Η προβολή ενός σημείου σε τρία επίπεδα προβολών της γωνίας συντεταγμένων ξεκινά με τη λήψη της εικόνας του στο επίπεδο H - το οριζόντιο επίπεδο των προβολών. Για να γίνει αυτό, μέσω του σημείου Α (Εικ. 4.12, α) σχεδιάζεται μια προεξέχουσα δοκός κάθετα στο επίπεδο H.

Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο H είναι παράλληλη με τον άξονα Oz. Το σημείο τομής της δοκού με το επίπεδο Η (σημείο α) επιλέγεται αυθαίρετα. Το τμήμα Αα καθορίζει πόσο απέχει το σημείο Α από το επίπεδο Η, υποδεικνύοντας έτσι ξεκάθαρα τη θέση του σημείου Α στο σχήμα σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Το σημείο α είναι μια ορθογώνια προβολή του σημείου Α στο επίπεδο Η και ονομάζεται οριζόντια προβολή του σημείου Α (Εικ. 4.12, α).

Για να ληφθεί μια εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο V (Εικ. 4.12, β), μια προεξέχουσα δέσμη τραβιέται μέσα από το σημείο Α κάθετο στο μετωπικό επίπεδο προβολής V. Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο V είναι παράλληλη προς το Oy άξονας. Στο επίπεδο H, η απόσταση από το σημείο A στο επίπεδο V θα παριστάνεται με ένα τμήμα aa x, παράλληλο στον άξονα Oy και κάθετο στον άξονα Ox. Αν φανταστούμε ότι η προεξέχουσα δέσμη και η εικόνα της εκτελούνται ταυτόχρονα προς την κατεύθυνση του επιπέδου V, τότε όταν η εικόνα της δέσμης τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο a x, η δέσμη τέμνει το επίπεδο V στο σημείο α. Σχέδιο από το σημείο a x στο επίπεδο V που είναι κάθετο στον άξονα Ox , που είναι η εικόνα της προεξέχουσας δέσμης Aa στο επίπεδο V, το σημείο a λαμβάνεται στην τομή με την προεξέχουσα δέσμη. Το σημείο α είναι η μετωπική προβολή του σημείου Α, δηλαδή η εικόνα του στο επίπεδο V.

Η εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο προφίλ των προεξοχών (Εικ. 4.12, γ) κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας μια προεξέχουσα δέσμη κάθετη στο επίπεδο W. Στο σχήμα, η κάθετη στο επίπεδο W είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox. Η προεξέχουσα δέσμη από το σημείο Α έως το επίπεδο W στο επίπεδο H θα παριστάνεται από ένα τμήμα aa y, παράλληλο στον άξονα Ox και κάθετο στον άξονα Oy. Από το σημείο Oy παράλληλο προς τον άξονα Oz και κάθετο στον άξονα Oy, δημιουργείται μια εικόνα της προεξέχουσας δέσμης aA και, στη διασταύρωση με την προεξέχουσα δέσμη, προκύπτει το σημείο a. Το σημείο a "είναι η προβολή προφίλ της το σημείο Α, δηλαδή η εικόνα του σημείου Α στο επίπεδο W.

Το σημείο a "μπορεί να κατασκευαστεί σχεδιάζοντας από το σημείο a" το τμήμα a "a z (η εικόνα της προεξέχουσας δέσμης Aa" στο επίπεδο V) παράλληλα με τον άξονα Ox και από το σημείο a z - το τμήμα a "a z παράλληλα με τον άξονα Oy μέχρι να τέμνεται με την προεξέχουσα δέσμη.

Έχοντας λάβει τρεις προβολές του σημείου Α στα επίπεδα προβολής, η γωνία συντεταγμένων αναπτύσσεται σε ένα επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.11, β, μαζί με τις προβολές του σημείου Α και τις προεξέχουσες ακτίνες, και αφαιρούνται το σημείο Α και οι προεξέχουσες ακτίνες Αα, Αα «και Αα». Τα άκρα των συνδυασμένων επιπέδων προβολής δεν εκτελούνται, αλλά εκτελούνται μόνο οι άξονες προβολής Oz, Oy και Ox, Oy 1 (Εικ. 4.13).

Μια ανάλυση του ορθογώνιου σχεδίου ενός σημείου δείχνει ότι τρεις αποστάσεις - Aa", Aa και Aa" (Εικ. 4.12, γ), που χαρακτηρίζουν τη θέση του σημείου Α στο χώρο, μπορούν να προσδιοριστούν απορρίπτοντας το ίδιο το αντικείμενο προβολής - το σημείο Α , σε γωνία συντεταγμένων που αναπτύσσεται σε ένα επίπεδο (Εικ. 4.13). Τα τμήματα a "a z, aa y και Oa x ισούνται με Aa" ως απέναντι πλευρές των αντίστοιχων ορθογωνίων (Εικ. 4.12, c και 4.13). Καθορίζουν την απόσταση στην οποία βρίσκεται το σημείο Α από το επίπεδο προφίλ των προεξοχών. Τα τμήματα a "a x, a" a y1 και Oa y είναι ίσα με το τμήμα Aa, προσδιορίζουν την απόσταση από το σημείο A στο οριζόντιο επίπεδο των προβολών, τα τμήματα aa x, a "a z και Oa y 1 ισούνται με το τμήμα Aa", το οποίο καθορίζει την απόσταση από το σημείο Α στο μετωπικό επίπεδο προβολής.

Τα τμήματα Oa x, Oa y και Oa z που βρίσκονται στους άξονες προβολής είναι μια γραφική έκφραση των μεγεθών των συντεταγμένων X, Y και Z του σημείου Α. Οι σημειακές συντεταγμένες συμβολίζονται με τον δείκτη του αντίστοιχου γράμματος. Μετρώντας το μέγεθος αυτών των τμημάτων, μπορείτε να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου στο χώρο, δηλαδή να ορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου.

Στο διάγραμμα, τα τμήματα a "a x και aa x είναι διατεταγμένα ως μία ευθεία κάθετα στον άξονα Ox, και τα τμήματα a" a z και a "a z - στον άξονα Oz. Αυτές οι γραμμές ονομάζονται γραμμές σύνδεσης προβολής. Τέμνουν τις άξονες προβολής στα σημεία a x και και z, αντίστοιχα. Η γραμμή της σύνδεσης προβολής που συνδέει την οριζόντια προβολή του σημείου Α με το προφίλ ένα αποδείχθηκε ότι ήταν «κομμένη» στο σημείο a y.

