Εντολή

Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή.

Έστω τα κλάσματα a/b και c/d.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος πολλαπλασιάζονται με LCM / b

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος πολλαπλασιάζονται με LCM/d

Ένα παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα.

Για να συγκρίνουν τα κλάσματα, πρέπει να έχουν έναν κοινό παρονομαστή και μετά να συγκρίνουν τους αριθμητές. Για παράδειγμα, 3/4< 4/5, см. .

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.

Για να βρείτε το άθροισμα δύο συνηθισμένων κλασμάτων, πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να προσθέσετε τους αριθμητές, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος. Ένα παράδειγμα προσθήκης κλασμάτων 1/2 και 1/3 φαίνεται στο σχήμα.

Η διαφορά των κλασμάτων βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο, αφού βρεθεί ο κοινός παρονομαστής αφαιρούνται οι αριθμητές των κλασμάτων, δείτε το σχήμα.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται μαζί.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, χρειάζεστε ένα κλάσμα του δεύτερου κλάσματος, δηλ. αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα κλάσματα που προκύπτουν.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

• κλάσματα βαθμού 5 με παράδειγμα
• Βασικές εργασίες για κλάσματα

Μονάδα μέτρησηςαντιπροσωπεύει την απόλυτη τιμή της έκφρασης. Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται για τον ορισμό μιας ενότητας. Οι τιμές που περιέχονται σε αυτά λαμβάνονται modulo. Η λύση της ενότητας είναι να ανοίξετε παρενθέσεις σύμφωνα με ορισμένους κανόνες και να βρείτε το σύνολο των τιμών της έκφρασης. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ενότητα επεκτείνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η έκφραση της υπομονάδας να παίρνει μια σειρά θετικών και αρνητικών τιμών, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. Με βάση αυτές τις ιδιότητες της ενότητας, συντάσσονται και λύνονται περαιτέρω εξισώσεις και ανισότητες της αρχικής έκφρασης.

Εντολή

Γράψτε την αρχική εξίσωση με . Για αυτό, ανοίξτε τη μονάδα. Εξετάστε κάθε έκφραση υπομονάδας. Προσδιορίστε σε ποια τιμή των άγνωστων ποσοτήτων που περιλαμβάνονται σε αυτό, η έκφραση σε αρθρωτές αγκύλες εξαφανίζεται.

Για να το κάνετε αυτό, εξισώστε την έκφραση της υπομονάδας με μηδέν και βρείτε την εξίσωση που προκύπτει. Καταγράψτε τις τιμές που βρέθηκαν. Με τον ίδιο τρόπο, προσδιορίστε τις τιμές της άγνωστης μεταβλητής για κάθε συντελεστή στη δεδομένη εξίσωση.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σχεδιάστε τις τιμές που προκύπτουν σε αυτήν. Οι τιμές της μεταβλητής στη μηδενική ενότητα θα χρησιμεύσουν ως περιορισμοί στην επίλυση της αρθρωτής εξίσωσης.

Στην αρχική εξίσωση, πρέπει να ανοίξετε τα αρθρωτά, αλλάζοντας το σύμβολο έτσι ώστε οι τιμές της μεταβλητής να αντιστοιχούν σε αυτές που εμφανίζονται στην αριθμητική γραμμή. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει. Ελέγξτε την τιμή που βρέθηκε της μεταβλητής έναντι του περιορισμού που καθορίζεται από τη μονάδα. Εάν η λύση ικανοποιεί την προϋπόθεση, είναι αλήθεια. Οι ρίζες που δεν πληρούν τους περιορισμούς πρέπει να απορρίπτονται.

Ομοίως, επεκτείνετε τις μονάδες της αρχικής έκφρασης, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο, και υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει. Γράψτε όλες τις ρίζες που προέκυψαν που ικανοποιούν τις ανισότητες περιορισμών.

Οι κλασματικοί αριθμοί σας επιτρέπουν να εκφράσετε την ακριβή τιμή μιας ποσότητας με διαφορετικούς τρόπους. Με τα κλάσματα, μπορείτε να εκτελέσετε τις ίδιες μαθηματικές πράξεις όπως και με τους ακέραιους: αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Για να μάθετε πώς να αποφασίζετε κλάσματα, είναι απαραίτητο να θυμάστε μερικά από τα χαρακτηριστικά τους. Εξαρτώνται από τον τύπο κλάσματα, η παρουσία ενός ακέραιου μέρους, ενός κοινού παρονομαστή. Ορισμένες αριθμητικές πράξεις μετά την εκτέλεση απαιτούν μείωση του κλασματικού μέρους του αποτελέσματος.

