Εκθετική εξομάλυνση - μέθοδος εξομάλυνσης χρονοσειρών, η υπολογιστική διαδικασία της οποίας περιλαμβάνει την επεξεργασία όλων των προηγούμενων παρατηρήσεων, λαμβάνοντας παράλληλα υπόψη την απαρχαιωμένη πληροφορία καθώς απομακρύνεται από την περίοδο πρόβλεψης. Με άλλα λόγια, όσο «παλαιότερη» είναι η παρατήρηση, τόσο λιγότερο θα πρέπει να επηρεάζει την αξία της προγνωστικής εκτίμησης. Ιδέα εκθετική εξομάλυνσηείναι ότι, καθώς οι αντίστοιχες παρατηρήσεις «γερνούν», επισυνάπτονται μειούμενα βάρη.

Αυτή η μέθοδος πρόβλεψης θεωρείται πολύ αποτελεσματική και αξιόπιστη. Τα κύρια πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι η ικανότητα να λαμβάνονται υπόψη τα βάρη γενικές πληροφορίες, στην απλότητα των υπολογιστικών πράξεων, στην ευελιξία της περιγραφής διαφόρων δυναμικών διαδικασιών. Η μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης καθιστά δυνατή την απόκτηση εκτίμησης των παραμέτρων τάσης που χαρακτηρίζουν μέσο επίπεδοδιαδικασία, αλλά η τάση που επικρατούσε τη στιγμή της τελευταίας παρατήρησης. Η μέθοδος έχει βρει τη μεγαλύτερη εφαρμογή για την υλοποίηση μεσοπρόθεσμων προβλέψεων. Για τη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης, το κύριο σημείο είναι η επιλογή της παραμέτρου εξομάλυνσης (σταθερά εξομάλυνσης) και αρχικές συνθήκες.

Μια απλή εκθετική εξομάλυνση των χρονοσειρών που περιέχουν μια τάση οδηγεί σε συστηματικό λάθοςσχετίζεται με την υστέρηση των εξομαλυνόμενων τιμών από τα πραγματικά επίπεδα της χρονοσειράς. Για να ληφθεί υπόψη η τάση στις μη στάσιμες σειρές, χρησιμοποιείται μια ειδική γραμμική εκθετική εξομάλυνση δύο παραμέτρων. Σε αντίθεση με την απλή εκθετική εξομάλυνση με μία σταθερά εξομάλυνσης (παράμετρος), αυτή η διαδικασία εξομαλύνει τόσο τις τυχαίες διαταραχές όσο και την τάση ταυτόχρονα χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές σταθερές (παραμέτρους). Η μέθοδος εξομάλυνσης δύο παραμέτρων (μέθοδος Holt) περιλαμβάνει δύο εξισώσεις. Το πρώτο είναι για την εξομάλυνση των παρατηρούμενων τιμών και το δεύτερο είναι για την εξομάλυνση των τάσεων:

όπου Ι - 2, 3, 4 - περίοδοι εξομάλυνσης. 5, - εξομαλυνθείσα αξία για την περίοδο £; U, - η πραγματική τιμή του επιπέδου για την περίοδο 1 5, 1 - εξομαλυνθεί η τιμή για την περίοδο ΒΒ- ομαλοποιημένη τιμή τάσης για την περίοδο 1 - εξομαλυνθείσα αξία για την περίοδο ΕΓΩ- 1; ΑΛΛΑ και το B είναι σταθερές εξομάλυνσης (αριθμοί μεταξύ 0 και 1).

Σταθερές εξομάλυνσης Α και Β χαρακτηρίζουν τον συντελεστή στάθμισης των παρατηρήσεων. Συνήθως ο Λ. ΣΤΟ< 0.3. Από (1 - ΑΛΛΑ)< 1, (1 - ΣΤΟ)< 1, τότε μειώνονται εκθετικά καθώς η παρατήρηση απομακρύνεται από την τρέχουσα περίοδο ΕΓΩ. Ως εκ τούτου, αυτή η διαδικασία ονομάζεται εκθετική εξομάλυνση.

Στη γενική διαδικασία προστίθεται μια εξίσωση για την εξομάλυνση της τάσης. Κάθε νέα εκτίμηση τάσης λαμβάνεται ως σταθμισμένο άθροισμα της διαφοράς μεταξύ των δύο τελευταίων εξομαλυνόμενων τιμών (η εκτίμηση της τρέχουσας τάσης) και της προηγούμενης εξομαλυνθείσας εκτίμησης. Αυτή η εξίσωσηεπιτρέπει τη σημαντική μείωση της επίδρασης των τυχαίων διαταραχών στην τάση με την πάροδο του χρόνου.

Η πρόβλεψη με χρήση εκθετικής εξομάλυνσης είναι παρόμοια με τη διαδικασία πρόβλεψης "αφελής", όταν η εκτίμηση της πρόβλεψης για το αύριο θεωρείται ότι είναι ίση με τη σημερινή τιμή. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηως πρόβλεψη για μια επόμενη περίοδο, θεωρείται η εξομαλυνόμενη τιμή για την τρέχουσα περίοδο συν την τρέχουσα εξομαλυνόμενη τιμή τάσης:

Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πρόβλεψη για οποιονδήποτε αριθμό περιόδων, για παράδειγμα, t έμμηνα:

Η διαδικασία πρόβλεψης ξεκινά με το γεγονός ότι η εξομαλυνόμενη τιμή 51 θεωρείται ότι είναι ίση με την πρώτη παρατήρηση Υ, δηλ. 5, = Υ,.

Υπάρχει πρόβλημα προσδιορισμού της αρχικής τιμής της τάσης 6]. Υπάρχουν δύο τρόποι αξιολόγησης bx.

Μέθοδος 1. Ας βάλουμε bx = 0. Αυτή η προσέγγιση λειτουργεί καλά στην περίπτωση μιας μεγάλης αρχικής χρονοσειράς. Στη συνέχεια, η εξομαλυνόμενη τάση για όχι μεγάλος αριθμόςπερίοδοι θα προσεγγίσουν την πραγματική αξία της τάσης.

Μέθοδος 2. Μπορεί να πάρει περισσότερα ακριβής εκτίμηση 6 χρησιμοποιώντας τις πρώτες πέντε (ή περισσότερες) παρατηρήσεις της χρονοσειράς. Με βάση αυτά, η μέθοδος gyu ελάχιστα τετράγωναλύνεται η εξίσωση Υ(= a + β x ζ. Αξία σι λαμβάνεται ως η αρχική τιμή της τάσης.

Πόσο Πρόβλεψη ΤΩΡΑ! καλύτερο μοντέλο Εκθετική εξομάλυνση (ES)μπορείτε να δείτε στο παρακάτω διάγραμμα. Στον άξονα Χ - τον αριθμό του στοιχείου, στον άξονα Υ - ποσοστιαία βελτίωση στην ποιότητα της πρόβλεψης. Περιγραφή του μοντέλου, λεπτομερής μελέτη, τα αποτελέσματα των πειραμάτων, διαβάστε παρακάτω.

Περιγραφή μοντέλου

Η πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης είναι μία από τις περισσότερες απλούς τρόπουςπρόβλεψη. Μια πρόβλεψη μπορεί να ληφθεί μόνο για μία επόμενη περίοδο. Εάν η πρόβλεψη πραγματοποιείται σε ημέρες, τότε μόνο μία ημέρα μπροστά, εάν εβδομάδες, τότε μία εβδομάδα.

Για σύγκριση, η πρόβλεψη πραγματοποιήθηκε μια εβδομάδα νωρίτερα για 8 εβδομάδες.

Τι είναι η εκθετική εξομάλυνση;

Αφήστε τη σειρά ΑΠΟαντιπροσωπεύει την αρχική σειρά πωλήσεων για πρόβλεψη

C(1)-εκπτώσεις πρώτης εβδομάδας ΑΠΟ(2) στο δεύτερο και ούτω καθεξής.

Εικόνα 1. Πωλήσεις ανά εβδομάδα, σειρά ΑΠΟ

Ομοίως, μια σειρά μικρόαντιπροσωπεύει μια εκθετικά εξομαλυνθείσα σειρά πωλήσεων. Ο συντελεστής α είναι από μηδέν έως ένα. Αποδεικνύεται ως εξής, εδώ t είναι ένα χρονικό σημείο (ημέρα, εβδομάδα)

S (t+1) = S(t) + α *(С(t) - S(t))

Μεγάλες τιμές της σταθεράς εξομάλυνσης α επιταχύνουν την απόκριση της πρόβλεψης στο άλμα στην παρατηρούμενη διαδικασία, αλλά μπορεί να οδηγήσουν σε απρόβλεπτες ακραίες τιμές, επειδή η εξομάλυνση θα είναι σχεδόν απούσα.

Για πρώτη φορά μετά την έναρξη των παρατηρήσεων, έχοντας μόνο ένα αποτέλεσμα παρατηρήσεων Γ (1) όταν η πρόβλεψη S (1) όχι, και εξακολουθεί να είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί ο τύπος (1), ως πρόβλεψη S (2) πρέπει να πάρει C (1) .

