Μόλις. Με τύπους και ξεκάθαρα απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο

απαραίτητη δεδομένη εξίσωσηοδηγεί σε τυπική όψη, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτή τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο. Το πιο σημαντικό είναι σωστό

καθορίσει όλους τους συντελεστές ένα, σικαι ντο.

Τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική . Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, εμείς

χρήση μόνο α, β και γ. Εκείνοι. πιθανότητες από τετραγωνική εξίσωση. Απλά εισάγετε προσεκτικά

αξίες α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Αντικατάσταση με δικα τουςσημάδια!

Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο = -4.

Αντικαταστήστε τις τιμές και γράψτε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, βκαι με. Μάλλον με αντικατάσταση

αρνητικές τιμέςστον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ ο αναλυτικός τύπος αποθηκεύει

με συγκεκριμένους αριθμούς. Αν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, κάντε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ζωγραφίζουμε τα πάντα με λεπτομέρεια, προσεκτικά, χωρίς να λείπει τίποτα με όλα τα σημάδια και τις αγκύλες:

Συχνά οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Τώρα λάβετε υπόψη πρακτικές τεχνικέςπου μειώνουν δραστικά τον αριθμό των σφαλμάτων.

Πρώτη υποδοχή. Μην είσαι τεμπέλης πριν επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσηςφέρτε το σε τυπική μορφή.

Τι σημαίνει αυτό?

Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.

Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Απαλλαγείτε από το μείον. Πως? Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα.

Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή.Ελέγξτε τις ρίζες σας! Με Το θεώρημα του Βιέτα.

Για να λύσετε τις δεδομένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλ. αν ο συντελεστής

x2+bx+c=0,

έπειταx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−σι

Για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση στην οποία a≠1:

x 2 +σιx+ντο=0,

διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με ένα:

→ →

που x 1και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης.

Τρίτη υποδοχή. Αν η εξίσωσή σας έχει κλασματικές πιθανότητες, - ξεφορτωθείτε τα κλάσματα! Πολλαπλασιάζω

εξίσωση για κοινό παρονομαστή.

Παραγωγή. Πρακτικές Συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας τα πάντα

εξισώσεις για -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με την αντίστοιχη

παράγοντας.

4. Αν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής σε αυτό ίσο με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να επαληθευτεί από

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. ένας

1 Δημοτικός προϋπολογισμός εκπαιδευτικό ίδρυμαμέση τιμή ολοκληρωμένο σχολείο № 11

Το κείμενο της εργασίας τοποθετείται χωρίς εικόνες και τύπους.
Πλήρη έκδοσηη εργασία είναι διαθέσιμη στην καρτέλα "Αρχεία εργασίας" σε μορφή PDF

Ιστορία τετραγωνικών εξισώσεων

Βαβυλών

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου βαθμού, αλλά και του δεύτερου στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών οικόπεδα, με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπόρεσαν να λύσουν περίπου το 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι. Οι κανόνες για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που διατυπώνονται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτουν με τα σύγχρονα, αλλά αυτά τα κείμενα δεν έχουν την έννοια αρνητικός αριθμόςκαι κοινές μεθόδουςλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Αρχαία Ελλάδα

Η λύση των τετραγωνικών εξισώσεων πραγματοποιήθηκε επίσης στο Αρχαία Ελλάδαεπιστήμονες όπως ο Διόφαντος, ο Ευκλείδης και ο Ήρων. Ο Διόφαντος Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που πιθανολογείται ότι έζησε τον 3ο αιώνα μ.Χ. Το κύριο έργο του Διόφαντου είναι η «Αριθμητική» σε 13 βιβλία. Ευκλείδης. Ο Ευκλείδης είναι ένας αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, ο συγγραφέας της πρώτης θεωρητικής πραγματείας για τα μαθηματικά που έφτασε μέχρι εμάς, του Ήρωνα. Ήρων - Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός για πρώτη φορά στην Ελλάδα τον 1ο αιώνα μ.Χ. δίνει έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ινδία

Προβλήματα για τις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία Aryabhattam, που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός λόγιος, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), εξήγησε γενικός κανόναςλύσεις δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μία κανονική μορφή: ax2 + bх = с, a> 0. (1) Στην εξίσωση (1) οι συντελεστές, μπορεί να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta ουσιαστικά συμπίπτει με τον δικό μας. Στην Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Σε ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία, λέγεται το εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι επιστήμονας άνθρωποςέκλειψη δόξα σε λαϊκές συνελεύσεις, προσφορά και επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων. Τα καθήκοντα ήταν συχνά ντυμένα με ποιητική μορφή.

Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του XII αιώνα. Μπασκάρα.

