Εύρεση του αθροίσματος μιας σειράς μέσω ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Ενσωμάτωση και διαφοροποίηση σειρών ισχύος

Σειρές.

Βασικοί ορισμοί.

Ορισμός. Το άθροισμα των όρων μιας άπειρης αριθμητικής ακολουθίας ονομάζεται αριθμητική σειρά.

Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί θα ονομάζονται μέλη της σειράς και u nείναι κοινό μέλος της σειράς.

Ορισμός. Ποσά, n = 1, 2,…που ονομάζεται ιδιωτικά (μερικά) ποσάσειρά.

Έτσι, είναι δυνατό να ληφθούν υπόψη ακολουθίες μερικών αθροισμάτων της σειράς S 1 , S 2 , …, S n , …

Ορισμός. Η σειρά ονομάζεται συγκλίνουσααν η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων συγκλίνει. Το άθροισμα της συγκλίνουσας σειράςείναι το όριο της ακολουθίας των μερικών του αθροισμάτων.

Ορισμός. Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς αποκλίνει, δηλ. δεν έχει όριο, ή έχει άπειρο όριο, τότε καλείται η σειρά αποκλίνωνκαι δεν του αναλογεί κανένα ποσό.

ιδιότητες σειράς.

1) Η σύγκλιση ή η απόκλιση της σειράς δεν θα παραβιαστεί εάν αλλάξετε, απορρίψετε ή προσθέσετε έναν πεπερασμένο αριθμό όρων στη σειρά.

2) Θεωρήστε δύο σειρές και , όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός.

Θεώρημα. Εάν μια σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της είναι ίσο με S, τότε η σειρά συγκλίνει επίσης και το άθροισμά της είναι ίσο με CS. (C¹0)

3) Θεωρήστε δύο σειρές και . άθροισμαή διαφοράαπό αυτές τις σειρές θα ονομαστεί σειρά όπου τα στοιχεία προκύπτουν ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης) των αρχικών στοιχείων με τους ίδιους αριθμούς.

Θεώρημα. Εάν οι σειρές και οι σειρές συγκλίνουν και τα αθροίσματά τους είναι ίσα με S και s, αντίστοιχα, τότε η σειρά συγκλίνει επίσης και το άθροισμά της είναι ίσο με S + s.

Η διαφορά δύο συγκλίνουσων σειρών θα είναι επίσης συγκλίνουσα σειρά.

Το άθροισμα μιας συγκλίνουσας και μιας αποκλίνουσας σειράς θα είναι μια αποκλίνουσα σειρά.

Είναι αδύνατο να κάνουμε μια γενική δήλωση για το άθροισμα δύο αποκλίνουσες σειρές.

Κατά τη μελέτη σειρών, λύνονται κυρίως δύο προβλήματα: η μελέτη της σύγκλισης και η εύρεση του αθροίσματος της σειράς.

Κριτήριο Cauchy.

(απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της σειράς)

Για να είναι η ακολουθία συγκλίνουσα, είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιαδήποτε να υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε για n > N και κάθε p > 0, όπου p είναι ακέραιος, θα ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

Απόδειξη. (χρειάζομαι)

Αφήστε , τότε για οποιονδήποτε αριθμό υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε η ανισότητα

Εκτελείται όταν n>N. Για n>N και οποιονδήποτε ακέραιο p>0, ισχύει και η ανισότητα. Λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο ανισότητες, παίρνουμε:

Η ανάγκη έχει αποδειχθεί. Δεν θα εξετάσουμε την απόδειξη επάρκειας.

Ας διατυπώσουμε το κριτήριο Cauchy για τη σειρά.

Για να είναι μια σειρά συγκλίνουσα είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιαδήποτε να υπάρχει αριθμός N τέτοιος ώστε για n>N και κάθε p>0 η ανισότητα

Ωστόσο, στην πράξη, δεν είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε απευθείας το κριτήριο Cauchy. Επομένως, κατά κανόνα, χρησιμοποιούνται απλούστερα κριτήρια σύγκλισης:

1) Αν η σειρά συγκλίνει, είναι απαραίτητο ο κοινός όρος u nέλκεται προς το μηδέν. Ωστόσο, αυτή η προϋπόθεση δεν είναι επαρκής. Μπορούμε μόνο να πούμε ότι εάν ο κοινός όρος δεν τείνει στο μηδέν, τότε η σειρά αποκλίνει ακριβώς. Για παράδειγμα, η λεγόμενη αρμονική σειρά είναι αποκλίνουσα, αν και ο κοινός όρος της τείνει στο μηδέν.

Παράδειγμα.Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς

Ας βρούμε - το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης δεν ικανοποιείται, επομένως η σειρά αποκλίνει.

2) Αν η σειρά συγκλίνει, τότε η ακολουθία των μερικών της αθροισμάτων είναι δεσμευμένη.

Ωστόσο, αυτό το χαρακτηριστικό δεν είναι επίσης αρκετό.

Για παράδειγμα, η σειρά 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… αποκλίνει επειδή η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων αποκλίνει λόγω του γεγονότος ότι

Ωστόσο, στην περίπτωση αυτή η αλληλουχία των μερικών αθροισμάτων είναι περιορισμένη, γιατί για κάθε n.

Σειρά με μη αρνητικούς όρους.

Όταν μελετάμε σειρές με σταθερό πρόσημο, περιοριζόμαστε στο να εξετάζουμε σειρές με μη αρνητικούς όρους, αφού όταν πολλαπλασιάζονται απλά με -1, αυτές οι σειρές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ληφθούν σειρές με αρνητικούς όρους.

Θεώρημα. Για να συγκλίνουν μια σειρά με μη αρνητικούς όρους, είναι απαραίτητο και επαρκές τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς να είναι περιορισμένα.

Σημάδι σύγκρισης σειράς με μη αρνητικά μέλη.

Αφήστε να υπάρχουν δύο σειρές και στο u n , v n ³ 0.

Θεώρημα. Αν ένα u n£ v nγια κάθε n, τότε η σύγκλιση της σειράς συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς , και από την απόκλιση της σειράς ακολουθεί η απόκλιση της σειράς.

Απόδειξη. Σημειώστε με S nκαι s nμερικά αθροίσματα σειρών και . Επειδή Με την συνθήκη του θεωρήματος, η σειρά συγκλίνει, τότε τα επιμέρους αθροίσματά της οριοθετούνται, δηλ. για όλα n s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. u n£ v n, έπειτα S n£ s nτότε τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς είναι επίσης οριοθετημένες και αυτό αρκεί για τη σύγκλιση.

Παράδειγμα.

Επειδή , και η αρμονική σειρά αποκλίνει, τότε η σειρά αποκλίνει επίσης.

Παράδειγμα.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης

Επειδή , και η σειρά συγκλίνει (ως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος), τότε η σειρά συγκλίνει επίσης.

Χρησιμοποιείται επίσης το ακόλουθο κριτήριο σύγκλισης:

Θεώρημα. Αν και υπάρχει ένα όριο , όπου το h είναι ένας αριθμός μη μηδενικός, τότε η σειρά και το προβάδισμα με τον ίδιο τρόπο με την έννοια της σύγκλισης.

Σημάδι του d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Γάλλος μαθηματικός)

Αν για μια σειρά με θετικούς όρους υπάρχει ένας αριθμός q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

τότε η σειρά συγκλίνει εάν, για όλα τα αρκετά μεγάλα n, η συνθήκη

τότε η σειρά αποκλίνει.

Περιοριστικό σημάδι του d'Alembert.

Το περιοριστικό τεστ d'Alembert είναι συνέπεια του παραπάνω τεστ d'Alembert.

< 1 ряд сходится, а при r >1 - αποκλίνει. Εάν r = 1, τότε η ερώτηση σύγκλισης δεν μπορεί να απαντηθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση της σειράς.

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση μιας σειράς

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Σήμα Cauchy. (ριζοσπαστικό σημάδι)

Αν για μια σειρά με μη αρνητικούς όρους υπάρχει ένας αριθμός q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

τότε η σειρά συγκλίνει εάν, για όλα τα αρκετά μεγάλα n, η ανισότητα

τότε η σειρά αποκλίνει.

Συνέπεια. Αν υπάρχει όριο , τότε για το r<1 ряд сходится, а при r>1 σειρά αποκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση της σειράς.

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση της σειράς.

Εκείνοι. Το κριτήριο του Cauchy δεν απαντά στο ερώτημα για τη σύγκλιση της σειράς. Ας ελέγξουμε αν πληρούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις σύγκλισης. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, εάν η σειρά συγκλίνει, τότε ο κοινός όρος της σειράς τείνει στο μηδέν.