Ο τύπος μπορεί εύκολα να ξαναγραφτεί σε διαφορετική μορφή:

μικρό (t+1) = (1 -α )* μικρό (t) +α * ΑΠΟ (t).

Έτσι, με την αύξηση της σταθεράς εξομάλυνσης, το μερίδιο των πρόσφατων πωλήσεων αυξάνεται και το μερίδιο των εξομαλυνόμενων προηγούμενων πωλήσεων μειώνεται.

Η σταθερά α επιλέγεται εμπειρικά. Συνήθως, γίνονται πολλές προβλέψεις για διαφορετικές σταθερές και επιλέγεται η βέλτιστη σταθερά ως προς το επιλεγμένο κριτήριο.

Το κριτήριο μπορεί να είναι η ακρίβεια της πρόβλεψης για προηγούμενες περιόδους.

Στη μελέτη μας, εξετάσαμε μοντέλα εκθετικής εξομάλυνσης στα οποία το α παίρνει τις τιμές (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Για σύγκριση με την Πρόβλεψη ΤΩΡΑ! για κάθε προϊόν, έγιναν προβλέψεις για κάθε α και επιλέχθηκε η πιο ακριβής πρόβλεψη. Στην πραγματικότητα, η κατάσταση θα ήταν πολύ πιο περίπλοκη, ο χρήστης, μη γνωρίζοντας εκ των προτέρων την ακρίβεια της πρόβλεψης, πρέπει να αποφασίσει για τον συντελεστή α, από τον οποίο εξαρτάται πολύ η ποιότητα της πρόβλεψης. Εδώ είναι ένας τέτοιος φαύλος κύκλος.

σαφώς

Σχήμα 2. α =0,2 , ο βαθμός εκθετικής εξομάλυνσης είναι υψηλός, οι πραγματικές πωλήσεις λαμβάνονται ελάχιστα υπόψη

Σχήμα 3. α =0,4 , ο βαθμός εκθετικής εξομάλυνσης είναι μέσος όρος, οι πραγματικές πωλήσεις λαμβάνονται υπόψη στο μέσο βαθμό

Μπορείτε να δείτε πώς καθώς αυξάνεται η σταθερά α, η εξομαλυνόμενη σειρά ταιριάζει όλο και περισσότερο με τις πραγματικές πωλήσεις και εάν υπάρχουν ακραίες τιμές ή ανωμαλίες, θα έχουμε μια πολύ ανακριβή πρόβλεψη.

Σχήμα 4. α =0,6 , ο βαθμός εκθετικής εξομάλυνσης είναι χαμηλός, οι πραγματικές πωλήσεις λαμβάνονται υπόψη σημαντικά

Μπορούμε να δούμε ότι στο α=0,8, η σειρά επαναλαμβάνει σχεδόν ακριβώς την αρχική, πράγμα που σημαίνει ότι η πρόβλεψη τείνει στον κανόνα «το ίδιο ποσό θα πωληθεί με χθες»

Πρέπει να σημειωθεί ότι εδώ είναι απολύτως αδύνατο να εστιάσουμε στο σφάλμα προσέγγισης στα αρχικά δεδομένα. Μπορείτε να πετύχετε ένα τέλειο ταίρι, αλλά να πάρετε μια απαράδεκτη πρόβλεψη.

Σχήμα 5. α = 0,8, ο βαθμός εκθετικής εξομάλυνσης είναι εξαιρετικά χαμηλός, οι πραγματικές πωλήσεις λαμβάνονται σοβαρά υπόψη

Παραδείγματα προβλέψεων

Τώρα ας δούμε τις προβλέψεις που γίνονται χρησιμοποιώντας διαφορετικές έννοιεςένα. Όπως φαίνεται από τα σχήματα 6 και 7, όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής εξομάλυνσης, τόσο ακριβέστερα επαναλαμβάνει τις πραγματικές πωλήσεις με καθυστέρηση ενός βήματος, την πρόβλεψη. Μια τέτοια καθυστέρηση μπορεί στην πραγματικότητα να είναι κρίσιμη, επομένως δεν μπορείτε απλώς να επιλέξετε μέγιστη αξίαένα. Διαφορετικά, θα καταλήξουμε σε μια κατάσταση όπου λέμε ότι θα πουληθούν ακριβώς όσα πουλήθηκαν την προηγούμενη περίοδο.

Εικόνα 6. Πρόβλεψη της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης για α=0,2

Εικόνα 7. Πρόβλεψη της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης για α=0,6

Ας δούμε τι συμβαίνει όταν α = 1,0. Θυμηθείτε ότι S - προβλεπόμενες (εξομαλυνόμενες) πωλήσεις, C - πραγματικές πωλήσεις.

μικρό (t+1) = (1 -α )* μικρό (t) +α * ΑΠΟ (t).

μικρό (t+1) =ΑΠΟ (t).

Οι πωλήσεις την ημέρα t+1 προβλέπεται να είναι ίσες με τις πωλήσεις της προηγούμενης ημέρας. Επομένως, η επιλογή μιας σταθεράς πρέπει να προσεγγιστεί με σύνεση.

Σύγκριση με την Πρόβλεψη ΤΩΡΑ!

Τώρα σκεφτείτε αυτή τη μέθοδοπρόβλεψη έναντι πρόβλεψης ΤΩΡΑ!. Η σύγκριση πραγματοποιήθηκε σε 256 προϊόντα που έχουν διαφορετικές πωλήσεις, με βραχυπρόθεσμη και μακροπρόθεσμη εποχικότητα, με «κακές» πωλήσεις και ελλείψεις, αποθέματα και άλλες ακραίες τιμές. Για κάθε προϊόν, δημιουργήθηκε μια πρόβλεψη χρησιμοποιώντας το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης, για διάφορα α, επιλέχθηκε η καλύτερη και συγκρίθηκε με την πρόβλεψη χρησιμοποιώντας την Πρόβλεψη ΤΩΡΑ!

Στον παρακάτω πίνακα, μπορείτε να δείτε την τιμή του σφάλματος πρόβλεψης για κάθε στοιχείο. Το σφάλμα εδώ θεωρήθηκε ως RMSE. Αυτή είναι η ρίζα του τυπική απόκλισηπρόβλεψη από την πραγματικότητα. Σε γενικές γραμμές, δείχνει με πόσες μονάδες αγαθών παρεκκλίναμε στην πρόβλεψη. Η βελτίωση δείχνει κατά πόσο το ποσοστό της Πρόβλεψης ΤΩΡΑ! είναι καλύτερα αν ο αριθμός είναι θετικός και χειρότερο αν είναι αρνητικός. Στο Σχήμα 8, ο άξονας x δείχνει τα αγαθά, ο άξονας y δείχνει πόσο είναι η Πρόβλεψη ΤΩΡΑ! καλύτερη από την πρόβλεψη εκθετικής εξομάλυνσης. Όπως μπορείτε να δείτε από αυτό το γράφημα, Πρόβλεψη ΤΩΡΑ! σχεδόν πάντα διπλάσιο και σχεδόν ποτέ χειρότερο. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι χρησιμοποιείτε το Forecast NOW! θα επιτρέψει τη μείωση στο ήμισυ των αποθεμάτων ή τη μείωση των ελλείψεων.

9 5. Μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης. Επιλογή σταθεράς εξομάλυνσης

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων για τον προσδιορισμό της προγνωστικής τάσης (τάση), θεωρείται εκ των προτέρων ότι όλα τα αναδρομικά δεδομένα (παρατηρήσεις) έχουν το ίδιο περιεχόμενο πληροφοριών. Προφανώς, θα ήταν πιο λογικό να ληφθεί υπόψη η διαδικασία έκπτωσης των αρχικών πληροφοριών, δηλαδή η άνιση αξία αυτών των δεδομένων για την ανάπτυξη μιας πρόβλεψης. Αυτό επιτυγχάνεται στη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης δίνοντας την τελευταία παρατήρηση δυναμική σειρά(δηλαδή οι τιμές που προηγούνται αμέσως της προβλεπόμενης περιόδου) πιο σημαντικών «βαρών» σε σύγκριση με τις αρχικές παρατηρήσεις. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης θα πρέπει επίσης να περιλαμβάνουν την απλότητα των υπολογιστικών πράξεων και την ευελιξία στην περιγραφή των διαφόρων δυναμικών διεργασιών. Η μέθοδος έχει βρει τη μεγαλύτερη εφαρμογή για την υλοποίηση μεσοπρόθεσμων προβλέψεων.

5.1. Η ουσία της μεθόδου εκθετικής εξομάλυνσης

Η ουσία της μεθόδου είναι ότι οι χρονοσειρές εξομαλύνονται χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο «κινούμενο μέσο όρο», στον οποίο τα βάρη υπακούουν στον εκθετικό νόμο. Με άλλα λόγια, όσο πιο μακριά από το τέλος της χρονοσειράς είναι το σημείο για το οποίο υπολογίζεται ο σταθμισμένος κινητός μέσος όρος, τόσο λιγότερη «συμμετοχή» απαιτείται στην ανάπτυξη της πρόβλεψης.

