.
Если а1 делённое на а2 равно b1 делённое на b2, но равно с1 делённое на с2, то система не имеет решений.
Если а1 делённое на а2 равно b1 делённое на b2, и равно с1 делённое на с2, то система имеет бесконечно много решений.
Система уравнений, имеющая, по крайней мере, одно решение, называется совместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если множество ее решений бесконечно.
Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной или противоречивой.
Способы решения линейных уравнений
Всего есть несколько способов решения линейных уравнений:
1) Метод подбора. Это самый простейший способ. Он заключается в том, что подбирают все допустимые значения неизвестного путём перечисления.
Например:
Решить уравнение.
Пусть х = 1. Тогда
4 = 6. Т. к 4 не равно 6, то наше предположение, что х = 1 было неверным.
Пусть х = 2.
6 = 6. Т. к 6 равно 6, то наше предположение, что х = 2 было верным.
Ответ: х = 2.
2) Способ упрощения
Этот способ заключается в том, что все члены содержащие неизвестное переносим в левую часть, а известные в правую с противоположным знаком, приводим подобные, и делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
Например:
Решить уравнение.
5х – 4 = 11 + 2х;
5х – 2х = 11 + 4;
3х = 15; : (3) х = 5.
Ответ. х = 5.
Он заключается в том, что строится график функций данного уравнения. Т. к в линейном уравнение у = 0, то график будет параллелен оси ординат. Точка пересечения графика с осью абсцисс будет решением данного уравнения.
Например:
Решить уравнение.
Пусть у = 7. Тогда у = 2х + 3.
Построим график функций обоих уравнений:
Способы решения систем линейных уравнений
В седьмом классе изучают три способа решения систем уравнений:
1) Способ подстановки.
Этот способ заключается в том, что в одном из уравнений выражают одно неизвестное через другое. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одним неизвестным, затем решают его. Получившееся значение этого неизвестного подставляют в любое уравнение исходной системы и находят значение второго неизвестного.
Например.
Решить систему уравнений.
5х - 2у - 2 = 1.
3х + у = 4; у = 4 - 3х.
Подставим полученное выражение в другое уравнение:
5х – 2(4 – 3х) -2 = 1;
5х – 8 + 6х = 1 + 2;
11х = 11; : (11) х = 1.
Подставим полученное значение в уравнение 3х + у = 4.
3 · 1 + у = 4;
3 + у = 4; у = 4 – 3; у = 1.
Проверка.
/3 · 1 + 1 = 4,
\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;
Ответ: х = 1; у = 1.
2) Способ сложения.
Этот способ заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при почленном сложении образуют уравнение с одним неизвестным, то решив это уравнение, мы получим значение одного из неизвестных. Получившееся значение этого неизвестного подставляют в любое уравнение исходной системы и находят значение второго неизвестного.
Например:
Решить систему уравнений.
/3у – 2х = 5,
\5х – 3у = 4.
Решим полученное уравнение.
3х = 9; : (3) х = 3.
Подставим полученное значение в уравнение 3у – 2х = 5.
3у – 2 · 3 = 5;
3у = 11; : (3) у = 11/3; у = 3 2/3.
Итак, х = 3; у = 3 2/3.
Проверка.
/3 · 11/3 – 2 · 3 = 5,
\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;
Ответ. х = 3; у = 3 2/3
3) Графический способ.
Этот способ основан на том, что в одной системе координат строятся графики уравнений. Если графики уравнения пересекаются, то координаты точки пересечения являются решением данной системы. Если графики уравнения являются параллельными прямыми, то данная система не имеет решений. Если графики уравнений сольются в одну прямую, то система имеет бесконечно много решений.
Например.
Решить систему уравнений.
18х + 3у - 1 = 8.
2х - у = 5; 18х + 3y - 1 = 8;
У = 5 - 2х; 3у = 9 - 18х; : (3) у = 2х - 5. у = 3 - 6х.
