Ποιες γωνίες είναι έντονες. πλήρης γωνία

Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας τι είναι μια γωνία. Πρώτον, είναι Δεύτερον, σχηματίζεται από δύο ακτίνες, οι οποίες ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Τρίτον, τα τελευταία βγαίνουν από ένα σημείο, που ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Με βάση αυτά τα σημάδια, μπορούμε να κάνουμε έναν ορισμό: μια γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ακτίνες (πλευρές) που αναδύονται από ένα σημείο (κορυφή).

Ταξινομούνται ανά μοίρες, ανά θέση μεταξύ τους και σε σχέση με τον κύκλο. Ας ξεκινήσουμε με τους τύπους γωνιών με βάση το μέγεθός τους.

Υπάρχουν διάφορες ποικιλίες τους. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε τύπο.

Υπάρχουν μόνο τέσσερις κύριοι τύποι γωνιών - ορθή, αμβλεία, οξεία και αναπτυγμένη γωνία.

Ευθεία

Μοιάζει με αυτό:

Το μέτρο της μοίρας του είναι πάντα 90 o, με άλλα λόγια, μια ορθή γωνία είναι μια γωνία 90 μοιρών. Μόνο τετράγωνα όπως τετράγωνο και ορθογώνιο τα έχουν.

Χαζος

Μοιάζει με αυτό:

Το μέτρο του βαθμού είναι πάντα μεγαλύτερο από 90 μοίρες, αλλά μικρότερο από 180 μοίρες. Μπορεί να εμφανιστεί σε τέτοια τετράγωνα όπως ένας ρόμβος, ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο, σε πολύγωνα.

Αρωματώδης

Μοιάζει με αυτό:

Το μέτρο μοίρας μιας οξείας γωνίας είναι πάντα μικρότερο από 90°. Εμφανίζεται σε όλα τα τετράπλευρα, εκτός από ένα τετράγωνο και ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο.

αναπτυχθεί

Η διευρυμένη γωνία μοιάζει με αυτό:

Δεν εμφανίζεται σε πολύγωνα, αλλά δεν είναι λιγότερο σημαντικό από όλα τα άλλα. Η ευθεία γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα του οποίου το μέτρο μοίρας είναι πάντα 180º. Μπορείτε να χτίσετε πάνω του τραβώντας μία ή περισσότερες ακτίνες από την κορυφή του προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.

Υπάρχουν αρκετοί άλλοι δευτερεύοντες τύποι γωνιών. Δεν μελετώνται στα σχολεία, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τουλάχιστον για την ύπαρξή τους. Υπάρχουν μόνο πέντε δευτερεύοντες τύποι γωνιών:

1. Μηδέν

Μοιάζει με αυτό:

Το ίδιο το όνομα της γωνίας ήδη μιλά για το μέγεθός της. Το εσωτερικό του εμβαδόν είναι 0 ο, και οι πλευρές βρίσκονται το ένα πάνω στο άλλο όπως φαίνεται στο σχήμα.

2. Πλάγια

Η λοξή μπορεί να είναι ευθεία, και αμβλεία, και οξεία και ανεπτυγμένη γωνία. Η βασική του προϋπόθεση είναι να μην είναι ίση με 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Κυρτό

Οι κυρτές είναι μηδενικές, ορθές, αμβλείες, οξείες και ανεπτυγμένες γωνίες. Όπως ήδη καταλάβατε, το μέτρο μοίρας μιας κυρτής γωνίας είναι από 0 o έως 180 o.

4. Μη κυρτό

Μη κυρτές είναι οι γωνίες με μέτρο μοιρών από 181 o έως 359 o συμπεριλαμβανομένων.

5. Γεμάτη

Μια πλήρης γωνία είναι 360 μοίρες.

Αυτά είναι όλα τα είδη γωνιών ανάλογα με το μέγεθός τους. Τώρα εξετάστε τους τύπους τους ανά θέση στο αεροπλάνο σε σχέση μεταξύ τους.

1. Επιπλέον

Πρόκειται για δύο οξείες γωνίες που σχηματίζουν μία ευθεία, δηλ. το άθροισμά τους είναι 90 ο.

2. Σχετικά

Οι γειτονικές γωνίες σχηματίζονται εάν μια ακτίνα τραβιέται προς οποιαδήποτε κατεύθυνση μέσω ενός αναπτυγμένου, ακριβέστερα, μέσω της κορυφής της. Το άθροισμά τους είναι 180 ο.

3. Κάθετη

Κάθετες γωνίες σχηματίζονται όταν τέμνονται δύο ευθείες. Τα μέτρα βαθμού τους είναι ίσα.

Τώρα ας προχωρήσουμε στους τύπους γωνιών που βρίσκονται σε σχέση με τον κύκλο. Υπάρχουν μόνο δύο από αυτά: κεντρικό και ενεπίγραφο.

1. Κεντρικό

Η κεντρική γωνία είναι αυτή με την κορυφή στο κέντρο του κύκλου. Το μέτρο της μοίρας του είναι ίσο με το μέτρο της μοίρας του μικρότερου τόξου που τεντώνεται από τις πλευρές.

2. Ενεπίγραφο

Εγγεγραμμένη γωνία είναι εκείνη της οποίας η κορυφή βρίσκεται στον κύκλο και της οποίας οι πλευρές τον τέμνουν. Το μέτρο της μοίρας του είναι ίσο με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Είναι όλα για τις γωνίες. Τώρα ξέρετε ότι εκτός από τα πιο διάσημα - αιχμηρά, αμβλεία, ίσια και αναπτυγμένα - στη γεωμετρία υπάρχουν πολλοί άλλοι τύποι τους.