«Ένα ζωηρό κοπάδι πιθήκων

Και δώδεκα κατά μήκος των αμπελιών

Άρχισαν να πηδάνε κρέμονται

Τετραγωνίστηκαν το όγδοο μέρος

Πόσες μαϊμούδες ήταν

Διασκεδάζοντας στο λιβάδι

Θα μου πεις, σε αυτό το κοπάδι;

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε τη διπλή αξία των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων. Ο Bhaskar γράφει την εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα με τη μορφή x2 - 64x = - 768 και, για να συμπληρώσει την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε ένα τετράγωνο, προσθέτει 322 και στα δύο μέρη, και στη συνέχεια παίρνει: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Τετραγωνικές εξισώσεις σε Ευρώπη XVIIαιώνας

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στο μοντέλο του Al-Khorezmi στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, που αντικατοπτρίζει την επίδραση των μαθηματικών, τόσο των χωρών του Ισλάμ όσο και της Αρχαίας Ελλάδας, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικά παραδείγματαεπίλυση προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά καθήκοντα από το «Βιβλίο του Άβακα» πέρασαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII. Παραγωγή του τύπου για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης στο γενική εικόναΟ Βιέτ έχει, αλλά ο Βιέτ αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Λάβετε υπόψη, εκτός από θετικά, και αρνητικές ρίζες. Μόνο τον XVII αιώνα. Χάρη στο έργο του Ζιράρ, του Ντεκάρτ, του Νεύτωνα και άλλων με τον τρόπο των επιστημόνωνΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

Ορισμός τετραγωνικής εξίσωσης

Μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου τα a, b, c είναι αριθμοί, ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.

Συντελεστές τετραγωνικής εξίσωσης

Οι αριθμοί a, b, c είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a είναι ο πρώτος συντελεστής (πριν από x²), a ≠ 0, b είναι ο δεύτερος συντελεστής (πριν από το x), c είναι ο ελεύθερος όρος (χωρίς x).

Ποιες από αυτές τις εξισώσεις δεν είναι τετραγωνικές?

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0,5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Ονομα	Γενική άποψη της εξίσωσης	Χαρακτηριστικό (ποιοι συντελεστές)	Παραδείγματα εξισώσεων
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c - αριθμοί διαφορετικοί από το 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Ατελής
			x 2 - 1/5x = 0
Δεδομένος	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Λέγεται μια ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, στην οποία ο προπορευόμενος συντελεστής είναι ίσος με ένα. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ολόκληρη την έκφραση με τον κύριο συντελεστή ένα:

Χ 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Μια τετραγωνική εξίσωση λέγεται ότι είναι πλήρης εάν όλοι οι συντελεστές της είναι μη μηδενικοί.

Μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ατελής εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές, εκτός από τον υψηλότερο (είτε ο δεύτερος συντελεστής είτε ο ελεύθερος όρος), είναι ίσος με μηδέν.

Τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

με τρόπο. Γενικός τύπος για τον υπολογισμό των ριζών

Να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης τσεκούρι 2 + b + c = 0σε γενική περίπτωσηθα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος αλγόριθμος:

Υπολογίστε την τιμή της διάκρισης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: αυτή είναι η έκφραση για αυτήν D=σι 2 - 4ac

Παραγωγή του τύπου:

Σημείωση:είναι προφανές ότι ο τύπος για τη ρίζα της πολλαπλότητας 2 είναι μια ειδική περίπτωση του γενικού τύπου, προκύπτει αντικαθιστώντας την ισότητα D=0 σε αυτόν και το συμπέρασμα σχετικά με την απουσία πραγματικών ριζών με το D0, και (στυλ εμφάνισης ( sqrt (-1))=i) = i.

Η περιγραφόμενη μέθοδος είναι καθολική, αλλά απέχει πολύ από τη μοναδική. Η λύση μιας εξίσωσης μπορεί να προσεγγιστεί με διαφορετικούς τρόπους, οι προτιμήσεις συνήθως εξαρτώνται από τον ίδιο τον λύτη. Επιπλέον, συχνά για αυτό ορισμένες από τις μεθόδους αποδεικνύονται πολύ πιο κομψές, απλούστερες, λιγότερο χρονοβόρες από την τυπική.

II τρόπος. Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με άρτιο συντελεστήσι III τρόπος. Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

IV τρόπος. Χρησιμοποιώντας μερικούς λόγους συντελεστών

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις τετραγωνικών εξισώσεων στις οποίες οι συντελεστές είναι σε αναλογία μεταξύ τους, γεγονός που διευκολύνει πολύ την επίλυσή τους.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης στην οποία το άθροισμα του κύριου συντελεστή και του ελεύθερου όρου είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή

Αν σε μια τετραγωνική εξίσωση τσεκούρι 2 + bx + c = 0το άθροισμα του πρώτου συντελεστή και του ελεύθερου όρου είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή: α+β=γ, τότε οι ρίζες του είναι -1 και ο αριθμός το αντίθετο απόελεύθερος όρος στον κύριο συντελεστή ( -γ/α).

