Για ποιους αριθμούς είναι σωστό το πρόσημο της ανισότητας; Βίντεο μάθημα «Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων

Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Πράγματι, για παράδειγμα, 2< 3, но

Ιδιότητα 4. Αν a > b και c > d, τότε a + c > b + d.

Απόδειξη. Αφού a>b και c>d, οι διαφορές a-b και c-d είναι θετικοί αριθμοί. Τότε το άθροισμα αυτών των αριθμών είναι επίσης θετικός αριθμός (a-b)+(c-d). Αναπτύξτε τις αγκύλες και ομαδοποιήστε (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Ενόψει αυτής της ισότητας, η προκύπτουσα έκφραση (a + c) - (b + d) θα είναι ένας θετικός αριθμός. Επομένως, a+ c> b+ d.

Ανισώσεις της μορφής a>b, c>d ή a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>προ ΧΡΙΣΤΟΥ

Ιδιότητα 5. Αν a > b, c > d, τότε ac > bd, όπου a, b, c, d είναι θετικοί αριθμοί.

Απόδειξη. Εφόσον a>b και c είναι θετικός αριθμός, τότε, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, παίρνουμε ac > bc. Εφόσον c >d και b είναι θετικός αριθμός, τότε bc > bd. Επομένως, με την πρώτη ιδιότητα ac > bd. Η έννοια της αποδεδειγμένης ιδιότητας είναι η εξής: «Αν πολλαπλασιάσουμε όρο με όρο ανισώσεις της ίδιας σημασίας, στις οποίες το αριστερό και το δεξί μέρος είναι θετικοί αριθμοί, τότε παίρνουμε μια ανισότητα της ίδιας σημασίας».

Για παράδειγμα, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Ιδιοκτησία 6. Αν α< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Απόδειξη. Αν πολλαπλασιάσουμε όρο με όρο αυτές τις n ανισώσεις α< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Εφαρμογή ιδιοτήτων

Εξετάστε ένα παράδειγμα εφαρμογής των ιδιοτήτων που εξετάσαμε.

Αφήστε 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Υπολογίστε το άθροισμα a + b. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 4, παίρνουμε 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Υπολογίστε τη διαφορά α - β. Εφόσον δεν υπάρχει ιδιότητα για αφαίρεση, τότε η διαφορά a - b θα αντικατασταθεί από το άθροισμα a + (-b). Ας αξιολογήσουμε πρώτα το (- β). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, και τα δύο μέρη της ανισότητας 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Παίρνουμε -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Υπολογίστε το γινόμενο a ∙ b. Με την ιδιότητα 5, πολλαπλασιάζουμε τις ανισώσεις του ίδιου ζωδίου

Συναντήσαμε ανισότητες στο σχολείο, όπου χρησιμοποιούμε αριθμητικές ανισότητες. Σε αυτό το άρθρο, εξετάζουμε τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισοτήτων, μερικές από τις οποίες είναι δομημένες αρχές για την εργασία με αυτές.

Οι ιδιότητες των ανισώσεων είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων. Ιδιότητες, θα εξεταστούν οι αιτιολογήσεις του, θα δώσουμε παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αριθμητικές ανισώσεις: ορισμός, παραδείγματα

Κατά την εισαγωγή της έννοιας της ανισότητας, έχουμε ότι ο ορισμός τους γίνεται σύμφωνα με τον τύπο της εγγραφής. Υπάρχουν αλγεβρικές εκφράσεις που έχουν σημάδια ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Ας δώσουμε έναν ορισμό.

Ορισμός 1

Αριθμητική ανισότηταονομάζεται ανισότητα στην οποία και οι δύο πλευρές έχουν αριθμούς και αριθμητικές εκφράσεις.

Οι αριθμητικές ανισώσεις εξετάζονται στο σχολείο μετά τη μελέτη των φυσικών αριθμών. Τέτοιες πράξεις σύγκρισης μελετώνται βήμα προς βήμα. Αρχική εμφάνιση σαν 1< 5 , 5 + 7 >3 . Μετά από αυτό, οι κανόνες συμπληρώνονται και οι ανισότητες γίνονται πιο περίπλοκες, τότε λαμβάνουμε ανισώσεις της μορφής 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων

Για να δουλέψετε σωστά με τις ανισώσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων. Προέρχονται από την έννοια της ανισότητας. Μια τέτοια έννοια προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας μια πρόταση, η οποία συμβολίζεται ως "μεγαλύτερο από" ή "λιγότερο από".

Ορισμός 2

• ο αριθμός a είναι μεγαλύτερος από το b όταν η διαφορά a - b είναι θετικός αριθμός.
• ο αριθμός a είναι μικρότερος από το b όταν η διαφορά a - b είναι αρνητικός αριθμός.
• ο αριθμός a είναι ίσος με b όταν η διαφορά a - b είναι ίση με μηδέν.

