Πεπερασμένοι διανυσματικοί χώροι, οι ιδιότητές τους και τα παραδείγματα. διανυσματικός χώρος

Από την Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

διάνυσμα(ή γραμμικός) χώρος- μια μαθηματική δομή, η οποία είναι ένα σύνολο στοιχείων, που ονομάζονται διανύσματα, για τα οποία ορίζονται οι πράξεις πρόσθεσης μεταξύ τους και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό - βαθμωτό. Αυτές οι πράξεις υπόκεινται σε οκτώ αξιώματα. Οι βαθμωτές μπορεί να είναι στοιχεία ενός πραγματικού, μιγαδικού ή οποιουδήποτε άλλου πεδίου αριθμών. Μια ειδική περίπτωση ενός τέτοιου χώρου είναι ο συνήθης τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος, τα διανύσματα του οποίου χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, για την αναπαράσταση φυσικών δυνάμεων. Ταυτόχρονα, πρέπει να σημειωθεί ότι ένα διάνυσμα ως στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου δεν χρειάζεται να προσδιορίζεται με τη μορφή κατευθυνόμενου τμήματος. Η γενίκευση της έννοιας "διάνυσμα" σε ένα στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου οποιασδήποτε φύσης όχι μόνο δεν προκαλεί σύγχυση όρων, αλλά μας επιτρέπει επίσης να κατανοήσουμε ή ακόμη και να προβλέψουμε έναν αριθμό αποτελεσμάτων που ισχύουν για χώρους αυθαίρετης φύσης .

Οι διανυσματικοί χώροι αποτελούν αντικείμενο μελέτης στη γραμμική άλγεβρα. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά ενός διανυσματικού χώρου είναι η διάστασή του. Διάσταση είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του χώρου, δηλαδή, με την προσφυγή σε μια πρόχειρη γεωμετρική περιγραφή, ο αριθμός των κατευθύνσεων που είναι ανέκφραστες μεταξύ τους μόνο μέσω των πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με βαθμωτό. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να είναι προικισμένος με πρόσθετες δομές, όπως ο κανόνας ή το γινόμενο κουκίδων. Τέτοιοι χώροι εμφανίζονται φυσικά στον λογισμό, κυρίως ως χώροι συναρτήσεων απεριόριστων διαστάσεων ( Αγγλικά), όπου τα διανύσματα είναι οι συναρτήσεις . Πολλά προβλήματα στην ανάλυση απαιτούν να βρεθεί αν μια ακολουθία διανυσμάτων συγκλίνει σε ένα δεδομένο διάνυσμα. Η εξέταση τέτοιων ερωτήσεων είναι δυνατή σε διανυσματικούς χώρους με πρόσθετη δομή, στις περισσότερες περιπτώσεις μια κατάλληλη τοπολογία, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να ορίσει τις έννοιες της εγγύτητας και της συνέχειας. Τέτοιοι τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, ιδιαίτερα οι χώροι Banach και Hilbert, επιτρέπουν βαθύτερη μελέτη.

Εκτός από τα διανύσματα, η γραμμική άλγεβρα μελετά επίσης τανυστές υψηλότερης κατάταξης (ένας βαθμωτός θεωρείται τανυστής της τάξης 0, ένα διάνυσμα θεωρείται τανυστής της τάξης 1).

Τα πρώτα έργα που προέβλεπαν την εισαγωγή της έννοιας του διανυσματικού χώρου χρονολογούνται από τον 17ο αιώνα. Τότε αναπτύχθηκε η αναλυτική γεωμετρία, το δόγμα των πινάκων, τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων και τα ευκλείδεια διανύσματα.

Ορισμός

Γραμμικός, ή διανυσματικός χώρος $V\backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά(F\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$πάνω από το γήπεδο $\phi ά$είναι ένα διατεταγμένο τετραπλό $(V,F,+,\backslash cdot)$, όπου

• $V$- ένα μη κενό σύνολο στοιχείων αυθαίρετης φύσης, τα οποία καλούνται φορείς;
• $\phi ά$- (αλγεβρικό) πεδίο του οποίου τα στοιχεία λέγονται σκαλοπάτια;
• Καθορισμένη λειτουργία προσθήκεςφορείς $V\backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; V\backslash \; έ\omega \varsigma \; V$, που ταιριάζει με κάθε ζεύγος στοιχείων $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$σκηνικά $V$ $V$καλώντας τους άθροισμακαι συμβολίζεται $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Καθορισμένη λειτουργία πολλαπλασιασμός διανυσμάτων με βαθμωτούς $F\backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; V\backslash \; έ\omega \varsigma \; V$, που ταιριάζει με κάθε στοιχείο $\backslash \lambda ά\mu \delta \alpha$χωράφια $\phi ά$και κάθε στοιχείο $\backslash mathbf(x)$σκηνικά $V$το μόνο στοιχείο του συνόλου $V$, συμβολίζεται $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ή $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Οι διανυσματικοί χώροι που ορίζονται στο ίδιο σύνολο στοιχείων αλλά σε διαφορετικά πεδία θα είναι διαφορετικοί διανυσματικοί χώροι (για παράδειγμα, το σύνολο των ζευγών πραγματικών αριθμών $\backslash mathbb(R)^2$μπορεί να είναι ένας δισδιάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών ή μονοδιάστατος - πάνω από το πεδίο των μιγαδικών αριθμών).

Οι απλούστερες ιδιότητες

1. Ο διανυσματικός χώρος είναι μια αβελιανή ομάδα με πρόσθεση.
2. ουδέτερο στοιχείο $\backslash mathbf(0)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
4. Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$αντίθετο στοιχείο $-\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$είναι το μόνο που προκύπτει από τις ιδιότητες ομάδας.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$και $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$Για οποιονδηποτε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$.

Σχετικοί ορισμοί και ιδιότητες

υποχώρος

Αλγεβρικός ορισμός: Γραμμικός υποχώροςή διανυσματικός υποχώροςείναι ένα μη κενό υποσύνολο $\kappa$γραμμικός χώρος $V$τέτοια που $\kappa$είναι ο ίδιος ένας γραμμικός χώρος σε σχέση με αυτούς που ορίζονται στο $V$τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με βαθμωτό. Το σύνολο όλων των υποχώρων συνήθως συμβολίζεται ως $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Για να είναι ένα υποσύνολο υποχώρος, είναι απαραίτητο και αρκετό

1. για οποιοδήποτε διάνυσμα $\backslash mathbf(x)\backslash \sigma \tau o\; {\rm K}$, διάνυσμα $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ανήκε επίσης $\kappa$, για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \backslash \sigma \tau o\; F$;
2. για τυχόν διανύσματα $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \sigma \epsilon \; K$, διάνυσμα $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ανήκε επίσης $\kappa$.

Οι δύο τελευταίες δηλώσεις είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες:

Για τυχόν διανύσματα $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \sigma \epsilon \; K$, διάνυσμα $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ανήκε επίσης $\kappa$για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha ,\; \backslash \beta ή\tau \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$.

Συγκεκριμένα, ένας διανυσματικός χώρος που αποτελείται από ένα μόνο μηδενικό διάνυσμα είναι ένας υποχώρος οποιουδήποτε χώρου. κάθε χώρος είναι ένας υποχώρος του εαυτού του. Οι υποχώροι που δεν συμπίπτουν με αυτούς τους δύο ονομάζονται το δικόή μη τετριμμένο.

Ιδιότητες υποχώρου

• Η τομή οποιασδήποτε οικογένειας υποχώρων είναι πάλι ένας υποχώρος.
• Άθροισμα υποχώρων $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash \sigma \epsilon \; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ορίζεται ως ένα σύνολο που περιέχει όλα τα πιθανά αθροίσματα στοιχείων $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash \sigma \epsilon \; K\_i\backslash quad\; (i\backslash \sigma \epsilon \; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Το άθροισμα μιας πεπερασμένης οικογένειας υποχώρων είναι και πάλι ένας υποχώρος.

Γραμμικοί συνδυασμοί

Τελικό άθροισμα της προβολής

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Ο γραμμικός συνδυασμός ονομάζεται:

Βάση. Διάσταση

Διανύσματα $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με μηδέν:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Διαφορετικά, αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητη.

Αυτός ο ορισμός επιτρέπει την ακόλουθη γενίκευση: ένα άπειρο σύνολο διανυσμάτων από $V$που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, αν μερικοί τελικόςυποσύνολο του, και γραμμικά ανεξάρτητη, εάν υπάρχει τελικόςΤο υποσύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ιδιότητες βάσης:

• Οποιος $n$γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία $n$-διαστατική μορφή χώρου βάσηαυτόν τον χώρο.
• Οποιοδήποτε διάνυσμα $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$μπορεί να αναπαρασταθεί (μοναδικά) ως ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός βασικών στοιχείων:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Γραμμικό κέλυφος

Γραμμικό κέλυφος $\backslash mathcal\; V(X)$υποσύνολα ${\rm X}$γραμμικός χώρος $V$- διασταύρωση όλων των υποχώρων $V$που περιέχει ${\rm X}$.

Το γραμμικό κέλυφος είναι ένας υποχώρος $V$.

Γραμμικό κέλυφος ονομάζεται επίσης υποχώρος που δημιουργείται ${\rm X}$. Λέγεται επίσης ότι το γραμμικό άνοιγμα $\backslash mathcal\; V(X)$- χώρος, τεντωμένοπολλά ${\rm X}$.

