Το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης. Διασπορά

Σοφοί μαθηματικοί και στατιστικολόγοι κατέληξαν σε έναν πιο αξιόπιστο δείκτη, αν και για έναν ελαφρώς διαφορετικό σκοπό - μέση γραμμική απόκλιση. Αυτός ο δείκτης χαρακτηρίζει το μέτρο της εξάπλωσης των τιμών του συνόλου δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή τους.

Για να δείξετε το μέτρο της εξάπλωσης των δεδομένων, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε σε τι σχέση θα θεωρείται αυτό το spread - συνήθως αυτή είναι η μέση τιμή. Στη συνέχεια, πρέπει να υπολογίσετε πόσο μακριά απέχουν οι τιμές του αναλυόμενου συνόλου δεδομένων από τον μέσο όρο. Είναι σαφές ότι κάθε τιμή αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο ποσό απόκλισης, αλλά μας ενδιαφέρει επίσης μια γενική εκτίμηση που καλύπτει ολόκληρο τον πληθυσμό. Επομένως, η μέση απόκλιση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο του συνηθισμένου αριθμητικού μέσου όρου. Αλλά! Αλλά για να υπολογιστεί ο μέσος όρος των αποκλίσεων, πρέπει πρώτα να προστεθούν. Και αν προσθέσουμε θετικούς και αρνητικούς αριθμούς, θα ακυρωθούν μεταξύ τους και το άθροισμά τους θα τείνει στο μηδέν. Για να αποφευχθεί αυτό, όλες οι αποκλίσεις λαμβάνονται modulo, δηλαδή όλοι οι αρνητικοί αριθμοί γίνονται θετικοί. Τώρα η μέση απόκλιση θα δείχνει ένα γενικευμένο μέτρο της εξάπλωσης των τιμών. Ως αποτέλεσμα, η μέση γραμμική απόκλιση θα υπολογιστεί από τον τύπο:

έναείναι η μέση γραμμική απόκλιση,

Χ- ο αναλυόμενος δείκτης, με μια παύλα στην κορυφή - η μέση τιμή του δείκτη,

nείναι ο αριθμός των τιμών στο σύνολο δεδομένων που αναλύθηκε,

ο τελεστής άθροισης, ελπίζω, να μην τρομάζει κανέναν.

Η μέση γραμμική απόκλιση που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον καθορισμένο τύπο αντικατοπτρίζει τη μέση απόλυτη απόκλιση από τη μέση τιμή για αυτόν τον πληθυσμό.

Η κόκκινη γραμμή στην εικόνα είναι η μέση τιμή. Οι αποκλίσεις κάθε παρατήρησης από το μέσο όρο υποδεικνύονται με μικρά βέλη. Λαμβάνονται modulo και συνοψίζονται. Τότε όλα διαιρούνται με τον αριθμό των τιμών.

Για να ολοκληρωθεί η εικόνα, πρέπει να δοθεί ένα ακόμη παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχει μια εταιρεία που κατασκευάζει μοσχεύματα για φτυάρια. Κάθε κόψιμο πρέπει να έχει μήκος 1,5 μέτρο, αλλά, το πιο σημαντικό, πρέπει να είναι όλα ίδια ή τουλάχιστον συν ή πλην 5 εκ. Ωστόσο, οι αμελείς εργάτες θα κόψουν 1,2 μ. και μετά 1,8 μ. . Ο διευθυντής της εταιρείας αποφάσισε να πραγματοποιήσει μια στατιστική ανάλυση του μήκους των μοσχευμάτων. Διάλεξα 10 κομμάτια και μέτρησα το μήκος τους, βρήκα τον μέσο όρο και υπολόγισα τη μέση γραμμική απόκλιση. Ο μέσος όρος αποδείχθηκε ότι ήταν ακριβώς σωστός - 1,5 μ. Αλλά η μέση γραμμική απόκλιση αποδείχθηκε 0,16 μ. Έτσι αποδεικνύεται ότι κάθε κοπή είναι μακρύτερο ή μικρότερο από ό,τι χρειάζεται κατά μέσο όρο κατά 16 εκατοστά. Υπάρχει κάτι για να μιλήσουμε με εργάτες. Στην πραγματικότητα, δεν έχω δει την πραγματική χρήση αυτού του δείκτη, οπότε βρήκα ένα παράδειγμα μόνος μου. Ωστόσο, υπάρχει ένας τέτοιος δείκτης στα στατιστικά στοιχεία.

Διασπορά

Όπως η μέση γραμμική απόκλιση, η διακύμανση αντικατοπτρίζει επίσης τον βαθμό στον οποίο τα δεδομένα εξαπλώνονται γύρω από τον μέσο όρο.

Ο τύπος για τον υπολογισμό της διακύμανσης μοιάζει με αυτό:

(για σειρές παραλλαγών (σταθμισμένη διακύμανση))

(για μη ομαδοποιημένα δεδομένα (απλή διακύμανση))

Όπου: σ 2 - διασπορά, Xi– αναλύουμε τον δείκτη sq (τιμή χαρακτηριστικών), – τη μέση τιμή του δείκτη, f i – τον ​​αριθμό των τιμών στο αναλυόμενο σύνολο δεδομένων.

Η διακύμανση είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων.

Αρχικά, υπολογίζεται ο μέσος όρος, στη συνέχεια λαμβάνεται η διαφορά μεταξύ κάθε γραμμής βάσης και μέσου όρου, τετραγωνίζεται, πολλαπλασιάζεται με τη συχνότητα της αντίστοιχης τιμής χαρακτηριστικού, προστίθεται και στη συνέχεια διαιρείται με τον αριθμό των τιμών στον πληθυσμό.

Ωστόσο, στην καθαρή της μορφή, όπως, για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος ή ο δείκτης, η διασπορά δεν χρησιμοποιείται. Είναι μάλλον ένας βοηθητικός και ενδιάμεσος δείκτης που χρησιμοποιείται για άλλους τύπους στατιστικών αναλύσεων.

Απλοποιημένος τρόπος υπολογισμού της διακύμανσης

τυπική απόκλιση

Για να χρησιμοποιηθεί η διακύμανση για την ανάλυση δεδομένων, λαμβάνεται μια τετραγωνική ρίζα από αυτήν. Αποδεικνύεται το λεγόμενο τυπική απόκλιση.

Παρεμπιπτόντως, η τυπική απόκλιση ονομάζεται επίσης σίγμα - από το ελληνικό γράμμα που τη δηλώνει.

Η τυπική απόκλιση προφανώς χαρακτηρίζει και το μέτρο της διασποράς δεδομένων, αλλά τώρα (σε αντίθεση με τη διασπορά) μπορεί να συγκριθεί με τα αρχικά δεδομένα. Κατά κανόνα, οι δείκτες μέσου τετραγώνου στα στατιστικά δίνουν πιο ακριβή αποτελέσματα από τους γραμμικούς. Επομένως, η τυπική απόκλιση είναι ένα πιο ακριβές μέτρο της διασποράς δεδομένων από τη μέση γραμμική απόκλιση.

Κατά τον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, κατά τη μέτρηση μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών.

Τυπική απόκλιση:

Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής Δάπεδο, τοίχοι γύρω μας και η οροφή, Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του):

όπου - διακύμανση; - Το πάτωμα, οι τοίχοι γύρω μας και η οροφή, Εγώ-ο δείγμα στοιχείου? - το μέγεθος του δείγματος; - αριθμητικός μέσος όρος του δείγματος:

Πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δύο εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές. Στη γενική περίπτωση, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια αμερόληπτη εκτίμηση. Ωστόσο, μια εκτίμηση που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση διακύμανσης είναι συνεπής.

κανόνας τριών σίγμα

κανόνας τριών σίγμα() - σχεδόν όλες οι τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα . Πιο αυστηρά - με βεβαιότητα τουλάχιστον 99,7%, η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται στο καθορισμένο διάστημα (με την προϋπόθεση ότι η τιμή είναι αληθής και δεν λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του δείγματος).

Εάν η πραγματική τιμή είναι άγνωστη, τότε δεν πρέπει να χρησιμοποιήσετε, αλλά το πάτωμα, τους τοίχους γύρω μας και την οροφή, μικρό. Έτσι, ο κανόνας των τριών σίγμα μεταφράζεται στον κανόνα των τριών ορόφων, των τοίχων γύρω μας και της οροφής, μικρό .

Ερμηνεία της τιμής της τυπικής απόκλισης

Μια μεγάλη τιμή της τυπικής απόκλισης δείχνει μια μεγάλη διασπορά τιμών στο παρουσιαζόμενο σύνολο με τη μέση τιμή του συνόλου. μια μικρή τιμή, αντίστοιχα, δείχνει ότι οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή.

Για παράδειγμα, έχουμε τρία σύνολα αριθμών: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) και (6, 6, 8, 8). Και τα τρία σύνολα έχουν μέσες τιμές 7 και τυπικές αποκλίσεις 7, 5 και 1, αντίστοιχα. Το τελευταίο σύνολο έχει μια μικρή τυπική απόκλιση επειδή οι τιμές στο σύνολο συγκεντρώνονται γύρω από το μέσο όρο. το πρώτο σετ έχει τη μεγαλύτερη τιμή της τυπικής απόκλισης - οι τιμές εντός του συνόλου αποκλίνουν έντονα από τη μέση τιμή.

Σε γενικές γραμμές, η τυπική απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, στη φυσική, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων κάποιας ποσότητας. Αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική για τον προσδιορισμό της αληθοφάνειας του υπό μελέτη φαινομένου σε σύγκριση με την τιμή που προβλέπεται από τη θεωρία: εάν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι πολύ διαφορετική από τις τιμές που προβλέπονται από τη θεωρία (μεγάλη τυπική απόκλιση), τότε οι λαμβανόμενες τιμές ή η μέθοδος απόκτησής τους θα πρέπει να επανελεγχθούν.

Πρακτική χρήση

Στην πράξη, η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε πόσο οι τιμές στο σετ μπορούν να διαφέρουν από τη μέση τιμή.

Κλίμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πόλεις με την ίδια μέση ημερήσια μέγιστη θερμοκρασία, αλλά η μία βρίσκεται στην ακτή και η άλλη στην ενδοχώρα. Οι παράκτιες πόλεις είναι γνωστό ότι έχουν πολλές διαφορετικές ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες χαμηλότερες από τις πόλεις της ενδοχώρας. Επομένως, η τυπική απόκλιση των μέγιστων ημερήσιων θερμοκρασιών στην παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από τη δεύτερη πόλη, παρά το γεγονός ότι έχουν την ίδια μέση τιμή αυτής της τιμής, που στην πράξη σημαίνει ότι η πιθανότητα η μέγιστη θερμοκρασία του αέρα κάθε συγκεκριμένη ημέρα του έτους θα είναι ισχυρότερη διαφορετική από τη μέση τιμή, υψηλότερη για μια πόλη που βρίσκεται εντός της ηπείρου.

Αθλημα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολλές ποδοσφαιρικές ομάδες που κατατάσσονται σύμφωνα με ορισμένες παραμέτρους, για παράδειγμα, ο αριθμός των γκολ που σημειώθηκαν και οι δέκτες, οι ευκαιρίες για γκολ κ.λπ. Είναι πολύ πιθανό η καλύτερη ομάδα σε αυτόν τον όμιλο να έχει τις καλύτερες τιμές σε περισσότερες παραμέτρους. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ομάδας για κάθε μία από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται, τόσο πιο προβλέψιμο είναι το αποτέλεσμα της ομάδας, τέτοιες ομάδες είναι ισορροπημένες. Από την άλλη πλευρά, μια ομάδα με μεγάλη τυπική απόκλιση δυσκολεύεται να προβλέψει το αποτέλεσμα, κάτι που με τη σειρά του εξηγείται από μια ανισορροπία, για παράδειγμα, μια δυνατή άμυνα αλλά μια αδύναμη επίθεση.

Η χρήση της τυπικής απόκλισης των παραμέτρων της ομάδας επιτρέπει σε κάποιον να προβλέψει το αποτέλεσμα του αγώνα μεταξύ δύο ομάδων σε κάποιο βαθμό, αξιολογώντας τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία των ομάδων και ως εκ τούτου τις επιλεγμένες μεθόδους αγώνα.

Τεχνική ανάλυση

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Αυτό το άρθρο προτείνεται για διαγραφή. Μια εξήγηση των λόγων και μια αντίστοιχη συζήτηση μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Wikipedia:Θα διαγραφεί/17 Δεκεμβρίου 2012. Μέχρι να ολοκληρωθεί η διαδικασία συζήτησης, το άρθρο μπορεί να βελτιωθεί, αλλά θα πρέπει να αποφύγετε να μετονομάσετε ή να διαγράψετε περιεχόμενο, ανατρέξτε στον οδηγό για περαιτέρω ενέργειες για περισσότερες λεπτομέρειες. Μην αφαιρέσετε τη σημαία για διαγραφή μέχρι το τέλος της συζήτησης. Διαχειριστές: σύνδεσμοι εδώ, ιστορικό (τελευταία τροποποίηση), αρχεία καταγραφής, διαγραφή.

* Borovikov, V.ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Η τέχνη της ανάλυσης δεδομένων υπολογιστή: Για επαγγελματίες / V. Borovikov. - Αγία Πετρούπολη. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1.

Στατιστικοί δείκτες
περιγραφικός στατιστική	Συνεχής δεδομένα Συντελεστής διάτμησης Μέση (Αριθμητική, Γεωμετρική, Αρμονική) Διάμεση Εύρος λειτουργίας Παραλλαγή Κατάταξη · τυπική απόκλισηΣυντελεστής διακύμανσης Ποσοστό Στιγμές Μαθηματική προσδοκία Διασπορά Skewness Kurtosis Διακεκριμένος δεδομένα Πίνακας απρόβλεπτων συχνοτήτων
Στατιστικός απόσυρση και εξέταση υποθέσεις	Στατιστικός συμπέρασμα Διάστημα εμπιστοσύνης (Πιθανότητα συχνότητας) Διάστημα εμπιστοσύνης (Bayesian συμπέρασμα) Στατιστική σημασία Μετα-ανάλυση Σχεδίαση πείραμα Πληθυσμός · Σχεδιασμός δείγματος · Περιφερειακή δειγματοληψία · Αντιγραφή · Ομαδοποίηση · Ευαισθησία και ειδικότητα Το μέγεθος του δείγματος Στατιστική ισχύς Μέτρο επίδρασης Τυπικό σφάλμα Συνολική βαθμολογία Bayesian αξιολόγηση μιας λύσης ·

Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσω για πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση. Αυτό το υλικό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την πλήρη κατανόηση των μαθηματικών, επομένως ένας δάσκαλος μαθηματικών θα πρέπει να αφιερώσει ένα ξεχωριστό μάθημα ή ακόμα και πολλά στη μελέτη του. Σε αυτό το άρθρο, θα βρείτε έναν σύνδεσμο προς ένα λεπτομερές και κατανοητό εκπαιδευτικό βίντεο που εξηγεί ποια είναι η τυπική απόκλιση και πώς να την βρείτε.