Построим графики функций у = 2х - 5 и у = 3 - 6х на одной системе координат.
Графики функций у = 2х - 5 и у = 3 - 6х пересекаются в точке А (1; -3).
Следовательно решением данной системы уравнений будет х = 1 и у = -3.
Проверка.
2 · 1 - (- 3) = 5,
18 · 1 + 3 · (-3) - 1 = 8.
18 - 9 – 1 = 8;
Ответ. х = 1; у = -3.
Заключение
На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»
С. Коваль
Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.
Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.
В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.
Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:
Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
Какие вы используете чаще всего?
По результатам анкетирование были получены следующие результаты:
Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.
Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.
Мы поставили перед собой цель : изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.
Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:
собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,
освоить найденные способы решения,
составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,
разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,
провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 - 9 классов.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.
Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.
ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
- СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)
Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:
Если a+b+c=0, то = 1, =
Пример:
-6х 2 + 2х +4=0, то = 1, = = .
Если a - b+c=0, то = -1, = -
Пример:
2017х 2 + 2001х +16 =0, то = -1, -.
- ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)
Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:
Если b=a 2 +1, c=a, то х 1 =-а; x 2 = - .
Если b=-(a 2 +1), a=c, то x 1 =a; x 2 =.
Если b=a 2 -1, c=-a, то x 1 =-a; x 2 = .
Если b=-(a 2 -1), -a=c, то x 1 =a; x 2 = - .
Решим следующие уравнения:
5x 2 + 26x + 5 = 0
x 1 = -5
x 2 = - 0,2.
13x 2 - 167x + 13 = 0
x 1 =13 x 2 =
14x 2 + 195x - 14 = 0
x 1 = - 14 x 2 =
10x 2 - 99x - 10 = 0
x 1 =10 x 2 =-0,1.
- «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА
Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.
Пример:
2х 2 - 3х + 1 = 0.
«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у 2 - 3у + 2 = 0.
Согласно теореме Виета
у 1 = 2 , х 1 = 2/2 , x 1 = 1,
у 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.
Ответ: 0,5; 1.
- ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = -bx -c .
Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = -bx -c в одной системе координат.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Решим следующие уравнения:
1) х 2 + 2х - 3 = 0
х 2 = - 2х + 3
В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.
Ответ: х 1 = - 3, х 2 =1.
2) х 2 + 6х +9 = 0
х 2 = - 6х - 9
В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.
Ответ: х= - 3.
3) 2х 2 + 4х +7=0
2х 2 = - 4х - 7
В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции
Парабола у =2х 2 и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
- РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:
Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).
Провести окружность радиуса SA.
Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.
При этом возможны три случая:
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK , или R> ), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х 1 ; 0) и D(х 2 ;0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ , или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х 1 ; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ , или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.
а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .
Два решения х 1 и х 2 . Одно решение х 1.. Не имеет решения.
Пример 1: 2х 2 - 8х + 6 = 0.
Решение:
Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).
Ответ: х 1 = 1 , х 2 = 3.
Пример 2: х 2 - 6х + 9 = 0.
Решение : Найдём координаты S: x=3, y=5.
Ответ: x=3.
Пример 3: х 2 + 4 х + 5 = 0.
Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.
Ответ: нет корней
- РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ
Номограмма (от греческого «nomos» - закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Пример 1 : z 2 - 9z + 8 = 0 .
На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.
Ответ: 1; 8.
Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).
Пример 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:
z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.
Ответ: 4; 0,5.
Пример 3: x 2 - 25x + 66 = 0
Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z , получим уравнение:
z 2 - 5z + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы.
Получим z 1 = 0,6 и z 2 = 4,4,
откудаx 1 = 5 z 1 = 3,0 иx 2 = 5 z 2 = 22,0.
Ответ: 3; 22.
Пример 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.
Ответ: 1; -6.
Пример 5: z 2 - 2z - 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z 1 =4, а отрицательный равен z 2 = - p -4 =
= 2 - 4= -2.