Συνεπώς, δεν ικανοποιείται η απαραίτητη προϋπόθεση για τη σύγκλιση, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά αποκλίνει.

Ολοκληρωμένο τεστ Cauchy.

Αν το j(х) είναι μια συνεχής θετική συνάρτηση φθίνουσα στο διάστημακαι τότε τα ολοκληρώματα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο με την έννοια της σύγκλισης.

Μεταβλητές σειρές.

Εναλλασσόμενες σειρές.

Μια εναλλασσόμενη σειρά μπορεί να γραφτεί ως:

Σημάδι Leibniz.

Εάν μια εναλλασσόμενη σειρά έχει απόλυτες τιμές u i φθίνουσες και ο κοινός όρος τείνει στο μηδέν, τότε η σειρά συγκλίνει.

Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση σειρών.

Εξετάστε μερικές εναλλασσόμενες σειρές (με όρους αυθαίρετων σημείων).

και μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της σειράς (1):

Θεώρημα. Η σύγκλιση της σειράς (2) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (1).

Απόδειξη. Η σειρά (2) βρίσκεται δίπλα σε μη αρνητικούς όρους. Εάν η σειρά (2) συγκλίνει, τότε με το κριτήριο Cauchy για οποιοδήποτε e>0 υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε για n>N και οποιονδήποτε ακέραιο p>0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

Σύμφωνα με την ιδιότητα των απόλυτων τιμών:

Δηλαδή, σύμφωνα με το κριτήριο Cauchy, η σύγκλιση της σειράς (2) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (1).

Ορισμός. Η σειρά ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσααν η σειρά συγκλίνει.

Προφανώς, για σειρές σταθερού πρόσημου, οι έννοιες της σύγκλισης και της απόλυτης σύγκλισης συμπίπτουν.

Ορισμός. Η σειρά ονομάζεται υπό όρους συγκλίνουσααν συγκλίνει και η σειρά αποκλίνει.

Οι δοκιμές του d'Alembert και του Cauchy για εναλλασσόμενες σειρές.

Έστω μια εναλλασσόμενη σειρά.

Σημάδι του d'Alembert. Αν υπάρχει όριο , τότε για το r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>

Σήμα Cauchy. Αν υπάρχει όριο , τότε για το r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 σειρά θα είναι αποκλίνουσα. Όταν r=1, το πρόσημο δεν δίνει απάντηση για τη σύγκλιση της σειράς.

Ιδιότητες απολύτως συγκλίνουσες σειρές.

1) Θεώρημα. Για την απόλυτη σύγκλιση μιας σειράς, είναι απαραίτητο και επαρκές να μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο συγκλίνων σειρών με μη αρνητικούς όρους.

Συνέπεια. Μια υπό όρους συγκλίνουσα σειρά είναι η διαφορά δύο αποκλίνων σειρών με μη αρνητικούς όρους που τείνουν στο μηδέν.

2) Σε μια συγκλίνουσα σειρά, οποιαδήποτε ομαδοποίηση των όρων της σειράς που δεν αλλάζει τη σειρά τους διατηρεί τη σύγκλιση και το μέγεθος της σειράς.

3) Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε η σειρά που προκύπτει από αυτήν με οποιαδήποτε μετάθεση όρων συγκλίνει επίσης απόλυτα και έχει το ίδιο άθροισμα.

Με την αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια υπό όρους συγκλίνουσα σειρά με οποιοδήποτε προκαθορισμένο άθροισμα, ακόμη και μια αποκλίνουσα σειρά.

4) Θεώρημα. Με οποιαδήποτε ομαδοποίηση μελών μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των ομάδων μπορεί να είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρος και ο αριθμός των μελών σε μια ομάδα μπορεί να είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρος), προκύπτει μια συγκλίνουσα σειρά, το άθροισμα εκ των οποίων είναι ίσο με το άθροισμα της αρχικής σειράς.

5) Αν οι σειρές και συγκλίνουν απόλυτα και τα αθροίσματά τους είναι ίσα, αντίστοιχα μικρόκαι s, τότε μια σειρά που αποτελείται από όλα τα γινόμενα της μορφής που λαμβάνονται με οποιαδήποτε σειρά συγκλίνει επίσης απόλυτα και το άθροισμά της είναι ίσο με S×s- το γινόμενο των αθροισμάτων της πολλαπλασιασμένης σειράς.

Εάν, ωστόσο, πολλαπλασιαστούν οι υπό όρους συγκλίνουσες σειρές, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια αποκλίνουσα σειρά.

Λειτουργικές ακολουθίες.

Ορισμός. Αν τα μέλη της σειράς δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις από Χ, τότε η σειρά ονομάζεται λειτουργικός.

Η μελέτη της σύγκλισης των συναρτησιακών σειρών είναι πιο δύσκολη από τη μελέτη των αριθμητικών σειρών. Η ίδια λειτουργική σειρά μπορεί, για τις ίδιες τιμές της μεταβλητής Χσυγκλίνουν, και σε άλλα - αποκλίνουν. Επομένως, το ζήτημα της σύγκλισης των συναρτησιακών σειρών περιορίζεται στον προσδιορισμό αυτών των τιμών της μεταβλητής Χγια την οποία η σειρά συγκλίνει.

Το σύνολο τέτοιων τιμών ονομάζεται περιοχή σύγκλισης.

Εφόσον το όριο κάθε συνάρτησης που περιλαμβάνεται στην περιοχή σύγκλισης της σειράς είναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε το όριο της συναρτησιακής ακολουθίας θα είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση:

Ορισμός. Ακολουθία ( f n (x)} συγκλίνειγια να λειτουργήσει f(x)στο τμήμα , εάν για οποιονδήποτε αριθμό e>0 και οποιοδήποτε σημείο Χαπό το τμήμα που εξετάζουμε υπάρχει ένας αριθμός N = N(e, x) τέτοιος ώστε η ανισότητα

εκτελείται για ν>Ν.

Με την επιλεγμένη τιμή e>0, κάθε σημείο του τμήματος αντιστοιχεί στον δικό του αριθμό και, επομένως, θα υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αριθμών που θα αντιστοιχεί σε όλα τα σημεία του τμήματος. Εάν επιλέξετε τον μεγαλύτερο από όλους αυτούς τους αριθμούς, τότε αυτός ο αριθμός θα είναι κατάλληλος για όλα τα σημεία του τμήματος, δηλ. θα είναι κοινά σε όλα τα σημεία.

Ορισμός. Ακολουθία ( f n (x)} συγκλίνει ομοιόμορφαγια να λειτουργήσει f(x)στο διάστημα εάν για οποιονδήποτε αριθμό e>0 υπάρχει αριθμός N = N(e) τέτοιος ώστε η ανισότητα

εκτελείται για n>N για όλα τα σημεία του τμήματος .

Παράδειγμα.Σκεφτείτε τη σειρά

Αυτή η ακολουθία συγκλίνει σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα προς τη συνάρτηση f(x)=0, επειδή

Ας σχεδιάσουμε αυτή τη σειρά:

Όπως φαίνεται, όσο αυξάνεται ο αριθμός nτο γράφημα ακολουθίας πλησιάζει τον άξονα Χ.

λειτουργικές σειρές.

Ορισμός.Ιδιωτικά (μερικά) ποσάΟι συναρτησιακές σειρές ονομάζονται συναρτήσεις

Ορισμός. Η λειτουργική σειρά ονομάζεται συγκλίνουσαστο σημείο ( x=x 0) αν η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων συγκλίνει σε αυτό το σημείο. Το όριο μιας ακολουθίας ονομάζεται άθροισμασειρά σε ένα σημείο x 0.

Ορισμός. Το σύνολο όλων των τιμών Χ, για το οποίο η σειρά συγκλίνει ονομάζεται περιοχή σύγκλισηςσειρά.

Ορισμός. Η σειρά ονομάζεται ομοιόμορφα συγκλίνουσεςσε ένα τμήμα εάν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων αυτής της σειράς συγκλίνει ομοιόμορφα σε αυτό το τμήμα.

Θεώρημα. (Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς)

Για να συγκλίνει ομοιόμορφα η σειρά, είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιονδήποτε αριθμό e>0 να υπάρχει ένας αριθμός N(e) τέτοιος ώστε για n>N και κάθε ακέραιο p>0 η ανισότητα

θα ισχύει για όλα τα x στο τμήμα .

