Συντεταγμένες στο επίπεδο συντεταγμένων. Βίντεο μάθημα «Συντεταγμένο αεροπλάνο

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ή x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Έχοντας μάθει να λύνεις εξισώσεις πρώτου βαθμού, φυσικά, θέλεις να συνεργαστείς με άλλους, ειδικότερα, με εξισώσεις δεύτερου βαθμού, που αλλιώς ονομάζονται τετραγωνικές.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι εξισώσεις όπως ax² + bx + c = 0, όπου η μεταβλητή είναι x, οι αριθμοί είναι a, b, c, όπου το a δεν είναι ίσο με μηδέν.

Εάν σε μια τετραγωνική εξίσωση ο ένας ή ο άλλος συντελεστής (c ή b) είναι ίσος με μηδέν, τότε αυτή η εξίσωση θα ταξινομηθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Πώς να λύσετε μια ημιτελή δευτεροβάθμια εξίσωση εάν οι μαθητές μπορούσαν μέχρι τώρα να λύσουν μόνο εξισώσεις πρώτου βαθμού; Θεωρήστε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκαι απλούς τρόπους επίλυσής τους.

α) Εάν ο συντελεστής c είναι ίσος με 0 και ο συντελεστής b δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε το ax ² + bx + 0 = 0 ανάγεται σε μια εξίσωση της μορφής ax ² + bx = 0.

Για να λύσετε μια τέτοια εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε τον τύπο για την επίλυση του ημιτελούς τετραγωνική εξίσωση, που συνίσταται στην παραγοντοποίηση της αριστερής πλευράς του και αργότερα στη χρήση της συνθήκης ότι το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Για παράδειγμα, 5x² - 20x = 0. Συνυπολογίζουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, ενώ κάνουμε το συνηθισμένο μαθηματική πράξη: μετακίνηση του συνολικού συντελεστή εκτός παρενθέσεων

5x (x - 4) = 0

Χρησιμοποιούμε την προϋπόθεση ότι τα γινόμενα είναι ίσα με μηδέν.

5 x = 0 ή x - 4 = 0

Η απάντηση θα είναι: η πρώτη ρίζα είναι 0. η δεύτερη ρίζα είναι 4.

β) Αν b = 0, και ο ελεύθερος όρος δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε η εξίσωση ax ² + 0x + c = 0 ανάγεται σε μια εξίσωση της μορφής ax ² + c = 0. Οι εξισώσεις λύνονται με δύο τρόπους : α) με παραγοντοποίηση του πολυωνύμου της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά ; β) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνική ρίζα. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μία από τις μεθόδους, για παράδειγμα:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Η απάντηση θα είναι: η πρώτη ρίζα είναι 5/2. η δεύτερη ρίζα είναι ίση με - 5/2.

γ) Εάν το b είναι ίσο με 0 και το c είναι ίσο με 0, τότε το ax ² + 0 + 0 = 0 ανάγεται σε μια εξίσωση της μορφής ax ² = 0. Σε μια τέτοια εξίσωση το x θα είναι ίσο με 0.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις δεν μπορούν να έχουν περισσότερες από δύο ρίζες.

Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! *Στο εξής θα αναφέρεται ως «KU».Φίλοι, φαίνεται ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει τίποτα πιο απλό στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί άνθρωποι έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις κατ' απαίτηση δίνει η Yandex ανά μήνα. Να τι συνέβη, δείτε:

Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτή η πληροφορία, τι σχέση έχει αυτό το καλοκαίρι και τι θα γίνει μεταξύ σχολική χρονιά— θα υπάρξουν διπλάσιες αιτήσεις. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Unified State, αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές προσπαθούν επίσης να ανανεώσουν τη μνήμη τους.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα επίσης να συνεισφέρω και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θα ήθελα οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου με βάση αυτό το αίτημα. Δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν εμφανιστεί το θέμα "KU", θα παράσχω έναν σύνδεσμο προς αυτό το άρθρο. Τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό,τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

όπου οι συντελεστές α,σικαι c είναι αυθαίρετοι αριθμοί, με a≠0.

ΣΕ σχολικό μάθημαδίνεται υλικό την παρακάτω φόρμα– οι εξισώσεις χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες:

1. Έχουν δύο ρίζες.

2. *Έχετε μόνο μία ρίζα.

3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει ιδιαίτερα να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν πραγματικές ρίζες

Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!

Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτή την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:

Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:

*Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από έξω.

Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να λύσετε:

Παράδειγμα:

1. Αν D > 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Ας δούμε την εξίσωση:

Από αυτή την άποψη, όταν η διάκριση είναι ίση με μηδέν, το σχολικό μάθημα λέει ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ είναι ίση με εννέα. Όλα είναι σωστά, έτσι είναι, αλλά...