Ответ: 4; -2.
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel - это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.
Лист программы Excel, где отображены формулы:
Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 - 14x - 15 = 0 :
ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
|
Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D и D1 |
Универсальность, т.к. можно использовать для решения абсолютно всех квадратных уравнений |
Громоздкий дискриминант, не входящий в таблицу квадратов |
|
Теорема Виета |
Быстрота решения в определённых случаях и экономия времени |
Если дискриминант не является полным квадратом целого числа. Не целые коэффициенты b и с. |
|
Выделение полного квадрата |
При правильном преобразовании в квадрат двучлена получаем квадратное уравнение неполного вида и следовательно быстрее находятся корни |
Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах уравнения |
|
Способ группировки |
Можно решить, не зная формул |
Не всегда среднее слагаемое удаётся разложить на подходящие слагаемые для группировки |
|
Графический способ |
Не требуется формул. Можно быстро узнать количество корней уравнения |
Приближённость решения |
|
Свойства коэффициентов a,b,c |
Быстрота решения. Для уравнений с большими коэффициентами |
Подходит только для некоторых уравнений |
|
«Переброс» главного коэффициента |
Быстрота решения, если корни целые |
Такие же как с помощью теоремы Виета |
|
Номограмма |
Наглядность Все, что требуется для решения-это номограмма |
Не всегда имеется с собой номограмма. Неточность решения |
|
Нахождение корней с помощью циркуля и линейки |
Наглядность |
Если координаты центра нецелые числа. Нахождении корней уравнений с большими коэффициентами |
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»
Уолтер Варвик Сойер
В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.
Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие - помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.
Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.
Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.
Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).
Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.
ЛИТЕРАТУРА
Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.
Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.
Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.
Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.
Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.
Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.
Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.
Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.
Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,
М.: Педагогика, 1989.
Интернет ресурсы:
http://revolution.allbest.ru/
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»
Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.
1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D
4х 2 +3х -1 = 0
D = b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня
x 1,2 =
x 1 ==
x 2 ==-1
2.Теорема Виета
4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым
х 2 +х -=0
х 1 = -1
х 2 =
3. Метод выделения полного квадрата
4х 2 +3х -1 = 0
(4х 2 +2*2х *+)-1=0
(2х +) 2 -=0
(2х + -)(2х + +)=0,
(2х -)=0 (2х +2)=0
х 1 = х 2 = -1
4. Способ группировки
4х 2 +3х -1 = 0
4х 2 +4х-1х-1=0
4х(х+1)-1(х+1)=0
(4х-1)(х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0
(4х-1)=0 (х+1)=0
х 1 = х 2 = -1
5. Свойства коэффициентов
4х 2 +3х -1 = 0
Если a - b+c=0, то = -1, = -
4-3-1=0, => = -1, =
6. Метод «переброски» главного коэффициента
4х 2 +3х -1 = 0
y 2 +3y - 4 = 0
Теорема Виета:
y 1 = -4
y 2 = 1
Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:
х 1 = -1
х 2 =
7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
4х 2 +3х -1 = 0
Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х 1 = -1
х 2 =
8. Графический способ решения
4х 2 +3х -1 = 0
4х 2 = - 3x + 1
В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции
у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:
х 1 = -1
9. С помощью номограммы
4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение
х 2 +х -= 0.
Номограмма даёт положительный корень = ,
а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.
x 2 = - p -=- -= -1.