Θεώρημα. (Δοκιμή ομοιόμορφης σύγκλισης Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Γερμανός μαθηματικός)

Η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και, επιπλέον, απόλυτα στο τμήμα , εάν οι μονάδες των μελών της στο ίδιο τμήμα δεν υπερβαίνουν τα αντίστοιχα μέλη της συγκλίνουσας αριθμητικής σειράς με θετικά μέλη:

εκείνοι. υπάρχει μια ανισότητα:

Λένε επίσης ότι σε αυτή την περίπτωση η λειτουργική σειρά μείζονος σημασίαςπλευρά αριθμού.

2) Το θεώρημα για την ολοκλήρωση όρων προς όρο μιας σειράς.

Μια σειρά με συνεχείς όρους που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε ένα διάστημα μπορεί να ενσωματωθεί όρο προς όρο σε αυτό το διάστημα, δηλ. μια σειρά που αποτελείται από ολοκληρώματα των όρων της πάνω από το τμήμα συγκλίνει στο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της σειράς σε αυτό το τμήμα.

3) Το θεώρημα για τη διαφοροποίηση μιας σειράς κατά όρο.

Εάν οι όροι μιας σειράς που συγκλίνουν σε ένα τμήμα είναι συνεχείς συναρτήσεις που έχουν συνεχείς παραγώγους και η σειρά που αποτελείται από αυτές τις παραγώγους συγκλίνει ομοιόμορφα σε αυτό το τμήμα, τότε αυτή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και μπορεί να διαφοροποιηθεί κάθε φορά.

Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα της σειράς είναι κάποια συνάρτηση της μεταβλητής Χ, μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία αναπαράστασης μιας συνάρτησης ως σειρά (επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως στην ενοποίηση, τη διαφοροποίηση και άλλες λειτουργίες με συναρτήσεις.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - Νορβηγός μαθηματικός)

Θεώρημα. Εάν μια σειρά ισχύος συγκλίνει για x = x 1 , τότε συγκλίνει και, επιπλέον, απολύτως για όλα .

Απόδειξη. Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, αφού οι όροι της σειράς είναι περιορισμένοι, τότε

όπου κείναι κάποιος σταθερός αριθμός. Η ακόλουθη ανισότητα είναι αληθής:

Από αυτή την ανισότητα φαίνεται ότι Χ οι αριθμητικές τιμές των μελών της σειράς μας θα είναι μικρότερες (σε κάθε περίπτωση, όχι περισσότερες) από τα αντίστοιχα μέλη της σειράς στη δεξιά πλευρά της ανισότητας που γράφτηκε παραπάνω, τα οποία σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο. Ο παρονομαστής αυτής της προόδου είναι μικρότερος από ένα, επομένως, αυτή η πρόοδος είναι μια συγκλίνουσα σειρά.

Επομένως, με βάση το κριτήριο σύγκρισης, συμπεραίνουμε ότι η σειρά συγκλίνει, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά

ΣΕΙΡΑ ΙΣΧΥΟΣ Το θεώρημα του Άβελ. Διάστημα και ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και η συνέχεια του αθροίσματος της Ενσωμάτωση σειράς ισχύος Διαφοροποίηση σειράς ισχύος σειράς Taylor Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Πίνακας επεκτάσεων σε μια ισχύ σειρά (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.
Το θεώρημα του Άβελ. Το διάστημα και η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Μια σειρά ισχύος είναι μια συναρτητική σειρά της μορφής (o ή της μορφής (2) όπου οι συντελεστές είναι σταθερές. Σειρά (2) με επίσημη αντικατάσταση x - x<> στο x μειώνεται στη σειρά (1). Η σειρά ισχύος (1) συγκλίνει πάντα στο σημείο x = 0, και η σειρά (2) συγκλίνει στο σημείο x0, και το άθροισμά τους σε αυτά τα σημεία είναι ίσο με co. Παράδειγμα. Οι σειρές είναι στοιβαγμένες σειρές. Ας μάθουμε τη μορφή της περιοχής σύγκλισης της σειράς ισχύος. Θεώρημα 1 (Άβελ). Εάν μια σειρά ισχύος συγκλίνει στο, τότε συγκλίνει απολύτως για όλα τα x έτσι ώστε αν η σειρά ισχύος αποκλίνει στο x = xi, τότε αποκλίνει σε οποιοδήποτε x για το οποίο Έστω η σειρά ισχύος ΣΥΓΚΛΗΡΩΣΗ στο. Η σειρά αριθμών συγκλίνει ΣΕΙΡΑ ΙΣΧΥΟΣ Το θεώρημα του Άβελ. Διάστημα και ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και η συνέχεια του αθροίσματος της Ενσωμάτωση σειράς ισχύος Διαφοροποίηση σειράς ισχύος σειράς Taylor Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Πίνακας επεκτάσεων σε μια ισχύ σειρά (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Από αυτό προκύπτει ότι, και ως εκ τούτου, υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε το M για όλα τα n. Εξετάστε τη σειρά όπου και υπολογίστε τον κοινό της όρο. Έχουμε όπουδ = . Αλλά η σειρά αποτελείται από μέλη μιας γεωμετρικής προόδου με τον παρονομαστή q, όπου σημαίνει συγκλίνει. Με βάση το πρόσημο σύγκρισης σειρά 2 |с„:гп| συγκλίνει σε οποιοδήποτε σημείο x για το οποίο. Επομένως, η σειρά ισχύος συγκλίνει απολύτως ΓΙΑ Ας δώσουμε τώρα τη σειρά ισχύος του σημείου Ο), που διαχωρίζει τα διαστήματα απόκλισης από το διάστημα σύγκλισης. Ισχύει το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 2. Έστω ότι η σειρά ισχύος συγκλίνει στο σημείο x Φ 0. Τότε είτε αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα σε κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας, είτε υπάρχει ένας αριθμός R > 0 τέτοιος ώστε η σειρά να συγκλίνει απόλυτα στο και να αποκλίνει στο Divergent. Abs. συγκλίνει αποκλίνουσα δ Σχ. 1 Ορισμός. Ένα διάστημα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος είναι ένα διάστημα (-R, R), όπου R > 0, τέτοιο ώστε σε κάθε σημείο x € (-A, R) η σειρά να συγκλίνει απόλυτα, και σε σημεία x τέτοια ώστε |n| > R, η σειρά αποκλίνει. Ο αριθμός R ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος. Σχόλιο. Όσον αφορά τα άκρα του διαστήματος σύγκλισης (-R, R), είναι δυνατές οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: I) η σειρά ισχύος συγκλίνει τόσο στο σημείο x = -R όσο και στο σημείο x = R, 2) η σειρά ισχύος αποκλίνει και στα δύο σημεία, 3) η σειρά ισχύος συγκλίνει στο ένα άκρο του διαστήματος σύγκλισης και αποκλίνει στο άλλο. Σχόλιο. Η σειρά ισχύος όπου x φ 0 έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης με τη σειρά Για να αποδείξετε τον τύπο (3), θεωρήστε μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων αυτής της σειράς Εφαρμόζοντας τη δοκιμή d'Alembert σε αυτήν τη σειρά, βρείτε Συνεπάγεται ότι η σειρά (4) θα συγκλίνει , εάν και θα αποκλίνει εάν. η σειρά ισχύος συγκλίνει απολύτως για όλα τα x έτσι ώστε και αποκλίνει στο. Με τον ορισμό της ακτίνας σύγκλισης, βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος μπορεί επίσης να βρεθεί από τον τύπο εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο Ο τύπος (5) μπορεί να ληφθεί εύκολα χρησιμοποιώντας το κριτήριο Cauchy. Εάν η σειρά ισχύος συγκλίνει μόνο στο σημείο x = 0, τότε λένε ότι η ακτίνα σύγκλισης είναι R = 0 (αυτό είναι δυνατό, για παράδειγμα, όταν lim b^A = oo ή Εάν η σειρά ισχύος συγκλίνει σε όλα τα σημεία του τον πραγματικό άξονα, τότε βάζουμε R = + oo (αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν lim n^p = 0 ή Το πεδίο σύγκλισης μιας σειράς ισχύος μπορεί να είναι είτε το διάστημα (, είτε το τμήμα [, είτε ένα από τα μισά διαστήματα (x0 - R, x0 + D) ή [. Εάν R = + oo, τότε η περιοχή σύγκλισης της σειράς θα είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, δηλ. το διάστημα (-oo, + oo). βρείτε την περιοχή σύγκλισης μιας σειράς ισχύος, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ακτίνα σύγκλισης R (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν από τους παραπάνω τύπους) και να βρείτε το διάστημα σύγκλισης του σημείου Ο) που διαχωρίζει τα διαστήματα απόκλισης από το διάστημα σύγκλιση Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 2. Έστω η σειρά ισχύος συγκλίνει στο σημείο x Φ 0. Τότε είτε αυτή η σειρά συγκλίνει απολύτως σε κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας, είτε υπάρχει ένας αριθμός R > O τέτοιος ώστε η σειρά να συγκλίνει απόλυτα και αποκλίνει σε | Κατανάλωση το. Abs. συγκλίνει αποκλίνουσα Ορισμός. Ένα διάστημα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος είναι ένα διάστημα (-R, R), όπου R > 0, τέτοιο ώστε σε κάθε σημείο x € (-A, R) η σειρά να συγκλίνει απόλυτα, και σε σημεία x τέτοια ώστε |n| > R, η σειρά αποκλίνει. Ο αριθμός R ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος. Σχόλιο. Όσον αφορά τα άκρα του διαστήματος σύγκλισης (-R, R), είναι δυνατές οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: I) η σειρά ισχύος συγκλίνει τόσο στο σημείο x = -R όσο και στο σημείο x = R, 2) η σειρά ισχύος αποκλίνει και στα δύο σημεία, 3) η σειρά ισχύος συγκλίνει στο ένα άκρο του διαστήματος σύγκλισης και αποκλίνει στο άλλο. Σχόλιο. Η σειρά ισχύος όπου x φ 0 έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης με τη σειρά Για να αποδείξετε τον τύπο (3), θεωρήστε μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων αυτής της σειράς Εφαρμόζοντας τη δοκιμή d'Alembert σε αυτήν τη σειρά, βρείτε Συνεπάγεται ότι η σειρά (4) θα συγκλίνει , εάν \, και θα αποκλίνει εάν, δηλ., η σειρά ισχύος συγκλίνει απολύτως για όλα τα x έτσι ώστε και αποκλίνει για το \. Με τον ορισμό της ακτίνας σύγκλισης, λαμβάνουμε ότι R = £, δηλ. ΣΕΙΡΑ ΙΣΧΥΟΣ Το θεώρημα του Abel. Διάστημα και ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και η συνέχεια του αθροίσματος της Ενσωμάτωση σειράς ισχύος Διαφοροποίηση σειράς ισχύος σειράς Taylor Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Πίνακας επεκτάσεων σε μια ισχύ σειρά (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο εάν υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο Ο τύπος (5) μπορεί να ληφθεί εύκολα χρησιμοποιώντας το κριτήριο Cauchy. Εάν η σειρά ισχύος συγκλίνει μόνο στο σημείο x = 0, τότε λένε ότι η ακτίνα σύγκλισης είναι R = 0 (αυτό είναι δυνατό, για παράδειγμα, όταν lim b^A = oo ή. Εάν η σειρά ισχύος συγκλίνει σε όλα τα σημεία του πραγματικού άξονα, τότε υποθέτουμε R = + oo (αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν Η περιοχή σύγκλισης μιας σειράς ισχύος μπορεί να είναι είτε το διάστημα (, ή το τμήμα ], είτε ένα από τα ημιδιαστήματα (x0 - R, x0 + D) ή [. Εάν R = + oo, τότε η περιοχή σύγκλισης της σειράς θα είναι ολόκληρος ο αριθμητικός άξονας, δηλαδή το διάστημα (-oo, + oo). Για να βρείτε την περιοχή σύγκλισης του μια σειρά ισχύος, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ακτίνα σύγκλισής της R (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας έναν από τους παραπάνω τύπους) και έτσι να βρείτε το διάστημα σύγκλισης στο οποίο η σειρά συγκλίνει απόλυτα, στη συνέχεια - να διερευνήσετε. (3) Αφού θα έχουμε τη σειρά συγκλίνει απόλυτα στο διάστημα 2) Ας ερευνήσουμε Υπολογίζουμε τη σύγκλιση της σειράς (6) στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης. Βάζοντας x = -1, παίρνουμε μια σειρά αριθμών της οποίας η απόκλιση είναι προφανής (δεν πληρούται το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης: . Για το x - 1 παίρνουμε μια σειρά αριθμών για την οποία δεν υπάρχει, που σημαίνει ότι αυτή η σειρά αποκλίνει. Άρα, η Η περιοχή σύγκλισης της σειράς (6) είναι ένα διάστημα Παράδειγμα 2. Βρείτε την περιοχή σύγκλισης της σειράς M 1) Η ακτίνα σύγκλισης βρίσκεται με τον τύπο (3). Έχουμε τη σειρά (7) να συγκλίνει απολύτως στο διάστημα, από όπου όταν παίρνουμε μια αριθμητική σειρά που αποκλίνει (αρμονική σειρά). Για x = 0, θα έχουμε μια σειρά αριθμών που συγκλίνει υπό όρους. Έτσι, η σειρά (7) συγκλίνει στην περιοχή Παράδειγμα 3. Βρείτε το διάστημα σύγκλισης της σειράς Αφού = , τότε για να βρούμε την ακτίνα σύγκλισης, εφαρμόζουμε τον τύπο η περιοχή σύγκλισης είναι το διάστημα Παράδειγμα 4. Βρείτε το διάστημα σύγκλισης της σειράς, τότε παίρνουμε Ισότητα R = 0 σημαίνει ότι η σειρά (8) συγκλίνει μόνο σε ένα σημείο. δηλ. η περιοχή σύγκλισης της δεδομένης σειράς ισχύος αποτελείται από ένα σημείο §2. Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και συνέχεια του αθροίσματος της Θεώρημα 1. Μια σειρά ισχύος συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε τμήμα που περιέχεται στο διάστημα σύγκλισης της σειράς Let. Τότε για όλα τα x που ικανοποιούν την συνθήκη και για οποιοδήποτε n =. θα έχω. Επειδή όμως η σειρά αριθμών συγκλίνει, τότε, σύμφωνα με το κριτήριο Weierstrass, αυτή η σειρά ισχύος συγκλίνει απόλυτα και ομοιόμορφα στο τμήμα. Θεώρημα 2. Το άθροισμα μιας σειράς ισχύος είναι συνεχές σε κάθε σημείο x του διαστήματος σύγκλισης (4) Οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα σύγκλισης (-D, R) μπορεί να περικλείεται σε κάποιο τμήμα στο οποίο αυτή η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα. x) θα είναι συνεχής στο τμήμα [-a, a], και ως εκ τούτου και στο σημείο x. Ολοκλήρωση της σειράς ισχύος Θεώρημα 3 (για την ολοκλήρωση χρονικής διάρκειας μιας σειράς ισχύος) Μια σειρά ισχύος μπορεί να ενσωματωθεί όρος προς όρο στο διάστημα σύγκλισής του (-R, R ), R > 0, και η ακτίνα σύγκλισης της σειράς που προκύπτει από την ολοκλήρωση όρου προς όρο είναι επίσης ίση με R. Ειδικότερα, για οποιοδήποτε x από το διάστημα (-R, R) ο τύπος ισχύει Οποιοδήποτε σημείο x από το διάστημα σύγκλισης (-D, R) μπορεί να συμπεράνει σε κάποιο τμήμα [-a, a], όπου Σε αυτό το τμήμα, η δεδομένη σειρά θα συγκλίνει ομοιόμορφα, και δεδομένου ότι οι όροι της σειράς είναι συνεχείς, μπορεί να ενσωματωθεί όρο προς όρο, για παράδειγμα, εντός της περιοχής από 0 έως x. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το Θεώρημα 4 του Κεφαλαίου XVIII, Ας βρούμε την ακτίνα σύγκλισης R" της ληφθείσας σειράς POWER P ΔΗΛΗΤΗΡΙΑ Θεώρημα Άβελ. Διάστημα και ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και η συνέχεια του αθροίσματος της Ενσωμάτωση σειράς ισχύος Διαφοροποίηση σειράς ισχύος σειράς Taylor Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Πίνακας επεκτάσεων σε μια ισχύ σειρά (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. υπό την πρόσθετη προϋπόθεση της ύπαρξης ενός πεπερασμένου ορίου R. Άρα, η ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος δεν αλλάζει κατά την ολοκλήρωση. Σχόλιο. Ο ισχυρισμός του θεωρήματος παραμένει έγκυρος για H = +oo. §τέσσερα. Παραγωγή σειράς ισχύος Θεώρημα 4 (σχετικά με τη διαφοροποίηση μιας σειράς ισχύος ανά όρο). Μια σειρά ισχύος μπορεί να διαφοροποιηθεί ως προς τον όρο σε οποιοδήποτε σημείο x του διαστήματος σύγκλισής της 1) και (2) είναι ίσες Ας υποδηλώσουμε το άθροισμα των σειρών (2) με τις σειρές (1) και (2) συγκλίνουν ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε διάστημα [ -a, a|, όπου. Επιπλέον, όλοι οι όροι της σειράς (2) είναι συνεχείς και είναι παράγωγοι των αντίστοιχων όρων της σειράς (1). Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα 5 του κεφαλαίου XVIII, η ισότητα ισχύει στο διάστημα [ -α, α) Λόγω της αυθαιρεσίας του α, η τελευταία ισότητα ισχύει και στο διάστημα Γ. Ορισμός σειράς ισχύος Θα πούμε ότι η συνάρτηση f(x) επεκτείνεται σε σειρά ισχύος ]Γ) CnXn σε διάστημα αν η υποδεικνυόμενη σειρά συγκλίνει σε αυτό το διάστημα και το άθροισμά της είναι ίσο με f(x): Ας αποδείξουμε πρώτα ότι η συνάρτηση f(x) δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές επεκτάσεις σειρών ισχύος της μορφής Θεώρημα 5. Εάν η συνάρτηση /(x) στο διάστημα (-R, R) επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος (1), τότε αυτή η επέκταση είναι μοναδική, δηλ. οι συντελεστές της σειράς (1) καθορίζονται μοναδικά από το άθροισμά της. Αφήστε τη συνάρτηση στο διάστημα να επεκταθεί σε μια συγκλίνουσα σειρά ισχύος.Διαφοροποιώντας αυτή τη σειρά από όρο προς όρο n φορές, βρίσκουμε ότι για x = 0 παίρνουμε από όπου λοιπόν, οι συντελεστές της σειράς ισχύος (1) καθορίζονται μοναδικά από τύπος (2). Σχόλιο. Εάν η συνάρτηση /(x) επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος σε δυνάμεις της διαφοράς x-zq, τότε οι συντελεστές cn αυτής της σειράς καθορίζονται από τύπους. Αφήστε τη συνάρτηση / να έχει παράγωγα όλων των εντολών. είναι απείρως διαφορίσιμο στο σημείο jo. Ας συνθέσουμε μια επίσημη σειρά ισχύος για αυτή τη συνάρτηση υπολογίζοντας τους συντελεστές της χρησιμοποιώντας τον τύπο (3). §5. Ορισμός. Η σειρά Taylor της συνάρτησης f(x) ως προς το σημείο x0 ονομάζεται σειρά ισχύος της μορφής που η συνάρτηση /(x) επεκτείνεται σε μια σειρά ισχύος, τότε αυτή η σειρά είναι η σειρά Taylor της συνάρτησης /(x) όπου το Pjn(i) είναι πολυώνυμο βαθμού 3n ως προς το j. Ας δείξουμε τώρα ότι στο σημείο 2 = 0 αυτή η συνάρτηση έχει επίσης παραγώγους οποιασδήποτε τάξης και όλες είναι ίσες με μηδέν. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, έχουμε Με παρόμοιο τρόπο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι Έτσι, η δεδομένη συνάρτηση έχει παραγώγους όλων των τάξεων στον πραγματικό άξονα. Κατασκευάστε μια επίσημη σειρά Taylor της αρχικής συνάρτησης ως προς το σημείο z0 = Έχουμε. το άθροισμα αυτής της σειράς είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν, ενώ η ίδια η συνάρτηση f(x) δεν είναι ταυτόσημη με μηδέν. ^ Αυτό το παράδειγμα αξίζει να θυμόμαστε όταν συζητάμε περίπλοκη ανάλυση (αναλυτικότητα): μια συνάρτηση που είναι εξωτερικά εντελώς αξιοπρεπής, δείχνει έναν ιδιότροπο χαρακτήρα στον πραγματικό άξονα, που είναι συνέπεια προβλημάτων στον φανταστικό άξονα. Η σειρά που κατασκευάστηκε επίσημα στο παράδειγμα για μια δεδομένη απεριόριστα διαφοροποιήσιμη συνάρτηση συγκλίνει, αλλά το άθροισμά της δεν συμπίπτει με τις τιμές αυτής της συνάρτησης για x Ф 0. Σε σχέση με αυτό, τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: ποιες συνθήκες πρέπει να είναι η συνάρτηση f( x) ικανοποιεί στο διάστημα (xo - R, xo + R) έτσι ώστε να μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor που συγκλίνει σε αυτό; Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor Για απλότητα, θα εξετάσουμε μια σειρά ισχύος της μορφής m. ε. Σειρά Maclaurin. Θεώρημα 7. Προκειμένου η συνάρτηση f(x) να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος στο διάστημα (-R, R), είναι απαραίτητο και αρκετό σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση f(x) να έχει παραγώγους όλων των τάξεων και ότι στον τύπο του Taylor ο υπολειπόμενος όρος Rn(x) τείνει στο μηδέν όπως για όλα τα m Αναγκαιότητα. Έστω στο διάστημα (η συνάρτηση f(x) είναι επεκτάσιμη σε σειρά ισχύος, δηλ. η σειρά (2) συγκλίνει και το άθροισμά της είναι ίσο με f(x). Στη συνέχεια, από το Θεώρημα 4 και το συμπέρασμα από αυτό, η συνάρτηση Η f(x) έχει στο διάστημα (-R , R) παραγώγους f(n^(x) όλων των τάξεων Με το Θεώρημα 5 (τύπος (2)) οι συντελεστές της σειράς (2) έχουν τη μορφή δηλ. μπορούμε να γράψουμε η ισότητα Λόγω της σύγκλισης αυτής της σειράς στο διάστημα (-R, R ) το υπόλοιπο 0 της τείνει στο μηδέν ως n oo για όλα x Επάρκεια Έστω η συνάρτηση f(xr) στο διάστημα (-R, R) έχει παραγώγους του όλες οι παραγγελίες και στον τύπο Taylor του ο υπόλοιπος όρος Rn(x) 0 ως n oo για οποιοδήποτε x € (-D, R). Επειδή για n -» oo. Επειδή το n-ο μερικό άθροισμα της σειράς Taylor γράφεται σε αγκύλες, τύπος (4) σημαίνει ότι η σειρά Taylor της συνάρτησης f (x) συγκλίνει στο διάστημα (-D , R) και το άθροισμά της είναι η συνάρτηση f(x).Επαρκείς συνθήκες για την επέκταση μιας συνάρτησης σε Οι σειρές ισχύος, βολικές για πρακτική χρήση, περιγράφονται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 8. Για τη συνάρτηση f(x) ήταν δυνατό Αρκεί να προσθέσουμε σε μια σειρά ισχύος έτσι ώστε η συνάρτηση f(x) να έχει παραγώγους όλων των τάξεων σε αυτό το διάστημα και να υπάρχει μια σταθερά M > 0 τέτοια ώστε. Έστω η συνάρτηση f(x) να έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστημα (-D, R). Τότε μπορούμε να γράψουμε επίσημα τη σειρά Taylor για αυτήν Ας αποδείξουμε ότι συγκλίνει στη συνάρτηση f(x). Για να γίνει αυτό, αρκεί να δείξουμε ότι ο υπόλοιπος όρος στον τύπο του Taylor (1) τείνει στο μηδέν ως n oo για όλα τα x € (-A, R). Πράγματι, με δεδομένο αυτό). Η αριθμητική σειρά συγκλίνει δυνάμει του κριτηρίου d'Alembert: δυνάμει του απαραίτητου κριτηρίου σύγκλισης. Από την ανισότητα (3) παίρνουμε! Σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Εξετάστε τις επεκτάσεις σε μια σειρά βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. 6 Αυτή η συνάρτηση έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο διάστημα (- οποιοσδήποτε αριθμός, και Επομένως, η εκθετική συνάρτηση ex επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor σε οποιοδήποτε διάστημα (-a, a) και, επομένως, σε ολόκληρο τον άξονα Ox. Από τότε παίρνουμε τη σειρά Αν στην επέκταση (1) αντικαταστήσουμε το x με -a*, τότε έχουμε Αυτή η συνάρτηση έχει παραγώγους οποιασδήποτε τάξης, και επιπλέον, από το Θεώρημα 8, η συνάρτηση sin x επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor που συγκλίνει σε αυτήν στο διάστημα (-oo, +oo) Από τότε αυτή η σειρά έχει την ακόλουθη μορφή Ακτίνα σύγκλισης της σειράς Ομοίως, λαμβάνουμε ότι - οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός Αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση και την συνθήκη Θα αναζητήσουμε μια σειρά ισχύος της οποίας το άθροισμα είναι 5(g ) ικανοποιεί τη σχέση (4) και τη συνθήκη 5(0) = 1. Ορίζουμε Από εδώ βρίσκουμε Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (5) και (6) στον τύπο (4), θα έχουμε Εξισώνοντας τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις του x στο αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας, λαμβάνουμε από το οποίο βρίσκουμε ΙΣΧΥ ΣΕΙΡΑ Θεώρημα Abel. Διάστημα και ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος Ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς ισχύος και η συνέχεια του αθροίσματος της Ενσωμάτωση σειράς ισχύος Διαφοροποίηση σειράς ισχύος σειράς Taylor Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor Πίνακας επεκτάσεων σε μια ισχύ σειρά (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές των συντελεστών στη σχέση (5), παίρνουμε τη σειρά Ας βρούμε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς (7) στην περίπτωση που το a δεν είναι φυσικός αριθμός. Έχουμε Άρα, η σειρά (7) συγκλίνει στο. ε. στο διάστημα Ας αποδείξουμε ότι το άθροισμα 5(x) της σειράς (7) στο διάστημα (-1,1) είναι ίσο με (1 + x)°. Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε τη σχέση Αφού το 5(x) ικανοποιεί τη σχέση (τότε για την παράγωγο της συνάρτησης φ(x) λαμβάνουμε: for. Από αυτό προκύπτει ότι. Ειδικότερα, για x = 0 έχουμε και επομένως, ή Η προκύπτουσα σειρά ονομάζεται διωνυμική και οι συντελεστές της - διωνυμικοί συντελεστές Παρατήρηση Εάν a είναι φυσικός αριθμός (o = z"), η συνάρτηση (1 + z) a θα είναι πολυώνυμο του βαθμού n, και Dn (x) = 0 για όλα τα n > a Σημειώνουμε επίσης εάν a = -1, θα έχουμε Αντικατάσταση του w με -x στην τελευταία ισότητα, λαμβάνουμε μια επέκταση αυτής της συνάρτησης σε μια σειρά Taylor σε δυνάμεις x, ενσωματώνουμε ισότητα (9 ) εντός o Η ισότητα (11) ισχύει στο διάστημα Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ισότητα (11) ισχύει και για x = 1: Πίνακας επεκτάσεων σειρών ισχύος (σειρά Maclaurin) βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. σε παραδείγματα για το πώς γίνεται αυτό .Παράδειγμα 1. Αναπτύξτε τη συνάρτηση του 4 σε δύναμη p δηλητήριο στην περιοχή του σημείου xq = 2, δηλαδή σε δυνάμεις της διαφοράς z -2. Ας μετατρέψουμε αυτή τη συνάρτηση έτσι ώστε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σειρά (10) για τη συνάρτηση Έχουμε. Αντικατάσταση του x στον τύπο (10) με ^. παίρνουμε I I Αυτή η επέκταση ισχύει όταν ικανοποιείται οποιαδήποτε από τις ισοδύναμες ανισώσεις Παράδειγμα 2. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε δυνάμεις του x χρησιμοποιώντας τον τύπο (10). 4 Αποσυνθέτοντας τον παρονομαστή σε παράγοντες, αντιπροσωπεύουμε αυτήν την ορθολογική συνάρτηση ως τη διαφορά δύο απλών κλασμάτων. Μετά από απλούς μετασχηματισμούς, παίρνουμε Και οι δύο σειρές (14) και (15) θα συγκλίνουν ταυτόχρονα για \. Εφόσον οι σειρές (14) και (15) συγκλίνουν στο διάστημα (-1,1), μπορούν να αφαιρεθούν όρο προς όρο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την επιθυμητή σειρά ισχύος της οποίας η ακτίνα σύγκλισης είναι R = 1. Αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα για το Παράδειγμα 3. Αναπτύξτε τη συνάρτηση arcsin x στη σειρά Taylor κοντά στο σημείο x0 = 0. 4 Είναι γνωστό ότι Ας εφαρμόσουμε στη συνάρτηση (τύπος (8). αντικαθιστώντας το x με -x2 σε αυτήν. Ως αποτέλεσμα, για λαμβάνουμε Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέρη της τελευταίας ισότητας από το μηδέν στο x (ολοκλήρωση όρου προς όρο είναι νόμιμη, δεδομένου ότι η σειρά ισχύος συγκλίνει ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε τμήμα με άκρα στα σημεία 0 και x που βρίσκονται στο διάστημα (-1,1)), βρίσκουμε ή Έτσι, τελικά λαμβάνουμε ότι το Παράδειγμα 4. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα (ολοκληρωτικό ημίτονο ), Είναι γνωστό ότι η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση ^ δεν εκφράζεται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων. Επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε μια σειρά ισχύος, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι από την ισότητα (16) βρίσκουμε Σημειώστε ότι διαιρώντας τη σειρά (16) με t στο t f 0 είναι νόμιμο Η ισότητα (17) διατηρείται επίσης στο εάν υποθέσουμε ότι στο t = 0 ο λόγος - = 1. Έτσι, η σειρά (17) συγκλίνει για όλες τις τιμές ενσωματώνοντάς την κάθε φορά, λαμβάνουμε ώστε το σφάλμα στην αντικατάσταση του αθροίσματος του με ένα μερικό άθροισμα να εκτιμάται εύκολα. Παράδειγμα 5. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Εδώ, η αντιπαράγωγος για το ολοκλήρωμα e δεν είναι επίσης στοιχειώδης συνάρτηση. Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, αντικαθιστούμε στον τύπο Παίρνουμε Ας ενσωματώσουμε και τα δύο μέρη αυτής της ισότητας στο εύρος από 0 έως x: Αυτή η σειρά συγκλίνει για οποιοδήποτε r (την ακτίνα σύγκλισής του R \u003d + oo) και εναλλάσσεται στις Ασκήσεις Βρείτε το περιοχή σύγκλισης σειράς ισχύος: Αναπτύξτε τις ακόλουθες συναρτήσεις σε μια σειρά Makloreya και υποδείξτε τις περιοχές σύγκλισης της σειράς που ελήφθησαν: Ένδειξη. Χρησιμοποιήστε τον πίνακα. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, επεκτείνετε τις δεδομένες συναρτήσεις σε μια σειρά Taylor σε δυνάμεις x - x0 και υποδείξτε τα διαστήματα σύγκλισης της σειράς που προκύπτει.