Ο ορισμός χρησιμοποιείται κατά την επίλυση ανισοτήτων με σχέσεις "λιγότερο από ή ίσο", "μεγαλύτερο από ή ίσο". Το καταλαβαίνουμε

Ορισμός 3

• Το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο του b όταν το a - b είναι ένας μη αρνητικός αριθμός.
• Το a είναι μικρότερο ή ίσο του b όταν το a - b είναι μη θετικός αριθμός.

Οι ορισμοί θα χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη των ιδιοτήτων των αριθμητικών ανισώσεων.

Βασικές ιδιότητες

Εξετάστε 3 κύριες ανισότητες. Χρήση πινακίδων< и >χαρακτηριστικό με ιδιότητες:

Ορισμός 4

• αντιανακλαστικότητα, που λέει ότι οποιοσδήποτε αριθμός a από τις ανισώσεις a< a и a >α θεωρείται άκυρη. Είναι γνωστό ότι για οποιοδήποτε a ισχύει η ισότητα a − a = 0, άρα παίρνουμε ότι a = a. Ετσι, ένα< a и a >α είναι λάθος. Για παράδειγμα, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 είναι λάθος.
• ασυμμετρία. Όταν οι αριθμοί α και β είναι τέτοιοι ώστε α< b , то b >a , και αν a > b , τότε b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ένα. Το δεύτερο μέρος αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο.

Παράδειγμα 1

Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας 5< 11 имеем, что 11 >5 , τότε η αριθμητική του ανισότητα − 0 , 27 > − 1 , 3 θα ξαναγραφεί με τη μορφή − 1 , 3< − 0 , 27 .

Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα, σημειώνουμε ότι με τη βοήθεια της ασυμμετρίας, μπορεί κανείς να διαβάσει την ανισότητα από δεξιά προς τα αριστερά και αντίστροφα. Έτσι, η αριθμητική ανισότητα μπορεί να αλλάξει και να εναλλάσσεται.

Ορισμός 5

• μεταβατικότητα. Όταν οι αριθμοί a , b , c πληρούν την συνθήκη α< b и b < c , тогда a < c , и если a >b και b > c , μετά a > c .

Απόδειξη 1

Ο πρώτος ισχυρισμός μπορεί να αποδειχθεί. Συνθήκη α< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο μέρος με την ιδιότητα μεταβατικότητα.

Παράδειγμα 2

Η αναλυόμενη ιδιότητα εξετάζεται στο παράδειγμα των ανισοτήτων − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 και 1 8 > 1 32 προκύπτει ότι 1 2 > 1 32 .

Οι αριθμητικές ανισώσεις, οι οποίες γράφονται χρησιμοποιώντας μη αυστηρά πρόσημα ανισότητας, έχουν την ιδιότητα της ανακλαστικότητας, γιατί τα ≤ a και a ≥ a μπορούν να έχουν την περίπτωση της ισότητας a = a. χαρακτηρίζονται από ασυμμετρία και μεταβατικότητα.

Ορισμός 6

Οι ανισώσεις που έχουν τα πρόσημα ≤ και ≥ στη σημειογραφία έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:

• ανακλαστικότητα a ≥ a και a ≤ a θεωρούνται αληθινές ανισότητες.
• αντισυμμετρία όταν a ≤ b , τότε b ≥ a , και αν a ≥ b , τότε b ≤ a .
• μεταβατικότητα όταν a ≤ b και b ≤ c , τότε a ≤ c , και επίσης, εάν a ≥ b και b ≥ c , τότε a ≥ c .

Η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο.

Άλλες σημαντικές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων

Για τη συμπλήρωση των βασικών ιδιοτήτων των ανισοτήτων, χρησιμοποιούνται αποτελέσματα που έχουν πρακτική σημασία. Εφαρμόζεται η αρχή της μεθόδου αξιολόγησης των τιμών των εκφράσεων, στην οποία βασίζονται οι αρχές επίλυσης ανισοτήτων.

Αυτή η ενότητα αποκαλύπτει τις ιδιότητες των ανισοτήτων για ένα σημάδι αυστηρής ανισότητας. Το ίδιο γίνεται και για τα μη αυστηρά. Εξετάστε ένα παράδειγμα, διατυπώνοντας την ανισότητα αν α< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• αν a > b , τότε a + c > b + c ;
• αν a ≤ b , τότε a + c ≤ b + c ;
• αν a ≥ b , τότε a + c ≥ b + c .

Για μια βολική παρουσίαση, δίνουμε την αντίστοιχη δήλωση, η οποία καταγράφεται και δίνονται αποδείξεις, παρουσιάζονται παραδείγματα χρήσης.