Θα χρειαστείτε

• - αριθμομηχανή

Εντολή

Κοιτάξτε προσεκτικά τους αριθμούς. Εάν υπάρχουν δεκαδικοί και ανώμαλοι μεταξύ των κλασμάτων, μερικές φορές είναι πιο βολικό να εκτελέσετε πρώτα ενέργειες με δεκαδικούς και μετά να τις μετατρέψετε σε λάθος μορφή. Μπορείς να μεταφράσεις κλάσματασε αυτή τη μορφή αρχικά, γράφοντας την τιμή μετά την υποδιαστολή στον αριθμητή και βάζοντας 10 στον παρονομαστή. Εάν χρειάζεται, μειώστε το κλάσμα διαιρώντας τους αριθμούς πάνω και κάτω με έναν διαιρέτη. Τα κλάσματα στα οποία ξεχωρίζει ολόκληρο το μέρος, οδηγούν σε λάθος μορφή πολλαπλασιάζοντάς την με τον παρονομαστή και προσθέτοντας τον αριθμητή στο αποτέλεσμα. Αυτή η τιμή θα γίνει ο νέος αριθμητής κλάσματα. Για να εξαγάγετε ολόκληρο το μέρος από το αρχικά λανθασμένο κλάσματα, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γράψτε ολόκληρο το αποτέλεσμα από κλάσματα. Και το υπόλοιπο της διαίρεσης γίνεται ο νέος αριθμητής, ο παρονομαστής κλάσματαενώ δεν αλλάζει. Για κλάσματα με ακέραιο μέρος, είναι δυνατή η εκτέλεση ενεργειών χωριστά, πρώτα για τον ακέραιο και μετά για τα κλασματικά μέρη. Για παράδειγμα, το άθροισμα 1 2/3 και 2 ¾ μπορεί να υπολογιστεί:
- Μετατροπή κλασμάτων σε λάθος μορφή:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Άθροιση χωριστά ακέραιων και κλασματικών μερών όρων:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Για με τιμές κάτω από τη γραμμή, βρείτε τον κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, για 5/9 και 7/12, ο κοινός παρονομαστής θα είναι 36. Για αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματαπρέπει να πολλαπλασιάσετε με 4 (θα βγει 28/36) και το δεύτερο - κατά 3 (θα βγει 15/36). Τώρα μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς.

Εάν πρόκειται να υπολογίσετε το άθροισμα ή τη διαφορά των κλασμάτων, πρώτα σημειώστε τον κοινό παρονομαστή που βρέθηκε κάτω από τη γραμμή. Εκτελέστε τις απαραίτητες ενέργειες μεταξύ των αριθμητών και γράψτε το αποτέλεσμα πάνω από τη νέα γραμμή κλάσματα. Έτσι, ο νέος αριθμητής θα είναι η διαφορά ή το άθροισμα των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων.

Για να υπολογίσετε το γινόμενο των κλασμάτων, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές των κλασμάτων και γράψτε το αποτέλεσμα στη θέση του αριθμητή του τελικού κλάσματα. Κάντε το ίδιο για τους παρονομαστές. Κατά τη διαίρεση ενός κλάσματαγράψτε το ένα κλάσμα στο άλλο και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του δεύτερου. Ταυτόχρονα, ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματαπολλαπλασιάζεται ανάλογα με τον αριθμητή του δεύτερου. Ταυτόχρονα, ένα είδος ανατροπής του δεύτερου κλάσματα(διαιρών). Το τελικό κλάσμα θα είναι από τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των αριθμητών και των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Εύκολο στην εκμάθηση κλάσματα, γραμμένο στη συνθήκη με τη μορφή "τετραώροφου" κλάσματα. Αν χωρίζει δύο κλάσματα, ξαναγράψτε τα με έναν οριοθέτη ":" και συνεχίστε με την κανονική διαίρεση.

Για να λάβετε το τελικό αποτέλεσμα, μειώστε το κλάσμα που προκύπτει διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν ακέραιο αριθμό, τον μεγαλύτερο δυνατό σε αυτήν την περίπτωση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί πάνω και κάτω από τη γραμμή.

Σημείωση

Μην κάνετε αριθμητική με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Επιλέξτε έναν αριθμό τέτοιο ώστε όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν, ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να είναι ίσοι.

Χρήσιμες συμβουλές

Όταν γράφουμε κλασματικούς αριθμούς, το μέρισμα γράφεται πάνω από τη γραμμή. Αυτή η ποσότητα αναφέρεται ως αριθμητής ενός κλάσματος. Κάτω από τη γραμμή γράφεται ο διαιρέτης ή ο παρονομαστής του κλάσματος. Για παράδειγμα, ενάμισι κιλό ρύζι σε μορφή κλάσματος θα γραφτούν ως εξής: 1 ½ κιλό ρύζι. Αν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι 10, λέγεται δεκαδικό κλάσμα. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμητής (μέρισμα) γράφεται στα δεξιά όλου του τμήματος που χωρίζεται με κόμμα: 1,5 κιλό ρύζι. Για την ευκολία των υπολογισμών, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί πάντα να γραφτεί με λάθος μορφή: 1 2/10 kg πατάτες. Για απλοποίηση, μπορείτε να μειώσετε τις τιμές αριθμητή και παρονομαστή διαιρώντας τις με έναν μόνο ακέραιο αριθμό. Σε αυτό το παράδειγμα, είναι δυνατή η διαίρεση με το 2. Το αποτέλεσμα είναι 1 1/5 κιλό πατάτες. Βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί με τους οποίους θα κάνετε αριθμητική είναι στην ίδια μορφή.

