Τι σημαίνει η διαφορά μεταξύ αριθμών και εκτέλεσης. Αφαίρεση αριθμών

Η διαφορά ή η αφαίρεση των ακεραίων συνδέεται άμεσα με το θέμα της πρόσθεσης ακεραίων. Εξάλλου, γνωρίζοντας το άθροισμα και έναν από τους όρους, μπορείτε να βρείτε τον δεύτερο όρο. Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Έχουμε 10 μήλα στο καλάθι. Την πρώτη φορά που προστέθηκαν 2 μήλα στο καλάθι, πόσα μήλα προστέθηκαν στο καλάθι τη δεύτερη για να καταλήξουμε με 10 μήλα;
Έστω x ο αριθμός των μήλων που προστέθηκαν δεύτερη φορά. Αν προσθέσουμε δύο μήλα στο x, θα έχουμε 10 μήλα. Μαθηματικά, η καταχώρηση θα μοιάζει με αυτό:

για να βρείτε τη μεταβλητή x, πρέπει να αφαιρέσετε 2 μήλα από το καλάθι ή να αφαιρέσετε έναν γνωστό όρο 2 από το άθροισμα 10.

Δηλαδή η μεταβλητή x=8.

Ορισμός:
Η διαφορά δύο ακεραίων είναι ο ακέραιος που, όταν προστεθεί στο subtrahend, δίνει το minuend.

Η διαφορά μεταξύ των ακεραίων a και b συμβολίζεται ως a-b.

Διαφοράένα-b είναι το άθροισμα των αριθμώνα και αντίθετος αριθμόςσι.
ένα-b=α+(-σι)

όπου b και –b είναι αντίθετοι αριθμοί.

Παράδειγμα:
5-2=5+(-2)=3

Αφαίρεση θετικών ακεραίων σε παραδείγματα.

Παράδειγμα:
Αφαιρέστε από τον ακέραιο αριθμό 12 τον αριθμό 5.

Λύση:
Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοράς, πρέπει να αντικαταστήσουμε το αφαιρούμενο 5 με τον αντίθετο αριθμό, δηλαδή -5 και να εκτελέσουμε.

Παράδειγμα:
Από τον αριθμό 37 αφαιρέστε τον αριθμό 56.

Λύση:
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τον αφαιρούμενο αριθμό 56 με τον αντίθετο αριθμό, δηλαδή τον αριθμό -56 και να εκτελέσετε την πρόσθεση ακεραίων με διαφορετικά πρόσημα.

37-56=37+(-56)=-21

Παράδειγμα:
Αφαιρέστε 7 από -4.

Λύση:
Αντικαθιστούμε τον αφαιρούμενο αριθμό 7 με τον αντίθετο αριθμό -7 και προσθέτουμε από σύμφωνα με τον κανόνα

4-7=-4+(-7)=-11

Αφαίρεση αρνητικών ακεραίων σε παραδείγματα.

Παράδειγμα:
Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 6 και -8.

Λύση:
Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοράς, πρέπει να αντικαταστήσετε το αφαιρούμενο -8 με τον αντίθετο αριθμό +8 ή 8 και να υπολογίσετε το άθροισμα των ακεραίων. Παίρνουμε:

Αφαιρέστε το -10 από τον ακέραιο αριθμό -14.
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε το αφαιρούμενο -10 με τον αντίθετο αριθμό +10 ή 10 σύμφωνα με τον κανόνα για την αφαίρεση ακεραίων και στη συνέχεια να εκτελέσετε την πρόσθεση.

14-(-10)=-14+10=-4

Αφαιρέστε το μηδέν από τους ακέραιους αριθμούς.

Εάν αφαιρέσετε το μηδέν από έναν ακέραιο, τότε ο αριθμός δεν αλλάζει..

Εξετάστε ένα παράδειγμα:
3-0=3+0=3

α-0=ένα

Αν αφαιρέσουμε το μηδέν από το μηδέν, θα έχουμε μηδέν.

Αφαίρεση πανομοιότυπων ακεραίων.

Σκεφτείτε το πρόβλημα:
Ο Misha έλαβε 2 γλυκά από τη μητέρα του και αμέσως κέρασε τον φίλο του Sasha με δύο γλυκά. Πόσα γλυκά έχει μείνει στον Μίσα;

Λύση:
Ο Misha έλαβε 2 καραμέλες και χάρισε 2 καραμέλες, μαθηματικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση: Ο Misha έχει 0 καραμέλες.

Δηλαδή αν το κάνεις Αφαιρώντας ίσους αριθμούς προκύπτει μηδέν.

Έλεγχος του αποτελέσματος της αφαίρεσης.

Πώς να ελέγξετε αν έχετε βρει σωστά τη διαφορά δύο ακεραίων;
Η απάντηση είναι απλή, βρίσκεται στον ίδιο τον ορισμό της διαφοράς δύο ακεραίων. Χρειάζομαι προσθέστε τη διαφορά με το υπόβαθρο, παίρνουμε το minuend. Ο προφορικός τύπος θα μοιάζει με αυτό:

Διαφορά+Αφαιρούμενο=Μειωμένο

Παράδειγμα:
19-5=14

Το 19 είναι μειωμένο μας.
5 - αφαιρείται?
14 - διαφορά.

Ας ελέγξουμε:
Προσθέτουμε το minuend στη διαφορά, αν η αφαίρεση έγινε σωστά, παίρνουμε το minuend.

Ενα άλλο παράδειγμα:
Εκτελέστε μια δοκιμή αφαίρεσης 12-23=-11

12 - μειωμένο?
23 - αφαιρεθεί?
-11 - διαφορά.

Ας ελέγξουμε την αφαίρεση:
Διαφορά+Αφαιρούμενο=Μειωμένο

Αφαίρεση σημαίνει αφαίρεση ενός αριθμού από έναν άλλο.

Η αφαίρεση είναι μια πράξη κατά την οποία ένας μικρότερος αριθμός αφαιρείται από έναν μεγαλύτερο.Κατά την αφαίρεση ακεραίων, ο μεγαλύτερος αριθμός μειώνεται κατά τόσες μονάδες όσες υπάρχουν στον μικρότερο. Η αφαίρεση ενός αριθμού από έναν άλλο σημαίνει απορρίπτωο ένας αριθμός στον άλλο, άρα υπάρχει αφαίρεση η αντίστροφη δράση της πρόσθεσης.

Στην αφαίρεση καλούνται δύο δεδομένοι αριθμοί μειώνεται και αφαιρείται και το επιθυμητό - διαφορά .

Ένας μικρότερος αριθμός ονομάζεται μεγαλύτερος αριθμός, από τον οποίο αφαιρείται ένας άλλος.Μειώνεται με την αφαίρεση.

Ο αφαιρούμενος είναι ο μικρότερος αριθμός που αφαιρείται από τον μεγαλύτερο.

Η διαφορά είναι η έξοδος που προκύπτει από την αφαίρεση.Η διαφορά καθορίζει πώς ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από έναν άλλο ή δείχνει τη διαφορά μεταξύ δύο αριθμών.