Έστω ότι η αρχική δυναμική σειρά αποτελείται από επίπεδα (στοιχεία σειράς) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Για κάθε m διαδοχικά επίπεδα αυτής της σειράς

(Μ

δυναμική σειρά με βήμα ίσο με ένα. Εάν το m είναι ένας περιττός αριθμός και είναι προτιμότερο να ληφθεί ένας περιττός αριθμός επιπέδων, καθώς στην περίπτωση αυτή η υπολογισμένη τιμή επιπέδου θα βρίσκεται στο κέντρο του διαστήματος εξομάλυνσης και είναι εύκολο να αντικατασταθεί η πραγματική τιμή με αυτήν, τότε η Ο ακόλουθος τύπος μπορεί να γραφτεί για να προσδιοριστεί ο κινητός μέσος όρος:

			t+ ξ			t+ ξ
			∑ y i			∑ y i
			i= t−ξ			i= t−ξ
			2ξ + 1

όπου y t είναι η τιμή του κινούμενου μέσου όρου για τη στιγμή t (t = 1 , 2 ,...,n )· y i είναι η πραγματική τιμή του επιπέδου τη στιγμή i ;

i είναι ο τακτικός αριθμός του επιπέδου στο διάστημα εξομάλυνσης.

Η τιμή του ξ προσδιορίζεται από τη διάρκεια του διαστήματος εξομάλυνσης.

Επειδή η

m =2 ξ +1

για μονό m, λοιπόν

ξ = m 2 − 1 .

Ο υπολογισμός του κινητού μέσου όρου για μεγάλο αριθμό επιπέδων μπορεί να απλοποιηθεί ορίζοντας διαδοχικές τιμές του κινητού μέσου όρου αναδρομικά:

y t= y t− 1 +	yt + ξ	− y t − (ξ + 1 )
		2ξ + 1

Δεδομένου όμως του γεγονότος ότι στις τελευταίες παρατηρήσεις πρέπει να δοθεί μεγαλύτερη «βαρύτητα», ο κινητός μέσος όρος πρέπει να ερμηνευτεί διαφορετικά. Βρίσκεται στο γεγονός ότι η τιμή που προκύπτει από τον μέσο όρο δεν αντικαθιστά τον κεντρικό όρο του διαστήματος μέσης τιμής, αλλά τον τελευταίο όρο του. Κατά συνέπεια, η τελευταία έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Mi = Mi + 1		y i− y i− m

Εδώ ο κινητός μέσος όρος, που σχετίζεται με το τέλος του διαστήματος, συμβολίζεται με το νέο σύμβολο M i . Ουσιαστικά, το M i ισούται με y t μετατοπισμένα ξ βήματα προς τα δεξιά, δηλαδή M i = y t + ξ , όπου i = t + ξ .

Λαμβάνοντας υπόψη ότι το M i − 1 είναι μια εκτίμηση του y i − m , η έκφραση (5.1)

μπορεί να ξαναγραφτεί στη φόρμα

				y i+ 1				M i − 1,
	Το M i ορίζεται από την έκφραση (5.1).
όπου M i είναι η εκτίμηση
Εάν οι υπολογισμοί (5.2) επαναληφθούν καθώς έρχονται νέες πληροφορίες
και ξαναγράψτε με διαφορετική μορφή, τότε λαμβάνουμε μια εξομαλυνόμενη συνάρτηση παρατήρησης:
	Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 ,
ή σε αντίστοιχη μορφή
	Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1

Οι υπολογισμοί που πραγματοποιούνται με την έκφραση (5.3) με κάθε νέα παρατήρηση ονομάζονται εκθετική εξομάλυνση. Στην τελευταία έκφραση, για να διακρίνουμε την εκθετική εξομάλυνση από τον κινούμενο μέσο όρο, εισάγεται ο συμβολισμός Q αντί του M . Η τιμή α , που είναι

ανάλογο του m 1 ονομάζεται σταθερά εξομάλυνσης. Οι τιμές του α βρίσκονται μέσα

διάστημα [0, 1]. Αν το α παριστάνεται ως σειρά

α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n ,

είναι εύκολο να δει κανείς ότι τα «βαρίδια» μειώνονται εκθετικά στο χρόνο. Για παράδειγμα, για α = 0 , 2 παίρνουμε

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Το άθροισμα της σειράς τείνει προς τη μονάδα και οι όροι του αθροίσματος μειώνονται με το χρόνο.

Η τιμή του Q t στην έκφραση (5.3) είναι ο εκθετικός μέσος όρος της πρώτης τάξης, δηλαδή ο μέσος όρος που προκύπτει απευθείας από

εξομάλυνση των δεδομένων παρατήρησης (πρωτογενής εξομάλυνση). Μερικές φορές, κατά την ανάπτυξη στατιστικών μοντέλων, είναι χρήσιμο να καταφεύγουμε στον υπολογισμό των εκθετικών μέσων όρων υψηλότερων τάξεων, δηλαδή στους μέσους όρους που λαμβάνονται με επαναλαμβανόμενη εκθετική εξομάλυνση.

Η γενική σημειογραφία στην αναδρομική μορφή του εκθετικού μέσου της τάξης k είναι

Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ).

Η τιμή του k ποικίλλει εντός 1, 2, …, p ,p+1 , όπου p είναι η τάξη του προγνωστικού πολυωνύμου (γραμμικό, τετραγωνικό κ.λπ.).

Με βάση αυτόν τον τύπο, για τον εκθετικό μέσο όρο της πρώτης, δεύτερης και τρίτης τάξης, οι εκφράσεις

Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 );

Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ).

5.2. Προσδιορισμός των παραμέτρων του προγνωστικού μοντέλου με τη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης

Προφανώς, για να αναπτυχθούν προγνωστικές τιμές με βάση τις δυναμικές σειρές χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εκθετικής εξομάλυνσης, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντελεστές της εξίσωσης τάσης μέσω εκθετικών μέσων. Οι εκτιμήσεις των συντελεστών καθορίζονται από το θεμελιώδες θεώρημα των Brown-Meyer, το οποίο συσχετίζει τους συντελεστές του προγνωστικού πολυωνύμου με τους εκθετικούς μέσους όρους των αντίστοιχων τάξεων:

(− 1 )

aˆp

α (1 − α )∞

−α )

j (p − 1 + j ) !

∑j

p=0

Π! (k− 1 ) !j = 0

όπου aˆ p είναι εκτιμήσεις των συντελεστών του πολυωνύμου του βαθμού p .

Οι συντελεστές βρίσκονται λύνοντας το σύστημα (p + 1 ) των εξισώσεων сp + 1

άγνωστος.

Έτσι, για ένα γραμμικό μοντέλο

aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )) ;

για ένα τετραγωνικό μοντέλο

aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 );

aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ;

aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] .

Η πρόβλεψη υλοποιείται σύμφωνα με το επιλεγμένο πολυώνυμο, αντίστοιχα, για το γραμμικό μοντέλο

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ;

για ένα τετραγωνικό μοντέλο

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2,

όπου τ είναι το βήμα πρόβλεψης.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι εκθετικοί μέσοι όροι Q t (k ) μπορούν να υπολογιστούν μόνο με μια γνωστή (επιλεγμένη) παράμετρο, γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες Q 0 (k ) .

Εκτιμήσεις αρχικών συνθηκών, ειδικότερα, για ένα γραμμικό μοντέλο

Q(1)=a			1 − α
Q(2 ) = a − 2 (1 − α ) a

για ένα τετραγωνικό μοντέλο

Q(1)=a

1 − α

+ (1 − α )(2 − α ) α

2(1−α)

(1− α )(3− 2α )

Q 0(2 ) = a 0−

2α 2

Q(3)=a

3(1−α)

(1 − α )(4 − 3 α ) α

όπου οι συντελεστές a 0 και a 1 υπολογίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Η τιμή της παραμέτρου εξομάλυνσης α υπολογίζεται κατά προσέγγιση από τον τύπο

α ≈ m 2 + 1,

όπου m είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων (τιμών) στο διάστημα εξομάλυνσης. Η σειρά υπολογισμού των προγνωστικών τιμών εμφανίζεται στο

	Υπολογισμός συντελεστών μιας σειράς με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων
	Προσδιορισμός του διαστήματος εξομάλυνσης
	Υπολογισμός της σταθεράς εξομάλυνσης
	Υπολογισμός αρχικών συνθηκών
	Υπολογισμός εκθετικών μέσων όρων
	Υπολογισμός εκτιμήσεων a 0 , a 1 , κ.λπ.
	Υπολογισμός προβλεπόμενων τιμών μιας σειράς
	Ρύζι. 5.1. Η σειρά υπολογισμού των προβλεπόμενων τιμών

Ως παράδειγμα, εξετάστε τη διαδικασία για τη λήψη της προγνωστικής τιμής του χρόνου λειτουργίας του προϊόντος, που εκφράζεται με το χρόνο μεταξύ των αστοχιών.

Τα αρχικά δεδομένα συνοψίζονται στον πίνακα. 5.1.

Επιλέγουμε ένα γραμμικό μοντέλο πρόβλεψης με τη μορφή y t = a 0 + a 1 τ

Η λύση είναι εφικτή με τις ακόλουθες αρχικές τιμές:

a 0 , 0 = 64, 2; a 1, 0 = 31,5; α = 0,305.

