Πρώτο επίπεδο

Συντεταγμένες και διανύσματα. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Σε αυτό το άρθρο, εσείς και εγώ θα ξεκινήσουμε μια συζήτηση για ένα «μαγικό ραβδί» που θα σας επιτρέψει να μειώσετε πολλά προβλήματα στη γεωμετρία σε απλή αριθμητική. Αυτό το «ραβδί» μπορεί να κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη, ειδικά όταν αισθάνεστε ανασφάλεια στην κατασκευή χωρικών μορφών, τμημάτων κ.λπ. Όλα αυτά απαιτούν μια συγκεκριμένη φαντασία και πρακτικές δεξιότητες. Η μέθοδος, την οποία θα αρχίσουμε να εξετάζουμε εδώ, θα σας επιτρέψει να αφαιρέσετε σχεδόν πλήρως από όλα τα είδη γεωμετρικών κατασκευών και συλλογισμών. Η μέθοδος ονομάζεται "μέθοδος συντονισμού". Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τις ακόλουθες ερωτήσεις:

1. Συντεταγμένο επίπεδο
2. Σημεία και διανύσματα στο επίπεδο
3. Κατασκευάζοντας ένα διάνυσμα από δύο σημεία
4. Μήκος διανύσματος (απόσταση μεταξύ δύο σημείων).
5. Συντεταγμένες μεσαίου σημείου
6. Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων
7. Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει γιατί ονομάζεται έτσι η μέθοδος συντεταγμένων; Είναι αλήθεια ότι έλαβε ένα τέτοιο όνομα, αφού δεν λειτουργεί με γεωμετρικά αντικείμενα, αλλά με αυτά αριθμητικά χαρακτηριστικά(συντεταγμένες). Και ο ίδιος ο μετασχηματισμός, που καθιστά δυνατή τη μετάβαση από τη γεωμετρία στην άλγεβρα, συνίσταται στην εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Αν το αρχικό σχήμα ήταν επίπεδο, τότε οι συντεταγμένες είναι δισδιάστατες και αν το σχήμα είναι τρισδιάστατο, τότε οι συντεταγμένες είναι τρισδιάστατες. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μόνο τη δισδιάστατη περίπτωση. Και ο κύριος σκοπός του άρθρου είναι να σας διδάξει πώς να χρησιμοποιείτε ορισμένες βασικές τεχνικές της μεθόδου συντεταγμένων (μερικές φορές αποδεικνύονται χρήσιμες κατά την επίλυση προβλημάτων στην επιπεδομετρία στο μέρος Β της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης). Οι ακόλουθες δύο ενότητες για αυτό το θέμα είναι αφιερωμένες στη συζήτηση των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων C2 (το πρόβλημα της στερεομετρίας).

Πού θα ήταν λογικό να αρχίσουμε να συζητάμε για τη μέθοδο συντεταγμένων; Πιθανώς με την έννοια του συστήματος συντεταγμένων. Θυμήσου πότε την πρωτογνώρισες. Μου φαίνεται ότι στην 7η δημοτικού, όταν έμαθες για την ύπαρξη γραμμική συνάρτηση, για παράδειγμα. Να σου θυμίσω ότι το έφτιαξες σημείο προς σημείο. Θυμάσαι? Διαλέξατε έναν αυθαίρετο αριθμό, τον αντικαταστήσατε στον τύπο και υπολογίσατε με αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, αν, τότε, αν, τότε, κλπ. Τι πήρατε ως αποτέλεσμα; Και λάβατε πόντους με συντεταγμένες: και. Έπειτα, σχεδίασες έναν «σταυρό» (σύστημα συντεταγμένων), διάλεξες μια κλίμακα πάνω του (πόσα κελιά θα έχεις ως ενιαίο τμήμα) και σημείωσες πάνω του τα σημεία που έλαβες, τα οποία μετά συνέδεσες με μια ευθεία γραμμή, το αποτέλεσμα γραμμή είναι το γράφημα της συνάρτησης.

Υπάρχουν μερικά πράγματα που πρέπει να σας εξηγήσουμε λίγο πιο αναλυτικά:

1. Επιλέγετε ένα μόνο τμήμα για λόγους ευκολίας, ώστε όλα να ταιριάζουν όμορφα και συμπαγή στην εικόνα

2. Υποτίθεται ότι ο άξονας πηγαίνει από αριστερά προς τα δεξιά και ο άξονας πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω

3. Τέμνονται σε ορθή γωνία, και το σημείο τομής τους ονομάζεται αρχή. Σημειώνεται με ένα γράμμα.

4. Στην εγγραφή της συντεταγμένης ενός σημείου, για παράδειγμα, στα αριστερά σε αγκύλες είναι η συντεταγμένη του σημείου κατά μήκος του άξονα και στα δεξιά, κατά μήκος του άξονα. Συγκεκριμένα, σημαίνει απλώς ότι το σημείο

5. Για να ρυθμίσετε οποιοδήποτε σημείο άξονα συντεταγμένων, πρέπει να καθορίσετε τις συντεταγμένες του (2 αριθμοί)

6. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

7. Για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται στον άξονα,

8. Ο άξονας ονομάζεται άξονας x

9. Ο άξονας ονομάζεται άξονας y

Τώρα ας κάνουμε το επόμενο βήμα μαζί σας: σημειώστε δύο σημεία. Συνδέστε αυτά τα δύο σημεία με μια γραμμή. Και ας βάλουμε το βέλος σαν να σχεδιάζουμε ένα τμήμα από σημείο σε σημείο: δηλαδή θα κάνουμε το τμήμα μας κατευθυνόμενο!

Θυμάστε ποιο είναι το άλλο όνομα για ένα κατευθυνόμενο τμήμα; Σωστά, λέγεται διάνυσμα!

Έτσι, αν συνδέσουμε μια τελεία με μια τελεία, και η αρχή θα είναι το σημείο Α και το τέλος το σημείο Β,τότε παίρνουμε ένα διάνυσμα. Αυτή την κατασκευή έκανες και στην 8η δημοτικού, θυμάσαι;

Αποδεικνύεται ότι τα διανύσματα, όπως και τα σημεία, μπορούν να συμβολίζονται με δύο αριθμούς: αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος. Ερώτηση: πιστεύετε ότι αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του διανύσματος για να βρούμε τις συντεταγμένες του; Αποδεικνύεται ότι ναι! Και είναι πολύ εύκολο να γίνει:

Έτσι, αφού στο διάνυσμα το σημείο είναι η αρχή και το τέλος, το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Για παράδειγμα, εάν, τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος

Τώρα ας κάνουμε το αντίθετο, βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος. Τι πρέπει να αλλάξουμε για αυτό; Ναι, πρέπει να ανταλλάξετε την αρχή και το τέλος: τώρα η αρχή του διανύσματος θα είναι σε ένα σημείο και το τέλος σε ένα σημείο. Επειτα:

Κοιτάξτε προσεκτικά, ποια είναι η διαφορά μεταξύ διανυσμάτων και; Η μόνη διαφορά τους είναι τα σημάδια στις συντεταγμένες. Είναι απέναντι. Το γεγονός αυτό γράφεται ως εξής:

Μερικές φορές, αν δεν δηλώνεται συγκεκριμένα ποιο σημείο είναι η αρχή του διανύσματος και ποιο το τέλος, τότε τα διανύσματα δεν συμβολίζονται με δύο κεφαλαία γράμματα, αλλά ένα πεζό, για παράδειγμα: , κ.λπ.

Τώρα λίγο πρακτικήκαι βρείτε τις συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων:

Εξέταση:

Τώρα λύστε το πρόβλημα λίγο πιο δύσκολο:

Ένα διανυσματικό torus με on-cha-scrap σε ένα σημείο έχει co-or-di-on-you. Βρείτε-δι-τε abs-cis-su σημεία.

Όλα τα ίδια είναι αρκετά πεζά: Έστω οι συντεταγμένες του σημείου. Επειτα

Μεταγλωττίζω το σύστημα προσδιορίζοντας ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός διανύσματος. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τετμημένη. Επειτα

Απάντηση:

Τι άλλο μπορείτε να κάνετε με τα διανύσματα; Ναι, σχεδόν όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς (εκτός από το ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε, αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με δύο τρόπους, έναν από τους οποίους θα συζητήσουμε εδώ λίγο αργότερα)

1. Τα διανύσματα μπορούν να στοιβάζονται μεταξύ τους
2. Τα διανύσματα μπορούν να αφαιρεθούν το ένα από το άλλο
3. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν (ή να διαιρεθούν) με έναν αυθαίρετο μη μηδενικό αριθμό
4. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους

Όλες αυτές οι λειτουργίες είναι αρκετά οπτικές γεωμετρική αναπαράσταση. Για παράδειγμα, ο κανόνας του τριγώνου (ή παραλληλόγραμμου) για πρόσθεση και αφαίρεση:

Ένα διάνυσμα τεντώνεται ή συρρικνώνεται ή αλλάζει κατεύθυνση όταν πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με έναν αριθμό:

Ωστόσο, εδώ θα μας ενδιαφέρει το ερώτημα τι συμβαίνει με τις συντεταγμένες.

1. Όταν προσθέτουμε (αφαιρούμε) δύο διανύσματα, προσθέτουμε (αφαιρούμε) τις συντεταγμένες τους στοιχείο προς στοιχείο. Αυτό είναι:

2. Κατά τον πολλαπλασιασμό (διαίρεση) ενός διανύσματος με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται (διαιρούνται) με αυτόν τον αριθμό:

Για παράδειγμα:

· Βρείτε-δι-το άθροισμα του κο-ορ-ντι-νατ αιώνα-το-ρα.

Ας βρούμε πρώτα τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα. Και οι δύο έχουν την ίδια προέλευση - το σημείο προέλευσης. Τα άκρα τους είναι διαφορετικά. Επειτα, . Τώρα υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος Τότε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος που προκύπτει είναι ίσο με.