σημάδι αφαίρεσης. Η λειτουργία της αφαίρεσης υποδεικνύεται με το σύμβολο - (μείον).

Μονοψήφια αφαίρεση

Για να υποδείξετε ότι το 6 πρέπει να αφαιρεθεί από το 9, αυτοί οι αριθμοί γράφονται δίπλα δίπλα, χωρίζοντάς τους με ένα σύμβολο - (μείον):

Η διαφορά μεταξύ αυτών των αριθμών θα είναι 3 και η πορεία του υπολογισμού εκφράζεται προφορικά:

εννέα μείον έξι ίσον τρία.

Γραπτά:

Ένας μεγαλύτερος αριθμός 9 θα μειωθεί, ένας μικρότερος αριθμός 6 θα αφαιρεθεί, ο αριθμός 3 θα είναι το υπόλοιπο.

Μέθοδοι αφαίρεσης

Υπάρχουν δύο τρόποι για να αφαιρέσετε έναν αριθμό από έναν άλλο:

ή μπορείτε να αφαιρέσετε τόσες μονάδες από τον μεγαλύτερο αριθμό όσες υπάρχουν στον μικρότερο. Άρα, η αφαίρεση 6 από το 9 σημαίνει αφαίρεση 6 από το 9. Ο αριθμός 3 θα είναι το επιθυμητό υπόλοιπο.

ή μπορείτε να προσθέσετε ένα σε έναν μικρότερο αριθμό μέχρι να λάβετε μεγαλύτερο αριθμό. Έτσι, αφαιρώντας το 6 από το 9, προσθέτουμε 3 μονάδες στο 6. Ο αριθμός των μονάδων που πρέπει να προστεθούν στον μικρότερο αριθμό για να εξισωθεί με τον μεγαλύτερο καθορίζει τη διαφορά. Ο μικρότερος αριθμός με τη διαφορά πρέπει να είναι ίσος με τον μεγαλύτερο αριθμό, επομένως, ο μικρότερος αριθμός και η διαφορά είναι όροι και ο μεγαλύτερος είναι το άθροισμά τους. Βασισμένο σε αυτό ένας άλλος ορισμός της αφαίρεσης:

Η αφαίρεση είναι μια πράξη στην οποία, δεδομένου του αθροίσματος και ενός όρου, βρίσκεται ένας άλλος όρος.

Σε αυτήν την περίπτωση το δεδομένο ποσό είναι το minuend, ο δεδομένος όρος είναι το αφαιρέσιμο ποσό και η απαίτησηκαι εγώ διαφορά- άλλος όρος.

Πολυψήφια αφαίρεση

Η αφαίρεση πολυψήφιων αριθμών βασίζεται στην ιδιότητα των αριθμών, σύμφωνα με την οποία η αφαίρεση ενός αριθμού είναι το ίδιο με την αφαίρεση όλων των μερών του. Από αυτή την ιδιότητα φαίνεται ότι η αφαίρεση κάποιου αριθμού είναι το ίδιο με την αφαίρεση όλων των μονάδων του, δεκάδων, εκατοντάδων κ.λπ. Για να υποδείξουν ότι το 3517 πρέπει να αφαιρεθεί από τον αριθμό 7228, γράφουν:

και αφαιρούμε χωριστά μονάδες από μονάδες, δεκάδες από δεκάδες κ.λπ.

Για να διευκολύνουν την αφαίρεση, υπογράφουν έναν μικρότερο αριθμό κάτω από έναν μεγάλο, έτσι ώστε οι μονάδες της ίδιας σειράς να βρίσκονται στην ίδια κάθετη στήλη, σχεδιάζουν μια γραμμή, βάζουν ένα σύμβολο αφαίρεσης στα αριστερά - και υπογράφουν τη διαφορά κάτω από τη γραμμή.

Η πορεία του υπολογισμού εκφράζεται προφορικά:

Ξεκινώντας την αφαίρεση με απλές μονάδες: 8 μείον 7 είναι 1; υπογεγραμμένο στις μονάδες 1.

Αφαιρέστε δεκάδες: 2 χωρίς 1 δίνει 1, υπογράφουμε κάτω από δεκάδες 1.

Αφαιρέστε εκατοντάδες. Το πέντε δεν μπορεί να αφαιρεθεί από το 2, οπότε παίρνουμε ένα από την επόμενη υψηλότερη τάξη (χιλιάδες), την οποία συμβολίζουμε βάζοντας μια τελεία πάνω από το 7. Κάθε μονάδα παραγγελίας περιέχει 10 μονάδες της επόμενης χαμηλότερης τάξης. Προσθέτοντας αυτές τις 10 μονάδες σε 2, παίρνουμε 12. 12 χωρίς 5 είναι 7, υπογράφουμε με εκατοντάδες 7. Όταν κάποιος λαμβάνεται από υψηλότερη τάξη, αυτό υποδεικνύεται βάζοντας μια τελεία πάνω από τη σειρά από την οποία καταλαμβάνουν.

Αφαιρέστε χιλιάδες.Αντί για 7, έμειναν μόνο 6 χιλιάδες, για το ένα λήφθηκε. 6 μείον 3 είναι 3. υπογράψτε κάτω από χιλιάδες 3.

Η πρόοδος του υπολογισμού εκφράζεται γραπτώς:

Παράδειγμα. Αφαιρέστε το 6025 από το 17004.

Το 5 δεν μπορεί να αφαιρεθεί από το 4. Δανειζόμαστε ένα από τα δεκάδες, την επόμενη υψηλότερη τάξη, αλλά δεν υπάρχουν σε αυτήν τη σειρά. δανειζόμαστε από εκατοντάδες, και δεν υπάρχουν εκατοντάδες. δανειζόμαστε από χιλιάδες και το συμβολίζουμε με μια τελεία πάνω από τον αριθμό 7.

Η μονάδα του τέταρτου έχει 10 μονάδες τρίτης τάξης. Παίρνοντας ένα από αυτά για δεκάδες, τα αφήνουμε σε εκατοντάδες μόνο 9. Προσθέτοντας 10 στα 4, έχουμε 14.

Αφαιρώντας, παίρνουμε:

για τις μονάδες 14 - 5 = 9

για δεκάδες 9 - 2 = 7

για εκατοντάδες 9 - 0 = 9

για χιλιάδες 6 - 6 = 0

Για δεκάδες χιλιάδες, έχουμε 1, γιατί μεταφέρουμε αυτόν τον αριθμό του μειωμένου στη διαφορά χωρίς αλλαγή.

Η πορεία υπολογισμού θα εκφραστεί γραπτώς:

Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε κανόνες αφαίρεσης:

Για να αφαιρέσετε ακέραιους αριθμούς, πρέπει να υπογράψετε το subtrahend κάτω από το minuend, έτσι ώστε οι μονάδες της ίδιας σειράς να βρίσκονται στην ίδια κάθετη στήλη, να σχεδιάσετε μια γραμμή, κάτω από την οποία υπογράφετε τη διαφορά.