Δύο προεξοχές του ίδιου σημείου βρίσκονται πάντα στην ίδια γραμμή σύνδεσης προβολής κάθετα στον άξονα προβολής.

Για να αναπαραστήσουμε τη θέση ενός σημείου στο χώρο, αρκούν δύο προβολές του και μια δεδομένη αρχή (σημείο Ο). 4.14, β, δύο προβολές ενός σημείου καθορίζουν πλήρως τη θέση του στο χώρο. Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο προβολές, μπορείτε να δημιουργήσετε μια προβολή προφίλ του σημείου Α. Επομένως, στο μέλλον, εάν δεν υπάρχει ανάγκη για προβολή προφίλ, θα γίνονται διαγράμματα χτισμένο σε δύο επίπεδα προβολής: V και H.

Ρύζι. 4.14. Ρύζι. 4.15.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα κατασκευής και ανάγνωσης σχεδίου ενός σημείου.

Παράδειγμα 1Προσδιορισμός των συντεταγμένων του σημείου J που δίνεται στο διάγραμμα με δύο προεξοχές (Εικ. 4.14). Μετρώνται τρία τμήματα: τμήμα Ov X (συντεταγμένη X), τμήμα b X b (συντεταγμένη Y) και τμήμα b X b "(συντεταγμένη Z). Οι συντεταγμένες γράφονται με την ακόλουθη σειρά: X, Y και Z, μετά τον χαρακτηρισμό του γράμματος του σημείου, για παράδειγμα, Β20, 30, 15.

Παράδειγμα 2. Κατασκευή σημείου σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες. Το σημείο C δίνεται από τις συντεταγμένες C30. δέκα; 40. Στον άξονα Ox (Εικ. 4.15) βρείτε ένα σημείο με x, στο οποίο η γραμμή της σύνδεσης προβολής τέμνει τον άξονα προβολής. Για να γίνει αυτό, η συντεταγμένη Χ (μέγεθος 30) σχεδιάζεται κατά μήκος του άξονα Ox από την αρχή (σημείο Ο) και προκύπτει ένα σημείο με x. Μέσα από αυτό το σημείο, κάθετα στον άξονα Ox, σχεδιάζεται μια γραμμή σύνδεσης προβολής και η συντεταγμένη Υ καθορίζεται από το σημείο (μέγεθος 10), προκύπτει το σημείο c - η οριζόντια προβολή του σημείου C. Η συντεταγμένη Z (μέγεθος 40) σχεδιάζεται προς τα πάνω από το σημείο c x κατά μήκος της γραμμής σύνδεσης προβολής (μέγεθος 40), λαμβάνεται το σημείο c" - μετωπική προβολή του σημείου C.

Παράδειγμα 3. Κατασκευή προφίλ προβολής σημείου σύμφωνα με τις δεδομένες προβολές. Ορίζονται οι προβολές του σημείου D - d και d. Μέσω του σημείου O σχεδιάζονται οι άξονες προβολής Oz, Oy και Oy 1 (Εικ. 4.16, α) δεξιά πίσω από τον άξονα Oz. Σε αυτή τη γραμμή θα βρίσκεται η προβολή προφίλ του σημείου D. Θα βρίσκεται στην ίδια απόσταση από τον άξονα Oz όπως βρίσκεται η οριζόντια προβολή του σημείου d: από τον άξονα Ox, δηλαδή σε απόσταση dd x. Τα τμήματα d z d "και dd x είναι τα ίδια, αφού καθορίζουν την ίδια απόσταση - την απόσταση από το σημείο D στο μετωπικό επίπεδο προβολής. Αυτή η απόσταση είναι η συντεταγμένη Υ του σημείου D.

Γραφικά, το τμήμα d z d "χτίζεται μεταφέροντας το τμήμα dd x από το οριζόντιο επίπεδο των προβολών στο προφίλ ένα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάστε μια γραμμή σύνδεσης προβολής παράλληλη στον άξονα Ox, λάβετε ένα σημείο d y στον άξονα Oy ( Εικ. 4.16, β) Στη συνέχεια μεταφέρετε το μέγεθος του τμήματος Od y στον άξονα Oy 1 , τραβώντας από το σημείο O ένα τόξο με ακτίνα ίση με το τμήμα Od y, μέχρι να τέμνεται με τον άξονα Oy 1 (Εικ. 4.16, b), λάβετε το σημείο dy 1. Αυτό το σημείο μπορεί επίσης να κατασκευαστεί, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.16, c, σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή υπό γωνία 45 ° ως προς τον άξονα Oy από το σημείο d y. Από το σημείο d y1 σχεδιάστε μια γραμμή σύνδεσης προβολής παράλληλη στον άξονα Oz και βάλτε πάνω της ένα τμήμα ίσο με το τμήμα d "d x, λάβετε το σημείο d".

Η μεταφορά της τιμής του τμήματος d x d στο επίπεδο προφίλ των προεξοχών μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σταθερό ευθύγραμμο σχέδιο (Εικ. 4.16, d). Σε αυτήν την περίπτωση, η γραμμή σύνδεσης προβολής dd y τραβιέται μέσω της οριζόντιας προβολής του σημείου παράλληλου προς τον άξονα Oy 1 έως ότου τέμνεται με μια σταθερή ευθεία γραμμή και στη συνέχεια είναι παράλληλη στον άξονα Oy έως ότου τέμνεται με τη συνέχεια της προβολής γραμμή σύνδεσης d "d z.

Ιδιαίτερες περιπτώσεις θέσης σημείων σε σχέση με επίπεδα προβολής

Η θέση ενός σημείου σε σχέση με το επίπεδο προβολής καθορίζεται από την αντίστοιχη συντεταγμένη, δηλ. την τιμή του τμήματος της γραμμής σύνδεσης προβολής από τον άξονα Ox στην αντίστοιχη προβολή. Στο σχ. 4.17 η συντεταγμένη Υ του σημείου Α καθορίζεται από το τμήμα aa x - η απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο V. Η συντεταγμένη Ζ του σημείου Α καθορίζεται από το τμήμα a "a x - η απόσταση από το σημείο Α στο επίπεδο Η. Εάν ένα των συντεταγμένων είναι μηδέν, τότε το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής Το Σχ. 4.17 δείχνει παραδείγματα διαφορετικών θέσεων σημείων σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Η συντεταγμένη Ζ του σημείου Β είναι μηδέν, το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο Η. Η μετωπική του προβολή βρίσκεται στον άξονα Ox και συμπίπτει με το σημείο b x. Η συντεταγμένη Υ του σημείου C είναι μηδέν, το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο V, η οριζόντια προβολή του c βρίσκεται στον άξονα x και συμπίπτει με το σημείο c x.