Απάντηση:

Τώρα λύστε μόνοι σας το εξής πρόβλημα:

· Να βρείτε το άθροισμα των συντεταγμένων του διανύσματος

Ελέγχουμε:

Ας εξετάσουμε τώρα το εξής πρόβλημα: έχουμε δύο σημεία επίπεδο συντεταγμένων. Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους; Ας είναι το πρώτο σημείο και το δεύτερο. Ας υποδηλώσουμε την μεταξύ τους απόσταση ως . Ας κάνουμε το ακόλουθο σχέδιο για λόγους σαφήνειας:

Τι έκανα? Πρώτα συνδέθηκα σημεία και, ασχεδίασε επίσης μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα από το σημείο, και τράβηξε μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα από το σημείο. Τέμνονται σε ένα σημείο, σχηματίζοντας μια υπέροχη φιγούρα; Γιατί είναι υπέροχη; Ναι, εσύ κι εγώ ξέρουμε σχεδόν τα πάντα ορθογώνιο τρίγωνο. Λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα, σίγουρα. Το επιθυμητό τμήμα είναι η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου και τα τμήματα είναι τα σκέλη. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου; Ναι, είναι εύκολο να βρεθούν από την εικόνα: Δεδομένου ότι τα τμήματα είναι παράλληλα με τους άξονες και, αντίστοιχα, τα μήκη τους είναι εύκολο να βρεθούν: αν υποδηλώσουμε τα μήκη των τμημάτων, αντίστοιχα, μέσω, τότε

Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Γνωρίζουμε τα μήκη των ποδιών, θα βρούμε την υποτείνουσα:

Έτσι, η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών από τις συντεταγμένες. Ή - η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το μήκος του τμήματος που τα συνδέει. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση. Επειτα:

Από αυτό βγάζουμε τρία συμπεράσματα:

Ας εξασκηθούμε λίγο στον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων:

Για παράδειγμα, εάν, τότε η απόσταση μεταξύ και είναι

Ή ας πάμε διαφορετικά: βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Και βρείτε το μήκος του διανύσματος:

Όπως μπορείτε να δείτε, είναι το ίδιο!

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας:

Εργασία: βρείτε την απόσταση μεταξύ των δεδομένων σημείων:

Ελέγχουμε:

Ακολουθούν μερικά ακόμη προβλήματα για τον ίδιο τύπο, αν και ακούγονται λίγο διαφορετικά:

1. Βρείτε-δι-τε το τετράγωνο του μήκους του βλεφάρου-το-ρα.

2. Nai-di-te τετράγωνο βλεφάρου μήκους έως ρα

Φαντάζομαι ότι μπορείς να τα χειριστείς εύκολα; Ελέγχουμε:

1. Και αυτό για προσοχή) Έχουμε ήδη βρει τις συντεταγμένες των διανυσμάτων πριν: . Τότε το διάνυσμα έχει συντεταγμένες. Το τετράγωνο του μήκους του θα είναι:

2. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

Τότε το τετράγωνο του μήκους του είναι

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Απλή αριθμητική, τίποτα παραπάνω.

Τα παρακάτω παζλ δεν μπορούν να ταξινομηθούν με σαφήνεια, είναι μάλλον για τη γενική ευρυμάθεια και την ικανότητα να σχεδιάζουν απλές εικόνες.

1. Βρείτε-δι-εκείνα το ημίτονο της γωνίας επί-κλίσιμο-από-κόψιμο, συνδέστε-ένα-η-ο-ο σημείο, με τον άξονα της τετμημένης.

και

Πώς θα το κάνουμε εδώ; Πρέπει να βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ και του άξονα. Και πού μπορούμε να αναζητήσουμε το ημίτονο; Σωστά, σε ορθογώνιο τρίγωνο. Τι πρέπει να κάνουμε λοιπόν; Φτιάξτε αυτό το τρίγωνο!

Δεδομένου ότι οι συντεταγμένες του σημείου και, τότε το τμήμα είναι ίσο, και το τμήμα. Πρέπει να βρούμε το ημίτονο της γωνίας. Να σας θυμίσω ότι το ημίτονο είναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, λοιπόν

Τι μας μένει να κάνουμε; Βρείτε την υποτείνουσα. Μπορείτε να το κάνετε με δύο τρόπους: χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα (τα σκέλη είναι γνωστά!) ή χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων (στην πραγματικότητα ίδια με την πρώτη μέθοδο!). Θα ακολουθήσω τον δεύτερο δρόμο:

Απάντηση:

Η επόμενη εργασία θα σας φανεί ακόμα πιο εύκολη. Αυτή - στις συντεταγμένες του σημείου.

Εργασία 2.Από το σημείο, το per-pen-di-ku-lar χαμηλώνει στον άξονα abs-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η βάση της κάθετης είναι το σημείο στο οποίο τέμνει τον άξονα x (άξονας) για μένα αυτό είναι ένα σημείο. Το σχήμα δείχνει ότι έχει συντεταγμένες: . Μας ενδιαφέρει η τετμημένη - δηλαδή η συνιστώσα "Χ". Είναι ίση.

Απάντηση: .

Εργασία 3.Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, βρείτε το άθροισμα των αποστάσεων από το σημείο στους άξονες συντεταγμένων.

Η εργασία είναι γενικά στοιχειώδης εάν γνωρίζετε ποια είναι η απόσταση από ένα σημείο στους άξονες. Ξέρεις? Ελπίζω, αλλά και πάλι σας θυμίζω:

Λοιπόν, στο σχέδιό μου, που βρίσκεται λίγο ψηλότερα, έχω ήδη απεικονίσει μια τέτοια κάθετη; Τι άξονας είναι; προς τον άξονα. Και ποιο είναι το μήκος του τότε; Είναι ίση. Τώρα σχεδιάστε μόνοι σας μια κάθετη στον άξονα και βρείτε το μήκος της. Θα είναι ίσο, σωστά; Τότε το άθροισμά τους είναι ίσο.

Απάντηση: .

Εργασία 4.Στις συνθήκες του προβλήματος 2, να βρείτε τη τεταγμένη του σημείου που είναι συμμετρικό στο σημείο γύρω από τον άξονα x.

Νομίζω ότι καταλαβαίνεις διαισθητικά τι είναι η συμμετρία; Το έχουν πολλά αντικείμενα: πολλά κτίρια, τραπέζια, αεροπλάνα, πολλά γεωμετρικά σχήματα: μπάλα, κύλινδρος, τετράγωνο, ρόμβος κ.λπ. Σε γενικές γραμμές, η συμμετρία μπορεί να γίνει κατανοητή ως εξής: ένα σχήμα αποτελείται από δύο (ή περισσότερα) ίδια μισά. Αυτή η συμμετρία ονομάζεται αξονική. Τι είναι λοιπόν ένας άξονας; Αυτή είναι ακριβώς η γραμμή κατά μήκος της οποίας το σχήμα μπορεί, σχετικά, να «κοπεί» σε πανομοιότυπα μισά (σε αυτήν την εικόνα, ο άξονας συμμετρίας είναι ευθύς):

Τώρα ας επιστρέψουμε στο έργο μας. Γνωρίζουμε ότι αναζητούμε ένα σημείο που να είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα. Τότε αυτός ο άξονας είναι ο άξονας συμμετρίας. Άρα, πρέπει να σημειώσουμε ένα σημείο έτσι ώστε ο άξονας να κόβει το τμήμα σε δύο ίσα μέρη. Προσπαθήστε να σημειώσετε μόνοι σας ένα τέτοιο σημείο. Συγκρίνετε τώρα με τη λύση μου:

Έκανες το ίδιο; Καλός! Στο σημείο που βρέθηκε, μας ενδιαφέρει η τεταγμένη. Είναι ίση

Απάντηση:

Τώρα πείτε μου, αφού σκεφτώ για ένα δευτερόλεπτο, ποια θα είναι η τετμημένη του σημείου που είναι συμμετρικό με το σημείο Α ως προς τον άξονα y; Ποιά είναι η απάντηση σου? Σωστή απάντηση: .

ΣΤΟ γενική περίπτωσηΟ κανόνας μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο γύρω από τον άξονα x έχει τις συντεταγμένες:

Ένα σημείο συμμετρικό προς ένα σημείο γύρω από τον άξονα y έχει συντεταγμένες:

Λοιπόν, τώρα είναι πραγματικά τρομακτικό. μια εργασία: Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό σε ένα σημείο, σε σχέση με την αρχή. Πρώτα σκέφτεσαι μόνος σου και μετά κοιτάς το σχέδιό μου!

Απάντηση:

Τώρα πρόβλημα παραλληλογράμμου:

Εργασία 5: Τα σημεία είναι ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε σημεία-dee-te ή-dee-on-tu.

Μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα με δύο τρόπους: τη λογική και τη μέθοδο συντεταγμένων. Θα εφαρμόσω πρώτα τη μέθοδο συντεταγμένων και μετά θα σας πω πώς μπορείτε να αποφασίσετε διαφορετικά.

Είναι απολύτως σαφές ότι η τετμημένη του σημείου είναι ίση. (βρίσκεται στην κάθετο που σύρεται από το σημείο προς τον άξονα x). Πρέπει να βρούμε τη τεταγμένη. Ας εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το σχήμα μας είναι παραλληλόγραμμο, που σημαίνει ότι. Βρείτε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Χαμηλώνουμε την κάθετη που συνδέει το σημείο με τον άξονα. Το σημείο τομής σημειώνεται με ένα γράμμα.

Το μήκος του τμήματος είναι ίσο. (βρείτε το πρόβλημα μόνοι σας, όπου συζητήσαμε αυτή τη στιγμή), τότε θα βρούμε το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το μήκος του τμήματος είναι ακριβώς το ίδιο με την τεταγμένη του.

Απάντηση: .

Μια άλλη λύση (θα δώσω απλώς μια εικόνα που το απεικονίζει)

Πρόοδος λύσης:

1. Ξοδέψτε

2. Βρείτε τις συντεταγμένες και το μήκος σημείου

3. Αποδείξτε ότι.

Αλλο ένα πρόβλημα μήκους κοπής:

Τα σημεία είναι-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του, par-ral-lel-noy.

Θυμάστε τι είναι ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο? Τότε για εσάς αυτό το έργο είναι στοιχειώδες. Αν δεν θυμάστε, τότε θα σας υπενθυμίσω: η μεσαία γραμμή ενός τριγώνου είναι η γραμμή που συνδέει τα μέσα αντίθετες πλευρές. Είναι παράλληλη με τη βάση και ίση με το μισό της.

Η βάση είναι ένα τμήμα. Έπρεπε να ψάξουμε νωρίτερα το μήκος του, είναι ίσο. Τότε το μήκος της μέσης γραμμής είναι το μισό και ίσο.

Απάντηση: .

Σχόλιο: Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, στον οποίο θα αναφερθούμε λίγο αργότερα.

Εν τω μεταξύ, εδώ είναι μερικές εργασίες για εσάς, εξασκηθείτε σε αυτές, είναι αρκετά απλές, αλλά βοηθούν να «γεμίσετε το χέρι σας» χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των συντεταγμένων!

1. Τα σημεία εμφανίζονται-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Βρείτε το μήκος της μέσης γραμμής του.

2. Σημεία και yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Βρείτε σημεία-dee-te ή-dee-on-tu.

3. Βρείτε το μήκος από το κόψιμο, συνδέστε το δεύτερο σημείο και

4. Βρείτε-di-te την περιοχή για-the-red-shen-noy fi-gu-ry στο επίπεδο ko-or-di-nat-noy.

5. Ένας κύκλος με κέντρο το na-cha-le ko-or-di-nat διέρχεται από ένα σημείο. Βρε-ντε-τε το ρα-ντι-μουστάκι της.

