Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός συμβάντος. Βασικές αρχές της ισορροπίας του παιχνιδιού: τυχαιότητα και πιθανότητα διαφορετικών γεγονότων

Στην οικονομία, καθώς και σε άλλους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας ή στη φύση, πρέπει συνεχώς να αντιμετωπίζουμε γεγονότα που δεν μπορούν να προβλεφθούν με ακρίβεια. Έτσι, ο όγκος των πωλήσεων των αγαθών εξαρτάται από τη ζήτηση, η οποία μπορεί να ποικίλλει σημαντικά, και από έναν αριθμό άλλων παραγόντων που είναι σχεδόν αδύνατο να ληφθούν υπόψη. Επομένως, στην οργάνωση της παραγωγής και των πωλήσεων, πρέπει κανείς να προβλέψει το αποτέλεσμα τέτοιων δραστηριοτήτων με βάση είτε τη δική του προηγούμενη εμπειρία, είτε παρόμοια εμπειρία άλλων ανθρώπων, είτε τη διαίσθηση, η οποία επίσης βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε πειραματικά δεδομένα.

Προκειμένου να αξιολογηθεί με κάποιο τρόπο το υπό εξέταση γεγονός, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη ή να οργανωθούν ειδικά οι συνθήκες υπό τις οποίες καταγράφεται αυτό το συμβάν.

Η εφαρμογή ορισμένων προϋποθέσεων ή ενεργειών για τον προσδιορισμό του εν λόγω συμβάντος ονομάζεται εμπειρίαή πείραμα.

Η εκδήλωση ονομάζεται τυχαίοςεάν, ως αποτέλεσμα του πειράματος, μπορεί να συμβεί ή όχι.

Η εκδήλωση ονομάζεται αυθεντικός, εάν αναγκαστικά εμφανίζεται ως αποτέλεσμα αυτής της εμπειρίας, και αδύνατοεάν δεν μπορεί να εμφανιστεί σε αυτήν την εμπειρία.

Για παράδειγμα, η χιονόπτωση στη Μόσχα στις 30 Νοεμβρίου είναι ένα τυχαίο γεγονός. Η καθημερινή ανατολή του ηλίου μπορεί να θεωρηθεί ένα συγκεκριμένο γεγονός. Η χιονόπτωση στον ισημερινό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα αδύνατο γεγονός.

Ένα από τα κύρια προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι το πρόβλημα του προσδιορισμού ενός ποσοτικού μέτρου της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός.

Άλγεβρα των γεγονότων

Τα γεγονότα ονομάζονται ασυμβίβαστα εάν δεν μπορούν να παρατηρηθούν μαζί στην ίδια εμπειρία. Έτσι, η παρουσία δύο και τριών αυτοκινήτων σε ένα κατάστημα προς πώληση ταυτόχρονα είναι δύο ασύμβατα γεγονότα.

άθροισμαγεγονότα είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα

Ένα παράδειγμα αθροίσματος γεγονότων είναι η παρουσία τουλάχιστον ενός από τα δύο προϊόντα σε ένα κατάστημα.

δουλειάγεγονότα ονομάζεται ένα γεγονός που συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση όλων αυτών των γεγονότων

Ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση δύο αγαθών ταυτόχρονα στο κατάστημα είναι προϊόν γεγονότων: - η εμφάνιση ενός προϊόντος, - η εμφάνιση ενός άλλου προϊόντος.

Τα συμβάντα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά συμβαίνει απαραίτητα στην εμπειρία.

Παράδειγμα.Το λιμάνι έχει δύο θέσεις ελλιμενισμού για πλοία. Μπορούν να ληφθούν υπόψη τρία γεγονότα: - η απουσία σκαφών στις θέσεις ελλιμενισμού, - η παρουσία ενός σκάφους σε μία από τις θέσεις ελλιμενισμού, - η παρουσία δύο σκαφών σε δύο θέσεις ελλιμενισμού. Αυτά τα τρία γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων.

Απεναντι αποκαλούνται δύο μοναδικά πιθανά γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα.

Αν ένα από τα γεγονότα που είναι αντίθετα συμβολίζεται με , τότε το αντίθετο συμβάν συνήθως συμβολίζεται με .

Κλασικοί και στατιστικοί ορισμοί της πιθανότητας ενός γεγονότος

Κάθε ένα από τα εξίσου πιθανά αποτελέσματα δοκιμών (πειράματα) ονομάζεται στοιχειώδες αποτέλεσμα. Συνήθως δηλώνονται με γράμματα. Για παράδειγμα, ρίχνεται ένα ζάρι. Μπορεί να υπάρχουν έξι στοιχειώδη αποτελέσματα ανάλογα με τον αριθμό των πόντων στα πλάγια.

Από στοιχειώδη αποτελέσματα, μπορείτε να συνθέσετε ένα πιο περίπλοκο συμβάν. Έτσι, το γεγονός ενός ζυγού αριθμού σημείων καθορίζεται από τρία αποτελέσματα: 2, 4, 6.

Ένα ποσοτικό μέτρο της πιθανότητας εμφάνισης του υπό εξέταση γεγονότος είναι η πιθανότητα.

Δύο ορισμοί της πιθανότητας ενός γεγονότος χρησιμοποιούνται ευρέως: κλασσικόςκαι στατιστικός.

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας σχετίζεται με την έννοια του ευνοϊκού αποτελέσματος.

Έξοδος λέγεται ευνοϊκόςαυτό το συμβάν, εάν η εμφάνισή του συνεπάγεται την εμφάνιση αυτού του συμβάντος.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το συμβάν που εξετάζεται είναι ένας ζυγός αριθμός σημείων στο πεσμένο άκρο, έχει τρία ευνοϊκά αποτελέσματα. Στην προκειμένη περίπτωση ο στρατηγός
τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων. Έτσι, εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος.

Κλασικός ορισμόςισούται με την αναλογία του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων

όπου είναι η πιθανότητα του συμβάντος , είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το συμβάν, είναι ο συνολικός αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων.

Στο εξεταζόμενο παράδειγμα

Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας συνδέεται με την έννοια της σχετικής συχνότητας εμφάνισης ενός γεγονότος σε πειράματα.

Η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός συμβάντος υπολογίζεται από τον τύπο

όπου είναι ο αριθμός εμφάνισης ενός γεγονότος σε μια σειρά πειραμάτων (δοκιμών).

Στατιστικός ορισμός. Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι ο αριθμός σε σχέση με τον οποίο σταθεροποιείται (καθιερώνεται) η σχετική συχνότητα με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των πειραμάτων.

Σε πρακτικά προβλήματα, η σχετική συχνότητα για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών λαμβάνεται ως η πιθανότητα ενός συμβάντος.

Από αυτούς τους ορισμούς της πιθανότητας ενός γεγονότος, μπορεί να φανεί ότι η ανισότητα ισχύει πάντα

Για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος με βάση τον τύπο (1.1), οι συνδυαστικοί τύποι χρησιμοποιούνται συχνά για να βρουν τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων και τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων.

• Πιθανότητα - ο βαθμός (σχετικό μέτρο, ποσοτική εκτίμηση) της πιθανότητας εμφάνισης κάποιου γεγονότος. Όταν οι λόγοι για την πραγματοποίηση κάποιου πιθανού συμβάντος υπερτερούν των αντίθετων λόγων, τότε αυτό το γεγονός ονομάζεται πιθανό, διαφορετικά - απίθανο ή απίθανο. Η υπεροχή των θετικών λόγων έναντι των αρνητικών, και αντίστροφα, μπορεί να είναι σε διάφορους βαθμούς, με αποτέλεσμα η πιθανότητα (και η απιθανότητα) να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη. Ως εκ τούτου, η πιθανότητα εκτιμάται συχνά σε ποιοτικό επίπεδο, ειδικά σε περιπτώσεις όπου μια περισσότερο ή λιγότερο ακριβής ποσοτική εκτίμηση είναι αδύνατη ή εξαιρετικά δύσκολη. Είναι δυνατές διάφορες διαβαθμίσεις «επιπέδων» πιθανοτήτων.

  Η μελέτη των πιθανοτήτων από μαθηματική άποψη είναι ένας ειδικός κλάδος - η θεωρία των πιθανοτήτων. Στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική, η έννοια της πιθανότητας επισημοποιείται ως αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός γεγονότος - ένα μέτρο πιθανότητας (ή η τιμή του) - ένα μέτρο σε ένα σύνολο γεγονότων (υποσύνολα ενός συνόλου στοιχειωδών γεγονότων), λαμβάνοντας τιμές από

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Εννοια

  (\displaystyle 1)

  Αντιστοιχεί σε έγκυρο συμβάν. Ένα αδύνατο γεγονός έχει πιθανότητα 0 (το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει πάντα). Αν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός είναι

  (\displaystyle p)

  Τότε η πιθανότητα μη εμφάνισής του είναι ίση με

  (\displaystyle 1-p)

  Ειδικότερα, η πιθανότητα

  (\displaystyle 1/2)

  Σημαίνει ίση πιθανότητα να συμβεί και να μην συμβεί το συμβάν.

  Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια της ισοπιθανότητας των αποτελεσμάτων. Η πιθανότητα είναι ο λόγος του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν ένα δεδομένο γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να έρθουν τα κεφάλια ή οι ουρές σε μια τυχαία ρίψη νομίσματος είναι 1/2 εάν υποθέσουμε ότι συμβαίνουν μόνο αυτές οι δύο πιθανότητες και είναι εξίσου πιθανές. Αυτός ο κλασικός «ορισμός» της πιθανότητας μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση ενός άπειρου αριθμού πιθανών τιμών - για παράδειγμα, εάν ένα γεγονός μπορεί να συμβεί με ίση πιθανότητα σε οποιοδήποτε σημείο (ο αριθμός των σημείων είναι άπειρος) κάποιας περιορισμένης περιοχής χώρο (επίπεδο), τότε η πιθανότητα να συμβεί σε κάποιο μέρος αυτής της επιτρεπόμενης περιοχής είναι ίση με την αναλογία του όγκου (εμβαδού) αυτού του τμήματος προς τον όγκο (εμβαδόν) της περιοχής όλων των πιθανών σημείων .

  Ο εμπειρικός «ορισμός» της πιθανότητας σχετίζεται με τη συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος, με βάση το γεγονός ότι με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών, η συχνότητα θα πρέπει να τείνει στον αντικειμενικό βαθμό πιθανότητας αυτού του γεγονότος. Στη σύγχρονη παρουσίαση της θεωρίας των πιθανοτήτων, η πιθανότητα ορίζεται αξιωματικά, ως ειδική περίπτωση της αφηρημένης θεωρίας του μέτρου ενός συνόλου. Ωστόσο, ο σύνδεσμος μεταξύ του αφηρημένου μέτρου και της πιθανότητας, που εκφράζει τον βαθμό πιθανότητας ενός γεγονότος, είναι ακριβώς η συχνότητα παρατήρησής του.

  Η πιθανολογική περιγραφή ορισμένων φαινομένων έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη στη σύγχρονη επιστήμη, ιδιαίτερα στην οικονομετρία, τη στατιστική φυσική των μακροσκοπικών (θερμοδυναμικών) συστημάτων, όπου ακόμη και στην περίπτωση μιας κλασικής ντετερμινιστικής περιγραφής της κίνησης των σωματιδίων, μια ντετερμινιστική περιγραφή ολόκληρου του συστήματος των σωματιδίων δεν είναι πρακτικά δυνατό και κατάλληλο. Στην κβαντική φυσική, οι ίδιες οι περιγραφόμενες διαδικασίες είναι πιθανολογικής φύσης.

Είναι απίθανο πολλοί άνθρωποι να σκεφτούν αν είναι δυνατό να υπολογιστούν γεγονότα που είναι λίγο πολύ τυχαία. Με απλά λόγια, είναι ρεαλιστικό να γνωρίζουμε ποια πλευρά της μήτρας θα πέσει στη συνέχεια. Ήταν αυτό το ερώτημα που έθεσαν δύο μεγάλοι επιστήμονες, οι οποίοι έθεσαν τα θεμέλια για μια τέτοια επιστήμη όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, στην οποία η πιθανότητα ενός γεγονότος μελετάται αρκετά εκτενώς.

Προέλευση

Εάν προσπαθήσετε να ορίσετε μια τέτοια έννοια ως θεωρία πιθανοτήτων, λαμβάνετε τα εξής: αυτός είναι ένας από τους κλάδους των μαθηματικών που μελετά τη σταθερότητα των τυχαίων γεγονότων. Φυσικά, αυτή η έννοια δεν αποκαλύπτει πραγματικά ολόκληρη την ουσία, επομένως είναι απαραίτητο να το εξετάσουμε λεπτομερέστερα.

Θα ήθελα να ξεκινήσω με τους δημιουργούς της θεωρίας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ήταν δύο από αυτούς και ήταν από τους πρώτους που προσπάθησαν να υπολογίσουν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος χρησιμοποιώντας τύπους και μαθηματικούς υπολογισμούς. Συνολικά, οι απαρχές αυτής της επιστήμης εμφανίστηκαν στο Μεσαίωνα. Εκείνη την εποχή, διάφοροι στοχαστές και επιστήμονες προσπάθησαν να αναλύσουν τον τζόγο, όπως η ρουλέτα, τα ζάρια και ούτω καθεξής, καθορίζοντας έτσι ένα μοτίβο και το ποσοστό ενός συγκεκριμένου αριθμού που πέφτει έξω. Τα θεμέλια τέθηκαν τον δέκατο έβδομο αιώνα από τους προαναφερθέντες επιστήμονες.

Στην αρχή, το έργο τους δεν μπορούσε να αποδοθεί στα μεγάλα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα, γιατί όλα όσα έκαναν ήταν απλώς εμπειρικά γεγονότα και τα πειράματα έγιναν οπτικά, χωρίς τη χρήση τύπων. Με την πάροδο του χρόνου, αποδείχθηκε ότι πέτυχε εξαιρετικά αποτελέσματα, τα οποία εμφανίστηκαν ως αποτέλεσμα της παρατήρησης της ρίψης ζαριών. Ήταν αυτό το εργαλείο που βοήθησε στην εξαγωγή των πρώτων κατανοητών τύπων.

Άνθρωποι ομοϊδεάτες

Είναι αδύνατο να μην αναφέρουμε ένα τέτοιο άτομο όπως ο Christian Huygens, στη διαδικασία μελέτης ενός θέματος που ονομάζεται "θεωρία πιθανοτήτων" (η πιθανότητα ενός γεγονότος καλύπτεται ακριβώς σε αυτήν την επιστήμη). Αυτό το άτομο είναι πολύ ενδιαφέρον. Αυτός, όπως και οι επιστήμονες που παρουσιάστηκαν παραπάνω, προσπάθησε να αντλήσει την κανονικότητα των τυχαίων γεγονότων με τη μορφή μαθηματικών τύπων. Αξιοσημείωτο είναι ότι δεν το έκανε αυτό μαζί με τον Πασκάλ και τον Φερμά, δηλαδή όλα του τα έργα δεν διασταυρώθηκαν σε καμία περίπτωση με αυτά τα μυαλά. Ο Χάιγκενς έφερε έξω

Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι το έργο του βγήκε πολύ πριν από τα αποτελέσματα της δουλειάς των ανακαλύψεων, ή μάλλον, είκοσι χρόνια νωρίτερα. Μεταξύ των καθορισμένων εννοιών, οι πιο γνωστές είναι:

• την έννοια της πιθανότητας ως μέγεθος της τύχης.
• μαθηματική προσδοκία για διακριτές περιπτώσεις.
• θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης πιθανοτήτων.

Είναι επίσης αδύνατο να μην θυμηθούμε ποιος συνέβαλε επίσης σημαντικά στη μελέτη του προβλήματος. Πραγματοποιώντας τις δικές του δοκιμές, ανεξάρτητα από τον καθένα, κατάφερε να παρουσιάσει μια απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών. Με τη σειρά τους, οι επιστήμονες Poisson και Laplace, που εργάστηκαν στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μπόρεσαν να αποδείξουν τα αρχικά θεωρήματα. Ήταν από αυτή τη στιγμή που η θεωρία πιθανοτήτων άρχισε να χρησιμοποιείται για την ανάλυση σφαλμάτων κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων. Οι Ρώσοι επιστήμονες, ή μάλλον οι Markov, Chebyshev και Dyapunov, δεν μπορούσαν να παρακάμψουν ούτε αυτή την επιστήμη. Με βάση τη δουλειά που έκαναν οι μεγάλες ιδιοφυΐες, καθόρισαν αυτό το θέμα ως κλάδο των μαθηματικών. Αυτά τα στοιχεία λειτούργησαν ήδη στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, και χάρη στη συμβολή τους, φαινόμενα όπως:

• νόμος των μεγάλων αριθμών?
• θεωρία των αλυσίδων Markov;
• κεντρικό οριακό θεώρημα.

Έτσι, με την ιστορία της γέννησης της επιστήμης και με τους κύριους ανθρώπους που την επηρέασαν, όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα. Τώρα ήρθε η ώρα να συγκεκριμενοποιήσουμε όλα τα δεδομένα.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Πριν αγγίξουμε νόμους και θεωρήματα, αξίζει να μελετήσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Η εκδήλωση παίρνει τον πρωταγωνιστικό ρόλο σε αυτήν. Αυτό το θέμα είναι αρκετά ογκώδες, αλλά χωρίς αυτό δεν θα είναι δυνατό να κατανοήσουμε όλα τα άλλα.