Επομένως, εάν ένα σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής, τότε μία από τις προβολές αυτού του σημείου βρίσκεται στον άξονα προβολής.

Στο σχ. 4.17, οι συντεταγμένες Z και Y του σημείου D είναι μηδέν, επομένως, το σημείο D βρίσκεται στον άξονα προβολής Ox και οι δύο προβολές του συμπίπτουν.

Ένα σημείο στο χώρο ορίζεται από οποιεσδήποτε δύο προβολές του. Εάν είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια τρίτη προβολή σύμφωνα με δύο δεδομένες, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί η αντιστοιχία των τμημάτων των γραμμών σύνδεσης προβολής που λαμβάνονται κατά τον προσδιορισμό των αποστάσεων από ένα σημείο στο επίπεδο προβολής (βλ. Εικ. 2.27 και Σχ. 2.28).

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στο I octant

Δίνεται A 1 ; Α2	Κατασκευή Α 3
Δίνεται A 2 ; Α 3	Κατασκευάστε το Α 1
Δίνεται A 1 ; Α 3	Κατασκευάστε το Α 2

Εξετάστε τον αλγόριθμο για την κατασκευή του σημείου Α (Πίνακας 2.5)

Πίνακας 2.5

Αλγόριθμος για την κατασκευή του σημείου Α
σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες Α ( Χ = 5, y = 20, z = -9)

Στα επόμενα κεφάλαια θα εξετάσουμε εικόνες: ευθείες και επίπεδα μόνο στο πρώτο τρίμηνο. Αν και όλες οι υπό εξέταση μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε τρίμηνο.

συμπεράσματα

Έτσι, με βάση τη θεωρία του G. Monge, είναι δυνατή η μετατροπή της χωρικής εικόνας της εικόνας (σημείο) σε επίπεδη.

Αυτή η θεωρία βασίζεται στα ακόλουθα σημεία:

1. Ολόκληρος ο χώρος χωρίζεται σε 4 τέταρτα με τη βοήθεια δύο αμοιβαία κάθετων επιπέδων p 1 και p 2, ή σε 8 οκτάδες προσθέτοντας ένα τρίτο αμοιβαία κάθετο επίπεδο p 3 .

2. Η εικόνα μιας χωρικής εικόνας σε αυτά τα επίπεδα λαμβάνεται χρησιμοποιώντας μια ορθογώνια (ορθογώνια) προβολή.

3. Για τη μετατροπή μιας χωρικής εικόνας σε επίπεδη εικόνα, θεωρείται ότι το επίπεδο p 2 είναι ακίνητο και το επίπεδο p 1 περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Χέτσι ώστε το θετικό ημιεπίπεδο p 1 να συμπίπτει με το αρνητικό ημιεπίπεδο p 2 , το αρνητικό μέρος του p 1 συμπίπτει με το θετικό μέρος p 2 .

4. Το επίπεδο p 3 περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z(γραμμές τομής των επιπέδων) μέχρι να ευθυγραμμιστούν με το επίπεδο p 2 (βλ. Εικ. 2.31).

Οι εικόνες που λαμβάνονται στα επίπεδα p 1 , p 2 και p 3 με ορθογώνια προβολή εικόνων ονομάζονται προβολές.

Τα επίπεδα p 1 , p 2 και p 3 μαζί με τις προβολές που απεικονίζονται σε αυτά σχηματίζουν ένα επίπεδο μιγαδικό σχέδιο ή διαγράμματα.

Γραμμές που συνδέουν τις προβολές της εικόνας ^ με τους άξονες Χ, y, z, ονομάζονται γραμμές προβολής.

Για πιο ακριβή ορισμό των εικόνων στο χώρο, μπορεί να εφαρμοστεί ένα σύστημα τριών αμοιβαία κάθετων επιπέδων p 1 , p 2 , p 3.

Ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, μπορείτε να επιλέξετε για την εικόνα είτε το σύστημα p 1 , p 2 ή p 1 , p 2 , p 3 .

Το σύστημα των επιπέδων p 1 , p 2 , p 3 μπορεί να συνδεθεί με το σύστημα των καρτεσιανών συντεταγμένων, το οποίο καθιστά δυνατό τον καθορισμό αντικειμένων όχι μόνο γραφικά ή (λεκτικά) αλλά και αναλυτικά (χρησιμοποιώντας αριθμούς).

Αυτός ο τρόπος απεικόνισης εικόνων, ιδιαίτερα σημείων, καθιστά δυνατή την επίλυση τέτοιων προβλημάτων θέσης όπως:

• τη θέση του σημείου σε σχέση με τα επίπεδα προβολής (γενική θέση, που ανήκει στο επίπεδο, άξονας).
• θέση του σημείου σε τέταρτα (σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο).
• τη θέση των σημείων μεταξύ τους (ψηλότερα, χαμηλότερα, πιο κοντά, μακρύτερα σε σχέση με τα επίπεδα των προβολών και του θεατή).
• τη θέση των σημειακών προβολών σε σχέση με τα επίπεδα προβολής (ίση απόσταση, πιο κοντά, πιο μακριά).

Εργασίες μέτρησης:

• ίση απόσταση της προβολής από τα επίπεδα προβολής.
• ο λόγος της αφαίρεσης της προβολής από τα επίπεδα προβολής (2-3 φορές, περισσότερες, λιγότερο).
• προσδιορισμός της απόστασης ενός σημείου από τα επίπεδα προβολής (κατά την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων).

Ερωτήσεις για ενδοσκόπηση

1. Η ευθεία τομής των οποίων τα επίπεδα είναι ο άξονας z?

2. Η ευθεία τομής των οποίων τα επίπεδα είναι ο άξονας y?

3. Πώς εντοπίζεται η γραμμή προβολής σύνδεσης της μετωπικής και προφίλ προβολής του σημείου; Προβολή.

4. Ποιες συντεταγμένες καθορίζουν τη θέση της σημειακής προβολής: οριζόντια, μετωπική, κατατομή;

5. Σε ποιο τέταρτο βρίσκεται το σημείο F (10; -40; -20); Από ποιο επίπεδο προβολής βρίσκεται το σημείο F πιο μακριά;

6. Η απόσταση από ποια προβολή προς ποιον άξονα καθορίζει την απόσταση του σημείου από το επίπεδο p 1 ; Ποια είναι η συντεταγμένη του σημείου είναι αυτή η απόσταση;

Εξετάστε τις προβολές σημείων σε δύο επίπεδα, για τα οποία παίρνουμε δύο κάθετα επίπεδα (Εικ. 4), τα οποία θα ονομάσουμε οριζόντια μετωπικά και επίπεδα. Η γραμμή τομής αυτών των επιπέδων ονομάζεται άξονας προβολής. Προβάλλουμε ένα σημείο Α στα θεωρούμενα επίπεδα χρησιμοποιώντας μια επίπεδη προβολή. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να χαμηλώσετε τις κάθετες Aa και A από το δεδομένο σημείο στα θεωρούμενα επίπεδα.