Στοιχεία της σημασιολογικής δομής

Η σημασιολογική δομή της πρότασης.

(Αυτή η ερώτηση είναι για ανεξάρτητη μελέτη!)

Αυτός ο τύπος ανάλυσης συνδέει τη σημασιολογική οργάνωση μιας πρότασης με την επίσημη οργάνωσή της. Αυτή η κατεύθυνση προέβαλε την έννοια της σημασιολογικής δομής μιας πρότασης (κυρίως N.Yu. Shvedova).

Ένα μπλοκ διάγραμμα έχει τη δική του σημασιολογία, η οποία δημιουργείται από τις τυπικές τιμές των συστατικών, τους κανόνες για το λεξιλογικό τους περιεχόμενο και τη σχέση των στοιχείων μεταξύ τους (σε διαγράμματα που δεν αποτελούνται από ένα συστατικό).

Το γλωσσικό νόημα μιας συγκεκριμένης πρότασης που κατασκευάζεται σύμφωνα με το ένα ή το άλλο μοτίβο σχηματίζεται από την αμοιβαία δράση της σημασιολογίας αυτού του προτύπου και της λεξιλογικής σημασιολογίας εκείνων των λέξεων που έχουν καταλάβει τις θέσεις των συστατικών του: Ο μαθητής γράφει. το παιδί χαίρεται με τη γενική σημασιολογία του MSS («σχέση μεταξύ του υποκειμένου και του κατηγορητηρίου του - δράση ή διαδικαστική κατάσταση») στην πρώτη περίπτωση, παρουσιάζεται η έννοια «σχέση μεταξύ του υποκειμένου και της συγκεκριμένης δράσης του», στη δεύτερη περίπτωση - «σχέση μεταξύ του υποκειμένου και της συναισθηματικής του κατάστασης» .

Οι συναρτησιακές σειρές της μορφής όπου (συντελεστές της σειράς) και (κέντρο της σειράς) είναι σταθερές, μια μεταβλητή, ονομάζονται σειρά ισχύος.Είναι σαφές ότι εάν μάθουμε πώς να υπολογίζουμε την περιοχή σύγκλισης μιας σειράς ισχύος (με ένα κέντρο), τότε μπορούμε εύκολα να βρούμε την περιοχή σύγκλισης της αρχικής σειράς. Επομένως, από εδώ και στο εξής, εκτός εάν ορίζεται διαφορετικά, θα εξετάστε τις σειρές ισχύος της φόρμας.

Το θεώρημα του Άβελ.Εάν μια σειρά ισχύος συγκλίνει σε ένα σημείο, τότε συγκλίνει απόλυτα και στο διάστημα Σε οποιοδήποτε τμήμα, η υποδεικνυόμενη σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα.