Ένα συμβάν στη θεωρία πιθανοτήτων είναι οποιοδήποτε σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος. Δεν υπάρχουν τόσες πολλές έννοιες αυτού του φαινομένου. Έτσι, ο επιστήμονας Λότμαν, που εργάζεται σε αυτόν τον τομέα, είπε ότι στην προκειμένη περίπτωση μιλάμε για αυτό που «έγινε, αν και μπορεί να μην είχε συμβεί».

Τα τυχαία γεγονότα (η θεωρία πιθανοτήτων δίνει ιδιαίτερη σημασία σε αυτά) είναι μια έννοια που υπονοεί απολύτως κάθε φαινόμενο που έχει τη δυνατότητα να συμβεί. Ή, αντίθετα, αυτό το σενάριο μπορεί να μην συμβεί όταν πληρούνται πολλές προϋποθέσεις. Αξίζει επίσης να γνωρίζουμε ότι είναι τυχαία γεγονότα που καταγράφουν ολόκληρο τον όγκο των φαινομένων που έχουν συμβεί. Η θεωρία πιθανοτήτων δείχνει ότι όλες οι συνθήκες μπορούν να επαναλαμβάνονται συνεχώς. Ήταν η συμπεριφορά τους που ονομαζόταν «πείραμα» ή «δοκιμή».

Ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι αυτό που θα συμβεί 100% σε μια δεδομένη δοκιμή. Κατά συνέπεια, ένα αδύνατο γεγονός είναι αυτό που δεν θα συμβεί.

Ο συνδυασμός ενός ζεύγους ενεργειών (υπό όρους περίπτωση Α και περίπτωση Β) είναι ένα φαινόμενο που συμβαίνει ταυτόχρονα. Ορίζονται ως ΑΒ.

Το άθροισμα των ζευγών των γεγονότων Α και Β είναι C, με άλλα λόγια, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά συμβεί (Α ή Β), τότε θα ληφθεί το C. Ο τύπος του περιγραφόμενου φαινομένου γράφεται ως εξής: C \u003d A + Β.

Τα ασύνδετα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων υποδηλώνουν ότι οι δύο περιπτώσεις αλληλοαποκλείονται. Δεν μπορούν ποτέ να συμβούν ταυτόχρονα. Τα κοινά γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι ο αντίποδός τους. Αυτό σημαίνει ότι εάν το Α συνέβη, τότε δεν εμποδίζει το Β με κανέναν τρόπο.

Τα αντίθετα γεγονότα (η θεωρία πιθανοτήτων τα αντιμετωπίζει με μεγάλη λεπτομέρεια) είναι εύκολα κατανοητά. Είναι καλύτερο να τα αντιμετωπίζετε σε σύγκριση. Είναι σχεδόν τα ίδια με τα ασυμβίβαστα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Η διαφορά τους όμως έγκειται στο ότι ένα από τα πολλά φαινόμενα σε κάθε περίπτωση πρέπει να συμβεί.

Εξίσου πιθανά γεγονότα είναι εκείνες οι ενέργειες, των οποίων η πιθανότητα επανάληψης είναι ίση. Για να το κάνουμε πιο σαφές, μπορούμε να φανταστούμε το πέταγμα ενός νομίσματος: η απώλεια της μιας από τις πλευρές του είναι εξίσου πιθανό να πέσει έξω από την άλλη.

Ένα ευνοϊκό γεγονός είναι πιο εύκολο να το δει κανείς με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει το επεισόδιο Β και το επεισόδιο Α. Το πρώτο είναι το ρολό του ζαριού με την εμφάνιση ενός περιττού αριθμού και το δεύτερο είναι η εμφάνιση του αριθμού πέντε στο ζάρι. Τότε αποδεικνύεται ότι ο Α ευνοεί τον Β.

Τα ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία των πιθανοτήτων προβάλλονται μόνο σε δύο ή περισσότερες περιπτώσεις και συνεπάγονται την ανεξαρτησία οποιασδήποτε ενέργειας από μια άλλη. Για παράδειγμα, ο Α - ρίχνει ουρές όταν ρίχνει ένα κέρμα, και Β - παίρνει έναν γρύλο από το κατάστρωμα. Είναι ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Σε αυτό το σημείο, έγινε πιο ξεκάθαρο.

Τα εξαρτημένα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι επίσης αποδεκτά μόνο για το σύνολο τους. Υπονοούν την εξάρτηση του ενός από το άλλο, δηλαδή το φαινόμενο Β μπορεί να συμβεί μόνο εάν το Α έχει ήδη συμβεί ή, αντίθετα, δεν έχει συμβεί όταν αυτή είναι η κύρια προϋπόθεση για το Β.

Το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος που αποτελείται από ένα συστατικό είναι στοιχειώδη γεγονότα. Η θεωρία πιθανοτήτων εξηγεί ότι αυτό είναι ένα φαινόμενο που συνέβη μόνο μία φορά.

Βασικές φόρμουλες

Έτσι, οι έννοιες του "γεγονότος", "θεωρία πιθανοτήτων" εξετάστηκαν παραπάνω, δόθηκε επίσης ο ορισμός των κύριων όρων αυτής της επιστήμης. Τώρα ήρθε η ώρα να εξοικειωθείτε άμεσα με τις σημαντικές φόρμουλες. Αυτές οι εκφράσεις επιβεβαιώνουν μαθηματικά όλες τις κύριες έννοιες σε ένα τόσο δύσκολο θέμα όπως η θεωρία πιθανοτήτων. Η πιθανότητα ενός γεγονότος παίζει επίσης τεράστιο ρόλο εδώ.

Είναι καλύτερα να ξεκινήσετε με τα κύρια.Και πριν προχωρήσετε σε αυτά, αξίζει να εξετάσετε τι είναι.

Η συνδυαστική είναι κυρίως κλάδος των μαθηματικών, ασχολείται με τη μελέτη ενός τεράστιου αριθμού ακεραίων, καθώς και με διάφορες μεταθέσεις τόσο των ίδιων των αριθμών όσο και των στοιχείων τους, διάφορα δεδομένα κ.λπ., που οδηγούν στην εμφάνιση ενός αριθμού συνδυασμών. Εκτός από τη θεωρία πιθανοτήτων, αυτός ο κλάδος είναι σημαντικός για τη στατιστική, την επιστήμη των υπολογιστών και την κρυπτογραφία.

Έτσι, τώρα μπορείτε να προχωρήσετε στην παρουσίαση των ίδιων των τύπων και στον ορισμό τους.

Το πρώτο από αυτά θα είναι μια έκφραση για τον αριθμό των μεταθέσεων, μοιάζει με αυτό:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Η εξίσωση ισχύει μόνο εάν τα στοιχεία διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά τους.

Τώρα θα ληφθεί υπόψη ο τύπος τοποθέτησης, μοιάζει με αυτό:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Αυτή η έκφραση ισχύει όχι μόνο για τη σειρά του στοιχείου, αλλά και για τη σύνθεσή του.

Η τρίτη εξίσωση από τη συνδυαστική, και είναι επίσης η τελευταία, ονομάζεται τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :Μ!

Ένας συνδυασμός ονομάζεται μια επιλογή που δεν είναι διατεταγμένη, αντίστοιχα, και αυτός ο κανόνας ισχύει για αυτούς.

Αποδείχθηκε ότι ήταν εύκολο να καταλάβουμε τους τύπους της συνδυαστικής, τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον κλασικό ορισμό των πιθανοτήτων. Αυτή η έκφραση μοιάζει με αυτό:

Σε αυτόν τον τύπο, m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών συνθηκών για το γεγονός Α και n είναι ο αριθμός απολύτως όλων των εξίσου δυνατών και στοιχειωδών αποτελεσμάτων.

Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός εκφράσεων, το άρθρο δεν θα τις καλύψει όλες, αλλά θα θιγούν οι πιο σημαντικές από αυτές, όπως, για παράδειγμα, η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων:

P(A + B) = P(A) + P(B) - αυτό το θεώρημα είναι για την προσθήκη μόνο ασυμβίβαστων γεγονότων.

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - και αυτό είναι για την προσθήκη μόνο συμβατών.

Πιθανότητα παραγωγής γεγονότων:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - αυτό το θεώρημα είναι για ανεξάρτητα γεγονότα.

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - και αυτό είναι για εξαρτώμενα άτομα.

Ο τύπος συμβάντος θα τερματίσει τη λίστα. Η θεωρία πιθανοτήτων μας λέει για το θεώρημα του Bayes, το οποίο μοιάζει με αυτό:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Σε αυτόν τον τύπο, H 1 , H 2 , …, H n είναι η πλήρης ομάδα των υποθέσεων.

Παραδείγματα

Εάν μελετήσετε προσεκτικά οποιονδήποτε κλάδο των μαθηματικών, δεν είναι πλήρης χωρίς ασκήσεις και δείγματα λύσεων. Το ίδιο και η θεωρία των πιθανοτήτων: τα γεγονότα, τα παραδείγματα εδώ είναι ένα αναπόσπαστο στοιχείο που επιβεβαιώνει τους επιστημονικούς υπολογισμούς.

Τύπος για τον αριθμό των μεταθέσεων

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τριάντα φύλλα σε μια τράπουλα, ξεκινώντας από την ονομαστική αξία ένα. Επόμενη ερώτηση. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στοιβάζετε την τράπουλα έτσι ώστε τα φύλλα με ονομαστική αξία ένα και δύο να μην βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο;

Το καθήκον έχει τεθεί, τώρα ας προχωρήσουμε στην επίλυσή του. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των μεταθέσεων των τριάντα στοιχείων, για αυτό παίρνουμε τον παραπάνω τύπο, αποδεικνύεται P_30 = 30!.

Με βάση αυτόν τον κανόνα, θα μάθουμε πόσες επιλογές υπάρχουν για να διπλώσετε την τράπουλα με διαφορετικούς τρόπους, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτές εκείνες στις οποίες ακολουθούν το πρώτο και το δεύτερο φύλλο. Για να το κάνουμε αυτό, ας ξεκινήσουμε με την επιλογή όταν η πρώτη είναι πάνω από τη δεύτερη. Αποδεικνύεται ότι το πρώτο φύλλο μπορεί να πάρει είκοσι εννέα θέσεις - από το πρώτο έως το εικοστό ένατο, και το δεύτερο φύλλο από το δεύτερο έως το τριακοστό, βγαίνουν μόνο είκοσι εννέα θέσεις για ένα ζευγάρι χαρτιών. Με τη σειρά τους, τα υπόλοιπα μπορούν να πάρουν είκοσι οκτώ θέσεις, και με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, για μια μετάθεση είκοσι οκτώ φύλλων, υπάρχουν είκοσι οκτώ επιλογές P_28 = 28!

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι αν εξετάσουμε τη λύση όταν το πρώτο φύλλο είναι πάνω από το δεύτερο, υπάρχουν 29 ⋅ 28 επιπλέον δυνατότητες! = 29!

Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των περιττών επιλογών για την περίπτωση που το πρώτο φύλλο είναι κάτω από το δεύτερο. Βγαίνει επίσης 29 ⋅ 28! = 29!

Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν 2 ⋅ 29! επιπλέον επιλογές, ενώ υπάρχουν 30 απαραίτητοι τρόποι κατασκευής της τράπουλας! - 2 ⋅ 29!. Μένει μόνο να μετρήσουμε.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους τους αριθμούς από το ένα έως το είκοσι εννέα μεταξύ τους και, στο τέλος, να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με το 28. Η απάντηση είναι 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Παράδειγμα λύσης. Τύπος για τον αριθμό τοποθέτησης

Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τοποθετήσετε δεκαπέντε τόμους σε ένα ράφι, αλλά με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τριάντα τόμοι συνολικά.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση είναι ελαφρώς απλούστερη από ό,τι στο προηγούμενο. Χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό τύπο, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο συνολικός αριθμός διατάξεων από τριάντα τόμους των δεκαπέντε.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 72003

Η απάντηση, αντίστοιχα, θα είναι ίση με 202.843.204.931.727.360.000.

Τώρα ας κάνουμε το έργο λίγο πιο δύσκολο. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσετε τριάντα βιβλία σε δύο ράφια, με την προϋπόθεση ότι μόνο δεκαπέντε τόμοι μπορούν να βρίσκονται σε ένα ράφι.

Πριν ξεκινήσω τη λύση, θα ήθελα να διευκρινίσω ότι ορισμένα προβλήματα λύνονται με πολλούς τρόπους, επομένως υπάρχουν δύο τρόποι σε αυτόν, αλλά ο ίδιος τύπος χρησιμοποιείται και στους δύο.

Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να πάρετε την απάντηση από το προηγούμενο, γιατί εκεί υπολογίσαμε πόσες φορές μπορείτε να γεμίσετε ένα ράφι με δεκαπέντε βιβλία με διαφορετικούς τρόπους. Αποδείχθηκε A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Υπολογίζουμε το δεύτερο ράφι σύμφωνα με τον τύπο της μετάθεσης, γιατί σε αυτό τοποθετούνται δεκαπέντε βιβλία, ενώ απομένουν μόνο δεκαπέντε. Χρησιμοποιούμε τον τύπο P_15 = 15!.

Αποδεικνύεται ότι συνολικά θα υπάρχουν τρόποι A_30^15 ⋅ P_15, αλλά, επιπλέον, το γινόμενο όλων των αριθμών από το τριάντα έως το δεκαέξι θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το γινόμενο των αριθμών από το ένα έως το δεκαπέντε, ως αποτέλεσμα, Το γινόμενο όλων των αριθμών από το ένα έως το τριάντα θα ληφθεί, δηλαδή η απάντηση ισούται με 30!

Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με διαφορετικό τρόπο - ευκολότερο. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να φανταστείτε ότι υπάρχει ένα ράφι για τριάντα βιβλία. Όλα είναι τοποθετημένα σε αυτό το αεροπλάνο, αλλά επειδή η συνθήκη απαιτεί να υπάρχουν δύο ράφια, κόβουμε ένα μακρύ στη μέση, βγαίνει δύο δεκαπέντε το καθένα. Από αυτό προκύπτει ότι οι επιλογές τοποθέτησης μπορεί να είναι P_30 = 30!.

Παράδειγμα λύσης. Τύπος για αριθμό συνδυασμού

Τώρα θα εξετάσουμε μια παραλλαγή του τρίτου προβλήματος από τη συνδυαστική. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να κανονίσετε δεκαπέντε βιβλία, με την προϋπόθεση ότι πρέπει να επιλέξετε από τριάντα απολύτως πανομοιότυπα βιβλία.

Για τη λύση φυσικά θα εφαρμοστεί ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών. Από τη συνθήκη γίνεται σαφές ότι η σειρά των πανομοιότυπων δεκαπέντε βιβλίων δεν είναι σημαντική. Επομένως, αρχικά πρέπει να μάθετε τον συνολικό αριθμό συνδυασμών τριάντα βιβλίων των δεκαπέντε.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : δεκαπέντε! = 155 117 520

Αυτό είναι όλο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα ήταν δυνατό να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, η απάντηση, αντίστοιχα, είναι 155 117 520.

Παράδειγμα λύσης. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, μπορείτε να βρείτε την απάντηση σε ένα απλό πρόβλημα. Αλλά θα σας βοηθήσει να δείτε και να παρακολουθήσετε οπτικά την πορεία των ενεργειών.

Το πρόβλημα είναι δεδομένο ότι υπάρχουν δέκα απολύτως πανομοιότυπες μπάλες στο δοχείο. Από αυτά τα τέσσερα είναι κίτρινα και τα έξι μπλε. Μια μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Πρέπει να μάθετε την πιθανότητα να πάρετε μπλε.

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να ορίσετε τη λήψη της μπλε μπάλας ως γεγονός Α. Αυτή η εμπειρία μπορεί να έχει δέκα αποτελέσματα, τα οποία, με τη σειρά τους, είναι στοιχειώδη και εξίσου πιθανά. Ταυτόχρονα, έξι στους δέκα είναι ευνοϊκοί για το συμβάν Α. Επιλύουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ρ(Α) = 6: 10 = 0,6

Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο, ανακαλύψαμε ότι η πιθανότητα να αποκτήσετε μια μπλε μπάλα είναι 0,6.

Παράδειγμα λύσης. Πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων

Τώρα θα παρουσιαστεί μια παραλλαγή, η οποία λύνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για την πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων. Έτσι, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν δύο κουτιά, το πρώτο περιέχει μία γκρι και πέντε λευκές μπάλες και το δεύτερο περιέχει οκτώ γκρι και τέσσερις λευκές μπάλες. Ως αποτέλεσμα, ένα από αυτά αφαιρέθηκε από το πρώτο και το δεύτερο κουτί. Είναι απαραίτητο να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα οι μπάλες που θα βγουν να είναι γκρι και λευκές.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να οριστούν συμβάντα.

• Έτσι, Α - πάρτε μια γκρίζα μπάλα από το πρώτο πλαίσιο: P(A) = 1/6.
• A '- πήραν μια λευκή μπάλα επίσης από το πρώτο κουτί: P (A ") \u003d 5/6.
• Β - μια γκρίζα μπάλα βγήκε ήδη από το δεύτερο κουτί: P(B) = 2/3.
• Β' - πήραν μια γκρίζα μπάλα από το δεύτερο κουτί: P(B") = 1/3.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι απαραίτητο να συμβεί ένα από τα φαινόμενα: ΑΒ 'ή Α'Β. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Τώρα χρησιμοποιήθηκε ο τύπος για τον πολλαπλασιασμό της πιθανότητας. Στη συνέχεια, για να μάθετε την απάντηση, πρέπει να εφαρμόσετε την εξίσωση για την πρόσθεσή τους:

Ρ = Ρ(ΑΒ" + Α"Β) = Ρ(ΑΒ") + Ρ(Α"Β) = 11/18.

