Τι σημαίνει ο καθορισμός ενός επιπέδου συντεταγμένων; Καρτεσιανές συντεταγμένες επίπεδων σημείων

Οι τετραγωνικές εξισώσεις εμφανίζονται συχνά κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στη φυσική και στα μαθηματικά. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς να λύσουμε αυτές τις ισότητες με καθολικό τρόπο«διά του διακρίνοντος». Στο άρθρο δίνονται και παραδείγματα χρήσης της αποκτηθείσας γνώσης.

Για ποιες εξισώσεις θα μιλάμε;

Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν τύπο στον οποίο το x είναι μια άγνωστη μεταβλητή και τα λατινικά σύμβολα a, b, c αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς.

Κάθε ένα από αυτά τα σύμβολα ονομάζεται συντελεστής. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός "a" εμφανίζεται πριν από τη μεταβλητή x στο τετράγωνο. Αυτή είναι η μέγιστη ισχύς της παράστασης που αναπαρίσταται, γι' αυτό ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση. Το άλλο όνομά του χρησιμοποιείται συχνά: εξίσωση δεύτερης τάξης. Η αξία του α είναι τετραγωνικό συντελεστή(στέκεται στο τετράγωνο της μεταβλητής), b είναι γραμμικός συντελεστής(βρίσκεται δίπλα στη μεταβλητή ανυψωμένη στην πρώτη δύναμη), τέλος, ο αριθμός c είναι ο ελεύθερος όρος.

Σημειώστε ότι ο τύπος της εξίσωσης που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα είναι μια γενική κλασική τετραγωνική έκφραση. Εκτός από αυτό, υπάρχουν και άλλες εξισώσεις δεύτερης τάξης στις οποίες οι συντελεστές b και c μπορεί να είναι μηδέν.

Όταν η εργασία έχει οριστεί να λύσει την εν λόγω ισότητα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρεθούν τέτοιες τιμές της μεταβλητής x που θα την ικανοποιούσαν. Εδώ, το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι το εξής: αφού ο μέγιστος βαθμός του Χ είναι 2, τότε αυτός ο τύποςοι εκφράσεις δεν μπορούν να έχουν περισσότερες από 2 λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι εάν, κατά την επίλυση μιας εξίσωσης, βρέθηκαν 2 τιμές του x που την ικανοποιούν, τότε μπορείτε να είστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει 3ος αριθμός, αντικαθιστώντας τον με x, η ισότητα θα ήταν επίσης αληθής. Οι λύσεις μιας εξίσωσης στα μαθηματικά ονομάζονται ρίζες της.

Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων δεύτερης τάξης

Η επίλυση εξισώσεων αυτού του τύπου απαιτεί γνώση κάποιας θεωρίας σχετικά με αυτές. ΣΕ σχολικό μάθημαοι άλγεβρες θεωρούν 4 διάφορες μεθόδουςλύσεις. Ας τα απαριθμήσουμε:

• χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση?
• χρησιμοποιώντας τον τύπο για τέλειο τετράγωνο.
• εφαρμόζοντας το χρονοδιάγραμμα των κατάλληλων τετραγωνική λειτουργία;
• χρησιμοποιώντας την εξίσωση διάκρισης.

Το πλεονέκτημα της πρώτης μεθόδου είναι η απλότητά της, ωστόσο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλες τις εξισώσεις. Η δεύτερη μέθοδος είναι καθολική, αλλά κάπως επίπονη. Η τρίτη μέθοδος διακρίνεται από τη σαφήνειά της, αλλά δεν είναι πάντα βολική και εφαρμόσιμη. Και τέλος, η χρήση της εξίσωσης διάκρισης είναι ένας καθολικός και αρκετά απλός τρόπος για να βρείτε τις ρίζες κάθε απολύτως εξίσωσης δεύτερης τάξης. Επομένως, στο άρθρο θα το εξετάσουμε μόνο.

Τύπος για τη λήψη των ριζών της εξίσωσης

Ας στραφούμε στο γενική εμφάνισητετραγωνική εξίσωση. Ας το γράψουμε: a*x²+ b*x + c =0. Πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο επίλυσής του "μέσω ενός διαχωριστικού", θα πρέπει πάντα να φέρετε την ισότητα στη γραπτή της μορφή. Δηλαδή, πρέπει να αποτελείται από τρεις όρους (ή λιγότερους αν το b ή το c είναι 0).

Για παράδειγμα, εάν υπάρχει μια παράσταση: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², τότε θα πρέπει πρώτα να μετακινήσετε όλους τους όρους της στη μία πλευρά της ισότητας και να προσθέσετε τους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή x στο ίδιες εξουσίες.

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηαυτή η λειτουργία θα οδηγήσει σε στην ακόλουθη έκφραση: -6*x²-4*x+8=0, που ισοδυναμεί με την εξίσωση 6*x²+4*x-8=0 (εδώ πολλαπλασιάσαμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ισότητας επί -1).