Πίνακας 5.1. Αρχικά στοιχεία

Αριθμός παρατήρησης, t

Βήμα μήκος, πρόβλεψη, τ

MTBF, y (ώρα)

Για αυτές τις τιμές, οι υπολογισμένοι «εξομαλυνθέντες» συντελεστές για

y 2 τιμές θα είναι ίσες

= α Q (1 )− Q (2 )= 97 , 9 ;

[ Q (1 ) − Q (2 )

31, 9 ,

1−α

υπό αρχικές συνθήκες

1 − α

A 0 , 0 −

ένα 1, 0

= −7 , 6

1 − α

= −79 , 4

και εκθετικούς μέσους όρους

Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 )

25, 2;

Q(2)

= α Q (1 )

+ (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 .

Στη συνέχεια, η "εξομαλυνθείσα" τιμή y 2 υπολογίζεται από τον τύπο

Q i (1)

Q i (2)

a 0, i

a 1, i

ˆyt

Έτσι (Πίνακας 5.2), το γραμμικό μοντέλο πρόβλεψης έχει τη μορφή

ˆy t + τ = 224,5+ 32τ .

Ας υπολογίσουμε τις προβλεπόμενες τιμές για περιόδους μολύβδου 2 ετών (τ = 1 ), 4 ετών (τ = 2 ) και ούτω καθεξής, το χρονικό διάστημα μεταξύ των αστοχιών του προϊόντος (Πίνακας 5.3).

Πίνακας 5.3. Τιμές πρόβλεψηςˆy t

Η εξίσωση	t+2	t+4	t+6		t+8		t+20
οπισθοδρόμηση	(τ = 1)	(τ=2)	(τ = 3)				(τ=5)
				τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ

Πρέπει να σημειωθεί ότι το συνολικό «βάρος» των τελευταίων τιμών m της χρονοσειράς μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

c = 1 − (m (− 1 ) m ) . m+ 1

Έτσι, για τις δύο τελευταίες παρατηρήσεις της σειράς (m = 2 ) η τιμή c = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0. 667 .

5.3. Επιλογή αρχικών συνθηκών και προσδιορισμός της σταθεράς εξομάλυνσης

Όπως προκύπτει από την έκφραση

Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1,

όταν εκτελείτε εκθετική εξομάλυνση, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε την αρχική (προηγούμενη) τιμή της εξομαλυνόμενης συνάρτησης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, για αρχική τιμήμπορεί κανείς να κάνει την πρώτη παρατήρηση, πιο συχνά οι αρχικές συνθήκες καθορίζονται σύμφωνα με τις εκφράσεις (5.4) και (5.5). Σε αυτήν την περίπτωση, οι τιμές a 0, 0, a 1, 0

και a 2, 0 προσδιορίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Εάν δεν εμπιστευόμαστε πραγματικά την επιλεγμένη αρχική τιμή, τότε, λαμβάνοντας μια μεγάλη τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης α μέσω k παρατηρήσεων, θα φέρουμε

«βάρος» της αρχικής τιμής μέχρι την τιμή (1 − α ) k<< α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Έτσι, η επιλογή της σταθεράς εξομάλυνσης (ή του αριθμού των παρατηρήσεων στον κινητό μέσο όρο) συνεπάγεται ένα συμβιβασμό. Συνήθως, όπως δείχνει η πρακτική, η τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης βρίσκεται στην περιοχή από 0,01 έως 0,3.

Είναι γνωστές αρκετές μεταβάσεις που επιτρέπουν σε κάποιον να βρει μια κατά προσέγγιση εκτίμηση του α . Το πρώτο προκύπτει από την προϋπόθεση ότι ο κινητός μέσος όρος και ο εκθετικός μέσος όρος είναι ίσοι

α \u003d m 2 + 1,

όπου m είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων στο διάστημα εξομάλυνσης. Άλλες προσεγγίσεις σχετίζονται με την ακρίβεια της πρόβλεψης.

Έτσι, είναι δυνατός ο προσδιορισμός του α με βάση τη σχέση Meyer:

α ≈ S y,

όπου S y είναι το τυπικό σφάλμα του μοντέλου.

Το S 1 είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα της αρχικής σειράς.

Ωστόσο, η χρήση της τελευταίας αναλογίας περιπλέκεται από το γεγονός ότι είναι πολύ δύσκολο να προσδιοριστούν αξιόπιστα τα S y και S 1 από τις αρχικές πληροφορίες.

Συχνά η παράμετρος εξομάλυνσης και ταυτόχρονα οι συντελεστές a 0 , 0 και a 0 , 1

επιλέγονται ως βέλτιστα ανάλογα με το κριτήριο

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min

j=0

λύνοντας το αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων, το οποίο προκύπτει εξισώνοντας τις παραγώγους με το μηδέν

∂S2		∂S2		∂S2
∂a0, 0		∂ a 1, 0		∂a2, 0

Άρα, για ένα γραμμικό μοντέλο πρόβλεψης, το αρχικό κριτήριο είναι ίσο με

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min.

j=0

Η λύση αυτού του συστήματος με τη βοήθεια υπολογιστή δεν παρουσιάζει δυσκολίες.

Για μια λογική επιλογή του α, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τη διαδικασία γενικευμένης εξομάλυνσης, η οποία σας επιτρέπει να αποκτήσετε τις ακόλουθες σχέσεις που σχετίζονται με τη διακύμανση πρόβλεψης και την παράμετρο εξομάλυνσης για ένα γραμμικό μοντέλο:

S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2

για ένα τετραγωνικό μοντέλο

S p 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2,

όπου β = 1 − α ;μικρόy– Προσέγγιση RMS της αρχικής δυναμικής σειράς.

Προφανώς, στη μέθοδο του σταθμισμένου κινούμενου μέσου όρου, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να ορίσετε τα βάρη έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 1. Μία από αυτές τις μεθόδους ονομάζεται εκθετική εξομάλυνση. Σε αυτό το σχήμα της μεθόδου του σταθμισμένου μέσου όρου, για οποιαδήποτε t > 1, η προβλεπόμενη τιμή τη χρονική στιγμή t+1 είναι το σταθμισμένο άθροισμα των πραγματικών πωλήσεων, , στη χρονική περίοδο t, και των προβλεπόμενων πωλήσεων, στη χρονική περίοδο t Σε άλλες λόγια,

Η εκθετική εξομάλυνση έχει υπολογιστικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τους κινητούς μέσους όρους. Εδώ, για να υπολογίσετε , είναι απαραίτητο μόνο να γνωρίζετε τις τιμές του , και , (μαζί με την τιμή του α). Για παράδειγμα, εάν μια εταιρεία χρειάζεται να προβλέψει τη ζήτηση για 5.000 είδη σε κάθε χρονική περίοδο, τότε πρέπει να αποθηκεύσει 10.001 τιμές δεδομένων (5.000 τιμές, 5.000 τιμές και μια τιμή α), ενώ να κάνει μια πρόβλεψη με βάση έναν κινητό μέσο όρο 8 κόμβων απαιτούνται 40.000 τιμές δεδομένων. Ανάλογα με τη συμπεριφορά των δεδομένων, μπορεί να είναι απαραίτητο να αποθηκεύονται διαφορετικές τιμές του α για κάθε προϊόν, αλλά ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση, ο όγκος των πληροφοριών που αποθηκεύονται είναι πολύ μικρότερος από ό,τι όταν χρησιμοποιείται ένας κινητός μέσος όρος. Το καλό με την εκθετική εξομάλυνση είναι ότι διατηρώντας το α και την τελευταία πρόβλεψη, όλες οι προηγούμενες προβλέψεις διατηρούνται επίσης σιωπηρά.

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες του μοντέλου εκθετικής εξομάλυνσης. Αρχικά, σημειώνουμε ότι αν t > 2, τότε στον τύπο (1) το t μπορεί να αντικατασταθεί από t–1, δηλ. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον αρχικό τύπο (1), λαμβάνουμε

Εκτελώντας διαδοχικές παρόμοιες αντικαταστάσεις, λαμβάνουμε παρακάτω έκφρασηΓια

Αφού από την ανίσωση 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Μπορεί να φανεί από τον τύπο (2) ότι η τιμή είναι το σταθμισμένο άθροισμα όλων των προηγούμενων παρατηρήσεων (συμπεριλαμβανομένης της τελευταίας παρατήρησης ). Ο τελευταίος όρος του αθροίσματος (2) δεν είναι στατιστική παρατήρηση, αλλά με "υπόθεση" (μπορούμε να υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι ). Προφανώς, με την αύξηση του t, η επίδραση στην πρόβλεψη μειώνεται και σε μια συγκεκριμένη στιγμή μπορεί να παραμεληθεί. Ακόμα κι αν η τιμή του α είναι αρκετά μικρή (έτσι ώστε το (1 - α) να είναι περίπου ίση με 1), η τιμή θα μειωθεί γρήγορα.