Εντολή

Κάντε κλικ μία φορά στο στοιχείο μενού "Εισαγωγή" και, στη συνέχεια, επιλέξτε το στοιχείο "Σύμβολο". Αυτός είναι ένας από τους ευκολότερους τρόπους εισαγωγής κλάσματασε κείμενο. Συνίσταται στα εξής. Το σύνολο των έτοιμων χαρακτήρων έχει κλάσματα. Ο αριθμός τους είναι συνήθως μικρός, αλλά αν πρέπει να γράψετε ½, όχι 1/2 στο κείμενο, τότε αυτή η επιλογή θα είναι η πιο βέλτιστη για εσάς. Επιπλέον, ο αριθμός των κλασματικών χαρακτήρων μπορεί να εξαρτάται από τη γραμματοσειρά. Για παράδειγμα, για τη γραμματοσειρά Times New Roman, υπάρχουν ελαφρώς λιγότερα κλάσματα από ό,τι για το ίδιο Arial. Αλλάξτε τις γραμματοσειρές για να βρείτε την καλύτερη επιλογή όταν πρόκειται για απλές εκφράσεις.

Κάντε κλικ στο στοιχείο μενού «Εισαγωγή» και επιλέξτε το υποστοιχείο «Αντικείμενο». Θα δείτε ένα παράθυρο με μια λίστα πιθανών αντικειμένων για εισαγωγή. Επιλέξτε μεταξύ τους Microsoft Equation 3.0. Αυτή η εφαρμογή θα σας βοηθήσει να πληκτρολογήσετε κλάσματα. Και όχι μόνο κλάσματα, αλλά και σύνθετες μαθηματικές εκφράσεις που περιέχουν διάφορες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και άλλα στοιχεία. Κάντε διπλό κλικ σε αυτό το αντικείμενο με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Θα δείτε ένα παράθυρο που περιέχει πολλά σύμβολα.

Για να εκτυπώσετε ένα κλάσμα, επιλέξτε το σύμβολο που αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα με κενό αριθμητή και παρονομαστή. Κάντε κλικ σε αυτό μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Θα εμφανιστεί ένα πρόσθετο μενού, που θα καθορίζει το σχήμα του κλάσματα. Μπορεί να υπάρχουν πολλές επιλογές. Επιλέξτε το πιο κατάλληλο για εσάς και κάντε κλικ σε αυτό μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού.

Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τα κλάσματα στο γυμνάσιο δεν είναι πολύ ενοχλητικά. Προς το παρόν. Μέχρι να συναντήσετε εκθέτες με λογικούς εκθέτες και λογάριθμους. Και εκεί…. Πατάς, πατάς την αριθμομηχανή και δείχνει όλο τον πλήρη πίνακα αποτελεσμάτων ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου, όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας ασχοληθούμε επιτέλους με τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, τι είναι τα κλάσματα;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Τα κλάσματα είναι τριών τύπων.

1. Κοινά κλάσματα , για παράδειγμα:

Μερικές φορές, αντί για οριζόντια γραμμή, βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Εάν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει ...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση με την έκφραση: " Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - έξω zzzz u!" Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Μια παύλα, που είναι οριζόντια, που είναι λοξή, σημαίνει διαίρεσηεπάνω αριθμός (αριθμητής) έως κάτω αριθμός (παρονομαστής). Και τέλος! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν η διαίρεση είναι πλήρως δυνατή, πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν διαιρεθεί τελείως, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε το αντίστροφο. Να σχηματίσετε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , για παράδειγμα:

Σε αυτή τη μορφή θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες "Β".

3. μικτούς αριθμούς , για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψουμε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να ξέρετε πώς να το κάνετε! Και τότε ένας τέτοιος αριθμός θα συναντήσει στο παζλ και θα κρέμεται ... Από την αρχή. Αλλά θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, αν υπάρχουν όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων στο κλάσμα, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα!

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Καταρχήν θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να γράψετε περαιτέρω, μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα ασχοληθούμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Και το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για συντομογραφίες κλασμάτων. Φαίνεται ότι το πράγμα είναι στοιχειώδες. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείτε να κάνετε λάθη παντού! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά μια κλασματική έκφραση με όλα τα είδη γραμμάτων.

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα σωστά και γρήγορα χωρίς να κάνετε περιττή εργασία μπορείτε να βρείτε στην ειδική ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει τα πάντα το ίδιο από πάνω και κάτω! Εδώ ελλοχεύει ένα τυπικό λάθος, μια γκάφα, αν θέλετε.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτούμε, διαγράφουμε το γράμμα «α» από πάνω και το δίδυμο από κάτω! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά μοιραστήκατε ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής «α». Αν συνηθίζεις απλώς να διαγράφεις, τότε, βιαστικά, μπορείς να διαγράψεις το «α» στην έκφραση

και πάρε ξανά

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά λάθος. Γιατί εδώ ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής στο "a" ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια συντομογραφία είναι, χμ... μια σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάμαι? Κατά τη μείωση, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Και πώς να συνεργαστείτε μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είστε πολύ τεμπέλης, αλλά μειώστε προσεκτικά κατά πέντε, και μάλιστα κατά πέντε, ακόμη και ... ενώ μειώνεται, εν ολίγοις. Παίρνουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και το αντίστροφο χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για τις εξετάσεις, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από μια μορφή σε άλλη.