Μια γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, το οποίο αποτελείται από δύο διαφορετικές ακτίνες που εκπέμπονται από ένα σημείο. Στην περίπτωση αυτή, αυτές οι ακτίνες ονομάζονται πλευρές της γωνίας. Το σημείο που είναι η αρχή των ακτίνων ονομάζεται κορυφή της γωνίας. Στην εικόνα μπορείτε να δείτε τη γωνία με την κορυφή στο σημείο Ο, και τα κόμματα κκαι Μ.

Τα σημεία Α και Γ σημειώνονται στις πλευρές της γωνίας. Αυτή η γωνία μπορεί να χαρακτηριστεί ως γωνία AOC. Στη μέση πρέπει να είναι το όνομα του σημείου στο οποίο βρίσκεται η γωνιακή κορυφή. Υπάρχουν και άλλοι χαρακτηρισμοί, η γωνία Ο ή η γωνία km. Στη γεωμετρία, αντί για τη λέξη γωνία, γράφεται συχνά ένα ειδικό εικονίδιο.

Περιστρεφόμενη και μη περιστρεφόμενη γωνία

Αν και οι δύο πλευρές μιας γωνίας βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε μια τέτοια γωνία ονομάζεται αναπτυχθείγωνία. Δηλαδή, η μία πλευρά της γωνίας είναι συνέχεια της άλλης πλευράς της γωνίας. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γωνία Ο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οποιαδήποτε γωνία χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Εάν η γωνία δεν είναι διευρυμένη, τότε ένα από τα μέρη ονομάζεται εσωτερική περιοχή της γωνίας και το άλλο είναι η εξωτερική περιοχή αυτής της γωνίας. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια μη πεπλατυσμένη γωνία και επισημαίνει τις εξωτερικές και εσωτερικές περιοχές αυτής της γωνίας.

Στην περίπτωση μιας ανεπτυγμένης γωνίας, οποιοδήποτε από τα δύο μέρη στα οποία χωρίζει το επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί η εξωτερική περιοχή της γωνίας. Μπορούμε να μιλήσουμε για τη θέση ενός σημείου σε σχέση με μια γωνία. Το σημείο μπορεί να βρίσκεται έξω από τη γωνία (στην εξωτερική περιοχή), μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις πλευρές του ή μπορεί να βρίσκεται μέσα στη γωνία (στην εσωτερική περιοχή).

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο Α βρίσκεται έξω από τη γωνία Ο, το σημείο Β βρίσκεται στη μία πλευρά της γωνίας και το σημείο Γ βρίσκεται μέσα στη γωνία.

Μέτρηση γωνίας

Για τη μέτρηση των γωνιών, υπάρχει μια συσκευή που ονομάζεται μοιρογνωμόνιο. Η μονάδα γωνίας είναι βαθμός. Πρέπει να σημειωθεί ότι κάθε γωνία έχει ένα συγκεκριμένο βαθμό μέτρησης, το οποίο είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Ανάλογα με το μέτρο της μοίρας, οι γωνίες χωρίζονται σε διάφορες ομάδες.

Οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της γωνίας στο δημοτικό σχολείο. Αλλά ως γεωμετρικό σχήμα με ορισμένες ιδιότητες, αρχίζουν να το μελετούν από την 7η δημοτικού στη γεωμετρία. Φαίνεται, αρκετά απλό σχήματι μπορεί να ειπωθεί για αυτήν. Αλλά, αποκτώντας νέες γνώσεις, οι μαθητές καταλαβαίνουν όλο και περισσότερο ότι μπορείτε να μάθετε αρκετά ενδιαφέροντα γεγονότα για αυτήν.

Σε επαφή με

Πότε μελετώνται

Το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας χωρίζεται σε δύο ενότητες: επιπεδομετρία και συμπαγή γεωμετρία. Κάθε ένα από αυτά έχει μεγάλη προσοχή. δίνεται στις γωνίες:

• Στην επιπεδομετρία δίνεται η βασική τους έννοια, γίνεται γνωριμία με τους τύπους τους σε μέγεθος. Οι ιδιότητες κάθε τύπου τριγώνων μελετώνται λεπτομερέστερα. Εμφανίζονται νέοι ορισμοί για τους μαθητές - πρόκειται για γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζονται στη διασταύρωση δύο γραμμών μεταξύ τους και στην τομή πολλών γραμμών μιας τομής.
• Στη στερεομετρία μελετώνται οι χωρικές γωνίες - διεδρικές και τριεδρικές.

Προσοχή!Αυτό το άρθρο εξετάζει όλους τους τύπους και τις ιδιότητες των γωνιών στην επιπεδομετρία.

Ορισμός και μέτρηση

Ξεκινώντας να μελετάτε, πρώτα καθορίστε, τι είναι μια γωνίαστην επιπεδομετρία.

Εάν πάρουμε ένα συγκεκριμένο σημείο στο επίπεδο και τραβήξουμε δύο αυθαίρετες ακτίνες από αυτό, παίρνουμε ένα γεωμετρικό σχήμα - μια γωνία, που αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:

• η κορυφή - το σημείο από το οποίο σχεδιάστηκαν οι ακτίνες, υποδεικνύεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου.
• οι πλευρές είναι μισή γραμμή που τραβιέται από την κορυφή.