Η τιμή της παραμέτρου α επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό την απόδοση του μοντέλου πρόβλεψης, αφού το α είναι το βάρος της πιο πρόσφατης παρατήρησης. Αυτό σημαίνει ότι κάποιος πρέπει να αναθέσει μεγαλύτερη αξίαα στην περίπτωση που το πιο προγνωστικό μοντέλο είναι η τελευταία παρατήρηση. Εάν το α είναι κοντά στο 0, αυτό σημαίνει σχεδόν πλήρη εμπιστοσύνη στην προηγούμενη πρόβλεψη και αγνόηση της τελευταίας παρατήρησης.

Ο Βίκτορ είχε ένα πρόβλημα: πώς ο καλύτερος τρόποςεπιλέξτε την τιμή του α. Και πάλι, το εργαλείο επίλυσης θα σας βοηθήσει με αυτό. Για να βρείτε τη βέλτιστη τιμή του α (δηλαδή, αυτή στην οποία η καμπύλη πρόβλεψης θα αποκλίνει λιγότερο από την καμπύλη τιμών χρονοσειράς), κάντε τα εξής.

1. Επιλέξτε την εντολή Εργαλεία -> Αναζήτηση λύσης.
2. Στο παράθυρο διαλόγου Εύρεση λύσης που ανοίγει, ορίστε το κελί προορισμού σε G16 (δείτε το φύλλο Expo) και καθορίστε ότι η τιμή του πρέπει να είναι η ελάχιστη.
3. Καθορίστε ότι το κελί που θα τροποποιηθεί είναι το κελί B1.
4. Εισαγάγετε τους περιορισμούς B1 > 0 και B1< 1
5. Κάνοντας κλικ στο κουμπί Εκτέλεση, θα λάβετε το αποτέλεσμα που φαίνεται στην Εικ. οκτώ.

Και πάλι, όπως και στη μέθοδο του σταθμισμένου κινητού μέσου όρου, η καλύτερη πρόβλεψη θα επιτευχθεί με την ανάθεση του πλήρους βάρους στην τελευταία παρατήρηση. Επομένως, η βέλτιστη τιμή του α είναι 1, με τις μέσες απόλυτες αποκλίσεις να είναι 6,82 (κελί G16). Ο Βίκτορ έλαβε μια πρόβλεψη που είχε ήδη δει στο παρελθόν.

Η μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης λειτουργεί καλά σε καταστάσεις όπου η μεταβλητή που μας ενδιαφέρει συμπεριφέρεται ακίνητη και οι αποκλίσεις της από μια σταθερή τιμή προκαλούνται από τυχαίους παράγοντες και δεν είναι κανονικές. Αλλά: ανεξάρτητα από την τιμή της παραμέτρου α, η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης δεν θα μπορεί να προβλέψει μονότονα αυξανόμενα ή μονότονα μειούμενα δεδομένα (οι προβλεπόμενες τιμές θα είναι πάντα μικρότερες ή περισσότερες από τις παρατηρούμενες, αντίστοιχα). Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι σε ένα μοντέλο με εποχιακές διακυμάνσεις, δεν θα είναι δυνατό να επιτευχθούν ικανοποιητικές προβλέψεις με αυτή τη μέθοδο.

Εάν τα στατιστικά στοιχεία αλλάζουν μονότονα ή υπόκεινται σε εποχιακές αλλαγές, ειδικές μεθόδουςπροβλέψεις, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω.

Μέθοδος Holt (εκθετική εξομάλυνση με τάση)

,

Η μέθοδος του Holt επιτρέπει την πρόβλεψη για k επόμενες χρονικές περιόδους. Η μέθοδος, όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιεί δύο παραμέτρους α και β. Οι τιμές αυτών των παραμέτρων κυμαίνονται από 0 έως 1. Η μεταβλητή L υποδηλώνει το μακροπρόθεσμο επίπεδο τιμών ή την υποκείμενη τιμή των δεδομένων χρονοσειρών. Η μεταβλητή T υποδεικνύει την πιθανή αύξηση ή μείωση των τιμών σε μία περίοδο.

Ας εξετάσουμε το έργο αυτής της μεθόδου σε ένα νέο παράδειγμα. Η Σβετλάνα εργάζεται ως αναλυτής σε μια μεγάλη χρηματιστηριακή εταιρεία. Με βάση τις τριμηνιαίες εκθέσεις που έχει για τις Startup Airlines, θέλει να προβλέψει τα κέρδη αυτής της εταιρείας για το επόμενο τρίμηνο. Τα διαθέσιμα δεδομένα και το διάγραμμα που χτίστηκε στη βάση τους βρίσκονται στο βιβλίο εργασίας Startup.xls (Εικ. 9). Φαίνεται ότι τα δεδομένα έχουν σαφή τάση (σχεδόν μονότονα αυξητική). Η Σβετλάνα θέλει να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο Holt για να προβλέψει τα κέρδη ανά μετοχή για το δέκατο τρίτο τρίμηνο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ορίσετε τις αρχικές τιμές για τα L και T. Υπάρχουν πολλές επιλογές: 1) Το L είναι ίσο με την αξία των κερδών ανά μετοχή για το πρώτο τρίμηνο και T = 0. 2) Το L είναι ίσο με τη μέση αξία των κερδών ανά μετοχή για 12 τρίμηνα και το T είναι ίσο με τη μέση μεταβολή και για τα 12 τρίμηνα. Υπάρχουν και άλλες επιλογές για τις αρχικές τιμές για τα L και T, αλλά η Σβετλάνα επέλεξε την πρώτη επιλογή.

Αποφάσισε να χρησιμοποιήσει το εργαλείο Εύρεση λύσης για να βρει τη βέλτιστη τιμή των παραμέτρων α και β, στην οποία η τιμή του μέσου απόλυτα λάθηποσοστό θα ήταν ελάχιστο. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ακολουθήσετε αυτά τα βήματα.

Επιλέξτε την εντολή Service -> Αναζήτηση λύσης.

Στο παράθυρο διαλόγου Αναζήτηση λύσης που ανοίγει, ορίστε το κελί F18 ως κελί προορισμού και υποδείξτε ότι η τιμή του πρέπει να ελαχιστοποιηθεί.

Στο πεδίο Αλλαγή κελιών, εισαγάγετε την περιοχή των κελιών B1:B2. Προσθέστε περιορισμούς B1:B2 > 0 και B1:B2< 1.

Κάντε κλικ στο κουμπί Εκτέλεση.

Η προκύπτουσα πρόβλεψη φαίνεται στο σχ. δέκα.

Όπως φαίνεται, οι βέλτιστες τιμές αποδείχθηκαν α = 0,59 και β = 0,42, ενώ το μέσο απόλυτο σφάλμα σε ποσοστό είναι 38%.

Λογιστική εποχιακές αλλαγές

Οι εποχικές αλλαγές θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά την πρόβλεψη από δεδομένα χρονοσειρών. Οι εποχιακές αλλαγές είναι διακυμάνσεις άνω και κάτω με σταθερή περίοδο στις τιμές μιας μεταβλητής.

Για παράδειγμα, αν κοιτάξετε τις πωλήσεις παγωτού ανά μήνα, μπορείτε να δείτε μέσα ζεστούς μήνες(Ιούνιος έως Αύγουστος στο βόρειο ημισφαίριο) πάνω υψηλό επίπεδοπωλήσεις από ό,τι το χειμώνα, και έτσι κάθε χρόνο. Εδώ οι εποχιακές διακυμάνσεις έχουν περίοδο 12 μηνών. Εάν χρησιμοποιούνται εβδομαδιαία δεδομένα, τότε η δομή εποχιακές διακυμάνσειςθα επαναλαμβάνεται κάθε 52 εβδομάδες Ένα άλλο παράδειγμα αναλύει εβδομαδιαίες αναφορές σχετικά με τον αριθμό των επισκεπτών που διανυκτέρευσαν σε ξενοδοχείο που βρίσκεται στο επιχειρηματικό κέντρο της πόλης. Πιθανώς, μπορεί να ειπωθεί ότι αναμένεται μεγάλος αριθμός πελατών το βράδυ της Τρίτης , Τετάρτη και Πέμπτη, ο λιγότερος αριθμός πελατών θα είναι το βράδυ του Σαββάτου και της Κυριακής και ο μέσος αριθμός επισκεπτών αναμένεται την Παρασκευή και τη Δευτέρα το βράδυ. Μια τέτοια δομή δεδομένων που εμφανίζει τον αριθμό των πελατών διαφορετικές μέρεςεβδομάδες, θα επαναλαμβάνεται κάθε επτά ημέρες.

Η διαδικασία για την πραγματοποίηση μιας εποχικά προσαρμοσμένης πρόβλεψης αποτελείται από τα ακόλουθα τέσσερα βήματα:

1) Με βάση τα αρχικά δεδομένα προσδιορίζεται η δομή των εποχιακών διακυμάνσεων και η περίοδος αυτών των διακυμάνσεων.

3) Με βάση τα στοιχεία, από τα οποία εξαιρείται η εποχική συνιστώσα, γίνεται η καλύτερη δυνατή πρόβλεψη.