10. Решение данного уравнения в EXCEL
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ
“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ” »
10х 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7
-10х 2 + 7х + 3 = 0 -1 0,3
354х 2 -52х -302 = 0 1 -
100х 2 -99х-1 = 0 1 -0,01
5х 2 + 9х + 4 = 0 -1 -0,8
2017х 2 + х -2016 = 0 -1
22х 2 +10х-12 = 0 -1
5432х 2 -3087х-2345 = 0 1 -
4х 2 + 2х -6с = 0 1 -1,5
55х 2 -44х -11= 0 1 -0,2
6х 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5
4х 2 -17х-15 = 0 -0,75, 5
4271х 2 -4272х + 1 = 0 1,
3х 2 +10х + 7 = 0 -1, - 2
5х 2 - 11х + 2 = 0 2, 0,2
2х 2 - 11х + 15 = 0 2,5, 3
4х 2 + 4х -3= 0 -1,5, 0,5
5х 2 -12х + 7 = 0 1,4, 1
2х 2 + 13х + 15 = 0 -1,5 -5
3х 2 -7х + 2 = 0 1/3 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»
В курсе школьной математики, ребенок впервые слышит термин "уравнение". Что такое это, попробуем разобраться вместе. В данной статье рассмотрим виды и способы решения.
Математика. Уравнения
Для начала предлагаем разобраться с самим понятием, что это такое? Как гласят многие учебники математики, уравнение - это некоторые выражения, между которыми стоит обязательно знак равенства. В этих выражениях присутствуют буквы, так называемые переменные, значение которых и необходимо найти.
Это атрибут системы, который меняет свое значение. Наглядным примером переменных являются:
- температура воздуха;
- рост ребенка;
- вес и так далее.
В математике они обозначаются буквами, например, х, а, b, с... Обычно задание по математике звучит следующим образом: найдите значение уравнения. Это значит, что необходимо найти значение данных переменных.
Разновидности
Уравнение (что такое, мы разобрали в предыдущем пункте) может быть следующего вида:
- линейные;
- квадратные;
- кубические;
- алгебраические;
- трансцендентные.
Для более подробного знакомства со всеми видами, рассмотрим каждый в отдельности.
Линейное уравнение
Это первый вид, с которым знакомятся школьники. Они решаются довольно-таки быстро и просто. Итак, линейное уравнение, что такое? Это выражение вида: ах=с. Так не особо понятно, поэтому приведем несколько примеров: 2х=26; 5х=40; 1,2х=6.
Разберем примеры уравнений. Для этого нам необходимо все известные данные собрать с одной стороны, а неизвестные в другой: х=26/2; х=40/5; х=6/1,2. Здесь использовались элементарные правила математики: а*с=е, из этого с=е/а; а=е/с. Для того чтобы завершить решение уравнения, выполним одно действие (в нашем случае деление) х=13; х=8; х=5. Это были примеры на умножение, теперь просмотрим на вычитание и сложение: х+3=9; 10х-5=15. Известные данные переносим в одну сторону: х=9-3; х=20/10. Выполняем последнее действие: х=6; х=2.
Также возможны варианты линейных уравнений, где используется более одной переменной: 2х-2у=4. Для того чтобы решить, необходимо к каждой части прибавить 2у, у нас получается 2х-2у+2у=4-2у, как мы заметили, по левую часть знака равенства -2у и +2у сокращаются, при этом у нас остается: 2х=4-2у. Последним шагом делим каждую часть на два, получаем ответ: икс равен два минус игрек.
Задачи с уравнениями встречаются даже на папирусах Ахмеса. Вот одна из задач: число и четвертая его часть дают в сумме 15. Для ее решения мы записываем следующее уравнение: икс плюс одна четвертая икс равняется пятнадцати. Мы видим еще один пример по итогу решения, получаем ответ: х=12. Но эту задачу можно решить и другим способом, а именно египетским или, как его называют по-другому, способом предположения. В папирусе используется следующее решение: возьмите четыре и четвертую ее часть, то есть единицу. В сумме они дают пять, теперь пятнадцать необходимо разделить на сумму, мы получаем три, последним действием три умножаем на четыре. Мы получаем ответ: 12. Почему мы в решении пятнадцать делим на пять? Так узнаем, во сколько раз пятнадцать, то есть результат, который нам необходимо получить, меньше пяти. Таким способом решали задачи в средние века, он стал зваться методом ложного положения.
