Ποια είναι η εφαπτομένη των 45 μοιρών.
Σημείωση: δείτε επίσης τον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων άλλων γωνιών.
Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη 45 μοιρών (sine 45, cos 45, tg 45)
Πίνακες τιμές ημιτόνου 45, συνημίτονο 45 και εφαπτομένης 45 μοιρώνυποδεικνύεται. Περαιτέρω στο κείμενο ακολουθεί μια επεξήγηση της μεθόδου και της ορθότητας του υπολογισμού αυτών των τιμών για ένα αυθαίρετο ορθογώνιο τρίγωνο.
45 μοίρες είναι π/4 ακτίνια. Οι τύποι για το συνημίτονο, το ημίτονο και την εφαπτομένη του pi/4 ακτίνων παρατίθενται παρακάτω (αν και είναι πανομοιότυποι).
Δηλαδή, για παράδειγμα, tg π/4 = tg 45βαθμούς
ΤΙΜΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ α=45°
Πώς να υπολογίσετε ανεξάρτητα τις τιμές του sin cos tg 45 μοίρες;
Κατασκευάστε και θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία ∠ Β = 45°. Με βάση την αναλογία των πλευρών του, υπολογίζουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ορθογώνιο τρίγωνο για γωνία 45 μοιρών. Δεδομένου ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οι τιμές των συναρτήσεων ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης θα είναι ίσες με τον λόγο των αντίστοιχων πλευρών του.
Δεδομένου ότι οι τιμές των συναρτήσεων ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέτρο του βαθμού της γωνίας (ή την τιμή που εκφράζεται σε ακτίνια), οι λόγοι που βρήκαμε θα είναι οι τιμές του ημιτόνου 45, του συνημιτόνου 45 και της εφαπτομένης Λειτουργία 45 μοιρών.
Σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου, η γωνία C είναι ορθή γωνία και ισούται με 90 μοίρες. Κατασκευάσαμε αρχικά τη γωνία Β με μέτρο μοιρών 45 μοίρες. Να βρείτε την τιμή της γωνίας Α.Αφού το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες, τότε
∠
Α+ ∠
Β+ ∠
C = 180°
Η γωνία Γ είναι ευθεία και ίση με 90 μοίρες, αρχικά ορίσαμε τη γωνία Β ως 45 μοίρες, έτσι:
∠
A \u003d 180 ° - ∠
ΑΠΟ - ∠
H = 180° - 90° - 45° = 45°
Εφόσον αυτό το τρίγωνο έχει δύο ίσες γωνίες, το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο και, ταυτόχρονα, ισοσκελές, στο οποίο και τα δύο σκέλη είναι ίσα μεταξύ τους: AC = BC.
Ας υποθέσουμε ότι το μήκος των πλευρών είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό AC = BC = a. Γνωρίζοντας τα μήκη των ποδιών, υπολογίζουμε το μήκος της υποτείνουσας.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: AB 2 \u003d AC 2 + BC 2
Αντικαθιστούμε τα μήκη των AC και BC με τη μεταβλητή a, τότε παίρνουμε:
AB 2 \u003d a 2 + a 2 \u003d 2a 2,
τότε ΑΒ=α √ 2.
Σαν άποτέλεσμα έχουμε εκφράσει τα μήκη όλων των πλευρώνορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 45 μοιρών μέσω της μεταβλητής α.
Σύμφωνα με τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ορθογώνιο τρίγωνο ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών του τριγώνου θα είναι ίσος με την τιμή των αντίστοιχων συναρτήσεων. Έτσι, για γωνία α = 45 μοίρες:
sina = BC / AB(σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αυτός είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα, BC είναι το σκέλος, AB είναι η υποτείνουσα)
cosα = AC / AB(σύμφωνα με τον ορισμό του συνημιτονοειδούς, αυτός είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα, το AC είναι το σκέλος, το AB είναι η υποτείνουσα)
tgα = BC / AC(ομοίως, η εφαπτομένη για τη γωνία α θα είναι ίση με τον λόγο του απέναντι σκέλους προς το διπλανό)
Αντί για τους χαρακτηρισμούς των πλευρών, αντικαθιστούμε τις τιμές των μηκών τους μέσω της μεταβλητής a.
