Εύρεση αριθμητικής προόδου. Αριθμητική πρόοδος - αριθμητική ακολουθία

Προβλήματα αριθμητικής προόδου υπήρχαν από την αρχαιότητα. Εμφανίστηκαν και ζήτησαν λύση, γιατί είχαν πρακτική ανάγκη.

Έτσι, σε έναν από τους παπύρους της Αρχαίας Αιγύπτου, ο οποίος έχει μαθηματικό περιεχόμενο - ο πάπυρος Rhind (XIX αιώνα π.Χ.) - περιέχει την ακόλουθη εργασία: χωρίστε δέκα μέτρα ψωμιού σε δέκα άτομα, με την προϋπόθεση ότι η διαφορά μεταξύ τους είναι ένα όγδοο του μέτρου.

Και στα μαθηματικά έργα των αρχαίων Ελλήνων υπάρχουν κομψά θεωρήματα που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο. Έτσι, το Hypsicles of Alexandria (2ος αιώνας, που συγκέντρωσε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα και πρόσθεσε το δέκατο τέταρτο βιβλίο στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, διατύπωσε την ιδέα: «Σε μια αριθμητική πρόοδο με ζυγό αριθμό μελών, το άθροισμα των μελών του 2ου μισού είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των μελών του 1ου κατά το τετράγωνο 1 / 2 μελών.

Η ακολουθία an συμβολίζεται. Οι αριθμοί της ακολουθίας ονομάζονται μέλη της και συνήθως συμβολίζονται με γράμματα με δείκτες που υποδεικνύουν τον αύξοντα αριθμό αυτού του μέλους (a1, a2, a3 ... διαβάστε: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" και ούτω καθεξής).

Η ακολουθία μπορεί να είναι άπειρη ή πεπερασμένη.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος; Εννοείται ότι προκύπτει προσθέτοντας τον προηγούμενο όρο (n) με τον ίδιο αριθμό d, που είναι η διαφορά της προόδου.

Αν δ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, τότε μια τέτοια πρόοδος θεωρείται ότι αυξάνεται.

Μια αριθμητική πρόοδος λέγεται ότι είναι πεπερασμένη αν ληφθούν υπόψη μόνο μερικοί από τους πρώτους όρους της. Με έναν πολύ μεγάλο αριθμό μελών, αυτό είναι ήδη μια άπειρη εξέλιξη.

Οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

an =kn+b, ενώ τα b και k είναι κάποιοι αριθμοί.

Η δήλωση, η οποία είναι το αντίθετο, είναι απολύτως αληθής: αν η ακολουθία δίνεται με παρόμοιο τύπο, τότε αυτή είναι ακριβώς μια αριθμητική πρόοδος, η οποία έχει τις ιδιότητες:

1. Κάθε μέλος της προόδου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου μέλους και του επόμενου.
2. Το αντίθετο: αν, ξεκινώντας από τον 2ο, κάθε όρος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου όρου και ο επόμενος, δηλ. εάν η συνθήκη πληρούται, τότε η δεδομένη ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος. Αυτή η ισότητα είναι ταυτόχρονα και σημάδι προόδου, γι' αυτό συνήθως ονομάζεται χαρακτηριστική ιδιότητα προόδου.
   Με τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα που αντικατοπτρίζει αυτήν την ιδιότητα είναι αληθές: μια ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος μόνο εάν αυτή η ισότητα ισχύει για οποιοδήποτε από τα μέλη της ακολουθίας, ξεκινώντας από το 2ο.

Η χαρακτηριστική ιδιότητα για οποιουσδήποτε τέσσερις αριθμούς μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο an + am = ak + al εάν n + m = k + l (m, n, k είναι οι αριθμοί της προόδου).

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε απαραίτητος (Νος) όρος μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο:

Για παράδειγμα: ο πρώτος όρος (a1) σε μια αριθμητική πρόοδο δίνεται και ισούται με τρία και η διαφορά (d) ισούται με τέσσερα. Πρέπει να βρείτε τον σαράντα πέμπτο όρο αυτής της εξέλιξης. a45 = 1+4(45-1)=177

Ο τύπος an = ak + d(n - k) σας επιτρέπει να προσδιορίσετε το ν-ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου μέσω οποιουδήποτε από τα k-ο μέλη της, υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστό.

Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου (υποθέτοντας τα 1ο n μέλη της τελικής προόδου) υπολογίζεται ως εξής:

Sn = (a1+an) n/2.

Εάν ο 1ος όρος είναι επίσης γνωστός, τότε ένας άλλος τύπος είναι βολικός για τον υπολογισμό:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου που περιέχει n όρους υπολογίζεται ως εξής:

Η επιλογή των τύπων για τους υπολογισμούς εξαρτάται από τις συνθήκες των εργασιών και τα αρχικά δεδομένα.