Αυτή η ιδέα είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, βγαίνουν δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, η απάντηση πρέπει να περιέχει δύο ρίζες:

x 1 = 3 x 2 = 3

Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκκλιση. Στο σχολείο μπορείς να το γράψεις και να πεις ότι υπάρχει μία ρίζα.

Τώρα το επόμενο παράδειγμα:

Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν μπορεί να ληφθεί, επομένως οι λύσεις σε σε αυτήν την περίπτωσηΟχι.

Αυτή είναι η όλη διαδικασία απόφασης.

Τετραγωνική λειτουργία.

Αυτό δείχνει πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:

όπου x και y είναι μεταβλητές

a, b, c – δεδομένοι αριθμοί, με a ≠ 0

Η γραφική παράσταση είναι παραβολή:

Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας μια τετραγωνική εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα x. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για την τετραγωνική συνάρτηση Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.

Ας δούμε παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ήταν δυνατό να φύγει αμέσως και σωστη πλευραδιαιρέστε την εξίσωση με το 2, δηλαδή απλοποιήστε την. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.

Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Βρήκαμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11

Επιτρέπεται να γράψετε x = 11 στην απάντηση.

Απάντηση: x = 11

Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.

Απάντηση: Καμία λύση

Η διάκριση είναι αρνητική. Υπάρχει λύση!

Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Ξέρετε κάτι για μιγαδικοί αριθμοί? Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και πού προέκυψαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η αναγκαιότητά τους στα μαθηματικά, αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.

Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.

Λίγη θεωρία.

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας

z = a + bi

όπου είναι το α και το β πραγματικούς αριθμούς, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.

a+bi – αυτός είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.

Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα του μείον ένα:

Τώρα σκεφτείτε την εξίσωση:

Παίρνουμε δύο συζυγείς ρίζες.

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Μπορούν να επιλυθούν εύκολα χωρίς διακρίσεις.

Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μετατρέψουμε:

Παράδειγμα:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Περίπτωση 2. Συντελεστής c = 0.

Η εξίσωση γίνεται:

Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε:

*Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ή x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.

Εδώ είναι σαφές ότι η λύση της εξίσωσης θα είναι πάντα x = 0.

Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.

Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.

ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα + σι+ c = 0,Οτι

- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης ΕΝΑΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα+ s =σι, Οτι

Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην απόφαση ένα συγκεκριμένο είδοςεξισώσεις

Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0

Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, που σημαίνει

Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0

Ισχύει η ισότητα ένα+ s =σι, Που σημαίνει

Κανονικότητα συντελεστών.

1. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσο με τον συντελεστή«α», τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx + c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής “c” είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Αν στην Εξ. ax 2 + bx – c = 0 συντελεστής «b» ισούται με (a 2 – 1), και ο συντελεστής «γ» αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Αν στην εξίσωση ax 2 – bx – c = 0 ο συντελεστής “b” είναι ίσος με (a 2 – 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή “a”, τότε οι ρίζες του είναι ίσες

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Το θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από το διάσημο Γάλλος μαθηματικόςΦρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου KU ως προς τους συντελεστές του.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά αμέσως.

Το θεώρημα του Vieta, επιπλέον. Είναι βολικό στο ότι μετά την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνήθη τρόπο (μέσω ενός διαχωριστή), οι προκύπτουσες ρίζες μπορούν να ελεγχθούν. Συνιστώ να το κάνετε αυτό πάντα.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, γι' αυτό ονομάζεται μέθοδος «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Αν ΕΝΑ± β+γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:

2Χ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => Χ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2), είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1

Οι προκύπτουσες ρίζες της εξίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (καθώς οι δύο "πετάχτηκαν" από το x 2), παίρνουμε

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Ποιο είναι το σκεπτικό; Κοίτα τι συμβαίνει.

Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:

Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, θα πάρετε μόνο διαφορετικούς παρονομαστές, και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:

Το δεύτερο (τροποποιημένο) έχει ρίζες 2 φορές μεγαλύτερες.

Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.

*Αν κυλήσουμε τρία, θα διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το 3 κ.λπ.

Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5

πλ. ur-ie και Ενιαία Κρατική Εξέταση.

Θα σας πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΖΕΤΕ γρήγορα και χωρίς σκέψη, πρέπει να γνωρίζετε τις φόρμουλες των ριζών και των διακρίσεων από καρδιάς. Πολλά από τα προβλήματα που περιλαμβάνονται στις εργασίες της Ενιαίας Πολιτικής Εξέτασης καταλήγουν στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).