Όλα τα στοιχεία που σχηματίζουν το σχήμα που εξετάζουμε χωρίζουν το επίπεδο δύο μέρη:

• εσωτερική - στην επιπεδομετρία δεν υπερβαίνει τις 180 μοίρες.
• εξωτερικός.

Η αρχή της μέτρησης των γωνιών στην επιπεδομετρίαεξηγείται διαισθητικά. Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται στην έννοια της ανεπτυγμένης γωνίας.

Σπουδαίος!Μια γωνία λέγεται ότι αναπτύσσεται εάν οι ημιευθείες που προέρχονται από την κορυφή της σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή. Μια ξεδιπλωμένη γωνία είναι όλες οι άλλες περιπτώσεις.

Εάν χωρίζεται σε 180 ίσα μέρη, τότε συνηθίζεται να θεωρείται το μέτρο ενός μέρους ίσο με 10. Στην περίπτωση αυτή, λένε ότι η μέτρηση γίνεται σε μοίρες και το μέτρο βαθμών ενός τέτοιου αριθμού είναι 180 μοίρες.

Κύριοι τύποι

Οι τύποι γωνιών υποδιαιρούνται σύμφωνα με κριτήρια όπως το μέτρο βαθμών, τη φύση του σχηματισμού τους και τις παρακάτω κατηγορίες.

Κατά μέγεθος

Δεδομένου του μεγέθους, οι γωνίες χωρίζονται σε:

• αναπτυχθεί?
• ευθεία;
• χαζος;
• αρωματώδης.

Ποια γωνία ονομάζεται αναπτυγμένη παρουσιάστηκε παραπάνω. Ας ορίσουμε την έννοια της ευθείας γραμμής.

Μπορεί να ληφθεί διαιρώντας το αναπτυγμένο σε δύο ίσα μέρη. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι εύκολο να απαντήσετε στην ερώτηση: μια ορθή γωνία, πόσες μοίρες είναι;

Διαιρέστε 180 μοίρες με 2 για να πάρετε η ορθή γωνία είναι 90 μοίρες. Αυτή είναι μια υπέροχη φιγούρα, αφού πολλά γεγονότα στη γεωμετρία συνδέονται με αυτήν.

Έχει επίσης τα δικά του χαρακτηριστικά στον χαρακτηρισμό. Για να εμφανιστεί μια ορθή γωνία στο σχήμα, δεν υποδεικνύεται με τόξο, αλλά με τετράγωνο.

Οι γωνίες που προκύπτουν με τη διαίρεση μιας αυθαίρετης ακτίνας ευθείας ονομάζονται οξείες.Σύμφωνα με τη λογική των πραγμάτων, προκύπτει ότι μια οξεία γωνία είναι μικρότερη από μια ορθή γωνία, αλλά το μέτρο της είναι διαφορετικό από 0 μοίρες. Δηλαδή έχει τιμή από 0 έως 90 μοίρες.

Μια αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερη από μια ορθή γωνία, αλλά μικρότερη από μια ευθεία γωνία. Το μέτρο του βαθμού κυμαίνεται από 90 έως 180 μοίρες.

Αυτό το στοιχείο μπορεί να χωριστεί σε διαφορετικούς τύπους σχημάτων υπό εξέταση, εξαιρουμένου του διευρυμένου.

Ανεξάρτητα από το πώς σπάει η γωνία χωρίς περιστροφή, χρησιμοποιείται πάντα το βασικό αξίωμα της επιπεδομετρίας - «η κύρια ιδιότητα της μέτρησης».

Στο διαιρώντας τη γωνία με μία δέσμηή πολλά, το μέτρο της μοίρας ενός δεδομένου σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των γωνιών στις οποίες χωρίζεται.

Στο επίπεδο της 7ης τάξης τελειώνουν εκεί οι τύποι γωνιών στο μέγεθός τους. Αλλά για να αυξηθεί η ευρυμάθεια, μπορεί να προστεθεί ότι υπάρχουν και άλλες ποικιλίες που έχουν μέτρο βαθμού μεγαλύτερο από 180 μοίρες.Ονομάζονται κυρτές.

Φιγούρες στη διασταύρωση των γραμμών

Οι επόμενοι τύποι γωνιών στους οποίους εισάγονται οι μαθητές είναι τα στοιχεία που σχηματίζονται όταν τέμνονται δύο ευθείες. Οι φιγούρες που είναι τοποθετημένες η μία απέναντι από την άλλη ονομάζονται κάθετες. Το χαρακτηριστικό τους είναι ότι είναι ίσοι.

Τα στοιχεία που βρίσκονται δίπλα στην ίδια ευθεία ονομάζονται γειτονικά. Το θεώρημα που αντιστοιχίζει την ιδιότητά τους το λέει αυτό Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται έως και 180 μοίρες.

Στοιχεία σε ένα τρίγωνο

Αν θεωρήσουμε το σχήμα ως στοιχείο ενός τριγώνου, τότε οι γωνίες χωρίζονται σε εσωτερικές και εξωτερικές. Το τρίγωνο οριοθετείται από τρία τμήματα και αποτελείται από τρεις κορυφές. Οι γωνίες που βρίσκονται μέσα στο τρίγωνο σε κάθε κορυφή, ονομάζεται εσωτερικός.