Γραμμικό κέλυφος $\backslash mathcal\; V(X)$αποτελείται από όλους τους πιθανούς γραμμικούς συνδυασμούς διαφόρων πεπερασμένων υποσυστημάτων στοιχείων από ${\rm X}$. Ειδικότερα, εάν ${\rm X}$είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, λοιπόν $\backslash mathcal\; V(X)$αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων ${\rm X}$. Έτσι, το μηδενικό διάνυσμα ανήκει πάντα στο γραμμικό διάστημα.

Αν ένα ${\rm X}$είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο, τότε είναι μια βάση $\backslash mathcal\; V(X)$και έτσι καθορίζει τη διάστασή του.

Παραδείγματα

• Ένα μηδενικό διάστημα του οποίου το μόνο στοιχείο είναι το μηδέν.
• Ο χώρος όλων των λειτουργιών $X\backslash \; έ\omega \varsigma \; F$με πεπερασμένο στήριγμα σχηματίζει διανυσματικό χώρο διάστασης ίσο με ${\rm X}$.
• Το πεδίο των πραγματικών αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συνεχής διαστάσεων διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των ρητών αριθμών.
• Οποιοδήποτε πεδίο είναι ένας μονοδιάστατος χώρος πάνω από τον εαυτό του.

Πρόσθετες δομές

δείτε επίσης

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Διανυσματικός χώρος"

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Gelfand I.M.Διαλέξεις για τη γραμμική άλγεβρα. - 5η. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 σελ. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M.Διαλέξεις για τη γραμμική άλγεβρα. 5η έκδ. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I.Γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία. 2η έκδ. - M .: Nauka, 1986. - 304 p.
• Kostrikin A.I.Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 2: Γραμμική Άλγεβρα. - 3ος. - M .: Nauka ., 2004. - 368 σελ. - (Πανεπιστημιακό εγχειρίδιο).
• Maltsev A.I.Βασικές αρχές της γραμμικής άλγεβρας. - 3ος. - M .: Nauka, 1970. - 400 p.

• Ποστνίκοφ Μ. Μ.Γραμμική Άλγεβρα (Διαλέξεις Γεωμετρίας. Εξάμηνο ΙΙ). - 2ο. - M .: Nauka, 1986. - 400 p.
• Strang G. Linear Algebra and Its Applications = Γραμμική Άλγεβρα και οι Εφαρμογές της. - M .: Mir, 1980. - 454 p.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G.Γραμμική άλγεβρα. 6η έκδ. - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 σελ. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Finite-Dimensional Vector Spaces = Finite-Dimensional Vector Spaces. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 σελ.
• Faddeev D.K.Διαλέξεις για την Άλγεβρα. - 5η. - Αγία Πετρούπολη. : Lan, 2007. - 416 σελ.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O.Γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία. - 1ος. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 σελ.
• Schreyer O., Shperner G.Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα στη γεωμετρική παρουσίαση = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (μετάφραση από τα γερμανικά). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Διανύσματα και πίνακες Διανύσματα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Είδη διανυσμάτων Πράξεις σε διανύσματα Τύποι χώρου μήτρες ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αλλα