Η φυσική σειρά οποιωνδήποτε αριθμών όπως 1,2,3,...,n,... είναι το απλούστερο παράδειγμα αριθμητικής προόδου.

Εκτός από την αριθμητική πρόοδο, υπάρχει και μια γεωμετρική, η οποία έχει τις δικές της ιδιότητες και χαρακτηριστικά.

Πριν αρχίσουμε να αποφασίζουμε προβλήματα αριθμητικής προόδου, σκεφτείτε τι είναι μια αριθμητική ακολουθία, αφού μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Μια αριθμητική ακολουθία είναι ένα αριθμητικό σύνολο, κάθε στοιχείο του οποίου έχει τον δικό του σειριακό αριθμό. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται μέλη της ακολουθίας. Ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου ακολουθίας υποδεικνύεται από έναν δείκτη:

Το πρώτο στοιχείο της ακολουθίας.

Το πέμπτο στοιχείο της ακολουθίας.

- «η» στοιχείο της ακολουθίας, δηλ. το στοιχείο "στέκεται στην ουρά" στον αριθμό n.

Υπάρχει μια εξάρτηση μεταξύ της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας και του τακτικού του αριθμού. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια ακολουθία ως συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι ο τακτικός αριθμός ενός στοιχείου της ακολουθίας. Με άλλα λόγια, αυτό μπορεί να το πει κανείς η ακολουθία είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος:

Η σειρά μπορεί να καθοριστεί με τρεις τρόπους:

1 . Η σειρά μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα.Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε απλώς την τιμή κάθε μέλους της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, Κάποιος αποφάσισε να κάνει προσωπική διαχείριση χρόνου και, αρχικά, να υπολογίσει πόσο χρόνο ξοδεύει στο VKontakte κατά τη διάρκεια της εβδομάδας. Γράφοντας την ώρα σε έναν πίνακα, θα πάρει μια ακολουθία που αποτελείται από επτά στοιχεία:

Η πρώτη γραμμή του πίνακα περιέχει τον αριθμό της ημέρας της εβδομάδας, η δεύτερη - την ώρα σε λεπτά. Βλέπουμε ότι, δηλαδή, τη Δευτέρα Κάποιος πέρασε 125 λεπτά στο VKontakte, δηλαδή την Πέμπτη - 248 λεπτά, και, δηλαδή, την Παρασκευή, μόνο 15.

2 . Η αλληλουχία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο nth μέλους.

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξάρτηση της τιμής ενός στοιχείου ακολουθίας από τον αριθμό του εκφράζεται απευθείας ως τύπος.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Για να βρούμε την τιμή ενός στοιχείου ακολουθίας με έναν δεδομένο αριθμό, αντικαθιστούμε τον αριθμό του στοιχείου στον τύπο για το nο μέλος.

Κάνουμε το ίδιο εάν πρέπει να βρούμε την τιμή μιας συνάρτησης εάν η τιμή του ορίσματος είναι γνωστή. Αντικαθιστούμε την τιμή του ορίσματος στην εξίσωση της συνάρτησης:

Αν, για παράδειγμα, , έπειτα

Για άλλη μια φορά, σημειώνω ότι σε μια ακολουθία, σε αντίθεση με μια αυθαίρετη αριθμητική συνάρτηση, μόνο ένας φυσικός αριθμός μπορεί να είναι όρισμα.

3 . Η ακολουθία μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν τύπο που εκφράζει την εξάρτηση της τιμής του μέλους της ακολουθίας με τον αριθμό n από την τιμή των προηγούμενων μελών. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν αρκεί να γνωρίζουμε μόνο τον αριθμό ενός μέλους ακολουθίας για να βρούμε την τιμή του. Πρέπει να καθορίσουμε το πρώτο μέλος ή τα πρώτα μέλη της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, εξετάστε τη σειρά ,

Μπορούμε να βρούμε τις τιμές των μελών μιας ακολουθίας σε ακολουθία, ξεκινώντας από το τρίτο:

Δηλαδή, κάθε φορά για να βρούμε την τιμή του ντος μέλους της ακολουθίας, επιστρέφουμε στα δύο προηγούμενα. Αυτός ο τρόπος αλληλουχίας ονομάζεται επαναλαμβανόμενος, από τη λατινική λέξη επανάληψη- ελα πισω.

Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια απλή ειδική περίπτωση μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Αριθμητική πρόοδος ονομάζεται αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με την προηγούμενη, που προστίθεται με τον ίδιο αριθμό.

Ο αριθμός καλείται η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική.

Εάν title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} αυξανόμενη.

Για παράδειγμα, 2; 5; οκτώ; έντεκα;...

Αν , τότε κάθε όρος της αριθμητικής προόδου είναι μικρότερος από τον προηγούμενο, και η πρόοδος είναι φθίνουσα.

Για παράδειγμα, 2; -ένας; -τέσσερα; -7;...