Αν πάρουμε οποιοδήποτε εσωτερικό στοιχείο σε οποιαδήποτε κορυφή και επεκτείνουμε οποιαδήποτε πλευρά, τότε η γωνία που σχηματίζεται και γειτνιάζει με την εσωτερική ονομάζεται εξωτερική. Αυτό το ζεύγος στοιχείων έχει την ακόλουθη ιδιότητα: το άθροισμά τους είναι 180 μοίρες.

Τομή δύο ευθειών

Διασταύρωση γραμμής

Όταν τέμνονται δύο ευθείες, σχηματίζονται και γωνίες, που συνήθως κατανέμονται σε ζευγάρια. Κάθε ζεύγος στοιχείων έχει το δικό του όνομα. Μοιάζει με αυτό:

• εσωτερική διασταύρωση: ∟4 και ∟6, ∟3 και ∟5;
• εσωτερική μονόπλευρη: ∟4 και ∟5, ∟3 και ∟6;
• που αντιστοιχούν: ∟1 και ∟5, ∟2 και ∟6, ∟4 και ∟8, ∟3 και ∟7.

Όταν μια τομή τέμνει δύο

Η γωνία είναι το κύριο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο θα αναλύσουμε σε όλο το θέμα. Ορισμοί, μέθοδοι ρύθμισης, σημειογραφία και μέτρηση της γωνίας. Ας αναλύσουμε τις αρχές της επιλογής γωνιών στα σχέδια. Όλη η θεωρία είναι εικονογραφημένη και έχει μεγάλο αριθμό οπτικών σχεδίων.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ορισμός 1

Γωνία- ένα απλό σημαντικό σχήμα στη γεωμετρία. Η γωνία εξαρτάται άμεσα από τον ορισμό μιας ακτίνας, η οποία με τη σειρά της αποτελείται από τις βασικές έννοιες ενός σημείου, μιας ευθείας και ενός επιπέδου. Για μια ενδελεχή μελέτη, πρέπει να εμβαθύνετε στα θέματα ευθεία γραμμή σε επίπεδο - απαραίτητες πληροφορίεςκαι αεροπλάνο - απαραίτητες πληροφορίες.

Η έννοια της γωνίας ξεκινά με τις έννοιες ενός σημείου, ενός επιπέδου και μιας ευθείας γραμμής που απεικονίζονται σε αυτό το επίπεδο.

Ορισμός 2

Δίνεται μια γραμμή a σε ένα επίπεδο. Σημειώστε κάποιο σημείο O πάνω του. Η γραμμή χωρίζεται από ένα σημείο σε δύο μέρη, καθένα από τα οποία έχει ένα όνομα ακτίνα, και το σημείο Ο είναι εκκίνηση δοκού.

Με άλλα λόγια, ένα δοκάρι ή μισή γραμμή -είναι ένα τμήμα μιας γραμμής, που αποτελείται από σημεία μιας δεδομένης γραμμής, που βρίσκεται στην ίδια πλευρά σε σχέση με το σημείο εκκίνησης, δηλαδή το σημείο Ο.

Ο χαρακτηρισμός της δέσμης επιτρέπεται σε δύο παραλλαγές: ένα πεζό ή δύο κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Όταν υποδηλώνεται με δύο γράμματα, η δέσμη έχει ένα όνομα που αποτελείται από δύο γράμματα. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο σχέδιο.

Ας περάσουμε στην έννοια του ορισμού μιας γωνίας.

Ορισμός 3

Γωνία- αυτό είναι ένα σχήμα που βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο, που σχηματίζεται από δύο αταίριαστες ακτίνες που έχουν κοινή προέλευση. πλαϊνή γωνίαείναι μια δοκός κορυφή- η κοινή αρχή των κομμάτων.

Υπάρχει περίπτωση που οι πλευρές μιας γωνίας μπορούν να λειτουργήσουν ως ευθεία γραμμή.

Ορισμός 4

Όταν και οι δύο πλευρές μιας γωνίας βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή ή οι πλευρές της χρησιμεύουν ως πρόσθετες ημιευθείες μιας ευθείας γραμμής, τότε μια τέτοια γωνία ονομάζεται αναπτυχθεί.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια πεπλατυσμένη γωνία.

Σημείο σε ευθεία γραμμή είναι η κορυφή της γωνίας. Τις περισσότερες φορές, συμβολίζεται με την τελεία O.

Μια γωνία στα μαθηματικά συμβολίζεται με το πρόσημο «∠». Όταν οι πλευρές μιας γωνίας συμβολίζονται με μικρά λατινικά, τότε για τον σωστό ορισμό της γωνίας γράφονται γράμματα σε σειρά, αντίστοιχα, ανάλογα με τις πλευρές. Αν δύο πλευρές συμβολίζονται με k και h, τότε η γωνία συμβολίζεται ως ∠ k h ή ∠ h k .

Όταν υπάρχει προσδιορισμός με κεφαλαία γράμματα, τότε, αντίστοιχα, οι πλευρές της γωνίας έχουν τα ονόματα Ο Α και Ο Β. Σε αυτή την περίπτωση, η γωνία έχει ένα όνομα τριών γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου, γραμμένο στη σειρά, στο κέντρο με κορυφή - ∠ A O B και ∠ B O A . Υπάρχει ένας προσδιορισμός με τη μορφή αριθμών όταν οι γωνίες δεν έχουν ονόματα ή γράμματα. Παρακάτω είναι ένα σχήμα όπου οι γωνίες υποδεικνύονται με διαφορετικούς τρόπους.