Στο παραπάνω παράδειγμα, a = 6, b=4, c=-8. Σημειώστε ότι όλοι οι όροι της υπό εξέταση ισότητας αθροίζονται πάντα μαζί, οπότε αν εμφανιστεί το σύμβολο «-», αυτό σημαίνει ότι ο αντίστοιχος συντελεστής είναι αρνητικός, όπως ο αριθμός c σε αυτήν την περίπτωση.

Έχοντας εξετάσει αυτό το σημείο, ας προχωρήσουμε τώρα στον ίδιο τον τύπο, ο οποίος καθιστά δυνατή τη λήψη των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Μοιάζει με αυτό που φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία.

Όπως φαίνεται από αυτή την έκφραση, σας επιτρέπει να αποκτήσετε δύο ρίζες (δώστε προσοχή στο σύμβολο "±"). Για να γίνει αυτό, αρκεί να αντικαταστήσετε τους συντελεστές b, c και a σε αυτό.

Η έννοια του διακριτικού

Στην προηγούμενη παράγραφο, δόθηκε ένας τύπος που σας επιτρέπει να λύσετε γρήγορα οποιαδήποτε εξίσωση δεύτερης τάξης. Σε αυτήν, η ριζική έκφραση ονομάζεται διάκριση, δηλαδή D = b²-4*a*c.

Γιατί επισημαίνεται αυτό το μέρος της φόρμουλας, και μάλιστα έχει κατάλληλο όνομα? Το γεγονός είναι ότι ο διαχωριστής συνδέει και τους τρεις συντελεστές της εξίσωσης σε μία μόνο έκφραση. Τελευταίο γεγονόςσημαίνει ότι μεταφέρει πλήρως πληροφορίες σχετικά με τις ρίζες, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν στην ακόλουθη λίστα:

1. Δ>0: η ισότητα έχει 2 διάφορες λύσεις, και αντιπροσωπεύουν και τα δύο πραγματικούς αριθμούς.
2. D=0: Η εξίσωση έχει μόνο μία ρίζα, και είναι πραγματικός αριθμός.

Εργασία προσδιορισμού διάκρισης

Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα για το πώς να βρείτε ένα διακριτικό. Έστω η ακόλουθη ισότητα: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ας το φέρουμε τυπική όψη, παίρνουμε: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, από την οποία καταλήγουμε στην ισότητα: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Εδώ a=-2, b=2, c=-11.

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο για τη διάκριση: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ο αριθμός που προκύπτει είναι η απάντηση στην εργασία. Εφόσον η διάκριση στο παράδειγμα είναι μικρότερη από το μηδέν, μπορούμε να πούμε ότι αυτή η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η λύση του θα είναι μόνο αριθμοί μιγαδικού τύπου.

Παράδειγμα ανισότητας μέσω ενός διακριτικού

Ας λύσουμε προβλήματα ενός ελαφρώς διαφορετικού τύπου: δεδομένης της ισότητας -3*x²-6*x+c = 0. Είναι απαραίτητο να βρούμε τιμές του c για τις οποίες D>0.

Σε αυτή την περίπτωση, μόνο 2 στους 3 συντελεστές είναι γνωστοί, επομένως δεν είναι δυνατός ο ακριβής υπολογισμός της τιμής του διαχωριστή, αλλά είναι γνωστό ότι είναι θετικός. Χρησιμοποιούμε το τελευταίο γεγονός όταν συνθέτουμε την ανίσωση: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Η επίλυση της ανισότητας που προκύπτει οδηγεί στο αποτέλεσμα: c>-3.

Ας ελέγξουμε τον αριθμό που προκύπτει. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε το D για 2 περιπτώσεις: c=-2 και c=-4. Ο αριθμός -2 ικανοποιεί το ληφθέν αποτέλεσμα (-2>-3), ο αντίστοιχος διαχωριστής θα έχει την τιμή: D = 12>0. Με τη σειρά του, ο αριθμός -4 δεν ικανοποιεί την ανίσωση (-4. Έτσι, όποιοι αριθμοί c είναι μεγαλύτεροι από -3 θα ικανοποιούν την συνθήκη.

Παράδειγμα επίλυσης εξίσωσης

Ας παρουσιάσουμε ένα πρόβλημα που περιλαμβάνει όχι μόνο την εύρεση του διαχωριστή, αλλά και την επίλυση της εξίσωσης. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες για την ισότητα -2*x²+7-9*x = 0.

Σε αυτό το παράδειγμα, η διάκριση είναι επόμενη τιμή: D = 81-4*(-2)*7= 137. Τότε οι ρίζες της εξίσωσης θα καθοριστούν ως εξής: x = (9±√137)/(-4). Αυτές είναι οι ακριβείς τιμές των ριζών, αν υπολογίσετε τη ρίζα κατά προσέγγιση, τότε λαμβάνετε τους αριθμούς: x = -5,176 και x = 0,676.