Αν , τότε όλα τα μέλη της προόδου είναι ίσα με τον ίδιο αριθμό, και η πρόοδος είναι ακίνητος.

Για παράδειγμα, 2;2;2;2;...

Η κύρια ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου:

Ας δούμε την εικόνα.

Το βλέπουμε αυτό

, και ταυτόχρονα

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε:

.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2:

Άρα, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο δύο γειτονικών:

Επιπλέον, επειδή

, και ταυτόχρονα

, έπειτα

, και ως εκ τούτου

Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου που ξεκινά με title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ο τύπος μέλους.

Βλέπουμε ότι για τα μέλη της αριθμητικής προόδου ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

και τελικά

Πήραμε τύπος του ν ου όρου.

ΣΠΟΥΔΑΙΟΣ!Οποιοδήποτε μέλος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με όρους και . Γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα μέλη του.

Το άθροισμα n μελών μιας αριθμητικής προόδου.

Σε μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο, τα αθροίσματα των όρων που απέχουν ίσα από τους ακραίους είναι ίσα μεταξύ τους:

Θεωρήστε μια αριθμητική πρόοδο με n μέλη. Έστω το άθροισμα των n μελών αυτής της προόδου ίσο με .

Τακτοποιήστε τους όρους της προόδου πρώτα σε αύξουσα σειρά αριθμών και μετά σε φθίνουσα σειρά:

Ας το ζευγαρώσουμε:

Το άθροισμα σε κάθε παρένθεση είναι , ο αριθμός των ζευγών είναι n.

Παίρνουμε:

Ετσι, Το άθροισμα των n μελών μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Σκεφτείτε επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου.

1 . Η ακολουθία δίνεται από τον τύπο του nου μέλους: . Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Ας αποδείξουμε ότι η διαφορά μεταξύ δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.

Καταλήξαμε ότι η διαφορά δύο γειτονικών μελών της ακολουθίας δεν εξαρτάται από τον αριθμό τους και είναι σταθερά. Επομένως, εξ ορισμού, αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος.

2 . Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος -31; -27;...

α) Να βρείτε τους 31 όρους της προόδου.

β) Προσδιορίστε αν ο αριθμός 41 περιλαμβάνεται σε αυτή την εξέλιξη.

ένα)Βλέπουμε ότι ?

Ας γράψουμε τον τύπο για τον nο όρο για την πρόοδό μας.

Γενικά

Στην περίπτωσή μας , να γιατί

Κάποιος αντιμετωπίζει τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ σύνθετο όρο από τις ενότητες των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του γκισέ ταξί (όπου παραμένουν ακόμα). Και η κατανόηση της ουσίας (και στα μαθηματικά δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό από το «να κατανοήσουμε την ουσία») μιας αριθμητικής ακολουθίας δεν είναι τόσο δύσκολο, έχοντας αναλύσει μερικές στοιχειώδεις έννοιες.

Μαθηματική ακολουθία αριθμών

Είναι σύνηθες να ονομάζουμε μια αριθμητική ακολουθία μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.

και 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

και 2 είναι το δεύτερο μέλος της ακολουθίας.

και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.

και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.

Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του n-ου μέλους σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό με μια εξάρτηση που μπορεί να διατυπωθεί καθαρά μαθηματικά. Με άλλα λόγια: η αριθμητική τιμή του nου αριθμού είναι κάποια συνάρτηση του n.

α - τιμή ενός μέλους της αριθμητικής ακολουθίας.

n είναι ο αύξων αριθμός του.

Η f(n) είναι μια συνάρτηση όπου η τακτική στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.

Ορισμός

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για το ντο μέλος μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:

a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.

a n+1 - ο τύπος του επόμενου αριθμού.

δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).

Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.

Στο παρακάτω γράφημα, είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".

Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Η τιμή του καθορισμένου μέλους

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή κάποιου αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Μπορείτε να το κάνετε αυτό υπολογίζοντας διαδοχικά τις τιμές όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτός ο τρόπος δεν είναι πάντα αποδεκτός εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πέντε χιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυριοστού όρου. Ο παραδοσιακός υπολογισμός θα πάρει πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να διερευνηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε μέλους μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου μέλους της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού μέλους, μείον ένα .

Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου μέλους

Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.

Προϋπόθεση: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:

Το πρώτο μέλος της ακολουθίας είναι 3.

Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.

Εργασία: είναι απαραίτητο να βρείτε την τιμή 214 όρων

Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου μέλους, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

a(n) = a1 + d(n-1)

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Απάντηση: Το 214ο μέλος της ακολουθίας ισούται με 258,6.

Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.

Άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού όρων

Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, απαιτείται να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων τμημάτων της. Επίσης, δεν χρειάζεται να υπολογίσει τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις συνοψίσει. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.

Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου μέλους, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό μέλους n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του ν-ου μέλους αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:

Παράδειγμα υπολογισμού

Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.

Η διαφορά είναι 0,5.

Στο πρόβλημα, απαιτείται να προσδιοριστεί το άθροισμα των όρων της σειράς από 56 έως 101.

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του αθροίσματος της προόδου:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 μελών της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Άρα το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου

Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα της αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο παράδειγμα.

Η είσοδος σε ταξί (το οποίο περιλαμβάνει 3 χλμ.) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο καταβάλλεται με ρυθμό 22 ρούβλια / km. Απόσταση διαδρομής 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.

1. Ας πετάξουμε τα πρώτα 3 χλμ, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.

30 - 3 = 27 χλμ.

2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.

Ο αριθμός μέλους είναι ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).

Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.

Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.

Διαφορά προόδου d = 22 p.

ο αριθμός που μας ενδιαφέρει - η τιμή του (27 + 1) μέλους της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μετρητή στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου - 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Οι υπολογισμοί των δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το φωτιστικό. Επιπλέον, διάφορες αριθμητικές σειρές χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους κλάδους των μαθηματικών.

Ένα άλλο είδος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική

Μια γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγάλο, σε σύγκριση με έναν αριθμητικό, ρυθμό μεταβολής. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία, την ιατρική, συχνά, για να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία εξελίσσεται εκθετικά.

Το Ν-ο μέλος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από το προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, το πρώτο μέλος είναι 1, ο παρονομαστής είναι 2, αντίστοιχα, τότε:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της γεωμετρικής προόδου.

b n+1 - ο τύπος του επόμενου μέλους της γεωμετρικής προόδου.

q είναι ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).

Εάν η γραφική παράσταση μιας αριθμητικής προόδου είναι ευθεία γραμμή, τότε η γεωμετρική σχεδιάζει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, μια γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου μέλους. Οποιοσδήποτε ν-ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του πρώτου όρου και ο παρονομαστής της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:

Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Βρείτε τον 5ο όρο της προόδου

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού μελών υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του n ου μέλους της προόδου και του παρονομαστή της και του πρώτου μέλους της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:

Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n μελών της εξεταζόμενης σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:

Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής τίθεται ίσος με 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ποια είναι η ουσία της φόρμουλας;

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιος ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Φυσικά, πρέπει να γνωρίζετε τον πρώτο όρο Α'1και διαφορά εξέλιξης ρε, καλά, χωρίς αυτές τις παραμέτρους, δεν μπορείτε να γράψετε μια συγκεκριμένη εξέλιξη.

Δεν αρκεί να απομνημονεύσετε (ή να εξαπατήσετε) αυτόν τον τύπο. Είναι απαραίτητο να αφομοιώσουμε την ουσία του και να εφαρμόσουμε τον τύπο σε διάφορα προβλήματα. Ναι, και μην ξεχνάτε την κατάλληλη στιγμή, ναι ...) Πώς μην ξεχάσεις- Δεν ξέρω. Αλλά πώς να θυμάστεΑν χρειαστεί, θα σας δώσω μια υπόδειξη. Για όσους κατακτήσουν το μάθημα μέχρι το τέλος.)

Ας ασχοληθούμε λοιπόν με τον τύπο του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.

Τι είναι ένας τύπος γενικά - φανταζόμαστε.) Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος, ένας αριθμός μέλους, μια διαφορά προόδου - αναφέρεται ξεκάθαρα στο προηγούμενο μάθημα. Ρίξτε μια ματιά αν δεν το έχετε διαβάσει. Όλα είναι απλά εκεί. Μένει να καταλάβουμε τι ντο μέλος.

Η πρόοδος γενικά μπορεί να γραφτεί ως μια σειρά αριθμών:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

Α'1- δηλώνει τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου, α 3- τρίτο μέλος α 4- τέταρτο, και ούτω καθεξής. Αν μας ενδιαφέρει η πέμπτη θητεία, ας πούμε ότι συνεργαζόμαστε α 5, αν εκατόν εικοστό - από ένα 120.

Πώς να ορίσετε γενικά όποιοςμέλος μιας αριθμητικής προόδου, s όποιοςαριθμός? Πολύ απλό! Σαν αυτό:

a n

Αυτό είναι ν-ο μέλος μιας αριθμητικής προόδου.Κάτω από το γράμμα n κρύβονται όλοι οι αριθμοί των μελών ταυτόχρονα: 1, 2, 3, 4 και ούτω καθεξής.

Και τι μας δίνει ένας τέτοιος δίσκος; Σκέψου, αντί για αριθμό, έγραψαν ένα γράμμα...

Αυτή η σημείωση μας δίνει ένα ισχυρό εργαλείο για την εργασία με αριθμητικές προόδους. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία a n, μπορούμε να βρούμε γρήγορα όποιοςμέλος όποιοςαριθμητική πρόοδος. Και ένα σωρό εργασίες για επίλυση σε εξέλιξη. Θα δείτε περαιτέρω.