Μια γωνία χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Εάν η γωνία δεν έχει αναπτυχθεί, τότε ένα μέρος του επιπέδου έχει το όνομα εσωτερική γωνία, το άλλο - εξωτερική γωνία. Παρακάτω είναι μια εικόνα που εξηγεί ποια μέρη του επιπέδου είναι εξωτερικά και ποια εσωτερικά.

Όταν διαιρείται με μια ευθεία γωνία σε ένα επίπεδο, οποιοδήποτε από τα μέρη του θεωρείται ότι είναι το εσωτερικό της ευθείας γωνίας.

Η εσωτερική περιοχή της γωνίας είναι ένα στοιχείο που χρησιμεύει για τον δεύτερο ορισμό της γωνίας.

Ορισμός 5

γωνίαονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα, που αποτελείται από δύο μη συμπίπτουσες ακτίνες, που έχουν κοινή αρχή και αντίστοιχη εσωτερική περιοχή της γωνίας.

Αυτός ο ορισμός είναι πιο αυστηρός από τον προηγούμενο, καθώς έχει περισσότερες προϋποθέσεις. Δεν είναι σκόπιμο να εξετάσουμε και τους δύο ορισμούς χωριστά, επειδή μια γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που μετασχηματίζεται χρησιμοποιώντας δύο ακτίνες που εξέρχονται από ένα σημείο. Όταν είναι απαραίτητο να γίνουν ενέργειες με γωνία, τότε ο ορισμός σημαίνει την παρουσία δύο ακτίνων με κοινή προέλευση και εσωτερική περιοχή.

Ορισμός 6

Οι δύο γωνίες λέγονται σχετίζεται με, εάν υπάρχει κοινή πλευρά, και οι άλλες δύο είναι συμπληρωματικές ημιευθείες ή σχηματίζουν ευθεία γωνία.

Το σχήμα δείχνει ότι οι γειτονικές γωνίες αλληλοσυμπληρώνονται, καθώς αποτελούν συνέχεια η μία της άλλης.

Ορισμός 7

Οι δύο γωνίες λέγονται κατακόρυφος, αν οι πλευρές του ενός είναι συμπληρωματικές ημιευθείες του άλλου ή είναι προεκτάσεις των πλευρών του άλλου. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια εικόνα των κάθετων γωνιών.

Κατά τη διέλευση των γραμμών, λαμβάνονται 4 ζεύγη γειτονικών και 2 ζεύγη κάθετων γωνιών. Παρακάτω φαίνεται στην εικόνα.

Το άρθρο παρουσιάζει τους ορισμούς των ίσων και άνισων γωνιών. Θα αναλύσουμε ποια γωνία θεωρείται μεγάλη, ποια είναι μικρότερη και άλλες ιδιότητες της γωνίας. Δύο αριθμοί θεωρούνται ίσοι εάν, όταν υπερτίθενται, συμπίπτουν πλήρως. Η ίδια ιδιότητα ισχύει και για τη σύγκριση γωνιών.

Δίνονται δύο γωνίες. Είναι απαραίτητο να καταλήξουμε στο συμπέρασμα εάν αυτές οι γωνίες είναι ίσες ή όχι.

Είναι γνωστό ότι οι κορυφές δύο γωνιών και η πλευρά της πρώτης γωνίας επικαλύπτονται με οποιαδήποτε άλλη πλευρά της δεύτερης. Δηλαδή, σε περίπτωση πλήρους σύμπτωσης, όταν οι γωνίες υπερτίθενται, οι πλευρές των δεδομένων γωνιών θα συμπίπτουν πλήρως, οι γωνίες ίσος.

Μπορεί να μην συνδυάζονται οι πλευρές κατά την υπέρθεση, τότε οι γωνίες άνισος, μικρότεροςτου οποίου αποτελείται από ένα άλλο, και περισσότεροενσωματώνει μια εντελώς άλλη γωνία. Παρακάτω υπάρχουν άνισες γωνίες που δεν είναι ευθυγραμμισμένες όταν τοποθετούνται πάνω.

Οι αναπτυγμένες γωνίες είναι ίσες.

Η μέτρηση των γωνιών ξεκινά με τη μέτρηση της πλευράς της μετρούμενης γωνίας και της εσωτερικής της περιοχής, γεμίζοντας την οποία με μοναδιαίες γωνίες, εφαρμόζονται μεταξύ τους. Είναι απαραίτητο να μετρήσετε τον αριθμό των στοιβαγμένων γωνιών, προκαθορίζουν το μέτρο της μετρούμενης γωνίας.

Μια μονάδα γωνίας μπορεί να εκφραστεί σε οποιαδήποτε μετρήσιμη γωνία. Υπάρχουν γενικά αποδεκτές μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη και την τεχνολογία. Ειδικεύονται σε άλλους τίτλους.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη έννοια βαθμός.

Ορισμός 8

ένα βαθμόονομάζεται γωνία που έχει εκατόν ογδόντα ευθυγραμμισμένη γωνία.

Ο τυπικός συμβολισμός για έναν βαθμό είναι "°", τότε ένας βαθμός είναι 1°. Επομένως, μια ευθεία γωνία αποτελείται από 180 τέτοιες γωνίες, που αποτελούνται από μία μοίρα. Όλες οι διαθέσιμες γωνίες στοιβάζονται σφιχτά μεταξύ τους και οι πλευρές της προηγούμενης ευθυγραμμίζονται με τις επόμενες.