Έτσι, χρησιμοποιώντας τον τύπο, μπορείτε να λύσετε παρόμοια προβλήματα.

Αποτέλεσμα

Το άρθρο παρείχε πληροφορίες για το θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων", στο οποίο η πιθανότητα ενός γεγονότος παίζει καθοριστικό ρόλο. Φυσικά, δεν λήφθηκαν όλα υπόψη, αλλά, με βάση το κείμενο που παρουσιάζεται, μπορεί κανείς θεωρητικά να εξοικειωθεί με αυτήν την ενότητα των μαθηματικών. Η εν λόγω επιστήμη μπορεί να είναι χρήσιμη όχι μόνο στην επαγγελματική εργασία, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε οποιαδήποτε πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος.

Το κείμενο έθιξε επίσης σημαντικές ημερομηνίες στην ιστορία της διαμόρφωσης της θεωρίας των πιθανοτήτων ως επιστήμης και τα ονόματα των ανθρώπων των οποίων τα έργα επενδύθηκαν σε αυτήν. Έτσι η ανθρώπινη περιέργεια οδήγησε στο γεγονός ότι οι άνθρωποι έμαθαν να υπολογίζουν ακόμη και τυχαία γεγονότα. Κάποτε απλώς τους ενδιέφερε, αλλά σήμερα όλοι το γνωρίζουν ήδη. Και κανείς δεν θα πει τι μας περιμένει στο μέλλον, ποιες άλλες λαμπρές ανακαλύψεις που σχετίζονται με την υπό εξέταση θεωρία θα γίνουν. Αλλά ένα πράγμα είναι σίγουρο - η έρευνα δεν μένει ακίνητη!

Στο ιστολόγιό του, μια μετάφραση της επόμενης διάλεξης του μαθήματος "Principles of Game Balance" από τον σχεδιαστή παιχνιδιών Jan Schreiber, ο οποίος εργάστηκε σε έργα όπως το Marvel Trading Card Game και το Playboy: the Mansion.

Μέχρι σήμερα, σχεδόν όλα για τα οποία έχουμε μιλήσει ήταν ντετερμινιστικά, και την περασμένη εβδομάδα ρίξαμε μια πιο προσεκτική ματιά στη μεταβατική μηχανική, αναλύοντάς την με όσο περισσότερες λεπτομέρειες μπορώ να εξηγήσω. Αλλά μέχρι τώρα, δεν έχουμε δώσει σημασία σε άλλες πτυχές πολλών παιχνιδιών, δηλαδή σε μη ντετερμινιστικές στιγμές - με άλλα λόγια, στην τυχαιότητα.

Η κατανόηση της φύσης της τυχαιότητας είναι πολύ σημαντική για τους σχεδιαστές παιχνιδιών. Δημιουργούμε συστήματα που επηρεάζουν την εμπειρία του χρήστη σε ένα δεδομένο παιχνίδι, επομένως πρέπει να γνωρίζουμε πώς λειτουργούν αυτά τα συστήματα. Εάν υπάρχει τυχαιότητα στο σύστημα, πρέπει να κατανοήσουμε τη φύση αυτής της τυχαιότητας και να ξέρουμε πώς να την αλλάξουμε για να έχουμε τα αποτελέσματα που χρειαζόμαστε.

Ζάρια

Ας ξεκινήσουμε με κάτι απλό - την ρίψη ζαριών. Όταν οι περισσότεροι άνθρωποι σκέφτονται τα ζάρια, σκέφτονται ένα ζάρι έξι όψεων γνωστό ως d6. Αλλά οι περισσότεροι παίκτες έχουν δει πολλά άλλα ζάρια: τετράπλευρα (d4), οκτώ όψεων (d8), δωδεκάπλευρα (d12), είκοσι όψεων (d20). Εάν είστε πραγματικός geek, μπορεί να έχετε ζάρια 30 ή 100 κόκκων κάπου.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτήν την ορολογία, το d σημαίνει ένα ζάρι και ο αριθμός μετά από αυτόν είναι ο αριθμός των προσώπων του. Εάν ο αριθμός είναι πριν από το d, τότε υποδεικνύει τον αριθμό των ζαριών κατά τη ρίψη. Για παράδειγμα, στο Monopoly, ρίχνετε 2d6.

Άρα, σε αυτή την περίπτωση, η φράση «ζάρια» είναι συμβατικός προσδιορισμός. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός άλλων γεννητριών τυχαίων αριθμών που δεν μοιάζουν με πλαστικές φιγούρες, αλλά εκτελούν την ίδια λειτουργία - δημιουργούν έναν τυχαίο αριθμό από το 1 έως το n. Ένα συνηθισμένο νόμισμα μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως διεδρική μήτρα d2.

Είδα δύο σχέδια μιας μήτρας επτά όψεων: το ένα έμοιαζε με ζάρι και το δεύτερο έμοιαζε περισσότερο με ξύλινο μολύβι επτά όψεων. Ένα τετραεδρικό dreidel, επίσης γνωστό ως titotum, είναι ένα ανάλογο ενός τετραεδρικού οστού. Ο πίνακας παιχνιδιού με ένα περιστρεφόμενο βέλος στο Chutes & Ladders, όπου το αποτέλεσμα μπορεί να είναι από 1 έως 6, αντιστοιχεί σε ζάρι έξι όψεων.

Μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών σε έναν υπολογιστή μπορεί να δημιουργήσει οποιονδήποτε αριθμό από το 1 έως το 19 εάν ο σχεδιαστής δώσει μια τέτοια εντολή, αν και ο υπολογιστής δεν έχει ζάρια 19 όψεων (γενικά, θα μιλήσω περισσότερο για την πιθανότητα λήψης αριθμών σε ένα υπολογιστή την επόμενη εβδομάδα). Όλα αυτά τα στοιχεία φαίνονται διαφορετικά, αλλά στην πραγματικότητα είναι ισοδύναμα: έχετε ίσες πιθανότητες για καθένα από τα πολλά πιθανά αποτελέσματα.

Τα ζάρια έχουν μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζουμε. Πρώτον, η πιθανότητα να αποκτήσετε κάποιο από τα πρόσωπα είναι η ίδια (υποθέτω ότι ρίχνετε ένα κανονικό γεωμετρικό ζάρι). Αν θέλετε να μάθετε τη μέση τιμή ενός ρολού (γνωστή ως μαθηματική προσδοκία σε όσους αγαπούν τη θεωρία πιθανοτήτων), αθροίστε τις τιμές σε όλες τις άκρες και διαιρέστε αυτόν τον αριθμό με τον αριθμό των ακμών.

Το άθροισμα των τιμών όλων των όψεων για μια τυπική μήτρα έξι όψεων είναι 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Διαιρέστε το 21 με τον αριθμό των όψεων και λάβετε τη μέση τιμή του ρολού: 21 / 6 = 3,5. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση γιατί υποθέτουμε ότι όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά.

Τι γίνεται αν έχετε ειδικά ζάρια; Για παράδειγμα, είδα ένα παιχνίδι με ζάρι έξι όψεων με ειδικά αυτοκόλλητα στα πρόσωπα: 1, 1, 1, 2, 2, 3, έτσι συμπεριφέρεται σαν ένα περίεργο ζάρι τριών όψεων, το οποίο είναι πιο πιθανό να κυλήσει το νούμερο 1 από 2 και είναι πιο πιθανό να κυλήσει ένα 2 παρά ένα 3. Ποια είναι η μέση τιμή ρολού για αυτό το ζάρι; Έτσι, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, διαιρέστε με το 6 - παίρνετε 5/3, ή περίπου 1,66. Έτσι, εάν έχετε ένα ειδικό ζάρι και οι παίκτες ρίξουν τρία ζάρια και στη συνέχεια αθροίσουν τα αποτελέσματα, ξέρετε ότι το σύνολο τους θα είναι περίπου 5 και μπορείτε να εξισορροπήσετε το παιχνίδι με βάση αυτή την υπόθεση.

Ζάρια και ανεξαρτησία

Όπως είπα ήδη, προχωράμε από την υπόθεση ότι η εγκατάλειψη κάθε προσώπου είναι εξίσου πιθανή. Δεν έχει σημασία πόσα ζάρια θα ρίξετε εδώ. Κάθε ρολό του καλουπιού είναι ανεξάρτητο, πράγμα που σημαίνει ότι τα προηγούμενα ρολά δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα των επόμενων κυλίνδρων. Με αρκετές δοκιμές, είναι βέβαιο ότι θα παρατηρήσετε μια σειρά από αριθμούς - για παράδειγμα, ρίψη κυρίως υψηλότερων ή χαμηλότερων τιμών - ή άλλα χαρακτηριστικά, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι τα ζάρια είναι "καυτά" ή "κρύα". Θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

Εάν κυλήσετε μια τυπική μήτρα έξι όψεων και ο αριθμός 6 εμφανιστεί δύο φορές στη σειρά, η πιθανότητα ότι το αποτέλεσμα της επόμενης ζαριάς θα είναι 6 είναι επίσης 1 / 6. Η πιθανότητα δεν αυξάνεται επειδή η μήτρα "ζέστανε" ". Ταυτόχρονα, η πιθανότητα δεν μειώνεται: είναι λάθος να υποστηρίζουμε ότι ο αριθμός 6 έχει ήδη πέσει έξω δύο φορές στη σειρά, πράγμα που σημαίνει ότι τώρα πρέπει να πέσει ένα άλλο πρόσωπο.

Φυσικά, εάν ρίξετε ένα ζάρι είκοσι φορές και ο αριθμός 6 εμφανίζεται κάθε φορά, η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα 6 την εικοστή πρώτη φορά είναι αρκετά υψηλή: μπορεί απλώς να έχετε το λάθος ζάρι. Αλλά αν η μήτρα είναι σωστή, η πιθανότητα να αποκτήσετε καθεμία από τις όψεις είναι η ίδια, ανεξάρτητα από τα αποτελέσματα άλλων κυλίνδρων. Μπορείτε επίσης να φανταστείτε ότι αλλάζουμε το ζάρι κάθε φορά: αν ο αριθμός 6 κυλήσει δύο φορές στη σειρά, αφαιρέστε το "καυτό" ζάρι από το παιχνίδι και αντικαταστήστε το με ένα νέο. Λυπάμαι αν κάποιος από εσάς το γνώριζε ήδη αυτό, αλλά έπρεπε να το διευκρινίσω πριν προχωρήσω.

Πώς να κάνετε τα ζάρια να ρίχνουν λίγο πολύ τυχαία

Ας μιλήσουμε για το πώς να έχετε διαφορετικά αποτελέσματα σε διαφορετικά ζάρια. Εάν ρίξετε τη μήτρα μόνο μία ή πολλές φορές, το παιχνίδι θα είναι πιο τυχαίο όταν η μήτρα έχει περισσότερες άκρες. Όσο πιο συχνά ρίχνετε τα ζάρια και όσο περισσότερα ζάρια ρίχνετε, τόσο περισσότερο τα αποτελέσματα πλησιάζουν τον μέσο όρο.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση του 1d6 + 4 (δηλαδή, αν κυλήσετε μια τυπική μήτρα έξι όψεων μία φορά και προσθέσετε 4 στο αποτέλεσμα), ο μέσος όρος θα είναι ένας αριθμός μεταξύ 5 και 10. Εάν ρίξετε 5d2, ο μέσος θα είναι επίσης ένας αριθμός μεταξύ 5 και 10. Το αποτέλεσμα της κύλισης 5d2 θα είναι κυρίως οι αριθμοί 7 και 8, λιγότερο συχνά άλλες τιμές. Η ίδια σειρά, ακόμη και η ίδια μέση τιμή (7,5 και στις δύο περιπτώσεις), αλλά η φύση της τυχαιότητας είναι διαφορετική.

Περίμενε ένα λεπτό. Δεν είπα μόνο ότι τα ζάρια δεν «ζεσταίνονται» ούτε «ψύχονται»; Και τώρα λέω: αν ρίξεις πολλά ζάρια, τα αποτελέσματα των ζαριάς είναι πιο κοντά στη μέση τιμή. Γιατί;

ΑΣΕ με να εξηγήσω. Εάν ρίξετε ένα μόνο ζάρι, η πιθανότητα κάθε ένα από τα πρόσωπα να ανέβει είναι η ίδια. Αυτό σημαίνει ότι αν ρίξετε πολλά ζάρια με την πάροδο του χρόνου, κάθε πρόσωπο θα εμφανιστεί περίπου ίδιες φορές. Όσο περισσότερα ζάρια ρίχνετε, τόσο περισσότερο το συνολικό αποτέλεσμα θα προσεγγίζει τον μέσο όρο.

Αυτό δεν οφείλεται στο ότι ο κυλιόμενος αριθμός "αναγκάζει" να κυλήσει ένας άλλος αριθμός που δεν έχει ακόμη κυληθεί. Επειδή ένα μικρό σερί ρίψης του αριθμού 6 (ή 20, ή οτιδήποτε άλλο) δεν θα κάνει μεγάλη διαφορά στο τέλος, αν ρίξετε τα ζάρια δέκα χιλιάδες περισσότερες φορές και είναι κυρίως ο μέσος όρος. Τώρα θα έχετε μερικούς μεγάλους αριθμούς και αργότερα μερικούς μικρούς - και με την πάροδο του χρόνου θα πλησιάσουν τη μέση τιμή.

Αυτό δεν συμβαίνει επειδή οι προηγούμενες ρίψεις επηρεάζουν τα ζάρια (σοβαρά, τα ζάρια είναι κατασκευασμένα από πλαστικό, δεν έχει το μυαλό να σκεφτεί, "Ω, έχει περάσει πολύς καιρός από τότε που εμφανίστηκε το 2"), αλλά επειδή συνήθως συμβαίνει με πολλά ρολά.παίζοντας ζάρια.

Επομένως, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσετε για μια τυχαία ζαριά ενός ζαριού - τουλάχιστον υπολογίστε τη μέση τιμή του ρολού. Υπάρχουν επίσης τρόποι να υπολογίσετε το "πόσο τυχαίο" είναι κάτι και να πείτε ότι τα αποτελέσματα μιας ζαριάς 1d6 + 4 θα είναι "πιο τυχαία" από 5d2. Για 5d2, τα κυλιόμενα αποτελέσματα θα κατανεμηθούν πιο ομοιόμορφα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση: όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή, τόσο πιο τυχαία θα είναι τα αποτελέσματα. Δεν θα ήθελα να δώσω τόσους πολλούς υπολογισμούς σήμερα, θα εξηγήσω αυτό το θέμα αργότερα.

Το μόνο πράγμα που θα σας ζητήσω να θυμάστε είναι ότι, κατά γενικό κανόνα, όσο λιγότερα ζάρια ρίχνετε, τόσο πιο τυχαία. Και όσο περισσότερες πλευρές έχει η μήτρα, τόσο περισσότερη τυχαιότητα, αφού υπάρχουν περισσότερες πιθανές επιλογές για την τιμή.

Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα χρησιμοποιώντας την καταμέτρηση

Ίσως αναρωτιέστε: πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την ακριβή πιθανότητα να εμφανιστεί ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα; Στην πραγματικότητα, αυτό είναι πολύ σημαντικό για πολλά παιχνίδια: εάν ρίξετε το ζάρι αρχικά, είναι πιθανό να υπάρξει κάποιο βέλτιστο αποτέλεσμα. Η απάντηση είναι: πρέπει να υπολογίσουμε δύο τιμές. Πρώτον, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη ζαριών και, δεύτερον, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων. Διαιρώντας τη δεύτερη τιμή με την πρώτη, λαμβάνετε την επιθυμητή πιθανότητα. Για να πάρετε ένα ποσοστό, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα επί 100.

Παραδείγματα

Εδώ είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα. Θέλετε να κυλήσετε ένα τετράγωνο ή υψηλότερο και να κυλήσετε ένα ζάρι έξι όψεων μία φορά. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων είναι 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Από αυτά, 3 αποτελέσματα (4, 5, 6) είναι ευνοϊκά. Έτσι, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, διαιρούμε το 3 με το 6 και παίρνουμε 0,5 ή 50%.

Εδώ είναι ένα παράδειγμα που είναι λίγο πιο περίπλοκο. Θέλετε η ζαριά του 2d6 να βγάζει έναν ζυγό αριθμό. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων είναι 36 (6 επιλογές για κάθε ζάρι, το ένα ζάρι δεν επηρεάζει το άλλο, οπότε πολλαπλασιάζουμε το 6 επί 6 και παίρνουμε 36). Η δυσκολία με αυτό το είδος ερωτήσεων είναι ότι είναι εύκολο να μετρήσεις δύο φορές. Για παράδειγμα, σε μια ζαριά 2d6, υπάρχουν δύο πιθανά αποτελέσματα ενός 3: 1+2 και 2+1. Μοιάζουν ίδια, αλλά η διαφορά είναι ποιος αριθμός εμφανίζεται στο πρώτο ζάρι και ποιος στο δεύτερο.