Ορισμός 7

Προσθήκη ή υπολογισμός ενός αριθμού και στις δύο πλευρές. Με άλλα λόγια, όταν τα α και β αντιστοιχούν στην ανίσωση α< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Απόδειξη 2

Για να αποδειχθεί αυτό, είναι απαραίτητο η εξίσωση να ικανοποιεί την συνθήκη α< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Παράδειγμα 3

Για παράδειγμα, αν και τα δύο μέρη της ανίσωσης 7 > 3 αυξηθούν κατά 15 , τότε παίρνουμε ότι 7 + 15 > 3 + 15 . Αυτό ισούται με 22 > 18 .

Ορισμός 8

Όταν και τα δύο μέρη της ανίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό c, παίρνουμε τη σωστή ανισότητα. Αν πάρουμε τον αριθμό c αρνητικό, τότε το πρόσημο θα αλλάξει στο αντίθετο. Διαφορετικά, μοιάζει με αυτό: για τα a και b, η ανισότητα ισχύει όταν το a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Απόδειξη 3

Όταν υπάρχει περίπτωση c > 0 , είναι απαραίτητο να γίνει η διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους της ανισότητας. Τότε παίρνουμε ότι a · c − b · c = (a − b) · c . Από την προϋπόθεση α< b , то a − b < 0 , а c >0 , τότε το γινόμενο (a − b) · c θα είναι αρνητικό. Αυτό σημαίνει ότι a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Στην απόδειξη, η διαίρεση με έναν ακέραιο μπορεί να αντικατασταθεί με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του δεδομένου, δηλαδή 1 c . Εξετάστε ένα παράδειγμα ιδιότητας σε συγκεκριμένους αριθμούς.

Παράδειγμα 4

Επιτρέπονται και τα δύο μέρη της ανισότητας 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Τώρα διατυπώνουμε τα ακόλουθα δύο αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται για την επίλυση ανισώσεων:

• Συνέπεια 1. Όταν αλλάζετε τα πρόσημα των μερών μιας αριθμητικής ανισότητας, το ίδιο το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει στο αντίθετο, ως< b , как − a >−β. Αυτό αντιστοιχεί στον κανόνα του πολλαπλασιασμού και των δύο μερών με -1. Ισχύει για μετάβαση. Για παράδειγμα − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Συνέπεια 2. Όταν μέρη μιας αριθμητικής ανισότητας αντικαθίστανται από αντίστροφα, αλλάζει και το πρόσημο της και η ανισότητα παραμένει αληθής. Άρα έχουμε ότι τα a και b είναι θετικοί αριθμοί, a< b , 1 a >1β.

Κατά τη διαίρεση και των δύο μερών της ανίσωσης α< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 έχουμε ότι 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b μπορεί να είναι λάθος.

Παράδειγμα 5

Για παράδειγμα, − 2< 3 , однако, - 1 2 >Το 1 3 είναι άκυρη ισότητα.

Όλα τα σημεία ενώνονται από το γεγονός ότι οι ενέργειες σε μέρη της ανισότητας δίνουν τη σωστή ανισότητα στην έξοδο. Εξετάστε ιδιότητες όπου αρχικά υπάρχουν πολλές αριθμητικές ανισώσεις και το αποτέλεσμά τους θα προκύψει προσθέτοντας ή πολλαπλασιάζοντας τα μέρη τους.

Ορισμός 9

Όταν οι αριθμοί a , b , c , d ισχύουν για τις ανισώσεις a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Απόδειξη 4

Αποδεικνύουμε ότι (a + c) − (b + d) είναι αρνητικός αριθμός, τότε παίρνουμε ότι a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Η ιδιότητα χρησιμοποιείται για προσθήκη όρου προς όρο τριών, τεσσάρων ή περισσότερων αριθμητικών ανισώσεων. Οι αριθμοί a 1 , a 2 , … , a n και b 1 , b 2 , … , b n υπόκεινται στις ανισώσεις a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Παράδειγμα 6

Για παράδειγμα, δίνονται τρεις αριθμητικές ανισώσεις του ίδιου πρόσημου − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Ορισμός 10

Ο κατά όρο πολλαπλασιασμός και των δύο μερών οδηγεί σε θετικό αριθμό. Για ένα< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Απόδειξη 5

Για να το αποδείξουμε αυτό, χρειαζόμαστε και τις δύο πλευρές της ανισότητας α< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Αυτή η ιδιότητα θεωρείται ότι ισχύει για τον αριθμό των αριθμών με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιαστούν και οι δύο πλευρές της ανίσωσης. Επειτα a 1 , a 2 , … , a nκαι b 1 , b 2 , … , b nείναι θετικοί αριθμοί, όπου το 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Σημειώστε ότι όταν γράφετε ανισώσεις υπάρχουν μη θετικοί αριθμοί, τότε ο πολλαπλασιασμός τους ανά όρο οδηγεί σε λανθασμένες ανισώσεις.