Квадратные уравнения
Кроме рассмотренных ранее примеров, существуют и другие. Какие именно? Квадратное уравнение, что такое? Они имеют вид ax 2 +bx+c=0. Для их решения необходимо ознакомиться с некоторыми понятиями и правилами.
Во-первых, нужно найти дискриминант по формуле: b 2 -4ac. Есть три варианта исхода решения:
- дискриминант больше нуля;
- меньше нуля;
- равен нулю.
В первом варианте мы можем получить ответ из двух корней, которые находятся по формуле: -b+-корень из дискриминанта разделенные на удвоенный первый коэфициент, то есть 2а.
Во втором случае корней у уравнения нет. В третьем случае корень находится по формуле: -b/2а.
Рассмотрим пример квадратного уравнения для более подробного знакомства: три икс в квадрате минус четырнадцать икс минус пять равняется нулю. Для начала, как и писалось ранее, ищем дискриминант, в нашем случае он равен 256. Отметим, что полученное число больше нуля, следовательно, мы должны получить ответ состоящих из двух корней. Подставляем полученный дискриминант в формулу нахождения корней. В результате мы имеем: икс равняется пяти и минус одной третьей.
Особые случаи в квадратных уравнениях
Это примеры, в которых некоторые значения равны нулю (а, b или с), а возможно и несколько.
Для примера возьмем следующее уравнение, которое является квадратным: два икс в квадрате равняется нулю, здесь мы видим, что b и с равны нулю. Попробуем его решить, для этого обе части уравнения делим на два, мы имеем: х 2 =0. В итоге получаем х=0.
Другой случай 16х 2 -9=0. Здесь только b=0. Решим уравнение, свободный коэфициент переносим в правую часть: 16х 2 =9, теперь каждую часть делим на шестнадцать: х 2 = девять шестнадцатых. Так как у нас х в квадрате, то корень из 9/16 может быть как отрицательным, так и положительным. Ответ записываем следующим образом: икс равняется плюс/минус три четвертых.
Возможен и такой вариант ответа, как у уравнения корней вовсе нет. Посмотрим на такой пример: 5х 2 +80=0, здесь b=0. Для решения свободный член перекидываете в правую сторону, после этих действий получаем: 5х 2 =-80, теперь каждую часть делим на пять: х 2 = минус шестнадцать. Если любое число возвести в квадрат, то отрицательное значение мы не получим. По этому наш ответ звучит так: у уравнения корней нет.
Разложение трехчлена
Задание по квадратным уравнениям может звучать и другим образом: разложить квадратный трехчлен на множители. Это возможно осуществить, воспользовавшись следующей формулой: а(х-х 1)(х-х 2). Для этого, как и в другом варианте задания, необходимо найти дискриминант.
Рассмотрим следующий пример: 3х 2 -14х-5, разложите трехчлен на множетели. Находим дискриминант, пользуясь уже известной нам формулой, он получается равным 256. Сразу отмечаем, что 256 больше нуля, следовательно, уравнение будет иметь два корня. Находим их, как в предыдущем пункте, мы имеем: х= пять и минус одна третья. Воспользуемся формулой для разложения трехчлена на множетели: 3(х-5)(х+1/3). Во второй скобке мы получили знак равно, потому что в формуле стоит знак минуса, а корень тоже отрицательный, пользуясь элементарными знаниями математики, в сумме мы имеем знак плюса. Для упрощения, перемножим первый и третий член уравнения, чтобы избавиться от дроби: (х-5)(х+1).