Η προβολή σε οριζόντιο επίπεδο ονομάζεται κάτοψησημεία ΑΛΛΑ, και η προβολή ένα?στο μετωπικό επίπεδο ονομάζεται μπροστινή προβολή.

Τα σημεία που πρόκειται να προβληθούν με περιγραφική γεωμετρία συνήθως σημειώνονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα. Α, Β, Γ. Τα μικρά γράμματα χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό οριζόντιων προβολών σημείων. α, β, γ... Οι μετωπικές προβολές υποδεικνύονται με μικρά γράμματα με μια πινελιά στο πάνω μέρος α?, β?, γ?…

Χρησιμοποιείται επίσης ο προσδιορισμός σημείων με λατινικούς αριθμούς I, II, ... και για τις προβολές τους - με αραβικούς αριθμούς 1, 2 ... και 1;, 2; ...

Όταν το οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται κατά 90°, μπορεί να ληφθεί ένα σχέδιο στο οποίο και τα δύο επίπεδα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (Εικ. 5). Αυτή η εικόνα ονομάζεται σημειακή πλοκή.

Μέσα από κάθετες γραμμές Αχκαι αχ;σχεδιάστε ένα επίπεδο (Εικ. 4). Το επίπεδο που προκύπτει είναι κάθετο στο μετωπικό και στο οριζόντιο επίπεδο επειδή περιέχει κάθετες σε αυτά τα επίπεδα. Επομένως, αυτό το επίπεδο είναι κάθετο στη γραμμή τομής των επιπέδων. Η προκύπτουσα ευθεία τέμνει το οριζόντιο επίπεδο σε ευθεία γραμμή αα x, και το μετωπικό επίπεδο - σε ευθεία γραμμή ε;Χ. Κατευθείαν αα και ε; x είναι κάθετοι στον άξονα τομής των επιπέδων. Αυτό είναι Ααα;είναι ένα ορθογώνιο.

Όταν συνδυάζεται το οριζόντιο και το μετωπικό επίπεδο προβολής ένακαι ένα?θα βρίσκεται σε μία κάθετη προς τον άξονα τομής των επιπέδων, αφού όταν το οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται, η καθετότητα των τμημάτων αα x και ε;Το x δεν είναι σπασμένο.

Το παίρνουμε στο διάγραμμα προβολής ένακαι ένα?κάποιο σημείο ΑΛΛΑκείτεται πάντα στην ίδια κάθετη προς τον άξονα τομής των επιπέδων.

Δύο προβολές α και ένα?κάποιου σημείου το Α μπορεί να προσδιορίσει μοναδικά τη θέση του στο χώρο (Εικ. 4). Αυτό επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι κατά την κατασκευή μιας κάθετης από την προβολή α προς το οριζόντιο επίπεδο, θα διέρχεται από το σημείο Α. Ομοίως, η κάθετη από την προβολή ένα?στο μετωπικό επίπεδο θα περάσει από το σημείο ΑΛΛΑ, δηλαδή σημείο ΑΛΛΑβρίσκεται σε δύο καθορισμένες γραμμές ταυτόχρονα. Το σημείο Α είναι το σημείο τομής τους, δηλαδή είναι οριστικό.

Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο ΑααΧ ένα?(Εικ. 5), για το οποίο ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:

1) Απόσταση σημείου ΑΛΛΑαπό το μετωπικό επίπεδο ισούται με την απόσταση της οριζόντιας προβολής του a από τον άξονα τομής των επιπέδων, δηλ.

αχ; = ααΧ;

2) απόσταση σημείων ΑΛΛΑαπό το οριζόντιο επίπεδο των προεξοχών ισούται με την απόσταση της μετωπικής του προβολής ένα?από τον άξονα τομής των επιπέδων, δηλ.

Αχ = ε;Χ.

Με άλλα λόγια, ακόμη και χωρίς το ίδιο το σημείο στην πλοκή, χρησιμοποιώντας μόνο τις δύο προβολές του, μπορείτε να μάθετε σε ποια απόσταση από κάθε ένα από τα επίπεδα προβολής βρίσκεται αυτό το σημείο.

Η τομή δύο επιπέδων προβολής χωρίζει τον χώρο σε τέσσερα μέρη, τα οποία ονομάζονται κατάλυμα(Εικ. 6).

Ο άξονας τομής των επιπέδων χωρίζει το οριζόντιο επίπεδο σε δύο τέταρτα - το μπροστινό και το πίσω μέρος, και το μετωπικό επίπεδο - στο άνω και κάτω τέταρτο. Ως όρια του πρώτου τετάρτου θεωρούνται το άνω μέρος του μετωπιαίου επιπέδου και το πρόσθιο τμήμα του οριζόντιου επιπέδου.

Με τη λήψη του διαγράμματος, το οριζόντιο επίπεδο περιστρέφεται και συμπίπτει με το μετωπικό επίπεδο (Εικ. 7). Σε αυτή την περίπτωση, το μπροστινό μέρος του οριζόντιου επιπέδου θα συμπίπτει με το κάτω μέρος του μετωπιαίου επιπέδου και το πίσω μέρος του οριζόντιου επιπέδου με το πάνω μέρος του μετωπιαίου επιπέδου.

Οι εικόνες 8-11 δείχνουν τα σημεία A, B, C, D, που βρίσκονται σε διαφορετικά τεταρτημόρια του χώρου. Το σημείο Α βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, το σημείο Β είναι στο δεύτερο, το σημείο Γ είναι στο τρίτο και το σημείο Δ είναι στο τέταρτο.

Όταν οι πόντοι βρίσκονται στο πρώτο ή το τέταρτο τέταρτο τους οριζόντιες προβολέςπου βρίσκονται στο μπροστινό μέρος του οριζόντιου επιπέδου και στο διάγραμμα θα βρίσκονται κάτω από τον άξονα τομής των επιπέδων. Όταν ένα σημείο βρίσκεται στο δεύτερο ή τρίτο τέταρτο, η οριζόντια προβολή του θα βρίσκεται στο πίσω μέρος του οριζόντιου επιπέδου και στο διάγραμμα θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα τομής των επιπέδων.