Είναι εύκολο με δεκαδικά. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Είναι σημείο μηδέν, εικοσιπέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Τα παντα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί είναι μη μηδενικοί; Είναι εντάξει. Καταγράψτε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία ολόκληρα, δεκαεπτά εκατοστά. Στον αριθμητή γράφουμε 317 και στον παρονομαστή 100. Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα τα παραπάνω, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά η αντίστροφη μετατροπή, συνηθισμένη σε δεκαδική, ορισμένοι δεν μπορούν να κάνουν χωρίς αριθμομηχανή. Αλλά πρέπει! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην εξέταση!; Διαβάζουμε προσεκτικά και κυριαρχούμε αυτή τη διαδικασία.

Τι είναι ένα δεκαδικό κλάσμα; Έχει στον παρονομαστή πάντααξίζει 10 ή 100 ή 1000 ή 10000 κ.ο.κ. Αν το συνηθισμένο σας κλάσμα έχει τέτοιο παρονομαστή, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Και αν στην απάντηση στην εργασία της ενότητας "Β" αποδείχθηκε 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Θυμόμαστε βασική ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για κανέναν, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); 5, προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά, τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16 θα πέσει. Δοκιμάστε το, υπολογίστε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να πάρετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε σε μια γωνία, σε ένα χαρτί, όπως δίδασκαν στις δημοτικές τάξεις. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν μερικοί πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν μπορεί να μετατραπεί σε καλό δεκαδικό. Τόσο σε μια αριθμομηχανή όσο και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333 ... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 σε ένα ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Ακριβώς όπως 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Πολλά από αυτά είναι αμετάφραστα. Εξ ου και ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μετατρέπεται κάθε κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. !

Παρεμπιπτόντως, αυτές είναι χρήσιμες πληροφορίες για αυτοεξέταση. Στην ενότητα "Β" ως απάντηση, πρέπει να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάπου στην πορεία έκανες λάθος! Επιστρέψτε, ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, με τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα ταξινομημένα. Μένει να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει όλα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις? Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος ένας μαθητής της έκτης δημοτικού... Θα πρέπει να το κάνουμε μόνοι μας. Αυτό δεν είναι δύσκολο. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με το ακέραιο μέρος και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός κοινού κλάσματος. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι αρκετά απλό. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Αφήστε το πρόβλημα που είδατε με τρόμο τον αριθμό:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, καταλαβαίνουμε. Όλο το μέρος είναι 1. Ένα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. Πολλαπλασιάζουμε το 7 επί 1 (το ακέραιο μέρος) και προσθέτουμε το 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Σαφώς? Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε κοινά κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Η αντίστροφη πράξη - μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό - απαιτείται σπάνια στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν... Και αν - όχι στο γυμνάσιο - μπορείτε να κοιτάξετε την ειδική ενότητα 555. Στο ίδιο μέρος, παρεμπιπτόντως, θα μάθετε για ακατάλληλα κλάσματα.

Λοιπόν, σχεδόν τα πάντα. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες πως να τα μετατρέψετε από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Γιατί Κάνε το? Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Εάν στο παράδειγμα τα συνηθισμένα κλάσματα, τα δεκαδικά και ακόμη και μικτοί αριθμοί αναμειγνύονται σε μια δέσμη, μεταφράζουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Πάντα μπορεί να γίνει. Λοιπόν, αν γράφεται κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το πιστεύουμε, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι γεμάτη δεκαδικά κλάσματα, αλλά χμ... κάποιου είδους κακά, πηγαίνετε στα συνηθισμένα, δοκιμάστε το! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Όχι τόσο εύκολο αν δεν έχεις χάσει τη συνήθεια της αριθμομηχανής! Όχι μόνο χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, αλλά και να σκεφτείτε πού να εισαγάγετε κόμμα! Σίγουρα δεν λειτουργεί στο μυαλό μου! Και αν πάτε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά στις 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Τετράγωνε εύκολα (στο μυαλό σου!) και πάρε 1/64. Τα παντα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Αριθμοί απλοί, δεκαδικοί και μικτές.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί πάνταμπορεί να μετατραπεί σε κοινά κλάσματα. Αντίστροφη μετάφραση δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για εργασία με την εργασία εξαρτάται από αυτήν ακριβώς την εργασία. Εάν υπάρχουν διαφορετικοί τύποι κλασμάτων σε μία εργασία, το πιο αξιόπιστο είναι να μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Σε αυτό θα τελειώσουμε. Σε αυτό το μάθημα, αναλύσαμε τα βασικά σημεία στα κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Αυτά μπορούν να πάνε σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά είναι αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Κλάσμα- μια μορφή αναπαράστασης ενός αριθμού στα μαθηματικά. Η κάθετο υποδεικνύει τη λειτουργία διαίρεσης. αριθμητήςκλάσματα λέγεται μέρισμα, και παρονομαστής- διαχωριστικό. Για παράδειγμα, σε ένα κλάσμα, ο αριθμητής είναι 5 και ο παρονομαστής είναι 7.