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον διανυσματικό χώρο

Ο Κουτούζοφ περπάτησε μέσα από τις τάξεις, περιστασιακά σταματούσε και έλεγε μερικά καλά λόγια στους αξιωματικούς, τους οποίους γνώριζε από τον τουρκικό πόλεμο, και μερικές φορές στους στρατιώτες. Ρίχνοντας μια ματιά στα παπούτσια, κούνησε το κεφάλι του με θλίψη πολλές φορές και τους έδειξε προς τον Αυστριακό στρατηγό με μια τέτοια έκφραση που φαινόταν να μην κατηγορεί κανέναν για αυτό, αλλά δεν μπορούσε παρά να δει πόσο άσχημα ήταν. Ο διοικητής του συντάγματος έτρεχε μπροστά κάθε φορά, φοβούμενος να χάσει τη λέξη του αρχιστράτηγου σχετικά με το σύνταγμα. Πίσω από τον Κουτούζοφ, σε τέτοια απόσταση που μπορούσε να ακουστεί κάθε αδύναμη λέξη, περπατούσε ένας άνδρας 20 συνοδών. Οι κύριοι των συνοδών μιλούσαν μεταξύ τους και μερικές φορές γελούσαν. Πιο κοντά πίσω από τον αρχιστράτηγο ήταν ένας όμορφος υπασπιστής. Ήταν ο πρίγκιπας Μπολκόνσκι. Δίπλα του περπατούσε ο σύντροφός του Nesvitsky, ένας ψηλός αξιωματικός του επιτελείου, εξαιρετικά εύσωμος, με ένα ευγενικό και χαμογελαστό όμορφο πρόσωπο και υγρά μάτια. Ο Νεσβίτσκι με δυσκολία συγκρατήθηκε να μη γελάσει, ξυπνώντας από τον μαυριδερό αξιωματικό ουσάρ που περπατούσε δίπλα του. Ο αξιωματικός ουσάρ, χωρίς να χαμογελάσει, χωρίς να αλλάξει την έκφραση των καρφωμένων ματιών του, κοίταξε με σοβαρό πρόσωπο το πίσω μέρος του διοικητή του συντάγματος και μιμήθηκε κάθε του κίνηση. Κάθε φορά που ο διοικητής του συντάγματος ανατρίχιαζε και έγερνε μπροστά, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, ο αξιωματικός των ουσάρων ανατρίχιαζε και έγερνε μπροστά. Ο Νεσβίτσκι γέλασε και ώθησε τους άλλους να κοιτάξουν τον αστείο άντρα.
Ο Κουτούζοφ περπάτησε αργά και άτονα δίπλα από χίλια μάτια που βγήκαν από τις κόγχες τους, ακολουθώντας το αφεντικό. Έχοντας ισοπεδωθεί με την 3η παρέα, ξαφνικά σταμάτησε. Η ακολουθία, μη προβλεπόμενη αυτή τη στάση, προχώρησε άθελά του πάνω του.
- Αχ, Τιμόχιν! - είπε ο αρχιστράτηγος, αναγνωρίζοντας τον καπετάνιο με την κόκκινη μύτη, που υπέφερε για ένα μπλε πανωφόρι.
Φαινόταν ότι ήταν αδύνατο να τεντωθεί περισσότερο από ό,τι τέντωσε ο Τιμόχιν, ενώ ο διοικητής του συντάγματος τον επέπληξε. Αλλά εκείνη τη στιγμή του απευθύνθηκε ο αρχιστράτηγος, ο λοχαγός τραβήχτηκε έτσι ώστε φαινόταν ότι αν ο αρχιστράτηγος τον κοίταζε για λίγο ακόμα, ο λοχαγός δεν θα το άντεχε. ; και επομένως ο Κουτούζοφ, προφανώς κατανοώντας τη θέση του και επιθυμώντας, αντίθετα, ό,τι καλύτερο για τον καπετάνιο, έφυγε βιαστικά. Ένα ελάχιστα αντιληπτό χαμόγελο διέτρεξε το παχουλό, πληγωμένο πρόσωπο του Κουτούζοφ.
«Ένας άλλος σύντροφος Izmaylovsky», είπε. «Γενναίος αξιωματικός!» Είσαι ευχαριστημένος με αυτό; ρώτησε ο Κουτούζοφ τον διοικητή του συντάγματος.
Και ο διοικητής του συντάγματος, σαν να αντανακλάται σε έναν καθρέφτη, αόρατα στον εαυτό του, στον αξιωματικό ουσάρ, ανατρίχιασε, πήγε μπροστά και απάντησε:
«Πολύ ευχαριστημένος Σεβασμιώτατε.
«Δεν είμαστε όλοι χωρίς αδυναμίες», είπε ο Κουτούζοφ, χαμογελώντας και απομακρύνθηκε από αυτόν. «Είχε μια προσκόλληση με τον Βάκχο.
Ο διοικητής του συντάγματος φοβόταν ότι δεν έφταιγε για αυτό και δεν απάντησε. Ο αξιωματικός εκείνη τη στιγμή παρατήρησε το πρόσωπο του καπετάνιου με κόκκινη μύτη και μαζεμένο στομάχι, και μιμήθηκε το πρόσωπο και τη στάση του τόσο παρόμοια που ο Νεσβίτσκι δεν μπορούσε να συγκρατήσει τα γέλια.
Ο Κουτούζοφ γύρισε. Ήταν προφανές ότι ο αξιωματικός μπορούσε να ελέγξει το πρόσωπό του όπως ήθελε: τη στιγμή που ο Κουτούζοφ γύρισε, ο αξιωματικός κατάφερε να κάνει έναν μορφασμό και μετά να πάρει την πιο σοβαρή, σεβαστή και αθώα έκφραση.
Η τρίτη παρέα ήταν η τελευταία και σκέφτηκε ο Κουτούζοφ, προφανώς θυμόταν κάτι. Ο πρίγκιπας Αντρέι βγήκε από τη συνοδεία και είπε ήσυχα στα γαλλικά:
- Διέταξες να σου θυμίζουν τον υποβιβασμένο Ντολόχοφ σε αυτό το σύνταγμα.
- Πού είναι ο Ντολόχοφ; ρώτησε ο Κουτούζοφ.
Ο Ντολόχοφ, ήδη ντυμένος με γκρι παλτό στρατιώτη, δεν περίμενε να τον καλέσουν. Η λεπτή φιγούρα ενός ξανθού στρατιώτη με καταγάλανα μάτια βγήκε από μπροστά. Πλησίασε τον αρχιστράτηγο και έκανε φρουρό.
- Απαίτηση? - Συνοφρυωμένος ελαφρά, ρώτησε ο Κουτούζοφ.
«Αυτός είναι ο Dolokhov», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι.
- ΕΝΑ! είπε ο Κουτούζοφ. – Ελπίζω ότι αυτό το μάθημα θα σας διορθώσει, εξυπηρετήστε καλά. Ο Αυτοκράτορας είναι ελεήμων. Και δεν θα σε ξεχάσω αν το αξίζεις.
Καθαρά γαλάζια μάτια κοίταξαν τον αρχιστράτηγο με τόλμη όπως και τον διοικητή του συντάγματος, σαν να έσκιζαν με την έκφρασή τους το πέπλο της συμβατικότητας που χώριζε τόσο πολύ τον αρχιστράτηγο από τον στρατιώτη.
«Σας ζητώ ένα πράγμα, Εξοχότατε», είπε με την ηχηρή, σταθερή, αβίαστη φωνή του. «Σας ζητώ να μου δώσετε την ευκαιρία να επανορθώσω την ενοχή μου και να αποδείξω την αφοσίωσή μου στον αυτοκράτορα και τη Ρωσία.
Ο Κουτούζοφ γύρισε μακριά. Το ίδιο χαμόγελο των ματιών του άστραψε στο πρόσωπό του όπως τη στιγμή που γύρισε μακριά από τον λοχαγό Τιμόχιν. Γύρισε μακριά και μόρφασε, σαν να ήθελε να εκφράσει με αυτό ότι όλα όσα του είπε ο Dolokhov, και όλα όσα μπορούσε να του πει, ήξερε εδώ και πολύ καιρό ότι όλα αυτά τον είχαν ήδη βαρεθεί και ότι όλα αυτά ήταν καθόλου αυτό που χρειαζόταν.. Γύρισε και προχώρησε προς την άμαξα.
Το σύνταγμα τακτοποιήθηκε σε παρέες και κατευθύνθηκε προς τα διαμερίσματα που είχαν ανατεθεί όχι μακριά από το Μπραουνάου, όπου ήλπιζαν να φορέσουν παπούτσια, να ντυθούν και να ξεκουραστούν μετά από δύσκολες μεταβάσεις.
- Δεν με προσποιείσαι, Πρόκορ Ιγνάτιτς; - είπε ο διοικητής του συντάγματος, κυκλώνοντας τον 3ο λόχο προχωρώντας προς το μέρος και οδηγώντας μέχρι τον λοχαγό Τιμόχιν, που περπατούσε μπροστά του. Το πρόσωπο του διοικητή του συντάγματος, μετά από μια χαρούμενη ανασκόπηση, εξέφρασε ακατανίκητη χαρά. - Η βασιλική υπηρεσία ... δεν μπορείτε ... άλλη φορά θα κόψετε στο μέτωπο ... Θα είμαι ο πρώτος που θα ζητήσω συγγνώμη, με ξέρετε ... Σας ευχαριστώ πολύ! Και άπλωσε το χέρι του στον διοικητή.
«Συγγνώμη, στρατηγέ, τολμώ!» - απάντησε ο καπετάνιος, κοκκινίζοντας με τη μύτη του, χαμογελώντας και αποκαλύπτοντας με χαμόγελο την έλλειψη δύο μπροστινών δοντιών, που χτυπήθηκαν από έναν πισινό κοντά στον Ισμαήλ.
- Ναι, πείτε στον κύριο Ντολόχοφ ότι δεν θα τον ξεχάσω, για να είναι ήρεμος. Ναι, πες μου, συνέχισα να ρωτάω, τι είναι, πώς συμπεριφέρεται; Και τα παντα...
«Είναι πολύ εξυπηρετικός στην υπηρεσία του, Εξοχότατε… αλλά ο καραχτέρ…» είπε ο Τιμόχιν.
- Και τι, ποιος είναι ο χαρακτήρας; ρώτησε ο διοικητής του συντάγματος.
«Βρίσκει, εξοχότατε, για μέρες», είπε ο καπετάνιος, «είναι έξυπνος, μορφωμένος και ευγενικός. Και αυτό είναι θηρίο. Στην Πολωνία, σκότωσε έναν Εβραίο, αν ξέρετε...
- Λοιπόν, ναι, καλά, ναι, - είπε ο διοικητής του συντάγματος, - πρέπει ακόμα να λυπηθείτε για τον νεαρό άνδρα στην ατυχία. Σε τελική ανάλυση, εξαιρετικές διασυνδέσεις ... Έτσι ...
«Ακούω, Εξοχότατε», είπε ο Τιμόχιν, με ένα χαμόγελο που έκανε να νιώθει ότι κατανοούσε τις επιθυμίες του αφεντικού.
- Ναι ναι.
Ο διοικητής του συντάγματος βρήκε τον Dolokhov στις τάξεις και χαλινάρισε το άλογό του.
«Πριν από την πρώτη περίπτωση, επωμίδες», του είπε.
Ο Ντολόχοφ κοίταξε τριγύρω, δεν είπε τίποτα και δεν άλλαξε την έκφραση του χλευαστικά χαμογελαστού στόματός του.
«Λοιπόν, αυτό είναι καλό», συνέχισε ο διοικητής του συντάγματος. «Ο κόσμος παίρνει ένα ποτήρι βότκα από εμένα», πρόσθεσε, για να μπορούν να ακούσουν οι στρατιώτες. - Σας ευχαριστώ όλους! Δόξα τω θεώ! - Και αυτός, έχοντας προσπεράσει μια εταιρεία, οδήγησε σε μια άλλη.
«Λοιπόν, είναι πραγματικά καλός άνθρωπος. Μπορείς να υπηρετήσεις μαζί του», είπε ο Τιμόχιν υποδεέστερος στον αξιωματικό που περπατούσε δίπλα του.
- Μια λέξη, κόκκινο!... (ο διοικητής του συντάγματος είχε το παρατσούκλι ο κόκκινος βασιλιάς) - είπε ο υπαξιωματικός γελώντας.
Η χαρούμενη διάθεση των αρχών μετά την αναθεώρηση πέρασε στους φαντάρους. Η Ρότα διασκέδαζε. Οι φωνές των στρατιωτών μιλούσαν από όλες τις πλευρές.
- Πώς είπαν, ο Κουτούζοφ στραβός, για το ένα μάτι;
- Αλλά όχι! Εντελώς στραβό.
- Όχι ... αδερφέ, πιο μεγαλόφθαλμος από σένα. Μπότες και γιακά - κοίταξε γύρω από τα πάντα ...
- Πώς μου κοιτάει, αδερφέ μου, τα πόδια μου... καλά! νομίζω…
- Και ο άλλος είναι Αυστριακός, ήταν μαζί του, σαν αλειμμένος με κιμωλία. Σαν αλεύρι, λευκό. Είμαι τσάι, πώς καθαρίζουν πυρομαχικά!
- Τι, Fedeshow!… είπε, ίσως, όταν αρχίζουν οι φρουροί, στάθηκες πιο κοντά; Τα είπαν όλα, ο ίδιος ο Μπουναπάρτης στέκεται στον Μπρούνοφ.
- Ο Μπουναπάρτης στέκεται! λες ψέματα, βλάκα! Τι δεν ξέρει! Τώρα ο Πρώσος είναι σε εξέγερση. Ο Αυστριακός, λοιπόν, τον ειρηνεύει. Μόλις συμφιλιωθεί, τότε θα ανοίξει ο πόλεμος με τον Βουναπάρτη. Και μετά, λέει, στον Μπρούνοφ στέκεται ο Μπουναπάρτης! Είναι προφανές ότι είναι ηλίθιος. Ακούς περισσότερο.
«Κοιτάξτε, καταραμένοι ενοικιαστές! Η πέμπτη παρέα, κοίτα, ήδη γυρίζει στο χωριό, θα ψήσουν χυλό, και δεν θα φτάσουμε ακόμα στο μέρος.
- Δώσε μου ένα κράκερ, διάολε.
«Έδωσες καπνό χθες;» Αυτό είναι αδερφέ. Λοιπόν, ο Θεός είναι μαζί σας.
- Αν σταμάτησαν, αλλιώς δεν θα φας άλλα πέντε μίλια proprem.
- Ήταν ωραίο πώς μας έδωσαν καρότσια οι Γερμανοί. Πήγαινε, ξέρεις: είναι σημαντικό!
- Και εδώ, αδερφέ, ο κόσμος ξέφρενε τελείως. Εκεί όλα έμοιαζαν να είναι Πολωνοί, όλα ήταν του ρωσικού στέμματος. και τώρα, αδερφέ, έφυγε ένας συμπαγής Γερμανός.
- Μπροστά οι τραγουδοποιοί! - Άκουσα την κραυγή του καπετάνιου.
Και είκοσι άνθρωποι έτρεξαν μπροστά στην εταιρεία από διαφορετικές τάξεις. Ο ντράμερ τραγουδά γύρισε για να αντικρίσει τα βιβλία τραγουδιών και, κουνώντας το χέρι του, άρχισε ένα τραβηγμένο τραγούδι του στρατιώτη, ξεκινώντας: «Δεν είναι ξημέρωμα, ο ήλιος έσπαζε…» και τελειώνοντας με τις λέξεις: «Αυτό , αδέρφια, θα μας είναι δόξα με τον Καμένσκι πατέρα...» στην Τουρκία και τραγουδήθηκε τώρα στην Αυστρία, μόνο με την αλλαγή ότι στη θέση του «Καμένσκι πατέρα» μπήκαν οι λέξεις: «Ο πατέρας του Κουτούζοφ».
Σκίζοντας αυτές τις τελευταίες λέξεις σαν στρατιώτης και κουνώντας τα χέρια του σαν να πετούσε κάτι στο έδαφος, ο ντράμερ, ένας ξερός και όμορφος στρατιώτης περίπου σαράντα, κοίταξε αυστηρά γύρω του τους τραγουδοποιούς στρατιώτες και έκλεισε τα μάτια του. Έπειτα, βεβαιώνοντας ότι όλα τα βλέμματα ήταν καρφωμένα πάνω του, φάνηκε να σηκώνει προσεκτικά και με τα δύο του χέρια κάποιο αόρατο, πολύτιμο πράγμα πάνω από το κεφάλι του, το κράτησε έτσι για αρκετά δευτερόλεπτα και ξαφνικά το πέταξε απελπισμένος:
Ω, εσύ, κουβούκλιο μου, σκέπαστρό μου!
«Κουβάλα μου καινούργια…», ακούστηκαν είκοσι φωνές, και ο κουμπάρος, παρά το βάρος των πυρομαχικών, πήδηξε βιαστικά μπροστά και προχώρησε προς τα πίσω μπροστά στην παρέα, κουνώντας τους ώμους του και απειλώντας κάποιον με κουτάλια. Οι στρατιώτες, κουνώντας τα χέρια τους στο ρυθμό του τραγουδιού, περπατούσαν με ένα ευρύχωρο βήμα, χτυπώντας ακούσια το πόδι. Πίσω από την παρέα ακούγονταν οι ήχοι των τροχών, το τρίξιμο των ελατηρίων και το χτύπημα των αλόγων.
Ο Κουτούζοφ με τη συνοδεία του επέστρεφε στην πόλη. Ο Αρχιστράτηγος έδωσε σήμα ότι ο κόσμος πρέπει να συνεχίσει να περπατά ελεύθερα, και η ευχαρίστηση εκφράστηκε στο πρόσωπό του και σε όλα τα πρόσωπα της ακολουθίας του στο άκουσμα του τραγουδιού, στη θέα του στρατιώτη που χορεύει και του χαρούμενου και ζωηρού βαδίζοντας στρατιώτες του λόχου. Στη δεύτερη σειρά, από τη δεξιά πλευρά, από την οποία η άμαξα προσπέρασε τους λόχους, τράβηξε άθελά του τα βλέμματα ένας γαλανομάτης στρατιώτης, ο Dolokhov, ο οποίος περπάτησε ιδιαίτερα ζωηρά και με χάρη στον ρυθμό του τραγουδιού και κοίταξε τα πρόσωπα των περαστικοί με τέτοια έκφραση σαν να λυπόταν όλους όσοι δεν πήγαιναν αυτή την ώρα με παρέα. Ένας χουσάρ κορνέ από τη συνοδεία του Κουτούζοφ, μιμούμενος τον διοικητή του συντάγματος, έμεινε πίσω από την άμαξα και οδήγησε μέχρι τον Ντολόχοφ.
Ο χουσάρ κορνέ Ζερκόφ κάποτε στην Αγία Πετρούπολη ανήκε σε εκείνη τη βίαιη κοινωνία της οποίας ηγούνταν ο Ντολόχοφ. Ο Ζέρκοφ γνώρισε τον Ντολοκόφ στο εξωτερικό ως στρατιώτη, αλλά δεν θεώρησε απαραίτητο να τον αναγνωρίσει. Τώρα, μετά τη συζήτηση του Κουτούζοφ με τον υποβιβασμένο, γύρισε προς το μέρος του με τη χαρά ενός παλιού φίλου:
- Αγαπητέ φίλε, πώς είσαι; - είπε στο άκουσμα του τραγουδιού, ισοφαρίζοντας το βήμα του αλόγου του με το βήμα της παρέας.
- Είμαι σαν? - απάντησε ψυχρά ο Dolokhov, - όπως μπορείτε να δείτε.
Το ζωηρό τραγούδι έδινε ιδιαίτερη σημασία στον τόνο της αναιδής ευθυμίας με τον οποίο μιλούσε ο Ζέρκοφ και στη σκόπιμη ψυχρότητα των απαντήσεων του Ντολόχοφ.
- Λοιπόν, πώς τα πας με τις αρχές; ρώτησε ο Ζέρκοφ.
Τίποτα, καλοί άνθρωποι. Πώς μπήκατε στην έδρα;
- Αποσπασμένος, εφημερεύω.
Ήταν σιωπηλοί.
«Άφησα το γεράκι να βγει από το δεξί μου μανίκι», είπε το τραγούδι, προκαλώντας ακούσια ένα χαρούμενο, χαρούμενο συναίσθημα. Η συζήτησή τους μάλλον θα ήταν διαφορετική αν δεν μιλούσαν στον ήχο ενός τραγουδιού.
- Τι ισχύει, χτυπήθηκαν οι Αυστριακοί; ρώτησε ο Ντολόχοφ.
«Ο διάβολος ξέρει, λένε.
«Χαίρομαι», απάντησε ο Dolokhov συνοπτικά και ξεκάθαρα, όπως απαιτούσε το τραγούδι.
- Λοιπόν, έλα σε μας όταν το βράδυ, ο φαραώ θα ενέχυρο, - είπε ο Ζέρκοφ.
Ή μήπως έχεις πολλά λεφτά;
- Έλα.
- Ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Έδωσε όρκο. Δεν πίνω ούτε παίζω μέχρι να τελειώσει.
Λοιπόν, πριν το πρώτο πράγμα...
- Θα το δεις εκεί.
Και πάλι σώπασαν.
«Ελάτε μέσα, αν χρειαστείτε κάτι, όλοι στα κεντρικά γραφεία θα βοηθήσουν…» είπε ο Ζέρκοφ.
Ο Ντολόχοφ γέλασε.
«Καλύτερα να μην ανησυχείς. Ό,τι χρειάζομαι, δεν θα το ζητήσω, θα το πάρω μόνος μου.
«Ναι, είμαι τόσο...
- Λοιπόν, κι εγώ.
- Αντιο σας.
- Να είναι υγιής…
... και ψηλά και μακριά,
Στην έδρα...
Ο Ζέρκοφ άγγιξε το άλογό του με τα σπιρούνια του, το οποίο τρεις φορές, ενθουσιασμένος, κλώτσησε, μη ξέροντας από πού να αρχίσει, τα κατάφερε και κάλπασε, προσπέρασε την παρέα και προλάβαινε την άμαξα, επίσης με το τραγούδι.