Μπροστινές προβολέςΤα σημεία που βρίσκονται στο πρώτο ή το δεύτερο τέταρτο θα βρίσκονται στο πάνω μέρος του μετωπικού επιπέδου και στο διάγραμμα θα βρίσκονται πάνω από τον άξονα τομής των επιπέδων. Όταν ένα σημείο βρίσκεται στο τρίτο ή τέταρτο τέταρτο, η μετωπική του προβολή είναι κάτω από τον άξονα τομής των επιπέδων.

Τις περισσότερες φορές, σε πραγματικές κατασκευές, η φιγούρα τοποθετείται στο πρώτο τέταρτο του χώρου.

Σε ορισμένες συγκεκριμένες περιπτώσεις, το σημείο ( μι) μπορεί να βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο (Εικ. 12). Σε αυτή την περίπτωση, η οριζόντια προβολή του e και το ίδιο το σημείο θα συμπίπτουν. Η μετωπική προβολή ενός τέτοιου σημείου θα είναι στον άξονα της τομής των επιπέδων.

Στην περίπτωση που το σημείο Προς τηνβρίσκεται στο μετωπικό επίπεδο (Εικ. 13), η οριζόντια προβολή του κβρίσκεται στον άξονα τομής των επιπέδων και στον μετωπικό κ?δείχνει την πραγματική θέση αυτού του σημείου.

Για τέτοια σημεία, το σημάδι ότι βρίσκεται σε ένα από τα επίπεδα προβολής είναι ότι μία από τις προεξοχές του βρίσκεται στον άξονα τομής των επιπέδων.

Εάν ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα τομής των επιπέδων προβολής, αυτό και οι δύο προβολές του συμπίπτουν.

Όταν ένα σημείο δεν βρίσκεται στα επίπεδα προβολής, καλείται σημείο γενικής θέσης. Στη συνέχεια, εάν δεν υπάρχουν ειδικοί βαθμοί, το υπό εξέταση σημείο είναι ένα σημείο σε γενική θέση.

2. Έλλειψη άξονα προβολής

Για να εξηγήσετε πώς να αποκτήσετε στο μοντέλο προβολές ενός σημείου σε κάθετα επίπεδα προβολής (Εικ. 4), είναι απαραίτητο να πάρετε ένα κομμάτι χοντρό χαρτί με τη μορφή ενός επιμήκους ορθογωνίου. Πρέπει να λυγίσει μεταξύ των προβολών. Η γραμμή δίπλωσης θα απεικονίζει τον άξονα της τομής των επιπέδων. Εάν μετά από αυτό το λυγισμένο κομμάτι χαρτιού ισιωθεί ξανά, παίρνουμε ένα διάγραμμα παρόμοιο με αυτό που φαίνεται στο σχήμα.

Συνδυάζοντας δύο επίπεδα προβολής με το επίπεδο σχεδίασης, δεν μπορείτε να εμφανίσετε τη γραμμή δίπλωσης, δηλ. να μην σχεδιάσετε τον άξονα τομής των επιπέδων στο διάγραμμα.

Όταν κατασκευάζετε σε ένα διάγραμμα, θα πρέπει πάντα να τοποθετείτε προβολές ένακαι ένα?σημείο Α σε μία κατακόρυφη γραμμή (Εικ. 14), η οποία είναι κάθετη στον άξονα τομής των επιπέδων. Επομένως, ακόμα κι αν η θέση του άξονα της τομής των επιπέδων παραμένει απροσδιόριστη, αλλά η διεύθυνσή του έχει καθοριστεί, ο άξονας της τομής των επιπέδων μπορεί να είναι μόνο κάθετος στην ευθεία στο διάγραμμα αχ;.

Εάν δεν υπάρχει άξονας προβολής στο σημειοδιάγραμμα, όπως στο πρώτο σχήμα 14 α, μπορείτε να φανταστείτε τη θέση αυτού του σημείου στο χώρο. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε σε οποιοδήποτε σημείο κάθετο στη γραμμή αχ;άξονα προβολής, όπως στο δεύτερο σχήμα (Εικ. 14) και λυγίστε το σχέδιο κατά μήκος αυτού του άξονα. Αν επαναφέρουμε τις καθέτους στα σημεία ένακαι ένα?πριν διασταυρωθούν, μπορείτε να πάρετε ένα σημείο ΑΛΛΑ. Κατά την αλλαγή της θέσης του άξονα προβολής, λαμβάνονται διαφορετικές θέσεις του σημείου σε σχέση με τα επίπεδα προβολής, αλλά η αβεβαιότητα της θέσης του άξονα προβολής δεν επηρεάζει τη σχετική θέση πολλών σημείων ή σχημάτων στο χώρο.

3. Προβολές ενός σημείου σε τρία επίπεδα προβολής

Εξετάστε το επίπεδο προφίλ των προβολών. Οι προβολές σε δύο κάθετα επίπεδα συνήθως καθορίζουν τη θέση του σχήματος και καθιστούν δυνατό να μάθουμε τις πραγματικές διαστάσεις και το σχήμα του. Υπάρχουν όμως στιγμές που δύο προβολές δεν αρκούν. Στη συνέχεια εφαρμόστε την κατασκευή της τρίτης προβολής.

Το τρίτο επίπεδο προβολής εκτελείται έτσι ώστε να είναι κάθετο και στα δύο επίπεδα προβολής ταυτόχρονα (Εικ. 15). Το τρίτο επίπεδο ονομάζεται Προφίλ.

Σε τέτοιες κατασκευές ονομάζεται η κοινή γραμμή του οριζόντιου και του μετωπικού επιπέδου άξονας Χ , η κοινή γραμμή του οριζόντιου και του επιπέδου προφίλ - άξονας στο , και η κοινή ευθεία γραμμή του μετωπικού και του επιπέδου προφίλ - άξονας z . Τελεία Ο, που ανήκει και στα τρία επίπεδα, ονομάζεται σημείο προέλευσης.

Το Σχήμα 15α δείχνει το σημείο ΑΛΛΑκαι τρεις από τις προβολές του. Προβολή στο επίπεδο προφίλ ( ένα??) λέγονται προβολή προφίλκαι δηλώνουν ένα??.