Η αφαίρεση πρέπει να ξεκινά με απλές μονάδες, δηλαδή από την πρώτη στήλη, και στη συνέχεια, μεταβαίνοντας στις επόμενες στήλες από το δεξί χέρι προς τα αριστερά, να αφαιρούνται οι δεκάδες από τις δεκάδες, οι εκατοντάδες από τις εκατοντάδες κ.λπ.

Εάν το ψηφίο του αφαιρεθέντος είναι μικρότερο από το ψηφίο του μειωμένου, η διαφορά υπογράφεται στην ίδια στήλη. αν τα ψηφία είναι ίσα, η διαφορά θα είναι μηδέν. Εάν το ψηφίο του υποκατηγορούμενου είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο ψηφίο του μειωμένου, πάρτε ένα από την επόμενη σειρά του μειωμένου, σημειώνοντάς το με μια κουκκίδα πάνω από το σχήμα από το οποίο είναι κατειλημμένο, εφαρμόστε το 10 στο ψηφίο του μειωμένου και αφαιρώ. Ο αριθμός με μια τελεία θεωρείται ένα λιγότερο.

Εάν, κατά την αφαίρεση, το ψηφίο του minuend, από το οποίο παίρνουν, θα είναι 0, ακολουθούμενο από μηδενικά στο minuend, τότε παίρνουν από το πρώτο σημαντικό ψηφίο, βάζοντας τελείες πάνω από αυτό και όλα τα ενδιάμεσα μηδενικά. Ένα ψηφίο με τελεία μετράται ως ένα λιγότερο και τα μηδενικά με τελεία μετρώνται ως 9.

Η αφαίρεση συνεχίζεται μέχρι να ληφθεί η συνολική διαφορά.

Τα επιπλέον ψηφία του minuend μεταφέρονται στη διαφορά.

Σχέση μεταξύ δεδομένων και επιθυμητές αφαιρέσεις

Από το παράδειγμα 9 - 6 = 3, φαίνεται ότι

Το minuend είναι ίσο με το subtrahend, που προστίθεται στη διαφορά: 9 = 6 + 3.

Subtrahend ίσον minuend χωρίς διαφορά: 6 = 9 - 3.

Η διαφορά είναι ίση με το minuend χωρίς το subtrahend: 3 = 9 - 6.

Αριθμητική πρόσθεση. Η διαφορά μεταξύ ενός αριθμού και της πλησιέστερης μεγαλύτερης μονάδας ονομάζεται αριθμητικό συμπλήρωμα. Άρα, τα αριθμητικά συμπληρώματα των αριθμών 7, 79, 983 θα είναι οι αριθμοί:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Η αριθμητική προσθήκη μερικές φορές χρησιμοποιείται για τη διευκόλυνση των αριθμητικών υπολογισμών.

Υπάρχουν τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Αποτελούν τη βάση των μαθηματικών, με τη βοήθειά τους εκτελούνται όλοι οι άλλοι, πιο περίπλοκοι υπολογισμοί. Η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι τα πιο απλά από αυτά και είναι αμοιβαία αντίθετα. Αλλά με τους όρους που χρησιμοποιούνται επιπλέον, συναντάμε συχνά στη ζωή.

Μιλάμε για «συνδυασμό προσπαθειών» προσπαθώντας από κοινού να επιτύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα, για «συστατικά της επιτευχθείσας επιτυχίας» κ.λπ. Τα ονόματα που σχετίζονται με την αφαίρεση παραμένουν εντός των ορίων των μαθηματικών, σπάνια εμφανίζονται στην καθημερινή ομιλία. Επομένως, οι λέξεις «αφαιρείται», «μειώνεται», «διαφορά» είναι λιγότερο συχνές. Ο κανόνας εύρεσης καθενός από αυτά τα συστατικά μπορεί να εφαρμοστεί μόνο εάν κατανοηθεί η σημασία αυτών των ονομάτων.

Σε αντίθεση με πολλούς επιστημονικούς όρους που έχουν ελληνική, λατινική ή αραβική προέλευση, στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται λέξεις με ρωσικές ρίζες. Δεν είναι λοιπόν δύσκολο να κατανοήσουμε τη σημασία τους, πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να θυμηθούμε τι συμβολίζεται με ποιον όρο.

Αν κοιτάξετε προσεκτικά το ίδιο το όνομα, γίνεται αντιληπτό ότι σχετίζεται με τις λέξεις "διαφορετικό", "διαφορά". Από αυτό συνάγεται το συμπέρασμα ότι εννοείται η διαπιστωμένη διαφορά μεταξύ των ποσοτήτων.

Αυτή η έννοια στα μαθηματικά σημαίνει:

η διαφορά μεταξύ δύο αριθμών?
Είναι ένα μέτρο του πόσο μια ποσότητα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μια άλλη.
αυτό είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει κατά την αφαίρεση - ένας τέτοιος ορισμός προσφέρεται από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών.

Σημείωση!Αν οι ποσότητες είναι ίσες μεταξύ τους, τότε δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ τους. Άρα η διαφορά τους είναι μηδέν.

Ό,τι είναι ελάχιστα και υπόβαθρα

Όπως υποδηλώνει το όνομα, λιγότερο είναι αυτό που γίνεται λιγότερο. Και μπορείτε να κάνετε την ποσότητα μικρότερη αφαιρώντας ένα μέρος από αυτήν. Έτσι, ένας μειωμένος αριθμός είναι ένας αριθμός από τον οποίο αφαιρείται ένα μέρος.

Αφαιρούμενος, αντίστοιχα, είναι ο αριθμός που αφαιρείται από αυτόν.

Minuend		Αφαιρετέος		Διαφορά
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

Χρήσιμο βίντεο: μείωση, αφαίρεση, διαφορά

Κανόνες εύρεσης άγνωστου στοιχείου

Έχοντας κατανοήσει τους όρους, είναι εύκολο να καθοριστεί με ποιον κανόνα βρίσκεται καθένα από τα στοιχεία της αφαίρεσης.

Δεδομένου ότι η διαφορά είναι το αποτέλεσμα αυτής της αριθμητικής πράξης, βρίσκεται χρησιμοποιώντας αυτήν τη λειτουργία, δεν απαιτούνται άλλοι κανόνες εδώ. Είναι όμως εκεί σε περίπτωση που ο άλλος όρος της μαθηματικής έκφρασης είναι άγνωστος.

Πώς να βρείτε το minuend

Ο όρος αυτός, όπως διαπιστώθηκε, αναφέρεται στο ποσό από το οποίο αφαιρέθηκε το τμήμα. Αν όμως το ένα αφαιρέθηκε και το άλλο παρέμενε στο τέλος, τότε ο αριθμός αποτελείται από αυτά τα δύο μέρη. Αποδεικνύεται ότι μπορείτε να βρείτε το άγνωστο μειωμένο προσθέτοντας δύο γνωστά στοιχεία.

Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση, για να βρείτε το άγνωστο, θα πρέπει να προσθέσετε το υπόστρωμα και τη διαφορά:

Ομοίως σε όλες αυτές τις περιπτώσεις:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

Πώς να βρείτε το υπόγειο

Εάν το σύνολο αποτελείται από δύο μέρη (σε αυτήν την περίπτωση, ποσότητες), τότε η αφαίρεση ενός από αυτά θα έχει ως αποτέλεσμα το δεύτερο. Με αυτόν τον τρόπο, για να βρεις το άγνωστο υπόστρωμα, αρκεί να αφαιρέσεις τη διαφορά από το σύνολο.

Άλλα παρόμοια παραδείγματα επιλύονται με τον ίδιο κανόνα.

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

Η λέξη διαφορά μπορεί να χρησιμοποιηθεί με πολλούς τρόπους. Μπορεί επίσης να σημαίνει διαφορά σε κάτι, για παράδειγμα, απόψεις, απόψεις, ενδιαφέροντα. Σε ορισμένους επιστημονικούς, ιατρικούς και άλλους επαγγελματικούς τομείς, αυτός ο όρος αναφέρεται σε διάφορους δείκτες, για παράδειγμα, επίπεδα σακχάρου στο αίμα, ατμοσφαιρική πίεση, καιρικές συνθήκες. Η έννοια της «διαφοράς», ως μαθηματικός όρος, υπάρχει επίσης.

Σε επαφή με

Αριθμητικές πράξεις με αριθμούς

Οι βασικές αριθμητικές πράξεις στα μαθηματικά είναι:

πρόσθεση;
αφαίρεση;
πολλαπλασιασμός;
διαίρεση.

Κάθε αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών έχει επίσης το δικό του όνομα:

άθροισμα - το αποτέλεσμα που προκύπτει με την προσθήκη αριθμών.
διαφορά - το αποτέλεσμα που προκύπτει με την αφαίρεση αριθμών.
γινόμενο - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.
πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης.

Εξηγώντας τις έννοιες άθροισμα, διαφορά, γινόμενο και πηλίκο στα μαθηματικά σε μια απλούστερη γλώσσα, μπορούμε απλά να τις γράψουμε μόνο ως φράσεις:

ποσό - προσθήκη?
διαφορά - αφαιρώ?
προϊόν - πολλαπλασιάστε?
ιδιωτική - μετοχή.

Λαμβάνοντας υπόψη τους ορισμούς, ποια είναι η διαφορά των αριθμών στα μαθηματικά, αυτή η έννοια μπορεί να χαρακτηριστεί με διάφορους τρόπους:

Και όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι αληθινοί.

Πώς να βρείτε τη διαφορά στις τιμές

Ας πάρουμε ως βάση τη σημείωση της διαφοράς που μας προσφέρει το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Η διαφορά είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ενός αριθμού από τον άλλο. Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς, από τον οποίο πραγματοποιείται η αφαίρεση, ονομάζεται minuend και ο δεύτερος, που αφαιρείται από τον πρώτο, ονομάζεται subtrahend.

Για άλλη μια φορά καταφεύγοντας στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, βρίσκουμε έναν κανόνα για το πώς να βρείτε τη διαφορά:

Για να βρείτε τη διαφορά, αφαιρέστε το minuend από το minuend.

Ολα ΕΝΤΑΞΕΙ. Ταυτόχρονα όμως, πήραμε μερικούς ακόμη μαθηματικούς όρους. Τι εννοούν?

Η φθίνουσα είναι ένας μαθηματικός αριθμός από τον οποίο αφαιρείται και μειώνεται (γίνεται μικρότερος).
Το subtrahend είναι ο μαθηματικός αριθμός που αφαιρείται από το minuend.

Τώρα είναι σαφές ότι η διαφορά αποτελείται από δύο αριθμούς, οι οποίοι πρέπει να είναι γνωστοί για να υπολογιστεί. Και πώς να τα βρούμε, χρησιμοποιούμε επίσης τους ορισμούς:

Για να βρείτε το minuend, προσθέστε τη διαφορά στο minuend.
Για να βρείτε το subtrahend, πρέπει να αφαιρέσετε τη διαφορά από το minuend.

Μαθηματικές πράξεις με διαφορά αριθμών

Με βάση τους παραγόμενους κανόνες, μπορούμε να εξετάσουμε επεξηγηματικά παραδείγματα. Τα μαθηματικά είναι μια ενδιαφέρουσα επιστήμη. Εδώ θα πάρουμε μόνο τους απλούστερους αριθμούς για λύση. Έχοντας μάθει να τις αφαιρείτε, θα μάθετε πώς να λύνετε πιο σύνθετες τιμές, τριψήφιες, τετραψήφιες, ακέραιες, κλασματικές, σε δυνάμεις, ρίζες, άλλες.

Απλά παραδείγματα

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ δύο τιμών.

20 - φθίνουσα τιμή,

15 - αφαιρείται.

Λύση: 20 - 15 = 5

Απάντηση: 5 - η διαφορά στις τιμές.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το minuend.

48 - διαφορά,

32 - αφαιρεθείσα τιμή.

Λύση: 32 + 48 = 80

Παράδειγμα 3. Βρείτε την τιμή που πρέπει να αφαιρεθεί.

7 - διαφορά,

17 - μειωμένη αξία.

Λύση: 17 - 7 = 10

Απάντηση: η τιμή που αφαιρείται είναι 10.

Πιο σύνθετα παραδείγματα

Στα παραδείγματα 1-3, εξετάζονται ενέργειες με απλούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά στα μαθηματικά, η διαφορά υπολογίζεται χρησιμοποιώντας όχι μόνο δύο, αλλά και πολλούς αριθμούς, καθώς και ακέραιους, κλασματικούς, ορθολογικούς, παράλογους κ.λπ.

Παράδειγμα 4. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ τριών τιμών.

Δίνονται ακέραιες τιμές: 56, 12, 4.

56 - φθίνουσα τιμή,

Το 12 και το 4 είναι τιμές που αφαιρούνται.

Η λύση μπορεί να γίνει με δύο τρόπους.

Μέθοδος 1 (διαδοχική αφαίρεση των αφαιρούμενων τιμών):

1) 56 - 12 = 44 (εδώ 44 είναι η προκύπτουσα διαφορά μεταξύ των δύο πρώτων τιμών, η οποία θα μειωθεί στη δεύτερη ενέργεια).

Μέθοδος 2 (αφαίρεση δύο αφαιρούμενων από το μειωμένο άθροισμα, που στην περίπτωση αυτή ονομάζονται όροι):

1) 12 + 4 = 16 (όπου 16 είναι το άθροισμα δύο όρων, οι οποίοι θα αφαιρεθούν στο επόμενο βήμα).

2) 56 - 16 = 40.

Απάντηση: Το 40 είναι η διαφορά τριών τιμών.

Παράδειγμα 5. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ ρητών κλασματικών αριθμών.

Δίνονται κλάσματα με ίδιους παρονομαστές, όπου

4/5 - μειωμένο κλάσμα,

3/5 - αφαιρούνται.