Στον τύπο του ντος μέλους μιας αριθμητικής προόδου:

a n = a 1 + (n-1)d

Α'1- το πρώτο μέλος της αριθμητικής προόδου.

n- αριθμός μέλους.

Ο τύπος συνδέει τις βασικές παραμέτρους οποιασδήποτε προόδου: a n ; Α'1 ; ρεκαι n. Γύρω από αυτές τις παραμέτρους, όλα τα παζλ περιστρέφονται σε εξέλιξη.

Ο τύπος nth όρου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να γράψει μια συγκεκριμένη εξέλιξη. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα μπορεί να ειπωθεί ότι η πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n = 5 + (n-1) 2.

Ένα τέτοιο πρόβλημα μπορεί ακόμη και να μπερδέψει ... Δεν υπάρχει καμία σειρά, καμία διαφορά ... Αλλά, συγκρίνοντας την κατάσταση με τον τύπο, είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι σε αυτήν την εξέλιξη a 1 \u003d 5 και d \u003d 2.

Και μπορεί να είναι ακόμα πιο θυμωμένο!) Αν πάρουμε την ίδια συνθήκη: a n = 5 + (n-1) 2,ναι άνοιξε τις αγκύλες και δώσε παρόμοιες; Παίρνουμε μια νέα φόρμουλα:

an = 3 + 2n.

το Μόνο όχι γενική, αλλά για συγκεκριμένη εξέλιξη. Εδώ βρίσκεται η παγίδα. Μερικοί άνθρωποι πιστεύουν ότι ο πρώτος όρος είναι τρεις. Αν και στην πραγματικότητα το πρώτο μέλος είναι πέντε... Λίγο πιο κάτω θα δουλέψουμε με μια τέτοια τροποποιημένη φόρμουλα.

Στις εργασίες για πρόοδο, υπάρχει μια άλλη σημειογραφία - ένα ν+1. Αυτός είναι, το μαντέψατε, ο όρος "n συν τον πρώτο" όρο της εξέλιξης. Η σημασία του είναι απλή και ακίνδυνη.) Αυτό είναι ένα μέλος της προόδου, ο αριθμός της οποίας είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό ν κατά ένα. Για παράδειγμα, αν σε κάποιο πρόβλημα πάρουμε για a nπέμπτη θητεία λοιπόν ένα ν+1θα είναι το έκτο μέλος. Και τα λοιπά.

Τις περισσότερες φορές ο προσδιορισμός ένα ν+1εμφανίζεται σε αναδρομικούς τύπους. Μην φοβάστε αυτήν την τρομερή λέξη!) Αυτός είναι απλώς ένας τρόπος έκφρασης ενός όρου μιας αριθμητικής προόδου μέσω του προηγούμενου.Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος σε αυτή τη μορφή, χρησιμοποιώντας τον επαναλαμβανόμενο τύπο:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Το τέταρτο - μέχρι το τρίτο, το πέμπτο - μέχρι το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Και πώς να μετρήσετε αμέσως, ας πούμε τον εικοστό όρο, ένα 20? Αλλά σε καμία περίπτωση!) Ενώ ο 19ος όρος δεν είναι γνωστός, ο 20ός δεν μπορεί να μετρηθεί. Αυτή είναι η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ του αναδρομικού τύπου και του τύπου του nου όρου. Η αναδρομική λειτουργεί μόνο μέσω προηγούμενοςόρος, και ο τύπος του nου όρου - μέσω ο πρώτοςκαι επιτρέπει αμέσωςβρείτε οποιοδήποτε μέλος με τον αριθμό του. Χωρίς να υπολογίζουμε ολόκληρη τη σειρά των αριθμών με τη σειρά.

Σε μια αριθμητική πρόοδο, ένας αναδρομικός τύπος μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε κανονικό. Μετρήστε ένα ζεύγος διαδοχικών όρων, υπολογίστε τη διαφορά ρε,βρείτε, εάν χρειάζεται, τον πρώτο όρο Α'1, γράψτε τον τύπο στη συνηθισμένη μορφή και δουλέψτε μαζί του. Στο GIA, τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά.

Εφαρμογή του τύπου του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.

Αρχικά, ας δούμε την άμεση εφαρμογή του τύπου. Στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος υπήρχε ένα πρόβλημα:

Δίνεται αριθμητική πρόοδος (a n). Βρείτε ένα 121 αν a 1 =3 και d=1/6.

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς τύπους, απλά με βάση το νόημα της αριθμητικής προόδου. Προσθέστε, ναι προσθέστε ... Μία ή δύο ώρες.)

Και σύμφωνα με τον τύπο, η λύση θα διαρκέσει λιγότερο από ένα λεπτό. Μπορείτε να το χρονομετρήσετε.) Εμείς αποφασίζουμε.