Παράδειγμα 7

Για παράδειγμα, η ανισότητα 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Συνέπεια: Ορθολογικός πολλαπλασιασμός των ανισώσεων α< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων

Εξετάστε τις ακόλουθες ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων.

1. ένα< a , a >α - ψευδείς ανισότητες,
   a ≤ a , a ≥ a είναι έγκυρες ανισώσεις.
2. Αν ένα< b , то b >α - αντισυμμετρία.
3. Αν ένα< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Αν ένα< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Αν ένα< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Αν ένα< b и c - отрицательное число, то a · c >προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Συμπέρασμα 1: αν ένα< b , то - a >-σι.

Συμπέρασμα 2: αν τα α και β είναι θετικοί αριθμοί και ο α< b , то 1 a >1β.

1. Αν ένα 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Αν ένα 1 , ένα 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n είναι θετικοί αριθμοί και a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Συμπέρασμα 1: αν ένα< b , a και σι είναι θετικοί αριθμοί, τότε ένα n< b n .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Για οποιεσδήποτε αριθμητικές εκφράσεις, οι ακόλουθες ιδιότητες είναι αληθείς.

Ιδιοκτησία 1.Αν προσθέσουμε την ίδια αριθμητική έκφραση και στα δύο μέρη της σωστής αριθμητικής ανισότητας, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή ισχύει: ; .

Απόδειξη.Αν ένα . Χρησιμοποιώντας τις μεταθετικές, συνειρμικές και κατανεμητικές ιδιότητες της πράξης πρόσθεσης, έχουμε: .

Επομένως, εξ ορισμού της σχέσης "μεγαλύτερο από" .

Ιδιοκτησία 2. Αν αφαιρεθεί η ίδια αριθμητική έκφραση και από τα δύο μέρη της σωστής αριθμητικής ανισότητας, τότε λαμβάνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή ισχύει: ;

Απόδειξη.Κατά συνθήκη . Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ιδιότητα, προσθέτουμε και στα δύο μέρη αυτής της ανισότητας μια αριθμητική παράσταση , παίρνουμε: .

Χρησιμοποιώντας τη συνειρμική ιδιότητα της πράξης πρόσθεσης, έχουμε: , επομένως , Συνεπώς .

Συνέπεια.Οποιοσδήποτε όρος μπορεί να μεταφερθεί από ένα μέρος της αριθμητικής ανισότητας σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο.

Ιδιοκτησία 3. Αν προσθέσουμε τις σωστές αριθμητικές ανισώσεις ανά όρο, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή είναι αλήθεια:

Απόδειξη.Με την ιδιότητα 1, έχουμε: και , χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μεταβατικότητας της σχέσης "μεγαλύτερο από", παίρνουμε: .

Ιδιοκτησία 4.Οι αληθινές αριθμητικές ανισώσεις αντίθετης σημασίας μπορούν να αφαιρεθούν όρο προς όρο, διατηρώντας το πρόσημο της ανισότητας από το οποίο αφαιρούμε, δηλαδή: ;

Απόδειξη.Εξ ορισμού των αληθινών αριθμητικών ανισώσεων . Κατά την ιδιοκτησία 3, εάν . Ως συνέπεια της ιδιότητας 2 αυτού του θεωρήματος, οποιοσδήποτε όρος μπορεί να μεταφερθεί από ένα μέρος της ανισότητας σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο. Συνεπώς, . Έτσι, εάν .

Το ακίνητο αποδεικνύεται παρόμοια.

Ιδιοκτησία 5.Αν και τα δύο μέρη της σωστής αριθμητικής ανισότητας πολλαπλασιαστούν με την ίδια αριθμητική παράσταση που παίρνει θετική τιμή χωρίς να αλλάξει το πρόσημο της ανισότητας, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή:

Απόδειξη.Από τι . Εχουμε: έπειτα . Χρησιμοποιώντας την κατανομή της πράξης του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση, έχουμε: .

Τότε με τον ορισμό της σχέσης «μεγαλύτερο από».

Το ακίνητο αποδεικνύεται παρόμοια.

Ιδιοκτησία 6.Αν και τα δύο μέρη της σωστής αριθμητικής ανισότητας πολλαπλασιαστούν με την ίδια αριθμητική παράσταση που παίρνει αρνητική τιμή, αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή: ;

Ιδιοκτησία 7.Αν και τα δύο μέρη μιας αληθινής αριθμητικής ανισότητας διαιρεθούν με την ίδια αριθμητική παράσταση που παίρνει θετική τιμή χωρίς να αλλάξει το πρόσημο της ανισότητας, τότε παίρνουμε μια αληθινή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή:

Απόδειξη.Εχουμε: . Με την ιδιότητα 5, παίρνουμε: . Χρησιμοποιώντας τη συσχέτιση της πράξης πολλαπλασιασμού, έχουμε: Συνεπώς .