Επιστρέφοντας από την επιθεώρηση, ο Κουτούζοφ, συνοδευόμενος από έναν Αυστριακό στρατηγό, πήγε στο γραφείο του και, καλώντας τον βοηθό, διέταξε να δώσει στον εαυτό του ορισμένα έγγραφα σχετικά με την κατάσταση των ερχόμενων στρατευμάτων και επιστολές που έλαβε από τον Αρχιδούκα Φερδινάνδο, ο οποίος διοικούσε τον στρατό. . Ο πρίγκιπας Αντρέι Μπολκόνσκι με τα απαιτούμενα χαρτιά μπήκε στο γραφείο του αρχιστράτηγου. Μπροστά από το σχέδιο στο τραπέζι κάθονταν ο Κουτούζοφ και ένα Αυστριακό μέλος του Hofkriegsrat.
«Α...» είπε ο Κουτούζοφ, κοιτάζοντας πίσω στον Μπολκόνσκι, σαν με αυτή τη λέξη να προσκαλούσε τον βοηθό να περιμένει, και συνέχισε τη συνομιλία που ξεκίνησε στα γαλλικά.
«Λέω μόνο ένα πράγμα, στρατηγέ», είπε ο Κουτούζοφ με μια ευχάριστη κομψότητα έκφρασης και τονισμό, αναγκάζοντας κάποιον να ακούει κάθε λέξη που λέγεται χαλαρά. Ήταν προφανές ότι ο Κουτούζοφ άκουγε τον εαυτό του με ευχαρίστηση. - Ένα μόνο λέω, στρατηγέ, ότι αν το θέμα εξαρτιόταν από την προσωπική μου επιθυμία, τότε η θέληση του Αυτού Μεγαλειότητος Αυτοκράτορα Φραντς θα είχε εκπληρωθεί προ πολλού. Θα είχα ενταχθεί στον Αρχιδούκα εδώ και πολύ καιρό. Και πιστέψτε την τιμή μου, ότι για μένα προσωπικά θα ήταν χαρά να μεταφέρω την ανώτερη διοίκηση του στρατού περισσότερο από ό,τι είμαι σε έναν έμπειρο και επιδέξιο στρατηγό, όπως η Αυστρία είναι τόσο άφθονη, και να αναθέσω όλη αυτή τη βαριά ευθύνη για εμένα προσωπικά θα ήταν χαρά . Αλλά οι συνθήκες είναι πιο δυνατές από εμάς, στρατηγέ.
Και ο Κουτούζοφ χαμογέλασε με μια τέτοια έκφραση σαν να έλεγε: «Έχεις κάθε δικαίωμα να μην με πιστεύεις, και ακόμη και εμένα δεν με νοιάζει αν με πιστεύεις ή όχι, αλλά δεν έχεις λόγο να μου το πεις αυτό. Και αυτή είναι η όλη ουσία».
Ο Αυστριακός στρατηγός φαινόταν δυσαρεστημένος, αλλά δεν μπορούσε να απαντήσει στον Κουτούζοφ με τον ίδιο τόνο.
«Αντίθετα», είπε με βαρύγδουπο και θυμωμένο ύφος, τόσο σε αντίθεση με την κολακευτική σημασία των λέξεων που ειπώθηκαν, «αντίθετα, η συμμετοχή της Εξοχότητάς σας στον κοινό σκοπό εκτιμάται ιδιαίτερα από την Αυτού Μεγαλειότητα. αλλά πιστεύουμε ότι μια πραγματική επιβράδυνση στερεί από τα ένδοξα ρωσικά στρατεύματα και τους διοικητές τους τις δάφνες που έχουν συνηθίσει να καρπώνονται στη μάχη », ολοκλήρωσε τη φαινομενικά προετοιμασμένη φράση.
Ο Κουτούζοφ υποκλίθηκε χωρίς να αλλάξει το χαμόγελό του.
- Και είμαι τόσο πεπεισμένος και, με βάση την τελευταία επιστολή που με τίμησε η Αυτού Υψηλότης Αρχιδούκας Φερδινάνδος, υποθέτω ότι τα αυστριακά στρατεύματα, υπό τη διοίκηση ενός τόσο ικανού βοηθού όπως ο στρατηγός Μακ, έχουν ήδη κερδίσει μια αποφασιστική νίκη και δεν έχουν πλέον χρειάζεσαι τη βοήθειά μας, - είπε ο Κουτούζοφ.
Ο στρατηγός συνοφρυώθηκε. Αν και δεν υπήρχαν θετικά νέα για την ήττα των Αυστριακών, υπήρχαν πάρα πολλές περιστάσεις που επιβεβαίωναν τις γενικές δυσμενείς φήμες. και επομένως η υπόθεση του Κουτούζοφ για τη νίκη των Αυστριακών έμοιαζε πολύ με κοροϊδία. Αλλά ο Κουτούζοφ χαμογέλασε πειθήνια, με την ίδια έκφραση που έλεγε ότι είχε το δικαίωμα να το υποθέσει. Πράγματι, η τελευταία επιστολή που έλαβε από τον στρατό του Μακ τον ενημέρωσε για τη νίκη και την πιο πλεονεκτική στρατηγική θέση του στρατού.
«Δώσε μου αυτό το γράμμα εδώ», είπε ο Κουτούζοφ, γυρίζοντας στον πρίγκιπα Αντρέι. - Ορίστε, αν θέλετε να το δείτε. - Και ο Κουτούζοφ, με ένα σκωπτικό χαμόγελο στις άκρες των χειλιών του, διάβασε το ακόλουθο απόσπασμα από την επιστολή του Αρχιδούκα Φερδινάνδου από τον γερμανοαυστριακό στρατηγό: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtewollintent sewended. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten. [Έχουμε μια πλήρως συγκεντρωμένη δύναμη, περίπου 70.000 άτομα, ώστε να επιτεθούμε και να νικήσουμε τον εχθρό αν περάσει το Λεχ. Δεδομένου ότι έχουμε ήδη το Ulm, μπορούμε να διατηρήσουμε το πλεονέκτημα να διοικούμε και τις δύο όχθες του Δούναβη, επομένως, κάθε λεπτό, εάν ο εχθρός δεν διασχίσει το Λεχ, διασχίσει τον Δούναβη, σπεύσει στη γραμμή επικοινωνίας του, διασχίσει τον Δούναβη χαμηλότερα και ο εχθρός , αν αποφασίσει να στρέψει όλες του τις δυνάμεις στους πιστούς μας συμμάχους, για να αποτρέψει την εκπλήρωση της πρόθεσής του. Έτσι, θα περιμένουμε με χαρά τη στιγμή που ο αυτοκρατορικός ρωσικός στρατός είναι εντελώς έτοιμος, και τότε μαζί θα βρούμε εύκολα την ευκαιρία να προετοιμάσουμε τον εχθρό για τη μοίρα που του αξίζει.