Απόδειξη.Εφόσον η σειρά συγκλίνει, ο κοινός όρος της είναι επομένως περιορισμένος, δηλ. υπάρχει μια σταθερά τέτοια που

Άσε τώρα. Τότε θα έχουμε

Εφόσον η γεωμετρική πρόοδος συγκλίνει (), τότε το πρώτο θεώρημα σύγκρισης συγκλίνει και η σειρά Το πρώτο μέρος του θεωρήματος αποδεικνύεται.

Εφόσον η σειρά συγκλίνει με ό,τι έχει αποδειχθεί και μεγαλώνει ως (βλ.) η σειρά, τότε με το θεώρημα Weierstrass η τελευταία σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα ως .Το θεώρημα αποδεικνύεται πλήρως.

Από το θεώρημα του Άμπελ προκύπτει ότι μπορούμε να επεκτείνουμε το διάστημα μέχρι να έρθει η στιγμή που η σειρά αποκλίνει στο σημείο (ή μια τέτοια στιγμή δεν έρχεται καθόλου, δηλ.). Τότε το υποδεικνυόμενο διάστημα θα είναι η περιοχή σύγκλισης της σειράς.Έτσι, κάθε σειρά ισχύος έχει ως περιοχή σύγκλισης όχι ένα αυθαίρετο σύνολο, αλλά ακριβώς ένα διάστημα. Ας δώσουμε έναν πιο ακριβή ορισμό του διαστήματος σύγκλισης.

Ορισμός 2.Ο αριθμός καλείται ακτίνα σύγκλισηςσειρά, εάν μέσα στο διάστημα αυτή η σειρά συγκλίνει απολύτως, και εκτός του τμήματος αποκλίνει. Στην περίπτωση αυτή καλείται το διάστημα διάστημα σύγκλισηςσειρά.

Σημειώστε ότι για , η υποδεικνυόμενη σειρά ισχύος συγκλίνει μόνο στο σημείο και για , συγκλίνει για όλες τις πραγματικές τιμές Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν ότι αυτές οι περιπτώσεις δεν εξαιρούνται: Ένα παράδειγμα σειράς με μη μηδενική πεπερασμένη ακτίνα σύγκλισης μπορεί να είναι Σημειώστε επίσης ότι στο όριο του διαστήματος σύγκλισης, η σειρά ισχύος μπορεί να είναι και συγκλίνουσα και αποκλίνουσα. Για παράδειγμα, η σειρά συγκλίνει υπό όρους σε ένα σημείο και αποκλίνει σε ένα σημείο

Από τις ιδιότητες των ομοιόμορφα συγκλίνουσες συναρτησιακές σειρές (θεωρήματα 1-3), συνάγονται εύκολα οι ακόλουθες ιδιότητες των σειρών ισχύος.

Θεώρημα 4.Έστω η ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος. Στη συνέχεια λαμβάνουν χώρα οι ακόλουθες δηλώσεις:

1. Το άθροισμα μιας δεδομένης σειράς ισχύος είναι συνεχές στο διάστημα σύγκλισης.

2. Εάν είναι η ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος, τότε η σειρά των παραγώγων θα έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης. Συνεπάγεται ότι η σειρά ισχύος μπορεί να διαφοροποιηθεί πολλές φορές (δηλαδή, το άθροισμά της είναι άπειρα διαφοροποιήσιμο στο διάστημα της σύγκλισης), και της ισότητας

3. Μια σειρά ισχύος μπορεί να ενσωματωθεί σε οποιοδήποτε διάστημα βρίσκεται μέσα στο διάστημα σύγκλισής της, δηλ.

Απόδειξη, για παράδειγμα, η πρώτη ιδιοκτησία θα είναι έτσι. Έστω ένα αυθαίρετο σημείο του διαστήματος σύγκλισης . Ας περιβάλουμε αυτό το σημείο με ένα συμμετρικό τμήμα Σύμφωνα με το θεώρημα του Abel, η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο τμήμα, άρα το άθροισμά της είναι συνεχές στο υποδεικνυόμενο τμήμα, και επομένως συνεχές, συγκεκριμένα, και στο σημείο Η ιδιότητα 1 αποδεικνύεται. Οι υπόλοιπες ιδιότητες του θεωρήματός μας αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο.

Ας υπολογίσουμε τώρα την ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος από τους συντελεστές της.

Θεώρημα 4 . Ας πληρούται τουλάχιστον μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

α) υπάρχει ένα (πεπερασμένο ή άπειρο) όριο

β) υπάρχει ένα (πεπερασμένο ή άπειρο) όριο (υποτίθεται ότι υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος).

Τότε ο αριθμός είναι η ακτίνα σύγκλισης της σειράς.

Απόδειξηθα πραγματοποιήσουμε για την περίπτωση α). Ας εφαρμόσουμε τη δοκιμή Cauchy στη σπονδυλωτή σειρά: Σύμφωνα με την υποδεικνυόμενη δοκιμή, η σειρά συγκλίνει απολύτως εάν ο αριθμός δηλ. αν Αν, δηλ. εάν τότε η υποδεικνυόμενη σειρά αποκλίνει. Ως εκ τούτου, η ακτίνα σύγκλισης της σειράς. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παρατήρηση 1.Το θεώρημα 1-4 μπορεί να μεταφερθεί σε σειρές ισχύος της μορφής σχεδόν χωρίς αλλαγή της διατύπωσης (με μια μικρή διόρθωση ότι στην περίπτωση αυτή η περιοχή σύγκλισης είναι ένα διάστημα).

Παράδειγμα 1Βρείτε την περιοχή σύγκλισης της σειράς ( εργασία 10, T.R., Kuznetsov L.A.)

Λύση.Εφαρμόζουμε ένα ανάλογο του α) του θεωρήματος του Cauchy: η ακτίνα σύγκλισης μιας δεδομένης σειράς. Άρα η σειρά συγκλίνει απόλυτα στην περιοχή

Διερευνούμε τη σύγκλιση της σειράς στα άκρα του διαστήματος. Εχουμε

αποκλίνει, γιατί

αποκλίνει, γιατί

Επομένως, η περιοχή σύγκλισης της αρχικής σειράς είναι το διάστημα.

Ορισμός. Λειτουργική σειρά της φόρμας

όπου ... είναι πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται σειρά ισχύος.

Η περιοχή απόλυτης σύγκλισης της σειράς είναι το διάστημα , όπου ο αριθμός Rείναι η ακτίνα σύγκλισης.

Αφήστε τη σειρά ισχύος να έχει μια ακτίνα σύγκλισης R > 0. Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:

1. Το άθροισμα της σειράς είναι συνεχής συνάρτηση του Χσε όλο το διάστημα σύγκλισης.

2. Η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε τμήμα όπου .

3. Η σειρά μπορεί να ενσωματωθεί ανά όρο σε οποιοδήποτε διάστημα βρίσκεται μέσα στο διάστημα .

4. Μια σειρά μπορεί να διαφοροποιηθεί ανά όρο σε οποιοδήποτε σημείο οποτεδήποτε.

Σημειώσεις:

1. Κατά την ολοκλήρωση ή τη διαφοροποίηση μιας σειράς ισχύος ανά όρο, λαμβάνονται νέες σειρές ισχύος, ενώ η ακτίνα σύγκλισής τους παραμένει η ίδια.

2. Η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς ισχύος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν από τους τύπους:

, (10)

(11)

εφόσον υπάρχουν τα αναφερόμενα όρια, είναι ο συντελεστής της σειράς.

Εργασία 17.31

Βρείτε το άθροισμα μιας σειράς .

Λύση:

με τρόπο. Βρείτε το διάστημα σύγκλισης της σειράς:

, , .

Απλοποιήστε το ορθολογικό κλάσμα , .

Τότε η σειρά μπορεί να αναπαρασταθεί από τη διαφορά δύο σειρών:

Η σύγκλιση καθενός από αυτά παραμένει η ίδια (δείτε μόνοι σας). Άρα υπάρχει ισότητα. Δηλώστε τα αθροίσματα της σειράς με και , αντίστοιχα, και το επιθυμητό άθροισμα με , .

Ας βρούμε το άθροισμα της πρώτης σειράς:

Διαφοροποιώντας όρο προς όρο τη σειρά εντός του διαστήματος σύγκλισης , λαμβάνουμε: ; είναι μια γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή .

Όταν η εξέλιξη συγκλίνει, , , και το άθροισμα είναι: ; . Τώρα, ενσωματώνοντας στο διάστημα που βρίσκεται μέσα στο διάστημα σύγκλισης, λαμβάνουμε:

.