Γεωμετρικό πρόβλημα

Θα λύσουμε ένα πρόβλημα που θα απαιτεί όχι μόνο την ικανότητα υπολογισμού του διαχωριστικού, αλλά και την εφαρμογή δεξιοτήτων αφηρημένη σκέψηκαι γνώση του τρόπου συγγραφής τετραγωνικών εξισώσεων.

Ο Μπομπ είχε ένα πάπλωμα 5 x 4 μέτρων. Το αγόρι ήθελε να το ράψει σε όλη την περίμετρο συνεχής λωρίδααπό όμορφο ύφασμα. Πόσο παχιά θα είναι αυτή η λωρίδα αν γνωρίζουμε ότι ο Bob έχει 10 m² ύφασμα.

Αφήστε τη λωρίδα να έχει πάχος x m, τότε η περιοχή του υφάσματος κατά μήκος της μακριάς πλευράς της κουβέρτας θα είναι (5+2*x)*x, και αφού υπάρχουν 2 μακριές πλευρές, έχουμε: 2*x *(5+2*x). Με κοντή πλευράη περιοχή του ραμμένου υφάσματος θα είναι 4*x, αφού υπάρχουν 2 από αυτές τις πλευρές, παίρνουμε την τιμή 8*x. Σημειώστε ότι η τιμή 2*x προστέθηκε στη μεγάλη πλευρά επειδή το μήκος της κουβέρτας αυξήθηκε κατά αυτόν τον αριθμό. Η συνολική επιφάνεια του υφάσματος που είναι ραμμένο στην κουβέρτα είναι 10 m². Επομένως, παίρνουμε την ισότητα: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Για αυτό το παράδειγμα, ο διαχωριστής ισούται με: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Η ρίζα του είναι 22. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, βρίσκουμε τις απαιτούμενες ρίζες: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Προφανώς, από τις δύο ρίζες, μόνο ο αριθμός 0,5 είναι κατάλληλος σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος.

Έτσι, η λωρίδα υφάσματος που ράβει ο Μπομπ στην κουβέρτα του θα έχει πλάτος 50 εκατοστά.

Αγροτικό γυμνάσιο Kop'evsk

10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Επικεφαλής: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

καθηγητής μαθηματικών

χωριό Κόπεβο, 2007

1. Ιστορία της ανάπτυξης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων

1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις σε Αρχαία Βαβυλώνα

1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις

1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις του al-Khorezmi

1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις σε Ευρώπη XIII- XVII αιώνες

1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta

2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

1. Ιστορία ανάπτυξης τετραγωνικών εξισώσεων

1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου, αλλά και του δεύτερου βαθμού στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών οικόπεδακαι με χωματουργικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι.

Χρησιμοποιώντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:

Χ 2 + Χ = ¾; Χ 2 - Χ = 14,5

Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν.

Παρά υψηλό επίπεδοανάπτυξη της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και γενικές μεθόδουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέθεσε και έλυσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, περιέχει όμως μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με την κατασκευή εξισώσεων διαφόρων βαθμών.

Όταν συνθέτει εξισώσεις, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια άγνωστα για να απλοποιήσει τη λύση.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.

Πρόβλημα 11.«Βρείτε δύο αριθμούς γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96»

Ο Διόφαντος αιτιολογεί ως εξής: από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι απαιτούμενοι αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν ίσο με 96, αλλά με 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι μεγαλύτερος από το ήμισυ του αθροίσματος τους, δηλ. 10 + x, το άλλο είναι λιγότερο, δηλ. δεκαετία του 10. Η διαφορά μεταξύ τους 2x .

Εξ ου και η εξίσωση:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Από εδώ x = 2. Ένας από τους απαιτούμενους αριθμούς είναι ίσος με 12 , άλλα 8 . Λύση x = -2γιατί ο Διόφαντος δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.

Εάν λύσουμε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας έναν από τους απαιτούμενους αριθμούς ως άγνωστο, τότε θα καταλήξουμε σε μια λύση της εξίσωσης

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Είναι σαφές ότι επιλέγοντας τη μισή διαφορά των απαιτούμενων αριθμών ως άγνωστο, ο Διόφαντος απλοποιεί τη λύση. καταφέρνει να αναγάγει το πρόβλημα στην επίλυση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης (1).

1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), περιέγραψε τον γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων μειωμένων σε μία κανονική μορφή:

αχ 2 + σι x = c, a > 0. (1)

Στην εξίσωση (1), οι συντελεστές, εκτός ΕΝΑ, μπορεί επίσης να είναι αρνητικό. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.

ΣΕ Αρχαία ΙνδίαΟι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος σκιάζει τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι λόγιος άνθρωποςεπισκιάσει τη δόξα του άλλου στις λαϊκές συνελεύσεις προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.

Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.

Πρόβλημα 13.

«Ένα κοπάδι από ζωηρές μαϊμούδες και δώδεκα κατά μήκος των κληματίδων...

Οι αρχές, έχοντας φάει, διασκέδασαν. Άρχισαν να πηδάνε, να κρέμονται...

Υπάρχουν στην πλατεία, μέρος όγδοο Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;

Διασκέδαζα στο ξέφωτο. Πες μου, σε αυτό το πακέτο;

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές (Εικ. 3).

Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 13 είναι:

( Χ /8) 2 + 12 = Χ

Ο Bhaskara γράφει υπό το πρόσχημα:

x 2 - 64x = -768

και, για να συμπληρωθεί η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε τετράγωνο, προσθέτει και στις δύο πλευρές 32 2 , στη συνέχεια παίρνοντας:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις στο al - Khorezmi

Στην αλγεβρική πραγματεία του al-Khorezmi, δίνεται μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλ. τσεκούρι 2 = γ.

3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. αχ = s.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες ισούνται με αριθμούς», δηλ. αχ 2 + bx = s.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλ. bx + c = τσεκούρι 2 .

Για τον al-Khorezmi, που απέφυγε την κατανάλωση αρνητικοί αριθμοί, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις προστίθενται, δεν αφαιρούνται. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας περιγράφει λύσεις τις παραπάνω εξισώσεις, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές al-jabr και al-muqabala. Οι αποφάσεις του, φυσικά, δεν συμπίπτουν απόλυτα με τις δικές μας. Για να μην αναφέρουμε ότι είναι καθαρά ρητορικό, θα πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου

Ο al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, πιθανώς επειδή σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα δεν έχει σημασία. Κατά την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων al-Khorezmi σε μερική αριθμητικά παραδείγματαθέτει τους κανόνες για τη λύση και στη συνέχεια τις γεωμετρικές αποδείξεις.

Πρόβλημα 14.«Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρες τη ρίζα" (υποδηλώνει τη ρίζα της εξίσωσης x 2 + 21 = 10x).

Η λύση του συγγραφέα έχει κάπως έτσι: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, αυτό που μένει είναι 4. Πάρτε τη ρίζα από το 4, παίρνετε 2. Αφαιρέστε 2 από 5 , παίρνετε 3, αυτή θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, που δίνει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

Η πραγματεία του al-Khorezmi είναι το πρώτο βιβλίο που έφτασε σε εμάς, το οποίο εκθέτει συστηματικά την ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνει τύπους για τη λύση τους.

1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII ΒΒ

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με τις γραμμές του αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, το οποίο αντανακλά την επίδραση των μαθηματικών, τόσο των ισλαμικών χωρών όσο και Αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικά παραδείγματαεπίλυση προβλημάτων και ήταν η πρώτη στην Ευρώπη που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII.

Γενικός κανόναςλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μια απλή κανονική μορφή:

x 2 + bx = γ,

για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσήμων συντελεστών σι , Μεδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Η εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη από τη Vieta, αλλά η Vieta αναγνωρίζεται μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Λαμβάνουν υπόψη, εκτός από τα θετικά, και αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. Χάρη στο έργο του Ζιράρ, του Ντεκάρτ, του Νεύτωνα και άλλων με τον τρόπο των επιστημόνωνΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta

Το θεώρημα που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και των ριζών της, που πήρε το όνομά της από τον Βιέτα, διατυπώθηκε από τον ίδιο για πρώτη φορά το 1591 ως εξής: «Αν σι + ρε, πολλαπλασιαζόμενο επί ΕΝΑ - ΕΝΑ 2 , ίσον BD, Οτι ΕΝΑισοδυναμεί ΣΕκαι ίσοι ρε ».

Για να καταλάβουμε τον Βιέτα, θα πρέπει να το θυμόμαστε αυτό ΕΝΑ, όπως κάθε φωνήεν γράμμα, σήμαινε το άγνωστο (μας Χ), φωνήεντα ΣΕ, ρε- συντελεστές για το άγνωστο. Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση Vieta σημαίνει: αν υπάρχει

(α + σι )x - x 2 = αβ ,

x 2 - (a + σι )x + α σι = 0,

x 1 = a, x 2 = σι .

Εκφράζοντας τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών των εξισώσεων γενικούς τύπουςγραμμένο με σύμβολα, ο Βιέτ καθιέρωσε ομοιομορφία στις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων. Ωστόσο, ο συμβολισμός του Βιέτ απέχει ακόμα πολύ μοντέρνα εμφάνιση. Δεν αναγνώριζε αρνητικούς αριθμούς και ως εκ τούτου, όταν έλυνε εξισώσεις, θεωρούσε μόνο περιπτώσεις όπου όλες οι ρίζες ήταν θετικές.