4) Η εποχική συνιστώσα προστίθεται στη ληφθείσα πρόβλεψη.

Ας δείξουμε αυτήν την προσέγγιση με δεδομένα πωλήσεων άνθρακα (μετρούμενα σε χιλιάδες τόνους) στις Ηνωμένες Πολιτείες για εννέα χρόνια ως διευθυντής στο Gillette Coal Mine, χρειάζεται να προβλέψει τη ζήτηση άνθρακα για τα επόμενα δύο τρίμηνα. Εισήγαγε δεδομένα για ολόκληρη τη βιομηχανία άνθρακα στο βιβλίο εργασίας Coal.xls και σχεδίασε τα δεδομένα (Εικόνα 11). Το γράφημα δείχνει ότι οι όγκοι πωλήσεων είναι πάνω από τον μέσο όρο το πρώτο και το τέταρτο τρίμηνο ( χειμερινή ώραέτος) και κάτω του μέσου όρου το δεύτερο και τρίτο τρίμηνο (άνοιξη-καλοκαίρι μήνες).

Εξαίρεση της εποχικής συνιστώσας

Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε τον μέσο όρο όλων των αποκλίσεων για μια περίοδο εποχιακών αλλαγών. Για να αποκλειστεί η εποχική συνιστώσα εντός ενός έτους, χρησιμοποιούνται δεδομένα για τέσσερις περιόδους (τρίμηνα). Και για να εξαιρεθεί η εποχιακή συνιστώσα από ολόκληρη τη χρονοσειρά, υπολογίζεται μια ακολουθία κινητών μέσων τιμών στους κόμβους Τ, όπου T είναι η διάρκεια των εποχιακών διακυμάνσεων. Για να εκτελέσει τους απαραίτητους υπολογισμούς, ο Frank χρησιμοποίησε τις στήλες C και D, όπως φαίνεται στο Σχήμα. παρακάτω. Η στήλη Γ περιέχει τον κινητό μέσο όρο 4 κόμβων με βάση τα δεδομένα της στήλης Β.

Τώρα πρέπει να αντιστοιχίσουμε τις προκύπτουσες τιμές κινητού μέσου όρου στα μεσαία σημεία της ακολουθίας δεδομένων από την οποία υπολογίστηκαν αυτές οι τιμές. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται κεντράρισμααξίες. Εάν το T είναι περιττό, τότε η πρώτη τιμή του κινητού μέσου όρου (ο μέσος όρος των τιμών από το πρώτο έως το Σημείο Τ) θα πρέπει να εκχωρηθεί (T + 1)/2 στο σημείο (για παράδειγμα, εάν T = 7, τότε ο πρώτος κινητός μέσος όρος θα εκχωρηθεί στο τέταρτο σημείο). Ομοίως, ο μέσος όρος των τιμών από το δεύτερο έως το (T + 1) σημείο είναι κεντραρισμένος στο σημείο (T + 3)/2 και ούτω καθεξής. Το κέντρο του nου διαστήματος βρίσκεται στο σημείο (T+ (2n-1))/2.

Εάν το Τ είναι άρτιο, όπως στην περίπτωση που εξετάζουμε, τότε το πρόβλημα γίνεται κάπως πιο περίπλοκο, αφού εδώ τα κεντρικά (μεσαία) σημεία βρίσκονται ανάμεσα στα σημεία για τα οποία υπολογίστηκε η τιμή του κινούμενου μέσου όρου. Επομένως, η κεντρική τιμή για το τρίτο σημείο υπολογίζεται ως ο μέσος όρος της πρώτης και της δεύτερης τιμής του κινητού μέσου όρου. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός στη στήλη D του κεντρικού μέσου στο Σχ. 12, στα αριστερά είναι (1613 + 1594)/2 = 1603. Στην εικ. Το 13 δείχνει γραφικές παραστάσεις ακατέργαστων δεδομένων και κεντρικούς μέσους όρους.

Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις αναλογίες των τιμών των σημείων δεδομένων προς τις αντίστοιχες τιμές των κεντρικών μέσων. Δεδομένου ότι τα σημεία στην αρχή και στο τέλος της ακολουθίας δεδομένων δεν έχουν αντίστοιχα κεντραρισμένα μέσα (βλ. το πρώτο και τελευταίες αξίεςστη στήλη Δ), αυτή η ενέργεια δεν ισχύει για αυτά τα σημεία. Αυτές οι αναλογίες υποδεικνύουν το βαθμό στον οποίο οι τιμές δεδομένων αποκλίνουν από το τυπικό επίπεδο που ορίζεται από τα κεντρικά μέσα. Σημειώστε ότι οι τιμές των αναλογιών για το τρίτο τρίμηνο είναι μικρότερες από 1 και αυτές για το τέταρτο τρίμηνο είναι μεγαλύτερες από 1.

Αυτές οι σχέσεις αποτελούν τη βάση για τη δημιουργία εποχιακών δεικτών. Για τον υπολογισμό τους, οι υπολογισμένοι λόγοι ομαδοποιούνται κατά τέταρτα, όπως φαίνεται στο Σχ. 15 στις στήλες Ζ-Ο.

Στη συνέχεια, βρίσκονται οι μέσες τιμές των αναλογιών για κάθε τρίμηνο (στήλη Ε στο Σχ. 15). Για παράδειγμα, ο μέσος όρος όλων των δεικτών για το πρώτο τρίμηνο είναι 1,108. Η τιμή αυτή είναι ένας εποχιακός δείκτης για το πρώτο τρίμηνο, από τον οποίο συνάγεται το συμπέρασμα ότι ο όγκος των πωλήσεων άνθρακα για το πρώτο τρίμηνο ανέρχεται κατά μέσο όρο περίπου στο 110,8% των σχετικών μέσων ετήσιων πωλήσεων.

Εποχιακός δείκτηςείναι η μέση αναλογία δεδομένων που σχετίζονται με μια σεζόν (στην περίπτωση αυτή, η σεζόν είναι ένα τέταρτο) προς όλα τα δεδομένα. Εάν ο εποχιακός δείκτης είναι μεγαλύτερος από 1, τότε η απόδοση αυτής της σεζόν είναι πάνω από τον μέσο όρο του έτους, ομοίως, εάν ο εποχιακός δείκτης είναι κάτω από 1, τότε η απόδοση της σεζόν είναι κάτω από τον μέσο όρο του έτους.

Τέλος, για να εξαιρεθεί το εποχικό στοιχείο από τα αρχικά δεδομένα, οι τιμές των αρχικών δεδομένων θα πρέπει να διαιρεθούν με τον αντίστοιχο εποχιακό δείκτη. Τα αποτελέσματα αυτής της λειτουργίας φαίνονται στις στήλες F και G (Εικ. 16). Μια γραφική παράσταση δεδομένων που δεν περιέχει πλέον εποχική συνιστώσα φαίνεται στο Σχ. 17.

Πρόβλεψη

Με βάση τα δεδομένα, από τα οποία εξαιρείται η εποχική συνιστώσα, χτίζεται μια πρόβλεψη. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιείται μια κατάλληλη μέθοδος που λαμβάνει υπόψη τη φύση της συμπεριφοράς των δεδομένων (για παράδειγμα, τα δεδομένα έχουν τάση ή είναι σχετικά σταθερά). Σε αυτό το παράδειγμα, η πρόβλεψη γίνεται χρησιμοποιώντας απλή εκθετική εξομάλυνση. Η βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α βρίσκεται χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης. Το γράφημα των προβλέψεων και των πραγματικών δεδομένων με την εξαιρούμενη εποχική συνιστώσα φαίνεται στο σχ. δεκαοχτώ.

Λογιστική για την εποχιακή δομή

Τώρα πρέπει να λάβουμε υπόψη την εποχική συνιστώσα στην πρόβλεψη (1726,5). Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε το 1726 με τον εποχιακό δείκτη του πρώτου τριμήνου του 1,108, με αποτέλεσμα την τιμή του 1912. Μια παρόμοια πράξη (πολλαπλασιάζοντας το 1726 με τον εποχιακό δείκτη 0,784) θα δώσει μια πρόβλεψη για το δεύτερο τρίμηνο, ίση με 1353. Το αποτέλεσμα της προσθήκης της εποχικής δομής στην προκύπτουσα πρόβλεψη φαίνεται στο Σχ. 19.

Επιλογές εργασιών:

Εργασία 1

Δίνεται χρονολογική σειρά

t
Χ

1. Σχεδιάστε την εξάρτηση x = x(t).

1. Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 4 κόμβους, προβλέψτε τη ζήτηση στο 11ο χρονικό σημείο.
2. Είναι αυτή η μέθοδος πρόβλεψης κατάλληλη για αυτά τα δεδομένα ή όχι; Γιατί;
3. Μαζεύω γραμμική συνάρτησηπροσέγγιση των δεδομένων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Εργασία 2

Χρησιμοποιώντας το μοντέλο πρόβλεψης εσόδων Startup Airlines (Startup.xls), κάντε τα εξής:

Εργασία 3

Για χρονοσειρές

t
Χ

τρέξιμο:

1. Χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο σε 4 κόμβους και εκχωρώντας βάρη 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, προβλέψτε τη ζήτηση στο 11ο χρονικό σημείο. Θα πρέπει να αποδοθεί μεγαλύτερο βάρος σε πιο πρόσφατες παρατηρήσεις.
2. Είναι αυτή η προσέγγιση καλύτερη από έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 4 κόμβους; Γιατί;
3. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
4. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να βρείτε τα βέλτιστα βάρη κόμβων. Πόσο μειώθηκε το σφάλμα προσέγγισης;
5. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα;

Εργασία 4

Ανάλυση χρονοσειρών

χρόνος

Ζήτηση

1. Χρησιμοποιήστε έναν σταθμισμένο μέσο όρο 4 κόμβων με βάρη 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 για να λάβετε μια πρόβλεψη σε περιόδους 5-13. Θα πρέπει να αποδοθεί μεγαλύτερο βάρος σε πιο πρόσφατες παρατηρήσεις.
2. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
3. Πιστεύετε ότι αυτή η προσέγγιση είναι καλύτερη από το μοντέλο απλού κινητού μέσου όρου 4 κόμβων; Γιατί;
4. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να βρείτε τα βέλτιστα βάρη κόμβων. Κατά πόσο καταφέρατε να μειώσετε την τιμή σφάλματος;
5. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται δίνει το καλύτερο αποτέλεσμα;

Εργασία 5

Δίνεται χρονολογική σειρά

Εργασία 7

Ο διευθυντής μάρκετινγκ μιας μικρής αναπτυσσόμενης εταιρείας που περιέχει μια αλυσίδα παντοπωλείων έχει πληροφορίες για τους όγκους πωλήσεων για όλο το χρόνο ύπαρξης του πιο κερδοφόρου καταστήματος (βλ. πίνακα).

Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 3 κόμβους, προβλέψτε τις τιμές στους κόμβους 4 έως 11.

Χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο σε 3 κόμβους, προβλέψτε τις τιμές στους κόμβους 4 έως 11. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να προσδιορίσετε τα βέλτιστα βάρη.

Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για να προβλέψετε τις τιμές στους κόμβους 2-11. Προσδιορίστε τη βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης.

Ποια από τις προβλέψεις που λαμβάνονται είναι η πιο ακριβής και γιατί;

Εργασία 8

Δίνεται χρονολογική σειρά

1. Οικόπεδο αυτής της χρονολογικής σειράς. Συνδέστε τα σημεία με ευθείες γραμμές.
2. Χρησιμοποιώντας έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 4 κόμβους, προβλέψτε τη ζήτηση για τους κόμβους 5-13.
3. Βρείτε τον μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων.
4. Είναι λογικό να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος πρόβλεψης για τα δεδομένα που παρουσιάζονται;
5. Είναι αυτή η προσέγγιση καλύτερη από έναν απλό κινούμενο μέσο όρο σε 3 κόμβους; Γιατί;
6. Σχεδιάστε μια γραμμική και τετραγωνική τάση από τα δεδομένα.
7. Χρησιμοποιήστε εκθετική εξομάλυνση για πρόβλεψη. Ποια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα;

Εργασία 10

Το βιβλίο εργασίας Business_Week.xls εμφανίζει δεδομένα από το Business Week για 43 μήνες μηνιαίων πωλήσεων αυτοκινήτων.

1. Καταργήστε το εποχικό στοιχείο από αυτά τα δεδομένα.
2. Καθορίσει καλύτερη μέθοδοςπρόβλεψη για τα διαθέσιμα δεδομένα.
3. Ποια είναι η πρόβλεψη για την 44η περίοδο;

Εργασία 11

1. απλό κύκλωμαπρόβλεψη, όταν η τιμή για την τελευταία εβδομάδα λαμβάνεται ως πρόβλεψη για την επόμενη εβδομάδα.
2. Μέθοδος κινητού μέσου όρου (με τον αριθμό των κόμβων της επιλογής σας). Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε πολλές διαφορετικές τιμές κόμβων.

Εργασία 12

Το βιβλίο εργασίας Bank.xls δείχνει την απόδοση της τράπεζας. Σκεφτείτε παρακάτω μεθόδουςπροβλέποντας τις τιμές αυτής της χρονοσειράς.

Ως πρόβλεψη, χρησιμοποιείται η μέση τιμή του δείκτη για όλες τις προηγούμενες εβδομάδες.

Μέθοδος σταθμισμένου κινητού μέσου όρου (με τον αριθμό των κόμβων της επιλογής σας). Δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε πολλές διαφορετικές τιμές κόμβων. Χρησιμοποιήστε το εργαλείο Επίλυσης για να προσδιορίσετε τα βέλτιστα βάρη.

Μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης. Βρείτε τη βέλτιστη τιμή της παραμέτρου α χρησιμοποιώντας το εργαλείο Επίλυσης.

Ποια από τις μεθόδους πρόβλεψης που προτείνονται παραπάνω θα προτείνατε για την πρόβλεψη των τιμών αυτής της χρονοσειράς;

Βιβλιογραφία

Παρόμοιες πληροφορίες.

04/02/2011 - Η επιθυμία του ανθρώπου να σηκώσει το πέπλο του μέλλοντος και να προβλέψει την εξέλιξη των γεγονότων έχει την ίδια μακρά ιστορία με τις προσπάθειές του να καταλάβει ο κόσμος. Είναι προφανές ότι αρκετά ισχυρά ζωτικά κίνητρα (θεωρητικά και πρακτικά) αποτελούν τη βάση του ενδιαφέροντος για την πρόβλεψη. Η πρόβλεψη λειτουργεί ως η πιο σημαντική μέθοδοςδοκιμάζοντας επιστημονικές θεωρίες και υποθέσεις. Η ικανότητα πρόβλεψης του μέλλοντος είναι αναπόσπαστο μέρος της συνείδησης, χωρίς την οποία η ίδια η ανθρώπινη ζωή θα ήταν αδύνατη.

Η έννοια της «πρόβλεψης» (από την ελληνική πρόγνωση - πρόβλεψη, πρόβλεψη) σημαίνει τη διαδικασία ανάπτυξης μιας πιθανολογικής κρίσης για την κατάσταση ενός φαινομένου ή μιας διαδικασίας στο μέλλον, αυτή είναι η γνώση του τι δεν είναι ακόμα, αλλά τι μπορεί να έρθει στο εγγύς ή μακρινό μέλλον.

Το περιεχόμενο της πρόβλεψης είναι πιο σύνθετο από την πρόβλεψη. Αφενός αντανακλά την πιο πιθανή κατάσταση του αντικειμένου και αφετέρου καθορίζει τους τρόπους και τα μέσα για την επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος. Με βάση τις πληροφορίες που λαμβάνονται με προγνωστικό τρόπο, λαμβάνονται ορισμένες αποφάσεις για την επίτευξη του επιθυμητού στόχου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η δυναμική των οικονομικών διεργασιών σε σύγχρονες συνθήκεςχαρακτηρίζεται από αστάθεια και αβεβαιότητα, γεγονός που καθιστά δύσκολη τη χρήση παραδοσιακών μεθόδων πρόβλεψης.

Εκθετικά μοντέλα εξομάλυνσης και πρόβλεψηςανήκουν στην κατηγορία των προσαρμοστικών μεθόδων πρόβλεψης, το κύριο χαρακτηριστικό της οποίας είναι η ικανότητα να λαμβάνει συνεχώς υπόψη την εξέλιξη των δυναμικών χαρακτηριστικών των υπό μελέτη διαδικασιών, να προσαρμόζεται σε αυτή τη δυναμική, δίνοντας, ειδικότερα, όσο μεγαλύτερη βαρύτητα και υψηλότερη είναι η αξία πληροφοριών των διαθέσιμων παρατηρήσεων, τόσο πιο κοντά βρίσκονται τρέχουσα στιγμήχρόνος. Η έννοια του όρου είναι ότι η προσαρμοστική πρόβλεψη σάς επιτρέπει να ενημερώνετε τις προβλέψεις με ελάχιστη καθυστέρηση και χρησιμοποιώντας σχετικά απλές μαθηματικές διαδικασίες.

Η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα καφέ(Brown R.G. Statistical forecasting for inventory control, 1959) και Holt(Holt C.C. Forecasting Seasonal and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages, 1957). Η εκθετική εξομάλυνση, όπως και η μέθοδος κινητού μέσου όρου, χρησιμοποιεί τις προηγούμενες τιμές των χρονοσειρών για πρόβλεψη.

Η ουσία της μεθόδου της εκθετικής εξομάλυνσης είναι ότι οι χρονοσειρές εξομαλύνονται χρησιμοποιώντας έναν σταθμισμένο κινητό μέσο όρο, στον οποίο τα βάρη υπακούουν στον εκθετικό νόμο. Ένας σταθμισμένος κινητός μέσος όρος με εκθετικά κατανεμημένα βάρη χαρακτηρίζει την τιμή της διαδικασίας στο τέλος του διαστήματος εξομάλυνσης, δηλαδή είναι μέσο χαρακτηριστικό τελευταία επίπεδασειρά. Είναι αυτή η ιδιότητα που χρησιμοποιείται για την πρόβλεψη.