Το ακίνητο αποδεικνύεται παρόμοια.

ιδιοκτησία 8.Εάν και τα δύο μέρη της σωστής αριθμητικής ανισότητας διαιρεθούν με την ίδια αριθμητική παράσταση, η οποία παίρνει αρνητική τιμή, αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή: ;

Παραλείπουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ιδιοκτησία 9.Αν πολλαπλασιάσουμε όρο προς όρο τις σωστές αριθμητικές ανισώσεις της ίδιας σημασίας με αρνητικά μέρη, αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο, τότε προκύπτει η σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή:

Παραλείπουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ιδιοκτησία 10.Αν πολλαπλασιάσουμε όρο προς όρο τις σωστές αριθμητικές ανισώσεις της ίδιας σημασίας με θετικά μέρη, χωρίς να αλλάξουμε το πρόσημο της ανισότητας, τότε προκύπτει η σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή:

Παραλείπουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Ιδιοκτησία 11.Αν διαιρέσουμε όρο προς όρο τη σωστή αριθμητική ανισότητα της αντίθετης σημασίας με θετικά μέρη, διατηρώντας το πρόσημο της πρώτης ανισότητας, τότε παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα, δηλαδή:

;

.

Παραλείπουμε την απόδειξη αυτής της ιδιότητας.

Παράδειγμα 1Είναι ανισότητες και ισοδύναμος?

Λύση.Η δεύτερη ανισότητα προκύπτει από την πρώτη ανισότητα προσθέτοντας και στα δύο μέρη της την ίδια έκφραση, η οποία δεν ορίζεται για . Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός δεν μπορεί να είναι η λύση στην πρώτη ανισότητα. Ωστόσο, είναι μια λύση στη δεύτερη ανισότητα. Άρα, υπάρχει λύση στη δεύτερη ανισότητα, η οποία δεν είναι λύση στην πρώτη ανισότητα. Επομένως, αυτές οι ανισότητες δεν είναι ισοδύναμες. Η δεύτερη ανισότητα είναι συνέπεια της πρώτης ανισότητας, αφού οποιαδήποτε λύση στην πρώτη ανισότητα είναι λύση στη δεύτερη.

Παρουσιάζονται οι κύριοι τύποι ανισοτήτων, συμπεριλαμβανομένων των ανισοτήτων Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev. Λαμβάνονται υπόψη οι ιδιότητες των ανισοτήτων και οι ενέργειες σε αυτές. Δίνονται οι κύριες μέθοδοι επίλυσης ανισοτήτων.

Τύποι για βασικές ανισότητες

Τύποι για καθολικές ανισότητες

Οι καθολικές ανισότητες ικανοποιούνται για οποιεσδήποτε τιμές των ποσοτήτων που περιλαμβάνονται σε αυτές. Οι κύριοι τύποι καθολικών ανισοτήτων παρατίθενται παρακάτω.

1) | α β | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |α| + |b| ≥ | α-β | ≥ | |α| - |β| |

3)
Η ισότητα λαμβάνει χώρα μόνο όταν a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α a k = β b k για όλα τα k = 1, 2, ..., n και μερικά α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Η ανισότητα του Minkowski, για p ≥ 1

Τύποι για ικανοποιητικές ανισότητες

Ικανοποιήσιμες ανισότητες ικανοποιούνται για ορισμένες αξίες των ποσοτήτων που περιλαμβάνονται σε αυτές.

1) Η ανισότητα του Bernoulli:
.
Πιο γενικά:
,
όπου , αριθμοί του ίδιου πρόσημου και μεγαλύτεροι από -1 : .
Το λήμμα του Bernoulli:
.
Βλέπε «Αποδείξεις ανισοτήτων και το λήμμα του Μπερνούλι».

2)
για a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Η ανισότητα του Chebyshev
στο 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n και 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Στο 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n και b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Γενικευμένες ανισότητες Chebyshev
στο 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n και 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n και κ φυσικό
.
Στο 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n και b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Ιδιότητες των ανισοτήτων

Οι ιδιότητες των ανισοτήτων είναι ένα σύνολο από αυτούς τους κανόνες που πληρούνται όταν μετασχηματίζονται. Παρακάτω είναι οι ιδιότητες των ανισοτήτων. Εννοείται ότι οι αρχικές ανισότητες ικανοποιούνται για τις τιμές x i (i = 1, 2, 3, 4) που ανήκουν σε κάποιο προκαθορισμένο διάστημα.