Για να λάβετε ένα διάγραμμα του σημείου Α, το οποίο αποτελείται από τρεις προβολές α, α, είναι απαραίτητο να κόψουμε το τρίεδρο που σχηματίζεται από όλα τα επίπεδα κατά μήκος του άξονα y (Εικ. 15β) και να συνδυάσουμε όλα αυτά τα επίπεδα με το επίπεδο της μετωπικής προβολής. Το οριζόντιο επίπεδο πρέπει να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Χ, και το επίπεδο προφίλ είναι κοντά στον άξονα zπρος την κατεύθυνση που υποδεικνύεται από το βέλος στην Εικόνα 15.

Το σχήμα 16 δείχνει τη θέση των προεξοχών αχ, ε;και ένα??σημεία ΑΛΛΑ, που προέκυψε ως αποτέλεσμα του συνδυασμού και των τριών επιπέδων με το επίπεδο σχεδίασης.

Ως αποτέλεσμα της κοπής, ο άξονας y εμφανίζεται στο διάγραμμα σε δύο διαφορετικά σημεία. Σε οριζόντιο επίπεδο (Εικ. 16), παίρνει κατακόρυφη θέση (κάθετα στον άξονα Χ), και στο επίπεδο προφίλ - οριζόντια (κάθετα στον άξονα z).

Το Σχήμα 16 δείχνει τρεις προβολές αχ, ε;και ένα??Τα σημεία Α έχουν μια αυστηρά καθορισμένη θέση στο διάγραμμα και υπόκεινται σε σαφείς προϋποθέσεις:

ένακαι ένα?πρέπει πάντα να βρίσκεται σε μία κάθετη ευθεία κάθετη στον άξονα Χ;

ένα?και ένα??πρέπει πάντα να βρίσκεται στην ίδια οριζόντια γραμμή κάθετη στον άξονα z;

3) όταν σχεδιάζεται μέσω μιας οριζόντιας προβολής και μιας οριζόντιας γραμμής, αλλά μέσω μιας προβολής προφίλ ένα??- μια κατακόρυφη ευθεία γραμμή, οι κατασκευασμένες γραμμές θα τέμνονται απαραίτητα στη διχοτόμο της γωνίας μεταξύ των αξόνων προβολής, καθώς το σχήμα Οαστο ένα 0 ένα n είναι ένα τετράγωνο.

Κατά την κατασκευή τριών προβολών ενός σημείου, είναι απαραίτητο να ελέγχεται η εκπλήρωση και των τριών προϋποθέσεων για κάθε σημείο.

4. Συντεταγμένες σημείων

Η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τρεις αριθμούς που ονομάζονται του συντεταγμένες. Κάθε συντεταγμένη αντιστοιχεί στην απόσταση ενός σημείου από κάποιο επίπεδο προβολής.

Απόσταση σημείου ΑΛΛΑστο επίπεδο προφίλ είναι η συντεταγμένη Χ, όπου Χ = ε;(Εικ. 15), η απόσταση από το μετωπικό επίπεδο - από τη συντεταγμένη y, και y = ε;, και η απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο είναι η συντεταγμένη z, όπου z = αΑ.

Στο Σχήμα 15, το σημείο Α καταλαμβάνει το πλάτος ενός ορθογώνιου πλαισίου και οι μετρήσεις αυτού του πλαισίου αντιστοιχούν στις συντεταγμένες αυτού του σημείου, δηλ. καθεμία από τις συντεταγμένες παρουσιάζεται στο Σχήμα 15 τέσσερις φορές, δηλ.:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a; = α υ α;.

Στο διάγραμμα (Εικ. 16), οι συντεταγμένες x και z εμφανίζονται τρεις φορές:

x \u003d a z a; \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a; = Οα ζ = α υ α;.

Όλα τα τμήματα που αντιστοιχούν στη συντεταγμένη Χ(ή z) είναι παράλληλες μεταξύ τους. Συντεταγμένη στοαντιπροσωπεύεται δύο φορές από τον κατακόρυφο άξονα:

y \u003d Oa y \u003d a x a

και δύο φορές - βρίσκεται οριζόντια:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Αυτή η διαφορά εμφανίστηκε λόγω του γεγονότος ότι ο άξονας y υπάρχει στο διάγραμμα σε δύο διαφορετικές θέσεις.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η θέση κάθε προβολής καθορίζεται στο διάγραμμα από δύο μόνο συντεταγμένες, και συγκεκριμένα:

1) οριζόντια - συντεταγμένες Χκαι στο,

2) μετωπική - συντεταγμένες Χκαι z,

3) προφίλ - συντεταγμένες στοκαι z.

Χρήση συντεταγμένων x, yκαι z, μπορείτε να δημιουργήσετε προβολές ενός σημείου στο διάγραμμα.

Εάν το σημείο Α δίνεται με συντεταγμένες, η εγγραφή τους ορίζεται ως εξής: Α ( Χ; y; z).

Κατά την κατασκευή σημειακών προβολών ΑΛΛΑπρέπει να ελέγχονται οι ακόλουθες συνθήκες:

1) οριζόντιες και μετωπικές προβολές ένακαι ένα? Χ Χ;

2) μετωπικές και προβολές προφίλ ένα?και ένα?θα πρέπει να βρίσκεται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα z, αφού έχουν κοινή συντεταγμένη z;

3) οριζόντια προβολή και αφαιρείται επίσης από τον άξονα Χ, όπως η προβολή προφίλ έναμακριά από τον άξονα z, δεδομένου ότι η προβολή αχ; και ε; έχουν κοινή συντεταγμένη στο.

Εάν το σημείο βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα επίπεδα προβολής, τότε μία από τις συντεταγμένες του είναι ίση με μηδέν.

Όταν ένα σημείο βρίσκεται στον άξονα προβολής, οι δύο συντεταγμένες του είναι μηδέν.

Αν ένα σημείο βρίσκεται στην αρχή, και οι τρεις συντεταγμένες του είναι μηδέν.

Οι επιφάνειες των πολύεδρων είναι γνωστό ότι περιορίζονται σε επίπεδες μορφές. Επομένως, τα σημεία που δίνονται στην επιφάνεια ενός πολυέδρου από τουλάχιστον μία προβολή είναι, στη γενική περίπτωση, καθορισμένα σημεία. Το ίδιο ισχύει και για τις επιφάνειες άλλων γεωμετρικών σωμάτων: κύλινδρος, κώνος, σφαίρα και δακτύλιος, που οριοθετούνται από καμπύλες επιφάνειες.

Ας συμφωνήσουμε να απεικονίσουμε ορατά σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια του σώματος ως κύκλους, αόρατα σημεία ως μαύρους κύκλους (κουκκίδες). Οι ορατές γραμμές θα εμφανίζονται ως συμπαγείς γραμμές και οι αόρατες γραμμές ως διακεκομμένες γραμμές.