Βρείτε το άθροισμα της δεύτερης σειράς:

Ας κάνουμε τον μετασχηματισμό:

Ας υποδηλώσουμε το άθροισμα των σειρών σε παρένθεση και ας διαφοροποιήσουμε στο διάστημα:

Αυτή είναι επίσης μια γεωμετρική πρόοδος.

, , ;

.

Άρα το άθροισμα της αρχικής σειράς είναι:

ή
Για .

II τρόπος. Χωρίς να επαναλάβουμε τις λεπτομέρειες της πρώτης μεθόδου που σχετίζονται με το διάστημα σύγκλισης αυτής της σειράς, προσφέρουμε τη δεύτερη επιλογή για την επίλυση του προβλήματος. Ας συμβολίσουμε το άθροισμα της σειράς με: .

Πολλαπλασιάστε με αυτή τη σειρά: . Διαφοροποιήστε τις σειρές που λήφθηκαν δύο φορές:

,

Αντιπροσωπεύει μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή , έπειτα . Ας ενσωματώσουμε στο διάστημα:

Ενσωματώνοντας ανά εξαρτήματα, παίρνουμε:

Για .

Εργασία 18.31

Βρείτε το άθροισμα μιας σειράς .

Λύση:

Αυτή η σειρά συγκλίνει στο μεσοδιάστημα (δείτε μόνοι σας). Ας το ξαναγράψουμε, παρουσιάζοντάς το ως το άθροισμα τριών σειρών:

Αυτό είναι δυνατό, καθώς κάθε σειρά έχει την ίδια περιοχή σύγκλισης - το διάστημα. Δηλώστε τα αθροίσματα των τριών σειρών με , , , αντίστοιχα, και το επιθυμητό άθροισμα με .

ως το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή

Ας κάνουμε τον μετασχηματισμό:

Να συμβολίσετε με το άθροισμα της σειράς.

Ενσωματώνοντας όρο προς όρο αυτήν τη σειρά σε ένα τμήμα εντός του διαστήματος σύγκλισης, λαμβάνουμε:

Για να βρούμε , πρέπει να διαφοροποιήσουμε το κλάσμα:

.

Συνεπώς, .

Τώρα ας βρούμε:

Ας το βγάλουμε από αγκύλες:

Να συμβολίσετε με το άθροισμα της σειράς σε παρένθεση. Επειτα

Σε αυτές τις αγκύλες υπάρχει μια σειρά, το άθροισμα της οποίας βρίσκεται: . Παίρνουμε: .

Αλλά , . Στη συνέχεια, το άθροισμα της αρχικής σειράς

Ετσι, Για .

Σειρά Taylor

Ορισμός. Σειρά

ονομάζεται σειρά Taylor σε δυνάμεις της συνάρτησης .

Μια συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor εάν έχει παραγώγους όλων των τάξεων στο υπό εξέταση σημείο και εάν ο υπόλοιπος όρος στο σημείο στο τείνει στο μηδέν. Η σειρά Taylor μερικές φορές ονομάζεται σειρά Maclaurin.

Θεώρημα

Εάν μια συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά ισχύος, τότε αυτή η σειρά είναι μοναδική για αυτήν και είναι μια σειρά Taylor.

Σημείωση. Βρίσκοντας διαδοχικά τις παραγώγους των συναρτήσεων και τις τιμές τους στο σημείο, μπορεί κανείς να γράψει τη σειρά Taylor. Ταυτόχρονα όμως, η μελέτη του υπολειπόμενου όρου παρουσιάζει μεγάλες δυσκολίες. Ως εκ τούτου, συχνά πηγαίνουν αντίθετα: χρησιμοποιούν έτοιμες επεκτάσεις των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων σε σειρές ισχύος σε συνδυασμό με τους κανόνες πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού σειρών και θεωρημάτων για την ολοκλήρωση και τη διαφοροποίησή τους, όπως, για παράδειγμα, ήταν φαίνεται στα προβλήματα 17.31 και 18.31.

Εργασία 19.31

Λειτουργία επέκτασης σε μια σειρά Taylor σε δυνάμεις .

Λύση:

Χ 0 = 0. Ας χρησιμοποιήσουμε τη σημείωση. Επειδή

τότε η συνάρτηση απλοποιείται αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών:

.

Το άθροισμα των όρων μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή είναι: . Στην περίπτωσή μας . είναι η ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς. όρος,

Προσθέτοντας τις σειρές, παίρνουμε: ή , όπου είναι η γενική περιοχή σύγκλισης. βρίσκεται εξ ολοκλήρου στην περιοχή σύγκλισης της σειράς .

Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα με ακρίβεια 0,001, πρέπει να πάρουμε δύο από τους όρους του στη σειρά που προκύπτει (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Με αυτόν τον τρόπο,

Ερωτήσεις για αυτοεξέταση

Σειρά αριθμών

1. Δώστε ορισμούς συγκλίνουσες και αποκλίνουσες σειρές.

2. Να διατυπώσετε το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.

3. Διατυπώστε επαρκή σημάδια σύγκλισης σειρών με θετικούς όρους: σύγκριση σειρών με θετικούς όρους. σημάδι του d'Alembert? ριζικό σημάδι Cauchy, αναπόσπαστο σημάδι Cauchy.

4. Ορίστε μια απολύτως συγκλίνουσα σειρά. Να αναφέρετε τις ιδιότητες των απολύτως συγκλίνων σειρών.

5. Διατυπώστε το σύμβολο Leibniz.

λειτουργικές σειρές

6. Ορίστε την περιοχή σύγκλισης της συναρτησιακής σειράς.

7. Ποια σειρά ονομάζεται ομοιόμορφα συγκλίνουσα;

8. Διατυπώστε το σύμβολο Weierstrass.

9. Προϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

10. Να διατυπώσετε θεωρήματα για την ολοκλήρωση και τη διαφοροποίηση σειρών ισχύος.

11. Να αναφέρετε τη μέθοδο κατά προσέγγιση υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας σειρές.

1. Kudryavtsev L.D. Ένα σύντομο μάθημα στη μαθηματική ανάλυση. – Μ.: Nauka, 1989. – 736 σελ.

2. Bugrov Ya.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός / Ya.S. Bugrov, S.M. Νικόλσκι. – Μ.: Nauka, 1984. – 432 σελ.

3. Shmelev P.A. Θεωρία σειρών σε εργασίες και ασκήσεις. - Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1983. - 176 σελ.

4. Piskunov N.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός για ΤΕΙ. T. 2. - M.: Nauka, 1985. - 576 p.

5. Fikhtengolts G.M. Πορεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. T. 2. - M.: Fizmatgiz, 1962. - 808 p.

6. Zaporozhets G.I. Οδηγός επίλυσης προβλημάτων στη μαθηματική ανάλυση. - Μ.: Ανώτατο σχολείο, 1966. - 460 σελ.

7. Kuznetsov L.A. Συλλογή εργασιών στα ανώτερα μαθηματικά (TR). - Μ.: Ανώτατο σχολείο, 1983. - 174 σελ.

8. Danko Π.Ε. Ανώτερα μαθηματικά σε ασκήσεις και εργασίες. Μέρος 2ο / Π.Ε. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Κοζέβνικοφ. - Μ.: Ανώτερη Σχολή, 1986. - 415 σελ.

9. Bronstein Ι.Ν. Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / Ι.Ν. Bronstein, Κ.Α. Σεμεντιάεφ. – Μ.: Nauka, 1986. – 544 σελ.

Εκπαιδευτική έκδοση

ΜποροντίνΝικολάι Πάβλοβιτς

MillstoneΒαρβάρα Βικτόροβνα

ΣουμέτοβαΛιουντμίλα Βικτόροβνα

ShorkinΒλαντιμίρ Σεργκέεβιτς

ΣΕΙΡΕΣ

Διδακτικό βοήθημα

Συντάκτης T.D. Βασίλιεφ

Τεχνικός συντάκτης Τ.Π. Prokudin

Τεχνικό Πανεπιστήμιο Orel State

ΑΔΑ 00670 με ημερομηνία 05/01/2000

Υπογράφηκε για δημοσίευση στις 26 Αυγούστου 2004. Μορφή 60 x 84 1/16.

Εκτύπωση όφσετ. Uch.-ed. μεγάλο. 1.9. Μετατρ. φούρνος μεγάλο. 2.4. Κυκλοφορία 500 αντίτυπα.

Αριθμός παραγγελίας.____

Εκτυπώθηκε από την τελική αρχική διάταξη

στη βάση εκτύπωσης OrelGTU,

302030, Orel, st. Μόσχα, 65.