Είναι γνωστό ότι ο αριθμός των μοιρών σε μια γωνία είναι το ίδιο μέτρο της γωνίας. Η ανεπτυγμένη γωνία έχει στη σύνθεσή της 180 στοιβαγμένες γωνίες. Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα όπου η γωνία τοποθετείται 30 φορές, δηλαδή το ένα έκτο της διευρυμένης και 90 φορές, δηλαδή το μισό.

Τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα χρησιμοποιούνται για τον ακριβή προσδιορισμό των μετρήσεων γωνίας. Χρησιμοποιούνται όταν η τιμή γωνίας δεν είναι προσδιορισμός ακέραιου βαθμού. Τέτοια μέρη ενός βαθμού σάς επιτρέπουν να κάνετε πιο ακριβείς υπολογισμούς.

Ορισμός 9

λεπτόονομάζεται ένα εξήντα του βαθμού.

Ορισμός 10

δεύτεροςκάλεσε το ένα εξήντα του λεπτού.

Ένας βαθμός περιέχει 3600 δευτερόλεπτα. Τα λεπτά δηλώνουν """, και τα δευτερόλεπτα """". Ο χαρακτηρισμός λαμβάνει χώρα:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

και ο συμβολισμός για τη γωνία 17 μοίρες 3 λεπτά και 59 δευτερόλεπτα είναι 17° 3 "59"".

Ορισμός 11

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα της σημειογραφίας του μέτρου του βαθμού μιας γωνίας ίσης με 17 ° 3 "59" ". Η καταχώρηση έχει άλλη μορφή 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Για την ακριβή μέτρηση των γωνιών, χρησιμοποιείται μια συσκευή μέτρησης όπως ένα μοιρογνωμόνιο. Όταν προσδιορίζετε τη γωνία ∠ A O B και το μέτρο της μοίρας της 110 μοιρών, χρησιμοποιείται μια πιο βολική σημειογραφία ∠ A O B \u003d 110 °, η οποία λέει "Η γωνία A O B είναι ίση με 110 μοίρες".

Στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται ένα μέτρο γωνίας από το διάστημα (0 , 180 ] και στην τριγωνομετρία ένα μέτρο αυθαίρετου βαθμού ονομάζεται γωνίες στροφής.Η τιμή των γωνιών εκφράζεται πάντα ως πραγματικός αριθμός. Ορθή γωνίαείναι μια γωνία που έχει 90 μοίρες. Κοφτερή γωνίαείναι μια γωνία που είναι μικρότερη από 90 μοίρες, και χαζος- περισσότερο.

Μια οξεία γωνία μετριέται στο διάστημα (0, 90) και μια αμβλεία γωνία - (90, 180) . Τρεις τύποι γωνιών φαίνονται καθαρά παρακάτω.

Κάθε μέτρο μοιρών οποιασδήποτε γωνίας έχει την ίδια τιμή. Μια μεγαλύτερη γωνία, αντίστοιχα, έχει μεγαλύτερο μέτρο μοιρών από μια μικρότερη. Το μέτρο μοιρών μιας γωνίας είναι το άθροισμα όλων των διαθέσιμων βαθμών μέτρων των εσωτερικών γωνιών. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη γωνία AOB, που αποτελείται από τις γωνίες AOC, COD και DOB. Αναλυτικά, μοιάζει με αυτό: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Με βάση αυτό, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι άθροισμαόλα οι γειτονικές γωνίες είναι 180 μοίρεςγιατί όλα αποτελούν μια διευρυμένη γωνία.

Από αυτό προκύπτει ότι οποιαδήποτε οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες. Αν το εξετάσουμε με ένα παράδειγμα, παίρνουμε ότι η γωνία A O B και C O D είναι κάθετες (στο σχέδιο), τότε τα ζεύγη των γωνιών A O B και B O C, C O D και B O C θεωρούνται γειτονικά. Σε μια τέτοια περίπτωση, η ισότητα ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° μαζί με ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° θεωρούνται μοναδικά αληθής. Άρα έχουμε ότι ∠ A O B = ∠ C O D . Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα της εικόνας και του χαρακτηρισμού των κατακόρυφων αλιευμάτων.

Εκτός από τις μοίρες, τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα, χρησιμοποιείται μια άλλη μονάδα μέτρησης. Ονομάζεται ακτίνιο. Τις περισσότερες φορές μπορεί να βρεθεί στην τριγωνομετρία κατά τον προσδιορισμό των γωνιών των πολυγώνων. Αυτό που ονομάζεται ακτίνιο.

Ορισμός 12

Μία ακτινική γωνίαονομάζεται κεντρική γωνία, η οποία έχει ακτίνα κύκλου ίση με το μήκος του τόξου.

Στο σχήμα, το ακτίνιο απεικονίζεται ως κύκλος, όπου υπάρχει ένα κέντρο, που υποδεικνύεται από ένα σημείο, με δύο σημεία στον κύκλο συνδεδεμένα και μετατρέπονται σε ακτίνες O A και O B. Εξ ορισμού, αυτό το τρίγωνο A O B είναι ισόπλευρο, που σημαίνει ότι το μήκος του τόξου A B είναι ίσο με τα μήκη των ακτίνων O B και Oh A.

Ο προσδιορισμός της γωνίας λαμβάνεται ως "rad". Δηλαδή, μια καταχώρηση σε 5 ακτίνια συντομεύεται ως 5 rad. Μερικές φορές μπορείτε να βρείτε έναν προσδιορισμό που έχει το όνομα pi. Τα ακτίνια δεν εξαρτώνται από το μήκος ενός δεδομένου κύκλου, αφού τα σχήματα έχουν κάποιο είδος περιορισμού με τη βοήθεια μιας γωνίας και του τόξου της με ένα κέντρο που βρίσκεται στην κορυφή μιας δεδομένης γωνίας. Θεωρούνται όμοια.