1) Κατά την αλλαγή της σειράς των πλευρών, το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται.
Αν x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Αν x 1 ≤ x 2, τότε x 2 ≥ x 1.
Αν x 1 ≥ x 2, τότε x 2 ≤ x 1.
Αν x 1 > x 2 τότε x 2< x 1 .

2) Μία ισότητα ισοδυναμεί με δύο μη αυστηρές ανισότητες διαφορετικού πρόσημου.
Αν x 1 = x 2, τότε x 1 ≤ x 2 και x 1 ≥ x 2.
Αν x 1 ≤ x 2 και x 1 ≥ x 2, τότε x 1 = x 2.

3) Ιδιότητα μεταβατικότητας
Αν x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Αν x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Αν x 1 ≤ x 2 και x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Αν x 1 ≤ x 2 και x 2 ≤ x 3 τότε x 1 ≤ x 3 .

4) Μπορείτε να προσθέσετε (αφαιρέσετε) τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέρη της ανίσωσης.
Αν x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Αν x 1 ≤ x 2 τότε x 1 + A ≤ x 2 + A .
Αν x 1 ≥ x 2 τότε x 1 + A ≥ x 2 + A .
Αν x 1 > x 2, τότε x 1 + A > x 2 + A.

5) Αν υπάρχουν δύο ή περισσότερες ανισότητες με το πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης, τότε μπορούν να προστεθούν το αριστερό και το δεξί τους μέρος.
Αν x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Αν x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Αν x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Αν x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , τότε x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Παρόμοιες εκφράσεις λαμβάνουν χώρα για τα σημεία ≥, >.
Εάν οι αρχικές ανισότητες περιέχουν πρόσημα μη αυστηρών ανισοτήτων και τουλάχιστον μία αυστηρή ανισότητα (αλλά όλα τα πρόσημα έχουν την ίδια κατεύθυνση), τότε η πρόσθεση οδηγεί σε αυστηρή ανισότητα.

6) Και τα δύο μέρη της ανίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με έναν θετικό αριθμό.
Αν x 1< x 2 и A >0 και μετά A x 1< A · x 2 .
Αν x 1 ≤ x 2 και A > 0 , τότε A x 1 ≤ A x 2 .
Αν x 1 ≥ x 2 και A > 0, τότε A x 1 ≥ A x 2.
Αν x 1 > x 2 και A > 0, τότε A x 1 > A x 2.

7) Και τα δύο μέρη της ανίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με έναν αρνητικό αριθμό. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόσημο της ανισότητας θα αλλάξει στο αντίθετο.
Αν x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Αν x 1 ≤ x 2 και A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Αν x 1 ≥ x 2 και A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Αν x 1 > x 2 και A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Αν υπάρχουν δύο ή περισσότερες ανισότητες με θετικούς όρους, με πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης, τότε το αριστερό και το δεξί τους μέρος μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους.
Αν x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 και μετά x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Αν x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 και μετά x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Αν x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 και μετά x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Αν x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 τότε x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
Παρόμοιες εκφράσεις λαμβάνουν χώρα για τα σημεία ≥, >.
Εάν οι αρχικές ανισώσεις περιέχουν πρόσημα μη αυστηρών ανισοτήτων και τουλάχιστον μία αυστηρή ανισότητα (αλλά όλα τα πρόσημα έχουν την ίδια κατεύθυνση), τότε ο πολλαπλασιασμός οδηγεί σε αυστηρή ανισότητα.

9) Έστω f(x) μονότονα αύξουσα συνάρτηση. Δηλαδή, για κάθε x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Τότε αυτή η συνάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα δύο μέρη της ανισότητας, από τα οποία το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει.
Αν x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Αν x 1 ≤ x 2 τότε f(x 1) ≤ f(x 2) .
Αν x 1 ≥ x 2, τότε f(x 1) ≥ f(x 2) .
Αν x 1 > x 2, τότε f(x 1) > f(x 2) .

10) Έστω η f (x) μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση, δηλαδή για οποιαδήποτε x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Αν x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Αν x 1 ≤ x 2 τότε f(x 1) ≥ f(x 2) .
Αν x 1 ≥ x 2 τότε f(x 1) ≤ f(x 2) .
Αν x 1 > x 2, τότε f(x 1)< f(x 2) .

Μέθοδοι επίλυσης ανισοτήτων

Επίλυση ανισώσεων με τη μέθοδο του διαστήματος

Η μέθοδος διαστήματος είναι εφαρμόσιμη εάν η ανισότητα περιλαμβάνει μία μεταβλητή, την οποία συμβολίζουμε ως x και έχει τη μορφή:
f(x) > 0
όπου η f(x) είναι μια συνεχής συνάρτηση με πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας. Το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να είναι οτιδήποτε: >, ≥,<, ≤ .