Golovizin V.V. Διαλέξεις για την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία. τέσσερις

Διαλέξεις για την Άλγεβρα και τη Γεωμετρία. Εξάμηνο 2.

Διάλεξη 22. Διανυσματικοί χώροι.

Σύντομο περιεχόμενο: ορισμός ενός διανυσματικού χώρου, οι απλούστερες ιδιότητές του, συστήματα διανυσμάτων, γραμμικός συνδυασμός συστήματος διανυσμάτων, τετριμμένος και μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός, γραμμικά εξαρτημένα και ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων, συνθήκες γραμμικής εξάρτησης ή ανεξαρτησίας ενός συστήματος διανυσμάτων, υποσυστήματα ενός συστήματος διανυσμάτων, συστήματα στηλών ενός αριθμητικού διανυσματικού χώρου.

στοιχείο 1. Ορισμός διανυσματικού χώρου και οι απλούστερες ιδιότητές του.

Εδώ, για διευκόλυνση του αναγνώστη, επαναλαμβάνουμε το περιεχόμενο της παραγράφου 13 της διάλεξης 1.

Ορισμός. Έστω ένα αυθαίρετο μη κενό σύνολο, του οποίου τα στοιχεία θα ονομάσουμε διανύσματα, Κ-πεδίο, του οποίου τα στοιχεία θα ονομάσουμε βαθμωτές. Ας οριστεί μια εσωτερική δυαδική αλγεβρική πράξη στο σύνολο, την οποία θα συμβολίσουμε με το πρόσημο + και θα ονομάσουμε πρόσθεση διανυσμάτων. Ας οριστεί επίσης μια εξωτερική δυαδική αλγεβρική πράξη στο σύνολο, την οποία θα ονομάσουμε πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό και θα συμβολίσουμε με το πρόσημο του πολλαπλασιασμού. Με άλλα λόγια, ορίζονται δύο αντιστοιχίσεις:

Ένα σύνολο μαζί με αυτές τις δύο αλγεβρικές πράξεις ονομάζεται διανυσματικός χώρος πάνω από ένα πεδίο K εάν ισχύουν τα ακόλουθα αξιώματα:

1. Η πρόσθεση είναι συνειρμική, δηλ.

2. Υπάρχει μηδενικό διάνυσμα, δηλ.

3. Για κάθε διάνυσμα, υπάρχει ένα αντίθετο:

Το διάνυσμα y, απέναντι από το διάνυσμα x, συνήθως συμβολίζεται με -x, έτσι ώστε

4. Η πρόσθεση είναι μεταθετική, δηλ. .

5. Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό υπακούει στο νόμο της συσχετικότητας, δηλ.

όπου το γινόμενο είναι το γινόμενο βαθμωτών που ορίζονται στο πεδίο Κ.

6. , όπου 1 είναι η μονάδα του πεδίου Κ.

7. Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν βαθμωτό είναι κατανεμητικός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων:

8. Ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό είναι κατανεμητικός ως προς την πρόσθεση βαθμωτών: .

Ορισμός. Ο διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών ονομάζεται πραγματικός διανυσματικός χώρος.

Θεώρημα. (Οι απλούστερες ιδιότητες των διανυσματικών χώρων.)

1. Υπάρχει μόνο ένα μηδενικό διάνυσμα σε έναν διανυσματικό χώρο.

2. Σε ένα διανυσματικό χώρο, κάθε διάνυσμα έχει ένα μοναδικό αντίθετό του.

3. ή
.

4. .

Απόδειξη. 1) Η μοναδικότητα του μηδενικού διανύσματος αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως η μοναδικότητα του πίνακα ταυτότητας και, γενικά, όπως η μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου οποιασδήποτε εσωτερικής δυαδικής αλγεβρικής πράξης.

Έστω 0 το μηδενικό διάνυσμα του διανυσματικού χώρου V. Τότε. Αφήνω
είναι ένα άλλο μηδενικό διάνυσμα. Επειτα. Ας πάρουμε την πρώτη περίπτωση
, και στο δεύτερο
. Επειτα
και
, από όπου προκύπτει ότι
, και τα λοιπά.

2α) Αρχικά αποδεικνύουμε ότι το γινόμενο μηδενικού βαθμωτή και οποιουδήποτε διανύσματος είναι ίσο με μηδενικό διάνυσμα.

Αφήνω
. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τα αξιώματα του διανυσματικού χώρου, παίρνουμε:

Όσον αφορά την πρόσθεση, ένας διανυσματικός χώρος είναι μια ομάδα Abelian και ο νόμος ακύρωσης ισχύει σε οποιαδήποτε ομάδα. Εφαρμόζοντας το νόμο της μείωσης, συνεπάγεται η τελευταία ισότητα

.

2β) Τώρα ας αποδείξουμε τον ισχυρισμό 4). Αφήνω
είναι ένα αυθαίρετο διάνυσμα. Επειτα

Από αυτό προκύπτει αμέσως ότι το διάνυσμα
είναι το αντίθετο του x.

2γ) Αφήστε τώρα
. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τα αξιώματα του διανυσματικού χώρου,
και
παίρνουμε:

2δ) Αφήστε
και ας υποθέσουμε ότι
. Επειδή
, όπου το Κ είναι πεδίο, τότε υπάρχει
. Ας πολλαπλασιάσουμε την ισότητα
παρατημένος να
:
, από όπου ακολουθεί
ή
ή
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

στοιχείο 2. Παραδείγματα διανυσματικών χώρων.