Με βάση αυτό (βλ. πίνακα τιμών αμαρτία 45, cos 45, tg 45) παίρνουμε:
Τιμές πίνακα αμαρτία 45, cos 45, tg 45(δηλαδή η αξία ημίτονο 45, συνημίτονο 45 και εφαπτομένη 45οι μοίρες μπορούν να υπολογιστούν ως ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών αυτού του τριγώνου), αντικαθιστούμε τις τιμές των μηκών των πλευρών που υπολογίστηκαν παραπάνω στους τύπους και παίρνουμε το αποτέλεσμα στην παρακάτω εικόνα.
Τιμές πίνακα: ημίτονο 45, συνημίτονο 45 και εφαπτομένη 45 μοίρες
Με αυτόν τον τρόπο:
- η εφαπτομένη των 45 μοιρών είναι ίση με μία
- το ημίτονο των 45 μοιρών είναι ίσο με το συνημίτονο των 45 μοιρών και είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα των δύο (όπως ένα διαιρούμενο με την τετραγωνική ρίζα των δύο)
Όπως φαίνεται από τους παραπάνω υπολογισμούς, για τον υπολογισμό των τιμών της αντίστοιχης τριγωνομετρικής συνάρτησης, δεν είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου που είναι σημαντικά, αλλά η αναλογία τους, η οποία είναι πάντα η ίδια για τις ίδιες γωνίες, ανεξάρτητα από το μέγεθος ενός συγκεκριμένου τριγώνου.
Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη π/4 ακτίνων
Σε εργασίες που προτείνονται για επίλυση στο γυμνάσιο και στο ZNO / USE, αντί για το μέτρο του βαθμού της γωνίας, υπάρχει συχνά μια ένδειξη της τιμής της, μετρημένη σε ακτίνια. Το μέτρο μιας γωνίας, εκφρασμένο σε ακτίνια, βασίζεται στον αριθμό pi, ο οποίος εκφράζει την εξάρτηση της περιφέρειας ενός κύκλου από τη διάμετρό του.
Για ευκολία κατανόησης, συνιστώ να θυμάστε πώς να μετατρέψετε τις μοίρες σε ακτίνια. Η διάμετρος ενός κύκλου εκτείνεται σε ένα τόξο 180 μοιρών. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες. Από όπου είναι εύκολο να μετατραπεί οποιοδήποτε μέτρο μοιρών μιας γωνίας σε ακτίνια και το αντίστροφο.
Το λαμβάνουμε υπόψη Γωνία 45 μοιρών εκφρασμένη σε ακτίνια, ισούται με (180 / 45 = 4) π/4 (pi επί τέσσερα). Επομένως, οι τιμές που βρήκαμε είναι σωστές για το ίδιο βαθμό μέτρησης της γωνίας, που εκφράζεται σε ακτίνια:
- εφαπτομένη π/4(π επί τέσσερα) ισούται με ένα
- ημιτονο π/4(pi επί τέσσερις) μοίρες ισούται με συνημίτονο π/4μοίρες και ίση με την τετραγωνική ρίζα του δύο
Οι πίνακες τιμών των ημιτόνων (sin), των συνημιτόνων (cos), των εφαπτομένων (tg), των συνεφαπτομένων (ctg) είναι ένα ισχυρό και χρήσιμο εργαλείο που βοηθά στην επίλυση πολλών προβλημάτων, τόσο θεωρητικών όσο και εφαρμοσμένων. Σε αυτό το άρθρο, θα παρέχουμε έναν πίνακα βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες) για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 μοίρες (0, π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π ακτίνια). Θα παρουσιαστούν επίσης ξεχωριστοί πίνακες Bradis για ημίτονο και συνημίτονο, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες, με εξήγηση του τρόπου χρήσης τους για την εύρεση των τιμών των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Πίνακας βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 μοίρες
Με βάση τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, μπορείτε να βρείτε τις τιμές αυτών των συναρτήσεων για γωνίες 0 και 90 μοιρών
sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , t g 0 = 0 , συνεφαπτομένη του μηδενός - δεν ορίζεται,
sin 90 ° = 1 , cos 90 ° = 0 , με t g 90 ° = 0 , ενενήντα μοίρες εφαπτομένη δεν ορίζεται.
Οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων στην πορεία της γεωμετρίας ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, οι γωνίες του οποίου είναι 30, 60 και 90 μοίρες και επίσης 45, 45 και 90 μοίρες. .
Ορισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων για οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο
Κόλποςείναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα.
Συνημίτονοείναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένος- η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό.
Συνεφαπτομένη- η αναλογία του διπλανού ποδιού προς το αντίθετο.
Σύμφωνα με τους ορισμούς, οι τιμές των συναρτήσεων βρίσκονται:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1 , αμαρτία 60 ° = 3 2 , συν 45 ° = 1 2 , t g 45 ° = 3 , c t g 45 ° = 3 3 .
Ας συνοψίσουμε αυτές τις τιμές σε έναν πίνακα και ας τον ονομάσουμε πίνακα βασικών τιμών ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
sina | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cosα | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
tgα | 0 | 3 3 | 1 | 3 | δεν προσδιορίζεται |
c t g | δεν προσδιορίζεται | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α , r a d i a n | 0 | π6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Μία από τις σημαντικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι η περιοδικότητα. Με βάση αυτήν την ιδιότητα, αυτός ο πίνακας μπορεί να επεκταθεί χρησιμοποιώντας τύπους cast. Παρακάτω παρουσιάζουμε έναν εκτεταμένο πίνακα τιμών των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες 0, 30, 60, ..., 120, 135, 150, 180, ... , 360 μοίρες (0, π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 pi ακτίνια).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
sina | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cosα | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
tgα | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α , r a d i a n | 0 | π6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 pi 6 | π | 7 pi 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 pi 6 | 2 pi |
Η περιοδικότητα του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης σας επιτρέπει να επεκτείνετε αυτόν τον πίνακα σε αυθαίρετα μεγάλες γωνίες. Οι τιμές που συλλέγονται στον πίνακα χρησιμοποιούνται συχνότερα για την επίλυση προβλημάτων, επομένως συνιστάται να τις μάθετε από την καρδιά.
Πώς να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Η αρχή της χρήσης του πίνακα τιμών των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων είναι σαφής σε διαισθητικό επίπεδο. Η τομή μιας γραμμής και μιας στήλης δίνει την τιμή της συνάρτησης για μια συγκεκριμένη γωνία.
Παράδειγμα. Πώς να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων
Πρέπει να μάθετε με τι αμαρτία ισούται το 7 π 6
Βρίσκουμε μια στήλη στον πίνακα, η τιμή του τελευταίου κελιού της οποίας είναι 7 π 6 ακτίνια - ίδια με 210 μοίρες. Στη συνέχεια επιλέγουμε τον όρο του πίνακα στον οποίο παρουσιάζονται οι τιμές των ημιτόνων. Στην τομή μιας γραμμής και μιας στήλης, βρίσκουμε την επιθυμητή τιμή:
αμαρτία 7 π 6 \u003d - 1 2
Τραπέζια Bradis
Ο πίνακας Bradis σας επιτρέπει να υπολογίσετε την τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης ή της συνεφαπτομένης με ακρίβεια έως και 4 δεκαδικά ψηφία χωρίς τη χρήση τεχνολογίας υπολογιστών. Αυτό είναι ένα είδος αντικατάστασης για μια αριθμομηχανή μηχανικής.