Έστω η οριζόντια προβολή Α 1 του σημείου Α που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός ευθύγραμμου τριγωνικού πρίσματος (Εικ. 162, α).

TBegin-->Tend-->

Όπως φαίνεται από το σχέδιο, οι μπροστινές και πίσω βάσεις του πρίσματος είναι παράλληλες με το μετωπικό επίπεδο προβολής P 2 και προβάλλονται σε αυτό χωρίς παραμόρφωση, η κάτω πλευρική όψη του πρίσματος είναι παράλληλη με το επίπεδο οριζόντιας προβολής P 1 και προβάλλεται επίσης χωρίς παραμόρφωση. Οι πλευρικές άκρες του πρίσματος προβάλλουν μετωπικά ευθείες γραμμές, επομένως προβάλλονται στο μετωπικό επίπεδο προβολής P 2 με τη μορφή σημείων.

Από την προβολή Α 1 . απεικονίζεται με έναν φωτεινό κύκλο, τότε το σημείο Α είναι ορατό και, επομένως, βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του πρίσματος. Αυτή η όψη είναι ένα μετωπικό επίπεδο προβολής και η μετωπική προβολή Α2 του σημείου πρέπει να συμπίπτει με την μετωπική προβολή του επιπέδου που αντιπροσωπεύεται από μια ευθεία γραμμή.

Έχοντας σχεδιάσει μια σταθερή ευθεία k 123, βρίσκουμε την τρίτη προβολή A 3 του σημείου A. Όταν προβάλλεται στο προφίλ προφίλ των προεξοχών, το σημείο A θα είναι αόρατο, επομένως το σημείο A 3 εμφανίζεται ως μαύρος κύκλος. Ο καθορισμός ενός σημείου με μετωπική προβολή B 2 είναι απροσδιόριστος, καθώς δεν καθορίζει την απόσταση του σημείου Β από την μπροστινή βάση του πρίσματος.

Ας οικοδομήσουμε μια ισομετρική προβολή του πρίσματος και του σημείου Α (Εικ. 162, β). Είναι βολικό να ξεκινήσετε την κατασκευή από την μπροστινή βάση του πρίσματος. Κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο της βάσης σύμφωνα με τις διαστάσεις που λαμβάνονται από το σύνθετο σχέδιο. κατά μήκος του άξονα y "παραμερίζουμε το μέγεθος της άκρης του πρίσματος. Κατασκευάζουμε την αξονομετρική εικόνα Α" του σημείου Α χρησιμοποιώντας την πολύγραμμη συντεταγμένων που κυκλώνεται και στα δύο σχέδια με διπλή λεπτή γραμμή.

Ας δοθεί η μετωπική προβολή C 2 του σημείου C, που βρίσκεται στην επιφάνεια μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, που δίνεται από δύο κύριες προεξοχές (Εικ. 163, α). Απαιτείται η κατασκευή τριών προβολών του σημείου Γ.

Από την μετωπική προβολή, φαίνεται ότι η κορυφή της πυραμίδας είναι ψηλότερα από την τετράγωνη βάση της πυραμίδας. Κάτω από αυτήν την κατάσταση, και οι τέσσερις πλευρικές όψεις θα είναι ορατές όταν προβάλλονται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής П 1 . Κατά την προβολή στο μετωπικό επίπεδο προβολής P 2, θα είναι ορατή μόνο η μπροστινή όψη της πυραμίδας. Δεδομένου ότι η προβολή C 2 φαίνεται στο σχέδιο ως ένας φωτεινός κύκλος, το σημείο C είναι ορατό και ανήκει στην μπροστινή όψη της πυραμίδας. Για να φτιάξουμε μια οριζόντια προβολή C 1, σχεδιάζουμε μια βοηθητική γραμμή D 2 E 2 μέσω του σημείου C 2, παράλληλη με τη γραμμή της βάσης της πυραμίδας. Βρίσκουμε την οριζόντια προβολή της D 1 E 1 και το σημείο C 1. Εάν υπάρχει τρίτη προβολή της πυραμίδας, βρίσκουμε την οριζόντια προβολή του σημείου C 1 πιο απλά: έχοντας βρει την προβολή προφίλ C 3, χτίζουμε την τρίτη Το ένα χρησιμοποιεί δύο προβολές χρησιμοποιώντας οριζόντιες και οριζόντιες-κάθετες γραμμές επικοινωνίας. Η πρόοδος κατασκευής φαίνεται στο σχέδιο με βέλη.

TBegin-->
Tend-->

Ας φτιάξουμε μια διμετρική προβολή της πυραμίδας και του σημείου C (Εικ. 163, β). Χτίζουμε τη βάση της πυραμίδας. Για αυτό, μέσω του σημείου O "λήφθηκε στον άξονα r", σχεδιάζουμε τους άξονες x" και y". στον άξονα x "παραμερίζουμε τις πραγματικές διαστάσεις της βάσης, και στον άξονα y" - μειώθηκε στο μισό. Μέσα από τα ληφθέντα σημεία σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές παράλληλες στους άξονες x "και y". Στον άξονα z σχεδιάζουμε το ύψος της πυραμίδας, συνδέουμε το σημείο που προκύπτει με τα σημεία της βάσης, λαμβάνοντας υπόψη την ορατότητα των άκρων. Για να κατασκευάσουμε το σημείο C, χρησιμοποιούμε την πολυγραμμή συντεταγμένων που κυκλώνεται στα σχέδια με μια διπλή λεπτή γραμμή Για να ελέγξουμε την ακρίβεια της λύσης, χαράσσουμε μια ευθεία γραμμή Δ «Ε» μέσα από το σημείο που βρέθηκε Γ, παράλληλος άξονας x». Το μήκος του πρέπει να είναι ίσο με το μήκος της ευθείας D 2 E 2 (ή D 1 E 1).

Η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί από τις δύο ορθογώνιες προεξοχές του, για παράδειγμα, οριζόντια και μετωπική, μετωπική και κατατομή. Ο συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο ορθογώνιων προβολών σάς επιτρέπει να μάθετε την τιμή όλων των συντεταγμένων ενός σημείου, να δημιουργήσετε μια τρίτη προβολή, να προσδιορίσετε την οκτάδα στην οποία βρίσκεται. Ας εξετάσουμε μερικές τυπικές εργασίες από το μάθημα της περιγραφικής γεωμετρίας.