Ως εκ τούτου, πριν λύσουμε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση, θα πρέπει να ελέγξουμε τη δυνατότητα εφαρμογής αυτού του θεωρήματος σε αυτήν: συγκρίνετε το άθροισμα του κύριου συντελεστή και του ελεύθερου όρου με τον δεύτερο συντελεστή.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης της οποίας το άθροισμα όλων των συντελεστών είναι μηδέν

Εάν σε μια τετραγωνική εξίσωση το άθροισμα όλων των συντελεστών της είναι ίσο με μηδέν, τότε οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης είναι 1 και ο λόγος του ελεύθερου όρου προς τον κύριο συντελεστή ( γ/α).

Ως εκ τούτου, πριν λύσουμε την εξίσωση με τυπικές μεθόδους, θα πρέπει να ελέγξουμε τη δυνατότητα εφαρμογής αυτού του θεωρήματος σε αυτήν: προσθέστε όλους τους συντελεστές δεδομένη εξίσωσηκαι δείτε αν αυτό το άθροισμα είναι μηδέν.

V τρόπος. Αποσύνθεση τετραγωνικού τριωνύμου σε γραμμικούς παράγοντες

Αν ένα τριώνυμο της μορφής (στυλ εμφάνισης ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)μπορεί με κάποιο τρόπο να αναπαρασταθεί ως γινόμενο γραμμικών παραγόντων (τρόπος εμφάνισης (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), τότε μπορούμε να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης τσεκούρι 2 + bx + c = 0- θα είναι -m / k και n / l, πράγματι, επειδή (στυλ εμφάνισης (kx+m)(lx+n)=0Μακρύ δεξιό βέλος kx+m=0κούπα lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, και λύνοντας τα υποδεικνυόμενα γραμμικές εξισώσεις, παίρνουμε τα παραπάνω. Σημειώστε ότι τετράγωνο τριώνυμοδεν αποσυντίθεται πάντα σε γραμμικούς συντελεστές με πραγματικούς συντελεστές: αυτό είναι δυνατό αν η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτήν έχει πραγματικές ρίζες.

Εξετάστε μερικές ειδικές περιπτώσεις

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος (διαφορά)

Εάν ένα τετράγωνο τριώνυμο έχει τη μορφή (στυλ εμφάνισης (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , τότε εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο σε αυτό, μπορούμε να το συνυπολογίσουμε σε γραμμικούς παράγοντες και, Επομένως, βρείτε τις ρίζες:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Επιλογή πλήρες τετράγωνοποσά (διαφορές)

Επίσης, ο ονομαζόμενος τύπος χρησιμοποιείται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που ονομάζεται "επιλογή του πλήρους τετραγώνου του αθροίσματος (διαφορά)". Σε σχέση με τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση με τον συμβολισμό που εισήχθη προηγουμένως, αυτό σημαίνει τα εξής:

Σημείωση:αν παρατηρήσετε δεδομένης φόρμουλαςσυμπίπτει με αυτή που προτείνεται στην ενότητα «Ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης», η οποία, με τη σειρά της, μπορεί να ληφθεί από τον γενικό τύπο (1) αντικαθιστώντας την ισότητα a=1. Αυτό το γεγονός δεν είναι απλώς τυχαίο: με την περιγραφόμενη μέθοδο, μετά από κάποιο πρόσθετο σκεπτικό, είναι δυνατό να συναχθεί και γενικός τύπος, καθώς και για την απόδειξη των ιδιοτήτων του διακριτή.

VI τρόπος. Χρησιμοποιώντας άμεσο και αντίστροφο θεώρημα Vieta

Το άμεσο θεώρημα του Vieta (βλ. παρακάτω στην ενότητα με το ίδιο όνομα) και το αντίστροφο θεώρήμά του μας επιτρέπουν να λύσουμε τις ανηγμένες τετραγωνικές εξισώσεις προφορικά χωρίς να καταφύγουμε σε μάλλον επαχθή υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο (1).