Για να ολοκληρώσετε τη λύση, πρέπει να επαναλάβετε τις ενέργειες με κλάσματα. Δηλαδή, πρέπει να ξέρετε πώς να αφαιρείτε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή. Πώς αντιμετωπίζουμε τα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Πρέπει να μπορούν να τα φέρουν σε έναν κοινό παρονομαστή.

Λύση: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Απάντηση: 1/5.

Παράδειγμα 6. Τριπλασιάστε τη διαφορά των αριθμών.

Πώς όμως να εκτελέσετε ένα τέτοιο παράδειγμα όταν θέλετε να διπλασιάσετε ή να τριπλασιάσετε τη διαφορά;

Ας επιστρέψουμε στους κανόνες:

Ένας διπλός αριθμός είναι μια τιμή πολλαπλασιασμένη επί δύο.
Ένας τριπλός αριθμός είναι μια τιμή πολλαπλασιαζόμενη επί τρία.
Η διπλασιασμένη διαφορά είναι η διαφορά στις τιμές πολλαπλασιαζόμενη επί δύο.
Τριπλή διαφορά είναι η διαφορά στις τιμές πολλαπλασιαζόμενη επί τρία.

7 - μειωμένη τιμή,

5 - αφαιρούμενη τιμή.

2) 2 * 3 = 6. Απάντηση: Το 6 είναι η διαφορά μεταξύ των αριθμών 7 και 5.

Παράδειγμα 7. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ 7 και 18.

7 - μειωμένη τιμή.

18 - αφαιρείται.

Όλα δείχνουν να είναι ξεκάθαρα. Να σταματήσει! Είναι το subtrahend μεγαλύτερο από το minuend;

Και πάλι, υπάρχει ένας κανόνας που εφαρμόζεται για μια συγκεκριμένη περίπτωση:

Εάν το αφαιρούμενο είναι μεγαλύτερο από το minuend, η διαφορά θα είναι αρνητική.

Απάντηση: - 11. Αυτή η αρνητική τιμή είναι η διαφορά μεταξύ των δύο τιμών, με την προϋπόθεση ότι η αφαιρούμενη τιμή είναι μεγαλύτερη από τη μειωμένη.

Μαθηματικά για ξανθιές

Στον Παγκόσμιο Ιστό, μπορείτε να βρείτε πολλούς θεματικούς ιστότοπους που θα απαντήσουν σε οποιαδήποτε ερώτηση. Με τον ίδιο τρόπο, οι ηλεκτρονικές αριθμομηχανές για κάθε γούστο θα σας βοηθήσουν σε οποιουσδήποτε μαθηματικούς υπολογισμούς. Όλοι οι υπολογισμοί που γίνονται σε αυτά είναι μια μεγάλη βοήθεια για τους βιαστικούς, αδιάκριτους, τεμπέληδες. Το Math for Blondes είναι ένας τέτοιος πόρος. Και σε αυτό καταφεύγουμε όλοι, ανεξαρτήτως χρώματος μαλλιών, φύλου και ηλικίας.

Στο σχολείο, μάθαμε να υπολογίζουμε τέτοιες ενέργειες με μαθηματικά μεγέθη σε μια στήλη και αργότερα σε μια αριθμομηχανή. Η αριθμομηχανή είναι επίσης ένα εύχρηστο εργαλείο. Αλλά, για την ανάπτυξη της σκέψης, της διάνοιας, της προοπτικής και άλλων ζωτικών ιδιοτήτων, σας συμβουλεύουμε να κάνετε αριθμητικές πράξεις σε χαρτί ή ακόμα και στο μυαλό σας. Η ομορφιά του ανθρώπινου σώματος είναι το μεγάλο επίτευγμα του σύγχρονου fitness plan. Αλλά ο εγκέφαλος είναι επίσης ένας μυς που μερικές φορές χρειάζεται άντληση. Έτσι, χωρίς καθυστέρηση, αρχίστε να σκέφτεστε.

Και ακόμα κι αν στην αρχή της διαδρομής οι υπολογισμοί περιορίζονται σε πρωτόγονα παραδείγματα, όλα είναι μπροστά σας. Και υπάρχουν πολλά να μάθουμε. Βλέπουμε ότι υπάρχουν πολλές ενέργειες με διαφορετικές αξίες στα μαθηματικά. Επομένως, εκτός από τη διαφορά, είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τον τρόπο υπολογισμού των υπόλοιπων αποτελεσμάτων αριθμητικών πράξεων:

άθροισμα - προσθέτοντας τους όρους.
προϊόν - με πολλαπλασιαστικούς παράγοντες.
πηλίκο - διαίρεση του μερίσματος με τον διαιρέτη.

Εδώ είναι μερικά ενδιαφέροντα μαθηματικά.

Προσδιορισμός του αθροίσματος των αριθμών

άθροισμα (λατ. άθροισμα- σύνολο, συνολικός αριθμός) των αριθμών είναι το αποτέλεσμα της άθροισης αυτών των αριθμών:. Συγκεκριμένα, αν δύο αριθμοί και προστεθούν μαζί, τότε

Ασκηση.Βρείτε το άθροισμα των αριθμών:

Απάντηση.

Ιδιότητες αθροίσματος

Συνεταιρισμός:

Με βάση αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το άθροισμα δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των θέσεων των όρων.

Κατανομή ως προς τον πολλαπλασιασμό

Ασκηση.Βρείτε το άθροισμα των αριθμών με βολικό τρόπο:

Λύση.Από τις ιδιότητες της πρόσθεσης, έχουμε

Απάντηση. 1)

Κατά την προσθήκη μεγάλων αριθμών ή δεκαδικών, χρησιμοποιείται η προσθήκη στηλών.

Λύση.Προσθέτουμε αυτούς τους αριθμούς σε μια στήλη, για αυτό τους γράφουμε το ένα κάτω από το άλλο, την εκκένωση κάτω από την εκκένωση. Στην περίπτωση των δεκαδικών κλασμάτων, εστιάζουμε στο γεγονός ότι το κόμμα του πρώτου αριθμού βρίσκεται κάτω από το κόμμα του δεύτερου. Στη συνέχεια, προσθέστε τους αριθμούς που στέκονται ο ένας κάτω από τον άλλο, μετακινούμενοι από δεξιά προς τα αριστερά και γράφοντας το αποτέλεσμα κάτω από τη γραμμή του κλάσματος. Εάν το άθροισμα των αριθμών σε μια στήλη υπερβαίνει το δέκα, τότε ο αριθμός των δεκάδων προστίθεται στους αριθμούς της επόμενης στήλης στα αριστερά αυτής της στήλης:

Απάντηση. 1)

Η προσθήκη ορθολογικών κλασμάτων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα

Λύση.Υπολογίστε το πρώτο άθροισμα χρησιμοποιώντας τον κανόνα της πρόσθεσης ρητών αριθμών

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος που προκύπτει μπορούν να μειωθούν κατά 2, τότε στην απάντηση παίρνουμε

Για να υπολογίσουμε το δεύτερο άθροισμα, μετατρέπουμε πρώτα τον δεύτερο όρο σε ακατάλληλο κλάσμα, για αυτό πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος με τον παρονομαστή και προσθέτουμε τον αριθμό που προκύπτει στον αριθμητή. Στη συνέχεια, εφαρμόστε τον κανόνα της πρόσθεσης ορθολογικών κλασμάτων

Επιλέγουμε το ακέραιο μέρος στο κλάσμα που προκύπτει, γι 'αυτό διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με ένα υπόλοιπο. Γράφουμε το πηλίκο που προκύπτει στο ακέραιο μέρος και το υπόλοιπο της διαίρεσης στον αριθμητή.