6. Nai-di-te ra-di-us κύκλος-no-sti, describe-san-noy κοντά στη δεξιά γωνία-no-ka, οι κορυφές-shi-ny του κάτι-ro-go έχουν συν-ή - di-na-you συν-από-απάντηση-αλλά

Λύσεις:

1. Είναι γνωστό ότι η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι ίση με το μισό του αθροίσματος των βάσεων του. Η βάση είναι ίση, αλλά η βάση. Επειτα

Απάντηση:

2. Ο ευκολότερος τρόπος για να λύσετε αυτό το πρόβλημα είναι να παρατηρήσετε ότι (κανόνας παραλληλογράμμου). Υπολογίστε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και δεν είναι δύσκολο: . Κατά την προσθήκη διανυσμάτων, προστίθενται οι συντεταγμένες. Μετά έχει συντεταγμένες. Το σημείο έχει τις ίδιες συντεταγμένες, αφού η αρχή του διανύσματος είναι ένα σημείο με συντεταγμένες. Μας ενδιαφέρει η τεταγμένη. Είναι ίση.

Απάντηση:

3. Ενεργούμε αμέσως σύμφωνα με τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων:

Απάντηση:

4. Κοιτάξτε την εικόνα και πείτε, ανάμεσα σε ποιες δύο φιγούρες «συμπιέζεται» η σκιασμένη περιοχή; Είναι στριμωγμένο ανάμεσα σε δύο τετράγωνα. Τότε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου μείον το εμβαδόν του μικρού. Η πλευρά του μικρού τετραγώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι

Τότε η περιοχή της μικρής πλατείας είναι

Κάνουμε το ίδιο με ένα μεγάλο τετράγωνο: η πλευρά του είναι ένα τμήμα που συνδέει τα σημεία και το μήκος του είναι ίσο με

Τότε το εμβαδόν της μεγάλης πλατείας είναι

Η περιοχή του επιθυμητού σχήματος βρίσκεται με τον τύπο:

Απάντηση:

5. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή και διέρχεται από ένα σημείο, τότε η ακτίνα του θα είναι ακριβώς ίσο με μήκοςτμήμα (κάντε ένα σχέδιο και θα καταλάβετε γιατί αυτό είναι προφανές). Βρείτε το μήκος αυτού του τμήματος:

Απάντηση:

6. Είναι γνωστό ότι η ακτίνα ενός κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα ορθογώνιο είναι ίση με το ήμισυ της διαγώνιας του. Ας βρούμε το μήκος οποιασδήποτε από τις δύο διαγωνίους (άλλωστε σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες!)

Απάντηση:

Λοιπόν, τα κατάφερες όλα; Δεν ήταν τόσο δύσκολο να το καταλάβω, σωστά; Υπάρχει μόνο ένας κανόνας εδώ - να μπορείτε να κάνετε μια οπτική εικόνα και απλά να "διαβάσετε" όλα τα δεδομένα από αυτήν.

Μας μένουν πολύ λίγα. Υπάρχουν κυριολεκτικά δύο ακόμη σημεία που θα ήθελα να συζητήσω.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το απλό πρόβλημα. Αφήστε δύο βαθμούς και δίνονται. Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η εξής: αφήστε το σημείο να είναι το επιθυμητό μέσο, ​​τότε έχει συντεταγμένες:

Αυτό είναι: συντεταγμένες του μέσου του τμήματος = αριθμητικός μέσος όρος των αντίστοιχων συντεταγμένων των άκρων του τμήματος.

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ απλός και συνήθως δεν προκαλεί δυσκολίες στους μαθητές. Ας δούμε σε ποια προβλήματα και πώς χρησιμοποιείται:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point και

2. Τα σημεία είναι yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Βρείτε-di-te or-di-na-tu σημεία του re-re-se-che-niya του dia-go-on-lei του.

3. Βρείτε-di-te abs-cis-su του κέντρου του κύκλου, περιγράψτε-san-noy κοντά στο ορθογώνιο-no-ka, οι κορυφές-shi-έχουμε κάτι-ro-go co-or-di- na-you συν-από-vet-stvenno-αλλά.

Λύσεις:

1. Η πρώτη εργασία είναι απλώς ένα κλασικό. Ενεργούμε αμέσως προσδιορίζοντας το μέσο του τμήματος. Έχει συντεταγμένες. Η τεταγμένη είναι ίση.

Απάντηση:

2. Είναι εύκολο να δούμε ότι το τετράπλευρο που δίνεται είναι παραλληλόγραμμο (ακόμα και ρόμβος!). Μπορείτε να το αποδείξετε μόνοι σας υπολογίζοντας τα μήκη των πλευρών και συγκρίνοντάς τα μεταξύ τους. Τι ξέρω για ένα παραλληλόγραμμο; Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται από το σημείο τομής! Αχα! Ποιο είναι λοιπόν το σημείο τομής των διαγωνίων; Αυτή είναι η μέση οποιασδήποτε από τις διαγωνίους! Θα επιλέξω, συγκεκριμένα, τη διαγώνιο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες Η τεταγμένη του σημείου ισούται με.

Απάντηση:

3. Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ορθογώνιο; Συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων του. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου; Είναι ίσα και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό. Η εργασία περιορίστηκε στην προηγούμενη. Πάρτε, για παράδειγμα, τη διαγώνιο. Τότε αν είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε είναι η μέση. Ψάχνω για συντεταγμένες: Το τετμημένο είναι ίσο.

Απάντηση:

Τώρα εξασκηθείτε λίγο μόνοι σας, θα δώσω μόνο τις απαντήσεις σε κάθε πρόβλημα για να ελέγξετε τον εαυτό σας.

1. Nai-di-te ra-di-us κύκλος-no-sti, describe-san-noy κοντά στο τρίγωνο-no-ka, οι κορυφές κάποιου-ro-go έχουν ko-or-di -no mister

2. Βρείτε-di-te or-di-na-tu το κέντρο του κύκλου, περιγράψτε το san-noy κοντά στο τρίγωνο-no-ka, τα tops-shi-έχουμε συντεταγμένες κάτι-ro-go

3. Τι είδους ρα-δι-υ-σα πρέπει να υπάρχει ένας κύκλος με κέντρο σε σημείο ώστε να εφάπτεται στον άξονα του κοιλιακού κιβωτίου;

4. Βρείτε-di-te ή-di-on-εκείνο το σημείο εκ νέου-ε-σε-τσε-ινγκ του άξονα και από-κοπή, σύνδεση-νυά-γιου-ο-ο σημείο και

Απαντήσεις:

Όλα πήγαν καλά; Το ελπίζω πραγματικά! Τώρα - η τελευταία ώθηση. Τώρα να είστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Το υλικό που θα εξηγήσω τώρα δεν σχετίζεται μόνο με τα προβλήματα της μεθόδου απλών συντεταγμένων στο Μέρος Β, αλλά βρίσκεται επίσης σε όλο το πρόβλημα C2.

Ποια από τις υποσχέσεις μου δεν έχω τηρήσει ακόμα; Θυμάστε ποιες πράξεις σε διανύσματα υποσχέθηκα να εισαγάγω και ποιες τελικά εισήγαγα; Είμαι σίγουρος ότι δεν ξέχασα τίποτα; Ξεχάσατε! Ξέχασα να εξηγήσω τι σημαίνει πολλαπλασιασμός διανυσμάτων.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με ένα διάνυσμα. Ανάλογα με την επιλεγμένη μέθοδο, θα λάβουμε αντικείμενα διαφορετικής φύσης:

Το διανυσματικό προϊόν είναι αρκετά δύσκολο. Πώς να το κάνετε και γιατί χρειάζεται, θα συζητήσουμε μαζί σας στο επόμενο άρθρο. Και σε αυτό θα επικεντρωθούμε στο βαθμωτό προϊόν.

Υπάρχουν ήδη δύο τρόποι που μας επιτρέπουν να το υπολογίσουμε:

Όπως μαντέψατε, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι το ίδιο! Ας δούμε λοιπόν πρώτα τον πρώτο τρόπο:

Το γινόμενο με τελείες μέσω συντεταγμένων

Βρείτε: - κοινή σημειογραφία για το προϊόν με κουκκίδες

Ο τύπος για τον υπολογισμό έχει ως εξής:

Αυτό είναι κλιμακωτό προϊόν= άθροισμα γινομένων διανυσματικών συντεταγμένων!

Παράδειγμα:

Βρε-ντε-τε

Λύση:

Βρείτε τις συντεταγμένες καθενός από τα διανύσματα:

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο με τον τύπο:

Απάντηση:

Βλέπετε, απολύτως τίποτα περίπλοκο!

Λοιπόν, τώρα δοκιμάστε το μόνοι σας:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie αιώνα-σε-χαντάκι και

Κατάφερες? Ίσως παρατήρησε ένα μικρό κόλπο; Ας ελέγξουμε:

Διανυσματικές συντεταγμένες, όπως και στην προηγούμενη εργασία! Απάντηση: .

Εκτός από τη συντεταγμένη, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να υπολογιστεί το βαθμωτό γινόμενο, δηλαδή μέσω των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Δηλώνει τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και.

Δηλαδή, το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.

Γιατί χρειαζόμαστε αυτόν τον δεύτερο τύπο, αν έχουμε τον πρώτο, ο οποίος είναι πολύ πιο απλός, τουλάχιστον δεν υπάρχουν συνημίτονα σε αυτόν. Και το χρειαζόμαστε έτσι ώστε από τον πρώτο και τον δεύτερο τύπο να μπορούμε να συμπεράνουμε πώς να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων!

Αφήστε Τότε θυμηθείτε τον τύπο για το μήκος ενός διανύσματος!

Στη συνέχεια, αν συνδέσω αυτά τα δεδομένα στον τύπο προϊόντος με κουκκίδες, λαμβάνω:

Αλλά από την άλλη πλευρά:

Τι έχουμε λοιπόν; Τώρα έχουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων! Μερικές φορές, για συντομία, γράφεται επίσης ως εξής:

Δηλαδή, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι ο εξής:

1. Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων
2. Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων και πολλαπλασιάστε τα
3. Διαιρέστε το αποτέλεσμα του σημείου 1 με το αποτέλεσμα του σημείου 2

Ας εξασκηθούμε με παραδείγματα:

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των βλεφάρων-προς-ρα-μι και. Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

2. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, βρείτε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων

Ας κάνουμε αυτό: Θα σας βοηθήσω να λύσετε το πρώτο πρόβλημα και προσπαθήστε να κάνετε μόνοι σας το δεύτερο! Συμφωνώ? Τότε ας ξεκινήσουμε!