Αναφορά
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) - Σοβιετικός μαθηματικός και δάσκαλος, από το 1954 αντεπιστέλλον μέλος της ΕΣΣΔ APN. Οι πίνακες τετραψήφιων λογαρίθμων και φυσικών τριγωνομετρικών μεγεθών, που αναπτύχθηκαν από τον Bradis, εμφανίστηκαν για πρώτη φορά το 1921.
Αρχικά, δίνουμε τον πίνακα Bradys για ημίτονο και συνημίτονο. Επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει με ακρίβεια τις κατά προσέγγιση τιμές αυτών των συναρτήσεων για γωνίες που περιέχουν ακέραιο αριθμό μοιρών και λεπτών. Η πιο αριστερή στήλη του πίνακα δείχνει μοίρες, ενώ η επάνω σειρά δείχνει λεπτά. Σημειώστε ότι όλες οι τιμές των γωνιών του πίνακα Bradys είναι πολλαπλάσια των έξι λεπτών.
Τραπέζι Bradis για ημίτονο και συνημίτονο
αμαρτία | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
αμαρτία | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Για να βρείτε τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων των γωνιών που δεν παρουσιάζονται στον πίνακα, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε διορθώσεις.
Τώρα δίνουμε τον πίνακα Bradys για εφαπτομένες και συνεφαπτομένες. Περιέχει τις τιμές των εφαπτομένων γωνιών από 0 έως 76 μοίρες και τις συνεφαπτομένες γωνιών από 14 έως 90 μοίρες.
Τραπέζι Bradis για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Πώς να χρησιμοποιήσετε τα τραπέζια Bradys
Εξετάστε τον πίνακα Bradys για ημίτονο και συνημίτονο. Ό,τι σχετίζεται με τα ιγμόρεια είναι πάνω και αριστερά. Αν χρειαζόμαστε συνημίτονα, κοιτάμε τη δεξιά πλευρά στο κάτω μέρος του πίνακα.
Για να βρείτε τις τιμές του ημιτόνου μιας γωνίας, πρέπει να βρείτε την τομή της σειράς που περιέχει τον απαιτούμενο αριθμό μοιρών στο αριστερό κελί και τη στήλη που περιέχει τον απαιτούμενο αριθμό λεπτών στο επάνω κελί.
Εάν η ακριβής τιμή της γωνίας δεν βρίσκεται στον πίνακα Bradis, καταφεύγουμε στη βοήθεια διορθώσεων. Οι διορθώσεις για ένα, δύο και τρία λεπτά δίνονται στις δεξιότερες στήλες του πίνακα. Για να βρούμε την τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας που δεν υπάρχει στον πίνακα, βρίσκουμε την πλησιέστερη τιμή σε αυτό. Μετά από αυτό, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τη διόρθωση που αντιστοιχεί στη διαφορά μεταξύ των γωνιών.
Αν ψάχνουμε για το ημίτονο γωνίας που είναι μεγαλύτερο από 90 μοίρες, πρέπει πρώτα να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους μείωσης και μόνο τότε - τον πίνακα Bradis.
Παράδειγμα. Πώς να χρησιμοποιήσετε το τραπέζι Bradis
Ας είναι απαραίτητο να βρούμε το ημίτονο της γωνίας 17 ° 44 ". Σύμφωνα με τον πίνακα, βρίσκουμε το ημίτονο 17 ° 42" και προσθέτουμε μια τροποποίηση στην τιμή του για δύο λεπτά:
17° 44" - 17° 42" = 2" (απαιτείται διόρθωση ιόντος) αμαρτία 17° 44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Η αρχή της εργασίας με συνημίτονα, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες είναι παρόμοια. Ωστόσο, είναι σημαντικό να θυμάστε το σημάδι των διορθώσεων.
Σπουδαίος!