Μπορείτε επίσης να φανταστείτε ότι τα ζάρια είναι διαφορετικών χρωμάτων: έτσι, για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση, το ένα ζάρι είναι κόκκινο, το άλλο είναι μπλε. Στη συνέχεια, μετρήστε τον αριθμό των πιθανών εμφανίσεων ενός ζυγού αριθμού:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν 18 επιλογές για ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα από τις 36 - όπως στην προηγούμενη περίπτωση, η πιθανότητα είναι 0,5 ή 50%. Ίσως απροσδόκητο, αλλά αρκετά ακριβές.

Προσομοίωση Μόντε Κάρλο

Τι γίνεται αν έχετε πάρα πολλά ζάρια για αυτόν τον υπολογισμό; Για παράδειγμα, θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να προκύψουν συνολικά 15 ή περισσότερα σε μια ζαριά 8d6. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός διαφορετικών αποτελεσμάτων για οκτώ ζάρια και η χειροκίνητη καταμέτρησή τους θα έπαιρνε πολύ χρόνο - ακόμα κι αν μπορούσαμε να βρούμε κάποια καλή λύση για να ομαδοποιήσουμε τις διαφορετικές σειρές ζαριών.

Σε αυτήν την περίπτωση, ο ευκολότερος τρόπος δεν είναι να μετρήσετε χειροκίνητα, αλλά να χρησιμοποιήσετε έναν υπολογιστή. Υπάρχουν δύο τρόποι για τον υπολογισμό της πιθανότητας σε έναν υπολογιστή. Ο πρώτος τρόπος μπορεί να πάρει την ακριβή απάντηση, αλλά περιλαμβάνει λίγο προγραμματισμό ή σενάριο. Ο υπολογιστής θα εξετάσει κάθε πιθανότητα, θα αξιολογήσει και θα μετρήσει τον συνολικό αριθμό των επαναλήψεων και τον αριθμό των επαναλήψεων που ταιριάζουν με το επιθυμητό αποτέλεσμα και στη συνέχεια θα δώσει τις απαντήσεις. Ο κωδικός σας μπορεί να μοιάζει κάπως έτσι:

Εάν δεν είστε προγραμματιστής και θέλετε μια κατά προσέγγιση απάντηση αντί για μια ακριβή, μπορείτε να προσομοιώσετε αυτήν την κατάσταση στο Excel, όπου ρίχνετε το 8d6 μερικές χιλιάδες φορές και λαμβάνετε την απάντηση. Για να κυλήσετε το 1d6 στο Excel χρησιμοποιήστε τον τύπο =FLOOR(RAND()*6)+1.

Υπάρχει ένα όνομα για την κατάσταση όταν δεν ξέρετε την απάντηση και απλώς προσπαθείτε πολλές φορές - προσομοίωση Monte Carlo. Αυτή είναι μια εξαιρετική λύση για να επανέλθετε όταν είναι πολύ δύσκολο να υπολογίσετε την πιθανότητα. Το σπουδαίο είναι ότι σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται να καταλάβουμε πώς λειτουργούν τα μαθηματικά και ξέρουμε ότι η απάντηση θα είναι "αρκετά καλή", επειδή, όπως ήδη γνωρίζουμε, όσο περισσότερα ρολά, τόσο περισσότερο το αποτέλεσμα πλησιάζει το μέση αξία.

Πώς να συνδυάσετε ανεξάρτητες δοκιμές

Εάν ρωτήσετε για πολλαπλές επαναλαμβανόμενες αλλά ανεξάρτητες δοκιμές, τότε το αποτέλεσμα μιας ζαριάς δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα άλλων κυλίνδρων. Υπάρχει μια άλλη απλούστερη εξήγηση για αυτήν την κατάσταση.

Πώς να διακρίνετε κάτι εξαρτημένο και ανεξάρτητο; Κατ 'αρχήν, εάν μπορείτε να απομονώσετε κάθε ρολό (ή σειρά κυλίνδρων) ενός ζαριού ως ξεχωριστό γεγονός, τότε είναι ανεξάρτητο. Για παράδειγμα, ρίχνουμε 8d6 και θέλουμε να ρίξουμε συνολικά 15. Αυτό το γεγονός δεν μπορεί να χωριστεί σε πολλές ανεξάρτητες ρίξεις ζαριών. Για να λάβετε το αποτέλεσμα, υπολογίζετε το άθροισμα όλων των τιμών, έτσι το αποτέλεσμα που έλαβαν σε ένα καλούπι επηρεάζει τα αποτελέσματα που θα πρέπει να κυμανθούν σε άλλα.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα ανεξάρτητων ροών: παίζετε ένα παιχνίδι με ζάρια και ρίχνετε ζάρια έξι όψεων μερικές φορές. Η πρώτη ζαριά πρέπει να κυλήσει 2 ή περισσότερο για να παραμείνετε στο παιχνίδι. Για το δεύτερο ρολό - 3 ή υψηλότερο. Το τρίτο απαιτεί 4 ή περισσότερα, το τέταρτο απαιτεί 5 ή περισσότερα και το πέμπτο απαιτεί 6. Εάν και οι πέντε ζαριά είναι επιτυχημένες, κερδίζετε. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες. Ναι, εάν μια ζαριά αποτύχει, θα επηρεάσει το αποτέλεσμα ολόκληρου του παιχνιδιού, αλλά η μία ζαριά δεν επηρεάζει την άλλη. Για παράδειγμα, αν η δεύτερη ρίψη των ζαριών σας είναι πολύ καλή, δεν σημαίνει ότι και οι επόμενες ρίψεις θα είναι εξίσου καλές. Επομένως, μπορούμε να εξετάσουμε την πιθανότητα κάθε ζαριάς ξεχωριστά.

Εάν έχετε ανεξάρτητες πιθανότητες και θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν όλα τα γεγονότα, προσδιορίζετε κάθε μεμονωμένη πιθανότητα και τις πολλαπλασιάζετε. Ένας άλλος τρόπος: εάν χρησιμοποιείτε το σύνδεσμο "και" για να περιγράψετε πολλές συνθήκες (για παράδειγμα, ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί κάποιο τυχαίο γεγονός και κάποιο άλλο ανεξάρτητο τυχαίο συμβάν;) - υπολογίστε τις επιμέρους πιθανότητες και πολλαπλασιάστε τις.

Δεν έχει σημασία τι σκέφτεστε - ποτέ μην αθροίζετε τις ανεξάρτητες πιθανότητες. Αυτό είναι ένα κοινό λάθος. Για να καταλάβετε γιατί αυτό είναι λάθος, φανταστείτε μια κατάσταση όπου πετάτε ένα νόμισμα και θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε κεφάλια δύο φορές στη σειρά. Η πιθανότητα να πέσει έξω από κάθε πλευρά είναι 50%. Αν αθροίσετε αυτές τις δύο πιθανότητες, έχετε 100% πιθανότητες να πάρετε κεφάλια, αλλά ξέρουμε ότι αυτό δεν είναι αλήθεια, επειδή θα μπορούσαν να προκύψουν δύο διαδοχικές ουρές. Αν αντ 'αυτού πολλαπλασιάσετε τις δύο πιθανότητες, παίρνετε 50% * 50% = 25% - που είναι η σωστή απάντηση για τον υπολογισμό της πιθανότητας να λάβετε κεφάλια δύο φορές στη σειρά.

Παράδειγμα

Ας επιστρέψουμε στο παιχνίδι των εξάπλευρων ζαριών, όπου πρέπει πρώτα να ρίξετε έναν αριθμό μεγαλύτερο από 2, μετά περισσότερο από 3 - και ούτω καθεξής μέχρι το 6. Ποιες είναι οι πιθανότητες σε μια δεδομένη σειρά πέντε ζαριάς, όλα τα αποτελέσματα θα είναι ευνοϊκά;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, πρόκειται για ανεξάρτητες δοκιμές, επομένως υπολογίζουμε την πιθανότητα για κάθε μεμονωμένο ρολό και στη συνέχεια τις πολλαπλασιάζουμε. Η πιθανότητα το αποτέλεσμα της πρώτης εκτίναξης να είναι ευνοϊκό είναι 5/6. Το δεύτερο - 4/6. Τρίτο - 3/6. Το τέταρτο - 2/6, το πέμπτο - 1/6. Πολλαπλασιάζουμε όλα τα αποτελέσματα μεταξύ τους και παίρνουμε περίπου 1,5%. Οι νίκες σε αυτό το παιχνίδι είναι αρκετά σπάνιες, οπότε αν προσθέσετε αυτό το στοιχείο στο παιχνίδι σας, θα χρειαστείτε ένα αρκετά μεγάλο τζάκποτ.

Αρνηση

Ακολουθεί μια άλλη χρήσιμη υπόδειξη: μερικές φορές είναι δύσκολο να υπολογιστεί η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός, αλλά είναι ευκολότερο να προσδιοριστούν οι πιθανότητες να μην συμβεί ένα γεγονός. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα άλλο παιχνίδι: ρίχνετε 6d6 και κερδίζετε αν ρίξετε ένα 6 τουλάχιστον μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε;

Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές επιλογές που πρέπει να εξετάσετε. Είναι πιθανό ο ένας αριθμός 6 να πέσει έξω, δηλαδή ο αριθμός 6 να πέσει σε ένα από τα ζάρια και οι αριθμοί από το 1 έως το 5 να πέφτουν στα άλλα, τότε υπάρχουν 6 επιλογές για το ποιο από τα ζάρια θα έχει a 6. Μπορείτε να πάρετε τον αριθμό 6 σε δύο κόκκαλα ζαριών, ή τρία, ή ακόμα περισσότερα, και κάθε φορά θα πρέπει να κάνετε ξεχωριστό υπολογισμό, επομένως είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Ας δούμε όμως το πρόβλημα από την άλλη πλευρά. Χάνεις αν κανένα από τα ζάρια δεν ρίξει 6. Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε 6 ανεξάρτητες δοκιμές. Η πιθανότητα κάθε ζάρι να ρίξει έναν αριθμό διαφορετικό από το 6 είναι 5/6. Πολλαπλασιάστε τα - και λάβετε περίπου 33%. Έτσι, η πιθανότητα να χάσει είναι μία στις τρεις. Επομένως, η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 67% (ή δύο έως τρία).

Από αυτό το παράδειγμα, είναι προφανές ότι εάν υπολογίζετε την πιθανότητα να μην συμβεί ένα γεγονός, πρέπει να αφαιρέσετε το αποτέλεσμα από το 100%. Εάν η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 67%, τότε η πιθανότητα να χάσετε είναι 100% μείον 67%, ή 33%, και το αντίστροφο. Εάν είναι δύσκολο να υπολογίσετε μια πιθανότητα, αλλά είναι εύκολο να υπολογίσετε το αντίθετο, υπολογίστε το αντίθετο και, στη συνέχεια, αφαιρέστε αυτόν τον αριθμό από το 100%.

Συνθήκες σύνδεσης για μία ανεξάρτητη δοκιμή

Είπα λίγο νωρίτερα ότι δεν πρέπει ποτέ να αθροίζεις τις πιθανότητες σε ανεξάρτητες δοκιμές. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να αθροιστούν οι πιθανότητες; Ναι, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Εάν θέλετε να υπολογίσετε την πιθανότητα πολλαπλών άσχετων ευνοϊκών αποτελεσμάτων στην ίδια δοκιμή, αθροίστε τις πιθανότητες κάθε ευνοϊκού αποτελέσματος. Για παράδειγμα, η πιθανότητα κύλισης 4, 5 ή 6 στο 1d6 είναι ίση με το άθροισμα της πιθανότητας κύλισης 4, της πιθανότητας κύλισης 5 και της πιθανότητας κύλισης 6. Αυτή η κατάσταση μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: εάν χρησιμοποιήστε τον σύνδεσμο "ή" σε μια ερώτηση σχετικά με την πιθανότητα (για παράδειγμα, ποια είναι η πιθανότητα του ενός ή του άλλου αποτελέσματος ενός τυχαίου συμβάντος;) - υπολογίστε τις επιμέρους πιθανότητες και συνοψίστε τις.

Σημείωση: όταν υπολογίζετε όλα τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού, το άθροισμα των πιθανοτήτων εμφάνισής τους πρέπει να είναι ίσο με 100%, διαφορετικά ο υπολογισμός σας δεν έγινε σωστά. Αυτός είναι ένας καλός τρόπος για να ελέγξετε ξανά τους υπολογισμούς σας. Για παράδειγμα, αναλύσατε την πιθανότητα να λάβετε όλους τους συνδυασμούς στο πόκερ. Εάν αθροίσετε όλα τα αποτελέσματα που λαμβάνετε, θα πρέπει να λάβετε ακριβώς το 100% (ή τουλάχιστον μια τιμή πολύ κοντά στο 100%: εάν χρησιμοποιείτε αριθμομηχανή, μπορεί να υπάρχει ένα μικρό σφάλμα στρογγυλοποίησης, αλλά εάν προσθέτετε οι ακριβείς αριθμοί με το χέρι, θα πρέπει να αθροιστούν όλοι. ). Εάν το άθροισμα δεν είναι άθροισμα, τότε πιθανότατα δεν λάβατε υπόψη κάποιους συνδυασμούς ή υπολογίσατε λανθασμένα τις πιθανότητες ορισμένων συνδυασμών και οι υπολογισμοί πρέπει να επανελεγχθούν.

Άνισες πιθανότητες

Μέχρι τώρα, υποθέταμε ότι κάθε όψη της μήτρας πέφτει με την ίδια συχνότητα, γιατί έτσι λειτουργεί η μήτρα. Αλλά μερικές φορές μπορεί να αντιμετωπίσετε μια κατάσταση όπου είναι πιθανά διαφορετικά αποτελέσματα και έχουν διαφορετικές πιθανότητες να πέσουν έξω.

Για παράδειγμα, σε μια από τις προσθήκες στο παιχνίδι καρτών Nuclear War, υπάρχει ένας αγωνιστικός χώρος με ένα βέλος, το οποίο καθορίζει το αποτέλεσμα μιας εκτόξευσης πυραύλου. Τις περισσότερες φορές προκαλεί κανονική ζημιά, περισσότερο ή μικρότερη, αλλά μερικές φορές η ζημιά διπλασιάζεται ή τριπλασιάζεται ή ο πύραυλος εκρήγνυται στην εξέδρα εκτόξευσης και σας βλάπτει ή συμβαίνει κάποιο άλλο συμβάν. Σε αντίθεση με τον πίνακα με τα βέλη στο Chutes & Ladders ή στο A Game of Life, τα αποτελέσματα του πίνακα στον Πυρηνικό Πόλεμο δεν είναι εξίσου πιθανά. Ορισμένα τμήματα του αγωνιστικού χώρου είναι μεγαλύτερα και το βέλος σταματά πάνω τους πολύ πιο συχνά, ενώ άλλα τμήματα είναι πολύ μικρά και το βέλος σταματά πάνω τους σπάνια.

Έτσι, με την πρώτη ματιά, το οστό μοιάζει κάπως έτσι: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - το έχουμε ήδη μιλήσει, είναι κάτι σαν σταθμισμένο 1d3. Επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε όλα αυτά τα τμήματα σε ίσα μέρη, να βρούμε τη μικρότερη μονάδα μέτρησης, τον διαιρέτη, στον οποίο τα πάντα είναι πολλαπλάσια, και στη συνέχεια να αναπαραστήσουμε την κατάσταση με τη μορφή d522 (ή κάποια άλλη), όπου το σύνολο των ζαριών πρόσωπα θα αντιπροσωπεύουν την ίδια κατάσταση, αλλά με περισσότερα αποτελέσματα. Αυτός είναι ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος και είναι τεχνικά εφικτός, αλλά υπάρχει μια ευκολότερη επιλογή.

Ας επιστρέψουμε στα τυπικά μας ζάρια έξι όψεων. Είπαμε ότι για να υπολογίσετε τη μέση τιμή μιας ζαριάς για ένα κανονικό ζάρι, πρέπει να αθροίσετε τις τιμές όλων των προσώπων και να τις διαιρέσετε με τον αριθμό των προσώπων, αλλά πώς ακριβώς γίνεται ο υπολογισμός; Μπορείς να το εκφράσεις διαφορετικά. Για ένα ζάρι έξι όψεων, η πιθανότητα κάθε όψης να ανέβει είναι ακριβώς 1/6. Τώρα πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα κάθε πτυχής με την πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος (στην περίπτωση αυτή 1/6 για κάθε όψη) και στη συνέχεια αθροίζουμε τις προκύπτουσες τιμές. Αθροίζοντας λοιπόν (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα (3.5) όπως στον παραπάνω υπολογισμό. Στην πραγματικότητα, το υπολογίζουμε αυτό κάθε φορά: πολλαπλασιάζουμε κάθε αποτέλεσμα με την πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος.

Μπορούμε να κάνουμε τον ίδιο υπολογισμό για το βέλος στον πίνακα παιχνιδιού στον Πυρηνικό Πόλεμο; Φυσικά μπορούμε. Και αν αθροίσουμε όλα τα αποτελέσματα που βρέθηκαν, παίρνουμε τη μέση τιμή. Το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος για το βέλος στον αγωνιστικό χώρο και να πολλαπλασιάσουμε με την τιμή του αποτελέσματος.