τυπική απόκλισηκαθιστά δυνατή την εκτίμηση της εξάπλωσης των τιμών που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της μέτρησης μιας συγκεκριμένης παραμέτρου. Συμβολίζεται με ένα σύμβολο (ελληνικό γράμμα «σίγμα»).

Ο τύπος για τον υπολογισμό είναι αρκετά απλός. Για να βρείτε την τυπική απόκλιση, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Τώρα λοιπόν πρέπει να ρωτήσετε, «Τι είναι η διακύμανση;»

Τι είναι η διασπορά

Ο ορισμός της διακύμανσης είναι ο ακόλουθος. Η διασπορά είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών από τον μέσο όρο.

Για να βρείτε τη διακύμανση, εκτελέστε τους ακόλουθους υπολογισμούς διαδοχικά:

• Προσδιορίστε τον μέσο όρο (απλός αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς τιμών).
• Στη συνέχεια, αφαιρέστε τον μέσο όρο από καθεμία από τις τιμές και τετραγωνίστε τη διαφορά που προκύπτει (πήραμε διαφορά στο τετράγωνο).
• Το επόμενο βήμα είναι να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο των τετραγώνων των διαφορών που προέκυψαν (Μπορείτε να μάθετε γιατί ακριβώς τα τετράγωνα είναι παρακάτω).

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι εσείς και οι φίλοι σας αποφασίσατε να μετρήσετε το ύψος των σκύλων σας (σε χιλιοστά). Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, λάβατε τις ακόλουθες μετρήσεις ύψους (στο ακρώμιο): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm και 300 mm.

Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

Ας βρούμε πρώτα τον μέσο όρο. Όπως ήδη γνωρίζετε, για αυτό πρέπει να προσθέσετε όλες τις μετρούμενες τιμές και να διαιρέσετε με τον αριθμό των μετρήσεων. Πρόοδος υπολογισμού:

Μέσος όρος mm.

Άρα, ο μέσος όρος (αριθμητικός μέσος όρος) είναι 394 mm.

Τώρα πρέπει να ορίσουμε απόκλιση του ύψους καθενός από τους σκύλους από τον μέσο όρο:

Τελικά, για τον υπολογισμό της διακύμανσης, καθεμία από τις λαμβανόμενες διαφορές είναι τετράγωνο και, στη συνέχεια, βρίσκουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αποτελεσμάτων που προέκυψαν:

Διασπορά mm 2 .

Έτσι, η διασπορά είναι 21704 mm2.

Πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση

Πώς να υπολογίσετε τώρα την τυπική απόκλιση, γνωρίζοντας τη διακύμανση; Όπως θυμόμαστε, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του. Δηλαδή, η τυπική απόκλιση είναι:

mm (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό σε mm).

Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, διαπιστώσαμε ότι ορισμένα σκυλιά (π.χ. ροτβάιλερ) είναι πολύ μεγάλα σκυλιά. Υπάρχουν όμως και πολύ μικρά σκυλιά (για παράδειγμα, dachshunds, αλλά δεν πρέπει να τους το πείτε αυτό).

Το πιο ενδιαφέρον είναι ότι η τυπική απόκλιση περιέχει χρήσιμες πληροφορίες. Τώρα μπορούμε να δείξουμε ποια από τα ληφθέντα αποτελέσματα της μέτρησης της ανάπτυξης βρίσκονται εντός του διαστήματος που λαμβάνουμε, αν παραμερίσουμε από τον μέσο όρο (και στις δύο πλευρές του) την τυπική απόκλιση.

Δηλαδή, χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση, παίρνουμε μια "τυπική" μέθοδο που σας επιτρέπει να μάθετε ποιες από τις τιμές είναι κανονικές (στατιστικός μέσος όρος) και ποιες είναι εξαιρετικά μεγάλες ή, αντίθετα, μικρές.

Τι είναι η τυπική απόκλιση

Αλλά ... τα πράγματα θα είναι λίγο διαφορετικά αν αναλύσουμε δειγματοληψίαδεδομένα. Στο παράδειγμά μας, εξετάσαμε ο γενικός πληθυσμός.Δηλαδή τα 5 σκυλιά μας ήταν τα μόνα σκυλιά στον κόσμο που μας ενδιέφεραν.

Αλλά εάν τα δεδομένα είναι δείγμα (τιμές που επιλέχθηκαν από μεγάλο πληθυσμό), τότε οι υπολογισμοί πρέπει να γίνουν διαφορετικά.

Εάν υπάρχουν τιμές, τότε:

Όλοι οι άλλοι υπολογισμοί γίνονται με τον ίδιο τρόπο, συμπεριλαμβανομένου του προσδιορισμού του μέσου όρου.

Για παράδειγμα, εάν τα πέντε σκυλιά μας είναι απλώς ένα δείγμα ενός πληθυσμού σκύλων (όλα τα σκυλιά στον πλανήτη), πρέπει να διαιρέσουμε με 4 αντί για 5και συγκεκριμένα:

Διακύμανση δείγματος = mm 2 .

Στην περίπτωση αυτή, η τυπική απόκλιση για το δείγμα είναι ίση με mm (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό).

Μπορούμε να πούμε ότι κάναμε κάποια «διόρθωση» στην περίπτωση που οι αξίες μας είναι απλώς ένα μικρό δείγμα.

Σημείωση. Γιατί ακριβώς τα τετράγωνα των διαφορών;

Γιατί όμως παίρνουμε τα τετράγωνα των διαφορών κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης; Ας παραδεχτούμε κατά τη μέτρηση κάποιας παραμέτρου, λάβατε το ακόλουθο σύνολο τιμών: 4; τέσσερα? -τέσσερα; - τέσσερα. Αν προσθέσουμε απλώς τις απόλυτες αποκλίσεις από τον μέσο όρο (διαφορά) μεταξύ τους ... οι αρνητικές τιμές ακυρώνονται με τις θετικές:

.

Αποδεικνύεται ότι αυτή η επιλογή είναι άχρηστη. Τότε ίσως αξίζει να δοκιμάσετε τις απόλυτες τιμές των αποκλίσεων (δηλαδή τις ενότητες αυτών των τιμών);

Με την πρώτη ματιά, αποδεικνύεται ότι δεν είναι κακό (η τιμή που προκύπτει, παρεμπιπτόντως, ονομάζεται μέση απόλυτη απόκλιση), αλλά όχι σε όλες τις περιπτώσεις. Ας δοκιμάσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Αφήστε τη μέτρηση να έχει ως αποτέλεσμα το ακόλουθο σύνολο τιμών: 7; ένας; -6; -2. Τότε η μέση απόλυτη απόκλιση είναι:

Blimey! Πήραμε πάλι το αποτέλεσμα 4, αν και οι διαφορές έχουν πολύ μεγαλύτερη εξάπλωση.

Τώρα ας δούμε τι θα συμβεί αν τετραγωνίσουμε τις διαφορές (και μετά πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος τους).

Για το πρώτο παράδειγμα, λαμβάνετε:

.

Για το δεύτερο παράδειγμα, λαμβάνετε:

Τώρα είναι τελείως διαφορετικό θέμα! Η απόκλιση ρίζας-μέσος τετραγώνου είναι όσο μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξάπλωση των διαφορών ... για το οποίο προσπαθούσαμε.

Στην πραγματικότητα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα όπως κατά τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των σημείων, που εφαρμόζεται μόνο με διαφορετικό τρόπο.

Και από μαθηματική άποψη, η χρήση τετραγώνων και τετραγωνικών ριζών είναι πιο χρήσιμη από ό,τι θα μπορούσαμε να πάρουμε με βάση τις απόλυτες τιμές των αποκλίσεων, λόγω των οποίων η τυπική απόκλιση είναι εφαρμόσιμη σε άλλα μαθηματικά προβλήματα.

Ο Sergey Valerievich σας είπε πώς να βρείτε την τυπική απόκλιση

Το πιο τέλειο χαρακτηριστικό της παραλλαγής είναι η τυπική απόκλιση, η οποία ονομάζεται τυπική (ή τυπική απόκλιση). Τυπική απόκλιση() ισούται με την τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγώνου των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών χαρακτηριστικών από τον αριθμητικό μέσο όρο:

Η τυπική απόκλιση είναι απλή:

Η σταθμισμένη τυπική απόκλιση εφαρμόζεται για ομαδοποιημένα δεδομένα:

Μεταξύ του μέσου τετραγώνου και των μέσων γραμμικών αποκλίσεων υπό συνθήκες κανονικής κατανομής, λαμβάνει χώρα η ακόλουθη σχέση: ~ 1,25.

Η τυπική απόκλιση, ως το κύριο απόλυτο μέτρο διακύμανσης, χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των τιμών των τεταγμένων της καμπύλης κανονικής κατανομής, σε υπολογισμούς που σχετίζονται με την οργάνωση της παρατήρησης του δείγματος και τον καθορισμό της ακρίβειας των χαρακτηριστικών του δείγματος, καθώς και αξιολόγηση των ορίων της παραλλαγής ενός χαρακτηριστικού σε έναν ομοιογενή πληθυσμό.

Διασπορά, τύποι της, τυπική απόκλιση.

Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής- ένα μέτρο της εξάπλωσης μιας δεδομένης τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή, η απόκλιση της από τη μαθηματική προσδοκία. Στις στατιστικές, η ονομασία ή χρησιμοποιείται συχνά. Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ονομάζεται τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση ή τυπική διασπορά.

Συνολική διακύμανση (σ2) μετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκάλεσαν αυτήν την παραλλαγή. Ταυτόχρονα, χάρη στη μέθοδο ομαδοποίησης, είναι δυνατή η απομόνωση και η μέτρηση της διακύμανσης λόγω του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης και της διακύμανσης που εμφανίζεται υπό την επίδραση μη καταγεγραμμένων παραγόντων.

Διαομαδική διακύμανση (σ 2 m.gr) χαρακτηρίζει τη συστηματική παραλλαγή, δηλ. διαφορές στο μέγεθος του υπό μελέτη χαρακτηριστικού που προκύπτουν υπό την επίδραση του χαρακτηριστικού - του παράγοντα που βρίσκεται κάτω από την ομαδοποίηση.

τυπική απόκλιση(συνώνυμα: τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση, παρόμοιοι όροι: τυπική απόκλιση, τυπική εξάπλωση) - στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, ο πιο κοινός δείκτης της διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με τη μαθηματική της προσδοκία. Με περιορισμένους πίνακες δειγμάτων τιμών, αντί για τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος του συνόλου των δειγμάτων.

Η τυπική απόκλιση μετριέται σε μονάδες της ίδιας της τυχαίας μεταβλητής και χρησιμοποιείται στον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου, στη δημιουργία διαστημάτων εμπιστοσύνης, στον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων και στη μέτρηση της γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής.

Τυπική απόκλιση:

Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του):

που είναι η διασπορά? — Εγώ-ο δείγμα στοιχείου? - το μέγεθος του δείγματος; - αριθμητικός μέσος όρος του δείγματος:

Πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δύο εκτιμήσεις είναι μεροληπτικές. Στη γενική περίπτωση, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια αμερόληπτη εκτίμηση. Ωστόσο, μια εκτίμηση που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση διακύμανσης είναι συνεπής.

Ουσία, πεδίο εφαρμογής και διαδικασία για τον προσδιορισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής.

Εκτός από τους μέσους όρους του νόμου ισχύος στις στατιστικές, για ένα σχετικό χαρακτηριστικό του μεγέθους ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού και της εσωτερικής δομής των σειρών διανομής, χρησιμοποιούνται δομικοί μέσοι όροι, οι οποίοι αντιπροσωπεύονται κυρίως από λειτουργία και διάμεσος.

Μόδα- Αυτή είναι η πιο κοινή παραλλαγή της σειράς. Η μόδα χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, για τον προσδιορισμό του μεγέθους των ρούχων, των παπουτσιών, τα οποία έχουν τη μεγαλύτερη ζήτηση μεταξύ των αγοραστών. Η λειτουργία για μια διακριτή σειρά είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Κατά τον υπολογισμό της λειτουργίας για τη σειρά παραλλαγής διαστήματος, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε το τροπικό διάστημα (από τη μέγιστη συχνότητα) και, στη συνέχεια, την τιμή της τροπικής τιμής του χαρακτηριστικού σύμφωνα με τον τύπο:

- - αξία μόδας

- - κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων

- - τιμή διαστήματος

- - τροπική συχνότητα διαστήματος

- - συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal

- - συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal

διάμεσος -Αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που βρίσκεται κάτω από τη σειρά κατάταξης και χωρίζει αυτήν τη σειρά σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό.

Για να προσδιορίσετε τη διάμεσο σε μια διακριτή σειρά παρουσία συχνοτήτων, υπολογίστε πρώτα το μισό άθροισμα των συχνοτήτων και, στη συνέχεια, καθορίστε ποια τιμή της παραλλαγής πέφτει σε αυτήν. (Εάν η ταξινομημένη σειρά περιέχει περιττό αριθμό χαρακτηριστικών, τότε ο διάμεσος αριθμός υπολογίζεται από τον τύπο:

M e \u003d (n (αριθμός χαρακτηριστικών στο σύνολο) + 1) / 2,

στην περίπτωση ζυγού αριθμού χαρακτηριστικών, η διάμεσος θα είναι ίση με τον μέσο όρο των δύο χαρακτηριστικών στο μέσο της σειράς).

Κατά τον υπολογισμό διάμεσοιγια μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα το διάμεσο διάστημα εντός του οποίου βρίσκεται η διάμεσος και, στη συνέχεια, την τιμή της διάμεσης τιμής σύμφωνα με τον τύπο:

- είναι η επιθυμητή διάμεσος

- είναι το κάτω όριο του διαστήματος που περιέχει τη διάμεσο

- - τιμή διαστήματος

- - το άθροισμα των συχνοτήτων ή του αριθμού των μελών της σειράς

Το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων των διαστημάτων που προηγούνται της διάμεσης

- είναι η συχνότητα του διάμεσου διαστήματος

Παράδειγμα. Βρείτε τη λειτουργία και τη διάμεσο.