1) Ένα σύνολο αριθμητικών πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής, συνεχές στο διάστημα (0; 1) σε σχέση με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης συναρτήσεων και πολλαπλασιασμού μιας συνάρτησης με έναν αριθμό.

2) Το σύνολο των πολυωνύμων από ένα γράμμα με συντελεστές από το πεδίο Κ ως προς την πρόσθεση πολυωνύμων και τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων με βαθμωτό.

3) Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών ως προς την πρόσθεση μιγαδικών αριθμών και τον πολλαπλασιασμό με έναν πραγματικό αριθμό.

4) Ένα σύνολο πινάκων ίδιου μεγέθους με στοιχεία από το πεδίο Κ σε σχέση με την προσθήκη πίνακα και τον πολλαπλασιασμό πίνακα με ένα βαθμωτό.

Το ακόλουθο παράδειγμα είναι μια σημαντική ειδική περίπτωση του Παραδείγματος 4.

5) Έστω ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός. Να συμβολίσετε με το σύνολο όλων των στηλών ύψους n, δηλ. σύνολο πινάκων σε ένα πεδίο μεγέθους K
.

Το σύνολο είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο K και ονομάζεται αριθμητικός διανυσματικός χώρος στηλών ύψους n πάνω από το πεδίο K.

Συγκεκριμένα, αν αντί για αυθαίρετο πεδίο Κ πάρουμε το πεδίο των πραγματικών αριθμών, τότε το διανυσματικό διάστημα
ονομάζεται πραγματικός αριθμητικός διανυσματικός χώρος στηλών ύψους n.

Ομοίως, το σύνολο των πινάκων πάνω από ένα πεδίο μεγέθους K είναι επίσης ένας διανυσματικός χώρος
ή, διαφορετικά, χορδές μήκους n. Συμβολίζεται επίσης με και ονομάζεται επίσης ο αριθμητικός διανυσματικός χώρος συμβολοσειρών μήκους n πάνω από ένα πεδίο K.

στοιχείο 3. Συστήματα διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου.

Ορισμός. Ένα σύστημα διανυσμάτων ενός διανυσματικού χώρου είναι κάθε πεπερασμένο μη κενό σύνολο διανυσμάτων αυτού του χώρου.

Ονομασία:
.

Ορισμός. Εκφραση

, (1)

όπου είναι οι βαθμωτές του πεδίου K, είναι τα διανύσματα του διανυσματικού χώρου V, ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός του συστήματος των διανυσμάτων
. Οι βαθμοί ονομάζονται συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού.

Ορισμός. Αν όλοι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού (1) είναι ίσοι με μηδέν, τότε ένας τέτοιος γραμμικός συνδυασμός ονομάζεται τετριμμένος, διαφορετικά είναι μη τετριμμένος.

Παράδειγμα. Αφήνω
ένα σύστημα τριών διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο V. Επειτα

είναι ένας τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων.

είναι ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων, αφού ο πρώτος συντελεστής αυτού του συνδυασμού
.

Ορισμός. Εάν οποιοδήποτε διάνυσμα x του διανυσματικού χώρου V μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

τότε λέμε ότι το διάνυσμα x εκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα του συστήματος
. Σε αυτή την περίπτωση λέμε επίσης ότι το σύστημα
αναπαριστά γραμμικά το διάνυσμα x.

Σχόλιο. Σε αυτόν και στον προηγούμενο ορισμό, η λέξη "γραμμικό" συχνά παραλείπεται και το σύστημα λέγεται ότι αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα ή το διάνυσμα εκφράζεται με όρους των διανυσμάτων του συστήματος κ.ο.κ.

Παράδειγμα. Αφήνω
είναι ένα σύστημα δύο στηλών στον αριθμητικό πραγματικό διανυσματικό χώρο στηλών ύψους 2. Στη συνέχεια η στήλη
εκφράζεται γραμμικά ως προς τις στήλες του συστήματος ή το δεδομένο σύστημα στηλών αντιπροσωπεύει γραμμικά τη στήλη x. Πραγματικά,

στοιχείο 4. Γραμμικά εξαρτώμενα και γραμμικά ανεξάρτητα συστήματα διανυσμάτων σε διανυσματικό χώρο.

Δεδομένου ότι το γινόμενο ενός μηδενικού βαθμωτή από οποιοδήποτε διάνυσμα είναι μηδενικό διάνυσμα και το άθροισμα των μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με ένα μηδενικό διάνυσμα, τότε για οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων η ισότητα

Επομένως, το μηδενικό διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα οποιουδήποτε συστήματος διανυσμάτων, ή, με άλλα λόγια, οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων αναπαριστά γραμμικά το μηδενικό διάνυσμα.

Παράδειγμα. Αφήνω
. Σε αυτήν την περίπτωση η μηδενική στήλη μπορεί να εκφραστεί γραμμικά ως προς τις στήλες του συστήματος με περισσότερους από έναν τρόπους:

ή

Για να γίνει διάκριση μεταξύ αυτών των μεθόδων γραμμικής αναπαράστασης του μηδενικού διανύσματος, εισάγουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός. Αν η ισότητα

και όλοι οι συντελεστές , τότε λέμε ότι το σύστημα
αντιπροσωπεύει το μηδενικό διάνυσμα τετριμμένα. Αν στην ισότητα (3) τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές
δεν ισούται με μηδέν, τότε λέμε ότι το σύστημα των διανυσμάτων
αντιπροσωπεύει το μηδενικό διάνυσμα με έναν μη τετριμμένο τρόπο.

Από το τελευταίο παράδειγμα, βλέπουμε ότι υπάρχουν συστήματα διανυσμάτων που μπορούν να αναπαραστήσουν το μηδενικό διάνυσμα με έναν μη τετριμμένο τρόπο. Από το παρακάτω παράδειγμα, θα δούμε ότι υπάρχουν συστήματα διανυσμάτων που δεν μπορούν να αναπαραστήσουν μη τετριμμένα το μηδενικό διάνυσμα.

Παράδειγμα. Αφήνω
είναι ένα σύστημα δύο στηλών από ένα διανυσματικό χώρο. Εξετάστε την ισότητα:

,

όπου
άγνωστοι συντελεστές. Χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό μιας στήλης με έναν βαθμωτό (αριθμό) και την προσθήκη στηλών, παίρνουμε την ισότητα:

.

Από τον ορισμό της ισότητας πίνακα προκύπτει ότι
και
.

Έτσι, το δεδομένο σύστημα δεν μπορεί να αναπαραστήσει τη στήλη null με μη τετριμμένο τρόπο.

Από τα παραπάνω παραδείγματα προκύπτει ότι υπάρχουν δύο τύποι διανυσματικών συστημάτων. Ορισμένα συστήματα αντιπροσωπεύουν το μηδενικό διάνυσμα με μη τετριμμένο τρόπο, ενώ άλλα όχι. Σημειώστε για άλλη μια φορά ότι οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα τετριμμένα.

Ορισμός. Ένα διανυσματικό σύστημα διανυσματικού χώρου που αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα ΜΟΝΟ τετριμμένα λέγεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ορισμός. Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο που μπορεί να αναπαραστήσει μη τετριμμένα ένα μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο.

Ο τελευταίος ορισμός μπορεί να δοθεί με πιο λεπτομερή μορφή.

Ορισμός. Διανυσματικό σύστημα
Ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος εάν υπάρχει ένα τέτοιο μη μηδενικό σύνολο βαθμωτών του πεδίου K

Σχόλιο. Οποιοδήποτε σύστημα διανυσμάτων
μπορεί να αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα τετριμμένα:

Αλλά αυτό δεν αρκεί για να ανακαλύψουμε εάν ένα δεδομένο σύστημα διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτώμενο ή γραμμικά ανεξάρτητο. Από τον ορισμό προκύπτει ότι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύστημα διανυσμάτων δεν μπορεί να αναπαραστήσει το μηδενικό διάνυσμα με μη τετριμμένο τρόπο, αλλά μόνο με ασήμαντο τρόπο. Επομένως, για να επαληθευτεί η γραμμική ανεξαρτησία ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να εξεταστεί η αναπαράσταση του μηδενός από έναν αυθαίρετο γραμμικό συνδυασμό αυτού του συστήματος διανυσμάτων:

Εάν αυτή η ισότητα είναι αδύνατη, με την προϋπόθεση ότι τουλάχιστον ένας συντελεστής αυτού του γραμμικού συνδυασμού είναι μη μηδενικός, τότε αυτό το σύστημα είναι, εξ ορισμού, γραμμικά ανεξάρτητο.

Στα παραδείγματα λοιπόν της προηγούμενης παραγράφου, το σύστημα στηλών
είναι γραμμικά ανεξάρτητο και το σύστημα στηλών
εξαρτάται γραμμικά.

Ομοίως αποδεικνύεται και η γραμμική ανεξαρτησία του συστήματος των στηλών ,, ... ,

από το διάστημα , όπου το K είναι ένα αυθαίρετο πεδίο, το n είναι ένας αυθαίρετος φυσικός αριθμός.

Τα παρακάτω θεωρήματα δίνουν αρκετά κριτήρια για γραμμική εξάρτηση και, κατά συνέπεια, γραμμική ανεξαρτησία συστημάτων διανυσμάτων.

Θεώρημα. (Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος διανυσμάτων.)

Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο εξαρτάται γραμμικά εάν και μόνο εάν ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος.