1. Αυτοί οι φορείς είναι οι παλιοί μας φίλοι. Έχουμε ήδη εξετάσει το βαθμωτό γινόμενο τους και ήταν ίσο. Οι συντεταγμένες τους είναι: , . Στη συνέχεια βρίσκουμε τα μήκη τους:

Τότε αναζητούμε το συνημίτονο μεταξύ των διανυσμάτων:

Ποιο είναι το συνημίτονο της γωνίας; Αυτή είναι η γωνία.

Απάντηση:

Λοιπόν, τώρα λύστε μόνοι σας το δεύτερο πρόβλημα και μετά συγκρίνετε! Θα δώσω μια πολύ σύντομη λύση:

2. έχει συντεταγμένες, έχει συντεταγμένες.

Έστω η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, τότε

Απάντηση:

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι εργασίες απευθείας στα διανύσματα και η μέθοδος των συντεταγμένων στο μέρος Β εξεταστική εργασίααρκετά σπάνιο. Ωστόσο, η συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων C2 μπορούν εύκολα να λυθούν με την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων. Μπορείτε λοιπόν να θεωρήσετε αυτό το άρθρο ως θεμέλιο, με βάση το οποίο θα φτιάξουμε αρκετά δύσκολες κατασκευές που πρέπει να λύσουμε απαιτητικές εργασίες.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΕΝΔΙΑΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Εσύ και εγώ συνεχίζουμε να μελετάμε τη μέθοδο των συντεταγμένων. Στο τελευταίο μέρος, συμπεράνουμε μια σειρά σημαντικές φόρμουλες, που επιτρέπουν:

1. Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες
2. Βρείτε το μήκος ενός διανύσματος (εναλλακτικά: την απόσταση μεταξύ δύο σημείων)
3. Προσθήκη, αφαίρεση διανυσμάτων. πολλαπλασιάστε τα με πραγματικός αριθμός
4. Βρείτε το μέσο ενός τμήματος
5. Υπολογίστε το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων
6. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Φυσικά, ολόκληρη η μέθοδος συντεταγμένων δεν χωράει σε αυτά τα 6 σημεία. Βρίσκεται στη βάση μιας τέτοιας επιστήμης όπως η αναλυτική γεωμετρία, με την οποία θα εξοικειωθείτε στο πανεπιστήμιο. Θέλω απλώς να χτίσω ένα θεμέλιο που θα σας επιτρέψει να λύσετε προβλήματα σε ένα μόνο κράτος. εξέταση. Καταλάβαμε τις εργασίες του μέρους Β στο Τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στην ποιότητα νέο επίπεδο! Αυτό το άρθρο θα αφιερωθεί σε μια μέθοδο για την επίλυση των προβλημάτων C2 στα οποία θα ήταν λογικό να μεταβείτε στη μέθοδο συντεταγμένων. Αυτός ο λογισμός καθορίζεται από το τι πρέπει να βρεθεί στο πρόβλημα και από το ποσό που δίνεται. Έτσι, θα χρησιμοποιούσα τη μέθοδο συντεταγμένων εάν οι ερωτήσεις είναι:

1. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο επιπέδων
2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου
3. Βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών
4. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο
5. Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία
6. Βρείτε την απόσταση από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο
7. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο γραμμών

Εάν το σχήμα που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος είναι ένα σώμα περιστροφής (μπάλα, κύλινδρος, κώνος ...)

Τα κατάλληλα στοιχεία για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι:

1. κυβοειδές
2. Πυραμίδα (τριγωνική, τετράγωνη, εξαγωνική)

Επίσης από την εμπειρία μου είναι ακατάλληλη η χρήση της μεθόδου συντεταγμένων για:

1. Εύρεση των περιοχών των τομών
2. Υπολογισμοί όγκων σωμάτων

Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί αμέσως ότι τρεις «μη ευνοϊκές» καταστάσεις για τη μέθοδο συντεταγμένων είναι αρκετά σπάνιες στην πράξη. Στις περισσότερες εργασίες, μπορεί να γίνει ο σωτήρας σας, ειδικά αν δεν είστε πολύ δυνατοί σε τρισδιάστατες κατασκευές (που μερικές φορές είναι αρκετά περίπλοκες).

Ποια είναι όλα τα στοιχεία που απαριθμώ παραπάνω; Δεν είναι πια επίπεδα, όπως τετράγωνο, τρίγωνο, κύκλος, αλλά ογκώδεις! Συνεπώς, πρέπει να εξετάσουμε όχι ένα δισδιάστατο, αλλά ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Κατασκευάζεται αρκετά εύκολα: απλώς εκτός από την τετμημένη και τις τεταγμένες, θα εισαγάγουμε έναν άλλο άξονα, τον άξονα εφαρμογής. Το σχήμα δείχνει σχηματικά τη σχετική τους θέση:

Όλα είναι κάθετα μεταξύ τους, τέμνονται σε ένα σημείο που θα ονομάσουμε αρχή. Ο άξονας της τετμημένης, όπως και πριν, θα συμβολίζεται, ο άξονας τεταγμένων - , και ο εισαγόμενος εφαρμοστικός άξονας - .

Εάν νωρίτερα κάθε σημείο στο επίπεδο χαρακτηριζόταν από δύο αριθμούς - την τετμημένη και την τεταγμένη, τότε κάθε σημείο στο διάστημα περιγράφεται ήδη από τρεις αριθμούς - την τετμημένη, την τεταγμένη, την εφαρμογή. Για παράδειγμα:

Κατά συνέπεια, η τετμημένη του σημείου είναι ίση, η τεταγμένη είναι , και η εφαρμογή είναι .

Μερικές φορές η τετμημένη ενός σημείου ονομάζεται επίσης προβολή του σημείου στον άξονα της τετμημένης, η τεταγμένη είναι η προβολή του σημείου στον άξονα τεταγμένης και η εφαρμογή είναι η προβολή του σημείου στον άξονα εφαρμογής. Αντίστοιχα, αν δοθεί ένα σημείο τότε, ένα σημείο με συντεταγμένες:

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

ονομάζεται η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο

Τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: ισχύουν στο χώρο όλοι οι τύποι που προκύπτουν για τη δισδιάστατη περίπτωση; Η απάντηση είναι ναι, είναι απλά και έχουν την ίδια εμφάνιση. Για μια μικρή λεπτομέρεια. Νομίζω ότι έχετε ήδη μαντέψει ποιο. Σε όλους τους τύπους, θα πρέπει να προσθέσουμε έναν ακόμη όρο υπεύθυνο για τον άξονα εφαρμογής. Και συγκεκριμένα.

1. Αν δίνονται δύο βαθμοί: , τότε:

• Διανυσματικές συντεταγμένες:
• Απόσταση μεταξύ δύο σημείων (ή διανυσματικό μήκος)
• Το μέσο του τμήματος έχει συντεταγμένες

2. Αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε:

• Το προϊόν τους με τελείες είναι:
• Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι:

Ωστόσο, ο χώρος δεν είναι τόσο απλός. Όπως καταλαβαίνετε, η προσθήκη μιας ακόμη συντεταγμένης εισάγει μια σημαντική ποικιλία στο φάσμα των μορφών που «ζουν» σε αυτόν τον χώρο. Και για περαιτέρω αφήγηση χρειάζεται να εισαγάγω κάποια, χονδρικά μιλώντας, «γενίκευση» της ευθείας. Αυτή η «γενίκευση» θα είναι ένα επίπεδο. Τι γνωρίζετε για το αεροπλάνο; Προσπαθήστε να απαντήσετε στην ερώτηση, τι είναι ένα αεροπλάνο; Είναι πολύ δύσκολο να το πω. Ωστόσο, όλοι φανταζόμαστε διαισθητικά πώς μοιάζει:

Σε γενικές γραμμές, αυτό είναι ένα είδος ατελείωτου «φύλλου» ώθησης στο διάστημα. Το "άπειρο" θα πρέπει να γίνει κατανοητό ότι το επίπεδο εκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις, δηλαδή το εμβαδόν του είναι ίσο με το άπειρο. Ωστόσο, αυτή η εξήγηση «στα δάχτυλα» δεν δίνει την παραμικρή ιδέα για τη δομή του αεροπλάνου. Και θα μας ενδιαφέρει.

Ας θυμηθούμε ένα από τα βασικά αξιώματα της γεωμετρίας:

• σε δυο διάφορα σημείαμια ευθεία γραμμή περνά στο επίπεδο, επιπλέον, μόνο μία:

Ή το ανάλογό του στο διάστημα:

Φυσικά, θυμάστε πώς να εξάγετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής από δύο δεδομένα σημεία, αυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο: εάν το πρώτο σημείο έχει συντεταγμένες: και το δεύτερο, τότε η εξίσωση της ευθείας γραμμής θα είναι η εξής:

Το πέρασες αυτό στην 7η δημοτικού. Στο διάστημα, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μοιάζει με αυτό: ας έχουμε δύο σημεία με συντεταγμένες: , τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά έχει τη μορφή:

Για παράδειγμα, μια γραμμή διέρχεται από σημεία:

Πώς πρέπει να γίνει κατανοητό αυτό; Αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: ένα σημείο βρίσκεται σε μια ευθεία εάν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα:

Δεν θα μας ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά πρέπει να δώσουμε προσοχή στην πολύ σημαντική έννοια του κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας. - κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Για παράδειγμα, και τα δύο διανύσματα είναι διανύσματα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής. Έστω ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή και είναι το κατευθυντικό του διάνυσμα. Τότε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Για άλλη μια φορά, δεν θα με ενδιαφέρει πολύ η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά χρειάζομαι πραγματικά να θυμάστε τι είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης! Πάλι: είναι ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια ευθεία ή παράλληλη σε αυτήν.

Αποσύρω εξίσωση τριών σημείων ενός επιπέδουδεν είναι πλέον τόσο ασήμαντο, και συνήθως αυτό το θέμα δεν εξετάζεται στην πορεία Λύκειο. Αλλά μάταια! Αυτή η τεχνική είναι ζωτικής σημασίας όταν καταφεύγουμε στη μέθοδο συντεταγμένων για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Ωστόσο, υποθέτω ότι είστε γεμάτοι επιθυμία να μάθετε κάτι νέο; Επιπλέον, θα μπορείτε να εντυπωσιάσετε τον καθηγητή σας στο πανεπιστήμιο όταν αποδειχθεί ότι γνωρίζετε ήδη πώς να χρησιμοποιείτε την τεχνική που συνήθως μελετάται στο μάθημα της αναλυτικής γεωμετρίας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Η εξίσωση ενός επιπέδου δεν είναι πολύ διαφορετική από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο, δηλαδή, έχει τη μορφή:

ορισμένοι αριθμοί (όχι όλοι ίσοι με μηδέν), αλλά μεταβλητές, για παράδειγμα: κ.λπ. Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση ενός επιπέδου δεν διαφέρει πολύ από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (γραμμική συνάρτηση). Ωστόσο, θυμάστε τι μαλώσαμε μαζί σας; Είπαμε ότι αν έχουμε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή, τότε η εξίσωση του επιπέδου αποκαθίσταται μοναδικά από αυτά. Αλλά πως? Θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω.

Επειδή η εξίσωση του επιπέδου είναι:

Και τα σημεία ανήκουν σε αυτό το επίπεδο, τότε όταν αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου στην εξίσωση του επιπέδου, θα πρέπει να πάρουμε τη σωστή ταυτότητα:

Έτσι, υπάρχει ανάγκη να λυθούν τρεις εξισώσεις ήδη με αγνώστους! Δίλημμα! Ωστόσο, μπορούμε πάντα να υποθέσουμε ότι (για αυτό πρέπει να διαιρέσουμε με). Έτσι, παίρνουμε τρεις εξισώσεις με τρεις άγνωστους:

Ωστόσο, δεν θα λύσουμε ένα τέτοιο σύστημα, αλλά θα γράψουμε την κρυπτική έκφραση που προκύπτει από αυτό:

Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία

\[\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(πίνακας)) \right| = 0\]

Να σταματήσει! Τι άλλο είναι αυτό; Κάποια πολύ ασυνήθιστη ενότητα! Ωστόσο, το αντικείμενο που βλέπετε μπροστά σας δεν έχει καμία σχέση με τη μονάδα. Αυτό το αντικείμενο ονομάζεται ορίζουσα τρίτης τάξης. Από εδώ και πέρα, όταν ασχολείστε με τη μέθοδο των συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, θα συναντάτε συχνά αυτούς ακριβώς τους καθοριστικούς παράγοντες. Τι είναι ο προσδιοριστής τρίτης τάξης; Παραδόξως, είναι απλώς ένας αριθμός. Μένει να καταλάβουμε ποιο συγκεκριμένο αριθμό θα συγκρίνουμε με την ορίζουσα.

Ας γράψουμε πρώτα την ορίζουσα τρίτης τάξης σε περισσότερα γενική εικόνα:

Πού είναι κάποιοι αριθμοί. Επιπλέον, με τον πρώτο δείκτη εννοούμε τον αριθμό της γραμμής και με τον δείκτη - τον αριθμό της στήλης. Για παράδειγμα, σημαίνει ότι δεδομένου αριθμούβρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της τρίτης στήλης. Ας βάλουμε επόμενη ερώτηση: πώς ακριβώς θα υπολογίσουμε μια τέτοια ορίζουσα; Δηλαδή με ποιο συγκεκριμένο νούμερο θα το συγκρίνουμε; Για τον προσδιοριστή ακριβώς της τρίτης τάξης, υπάρχει ένας ευρετικός (οπτικός) κανόνας τριγώνου, μοιάζει με αυτό:

1. Το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (από πάνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο "κάθετο" στην κύρια διαγώνιο το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο "κάθετο" προς το κύριο διαγώνιος
2. Το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου (από την επάνω δεξιά γωνία προς την κάτω αριστερή) το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το πρώτο τρίγωνο "κάθετο" της δευτερεύουσας διαγώνιου το γινόμενο των στοιχείων που σχηματίζουν το δεύτερο τρίγωνο "κάθετο" της δευτερεύουσας διαγωνίου
3. Τότε η ορίζουσα είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών που λαμβάνονται στο βήμα και

Αν τα γράψουμε όλα αυτά με αριθμούς, τότε έχουμε την ακόλουθη έκφραση:

Ωστόσο, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τη μέθοδο υπολογισμού σε αυτή τη φόρμα, αρκεί απλώς να κρατήσετε τα τρίγωνα στο κεφάλι σας και την ίδια την ιδέα του τι προστίθεται σε τι και τι αφαιρείται στη συνέχεια από τι).

Ας επεξηγήσουμε τη μέθοδο του τριγώνου με ένα παράδειγμα:

1. Υπολογίστε την ορίζουσα:

Ας δούμε τι προσθέτουμε και τι αφαιρούμε:

Όροι που συνοδεύονται από ένα "συν":

Αυτή είναι η κύρια διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στην κύρια διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Προσθέτουμε τρεις αριθμούς:

Όροι που συνοδεύονται από ένα "μείον"

Αυτή είναι μια πλευρική διαγώνιος: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το πρώτο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Το δεύτερο τρίγωνο, «κάθετο στη δευτερεύουσα διαγώνιο: το γινόμενο των στοιχείων είναι

Προσθέτουμε τρεις αριθμούς:

Το μόνο που μένει να γίνει είναι να αφαιρέσουμε από το άθροισμα των συν όρων το άθροισμα των μείον όρων:

Με αυτόν τον τρόπο,

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο και υπερφυσικό στον υπολογισμό των οριζόντων τρίτης τάξης. Είναι απλά σημαντικό να θυμάστε τα τρίγωνα και να μην κάνετε αριθμητικά λάθη. Τώρα προσπαθήστε να υπολογίσετε μόνοι σας:

Ελέγχουμε:

1. Το πρώτο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
2. Το δεύτερο τρίγωνο κάθετο στην κύρια διαγώνιο:
3. Το άθροισμα των συν όρων:
4. Πρώτο τρίγωνο κάθετο στη διαγώνιο πλευρά:
5. Το δεύτερο τρίγωνο, κάθετο στη διαγώνιο της πλευράς:
6. Το άθροισμα των όρων με μείον:
7. Άθροισμα συν όρων μείον άθροισμα μείον όρων:

Ακολουθούν δύο ακόμη καθοριστικοί παράγοντες για εσάς, υπολογίστε μόνοι σας τις τιμές τους και συγκρίνετε με τις απαντήσεις:

Απαντήσεις:

Λοιπόν, ταίριαξαν όλα; Τέλεια, τότε μπορείς να προχωρήσεις! Εάν υπάρχουν δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: στο Διαδίκτυο υπάρχουν πολλά προγράμματα για τον υπολογισμό της ορίζουσας στο διαδίκτυο. Το μόνο που χρειάζεστε είναι να βρείτε τον δικό σας προσδιορισμό, να τον υπολογίσετε μόνοι σας και μετά να τον συγκρίνετε με αυτόν που υπολογίζει το πρόγραμμα. Και ούτω καθεξής μέχρι να αρχίσουν να ταιριάζουν τα αποτελέσματα. Είμαι σίγουρος ότι αυτή η στιγμή δεν θα αργήσει να έρθει!

Τώρα ας επιστρέψουμε στην ορίζουσα που έγραψα όταν μίλησα για την εξίσωση ενός αεροπλάνου που διέρχεται από τρία δοθέντες πόντους:

Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να υπολογίσετε απευθείας την τιμή του (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου) και να ορίσετε το αποτέλεσμα ίσο με το μηδέν. Φυσικά, δεδομένου ότι είναι μεταβλητές, θα λάβετε κάποια έκφραση που εξαρτάται από αυτές. Είναι αυτή η έκφραση που θα είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή!

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα απλό παράδειγμα:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Συνθέτουμε μια ορίζουσα για αυτά τα τρία σημεία:

Απλοποίηση:

Τώρα το υπολογίζουμε απευθείας σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων:

\[(\αριστερά| (\αρχή(πίνακας)(*(20)(γ))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(πίνακας)) \ δεξιά| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία είναι:

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας ένα πρόβλημα και μετά θα το συζητήσουμε:

2. Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία

Λοιπόν, ας συζητήσουμε τη λύση τώρα:

Κάνουμε έναν καθοριστικό παράγοντα:

Και υπολογίστε την αξία του:

Τότε η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Ή, μειώνοντας κατά, παίρνουμε:

Τώρα δύο εργασίες για αυτοέλεγχο:

1. Κατασκευάστε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία:

Απαντήσεις:

Ταίριαξαν όλα; Και πάλι, εάν υπάρχουν ορισμένες δυσκολίες, τότε η συμβουλή μου είναι η εξής: πάρτε τρεις πόντους από το κεφάλι σας (με μεγάλο βαθμό πιθανότητας να μην ξαπλώσουν σε μια ευθεία γραμμή), φτιάξτε ένα αεροπλάνο πάνω τους. Και μετά ελέγξτε τον εαυτό σας στο διαδίκτυο. Για παράδειγμα, στον ιστότοπο:

Ωστόσο, με τη βοήθεια οριζόντων, δεν θα κατασκευάσουμε μόνο την εξίσωση του επιπέδου. Θυμηθείτε, σας είπα ότι για τα διανύσματα δεν ορίζεται μόνο το γινόμενο της τελείας. Υπάρχει επίσης ένας φορέας, καθώς και ένα μικτό προϊόν. Και αν το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι ένας αριθμός, τότε το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι ένα διάνυσμα και αυτό το διάνυσμα θα είναι κάθετο στα δεδομένα:

Και η ενότητα του θα είναι ίσο με εμβαδόνπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα και. Αυτό το διάνυσμαπρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων και αν δίνονται οι συντεταγμένες τους; Ο καθοριστικός παράγοντας της τρίτης τάξης έρχεται και πάλι σε βοήθεια. Ωστόσο, πριν προχωρήσω στον αλγόριθμο για τον υπολογισμό του διασταυρούμενου γινομένου, πρέπει να κάνω μια μικρή λυρική παρέκβαση.

Αυτή η απόκλιση αφορά τα διανύσματα βάσης.

Σχηματικά φαίνονται στο σχήμα:

Γιατί πιστεύετε ότι ονομάζονται βασικά; Το γεγονός είναι ότι:

Ή στην εικόνα:

Η εγκυρότητα αυτού του τύπου είναι προφανής, επειδή:

διανυσματικό προϊόν

Τώρα μπορώ να αρχίσω να παρουσιάζω το cross product:

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα που υπολογίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

Ας δώσουμε τώρα μερικά παραδείγματα υπολογισμού του διασταυρούμενου γινομένου:

Παράδειγμα 1: Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων:

Λύση: Κάνω μια ορίζουσα:

Και το υπολογίζω:

Τώρα, από τη γραφή μέσω διανυσμάτων βάσης, θα επιστρέψω στη συνηθισμένη διανυσματική σημείωση:

Με αυτόν τον τρόπο:

Τώρα δοκιμάστε.

Ετοιμος? Ελέγχουμε:

Και παραδοσιακά δύο εργασίες προς έλεγχο:

1. Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:
2. Βρείτε το διασταυρούμενο γινόμενο των παρακάτω διανυσμάτων:

Απαντήσεις:

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων

Η τελευταία κατασκευή που χρειάζομαι είναι το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων. Είναι, σαν βαθμωτός, αριθμός. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού. - μέσω της ορίζουσας, - μέσω του μικτού προϊόντος.