Ενα άλλο παράδειγμα

Η αναφερόμενη μέθοδος υπολογισμού του μέσου όρου είναι επίσης κατάλληλη εάν τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά αλλά έχουν διαφορετικά πλεονεκτήματα - για παράδειγμα, εάν ρίξετε ένα ζάρι και κερδίσετε περισσότερα σε ορισμένα πρόσωπα από άλλα. Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα παιχνίδι που συμβαίνει σε ένα καζίνο: τοποθετείτε ένα στοίχημα και ρίχνετε 2d6. Εάν εμφανιστούν τρεις αριθμοί χαμηλής αξίας (2, 3, 4) ή τέσσερις αριθμοί υψηλής αξίας (9, 10, 11, 12), θα κερδίσετε ένα ποσό ίσο με το στοίχημά σας. Οι αριθμοί με τη χαμηλότερη και την υψηλότερη αξία είναι ειδικοί: αν εμφανιστεί 2 ή 12, θα κερδίσετε τα διπλάσια από το στοίχημά σας. Εάν εμφανιστεί οποιοσδήποτε άλλος αριθμός (5, 6, 7, 8), θα χάσετε το στοίχημά σας. Αυτό είναι ένα πολύ απλό παιχνίδι. Ποια είναι όμως η πιθανότητα να κερδίσετε;

Ας ξεκινήσουμε μετρώντας πόσες φορές μπορείτε να κερδίσετε. Ο μέγιστος αριθμός αποτελεσμάτων σε μια ζαριά 2d6 είναι 36. Ποιος είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων;

• Υπάρχει 1 επιλογή που θα κυλήσει 2 και 1 επιλογή που θα κυλήσει 12.
• Υπάρχουν 2 επιλογές για ένα 3 και 2 επιλογές για ένα 11.
• Υπάρχουν 3 επιλογές για ένα 4 και 3 επιλογές για ένα 10.
• Υπάρχουν 4 επιλογές που θα κυλήσουν 9.

Συνοψίζοντας όλες τις επιλογές, παίρνουμε 16 ευνοϊκά αποτελέσματα από τα 36. Έτσι, υπό κανονικές συνθήκες, θα κερδίσετε 16 φορές από τις 36 πιθανές - η πιθανότητα να κερδίσετε είναι ελαφρώς μικρότερη από 50%.

Αλλά δύο φορές από αυτές τις δεκαέξι θα κερδίσετε τα διπλάσια - είναι σαν να κερδίζετε δύο φορές. Εάν παίξετε αυτό το παιχνίδι 36 φορές, ποντάροντας 1 $ κάθε φορά και κάθε ένα από όλα τα πιθανά αποτελέσματα προκύψει μία φορά, κερδίζετε συνολικά 18 $ (στην πραγματικότητα κερδίζετε 16 φορές, αλλά δύο από αυτές μετρούν ως δύο νίκες). ). Εάν παίξετε 36 φορές και κερδίσετε 18 $, δεν σημαίνει ότι οι πιθανότητες είναι ζυγές;

Με την ησυχία σου. Αν μετρήσετε πόσες φορές μπορείτε να χάσετε, θα λάβετε 20, όχι 18. Εάν παίξετε 36 φορές, ποντάροντας 1$ κάθε φορά, θα κερδίσετε συνολικά 18$ όταν κυλήσουν όλες οι πιθανότητες. Αλλά θα χάσετε συνολικά 20 $ και στα 20 άσχημα αποτελέσματα. Ως αποτέλεσμα, θα μείνετε ελαφρώς πίσω: χάνετε κατά μέσο όρο 2 $ καθαρά για κάθε 36 παιχνίδια (μπορείτε επίσης να πείτε ότι χάνετε κατά μέσο όρο 1/18 $ την ημέρα). Τώρα βλέπετε πόσο εύκολο είναι να κάνετε λάθος σε αυτή την περίπτωση και να υπολογίσετε λανθασμένα την πιθανότητα.

μετάθεση

Μέχρι στιγμής, έχουμε υποθέσει ότι η σειρά με την οποία ρίχνονται οι αριθμοί δεν έχει σημασία όταν ρίχνουμε τα ζάρια. Ένα ρολό 2 + 4 είναι το ίδιο με ένα ρολό 4 + 2. Στις περισσότερες περιπτώσεις, μετράμε χειροκίνητα τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, αλλά μερικές φορές αυτή η μέθοδος δεν είναι πρακτική και είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε έναν μαθηματικό τύπο.

Ένα παράδειγμα αυτής της κατάστασης είναι από το παιχνίδι με ζάρια Farkle. Για κάθε νέο γύρο, ρίχνετε 6d6. Εάν είστε τυχεροί και εμφανιστούν όλα τα πιθανά αποτελέσματα του 1-2-3-4-5-6 (Straight), θα λάβετε ένα μεγάλο μπόνους. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό; Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές επιλογές για την απώλεια αυτού του συνδυασμού.

Η λύση είναι η εξής: σε ένα από τα ζάρια (και μόνο σε ένα) πρέπει να πέσει ο αριθμός 1. Πόσες επιλογές να πέσει ο αριθμός 1 σε ένα ζάρι; Υπάρχουν 6 επιλογές, αφού υπάρχουν 6 ζάρια και ο αριθμός 1 μπορεί να πέσει σε οποιοδήποτε από αυτά. Κατά συνέπεια, πάρτε ένα ζάρι και αφήστε το στην άκρη. Τώρα ο αριθμός 2 πρέπει να πέσει σε ένα από τα υπόλοιπα ζάρια. Υπάρχουν 5 επιλογές για αυτό. Πάρτε ένα άλλο ζάρι και αφήστε το στην άκρη. Στη συνέχεια, 4 από τα υπόλοιπα ζάρια μπορεί να προσγειωθούν στο 3, 3 από τα υπόλοιπα ζάρια μπορεί να προσγειωθούν στο 4 και 2 από τα υπόλοιπα ζάρια μπορεί να προσγειωθούν σε ένα 5. Ως αποτέλεσμα, σας μένει ένα ζάρι, στο οποίο ο αριθμός 6 θα πρέπει να πέσει (στην τελευταία περίπτωση, ένα ζάρι υπάρχει μόνο ένα κόκκαλο, και δεν υπάρχει επιλογή).

Για να μετρήσουμε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για να προκύψει ένας ευθύς συνδυασμός, πολλαπλασιάζουμε όλες τις διαφορετικές ανεξάρτητες επιλογές: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 - φαίνεται να υπάρχει ένας αρκετά μεγάλος αριθμός επιλογών για αυτός ο συνδυασμός να προκύψει.

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε έναν ευθύ συνδυασμό, πρέπει να διαιρέσουμε το 720 με τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων για την κύλιση 6d6. Ποιος είναι ο αριθμός όλων των πιθανών αποτελεσμάτων; Κάθε μήτρα μπορεί να κυλήσει 6 όψεις, οπότε πολλαπλασιάζουμε 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (πολύ μεγαλύτερος αριθμός από τον προηγούμενο). Διαιρούμε το 720 με το 46656 και παίρνουμε μια πιθανότητα ίση με περίπου 1,5%. Εάν σχεδιάζατε αυτό το παιχνίδι, θα ήταν χρήσιμο να το γνωρίζετε για να δημιουργήσετε ένα κατάλληλο σύστημα βαθμολόγησης. Τώρα καταλαβαίνουμε γιατί στο Farkle παίρνετε ένα τόσο μεγάλο μπόνους αν πετύχετε έναν straight συνδυασμό: αυτή η κατάσταση είναι αρκετά σπάνια.

Το αποτέλεσμα είναι ενδιαφέρον και για έναν άλλο λόγο. Το παράδειγμα δείχνει πόσο σπάνια σε σύντομο χρονικό διάστημα το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στην πιθανότητα πέφτει έξω. Φυσικά, αν ρίξαμε πολλές χιλιάδες ζάρια, οι διαφορετικές πλευρές των ζαριών θα εμφανίζονταν αρκετά συχνά. Αλλά όταν ρίχνουμε μόνο έξι ζάρια, δεν συμβαίνει σχεδόν ποτέ να εμφανιστεί κάθε ένα από τα ζάρια. Γίνεται σαφές ότι είναι ανόητο να περιμένουμε ότι τώρα θα πέσει ένα πρόσωπο που δεν έχει γίνει ακόμη, επειδή "δεν έχουμε πέσει τον αριθμό 6 για πολύ καιρό". Κοιτάξτε, η γεννήτρια τυχαίων αριθμών σας έχει χαλάσει.

Αυτό μας οδηγεί στην κοινή παρανόηση ότι όλα τα αποτελέσματα εμφανίζονται με τον ίδιο ρυθμό σε σύντομο χρονικό διάστημα. Αν ρίξουμε τα ζάρια πολλές φορές, η συχνότητα του καθενός από τα πρόσωπα δεν θα είναι η ίδια.

Εάν έχετε εργαστεί ποτέ σε ένα διαδικτυακό παιχνίδι με κάποιο είδος γεννήτριας τυχαίων αριθμών, τότε πιθανότατα έχετε αντιμετωπίσει μια κατάσταση όπου ένας παίκτης γράφει στην τεχνική υποστήριξη με παράπονο ότι η γεννήτρια τυχαίων αριθμών δεν εμφανίζει τυχαίους αριθμούς. Κατέληξε σε αυτό το συμπέρασμα επειδή σκότωσε 4 τέρατα στη σειρά και έλαβε 4 ακριβώς τις ίδιες ανταμοιβές, και αυτές οι ανταμοιβές πρέπει να πέφτουν μόνο κατά 10% των περιπτώσεων, επομένως αυτό δεν θα έπρεπε προφανώς να συμβεί σχεδόν ποτέ.

Κάνεις μαθηματικά. Η πιθανότητα είναι 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, δηλαδή, 1 αποτέλεσμα στις 10 χιλιάδες είναι μια μάλλον σπάνια περίπτωση. Αυτό προσπαθεί να σου πει ο παίκτης. Υπάρχει πρόβλημα σε αυτή την περίπτωση;

Όλα εξαρτώνται από τις περιστάσεις. Πόσοι παίκτες υπάρχουν τώρα στον διακομιστή σας; Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα αρκετά δημοφιλές παιχνίδι και κάθε μέρα το παίζουν 100.000 άτομα. Πόσοι παίκτες θα σκοτώσουν τέσσερα τέρατα στη σειρά; Πιθανώς τα πάντα, αρκετές φορές την ημέρα, αλλά ας υποθέσουμε ότι οι μισοί από αυτούς απλώς ανταλλάσσουν διαφορετικά αντικείμενα σε δημοπρασίες, συνομιλούν σε διακομιστές RP ή κάνουν άλλες δραστηριότητες παιχνιδιού - επομένως μόνο οι μισοί από αυτούς κυνηγούν τέρατα. Ποια είναι η πιθανότητα κάποιος να λάβει την ίδια ανταμοιβή; Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να περιμένετε να συμβεί αυτό τουλάχιστον μερικές φορές την ημέρα.

Παρεμπιπτόντως, γι' αυτό φαίνεται ότι κάθε λίγες εβδομάδες κάποιος κερδίζει τη λαχειοφόρο αγορά, ακόμα κι αν αυτός δεν ήταν ποτέ εσείς ή κάποιος που γνωρίζετε. Αν αρκετοί άνθρωποι παίζουν τακτικά, οι πιθανότητες είναι ότι θα υπάρχει τουλάχιστον ένας τυχερός κάπου. Αλλά αν παίζετε μόνοι σας το λαχείο, τότε είναι απίθανο να κερδίσετε, είναι πιο πιθανό να σας προσκαλέσουν να εργαστείτε στο Infinity Ward.

Χάρτες και εθισμός

Έχουμε συζητήσει ανεξάρτητα γεγονότα, όπως η ρίψη ζαριού, και τώρα γνωρίζουμε πολλά ισχυρά εργαλεία για την ανάλυση της τυχαιότητας σε πολλά παιχνίδια. Ο υπολογισμός των πιθανοτήτων είναι λίγο πιο περίπλοκος όταν πρόκειται να τραβήξουμε φύλλα από την τράπουλα, γιατί κάθε φύλλο που βγάζουμε επηρεάζει αυτά που παραμένουν στην τράπουλα.

Εάν έχετε μια τυπική τράπουλα 52 φύλλων, τραβάτε 10 καρδιές από αυτήν και θέλετε να μάθετε την πιθανότητα ότι το επόμενο φύλλο θα είναι το ίδιο - η πιθανότητα έχει αλλάξει από την αρχική επειδή έχετε ήδη αφαιρέσει ένα φύλλο καρδιάς από το κατάστρωμα. Κάθε φύλλο που αφαιρείτε αλλάζει την πιθανότητα να εμφανιστεί το επόμενο φύλλο στην τράπουλα. Σε αυτήν την περίπτωση, το προηγούμενο γεγονός επηρεάζει το επόμενο, οπότε ονομάζουμε αυτή την πιθανότητα εξαρτημένη.

Σημειώστε ότι όταν λέω "κάρτες" εννοώ οποιονδήποτε μηχανικό παιχνιδιού που έχει ένα σύνολο αντικειμένων και αφαιρείτε ένα από τα αντικείμενα χωρίς να το αντικαταστήσετε. Μια «τράπουλα» σε αυτή την περίπτωση είναι ανάλογη με μια τσάντα με μάρκες από την οποία βγάζετε μια μάρκα ή μια λάρνακα από την οποία βγαίνουν χρωματιστές μπάλες (δεν έχω δει ποτέ παιχνίδια με μια λάρνακα από την οποία θα έπαιρναν χρωματιστές μπάλες έξω, αλλά οι καθηγητές της θεωρίας πιθανοτήτων σχετικά με το τι για κάποιο λόγο, αυτό το παράδειγμα προτιμάται).

Ιδιότητες εξάρτησης

Θα ήθελα να διευκρινίσω ότι όταν πρόκειται για χαρτιά, υποθέτω ότι τραβάτε χαρτιά, τα κοιτάτε και τα αφαιρείτε από την τράπουλα. Κάθε μία από αυτές τις ενέργειες είναι μια σημαντική ιδιότητα. Αν είχα μια τράπουλα με, ας πούμε, έξι φύλλα αριθμημένα από το 1 έως το 6, θα τα ανακάτεψα και θα τραβούσα ένα φύλλο και μετά θα ανακάτεψα και τα έξι φύλλα ξανά - αυτό θα ήταν παρόμοιο με το να κυλήσω ένα ζάρι έξι όψεων, επειδή ένα αποτέλεσμα δεν έχει επηρεάζουν εδώ για τα επόμενα. Και αν τραβήξω κάρτες και δεν τις αντικαταστήσω, τότε τραβώντας ένα φύλλο 1, αυξάνω την πιθανότητα την επόμενη φορά να τραβήξω ένα φύλλο με τον αριθμό 6. Η πιθανότητα θα αυξηθεί μέχρι να τραβήξω τελικά αυτό το φύλλο ή να ανακατέψω την τράπουλα.

Το γεγονός ότι εξετάζουμε τις κάρτες είναι επίσης σημαντικό. Αν βγάλω ένα φύλλο από την τράπουλα και δεν το κοιτάξω, δεν θα έχω επιπλέον πληροφορίες και μάλιστα η πιθανότητα να μην αλλάξει. Αυτό μπορεί να ακούγεται παράλογο. Πώς μπορεί απλά να γυρίσεις ένα φύλλο να αλλάξει μαγικά τις πιθανότητες; Αλλά είναι δυνατό επειδή μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα για άγνωστα στοιχεία μόνο με βάση αυτά που γνωρίζετε.

Για παράδειγμα, αν ανακατέψετε μια τυπική τράπουλα, αποκαλύψετε 51 φύλλα και κανένα από αυτά δεν είναι βασίλισσα των κλαμπ, τότε μπορείτε να είστε 100% σίγουροι ότι το υπόλοιπο φύλλο είναι βασίλισσα των κλαμπ. Αν ανακατέψετε μια τυπική τράπουλα και τραβήξετε 51 φύλλα χωρίς να τα κοιτάξετε, τότε η πιθανότητα το υπόλοιπο φύλλο να είναι η βασίλισσα των συλλόγων εξακολουθεί να είναι 1/52. Καθώς ανοίγετε κάθε κάρτα, λαμβάνετε περισσότερες πληροφορίες.

Ο υπολογισμός της πιθανότητας για εξαρτημένα συμβάντα ακολουθεί τις ίδιες αρχές όπως και για τα ανεξάρτητα συμβάντα, με τη διαφορά ότι είναι λίγο πιο περίπλοκος, καθώς οι πιθανότητες αλλάζουν όταν αποκαλύπτετε τις κάρτες. Επομένως, πρέπει να πολλαπλασιάσετε πολλές διαφορετικές τιμές, αντί να πολλαπλασιάσετε την ίδια τιμή. Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να συνδυάσουμε όλους τους υπολογισμούς που κάναμε σε έναν συνδυασμό.

Παράδειγμα

Ανακατεύετε μια τυπική τράπουλα 52 φύλλων και τραβάτε δύο φύλλα. Ποια είναι η πιθανότητα να βγάλετε ένα ζευγάρι; Υπάρχουν διάφοροι τρόποι υπολογισμού αυτής της πιθανότητας, αλλά ίσως ο πιο απλός είναι ο εξής: ποια είναι η πιθανότητα, έχοντας τραβήξει ένα φύλλο, να μην μπορείτε να τραβήξετε ένα ζευγάρι; Αυτή η πιθανότητα είναι μηδενική, επομένως δεν έχει σημασία ποιο πρώτο φύλλο θα τραβήξετε, αρκεί να ταιριάζει με το δεύτερο. Δεν έχει σημασία ποιο φύλλο θα τραβήξουμε πρώτο, έχουμε ακόμα την ευκαιρία να τραβήξουμε ένα ζευγάρι. Επομένως, η πιθανότητα να βγάλετε ένα ζευγάρι αφού βγάλετε το πρώτο φύλλο είναι 100%.

Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο φύλλο να ταιριάζει με το πρώτο; Έχουν μείνει 51 φύλλα στην τράπουλα και 3 από αυτά ταιριάζουν με το πρώτο φύλλο (στην πραγματικότητα θα ήταν 4 στα 52, αλλά έχετε ήδη αφαιρέσει ένα από τα αντίστοιχα φύλλα όταν τραβήξατε το πρώτο φύλλο), οπότε η πιθανότητα είναι 1/ 17. Έτσι, την επόμενη φορά που ο τύπος απέναντί ​​σας στο τραπέζι θα παίξει Texas Hold'em, λέει: «Κουλ, άλλο ένα ζευγάρι; Είμαι τυχερός σήμερα», θα ξέρετε ότι με μεγάλη πιθανότητα μπλοφάρει.

Τι γίνεται αν προσθέσουμε δύο τζόκερ, άρα έχουμε 54 φύλλα στην τράπουλα και θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε ένα ζευγάρι; Το πρώτο φύλλο μπορεί να είναι τζόκερ, και μετά θα υπάρχει μόνο ένα φύλλο στην τράπουλα που ταιριάζει, όχι τρία. Πώς να βρείτε την πιθανότητα σε αυτή την περίπτωση; Διαιρούμε τις πιθανότητες και πολλαπλασιάζουμε κάθε πιθανότητα.

Το πρώτο μας φύλλο θα μπορούσε να είναι ένα τζόκερ ή κάποιο άλλο φύλλο. Η πιθανότητα να τραβήξετε ένα τζόκερ είναι 2/54, η πιθανότητα να τραβήξετε κάποιο άλλο φύλλο είναι 52/54. Εάν το πρώτο φύλλο είναι τζόκερ (2/54), τότε η πιθανότητα το δεύτερο φύλλο να ταιριάζει με το πρώτο είναι 1/53. Πολλαπλασιάζουμε τις τιμές (μπορούμε να τις πολλαπλασιάσουμε γιατί είναι ξεχωριστά γεγονότα και θέλουμε να συμβούν και τα δύο γεγονότα) και παίρνουμε 1/1431 - λιγότερο από το ένα δέκατο του τοις εκατό.

Εάν τραβήξετε πρώτα κάποιο άλλο φύλλο (52/54), η πιθανότητα να ταιριάζει με το δεύτερο φύλλο είναι 3/53. Πολλαπλασιάζουμε τις τιμές ​​και παίρνουμε 78/1431 (λίγο περισσότερο από 5,5%). Τι κάνουμε με αυτά τα δύο αποτελέσματα; Δεν τέμνονται και θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα καθενός από αυτά, οπότε αθροίζουμε τις τιμές. Παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα 79/1431 (ακόμα περίπου 5,5%).

Αν θέλαμε να είμαστε σίγουροι για την ακρίβεια της απάντησης, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα όλων των άλλων πιθανών αποτελεσμάτων: να τραβήξεις το τζόκερ και να μην ταιριάζει με το δεύτερο φύλλο ή να τραβήξεις άλλο φύλλο και να μην ταιριάζει με το δεύτερο φύλλο. Συνοψίζοντας αυτές τις πιθανότητες και την πιθανότητα να κερδίσουμε, θα παίρναμε ακριβώς 100%. Δεν θα δώσω τα μαθηματικά εδώ, αλλά μπορείτε να δοκιμάσετε τα μαθηματικά για διπλό έλεγχο.

The Monty Hall Paradox

Αυτό μας φέρνει σε ένα αρκετά γνωστό παράδοξο που συχνά μπερδεύει πολλούς, το παράδοξο του Monty Hall. Το παράδοξο πήρε το όνομά του από τον παρουσιαστή της τηλεοπτικής εκπομπής Let's Make a Deal. Για όσους δεν έχουν δει ποτέ αυτή την τηλεοπτική εκπομπή, θα πω ότι ήταν το αντίθετο του The Price Is Right.

Στο The Price Is Right, ο οικοδεσπότης (προηγουμένως φιλοξενούμενος από τον Bob Barker, τώρα Drew Carey; Nevermind) είναι ο φίλος σας. Θέλει να κερδίζεις χρήματα ή δροσερά βραβεία. Προσπαθεί να σας δώσει κάθε ευκαιρία να κερδίσετε, αρκεί να μπορείτε να μαντέψετε πόσο αξίζουν πραγματικά τα αντικείμενα που χορηγούνται.

Ο Monty Hall συμπεριφέρθηκε διαφορετικά. Ήταν σαν το κακό δίδυμο του Μπομπ Μπάρκερ. Στόχος του ήταν να σε κάνει να φαίνεσαι ηλίθιος στην εθνική τηλεόραση. Αν ήσουν στο σόου, ήταν αντίπαλός σου, έπαιζες απέναντί ​​του και οι πιθανότητες ήταν υπέρ του. Ίσως είμαι υπερβολικά σκληρός, αλλά κοιτάζοντας μια παράσταση που είναι πιο πιθανό να μπεις αν φοράς ένα γελοίο κοστούμι, αυτό ακριβώς καταλήγω.

Ένα από τα πιο διάσημα memes της παράστασης ήταν αυτό: υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά σας, η πόρτα νούμερο 1, η πόρτα νούμερο 2 και η πόρτα νούμερο 3. Μπορείτε να επιλέξετε μια πόρτα δωρεάν. Πίσω από ένα από αυτά είναι ένα υπέροχο βραβείο - για παράδειγμα, ένα νέο αυτοκίνητο. Δεν υπάρχουν βραβεία πίσω από τις άλλες δύο πόρτες, και οι δύο δεν έχουν καμία αξία. Υποτίθεται ότι θα σας ταπεινώνουν, οπότε πίσω τους δεν υπάρχει απλώς τίποτα, αλλά κάτι ανόητο, για παράδειγμα, μια κατσίκα ή ένας τεράστιος σωλήνας οδοντόκρεμας - κάθε άλλο παρά ένα νέο αυτοκίνητο.

Διαλέγεις μία από τις πόρτες, ο Monty πρόκειται να την ανοίξει για να σε ενημερώσει αν κέρδισες ή όχι... αλλά περίμενε. Πριν μάθουμε, ας ρίξουμε μια ματιά σε μία από αυτές τις πόρτες που δεν επιλέξατε. Ο Monty ξέρει από ποια πόρτα είναι πίσω το βραβείο και μπορεί πάντα να ανοίξει μια πόρτα που δεν έχει βραβείο πίσω της. «Επιλέγεις την πόρτα νούμερο 3; Τότε ας ανοίξουμε την πόρτα νούμερο 1 για να δείξουμε ότι δεν υπήρχε βραβείο από πίσω». Και τώρα, από γενναιοδωρία, σας προσφέρει την ευκαιρία να ανταλλάξετε την επιλεγμένη πόρτα νούμερο 3 με αυτό που βρίσκεται πίσω από την πόρτα νούμερο 2.

Σε αυτό το σημείο, τίθεται το ερώτημα της πιθανότητας: αυτή η ευκαιρία αυξάνει την πιθανότητα να κερδίσετε ή τη μειώνει ή παραμένει αμετάβλητη; Τι νομίζετε;

Σωστή απάντηση: η δυνατότητα επιλογής άλλης πόρτας αυξάνει την πιθανότητα νίκης από 1/3 σε 2/3. Αυτό είναι παράλογο. Αν δεν έχετε ξανασυναντήσει αυτό το παράδοξο, τότε πιθανότατα σκέφτεστε: περιμένετε, πώς είναι: ανοίγοντας μια πόρτα, αλλάξαμε ως δια μαγείας την πιθανότητα; Όπως είδαμε στο παράδειγμα των χαρτών, αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν λαμβάνουμε περισσότερες πληροφορίες. Προφανώς, όταν επιλέγετε για πρώτη φορά, η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 1/3. Όταν ανοίγει μια πόρτα, δεν αλλάζει καθόλου την πιθανότητα νίκης για την πρώτη επιλογή: η πιθανότητα εξακολουθεί να είναι 1/3. Αλλά η πιθανότητα να είναι σωστή η άλλη πόρτα είναι τώρα 2/3.

Ας δούμε αυτό το παράδειγμα από την άλλη πλευρά. Διαλέγεις πόρτα. Η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 1/3. Σας προτείνω να αλλάξετε τις άλλες δύο πόρτες, κάτι που κάνει το Monty Hall. Φυσικά, ανοίγει μια από τις πόρτες για να δείξει ότι δεν υπάρχει έπαθλο πίσω από αυτό, αλλά μπορεί πάντα να το κάνει αυτό, οπότε δεν αλλάζει τίποτα στην πραγματικότητα. Φυσικά, θα θέλετε να επιλέξετε μια διαφορετική πόρτα.

Εάν δεν καταλαβαίνετε καλά την ερώτηση και χρειάζεστε μια πιο πειστική εξήγηση, κάντε κλικ σε αυτόν τον σύνδεσμο για να μεταβείτε σε μια υπέροχη μικρή εφαρμογή Flash που θα σας επιτρέψει να εξερευνήσετε αυτό το παράδοξο με περισσότερες λεπτομέρειες. Μπορείτε να ξεκινήσετε με περίπου 10 πόρτες και στη συνέχεια να προχωρήσετε σταδιακά σε ένα παιχνίδι με τρεις πόρτες. Υπάρχει επίσης ένας προσομοιωτής όπου μπορείτε να παίξετε με οποιονδήποτε αριθμό θυρών από 3 έως 50 ή να εκτελέσετε πολλές χιλιάδες προσομοιώσεις και να δείτε πόσες φορές θα κερδίσατε αν παίζατε.

Επιλέξτε μία από τις τρεις πόρτες - η πιθανότητα να κερδίσετε είναι 1/3. Τώρα έχετε δύο στρατηγικές: να αλλάξετε την επιλογή αφού ανοίξετε τη λάθος πόρτα ή όχι. Εάν δεν αλλάξετε την επιλογή σας, τότε η πιθανότητα θα παραμείνει 1/3, αφού η επιλογή είναι μόνο στο πρώτο στάδιο και πρέπει να μαντέψετε αμέσως. Αν αλλάξεις, τότε μπορείς να κερδίσεις αν πρώτα επιλέξεις τη λάθος πόρτα (μετά ανοίγουν μια άλλη λάθος, η σωστή παραμένει - αλλάζοντας την απόφαση, απλά την παίρνεις). Η πιθανότητα να επιλέξετε λάθος πόρτα στην αρχή είναι 2/3 - οπότε αποδεικνύεται ότι αλλάζοντας την απόφασή σας, διπλασιάζετε την πιθανότητα να κερδίσετε.

Μια παρατήρηση από έναν δάσκαλο ανώτερων μαθηματικών και έναν ειδικό στην ισορροπία παιχνιδιών Maxim Soldatov - φυσικά, ο Schreiber δεν το είχε, αλλά χωρίς αυτό είναι αρκετά δύσκολο να κατανοήσουμε αυτήν τη μαγική μεταμόρφωση

Επανεξετάζοντας το παράδοξο του Monty Hall

Όσο για την ίδια την παράσταση, ακόμα κι αν οι αντίπαλοι του Monty Hall δεν ήταν καλοί στα μαθηματικά, αυτός ήταν καλός σε αυτά. Να τι έκανε για να αλλάξει λίγο το παιχνίδι. Αν διαλέγατε την πόρτα πίσω από την οποία βρισκόταν το έπαθλο, με πιθανότητα 1/3, σας πρόσφερε πάντα την επιλογή να επιλέξετε άλλη πόρτα. Διαλέγεις ένα αυτοκίνητο και μετά το αλλάζεις με μια κατσίκα και φαίνεσαι αρκετά ηλίθιος - αυτό ακριβώς που χρειάζεσαι, γιατί ο Χολ είναι κάπως κακός τύπος.

Αλλά αν διαλέξετε μια πόρτα που δεν έχει βραβείο, θα σας προσφέρει μια διαφορετική πόρτα μόνο τις μισές φορές, ή απλώς θα σας δείξει τη νέα σας κατσίκα και θα φύγετε από τη σκηνή. Ας αναλύσουμε αυτό το νέο παιχνίδι όπου το Monty Hall μπορεί να αποφασίσει αν θα σας προσφέρει την ευκαιρία να επιλέξετε άλλη πόρτα ή όχι.

Ας υποθέσουμε ότι ακολουθεί αυτόν τον αλγόριθμο: αν επιλέξετε μια πόρτα με έπαθλο, σας προσφέρει πάντα την ευκαιρία να επιλέξετε άλλη πόρτα, διαφορετικά είναι εξίσου πιθανό να σας προτείνει να επιλέξετε άλλη πόρτα ή να σας δώσει μια κατσίκα. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε;

Σε μία από τις τρεις επιλογές, επιλέγετε αμέσως την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το έπαθλο και ο οικοδεσπότης σας προσκαλεί να επιλέξετε άλλη.

Από τις υπόλοιπες δύο επιλογές από τις τρεις (αρχικά επιλέγετε την πόρτα χωρίς έπαθλο), στις μισές περιπτώσεις ο οικοδεσπότης θα σας προτείνει να αλλάξετε την απόφασή σας και στις άλλες μισές όχι.

Τα μισά από τα 2/3 είναι 1/3, δηλαδή σε μια περίπτωση στις τρεις θα πάρεις μια κατσίκα, σε μια περίπτωση στις τρεις θα διαλέξεις λάθος πόρτα και ο οικοδεσπότης θα σου προτείνει να διαλέξεις μια άλλη, και σε μια περίπτωση από τις τρεις θα επιλέξετε τη σωστή πόρτα, αλλά αυτός πάλι προσφέρει άλλη.

Εάν ο συντονιστής προσφερθεί να επιλέξει άλλη πόρτα, γνωρίζουμε ήδη ότι μια από τις τρεις περιπτώσεις που μας δίνει μια κατσίκα και φεύγουμε δεν συνέβη. Αυτές είναι χρήσιμες πληροφορίες: σημαίνει ότι οι πιθανότητές μας να κερδίσουμε έχουν αλλάξει. Δύο από τις τρεις περιπτώσεις όπου έχουμε επιλογή: στη μία περίπτωση σημαίνει ότι μαντέψαμε σωστά και στην άλλη περίπτωση ότι μαντέψαμε λάθος, οπότε αν μας προτάθηκε καθόλου επιλογή, τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1 /2 , και μαθηματικά δεν έχει σημασία αν θα επιμείνετε στην επιλογή σας ή θα επιλέξετε άλλη πόρτα.

Όπως το πόκερ, είναι ένα ψυχολογικό παιχνίδι, όχι ένα μαθηματικό. Γιατί ο Μόντι σου πρόσφερε μια επιλογή; Πιστεύει ότι είσαι ένας απλός που δεν ξέρει ότι η επιλογή άλλης πόρτας είναι η «σωστή» απόφαση και θα κρατήσει πεισματικά την επιλογή του (εξάλλου η κατάσταση είναι ψυχολογικά πιο περίπλοκη όταν διαλέγεις αυτοκίνητο και μετά το χάνεις) ?

Ή μήπως, αποφασίζοντας ότι είσαι έξυπνος και διάλεξε άλλη πόρτα, σου προσφέρει αυτή την ευκαιρία, γιατί ξέρει ότι αρχικά μάντεψες σωστά και πέφτεις στο γάντζο; Ή μήπως είναι αχαρακτήριστα ευγενικός και σε σπρώχνει να κάνεις κάτι ωφέλιμο για σένα, γιατί δεν έχει δώσει αυτοκίνητα εδώ και πολύ καιρό και οι παραγωγοί λένε ότι το κοινό βαριέται και θα ήταν καλύτερα να δώσει ένα μεγάλο βραβείο σύντομα για να έπεσαν οι βαθμολογίες;

Έτσι, ο Monty καταφέρνει μερικές φορές να προσφέρει επιλογή, ενώ η συνολική πιθανότητα νίκης παραμένει ίση με το 1/3. Να θυμάστε ότι η πιθανότητα να χάσετε αμέσως είναι 1/3. Υπάρχει 1/3 πιθανότητα να μαντέψετε αμέσως και το 50% αυτών των φορών θα κερδίσετε (1/3 x 1/2 = 1/6).

Η πιθανότητα να μαντέψετε λάθος στην αρχή, αλλά στη συνέχεια να έχετε την ευκαιρία να επιλέξετε άλλη πόρτα είναι 1/3, και στις μισές από αυτές τις περιπτώσεις θα κερδίσετε (επίσης 1/6). Προσθέστε δύο ανεξάρτητες πιθανότητες νίκης και θα έχετε μια πιθανότητα 1/3, οπότε δεν έχει σημασία αν παραμείνετε στην επιλογή σας ή διαλέξετε άλλη πόρτα - η συνολική πιθανότητα να κερδίσετε σε όλο το παιχνίδι είναι 1/3.

Η πιθανότητα δεν γίνεται μεγαλύτερη από ό,τι στην περίπτωση που μαντέψατε την πόρτα και ο οικοδεσπότης απλά σας έδειξε τι κρύβεται πίσω από αυτήν, χωρίς να προσφέρεται να επιλέξετε άλλη. Το θέμα της πρότασης δεν είναι να αλλάξει η πιθανότητα, αλλά να γίνει πιο διασκεδαστική η διαδικασία λήψης αποφάσεων για την τηλεθέαση.