Κατά τον υπολογισμό των τιμών των ημιτόνων, η διόρθωση έχει θετικό πρόσημο και κατά τον υπολογισμό των συνημιτονιών, η διόρθωση πρέπει να λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Οι κύριες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συνέκτατη. Με βάση αυτό, η εφαπτομένη μιας γωνίας στην τριγωνομετρία ορίζεται ως μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εκφράζει τον λόγο του ημιτόνου αυτής της γωνίας προς το συνημίτονο της ίδιας γωνίας. Εάν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε μπορεί να υπολογιστεί γεωμετρικά, καθώς η εφαπτομένη σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος του ορθογωνίου τριγώνου. Ο ίδιος ο όρος "εφαπτομένη" είναι δανεισμένος από τη λατινική γλώσσα, η κυριολεκτική μετάφρασή του σημαίνει "αγγίζω". Συμβολίζεται με την εφαπτομένη με λατινικά γράμματα. Η εφαπτομένη της γωνίας x θα συμβολίζεται ως "tg x", αν και οι δυτικοί μαθηματικοί παραδοσιακά υποδηλώνουν την εφαπτομένη με τη συντομογραφία της αγγλικής λέξης: η εφαπτομένη της γωνίας x συμβολίζεται εκεί ως "tan x".
Ποια είναι η εφαπτομένη των 30 μοιρών
Με βάση το γεγονός ότι η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ίση με τον λόγο του ημιτόνου μιας γωνίας προς το συνημίτονο της ίδιας γωνίας, η εφαπτομένη μιας γωνίας 30 μοιρών μπορεί να ληφθεί διαιρώντας την τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας 30 μοιρών από την τιμή του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας. Η εφαπτομένη θα είναι ίση με 0,5774.
Ποια είναι η εφαπτομένη των 60 μοιρών
Ομοίως, υπολογίζεται η εφαπτομένη γωνίας 60 μοιρών: διαιρώντας το ημίτονο γωνίας 60 μοιρών με την τιμή του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας προκύπτει ο αριθμός 1,7321, που είναι η εφαπτομένη των 60 μοιρών.
Ποια είναι η εφαπτομένη των 45 μοιρών
Δεδομένου ότι η τιμή του ημιτόνου μιας γωνίας 45 μοιρών είναι ίση με την τιμή του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας, η τιμή της εφαπτομένης μιας γωνίας 45 μοιρών, που προκύπτει διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο, δίνει ένα (το η εφαπτομένη είναι 1).
Ποια είναι η εφαπτομένη των 90 μοιρών
Είναι αδύνατο να υπολογιστεί η εφαπτομένη μιας γωνίας 90 μοιρών, καθώς το συνημίτονο μιας γωνίας 90 μοιρών είναι μηδέν και ένας από τους βασικούς κανόνες διαίρεσης είναι ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο "δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν", ενώ σε αυτό Στην περίπτωση που η εφαπτομένη πρέπει να ληφθεί διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο, δηλαδή μηδέν. Η τιμή της εφαπτομένης των 90 μοιρών δεν ορίζεται.
Ποια είναι η εφαπτομένη των 120 μοιρών
Ομοίως, υπολογίζοντας την εφαπτομένη γωνίας 120 μοιρών, μπορείτε να πάρετε τον αριθμό -1,7321 (αρνητικό), που θα είναι η εφαπτομένη μιας γωνίας 120 μοιρών.
Ποια είναι η εφαπτομένη των 0 μοιρών
Εφόσον το ημίτονο μιας γωνίας 0 μοιρών είναι μηδέν και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας είναι 1, η εφαπτομένη προκύπτει διαιρώντας το μηδέν με το ένα, το οποίο δίνει το 0. Η εφαπτομένη των 0 μοιρών είναι επομένως 0.
Ποια είναι η εφαπτομένη των 135 μοιρών
Η εφαπτομένη των 135 μοιρών είναι -1 (μείον μία) με παρόμοιο υπολογισμό.