Λύση:
Σε αυτό το παράδειγμα, το χρονικό διάστημα είναι εντός της ηλικιακής ομάδας 25-30 ετών, καθώς αυτό το διάστημα αντιπροσωπεύει την υψηλότερη συχνότητα (1054).

Ας υπολογίσουμε την τιμή της λειτουργίας:

Αυτό σημαίνει ότι η ηλικία των μαθητών είναι τα 27 έτη.

Υπολογίστε τη διάμεσο. Το διάμεσο διάστημα είναι στην ηλικιακή ομάδα 25-30 ετών, αφού μέσα σε αυτό το διάστημα υπάρχει μια παραλλαγή που χωρίζει τον πληθυσμό σε δύο ίσα μέρη (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τα απαραίτητα αριθμητικά δεδομένα στον τύπο και παίρνουμε την τιμή της διάμεσης:

Αυτό σημαίνει ότι οι μισοί μαθητές είναι κάτω των 27,4 ετών και οι άλλοι μισοί είναι άνω των 27,4 ετών.

Εκτός από τη λειτουργία και τη διάμεση τιμή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν δείκτες όπως τεταρτημόρια, διαιρώντας τη σειρά κατάταξης σε 4 ίσα μέρη, δεκατιανοί- 10 μέρη και εκατοστημόρια - ανά 100 μέρη.

Η έννοια της επιλεκτικής παρατήρησης και το εύρος της.

Επιλεκτική παρατήρησηισχύει κατά την εφαρμογή συνεχούς παρατήρησης σωματικά αδύνατολόγω μεγάλου όγκου δεδομένων ή οικονομικά ανέφικτο. Η φυσική αδυναμία εμφανίζεται, για παράδειγμα, κατά τη μελέτη των ροών επιβατών, των τιμών της αγοράς, των οικογενειακών προϋπολογισμών. Η οικονομική αστοχία εμφανίζεται κατά την αξιολόγηση της ποιότητας των αγαθών που σχετίζονται με την καταστροφή τους, για παράδειγμα, δοκιμή, δοκιμή τούβλων για αντοχή κ.λπ.

Οι στατιστικές μονάδες που επιλέγονται για παρατήρηση αποτελούν ένα δείγμα ή δείγμα, και ολόκληρη τη σειρά τους - τον γενικό πληθυσμό (GS). Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των μονάδων στο δείγμα υποδηλώνει n, και σε ολόκληρο το ΕΣ - Ν. Στάση n/nονομάζεται το σχετικό μέγεθος ή αναλογία του δείγματος.

Η ποιότητα των αποτελεσμάτων της δειγματοληψίας εξαρτάται από την αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος, δηλαδή από το πόσο αντιπροσωπευτικό είναι στο ΕΣ. Για να εξασφαλιστεί η αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος, είναι απαραίτητο να παρατηρηθεί αρχή της τυχαίας επιλογής μονάδων, το οποίο προϋποθέτει ότι η συμπερίληψη μιας μονάδας HS στο δείγμα δεν μπορεί να επηρεαστεί από κανέναν άλλο παράγοντα εκτός από την τύχη.

Υπάρχει 4 τρόποι τυχαίας επιλογήςγια δείγμα:

1. Στην πραγματικότητα τυχαίοεπιλογή ή "μέθοδος λότο", όταν οι σειρικοί αριθμοί εκχωρούνται σε στατιστικές τιμές, που εισάγονται σε ορισμένα αντικείμενα (για παράδειγμα, βαρέλια), τα οποία στη συνέχεια αναμιγνύονται σε κάποιο δοχείο (για παράδειγμα, σε μια τσάντα) και επιλέγονται τυχαία. Στην πράξη, αυτή η μέθοδος πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών ή μαθηματικούς πίνακες τυχαίων αριθμών.
2. Μηχανικόςεπιλογή, σύμφωνα με την οποία κάθε ( N/n)-η τιμή του γενικού πληθυσμού. Για παράδειγμα, εάν περιέχει 100.000 τιμές και θέλετε να επιλέξετε 1.000, τότε κάθε 100.000 / 1000 = 100η τιμή θα εμπίπτει στο δείγμα. Επιπλέον, εάν δεν κατατάσσονται, τότε επιλέγεται τυχαία ο πρώτος από τους πρώτους εκατό και οι αριθμοί των άλλων θα είναι εκατό περισσότεροι. Για παράδειγμα, εάν ο αριθμός μονάδας 19 ήταν ο πρώτος, τότε ο αριθμός 119 θα πρέπει να είναι ο επόμενος, μετά ο αριθμός 219, μετά ο αριθμός 319 και ούτω καθεξής. Εάν οι μονάδες πληθυσμού κατατάσσονται, τότε επιλέγεται πρώτα το #50, μετά το #150, μετά το #250 και ούτω καθεξής.
3. Πραγματοποιείται η επιλογή των τιμών από έναν ετερογενή πίνακα δεδομένων στρωματοποιημένος(στρωματοποιημένη) μέθοδος, όταν ο γενικός πληθυσμός έχει προηγουμένως χωριστεί σε ομοιογενείς ομάδες, στις οποίες εφαρμόζεται τυχαία ή μηχανική επιλογή.
4. Μια ειδική μέθοδος δειγματοληψίας είναι κατα συρροηεπιλογή, στην οποία δεν επιλέγονται τυχαία ή μηχανικά μεμονωμένες ποσότητες, αλλά οι σειρές τους (ακολουθίες από κάποιον αριθμό σε κάποιους στη σειρά), εντός των οποίων πραγματοποιείται συνεχής παρατήρηση.

Η ποιότητα των δειγματοληπτικών παρατηρήσεων εξαρτάται επίσης από τύπος δειγματοληψίας: αλλεπάλληλοςή μη επαναλαμβανόμενο.

Στο επανεπιλογήοι στατιστικές τιμές ή οι σειρές τους που έπεσαν στο δείγμα επιστρέφονται στον γενικό πληθυσμό μετά τη χρήση, έχοντας την ευκαιρία να εισέλθουν σε νέο δείγμα. Ταυτόχρονα, όλες οι τιμές του γενικού πληθυσμού έχουν την ίδια πιθανότητα να συμπεριληφθούν στο δείγμα.

Μη επαναλαμβανόμενη επιλογήσημαίνει ότι οι στατιστικές τιμές ή οι σειρές τους που περιλαμβάνονται στο δείγμα δεν επιστρέφονται στον γενικό πληθυσμό μετά τη χρήση και επομένως η πιθανότητα να μπουν στο επόμενο δείγμα αυξάνεται για τις υπόλοιπες τιμές του τελευταίου.

Η μη επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα, επομένως χρησιμοποιείται πιο συχνά. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που δεν μπορεί να εφαρμοστεί (μελέτη ροών επιβατών, καταναλωτική ζήτηση κ.λπ.) και στη συνέχεια γίνεται επανεπιλογή.

Το οριακό σφάλμα του δείγματος παρατήρησης, το μέσο σφάλμα του δείγματος, η σειρά με την οποία υπολογίζονται.

Ας εξετάσουμε αναλυτικά τις παραπάνω μεθόδους σχηματισμού δειγματοληπτικού πληθυσμού και τα σφάλματα που προκύπτουν σε αυτή την περίπτωση. αντιπροσωπευτικότητα .
Στην πραγματικότητα-τυχαίατο δείγμα βασίζεται στην επιλογή μονάδων από τον γενικό πληθυσμό τυχαία χωρίς στοιχεία συνέπειας. Τεχνικά, η σωστή τυχαία επιλογή πραγματοποιείται με κλήρωση (για παράδειγμα, λαχεία) ή με πίνακα τυχαίων αριθμών.

Στην πραγματικότητα, η τυχαία επιλογή "στην καθαρή της μορφή" στην πρακτική της επιλεκτικής παρατήρησης χρησιμοποιείται σπάνια, αλλά είναι η αρχική μεταξύ άλλων τύπων επιλογής, εφαρμόζει τις βασικές αρχές της επιλεκτικής παρατήρησης. Ας εξετάσουμε μερικά ερωτήματα της θεωρίας της μεθόδου δειγματοληψίας και του τύπου σφάλματος για ένα απλό τυχαίο δείγμα.

Σφάλμα δειγματοληψίας- αυτή είναι η διαφορά μεταξύ της τιμής της παραμέτρου στον γενικό πληθυσμό και της τιμής της που υπολογίζεται από τα αποτελέσματα της παρατήρησης του δείγματος. Για ένα μέσο ποσοτικό χαρακτηριστικό, το σφάλμα δειγματοληψίας προσδιορίζεται από

Ο δείκτης ονομάζεται οριακό σφάλμα δειγματοληψίας.
Ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει διαφορετικές τιμές ανάλογα με το ποιες μονάδες βρίσκονται στο δείγμα. Επομένως, τα σφάλματα δειγματοληψίας είναι επίσης τυχαίες μεταβλητές και μπορούν να λάβουν διαφορετικές τιμές. Επομένως, προσδιορίστε τον μέσο όρο των πιθανών σφαλμάτων - μέσο δειγματοληπτικό σφάλμα, το οποίο εξαρτάται από:

Μέγεθος δείγματος: όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός, τόσο μικρότερο είναι το μέσο σφάλμα.

Ο βαθμός μεταβολής του χαρακτηριστικού που μελετήθηκε: όσο μικρότερη είναι η διακύμανση του χαρακτηριστικού και, κατά συνέπεια, η διακύμανση, τόσο μικρότερο είναι το μέσο δειγματοληπτικό σφάλμα.

Στο τυχαία επανεπιλογήΤο μέσο σφάλμα υπολογίζεται:
.
Στην πράξη, η γενική απόκλιση δεν είναι ακριβώς γνωστή, αλλά σε θεωρία πιθανοτήτωναπέδειξε ότι
.
Εφόσον η τιμή για αρκετά μεγάλο n είναι κοντά στο 1, μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Στη συνέχεια, το μέσο δειγματοληπτικό σφάλμα μπορεί να υπολογιστεί:
.
Αλλά σε περιπτώσεις μικρού δείγματος (για ν<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

Στο τυχαία δειγματοληψίαοι δοσμένοι τύποι διορθώνονται με την τιμή . Τότε το μέσο σφάλμα μη δειγματοληψίας είναι:
και .
Επειδή είναι πάντα μικρότερο από , τότε ο παράγοντας () είναι πάντα μικρότερος από 1. Αυτό σημαίνει ότι το μέσο σφάλμα στη μη επαναλαμβανόμενη επιλογή είναι πάντα μικρότερο από ό,τι στην επαναλαμβανόμενη επιλογή.
Μηχανική δειγματοληψίαχρησιμοποιείται όταν ο γενικός πληθυσμός είναι ταξινομημένος με κάποιο τρόπο (για παράδειγμα, εκλογικοί κατάλογοι με αλφαβητική σειρά, αριθμοί τηλεφώνου, αριθμοί σπιτιών, διαμερισμάτων). Η επιλογή των μονάδων πραγματοποιείται σε ένα ορισμένο διάστημα, το οποίο είναι ίσο με το αντίστροφο του ποσοστού του δείγματος. Άρα, με δείγμα 2%, επιλέγεται κάθε 50 μονάδες = 1 / 0,02, με 5%, κάθε 1 / 0,05 = 20 μονάδες του γενικού πληθυσμού.

Η προέλευση επιλέγεται με διαφορετικούς τρόπους: τυχαία, από τη μέση του διαστήματος, με αλλαγή στην προέλευση. Το κύριο πράγμα είναι να αποφευχθεί το συστηματικό λάθος. Για παράδειγμα, με δείγμα 5%, εάν επιλεγεί η 13η ως πρώτη μονάδα, τότε η επόμενη 33, 53, 73 κ.λπ.

Όσον αφορά την ακρίβεια, η μηχανική επιλογή είναι κοντά στη σωστή τυχαία δειγματοληψία. Επομένως, για τον προσδιορισμό του μέσου σφάλματος της μηχανικής δειγματοληψίας, χρησιμοποιούνται τύποι σωστής τυχαίας επιλογής.

Στο τυπική επιλογή ο πληθυσμός της έρευνας χωρίζεται προκαταρκτικά σε ομοιογενείς ομάδες ενός τύπου. Για παράδειγμα, κατά την έρευνα επιχειρήσεων, αυτές μπορεί να είναι βιομηχανίες, υποτομείς, ενώ μελετάται ο πληθυσμός - περιοχές, κοινωνικές ή ηλικιακές ομάδες. Στη συνέχεια γίνεται μια ανεξάρτητη επιλογή από κάθε ομάδα με μηχανικό ή σωστό τυχαίο τρόπο.

Η τυπική δειγματοληψία δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα από άλλες μεθόδους. Η τυποποίηση του γενικού πληθυσμού διασφαλίζει την αναπαράσταση κάθε τυπολογικής ομάδας στο δείγμα, γεγονός που καθιστά δυνατό τον αποκλεισμό της επίδρασης της διασποράς μεταξύ ομάδων στο μέσο σφάλμα δείγματος. Επομένως, κατά την εύρεση του σφάλματος ενός τυπικού δείγματος σύμφωνα με τον κανόνα της προσθήκης διακυμάνσεων (), είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη μόνο ο μέσος όρος των διακυμάνσεων της ομάδας. Τότε το μέσο δειγματοληπτικό σφάλμα είναι:
σε επανεπιλογή
,
με μη επαναλαμβανόμενη επιλογή
,
όπου είναι ο μέσος όρος των διακυμάνσεων εντός της ομάδας στο δείγμα.

Σειριακή (ή ένθετη) επιλογή χρησιμοποιείται όταν ο πληθυσμός χωρίζεται σε σειρές ή ομάδες πριν από την έναρξη της δειγματοληπτικής έρευνας. Αυτές οι σειρές μπορεί να είναι συσκευασίες τελικών προϊόντων, ομάδες μαθητών, ομάδες. Οι σειρές για εξέταση επιλέγονται μηχανικά ή τυχαία και εντός της σειράς πραγματοποιείται πλήρης αποτύπωση των μονάδων. Επομένως, το μέσο σφάλμα δειγματοληψίας εξαρτάται μόνο από τη διακύμανση μεταξύ ομάδων (ενδιάμεσων σειρών), η οποία υπολογίζεται από τον τύπο:

όπου r είναι ο αριθμός των επιλεγμένων σειρών.
- ο μέσος όρος της i-ης σειράς.

Το μέσο σειριακό σφάλμα δειγματοληψίας υπολογίζεται:

όταν επιλέγεται ξανά:
,
με μη επαναλαμβανόμενη επιλογή:
,
όπου R είναι ο συνολικός αριθμός των σειρών.

Σε συνδυασμόεπιλογήείναι ένας συνδυασμός των εξεταζόμενων μεθόδων επιλογής.

Το μέσο δειγματοληπτικό σφάλμα για οποιαδήποτε μέθοδο επιλογής εξαρτάται κυρίως από το απόλυτο μέγεθος του δείγματος και, σε μικρότερο βαθμό, από το ποσοστό του δείγματος. Έστω ότι γίνονται 225 παρατηρήσεις στην πρώτη περίπτωση σε πληθυσμό 4.500 μονάδων και στη δεύτερη περίπτωση, σε 225.000 μονάδες. Οι αποκλίσεις και στις δύο περιπτώσεις είναι ίσες με 25. Τότε, στην πρώτη περίπτωση, με επιλογή 5%, το σφάλμα δειγματοληψίας θα είναι:

Στη δεύτερη περίπτωση, με επιλογή 0,1%, θα ισούται με:

Με αυτόν τον τρόπο, με μείωση του ποσοστού δείγματος κατά 50 φορές, το σφάλμα του δείγματος αυξήθηκε ελαφρώς, καθώς το μέγεθος του δείγματος δεν άλλαξε.
Ας υποθέσουμε ότι το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται σε 625 παρατηρήσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, το σφάλμα δειγματοληψίας είναι:

Μια αύξηση του δείγματος κατά 2,8 φορές με το ίδιο μέγεθος του γενικού πληθυσμού μειώνει το μέγεθος του δειγματοληπτικού σφάλματος κατά περισσότερο από 1,6 φορές.

Μέθοδοι και μέσα σχηματισμού δειγματοληπτικού πληθυσμού.

Στη στατιστική, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι σχηματισμού συνόλων δειγμάτων, οι οποίες καθορίζονται από τους στόχους της μελέτης και εξαρτάται από τις ιδιαιτερότητες του αντικειμένου μελέτης.

Βασική προϋπόθεση για τη διεξαγωγή μιας δειγματοληπτικής έρευνας είναι να αποτραπεί η εμφάνιση συστηματικών σφαλμάτων που προκύπτουν από παραβίαση της αρχής των ίσων ευκαιριών για κάθε μονάδα του γενικού πληθυσμού να εισέλθει στο δείγμα. Η πρόληψη συστηματικών λαθών επιτυγχάνεται ως αποτέλεσμα της χρήσης επιστημονικά βασισμένων μεθόδων για τη διαμόρφωση ενός πληθυσμού δείγματος.

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τρόποι για να επιλέξετε μονάδες από τον γενικό πληθυσμό:

1) ατομική επιλογή - επιλέγονται μεμονωμένες μονάδες στο δείγμα.

2) επιλογή ομάδας - ποιοτικά ομοιογενείς ομάδες ή σειρές υπό μελέτη μονάδων εμπίπτουν στο δείγμα.

3) Η συνδυασμένη επιλογή είναι ένας συνδυασμός ατομικής και ομαδικής επιλογής.
Οι μέθοδοι επιλογής καθορίζονται από τους κανόνες για τον σχηματισμό του δειγματοληπτικού πληθυσμού.

Το δείγμα μπορεί να είναι:

• σωστά τυχαίασυνίσταται στο γεγονός ότι το δείγμα σχηματίζεται ως αποτέλεσμα τυχαίας (ακούσιας) επιλογής μεμονωμένων μονάδων από το γενικό πληθυσμό. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των μονάδων που επιλέγονται στο σύνολο δειγμάτων συνήθως καθορίζεται με βάση την αποδεκτή αναλογία του δείγματος. Το μερίδιο δείγματος είναι ο λόγος του αριθμού των μονάδων στον πληθυσμό του δείγματος n προς τον αριθμό των μονάδων του γενικού πληθυσμού N, δηλ.

• μηχανικόςσυνίσταται στο γεγονός ότι η επιλογή των μονάδων στο δείγμα γίνεται από τον γενικό πληθυσμό, χωρισμένο σε ίσα διαστήματα (ομάδες). Στην περίπτωση αυτή, το μέγεθος του διαστήματος στον γενικό πληθυσμό είναι ίσο με το αντίστροφο της αναλογίας του δείγματος. Άρα, με δείγμα 2% επιλέγεται κάθε 50η μονάδα (1:0,02), με δείγμα 5%, κάθε 20η μονάδα (1:0,05) κ.λπ. Έτσι, σύμφωνα με την αποδεκτή αναλογία επιλογής, ο γενικός πληθυσμός, όπως λέγαμε, χωρίζεται μηχανικά σε ίσες ομάδες. Μόνο μία μονάδα επιλέγεται από κάθε ομάδα του δείγματος.
• τυπικό -στην οποία ο γενικός πληθυσμός αρχικά χωρίζεται σε ομοιογενείς τυπικές ομάδες. Στη συνέχεια, από κάθε τυπική ομάδα, γίνεται μια μεμονωμένη επιλογή μονάδων στο δείγμα από ένα τυχαίο ή μηχανικό δείγμα. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός τυπικού δείγματος είναι ότι δίνει πιο ακριβή αποτελέσματα σε σύγκριση με άλλες μεθόδους επιλογής μονάδων σε ένα δείγμα.
• κατα συρροη- στην οποία ο γενικός πληθυσμός χωρίζεται σε ομάδες ίδιου μεγέθους - σειρές. Οι σειρές επιλέγονται στο σετ δειγμάτων. Εντός της σειράς πραγματοποιείται συνεχής παρατήρηση των μονάδων που έπεσαν στη σειρά.
• σε συνδυασμό- η δειγματοληψία μπορεί να είναι δύο σταδίων. Σε αυτή την περίπτωση, ο γενικός πληθυσμός χωρίζεται πρώτα σε ομάδες. Στη συνέχεια επιλέγονται οι ομάδες και μέσα στις τελευταίες επιλέγονται μεμονωμένες μονάδες.

Στα στατιστικά, διακρίνονται οι ακόλουθες μέθοδοι επιλογής μονάδων σε ένα δείγμα::

• ενιαίο στάδιοδείγμα - κάθε επιλεγμένη μονάδα υποβάλλεται αμέσως σε μελέτη σε δεδομένη βάση (στην πραγματικότητα τυχαία και σειριακά δείγματα).
• πολλαπλών σταδίωνδειγματοληψία - η επιλογή γίνεται από τον γενικό πληθυσμό μεμονωμένων ομάδων και επιλέγονται μεμονωμένες μονάδες από τις ομάδες (ένα τυπικό δείγμα με μηχανική μέθοδο επιλογής μονάδων στον πληθυσμό του δείγματος).

Επιπλέον, υπάρχουν:

• επανεπιλογή- σύμφωνα με το σχέδιο της επιστρεφόμενης μπάλας. Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε μονάδα ή σειρά που έχει πέσει στο δείγμα επιστρέφεται στον γενικό πληθυσμό και επομένως έχει την ευκαιρία να συμπεριληφθεί ξανά στο δείγμα.
• μη επαναλαμβανόμενη επιλογή- σύμφωνα με το σχέδιο της μη επιστρεπτέας μπάλας. Έχει πιο ακριβή αποτελέσματα για το ίδιο μέγεθος δείγματος.

Προσδιορισμός του απαιτούμενου μεγέθους δείγματος (χρησιμοποιώντας τον πίνακα του Student).

Μία από τις επιστημονικές αρχές στη θεωρία δειγματοληψίας είναι να διασφαλίζεται ότι έχει επιλεγεί επαρκής αριθμός μονάδων. Θεωρητικά, η ανάγκη συμμόρφωσης με αυτήν την αρχή παρουσιάζεται στις αποδείξεις των οριακών θεωρημάτων της θεωρίας πιθανοτήτων, που σας επιτρέπουν να καθορίσετε πόσες μονάδες θα πρέπει να επιλεγούν από τον γενικό πληθυσμό, ώστε να είναι επαρκείς και να διασφαλίζουν την αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος.

Η μείωση του τυπικού σφάλματος του δείγματος και, κατά συνέπεια, η αύξηση της ακρίβειας της εκτίμησης συνδέεται πάντα με αύξηση του μεγέθους του δείγματος, επομένως, ήδη στο στάδιο της οργάνωσης μιας παρατήρησης δείγματος, είναι απαραίτητο να αποφασιστεί ποιο θα πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος προκειμένου να διασφαλιστεί η απαιτούμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων της παρατήρησης. Ο υπολογισμός του απαιτούμενου μεγέθους δείγματος βασίζεται σε τύπους που προέρχονται από τους τύπους για τα οριακά δειγματοληπτικά σφάλματα (Α), που αντιστοιχούν σε έναν ή τον άλλο τύπο και μέθοδο επιλογής. Έτσι, για ένα τυχαίο επαναλαμβανόμενο μέγεθος δείγματος (n), έχουμε:

Η ουσία αυτού του τύπου είναι ότι με μια τυχαία επανεπιλογή του απαιτούμενου αριθμού, το μέγεθος του δείγματος είναι ευθέως ανάλογο με το τετράγωνο του συντελεστή εμπιστοσύνης (t2)και διακύμανση του χαρακτηριστικού παραλλαγής (α2) και είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο του οριακού δειγματοληπτικού σφάλματος (α2). Ειδικότερα, διπλασιάζοντας το οριακό σφάλμα, το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος μπορεί να μειωθεί κατά τέσσερα. Από τις τρεις παραμέτρους, οι δύο (t και;) ορίζονται από τον ερευνητή.

Παράλληλα, ο ερευνητήςΓια τους σκοπούς της δειγματοληπτικής έρευνας, θα πρέπει να αποφασιστεί το ερώτημα: σε ποιο ποσοτικό συνδυασμό είναι καλύτερο να συμπεριληφθούν αυτές οι παράμετροι για να παρέχουμε τη βέλτιστη παραλλαγή; Σε μια περίπτωση, μπορεί να είναι περισσότερο ικανοποιημένος με την αξιοπιστία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν (t) παρά με το μέτρο της ακρίβειας (;), στην άλλη - το αντίστροφο. Είναι πιο δύσκολο να επιλυθεί το ζήτημα σχετικά με την τιμή του οριακού σφάλματος δειγματοληψίας, καθώς ο ερευνητής δεν έχει αυτόν τον δείκτη στο στάδιο του σχεδιασμού μιας παρατήρησης δείγματος, επομένως, στην πράξη, συνηθίζεται να ορίζεται το οριακό σφάλμα δειγματοληψίας, ως κατά κανόνα, εντός 10% του αναμενόμενου μέσου επιπέδου του χαρακτηριστικού. Ο καθορισμός ενός υποτιθέμενου μέσου επιπέδου μπορεί να προσεγγιστεί με διαφορετικούς τρόπους: χρησιμοποιώντας δεδομένα από παρόμοιες προηγούμενες έρευνες ή χρησιμοποιώντας δεδομένα από το πλαίσιο δειγματοληψίας και λαμβάνοντας ένα μικρό πιλοτικό δείγμα.

Το πιο δύσκολο πράγμα που μπορεί να καθοριστεί κατά το σχεδιασμό μιας παρατήρησης δείγματος είναι η τρίτη παράμετρος στον τύπο (5.2) - η διακύμανση του πληθυσμού του δείγματος. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν όλες οι πληροφορίες που έχει στη διάθεσή του ο ερευνητής, οι οποίες ελήφθησαν από προηγούμενες παρόμοιες και πιλοτικές έρευνες.

Ερώτημα ορισμούΤο απαιτούμενο μέγεθος δείγματος γίνεται πιο περίπλοκο εάν η δειγματοληπτική έρευνα περιλαμβάνει τη μελέτη πολλών χαρακτηριστικών των δειγματοληπτικών μονάδων. Σε αυτήν την περίπτωση, τα μέσα επίπεδα καθενός από τα χαρακτηριστικά και η διακύμανσή τους, κατά κανόνα, είναι διαφορετικά, και επομένως είναι δυνατό να αποφασιστεί ποια διασπορά από τα χαρακτηριστικά θα προτιμηθεί μόνο λαμβάνοντας υπόψη τον σκοπό και τους στόχους του η έρευνα.

Κατά το σχεδιασμό μιας παρατήρησης δείγματος, υποτίθεται μια προκαθορισμένη τιμή του επιτρεπόμενου δειγματοληπτικού σφάλματος σύμφωνα με τους στόχους μιας συγκεκριμένης μελέτης και την πιθανότητα συμπερασμάτων με βάση τα αποτελέσματα της παρατήρησης.

Γενικά, ο τύπος για το οριακό σφάλμα της μέσης τιμής του δείγματος σας επιτρέπει να προσδιορίσετε:

Το μέγεθος των πιθανών αποκλίσεων των δεικτών του γενικού πληθυσμού από τους δείκτες του πληθυσμού του δείγματος.

Το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, παρέχοντας την απαιτούμενη ακρίβεια, στο οποίο τα όρια ενός πιθανού σφάλματος δεν θα υπερβαίνουν μια συγκεκριμένη καθορισμένη τιμή.

Η πιθανότητα το σφάλμα στο δείγμα να έχει ένα δεδομένο όριο.

Κατανομή μαθητήΣτη θεωρία πιθανοτήτων, είναι μια οικογένεια μιας παραμέτρου απολύτως συνεχών κατανομών.

Σειρά δυναμικών (διάστημα, στιγμή), κλείσιμο σειράς δυναμικών.

Σειρά δυναμικής- αυτές είναι οι τιμές των στατιστικών δεικτών που παρουσιάζονται με συγκεκριμένη χρονολογική σειρά.

Κάθε χρονοσειρά περιέχει δύο στοιχεία:

1) δείκτες χρονικών περιόδων (έτη, τρίμηνα, μήνες, ημέρες ή ημερομηνίες).

2) δείκτες που χαρακτηρίζουν το υπό μελέτη αντικείμενο για χρονικές περιόδους ή στις αντίστοιχες ημερομηνίες, που ονομάζονται επίπεδα της σειράς.

Τα επίπεδα της σειράς εκφράζονταιτόσο απόλυτες όσο και μέσες ή σχετικές τιμές. Ανάλογα με τη φύση των δεικτών, δημιουργούνται δυναμικές σειρές απόλυτων, σχετικών και μέσων τιμών. Οι δυναμικές σειρές σχετικών και μέσων τιμών χτίζονται με βάση παράγωγες σειρές απόλυτων τιμών. Υπάρχουν σειρές διαστημάτων και ροπών δυναμικής.

Δυναμικές σειρές διαστημάτωνπεριέχει τις τιμές των δεικτών για ορισμένες χρονικές περιόδους. Στη σειρά διαστημάτων, τα επίπεδα μπορούν να συνοψιστούν, λαμβάνοντας τον όγκο του φαινομένου για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα ή τα λεγόμενα συσσωρευμένα σύνολα.

Σειρά δυναμικής στιγμήςαντικατοπτρίζει τις τιμές των δεικτών σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (ημερομηνία ώρας). Στις σειρές στιγμών, ο ερευνητής μπορεί να ενδιαφέρεται μόνο για τη διαφορά των φαινομένων, αντανακλώντας την αλλαγή στο επίπεδο της σειράς μεταξύ ορισμένων ημερομηνιών, καθώς το άθροισμα των επιπέδων εδώ δεν έχει πραγματικό περιεχόμενο. Τα αθροιστικά σύνολα δεν υπολογίζονται εδώ.

Η πιο σημαντική προϋπόθεση για τη σωστή κατασκευή δυναμικών σειρών είναι η συγκρισιμότητα των επιπέδων σειρών που σχετίζονται με διαφορετικές περιόδους. Τα επίπεδα θα πρέπει να παρουσιάζονται σε ομοιογενείς ποσότητες, να υπάρχει η ίδια πληρότητα κάλυψης διαφόρων τμημάτων του φαινομένου.

Προς τηνΓια να αποφευχθεί η παραμόρφωση της πραγματικής δυναμικής, διενεργούνται προκαταρκτικοί υπολογισμοί στη στατιστική μελέτη (το κλείσιμο της χρονοσειράς), οι οποίοι προηγούνται της στατιστικής ανάλυσης των χρονοσειρών. Ως κλείσιμο χρονοσειρών νοείται ο συνδυασμός δύο ή περισσότερων σειρών σε μία σειρά, τα επίπεδα των οποίων υπολογίζονται σύμφωνα με διαφορετική μεθοδολογία ή δεν αντιστοιχούν σε εδαφικά όρια κ.λπ. Το κλείσιμο της σειράς δυναμικών μπορεί επίσης να συνεπάγεται την αναγωγή των απόλυτων επιπέδων της σειράς δυναμικών σε μια κοινή βάση, η οποία εξαλείφει την ασυμβατότητα των επιπέδων της σειράς δυναμικών.

Η έννοια της συγκρισιμότητας των χρονοσειρών, των συντελεστών, της ανάπτυξης και των ρυθμών ανάπτυξης.

Σειρά δυναμικής- πρόκειται για σειρά στατιστικών δεικτών που χαρακτηρίζουν τη διαχρονική εξέλιξη των φυσικών και κοινωνικών φαινομένων. Οι στατιστικές συλλογές που δημοσιεύονται από την Κρατική Στατιστική Επιτροπή της Ρωσίας περιέχουν μεγάλο αριθμό χρονοσειρών σε μορφή πίνακα. Σειρές δυναμικών επιτρέπουν την αποκάλυψη προτύπων ανάπτυξης των μελετημένων φαινομένων.

Οι χρονοσειρές περιέχουν δύο τύπους δεικτών. Χρονικοί δείκτες(έτη, τρίμηνα, μήνες κ.λπ.) ή χρονικά σημεία (στην αρχή του έτους, στην αρχή κάθε μήνα κ.λπ.). Ενδείξεις επιπέδου σειράς. Οι δείκτες των επιπέδων χρονοσειρών μπορούν να εκφραστούν σε απόλυτες τιμές (παραγωγή προϊόντος σε τόνους ή ρούβλια), σχετικές τιμές (μερίδιο αστικού πληθυσμού σε%) και μέσες τιμές (μέσοι μισθοί εργαζομένων στον κλάδο κατά χρόνια, κλπ.). Σε μορφή πίνακα, η χρονοσειρά περιέχει δύο στήλες ή δύο σειρές.

Η σωστή κατασκευή χρονοσειρών περιλαμβάνει την εκπλήρωση μιας σειράς απαιτήσεων:

1. όλοι οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών πρέπει να είναι επιστημονικά τεκμηριωμένοι, αξιόπιστοι.
2. οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών θα πρέπει να είναι συγκρίσιμοι χρονικά, δηλ. πρέπει να υπολογίζονται για τις ίδιες χρονικές περιόδους ή τις ίδιες ημερομηνίες·
3. Οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών θα πρέπει να είναι συγκρίσιμοι σε όλη την επικράτεια·
4. οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών θα πρέπει να είναι συγκρίσιμοι ως προς το περιεχόμενο, δηλ. υπολογίζεται σύμφωνα με μια ενιαία μεθοδολογία, με τον ίδιο τρόπο·
5. Οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών θα πρέπει να είναι συγκρίσιμοι σε όλο το φάσμα των εξεταζόμενων εκμεταλλεύσεων. Όλοι οι δείκτες μιας σειράς δυναμικών θα πρέπει να δίνονται στις ίδιες μονάδες μέτρησης.

Στατιστικοί δείκτεςμπορεί να χαρακτηρίσει είτε τα αποτελέσματα της υπό μελέτη διαδικασίας σε μια χρονική περίοδο, είτε την κατάσταση του υπό μελέτη φαινομένου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, δηλ. Οι δείκτες μπορεί να είναι μεσοδιάστημα (περιοδικά) και στιγμιαία. Αντίστοιχα, αρχικά η σειρά των δυναμικών μπορεί να είναι είτε διάστημα είτε στιγμή. Η σειρά ροπών της δυναμικής, με τη σειρά της, μπορεί να είναι με ίσα και άνισα χρονικά διαστήματα.

Η αρχική σειρά δυναμικών μπορεί να μετατραπεί σε μια σειρά από μέσες τιμές και σε μια σειρά σχετικών τιμών (αλυσίδα και βάση). Τέτοιες χρονοσειρές ονομάζονται παράγωγες χρονοσειρές.

Η μέθοδος υπολογισμού του μέσου επιπέδου στη σειρά δυναμικών είναι διαφορετική, λόγω του τύπου της σειράς δυναμικών. Χρησιμοποιώντας παραδείγματα, εξετάστε τους τύπους χρονοσειρών και τους τύπους για τον υπολογισμό του μέσου επιπέδου.

Απόλυτα κέρδη (Δy) δείξτε πόσες μονάδες έχει αλλάξει το επόμενο επίπεδο της σειράς σε σύγκριση με το προηγούμενο (στήλη 3. - απόλυτες αυξήσεις αλυσίδας) ή σε σύγκριση με το αρχικό επίπεδο (στήλη 4. - βασικές απόλυτες προσαυξήσεις). Οι τύποι υπολογισμού μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Με μείωση στις απόλυτες τιμές της σειράς θα υπάρξει «μείωση», «μείωση», αντίστοιχα.

Οι δείκτες απόλυτης ανάπτυξης δείχνουν ότι, για παράδειγμα, το 1998 η παραγωγή του προϊόντος "Α" αυξήθηκε κατά 4.000 τόνους σε σύγκριση με το 1997 και κατά 34.000 τόνους σε σύγκριση με το 1994. για άλλα χρόνια, βλέπε πίνακα. 11,5 γρ. 3 και 4.

Παράγοντας ανάπτυξηςδείχνει πόσες φορές το επίπεδο της σειράς έχει αλλάξει σε σύγκριση με το προηγούμενο (στήλη 5 - παράγοντες ανάπτυξης ή πτώσης αλυσίδας) ή σε σύγκριση με το αρχικό επίπεδο (στήλη 6 - βασικοί παράγοντες ανάπτυξης ή πτώσης). Οι τύποι υπολογισμού μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Ρυθμοί ανάπτυξηςΔείξτε πόσο τοις εκατό συγκρίνεται το επόμενο επίπεδο της σειράς με το προηγούμενο (στήλη 7 - ρυθμοί ανάπτυξης αλυσίδας) ή σε σύγκριση με το αρχικό επίπεδο (στήλη 8 - βασικοί ρυθμοί ανάπτυξης). Οι τύποι υπολογισμού μπορούν να γραφτούν ως εξής:

Έτσι, για παράδειγμα, το 1997, ο όγκος παραγωγής του προϊόντος "Α" σε σύγκριση με το 1996 ήταν 105,5% (

Ρυθμοί ανάπτυξηςΔείξτε πόσο τοις εκατό αυξήθηκε το επίπεδο της περιόδου αναφοράς σε σύγκριση με την προηγούμενη (στήλη 9 - ρυθμοί ανάπτυξης αλυσίδας) ή σε σύγκριση με το αρχικό επίπεδο (στήλη 10 - βασικοί ρυθμοί ανάπτυξης). Οι τύποι υπολογισμού μπορούν να γραφτούν ως εξής:

T pr \u003d T p - 100% ή T pr \u003d απόλυτη αύξηση / επίπεδο της προηγούμενης περιόδου * 100%

Έτσι, για παράδειγμα, το 1996, σε σύγκριση με το 1995, το προϊόν «Α» παρήχθη περισσότερο κατά 3,8% (103,8% - 100%) ή (8:210) x 100%, και σε σύγκριση με το 1994. - κατά 9% ( 109% - 100%).

Εάν τα απόλυτα επίπεδα στη σειρά μειωθούν, τότε το ποσοστό θα είναι μικρότερο από 100% και, κατά συνέπεια, θα υπάρχει ρυθμός μείωσης (ρυθμός ανάπτυξης με πρόσημο μείον).

Απόλυτη τιμή 1% αύξηση(στήλη 11) δείχνει πόσες μονάδες πρέπει να παραχθούν σε μια δεδομένη περίοδο προκειμένου το επίπεδο της προηγούμενης περιόδου να αυξηθεί κατά 1%. Στο παράδειγμά μας, το 1995 ήταν απαραίτητο να παραχθούν 2,0 χιλιάδες τόνοι, και το 1998 - 2,3 χιλιάδες τόνοι, δηλ. πολύ μεγαλύτερο.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσδιοριστεί το μέγεθος της απόλυτης τιμής της αύξησης 1%:

Διαιρέστε το επίπεδο της προηγούμενης περιόδου με το 100.

Διαιρέστε τους απόλυτους ρυθμούς ανάπτυξης της αλυσίδας με τους αντίστοιχους ρυθμούς ανάπτυξης της αλυσίδας.

Απόλυτη τιμή 1% αύξηση =

Στη δυναμική, ειδικά για μεγάλο χρονικό διάστημα, είναι σημαντικό να αναλύεται από κοινού ο ρυθμός ανάπτυξης με το περιεχόμενο κάθε ποσοστιαίας αύξησης ή μείωσης.

Σημειώστε ότι η εξεταζόμενη μεθοδολογία για την ανάλυση χρονοσειρών ισχύει τόσο για χρονοσειρές, τα επίπεδα των οποίων εκφράζονται σε απόλυτες τιμές (t, χιλιάδες ρούβλια, αριθμός εργαζομένων κ.λπ.), όσο και για χρονοσειρές, τα επίπεδα που εκφράζονται σε σχετικούς δείκτες (% σκραπ, % περιεκτικότητα σε τέφρα άνθρακα κ.λπ.) ή μέσες τιμές (μέση απόδοση σε c/ha, μέσοι μισθοί κ.λπ.).

Μαζί με τους εξεταζόμενους αναλυτικούς δείκτες που υπολογίζονται για κάθε έτος σε σύγκριση με το προηγούμενο ή το αρχικό επίπεδο, κατά την ανάλυση των χρονοσειρών, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι μέσοι αναλυτικοί δείκτες για την περίοδο: το μέσο επίπεδο της σειράς, η μέση ετήσια απόλυτη αύξηση (μείωση) και ο μέσος ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης και ρυθμός ανάπτυξης.

Μέθοδοι για τον υπολογισμό του μέσου επιπέδου μιας σειράς δυναμικών συζητήθηκαν παραπάνω. Στη διαστημική σειρά δυναμικών που εξετάζουμε, το μέσο επίπεδο της σειράς υπολογίζεται από τον τύπο του απλού αριθμητικού μέσου όρου:

Η μέση ετήσια παραγωγή του προϊόντος για την περίοδο 1994-1998. ανήλθαν σε 218,4 χιλιάδες τόνους.

Η μέση ετήσια απόλυτη αύξηση υπολογίζεται επίσης με τον τύπο του απλού αριθμητικού μέσου όρου:

Οι ετήσιες απόλυτες αυξήσεις κυμαίνονταν με την πάροδο των ετών από 4 έως 12 χιλιάδες τόνους (βλ. γρ. 3), και η μέση ετήσια αύξηση της παραγωγής για την περίοδο 1995 - 1998. ανήλθαν σε 8,5 χιλιάδες τόνους.

Οι μέθοδοι για τον υπολογισμό του μέσου ρυθμού ανάπτυξης και του μέσου ρυθμού ανάπτυξης απαιτούν λεπτομερέστερη εξέταση. Ας τους εξετάσουμε στο παράδειγμα των ετήσιων δεικτών του επιπέδου σειράς που δίνονται στον πίνακα.

Το μεσαίο επίπεδο του εύρους δυναμικής.

Σειρά δυναμικών (ή χρονοσειρές)- αυτές είναι οι αριθμητικές τιμές ενός συγκεκριμένου στατιστικού δείκτη σε διαδοχικές στιγμές ή χρονικές περιόδους (δηλαδή ταξινομημένες με χρονολογική σειρά).

Οι αριθμητικές τιμές ενός συγκεκριμένου στατιστικού δείκτη που συνθέτει μια σειρά δυναμικών ονομάζονται επίπεδα ενός αριθμούκαι συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα y. Πρώτο μέλος της σειράς y 1που ονομάζεται αρχική ή γραμμή βάσης, και το τελευταίο y n - τελικός. Οι στιγμές ή οι χρονικές περίοδοι στις οποίες αναφέρονται τα επίπεδα υποδηλώνονται με t.

Οι δυναμικές σειρές, κατά κανόνα, παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα ή γραφήματος και μια χρονική κλίμακα κατασκευάζεται κατά μήκος του άξονα x t, και κατά μήκος της τεταγμένης - η κλίμακα των επιπέδων της σειράς y.

Μέσοι δείκτες μιας σειράς δυναμικών

Κάθε σειρά δυναμικών μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορισμένο σύνολο nχρονικά μεταβαλλόμενους δείκτες που μπορούν να συνοψιστούν ως μέσοι όροι. Τέτοιοι γενικευμένοι (μέσοι) δείκτες είναι ιδιαίτερα απαραίτητοι όταν συγκρίνονται αλλαγές σε έναν ή άλλο δείκτη σε διαφορετικές περιόδους, σε διαφορετικές χώρες κ.λπ.

Ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό μιας σειράς δυναμικών μπορεί να είναι, πρώτα απ 'όλα, μέσο επίπεδο σειράς. Η μέθοδος υπολογισμού της μέσης στάθμης εξαρτάται από το αν πρόκειται για σειρά ροπών ή για σειρά διαστήματος (περιόδου).

Πότε διάστημασειρά, το μέσο επίπεδό της καθορίζεται από τον τύπο ενός απλού αριθμητικού μέσου όρου των επιπέδων της σειράς, δηλ.

=
Εάν είναι διαθέσιμο στιγμήσειρά που περιέχει nεπίπεδα ( y1, y2, …, yn) με ίσα διαστήματα μεταξύ ημερομηνιών (χρονικά σημεία), τότε μια τέτοια σειρά μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μια σειρά από μέσες τιμές. Ταυτόχρονα, ο δείκτης (επίπεδο) στην αρχή κάθε περιόδου είναι ταυτόχρονα και ο δείκτης στο τέλος της προηγούμενης περιόδου. Στη συνέχεια, η μέση τιμή του δείκτη για κάθε περίοδο (διάστημα μεταξύ ημερομηνιών) μπορεί να υπολογιστεί ως το μισό άθροισμα των τιμών στοστην αρχή και στο τέλος της περιόδου, δηλ. πως . Ο αριθμός αυτών των μέσων όρων θα είναι . Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, για σειρές μέσων όρων, το μέσο επίπεδο υπολογίζεται από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:
.
Μετά τη μετατροπή του αριθμητή, παίρνουμε:
,

όπου Υ1και Yn- το πρώτο και το τελευταίο επίπεδο της σειράς. Yi- ενδιάμεσα επίπεδα.

Αυτός ο μέσος όρος είναι γνωστός στις στατιστικές ως μέση χρονολογικήγια τη σειρά στιγμής. Έλαβε αυτό το όνομα από τη λέξη «cronos» (χρόνος, λατ.), όπως υπολογίζεται από δείκτες που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.

Σε περίπτωση άνισουστα διαστήματα μεταξύ των ημερομηνιών, ο χρονολογικός μέσος όρος για τη σειρά ροπών μπορεί να υπολογιστεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των μέσων τιμών των επιπέδων για κάθε ζεύγος ροπών, σταθμισμένος με τις αποστάσεις (χρονικά διαστήματα) μεταξύ των ημερομηνιών, π.χ.
.
Σε αυτήν την περίπτωσηυποτίθεται ότι στα μεσοδιαστήματα μεταξύ των ημερομηνιών τα επίπεδα έπαιρναν διαφορετικές τιμές και είμαστε από δύο γνωστές ( yiκαι yi+1) προσδιορίζουμε τους μέσους όρους, από τους οποίους στη συνέχεια υπολογίζουμε τον συνολικό μέσο όρο για ολόκληρη την περίοδο που αναλύθηκε.
Αν υποτεθεί ότι κάθε τιμή yiπαραμένει αμετάβλητη μέχρι την επόμενη (i+ 1)- η στιγμή, δηλ. η ακριβής ημερομηνία της αλλαγής στα επίπεδα είναι γνωστή, τότε ο υπολογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο τύπο:
,

όπου είναι ο χρόνος κατά τον οποίο το επίπεδο παρέμεινε αμετάβλητο.

Εκτός από το μέσο επίπεδο στη σειρά δυναμικών, υπολογίζονται επίσης και άλλοι μέσοι δείκτες - η μέση μεταβολή στα επίπεδα της σειράς (βασικές μέθοδοι και αλυσιδωτές μέθοδοι), ο μέσος ρυθμός μεταβολής.

Γραμμή βάσης σημαίνει απόλυτη αλλαγήείναι το πηλίκο της τελευταίας βασικής απόλυτης μεταβολής δια του αριθμού των αλλαγών. Αυτό είναι

Αλυσίδα σημαίνει απόλυτη αλλαγή επίπεδα μιας σειράς είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος όλων των απόλυτων αλλαγών της αλυσίδας με τον αριθμό των αλλαγών, δηλ.

Με το πρόσημο των μέσων απόλυτων μεταβολών, η φύση της αλλαγής του φαινομένου κρίνεται επίσης κατά μέσο όρο: ανάπτυξη, παρακμή ή σταθερότητα.

Από τον κανόνα ελέγχου βασικών και αλυσιδωτών απόλυτων αλλαγών, προκύπτει ότι η βασική και η αλυσιδωτή μέση μεταβολή πρέπει να είναι ίσες.

Μαζί με τη μέση απόλυτη μεταβολή, ο μέσος σχετικός υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας τη βασική και αλυσιδωτή μέθοδο.

Βασική μέση σχετική αλλαγήκαθορίζεται από τον τύπο:

Αλυσίδα σημαίνει σχετική αλλαγήκαθορίζεται από τον τύπο:

Φυσικά, ο βασικός και ο αλυσιδωτικός μέσος όρος σχετικών μεταβολών θα πρέπει να είναι ίδιες και συγκρίνοντάς τες με την τιμή κριτηρίου 1, βγαίνει ένα συμπέρασμα σχετικά με τη φύση της αλλαγής του φαινομένου κατά μέσο όρο: ανάπτυξη, παρακμή ή σταθερότητα.
Αφαιρώντας 1 από τη μέση σχετική μεταβολή βάσης ή αλυσίδας, το αντίστοιχο μέσο ρυθμό μεταβολής, από το πρόσημο του οποίου μπορεί κανείς να κρίνει και τη φύση της αλλαγής στο υπό μελέτη φαινόμενο, που αντικατοπτρίζεται από αυτή τη σειρά δυναμικών.

Εποχιακές διακυμάνσεις και δείκτες εποχικότητας.

Οι εποχικές διακυμάνσεις είναι σταθερές διαχρονικές διακυμάνσεις.

Η βασική αρχή για την επίτευξη του μέγιστου αποτελέσματος είναι η μεγιστοποίηση του εισοδήματος και η ελαχιστοποίηση του κόστους. Μελετώντας τις εποχιακές διακυμάνσεις λύνεται το πρόβλημα της μέγιστης εξίσωσης σε κάθε επίπεδο του έτους.

Κατά τη μελέτη των εποχιακών διακυμάνσεων, επιλύονται δύο αλληλένδετες εργασίες:

1. Προσδιορισμός των ιδιαιτεροτήτων της εξέλιξης του φαινομένου σε ενδοετήσια δυναμική.

2. Μέτρηση εποχιακών διακυμάνσεων με την κατασκευή εποχιακού κυματοειδούς μοντέλου.

Οι εποχιακές γαλοπούλες συνήθως μετρώνται για τη μέτρηση της εποχικότητας. Σε γενικές γραμμές, καθορίζονται από την αναλογία των αρχικών εξισώσεων μιας σειράς δυναμικών προς τις θεωρητικές εξισώσεις που χρησιμεύουν ως βάση για σύγκριση.

Δεδομένου ότι οι τυχαίες αποκλίσεις υπερτίθενται στις εποχιακές διακυμάνσεις, υπολογίζεται ο μέσος όρος των δεικτών εποχικότητας για την εξάλειψή τους.

Σε αυτήν την περίπτωση, για κάθε περίοδο του ετήσιου κύκλου, καθορίζονται γενικευμένοι δείκτες με τη μορφή μέσων εποχιακών δεικτών:

Οι μέσοι δείκτες εποχιακών διακυμάνσεων είναι απαλλαγμένοι από την επίδραση των τυχαίων αποκλίσεων της κύριας αναπτυξιακής τάσης.

Ανάλογα με τη φύση της τάσης, ο τύπος για τον μέσο δείκτη εποχικότητας μπορεί να λάβει τις ακόλουθες μορφές:

1.Για σειρές ενδοετήσιων δυναμικών με έντονη κύρια αναπτυξιακή τάση:

2. Για τη σειρά των ενδοετήσιων δυναμικών στην οποία δεν υπάρχει ανοδική ή πτωτική τάση ή είναι ασήμαντη:

Πού είναι ο γενικός μέσος όρος;

Μέθοδοι για την ανάλυση της κύριας τάσης.

Η εξέλιξη των φαινομένων με την πάροδο του χρόνου επηρεάζεται από παράγοντες διαφορετικούς ως προς τη φύση και τη δύναμη επιρροής. Μερικά από αυτά είναι τυχαίας φύσης, άλλα έχουν σχεδόν σταθερό αποτέλεσμα και σχηματίζουν μια ορισμένη αναπτυξιακή τάση στη σειρά των δυναμικών.

Ένα σημαντικό καθήκον της στατιστικής είναι να εντοπίσει μια τάση στη σειρά των δυναμικών, απαλλαγμένη από τη δράση διαφόρων τυχαίων παραγόντων. Για το σκοπό αυτό, οι χρονοσειρές επεξεργάζονται με τις μεθόδους της μεγέθυνσης διαστήματος, του κινητού μέσου όρου και της αναλυτικής ευθυγράμμισης κ.λπ.

Μέθοδος διαλειμματικής χονδροποίησηςβασίζεται στη διεύρυνση των χρονικών περιόδων, που περιλαμβάνουν τα επίπεδα μιας σειράς δυναμικών, δηλ. είναι η αντικατάσταση δεδομένων που σχετίζονται με μικρές χρονικές περιόδους με δεδομένα μεγαλύτερων περιόδων. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικό όταν τα αρχικά επίπεδα της σειράς είναι για μικρά χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, σειρές δεικτών που σχετίζονται με καθημερινά συμβάντα αντικαθίστανται από σειρές που σχετίζονται με εβδομαδιαία, μηνιαία κ.λπ. Αυτό θα δείξει πιο ξεκάθαρα «Άξονας Ανάπτυξης του Φαινομένου». Ο μέσος όρος, που υπολογίζεται με βάση τα μεγεθυσμένα διαστήματα, καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης και του χαρακτήρα (επιτάχυνση ανάπτυξης ή επιβράδυνση) της κύριας αναπτυξιακής τάσης.

μέθοδος κινούμενου μέσου όρουπαρόμοιο με το προηγούμενο, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, τα πραγματικά επίπεδα αντικαθίστανται από τα μέσα επίπεδα που υπολογίζονται για διαδοχικά κινούμενα (συρόμενα) διευρυμένα διαστήματα που καλύπτουν Μεπίπεδα σειρών.

Για παράδειγμαεάν γίνει αποδεκτό m=3,τότε, πρώτα, υπολογίζεται ο μέσος όρος των τριών πρώτων επιπέδων της σειράς, στη συνέχεια - από τον ίδιο αριθμό επιπέδων, αλλά ξεκινώντας από το δεύτερο στη σειρά, μετά - ξεκινώντας από το τρίτο κ.λπ. Έτσι, ο μέσος όρος, όπως λέγαμε, «γλιστρά» κατά μήκος της σειράς της δυναμικής, κινούμενος για μία περίοδο. Υπολογίστηκε από ΜΤα μέλη των κινητών μέσων όρων αναφέρονται στο μέσο (κέντρο) κάθε διαστήματος.

Αυτή η μέθοδος εξαλείφει μόνο τυχαίες διακυμάνσεις. Εάν η σειρά έχει εποχιακό κύμα, τότε θα παραμείνει μετά την εξομάλυνση με τη μέθοδο του κινούμενου μέσου όρου.

Αναλυτική ευθυγράμμιση. Προκειμένου να εξαλειφθούν οι τυχαίες διακυμάνσεις και να εντοπιστεί μια τάση, τα επίπεδα της σειράς ευθυγραμμίζονται σύμφωνα με αναλυτικούς τύπους (ή αναλυτική στοίχιση). Η ουσία του είναι να αντικαταστήσει τα εμπειρικά (πραγματικά) επίπεδα με θεωρητικά, τα οποία υπολογίζονται σύμφωνα με μια ορισμένη εξίσωση, που λαμβάνεται ως μαθηματικό μοντέλο της τάσης, όπου τα θεωρητικά επίπεδα θεωρούνται ως συνάρτηση του χρόνου: . Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε πραγματικό επίπεδο θεωρείται ως το άθροισμα δύο συνιστωσών: , όπου είναι μια συστηματική συνιστώσα και εκφράζεται με μια ορισμένη εξίσωση και είναι μια τυχαία μεταβλητή που προκαλεί διακυμάνσεις γύρω από την τάση.

Το έργο της αναλυτικής ευθυγράμμισης έχει ως εξής:

1. Προσδιορισμός βάσει πραγματικών δεδομένων του τύπου της υποθετικής συνάρτησης που μπορεί να αντικατοπτρίζει επαρκέστερα την αναπτυξιακή τάση του υπό μελέτη δείκτη.

2. Εύρεση των παραμέτρων της καθορισμένης συνάρτησης (εξίσωσης) από εμπειρικά δεδομένα

3. Υπολογισμός σύμφωνα με την εξίσωση των θεωρητικών (επίπεδων) επιπέδων.

Η επιλογή μιας συγκεκριμένης συνάρτησης πραγματοποιείται, κατά κανόνα, με βάση μια γραφική αναπαράσταση εμπειρικών δεδομένων.

Τα μοντέλα είναι εξισώσεις παλινδρόμησης, οι παράμετροι των οποίων υπολογίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

Παρακάτω είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες εξισώσεις παλινδρόμησης για την ισοπέδωση χρονοσειρών, υποδεικνύοντας ποιες τάσεις ανάπτυξης είναι πιο κατάλληλες για αντανάκλαση.

Για την εύρεση των παραμέτρων των παραπάνω εξισώσεων υπάρχουν ειδικοί αλγόριθμοι και προγράμματα υπολογιστών. Συγκεκριμένα, για την εύρεση των παραμέτρων της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος αλγόριθμος:

Εάν οι περίοδοι ή οι χρονικές στιγμές αριθμηθούν έτσι ώστε να προκύπτει St = 0, τότε οι παραπάνω αλγόριθμοι θα απλοποιηθούν σημαντικά και θα μετατραπούν σε

Τα ευθυγραμμισμένα επίπεδα στο γράφημα θα βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή που περνά στην πλησιέστερη απόσταση από τα πραγματικά επίπεδα αυτής της δυναμικής σειράς. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων είναι μια αντανάκλαση της επίδρασης τυχαίων παραγόντων.

Με τη βοήθειά του υπολογίζουμε το μέσο (τυπικό) σφάλμα της εξίσωσης:

Εδώ n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων και m είναι ο αριθμός των παραμέτρων στην εξίσωση (έχουμε δύο από αυτές - b 1 και b 0).

Η κύρια τάση (τάση) δείχνει πώς οι συστηματικοί παράγοντες επηρεάζουν τα επίπεδα μιας σειράς δυναμικών και η διακύμανση των επιπέδων γύρω από την τάση () χρησιμεύει ως μέτρο της επίδρασης των υπολειπόμενων παραγόντων.

Για την αξιολόγηση της ποιότητας του μοντέλου χρονοσειρών που χρησιμοποιείται, χρησιμοποιείται επίσης Τεστ F Fisher. Είναι ο λόγος δύο διακυμάνσεων, δηλαδή ο λόγος της διακύμανσης που προκαλείται από την παλινδρόμηση, δηλ. μελετημένος παράγοντας, στη διασπορά που προκαλείται από τυχαίες αιτίες, π.χ. υπολειπόμενη διακύμανση:

Σε διευρυμένη μορφή, ο τύπος για αυτό το κριτήριο μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

όπου n είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων, δηλ. αριθμός επιπέδων σειρών,

m είναι ο αριθμός των παραμέτρων στην εξίσωση, y είναι το πραγματικό επίπεδο της σειράς,

Ευθυγραμμισμένο επίπεδο της σειράς, - το μέσο επίπεδο της σειράς.

Πιο επιτυχημένο από άλλα, το μοντέλο μπορεί να μην είναι πάντα επαρκώς ικανοποιητικό. Μπορεί να αναγνωριστεί ως τέτοιο μόνο εάν το κριτήριο F για αυτό υπερβαίνει ένα ορισμένο κρίσιμο όριο. Αυτό το όριο ορίζεται χρησιμοποιώντας πίνακες κατανομής F.

Ουσία και ταξινόμηση δεικτών.

Ένας δείκτης στα στατιστικά νοείται ως ένας σχετικός δείκτης που χαρακτηρίζει τη μεταβολή του μεγέθους ενός φαινομένου σε χρόνο, χώρο ή σε σύγκριση με οποιοδήποτε πρότυπο.

Το κύριο στοιχείο της σχέσης δείκτη είναι η τιμαριθμική τιμή. Ως τιμαριθμική τιμή νοείται η τιμή ενός σημείου ενός στατιστικού πληθυσμού, η αλλαγή του οποίου αποτελεί αντικείμενο μελέτης.

Οι δείκτες εξυπηρετούν τρεις κύριους σκοπούς:

1) αξιολόγηση των αλλαγών σε ένα σύνθετο φαινόμενο.

2) προσδιορισμός της επίδρασης μεμονωμένων παραγόντων στην αλλαγή ενός πολύπλοκου φαινομένου.

3) σύγκριση του μεγέθους κάποιου φαινομένου με το μέγεθος της προηγούμενης περιόδου, το μέγεθος μιας άλλης επικράτειας, καθώς και με πρότυπα, σχέδια, προβλέψεις.

Οι δείκτες ταξινομούνται σύμφωνα με 3 κριτήρια:

2) από τον βαθμό κάλυψης των στοιχείων του πληθυσμού.

3) με μεθόδους υπολογισμού γενικών δεικτών.

Κατά περιεχόμενοτων τιμαριθμοποιημένων τιμών, οι δείκτες χωρίζονται σε δείκτες ποσοτικών (ογκομετρικών) δεικτών και σε δείκτες ποιοτικών δεικτών. Δείκτες ποσοτικών δεικτών - δείκτες φυσικού όγκου βιομηχανικής παραγωγής, φυσικός όγκος πωλήσεων, αριθμός κ.λπ. Δείκτες ποιοτικών δεικτών - δείκτες τιμών, κόστους, παραγωγικότητας εργασίας, μέσοι μισθοί κ.λπ.

Σύμφωνα με το βαθμό κάλυψης των μονάδων του πληθυσμού, οι δείκτες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: ατομικούς και γενικούς. Για να τα χαρακτηρίσουμε, εισάγουμε τις ακόλουθες συμβάσεις που υιοθετήθηκαν στην πρακτική της εφαρμογής της μεθόδου του δείκτη:

q- ποσότητα (όγκος) οποιουδήποτε προϊόντος σε είδος ; R- τιμή μονάδας παραγωγής· z- κόστος παραγωγής ανά μονάδα· t- χρόνος που δαπανάται για την παραγωγή μιας μονάδας παραγωγής (ένταση εργασίας) ; w- παραγωγή παραγωγής σε όρους αξίας ανά μονάδα χρόνου. v- παραγωγή σε φυσικούς όρους ανά μονάδα χρόνου. Τ- συνολικός χρόνος ή αριθμός εργαζομένων.

Για να διακρίνετε σε ποια περίοδο ή αντικείμενο ανήκουν οι τιμές με ευρετήριο, συνηθίζεται να βάζετε δείκτες μετά το αντίστοιχο σύμβολο κάτω δεξιά. Έτσι, για παράδειγμα, στους δείκτες της δυναμικής, κατά κανόνα, για τις συγκριτικές (τρέχουσες, αναφορές) περιόδους, χρησιμοποιείται ο δείκτης 1 και για τις περιόδους με τις οποίες γίνεται η σύγκριση,

Επιμέρους δείκτεςχρησιμεύουν για τον χαρακτηρισμό της αλλαγής σε μεμονωμένα στοιχεία ενός σύνθετου φαινομένου (για παράδειγμα, μια αλλαγή στον όγκο παραγωγής ενός τύπου προϊόντος). Αντιπροσωπεύουν τις σχετικές τιμές της δυναμικής, της εκπλήρωσης των υποχρεώσεων, της σύγκρισης τιμαριθμοποιημένων τιμών.

Καθορίζεται ο επιμέρους δείκτης του φυσικού όγκου παραγωγής

Από αναλυτική άποψη, οι δεδομένοι επιμέρους δείκτες δυναμικής είναι παρόμοιοι με τους συντελεστές (ρυθμούς) ανάπτυξης και χαρακτηρίζουν τη μεταβολή της τιμαριθμικής τιμής στην τρέχουσα περίοδο σε σύγκριση με τη βασική, δηλαδή δείχνουν πόσες φορές έχει αυξηθεί (μειωθεί ) ή πόσο τοις εκατό είναι ανάπτυξη (μείωση). Οι τιμές των δεικτών εκφράζονται σε συντελεστές ή ποσοστά.

Γενικός (σύνθετος) δείκτηςαντανακλά την αλλαγή σε όλα τα στοιχεία ενός σύνθετου φαινομένου.

Συγκεντρωτικός δείκτηςείναι η βασική μορφή του δείκτη. Ονομάζεται άθροισμα επειδή ο αριθμητής και ο παρονομαστής του είναι ένα σύνολο "αθροιστικών"

Μέσοι δείκτες, ο ορισμός τους.

Εκτός από τους συγκεντρωτικούς δείκτες, μια άλλη μορφή τους χρησιμοποιείται στα στατιστικά στοιχεία - οι σταθμισμένοι μέσοι δείκτες. Ο υπολογισμός τους γίνεται όταν οι διαθέσιμες πληροφορίες δεν επιτρέπουν τον υπολογισμό του γενικού συγκεντρωτικού δείκτη. Έτσι, εάν δεν υπάρχουν στοιχεία για τις τιμές, αλλά υπάρχουν πληροφορίες για το κόστος των προϊόντων στην τρέχουσα περίοδο και είναι γνωστοί μεμονωμένοι δείκτες τιμών για κάθε προϊόν, τότε ο γενικός δείκτης τιμών δεν μπορεί να προσδιοριστεί ως συγκεντρωτικός, αλλά είναι δυνατό να το υπολογίσουμε ως μέσο όρο των επιμέρους. Με τον ίδιο τρόπο, εάν δεν είναι γνωστές οι ποσότητες των μεμονωμένων προϊόντων που παράγονται, αλλά είναι γνωστοί οι επιμέρους δείκτες και το κόστος παραγωγής της περιόδου βάσης, τότε ο συνολικός δείκτης του φυσικού όγκου παραγωγής μπορεί να προσδιοριστεί ως σταθμισμένος μέσος όρος.

Μέσος δείκτης -αυτό είναιένας δείκτης που υπολογίζεται ως μέσος όρος επιμέρους δεικτών. Ο συγκεντρωτικός δείκτης είναι η βασική μορφή του γενικού δείκτη, επομένως ο μέσος δείκτης πρέπει να είναι πανομοιότυπος με τον συγκεντρωτικό δείκτη. Κατά τον υπολογισμό των μέσων δεικτών, χρησιμοποιούνται δύο μορφές μέσου όρου: αριθμητικός και αρμονικός.

Ο αριθμητικός μέσος δείκτης είναι πανομοιότυπος με τον συγκεντρωτικό δείκτη εάν τα βάρη των επιμέρους δεικτών είναι οι όροι του παρονομαστή του συγκεντρωτικού δείκτη. Μόνο σε αυτή την περίπτωση η τιμή του δείκτη που υπολογίζεται από τον αριθμητικό μέσο τύπο θα είναι ίση με τον συνολικό δείκτη.

Από την Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

τυπική απόκλιση(συνώνυμα: τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση, τυπική απόκλιση; σχετικοί όροι: τυπική απόκλιση, τυπική εξάπλωση) - στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, ο πιο συνηθισμένος δείκτης της διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής σε σχέση με τις μαθηματικές προσδοκίες της. Με περιορισμένους πίνακες δειγμάτων τιμών, αντί για τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος του πληθυσμού των δειγμάτων.

Βασικές πληροφορίες

Η τυπική απόκλιση μετράται σε μονάδες της ίδιας της τυχαίας μεταβλητής και χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος του αριθμητικού μέσου όρου, κατά την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης, κατά τον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, κατά τη μέτρηση μιας γραμμικής σχέσης μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής.

Τυπική απόκλιση:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Τυπική απόκλιση(εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής Χσε σχέση με τη μαθηματική του προσδοκία που βασίζεται σε μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσής του) $\mu \iota \kappa \rho ό$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash right)^2);$

κανόνας τριών σίγμα

κανόνας τριών σίγμα ($3\backslash \sigma ί\gamma \mu \alpha$) - σχεδόν όλες οι τιμές μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκονται στο διάστημα $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Πιο αυστηρά - περίπου με πιθανότητα 0,9973 η τιμή μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής βρίσκεται στο καθορισμένο διάστημα (με την προϋπόθεση ότι η τιμή $\backslash bar(x)$αληθές, και δεν ελήφθη ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του δείγματος).

Αν η αληθινή τιμή $\backslash bar(x)$άγνωστο, τότε θα πρέπει να το χρησιμοποιήσετε $\backslash \sigma ί\gamma \mu \alpha$, ένα μικρό. Έτσι, ο κανόνας των τριών σίγμα μετατρέπεται σε κανόνα του τριών μικρό .

Ερμηνεία της τιμής της τυπικής απόκλισης

Μια μεγαλύτερη τιμή της τυπικής απόκλισης υποδηλώνει μεγαλύτερη εξάπλωση των τιμών στο παρουσιαζόμενο σύνολο με τον μέσο όρο του συνόλου. μια μικρότερη τιμή, αντίστοιχα, δείχνει ότι οι τιμές στο σύνολο ομαδοποιούνται γύρω από τη μέση τιμή.

Για παράδειγμα, έχουμε τρία σύνολα αριθμών: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) και (6, 6, 8, 8). Και τα τρία σύνολα έχουν μέσες τιμές 7 και τυπικές αποκλίσεις 7, 5 και 1, αντίστοιχα. Το τελευταίο σύνολο έχει μια μικρή τυπική απόκλιση επειδή οι τιμές στο σύνολο συγκεντρώνονται γύρω από το μέσο όρο. το πρώτο σετ έχει τη μεγαλύτερη τιμή της τυπικής απόκλισης - οι τιμές εντός του συνόλου αποκλίνουν έντονα από τη μέση τιμή.

Σε γενικές γραμμές, η τυπική απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως μέτρο αβεβαιότητας. Για παράδειγμα, στη φυσική, η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του σφάλματος μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων κάποιας ποσότητας. Αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική για τον προσδιορισμό της αληθοφάνειας του υπό μελέτη φαινομένου σε σύγκριση με την τιμή που προβλέπεται από τη θεωρία: εάν η μέση τιμή των μετρήσεων είναι πολύ διαφορετική από τις τιμές που προβλέπονται από τη θεωρία (μεγάλη τυπική απόκλιση), τότε οι λαμβανόμενες τιμές ή η μέθοδος απόκτησής τους θα πρέπει να επανελεγχθούν.

Πρακτική χρήση

Στην πράξη, η τυπική απόκλιση σάς επιτρέπει να υπολογίσετε πόσες τιμές από ένα σύνολο μπορεί να διαφέρουν από τη μέση τιμή.

Οικονομικά και χρηματοοικονομικά

Τυπική απόκλιση απόδοσης χαρτοφυλακίου $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ταυτίζεται με τον κίνδυνο χαρτοφυλακίου.

Κλίμα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο πόλεις με την ίδια μέση μέγιστη ημερήσια θερμοκρασία, αλλά η μία βρίσκεται στην ακτή και η άλλη στην πεδιάδα. Οι παράκτιες πόλεις είναι γνωστό ότι έχουν πολλές διαφορετικές ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες χαμηλότερες από τις πόλεις της ενδοχώρας. Επομένως, η τυπική απόκλιση των μέγιστων ημερήσιων θερμοκρασιών στην παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από τη δεύτερη πόλη, παρά το γεγονός ότι έχουν την ίδια μέση τιμή αυτής της τιμής, που στην πράξη σημαίνει ότι η πιθανότητα η μέγιστη θερμοκρασία του αέρα κάθε συγκεκριμένη ημέρα του έτους θα είναι ισχυρότερη διαφορετική από τη μέση τιμή, υψηλότερη για μια πόλη που βρίσκεται εντός της ηπείρου.

Αθλημα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολλές ποδοσφαιρικές ομάδες που κατατάσσονται σύμφωνα με ορισμένες παραμέτρους, για παράδειγμα, ο αριθμός των γκολ που σημειώθηκαν και οι δέκτες, οι ευκαιρίες για γκολ κ.λπ. Είναι πολύ πιθανό η καλύτερη ομάδα σε αυτόν τον όμιλο να έχει τις καλύτερες τιμές σε περισσότερες παραμέτρους. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ομάδας για κάθε μία από τις παραμέτρους που παρουσιάζονται, τόσο πιο προβλέψιμο είναι το αποτέλεσμα της ομάδας, τέτοιες ομάδες είναι ισορροπημένες. Από την άλλη πλευρά, μια ομάδα με μεγάλη τυπική απόκλιση δυσκολεύεται να προβλέψει το αποτέλεσμα, κάτι που με τη σειρά του εξηγείται από μια ανισορροπία, για παράδειγμα, μια δυνατή άμυνα αλλά μια αδύναμη επίθεση.

Η χρήση της τυπικής απόκλισης των παραμέτρων της ομάδας επιτρέπει σε κάποιον να προβλέψει το αποτέλεσμα του αγώνα μεταξύ δύο ομάδων σε κάποιο βαθμό, αξιολογώντας τα δυνατά και τα αδύνατα σημεία των ομάδων και ως εκ τούτου τις επιλεγμένες μεθόδους αγώνα.

δείτε επίσης

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Τυπική απόκλιση"

Βιβλιογραφία

• Borovikov V.ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Η τέχνη της ανάλυσης δεδομένων υπολογιστή: Για επαγγελματίες / V. Borovikov. - Αγία Πετρούπολη. : Peter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1..

Στατιστικοί δείκτες περιγραφικός στατιστική Στατιστικός απόσυρση και εξέταση υποθέσεις Συνολική βαθμολογία Συσχέτιση και οπισθοδρόμηση Γραφικός μεθόδους

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει την τυπική απόκλιση

Και, ανοίγοντας γρήγορα την πόρτα, βγήκε με αποφασιστικά βήματα στο μπαλκόνι. Η συζήτηση σταμάτησε ξαφνικά, αφαιρέθηκαν τα καπέλα και τα καπέλα και όλα τα βλέμματα στράφηκαν στον μετρ που βγήκε.
- Γεια σας παιδιά! είπε η καταμέτρηση γρήγορα και δυνατά. - Σας ευχαριστώ που ήρθατε. Θα σας μιλήσω τώρα, αλλά πρώτα απ' όλα πρέπει να αντιμετωπίσουμε τον κακό. Πρέπει να τιμωρήσουμε τον κακό που σκότωσε τη Μόσχα. Περίμενέ με! - Και ο κόμης επέστρεψε το ίδιο γρήγορα στις κάμαρες, χτυπώντας δυνατά την πόρτα.
Ένα μουρμουρητό επιδοκιμασίας διαπέρασε το πλήθος. «Αυτός, λοιπόν, θα ελέγξει τη χρήση των κακών! Και λες Γάλλος ...θα σου λύσει όλη την απόσταση! είπαν οι άνθρωποι, σαν να επικρίνουν ο ένας τον άλλον για την έλλειψη πίστης τους.
Λίγα λεπτά αργότερα ένας αξιωματικός βγήκε βιαστικά από την εξώπορτα, διέταξε κάτι και οι δράκοι απλώθηκαν. Το πλήθος κινήθηκε άπληστα από το μπαλκόνι στη βεράντα. Βγαίνοντας στη βεράντα με θυμωμένα γρήγορα βήματα, ο Ροστόπτσιν κοίταξε βιαστικά γύρω του, σαν να έψαχνε κάποιον.
- Πού είναι? - είπε ο κόμης, και την ίδια στιγμή που το είπε αυτό, είδε από τη γωνία του σπιτιού να βγαίνει ανάμεσα σε δύο δράκους έναν νεαρό άνδρα με μακρύ, λεπτό λαιμό, με το κεφάλι του μισοξυρισμένο και κατάφυτο. Αυτός ο νεαρός άνδρας ήταν ντυμένος με ένα βαρετό, μπλε-ντυμένο, ξεφτιλισμένο παλτό από δέρμα προβάτου αλεπούς και με βρώμικα, από πρώτο χέρι παντελόνια κρατουμένου, γεμισμένα σε ακάθαρτες, φθαρμένες λεπτές μπότες. Τα δεσμά κρέμονταν βαριά στα λεπτά, αδύναμα πόδια, δυσκολεύοντας το διστακτικό βάδισμα του νεαρού.
- ΑΛΛΑ! - είπε ο Ροστόπτσιν, στρέφοντας βιαστικά τα μάτια του από τον νεαρό με το παλτό της αλεπούς και δείχνοντας το κάτω σκαλί της βεράντας. - Βάλ'το εδώ! Ο νεαρός, χτυπώντας τα δεσμά του, πάτησε βαριά στο υποδεικνυόμενο σκαλοπάτι, κρατώντας με το δάχτυλό του το πιεστικό γιακά του παλτού από προβιά, γύρισε δύο φορές τον μακρύ λαιμό του και, αναστενάζοντας, δίπλωσε τα λεπτά, αδύναμα χέρια του μπροστά στο στομάχι του με μια υποχωρητική χειρονομία.
Ακολούθησε σιωπή για λίγα δευτερόλεπτα καθώς ο νεαρός στάθηκε στο σκαλοπάτι. Μόνο στις πίσω σειρές ανθρώπων που στριμώχνονταν σε ένα μέρος, ακούγονταν στεναγμοί, γκρίνια, τραντάγματα και ο κρότος των αναδιατεταγμένων ποδιών.
Ο Ροστόπτσιν, περιμένοντας να σταματήσει στο υποδεικνυόμενο μέρος, έτριψε συνοφρυωμένα το πρόσωπό του με το χέρι του.
- Παιδιά! - είπε ο Ροστόπτσιν με μεταλλική φωνή, - αυτός ο άνθρωπος, ο Βερεσσάγκιν, είναι ο ίδιος απατεώνας από τον οποίο πέθανε η Μόσχα.
Ο νεαρός άνδρας με το παλτό της αλεπούς στεκόταν σε μια υποχωρητική πόζα, με τα χέρια του ενωμένα μπροστά στο στομάχι του και ελαφρώς σκυμμένο. Αδυνατισμένος, με μια απελπιστική έκφραση, παραμορφωμένος από ένα ξυρισμένο κεφάλι, το νεανικό του πρόσωπο ήταν χαμηλωμένο. Με τις πρώτες λέξεις της καταμέτρησης, σήκωσε αργά το κεφάλι του και κοίταξε τον μετρ, σαν να ήθελε να του πει κάτι ή τουλάχιστον να συναντήσει το βλέμμα του. Αλλά ο Ροστόπτσιν δεν τον κοίταξε. Στον μακρύ, λεπτό λαιμό του νεαρού, σαν σχοινί, μια φλέβα πίσω από το αυτί τεντώθηκε και έγινε μπλε, και ξαφνικά το πρόσωπό του έγινε κόκκινο.
Όλα τα βλέμματα ήταν καρφωμένα πάνω του. Κοίταξε το πλήθος και, σαν να καθησυχάστηκε από την έκφραση που διάβασε στα πρόσωπα των ανθρώπων, χαμογέλασε λυπημένα και δειλά, και χαμηλώνοντας ξανά το κεφάλι του, ίσιωσε τα πόδια του στο σκαλοπάτι.
«Πρόδωσε τον τσάρο του και την πατρίδα του, παραδόθηκε στον Βοναπάρτη, μόνο αυτός από όλους τους Ρώσους ατίμασε το όνομα ενός Ρώσου και η Μόσχα πεθαίνει από αυτόν», είπε ο Ραστόπτσιν με ομοιόμορφη, κοφτερή φωνή. αλλά ξαφνικά έριξε γρήγορα μια ματιά στον Βερεσσάγκιν, ο οποίος συνέχισε να στέκεται στην ίδια υποχωρητική στάση. Σαν να τον φούντωσε αυτό το βλέμμα, εκείνος, σηκώνοντας το χέρι του, σχεδόν φώναξε, γυρίζοντας προς τον κόσμο: - Ασχοληθείτε μαζί του με την κρίση σας! σου το δίνω!
Ο κόσμος ήταν σιωπηλός και πίεζε ο ένας τον άλλο όλο και πιο δυνατά. Το να κρατάμε ο ένας τον άλλον, να αναπνέουμε σε αυτή τη μολυσμένη εγγύτητα, να μην έχουμε τη δύναμη να κινηθούμε και να περιμένουμε κάτι άγνωστο, ακατανόητο και τρομερό γινόταν αφόρητο. Οι άνθρωποι που στέκονταν στις πρώτες σειρές, που έβλεπαν και άκουγαν όλα όσα συνέβαιναν μπροστά τους, όλοι με τρομαγμένα ορθάνοιχτα μάτια και ανοιχτά στόματα, ζορίζοντας με όλη τους τη δύναμη, κρατούσαν την πίεση των πίσω στην πλάτη τους.
-Ντύπα τον!.. Να πεθάνει ο προδότης και να μην ντροπιάζει το όνομα του Ρώσου! φώναξε ο Ραστόπτσιν. - Ρουμπίνι! Εγώ διατάζω! - Ακούγοντας όχι λόγια, αλλά τους θυμωμένους ήχους της φωνής του Ροστόπτσιν, το πλήθος βόγκηξε και προχώρησε, αλλά πάλι σταμάτησε.
- Κοντ! .. - είπε η δειλή και συνάμα θεατρική φωνή του Βερεσσάγκιν εν μέσω μιας στιγμιαίας σιωπής. «Κοντά, ένας θεός είναι από πάνω μας…» είπε ο Βερεσσάγκιν σηκώνοντας το κεφάλι του και πάλι η παχιά φλέβα στον λεπτό λαιμό του γέμισε αίμα και το χρώμα βγήκε γρήγορα και έφυγε από το πρόσωπό του. Δεν τελείωσε αυτό που ήθελε να πει.
- Κόψτε τον! Παραγγέλνω! .. - φώναξε ο Ροστόπτσιν, ξαφνικά χλωμός όπως ο Βερεσσάγκιν.
- Έξω τα σπαθιά! φώναξε ο αξιωματικός στους δράκους, τραβώντας ο ίδιος τη σπαθιά του.
Ένα άλλο ακόμα πιο δυνατό κύμα ξεπέρασε τους ανθρώπους και, έχοντας φτάσει στις πρώτες σειρές, αυτό το κύμα συγκίνησε τους μπροστινούς, τρεκλίζοντας, τους έφερε στα ίδια τα σκαλιά της βεράντας. Ένας ψηλός άντρας, με μια πετρωμένη έκφραση στο πρόσωπό του και με ένα σταματημένο σηκωμένο χέρι, στάθηκε δίπλα στον Βερεσσάγκιν.
- Ρουμπίνι! σχεδόν ψιθύρισε ένας αξιωματικός στους δράκους και ένας από τους στρατιώτες ξαφνικά, με ένα παραμορφωμένο πρόσωπο θυμού, χτύπησε τον Βερεσσάγκιν στο κεφάλι με ένα αμβλύ πλατύ σπαθί.
"ΑΛΛΑ!" - Ο Βερεσσάγκιν φώναξε σύντομα και έκπληκτος, κοιτάζοντας γύρω του τρομαγμένος και σαν να μην καταλάβαινε γιατί του έκαναν αυτό. Το ίδιο βογγητό έκπληξης και φρίκης διέτρεξε το πλήθος.
"Ω Θεέ μου!" - ακούστηκε το θλιβερό επιφώνημα κάποιου.
Αλλά μετά το επιφώνημα της έκπληξης που ξέφυγε από τον Βερεσσάγκιν, φώναξε παραπονεμένα από τον πόνο και αυτή η κραυγή τον κατέστρεψε. Αυτό το φράγμα του ανθρώπινου συναισθήματος, εκτεινόμενο στον υψηλότερο βαθμό, που κρατούσε ακόμα το πλήθος, έσπασε αμέσως. Το έγκλημα ξεκίνησε, ήταν απαραίτητο να ολοκληρωθεί. Το παραπονεμένο βογγητό της μομφής καταπνίγηκε από το τρομερό και θυμωμένο βρυχηθμό του πλήθους. Όπως το τελευταίο έβδομο κύμα που έσπασε πλοία, αυτό το τελευταίο ασταμάτητο κύμα ανέβηκε από τις πίσω σειρές, έφτασε στις μπροστινές, τις γκρέμισε και κατάπιε τα πάντα. Ο δράγουνος που είχε χτυπήσει ήθελε να επαναλάβει το χτύπημα του. Ο Vereshchagin με μια κραυγή φρίκης, θωρακισμένος με τα χέρια του, όρμησε στους ανθρώπους. Ο ψηλός, στον οποίο σκόνταψε, άρπαξε τον λεπτό λαιμό του Βερεσσάγκιν με τα χέρια του και με μια άγρια ​​κραυγή, μαζί του, έπεσε κάτω από τα πόδια του λαού που βρυχήθηκε που είχε στοιβαχτεί.
Κάποιοι χτύπησαν και έσκισαν τον Vereshchagin, άλλοι ήταν ψηλοί τύποι. Και οι κραυγές των συντετριμμένων ανθρώπων και εκείνων που προσπάθησαν να σώσουν τον ψηλό μόνο ξεσήκωσαν την οργή του πλήθους. Για πολύ καιρό οι δράκοι δεν μπορούσαν να ελευθερώσουν τον αιμόφυρτο, χτυπημένο μέχρι θανάτου εργάτη εργοστασίου. Και για πολύ καιρό, παρά την πυρετώδη βιασύνη με την οποία το πλήθος προσπάθησε να ολοκληρώσει το έργο που είχε ξεκινήσει, εκείνοι οι άνθρωποι που ξυλοκόπησαν, στραγγάλισαν και έσκισαν τον Vereshchagin δεν μπορούσαν να τον σκοτώσουν. αλλά το πλήθος τους συνέτριψε από όλες τις πλευρές, με αυτούς στη μέση, σαν μια μάζα, να κουνιούνται από άκρη σε άκρη και δεν τους έδωσε την ευκαιρία ούτε να τον τελειώσουν ούτε να τον αφήσουν.