Παρεμπιπτόντως, αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους το πόκερ μπορεί να είναι τόσο ενδιαφέρον: στις περισσότερες μορφές μεταξύ των γύρων, όταν γίνονται στοιχήματα (για παράδειγμα, το flop, το turn και το river στο Texas Hold'em), τα φύλλα αποκαλύπτονται σταδιακά, και αν στην αρχή του παιχνιδιού έχετε μία ευκαιρία να κερδίσετε, τότε μετά από κάθε γύρο πονταρίσματος, όταν ανοίγουν περισσότερα φύλλα, αυτή η πιθανότητα αλλάζει.

Παράδοξο αγόρι και κορίτσι

Αυτό μας φέρνει σε ένα άλλο γνωστό παράδοξο που τείνει να προβληματίζει όλους, το παράδοξο αγόρι-κορίτσι. Το μόνο πράγμα για το οποίο γράφω σήμερα που δεν σχετίζεται άμεσα με παιχνίδια (αν και υποθέτω ότι πρέπει απλώς να σας ωθήσω να δημιουργήσετε κατάλληλους μηχανισμούς παιχνιδιών). Αυτό είναι περισσότερο ένας γρίφος, αλλά ενδιαφέρον, και για να το λύσετε, πρέπει να κατανοήσετε την υπό όρους πιθανότητα για την οποία μιλήσαμε παραπάνω.

Καθήκον: Έχω έναν φίλο με δύο παιδιά, τουλάχιστον ένα από αυτά είναι κορίτσι. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι; Ας υποθέσουμε ότι σε οποιαδήποτε οικογένεια οι πιθανότητες να έχουν ένα κορίτσι και ένα αγόρι είναι 50/50, και αυτό ισχύει για κάθε παιδί.

Στην πραγματικότητα, μερικοί άνδρες έχουν περισσότερα σπερματοζωάρια με ένα χρωμόσωμα Χ ή ένα χρωμόσωμα Υ στο σπέρμα τους, επομένως οι πιθανότητες ποικίλλουν ελαφρώς. Εάν γνωρίζετε ότι το ένα παιδί είναι κορίτσι, η πιθανότητα να αποκτήσετε ένα δεύτερο κορίτσι είναι ελαφρώς μεγαλύτερη και υπάρχουν και άλλες συνθήκες, όπως ο ερμαφροδιτισμός. Αλλά για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, δεν θα το λάβουμε υπόψη και θα υποθέσουμε ότι η γέννηση ενός παιδιού είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός και η γέννηση ενός αγοριού και ενός κοριτσιού είναι εξίσου πιθανή.

Εφόσον μιλάμε για πιθανότητα 1/2, αναμένουμε διαισθητικά η απάντηση να είναι 1/2 ή 1/4, ή κάποιο άλλο πολλαπλάσιο του δύο στον παρονομαστή. Αλλά η απάντηση είναι 1/3. Γιατί;

Η δυσκολία σε αυτή την περίπτωση είναι ότι οι πληροφορίες που έχουμε μειώνουν τον αριθμό των δυνατοτήτων. Ας υποθέσουμε ότι οι γονείς είναι θαυμαστές της Sesame Street και ανεξάρτητα από το φύλο των παιδιών τους ονόμασαν Α και Β. Υπό κανονικές συνθήκες, υπάρχουν τέσσερις εξίσου πιθανές πιθανότητες: Α και Β είναι δύο αγόρια, Α και Β είναι δύο κορίτσια, Α είναι ένα αγόρι και ο Β είναι κορίτσι, ο Α είναι κορίτσι και ο Β είναι αγόρι. Εφόσον γνωρίζουμε ότι τουλάχιστον ένα παιδί είναι κορίτσι, μπορούμε να αποκλείσουμε το ενδεχόμενο ο Α και ο Β να είναι δύο αγόρια. Έτσι, έχουμε μείνει με τρεις πιθανότητες - εξακολουθούν να είναι εξίσου πιθανές. Αν όλες οι πιθανότητες είναι εξίσου πιθανές και υπάρχουν τρεις από αυτές, τότε η πιθανότητα καθεμιάς από αυτές είναι 1/3. Μόνο σε μία από αυτές τις τρεις επιλογές είναι και τα δύο παιδιά κορίτσια, οπότε η απάντηση είναι το 1/3.

Και πάλι για το παράδοξο ενός αγοριού και ενός κοριτσιού

Η λύση του προβλήματος γίνεται ακόμα πιο παράλογη. Φανταστείτε ότι ο φίλος μου έχει δύο παιδιά και το ένα από αυτά είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη. Ας υποθέσουμε ότι υπό κανονικές συνθήκες ένα παιδί είναι εξίσου πιθανό να γεννηθεί κάθε μία από τις επτά ημέρες της εβδομάδας. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί κορίτσι;

Ίσως πιστεύετε ότι η απάντηση θα είναι ακόμα 1/3: τι σημαίνει Τρίτη; Αλλά σε αυτή την περίπτωση, η διαίσθηση μας αποτυγχάνει. Η απάντηση είναι 27/13, κάτι που όχι απλώς δεν είναι διαισθητικό, αλλά πολύ περίεργο. Τι συμβαίνει σε αυτή την περίπτωση;

Στην πραγματικότητα, η Τρίτη αλλάζει την πιθανότητα επειδή δεν γνωρίζουμε ποιο μωρό γεννήθηκε την Τρίτη ή ίσως και τα δύο γεννήθηκαν την Τρίτη. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την ίδια λογική: μετράμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς όταν τουλάχιστον ένα παιδί είναι κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι τα παιδιά ονομάζονται Α και Β. Οι συνδυασμοί μοιάζουν με αυτό:

• Το Α είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, το Β είναι αγόρι (σε ​​αυτήν την περίπτωση υπάρχουν 7 πιθανότητες, μία για κάθε ημέρα της εβδομάδας που θα μπορούσε να γεννηθεί ένα αγόρι).
• Β - ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, Α - ένα αγόρι (επίσης 7 πιθανότητες).
• Το Α είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, το Β είναι ένα κορίτσι που γεννήθηκε διαφορετική ημέρα της εβδομάδας (6 πιθανότητες).
• Β - ένα κορίτσι που γεννήθηκε την Τρίτη, Α - ένα κορίτσι που δεν γεννήθηκε την Τρίτη (επίσης 6 πιθανότητες).
• Το Α και το Β είναι δύο κορίτσια που γεννήθηκαν την Τρίτη (1 πιθανότητα, πρέπει να προσέξετε αυτό για να μην μετρήσετε δύο φορές).

Συνοψίζουμε και παίρνουμε 27 διαφορετικούς εξίσου πιθανούς συνδυασμούς γέννησης παιδιών και ημερών με τουλάχιστον μία πιθανότητα να γεννηθεί κορίτσι την Τρίτη. Από αυτές, οι 13 πιθανότητες είναι όταν γεννηθούν δύο κορίτσια. Φαίνεται επίσης εντελώς παράλογο - φαίνεται ότι αυτό το έργο επινοήθηκε μόνο για να προκαλέσει πονοκέφαλο. Εάν εξακολουθείτε να προβληματίζεστε, ο ιστότοπος του θεωρητικού παιγνίων Jesper Juhl έχει μια καλή εξήγηση για αυτό.

Εάν αυτή τη στιγμή εργάζεστε σε ένα παιχνίδι

Εάν υπάρχει τυχαιότητα στο παιχνίδι που σχεδιάζετε, αυτή είναι μια εξαιρετική ευκαιρία να το αναλύσετε. Επιλέξτε οποιοδήποτε στοιχείο θέλετε να αναλύσετε. Αναρωτηθείτε πρώτα ποια θα περιμένατε να είναι η πιθανότητα ενός δεδομένου στοιχείου στο πλαίσιο του παιχνιδιού.

Για παράδειγμα, εάν φτιάχνετε ένα RPG και σκέφτεστε πόσο πιθανό θα πρέπει να είναι για έναν παίκτη να νικήσει ένα τέρας στη μάχη, αναρωτηθείτε ποιο ποσοστό νίκης είναι σωστό για εσάς. Συνήθως, στην περίπτωση των RPG της κονσόλας, οι παίκτες αναστατώνονται πολύ όταν χάνουν, επομένως είναι καλύτερα να χάνουν σπάνια - 10% του χρόνου ή λιγότερο. Εάν είστε σχεδιαστής RPG, πιθανότατα ξέρετε καλύτερα από εμένα, αλλά πρέπει να έχετε μια βασική ιδέα για το ποια θα πρέπει να είναι η πιθανότητα.

Στη συνέχεια, αναρωτηθείτε εάν οι πιθανότητες σας είναι εξαρτημένες (όπως με τις κάρτες) ή ανεξάρτητες (όπως με τα ζάρια). Συζητήστε όλα τα πιθανά αποτελέσματα και τις πιθανότητές τους. Βεβαιωθείτε ότι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων είναι 100%. Και, φυσικά, συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας με τις προσδοκίες σας. Είναι δυνατόν να ρίξετε ζάρια ή να τραβήξετε κάρτες όπως θέλετε ή είναι σαφές ότι οι τιμές πρέπει να προσαρμοστούν. Και, φυσικά, εάν βρείτε ελαττώματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ίδιους υπολογισμούς για να προσδιορίσετε πόσο χρειάζεστε για να αλλάξετε τις τιμές.

Εργασία για το σπίτι

Η «εργασία» σας αυτή την εβδομάδα θα σας βοηθήσει να βελτιώσετε τις πιθανότητες σας. Εδώ είναι δύο παιχνίδια με ζάρια και ένα παιχνίδι με κάρτες που πρέπει να αναλύσετε χρησιμοποιώντας πιθανότητες, καθώς και έναν περίεργο μηχανικό παιχνιδιών που κάποτε ανέπτυξα και θα δοκιμάσετε τη μέθοδο Monte Carlo.

Παιχνίδι #1 - Dragon Bones

Αυτό είναι ένα παιχνίδι με ζάρια που καταλήξαμε κάποτε εγώ και οι συνάδελφοί μου (χάρη στον Jeb Havens και τον Jesse King) - σκόπιμα ταράζει τα μυαλά των ανθρώπων με τις πιθανότητες του. Αυτό είναι ένα απλό παιχνίδι καζίνο που ονομάζεται "Dragon Dice" και είναι ένας διαγωνισμός με ζάρια τζόγου μεταξύ του παίκτη και της εγκατάστασης.

Σας δίνεται ένα κανονικό ζάρι 1d6. Ο στόχος του παιχνιδιού είναι να ρίξει έναν αριθμό υψηλότερο από αυτό του σπιτιού. Ο Τομ λαμβάνει ένα μη τυπικό 1d6 - το ίδιο με το δικό σας, αλλά σε ένα από τα πρόσωπά του αντί για ένα - η εικόνα ενός δράκου (έτσι, το καζίνο έχει ένα ζάρι dragon-2-3-4-5-6). Εάν το ίδρυμα αποκτήσει έναν δράκο, αυτόματα κερδίζει και εσείς χάνετε. Αν και οι δύο πάρουν τον ίδιο αριθμό, είναι ισοπαλία και ρίχνεις ξανά τα ζάρια. Αυτός που φέρει τον μεγαλύτερο αριθμό κερδίζει.

Φυσικά, όλα δεν είναι εξ ολοκλήρου υπέρ του παίκτη, γιατί το καζίνο έχει ένα πλεονέκτημα με τη μορφή δράκου. Είναι όμως όντως έτσι; Αυτό πρέπει να υπολογίσεις. Αλλά πρώτα ελέγξτε τη διαίσθησή σας.

Ας υποθέσουμε ότι η νίκη είναι 2 προς 1. Έτσι, αν κερδίσετε, κρατάτε το στοίχημά σας και παίρνετε το διπλάσιο ποσό. Για παράδειγμα, αν ποντάρετε $1 και κερδίσετε, κρατάτε αυτό το δολάριο και παίρνετε άλλα 2 $ από πάνω, για ένα σύνολο $3. Αν χάσεις, χάνεις μόνο το στοίχημά σου. Θα έπαιζες; Αισθάνεστε διαισθητικά ότι η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από 2 προς 1 ή εξακολουθείτε να πιστεύετε ότι είναι μικρότερη; Με άλλα λόγια, κατά μέσο όρο πάνω από 3 παιχνίδια, περιμένετε να κερδίσετε περισσότερες από μία φορές ή λιγότερες ή μία φορά;

Μόλις βγάλετε τη διαίσθησή σας από τη μέση, εφαρμόστε τα μαθηματικά. Υπάρχουν μόνο 36 πιθανές θέσεις και για τα δύο ζάρια, ώστε να μπορείτε εύκολα να τις μετρήσετε όλες. Εάν δεν είστε σίγουροι για αυτήν την προσφορά 2 προς 1, σκεφτείτε το εξής: Ας υποθέσουμε ότι παίξατε το παιχνίδι 36 φορές (ποντάρετε 1 $ κάθε φορά). Για κάθε νίκη παίρνετε 2 $, για κάθε ήττα χάνετε 1 $ και μια ισοπαλία δεν αλλάζει τίποτα. Μετρήστε όλες τις πιθανές νίκες και ήττες σας και αποφασίστε εάν θα χάσετε κάποια δολάρια ή θα κερδίσετε. Τότε αναρωτηθείτε πόσο σωστή αποδείχτηκε η διαίσθησή σας. Και μετά συνειδητοποίησε τι κακός είμαι.

Και, ναι, αν έχετε ήδη σκεφτεί αυτήν την ερώτηση - σας μπερδεύω εσκεμμένα παραμορφώνοντας την πραγματική μηχανική των παιχνιδιών με ζάρια, αλλά είμαι σίγουρος ότι μπορείτε να ξεπεράσετε αυτό το εμπόδιο με μια καλή σκέψη. Προσπαθήστε να λύσετε αυτό το πρόβλημα μόνοι σας.

Παιχνίδι #2 - Roll of Luck

Αυτό είναι ένα παιχνίδι με ζάρια που ονομάζεται Roll of Luck (επίσης Birdcage επειδή μερικές φορές τα ζάρια δεν ρίχνονται αλλά τοποθετούνται σε ένα μεγάλο συρμάτινο κλουβί, που θυμίζει το κλουβί του Bingo). Το παιχνίδι είναι απλό, βασικά καταλήγει σε αυτό: Ποντάρετε, ας πούμε, 1 $ σε έναν αριθμό μεταξύ 1 και 6. Στη συνέχεια, ρίχνετε το 3d6. Για κάθε ζάρι που φτάνει στον αριθμό σας, λαμβάνετε 1 $ (και κρατάτε το αρχικό σας στοίχημα). Εάν ο αριθμός σας δεν προσγειωθεί σε κανένα από τα ζάρια, το καζίνο παίρνει το δολάριο σας και δεν κερδίζετε τίποτα. Έτσι, αν στοιχηματίσετε στο 1 και λάβετε 1 στο πρόσωπο τρεις φορές, θα λάβετε 3 $.

Διαισθητικά, φαίνεται ότι σε αυτό το παιχνίδι οι πιθανότητες είναι ίσες. Κάθε ζάρι είναι μια μεμονωμένη πιθανότητα νίκης 1 στις 6, επομένως η πιθανότητα σας να κερδίσετε είναι 3 προς 6 σε τρεις ζαριά. Ωστόσο, να θυμάστε, φυσικά, ότι στοιβάζετε τρία ξεχωριστά ζάρια και μπορείτε να προσθέσετε μόνο εάν είμαστε μιλώντας για ξεχωριστούς νικηφόρους συνδυασμούς των ίδιων ζαριών. Κάτι που θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε.

Αφού υπολογίσετε όλα τα πιθανά αποτελέσματα (πιθανώς πιο εύκολο να το κάνετε στο Excel παρά με το χέρι, υπάρχουν 216 από αυτά), το παιχνίδι εξακολουθεί να φαίνεται άρτιο-περίεργο με την πρώτη ματιά. Στην πραγματικότητα, το καζίνο εξακολουθεί να είναι πιο πιθανό να κερδίσει - πόσο περισσότερο; Συγκεκριμένα, πόσα χρήματα περιμένετε να χάσετε κατά μέσο όρο ανά γύρο αγώνα;

Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να αθροίσετε τις νίκες και τις ήττες και των 216 αποτελεσμάτων και στη συνέχεια να διαιρέσετε με το 216, κάτι που θα πρέπει να είναι αρκετά εύκολο. Αλλά όπως καταλαβαίνεις, υπάρχουν μερικές παγίδες στις οποίες μπορείς να πέσεις, γι' αυτό λέω ότι αν πιστεύεις ότι υπάρχουν ίσες πιθανότητες να κερδίσεις σε αυτό το παιχνίδι, έχεις παρεξηγηθεί.

Παιχνίδι #3 - 5 Card Stud

Εάν έχετε ήδη προθερμανθεί σε προηγούμενα παιχνίδια, ας ελέγξουμε τι γνωρίζουμε για τις πιθανότητες υπό όρους χρησιμοποιώντας αυτό το παιχνίδι καρτών ως παράδειγμα. Ας φανταστούμε το πόκερ με μια τράπουλα 52 φύλλων. Ας φανταστούμε επίσης 5 φύλλα όπου κάθε παίκτης παίρνει μόνο 5 φύλλα. Δεν μπορείτε να απορρίψετε ένα φύλλο, δεν μπορείτε να τραβήξετε ένα νέο, καμία κοινή τράπουλα - παίρνετε μόνο 5 φύλλα.