Σύμφωνα με θεώρημα αντίστροφης, οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών (αριθμός) (στυλ εμφάνισης x_(1),x_(2)) x 1 , x 2 είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων παρακάτω, είναι οι ρίζες της εξίσωσης

Στη γενική περίπτωση, δηλαδή, για μια μη ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Ένα άμεσο θεώρημα θα σας βοηθήσει να επιλέξετε λεκτικά αριθμούς που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να προσδιορίσετε τα σημάδια των ριζών χωρίς να γνωρίζετε τις ίδιες τις ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, ακολουθήστε τον κανόνα:

1) αν ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός, τότε οι ρίζες έχουν διαφορετικό σημάδι, και ο μεγαλύτερος συντελεστής των ριζών είναι το πρόσημο απέναντι από το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή της εξίσωσης.

2) αν ο ελεύθερος όρος είναι θετικός, τότε και οι δύο ρίζες έχουν το ίδιο σημάδι, και αυτό είναι το αντίθετο πρόσημο του δεύτερου συντελεστή.

7ος τρόπος. Μέθοδος μεταφοράς

Η λεγόμενη μέθοδος "μεταφοράς" καθιστά δυνατή τη μείωση της λύσης των μη ανηγμένων και μη μετασχηματίσιμων εξισώσεων στη μορφή ανηγμένων με ακέραιους συντελεστές διαιρώντας τους με τον κύριο συντελεστή εξισώσεων στη λύση εξισώσεων μειωμένων με ακέραιο αριθμό συντελεστές. Είναι ως εξής:

Στη συνέχεια, η εξίσωση λύνεται προφορικά με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω, στη συνέχεια επιστρέφουν στην αρχική μεταβλητή και βρίσκουν τις ρίζες των εξισώσεων (στυλ εμφάνισης y_(1)=ax_(1)) y 1 = τσεκούρι 1 και y 2 = τσεκούρι 2 .(στυλ εμφάνισης y_(2)=ax_(2))

γεωμετρική αίσθηση

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αν η παραβολή που περιγράφεται τετραγωνική λειτουργία, δεν τέμνεται με τον άξονα x, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Εάν η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα σημείο (στην κορυφή της παραβολής), η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (η εξίσωση λέγεται επίσης ότι έχει δύο ρίζες που συμπίπτουν). Εάν η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες (δείτε την εικόνα στα δεξιά.)

Εάν ο συντελεστής (τρόπος εμφάνισης a) έναθετικά, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αντίστροφα. Αν ο συντελεστής (στυλ εμφάνισης β) bθετικό (όταν είναι θετικό (τρόπος εμφάνισης α) ένα, εάν είναι αρνητικό, αντίστροφα), τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό μισό επίπεδο και αντίστροφα.

Εφαρμογή τετραγωνικών εξισώσεων στη ζωή

Η τετραγωνική εξίσωση είναι ευρέως διαδεδομένη. Χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογισμούς, δομές, αθλήματα, αλλά και γύρω μας.

Εξετάστε και δώστε μερικά παραδείγματα εφαρμογής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Αθλημα. Άλματα σε ύψος: κατά τη διάρκεια της εκκίνησης του άλτη για το πιο ακριβές χτύπημα στη μπάρα απόκρουσης και υψηλή πτήσηχρησιμοποιήστε τους υπολογισμούς που σχετίζονται με την παραβολή.

Επίσης, ανάλογοι υπολογισμοί χρειάζονται και στη ρίψη. Το εύρος πτήσης ενός αντικειμένου εξαρτάται από μια τετραγωνική εξίσωση.

Αστρονομία. Η τροχιά των πλανητών μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μια τετραγωνική εξίσωση.

Πτήση με αεροπλάνο. Η απογείωση ενός αεροσκάφους είναι το κύριο συστατικό της πτήσης. Εδώ ο υπολογισμός λαμβάνεται για μια μικρή αντίσταση και επιτάχυνση απογείωσης.

Επίσης, οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται σε διάφορα οικονομικούς κλάδους, σε προγράμματα επεξεργασίας ήχου, βίντεο, διανυσματικών και ράστερ γραφικών.

συμπέρασμα

Ως αποτέλεσμα της δουλειάς που έγινε, αποδείχθηκε ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις προσέλκυσαν επιστήμονες στην αρχαιότητα, τους αντιμετώπισαν ήδη κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων και προσπάθησαν να τα λύσουν. Θεωρώντας διάφορους τρόπουςλύνοντας τετραγωνικές εξισώσεις, κατέληξα στο συμπέρασμα ότι δεν είναι όλες απλές. Κατά τη γνώμη μου τα περισσότερα ο καλύτερος τρόποςΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων είναι λύση με τύπους. Οι φόρμουλες είναι εύκολο να θυμάστε, αυτή η μέθοδος είναι καθολική. Η υπόθεση ότι οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στη ζωή και στα μαθηματικά επιβεβαιώθηκε. Έχοντας μελετήσει το θέμα, έμαθα πολλά ενδιαφέροντα γεγονότασχετικά με τετραγωνικές εξισώσεις, χρήση, εφαρμογή, είδη, λύσεις. Και θα συνεχίσω να τα μελετώ με ευχαρίστηση. Ελπίζω ότι αυτό θα με βοηθήσει να πάω καλά στις εξετάσεις μου.