Δηλαδή, ας πούμε ότι έχουμε τρία διανύσματα:

Τότε το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων, που συμβολίζεται με μπορεί να υπολογιστεί ως:

1. - δηλαδή το μικτό γινόμενο είναι το βαθμωτό γινόμενο ενός διανύσματος και το διανυσματικό γινόμενο δύο άλλων διανυσμάτων

Για παράδειγμα, το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι:

Προσπαθήστε να το υπολογίσετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο και βεβαιωθείτε ότι τα αποτελέσματα ταιριάζουν!

Και πάλι δύο παραδείγματα ανεξάρτητη λύση:

Απαντήσεις:

Επιλογή συστήματος συντεταγμένων

Λοιπόν, τώρα έχουμε όλα τα απαραίτητα θεμέλια γνώσης για την επίλυση σύνθετων στερεομετρικών προβλημάτων στη γεωμετρία. Ωστόσο, πριν προχωρήσουμε απευθείας στα παραδείγματα και τους αλγόριθμους για την επίλυσή τους, πιστεύω ότι θα είναι χρήσιμο να σταθώ στο εξής ερώτημα: πώς ακριβώς επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων για ένα συγκεκριμένο σχήμα.Άλλωστε, είναι η επιλογή της σχετικής θέσης του συστήματος συντεταγμένων και του αριθμού στο χώρο που θα καθορίσει τελικά πόσο δυσκίνητοι θα είναι οι υπολογισμοί.

Σας υπενθυμίζω ότι σε αυτήν την ενότητα εξετάζουμε τα ακόλουθα σχήματα:

1. κυβοειδές
2. Ευθύ πρίσμα (τριγωνικό, εξαγωνικό…)
3. Πυραμίδα (τριγωνική, τετραγωνική)
4. Τετράεδρο (ίδιο με την τριγωνική πυραμίδα)

Για κυβοειδές ή κύβο, προτείνω την ακόλουθη κατασκευή:

Δηλαδή, θα τοποθετήσω το σχήμα "στη γωνία". Ο κύβος και το κουτί είναι πολύ καλές φιγούρες. Για αυτούς, μπορείτε πάντα να βρείτε εύκολα τις συντεταγμένες των κορυφών του. Για παράδειγμα, εάν (όπως φαίνεται στην εικόνα)

τότε οι συντεταγμένες κορυφής είναι:

Φυσικά, δεν χρειάζεται να το θυμάστε αυτό, αλλά θυμηθείτε πώς να τοποθετήσετε καλύτερα τον κύβο ή κυβοειδές- επιθυμητό.

ευθύ πρίσμα

Το πρίσμα είναι μια πιο επιβλαβής φιγούρα. Μπορείτε να το τακτοποιήσετε στο χώρο με διάφορους τρόπους. Ωστόσο, νομίζω ότι η παρακάτω είναι η καλύτερη επιλογή:

Τριγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, βάζουμε μια από τις πλευρές του τριγώνου εξ ολοκλήρου στον άξονα, και μια από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή.

Εξαγωνικό πρίσμα:

Δηλαδή, μία από τις κορυφές συμπίπτει με την αρχή και μία από τις πλευρές βρίσκεται στον άξονα.

Τετραγωνική και εξαγωνική πυραμίδα:

Μια κατάσταση παρόμοια με έναν κύβο: συνδυάζουμε δύο πλευρές της βάσης με τους άξονες συντεταγμένων, συνδυάζουμε μια από τις κορυφές με την αρχή. Η μόνη μικρή δυσκολία θα είναι ο υπολογισμός των συντεταγμένων του σημείου.

Για μια εξαγωνική πυραμίδα - το ίδιο όπως για ένα εξαγωνικό πρίσμα. Το κύριο καθήκον θα είναι και πάλι η εύρεση των συντεταγμένων της κορυφής.

Τετράεδρο (τριγωνική πυραμίδα)

Η κατάσταση είναι πολύ παρόμοια με αυτή που έδωσα για το τριγωνικό πρίσμα: η μία κορυφή συμπίπτει με την αρχή, η μία πλευρά βρίσκεται στον άξονα των συντεταγμένων.

Λοιπόν, τώρα εσύ κι εγώ είμαστε επιτέλους κοντά στο να αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα. Από αυτά που είπα στην αρχή του άρθρου, θα μπορούσατε να βγάλετε το εξής συμπέρασμα: τα περισσότερα προβλήματα C2 εμπίπτουν σε 2 κατηγορίες: προβλήματα για τη γωνία και προβλήματα για την απόσταση. Αρχικά, θα εξετάσουμε προβλήματα εύρεσης γωνίας. Αυτοί, με τη σειρά τους, χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες (καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητα):

Προβλήματα για την εύρεση γωνιών

1. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο γραμμών
2. Εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο επιπέδων

Ας εξετάσουμε αυτά τα προβλήματα διαδοχικά: ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Έλα, θυμήσου, εσύ κι εγώ δεν αποφασίσαμε παρόμοια παραδείγματαπριν? Θυμάστε, γιατί είχαμε ήδη κάτι παρόμοιο ... Ψάχναμε για μια γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Σας υπενθυμίζω, αν δίνονται δύο διανύσματα: και, τότε η μεταξύ τους γωνία βρίσκεται από τη σχέση:

Τώρα έχουμε έναν στόχο - να βρούμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Ας πάμε στην «επίπεδη εικόνα»:

Πόσες γωνίες έχουμε όταν τέμνονται δύο ευθείες; Ήδη πράγματα. Είναι αλήθεια ότι μόνο δύο από αυτά δεν είναι ίσα, ενώ άλλα είναι κάθετα σε αυτά (και επομένως συμπίπτουν με αυτά). Ποια γωνία λοιπόν πρέπει να εξετάσουμε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών: ή; Εδώ ο κανόνας είναι: η γωνία μεταξύ δύο ευθειών δεν είναι πάντα μεγαλύτερη από μοίρες. Δηλαδή από δύο γωνίες θα επιλέγουμε πάντα τη γωνία με τη μικρότερη μέτρο βαθμού. Δηλαδή, σε αυτή την εικόνα, η γωνία μεταξύ των δύο γραμμών είναι ίση. Για να μην ασχολούμαστε με την εύρεση της μικρότερης από τις δύο γωνίες κάθε φορά, πονηροί μαθηματικοί πρότειναν τη χρήση της ενότητας. Έτσι, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών προσδιορίζεται από τον τύπο:

Εσείς, ως προσεκτικός αναγνώστης, θα έπρεπε να είχατε μια ερώτηση: πού, στην πραγματικότητα, παίρνουμε αυτούς τους αριθμούς που χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας; Απάντηση: θα τα πάρουμε από τα διανύσματα κατεύθυνσης των γραμμών! Έτσι, ο αλγόριθμος για την εύρεση της γωνίας μεταξύ δύο γραμμών είναι ο εξής:

1. Εφαρμόζουμε τον τύπο 1.

Ή πιο αναλυτικά:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της πρώτης ευθείας
2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεύτερης γραμμής
3. Υπολογίστε το μέτρο του βαθμωτό γινόμενο τους
4. Αναζητούμε το μήκος του πρώτου διανύσματος
5. Αναζητούμε το μήκος του δεύτερου διανύσματος
6. Πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα του σημείου 4 με τα αποτελέσματα του σημείου 5
7. Διαιρούμε το αποτέλεσμα του σημείου 3 με το αποτέλεσμα του σημείου 6. Παίρνουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών
8. Αν ένα δεδομένο αποτέλεσμασας επιτρέπει να υπολογίσετε με ακρίβεια τη γωνία, την αναζητούμε
9. Διαφορετικά, γράφουμε μέσω της αρκοσίνης

Λοιπόν, τώρα ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στις εργασίες: θα δείξω τη λύση των δύο πρώτων λεπτομερώς, θα παρουσιάσω τη λύση ενός άλλου στο περίληψη, και για τα δύο τελευταία προβλήματα θα δώσω μόνο απαντήσεις, πρέπει να κάνετε μόνοι σας όλους τους υπολογισμούς για αυτά.

Καθήκοντα:

1. Στο δεξί tet-ra-ed-re, βρείτε-di-te τη γωνία ανάμεσα σε εσάς-έτσι-αυτό το tet-ra-ed-ra και την πλευρά me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Στο δεξί εμπρός έξι-κάρβουνο-πι-ρα-μι-ντε, τα εκατό-ρο-να-ος-νο-βα-νίγια είναι κατά κάποιο τρόπο ίσα, και οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες, βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμές και.

3. Τα μήκη όλων των άκρων του δεξιόστροφου τετράγωνου άνθρακος πι-ρα-μι-ντι είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και αν από-ρε-ζοκ - εσείς-έτσι που δίνεται το πι-ρα-μι-ντι, το σημείο είναι σε-ρε-ντι-στην μπο-κο- θ πλευρά της

4. Στην άκρη του κύβου από-με-τσε-σε σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών και

5. Σημείο - se-re-di-στις άκρες του κύβου Nai-di-te τη γωνία μεταξύ των ευθειών και.

Δεν είναι τυχαίο που τοποθέτησα τις εργασίες με αυτή τη σειρά. Ενώ δεν είχατε ακόμη χρόνο να ξεκινήσετε την πλοήγηση στη μέθοδο συντεταγμένων, εγώ ο ίδιος θα αναλύσω τα πιο «προβληματικά» σχήματα και θα σας αφήσω να ασχοληθείτε με τον απλούστερο κύβο! Σταδιακά πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με όλες τις φιγούρες, θα αυξήσω την πολυπλοκότητα των εργασιών από θέμα σε θέμα.

Ας αρχίσουμε να λύνουμε προβλήματα:

1. Σχεδιάστε ένα τετράεδρο, τοποθετήστε το στο σύστημα συντεταγμένων όπως πρότεινα νωρίτερα. Δεδομένου ότι το τετράεδρο είναι κανονικό, τότε όλες οι όψεις του (συμπεριλαμβανομένης της βάσης) είναι κανονικά τρίγωνα. Εφόσον δεν μας δίνεται το μήκος της πλευράς, μπορώ να το πάρω ίσο. Νομίζω ότι καταλαβαίνετε ότι η γωνία δεν θα εξαρτηθεί πραγματικά από το πόσο θα "τεντωθεί" το τετράεδρό μας;. Θα σχεδιάσω επίσης το ύψος και τη διάμεσο στο τετράεδρο. Στην πορεία θα σχεδιάσω τη βάση του (θα μας φανεί και χρήσιμο).

Πρέπει να βρω τη γωνία μεταξύ και. Τι ξέρουμε; Γνωρίζουμε μόνο τη συντεταγμένη του σημείου. Άρα, πρέπει να βρούμε περισσότερες συντεταγμένες των σημείων. Τώρα σκεφτόμαστε: ένα σημείο είναι ένα σημείο τομής υψών (ή διχοτόμων ή διαμέσου) ενός τριγώνου. Μια τελεία είναι ένα υπερυψωμένο σημείο. Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Τότε τελικά πρέπει να βρούμε: τις συντεταγμένες των σημείων: .