Απάντηση. 1) ; 2)

Πώς να βρείτε τη διαφορά των αριθμών στα μαθηματικά

Αριθμητικές πράξεις με αριθμούς

πηλίκο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης.

ποσό - προσθήκη?

προϊόν - πολλαπλασιάστε?

Η διαφορά μεταξύ των αριθμών σημαίνει πόσο ο ένας από αυτούς είναι μεγαλύτερος από τον άλλο.

Αυτός είναι ο αριθμός που είναι το υπόλοιπο όταν δύο τιμές είναι μείον.

Είναι το αποτέλεσμα μιας από τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις, που είναι η αφαίρεση.

Αυτό συμβαίνει αν αφαιρέσετε το subtrahend από το minuend.

Πώς να βρείτε τη διαφορά στις τιμές

Η διαφορά είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης ενός αριθμού από τον άλλο. Ο πρώτος από αυτούς τους αριθμούς, από τον οποίο πραγματοποιείται η αφαίρεση, ονομάζεται minuend και ο δεύτερος, που αφαιρείται από τον πρώτο, ονομάζεται subtrahend.

Παράδειγμα 3. Βρείτε την τιμή που πρέπει να αφαιρεθεί.

Λύση: 17 - 7 = 10

Δίνονται ακέραιες τιμές: 56, 12, 4.

Το 12 και το 4 είναι τιμές που αφαιρούνται.

Μέθοδος 1 (διαδοχική αφαίρεση των αφαιρούμενων τιμών):

Μέθοδος 2 (αφαίρεση δύο αφαιρούμενων από το μειωμένο άθροισμα, που στην περίπτωση αυτή ονομάζονται όροι):

Απάντηση: Το 40 είναι η διαφορά τριών τιμών.

Παράδειγμα 5. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ ρητών κλασματικών αριθμών.

Δίνονται κλάσματα με ίδιους παρονομαστές, όπου

4/5 - μειωμένο κλάσμα,

Λύση: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Πώς όμως να εκτελέσετε ένα τέτοιο παράδειγμα όταν θέλετε να διπλασιάσετε ή να τριπλασιάσετε τη διαφορά;

Ένας διπλός αριθμός είναι μια τιμή πολλαπλασιασμένη επί δύο.
Ένας τριπλός αριθμός είναι μια τιμή πολλαπλασιαζόμενη επί τρία.
Η διπλασιασμένη διαφορά είναι η διαφορά στις τιμές πολλαπλασιαζόμενη επί δύο.
Τριπλή διαφορά είναι η διαφορά στις τιμές πολλαπλασιαζόμενη επί τρία.

2) 2 * 3 = 6. Απάντηση: Το 6 είναι η διαφορά μεταξύ των αριθμών 7 και 5.

7 - μειωμένη τιμή.

Εάν το αφαιρούμενο είναι μεγαλύτερο από το minuend, η διαφορά θα είναι αρνητική.

προϊόν - με πολλαπλασιαστικούς παράγοντες.
πηλίκο - διαίρεση του μερίσματος με τον διαιρέτη.

Οι βασικές αριθμητικές πράξεις στα μαθηματικά είναι:

Κάθε αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών έχει επίσης το δικό του όνομα:

άθροισμα - το αποτέλεσμα που προκύπτει με την προσθήκη αριθμών.
γινόμενο - το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των αριθμών.

Αυτό είναι ενδιαφέρον: ποιο είναι το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού;

διαφορά - αφαιρώ?
ιδιωτική - μετοχή.

Είναι η αφαίρεση ενός αριθμού από τον άλλο.

Ας πάρουμε ως βάση τη σημείωση της διαφοράς που μας προσφέρει το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Η φθίνουσα είναι ένας μαθηματικός αριθμός από τον οποίο αφαιρείται και μειώνεται (γίνεται μικρότερος).
Το subtrahend είναι ο μαθηματικός αριθμός που αφαιρείται από το minuend.
Για να βρείτε το minuend, προσθέστε τη διαφορά στο minuend.
Για να βρείτε το subtrahend, πρέπει να αφαιρέσετε τη διαφορά από το minuend.

Μαθηματικές πράξεις με διαφορά αριθμών

Λύση: 20 - 15 = 5

Λύση: 32 + 48 = 80

Απάντηση: η τιμή που αφαιρείται είναι 10.

Πιο σύνθετα παραδείγματα

Η λύση μπορεί να γίνει με δύο τρόπους.

1) 12 + 4 = 16 (όπου 16 είναι το άθροισμα δύο όρων, οι οποίοι θα αφαιρεθούν στο επόμενο βήμα).

Όλα δείχνουν να είναι ξεκάθαρα. Να σταματήσει! Είναι το subtrahend μεγαλύτερο από το minuend;

Μαθηματικά για ξανθιές

διαφορά - το αποτέλεσμα που προκύπτει με την αφαίρεση αριθμών.

Διαφορά στα μαθηματικά

Η διαφορά στα μαθηματικά είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει αφαιρώντας δύο ή περισσότερους αριθμούς ο ένας από τον άλλο.
Αυτή είναι η τιμή που προκύπτει από την αφαίρεση δύο τιμών.
Η διαφορά δείχνει την ποσοτική διαφορά μεταξύ δύο αριθμών.

Και όλοι αυτοί οι ορισμοί είναι αληθινοί.

Για να βρείτε τη διαφορά, αφαιρέστε το minuend από το minuend.

Ολα ΕΝΤΑΞΕΙ. Ταυτόχρονα όμως, πήραμε μερικούς ακόμη μαθηματικούς όρους. Τι εννοούν?

Απλά παραδείγματα

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ δύο τιμών.

20 - φθίνουσα τιμή,

Απάντηση: 5 - η διαφορά στις τιμές.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το minuend.

32 - αφαιρεθείσα τιμή.

17 - μειωμένη αξία.

Παράδειγμα 4. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ τριών τιμών.

56 - φθίνουσα τιμή,

Παράδειγμα 6. Τριπλασιάστε τη διαφορά των αριθμών.

Ας επιστρέψουμε στους κανόνες:

7 - μειωμένη τιμή,

5 - αφαιρούμενη τιμή.

Παράδειγμα 7. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ 7 και 18.

Και πάλι, υπάρχει ένας κανόνας που εφαρμόζεται για μια συγκεκριμένη περίπτωση:

άθροισμα - προσθέτοντας τους όρους.

Εδώ είναι μερικά ενδιαφέροντα μαθηματικά.