Κάτι που αξίζει να σημειωθεί!

1. Η μορφή γραφής μιας εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώρηση:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x+42+9x 2 - 45x=0 ή 15 -5x+10x 2 = 0.

Πρέπει να το φέρετε σε τυπική φόρμα (για να μην μπερδεύεστε κατά την επίλυση).

2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.

Περισσότερο με απλό τρόπο. Για να το κάνετε αυτό, βάλτε το z εκτός αγκύλων. Θα λάβετε: z(аz + b) = 0. Οι συντελεστές μπορούν να γραφούν: z=0 και аz + b = 0, αφού και οι δύο μπορεί να έχουν ως αποτέλεσμα μηδέν. Στον συμβολισμό az + b = 0, μετακινούμε το δεύτερο προς τα δεξιά με διαφορετικό πρόσημο. Από εδώ παίρνουμε z1 = 0 και z2 = -b/a. Αυτές είναι οι ρίζες του πρωτότυπου.

Αν υπάρχει ημιτελής εξίσωσητης μορφής аz² + с = 0, σε αυτήν την περίπτωση βρίσκονται μετακινώντας απλώς τον ελεύθερο όρο στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Αλλάξτε και το σήμα του. Το αποτέλεσμα θα είναι az² = -с. Εκφράστε z² = -c/a. Πάρτε τη ρίζα και σημειώστε δύο λύσεις - θετικές και αρνητικό νόηματετραγωνική ρίζα.

Σημείωση

Όταν υπάρχει στην Εξ. κλασματικές πιθανότητεςπολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα για την εξάλειψη των κλασμάτων.

Η γνώση του τρόπου επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων είναι απαραίτητη τόσο για μαθητές όσο και για μαθητές, μερικές φορές αυτό μπορεί επίσης να βοηθήσει έναν ενήλικα συνηθισμένη ζωή. Υπάρχουν αρκετές ορισμένες μεθόδουςαποφάσεις.

Επίλυση Τετραγωνικών Εξισώσεων

Τετραγωνική εξίσωση της μορφής a*x^2+b*x+c=0. Ο συντελεστής x είναι η επιθυμητή μεταβλητή, τα a, b, c είναι αριθμητικοί συντελεστές. Θυμηθείτε ότι το σύμβολο "+" μπορεί να αλλάξει σε "-".

Για να λυθεί αυτή η εξίσωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του Vieta ή να βρεθεί ο διαχωριστής. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος είναι η εύρεση της διάκρισης, αφού για ορισμένες τιμές των a, b, c δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του Vieta.

Για να βρείτε το διαχωριστικό (D), πρέπει να γράψετε τον τύπο D=b^2 - 4*a*c. Η τιμή D μπορεί να είναι μεγαλύτερη από, μικρότερη ή ίση με μηδέν. Εάν το D είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μηδέν, τότε θα υπάρχουν δύο ρίζες, εάν D = 0, τότε μόνο μία ρίζα παραμένει, μπορούμε να πούμε ότι το D σε αυτή την περίπτωση έχει δύο ισοδύναμες ρίζες. Αντικαταστήστε τους γνωστούς συντελεστές a, b, c στον τύπο και υπολογίστε την τιμή.

Αφού βρείτε το διακριτικό, χρησιμοποιήστε τους τύπους για να βρείτε το x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, όπου sqrt είναι μια συνάρτηση που σημαίνει ότι παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα του δεδομένου αριθμού. Αφού υπολογίσετε αυτές τις εκφράσεις, θα βρείτε δύο ρίζες της εξίσωσής σας, μετά τις οποίες η εξίσωση θεωρείται λυμένη.

Αν το D είναι μικρότερο από μηδέν, τότε εξακολουθεί να έχει ρίζες. Στο σχολείο αυτός ο τομέαςπρακτικά δεν έχει μελετηθεί. Οι φοιτητές του πανεπιστημίου πρέπει να γνωρίζουν τι προκύπτει ένας αρνητικός αριθμόςκάτω από τη ρίζα. Το ξεφορτώνονται επισημαίνοντας το φανταστικό μέρος, δηλαδή το -1 κάτω από τη ρίζα είναι πάντα ίσο με το φανταστικό στοιχείο "i", το οποίο πολλαπλασιάζεται με τη ρίζα με τον ίδιο θετικό αριθμό. Για παράδειγμα, αν D=sqrt(-20), μετά τον μετασχηματισμό προκύπτει D=sqrt(20)*i. Μετά από αυτόν τον μετασχηματισμό, η επίλυση της εξίσωσης ανάγεται στην ίδια εύρεση ριζών όπως περιγράφηκε παραπάνω.