Ένα royal flush είναι 10-J-Q-K-A στο ένα χέρι, για συνολικά τέσσερα, επομένως υπάρχουν τέσσερις πιθανοί τρόποι για να αποκτήσετε ένα royal flush. Υπολογίστε την πιθανότητα να πάρετε έναν από αυτούς τους συνδυασμούς.

Έχω να σας προειδοποιήσω για ένα πράγμα: να θυμάστε ότι μπορείτε να τραβήξετε αυτά τα πέντε φύλλα με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, στην αρχή μπορείς να τραβήξεις έναν άσο ή ένα δεκάρι, δεν έχει σημασία. Επομένως, όταν κάνετε τους υπολογισμούς σας, να έχετε κατά νου ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα περισσότεροι από τέσσερις τρόποι για να πετύχετε ένα royal flush, υποθέτοντας ότι τα φύλλα μοιράστηκαν με τη σειρά.

Παιχνίδι #4 - Λοταρία του ΔΝΤ

Η τέταρτη εργασία δεν θα είναι τόσο εύκολο να λυθεί χρησιμοποιώντας τις μεθόδους για τις οποίες μιλήσαμε σήμερα, αλλά μπορείτε εύκολα να προσομοιώσετε την κατάσταση χρησιμοποιώντας προγραμματισμό ή Excel. Στο παράδειγμα αυτού του προβλήματος μπορείτε να επεξεργαστείτε τη μέθοδο Monte Carlo.

Ανέφερα νωρίτερα το παιχνίδι Chron X στο οποίο δούλεψα κάποτε, και υπήρχε μια πολύ ενδιαφέρουσα κάρτα - η λοταρία του ΔΝΤ. Να πώς λειτούργησε: το χρησιμοποιήσατε σε ένα παιχνίδι. Μετά το τέλος του γύρου, οι κάρτες αναδιανεμήθηκαν και υπήρχε πιθανότητα 10% η κάρτα να είναι εκτός παιχνιδιού και ένας τυχαίος παίκτης να λάβει 5 από κάθε τύπο πόρων που είχε ένα διακριτικό σε αυτό το φύλλο. Ένα φύλλο μπήκε στο παιχνίδι χωρίς ούτε ένα κουπόνι, αλλά κάθε φορά που παρέμενε στο παιχνίδι στην αρχή του επόμενου γύρου, λάμβανε ένα κουπόνι.

Υπήρχε λοιπόν 10% πιθανότητα να το βάλετε στο παιχνίδι, να τελειώσει ο γύρος, να φύγει η κάρτα και κανείς να μην πάρει τίποτα. Εάν δεν το κάνει (με 90% πιθανότητα), υπάρχει 10% πιθανότητα (στην πραγματικότητα 9%, αφού αυτό είναι 10% του 90%) να φύγει από το παιχνίδι στον επόμενο γύρο και κάποιος να πάρει 5 πόρους. Εάν η κάρτα φύγει από το παιχνίδι μετά από έναν γύρο (10% από το 81% διαθέσιμο, άρα η πιθανότητα είναι 8,1%), κάποιος θα λάβει 10 μονάδες, άλλος γύρος - 15, άλλος 20 κ.ο.κ. Ερώτηση: ποια είναι η αναμενόμενη αξία του αριθμού των πόρων που θα λάβετε από αυτήν την κάρτα όταν τελικά φύγει από το παιχνίδι;

Κανονικά θα προσπαθούσαμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα υπολογίζοντας την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος και πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό όλων των αποτελεσμάτων. Υπάρχει 10% πιθανότητα να πάρετε 0 (0,1 * 0 = 0). 9% ότι θα λάβετε 5 μονάδες πόρων (9% * 5 = 0,45 πόροι). Το 8,1% αυτού που λαμβάνετε είναι 10 (8,1% * 10 = 0,81 πόροι - γενικά, η αναμενόμενη τιμή). Και ούτω καθεξής. Και μετά θα τα συνοψίσουμε όλα.

Και τώρα το πρόβλημα είναι προφανές για εσάς: υπάρχει πάντα μια πιθανότητα η κάρτα να μην φύγει από το παιχνίδι, μπορεί να παραμείνει στο παιχνίδι για πάντα, για άπειρους γύρους, επομένως δεν υπάρχει τρόπος να υπολογίσετε καμία πιθανότητα. Οι μέθοδοι που μάθαμε σήμερα δεν μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε την άπειρη αναδρομή, επομένως θα πρέπει να τη δημιουργήσουμε τεχνητά.

Εάν είστε αρκετά καλοί στον προγραμματισμό, γράψτε ένα πρόγραμμα που θα προσομοιώνει αυτήν την κάρτα. Θα πρέπει να έχετε έναν βρόχο χρόνου που φέρνει τη μεταβλητή στην αρχική θέση του μηδέν, εμφανίζει έναν τυχαίο αριθμό και με πιθανότητα 10% η μεταβλητή εξέρχεται από τον βρόχο. Διαφορετικά, προσθέτει 5 στη μεταβλητή και ο βρόχος επαναλαμβάνεται. Όταν τελικά βγει από τον βρόχο, αυξήστε τον συνολικό αριθμό των δοκιμαστικών εκτελέσεων κατά 1 και τον συνολικό αριθμό των πόρων (κατά πόσο εξαρτάται από το πού σταμάτησε η μεταβλητή). Στη συνέχεια, επαναφέρετε τη μεταβλητή και ξεκινήστε από την αρχή.

Εκτελέστε το πρόγραμμα πολλές χιλιάδες φορές. Στο τέλος, διαιρέστε τους συνολικούς πόρους με τον συνολικό αριθμό διαδρομών - αυτή θα είναι η αναμενόμενη τιμή της μεθόδου Monte Carlo. Εκτελέστε το πρόγραμμα πολλές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λαμβάνετε είναι περίπου οι ίδιοι. Εάν το spread είναι ακόμα μεγάλο, αυξήστε τον αριθμό των επαναλήψεων στον εξωτερικό βρόχο μέχρι να αρχίσετε να λαμβάνετε αγώνες. Μπορείτε να είστε σίγουροι ότι όποιοι αριθμοί και αν καταλήξετε θα είναι περίπου σωστοί.

Εάν είστε νέος στον προγραμματισμό (ακόμα κι αν είστε), εδώ είναι μια μικρή άσκηση για να δοκιμάσετε τις δεξιότητές σας στο Excel. Εάν είστε σχεδιαστής παιχνιδιών, αυτές οι δεξιότητες δεν θα είναι ποτέ περιττές.

Τώρα οι συναρτήσεις if και rand θα σας φανούν πολύ χρήσιμες. Το Rand δεν απαιτεί τιμές, παράγει απλώς έναν τυχαίο δεκαδικό αριθμό μεταξύ 0 και 1. Συνήθως τον συνδυάζουμε με το πάτωμα και τα συν και τα πλην για να προσομοιώσουμε ένα ρολό του καλουπιού, το οποίο ανέφερα προηγουμένως. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, αφήνουμε απλώς μια πιθανότητα 10% ότι η κάρτα θα φύγει από το παιχνίδι, οπότε μπορούμε απλώς να ελέγξουμε αν το rand είναι μικρότερο από 0,1 και να μην ανησυχούμε πια για αυτό.

Αν έχει τρεις τιμές. Με τη σειρά, η συνθήκη που είναι αληθής ή όχι, τότε η τιμή που επιστρέφεται εάν η συνθήκη είναι αληθής και η τιμή που επιστρέφεται εάν η συνθήκη είναι ψευδής. Έτσι η ακόλουθη συνάρτηση θα επιστρέψει το 5% του χρόνου και 0 το άλλο 90% του χρόνου: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να ορίσετε αυτήν την εντολή, αλλά θα χρησιμοποιούσα αυτόν τον τύπο για το κελί που αντιπροσωπεύει τον πρώτο γύρο, ας πούμε ότι είναι το κελί A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Εδώ χρησιμοποιώ μια αρνητική μεταβλητή που σημαίνει "αυτή η κάρτα δεν έχει φύγει από το παιχνίδι και δεν έχει δώσει ακόμα πόρους". Έτσι, εάν ο πρώτος γύρος έχει τελειώσει και το φύλλο είναι εκτός παιχνιδιού, το Α1 είναι 0. αλλιώς είναι -1.

Για το επόμενο κελί που αντιπροσωπεύει τον δεύτερο γύρο: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Έτσι, εάν ο πρώτος γύρος τελειώσει και η κάρτα φύγει αμέσως από το παιχνίδι, το A1 είναι 0 (αριθμός πόρων) και αυτό το κελί απλώς θα αντιγράψει αυτήν την τιμή. Διαφορετικά, το A1 είναι -1 (η κάρτα δεν έχει φύγει ακόμα από το παιχνίδι) και αυτό το κελί συνεχίζει να κινείται τυχαία: 10% του χρόνου θα επιστρέψει 5 μονάδες πόρων, τον υπόλοιπο χρόνο η αξία του θα εξακολουθεί να είναι - 1. Εάν εφαρμόσουμε αυτόν τον τύπο σε επιπλέον κελιά, θα λάβουμε επιπλέον γύρους και όποιο κελί και αν καταλήξετε, θα λάβετε το τελικό αποτέλεσμα (ή -1 εάν η κάρτα δεν έχει φύγει από το παιχνίδι μετά από όλους τους γύρους που παίξατε).

Πάρτε αυτήν τη σειρά κελιών, που είναι ο μόνος γύρος με αυτήν την κάρτα, και αντιγράψτε και επικολλήστε μερικές εκατοντάδες (ή χιλιάδες) σειρές. Μπορεί να μην μπορούμε να κάνουμε άπειρο τεστ για το Excel (υπάρχει περιορισμένος αριθμός κελιών στον πίνακα), αλλά τουλάχιστον μπορούμε να καλύψουμε τις περισσότερες περιπτώσεις. Στη συνέχεια, επιλέξτε ένα κελί όπου θα βάλετε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων όλων των γύρων - το Excel παρέχει ευγενικά τη συνάρτηση μέσου όρου() για αυτό.

Στα Windows, τουλάχιστον μπορείτε να πατήσετε το F9 για να υπολογίσετε ξανά όλους τους τυχαίους αριθμούς. Όπως και πριν, κάντε αυτό μερικές φορές και δείτε αν έχετε τις ίδιες τιμές. Εάν η εξάπλωση είναι πολύ μεγάλη, διπλασιάστε τον αριθμό των σειρών και δοκιμάστε ξανά.

Άλυτα προβλήματα

Αν τύχει να έχετε πτυχίο στη θεωρία πιθανοτήτων και τα παραπάνω προβλήματα σας φαίνονται πολύ εύκολα - ορίστε δύο προβλήματα για τα οποία σκάω το κεφάλι μου εδώ και χρόνια, αλλά, δυστυχώς, δεν είμαι τόσο καλός στα μαθηματικά για να τα λύσω.

Άλυτο Πρόβλημα #1: Λοταρία του ΔΝΤ

Το πρώτο άλυτο πρόβλημα είναι η προηγούμενη εργασία για το σπίτι. Μπορώ εύκολα να χρησιμοποιήσω τη μέθοδο Monte Carlo (χρησιμοποιώντας C++ ή Excel) και να είμαι σίγουρος για την απάντηση στην ερώτηση "πόσες πηγές θα λάβει ο παίκτης", αλλά δεν ξέρω ακριβώς πώς να δώσω μια ακριβή αποδείξιμη απάντηση μαθηματικά (αυτό είναι μια άπειρη σειρά).

Άλυτο πρόβλημα #2: Ακολουθίες σχημάτων

Αυτή η εργασία (ξεφεύγει επίσης πολύ πιο πέρα ​​από τις εργασίες που επιλύονται σε αυτό το blog) μου δόθηκε από έναν γνωστό παίκτη πριν από δέκα χρόνια. Ενώ έπαιζε μπλάκτζακ στο Βέγκας, παρατήρησε ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό: τραβούσε κάρτες από ένα παπούτσι με 8 τράπουλα, είδε δέκα κομμάτια στη σειρά (ένα κομμάτι ή ένα φύλλο προσώπου είναι 10, Τζόκερ, Βασιλιάς ή Βασίλισσα, άρα υπάρχουν 16 συνολικά στο μια τυπική τράπουλα 52 φύλλων ή 128 σε ένα παπούτσι 416 φύλλων).

Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το παπούτσι να περιέχει τουλάχιστον μια σειρά από δέκα ή περισσότερα κομμάτια; Ας υποθέσουμε ότι ανακατεύτηκαν ειλικρινά, με τυχαία σειρά. Ή, αν προτιμάτε, ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχει πουθενά ακολουθία δέκα ή περισσότερων σχημάτων;

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εργασία. Εδώ είναι μια ακολουθία 416 μερών. Κάθε μέρος είναι 0 ή 1. Υπάρχουν 128 ένα και 288 μηδενικά τυχαία διάσπαρτα σε όλη την ακολουθία. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να παρεμβάλλονται τυχαία 128 μονάδες με 288 μηδενικά και πόσες φορές θα υπάρχει τουλάχιστον μία ομάδα δέκα ή περισσότερων με αυτούς τους τρόπους;

Κάθε φορά που έβαζα να λύσω αυτό το πρόβλημα, μου φαινόταν εύκολο και προφανές, αλλά μόλις εμβάθυνα στις λεπτομέρειες, ξαφνικά κατέρρευσε και φαινόταν απλά αδύνατο.

Επομένως, μην βιαστείτε να ξεκαθαρίσετε την απάντηση: καθίστε, σκεφτείτε προσεκτικά, μελετήστε τις συνθήκες, δοκιμάστε να συνδέσετε πραγματικούς αριθμούς, γιατί όλα τα άτομα με τα οποία μίλησα για αυτό το πρόβλημα (συμπεριλαμβανομένων αρκετών μεταπτυχιακών φοιτητών που εργάζονται σε αυτόν τον τομέα) αντέδρασαν πολύ. με τον ίδιο τρόπο: «Είναι εντελώς προφανές… ω όχι, περίμενε, καθόλου προφανές». Αυτό συμβαίνει όταν δεν έχω μέθοδο υπολογισμού όλων των επιλογών. Φυσικά, θα μπορούσα να εξαναγκάσω το πρόβλημα μέσω ενός αλγόριθμου υπολογιστή, αλλά θα ήταν πολύ πιο ενδιαφέρον να μάθω τον μαθηματικό τρόπο επίλυσής του.

Καταλαβαίνω ότι όλοι θέλουν να γνωρίζουν εκ των προτέρων πώς θα τελειώσει ένα αθλητικό γεγονός, ποιος θα κερδίσει και ποιος θα χάσει. Με αυτές τις πληροφορίες, μπορείτε άφοβα να στοιχηματίσετε σε αθλητικά γεγονότα. Είναι όμως καθόλου δυνατό, και αν ναι, πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός γεγονότος;

Η πιθανότητα είναι μια σχετική τιμή, επομένως δεν μπορεί να μιλήσει με ακρίβεια για κανένα γεγονός. Αυτή η τιμή σάς επιτρέπει να αναλύσετε και να αξιολογήσετε την ανάγκη να τοποθετήσετε ένα στοίχημα σε έναν συγκεκριμένο διαγωνισμό. Ο ορισμός των πιθανοτήτων είναι μια ολόκληρη επιστήμη που απαιτεί προσεκτική μελέτη και κατανόηση.

Συντελεστής πιθανότητας στη θεωρία πιθανοτήτων

Στο αθλητικό στοίχημα, υπάρχουν πολλές επιλογές για το αποτέλεσμα του διαγωνισμού:

• νίκη της πρώτης ομάδας?
• νίκη της δεύτερης ομάδας?
• σχεδιάζω;
• σύνολο

Κάθε αποτέλεσμα του διαγωνισμού έχει τη δική του πιθανότητα και συχνότητα με την οποία θα συμβεί αυτό το γεγονός, με την προϋπόθεση ότι διατηρούνται τα αρχικά χαρακτηριστικά. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, είναι αδύνατο να υπολογιστεί με ακρίβεια η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος - μπορεί να συμπίπτει ή να μην συμπίπτει. Έτσι, το στοίχημά σας μπορεί είτε να κερδίσει είτε να χάσει.

Δεν μπορεί να υπάρξει ακριβής 100% πρόβλεψη για τα αποτελέσματα του αγώνα, αφού πολλοί παράγοντες επηρεάζουν την έκβαση του αγώνα. Όπως είναι φυσικό, οι στοιχηματιστές δεν γνωρίζουν εκ των προτέρων το αποτέλεσμα του αγώνα και υποθέτουν μόνο το αποτέλεσμα, αποφασίζοντας για το σύστημα ανάλυσής τους και προσφέρουν ορισμένες αποδόσεις για στοιχήματα.

Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός συμβάντος;

Ας πούμε ότι η απόδοση του bookmaker είναι 2,1/2 - παίρνουμε 50%. Αποδεικνύεται ότι ο συντελεστής 2 είναι ίσος με την πιθανότητα 50%. Με την ίδια αρχή, μπορείτε να πάρετε έναν λόγο πιθανότητας νεκρού - 1 / πιθανότητα.

Πολλοί παίκτες πιστεύουν ότι μετά από πολλές επαναλαμβανόμενες ήττες, σίγουρα θα συμβεί μια νίκη - αυτή είναι μια εσφαλμένη άποψη. Η πιθανότητα να κερδίσετε ένα στοίχημα δεν εξαρτάται από τον αριθμό των απωλειών. Ακόμα κι αν ρίξετε πολλά κεφάλια στη σειρά σε ένα παιχνίδι νομισμάτων, η πιθανότητα να πετάξετε ουρές παραμένει η ίδια - 50%.