Η μέθοδος του διαστήματος είναι η εξής.

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) και σημειώστε το με διαστήματα στον πραγματικό άξονα.

2) Να βρείτε τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης f(x) . Για παράδειγμα, αν είναι κλάσμα, τότε βρίσκουμε τα σημεία στα οποία εξαφανίζεται ο παρονομαστής. Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στον αριθμητικό άξονα.

3) Λύστε την εξίσωση
f(x) = 0 .
Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης σημειώνονται στην αριθμητική γραμμή.

4) Ως αποτέλεσμα, ο αριθμητικός άξονας θα χωριστεί κατά σημεία σε διαστήματα (τμήματα). Μέσα σε κάθε διάστημα που περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού, επιλέγουμε οποιοδήποτε σημείο και σε αυτό το σημείο υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης. Εάν αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε βάζουμε ένα σύμβολο «+» πάνω από το τμήμα (διάστημα). Εάν αυτή η τιμή είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε πάνω από το τμήμα (διάστημα) βάζουμε το σύμβολο "-".

5) Αν η ανισότητα έχει τη μορφή: f(x) > 0, τότε επιλέξτε τα διαστήματα με το πρόσημο «+». Η λύση στην ανισότητα είναι η ένωση αυτών των διαστημάτων που δεν περιλαμβάνουν τα όριά τους.
Αν η ανίσωση έχει τη μορφή: f(x) ≥ 0 , τότε προσθέτουμε στη λύση τα σημεία όπου f(x) = 0 . Δηλαδή, κάποια από τα διαστήματα μπορεί να έχουν κλειστά όρια (το όριο ανήκει στο διάστημα). το άλλο μέρος μπορεί να έχει ανοιχτά όρια (το όριο δεν ανήκει στο διάστημα).
Ομοίως, αν η ανίσωση είναι: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Αν η ανίσωση μοιάζει με: f(x) ≤ 0 , τότε προσθέτουμε στη λύση τα σημεία όπου f(x) = 0 .

Επίλυση ανισώσεων με εφαρμογή των ιδιοτήτων τους

Αυτή η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη σε ανισότητες οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Συνίσταται στην εφαρμογή των ιδιοτήτων (που παρουσιάζονται παραπάνω) για μείωση των ανισοτήτων σε απλούστερη μορφή και λήψη λύσης. Είναι πολύ πιθανό αυτό να οδηγήσει σε όχι μία, αλλά ένα σύστημα ανισοτήτων. Αυτή είναι μια καθολική μέθοδος. Ισχύει για τυχόν ανισότητες.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.

ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ I

§ 10 Βασικές ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων

1. Αν α > β, έπειτα σι< а , και αντίστροφα, εάν ένα< b , έπειτα β > α.

Απόδειξη.Αφήνω α > β . Εξ ορισμού, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός ( α - β ) είναι θετικό. Αν βάλουμε ένα σύμβολο μείον μπροστά του, τότε ο αριθμός που προκύπτει είναι - ( α - β ) θα είναι προφανώς αρνητικό. Να γιατί - ( α - β ) < 0, или β - α < 0. А это (опять же по определению) и означает, что σι< a .

Καλούμε τους μαθητές να αποδείξουν μόνοι τους την αντίστροφη δήλωση.

Η αποδεδειγμένη ιδιότητα των ανισώσεων επιτρέπει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία: εάν το σημείο Α βρίσκεται στην πραγματική ευθεία στα δεξιά του σημείου Β, τότε το σημείο Β βρίσκεται στα αριστερά του σημείου Α και αντίστροφα (βλ. Εικ. 20).

2. Αν α > β, ένα β > γ, έπειτα α > γ.

Γεωμετρικά, αυτή η ιδιότητα έχει ως εξής. Έστω το σημείο Α (που αντιστοιχεί στον αριθμό ένα ) βρίσκεται στα δεξιά του σημείου Β (που αντιστοιχεί στον αριθμό σι ), και το σημείο Β, με τη σειρά του, βρίσκεται στα δεξιά του σημείου Γ (που αντιστοιχεί στον αριθμό Με ). Τότε το σημείο Α θα βρίσκεται ακόμη περισσότερο στα δεξιά του σημείου Γ (Εικ. 21).

Ας δώσουμε μια αλγεβρική απόδειξη αυτής της ιδιότητας των ανισοτήτων.

Αφήνω α > β , ένα β > γ . Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί ( α - β ) και ( προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) είναι θετικές. Το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι προφανώς θετικό. Να γιατί ( α - β ) + (προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) > 0, ή μετα Χριστον > 0. Αυτό όμως σημαίνει ότι ένα > Με .