Οι συνθήκες παρέχουν όλα τα δεδομένα για τη χρήση του τύπου: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Μένει να δούμε τι n.Κανένα πρόβλημα! Πρέπει να βρούμε ένα 121. Εδώ γράφουμε:

Παρακαλώ δώσε προσοχή! Αντί για ευρετήριο nεμφανίστηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός: 121. Κάτι που είναι αρκετά λογικό.) Μας ενδιαφέρει το μέλος της αριθμητικής προόδου αριθμός εκατόν είκοσι ένα.Αυτό θα είναι δικό μας n.Αυτό είναι το νόημα n= 121 θα αντικαταστήσουμε περαιτέρω στον τύπο, μέσα σε παρενθέσεις. Αντικαταστήστε όλους τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Το ίδιο γρήγορα μπορούσε κανείς να βρει το πεντακόσιο δέκατο μέλος, και το χίλιο τρίτο, οποιοδήποτε. Βάζουμε αντί nο επιθυμητός αριθμός στο ευρετήριο του γράμματος " ένα"και σε αγκύλες, και θεωρούμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω την ουσία: αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να βρείτε όποιοςόρος μιας αριθμητικής προόδου ΜΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ" n" .

Ας λύσουμε το πρόβλημα πιο έξυπνα. Ας πούμε ότι έχουμε το εξής πρόβλημα:

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 17 =-2; d=-0,5.

Αν έχετε δυσκολίες, θα σας προτείνω το πρώτο βήμα. Γράψτε τον τύπο για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου!Ναι ναι. Γράψε με το χέρι, ακριβώς στο σημειωματάριό σου:

a n = a 1 + (n-1)d

Και τώρα, κοιτάζοντας τα γράμματα του τύπου, καταλαβαίνουμε τι δεδομένα έχουμε και τι λείπει; Διαθέσιμος d=-0,5,υπάρχει ένα δέκατο έβδομο μέλος ... Όλα; Αν νομίζετε ότι αυτό είναι όλο, τότε δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα, ναι...

Έχουμε και έναν αριθμό n! Στην κατάσταση α 17 =-2κρυμμένος δύο επιλογές.Αυτή είναι τόσο η τιμή του δέκατου έβδομου μέλους (-2) όσο και ο αριθμός του (17). Εκείνοι. n=17.Αυτό το «μικρό πράγμα» συχνά ξεφεύγει από το κεφάλι, και χωρίς αυτό, (χωρίς το «μικρό πράγμα», όχι το κεφάλι!) Το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αν και ... και χωρίς κεφάλι επίσης.)

Τώρα μπορούμε ανόητα να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στον τύπο:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Ω ναι, ένα 17ξέρουμε ότι είναι -2. Εντάξει, ας το βάλουμε:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Αυτό, στην ουσία, είναι όλο. Απομένει να εκφράσουμε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου από τον τύπο και να υπολογίσουμε. Παίρνετε την απάντηση: α 1 = 6.

Μια τέτοια τεχνική - η σύνταξη ενός τύπου και η απλή αντικατάσταση γνωστών δεδομένων - βοηθάει πολύ σε απλές εργασίες. Λοιπόν, πρέπει, φυσικά, να μπορείτε να εκφράσετε μια μεταβλητή από έναν τύπο, αλλά τι να κάνετε!; Χωρίς αυτή την ικανότητα, τα μαθηματικά δεν μπορούν να μελετηθούν καθόλου ...

Ένα άλλο δημοφιλές πρόβλημα:

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου (a n) εάν a 1 =2; α 15 = 12.

Τι κάνουμε? Θα εκπλαγείτε, γράφουμε τον τύπο!)

a n = a 1 + (n-1)d

Σκεφτείτε τι γνωρίζουμε: a 1 =2; a 15 =12; και (ιδιαίτερη επισήμανση!) n=15. Μη διστάσετε να αντικαταστήσετε στη φόρμουλα:

12=2 + (15-1)δ

Ας κάνουμε την αριθμητική.)

12=2 + 14η

ρε=10/14 = 5/7

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Εργασίες λοιπόν a n, a 1και ρεαποφασισμένος. Απομένει να μάθετε πώς να βρείτε τον αριθμό:

Ο αριθμός 99 είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n), όπου a 1 =12; d=3. Βρείτε τον αριθμό αυτού του μέλους.

Αντικαθιστούμε τις γνωστές ποσότητες στον τύπο του nου όρου:

a n = 12 + (n-1) 3

Με την πρώτη ματιά, υπάρχουν δύο άγνωστες ποσότητες εδώ: ένα ν και ν.Αλλά a nείναι κάποιο μέλος της προόδου με τον αριθμό n... Και αυτό το μέλος του progression το ξέρουμε! Είναι 99. Δεν ξέρουμε τον αριθμό του. n,οπότε πρέπει να βρεθεί και αυτός ο αριθμός. Αντικαταστήστε τον όρο προόδου 99 στον τύπο:

99 = 12 + (n-1) 3

Εκφράζουμε από τον τύπο n, νομίζουμε. Παίρνουμε την απάντηση: n=30.