Τα ακτίνια έχουν την ίδια σημασία με τις μοίρες, μόνο που η διαφορά είναι στο μέγεθός τους. Για να προσδιοριστεί αυτό, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί το υπολογισμένο μήκος του τόξου της κεντρικής γωνίας με το μήκος της ακτίνας του.

Στην πράξη, χρησιμοποιούν μετατρέπουν τις μοίρες σε ακτίνια και τα ακτίνια σε μοίρεςγια ευκολότερη επίλυση προβλημάτων. Το συγκεκριμένο άρθρο έχει πληροφορίες για τη σύνδεση του μέτρου του βαθμού με το ακτίνιο, όπου μπορείτε να μελετήσετε λεπτομερώς τις μεταφράσεις από βαθμό σε ακτίνιο και αντίστροφα.

Για οπτική και βολική απεικόνιση τόξων, γωνίες, σχέδια χρησιμοποιούνται. Δεν είναι πάντα δυνατή η σωστή απεικόνιση και επισήμανση μιας συγκεκριμένης γωνίας, τόξου ή ονόματος. Οι ίσες γωνίες έχουν τον χαρακτηρισμό με τη μορφή του ίδιου αριθμού τόξων και άνισες με τη μορφή διαφορετικών. Το σχέδιο δείχνει τον σωστό προσδιορισμό αιχμηρών, ίσων και άνισων γωνιών.

Όταν χρειάζεται να επισημανθούν περισσότερες από 3 γωνίες, χρησιμοποιούνται ειδικοί χαρακτηρισμοί τόξων, όπως κυματιστοί ή οδοντωτοί. Δεν έχει τόση σημασία. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τον χαρακτηρισμό τους.

Ο προσδιορισμός των γωνιών πρέπει να είναι απλός ώστε να μην παρεμβαίνει σε άλλες τιμές. Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, συνιστάται να επιλέγετε μόνο τις γωνίες που είναι απαραίτητες για την επίλυση, ώστε να μην ακατασταθεί ολόκληρο το σχέδιο. Αυτό δεν θα επηρεάσει τη λύση και την απόδειξη και θα δώσει επίσης μια αισθητική εμφάνιση στο σχέδιο.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αυτό το άρθρο θα εξετάσει ένα από τα κύρια γεωμετρικά σχήματα - τη γωνία. Μετά από μια γενική εισαγωγή σε αυτήν την έννοια, θα επικεντρωθούμε σε έναν συγκεκριμένο τύπο μιας τέτοιας φιγούρας. Η ευθεία γωνία είναι μια σημαντική έννοια στη γεωμετρία και θα είναι το επίκεντρο αυτού του άρθρου.

Εισαγωγή στην έννοια της γεωμετρικής γωνίας

Στη γεωμετρία, υπάρχει ένας αριθμός αντικειμένων που αποτελούν τη βάση όλης της επιστήμης. Η γωνία αναφέρεται απλώς σε αυτά και καθορίζεται χρησιμοποιώντας την έννοια της ακτίνας, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτήν.

Επίσης, πριν προχωρήσετε στον ορισμό της ίδιας της γωνίας, πρέπει να θυμάστε πολλά εξίσου σημαντικά αντικείμενα στη γεωμετρία - αυτό είναι ένα σημείο, μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο και το ίδιο το επίπεδο. Η ευθεία είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα, που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Επίπεδο είναι μια επιφάνεια που έχει δύο διαστάσεις. Λοιπόν, μια ακτίνα (ή μια μισή γραμμή) στη γεωμετρία είναι ένα μέρος μιας ευθείας γραμμής που έχει αρχή, αλλά όχι τέλος.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις έννοιες, μπορούμε να κάνουμε μια δήλωση ότι μια γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που βρίσκεται πλήρως σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο και αποτελείται από δύο αταίριαστες ακτίνες με κοινή αρχή. Τέτοιες ακτίνες ονομάζονται πλευρές της γωνίας και η κοινή αρχή των πλευρών είναι η κορυφή της.

Είδη γωνιών και γεωμετρία

Γνωρίζουμε ότι οι γωνίες μπορεί να είναι αρκετά διαφορετικές. Και επομένως, θα δοθεί μια μικρή ταξινόμηση παρακάτω, η οποία θα βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των τύπων γωνιών και των κύριων χαρακτηριστικών τους. Έτσι, υπάρχουν διάφοροι τύποι γωνιών στη γεωμετρία:

1. Ορθή γωνία. Χαρακτηρίζεται από τιμή 90 μοιρών, που σημαίνει ότι οι πλευρές του είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους.
2. Κοφτερή γωνία. Αυτές οι γωνίες περιλαμβάνουν όλους τους εκπροσώπους τους, με μέγεθος μικρότερο από 90 μοίρες.
3. Αμβλεία γωνία. Όλες οι γωνίες με τιμή από 90 έως 180 μοίρες μπορούν επίσης να είναι εδώ.
4. Διευρυμένη γωνία. Έχει μέγεθος αυστηρά 180 μοιρών και εξωτερικά τα πλαϊνά του σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.

Η έννοια της ευθείας γωνίας

Τώρα ας δούμε την αναπτυγμένη γωνία με περισσότερες λεπτομέρειες. Αυτό συμβαίνει όταν και οι δύο πλευρές βρίσκονται στην ίδια ευθεία, κάτι που φαίνεται καθαρά στο παρακάτω σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι η μία πλευρά του είναι, στην πραγματικότητα, συνέχεια της άλλης.