2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται το μεγαλειώδες οικοδόμημα της άλγεβρας. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών, παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όλοι ξέρουμε πώς να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις από το σχολείο (8η τάξη) μέχρι την αποφοίτηση.

Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Στο εξής θα αναφέρεται ως «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τίποτα πιο απλό στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις κατ' απαίτηση δίνει η Yandex ανά μήνα. Να τι συνέβη, δείτε:

Τι σημαίνει; Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτή η πληροφορία, τι σχέση έχει αυτό το καλοκαίρι και τι θα γίνει μεταξύ σχολική χρονιά— θα υπάρξουν διπλάσιες αιτήσεις. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Unified State, αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θα ήθελα οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου με βάση αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί το θέμα "KU", θα παράσχω έναν σύνδεσμο προς αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

όπου οι συντελεστές α,σικαι c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, με a≠0.

Στο σχολικό μάθημα δίνεται η ύλη την παρακάτω φόρμα– οι εξισώσεις χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες:

1. Έχουν δύο ρίζες.

2. *Έχετε μόνο μία ρίζα.

3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει ιδιαίτερα να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες

Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!

Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:

Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:

*Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από έξω.

Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να λύσετε:

Παράδειγμα:

1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Ας δούμε την εξίσωση:

Από αυτή την άποψη, όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Όλα είναι σωστά, έτσι είναι, αλλά...

Αυτή η ιδέα είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, βγαίνουν δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, η απάντηση πρέπει να περιέχει δύο ρίζες:

x 1 = 3 x 2 = 3

Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκκλιση. Στο σχολείο μπορείς να το γράψεις και να πεις ότι υπάρχει μία ρίζα.

Τώρα το επόμενο παράδειγμα:

Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί, επομένως δεν υπάρχει λύση σε αυτή την περίπτωση.

Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.

Τετραγωνική λειτουργία.

Αυτό δείχνει πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:

όπου x και y είναι μεταβλητές

a, b, c – δεδομένοι αριθμοί, με a ≠ 0

Η γραφική παράσταση είναι παραβολή:

Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για την τετραγωνική συνάρτηση Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.

Ας δούμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ήταν δυνατό να φύγει αμέσως και σωστη πλευραδιαιρέστε την εξίσωση με το 2, δηλαδή απλοποιήστε την. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.

Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Βρήκαμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11

Επιτρέπεται να γράψετε x = 11 στην απάντηση.

Απάντηση: x = 11

Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.

Απάντηση: Καμία λύση

Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!

Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Ξέρετε κάτι για μιγαδικοί αριθμοί? Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητά τους στα μαθηματικά, αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.

Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.

Λίγη θεωρία.

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας

z = a + bi

όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.

a+bi – αυτός είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.

Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα του μείον ένα:

Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:

Παίρνουμε δύο συζυγείς ρίζες.

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Μπορούν να λυθούν εύκολα χωρίς διακρίσεις.

Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μεταμορφώσουμε:

Παράδειγμα:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε:

*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.

Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.

Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.

Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.

ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα + σι+ c = 0,Οτι

- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα+ s =σι, Οτι

Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην απόφαση ένα συγκεκριμένο είδοςεξισώσεις

Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0

Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, που σημαίνει

Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0

Ισχύει η ισότητα ένα+ s =σι, Που σημαίνει

Κανονικότητα συντελεστών.

1. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσο με τον συντελεστή«α», τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx + c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής “c” είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Αν στην Εξ. ax 2 + bx – c = 0 συντελεστής «b» ισούται με (a 2 – 1) και συντελεστής «γ» ισούται αριθμητικά με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx – c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 – 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Το θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από το διάσημο Γάλλος μαθηματικόςΦρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά αμέσως.

Το θεώρημα του Vieta, επιπλέον. Είναι βολικό στο ότι μετά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω ενός διαχωριστή), οι προκύπτουσες ρίζες μπορούν να ελεγχθούν. Συνιστώ να το κάνετε αυτό πάντα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Αν ΕΝΑ± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:

2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1

Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Ποιο είναι το σκεπτικό; Κοίτα τι συμβαίνει.

Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:

Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, θα πάρετε μόνο διαφορετικούς παρονομαστές, και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:

Το δεύτερο (τροποποιημένο) έχει ρίζες 2 φορές μεγαλύτερες.

Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.

*Αν ξανατυλίξουμε τα τρία, θα διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.λπ.

Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5

πλ. ur-ie και Ενιαία Κρατική Εξέταση.

Θα σας πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΤΕ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να γνωρίζετε τις φόρμουλες των ριζών και των διακρίσεων από καρδιάς. Πολλά από τα προβλήματα που περιλαμβάνονται στις εργασίες της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης συνοψίζονται στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).

Κάτι που αξίζει να σημειωθεί!

1. Η μορφή γραφής μιας εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.