Το θεώρημα του Vieta αποτελείται από την επιλογή των τιμών των x(1) και x(2). Χρησιμοποιούνται δύο πανομοιότυπες εξισώσεις: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Και πολύ σημαντικό σημείοείναι το πρόσημο μπροστά από τον συντελεστή b, θυμηθείτε ότι αυτό το πρόσημο είναι αντίθετο από αυτό της εξίσωσης. Με την πρώτη ματιά, φαίνεται ότι ο υπολογισμός των x(1) και x(2) είναι πολύ απλός, αλλά κατά την επίλυση, θα βρεθείτε αντιμέτωποι με το γεγονός ότι θα πρέπει να επιλέξετε τους αριθμούς.

Στοιχεία επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, ορισμένα μπορούν να παραγοντοποιηθούν: (a+x(1))*(b-x(2))=0, εάν καταφέρατε να μετατρέψετε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση με παρόμοιο τρόπο χρησιμοποιώντας μαθηματικούς τύπους, τότε μη διστάσετε να γράψε την απάντηση. Τα x(1) και x(2) θα είναι ίσα με τους διπλανούς συντελεστές σε αγκύλες, αλλά με το αντίθετο πρόσημο.

Επίσης, μην ξεχνάτε τις ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Μπορεί να σας λείπουν κάποιοι από τους όρους, αν ναι, τότε όλοι οι συντελεστές του είναι απλώς ίσοι με μηδέν. Αν δεν υπάρχει τίποτα μπροστά από το x^2 ή το x, τότε οι συντελεστές a και b είναι ίσοι με 1.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Δημοτικός προϋπολογισμός εκπαιδευτικό ίδρυμαμέση τιμή ολοκληρωμένο σχολείο № 11

Το κείμενο της εργασίας αναρτάται χωρίς εικόνες και τύπους.
Πλήρη έκδοσηη εργασία είναι διαθέσιμη στην καρτέλα "Αρχεία εργασίας" σε μορφή PDF

Ιστορία τετραγωνικών εξισώσεων

Βαβυλών

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου βαθμού, αλλά και του δεύτερου στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών οικόπεδα, με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών. Οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούσαν να λυθούν γύρω στο 2000 π.Χ. μι. Βαβυλώνιοι. Οι κανόνες για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που ορίζονται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτουν με τα σύγχρονα, αλλά σε αυτά τα κείμενα δεν υπάρχει έννοια αρνητικού αριθμού και γενικές μεθόδουςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

Αρχαία Ελλάδα

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων έγινε επίσης στο Αρχαία Ελλάδαεπιστήμονες όπως ο Διόφαντος, ο Ευκλείδης και ο Ήρων. Ο Διόφαντος Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός είναι αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που πιθανολογείται ότι έζησε τον 3ο αιώνα μ.Χ. Το κύριο έργο του Διόφαντου είναι η «Αριθμητική» σε 13 βιβλία. Ευκλείδης. Ο Ευκλείδης είναι ένας αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, ο συγγραφέας της πρώτης θεωρητικής πραγματείας για τα μαθηματικά που έφτασε μέχρι εμάς, του Ήρωνα. Ήρων - Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός πρώτος στην Ελλάδα τον 1ο αιώνα μ.Χ. δίνει έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ινδία

Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία «Aryabhattiam», που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Brahmagupta (7ος αιώνας), περιέγραψε γενικός κανόναςεπίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε ενιαίο κανονική μορφή: ax2 + bх = с, а> 0. (1) Στην εξίσωση (1) οι συντελεστές μπορεί να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta είναι ουσιαστικά ο ίδιος με τον δικό μας. Οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι στην Ινδία. Ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία λέει τα εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος σκιάζει τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι λόγιος άνθρωποςθα επισκιάσει τη δόξα του στις δημόσιες συνελεύσεις προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα προβλήματα παρουσιάζονταν συχνά σε ποιητική μορφή.

Αυτό είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του 12ου αιώνα. Μπάσκαρ.