Σύμφωνα με το δεδομένο σύνθετο σχέδιο των σημείων Α και Β, είναι απαραίτητο:

Ας προσδιορίσουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου Α, που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή Α (x, y, z). Η οριζόντια προβολή του σημείου Α είναι το σημείο Α ", που έχει συντεταγμένες x, y. Σχεδιάστε από το σημείο Α" κάθετες στους άξονες x, y και βρείτε, αντίστοιχα, A x, A y. Η συντεταγμένη x για το σημείο Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A x O με πρόσημο συν, αφού το A x βρίσκεται στην περιοχή των θετικών τιμών του άξονα x. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, βρίσκουμε x \u003d 10. Η συντεταγμένη y είναι ίση με το μήκος του τμήματος A y O με αρνητικό πρόσημο, αφού t. A y βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα y . Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, y = -30. Η μετωπική προβολή του σημείου Α - σημείο Α"" έχει συντεταγμένες x και z. Ας ρίξουμε την κάθετο από το A"" στον άξονα z και ας βρούμε το A z . Η συντεταγμένη z του σημείου Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το A z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, z = -10. Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10).

Οι συντεταγμένες του σημείου Β μπορούν να γραφτούν ως Β (x, y, z). Εξετάστε την οριζόντια προβολή του σημείου Β - σημείο Β. "Δεδομένου ότι βρίσκεται στον άξονα x, τότε B x \u003d B" και τη συντεταγμένη B y \u003d 0. Η τετμημένη x του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B x O με πρόσημο συν. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, x = 30. Η μετωπική προβολή του σημείου B - σημείο B˝ έχει τις συντεταγμένες x, z. Σχεδιάστε μια κάθετο από το B"" στον άξονα z, βρίσκοντας έτσι το B z . Η εφαρμογή z του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το B z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, προσδιορίζουμε την τιμή z = -20. Άρα οι συντεταγμένες Β είναι (30, 0, -20). Όλες οι απαραίτητες κατασκευές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Κατασκευή προβολών σημείων

Τα σημεία Α και Β στο επίπεδο P 3 έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: A""" (y, z), B""" (y, z). Σε αυτή την περίπτωση, το Α"" και το Α""" βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα z, αφού έχουν κοινή συντεταγμένη z. Με τον ίδιο τρόπο, οι Β""" και Β""" βρίσκονται σε κοινή κάθετο στον άξονα z. Για να βρούμε την προβολή προφίλ του t. A, παραμερίζουμε κατά μήκος του άξονα y την τιμή της αντίστοιχης συντεταγμένης που βρέθηκε νωρίτερα. Στο σχήμα, αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ένα τόξο κύκλου ακτίνας A y O. Μετά από αυτό, σχεδιάζουμε μια κάθετο από το A y στη τομή με την κάθετο που έχει αποκατασταθεί από το σημείο A "" στον άξονα z. Το σημείο τομής των δύο αυτών καθέτων καθορίζει τη θέση του Α""".

Το σημείο Β""" βρίσκεται στον άξονα z, αφού η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι ίση με μηδέν. Για να βρείτε την προβολή προφίλ του σημείου Β σε αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο μόνο να σχεδιάσετε μια κάθετο από το Β"" στο ο άξονας z. Το σημείο τομής αυτής της καθέτου με τον άξονα z είναι Β """.

Προσδιορισμός της θέσης των σημείων στο χώρο

Οπτικοποιώντας τη χωρική διάταξη, που αποτελείται από τα επίπεδα προβολής P 1, P 2 και P 3, τη θέση των οκταντών, καθώς και τη σειρά μετατροπής της διάταξης σε διαγράμματα, μπορείτε να προσδιορίσετε απευθείας ότι το t. A βρίσκεται στο III οκτάντ, και το t. B βρίσκεται στο επίπεδο P 2 .

Μια άλλη επιλογή για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η μέθοδος των εξαιρέσεων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10). Η θετική τετμημένη x καθιστά δυνατό να κρίνουμε ότι το σημείο βρίσκεται στα τέσσερα πρώτα οκτάνια. Μια αρνητική συντεταγμένη y δείχνει ότι το σημείο βρίσκεται στη δεύτερη ή τρίτη οκτάδα. Τέλος, η αρνητική εφαρμογή του z υποδηλώνει ότι το σημείο Α βρίσκεται στην τρίτη οκτάδα. Η συλλογιστική που δίνεται φαίνεται ξεκάθαρα στον παρακάτω πίνακα.

Οκτάντια	Πινακίδες συντεταγμένων
	Χ	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Συντεταγμένες του σημείου Β (30, 0, -20). Εφόσον η τεταγμένη του t. B ισούται με μηδέν, το σημείο αυτό βρίσκεται στο επίπεδο προβολής П 2 . Η θετική τετμημένη και η αρνητική εφαρμογή του σημείου Β δείχνουν ότι βρίσκεται στο όριο της τρίτης και της τέταρτης οκτάδας.

Κατασκευή οπτικής εικόνας σημείων στο σύστημα επιπέδων P 1, P 2, P 3

Χρησιμοποιώντας την μετωπική ισομετρική προβολή, κατασκευάσαμε μια χωρική διάταξη της τρίτης οκτάδας. Είναι ένα ορθογώνιο τρίεδρο, του οποίου οι όψεις είναι τα επίπεδα P 1, P 2, P 3 και η γωνία (-y0x) είναι 45 º. Σε αυτό το σύστημα, τμήματα κατά μήκος των αξόνων x, y, z θα απεικονίζονται σε πλήρες μέγεθος χωρίς παραμόρφωση.

Η κατασκευή μιας οπτικής εικόνας του σημείου Α (10, -30, -10) θα ξεκινήσει με την οριζόντια προβολή του Α". Έχοντας παραμερίσει τις αντίστοιχες συντεταγμένες κατά μήκος της τετμημένης και των τεταγμένων, βρίσκουμε τα σημεία A x και A y. η τομή των καθέτων που αποκαθίστανται από τα A x και A y αντίστοιχα προς τους άξονες x και y καθορίζει τη θέση του σημείου Α». Βάζοντας από το Α" παράλληλα στον άξονα z προς τις αρνητικές του τιμές το τμήμα ΑΑ", του οποίου το μήκος είναι ίσο με 10, βρίσκουμε τη θέση του σημείου Α.

Μια οπτική εικόνα του σημείου Β (30, 0, -20) κατασκευάζεται με παρόμοιο τρόπο - στο επίπεδο P 2, οι αντίστοιχες συντεταγμένες πρέπει να σχεδιάζονται κατά μήκος των αξόνων x και z. Η τομή των καθέτων που ανακατασκευάζονται από τα B x και B z θα καθορίσει τη θέση του σημείου B.