Μαθηματικά Α' τάξης. "Άθροισμα και έννοια του αθροίσματος"

Στόχοι:

Να γνωρίσουν και να διαμορφώσουν τη δυνατότητα χρήσης των μαθηματικών όρων «άθροισμα», «αξία του αθροίσματος». Βελτιώστε τις υπολογιστικές σας δεξιότητες.

Αναπτύξτε την ικανότητα σύγκρισης, ανάλυσης, γενίκευσης. Ανάπτυξη μαθηματικού λόγου, ενδιαφέρον για τα μαθηματικά.

Καλλιεργήστε την ανεξαρτησία, την πειθαρχία, την ικανότητα να εργάζεστε σε ομάδα.

Εξοπλισμός: Κιμωλία, πίνακας, κάρτες, εγκατάσταση πολυμέσων, παρουσίαση.

1. Οργάνωση της τάξης για το μάθημα.

2. Αναφορά του θέματος και των στόχων του μαθήματος:

Σήμερα στο μάθημα θα ανακαλύψουμε και θα αποκαλύψουμε τα μυστικά των μαθηματικών. Λοιπόν, πήγαινε!

3. Γνωριμία με νέο υλικό.

Παιδιά, σας αρέσουν τα παραμύθια; Τι γίνεται με τις ιστορίες του Walt Disney; Τώρα θα διαβάσω ένα απόσπασμα από ένα παραμύθι, και προσπαθήστε να μαντέψετε ποιος είναι.

Ξύπνα, φίλε Κουκουβάγια!- φώναξε εύθυμα ο λαγός Χοντρός.- Ένας νέος πρίγκιπας γεννήθηκε!

Τα καλά νέα διαδόθηκαν αμέσως μέσα στο δάσος και όλοι οι κάτοικοι του δάσους έσπευσαν να κοιτάξουν το νεογέννητο ελάφι. Συγκινήθηκαν, κοιτάζοντας πώς προσπαθεί να σηκωθεί. Τα πόδια του ήταν ακόμα πολύ αδύναμα, και έπεφτε όλη την ώρα.

Ποιος τον αναγνώρισε; Αυτό είναι, πράγματι, ένα ελάφι που ονομάζεται Bambi. Και τότε μια μέρα ήρθε η ώρα να τον συστήσω στο δάσος.Από ένα παραμύθι, όλοι ξέρουμε ότι ο Μπάμπι είναι περίεργος, οπότε ήταν ευχαριστημένος με όλα όσα είδε τριγύρω.

Πάμε με ένα ελάφι σε ένα ασυνήθιστο «δάσος-μαθηματικά».

Το ελάφι μπαίνει στο ξέφωτο και βλέπει πολλά λουλούδια. Κοιτώντας όμως πιο κοντά, παρατηρεί ότι τα λουλούδια κρύβουν κάποιο μυστικό.

Βοηθήστε τον να λύσει αυτό το μυστήριο.

Κοίτα και πες μου τι βλέπεις; Ποιες είναι οι διαφορετικές μαθηματικές σημειώσεις που μπορούμε να κάνουμε;

Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού

Κατά τον υπολογισμό των αλγεβρικών πολυωνύμων, για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Υπάρχουν επτά τέτοιοι τύποι συνολικά. Πρέπει όλοι να είναι γνωστοί από καρδιάς.

Θα πρέπει επίσης να θυμόμαστε ότι αντί για "a" και "b" στους τύπους, μπορούν να υπάρχουν και αριθμοί και οποιαδήποτε άλλα αλγεβρικά πολυώνυμα.

Διαφορά τετραγώνων

Διαφορά τετραγώνωνδύο αριθμοί είναι ίσοι με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των αριθμών και το άθροισμά τους.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2 με 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

τετράγωνο αθροίσματος

Το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού συν το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού και του δεύτερου συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Σημειώστε ότι με αυτόν τον τύπο μειωμένου πολλαπλασιασμού, είναι εύκολο βρείτε τα τετράγωνα των μεγάλων αριθμώνχωρίς χρήση αριθμομηχανής ή μεγάλου πολλαπλασιασμού. Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα:

Ας αποσυνθέσουμε το 112 στο άθροισμα των αριθμών των οποίων τα τετράγωνα θυμόμαστε καλά.
112 = 100 + 1
Γράφουμε το άθροισμα των αριθμών σε αγκύλες και βάζουμε ένα τετράγωνο πάνω από τις αγκύλες.
112 2 = (100 + 12) 2
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αθροίσματος τετραγώνου:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Θυμηθείτε ότι ο τύπος του τετραγωνικού αθροίσματος ισχύει επίσης για οποιαδήποτε αλγεβρικά πολυώνυμα.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Το τετράγωνο της διαφοράς

Το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού μείον το διπλάσιο του γινόμενου του πρώτου και του δεύτερου συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Αξίζει επίσης να θυμηθούμε έναν πολύ χρήσιμο μετασχηματισμό:

Ο παραπάνω τύπος αποδεικνύεται απλά επεκτείνοντας τις παρενθέσεις:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Ο κύβος του αθροίσματος δύο αριθμών είναι ίσος με τον κύβο του πρώτου αριθμού συν το τριπλάσιο του τετραγώνου του πρώτου αριθμού επί το δεύτερο συν τριπλάσιο του γινόμενου του πρώτου επί το τετράγωνο του δεύτερου συν τον κύβο του δεύτερου.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Πώς να θυμάστε τον κύβο αθροίσματος

Η ανάμνηση αυτής της «τρομερής» φόρμουλας είναι αρκετά απλή.

Μάθετε ότι το "ένα 3" έρχεται στην αρχή.
Τα δύο πολυώνυμα στη μέση έχουν συντελεστές 3.
Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι στον τύπο υπάρχει μείωση στον βαθμό "α" και αύξηση στον βαθμό "β". Μπορείτε να το επαληθεύσετε:
(α + β) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Προειδοποίηση!

κύβος διαφοράς

κύβος διαφοράςδύο αριθμών είναι ίσος με τον κύβο του πρώτου αριθμού μείον το τριπλάσιο του τετραγώνου του πρώτου αριθμού και του δεύτερου συν τριπλάσιο του γινόμενου του πρώτου αριθμού και του τετραγώνου του δεύτερου μείον τον κύβο του δεύτερου.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Αυτός ο τύπος απομνημονεύεται όπως ο προηγούμενος, αλλά μόνο λαμβάνοντας υπόψη την εναλλαγή των σημείων "+" και "-". Πριν από τον πρώτο όρο «α 3» είναι «+» (σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, δεν τον γράφουμε). Αυτό σημαίνει ότι του επόμενου μέλους θα προηγείται το «-», και μετά πάλι το «+», κ.λπ.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Άθροισμα κύβων

Δεν πρέπει να συγχέεται με τον κύβο αθροίσματος!

Άθροισμα κύβωνισούται με το γινόμενο του αθροίσματος δύο αριθμών με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Το άθροισμα των κύβων είναι το γινόμενο δύο παρενθέσεων.