«Ένα κοπάδι από ζωηρές μαϊμούδες

Και δώδεκα κατά μήκος των αμπελιών, έχοντας φάει μέχρι την καρδιά μου, διασκέδασαν

Άρχισαν να πηδάνε κρέμονται

Το όγδοο μέρος αυτών σε τετράγωνο

Πόσες μαϊμούδες ήταν εκεί;

Διασκέδαζα στο ξέφωτο

Πες μου, σε αυτό το πακέτο;

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε ότι οι ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων έχουν δύο τιμές. Ο Bhaskar γράφει την εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα ως x2 - 64x = - 768 και, για να συμπληρώσει την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε ένα τετράγωνο, προσθέτει 322 και στις δύο πλευρές, οπότε προκύπτει: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Τετραγωνικές εξισώσεις σε Ευρώπη XVIIαιώνας

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων που διαμορφώθηκαν μετά τον Al-Khorezmi στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Book of Abacus, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Leonardo Fibonacci. Αυτό το ογκώδες έργο, που αντικατοπτρίζει την επίδραση των μαθηματικών, τόσο από τις χώρες του Ισλάμ όσο και από την αρχαία Ελλάδα, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα κάποια νέα αλγεβρικά παραδείγματαεπίλυση προβλημάτων και ήταν η πρώτη στην Ευρώπη που εισήγαγε αρνητικούς αριθμούς. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα χρησιμοποιήθηκαν σχεδόν σε όλα τα ευρωπαϊκά εγχειρίδια του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII. Παραγωγή του τύπου για την επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης στο γενική εικόναΟ Βιέτ το έχει, αλλά ο Βιέτ το αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Λαμβάνουν υπόψη, εκτός από τα θετικά, και αρνητικές ρίζες. Μόλις τον 17ο αιώνα. Χάρη στο έργο του Ζιράρ, του Ντεκάρτ, του Νεύτωνα και άλλων με τον τρόπο των επιστημόνωνΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή.

Ορισμός τετραγωνικής εξίσωσης

Μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου τα a, b, c είναι αριθμοί, ονομάζεται τετραγωνική.

Συντελεστές τετραγωνικών εξισώσεων

Οι αριθμοί a, b, c είναι οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης.

Ποιες από αυτές τις εξισώσεις δεν είναι τετραγωνικές;?

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0,5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Τύποι τετραγωνικών εξισώσεων

Ονομα	Γενική μορφή της εξίσωσης	Χαρακτηριστικό (ποιοι είναι οι συντελεστές)	Παραδείγματα εξισώσεων
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - αριθμοί διαφορετικοί από το 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Ατελής
			x 2 - 1/5x = 0
Δεδομένος	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Μειωμένη είναι μια τετραγωνική εξίσωση στην οποία είναι ο κύριος συντελεστής ίσο με ένα. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να ληφθεί διαιρώντας ολόκληρη την έκφραση με τον κύριο συντελεστή ένα:

Χ 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Μια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται πλήρης αν όλοι οι συντελεστές της είναι μη μηδενικοί.

Μια τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται ατελής στην οποία τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές, εκτός από τον πρώτο (είτε ο δεύτερος συντελεστής είτε ο ελεύθερος όρος), είναι ίσος με μηδέν.

Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδος Ι Γενικός τύπος για τον υπολογισμό των ριζών

Να βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης τσεκούρι 2 + b + c = 0 V γενική περίπτωσηθα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω αλγόριθμο:

Υπολογίστε την τιμή της διάκρισης μιας τετραγωνικής εξίσωσης: αυτή είναι η έκφραση για αυτήν D=σι 2 - 4ac

Παραγωγή του τύπου:

Σημείωση:Είναι προφανές ότι ο τύπος για μια ρίζα πολλαπλότητας 2 είναι μια ειδική περίπτωση του γενικού τύπου, που προκύπτει αντικαθιστώντας την ισότητα D = 0 σε αυτόν και το συμπέρασμα είναι ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες για το D0, και (στυλ εμφάνισης (sqrt (-1)) = i) = i.

Η παρουσιαζόμενη μέθοδος είναι καθολική, αλλά απέχει πολύ από τη μοναδική. Η επίλυση μιας μεμονωμένης εξίσωσης μπορεί να προσεγγιστεί με διάφορους τρόπους, με προτιμήσεις συνήθως ανάλογα με τον λύτη. Επιπλέον, συχνά για το σκοπό αυτό ορισμένες από τις μεθόδους αποδεικνύονται πολύ πιο κομψές, απλές και λιγότερο απαιτητικές από την τυπική.

Μέθοδος II. Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης με άρτιο συντελεστήσι μέθοδος III. Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

IV μέθοδος. Χρησιμοποιώντας μερικούς λόγους συντελεστών

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις τετραγωνικών εξισώσεων στις οποίες οι συντελεστές βρίσκονται σε σχέση μεταξύ τους, γεγονός που καθιστά πολύ πιο εύκολη την επίλυσή τους.

Ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης στην οποία το άθροισμα του κύριου συντελεστή και του ελεύθερου όρου είναι ίσο με το δεύτερο συντελεστή

Αν σε μια τετραγωνική εξίσωση τσεκούρι 2 + bx + c = 0το άθροισμα του πρώτου συντελεστή και του ελεύθερου όρου είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή: α+β=γ, τότε οι ρίζες του είναι -1 και ο αριθμός αντίθετη στάσηελεύθερος όρος στον κύριο συντελεστή ( -γ/α).

Ως εκ τούτου, πριν λύσετε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση, θα πρέπει να ελέγξετε τη δυνατότητα εφαρμογής αυτού του θεωρήματος σε αυτήν: συγκρίνετε το άθροισμα του κύριου συντελεστή και του ελεύθερου όρου με τον δεύτερο συντελεστή.

Ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης της οποίας το άθροισμα όλων των συντελεστών είναι μηδέν

Αν σε μια τετραγωνική εξίσωση το άθροισμα όλων των συντελεστών της είναι μηδέν, τότε οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης είναι 1 και ο λόγος του ελεύθερου όρου προς τον κύριο συντελεστή ( γ/α).

Ως εκ τούτου, πριν λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τυπικές μεθόδους, θα πρέπει να ελέγξετε τη δυνατότητα εφαρμογής αυτού του θεωρήματος σε αυτήν: προσθέστε όλους τους συντελεστές δεδομένη εξίσωσηκαι δείτε αν αυτό το ποσό είναι ίσο με μηδέν.

Μέθοδος V. Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου σε γραμμικούς παράγοντες

Αν το τριώνυμο είναι της μορφής (στυλ εμφάνισης ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)μπορεί με κάποιο τρόπο να αναπαρασταθεί ως γινόμενο γραμμικών παραγόντων (τρόπος εμφάνισης (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), τότε μπορούμε να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης τσεκούρι 2 + bx + c = 0- θα είναι -m/k και n/l, πράγματι, τελικά (στυλ εμφάνισης (kx+m)(lx+n)=0Μακρύ δεξιό βέλος kx+m=0κούπα lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, και έχοντας λύσει τα υποδεικνυόμενα γραμμικές εξισώσεις, παίρνουμε τα παραπάνω. Σημειώστε ότι τετραγωνικό τριώνυμοδεν αποσυντίθεται πάντα σε γραμμικούς παράγοντες με πραγματικούς συντελεστές: αυτό είναι δυνατό εάν η αντίστοιχη εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.

Ας εξετάσουμε μερικές ειδικές περιπτώσεις

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του τετραγωνικού αθροίσματος (διαφορά).

Εάν το τετραγωνικό τριώνυμο έχει τη μορφή (στυλ εμφάνισης (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , τότε εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο σε αυτό, μπορούμε να το συνυπολογίσουμε σε γραμμικούς παράγοντες και , επομένως, βρείτε ρίζες:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Επιλογή πλήρες τετράγωνοποσά (διαφορές)

Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται επίσης χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που ονομάζεται "επιλογή του πλήρους τετραγώνου του αθροίσματος (διαφορά)." Σε σχέση με την παραπάνω τετραγωνική εξίσωση με τον συμβολισμό που εισήχθη προηγουμένως, αυτό σημαίνει τα εξής:

Σημείωση:αν προσέξατε αυτή τη φόρμουλασυμπίπτει με αυτό που προτείνεται στην ενότητα «Ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης», η οποία, με τη σειρά της, μπορεί να ληφθεί από τον γενικό τύπο (1) αντικαθιστώντας την ισότητα a=1. Αυτό το γεγονός δεν είναι απλώς τυχαίο: χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, αν και με κάποιο πρόσθετο σκεπτικό, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε γενικός τύπος, και επίσης να αποδείξει τις ιδιότητες του διακριτικού.

Μέθοδος VI. Χρησιμοποιώντας το άμεσο και αντίστροφο θεώρημα Vieta

Το άμεσο θεώρημα του Vieta (βλ. παρακάτω στην ενότητα με το ίδιο όνομα) και το αντίστροφο θεώρημά του σάς επιτρέπουν να λύσετε τις παραπάνω τετραγωνικές εξισώσεις προφορικά, χωρίς να καταφύγετε σε μάλλον δυσκίνητους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο (1).

Σύμφωνα με αντίστροφο του θεωρήματος, κάθε ζεύγος αριθμών (αριθμός) (στυλ εμφάνισης x_(1),x_(2))x 1, x 2 είναι μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων παρακάτω είναι οι ρίζες της εξίσωσης

Στη γενική περίπτωση, δηλαδή, για μια μη αναγωγική τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Ένα άμεσο θεώρημα θα σας βοηθήσει να βρείτε αριθμούς που ικανοποιούν αυτές τις εξισώσεις προφορικά. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να προσδιορίσετε τα σημάδια των ριζών χωρίς να γνωρίζετε τις ίδιες τις ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να ακολουθήσετε τον κανόνα:

1) αν ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός, τότε οι ρίζες έχουν διαφορετικό σημάδι, και το μεγαλύτερο modulo των ριζών είναι το ζώδιο αντίθετο σημάδιδεύτερος συντελεστής της εξίσωσης?