Πρέπει να το φέρετε σε τυπική φόρμα (για να μην μπερδεύεστε κατά την επίλυση).

2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.

Βιβλιογραφική περιγραφή: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων // Νέος επιστήμονας. 2016. Αρ. 6.1. Σ. 17-20..02.2019).



Το έργο μας αφορά τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Στόχος του έργου: μάθουν να λύνουν δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τρόπους που δεν περιλαμβάνονται στο σχολικό πρόγραμμα. Εργασία: βρείτε τα πάντα πιθανούς τρόπουςλύνοντας τετραγωνικές εξισώσεις και μαθαίνοντας πώς να τις χρησιμοποιείτε μόνοι σας και παρουσιάζοντας αυτές τις μεθόδους στους συμμαθητές σας.

Τι είναι οι «τετραγωνικές εξισώσεις»;

Τετραγωνική εξίσωση- εξίσωση της μορφής τσεκούρι2 + bx + c = 0, Οπου ένα, σι, ντο- μερικοί αριθμοί ( a ≠ 0), Χ- άγνωστο.

Οι αριθμοί α, β, γ ονομάζονται συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

• α ονομάζεται πρώτος συντελεστής.
• Το b ονομάζεται δεύτερος συντελεστής.
• γ - ελεύθερο μέλος.

Ποιος ήταν ο πρώτος που «εφηύρε» τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις;

Μερικές αλγεβρικές τεχνικές για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων ήταν γνωστές πριν από 4000 χρόνια στην Αρχαία Βαβυλώνα. Η ανακάλυψη αρχαίων βαβυλωνιακών πήλινων πινακίδων, που χρονολογούνται κάπου μεταξύ 1800 και 1600 π.Χ., παρέχει τις πρώτες ενδείξεις για τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Τα ίδια δισκία περιέχουν μεθόδους για την επίλυση ορισμένων τύπων τετραγωνικών εξισώσεων.

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των χώρων των οικοπέδων και με ανασκαφικές εργασίες στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και όπως και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών.

Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που έχουν βρεθεί μέχρι στιγμής παρέχουν μόνο προβλήματα με λύσεις που παρουσιάζονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν. Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Βαβυλώνιοι μαθηματικοί περίπου από τον 4ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε τη μέθοδο του συμπληρώματος του τετραγώνου για να λύσει εξισώσεις με θετικές ρίζες. Γύρω στο 300 π.Χ Ο Ευκλείδης βρήκε μια γενικότερη μέθοδο γεωμετρικής λύσης. Ο πρώτος μαθηματικός που βρήκε λύσεις σε εξισώσεις με αρνητικές ρίζες στη μορφή αλγεβρικός τύπος, ήταν Ινδός επιστήμονας Μπραμαγκούπτα(Ινδία, 7ος αιώνας μ.Χ.).

Ο Brahmagupta έθεσε έναν γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

ax2 + bx = c, a>0

Οι συντελεστές σε αυτή την εξίσωση μπορεί επίσης να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας.

Οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι στην Ινδία. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι και ένας λόγιος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα του στις δημόσιες συνελεύσεις προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.

Σε μια αλγεβρική πραγματεία Αλ-Χουαρίζμιδίνεται ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας μετράει 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες», δηλαδή ax2 = bx.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με αριθμούς», δηλαδή ax2 = c.

3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή ax2 = c.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c == ax2.

Για τον Al-Khwarizmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσιμοι. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας παρουσιάζει μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις τεχνικές του al-jabr και του al-mukabal. Η απόφασή του βέβαια δεν συμπίπτει απόλυτα με τη δική μας. Για να μην αναφέρουμε ότι είναι καθαρά ρητορικό, πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου, ο Al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί μέχρι τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, μάλλον γιατί σε συγκεκριμένα πρακτικά δεν έχει σημασία σε εργασίες. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο Al-Khwarizmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια τις γεωμετρικές τους αποδείξεις.

Οι μορφές για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων σύμφωνα με το μοντέλο του Αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202. Ιταλός μαθηματικός Λέοναρντ Φιμπονάτσι. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών.

Αυτό το βιβλίο συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από αυτό το βιβλίο χρησιμοποιήθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 14ου-17ου αιώνα. Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή x2 + bх = с για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σημείων και συντελεστών b, c διατυπώθηκε στην Ευρώπη το 1544. Μ. Στίφελ.

Η εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης σε γενική μορφή είναι διαθέσιμη από το Viète, αλλά ο Viète αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelliαπό τα πρώτα τον 16ο αιώνα. Εκτός από τα θετικά, λαμβάνονται υπόψη και οι αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. χάρη στις προσπάθειες Girard, Descartes, Newtonκαι άλλους επιστήμονες, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

Ας δούμε διάφορους τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Πρότυπες μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων από σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

1. Παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης.
2. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου.
3. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο.
4. Γραφική λύσητετραγωνική εξίσωση.
5. Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Ας σταθούμε λεπτομερέστερα στη λύση ανηγμένων και μη αναγωγικών τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Θυμηθείτε ότι για να λύσουμε τις παραπάνω τετραγωνικές εξισώσεις, αρκεί να βρούμε δύο αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο και των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο.