Η κανονική εκθετική εξομάλυνση εφαρμόζεται όταν δεν υπάρχει τάση ή εποχικότητα στα δεδομένα. Σε αυτήν την περίπτωση, η πρόβλεψη είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος όλων των διαθέσιμων τιμών προηγούμενων σειρών. Σε αυτή την περίπτωση, τα βάρη μειώνονται γεωμετρικά με το χρόνο καθώς προχωράμε στο παρελθόν (προς τα πίσω). Επομένως (σε αντίθεση με τη μέθοδο του κινούμενου μέσου όρου) δεν υπάρχει σημείο στο οποίο τα βάρη σπάνε, δηλαδή μηδέν. Ένα ρεαλιστικά σαφές μοντέλο απλής εκθετικής εξομάλυνσης μπορεί να γραφτεί ως εξής (όλοι οι τύποι του άρθρου μπορούν να ληφθούν από τον παρεχόμενο σύνδεσμο):

Ας δείξουμε την εκθετική φύση της μείωσης των βαρών των τιμών των χρονοσειρών - από την τρέχουσα στην προηγούμενη, από την προηγούμενη στην προηγούμενη-προηγούμενη και ούτω καθεξής:

Εάν ο τύπος εφαρμόζεται αναδρομικά, τότε κάθε νέα εξομαλυνόμενη τιμή (η οποία είναι επίσης μια πρόβλεψη) υπολογίζεται ως σταθμισμένος μέσος όρος της τρέχουσας παρατήρησης και της εξομαλυνόμενης σειράς. Προφανώς, το αποτέλεσμα της εξομάλυνσης εξαρτάται από την παράμετρο προσαρμογής άλφα. Μπορεί να ερμηνευθεί ως παράγοντας έκπτωσης που χαρακτηρίζει το μέτρο της υποτίμησης των δεδομένων ανά μονάδα χρόνου. Επιπλέον, η επίδραση των δεδομένων στην πρόβλεψη μειώνεται εκθετικά με την «ηλικία» των δεδομένων. Εξάρτηση της επιρροής των δεδομένων από την πρόβλεψη στο διαφορετικούς συντελεστές άλφαφαίνεται στο σχήμα 1.

Σχήμα 1. Εξάρτηση της επίδρασης των δεδομένων στην πρόβλεψη για διαφορετικούς συντελεστές προσαρμογής

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή της παραμέτρου εξομάλυνσης δεν μπορεί να είναι ίση με 0 ή 1, αφού σε αυτήν την περίπτωση απορρίπτεται η ίδια η ιδέα της εκθετικής εξομάλυνσης. Οπότε αν άλφαισούται με 1, τότε η προβλεπόμενη τιμή F t+1ταιριάζει με την τρέχουσα τιμή σειράς Xt, ενώ το εκθετικό μοντέλο τείνει προς το απλούστερο «αφελές» μοντέλο, δηλαδή, σε αυτήν την περίπτωση, η πρόβλεψη είναι μια απολύτως ασήμαντη διαδικασία. Αν ένα άλφαισούται με 0, τότε η αρχική τιμή πρόβλεψης F0 (αρχική τιμή) θα είναι ταυτόχρονα μια πρόβλεψη για όλες τις επόμενες στιγμές της σειράς, δηλαδή, η πρόβλεψη σε αυτήν την περίπτωση θα μοιάζει με μια κανονική οριζόντια γραμμή.

Ωστόσο, ας εξετάσουμε παραλλαγές της παραμέτρου εξομάλυνσης που είναι κοντά στο 1 ή το 0. Έτσι, εάν άλφακοντά στο 1, τότε οι προηγούμενες παρατηρήσεις της χρονοσειράς αγνοούνται σχεδόν εντελώς. Αν άλφακοντά στο 0, τότε οι τρέχουσες παρατηρήσεις αγνοούνται. Αξίες άλφαμεταξύ 0 και 1 δίνουν μεταξύ ακριβή αποτελέσματα. Σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς, η βέλτιστη τιμή άλφαείναι στην περιοχή από 0,05 έως 0,30. Ωστόσο, μερικές φορές άλφα, μεγαλύτερο από 0,30 δίνει καλύτερη πρόβλεψη.

Σε γενικές γραμμές, είναι καλύτερο να αξιολογήσετε το βέλτιστο άλφαβασίζεται σε μη επεξεργασμένα δεδομένα (με χρήση αναζήτησης πλέγματος), αντί να χρησιμοποιεί τεχνητές προτάσεις. Ωστόσο, εάν η τιμή άλφα, μεγαλύτερο από 0,3 ελαχιστοποιεί έναν αριθμό ειδικών κριτηρίων, αυτό δείχνει ότι μια άλλη τεχνική πρόβλεψης (χρησιμοποιώντας μια τάση ή εποχικότητα) είναι σε θέση να παρέχει ακόμη πιο ακριβή αποτελέσματα. Για να βρείτε τη βέλτιστη τιμή άλφα(δηλαδή ελαχιστοποίηση ειδικών κριτηρίων) χρησιμοποιείται Οιονεί Νευτώνειος αλγόριθμος μεγιστοποίησης πιθανοτήτων(πιθανότητα), η οποία είναι πιο αποτελεσματική από τη συνηθισμένη απαρίθμηση στο πλέγμα.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση (1) με τη μορφή μιας εναλλακτικής παραλλαγής που μας επιτρέπει να αξιολογήσουμε πώς το μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης «μαθαίνει» από τα λάθη του παρελθόντος:

Η εξίσωση (3) δείχνει ξεκάθαρα ότι η πρόβλεψη για την περίοδο t+1υπόκεινται σε αλλαγή στην κατεύθυνση της αύξησης, σε περίπτωση υπέρβασης της πραγματικής αξίας της χρονοσειράς της περιόδου tπάνω από την προβλεπόμενη τιμή και αντίστροφα, την πρόβλεψη για την περίοδο t+1θα πρέπει να μειωθεί εάν X tλιγότερο από F t.

Σημειώστε ότι όταν χρησιμοποιείτε μεθόδους εκθετικής εξομάλυνσης σημαντικό θέμαείναι πάντα ο προσδιορισμός των αρχικών συνθηκών (αρχική τιμή πρόβλεψης F0). Η διαδικασία επιλογής της αρχικής τιμής της εξομαλυνόμενης σειράς ονομάζεται αρχικοποίηση ( αρχικοποίηση), ή, με άλλα λόγια, "ζέσταμα" (" ζέσταμα”) μοντέλα. Το θέμα είναι ότι η αρχική τιμή της εξομαλυνόμενης διαδικασίας μπορεί να επηρεάσει σημαντικά την πρόβλεψη για τις επόμενες παρατηρήσεις. Από την άλλη πλευρά, η επιρροή της επιλογής μειώνεται με τη διάρκεια της σειράς και γίνεται άκριτη για έναν πολύ μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων. Ο Brown ήταν ο πρώτος που πρότεινε τη χρήση του μέσου όρου της χρονοσειράς ως αρχικής τιμής. Άλλοι συγγραφείς προτείνουν τη χρήση της πρώτης πραγματικής τιμής της χρονοσειράς ως αρχική πρόβλεψη.

Στα μέσα του περασμένου αιώνα, ο Holt πρότεινε να επεκταθεί το απλό μοντέλο εκθετικής εξομάλυνσης συμπεριλαμβάνοντας τον παράγοντα ανάπτυξης ( παράγοντας ανάπτυξης), ή αλλιώς η τάση ( παράγοντας τάσης). Ως αποτέλεσμα, το μοντέλο Holt μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να λάβετε υπόψη την παρουσία μιας γραμμικής τάσης στα δεδομένα. Αργότερα, προτάθηκαν και άλλοι τύποι τάσεων: εκθετική, απόσβεση κ.λπ.

Χειμώνεςπρότεινε τη βελτίωση του μοντέλου Holt όσον αφορά τη δυνατότητα περιγραφής της επίδρασης εποχιακών παραγόντων (Winters P.R. Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages, 1960).

Συγκεκριμένα, επέκτεινε περαιτέρω το μοντέλο Holt συμπεριλαμβάνοντας μια πρόσθετη εξίσωση που περιγράφει τη συμπεριφορά εποχιακό συστατικό(συστατικό). Το σύστημα εξισώσεων του μοντέλου Winters έχει ως εξής:

Το κλάσμα στην πρώτη εξίσωση χρησιμεύει στον αποκλεισμό της εποχικότητας από την αρχική σειρά. Μετά τον αποκλεισμό της εποχικότητας (σύμφωνα με τη μέθοδο της εποχιακής αποσύνθεσης ΑπογραφήΕγώ) ο αλγόριθμος λειτουργεί με «καθαρά» δεδομένα, στα οποία δεν υπάρχουν εποχιακές διακυμάνσεις. Εμφανίζονται ήδη στην τελική πρόβλεψη (15), όταν η «καθαρή» πρόβλεψη, που υπολογίζεται σχεδόν σύμφωνα με τη μέθοδο Holt, πολλαπλασιάζεται επί εποχιακό συστατικό (δείκτη εποχικότητας).