2) αν ο ελεύθερος όρος είναι θετικός, τότε και οι δύο ρίζες έχουν με το ίδιο σημάδι, και αυτό είναι το πρόσημο απέναντι από το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή.

Μέθοδος VII. Μέθοδος μεταφοράς

Η λεγόμενη μέθοδος "μεταφοράς" σάς επιτρέπει να μειώσετε τη λύση των μη αναγωγικών και μη αναγώγιμων εξισώσεων στη μορφή μειωμένων εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές διαιρώντας τους με τον κύριο συντελεστή στη λύση μειωμένων εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές. Είναι ως εξής:

Στη συνέχεια, η εξίσωση λύνεται προφορικά με τον τρόπο που περιγράφεται παραπάνω, στη συνέχεια επιστρέφουν στην αρχική μεταβλητή και βρίσκουν τις ρίζες των εξισώσεων (στυλ εμφάνισης y_(1)=ax_(1)) y 1 = τσεκούρι 1 Και y 2 = τσεκούρι 2 .(στυλ εμφάνισης y_(2)=ax_(2))

Γεωμετρική σημασία

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αν η παραβολή που περιγράφεται τετραγωνική λειτουργία, δεν τέμνεται με τον άξονα x, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Εάν μια παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα σημείο (στην κορυφή της παραβολής), η εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (η εξίσωση λέγεται επίσης ότι έχει δύο ρίζες που συμπίπτουν). Εάν η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες (δείτε την εικόνα στα δεξιά.)

Αν συντελεστής (τρόπος εμφάνισης a) έναθετικά, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και αντίστροφα. Αν ο συντελεστής (τρόπος εμφάνισης β) bθετικό (αν είναι θετικό (τρόπος εμφάνισης α) ένα, εάν είναι αρνητικό, αντίστροφα), τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό μισό επίπεδο και αντίστροφα.

Εφαρμογή τετραγωνικών εξισώσεων στη ζωή

Η τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιείται ευρέως. Χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογισμούς, δομές, αθλήματα, αλλά και γύρω μας.

Ας εξετάσουμε και δώσουμε μερικά παραδείγματα εφαρμογής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Αθλημα. Άλματα εις ύψος: κατά τη διάρκεια της εκκίνησης του άλτη για να χτυπήσετε τη ράβδο απογείωσης όσο το δυνατόν καθαρότερα και πετώντας ψηλάχρησιμοποιήστε υπολογισμούς που περιλαμβάνουν παραβολές.

Επίσης, ανάλογοι υπολογισμοί χρειάζονται και στη ρίψη. Το εύρος πτήσης ενός αντικειμένου εξαρτάται από την τετραγωνική εξίσωση.

Αστρονομία. Η τροχιά των πλανητών μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μια τετραγωνική εξίσωση.

Πτήση με αεροπλάνο. Η απογείωση του αεροπλάνου είναι το κύριο συστατικό της πτήσης. Εδώ παίρνουμε τον υπολογισμό για τη χαμηλή αντίσταση και την επιτάχυνση της απογείωσης.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται επίσης σε διάφορα οικονομικούς κλάδους, σε προγράμματα επεξεργασίας ήχου, εικόνας, διανυσματικών και ράστερ γραφικών.

συμπέρασμα

Ως αποτέλεσμα της δουλειάς που έγινε, αποδείχθηκε ότι οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις προσέλκυσαν τους επιστήμονες πίσω στην αρχαιότητα, οι οποίοι τις είχαν ήδη συναντήσει όταν έλυναν κάποια προβλήματα και προσπάθησαν να τα λύσουν. Θεωρώντας διάφορους τρόπουςλύνοντας τετραγωνικές εξισώσεις, κατέληξα στο συμπέρασμα ότι δεν είναι όλες απλές. Κατά τη γνώμη μου τα περισσότερα ο καλύτερος τρόποςΗ επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων είναι η επίλυση με τύπους. Οι τύποι είναι εύκολο να θυμάστε, αυτή η μέθοδος είναι καθολική. Η υπόθεση ότι οι εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στη ζωή και στα μαθηματικά επιβεβαιώθηκε. Αφού μελέτησα το θέμα, έμαθα πολλά ενδιαφέροντα γεγονόταγια τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, τη χρήση, την εφαρμογή, τους τύπους, τις λύσεις τους. Και θα χαρώ να συνεχίσω να τα μελετάω. Ελπίζω ότι αυτό θα με βοηθήσει να πάω καλά στις εξετάσεις μου.