Και τώρα ένα πρόβλημα στο ίδιο θέμα, αλλά πιο δημιουργικό):

Προσδιορίστε εάν ο αριθμός 117 θα είναι μέλος μιας αριθμητικής προόδου (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ας ξαναγράψουμε τον τύπο. Τι, δεν υπάρχουν επιλογές; Χμ... Γιατί χρειαζόμαστε μάτια;) Βλέπουμε το πρώτο μέλος της εξέλιξης; Βλέπουμε. Αυτό είναι -3,6. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια: a 1 \u003d -3,6.Διαφορά ρεμπορεί να προσδιοριστεί από τη σειρά; Είναι εύκολο αν γνωρίζετε ποια είναι η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Ναι, κάναμε το πιο απλό πράγμα. Μένει να ασχοληθούμε με έναν άγνωστο αριθμό nκαι ένας ακατανόητος αριθμός 117. Στο προηγούμενο πρόβλημα, τουλάχιστον ήταν γνωστό ότι ήταν ο όρος της προόδου που δόθηκε. Αλλά εδώ δεν ξέρουμε καν ότι ... Πώς να είσαι!; Λοιπόν, πώς να είσαι, πώς να είσαι... Ενεργοποιήστε τις δημιουργικές σας ικανότητες!)

Εμείς υποθέτωότι το 117 είναι τελικά μέλος της προόδου μας. Με άγνωστο αριθμό n. Και, όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, ας προσπαθήσουμε να βρούμε αυτόν τον αριθμό. Εκείνοι. γράφουμε τον τύπο (ναι-ναι!)) και αντικαθιστούμε τους αριθμούς μας:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Και πάλι εκφράζουμε από τον τύποn, μετράμε και παίρνουμε:

Ωχ! Ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός!Εκατόν ενάμιση. Και κλασματικοί αριθμοί σε προόδους δεν μπορεί.Τι συμπέρασμα βγάζουμε; Ναί! Αριθμός 117 δεν είναιμέλος της προόδου μας. Είναι κάπου μεταξύ του 101ου και του 102ου μέλους. Εάν ο αριθμός αποδείχθηκε φυσικός, δηλ. θετικός ακέραιος, τότε ο αριθμός θα είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό που βρέθηκε. Και στην περίπτωσή μας, η απάντηση στο πρόβλημα θα είναι: όχι.

Εργασία που βασίζεται σε μια πραγματική έκδοση του GIA:

Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:

a n \u003d -4 + 6,8n

Βρείτε τον πρώτο και τον δέκατο όρο της προόδου.

Εδώ η εξέλιξη διαμορφώνεται με έναν ασυνήθιστο τρόπο. Κάποιο είδος φόρμουλας ... Συμβαίνει.) Ωστόσο, αυτός ο τύπος (όπως έγραψα παραπάνω) - επίσης ο τύπος του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου!Το επιτρέπει επίσης βρείτε οποιοδήποτε μέλος της προόδου με τον αριθμό του.

Ψάχνουμε για το πρώτο μέλος. Αυτός που σκέφτεται. ότι ο πρώτος όρος είναι μείον τέσσερα, είναι μοιραία λάθος!) Επειδή ο τύπος στο πρόβλημα έχει τροποποιηθεί. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου σε αυτό κρυμμένος.Τίποτα, θα το βρούμε τώρα.)

Όπως και στις προηγούμενες εργασίες, αντικαθιστούμε n=1σε αυτόν τον τύπο:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Εδώ! Ο πρώτος όρος είναι 2,8, όχι -4!

Ομοίως, αναζητούμε τον δέκατο όρο:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό.

Και τώρα, για όσους έχουν διαβάσει μέχρι αυτές τις γραμμές, το υποσχόμενο μπόνους.)

Ας υποθέσουμε ότι, σε μια δύσκολη κατάσταση μάχης του GIA ή της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, ξεχάσατε τον χρήσιμο τύπο του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου. Κάτι μου έρχεται στο μυαλό, αλλά με κάποιο τρόπο αβέβαιο ... Αν nεκεί, ή n+1, ή ν-1...Πώς να είσαι!?

Ηρεμία! Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να εξαχθεί. Όχι πολύ αυστηρό, αλλά σίγουρα αρκετό για αυτοπεποίθηση και σωστή απόφαση!) Για το συμπέρασμα, αρκεί να θυμηθούμε τη στοιχειώδη σημασία της αριθμητικής προόδου και να έχουμε μερικά λεπτά χρόνου. Απλά πρέπει να σχεδιάσετε μια εικόνα. Για λογους σαφηνειας.