Уравнения сводящиеся к квадратному
В данном пункте научимся решать более сложные уравнения. Начнем сразу с примера:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Можем заметить повторяющиеся элементы: (x 2 - 2x), нам для решения удобно заменить его на другую переменную, а далее решать обычное квадратное уравнение, сразу отмечаем, что в таком задании мы получим четыре корня, это не должно вас пугать. Обозначаем повторение переменной а. Мы получаем: а 2 -2а-3=0. Наш следующий шаг - это нахождение дискриминанта нового уравнения. Мы получаем 16, находим два корня: минус один и три. Вспоминаем, что мы делали замену, подставляем эти значения, в итоге мы имеем уравнения: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Решаем их в первом ответ: х равен единице, во втором: х равен минусу одному и трем. Записываем ответ следующим образом: плюс/минус один и три. Как правило, ответ записывают в порядке возрастания.
Кубические уравнения
Рассмотрим еще один возможный вариант. Речь пойдет о кубических уравнениях. Они имеют вид: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. Примеры уравнений мы рассмотрим далее, а для начала немного теории. Они могут иметь три корня, так же существует формула для нахождения дискриминанта для кубического уравнения.
Рассмотрим пример: 3х 3 +4х 2 +2х=0. Как его решить? Для этого мы просто выносим х за скобки: х(3х 2 +4х+2)=0. Все что нам остается сделать - это вычислить корни уравнения в скобках. Дискриминант квадратного уравнения в скобках меньше нуля, исходя из этого, выражение имеет корень: х=0.
Алгебра. Уравнения
Переходим к следующему виду. Сейчас мы кратко рассмотрим алгебраические уравнения. Одно из заданий звучит следующим образом: разложить на множетели 3х 4 +2х 3 +8х 2 +2х+5. Самым удобным способом будет следующая группировка: (3х 4 +3х 2)+(2х 3 +2х)+(5х 2 +5). Заметим, что 8х 2 из первого выражения мы представили в виде суммы 3х 2 и 5х 2 . Теперь выносим из каждой скобки общий множитель 3х 2 (х2+1)+2х(х 2 +1)+5(х 2 +1). Мы видим, что у нас есть общий множитель: икс в квадрате плюс один, выносим его за скобки: (х 2 +1)(3х 2 +2х+5). Дальнейшее разложение невозможно, так как оба уравнения имеют отрицательный дискриминант.
Трансцендентные уравнения
Предлагаем разобраться со следующим типом. Это уравнения, которые содержат трансцендентные функции, а именно логарифмические, тригонометрические или показательные. Примеры: 6sin 2 x+tgx-1=0, х+5lgx=3 и так далее. Как они решаются вы узнаете из курса тригонометрии.
Функция
Завершающим этапом рассмотрим понятие уравнение функции. В отличии от предыдущих вариантов, данный тип не решается, а по нему строится график. Для этого уравнение стоит хорошо проанализировать, найти все необходимые точки для построения, вычислить точку минимума и максимума.
Уравнение, представляющее собой квадратный трехчлен, обыкновенно называется квадратным уравнением. С точки зрения алгебры оно описывается формулой a*x^2+b*x+c=0. В данной формуле х - это неизвестное, которое требуется найти (его называют свободной переменной); a, b и c - числовые коэффициенты. В отношении компонентов указанной существует ряд ограничений: так, коэффициент а не должен быть равен 0.
Решение уравнения: понятие дискриминанта
Значение неизвестного х, при котором квадратное уравнение превратится в верное равенство, называют корнем такого уравнения. Для того чтобы решить квадратное уравнение, необходимо сначала найти значение специального коэффициента - дискриминанта, который покажет количество корней у рассматриваемого равенства. Дискриминант вычисляется по формуле D=b^2-4ac. При этом результат вычисления может оказаться положительным, отрицательным или равным нулю.При этом следует иметь в виду, что понятие требует, чтобы лишь коэффициент а был строго отличающимся от 0. Следовательно, коэффициент b может быть равным 0, а само уравнение в этом случае вид a*x^2+c=0. В такой ситуации следует использовать значение коэффициента, равное 0, и в формулах расчета дискриминанта и корней. Так, дискриминант в этом случае будет рассчитываться как D=-4ac.
Конспект занятия по произношению
Изучаем буквы в действии!
Развитие детей с овз в доу