σωστόςΈνα κλάσμα ονομάζεται αν το μέτρο του αριθμητή είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του παρονομαστή. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε ο συντελεστής της τιμής του είναι πάντα μικρότερος από 1. Όλα τα άλλα κλάσματα είναι λανθασμένος.

Κλάσμα ονομάζεται μικτός, αν γράφεται ως ακέραιος και κλάσμα. Αυτό είναι το ίδιο με το άθροισμα αυτού του αριθμού και ενός κλάσματος:

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος

Εάν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει, δηλαδή, για παράδειγμα,

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Για να φέρετε δύο κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, χρειάζεστε:

1. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου
2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου
3. Αντικαταστήστε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων με το γινόμενο τους

Ενέργειες με κλάσματα

Πρόσθεση.Για να προσθέσετε δύο κλάσματα, χρειάζεστε

1. Προσθέστε νέους αριθμητές και των δύο κλασμάτων και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Αφαίρεση.Για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα άλλο,

1. Φέρτε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή
2. Αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο

Παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός.Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους:

Διαίρεση.Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου:

Αριθμομηχανή κλασμάτωνσχεδιασμένο για γρήγορο υπολογισμό πράξεων με κλάσματα, θα σας βοηθήσει εύκολα να προσθέσετε, να πολλαπλασιάσετε, να διαιρέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα.

Οι σύγχρονοι μαθητές αρχίζουν να μελετούν κλάσματα ήδη στην 5η τάξη και κάθε χρόνο οι ασκήσεις μαζί τους γίνονται πιο περίπλοκες. Οι μαθηματικοί όροι και οι ποσότητες που μαθαίνουμε στο σχολείο σπάνια μας είναι χρήσιμοι στην ενήλικη ζωή. Ωστόσο, τα κλάσματα, σε αντίθεση με τους λογάριθμους και τις μοίρες, είναι αρκετά συνηθισμένα στην καθημερινή ζωή (μέτρηση απόστασης, ζύγιση αγαθών κ.λπ.). Η αριθμομηχανή μας έχει σχεδιαστεί για γρήγορες λειτουργίες με κλάσματα.

Αρχικά, ας ορίσουμε τι είναι και τι είναι τα κλάσματα. Τα κλάσματα είναι η αναλογία ενός αριθμού προς έναν άλλο· αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό κλασμάτων μιας μονάδας.

Τύποι κλασμάτων:

• Συνήθης
• Δεκαδικά
• μικτός

Παράδειγμα συνηθισμένα κλάσματα:

Η πάνω τιμή είναι ο αριθμητής, η κάτω είναι ο παρονομαστής. Η παύλα μας δείχνει ότι ο επάνω αριθμός διαιρείται με τον κάτω. Αντί για παρόμοια μορφή γραφής, όταν η παύλα είναι οριζόντια, μπορείτε να γράψετε διαφορετικά. Μπορείτε να βάλετε μια λοξή γραμμή, για παράδειγμα:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Δεκαδικάείναι ο πιο δημοφιλής τύπος κλασμάτων. Αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος, που χωρίζονται με κόμμα.

Δεκαδικό παράδειγμα:

0,2 ή 6,71 ή 0,125

Αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για να μάθετε την τιμή αυτού του κλάσματος, πρέπει να προσθέσετε ολόκληρο τον αριθμό και το κλάσμα.

Παράδειγμα μικτών κλασμάτων:

Η αριθμομηχανή κλασμάτων στον ιστότοπό μας είναι σε θέση να εκτελεί γρήγορα οποιεσδήποτε μαθηματικές πράξεις με κλάσματα ηλεκτρονικά:

• Πρόσθεση
• Αφαίρεση
• Πολλαπλασιασμός
• Διαίρεση

Για να πραγματοποιήσετε τον υπολογισμό, πρέπει να εισαγάγετε τους αριθμούς στα πεδία και να επιλέξετε την ενέργεια. Για τα κλάσματα, πρέπει να συμπληρώσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή, ένας ακέραιος μπορεί να μην γραφτεί (αν το κλάσμα είναι συνηθισμένο). Μην ξεχάσετε να κάνετε κλικ στο κουμπί "ίσο".

Είναι βολικό η αριθμομηχανή να παρέχει αμέσως μια διαδικασία για την επίλυση ενός παραδείγματος με κλάσματα και όχι απλώς μια έτοιμη απάντηση. Χάρη στη λεπτομερή λύση που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτό το υλικό για την επίλυση σχολικών προβλημάτων και για την καλύτερη κατανόηση του υλικού που καλύπτεται.