3. Αν α > β, τότε για οποιονδήποτε αριθμό Με α + γ > β + γ, μετα Χριστον > προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Με άλλα λόγια, εάν ο ίδιος αριθμός προστεθεί ή αφαιρεθεί και από τα δύο μέρη μιας αριθμητικής ανισότητας, τότε η ανισότητα δεν θα παραβιαστεί.

Απόδειξη.Αφήνω α > β . Αυτό σημαίνει ότι α - β > 0. Όμως α - β = (α + γ ) - (β + γ ). Να γιατί ( α + γ ) - (β + γ ) > 0. Και εξ ορισμού, αυτό σημαίνει ότι α + γ > β + γ . Παρομοίως, αποδεικνύεται ότι μετα Χριστον > προ ΧΡΙΣΤΟΥ .

Για παράδειγμα, αν προσθέσουμε 1 1 / 2 και στα δύο μέρη της ανίσωσης 5 > 4, τότε παίρνουμε
6 1 / 2 > 5 1 / 2 . Αφαιρώντας τον αριθμό 5 και από τα δύο μέρη αυτής της ανισότητας, παίρνουμε 0 > - 1.

Συνέπεια.Οποιοσδήποτε όρος ενός μέρους της αριθμητικής ανισότητας μπορεί να μεταφερθεί στο άλλο μέρος της ανισότητας αλλάζοντας το πρόσημο αυτού του όρου στο αντίθετο.

Ας, για παράδειγμα, α + β > γ . Αυτό απαιτείται να αποδειχθεί α > γ - β . Για να αποδείξουμε και από τα δύο μέρη αυτής της ανισότητας, αρκεί να αφαιρέσουμε τον αριθμό σι .

4. Αφήνω α > β. Αν ένα c > 0, έπειτα ac > bc . Αν Με< 0 , έπειτα άσσος< bс .

Με άλλα λόγια, εάν και τα δύο μέρη της αριθμητικής ανισότητας πολλαπλασιαστούν με έναν θετικό αριθμό, τότε η ανισότητα δεν θα παραβιαστεί.
Αν και οι δύο πλευρές της ανισότητας πολλαπλασιαστούν με έναν αρνητικό αριθμό, τότε το πρόσημο της ανίσωσης θα αλλάξει στο αντίθετο.

Συνοπτικά, αυτή η ιδιότητα διαμορφώνεται ως εξής:

Η ανισότητα διατηρείται στον πολλαπλασιασμό όρο-προς-όρο με θετικό αριθμό και αντιστρέφει το πρόσημο στον πολλαπλασιασμό όρο-προς-όρο με έναν αρνητικό αριθμό.

Για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας την ανισότητα 5 > 1 όρο με τον όρο με το 7, παίρνουμε 35 > 7. Ο πολλαπλασιασμός της ίδιας ανισότητας κατά όρο με - 7 δίνει - 35< - 7.

Απόδειξη 4ης ιδιοκτησίας.

Αφήνω α > β. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός α - βθετικώς. Το γινόμενο δύο θετικών αριθμών α - βκαι Με είναι προφανώς και θετικό, δηλ. ( α - β ) Με > 0 ή
ac - bc > 0. Επομένως ac > bc .

Ομοίως, θεωρούμε την περίπτωση όταν ο αριθμός Με αρνητικός. Το γινόμενο ενός θετικού αριθμού α - β σε αρνητικό αριθμό Με είναι προφανώς αρνητικό, δηλ.
(α - β) γ< 0; να γιατί ακ - π.Χ< 0, από όπου άσσος< bс .

Συνέπεια.Το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται όταν διαιρείται με τον όρο με έναν θετικό αριθμό και αντιστρέφεται όταν διαιρείται με τον όρο με έναν αρνητικό αριθμό.

Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η διαίρεση με έναν αριθμό Με =/= 0 ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό με τον αριθμό 1 / ντο .

Γυμνάσια

81. Μπορεί η ανίσωση 2 > 1 να πολλαπλασιαστεί με τον όρο

ένα) ένα 2+1; β) | ένα |; σε) ένα ; δ) 1 - 2a + ένα 2

ώστε να διατηρηθεί το πρόσημο της ανισότητας;

82. Είναι πάντα 5 Χ πάνω από 4 Χ , ένα - στο πιο λιγο στο ?

83. Τι μπορεί να είναι ένας αριθμός Χ αν είναι γνωστό ότι - Χ > 7?

84. Τακτοποίησε με αύξουσα σειρά τον αριθμό: α) a 2, 5a 2, 2a 2; β) 5 ένα , 2ένα ; σε) ένα , ένα 2 , ένα 3 . 85. Τακτοποιήστε με φθίνουσα σειρά τον αριθμό

α - β , ένα - 2σι , ένα - 3σι .

86. Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία της τρίτης ιδιότητας των αριθμητικών ανισώσεων.