Ας ξεκινήσουμε με το απλούστερο: σημειακές συντεταγμένες. Κοιτάξτε το σχήμα: Είναι σαφές ότι η εφαρμογή ενός σημείου είναι ίση με μηδέν (το σημείο βρίσκεται σε ένα επίπεδο). Η τεταγμένη του είναι ίση (γιατί είναι η διάμεσος). Είναι πιο δύσκολο να βρεις το τετμημένο του. Ωστόσο, αυτό γίνεται εύκολα με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα: Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Η υποτείνυσή του είναι ίση και το ένα πόδι είναι ίσο Τότε:

Τέλος έχουμε:

Τώρα ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η εφαρμογή του είναι πάλι ίση με μηδέν και η τεταγμένη του είναι ίδια με αυτή ενός σημείου, δηλαδή. Ας βρούμε το τετμημένο του. Αυτό γίνεται μάλλον επιπόλαια αν το θυμάται κανείς ύψη ισόπλευρο τρίγωνοτο σημείο τομής διαιρείται αναλογικάμετρώντας από την κορυφή. Αφού: , τότε η επιθυμητή τετμημένη του σημείου, ίσο με το μήκοςτμήμα ισούται με: . Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Και η απλικέ ισούται με το μήκος του τμήματος. - αυτό είναι ένα από τα σκέλη του τριγώνου. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι ένα τμήμα - ένα σκέλος. Γίνεται αναζήτηση για τους λόγους που τόνισα με έντονους χαρακτήρες:

Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Στη συνέχεια, πρέπει να θυμόμαστε τον τύπο για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

Αυτό είναι όλο, τώρα μπορούμε να αναζητήσουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης:

Λοιπόν, όλα είναι έτοιμα: αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα στον τύπο:

Με αυτόν τον τρόπο,

Απάντηση:

Δεν πρέπει να φοβάστε τέτοιες «τρομερές» απαντήσεις: για προβλήματα C2 αυτή είναι μια κοινή πρακτική. Θα προτιμούσα να με εκπλήξει η «όμορφη» απάντηση σε αυτό το κομμάτι. Επίσης, όπως σημείωσες, πρακτικά δεν κατέφυγα σε τίποτα άλλο εκτός από το Πυθαγόρειο θεώρημα και την ιδιότητα των υψών ενός ισόπλευρου τριγώνου. Δηλαδή, για να λύσω το στερεομετρικό πρόβλημα, χρησιμοποίησα το ελάχιστο της στερεομετρίας. Το κέρδος σε αυτό «σβήνει» εν μέρει από μάλλον δυσκίνητους υπολογισμούς. Αλλά είναι αρκετά αλγοριθμικά!

2. Σχεδιάστε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα μαζί με το σύστημα συντεταγμένων, καθώς και τη βάση της:

Πρέπει να βρούμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών και. Έτσι, το καθήκον μας περιορίζεται στην εύρεση των συντεταγμένων των σημείων: . Θα βρούμε τις συντεταγμένες των τριών τελευταίων από το μικρό σχέδιο και θα βρούμε τη συντεταγμένη της κορυφής μέσω της συντεταγμένης του σημείου. Πολύ δουλειά, αλλά πρέπει να ξεκινήσετε!

α) Συντεταγμένη: είναι σαφές ότι η εφαρμογή και η τεταγμένη του είναι μηδέν. Ας βρούμε την τετμημένη. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αλίμονο, σε αυτό γνωρίζουμε μόνο την υποτείνουσα, που ισούται με. Θα προσπαθήσουμε να βρούμε το πόδι (γιατί είναι σαφές ότι το διπλάσιο μήκος του ποδιού θα μας δώσει την τετμημένη του σημείου). Πώς μπορούμε να το αναζητήσουμε; Ας θυμηθούμε τι είδους φιγούρα έχουμε στη βάση της πυραμίδας; Αυτό είναι ένα κανονικό εξάγωνο. Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Πρέπει να βρούμε μια τέτοια γωνιά. Καμιά ιδέα? Υπάρχουν πολλές ιδέες, αλλά υπάρχει μια φόρμουλα:

Άθροισμα γωνιών κανονικό n-gonείναι ίσο με .

Έτσι, το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού εξαγώνου είναι μοίρες. Τότε κάθε μία από τις γωνίες είναι ίση με:

Ας δούμε ξανά την εικόνα. Είναι σαφές ότι το τμήμα είναι η διχοτόμος της γωνίας. Μετά η γωνία ίσο με βαθμούς. Επειτα:

Τότε πού.

Άρα έχει συντεταγμένες

β) Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε τη συντεταγμένη του σημείου: .

γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Εφόσον η τετμημένη του συμπίπτει με το μήκος του τμήματος, είναι ίσο. Η εύρεση της τεταγμένης δεν είναι επίσης πολύ δύσκολη: αν συνδέσουμε τα σημεία και υποδηλώσουμε το σημείο τομής της ευθείας, ας πούμε για. (κάντο μόνος σου απλή κατασκευή). Τότε λοιπόν, η τεταγμένη του σημείου Β είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των τμημάτων. Ας δούμε ξανά το τρίγωνο. Επειτα

Τότε από Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες

δ) Τώρα βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο και αποδείξτε ότι, λοιπόν, οι συντεταγμένες του σημείου είναι:

ε) Μένει να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής. Είναι σαφές ότι η τετμημένη και η τεταγμένη της συμπίπτουν με την τετμημένη και τη τεταγμένη του σημείου. Ας βρούμε μια εφαρμογή. Από τότε. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Με την προϋπόθεση του προβλήματος, το πλευρικό άκρο. Αυτή είναι η υποτείνουσα του τριγώνου μου. Τότε το ύψος της πυραμίδας είναι το πόδι.

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Αυτό είναι όλο, έχω τις συντεταγμένες όλων των σημείων που με ενδιαφέρουν. Αναζητώ τις συντεταγμένες των κατευθυντικών διανυσμάτων των ευθειών:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων:

Απάντηση:

Και πάλι, κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, δεν χρησιμοποίησα κανένα περίπλοκο κόλπο, εκτός από τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού n-gon, καθώς και τον ορισμό του συνημιτόνου και του ημιτόνου ενός ορθογωνίου τριγώνου.

3. Επειδή πάλι δεν μας δίνονται τα μήκη των άκρων στην πυραμίδα, θα τα μετρήσω ίσο με ένα. Έτσι, εφόσον ΟΛΕΣ οι άκρες, και όχι μόνο οι πλευρικές, είναι ίσες μεταξύ τους, τότε στη βάση της πυραμίδας και εγώ βρίσκεται ένα τετράγωνο, και πλαϊνά πρόσωπαείναι ορθογώνια τρίγωνα. Ας απεικονίσουμε μια τέτοια πυραμίδα, καθώς και τη βάση της σε ένα επίπεδο, σημειώνοντας όλα τα δεδομένα που δίνονται στο κείμενο του προβλήματος:

Αναζητούμε τη γωνία μεταξύ και. Θα κάνω πολύ σύντομους υπολογισμούς όταν ψάχνω τις συντεταγμένες των σημείων. Θα χρειαστεί να τα «αποκρυπτογραφήσετε»:

β) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες της:

γ) Θα βρω το μήκος του τμήματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο. Θα βρω με το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο.

Συντεταγμένες:

δ) - το μέσο του τμήματος. Οι συντεταγμένες του είναι

ε) Συντεταγμένες του διανύσματος

στ) Συντεταγμένες του διανύσματος

ζ) Αναζήτηση γωνίας:

Κύβος - απλούστερη φιγούρα. Είμαι σίγουρος ότι μπορείς να το καταλάβεις μόνος σου. Οι απαντήσεις στα προβλήματα 4 και 5 είναι οι εξής:

Εύρεση της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου

Λοιπόν, η ώρα για απλούς γρίφους τελείωσε! Τώρα τα παραδείγματα θα είναι ακόμα πιο δύσκολα. Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου, θα προχωρήσουμε ως εξής:

1. Χρησιμοποιώντας τρία σημεία, κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου
   ,
   χρησιμοποιώντας μια ορίζουσα τρίτης τάξης.
2. Σε δύο σημεία αναζητούμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο τύπος μοιάζει πολύ με αυτόν που χρησιμοποιήσαμε για να βρούμε τις γωνίες μεταξύ δύο γραμμών. Η δομή της δεξιάς πλευράς είναι ακριβώς η ίδια, και στα αριστερά τώρα αναζητούμε ένα ημίτονο, και όχι ένα συνημίτονο, όπως πριν. Λοιπόν, προστέθηκε μια δυσάρεστη ενέργεια - η αναζήτηση για την εξίσωση του αεροπλάνου.

Ας μην μείνουμε στα ράφια επίλυση παραδειγμάτων:

1. Os-no-va-ni-em straight-my prize-we are-la-et-xia ίσο-αλλά-φτωχό-ren-ny τρίγωνο-nick you-με-αυτό το έπαθλο-είμαστε ίσοι. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

2. Σε ορθογώνιο pa-ral-le-le-pi-pe-de από το δυτικό Nai-di-te η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου

3. Στο δεξιόστροφο εξαανθρακικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου.

4. Στο ορθό τριγωνικό pi-ra-mi-de με το os-but-va-ni-em από τα δυτικά της πλευράς Nai-di-te γωνία, ob-ra-zo-van -ny επίπεδο του os. -no-va-niya και straight-my, περνώντας από το σε-ρε-ντι-να των πλευρών και

5. Τα μήκη όλων των άκρων του δεξιού τετραγωνικού pi-ra-mi-dy με την κορυφή είναι ίσα μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και του επιπέδου, αν το σημείο είναι se-re-di-στο bo-ko-in-th άκρο του pi-ra-mi-dy.

Και πάλι, θα λύσω τα δύο πρώτα προβλήματα αναλυτικά, το τρίτο - εν συντομία, και αφήνω τα δύο τελευταία να τα λύσετε μόνοι σας. Επιπλέον, έπρεπε ήδη να αντιμετωπίσετε τριγωνικά και τετραγωνικές πυραμίδες, αλλά με πρίσματα - όχι ακόμα.

Λύσεις:

1. Σχεδιάστε ένα πρίσμα, καθώς και τη βάση του. Ας το συνδυάσουμε με το σύστημα συντεταγμένων και ας επισημάνουμε όλα τα δεδομένα που δίνονται στη δήλωση προβλήματος:

Ζητώ συγγνώμη για κάποια μη τήρηση των αναλογιών, αλλά για την επίλυση του προβλήματος αυτό, στην πραγματικότητα, δεν είναι τόσο σημαντικό. Το αεροπλάνο είναι απλώς ο «οπίσθιος τοίχος» του πρίσματος μου. Αρκεί απλώς να μαντέψουμε ότι η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου έχει τη μορφή:

Ωστόσο, αυτό μπορεί επίσης να εμφανιστεί απευθείας:

Επιλέγουμε αυθαίρετα τρία σημεία σε αυτό το επίπεδο: για παράδειγμα, .