Πρέπει να υπολογίσετε το παράδειγμα:

Αφού εισάγουμε τους δείκτες στα πεδία της φόρμας, παίρνουμε:

Για να κάνετε έναν ανεξάρτητο υπολογισμό, εισαγάγετε τα δεδομένα στη φόρμα.

Αριθμομηχανή κλασμάτων

Εισαγάγετε δύο κλάσματα:

		+ - * :

σχετικές ενότητες.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή.
Αξιολόγηση έκφρασης με αριθμητικά κλάσματα.
Πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, διαίρεση, πρόσθεση και αναγωγή κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Με αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή μπορείτε πολλαπλασιασμός, αφαίρεση, διαίρεση, προσθήκη και μείωση αριθμητικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Το πρόγραμμα λειτουργεί με σωστά, ακατάλληλα και μικτά αριθμητικά κλάσματα.

Αυτό το πρόγραμμα (σε απευθείας σύνδεση αριθμομηχανή) μπορεί:
- προσθέστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- Αφαιρέστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- διαιρέστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- Πολλαπλασιάστε μικτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές
- να φέρουν τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή
- Μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα
- μείωσε τα κλάσματα

Μπορείτε επίσης να εισάγετε όχι μια έκφραση με κλάσματα, αλλά ένα μεμονωμένο κλάσμα.
Σε αυτή την περίπτωση, το κλάσμα θα μειωθεί και το ακέραιο μέρος θα επιλεγεί από το αποτέλεσμα.

Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή για τον υπολογισμό παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα δεν δίνει απλώς την απάντηση στο πρόβλημα, παρέχει μια λεπτομερή λύση με επεξηγήσεις, π.χ. εμφανίζει τη διαδικασία εύρεσης λύσης.

Αυτό το πρόγραμμα μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου στην προετοιμασία για τεστ και εξετάσεις, κατά τη δοκιμή γνώσεων πριν από την Ενιαία Κρατική Εξέταση, για τους γονείς να ελέγχουν την επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά και την άλγεβρα. Ή μήπως είναι πολύ ακριβό για εσάς να προσλάβετε δάσκαλο ή να αγοράσετε νέα σχολικά βιβλία; Ή απλά θέλετε να ολοκληρώσετε την εργασία σας στα μαθηματικά ή την άλγεβρα όσο το δυνατόν γρηγορότερα; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα προγράμματά μας με μια λεπτομερή λύση.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να διεξάγετε τη δική σας εκπαίδευση ή/και την εκπαίδευση των μικρότερων αδελφών ή αδελφών σας, ενώ αυξάνεται το επίπεδο εκπαίδευσης στον τομέα των εργασιών που πρέπει να επιλυθούν.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους κανόνες για την εισαγωγή παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα, σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτούς.

Κανόνες εισαγωγής παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα

Μόνο ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να λειτουργήσει ως αριθμητής, παρονομαστής και ακέραιο μέρος ενός κλάσματος.

Ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι αρνητικός.

Όταν εισάγετε ένα αριθμητικό κλάσμα, ο αριθμητής διαχωρίζεται από τον παρονομαστή με ένα σύμβολο διαίρεσης: /
Είσοδος: -2/3 + 7/5
Αποτέλεσμα: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5) \)

Το ακέραιο μέρος χωρίζεται από το κλάσμα με συμπλεκτικό σύμφωνο: &
Είσοδος: -1&2/3 * 5&8/3
Αποτέλεσμα: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3) \)

Η διαίρεση των κλασμάτων εισάγεται με άνω και κάτω τελεία: :
Είσοδος: -9&37/12: -3&5/14
Αποτέλεσμα: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Θυμηθείτε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!

Οι παρενθέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την εισαγωγή παραστάσεων με αριθμητικά κλάσματα.
Εισαγωγή: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Αποτέλεσμα: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3) \)

Εισαγάγετε μια έκφραση με αριθμητικά κλάσματα.

Υπολογίζω

Διαπιστώθηκε ότι ορισμένα σενάρια που απαιτούνται για την επίλυση αυτής της εργασίας δεν φορτώθηκαν και το πρόγραμμα ενδέχεται να μην λειτουργεί.
Μπορεί να έχετε ενεργοποιημένο το AdBlock.
Σε αυτήν την περίπτωση, απενεργοποιήστε το και ανανεώστε τη σελίδα.

Έχετε απενεργοποιήσει τη JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.
Η JavaScript πρέπει να είναι ενεργοποιημένη για να εμφανιστεί η λύση.
Ακολουθούν οδηγίες σχετικά με τον τρόπο ενεργοποίησης της JavaScript στο πρόγραμμα περιήγησής σας.

Επειδή Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που θέλουν να λύσουν το πρόβλημα, το αίτημά σας βρίσκεται στην ουρά.
Μετά από μερικά δευτερόλεπτα, η λύση θα εμφανιστεί παρακάτω.
Περίμενε Παρακαλώ δευτερόλεπτο...

Αν εσύ παρατήρησε ένα σφάλμα στη λύση, τότε μπορείτε να γράψετε σχετικά στη Φόρμα σχολίων.
Μην ξεχάσεις υποδεικνύουν ποια εργασίαεσύ αποφασίζεις τι εισάγετε στα πεδία.