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

Υλικά τοποθεσίας:

Βικιπαίδεια

Ανοιχτό μάθημα.rf

Εγχειρίδιο στοιχειωδών μαθηματικών Vygodsky M. Ya.

Ο μετασχηματισμός μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης σε ημιτελή μοιάζει με αυτό (για την περίπτωση \(b=0\)):

Για περιπτώσεις όπου \(c=0\) ή όταν και οι δύο συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, όλα είναι παρόμοια.

Σημειώστε ότι το \(a\) δεν είναι ίσο με μηδέν, δεν μπορεί να είναι ίσο με μηδέν, αφού σε αυτήν την περίπτωση μετατρέπεται σε:

Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να καταλάβετε ότι η ημιτελής τετραγωνική εξίσωση εξακολουθεί να είναι, επομένως, μπορεί να λυθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση (μέσω). Για να γίνει αυτό, προσθέτουμε απλώς τη συνιστώσα που λείπει από την εξίσωση με μηδενικό συντελεστή.

Παράδειγμα : Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \(3x^2-27=0\)
Απόφαση :

		Έχουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση με τον συντελεστή \(b=0\). Δηλαδή, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση στο παρακάτω φόρμα:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Στην πραγματικότητα, εδώ είναι η ίδια εξίσωση όπως στην αρχή, αλλά τώρα μπορεί να λυθεί ως ένα συνηθισμένο τετράγωνο. Αρχικά γράφουμε τους συντελεστές.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Υπολογίστε τη διάκριση χρησιμοποιώντας τον τύπο \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας τους τύπους \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) και \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2α)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Γράψτε την απάντηση

Απάντηση : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Παράδειγμα : Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης \(-x^2+x=0\)
Απόφαση :

		Και πάλι μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση, αλλά τώρα μηδέν ισούται με τον συντελεστή\(ντο\). Γράφουμε την εξίσωση ως πλήρη.

Τετραγωνικές εξισώσεις. Διακριτικός. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά σε Ειδικό άρθρο 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση; Πως μοιάζει? Σε θητεία τετραγωνική εξίσωσηλέξη κλειδί είναι "τετράγωνο".Σημαίνει ότι στην εξίσωση αναγκαίωςπρέπει να υπάρχει ένα x τετράγωνο. Εκτός από αυτό, στην εξίσωση μπορεί να υπάρχει (ή μπορεί να μην υπάρχει!) Μόλις x (στο πρώτο βαθμό) και μόνο ένας αριθμός (ελεύθερο μέλος).Και δεν πρέπει να υπάρχουν x σε βαθμό μεγαλύτερο από δύο.

ομιλία μαθηματική γλώσσα, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

Εδώ α, β και γ- κάποιοι αριθμοί. β και γ- απολύτως οποιαδήποτε, αλλά ένα- κάθε άλλο παρά μηδέν. Για παράδειγμα:

Εδώ ένα =1; σι = 3; ντο = -4

Εδώ ένα =2; σι = -0,5; ντο = 2,2

Εδώ ένα =-3; σι = 6; ντο = -18

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα...

Σε αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, στα αριστερά, υπάρχει πλήρες σετ μέλη. x στο τετράγωνο με τον συντελεστή ένα, x στην πρώτη δύναμη με συντελεστή σικαι ελεύθερο μέλος του

Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρης.

Κι αν σι= 0, τι θα πάρουμε; Εχουμε Το Χ θα εξαφανιστεί στον πρώτο βαθμό.Αυτό συμβαίνει από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν.) Αποδεικνύεται, για παράδειγμα:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Και τα λοιπά. Και αν και οι δύο συντελεστές σικαι ντοείναι ίσα με μηδέν, τότε είναι ακόμα πιο απλό:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Τέτοιες εξισώσεις, όπου κάτι λείπει, λέγονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Σημειώστε ότι το x τετράγωνο υπάρχει σε όλες τις εξισώσεις.

Με την ευκαιρία γιατί έναδεν μπορεί να είναι μηδέν; Και αντικαθιστάς έναμηδέν.) Το Χ στο τετράγωνο θα εξαφανιστεί! Η εξίσωση γίνεται γραμμικός.Και γίνεται διαφορετικά...

Αυτοί είναι όλοι οι κύριοι τύποι τετραγωνικών εξισώσεων. Πλήρης και ελλιπής.

Λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εύκολο να λυθούν. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να φέρετε τη δεδομένη εξίσωση στην τυπική μορφή, δηλ. στη θέα:

Εάν η εξίσωση σας έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο στάδιο.) Το κύριο πράγμα είναι να προσδιορίσετε σωστά όλους τους συντελεστές, ένα, σικαι ντο.

Ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική. Περισσότερα για αυτόν όμως παρακάτω. Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, χρησιμοποιούμε μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από την τετραγωνική εξίσωση. Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά τις τιμές α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Υποκατάστατο με τα σημάδια σου! Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο= -4. Εδώ γράφουμε:

Παράδειγμα σχεδόν λυμένο:

Αυτή είναι η απάντηση.

Όλα είναι πολύ απλά. Και τι νομίζεις, δεν μπορείς να κάνεις λάθος; Λοιπόν, ναι, πώς…

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια των αξιών α, β και γ. Ή μάλλον, όχι με τα σημάδια τους (που πρέπει να μπερδευτείτε;), αλλά με την αντικατάσταση αρνητικών τιμών στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ, αποθηκεύεται μια λεπτομερής καταγραφή του τύπου με συγκεκριμένους αριθμούς. Εάν υπάρχουν προβλήματα με τους υπολογισμούς, Ετσι κάνε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ας πούμε ότι γνωρίζετε ότι σπάνια λαμβάνετε απαντήσεις την πρώτη φορά.

Λοιπόν, μην είσαι τεμπέλης. Θα χρειαστούν 30 δευτερόλεπτα για να γράψετε μια επιπλέον γραμμή και τον αριθμό των σφαλμάτων θα πέσει απότομα. Γράφουμε λοιπόν αναλυτικά, με όλες τις αγκύλες και τα σημάδια:

Φαίνεται απίστευτα δύσκολο να ζωγραφίσεις τόσο προσεκτικά. Αλλά μόνο φαίνεται. Δοκίμασέ το. Λοιπόν, ή επιλέξτε. Ποιο είναι καλύτερο, γρήγορο ή σωστό; Άλλωστε θα σε κάνω χαρούμενο. Μετά από λίγο, δεν θα χρειαστεί να βάψετε τα πάντα τόσο προσεκτικά. Απλώς θα αποδειχθεί σωστό. Ειδικά αν εφαρμόζετε πρακτικές τεχνικές, οι οποίες περιγράφονται παρακάτω. Αυτό το κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα θα λυθεί εύκολα και χωρίς λάθη!

Αλλά, συχνά, οι τετραγωνικές εξισώσεις φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Το ξέρατε;) Ναι! Αυτό ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

Λύση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων.

Μπορούν επίσης να λυθούν με τον γενικό τύπο. Απλά πρέπει να καταλάβετε σωστά τι είναι ίσο εδώ α, β και γ.

Συνειδητοποίησα? Στο πρώτο παράδειγμα a = 1; b = -4;ένα ντο? Δεν υπάρχει καθόλου! Λοιπόν, ναι, έτσι είναι. Στα μαθηματικά αυτό σημαίνει c = 0 ! Αυτό είναι όλο. Αντικαταστήστε το μηδέν στον τύπο αντί για ντο,και όλα θα πάνε καλά για εμάς. Ομοίως με το δεύτερο παράδειγμα. Μόνο μηδέν δεν έχουμε εδώ με, ένα σι !

Αλλά οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν πολύ πιο εύκολα. Χωρίς καμία φόρμουλα. Σκεφτείτε το πρώτο ημιτελής εξίσωση. Τι μπορεί να γίνει στην αριστερή πλευρά; Μπορείτε να βγάλετε το Χ από αγκύλες! Ας το βγάλουμε.

Και τι από αυτό; Και το γεγονός ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν, και μόνο αν κάποιος από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν! Δεν πιστεύεις; Λοιπόν, καταλήξτε σε δύο μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δώσουν μηδέν!
Δεν δουλεύει? Κάτι...
Επομένως, μπορούμε να γράψουμε με σιγουριά: x 1 = 0, x 2 = 4.

Τα παντα. Αυτές θα είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας. Και τα δύο ταιριάζουν. Όταν αντικαθιστούμε οποιοδήποτε από αυτά στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε τη σωστή ταυτότητα 0 = 0. Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση είναι πολύ πιο απλή από τον γενικό τύπο. Σημειώνω, παρεμπιπτόντως, ποιο Χ θα είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο - είναι απολύτως αδιάφορο. Εύκολο να γράψεις με τη σειρά x 1- όποιο είναι λιγότερο x 2- αυτό που είναι περισσότερο.