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας

Υλικά τοποθεσίας:

Βικιπαίδεια

Ανοιχτό μάθημα.rf

Handbook of Elementary Mathematics Vygodsky M. Ya.

Ελπίζω, έχοντας σπουδάσει αυτό το άρθρο, θα μάθετε να βρίσκετε τις ρίζες μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.

Χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, λύνονται μόνο πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι, τις οποίες θα βρείτε στο άρθρο «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».

Ποιες τετραγωνικές εξισώσεις ονομάζονται πλήρεις; Αυτό εξισώσεις της μορφής ax 2 + b x + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c δεν είναι ίσοι με μηδέν. Έτσι, για να λύσουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, πρέπει να υπολογίσουμε τη διάκριση D.

D = b 2 – 4ac.

Ανάλογα με την αξία του διακριτικού, θα γράψουμε την απάντηση.

Εάν η διάκριση είναι αρνητικός αριθμός (Δ< 0),то корней нет.

Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε x = (-b)/2a. Όταν η διάκριση θετικός αριθμός(D > 0),

τότε x 1 = (-b - √D)/2a, και x 2 = (-b + √D)/2a.

Για παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Απάντηση: 2.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

Λύστε την εξίσωση 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Απάντηση: – 3,5; 1.

Ας φανταστούμε λοιπόν τη λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα στο Σχήμα 1.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Απλά πρέπει να προσέξεις η εξίσωση γράφτηκε ως πολυώνυμο τυπική όψη

ΕΝΑ x 2 + bx + c,αλλιώς μπορεί να κάνεις λάθος. Για παράδειγμα, γράφοντας την εξίσωση x + 3 + 2x 2 = 0, μπορείτε κατά λάθος να αποφασίσετε ότι

a = 1, b = 3 και c = 2. Τότε

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 και τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Και αυτό δεν είναι αλήθεια. (Βλ. λύση στο παράδειγμα 2 παραπάνω).

Επομένως, εάν η εξίσωση δεν γραφτεί ως πολυώνυμο της τυπικής φόρμας, πρώτα η πλήρης τετραγωνική εξίσωση πρέπει να γραφεί ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής (το μονώνυμο με τον μεγαλύτερο εκθέτη θα πρέπει να είναι πρώτο, δηλαδή ΕΝΑ x 2 , μετά με λιγότερα – bxκαι μετά ελεύθερο μέλος Με.

Όταν λύνετε την παραπάνω τετραγωνική εξίσωση και μια τετραγωνική εξίσωση με άρτιο συντελεστή στον δεύτερο όρο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλους τύπους. Ας εξοικειωθούμε με αυτούς τους τύπους. Εάν σε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση ο συντελεστής στον δεύτερο όρο είναι άρτιος (b = 2k), τότε μπορείτε να λύσετε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που δίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 2.

Μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται μειωμένη αν ο συντελεστής στο x 2 ισούται με ένα και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x 2 + px + q = 0. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να δοθεί για επίλυση ή μπορεί να ληφθεί διαιρώντας όλους τους συντελεστές της εξίσωσης με τον συντελεστή ΕΝΑ, στέκεται στο x 2 .

Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα για την επίλυση του μειωμένου τετραγώνου
εξισώσεις. Ας δούμε ένα παράδειγμα εφαρμογής των τύπων που συζητούνται σε αυτό το άρθρο.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3

Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ο συντελεστής x σε αυτή την εξίσωση είναι ένας ζυγός αριθμός, δηλαδή b = 6 ή b = 2k, από όπου k = 3. Στη συνέχεια, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα του σχήματος D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3. Παρατηρώντας ότι όλοι οι συντελεστές σε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση διαιρούνται με το 3 και εκτελώντας τη διαίρεση, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + 2x – 2 = 0 Λύστε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους τύπους για το ανηγμένο τετραγωνικό
εξισώσεις σχήμα 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Απάντηση: –1 – √3; –1 + √3.

Όπως μπορείτε να δείτε, όταν λύναμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους, λάβαμε την ίδια απάντηση. Επομένως, έχοντας κατακτήσει πλήρως τους τύπους που φαίνονται στο διάγραμμα στο σχήμα 1, θα είστε πάντα σε θέση να λύσετε οποιαδήποτε πλήρη εξίσωση του τετραγωνικού.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.