Τα παιχνίδια, τα παζλ, οι εξομοιωτές μας:

Λίγη θεωρία.

Συνήθη κλάσματα. Διαίρεση με υπόλοιπο

Αν χρειαστεί να διαιρέσουμε το 497 με το 4, τότε κατά τη διαίρεση, θα δούμε ότι το 497 δεν διαιρείται με το 4, δηλ. παραμένει το υπόλοιπο της διαίρεσης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέγεται ότι διαίρεση με υπόλοιποκαι η λύση γράφεται ως εξής:
497: 4 = 124 (1 υπόλοιπο).

Τα στοιχεία διαίρεσης στην αριστερή πλευρά της ισότητας ονομάζονται ίδια όπως και στη διαίρεση χωρίς υπόλοιπο: 497 - μέρισμα, 4 - διαιρών. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης κατά τη διαίρεση με υπόλοιπο ονομάζεται ημιτελής ιδιωτική. Στην περίπτωσή μας, αυτός ο αριθμός είναι 124. Και τέλος, το τελευταίο συστατικό, που δεν είναι στη συνήθη διαίρεση, είναι υπόλοιπο. Όταν δεν υπάρχει υπόλοιπο, ένας αριθμός λέγεται ότι διαιρείται με έναν άλλο. χωρίς ίχνος, ή εντελώς. Πιστεύεται ότι με μια τέτοια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μηδέν. Στην περίπτωσή μας, το υπόλοιπο είναι 1.

Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από το διαιρέτη.

Μπορείτε να ελέγξετε κατά τη διαίρεση πολλαπλασιάζοντας. Εάν, για παράδειγμα, υπάρχει ισότητα 64: 32 = 2, τότε ο έλεγχος μπορεί να γίνει ως εξής: 64 = 32 * 2.

Συχνά σε περιπτώσεις όπου γίνεται διαίρεση με υπόλοιπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η ισότητα
a \u003d b * n + r,
όπου a είναι το μέρισμα, b ο διαιρέτης, n το μερικό πηλίκο, r το υπόλοιπο.

Το πηλίκο διαίρεσης των φυσικών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα.

Ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

Δεδομένου ότι ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης, πιστέψτε ότι η ευθεία ενός κλάσματος σημαίνει τη δράση της διαίρεσης. Μερικές φορές είναι βολικό να γράψετε τη διαίρεση ως κλάσμα χωρίς να χρησιμοποιήσετε το σύμβολο ":".

Το πηλίκο της διαίρεσης των φυσικών αριθμών m και n μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac(m)(n) \), όπου ο αριθμητής m είναι το μέρισμα και ο παρονομαστής n είναι ο διαιρέτης:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Οι παρακάτω κανόνες είναι σωστοί:

Για να πάρετε ένα κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα σε n ίσα μέρη (μερίδια) και να πάρετε m τέτοια μέρη.

Για να πάρετε το κλάσμα \(\frac(m)(n) \), πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό m με τον αριθμό n.

Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο με τον παρονομαστή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Για να βρείτε ένα σύνολο με το μέρος του, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτό το μέρος με τον αριθμητή και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος που εκφράζει αυτό το μέρος.

Αν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Εάν και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Οι δύο τελευταίοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μείωση του κλάσματος.

Εάν τα κλάσματα πρέπει να αναπαρασταθούν ως κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, τότε μια τέτοια ενέργεια ονομάζεται αναγωγή κλασμάτων σε κοινό παρονομαστή.

Κατάλληλα και ακατάλληλα κλάσματα. μικτούς αριθμούς

Γνωρίζετε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ένα σύνολο σε ίσα μέρη και λαμβάνοντας πολλά τέτοια μέρη. Για παράδειγμα, το κλάσμα \(\frac(3)(4) \) σημαίνει τα τρία τέταρτα του ενός. Σε πολλά από τα προβλήματα της προηγούμενης ενότητας, τα κλάσματα χρησιμοποιήθηκαν για να δηλώσουν μέρος ενός συνόλου. Η κοινή λογική υπαγορεύει ότι το μέρος πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το σύνολο, αλλά τι γίνεται με κλάσματα όπως \(\frac(5)(5) \) ή \(\frac(8)(5) \); Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι πλέον μέρος της μονάδας. Γι' αυτό πιθανώς ονομάζονται τέτοια κλάσματα, στα οποία ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή. ακατάλληλα κλάσματα. Τα υπόλοιπα κλάσματα, δηλαδή τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, λέγονται κατάλληλα κλάσματα.

Όπως γνωρίζετε, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, σωστό και ακατάλληλο, μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Επομένως, στα μαθηματικά, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη γλώσσα, ο όρος "ακατάλληλο κλάσμα" δεν σημαίνει ότι κάναμε κάτι λάθος, αλλά μόνο ότι αυτό το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο ή ίσο με τον παρονομαστή του.

Αν ένας αριθμός αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλάσμα, τότε τέτοιο τα κλάσματα λέγονται μικτά.