Η δεύτερη εξίσωση μπορεί επίσης να λυθεί εύκολα. Μεταφορά 9 σε σωστη πλευρα. Παίρνουμε:

Απομένει να εξαγάγουμε τη ρίζα από το 9, και αυτό είναι. Παίρνω:

επίσης δύο ρίζες . x 1 = -3, x 2 = 3.

Έτσι λύνονται όλες οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Είτε βγάζοντας το Χ από αγκύλες, είτε απλώς μεταφέροντας τον αριθμό στα δεξιά, ακολουθούμενο από εξαγωγή της ρίζας.
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να συγχέουμε αυτές τις μεθόδους. Απλά επειδή στην πρώτη περίπτωση θα πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από το Χ, κάτι που είναι κατά κάποιο τρόπο ακατανόητο, και στη δεύτερη περίπτωση δεν υπάρχει τίποτα να βγάλετε από αγκύλες ...

Διακριτικός. Διακριτική φόρμουλα.

Μαγική λέξη διακριτική ! Ένας σπάνιος μαθητής λυκείου δεν έχει ακούσει αυτή τη λέξη! Η φράση «αποφασίστε μέσω του διακριτικού» είναι καθησυχαστική και καθησυχαστική. Γιατί δεν χρειάζεται να περιμένουμε κόλπα από τον διακρίνοντα! Είναι απλό και χωρίς προβλήματα στη χρήση.) Σας υπενθυμίζω τον πιο γενικό τύπο επίλυσης όποιοςτετραγωνικές εξισώσεις:

Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διάκριση. Η διάκριση συνήθως υποδηλώνεται με το γράμμα ρε. Διακριτικός τύπος:

D = b 2 - 4ac

Και τι το ιδιαίτερο έχει αυτή η έκφραση; Γιατί αξίζει ένα ιδιαίτερο όνομα; Τι έννοια της διάκρισης;Παρά όλα αυτά -σι,ή 2ασε αυτόν τον τύπο δεν ονομάζουν συγκεκριμένα ... Γράμματα και γράμματα.

Το θέμα είναι αυτό. Κατά την επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, είναι δυνατό μόνο τρεις περιπτώσεις.

1. Η διάκριση είναι θετική.Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό. Το αν η ρίζα εξάγεται καλά ή άσχημα είναι ένα άλλο ερώτημα. Σημασία έχει τι εξάγεται κατ' αρχήν. Τότε η τετραγωνική εξίσωσή σας έχει δύο ρίζες. Δύο διαφορετικές λύσεις.

2. Η διάκριση είναι μηδέν.Τότε έχετε μία λύση. Αφού η πρόσθεση ή η αφαίρεση του μηδενός στον αριθμητή δεν αλλάζει τίποτα. Αυστηρά μιλώντας, αυτό δεν είναι μια ενιαία ρίζα, αλλά δύο πανομοιότυπα. Αλλά, σε μια απλοποιημένη έκδοση, συνηθίζεται να μιλάμε μια λύση.

3. Η διάκριση είναι αρνητική.Από αρνητικό αριθμό η τετραγωνική ρίζα δεν λαμβάνεται.Καλά εντάξει. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Για να είμαι ειλικρινής, στο απλή λύσητετραγωνικές εξισώσεις, δεν απαιτείται ιδιαίτερα η έννοια του διακριτικού. Αντικαθιστούμε τις τιμές των συντελεστών στον τύπο και θεωρούμε. Εκεί όλα αποδεικνύονται από μόνα τους, και δύο ρίζες, και μία, και όχι μία. Ωστόσο, κατά την επίλυση περισσότερων δύσκολα καθήκοντα, χωρίς να γνωρίζει νόημα και διακριτικός τύποςόχι αρκετά. Ειδικά - σε εξισώσεις με παραμέτρους. Τέτοιες εξισώσεις είναι ακροβατικάστο ΓΙΑ και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση!)

Ετσι, πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσειςμέσα από τη διάκριση που θυμήθηκες. Ή έμαθε, που επίσης δεν είναι κακό.) Ξέρετε πώς να αναγνωρίζετε σωστά α, β και γ. Ξέρεις πως προσεχτικάαντικαταστήστε τα στον τύπο της ρίζας και προσεχτικάμετρήστε το αποτέλεσμα. Το κατάλαβες αυτό λέξη-κλειδίεδώ - προσεχτικά?