Η πρώτη παρένθεση είναι το άθροισμα δύο αριθμών.
Η δεύτερη αγκύλη είναι το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς των αριθμών. Το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς ονομάζεται έκφραση:
(a 2 − ab + b 2)
Αυτό το τετράγωνο είναι ημιτελές, αφού στη μέση, αντί για διπλό γινόμενο, υπάρχει ένα συνηθισμένο γινόμενο αριθμών.

Διαφορά των κύβων

Δεν πρέπει να συγχέεται με τον κύβο διαφορά!

Διαφορά των κύβωνισούται με το γινόμενο της διαφοράς δύο αριθμών με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Να είστε προσεκτικοί όταν γράφετε χαρακτήρες.

Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι όλοι οι παραπάνω τύποι χρησιμοποιούνται επίσης από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Πολλά παραδείγματα σε σχολικά βιβλία έχουν σχεδιαστεί για να χρησιμοποιείτε τύπους για τη συναρμολόγηση του πίσω πολυωνύμου.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Μπορείτε να κατεβάσετε έναν πίνακα με όλους τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό στην ενότητα "Κούνια".

21. Ο κύβος του αθροίσματος και ο κύβος της διαφοράς. Κανόνες

Για οποιεσδήποτε τιμές των a και b, η ισότητα είναι αληθής

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (ένας)

(α + β) 3 = (α + β) (α 2 + 2 α β + β 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Εφόσον η ισότητα (1) ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των a και b,
τύπος κύβου αθροίσματος. Αν σε αυτόν τον τύπο αντί για α και β
τότε αποκτάται και πάλι η ταυτότητα.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3 . (2)

Επομένως, ο τύπος του κύβου αθροίσματος έχει ως εξής:

ο κύβος του αθροίσματος δύο παραστάσεων είναι ίσος με τον κύβο της πρώτης παράστασης
συν το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης έκφρασης και της δεύτερης,
συν τριπλασιάστε το γινόμενο της πρώτης έκφρασης και το τετράγωνο της δεύτερης,
συν τον κύβο της δεύτερης έκφρασης.

(a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

A 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Εφόσον η ισότητα (3) ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των a και b,
τότε είναι ταυτότητα. Αυτή η ταυτότητα ονομάζεται
τύπος κύβου διαφοράς. Αν σε αυτόν τον τύπο αντί για α και β
αντικαταστήστε μερικές εκφράσεις, για παράδειγμα 5 y 3 και 2 z ,
τότε αποκτάται και πάλι η ταυτότητα.

(5 y 3 − 2 z) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (τέσσερα)

Επομένως, ο τύπος κύβου διαφοράς έχει ως εξής:

ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων είναι ίσος με τον κύβο της πρώτης παράστασης
μείον το τριπλό γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης έκφρασης και της δεύτερης,
συν τριπλασιάστε το γινόμενο της πρώτης έκφρασης και το τετράγωνο της δεύτερης,
μείον τον κύβο της δεύτερης έκφρασης.

Εργασίες με θέμα "Κύβος αθροίσματος και κύβος διαφοράς"

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του κύβου αθροίσματος ή διαφοράς, μετασχηματίστε την έκφραση
σε ένα τυπικό πολυώνυμο και επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

1) = a 3 - 3 a 2 c + 3 a c 2 - c 3

2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Λάθος. Μην κάνετε κλικ σε ένα κενό πεδίο. (x + 2y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) \u003d x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Λάθος. Λανθασμένος. Λανθασμένος. Μην κάνετε κλικ σε ένα κενό πεδίο. Λανθασμένος. (3 a − 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 - 27 a 2 b + 12 a b 2 - 8 b 3

2) = 27 a 3 - 54 a 2 b + 36 a b 2 - 8 b 3

3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Λάθος. Λανθασμένος. Μην κάνετε κλικ σε ένα κενό πεδίο. Λανθασμένος. (

Προνομιακή σύνταξη κινδύνου το 2018 Γενικές πληροφορίες Οι πολίτες που δικαιούνται προνομιακή σύνταξη κινδύνου πρέπει απαραίτητα να εργάζονται για τουλάχιστον 10 χρόνια σε επικίνδυνες και επιβλαβείς συνθήκες. Εάν δεν υπάρχει αρκετή εμπειρία, πρόσβαση σε […]
Νόμος για την προστασία των δικαιωμάτων των καταναλωτών άρθρο 27-31 Οι διαφορές σχετικά με την προστασία των καταναλωτών είναι από τις πιο κοινές και σχετικές Σε διαφορές για την προστασία των καταναλωτών, ένα από τα μέρη είναι πάντα ένας πολίτης που αγοράζει, παραγγέλνει […]
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ Εγγραφείτε στις ειδήσεις Μια επιστολή επιβεβαίωσης της συνδρομής σας έχει σταλεί στο e-mail που ορίσατε. 15 Μαρτίου 2018 Το Ταμείο Συντάξεων υπενθυμίζει ότι από το 2018 το πρόγραμμα κεφαλαίου μητρότητας έχει […]
Ο δικηγόρος απαιτεί να τιμωρηθεί ο δικαστικός επιμελητής που δεν τον άφησε να μπει στην αίθουσα Ο δικηγόρος Yevgeny Barannikov δεν επιτρεπόταν να εισέλθει στην αίθουσα για να δει τον πελάτη του, ενώ ο εισαγγελέας είχε τέτοιο δικαίωμα. Ο Μπαρανίκοφ έφτασε στο ακυρωτικό δικαστήριο στο […]
Δείγμα αξίωσης εάν παραβιάζονται τα δικαιώματα του καταναλωτή κατά τη χρήση των υπηρεσιών μιας υπηρεσίας αυτοκινήτου Κατά την παράδοση ενός αυτοκινήτου σε ένα σέρβις αυτοκινήτων, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ακολουθήσετε τη σωστή εκτέλεση των εγγράφων. Σύμφωνα με την παράγραφο 15 των «Κανόνων για την παροχή υπηρεσιών […]
Πώς να επιστρέψετε αγαθά στον προμηθευτή στο 1s Ερώτηση: Πώς να επιστρέψετε αγαθά στον προμηθευτή στο "1C: Λογιστική 8" (αναθ. 3.0); Ημερομηνία δημοσίευσης 05/11/2016 Κυκλοφορία 3.0.43 μεταχειρισμένα Επιστροφή αγαθών που δεν γίνονται δεκτά για εγγραφή Επιστροφή […]
Ίδρυση Κέντρου Κατάρτισης Επί του παρόντος, η δημιουργία κέντρου κατάρτισης είναι δυνατή με δύο τρόπους: 1. Ίδρυση Κέντρου Κατάρτισης Επαγγελματικής Κατάρτισης (για θέσεις εργασίας). 2. Δημιουργία εταιρικού εκπαιδευτικού κέντρου με τη μορφή […]
Σχετικά με την ηθική και ψυχολογική υποστήριξη των επιχειρησιακών και υπηρεσιακών δραστηριοτήτων των οργάνων εσωτερικών υποθέσεων της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΔΙΑΤΑΞΗ 11 Φεβρουαρίου 2010 Αρ. 80 Σχετικά με την ηθική και ψυχολογική […]