Για παράδειγμα:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 είναι το ακέραιο μέρος και \(\frac(2)(3) \) είναι το κλασματικό μέρος.

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρεθεί αυτό το κλάσμα με το n, ο αριθμητής του πρέπει να διαιρεθεί με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Εάν ο αριθμητής του κλάσματος \(\frac(a)(b) \) δεν διαιρείται με έναν φυσικό αριθμό n, τότε για να διαιρέσετε αυτό το κλάσμα με το n, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του με αυτόν τον αριθμό:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Σημειώστε ότι ο δεύτερος κανόνας ισχύει και όταν ο αριθμητής διαιρείται με το n. Επομένως, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε όταν είναι δύσκολο με την πρώτη ματιά να προσδιορίσουμε εάν ο αριθμητής ενός κλάσματος διαιρείται με το n ή όχι.

Ενέργειες με κλάσματα. Πρόσθεση κλασμάτων.

Με τους κλασματικούς αριθμούς, όπως και με τους φυσικούς αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις. Ας δούμε πρώτα την προσθήκη κλασμάτων. Είναι εύκολο να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Βρείτε, για παράδειγμα, το άθροισμα των \(\frac(2)(7) \) και \(\frac(3)(7) \). Είναι εύκολο να δούμε ότι \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Εάν θέλετε να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες της πρόσθεσης.

Προσθήκη μικτών κλασμάτων

Οι εγγραφές όπως \(2\frac(2)(3) \) καλούνται μικτά κλάσματα. Ο αριθμός 2 ονομάζεται ολόκληρο μέροςμικτό κλάσμα, και ο αριθμός \(\frac(2)(3) \) είναι του κλασματικό μέρος. Η καταχώρηση \(2\frac(2)(3) \) διαβάζεται ως εξής: "δύο και δύο τρίτα".

Η διαίρεση του αριθμού 8 με τον αριθμό 3 δίνει δύο απαντήσεις: \(\frac(8)(3) \) και \(2\frac(2)(3) \). Εκφράζουν τον ίδιο κλασματικό αριθμό, δηλαδή \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Έτσι, το ακατάλληλο κλάσμα \(\frac(8)(3) \) αναπαρίσταται ως μικτό κλάσμα \(2\frac(2)(3) \). Σε τέτοιες περιπτώσεις, λένε ότι από ένα ακατάλληλο κλάσμα ξεχώρισε το σύνολο.

Αφαίρεση κλασμάτων (κλασματικοί αριθμοί)

Η αφαίρεση των κλασματικών αριθμών, καθώς και των φυσικών, προσδιορίζεται με βάση την ενέργεια πρόσθεσης: η αφαίρεση ενός άλλου από έναν αριθμό σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού που, όταν προστεθεί στον δεύτερο, δίνει τον πρώτο. Για παράδειγμα:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) αφού \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Ο κανόνας για την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές είναι παρόμοιος με τον κανόνα για την πρόσθεση τέτοιων κλασμάτων:
Για να βρείτε τη διαφορά μεταξύ κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, αυτός ο κανόνας γράφεται ως εξής:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους και να γράψετε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Χρησιμοποιώντας γράμματα, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων μπορεί να γραφτεί ως εξής:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Χρησιμοποιώντας τον διατυπωμένο κανόνα, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, με ένα μικτό κλάσμα και επίσης να πολλαπλασιάσουμε μικτά κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γράψετε έναν φυσικό αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή 1, ένα μικτό κλάσμα ως ακατάλληλο κλάσμα.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα πρέπει να απλοποιηθεί (αν είναι δυνατόν) μειώνοντας το κλάσμα και επισημαίνοντας το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος.

Για τα κλάσματα, καθώς και για τους φυσικούς αριθμούς, ισχύουν οι μεταθετικές και συνειρμικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, καθώς και η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Διαίρεση κλασμάτων

Πάρτε το κλάσμα \(\frac(2)(3) \) και «αναποδογυρίστε» το ανταλλάσσοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Παίρνουμε το κλάσμα \(\frac(3)(2) \). Αυτό το κλάσμα λέγεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗκλάσματα \(\frac(2)(3) \).

Αν τώρα «αντιστρέφουμε» το κλάσμα \(\frac(3)(2) \), τότε παίρνουμε το αρχικό κλάσμα \(\frac(2)(3) \). Επομένως, κλάσματα όπως \(\frac(2)(3) \) και \(\frac(3)(2) \) ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφα.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac(6)(5) \) και \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) και \(\frac (18 )(7) \).

Χρησιμοποιώντας γράμματα, τα αμοιβαία αντίστροφα κλάσματα μπορούν να γραφτούν ως εξής: \(\frac(a)(b) \) και \(\frac(b)(a) \)

Είναι ξεκάθαρο ότι το γινόμενο των αμοιβαίων κλασμάτων είναι 1. Για παράδειγμα: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Χρησιμοποιώντας αμοιβαία κλάσματα, η διαίρεση των κλασμάτων μπορεί να μειωθεί σε πολλαπλασιασμό.

Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:
Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.