Τώρα σημειώστε τις πρακτικές τεχνικές που μειώνουν δραματικά τον αριθμό των σφαλμάτων. Αυτά ακριβώς που οφείλονται σε απροσεξία… Για τα οποία είναι επώδυνο και προσβλητικό…

Πρώτη υποδοχή . Μην είστε τεμπέλης πριν λύσετε μια εξίσωση του δευτεροβάθμιου βαθμού για να τη φέρετε σε τυπική μορφή. Τι σημαίνει αυτό?
Ας υποθέσουμε ότι, μετά από οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς, λαμβάνετε την ακόλουθη εξίσωση:

Μη βιαστείτε να γράψετε τη φόρμουλα των ριζών! Σχεδόν σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες α, β και γ.Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, x τετράγωνο, μετά χωρίς τετράγωνο, μετά ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Και πάλι, μην βιαστείτε! Το μείον πριν από το x στο τετράγωνο μπορεί να σας αναστατώσει πολύ. Το να το ξεχάσεις είναι εύκολο... Ξεφορτώσου το μείον. Πως? Ναι, όπως διδάσκεται στο προηγούμενο θέμα!Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Και τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα. Αποφασίστε μόνοι σας. Θα πρέπει να καταλήξετε με τις ρίζες 2 και -1.

Δεύτερη υποδοχή. Ελέγξτε τις ρίζες σας! Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta. Μην ανησυχείς, θα τα εξηγήσω όλα! Ελεγχος το τελευταίο πράγματην εξίσωση. Εκείνοι. αυτή με την οποία καταγράψαμε τον τύπο των ριζών. Αν (όπως σε αυτό το παράδειγμα) ο συντελεστής α = 1, ελέγξτε τις ρίζες εύκολα. Αρκεί να τα πολλαπλασιάσουμε. Θα πρέπει να λάβετε δωρεάν όρο, δηλ. στην περίπτωσή μας -2. Προσοχή, όχι 2, αλλά -2! ελεύθερο μέλος με το ζώδιο σου . Αν δεν λειτούργησε, σημαίνει ότι έχουν ήδη μπλέξει κάπου. Ψάξτε για ένα σφάλμα.

Εάν λειτούργησε, πρέπει να διπλώσετε τις ρίζες. Τελευταίος και τελευταίος έλεγχος. Θα πρέπει να είναι μια αναλογία σιμε απεναντι απο σημάδι. Στην περίπτωσή μας -1+2 = +1. Ένας συντελεστής σι, που είναι πριν από το x, ισούται με -1. Λοιπόν, όλα είναι σωστά!
Είναι κρίμα που είναι τόσο απλό μόνο για παραδείγματα όπου το x τετράγωνο είναι καθαρό, με συντελεστή α = 1.Αλλά τουλάχιστον ελέγξτε σε τέτοιες εξισώσεις! Θα υπάρξουν λιγότερα λάθη.

Τρίτη υποδοχή . Εάν η εξίσωσή σας έχει κλασματικούς συντελεστές, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κοινό παρονομαστή όπως περιγράφεται στο μάθημα "Πώς λύνουμε εξισώσεις; Μετασχηματισμοί ταυτότητας".Όταν εργάζεστε με κλάσματα, λάθη, για κάποιο λόγο, ανεβείτε ...

Παρεμπιπτόντως, υποσχέθηκα ένα κακό παράδειγμα με ένα σωρό μειονεκτήματα για απλοποίηση. Σας παρακαλούμε! Εδώ είναι.

Για να μην μπερδευτούμε στα πλην, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αυτό είναι όλο! Το να αποφασίζεις είναι διασκεδαστικό!

Ας ανακεφαλαιώσουμε λοιπόν το θέμα.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με τον αντίστοιχο παράγοντα.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής για αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με το θεώρημα του Vieta. Κάνε το!

Τώρα μπορείτε να αποφασίσετε.)

Επίλυση εξισώσεων:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Απαντήσεις (σε αταξία):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - οποιοσδήποτε αριθμός

x 1 = -3
x 2 = 3

χωρίς λύσεις

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ταιριάζουν όλα; Πρόστιμο! Οι τετραγωνικές εξισώσεις δεν είναι ο πονοκέφαλος σου. Τα τρία πρώτα βγήκαν, αλλά τα υπόλοιπα όχι; Τότε το πρόβλημα δεν είναι στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Το πρόβλημα είναι μέσα πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εξισώσεων.Ρίξτε μια ματιά στο σύνδεσμο, είναι χρήσιμο.

Δεν λειτουργεί αρκετά; Ή δεν λειτουργεί καθόλου; Τότε να σε βοηθήσει Άρθρο 555.Εκεί, όλα αυτά τα παραδείγματα ταξινομούνται κατά κόκαλα. Επίδειξη κύριοςλάθη στη λύση. Φυσικά μιλάει και για τη χρήση πανομοιότυπες μετατροπέςσε απόφαση διάφορες εξισώσεις. Βοηθάει πολύ!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.