Απόδειξη. Χρειάζομαι. Αφήστε το σύστημα
γραμμικά εξαρτώμενη. Στη συνέχεια, εξ ορισμού, αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα με έναν μη τετριμμένο τρόπο, δηλ. υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτού του συστήματος διανυσμάτων ίσος με το μηδενικό διάνυσμα:

όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού δεν είναι ίσος με μηδέν. Αφήνω
,
.

Διαιρέστε και τα δύο μέρη της προηγούμενης ισότητας με αυτόν τον μη μηδενικό συντελεστή (δηλ. πολλαπλασιάστε με :

Σημαίνω:
, όπου.

εκείνοι. ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος κ.λπ.

Επάρκεια. Ας εκφραστεί γραμμικά ένα από τα διανύσματα του συστήματος ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος:

Ας μετακινήσουμε το διάνυσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης:

Δεδομένου ότι ο συντελεστής στο διάνυσμα ισοδυναμεί
, τότε έχουμε μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενός από ένα σύστημα διανυσμάτων
, που σημαίνει ότι αυτό το σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά κ.λπ.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπεια.

1. Ένα σύστημα διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο είναι γραμμικά ανεξάρτητο εάν και μόνο εάν κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν εκφράζεται γραμμικά ως προς άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος.

2. Ένα σύστημα διανυσμάτων που περιέχει ένα μηδενικό διάνυσμα ή δύο ίσα διανύσματα εξαρτάται γραμμικά.

Απόδειξη.

1) Αναγκαιότητα. Αφήστε το σύστημα να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Υποθέστε το αντίθετο και υπάρχει ένα διάνυσμα συστήματος που εκφράζεται γραμμικά μέσω άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος. Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα, το σύστημα εξαρτάται γραμμικά και καταλήγουμε σε μια αντίφαση.

Επάρκεια. Ας μην εκφραστεί κανένα από τα διανύσματα του συστήματος με όρους άλλων. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Έστω το σύστημα γραμμικά εξαρτημένο, αλλά από το θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει ένα διάνυσμα συστήματος που εκφράζεται γραμμικά μέσω άλλων διανυσμάτων αυτού του συστήματος, και ερχόμαστε πάλι σε μια αντίφαση.

2α) Έστω το σύστημα να περιέχει μηδενικό διάνυσμα. Ας υποθέσουμε για βεβαιότητα ότι το διάνυσμα
:. Μετά η ισότητα

εκείνοι. ένα από τα διανύσματα του συστήματος εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα αυτού του συστήματος. Από το θεώρημα προκύπτει ότι ένα τέτοιο σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά, ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτό το γεγονός μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από τον ορισμό ενός γραμμικά εξαρτώμενου συστήματος διανυσμάτων.

Επειδή
, τότε η ακόλουθη ισότητα είναι προφανής

Αυτή είναι μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενικού διανύσματος, που σημαίνει ότι το σύστημα
εξαρτάται γραμμικά.

2β) Έστω το σύστημα δύο ίσα διανύσματα. Αφήστε για βεβαιότητα
. Μετά η ισότητα

Εκείνοι. το πρώτο διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα διανύσματα του ίδιου συστήματος. Από το θεώρημα προκύπτει ότι το δεδομένο σύστημα είναι γραμμικά εξαρτημένο κ.ο.κ.

Ομοίως με τον προηγούμενο, αυτός ο ισχυρισμός μπορεί επίσης να αποδειχθεί άμεσα από τον ορισμό ενός γραμμικά εξαρτημένου συστήματος.

Πράγματι, από τότε
, μετά η ισότητα

εκείνοι. έχουμε μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενικού διανύσματος.

Η συνέπεια είναι αποδεδειγμένη.

Θεώρημα (Σχετικά με τη γραμμική εξάρτηση ενός συστήματος ενός διανύσματος.

Ένα σύστημα που αποτελείται από ένα διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν αυτό το διάνυσμα είναι μηδέν.

Απόδειξη.

Χρειάζομαι. Αφήστε το σύστημα
γραμμικά εξαρτώμενο, δηλ. υπάρχει μια μη τετριμμένη αναπαράσταση του μηδενικού διανύσματος

,

όπου
και
. Από τις απλούστερες ιδιότητες ενός διανυσματικού χώρου προκύπτει ότι τότε
.

Επάρκεια. Έστω ότι το σύστημα αποτελείται από ένα μηδενικό διάνυσμα
. Τότε αυτό το σύστημα αναπαριστά το μηδενικό διάνυσμα μη τετριμμένα

,

από όπου ακολουθεί η γραμμική εξάρτηση του συστήματος
.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Συνέπεια. Ένα σύστημα που αποτελείται από ένα διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνο αν αυτό το διάνυσμα είναι μη μηδενικό.

Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη ως άσκηση.

Διάλεξη 6. Διανυσματικός χώρος.

Κύρια ερωτήματα.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

2. Βάση και διάσταση του χώρου.

3. Προσανατολισμός του χώρου.

4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση.

5. Διανυσματικές συντεταγμένες.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

Ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία οποιασδήποτε φύσης, στο οποίο ορίζονται γραμμικές πράξεις: η πρόσθεση δύο στοιχείων και ο πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου με έναν αριθμό ονομάζονται χώρους, και τα στοιχεία τους είναι φορείςαυτό το διάστημα και συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο με τα διανυσματικά μεγέθη στη γεωμετρία: . ΔιανύσματαΤέτοιοι αφηρημένοι χώροι, κατά κανόνα, δεν έχουν τίποτα κοινό με τα συνηθισμένα γεωμετρικά διανύσματα. Τα στοιχεία των αφηρημένων χώρων μπορεί να είναι συναρτήσεις, ένα σύστημα αριθμών, πίνακες κ.λπ., και σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, συνηθισμένα διανύσματα. Επομένως, τέτοιοι χώροι ονομάζονται διανυσματικοί χώροι .

Οι διανυσματικοί χώροι είναι, για παράδειγμα, το σύνολο των συγγραμμικών διανυσμάτων, που συμβολίζεται με V1 , το σύνολο των ομοεπίπεδων διανυσμάτων V2 , σύνολο συνηθισμένων (πραγματικού χώρου) διανυσμάτων V3 .

Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό του διανυσματικού χώρου.

Ορισμός 1.Το σύνολο των διανυσμάτων ονομάζεται διανυσματικός χώρος, εάν ο γραμμικός συνδυασμός οποιωνδήποτε διανυσμάτων του συνόλου είναι επίσης διάνυσμα αυτού του συνόλου. Τα ίδια τα διανύσματα ονομάζονται στοιχείαδιανυσματικός χώρος.

Πιο σημαντική τόσο θεωρητικά όσο και εφαρμοσμένα είναι η γενική (αφηρημένη) έννοια του διανυσματικού χώρου.

Ορισμός 2.Πολλά Rστοιχεία , στα οποία για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και το άθροισμα ορίζεται και για οποιοδήποτε στοιχείο https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> καλείται διάνυσμα(ή γραμμικό) χώροςκαι τα στοιχεία του είναι διανύσματα, αν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες ( αξιώματα) :

1) η προσθήκη είναι ανταλλάξιμη, δηλαδή.gif" width="184" height="25">;

3) υπάρχει τέτοιο στοιχείο (μηδενικό διάνυσμα) που για οποιοδήποτε https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό λ, ισχύει η ισότητα.

6) για τυχόν διανύσματα και οποιουσδήποτε αριθμούς λ και µ η ισότητα ισχύει https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> και τυχόν αριθμοί λ και µ έκθεση ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Από τα αξιώματα που ορίζουν τον διανυσματικό χώρο ακολουθούν τα πιο απλά συνέπειες :

1. Σε ένα διανυσματικό χώρο, υπάρχει μόνο ένα μηδέν - ένα στοιχείο - ένα μηδενικό διάνυσμα.

2. Σε ένα διανυσματικό χώρο, κάθε διάνυσμα έχει ένα μοναδικό αντίθετο διάνυσμα.

3. Για κάθε στοιχείο πληρούται η ισότητα.

4. Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ και μηδενικό διάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> είναι ένα διάνυσμα που ικανοποιεί την ισότητα https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Άρα, πράγματι, το σύνολο όλων των γεωμετρικών διανυσμάτων είναι επίσης ένας γραμμικός (διανυσματικός) χώρος, αφού για τα στοιχεία αυτού του συνόλου ορίζονται οι ενέργειες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό που ικανοποιούν τα διατυπωμένα αξιώματα.

2. Βάση και διάσταση του χώρου.

Οι βασικές έννοιες ενός διανυσματικού χώρου είναι οι έννοιες της βάσης και της διάστασης.

Ορισμός.Το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, μέσω των οποίων κάθε διάνυσμα του χώρου εκφράζεται γραμμικά, ονομάζεται βάσηαυτόν τον χώρο. Διανύσματα. Οι χώροι που αποτελούν τη βάση ονομάζονται βασικός .

Η βάση του συνόλου των διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια αυθαίρετη γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ένα συγγραμμικό με αυτό το διάνυσμα γραμμής.

Βάση στο αεροπλάνοΑς ονομάσουμε δύο μη γραμμικά διανύσματα σε αυτό το επίπεδο, που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Αν τα διανύσματα βάσης είναι κατά ζεύγη κάθετα (ορθογώνια), τότε καλείται η βάση ορθογώνιο, και αν αυτά τα διανύσματα έχουν μήκος ίσο με ένα, τότε καλείται η βάση ορθοκανονική .