Αξίζει να θυμηθούμε το γεγονός ότι μια τέτοια γωνία μπορεί πάντα να διαιρεθεί χρησιμοποιώντας μια ακτίνα που βγαίνει από την κορυφή της. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο γωνίες, οι οποίες στη γεωμετρία ονομάζονται γειτονικές.

Επίσης, η ανεπτυγμένη γωνία έχει αρκετά χαρακτηριστικά. Για να μιλήσετε για το πρώτο από αυτά, πρέπει να θυμάστε την έννοια της "διχοτόμου γωνίας". Θυμηθείτε ότι αυτή είναι μια ακτίνα που διαιρεί οποιαδήποτε γωνία αυστηρά στο μισό. Όσο για την ευθεία γωνία, η διχοτόμος της τη χωρίζει με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζονται δύο ορθές γωνίες 90 μοιρών. Αυτό είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί μαθηματικά: 180˚ (βαθμός ευθυγραμμισμένης γωνίας): 2 = 90˚.

Εάν διαιρέσουμε την αναπτυγμένη γωνία με μια εντελώς αυθαίρετη ακτίνα, τότε ως αποτέλεσμα παίρνουμε πάντα δύο γωνίες, εκ των οποίων η μία θα είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Επίπεδες γωνιακές ιδιότητες

Θα είναι βολικό να εξετάσουμε αυτή τη γωνία, συγκεντρώνοντας όλες τις κύριες ιδιότητές της, τις οποίες έχουμε κάνει σε αυτήν τη λίστα:

1. Οι πλευρές μιας ευθείας γωνίας είναι αντιπαράλληλες και σχηματίζουν ευθεία γραμμή.
2. Η τιμή της αναπτυγμένης γωνίας είναι πάντα 180˚.
3. Δύο γειτονικές γωνίες μαζί κάνουν πάντα μια ευθεία γωνία.
4. Η πλήρης γωνία, που είναι 360˚, αποτελείται από δύο αναπτυγμένες και ισούται με το άθροισμά τους.
5. Η μισή ευθυγραμμισμένη γωνία είναι ορθή.

Έτσι, γνωρίζοντας όλα αυτά τα χαρακτηριστικά αυτού του τύπου γωνίας, μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε μια σειρά από γεωμετρικά προβλήματα.

Προβλήματα με ευθείες γωνίες

Για να καταλάβετε αν έχετε κατακτήσει την έννοια της ευθείας γωνίας, προσπαθήστε να απαντήσετε σε μερικές από τις παρακάτω ερωτήσεις.

1. Τι είναι μια ευθεία γωνία αν οι πλευρές της σχηματίζουν κάθετη γραμμή;
2. Θα είναι δύο γωνίες γειτονικές αν το μέγεθος της πρώτης είναι 72˚ και της άλλης είναι 118˚;
3. Αν μια πλήρης γωνία αποτελείται από δύο ευθείες γωνίες, πόσες ορθές γωνίες έχει;
4. Μια ευθεία γωνία χωρίζεται από μια δέσμη σε δύο τέτοιες γωνίες που τα μέτρα βαθμίδας τους σχετίζονται με 1:4. Υπολογίστε τις γωνίες που προκύπτουν.

Λύσεις και απαντήσεις:

1. Ανεξάρτητα από το πώς βρίσκεται η ευθεία γωνία, είναι πάντα εξ ορισμού ίση με 180˚.
2. Οι παρακείμενες γωνίες έχουν μια κοινή πλευρά. Επομένως, για να υπολογίσετε το μέγεθος της γωνίας που συνθέτουν, πρέπει απλώς να προσθέσετε την τιμή των μέτρων βαθμών τους. Άρα, 72 +118 = 190. Αλλά εξ ορισμού, μια ευθεία γωνία είναι 180˚, που σημαίνει ότι δύο δεδομένες γωνίες δεν μπορούν να είναι γειτονικές.
3. Μια ευθεία γωνία περιέχει δύο ορθές γωνίες. Και αφού υπάρχουν δύο αναπτυγμένες στην πλήρη, σημαίνει ότι θα υπάρχουν 4 ευθείες σε αυτό.
4. Εάν ονομάσουμε τις επιθυμητές γωνίες a και b, τότε έστω x ο συντελεστής αναλογικότητας για αυτές, πράγμα που σημαίνει ότι a \u003d x, και κατά συνέπεια b \u003d 4x. Μια ευθεία γωνία σε μοίρες είναι 180˚. Και σύμφωνα με τις ιδιότητές της, ότι το μέτρο μοίρας μιας γωνίας είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των μέτρων βαθμών εκείνων των γωνιών στις οποίες διαιρείται με οποιαδήποτε αυθαίρετη ακτίνα που περνά μεταξύ των πλευρών της, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι x + 4x = 180 ˚, που σημαίνει 5x = 180˚ . Από εδώ βρίσκουμε: x=a=36˚ και b = 4x = 144˚. Απάντηση: 36˚ και 144˚.

Εάν καταφέρατε να απαντήσετε σε όλες αυτές τις ερωτήσεις χωρίς προτροπές και χωρίς να κρυφοκοιτάξετε τις απαντήσεις, τότε είστε έτοιμοι να προχωρήσετε στο επόμενο μάθημα γεωμετρίας.