Σχεδιάζουμε έναν αριθμητικό άξονα και σημειώνουμε πάνω του τον πρώτο. δεύτερο, τρίτο κ.λπ. μέλη. Και σημειώστε τη διαφορά ρεμεταξύ των μελών. Σαν αυτό:

Κοιτάμε την εικόνα και σκεφτόμαστε: με τι ισούται ο δεύτερος όρος; Δεύτερος ένας ρε:

ένα 2 =a 1 + 1 ρε

Ποιος είναι ο τρίτος όρος; Τρίτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν δύο ρε.

ένα 3 =a 1 + 2 ρε

Τόπιασες? Δεν βάζω κάποιες λέξεις με έντονους χαρακτήρες. Εντάξει, ένα ακόμη βήμα.)

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Τέταρτοςόρος ισούται με πρώτο όρο συν τρία ρε.

ένα 4 =a 1 + 3 ρε

Είναι καιρός να συνειδητοποιήσουμε ότι ο αριθμός των κενών, δηλ. ρε, πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του μέλους που αναζητάτε n. Μέχρι τον αριθμό δηλαδή n, αριθμός κενώνθα είναι n-1.Έτσι, ο τύπος θα είναι (χωρίς επιλογές!):

a n = a 1 + (n-1)d

Γενικά, οι οπτικές εικόνες βοηθούν πολύ στην επίλυση πολλών προβλημάτων στα μαθηματικά. Μην αμελείτε τις εικόνες. Αλλά αν είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια εικόνα, τότε ... μόνο ένας τύπος!) Επιπλέον, ο τύπος του nου όρου σας επιτρέπει να συνδέσετε ολόκληρο το ισχυρό οπλοστάσιο των μαθηματικών με τη λύση - εξισώσεις, ανισότητες, συστήματα κ.λπ. Δεν μπορείς να βάλεις μια εικόνα σε μια εξίσωση...

Καθήκοντα για ανεξάρτητη απόφαση.

Για προθέρμανση:

1. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Βρείτε ένα 3.

Συμβουλή: σύμφωνα με την εικόνα, το πρόβλημα λύνεται σε 20 δευτερόλεπτα ... Σύμφωνα με τον τύπο, αποδεικνύεται πιο δύσκολο. Αλλά για τον έλεγχο του τύπου, είναι πιο χρήσιμο.) Στην Ενότητα 555, αυτό το πρόβλημα επιλύεται τόσο από την εικόνα όσο και από τον τύπο. Νιώστε τη διαφορά!)

Και αυτό δεν είναι πλέον προθέρμανση.)

2. Σε αριθμητική πρόοδο (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Βρείτε ένα 3 .

Τι, απροθυμία να σχεδιάσετε μια εικόνα;) Ακόμα! Είναι καλύτερα στη φόρμουλα, ναι...

3. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Σε αυτή την εργασία, η εξέλιξη δίνεται με επαναλαμβανόμενο τρόπο. Αλλά μετρώντας μέχρι τον εκατόν εικοστό πέμπτο όρο... Δεν μπορούν όλοι να κάνουν ένα τέτοιο κατόρθωμα.) Αλλά η φόρμουλα της nης θητείας είναι στη δύναμη του καθενός!

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Βρείτε τον αριθμό του μικρότερου θετικού όρου της προόδου.

5. Σύμφωνα με την συνθήκη της εργασίας 4, βρείτε το άθροισμα των μικρότερων θετικών και μεγαλύτερων αρνητικών μελών της προόδου.

6. Το γινόμενο του πέμπτου και του δωδέκατου όρου μιας αυξανόμενης αριθμητικής προόδου είναι -2,5 και το άθροισμα του τρίτου και του ενδέκατου μέλους είναι μηδέν. Βρείτε ένα 14.

Δεν είναι η πιο εύκολη εργασία, ναι ...) Εδώ η μέθοδος "στα δάχτυλα" δεν θα λειτουργήσει. Πρέπει να γράψετε τύπους και να λύσετε εξισώσεις.

Απαντήσεις (σε αταξία):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Συνέβη; Είναι ωραία!)

Δεν πάνε όλα καλά; Συμβαίνει. Παρεμπιπτόντως, στην τελευταία εργασία υπάρχει ένα λεπτό σημείο. Απαιτείται προσοχή κατά την ανάγνωση του προβλήματος. Και η λογική.

Η λύση σε όλα αυτά τα προβλήματα συζητείται λεπτομερώς στην Ενότητα 555. Και το στοιχείο της φαντασίας για τον τέταρτο, και η λεπτή στιγμή για τον έκτο, και γενικές προσεγγίσεις για την επίλυση τυχόν προβλημάτων για τον τύπο του ένατου όρου - όλα είναι ζωγραφισμένα. Προτείνω.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Καταρχήν χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο Μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ. a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους στοχαστικούς. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος του nου όρου:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.