Ο μεγαλύτερος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στο χώρο ονομάζεται διάστασηαυτός ο χώρος, δηλ. η διάσταση του χώρου συμπίπτει με τον αριθμό των διανυσμάτων βάσης αυτού του χώρου.

Σύμφωνα λοιπόν με αυτούς τους ορισμούς:

1. Μονοδιάστατος χώρος V1 είναι μια ευθεία γραμμή, και η βάση αποτελείται από ένα συγγραμμικόδιάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ο συνηθισμένος χώρος είναι ο τρισδιάστατος χώρος V3 , η βάση του οποίου αποτελείται από τρεις μη ομοεπίπεδεςφορείς .

Από εδώ βλέπουμε ότι ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης σε μια ευθεία γραμμή, σε ένα επίπεδο, στον πραγματικό χώρο συμπίπτει με αυτό που στη γεωμετρία συνήθως ονομάζεται αριθμός διαστάσεων (διάσταση) μιας ευθείας γραμμής, επίπεδο, διάστημα. Επομένως, είναι φυσικό να εισαγάγουμε έναν γενικότερο ορισμό.

Ορισμός.διανυσματικός χώρος Rπου ονομάζεται n- διαστάσεων αν περιέχει το πολύ nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και συμβολίζεται R n. Αριθμός nπου ονομάζεται διάστασηχώρος.

Ανάλογα με τη διάσταση του χώρου χωρίζονται σε πεπερασμένων διαστάσεωνκαι άπειρων διαστάσεων. Η διάσταση ενός μηδενικού χώρου θεωρείται, εξ ορισμού, μηδέν.

Παρατήρηση 1.Σε κάθε διάστημα, μπορείτε να καθορίσετε όσες βάσεις θέλετε, αλλά όλες οι βάσεις αυτού του χώρου αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Παρατήρηση 2.ΣΤΟ n- σε έναν διανυσματικό χώρο, μια βάση είναι κάθε διατεταγμένη συλλογή nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

3. Προσανατολισμός του χώρου.

Αφήστε τα διανύσματα βάσης στο διάστημα V3 έχω κοινή αρχήκαι διέταξε, δηλ. υποδεικνύεται ποιο διάνυσμα θεωρείται το πρώτο, ποιο - το δεύτερο και ποιο - το τρίτο. Για παράδειγμα, σε μια βάση, τα διανύσματα ταξινομούνται σύμφωνα με την ευρετηρίαση.

Για για να προσανατολίσετε τον χώρο, είναι απαραίτητο να θέσετε κάποια βάση και να το δηλώσετε θετικό .

Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο όλων των βάσεων ενός χώρου εμπίπτει σε δύο τάξεις, δηλαδή σε δύο υποσύνολα που δεν τέμνονται.

α) όλες οι βάσεις που ανήκουν σε ένα υποσύνολο (κλάση) έχουν το ίδιοπροσανατολισμός (βάσεις με το ίδιο όνομα).

β) οποιεσδήποτε δύο βάσεις που ανήκουν σε διάφοροςυποσύνολα (τάξεις), έχουν απεναντι αποπροσανατολισμός, ( διαφορετικά ονόματαβάσεις).

Αν μια από τις δύο κατηγορίες βάσεων ενός διαστήματος δηλωθεί θετική και η άλλη αρνητική, τότε λέμε ότι αυτός ο χώρος προσανατολισμένη .

Συχνά, κατά τον προσανατολισμό του χώρου, καλούνται ορισμένες βάσεις σωστά, ενώ άλλοι είναι αριστεροί .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> κάλεσε σωστά, εάν κατά την παρατήρηση από το τέλος του τρίτου διανύσματος, η συντομότερη περιστροφή του πρώτου διανύσματος https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> διεξάγεται αριστερόστροφα(Εικ. 1.8, α).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ρύζι. 1.8. Δεξιά βάση (α) και αριστερή βάση (β)

Συνήθως, η σωστή βάση του χώρου δηλώνεται ως θετική βάση

Η δεξιά (αριστερά) βάση του χώρου μπορεί επίσης να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της "δεξιής" ("αριστερής") βίδας ή στεφάνης.

Κατ' αναλογία με αυτό, η έννοια του δεξιού και του αριστερού τρίδυμαμη συμπληρωματικά διανύσματα που πρέπει να ταξινομηθούν (Εικ. 1.8).

Έτσι, στη γενική περίπτωση, δύο διατεταγμένες τριάδες μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (έχουν το ίδιο όνομα) στο διάστημα V3 αν είναι και οι δύο δεξιοί ή και οι δύο αριστεροί, και - αντίθετος προσανατολισμός (απέναντι), εάν ο ένας από αυτούς είναι δεξιός και ο άλλος αριστερά.

Το ίδιο γίνεται και στην περίπτωση του χώρου V2 (αεροπλάνα).

4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση.

Για λόγους απλότητας, θα εξετάσουμε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου R3 .

Ας είναι https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> ένα αυθαίρετο διάνυσμα αυτού του χώρου.

4.3.1 Ορισμός γραμμικού χώρου

Αφήνω ā , , - στοιχεία κάποιου συνόλου ā , , Γη λ , μ - πραγματικούς αριθμούς, λ , μ R..

Το σύνολο L ονομάζεταιγραμμικός ήδιανυσματικός χώρος, εάν ορίζονται δύο λειτουργίες:

1 0 . Πρόσθεση. Κάθε ζεύγος στοιχείων αυτού του συνόλου συνδέεται με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου, που ονομάζεται άθροισμά τους

ā + =

2°.Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό. Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός λ και στοιχείο ā μεγάλοεκχωρείται ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου λ ā μεγάλοκαι πληρούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. υπάρχει μηδενικό στοιχείο
, τέτοιο που ā +=ā ;

4. υπάρχει αντίθετο στοιχείο -
τέτοια που ā +(-ā )=.

Αν ένα λ , μ - πραγματικοί αριθμοί, τότε:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Στοιχεία του γραμμικού χώρου ā, , ... ονομάζονται διανύσματα.

Μια άσκηση.Δείξτε στον εαυτό σας ότι αυτά τα σύνολα σχηματίζουν γραμμικούς χώρους:

1) Το σύνολο των γεωμετρικών διανυσμάτων στο επίπεδο.

2) Ένα σύνολο γεωμετρικών διανυσμάτων σε τρισδιάστατο χώρο.

3) Ένα σύνολο πολυωνύμων κάποιου βαθμού.

4) Ένα σύνολο πινάκων ίδιας διάστασης.

4.3.2 Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα διανύσματα. Διάσταση και βάση του χώρου

Γραμμικός συνδυασμός φορείς ā 1 , ā 2 , …, ā n μεγάλοονομάζεται διάνυσμα του ίδιου χώρου της μορφής:

,

όπου λ i - πραγματικοί αριθμοί.

Διανύσματα ā 1 , .. , ā n που ονομάζεταιγραμμικά ανεξάρτητο, αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν όλα τα λΕγώ είναι ίσα με μηδέν,αυτό είναι

λ i=0

Αν ο γραμμικός συνδυασμός είναι μηδενικό διάνυσμα και τουλάχιστον ένα από λ Εγώείναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένα. Το τελευταίο σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων. Πράγματι, ας και, για παράδειγμα,
. έπειτα,
, όπου

.

Το μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται βάση χώρος μεγάλο. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται διάσταση χώρος.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε καλείται ο χώρος n-διαστατικός. Άλλα διανύσματα χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμικός συνδυασμός nδιανύσματα βάσης. ανά βάση n- μπορεί να ληφθεί διαστασιακός χώρος όποιος nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αυτού του χώρου.

Παράδειγμα 17.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση δεδομένων γραμμικών χώρων:

α) σύνολα διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια γραμμή (συγγραμμικά σε κάποια γραμμή)

β) το σύνολο των διανυσμάτων που ανήκουν στο επίπεδο

γ) σύνολο διανυσμάτων τρισδιάστατου χώρου

δ) το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού δύο το πολύ.

Λύση.

ένα)Οποιαδήποτε δύο διανύσματα βρίσκονται σε μια γραμμή θα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς τα διανύσματα είναι συγγραμμικά
, έπειτα
, λ - βαθμωτό μέγεθος. Επομένως, η βάση αυτού του χώρου είναι μόνο ένα (οποιοδήποτε) διάνυσμα εκτός από το μηδέν.

Συνήθως αυτός ο χώρος είναι R, η διάστασή του είναι 1.

σι)οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα
είναι γραμμικά ανεξάρτητα και οποιαδήποτε τρία διανύσματα στο επίπεδο εξαρτώνται γραμμικά. Για οποιοδήποτε διάνυσμα , υπάρχουν αριθμοί  και  τέτοια που
. Ο χώρος ονομάζεται δισδιάστατος, συμβολίζεται R 2 .

Η βάση ενός δισδιάστατου χώρου σχηματίζεται από οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα.

σε)Οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου R 3 .

ΣΟΛ)Ως βάση για το χώρο των πολυωνύμων βαθμού δύο το πολύ, μπορεί κανείς να επιλέξει τα ακόλουθα τρία διανύσματα: ē 1 = Χ 2 ; ē 2 = Χ; ē 3 =1 .

(Το 1 είναι πολυώνυμο, πανομοιότυπα ίσο με ένα). Ο χώρος αυτός θα είναι τρισδιάστατος.