Παράδειγμα.Χ 2 -5x+6=0

Πρέπει να βρείτε αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι 6 και το άθροισμα 5. Αυτοί οι αριθμοί θα είναι 3 και 2.

Απάντηση: x 1 =2, x 2 =3.

Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο για εξισώσεις με τον πρώτο συντελεστή να μην είναι ίσος με ένα.

Παράδειγμα.3x 2 +2x-5=0

Πάρτε τον πρώτο συντελεστή και πολλαπλασιάστε τον με τον ελεύθερο όρο: x 2 +2x-15=0

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης θα είναι αριθμοί των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με - 15, και των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με - 2. Αυτοί οι αριθμοί είναι 5 και 3. Για να βρείτε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης, διαιρέστε τις ρίζες που προκύπτουν με τον πρώτο συντελεστή.

Απάντηση: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο «ρίψη».

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0, όπου a≠0.

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με a, προκύπτει η εξίσωση a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Έστω ax = y, από όπου x = y/a; τότε καταλήγουμε στην εξίσωση y 2 + κατά + ac = 0, ισοδύναμη με τη δεδομένη. Βρίσκουμε τις ρίζες του για το 1 και το 2 χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Τελικά παίρνουμε x 1 = y 1 /a και x 2 = y 2 /a.

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής α πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να «πετάχτηκε» σε αυτόν, γι' αυτό και ονομάζεται μέθοδος «ρίψης». Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν εύκολα να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Παράδειγμα.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Ας «ρίξουμε» τον συντελεστή 2 στον ελεύθερο όρο και ας κάνουμε μια αντικατάσταση και πάρουμε την εξίσωση y 2 - 11y + 30 = 0.

Σύμφωνα με αντίστροφο θεώρημα Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Απάντηση: x 1 =2,5; Χ 2 = 3.

7. Ιδιότητες συντελεστών δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Αν a+ b + c = 0 (δηλαδή το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι μηδέν), τότε x 1 = 1.

2. Αν a - b + c = 0, ή b = a + c, τότε x 1 = - 1.

Παράδειγμα.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Αφού a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), τότε x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Απάντηση: x 1 =1; Χ 2 = -208/345 .

Παράδειγμα.132x 2 + 247x + 115 = 0

Επειδή a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), μετά x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Απάντηση: x 1 = - 1; Χ 2 =- 115/132

Υπάρχουν και άλλες ιδιότητες των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. αλλά η χρήση τους είναι πιο περίπλοκη.

8. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με χρήση νομογράμματος.

Εικ. 1. Νομόγραμμα

Είναι παλιό και επί του παρόντος ξεχασμένη μέθοδοςλύσεις τετραγωνικών εξισώσεων, τοποθετημένες στη σελ. 83 της συλλογής: Bradis V.M. Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. - Μ., Εκπαίδευση, 1990.

Πίνακας XXII. Νομόγραμμα για την επίλυση της εξίσωσης z 2 + pz + q = 0. Αυτό το νομόγραμμα επιτρέπει, χωρίς να λύσουμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση, να προσδιορίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης από τους συντελεστές της.

Η καμπυλόγραμμη κλίμακα του νομογράμματος είναι κατασκευασμένη σύμφωνα με τους τύπους (Εικ. 1):

πιστεύοντας OS = p, ED = q, OE = a(όλα σε cm), από το Σχ. 1 ομοιότητες τριγώνων SANΚαι CDFπαίρνουμε την αναλογία

η οποία μετά από αντικαταστάσεις και απλοποιήσεις δίνει την εξίσωση z 2 + pz + q = 0,και το γράμμα zσημαίνει το σημάδι οποιουδήποτε σημείου σε καμπύλη κλίμακα.

Ρύζι. 2 Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με νομόγραμμα

Παραδείγματα.

1) Για την εξίσωση z 2 - 9z + 8 = 0το νομόγραμμα δίνει τις ρίζες z 1 = 8,0 και z 2 = 1,0

Απάντηση:8.0; 1.0.

2) Με νομόγραμμα λύνουμε την εξίσωση

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Διαιρέστε τους συντελεστές αυτής της εξίσωσης με 2, παίρνουμε την εξίσωση z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Το νομόγραμμα δίνει ρίζες z 1 = 4 και z 2 = 0,5.

Απάντηση: 4; 0,5.

9. Γεωμετρική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Παράδειγμα.Χ 2 + 10x = 39.

Στο πρωτότυπο, αυτό το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: «Το τετράγωνο και οι δέκα ρίζες είναι ίσες με 39».

Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά x, στις πλευρές του κατασκευάζονται ορθογώνια έτσι ώστε η άλλη πλευρά καθενός από αυτά να είναι 2,5, επομένως το εμβαδόν του καθενός είναι 2,5x. Το σχήμα που προκύπτει συμπληρώνεται στη συνέχεια σε ένα νέο τετράγωνο ABCD, χτίζοντας τέσσερα ίσα τετράγωνα στις γωνίες, η πλευρά καθενός από αυτά είναι 2,5 και το εμβαδόν είναι 6,25

Ρύζι. 3 Γραφική μέθοδοςλύσεις της εξίσωσης x 2 + 10x = 39

Η περιοχή S του τετραγώνου ABCD μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των εμβαδών: του αρχικού τετραγώνου x 2, τεσσάρων ορθογωνίων (4∙2,5x = 10x) και τεσσάρων επιπλέον τετραγώνων (6,25∙4 = 25), δηλ. S = x 2 + 10x = 25. Αντικαθιστώντας το x 2 + 10x με τον αριθμό 39, παίρνουμε ότι S = 39 + 25 = 64, που σημαίνει ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι ABCD, δηλ. τμήμα ΑΒ = 8. Για την απαιτούμενη πλευρά x του αρχικού τετραγώνου παίρνουμε

10. Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Bezout.

Το θεώρημα του Bezout. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το διώνυμο x - α ισούται με P(α) (δηλαδή η τιμή του P(x) στο x = α).

Αν ο αριθμός α είναι η ρίζα του πολυωνύμου P(x), τότε αυτό το πολυώνυμο διαιρείται με το x -α χωρίς υπόλοιπο.

Παράδειγμα.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Διαιρέστε το P(x) με το (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ή x-3=0, x=3; Απάντηση: x1 =2, x2 =3.

Συμπέρασμα:Η ικανότητα γρήγορης και ορθολογικής επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι απλώς απαραίτητη για την επίλυση περισσότερων σύνθετες εξισώσεις, Για παράδειγμα, κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, εξισώσεις υψηλότερους βαθμούς, διτετραγωνικές εξισώσεις, και στο Λύκειοτριγωνομετρική, εκθετική και λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει όλους τους τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, μπορούμε να συμβουλεύσουμε τους συμμαθητές μας, εκτός τυπικές μεθόδους, λύση με μέθοδο μεταφοράς (6) και λύση εξισώσεων με χρήση των ιδιοτήτων των συντελεστών (7), αφού είναι πιο προσιτοί στην κατανόηση.

Βιβλιογραφία:

1. Bradis V.M. Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες. - Μ., Εκπαίδευση, 1990.
2. Άλγεβρα 8η τάξη: εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15η έκδ., αναθεωρημένη. - Μ.: Εκπαίδευση, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικούς. / Εκδ. V.N. Πιο ΝΕΟΣ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1964.

», δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε αυτό που ονομάζεται τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Σπουδαίος!

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.

Εάν η μέγιστη ισχύς στην οποία ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.

Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Σπουδαίος! Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

A x 2 + b x + c = 0

Τα «α», «β» και «γ» δίνονται αριθμοί.

• Το "a" είναι ο πρώτος ή ο υψηλότερος συντελεστής.
• Το "b" είναι ο δεύτερος συντελεστής.
• Το «c» είναι ελεύθερο μέλος.

Για να βρείτε τα «a», «b» και «c» πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της δευτεροβάθμιας εξίσωσης «ax 2 + bx + c = 0».

Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών "a", "b" και "c" στο τετραγωνικές εξισώσεις.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Η εξίσωση	Πιθανότητα
α = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• α = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• α = 1
• b = 0
• c = −8

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Διαφορετικός γραμμικές εξισώσειςγια την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, ένα ειδικό τύπος για την εύρεση ριζών.

Θυμάμαι!

Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:

• φέρετε τη δευτεροβάθμια εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0». Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
• χρησιμοποιήστε τη φόρμουλα για τις ρίζες:

Ας δούμε ένα παράδειγμα για το πώς να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε μια τετραγωνική εξίσωση.

X 2 − 3x − 4 = 0

Η εξίσωση «x 2 − 3x − 4 = 0» έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0» και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, αρκεί να κάνουμε αίτηση τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας προσδιορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση οποιασδήποτε δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Στον τύπο "x 1;2 = " η ριζική έκφραση αντικαθίσταται συχνά
«b 2 − 4ac» για το γράμμα «D» και ονομάζεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού συζητείται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.

x 2 + 9 + x = 7x

Σε αυτή τη μορφή, είναι αρκετά δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας μειώσουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή «ax 2 + bx + c = 0».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.

Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Απάντηση: x = 3

Υπάρχουν φορές που οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν έχουν ρίζες. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν ο τύπος περιέχει έναν αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα.