Οι εργασίες πρόβλεψης βασίζονται στην αλλαγή ορισμένων δεδομένων με την πάροδο του χρόνου (πωλήσεις, ζήτηση, προσφορά, ΑΕΠ, εκπομπές άνθρακα, πληθυσμός ...) και την προβολή αυτών των αλλαγών στο μέλλον. Δυστυχώς, σύμφωνα με ιστορικά δεδομένα, οι τάσεις μπορούν να παραβιαστούν από πολλούς απρόβλεπτες περιστάσεις. Άρα τα δεδομένα στο μέλλον μπορεί να διαφέρουν σημαντικά από αυτά που συνέβησαν στο παρελθόν. Αυτό είναι το πρόβλημα με τις προβλέψεις.

Ωστόσο, υπάρχουν τεχνικές (που ονομάζονται εκθετική εξομάλυνση) που επιτρέπουν όχι μόνο να προσπαθήσουμε να προβλέψουμε το μέλλον, αλλά και να εκφράσουμε αριθμητικά την αβεβαιότητα για οτιδήποτε σχετίζεται με την πρόβλεψη. Η αριθμητική έκφραση της αβεβαιότητας με τη δημιουργία διαστημάτων πρόβλεψης είναι πραγματικά ανεκτίμητη, αλλά συχνά παραβλέπεται στον κόσμο των προβλέψεων.

Λήψη σημείωσης σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Αρχικά στοιχεία

Ας υποθέσουμε ότι είστε θαυμαστής του Άρχοντα των Δαχτυλιδιών και φτιάχνετε και πουλάτε σπαθιά εδώ και τρία χρόνια (Εικόνα 1). Ας εμφανίσουμε τις πωλήσεις γραφικά (Εικ. 2). Η ζήτηση διπλασιάστηκε σε τρία χρόνια - ίσως αυτή είναι μια τάση; Θα επανέλθουμε σε αυτήν την ιδέα λίγο αργότερα. Υπάρχουν αρκετές κορυφές και κοιλάδες στο διάγραμμα, που μπορεί να είναι σημάδι εποχικότητας. Συγκεκριμένα, οι κορυφές είναι στους μήνες 12, 24 και 36, που τυχαίνει να είναι Δεκέμβριος. Μήπως όμως είναι απλά μια σύμπτωση; Ας ανακαλύψουμε.

Απλή εκθετική εξομάλυνση

Μέθοδοι εκθετική εξομάλυνσηβασίζονται στην πρόβλεψη του μέλλοντος από δεδομένα από το παρελθόν, όπου οι νεότερες παρατηρήσεις βαραίνουν περισσότερο από τις παλαιότερες. Αυτή η στάθμιση είναι δυνατή λόγω σταθερών εξομάλυνσης. Η πρώτη μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης που θα δοκιμάσουμε ονομάζεται απλή εκθετική εξομάλυνση (SES). Χρησιμοποιεί μόνο μία σταθερά εξομάλυνσης.

Η απλή εκθετική εξομάλυνση προϋποθέτει ότι η χρονοσειρά δεδομένων σας έχει δύο στοιχεία: ένα επίπεδο (ή μέσο όρο) και κάποιο σφάλμα γύρω από αυτήν την τιμή. Δεν υπάρχει τάση ή εποχιακές διακυμάνσεις - υπάρχει απλώς ένα επίπεδο γύρω από το οποίο κυμαίνεται η ζήτηση, που περιβάλλεται από μικρά σφάλματα εδώ κι εκεί. Δίνοντας προτίμηση σε νεότερες παρατηρήσεις, το TEC μπορεί να προκαλέσει αλλαγές σε αυτό το επίπεδο. Στη γλώσσα των τύπων,

Ζήτηση τη στιγμή t = επίπεδο + τυχαίο σφάλμα γύρω από το επίπεδο τη χρονική στιγμή t

Πώς λοιπόν βρίσκετε την κατά προσέγγιση τιμή του επιπέδου; Εάν δεχθούμε όλες τις χρονικές τιμές να έχουν την ίδια τιμή, τότε θα πρέπει απλώς να υπολογίσουμε τη μέση τιμή τους. Ωστόσο, αυτή είναι μια κακή ιδέα. Θα πρέπει να δοθεί μεγαλύτερη βαρύτητα στις πρόσφατες παρατηρήσεις.

Ας δημιουργήσουμε μερικά επίπεδα. Υπολογίστε τη γραμμή βάσης για το πρώτο έτος:

επίπεδο 0 = μέση ζήτηση για το πρώτο έτος (μήνες 1-12)

Για τη ζήτηση ξίφους, είναι 163. Χρησιμοποιούμε το επίπεδο 0 (163) ως πρόβλεψη ζήτησης για τον μήνα 1. Η ζήτηση τον μήνα 1 είναι 165, δηλαδή 2 σπαθιά πάνω από το επίπεδο 0. Αξίζει να ενημερώσετε την προσέγγιση της γραμμής βάσης. Απλή εκθετική εξίσωση εξομάλυνσης:

επίπεδο 1 = επίπεδο 0 + μερικά τοις εκατό × (ζήτηση 1 - επίπεδο 0)

επίπεδο 2 = επίπεδο 1 + μερικά τοις εκατό × (ζήτηση 2 - επίπεδο 1)

Και τα λοιπά. Το "λίγα τοις εκατό" ονομάζεται σταθερά εξομάλυνσης και συμβολίζεται με άλφα. Μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από 0 έως 100% (0 έως 1). Θα μάθετε πώς να επιλέξετε μια τιμή άλφα αργότερα. ΣΤΟ γενική περίπτωσητιμή για διαφορετικά χρονικά σημεία:

Επίπεδο τρέχουσα περίοδος = επίπεδο προηγούμενης περιόδου +
alpha × (ζήτηση τρέχουσα περίοδος - επίπεδο προηγούμενης περιόδου)

Η μελλοντική ζήτηση είναι ίση με το τελευταίο υπολογιζόμενο επίπεδο (Εικ. 3). Επειδή δεν ξέρετε τι είναι το άλφα, ορίστε το κελί C2 σε 0,5 για αρχή. Αφού κατασκευαστεί το μοντέλο, βρείτε ένα άλφα τέτοιο ώστε το άθροισμα των τετραγώνων του σφάλματος να είναι E2 (ή τυπική απόκλιση– F2) ήταν ελάχιστες. Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε την επιλογή Εύρεση Λύσης. Για να το κάνετε αυτό, περάστε από το μενού ΔΕΔΟΜΕΝΑ –> Εύρεση Λύσης, και ρυθμίστε στο παράθυρο Επιλογές αναζήτησης λύσεωναπαιτούμενες τιμές (Εικ. 4). Για να εμφανίσετε τα αποτελέσματα της πρόβλεψης στο γράφημα, επιλέξτε πρώτα το εύρος A6:B41 και δημιουργήστε ένα απλό γραμμικό γράφημα. Στη συνέχεια, κάντε δεξί κλικ στο διάγραμμα, επιλέξτε την επιλογή Επιλέξτε δεδομένα.Στο παράθυρο που ανοίγει, δημιουργήστε μια δεύτερη σειρά και εισαγάγετε προβλέψεις από την περιοχή A42:B53 σε αυτήν (Εικ. 5).

Ίσως έχετε μια τάση

Για να ελεγχθεί αυτή η υπόθεση, αρκεί να ταιριάζει γραμμικής παλινδρόμησηςκάτω από τα δεδομένα ζήτησης και εκτελέστε ένα τεστ t για την άνοδο αυτής της γραμμής τάσης (όπως στο ). Εάν η κλίση της γραμμής είναι μη μηδενική και στατιστικά σημαντική (στη δοκιμή του Student, η τιμή Rλιγότερο από 0,05), τα δεδομένα έχουν τάση (Εικ. 6).

Χρησιμοποιήσαμε τη συνάρτηση LINEST, η οποία επιστρέφει 10 περιγραφικά στατιστικά(αν δεν έχετε χρησιμοποιήσει αυτή τη συνάρτηση πριν, τη συνιστώ) και τη λειτουργία INDEX, η οποία σας επιτρέπει να «βγάλετε» μόνο τα τρία απαιτούμενα στατιστικά στοιχεία και όχι ολόκληρο το σετ. Αποδείχθηκε ότι η κλίση είναι 2,54 και είναι σημαντική, αφού η δοκιμή του Student έδειξε ότι το 0,000000012 είναι σημαντικά μικρότερο από το 0,05. Άρα, υπάρχει μια τάση και μένει να την συμπεριλάβουμε στην πρόβλεψη.

Εκθετική εξομάλυνση Holt με διόρθωση τάσης

Συχνά αναφέρεται ως διπλή εκθετική εξομάλυνση επειδή έχει δύο παραμέτρους εξομάλυνσης, την άλφα και όχι μία. Εάν η χρονική ακολουθία έχει γραμμική τάση, τότε:

ζήτηση με την πάροδο του χρόνου t = επίπεδο + t × τάση + τυχαία απόκλισηεπίπεδο τη χρονική στιγμή t

Το Holt Exponential Smoothing με διόρθωση τάσης έχει δύο νέες εξισώσεις, μία για το επίπεδο καθώς προχωρά στο χρόνο και μία για την τάση. Η εξίσωση επιπέδου περιέχει την παράμετρο εξομάλυνσης άλφα και η εξίσωση τάσης περιέχει γάμμα. Δείτε πώς φαίνεται η εξίσωση νέου επιπέδου:

επίπεδο 1 = επίπεδο 0 + τάση 0 + άλφα × (ζήτηση 1 - (επίπεδο 0 + τάση 0))

σημειώστε ότι επίπεδο 0 + τάση 0είναι μόνο μια πρόβλεψη ενός βήματος από τις αρχικές τιμές έως τον μήνα 1, έτσι ζήτηση 1 – (επίπεδο 0 + τάση 0)είναι μια απόκλιση ενός σταδίου. Έτσι, η εξίσωση προσέγγισης του βασικού επιπέδου θα είναι η εξής:

επίπεδο τρέχουσας περιόδου = επίπεδο προηγούμενης περιόδου + τάση προηγούμενης περιόδου + άλφα × (ζήτηση τρέχουσας περιόδου - (επίπεδο προηγούμενης περιόδου) + τάση προηγούμενης περιόδου))

Εξίσωση ενημέρωσης τάσης:

τρέχουσα περίοδος τάσης = τάση προηγούμενη περίοδος + γάμμα × άλφα × (τρέχουσα περίοδος ζήτησης – (επίπεδο προηγούμενη περίοδο) + τάση προηγούμενη περίοδος))

Η εξομάλυνση με ολτ στο Excel είναι παρόμοια με την απλή εξομάλυνση (Εικ. 7) και, όπως παραπάνω, ο στόχος είναι να βρεθούν δύο συντελεστές ελαχιστοποιώντας ταυτόχρονα το άθροισμα των τετραγωνικών σφαλμάτων (Εικ. 8). Για να λάβετε το αρχικό επίπεδο και τις τιμές τάσης (στα κελιά C5 και D5 στο Σχήμα 7), δημιουργήστε ένα γράφημα για τους πρώτους 18 μήνες των πωλήσεων και προσθέστε μια γραμμή τάσης με μια εξίσωση σε αυτό. Εισαγάγετε την αρχική τιμή τάσης 0,8369 και το αρχικό επίπεδο 155,88 στα κελιά C5 και D5. Τα δεδομένα πρόβλεψης μπορούν να παρουσιαστούν γραφικά (Εικ. 9).

Ρύζι. 7. Εκθετική εξομάλυνση Holt με διόρθωση τάσης. Για να μεγεθύνετε μια εικόνα, κάντε δεξί κλικ πάνω της και επιλέξτε Άνοιγμα εικόνας σε νέα καρτέλα

Εύρεση προτύπων σε δεδομένα

Υπάρχει ένας τρόπος να δοκιμάσετε το μοντέλο πρόβλεψης για αντοχή - να συγκρίνετε τα σφάλματα με τον εαυτό τους, μετατοπισμένα κατά ένα βήμα (ή πολλά βήματα). Εάν οι αποκλίσεις είναι τυχαίες, τότε το μοντέλο δεν μπορεί να βελτιωθεί. Ωστόσο, μπορεί να υπάρχει ένας εποχιακός παράγοντας στα δεδομένα της ζήτησης. Η έννοια ενός σφάλματος που συσχετίζεται με τη δική του έκδοση σε διαφορετική περίοδο ονομάζεται αυτοσυσχέτιση (για περισσότερα σχετικά με την αυτοσυσχέτιση, βλ. ). Για να υπολογίσετε την αυτοσυσχέτιση, ξεκινήστε με δεδομένα σφάλματος πρόβλεψης για κάθε περίοδο (μεταφέρετε τη στήλη F στο Σχήμα 7 στη στήλη Β στο Σχήμα 10). Επόμενος ορισμός μέσο σφάλμαπρόβλεψη (Εικόνα 10, κελί B39, τύπος στο κελί: =AVERAGE(B3:B38)). Στη στήλη Γ, υπολογίστε την απόκλιση του σφάλματος πρόβλεψης από τον μέσο όρο. τύπος στο κελί C3: =B3-B$39. Στη συνέχεια, μετατοπίστε διαδοχικά τη στήλη C μια στήλη προς τα δεξιά και μια γραμμή προς τα κάτω. Τύποι στα κελιά D39: =SUMPRODUCT($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

Τι μπορεί να σημαίνει η «σύγχρονη κίνηση» με τη στήλη Γ για μία από τις στήλες D: O. Για παράδειγμα, εάν οι στήλες Γ και Δ είναι σύγχρονες, τότε ένας αριθμός που είναι αρνητικός σε μία από αυτές πρέπει να είναι αρνητικός στην άλλη, θετικός στη μία , θετικός στον φίλο. Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των γινομένων των δύο στηλών θα είναι σημαντικό (συσσωρεύονται οι διαφορές). Ή, που είναι το ίδιο, όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η τιμή στην περιοχή D41:O41, τόσο χαμηλότερη είναι η συσχέτιση της στήλης (αντίστοιχα από το D στο O) με τη στήλη C (Εικ. 11).

Μία αυτοσυσχέτιση είναι πάνω από την κρίσιμη τιμή. Το σφάλμα μετατόπισης του έτους συσχετίζεται με τον εαυτό του. Αυτό σημαίνει εποχιακό κύκλο 12 μηνών. Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη. Αν κοιτάξετε το γράφημα ζήτησης (Εικόνα 2), αποδεικνύεται ότι υπάρχουν κορυφές στη ζήτηση κάθε Χριστούγεννα και βουτιές τον Απρίλιο-Μάιο. Εξετάστε μια τεχνική πρόβλεψης που λαμβάνει υπόψη την εποχικότητα.

Πολλαπλασιαστική εκθετική εξομάλυνση Holt-Winters

Η μέθοδος ονομάζεται πολλαπλασιαστική (από πολλαπλασιάζω - πολλαπλασιάζω), επειδή χρησιμοποιεί τον πολλαπλασιασμό για να υπολογίσει την εποχικότητα:

Ζήτηση τη στιγμή t = (επίπεδο + t × τάση) × εποχιακή προσαρμογή τη χρονική στιγμή t × τυχόν υπολειπόμενες ακανόνιστες προσαρμογές που δεν μπορούμε να λάβουμε υπόψη

Η εξομάλυνση Holt-Winters ονομάζεται επίσης τριπλή εκθετική εξομάλυνση επειδή έχει τρεις παραμέτρους εξομάλυνσης (εποχιακός παράγοντας άλφα, γάμμα και δέλτα). Για παράδειγμα, εάν υπάρχει εποχιακός κύκλος 12 μηνών:

Μηνιαία πρόβλεψη 39 = (επίπεδο 36 + 3 × τάση 36) x εποχικότητα 27

Κατά την ανάλυση των δεδομένων, είναι απαραίτητο να μάθετε ποια είναι η τάση στις σειρές δεδομένων και ποια η εποχικότητα. Για να εκτελέσετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Holt-Winters, πρέπει:

• Ομαλά ιστορικά δεδομένα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κινητού μέσου όρου.
• Συγκρίνετε την ομαλοποιημένη έκδοση της χρονοσειράς με την αρχική για να λάβετε μια πρόχειρη εκτίμηση της εποχικότητας.
• Λάβετε νέα δεδομένα χωρίς εποχικό στοιχείο.
• Βρείτε προσεγγίσεις επιπέδου και τάσεων με βάση αυτά τα νέα δεδομένα.

Ξεκινήστε με τα αρχικά δεδομένα (στήλες A και B στο Σχήμα 12) και προσθέστε τη στήλη C με εξομαλυνόμενες τιμές με βάση τον κινητό μέσο όρο. Δεδομένου ότι η εποχικότητα έχει κύκλους 12 μηνών, είναι λογικό να χρησιμοποιείται ένας μέσος όρος 12 μηνών. Υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα με αυτόν τον μέσο όρο. Το 12 είναι ζυγός αριθμός. Εάν εξομαλύνετε τη ζήτηση για τον 7ο μήνα, θα πρέπει να θεωρείται η μέση ζήτηση από τον 1ο έως τον 12ο μήνα ή από τον 2ο έως τον 13ο μήνα; Για να αντιμετωπίσουμε αυτή τη δυσκολία, πρέπει να εξομαλύνουμε τη ζήτηση χρησιμοποιώντας έναν "κινούμενο μέσο όρο 2x12". Δηλαδή, πάρτε τους μισούς από τους δύο μέσους όρους από τους μήνες 1 έως 12 και από 2 έως 13. Ο τύπος στο κελί C8 είναι: =(AVERAGE(B3:B14)+AVERAGE(B2:B13))/2.

Δεν μπορούν να ληφθούν εξομαλυντικά δεδομένα για τους μήνες 1-6 και 31-36, επειδή δεν υπάρχουν αρκετές προηγούμενες και επόμενες περίοδοι. Για λόγους σαφήνειας, τα αρχικά και τα εξομαλυνόμενα δεδομένα μπορούν να παρουσιαστούν σε ένα διάγραμμα (Εικ. 13).

Τώρα, στη στήλη D, διαιρέστε την αρχική τιμή με την εξομαλυνόμενη τιμή για να λάβετε μια εκτίμηση της εποχικής προσαρμογής (στήλη D στο Σχήμα 12). Τύπος στο κελί D8: =B8/C8. Σημειώστε αιχμές 20% πάνω από την κανονική ζήτηση τους μήνες 12 και 24 (Δεκέμβριος) ενώ υπάρχουν πτώσεις την άνοιξη. Αυτή η τεχνική εξομάλυνσης σας έδωσε δύο σημειακές εκτιμήσειςγια κάθε μήνα (σύνολο 24 μήνες). Η στήλη Ε είναι ο μέσος όρος αυτών των δύο παραγόντων. Ο τύπος στο κελί E1 είναι: =AVERAGE(D14,D26). Για λόγους σαφήνειας, το επίπεδο των εποχιακών διακυμάνσεων μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά (Εικ. 14).

Τώρα μπορείτε να λάβετε εποχικά προσαρμοσμένα δεδομένα. Τύπος στο κελί G1: =B2/E2. Δημιουργήστε ένα γράφημα με βάση τα δεδομένα της στήλης G, συμπληρώστε το με μια γραμμή τάσης, εμφανίστε την εξίσωση τάσης στο γράφημα (Εικ. 15) και χρησιμοποιήστε τους συντελεστές σε επόμενους υπολογισμούς.

μορφή ΝΕΟ ΦΥΛΛΟ, όπως φαίνεται στο σχ. 16. Αντικαταστήστε τις τιμές στην περιοχή E5:E16 από το σχ. 12 περιοχές Ε2:Ε13. Πάρτε τις τιμές των C16 και D16 από την εξίσωση της γραμμής τάσης στο σχήμα. 15. Ορίστε τις τιμές των σταθερών εξομάλυνσης να ξεκινούν από περίπου 0,5. Αναπτύξτε τις τιμές στη σειρά 17 στο εύρος των μηνών 1 έως 36. Εκτέλεση Εύρεση Λύσηςγια τη βελτιστοποίηση των συντελεστών εξομάλυνσης (Εικ. 18). Τύπος στο κελί B53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Τώρα στην πρόβλεψη που έγινε, πρέπει να ελέγξετε τις αυτοσυσχετίσεις (Εικ. 18). Δεδομένου ότι όλες οι τιμές βρίσκονται μεταξύ των άνω και κάτω ορίων, καταλαβαίνετε ότι το μοντέλο έκανε καλή δουλειά στην κατανόηση της δομής των τιμών ζήτησης.

Χτίζοντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης για την πρόβλεψη

Έτσι, έχουμε μια αρκετά λειτουργική πρόβλεψη. Πώς ορίζετε τα πάνω και τα κάτω όρια που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κάνετε ρεαλιστικές εικασίες; Η προσομοίωση Monte Carlo, την οποία έχετε ήδη γνωρίσει (δείτε επίσης ), θα σας βοηθήσει σε αυτό. Το θέμα είναι να δημιουργηθούν μελλοντικά σενάρια συμπεριφοράς ζήτησης και να προσδιοριστεί η ομάδα στην οποία ανήκει το 95% αυτών.

Αφαιρέστε από το φύλλο Πρόβλεψη Excelαπό τα κελιά B53:B64 (βλ. Εικ. 17). Θα γράψετε ζήτηση εκεί με βάση την προσομοίωση. Το τελευταίο μπορεί να δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση NORMINV. Για τους επόμενους μήνες, θα πρέπει απλώς να του παρέχετε τη μέση τιμή (0), την τυπική κατανομή (10,37 από το κελί $H$2) και τυχαίος αριθμόςαπό 0 έως 1. Η συνάρτηση θα επιστρέψει την απόκλιση με πιθανότητα που αντιστοιχεί στην καμπύλη καμπάνας. Βάλτε μια προσομοίωση σφάλματος ενός βήματος στο κελί G53: =NORMINV(RAND();0;H$2). Η επέκταση αυτού του τύπου στο G64 σάς παρέχει προσομοιώσεις του σφάλματος πρόβλεψης για μια πρόβλεψη ενός βήματος 12 μηνών (Εικόνα 19). Οι τιμές της προσομοίωσής σας θα διαφέρουν από αυτές που φαίνονται στο σχήμα (γι' αυτό είναι προσομοίωση!).

Με το Forecast Error, έχετε όλα όσα χρειάζεστε για να ενημερώσετε το επίπεδο, την τάση και τον εποχιακό παράγοντα. Επιλέξτε λοιπόν τα κελιά C52:F52 και τεντώστε τα στη σειρά 64. Ως αποτέλεσμα, έχετε ένα προσομοιωμένο σφάλμα πρόβλεψης και την ίδια την πρόβλεψη. Από το αντίθετο, είναι δυνατό να προβλεφθούν οι τιμές της ζήτησης. Εισαγάγετε τον τύπο στο κελί B53: =F53+G53 και τεντώστε τον στο B64 (Εικ. 20, περιοχή B53:F64). Τώρα μπορείτε να πατήσετε το κουμπί F9, κάθε φορά που ενημερώνετε την πρόβλεψη. Τοποθετήστε τα αποτελέσματα 1000 προσομοιώσεων στα κελιά A71:L1070, μεταφέροντας κάθε φορά τιμές από την περιοχή B53:B64 στην περιοχή A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Αν σας ενοχλεί, γράψτε τον κωδικό VBA.

Τώρα έχετε 1000 σενάρια για κάθε μήνα και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση PERCENTILE για να λάβετε τα άνω και κάτω όρια στη μέση του διαστήματος εμπιστοσύνης 95%. Στο κελί A66, ο τύπος είναι: =PERCENTILE(A71:A1070,0,975) και στο κελί A67: =PERCENTILE(A71:A1070,0,025).

Ως συνήθως, για λόγους σαφήνειας, τα δεδομένα μπορούν να παρουσιαστούν στο γραφική μορφή(Εικ. 21).

Υπάρχουν δύο ενδιαφέροντα σημεία στο διάγραμμα:

• Το περιθώριο σφάλματος αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Είναι λογικό. Η αβεβαιότητα συσσωρεύεται κάθε μήνα.
• Με τον ίδιο τρόπο, το σφάλμα αυξάνεται στα ανταλλακτικά που εμπίπτουν σε περιόδους εποχικής αύξησης της ζήτησης. Με την επακόλουθη πτώση του, το σφάλμα συρρικνώνεται.

Βασισμένο σε υλικό από ένα βιβλίο του John Foreman. – M.: Alpina Publisher, 2016. – S. 329–381

Θέμα 3. Εξομάλυνση και πρόβλεψη χρονοσειρών με βάση μοντέλα τάσεων

σκοπόςη μελέτη αυτού του θέματος είναι η δημιουργία μιας βασικής βάσης για την εκπαίδευση των διευθυντών στην ειδικότητα 080507 στον τομέα της κατασκευής μοντέλων διαφόρων εργασιών στον τομέα της οικονομίας, η διαμόρφωση μιας συστηματικής προσέγγισης για τον καθορισμό και την επίλυση προβλημάτων πρόβλεψης μεταξύ των μαθητών . Το προτεινόμενο μάθημα θα επιτρέψει στους ειδικούς να προσαρμοστούν γρήγορα πρακτική δουλειά, είναι καλύτερο να περιηγηθείτε στις επιστημονικές και τεχνικές πληροφορίες και βιβλιογραφία στην ειδικότητα, για να λάβετε πιο σίγουρες αποφάσεις που προκύπτουν στην εργασία. Κύριος καθήκοντατα θέματα μελέτης είναι: να αποκτήσουν οι μαθητές σε βάθος θεωρητική γνώσησχετικά με την εφαρμογή μοντέλων πρόβλεψης, την απόκτηση σταθερών δεξιοτήτων στην εκτέλεση ερευνητικών εργασιών, την ικανότητα επίλυσης πολύπλοκων επιστημονικά προβλήματασχετίζεται με την κατασκευή μοντέλων, συμπεριλαμβανομένων των πολυδιάστατων, την ικανότητα λογικής ανάλυσης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται και προσδιορισμού τρόπων εύρεσης αποδεκτών λύσεων.

Αρκετά απλή μέθοδοςΟ προσδιορισμός των τάσεων ανάπτυξης είναι η εξομάλυνση των χρονοσειρών, δηλαδή η αντικατάσταση των πραγματικών επιπέδων με υπολογισμένα που έχουν μικρότερες διακυμάνσεις από τα αρχικά δεδομένα. Ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ονομάζεται φιλτράρισμα. Ας εξετάσουμε διάφορες μεθόδους εξομάλυνσης.

3.1. απλοί μέσοι όροι

Ο στόχος της εξομάλυνσης είναι η οικοδόμηση ενός μοντέλου πρόβλεψης για μελλοντικές περιόδους με βάση τις προηγούμενες παρατηρήσεις. Στη μέθοδο των απλών μέσων όρων, οι τιμές της μεταβλητής λαμβάνονται ως αρχικά δεδομένα Υσε χρονικά σημεία t, και η τιμή πρόβλεψης καθορίζεται ως απλός μέσος όρος για την επόμενη χρονική περίοδο. Τύπος υπολογισμούέχει τη μορφή

όπου nαριθμός παρατηρήσεων.

Στην περίπτωση που διατίθεται νέα παρατήρηση, η πρόβλεψη που ελήφθη πρόσφατα θα πρέπει επίσης να λαμβάνεται υπόψη για την πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Κατά τη χρήση αυτής της μεθόδου, η πρόβλεψη πραγματοποιείται με τον μέσο όρο όλων των προηγούμενων δεδομένων, ωστόσο, το μειονέκτημα μιας τέτοιας πρόβλεψης είναι η δυσκολία χρήσης της σε μοντέλα τάσεων.

3.2. Μέθοδος κινητού μέσου όρου

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην αναπαράσταση της σειράς ως το άθροισμα μιας αρκετά ομαλής τάσης και τυχαίο συστατικό. Η μέθοδος βασίζεται στην ιδέα του υπολογισμού της θεωρητικής τιμής με βάση μια τοπική προσέγγιση. Για να δημιουργήσετε μια εκτίμηση τάσης σε ένα σημείο tαπό τις τιμές της σειράς από το χρονικό διάστημα υπολογίστε τη θεωρητική τιμή της σειράς. Πιο διαδεδομένοστην πρακτική της εξομάλυνσης σειρών, πήρα την περίπτωση όταν όλα τα βάρη για τα στοιχεία του διαστήματος είναι ίσα μεταξύ τους. Για το λόγο αυτό, αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος κινούμενου μέσου όρου,αφού όταν εκτελείται η διαδικασία, ένα παράθυρο με πλάτος του (2 m + 1)σε όλη τη σειρά. Το πλάτος του παραθύρου συνήθως λαμβάνεται μονό, αφού η θεωρητική τιμή υπολογίζεται για την κεντρική τιμή: τον αριθμό των όρων k = 2m + 1Με τον ίδιο αριθμόεπίπεδα αριστερά και δεξιά της στιγμής t.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του κινητού μέσου όρου σε αυτήν την περίπτωση έχει τη μορφή:

Η διασπορά του κινητού μέσου όρου ορίζεται ως σ 2 /k,όπου μέσω σ2υποδηλώνει τη διακύμανση των αρχικών όρων της σειράς, και κδιάστημα εξομάλυνσης, επομένως όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα εξομάλυνσης, τόσο ισχυρότερος είναι ο μέσος όρος των δεδομένων και τόσο λιγότερο μεταβλητή είναι η τάση. Τις περισσότερες φορές, η εξομάλυνση εκτελείται σε τρία, πέντε και επτά μέλη της αρχικής σειράς. Ταυτόχρονα, θα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη του τα ακόλουθα χαρακτηριστικάκινούμενος μέσος όρος: αν λάβουμε υπόψη μια σειρά με περιοδικές διακυμάνσειςσταθερού μήκους, η εξομάλυνση με βάση τον κινητό μέσο όρο με διάστημα εξομάλυνσης ίσο ή πολλαπλάσιο της περιόδου θα εξαλείψει πλήρως τις διακυμάνσεις. Συχνά, η εξομάλυνση βάσει ενός κινούμενου μέσου όρου μετασχηματίζει τη σειρά τόσο έντονα που η προσδιορισμένη τάση ανάπτυξης εκδηλώνεται μόνο στα περισσότερα σε γενικούς όρους, και μικρότερες, αλλά σημαντικές για ανάλυση λεπτομέρειες (κύματα, στροφές, κ.λπ.) εξαφανίζονται. μετά την εξομάλυνση, τα μικρά κύματα μπορούν μερικές φορές να αλλάξουν κατεύθυνση προς τα αντίθετα «κοίλώματα» εμφανίζονται στη θέση των «κορυφών» και αντίστροφα. Όλα αυτά απαιτούν προσοχή στη χρήση ενός απλού κινούμενου μέσου όρου και αναγκάζουν κάποιον να αναζητήσει πιο λεπτές μεθόδους περιγραφής.

Η μέθοδος κινητού μέσου όρου δεν δίνει τιμές τάσης για την πρώτη και την τελευταία Μμέλη της σειράς. Αυτή η έλλειψη είναι ιδιαίτερα αισθητή στην περίπτωση που το μήκος της σειράς είναι μικρό.

3.3. Εκθετική εξομάλυνση

Εκθετικός Μέσος όρος y tείναι ένα παράδειγμα ασύμμετρου σταθμισμένου κινητού μέσου όρου που λαμβάνει υπόψη τον βαθμό γήρανσης των δεδομένων: "παλαιότερες" πληροφορίες με μικρότερο βάρος εισέρχονται στον τύπο για τον υπολογισμό της εξομαλυνόμενης τιμής του επιπέδου της σειράς

Εδώ — εκθετικός μέσος που αντικαθιστά την παρατηρούμενη τιμή της σειράς y t(η εξομάλυνση περιλαμβάνει όλα τα δεδομένα που λαμβάνονται σε τρέχουσα στιγμή t), α παράμετρος εξομάλυνσης που χαρακτηρίζει το βάρος της τρέχουσας (νεότερης) παρατήρησης. 0< α <1.

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη μη στάσιμων χρονοσειρών με τυχαίες αλλαγές στο επίπεδο και την κλίση. Καθώς απομακρυνόμαστε από την τρέχουσα χρονική στιγμή στο παρελθόν, το βάρος του αντίστοιχου όρου της σειράς μειώνεται γρήγορα (εκθετικά) και πρακτικά παύει να έχει καμία επίδραση στην τιμή του .

Είναι εύκολο να δούμε ότι η τελευταία σχέση μας επιτρέπει να δώσουμε την ακόλουθη ερμηνεία του εκθετικού μέσου όρου: αν — πρόβλεψη τιμής σειράς y t, τότε η διαφορά είναι το σφάλμα πρόβλεψης. Η πρόβλεψη λοιπόν για το επόμενο χρονικό σημείο t+1λαμβάνει υπόψη όσα έγιναν γνωστά αυτή τη στιγμή tσφάλμα πρόβλεψης.

Επιλογή εξομάλυνσης α είναι ένας παράγοντας στάθμισης. Αν α κοντά στην ενότητα, τότε η πρόβλεψη λαμβάνει σημαντικά υπόψη το μέγεθος του σφάλματος της τελευταίας πρόβλεψης. Για μικρές αξίες α η προβλεπόμενη τιμή είναι κοντά στην προηγούμενη πρόβλεψη. Η επιλογή της παραμέτρου εξομάλυνσης είναι ένα αρκετά περίπλοκο πρόβλημα. Οι γενικές εκτιμήσεις είναι οι εξής: η μέθοδος είναι καλή για την πρόβλεψη επαρκώς ομαλών σειρών. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί κανείς να επιλέξει μια σταθερά εξομάλυνσης ελαχιστοποιώντας το σφάλμα πρόβλεψης ενός βήματος μπροστά που εκτιμάται από το τελευταίο τρίτο της σειράς. Ορισμένοι ειδικοί δεν συνιστούν τη χρήση μεγάλων τιμών της παραμέτρου εξομάλυνσης. Στο σχ. Το 3.1 δείχνει ένα παράδειγμα εξομάλυνσης σειράς που χρησιμοποιεί τη μέθοδο εκθετικής εξομάλυνσης για α= 0,1.

Ρύζι. 3.1. Το αποτέλεσμα της εκθετικής εξομάλυνσης στο α =0,1
(1 πρωτότυπη σειρά, 2 λειασμένες σειρές, 3 υπολείμματα)

3.4. Εκθετική εξομάλυνση
βάσει τάσεων (μέθοδος Holt)

Αυτή η μέθοδος λαμβάνει υπόψη την τοπική γραμμική τάση που υπάρχει στις χρονοσειρές. Εάν υπάρχει ανοδική τάση στη χρονοσειρά, τότε μαζί με την εκτίμηση του τρέχοντος επιπέδου, είναι απαραίτητη και η εκτίμηση της κλίσης. Στην τεχνική Holt, οι τιμές στάθμης και κλίσης εξομαλύνονται απευθείας χρησιμοποιώντας διαφορετικές σταθερές για κάθε μία από τις παραμέτρους. Οι σταθερές εξομάλυνσης σάς επιτρέπουν να υπολογίζετε το τρέχον επίπεδο και κλίση, βελτιώνοντάς τα κάθε φορά που γίνονται νέες παρατηρήσεις.

Η μέθοδος Holt χρησιμοποιεί τρεις τύπους υπολογισμού:

1. Εκθετικά εξομαλυνθείσα σειρά (εκτίμηση τρέχοντος επιπέδου)

(3.2)

1. Αξιολόγηση τάσεων

(3.3)

1. Πρόβλεψη για Rεπόμενες περιόδους

(3.4)

όπου α, β εξομάλυνση σταθερών από το διάστημα .

Η εξίσωση (3.2) είναι παρόμοια με την εξίσωση (3.1) για απλή εκθετική εξομάλυνση εκτός από τον όρο τάσης. Συνεχής β απαιτείται για την εξομάλυνση της εκτίμησης της τάσης. Στην εξίσωση πρόβλεψης (3.3), η εκτίμηση της τάσης πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό των περιόδων R, στο οποίο βασίζεται η πρόβλεψη και, στη συνέχεια, αυτό το προϊόν προστίθεται στο τρέχον επίπεδο εξομάλυνσης δεδομένων.

Μόνιμος α και β επιλέγονται υποκειμενικά ή ελαχιστοποιώντας το σφάλμα πρόβλεψης. Όσο μεγαλύτερες είναι οι τιμές των βαρών που λαμβάνονται, τόσο πιο γρήγορα θα πραγματοποιείται η απόκριση στις συνεχείς αλλαγές και τα δεδομένα θα εξομαλύνονται. Τα μικρότερα βάρη κάνουν τη δομή των εξομαλυνόμενων τιμών λιγότερο επίπεδη.

Στο σχ. Το 3.2 δείχνει ένα παράδειγμα εξομάλυνσης μιας σειράς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Holt για τιμές α και β ίσο με 0,1.

Ρύζι. 3.2. Αποτέλεσμα λείανσης Holt
στο α = 0,1 και β = 0,1

3.5. Εκθετική εξομάλυνση με τάσεις και εποχιακές παραλλαγές (μέθοδος χειμώνα)

Εάν υπάρχουν εποχιακές διακυμάνσεις στη δομή δεδομένων, το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης τριών παραμέτρων που προτείνεται από τον Winters χρησιμοποιείται για τη μείωση των σφαλμάτων πρόβλεψης. Αυτή η προσέγγιση είναι μια επέκταση του προηγούμενου μοντέλου Holt. Για να ληφθούν υπόψη οι εποχιακές διακυμάνσεις, χρησιμοποιείται εδώ μια πρόσθετη εξίσωση και αυτή η μέθοδος περιγράφεται πλήρως από τέσσερις εξισώσεις:

1. Εκθετικά εξομαλυνθείσα σειρά

(3.5)

1. Αξιολόγηση τάσεων

(3.6)

1. Εκτίμηση εποχικότητας

.

(3.7)

1. Πρόβλεψη για Rεπόμενες περιόδους

(3.8)

όπου α, β, γ σταθερή εξομάλυνση για επίπεδο, τάση και εποχικότητα, αντίστοιχα. μικρό- τη διάρκεια της περιόδου εποχικής διακύμανσης.

Η εξίσωση (3.5) διορθώνει την εξομαλυνόμενη σειρά. Σε αυτή την εξίσωση, ο όρος λαμβάνει υπόψη την εποχικότητα στα αρχικά δεδομένα. Αφού ληφθούν υπόψη η εποχικότητα και η τάση στις εξισώσεις (3.6), (3.7), οι εκτιμήσεις εξομαλύνονται και γίνεται μια πρόβλεψη στην εξίσωση (3.8).

Όπως και στην προηγούμενη μέθοδο, τα βάρη α, β, γ μπορεί να επιλεγεί υποκειμενικά ή ελαχιστοποιώντας το σφάλμα πρόβλεψης. Πριν από την εφαρμογή της εξίσωσης (3.5), είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι αρχικές τιμές για την εξομαλυνόμενη σειρά L t, τάση T t, συντελεστές εποχικότητας S t. Συνήθως, η αρχική τιμή της εξομαλυνόμενης σειράς λαμβάνεται ίση με την πρώτη παρατήρηση, στη συνέχεια η τάση είναι μηδέν και οι εποχικοί συντελεστές ορίζονται ίσοι με ένα.

Στο σχ. Το 3.3 δείχνει ένα παράδειγμα εξομάλυνσης μιας σειράς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Winters.

Ρύζι. 3.3. Το αποτέλεσμα της εξομάλυνσης με τη μέθοδο Winters
στο α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1(1- αρχική σειρά, 2 λειασμένες σειρές, 3 υπολείμματα)

3.6. Πρόβλεψη βασισμένη σε μοντέλα τάσεων

Αρκετά συχνά οι χρονοσειρές έχουν γραμμική τάση (τάση). Υποθέτοντας μια γραμμική τάση, πρέπει να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή που θα αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια τη μεταβολή της δυναμικής κατά την υπό εξέταση περίοδο. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την κατασκευή μιας ευθείας γραμμής, αλλά η πιο αντικειμενική από τυπική άποψη θα είναι μια κατασκευή που βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των αρνητικών και θετικών αποκλίσεων των αρχικών τιμών της σειράς από μια ευθεία γραμμή.

Μια ευθεία γραμμή σε σύστημα δύο συντεταγμένων (x, y)μπορεί να οριστεί ως το σημείο τομής μιας από τις συντεταγμένες στοκαι η γωνία κλίσης προς τον άξονα Χ.Η εξίσωση για μια τέτοια ευθεία θα μοιάζει όπου ένα-Σημείο τομής? σιγωνία κλίσης.

Προκειμένου η ευθεία γραμμή να αντικατοπτρίζει την πορεία της δυναμικής, είναι απαραίτητο να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα των κατακόρυφων αποκλίσεων. Όταν χρησιμοποιείται ως κριτήριο για την εκτίμηση της ελαχιστοποίησης ενός απλού αθροίσματος αποκλίσεων, το αποτέλεσμα δεν θα είναι πολύ καλό, αφού οι αρνητικές και οι θετικές αποκλίσεις αλληλοεξουδετερώνονται. Η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των απόλυτων τιμών δεν οδηγεί επίσης σε ικανοποιητικά αποτελέσματα, καθώς οι εκτιμήσεις παραμέτρων σε αυτήν την περίπτωση είναι ασταθείς, υπάρχουν επίσης υπολογιστικές δυσκολίες στην εφαρμογή μιας τέτοιας διαδικασίας εκτίμησης. Επομένως, η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη διαδικασία είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων ή μέθοδος ελάχιστου τετραγώνου(ΜΝΚ).

Δεδομένου ότι η σειρά των αρχικών τιμών έχει διακυμάνσεις, το μοντέλο της σειράς θα περιέχει σφάλματα, τα τετράγωνα των οποίων πρέπει να ελαχιστοποιηθούν

όπου y παρατήρησα τιμή. y i * θεωρητικές τιμές του μοντέλου. αριθμός παρατήρησης.

Όταν μοντελοποιούμε την τάση της αρχικής χρονοσειράς χρησιμοποιώντας μια γραμμική τάση, θα το υποθέσουμε

Διαιρώντας την πρώτη εξίσωση με n, φτάνουμε στο επόμενο

Αντικαθιστώντας την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (3.10), για τον συντελεστή σι*παίρνουμε:

3.7. Έλεγχος προσαρμογής μοντέλου

Για παράδειγμα, στο σχ. Το 3.4 δείχνει ένα γράφημα γραμμικής παλινδρόμησης μεταξύ της ισχύος του αυτοκινήτου Χκαι το κόστος του στο.

Ρύζι. 3.4. Γράφημα γραμμικής παλινδρόμησης

Η εξίσωση για αυτή την περίπτωση είναι: στο=1455,3 + 13,4 Χ. Η οπτική ανάλυση αυτού του σχήματος δείχνει ότι για έναν αριθμό παρατηρήσεων υπάρχουν σημαντικές αποκλίσεις από τη θεωρητική καμπύλη. Το υπολειπόμενο γράφημα φαίνεται στο Σχ. 3.5.

Ρύζι. 3.5. Διάγραμμα υπολειμμάτων

Η ανάλυση των υπολειμμάτων της γραμμής παλινδρόμησης μπορεί να παρέχει ένα χρήσιμο μέτρο για το πόσο καλά η εκτιμώμενη παλινδρόμηση αντικατοπτρίζει τα πραγματικά δεδομένα. Μια καλή παλινδρόμηση είναι αυτή που εξηγεί μια σημαντική ποσότητα διακύμανσης και, αντιστρόφως, μια κακή παλινδρόμηση δεν παρακολουθεί μια μεγάλη ποσότητα διακυμάνσεων στα αρχικά δεδομένα. Είναι διαισθητικά σαφές ότι οποιαδήποτε πρόσθετη πληροφορία θα βελτιώσει το μοντέλο, δηλαδή θα μειώσει το ανεξήγητο κλάσμα της παραλλαγής της μεταβλητής στο. Για να αναλύσουμε την παλινδρόμηση, θα αποσυνθέσουμε τη διακύμανση σε συνιστώσες. Είναι προφανές ότι

Ο τελευταίος όρος θα είναι ίσος με μηδέν, αφού είναι το άθροισμα των υπολοίπων, οπότε καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα

όπου SS0, SS1, SS2προσδιορίστε το σύνολο, την παλινδρόμηση και τα υπολειπόμενα αθροίσματα των τετραγώνων, αντίστοιχα.

Το άθροισμα της παλινδρόμησης των τετραγώνων μετρά το τμήμα της διακύμανσης που εξηγείται από μια γραμμική σχέση. υπολειπόμενο τμήμα της διασποράς, που δεν εξηγείται από μια γραμμική εξάρτηση.

Κάθε ένα από αυτά τα αθροίσματα χαρακτηρίζεται από έναν αντίστοιχο αριθμό βαθμών ελευθερίας (HR), ο οποίος καθορίζει τον αριθμό των μονάδων δεδομένων που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, ο καρδιακός ρυθμός σχετίζεται με τον αριθμό των παρατηρήσεων nκαι τον αριθμό των παραμέτρων που υπολογίζεται από το σύνολο αυτών των παραμέτρων. Στην υπό εξέταση περίπτωση να υπολογίσουμε SS0 προσδιορίζεται μόνο μία σταθερά (μέση τιμή), επομένως ο καρδιακός ρυθμός για SS0 θα είναι (ν– 1), καρδιακός ρυθμός για SS 2 - (n - 2)και καρδιακός ρυθμός για SS 1θα είναι n - (n - 1)=1, αφού υπάρχουν n - 1 σταθερά σημεία στην εξίσωση παλινδρόμησης. Ακριβώς όπως τα αθροίσματα των τετραγώνων, οι καρδιακοί παλμοί σχετίζονται με

Τα αθροίσματα των τετραγώνων που σχετίζονται με την αποσύνθεση της διακύμανσης, μαζί με τους αντίστοιχους καρδιακούς παλμούς, μπορούν να τοποθετηθούν στον λεγόμενο πίνακα ανάλυσης διακύμανσης (ANOVA ANAlysis Of VAriance table) (Πίνακας 3.1).

Πίνακας 3.1

τραπέζι ANOVA

Πηγή	Άθροισμα τετραγώνων		Μεσαίο τετράγωνο
Οπισθοδρόμηση			SS2/ (n-2)

Χρησιμοποιώντας την εισαγόμενη συντομογραφία για αθροίσματα τετραγώνων, ορίζουμε συντελεστή προσδιορισμούως ο λόγος του αθροίσματος της παλινδρόμησης των τετραγώνων προς το συνολικό άθροισμα των τετραγώνων ως

(3.13)

Ο συντελεστής προσδιορισμού μετρά την αναλογία μεταβλητότητας σε μια μεταβλητή Υ, το οποίο μπορεί να εξηγηθεί χρησιμοποιώντας πληροφορίες σχετικά με τη μεταβλητότητα της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ.Ο συντελεστής προσδιορισμού αλλάζει από μηδέν όταν Χδεν επηρεάζει Υ,σε ένα όταν η αλλαγή Υεξηγείται πλήρως από την αλλαγή Χ.

3.8. Μοντέλο Πρόβλεψης Παλινδρόμησης

Η καλύτερη πρόβλεψη είναι αυτή με τη μικρότερη απόκλιση. Στην περίπτωσή μας, τα συμβατικά ελάχιστα τετράγωνα παράγουν την καλύτερη πρόβλεψη από όλες τις μεθόδους που δίνουν αμερόληπτες εκτιμήσεις βασισμένες σε γραμμικές εξισώσεις. Το σφάλμα πρόβλεψης που σχετίζεται με τη διαδικασία πρόβλεψης μπορεί να προέρχεται από τέσσερις πηγές.

Πρώτον, η τυχαία φύση των προσθετικών σφαλμάτων που χειρίζονται με γραμμική παλινδρόμηση διασφαλίζει ότι η πρόβλεψη θα αποκλίνει από τις πραγματικές τιμές, ακόμη κι αν το μοντέλο έχει καθοριστεί σωστά και οι παράμετροί του είναι επακριβώς γνωστές.

Δεύτερον, η ίδια η διαδικασία εκτίμησης εισάγει ένα σφάλμα στην εκτίμηση των παραμέτρων που σπάνια μπορεί να είναι ίσες με τις πραγματικές τιμές, αν και είναι ίσες με αυτές κατά μέσο όρο.

Τρίτον, στην περίπτωση μιας υπό όρους πρόβλεψης (στην περίπτωση άγνωστων ακριβών τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών), το σφάλμα εισάγεται με την πρόβλεψη των επεξηγηματικών μεταβλητών.

Τέταρτον, το σφάλμα μπορεί να εμφανιστεί επειδή οι προδιαγραφές του μοντέλου είναι ανακριβείς.

Ως αποτέλεσμα, οι πηγές σφαλμάτων μπορούν να ταξινομηθούν ως εξής:

1. τη φύση της μεταβλητής·
2. τη φύση του μοντέλου·
3. το σφάλμα που εισάγεται από την πρόβλεψη ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών.
4. σφάλμα προδιαγραφών.

Θα εξετάσουμε μια άνευ όρων πρόβλεψη, όταν οι ανεξάρτητες μεταβλητές προβλέπονται εύκολα και με ακρίβεια. Ξεκινάμε την εξέταση του προβλήματος ποιότητας πρόβλεψης με την εξίσωση ζευγαρωμένης παλινδρόμησης.

Η δήλωση προβλήματος σε αυτή την περίπτωση μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ποια θα είναι η καλύτερη πρόβλεψη y T+1, υπό την προϋπόθεση ότι στο μοντέλο y = a + bxεπιλογές ένακαι σιεκτιμάται ακριβώς και η αξία xT+1γνωστός.

Τότε η προβλεπόμενη τιμή μπορεί να οριστεί ως

Το σφάλμα πρόβλεψης θα είναι τότε

.

Το σφάλμα πρόβλεψης έχει δύο ιδιότητες:

Η προκύπτουσα απόκλιση είναι ελάχιστη μεταξύ όλων των πιθανών εκτιμήσεων που βασίζονται σε γραμμικές εξισώσεις.

Παρόλο ένακαι β είναι γνωστά, το σφάλμα πρόβλεψης εμφανίζεται λόγω του γεγονότος ότι στο T+1μπορεί να μην βρίσκεται στη γραμμή παλινδρόμησης λόγω σφάλματος ε T+1, υπακούοντας σε μια κανονική κατανομή με μηδενικό μέσο όρο και διακύμανση σ2. Για να ελέγξουμε την ποιότητα της πρόβλεψης, εισάγουμε την κανονικοποιημένη τιμή

Το διάστημα εμπιστοσύνης 95% μπορεί στη συνέχεια να οριστεί ως εξής:

όπου β 0,05ποσοστά της κανονικής κατανομής.

Τα όρια του διαστήματος 95% μπορούν να οριστούν ως

Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση το πλάτος διάστημα εμπιστοσύνηςδεν εξαρτάται από το μέγεθος Χ,και τα όρια του διαστήματος είναι ευθείες παράλληλες προς τις γραμμές παλινδρόμησης.

Συχνότερα, κατά την κατασκευή μιας γραμμής παλινδρόμησης και τον έλεγχο της ποιότητας της πρόβλεψης, είναι απαραίτητο να αξιολογηθούν όχι μόνο οι παράμετροι παλινδρόμησης, αλλά και η διακύμανση του σφάλματος πρόβλεψης. Μπορεί να φανεί ότι σε αυτή την περίπτωση η διακύμανση του σφάλματος εξαρτάται από την τιμή (), όπου είναι η μέση τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η σειρά, τόσο πιο ακριβής είναι η πρόβλεψη. Το σφάλμα πρόβλεψης μειώνεται εάν η τιμή του X T+1 είναι κοντά στη μέση τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής και, αντίθετα, όταν απομακρύνεται από τη μέση τιμή, η πρόβλεψη γίνεται λιγότερο ακριβής. Στο σχ. Το 3.6 δείχνει τα αποτελέσματα της πρόβλεψης χρησιμοποιώντας την εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης για 6 χρονικά διαστήματα μπροστά μαζί με διαστήματα εμπιστοσύνης.

Ρύζι. 3.6. Πρόβλεψη Γραμμικής Παλινδρόμησης

Όπως φαίνεται από το σχ. 3.6, αυτή η γραμμή παλινδρόμησης δεν περιγράφει καλά τα αρχικά δεδομένα: υπάρχει μεγάλη απόκλιση σε σχέση με τη γραμμή προσαρμογής. Η ποιότητα του μοντέλου μπορεί να κριθεί και από τα υπολείμματα, τα οποία, με ένα ικανοποιητικό μοντέλο, θα πρέπει να κατανεμηθούν κατά προσέγγιση σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Στο σχ. Το 3.7 δείχνει ένα γράφημα των υπολειμμάτων, κατασκευασμένο χρησιμοποιώντας μια κλίμακα πιθανοτήτων.

Εικ.3.7. Διάγραμμα υπολειμμάτων

Όταν χρησιμοποιείται μια τέτοια κλίμακα, τα δεδομένα που υπακούουν στον κανονικό νόμο θα πρέπει να βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. Όπως προκύπτει από το σχήμα, τα σημεία στην αρχή και στο τέλος της περιόδου παρατήρησης αποκλίνουν κάπως από μια ευθεία γραμμή, γεγονός που υποδηλώνει μια ανεπαρκώς υψηλή ποιότητα του επιλεγμένου μοντέλου με τη μορφή εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης.

Στον πίνακα. Ο Πίνακας 3.2 δείχνει τα αποτελέσματα πρόβλεψης (δεύτερη στήλη) μαζί με διαστήματα εμπιστοσύνης 95% (κάτω τρίτη και άνω τέταρτη στήλη, αντίστοιχα).

Πίνακας 3.2

Αποτελέσματα πρόβλεψης

3.9. Πολυμεταβλητό μοντέλο παλινδρόμησης

Στην πολυμεταβλητή παλινδρόμηση, τα δεδομένα για κάθε περίπτωση περιλαμβάνουν τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής και κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής. Εξαρτημένη μεταβλητή yείναι μια τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με τις ανεξάρτητες μεταβλητές με την ακόλουθη σχέση:

όπου πρέπει να καθοριστούν συντελεστές παλινδρόμησης· ε συνιστώσα σφάλματος που αντιστοιχεί στην απόκλιση των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής από την πραγματική αναλογία (υποτίθεται ότι τα σφάλματα είναι ανεξάρτητα και έχουν κανονική κατανομή με μηδενικό μέσο όρο και άγνωστη διακύμανση σ ).

Για ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων, οι εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Εάν οι εκτιμήσεις OLS συμβολίζονται με , τότε η αντίστοιχη συνάρτηση παλινδρόμησης θα μοιάζει με:

Τα υπολείμματα είναι εκτιμήσεις της συνιστώσας σφάλματος και είναι παρόμοια με τα υπολείμματα στην περίπτωση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης.

Η στατιστική ανάλυση ενός μοντέλου πολυμεταβλητής παλινδρόμησης πραγματοποιείται παρόμοια με την ανάλυση μιας απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Τα τυπικά πακέτα στατιστικών προγραμμάτων καθιστούν δυνατή τη λήψη εκτιμήσεων με ελάχιστα τετράγωνα για τις παραμέτρους του μοντέλου, εκτιμήσεις των τυπικών σφαλμάτων τους. Επίσης, μπορείτε να πάρετε την αξία t- στατιστικά για τον έλεγχο της σημασίας των επιμέρους όρων του μοντέλου παλινδρόμησης και της τιμής φά- στατιστικές για τον έλεγχο της σημασίας της εξάρτησης παλινδρόμησης.

Η μορφή διαίρεσης των αθροισμάτων των τετραγώνων στην περίπτωση πολυμεταβλητής παλινδρόμησης είναι παρόμοια με την έκφραση (3.13), αλλά η αναλογία για τον καρδιακό ρυθμό θα είναι η εξής

Το τονίζουμε ξανά nείναι ο όγκος των παρατηρήσεων, και καριθμός μεταβλητών στο μοντέλο. Η συνολική διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής αποτελείται από δύο συνιστώσες: τη διακύμανση που εξηγείται από τις ανεξάρτητες μεταβλητές μέσω της συνάρτησης παλινδρόμησης και την ανεξήγητη διακύμανση.

Ο πίνακας ANOVA για την περίπτωση πολυμεταβλητής παλινδρόμησης θα έχει τη μορφή που φαίνεται στον Πίνακα. 3.3.

Πίνακας 3.3

τραπέζι ANOVA

Πηγή	Άθροισμα τετραγώνων		Μεσαίο τετράγωνο
Οπισθοδρόμηση			SS2/ (n-k-1)

Ως παράδειγμα πολυμεταβλητής παλινδρόμησης, θα χρησιμοποιήσουμε δεδομένα από το πακέτο Statistica (αρχείο δεδομένων φτώχεια.Στα)Τα στοιχεία που παρουσιάζονται βασίζονται σε σύγκριση των αποτελεσμάτων των απογραφών του 1960 και του 1970. για ένα τυχαίο δείγμα 30 χωρών. Τα ονόματα των χωρών έχουν εισαχθεί ως ονόματα συμβολοσειρών και τα ονόματα όλων των μεταβλητών σε αυτό το αρχείο παρατίθενται παρακάτω:

POP_CHNG πληθυσμιακή αλλαγή για το 1960-1970.

N_EMPLD τον αριθμό των ατόμων που απασχολούνται στη γεωργία·

PT_POOR ποσοστό οικογενειών που ζουν κάτω από το όριο της φτώχειας.

TAX_RATE φορολογικός συντελεστής.

PT_PHONE ποσοστό διαμερισμάτων με τηλέφωνο.

PT_RURAL ποσοστό αγροτικού πληθυσμού.

ΗΛΙΚΙΑ μέση ηλικία.

Ως εξαρτημένη μεταβλητή, επιλέγουμε το χαρακτηριστικό Pt_Poor, και ως ανεξάρτητο - όλα τα υπόλοιπα. Οι υπολογισμένοι συντελεστές παλινδρόμησης μεταξύ των επιλεγμένων μεταβλητών δίνονται στον Πίνακα. 3.4

Πίνακας 3.4

Συντελεστές παλινδρόμησης

Αυτός ο πίνακας δείχνει τους συντελεστές παλινδρόμησης ( ΣΤΟ) και τυποποιημένοι συντελεστές παλινδρόμησης ( βήτα). Με τη βοήθεια συντελεστών ΣΤΟκαθιερώνεται η μορφή της εξίσωσης παλινδρόμησης, η οποία σε αυτή η υπόθεσημοιάζει με:

Η συμπερίληψη στη δεξιά πλευρά μόνο αυτών των μεταβλητών οφείλεται στο γεγονός ότι μόνο αυτά τα χαρακτηριστικά έχουν τιμή πιθανότητας Rλιγότερο από 0,05 (βλ. τέταρτη στήλη του Πίνακα 3.4).

Βιβλιογραφία

1. Basovsky L. E.Πρόβλεψη και προγραμματισμός σε συνθήκες αγοράς. - M .: Infra - M, 2003.
2. Box J., Jenkins G.Ανάλυση χρονοσειρών. Τεύχος 1. Πρόβλεψη και διαχείριση. – Μ.: Μιρ, 1974.
3. Borovikov V. P., Ivchenko G. I.Πρόβλεψη στο σύστημα Statistica σε περιβάλλον Windows. - Μ.: Οικονομικά και στατιστική, 1999.
4. Δούκας W.Επεξεργασία δεδομένων σε υπολογιστή σε παραδείγματα. - Αγία Πετρούπολη: Peter, 1997.
5. Ivchenko B. P., Martyshchenko L. A., Ivantsov I. B.Πληροφοριακή μικροοικονομία. Μέρος 1. Μέθοδοι ανάλυσης και πρόβλεψης. - Αγία Πετρούπολη: Nordmed-Izdat, 1997.
6. Κριτσέφσκι Μ. Λ.Εισαγωγή στα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα: Proc. επίδομα. - Αγία Πετρούπολη: Αγία Πετρούπολη. κατάσταση θαλάσσια τεχνολογία. un-t, 1999.
7. Soshnikova L. A., Tamashevich V. N., Uebe G. et al.Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση στα οικονομικά. – Μ.: Unity-Dana, 1999.

Ο κινητός μέσος όρος σάς επιτρέπει να εξομαλύνετε τέλεια τα δεδομένα. Αλλά το κύριο μειονέκτημά του είναι ότι κάθε τιμή στα δεδομένα προέλευσης έχει την ίδια βαρύτητα για αυτήν. Για παράδειγμα, για έναν κινητό μέσο όρο που χρησιμοποιεί περίοδο έξι εβδομάδων, σε κάθε τιμή για κάθε εβδομάδα δίνεται το 1/6 του βάρους. Για ορισμένα συλλεγμένα στατιστικά στοιχεία, δίνεται μεγαλύτερη βαρύτητα στις πιο πρόσφατες τιμές. Επομένως, η εκθετική εξομάλυνση χρησιμοποιείται για να δώσει στα πιο πρόσφατα δεδομένα μεγαλύτερη βαρύτητα. Έτσι, αυτό το στατιστικό πρόβλημα λύνεται.

Τύπος υπολογισμού μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης στο Excel

Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια αναφορά ζήτησης για ένα συγκεκριμένο προϊόν για 26 εβδομάδες. Η στήλη Ζήτηση περιέχει πληροφορίες σχετικά με την ποσότητα των αγαθών που πωλήθηκαν. Στη στήλη "Πρόβλεψη" - ο τύπος:

Η στήλη "Κινούμενος μέσος όρος" ορίζει την προβλεπόμενη ζήτηση, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον συνήθη υπολογισμό του κινητού μέσου όρου με περίοδο 6 εβδομάδων:

Στην τελευταία στήλη «Πρόβλεψη», με τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω, εφαρμόζεται η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης των δεδομένων στην οποία οι τιμές των τελευταίων εβδομάδων έχουν μεγαλύτερη βαρύτητα από τις προηγούμενες.

Ο συντελεστής "Alpha:" εισάγεται στο κελί G1, σημαίνει το βάρος της εκχώρησης στα πιο πρόσφατα δεδομένα. Σε αυτό το παράδειγμα, έχει τιμή 30%. Το υπόλοιπο 70% του βάρους κατανέμεται στα υπόλοιπα δεδομένα. Δηλαδή, η δεύτερη τιμή ως προς τη συνάφεια (από δεξιά προς τα αριστερά) έχει βάρος ίσο με το 30% του υπόλοιπου 70% του βάρους - αυτό είναι 21%, η τρίτη τιμή έχει βάρος ίσο με το 30% του υπολοίπου από το 70% του βάρους - 14,7% και ούτω καθεξής.



Οικόπεδο εκθετικής εξομάλυνσης

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το γράφημα ζήτησης, τον κινητό μέσο όρο και την πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης, η οποία βασίζεται στις αρχικές τιμές:

Σημειώστε ότι η πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης ανταποκρίνεται περισσότερο στις αλλαγές στη ζήτηση από τη γραμμή του κινούμενου μέσου όρου.

Τα δεδομένα για τις διαδοχικές προηγούμενες εβδομάδες πολλαπλασιάζονται με τον παράγοντα άλφα και το αποτέλεσμα προστίθεται στο υπόλοιπο ποσοστό βάρους πολλαπλασιασμένο με την προηγούμενη προβλεπόμενη τιμή.

Ένα απλό και λογικά σαφές μοντέλο χρονοσειρών έχει την ακόλουθη μορφή:

Y t = b + e t

y, = b + rn (11,5)

όπου b είναι μια σταθερά, το e είναι ένα τυχαίο σφάλμα. Η σταθερά b είναι σχετικά σταθερή σε κάθε χρονικό διάστημα, αλλά μπορεί επίσης να αλλάζει αργά με την πάροδο του χρόνου. Ένας διαισθητικός τρόπος για να εξαγάγετε την τιμή του b από τα δεδομένα είναι η χρήση της εξομάλυνσης του κινούμενου μέσου όρου, όπου οι πιο πρόσφατες παρατηρήσεις έχουν μεγαλύτερη βαρύτητα από τις προτελευταίες, οι προτελευταίες είναι πιο σταθμισμένες από τις προτελευταίες κ.λπ. Η απλή εκθετική εξομάλυνση είναι ακριβώς αυτό. Εδώ, εκθετικά μειούμενα βάρη αποδίδονται σε παλαιότερες παρατηρήσεις, ενώ, σε αντίθεση με τον κινητό μέσο όρο, λαμβάνονται υπόψη όλες οι προηγούμενες παρατηρήσεις της σειράς και όχι μόνο αυτές που έπεσαν σε ένα συγκεκριμένο παράθυρο. Ο ακριβής τύπος για απλή εκθετική εξομάλυνση είναι:

S t = a y t + (1 - a) S t -1

Όταν αυτός ο τύπος εφαρμόζεται αναδρομικά, κάθε νέα εξομαλυνόμενη τιμή (η οποία είναι επίσης μια πρόβλεψη) υπολογίζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος της τρέχουσας παρατήρησης και της εξομαλυνθείσας σειράς. Προφανώς, το αποτέλεσμα της εξομάλυνσης εξαρτάται από την παράμετρο α . Εάν το a είναι 1, τότε οι προηγούμενες παρατηρήσεις αγνοούνται εντελώς. Εάν το a είναι 0, τότε οι τρέχουσες παρατηρήσεις αγνοούνται. Οι τιμές μεταξύ 0 και 1 δίνουν ενδιάμεσα αποτελέσματα. Εμπειρικές μελέτες έχουν δείξει ότι μια απλή εκθετική εξομάλυνση δίνει συχνά μια αρκετά ακριβή πρόβλεψη.

Στην πράξη, συνήθως συνιστάται να λαμβάνετε λιγότερο από 0,30. Ωστόσο, η επιλογή μεγαλύτερου από 0,30 δίνει μερικές φορές πιο ακριβή πρόβλεψη. Αυτό σημαίνει ότι είναι ακόμα καλύτερο να εκτιμηθεί η βέλτιστη τιμή του a από πραγματικά δεδομένα παρά να χρησιμοποιηθούν γενικές συστάσεις.

Στην πράξη, η βέλτιστη παράμετρος εξομάλυνσης αναζητείται συχνά χρησιμοποιώντας μια διαδικασία αναζήτησης πλέγματος. Το πιθανό εύρος τιμών παραμέτρων διαιρείται με ένα πλέγμα με ένα συγκεκριμένο βήμα. Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα πλέγμα τιμών από a = 0,1 έως a = 0,9 με βήμα 0,1. Στη συνέχεια επιλέγεται η τιμή του a για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων (ή των μέσων τετραγώνων) των υπολειμμάτων (παρατηρούμενες τιμές μείον προβλέψεις ένα βήμα μπροστά) είναι ελάχιστο.

Το Microsoft Excel παρέχει τη συνάρτηση Exponential Smoothing, η οποία χρησιμοποιείται συνήθως για την εξομάλυνση των επιπέδων μιας εμπειρικής χρονοσειράς με βάση την απλή μέθοδο εκθετικής εξομάλυνσης. Για να καλέσετε αυτήν τη λειτουργία, επιλέξτε Εργαλεία Þ Ανάλυση δεδομένων από τη γραμμή μενού. Στην οθόνη θα ανοίξει το παράθυρο Ανάλυση δεδομένων, στο οποίο θα πρέπει να επιλέξετε την τιμή Εκθετική εξομάλυνση (Εκθετική εξομάλυνση). Ως αποτέλεσμα, θα εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Exponential Smoothing.

Στο πλαίσιο διαλόγου Εκθετική εξομάλυνση, ορίζονται σχεδόν οι ίδιες παράμετροι όπως στο πλαίσιο διαλόγου Κινούμενος μέσος όρος που συζητήθηκε παραπάνω.

1. Εύρος εισόδου (Δεδομένα εισόδου) - σε αυτό το πεδίο, εισάγεται μια περιοχή κελιών που περιέχουν τις τιμές της υπό μελέτη παραμέτρου.

2. Ετικέτες - αυτό το πλαίσιο ελέγχου είναι επιλεγμένο εάν
η πρώτη σειρά (στήλη) στην περιοχή εισόδου περιέχει μια κεφαλίδα. Εάν λείπει η κεφαλίδα, το πλαίσιο ελέγχου πρέπει να διαγραφεί. Σε αυτήν την περίπτωση, τα τυπικά ονόματα θα δημιουργηθούν αυτόματα για τα δεδομένα εύρους εξόδου.

3. Συντελεστής απόσβεσης - εισάγετε την τιμή του επιλεγμένου συντελεστή εκθετικής εξομάλυνσης a σε αυτό το πεδίο. Η προεπιλεγμένη τιμή είναι a = 0,3.

4. Επιλογές εξόδου - σε αυτήν την ομάδα, εκτός από τον καθορισμό μιας περιοχής κελιών για δεδομένα εξόδου στο πεδίο Εύρος εξόδου, μπορείτε επίσης να ζητήσετε να σχεδιάσετε αυτόματα ένα γράφημα, για το οποίο πρέπει να ελέγξετε την επιλογή Εξόδου γραφήματος και να υπολογίσετε το τυπικό σφάλματα, για τα οποία πρέπει να τσεκάρετε την επιλογή Standard Erog (Τυπικά σφάλματα).

Εργασία 2.Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Microsoft Excel, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Exponential Smoothing, με βάση τα δεδομένα για τον όγκο εξόδου της Εργασίας 1, υπολογίστε τα εξομαλυνόμενα επίπεδα εξόδου και τα τυπικά σφάλματα. Στη συνέχεια, παρουσιάστε τα πραγματικά και τα προβλεπόμενα δεδομένα χρησιμοποιώντας ένα γράφημα. Συμβουλή: θα πρέπει να λάβετε έναν πίνακα και ένα γράφημα παρόμοιο με αυτό που έγινε στην εργασία 1, αλλά με διαφορετικά επίπεδα εξομάλυνσης και τυπικά σφάλματα.

Αναλυτική μέθοδος ευθυγράμμισης

όπου είναι οι θεωρητικές τιμές των χρονοσειρών που υπολογίζονται σύμφωνα με την αντίστοιχη αναλυτική εξίσωση τη χρονική στιγμή t.

Ο ορισμός των θεωρητικών (υπολογιζόμενων) τιμών γίνεται με βάση το λεγόμενο επαρκές μαθηματικό μοντέλο, το οποίο ο καλύτερος τρόποςεμφανίζει την κύρια τάση στην ανάπτυξη της χρονοσειράς.

Τα απλούστερα μοντέλα (τύποι) που εκφράζουν την τάση ανάπτυξης είναι τα ακόλουθα:

Γραμμική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία:

Εκθετικη συναρτηση:

Y t = a 0 * a 1 t

Συνάρτηση ισχύος δεύτερης τάξης, η γραφική παράσταση της οποίας είναι παραβολή:

Y t = a 0 + a 1 * t + a 2 * t 2

Λογαριθμική συνάρτηση:

Y t = a 0 + a 1 * ln t

Οι παράμετροι της συνάρτησης υπολογίζονται συνήθως με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, στην οποία λαμβάνεται ως λύση το ελάχιστο σημείο του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων μεταξύ του θεωρητικού και του εμπειρικού επιπέδου:

όπου - ευθυγραμμισμένα (υπολογισμένα) επίπεδα και Yt - πραγματικά επίπεδα.

Οι παράμετροι της εξίσωσης a i που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη μπορούν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των κανονικών εξισώσεων. Με βάση την εξίσωση τάσης που βρέθηκε, υπολογίζονται τα ευθυγραμμισμένα επίπεδα.

ευθύγραμμη ευθυγράμμισηχρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου τα απόλυτα κέρδη είναι πρακτικά σταθερά, π.χ. όταν τα επίπεδα αλλάζουν σε μια αριθμητική πρόοδο (ή κοντά σε αυτήν).

Στοίχιση με εκθετική συνάρτησηισχύει όταν η σειρά αντικατοπτρίζει την εξέλιξη στο γεωμετρικό επάγγελμα, δηλ. Οι αυξητικοί παράγοντες της αλυσίδας είναι πρακτικά σταθεροί.

Ευθυγράμμιση λειτουργίας ισχύος(παραβολή δεύτερης τάξης) χρησιμοποιείται όταν οι χρονοσειρές αλλάζουν με σταθερούς ρυθμούς ανάπτυξης της αλυσίδας.

Ισοστάθμιση με λογαριθμική συνάρτησηχρησιμοποιείται όταν η σειρά αντανακλά την ανάπτυξη με πιο αργή ανάπτυξη στο τέλος της περιόδου, π.χ. όταν η αύξηση στα τελικά επίπεδα της χρονοσειράς τείνει στο μηδέν.

Σύμφωνα με τις υπολογισμένες παραμέτρους, συντίθεται το μοντέλο τάσης της συνάρτησης, δηλ. λαμβάνοντας τις τιμές a 0 , a 1 , a ,2 και αντικαθιστώντας τις στην απαιτούμενη εξίσωση.

Η ορθότητα των υπολογισμών των αναλυτικών επιπέδων μπορεί να ελεγχθεί από την ακόλουθη συνθήκη: το άθροισμα των τιμών της εμπειρικής σειράς πρέπει να ταιριάζει με το άθροισμα των υπολογισμένων επιπέδων της ευθυγραμμισμένης σειράς. Σε αυτήν την περίπτωση, ενδέχεται να προκύψει ένα μικρό σφάλμα στους υπολογισμούς λόγω στρογγυλοποίησης των υπολογισμένων τιμών:

Για να εκτιμηθεί η ακρίβεια του μοντέλου τάσης, χρησιμοποιείται ο συντελεστής προσδιορισμού:

όπου είναι η διακύμανση των θεωρητικών δεδομένων που λαμβάνονται από το μοντέλο τάσης και είναι η διακύμανση των εμπειρικών δεδομένων.

Το μοντέλο τάσης είναι επαρκές για την υπό μελέτη διαδικασία και αντανακλά την τάση ανάπτυξής του σε τιμές R 2 κοντά στο 1.

Αφού επιλέξετε το πιο κατάλληλο μοντέλο, μπορείτε να κάνετε μια πρόβλεψη για οποιαδήποτε από τις περιόδους. Κατά την πραγματοποίηση προβλέψεων, λειτουργούν όχι με ένα σημείο, αλλά με μια εκτίμηση διαστήματος, καθορίζοντας τα λεγόμενα διαστήματα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Η τιμή του διαστήματος εμπιστοσύνης ορίζεται γενικά ως εξής:

πού είναι η τυπική απόκλιση από την τάση; τα-πίνακας τιμής του Student's t-test σε επίπεδο σημαντικότητας ένα, το οποίο εξαρτάται από το επίπεδο σημαντικότητας ένα(%) και αριθμός βαθμών ελευθερίας k = n- t.Η τιμή - καθορίζεται από τον τύπο:

πού και είναι οι πραγματικές και οι υπολογισμένες τιμές των επιπέδων της δυναμικής σειράς. Π -αριθμός επιπέδων σειρών. t- τον αριθμό των παραμέτρων στην εξίσωση τάσης (για την εξίσωση ευθείας γραμμής t - 2, για την εξίσωση παραβολής 2ης τάξης t = 3).

Μετά τους απαραίτητους υπολογισμούς, προσδιορίζεται ένα διάστημα στο οποίο η προβλεπόμενη τιμή θα βρίσκεται με μια ορισμένη πιθανότητα.

Η χρήση του Microsoft Excel για τη δημιουργία μοντέλων τάσης είναι αρκετά απλή. Αρχικά, η εμπειρική χρονοσειρά θα πρέπει να παρουσιαστεί ως γράφημα ενός από τους ακόλουθους τύπους: ιστόγραμμα, ραβδόγραμμα, γράφημα, διάγραμμα διασποράς, διάγραμμα περιοχής και, στη συνέχεια, κάντε δεξί κλικ σε έναν από τους δείκτες δεδομένων στο γράφημα. Ως αποτέλεσμα, η ίδια η χρονοσειρά θα επισημανθεί στο γράφημα και το μενού περιβάλλοντος θα ανοίξει στην οθόνη. Από αυτό το μενού, επιλέξτε την εντολή Προσθήκη γραμμής τάσης. Θα εμφανιστεί το παράθυρο διαλόγου Προσθήκη γραμμής τάσης.

Στην καρτέλα Τύπος αυτού του παραθύρου διαλόγου, επιλέγεται ο απαιτούμενος τύπος τάσης:

1. γραμμικό (Γραμμικό);

2. λογαριθμική (Logarithmic);

3. πολυωνυμικό, από τον 2ο έως τον 6ο βαθμό συμπεριλαμβανομένου (Πολωνύμιο)·

4. δύναμη (Power);

5. εκθετικός (Εκθετικός);

6. κινούμενος μέσος όρος, με ένδειξη της περιόδου εξομάλυνσης από 2 έως 15 (Κινούμενος Μέσος όρος).

Στην καρτέλα Επιλογές αυτού του παραθύρου διαλόγου, ορίζονται πρόσθετες επιλογές τάσης.

1. Όνομα γραμμής τάσης (Όνομα της εξομαλυνόμενης καμπύλης) - σε αυτήν την ομάδα, επιλέγεται το όνομα, το οποίο θα εμφανίζεται στο γράφημα για να υποδείξει τη συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εξομάλυνση της χρονοσειράς. Είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές:

♦ Αυτόματο - Όταν το κουμπί επιλογής έχει ρυθμιστεί σε αυτήν τη θέση, το Microsoft Excel δημιουργεί αυτόματα το όνομα της συνάρτησης εξομάλυνσης τάσεων με βάση τον επιλεγμένο τύπο τάσης, όπως Γραμμική (Γραμμική συνάρτηση).

♦ Προσαρμοσμένο - Όταν το κουμπί επιλογής έχει ρυθμιστεί σε αυτήν τη θέση, μπορείτε να εισαγάγετε το δικό σας όνομα για τη συνάρτηση τάσης στο πλαίσιο στα δεξιά, με μήκος έως 256 χαρακτήρες.

2. Πρόβλεψη (Πρόβλεψη) - σε αυτήν την ομάδα μπορείτε να καθορίσετε πόσες περιόδους μπροστά (πεδίο Εμπρός) θέλετε να προβάλετε μια γραμμή τάσης στο μέλλον και πόσες περιόδους πίσω (πεδίο προς τα πίσω) θέλετε να προβάλετε μια γραμμή τάσης στο παρελθόν (αυτά τα πεδία δεν είναι διαθέσιμα στη λειτουργία κινούμενου μέσου όρου ).

3. Ορισμός τομής (Καμπύλη τομής με άξονα Υ σε σημείο) - αυτό το πλαίσιο ελέγχου και το πεδίο εισαγωγής που βρίσκεται στα δεξιά σας επιτρέπουν να καθορίσετε απευθείας το σημείο στο οποίο η γραμμή τάσης πρέπει να τέμνει τον άξονα Υ (αυτά τα πεδία δεν είναι διαθέσιμα για όλους τους τρόπους λειτουργίας).

4. Εμφάνιση εξίσωσης στο γράφημα - όταν είναι επιλεγμένη αυτή η επιλογή, μια εξίσωση που περιγράφει τη γραμμή τάσης εξομάλυνσης θα εμφανιστεί στο γράφημα.

5. Εμφανίστε την τιμή R-τετράγωνο στο γράφημα R2)-Όταν είναι επιλεγμένο αυτό το πλαίσιο ελέγχου, το διάγραμμα θα δείχνει την τιμή του συντελεστή προσδιορισμού.

Οι γραμμές σφαλμάτων μπορούν επίσης να εμφανίζονται μαζί με μια γραμμή τάσης σε ένα γράφημα χρονοσειρών. Για να εισαγάγετε γραμμές σφαλμάτων, επιλέξτε μια σειρά δεδομένων, κάντε δεξί κλικ πάνω της και επιλέξτε την εντολή Μορφοποίηση σειράς δεδομένων από το αναδυόμενο μενού περιβάλλοντος. Στην οθόνη θα ανοίξει το παράθυρο διαλόγου Μορφοποίηση σειράς δεδομένων, στο οποίο θα πρέπει να μεταβείτε στην καρτέλα Y Error Bars (Y-errors).

Σε αυτήν την καρτέλα, χρησιμοποιώντας το διακόπτη Ποσού σφάλματος, επιλέγετε τον τύπο των ράβδων και την επιλογή για τον υπολογισμό τους, ανάλογα με τον τύπο του σφάλματος.

1. Σταθερή τιμή (Σταθερή τιμή) - όταν ο διακόπτης έχει ρυθμιστεί σε αυτή τη θέση, η σταθερή τιμή που καθορίζεται στο πεδίο μετρητή στα δεξιά λαμβάνεται ως η επιτρεπόμενη τιμή σφάλματος.

2. Ποσοστό (Σχετική τιμή) - όταν ο διακόπτης έχει ρυθμιστεί σε αυτή τη θέση, η επιτρεπόμενη απόκλιση υπολογίζεται για κάθε σημείο δεδομένων, με βάση την ποσοστιαία τιμή που καθορίζεται στο πεδίο μετρητή στα δεξιά.

3. Τυπική(-ές) απόκλιση(-ές) - όταν ο διακόπτης έχει ρυθμιστεί σε αυτή τη θέση, η τυπική απόκλιση υπολογίζεται για κάθε σημείο δεδομένων, η οποία στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό που καθορίζεται στο πεδίο μετρητή στα δεξιά (πολλαπλασιαστής).

4. Τυπικό σφάλμα - όταν ο διακόπτης έχει ρυθμιστεί σε αυτή τη θέση, θεωρείται η τυπική τιμή σφάλματος, η οποία είναι σταθερή για όλα τα στοιχεία δεδομένων.

5. Προσαρμοσμένο (Προσαρμοσμένο) - όταν ο διακόπτης έχει ρυθμιστεί σε αυτή τη θέση, εισάγεται μια αυθαίρετη σειρά τιμών απόκλισης σε θετική ή/και αρνητική κατεύθυνση (μπορείτε να εισαγάγετε συνδέσμους σε μια σειρά κελιών).

Οι γραμμές σφαλμάτων μπορούν επίσης να μορφοποιηθούν. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τα κάνοντας δεξί κλικ στο ποντίκι και επιλέξτε την εντολή Format Error Bars από το αναδυόμενο μενού περιβάλλοντος.

Εργασία 3.Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Microsoft Excel, με βάση τα δεδομένα για τον όγκο της έκδοσης της Εργασίας 1, πρέπει:

Παρουσιάστε μια χρονοσειρά ως γράφημα που δημιουργήθηκε χρησιμοποιώντας τον Οδηγό γραφημάτων. Στη συνέχεια, προσθέστε μια γραμμή τάσης, επιλέγοντας την πιο κατάλληλη έκδοση της εξίσωσης.

Παρουσιάστε τα αποτελέσματα με τη μορφή πίνακα "Επιλογή της εξίσωσης τάσης":

Πίνακας "Επιλογή της εξίσωσης τάσης"

Παρουσιάστε την επιλεγμένη εξίσωση γραφικά, σχεδιάζοντας τα δεδομένα σχετικά με το όνομα της ληφθείσας συνάρτησης και την τιμή της αξιοπιστίας προσέγγισης (R 2).

Εργασία 4. Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Κατά την ανάλυση της τάσης για ένα συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων, ο συντελεστής προσδιορισμού για το γραμμικό μοντέλο αποδείχθηκε ότι ήταν 0,95, για το λογαριθμικό μοντέλο - 0,8 και για το πολυώνυμο του τρίτου βαθμού - 0,9636. Ποιο μοντέλο τάσης είναι πιο κατάλληλο για την υπό μελέτη διαδικασία:

α) γραμμικό?

β) λογαριθμική?

γ) πολυώνυμο 3ου βαθμού.

2. Σύμφωνα με τα δεδομένα που παρουσιάζονται στην εργασία 1, προβλέψτε τον όγκο της παραγωγής το 2003. Ποια γενική τάση στη συμπεριφορά της υπό μελέτη ποσότητας προκύπτει από τα αποτελέσματα της πρόβλεψής σας:

α) υπάρχει μείωση της παραγωγής·

β) η παραγωγή παραμένει στα ίδια επίπεδα.

γ) υπάρχει αύξηση της παραγωγής.

Σε αυτό το υλικό εξετάστηκαν τα κύρια χαρακτηριστικά των χρονοσειρών, τα μοντέλα αποσύνθεσης των χρονοσειρών, καθώς και οι κύριες μέθοδοι εξομάλυνσης της σειράς - η μέθοδος του κινούμενου μέσου όρου, η εκθετική εξομάλυνση και η αναλυτική ευθυγράμμιση. Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, το Microsoft Excel προσφέρει εργαλεία όπως ο κινούμενος μέσος όρος (Κινούμενος μέσος όρος) και η εκθετική εξομάλυνση (εκθετική εξομάλυνση), τα οποία σας επιτρέπουν να εξομαλύνετε τα επίπεδα μιας εμπειρικής χρονοσειράς, καθώς και την εντολή Add Trendiine (Προσθήκη γραμμής τάσης ), το οποίο σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μοντέλα τάσεων και να κάνετε μια πρόβλεψη με βάση τις διαθέσιμες τιμές των χρονοσειρών.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. Για να ενεργοποιήσετε το Πακέτο Ανάλυσης Δεδομένων, επιλέξτε την εντολή Εργαλεία → Ανάλυση δεδομένων (Εργαλεία → Ανάλυση δεδομένων).

Εάν λείπει η Ανάλυση δεδομένων, τότε πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Επιλέξτε την εντολή Εργαλεία → Πρόσθετα (Πρόσθετα).

2. Επιλέξτε Analysis ToolPak από την προτεινόμενη λίστα ρυθμίσεων και, στη συνέχεια, κάντε κλικ στο OK. Μετά από αυτό, θα γίνει λήψη του πακέτου προσαρμογής ανάλυσης δεδομένων και θα συνδεθεί στο Excel. Η αντίστοιχη εντολή θα εμφανιστεί στο μενού Εργαλεία.

©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 27-04-2016

Προφανώς, στη μέθοδο του σταθμισμένου κινούμενου μέσου όρου, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να ορίσετε τα βάρη έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 1. Μία από αυτές τις μεθόδους ονομάζεται εκθετική εξομάλυνση. Σε αυτό το σχήμα της μεθόδου του σταθμισμένου μέσου όρου, για οποιαδήποτε t > 1, η προβλεπόμενη τιμή τη χρονική στιγμή t+1 είναι το σταθμισμένο άθροισμα των πραγματικών πωλήσεων, , στη χρονική περίοδο t, και των προβλεπόμενων πωλήσεων, , στη χρονική περίοδο t Σε άλλες λόγια,

Η εκθετική εξομάλυνση έχει υπολογιστικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τους κινητούς μέσους όρους. Εδώ, για να υπολογίσετε , είναι απαραίτητο μόνο να γνωρίζετε τις τιμές του , και , (μαζί με την τιμή του α). Για παράδειγμα, εάν μια εταιρεία χρειάζεται να προβλέψει τη ζήτηση για 5.000 είδη σε κάθε χρονική περίοδο, τότε θα πρέπει να αποθηκεύσει 10.001 τιμές δεδομένων (5.000 τιμές του , 5.000 τιμές του και μια τιμή α), ενώ κάντε μια πρόβλεψη με βάση έναν κινητό μέσο όρο 8 κόμβων που απαιτούνται 40.000 τιμές δεδομένων. Ανάλογα με τη συμπεριφορά των δεδομένων, μπορεί να είναι απαραίτητο να αποθηκεύονται διαφορετικές τιμές του α για κάθε προϊόν, αλλά ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση, ο όγκος των πληροφοριών που αποθηκεύονται είναι πολύ μικρότερος από ό,τι όταν χρησιμοποιείται ένας κινητός μέσος όρος. Το καλό με την εκθετική εξομάλυνση είναι ότι διατηρώντας το α και την τελευταία πρόβλεψη, όλες οι προηγούμενες προβλέψεις διατηρούνται επίσης σιωπηρά.

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες του μοντέλου εκθετικής εξομάλυνσης. Αρχικά, σημειώνουμε ότι αν t > 2, τότε στον τύπο (1) το t μπορεί να αντικατασταθεί από t–1, δηλ. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον αρχικό τύπο (1), λαμβάνουμε

Εκτελώντας διαδοχικές παρόμοιες αντικαταστάσεις, λαμβάνουμε παρακάτω έκφρασηΓια

Αφού από την ανίσωση 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Μπορεί να φανεί από τον τύπο (2) ότι η τιμή είναι το σταθμισμένο άθροισμα όλων των προηγούμενων παρατηρήσεων (συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας παρατήρησης ). Ο τελευταίος όρος του αθροίσματος (2) δεν είναι στατιστική παρατήρηση, αλλά με "υπόθεση" (μπορούμε να υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι ). Προφανώς, με την αύξηση του t, η επίδραση στην πρόβλεψη μειώνεται και σε μια συγκεκριμένη στιγμή μπορεί να παραμεληθεί. Ακόμα κι αν η τιμή του α είναι αρκετά μικρή (έτσι ώστε το (1 - α) να είναι περίπου ίση με 1), η τιμή θα μειωθεί γρήγορα.

Η τιμή της παραμέτρου α επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την απόδοση του μοντέλου πρόβλεψης, αφού το α είναι το βάρος της πιο πρόσφατης παρατήρησης. Αυτό σημαίνει ότι κάποιος πρέπει να αναθέσει μεγαλύτερη αξίαα στην περίπτωση που το πιο προγνωστικό μοντέλο είναι η τελευταία παρατήρηση. Εάν το α είναι κοντά στο 0, αυτό σημαίνει σχεδόν πλήρη εμπιστοσύνη στην προηγούμενη πρόβλεψη και αγνόηση της τελευταίας παρατήρησης.

Ο Βίκτωρ είχε ένα πρόβλημα: πώς να επιλέξει καλύτερα την τιμή του α. Και πάλι, το εργαλείο επίλυσης θα σας βοηθήσει με αυτό. Για να βρείτε τη βέλτιστη τιμή του α (δηλαδή, αυτή στην οποία η καμπύλη πρόβλεψης θα αποκλίνει λιγότερο από την καμπύλη τιμών χρονοσειράς), κάντε τα εξής.

1. Επιλέξτε την εντολή Εργαλεία -> Αναζήτηση λύσης.
2. Στο παράθυρο διαλόγου Εύρεση λύσης που ανοίγει, ορίστε το κελί προορισμού σε G16 (δείτε το φύλλο Expo) και καθορίστε ότι η τιμή του πρέπει να είναι η ελάχιστη.
3. Καθορίστε ότι το κελί που θα τροποποιηθεί είναι το κελί B1.
4. Εισαγάγετε τους περιορισμούς B1 > 0 και B1< 1
5. Κάνοντας κλικ στο κουμπί Εκτέλεση, θα λάβετε το αποτέλεσμα που φαίνεται στο Σχ. οκτώ.

Και πάλι, όπως και στη μέθοδο του σταθμισμένου κινητού μέσου όρου, η καλύτερη πρόβλεψη θα ληφθεί με την ανάθεση του πλήρους βάρους στην τελευταία παρατήρηση. Επομένως, η βέλτιστη τιμή του α είναι 1, με τις μέσες απόλυτες αποκλίσεις να είναι 6,82 (κελί G16). Ο Βίκτορ έλαβε μια πρόβλεψη που είχε ήδη δει στο παρελθόν.

Η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης λειτουργεί καλά σε καταστάσεις όπου η μεταβλητή που μας ενδιαφέρει συμπεριφέρεται ακίνητη και οι αποκλίσεις της από μια σταθερή τιμή προκαλούνται από τυχαίους παράγοντες και δεν είναι κανονικές. Αλλά: ανεξάρτητα από την τιμή της παραμέτρου α, η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης δεν θα μπορεί να προβλέψει μονότονα αυξανόμενα ή μονότονα μειούμενα δεδομένα (οι προβλεπόμενες τιμές θα είναι πάντα μικρότερες ή περισσότερες από τις παρατηρούμενες, αντίστοιχα). Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι σε ένα μοντέλο με εποχιακές διακυμάνσεις, δεν θα είναι δυνατό να επιτευχθούν ικανοποιητικές προβλέψεις με αυτή τη μέθοδο.

Εάν τα στατιστικά στοιχεία αλλάζουν μονότονα ή υπόκεινται σε εποχιακές αλλαγές, ειδικές μεθόδουςπροβλέψεις, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω.

Μέθοδος Holt (εκθετική εξομάλυνση με τάση)

,

Η μέθοδος του Holt επιτρέπει την πρόβλεψη για k επόμενες χρονικές περιόδους. Η μέθοδος, όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιεί δύο παραμέτρους α και β. Οι τιμές αυτών των παραμέτρων κυμαίνονται από 0 έως 1. Η μεταβλητή L, υποδεικνύει το μακροπρόθεσμο επίπεδο τιμών ή την υποκείμενη τιμή των δεδομένων χρονοσειρών. Η μεταβλητή T υποδεικνύει την πιθανή αύξηση ή μείωση των τιμών σε μία περίοδο.

Ας εξετάσουμε το έργο αυτής της μεθόδου σε ένα νέο παράδειγμα. Η Σβετλάνα εργάζεται ως αναλυτής σε μια μεγάλη χρηματιστηριακή εταιρεία. Με βάση τις τριμηνιαίες εκθέσεις που έχει για τις Startup Airlines, θέλει να προβλέψει τα κέρδη αυτής της εταιρείας για το επόμενο τρίμηνο. Τα διαθέσιμα δεδομένα και το διάγραμμα που χτίστηκε στη βάση τους βρίσκονται στο βιβλίο εργασίας Startup.xls (Εικ. 9). Φαίνεται ότι τα δεδομένα έχουν σαφή τάση (σχεδόν μονότονα αυξητική). Η Σβετλάνα θέλει να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο Holt για να προβλέψει τα κέρδη ανά μετοχή για το δέκατο τρίτο τρίμηνο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ορίσετε τις αρχικές τιμές για τα L και T. Υπάρχουν πολλές επιλογές: 1) Το L είναι ίσο με την αξία των κερδών ανά μετοχή για το πρώτο τρίμηνο και T = 0. 2) Το L είναι ίσο με τη μέση αξία των κερδών ανά μετοχή για 12 τρίμηνα και το T είναι ίσο με τη μέση μεταβολή και για τα 12 τρίμηνα. Υπάρχουν και άλλες επιλογές αρχικές τιμέςγια το L και το T, αλλά η Σβετλάνα επέλεξε την πρώτη επιλογή.

Αποφάσισε να χρησιμοποιήσει το εργαλείο Εύρεση λύσης για να βρει τη βέλτιστη τιμή των παραμέτρων α και β, στην οποία η τιμή του μέσου απόλυτα λάθηποσοστό θα ήταν ελάχιστο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ακολουθήσετε αυτά τα βήματα.

Επιλέξτε την εντολή Service -> Αναζήτηση λύσης.

Στο παράθυρο διαλόγου Αναζήτηση λύσης που ανοίγει, ορίστε το κελί F18 ως κελί προορισμού και υποδείξτε ότι η τιμή του πρέπει να ελαχιστοποιηθεί.

Στο πεδίο Αλλαγή κελιών, εισαγάγετε την περιοχή των κελιών B1:B2. Προσθέστε περιορισμούς B1:B2 > 0 και B1:B2< 1.

Κάντε κλικ στο κουμπί Εκτέλεση.

Η προκύπτουσα πρόβλεψη φαίνεται στο σχ. δέκα.

Όπως φαίνεται, οι βέλτιστες τιμές αποδείχθηκαν α = 0,59 και β = 0,42, ενώ το μέσο απόλυτο σφάλμα σε ποσοστό είναι 38%.

Λογιστική εποχιακές αλλαγές

Οι εποχικές αλλαγές θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά την πρόβλεψη από δεδομένα χρονοσειρών. Οι εποχιακές αλλαγές είναι διακυμάνσεις πάνω-κάτω με σταθερή περίοδο στις τιμές μιας μεταβλητής.

Για παράδειγμα, αν κοιτάξετε τις πωλήσεις παγωτού ανά μήνα, μπορείτε να δείτε μέσα ζεστούς μήνες(Ιούνιος έως Αύγουστος στο βόρειο ημισφαίριο) πάνω υψηλό επίπεδοπωλήσεις από ό,τι το χειμώνα, και έτσι κάθε χρόνο. Εδώ οι εποχιακές διακυμάνσεις έχουν περίοδο 12 μηνών. Εάν χρησιμοποιούνται εβδομαδιαία δεδομένα, τότε το μοτίβο των εποχιακών διακυμάνσεων θα επαναλαμβάνεται κάθε 52 εβδομάδες. Ένα άλλο παράδειγμα αναλύεται με εβδομαδιαίες αναφορές σχετικά με τον αριθμό των επισκεπτών που διανυκτέρευσαν σε ένα ξενοδοχείο που βρίσκεται σε επιχειρηματικό κέντρο της πόλης. Πιθανώς, μπορούμε λένε ότι μεγάλος αριθμόςΟι πελάτες αναμένονται το βράδυ της Τρίτης, της Τετάρτης και της Πέμπτης, ο λιγότερος αριθμός πελατών θα είναι το βράδυ του Σαββάτου και της Κυριακής και ο μέσος αριθμός επισκεπτών αναμένεται την Παρασκευή και τη Δευτέρα το βράδυ. Μια τέτοια δομή δεδομένων που εμφανίζει τον αριθμό των πελατών διαφορετικές μέρεςεβδομάδες, θα επαναλαμβάνεται κάθε επτά ημέρες.

Η διαδικασία για την πραγματοποίηση μιας εποχικά προσαρμοσμένης πρόβλεψης αποτελείται από τα ακόλουθα τέσσερα βήματα:

1) Με βάση τα αρχικά δεδομένα προσδιορίζεται η δομή των εποχιακών διακυμάνσεων και η περίοδος αυτών των διακυμάνσεων.

3) Με βάση τα στοιχεία, από τα οποία εξαιρείται η εποχική συνιστώσα, γίνεται η καλύτερη δυνατή πρόβλεψη.

4) Η εποχική συνιστώσα προστίθεται στη ληφθείσα πρόβλεψη.

Ας επεξηγήσουμε αυτήν την προσέγγιση με δεδομένα πωλήσεων άνθρακα (μετρούμενα σε χιλιάδες τόνους) στις Ηνωμένες Πολιτείες κατά τη διάρκεια εννέα ετών ως διευθυντής στο Gillette Coal Mine, ο Frank πρέπει να προβλέψει τη ζήτηση άνθρακα για τα επόμενα δύο τρίμηνα. Εισήγαγε δεδομένα για ολόκληρη τη βιομηχανία άνθρακα στο βιβλίο εργασίας Coal.xls και σχεδίασε τα δεδομένα (Εικόνα 11). Το γράφημα δείχνει ότι οι όγκοι πωλήσεων είναι πάνω από τον μέσο όρο το πρώτο και το τέταρτο τρίμηνο ( χειμερινή ώραέτος) και κάτω του μέσου όρου το δεύτερο και τρίτο τρίμηνο (άνοιξη-καλοκαίρι μήνες).

Εξαίρεση της εποχικής συνιστώσας

Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε τον μέσο όρο όλων των αποκλίσεων για μια περίοδο εποχιακών αλλαγών. Για να εξαιρεθεί η εποχική συνιστώσα εντός ενός έτους, χρησιμοποιούνται δεδομένα για τέσσερις περιόδους (τρίμηνα). Και για να εξαιρεθεί η εποχιακή συνιστώσα από ολόκληρη τη χρονοσειρά, υπολογίζεται μια ακολουθία κινητών μέσων όρων στους κόμβους Τ, όπου T είναι η διάρκεια των εποχιακών διακυμάνσεων. Για να εκτελέσει τους απαραίτητους υπολογισμούς, ο Frank χρησιμοποίησε τις στήλες C και D, όπως φαίνεται στο Σχήμα. παρακάτω. Η στήλη Γ περιέχει τον κινητό μέσο όρο 4 κόμβων με βάση τα δεδομένα της στήλης Β.

Τώρα πρέπει να αντιστοιχίσουμε τις προκύπτουσες τιμές κινητού μέσου όρου στα μεσαία σημεία της ακολουθίας δεδομένων από την οποία υπολογίστηκαν αυτές οι τιμές. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται κεντράρισμααξίες. Εάν το T είναι περιττό, τότε η πρώτη τιμή του κινητού μέσου όρου (ο μέσος όρος των τιμών από το πρώτο έως το Σημείο Τ) θα πρέπει να εκχωρηθεί (T + 1)/2 στο σημείο (για παράδειγμα, εάν T = 7, τότε ο πρώτος κινητός μέσος όρος θα εκχωρηθεί στο τέταρτο σημείο). Ομοίως, ο μέσος όρος των τιμών από το δεύτερο έως το (T + 1) σημείο είναι κεντραρισμένος στο σημείο (T + 3)/2, και ούτω καθεξής. Το κέντρο του nου διαστήματος βρίσκεται στο σημείο (T+ (2n-1))/2.

Αν το Τ είναι άρτιο, όπως στην περίπτωση που εξετάζουμε, τότε το πρόβλημα γίνεται κάπως πιο περίπλοκο, αφού εδώ τα κεντρικά (μεσαία) σημεία βρίσκονται ανάμεσα στα σημεία για τα οποία υπολογίστηκε η τιμή του κινούμενου μέσου όρου. Επομένως, η κεντραρισμένη τιμή για το τρίτο σημείο υπολογίζεται ως ο μέσος όρος της πρώτης και της δεύτερης τιμής του κινητού μέσου όρου. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός στη στήλη D του κεντρικού μέσου στο Σχ. 12, στα αριστερά είναι (1613 + 1594)/2 = 1603. Στην εικ. Το 13 δείχνει γραφικές παραστάσεις ακατέργαστων δεδομένων και κεντρικούς μέσους όρους.

Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις αναλογίες των τιμών των σημείων δεδομένων προς τις αντίστοιχες τιμές των κεντρικών μέσων. Δεδομένου ότι τα σημεία στην αρχή και στο τέλος της ακολουθίας δεδομένων δεν έχουν αντίστοιχα κεντραρισμένα μέσα (βλ. το πρώτο και τελευταίες αξίεςστη στήλη Δ), αυτή η ενέργεια δεν ισχύει για αυτά τα σημεία. Αυτές οι αναλογίες υποδεικνύουν τον βαθμό στον οποίο οι τιμές δεδομένων αποκλίνουν από το τυπικό επίπεδο που ορίζεται από τα κεντρικά μέσα. Σημειώστε ότι οι τιμές των αναλογιών για το τρίτο τρίμηνο είναι μικρότερες από 1 και αυτές για το τέταρτο τρίμηνο είναι μεγαλύτερες από 1.

Αυτές οι σχέσεις αποτελούν τη βάση για τη δημιουργία εποχιακών δεικτών. Για τον υπολογισμό τους, οι υπολογισμένοι λόγοι ομαδοποιούνται κατά τέταρτα, όπως φαίνεται στο Σχ. 15 στις στήλες Ζ-Ο.

Στη συνέχεια, βρίσκονται οι μέσες τιμές των αναλογιών για κάθε τρίμηνο (στήλη Ε στο Σχ. 15). Για παράδειγμα, ο μέσος όρος όλων των δεικτών για το πρώτο τρίμηνο είναι 1,108. Αυτή η τιμή είναι ο εποχιακός δείκτης για το πρώτο τρίμηνο, από τον οποίο συνάγεται το συμπέρασμα ότι ο όγκος των πωλήσεων άνθρακα για το πρώτο τρίμηνο ανέρχεται κατά μέσο όρο περίπου στο 110,8% των σχετικών μέσων ετήσιων πωλήσεων.

Εποχιακός δείκτηςείναι η μέση αναλογία δεδομένων που σχετίζονται με μια σεζόν (στην περίπτωση αυτή, η σεζόν είναι ένα τέταρτο) προς όλα τα δεδομένα. Αν ένα εποχιακός δείκτηςμεγαλύτερο από 1 σημαίνει ότι η απόδοση αυτής της σεζόν είναι πάνω από τον μέσο όρο του έτους, ομοίως, εάν ο εποχιακός δείκτης είναι κάτω από 1, τότε η απόδοση της σεζόν είναι κάτω από τον μέσο όρο του έτους.

Τέλος, για να εξαιρεθεί το εποχικό στοιχείο από τα αρχικά δεδομένα, οι τιμές των αρχικών δεδομένων θα πρέπει να διαιρεθούν με τον αντίστοιχο εποχιακό δείκτη. Τα αποτελέσματα αυτής της λειτουργίας φαίνονται στις στήλες F και G (Εικ. 16). Μια γραφική παράσταση δεδομένων που δεν περιέχει πλέον εποχική συνιστώσα φαίνεται στην Εικ. 17.

Πρόβλεψη

Με βάση τα δεδομένα, από τα οποία εξαιρείται η εποχική συνιστώσα, γίνεται μια πρόβλεψη. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιείται μια κατάλληλη μέθοδος που λαμβάνει υπόψη τη φύση της συμπεριφοράς των δεδομένων (για παράδειγμα, τα δεδομένα έχουν τάση ή είναι σχετικά σταθερά). Σε αυτό το παράδειγμα, η πρόβλεψη γίνεται χρησιμοποιώντας απλή εκθετική εξομάλυνση. Η βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α βρίσκεται χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης. Το γράφημα των προβλέψεων και των πραγματικών δεδομένων με την εξαιρούμενη εποχική συνιστώσα φαίνεται στο σχ. δεκαοχτώ.

Λογιστική για την εποχιακή δομή

Τώρα πρέπει να λάβουμε υπόψη την εποχική συνιστώσα στην πρόβλεψη (1726,5). Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε το 1726 με τον εποχιακό δείκτη του πρώτου τριμήνου του 1,108, με αποτέλεσμα την τιμή του 1912. Μια παρόμοια πράξη (πολλαπλασιάζοντας το 1726 με τον εποχιακό δείκτη 0,784) θα δώσει μια πρόβλεψη για το δεύτερο τρίμηνο, ίση με 1353. Το αποτέλεσμα της προσθήκης της εποχικής δομής στην προκύπτουσα πρόβλεψη φαίνεται στο Σχ. 19.

Επιλογές εργασιών:

Εργασία 1

Δίνεται χρονολογική σειρά

t
Χ

1. Σχεδιάστε την εξάρτηση x = x(t).

1. Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινητό μέσο όρο σε 4 κόμβους, προβλέψτε τη ζήτηση στο 11ο χρονικό σημείο.
2. Είναι αυτή η μέθοδος πρόβλεψης κατάλληλη για αυτά τα δεδομένα ή όχι; Γιατί;
3. Μαζεύω γραμμική συνάρτησηπροσέγγιση των δεδομένων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Εργασία 2

Χρησιμοποιώντας το μοντέλο πρόβλεψης εσόδων Startup Airlines (Startup.xls), κάντε τα εξής:

Εργασία 3

Για χρονοσειρές

t
Χ

τρέξιμο:

1. Χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο σε 4 κόμβους και εκχωρώντας βάρη 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, προβλέψτε τη ζήτηση στο 11ο χρονικό σημείο. Θα πρέπει να αποδοθεί μεγαλύτερο βάρος σε πιο πρόσφατες παρατηρήσεις.
2. Είναι αυτή η προσέγγιση καλύτερη από έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 4 κόμβους; Γιατί;
3. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
4. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να βρείτε τα βέλτιστα βάρη κόμβων. Πόσο μειώθηκε το σφάλμα προσέγγισης;
5. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα;

Εργασία 4

Ανάλυση χρονοσειρών

χρόνος

Ζήτηση

1. Χρησιμοποιήστε έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο 4 κόμβων με βάρη 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 για να λάβετε μια πρόβλεψη σε περιόδους 5-13. Θα πρέπει να αποδοθεί μεγαλύτερο βάρος σε πιο πρόσφατες παρατηρήσεις.
2. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
3. Πιστεύετε ότι αυτή η προσέγγιση είναι καλύτερη από το μοντέλο απλού κινούμενου μέσου όρου 4 κόμβων; Γιατί;
4. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να βρείτε τα βέλτιστα βάρη κόμβων. Κατά πόσο καταφέρατε να μειώσετε την τιμή σφάλματος;
5. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν δίνει το καλύτερο αποτέλεσμα;

Εργασία 5

Δίνεται χρονολογική σειρά

Εργασία 7

Ο διευθυντής μάρκετινγκ μιας μικρής, αναπτυσσόμενης εταιρείας που περιέχει μια αλυσίδα παντοπωλείων έχει πληροφορίες σχετικά με τους όγκους πωλήσεων για όλη την ύπαρξη του πιο κερδοφόρου καταστήματος (βλ. πίνακα).

Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 3 κόμβους, προβλέψτε τις τιμές στους κόμβους 4 έως 11.

Χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο σε 3 κόμβους, προβλέψτε τις τιμές στους κόμβους 4 έως 11. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να προσδιορίσετε τα βέλτιστα βάρη.

Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για να προβλέψετε τις τιμές στους κόμβους 2-11. Προσδιορίστε τη βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης.

Ποια από τις προβλέψεις που λαμβάνονται είναι η πιο ακριβής και γιατί;

Εργασία 8

Δίνεται χρονολογική σειρά

1. Οικόπεδο αυτής της χρονοσειράς. Συνδέστε τα σημεία με ευθείες γραμμές.
2. Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινητό μέσο όρο σε 4 κόμβους, προβλέψτε τη ζήτηση για τους κόμβους 5-13.
3. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
4. Είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί αυτή τη μέθοδοπρόβλεψη για τα δεδομένα που παρουσιάζονται;
5. Είναι αυτή η προσέγγιση καλύτερη από έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 3 κόμβους; Γιατί;
6. Σχεδιάστε μια γραμμική και τετραγωνική τάση από τα δεδομένα.
7. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα;

Εργασία 10

Το βιβλίο εργασίας Business_Week.xls εμφανίζει δεδομένα από το Business Week για 43 μήνες μηνιαίων πωλήσεων αυτοκινήτων.

1. Καταργήστε το εποχικό στοιχείο από αυτά τα δεδομένα.
2. Καθορίσει καλύτερη μέθοδοςπρόβλεψη για τα διαθέσιμα δεδομένα.
3. Ποια είναι η πρόβλεψη για την 44η περίοδο;

Εργασία 11

1. απλό κύκλωμαπρόβλεψη, όταν η τιμή για την τελευταία εβδομάδα λαμβάνεται ως πρόβλεψη για την επόμενη εβδομάδα.
2. Μέθοδος κινητού μέσου όρου (με τον αριθμό των κόμβων της επιλογής σας). Προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε πολλά διαφορετικές έννοιεςκόμβους.

Εργασία 12

Το βιβλίο εργασίας Bank.xls δείχνει την απόδοση της τράπεζας. Σκεφτείτε παρακάτω μεθόδουςπροβλέποντας τις τιμές αυτής της χρονοσειράς.

Ως πρόβλεψη, χρησιμοποιείται η μέση τιμή του δείκτη για όλες τις προηγούμενες εβδομάδες.

Μέθοδος σταθμισμένου κινητού μέσου όρου (με τον αριθμό των κόμβων της επιλογής σας). Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε πολλές διαφορετικές τιμές κόμβων. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να προσδιορίσετε τα βέλτιστα βάρη.

Μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης. Βρείτε τη βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης.

Ποια από τις μεθόδους πρόβλεψης που προτείνονται παραπάνω θα προτείνατε για την πρόβλεψη των τιμών αυτής της χρονοσειράς;

Βιβλιογραφία

Παρόμοιες πληροφορίες.