Ας κάνουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Άσκηση για εσάς: υπολογίστε μόνοι σας αυτόν τον καθοριστικό παράγοντα. Τα κατάφερες; Τότε η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

Ή απλά

Με αυτόν τον τρόπο,

Για να λύσω το παράδειγμα, πρέπει να βρω τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας. Εφόσον το σημείο συνέπεσε με την αρχή, οι συντεταγμένες του διανύσματος θα συμπίπτουν απλώς με τις συντεταγμένες του σημείου.Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου.

Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα τρίγωνο. Ας τραβήξουμε ένα ύψος (είναι και διάμεσος και διχοτόμος) από την κορυφή. Αφού, τότε η τεταγμένη του σημείου είναι ίση. Για να βρούμε την τετμημένη αυτού του σημείου, πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του τμήματος. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες:

Μια κουκκίδα είναι ένα "ανυψωμένο" σε μια κουκκίδα:

Τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα ουσιαστικά δύσκολο στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στην πραγματικότητα, η «ευθύτητα» μιας φιγούρας όπως ένα πρίσμα απλοποιεί τη διαδικασία λίγο περισσότερο. Τώρα ας προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα:

2. Σχεδιάζουμε ένα παραλληλεπίπεδο, σχεδιάζουμε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτό και επίσης σχεδιάζουμε ξεχωριστά την κάτω βάση του:

Αρχικά, βρίσκουμε την εξίσωση του επιπέδου: Οι συντεταγμένες των τριών σημείων που βρίσκονται σε αυτό:

(οι δύο πρώτες συντεταγμένες λαμβάνονται με προφανή τρόπο και μπορείτε εύκολα να βρείτε την τελευταία συντεταγμένη από την εικόνα από το σημείο). Στη συνέχεια συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Υπολογίζουμε:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης: Είναι σαφές ότι οι συντεταγμένες του συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του σημείου, έτσι δεν είναι; Πώς να βρείτε συντεταγμένες; Αυτές είναι οι συντεταγμένες του σημείου, υψωμένες κατά μία κατά μήκος του άξονα εφαρμογής! . Τότε αναζητούμε την επιθυμητή γωνία:

Απάντηση:

3. Σχεδιάστε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα και στη συνέχεια σχεδιάστε ένα επίπεδο και μια ευθεία γραμμή σε αυτήν.

Εδώ είναι ακόμη και προβληματικό να σχεδιάσουμε ένα επίπεδο, για να μην αναφέρουμε τη λύση αυτού του προβλήματος, αλλά η μέθοδος συντεταγμένων δεν ενδιαφέρεται! Είναι στην ευελιξία του που βρίσκεται το κύριο πλεονέκτημά του!

Το αεροπλάνο διέρχεται από τρία σημεία: . Αναζητούμε τις συντεταγμένες τους:

ένας) . Εμφανίστε μόνοι σας τις συντεταγμένες για τα δύο τελευταία σημεία. Θα χρειαστεί να λύσετε το πρόβλημα με μια εξαγωνική πυραμίδα για αυτό!

2) Κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Αναζητούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος: . (Δείτε ξανά πρόβλημα τριγωνικής πυραμίδας!)

3) Ψάχνουμε για μια γωνία:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα υπερφυσικά δύσκολο σε αυτές τις εργασίες. Απλά πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί με τις ρίζες. Στα δύο τελευταία προβλήματα, θα δώσω μόνο απαντήσεις:

Όπως μπορείτε να δείτε, η τεχνική για την επίλυση προβλημάτων είναι η ίδια παντού: το κύριο καθήκον είναι να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών και να τις αντικαταστήσετε σε ορισμένους τύπους. Απομένει να εξετάσουμε μια ακόμη κατηγορία προβλημάτων για τον υπολογισμό των γωνιών, και συγκεκριμένα:

Υπολογισμός γωνιών μεταξύ δύο επιπέδων

Ο αλγόριθμος λύσης θα είναι ο εξής:

1. Για τρία σημεία αναζητούμε την εξίσωση του πρώτου επιπέδου:
2. Για τα άλλα τρία σημεία, αναζητούμε την εξίσωση του δεύτερου επιπέδου:
3. Εφαρμόζουμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τύπος μοιάζει πολύ με τους δύο προηγούμενους, με τη βοήθεια του οποίου αναζητούσαμε γωνίες μεταξύ ευθειών και μεταξύ ευθείας γραμμής και επιπέδου. Επομένως, το να θυμάστε αυτό δεν θα είναι δύσκολο για εσάς. Ας μπούμε κατευθείαν στο πρόβλημα:

1. Ένα εκατό-ρο-με βάση το ορθό τριγωνικό πρίσμα είναι ίσο και η διαγώνια της πλευρικής όψης είναι ίση. Βρείτε τη γωνία μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης του βραβείου.

2. Στο δεξιό μπροστινό τετραγωνικό πή-ρα-μι-ντε, όλες οι άκρες κάποιου είναι ίσες, βρείτε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου και του επιπέδου Ko-Stu, που διέρχεται το σημείο του per-pen-di-ku-lyar-αλλά ευθύ-μου.

3. Σε ένα κανονικό πρίσμα τεσσάρων άνθρακα, οι πλευρές του os-no-va-nia είναι ίσες και οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στην άκρη από-με-τσε-στο σημείο έτσι ώστε. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και

4. Στο δεξιό τετράγωνο πρίσμα, οι πλευρές των βάσεων είναι ίσες, και οι πλευρικές ακμές ίσες. Στην άκρη από-με-τσε-σε σημείο ώστε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων και.

5. Στον κύβο, βρείτε το co-si-nus της γωνίας μεταξύ των επιπέδων και

Λύσεις προβλημάτων:

1. Σχεδιάζω το σωστό (στη βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο) τριγωνικό πρίσμακαι σημειώνω πάνω του τα επίπεδα που εμφανίζονται στην κατάσταση του προβλήματος:

Πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις δύο επιπέδων: Η εξίσωση βάσης προκύπτει ασήμαντα: μπορείτε να κάνετε την αντίστοιχη ορίζουσα για τρία σημεία, αλλά θα κάνω την εξίσωση αμέσως:

Ας βρούμε τώρα την εξίσωση Το σημείο έχει συντεταγμένες Το σημείο - Αφού - η διάμεσος και το ύψος του τριγώνου, είναι εύκολο να βρεθεί από το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο. Τότε το σημείο έχει συντεταγμένες: Βρείτε την εφαρμογή του σημείου Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Τότε παίρνουμε τις παρακάτω συντεταγμένες: Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου.

Υπολογίζουμε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων:

Απάντηση:

2. Κάνοντας ένα σχέδιο:

Το πιο δύσκολο είναι να καταλάβουμε τι είδους μυστηριώδες επίπεδο είναι, που διέρχεται από ένα σημείο κάθετα. Λοιπόν, το κύριο πράγμα είναι τι είναι αυτό; Το κύριο πράγμα είναι η προσοχή! Πράγματι, η γραμμή είναι κάθετη. Η γραμμή είναι επίσης κάθετη. Τότε το επίπεδο που διέρχεται από αυτές τις δύο ευθείες θα είναι κάθετο στη γραμμή και, παρεμπιπτόντως, θα διέρχεται από το σημείο. Αυτό το αεροπλάνο περνά επίσης από την κορυφή της πυραμίδας. Τότε το επιθυμητό αεροπλάνο - Και το αεροπλάνο μας έχει ήδη δοθεί. Αναζητούμε συντεταγμένες σημείων.

Βρίσκουμε τη συντεταγμένη του σημείου μέσα από το σημείο. Είναι εύκολο να συμπεράνουμε από ένα μικρό σχέδιο ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι οι εξής: Τι μένει τώρα να βρούμε για να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της πυραμίδας; Πρέπει ακόμα να υπολογίσετε το ύψος του. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας το ίδιο Πυθαγόρειο θεώρημα: πρώτα, να αποδείξετε ότι (τετριμμένα από μικρά τρίγωνα που σχηματίζουν ένα τετράγωνο στη βάση). Εφόσον κατά συνθήκη, έχουμε:

Τώρα όλα είναι έτοιμα: συντεταγμένες κορυφής:

Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου:

Είστε ήδη ειδικός στον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων. Εύκολα θα λάβετε:

Ή αλλιώς (αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη με τη ρίζα του δύο)

Τώρα ας βρούμε την εξίσωση του επιπέδου:

(Δεν ξεχάσατε πώς παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου, σωστά; Αν δεν καταλαβαίνετε από πού προήλθε αυτό το μείον ένα, τότε επιστρέψτε στον ορισμό της εξίσωσης του επιπέδου! Απλώς πάντα αποδείχτηκε ότι το αεροπλάνο ανήκε στην προέλευση!)

Υπολογίζουμε την ορίζουσα:

(Μπορεί να παρατηρήσετε ότι η εξίσωση του επιπέδου συνέπεσε με την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και! Σκεφτείτε γιατί!)

Τώρα υπολογίζουμε τη γωνία:

Πρέπει να βρούμε το ημίτονο:

Απάντηση:

3. Μια δύσκολη ερώτηση: τι είναι ορθογώνιο πρίσμα, πώς νομίζετε? Είναι απλά ένα γνωστό παραλληλεπίπεδο σε εσάς! Ζωγραφίζοντας αμέσως! Δεν μπορείτε ακόμη και να απεικονίσετε ξεχωριστά τη βάση, υπάρχει λίγη χρήση από αυτό εδώ:

Το επίπεδο, όπως σημειώσαμε νωρίτερα, γράφεται ως εξίσωση:

Τώρα φτιάχνουμε ένα αεροπλάνο

Συνθέτουμε αμέσως την εξίσωση του επιπέδου:

Ψάχνοντας για μια γωνία

Τώρα οι απαντήσεις στα δύο τελευταία προβλήματα:

Λοιπόν, τώρα είναι η ώρα να κάνετε ένα διάλειμμα, γιατί εσείς και εγώ είμαστε υπέροχοι και έχουμε κάνει εξαιρετική δουλειά!

Συντεταγμένες και διανύσματα. Προχωρημένο επίπεδο

Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε μαζί σας μια άλλη κατηγορία προβλημάτων που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συντεταγμένων: προβλήματα απόστασης. Δηλαδή, θα εξετάσουμε επόμενες περιπτώσεις:

1. Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών.

Έχω παραγγείλει τις συγκεκριμένες εργασίες καθώς αυξάνεται η πολυπλοκότητά τους. Το πιο εύκολο είναι να το βρεις απόσταση από σημείο σε επίπεδοκαι το πιο δύσκολο είναι να βρεις απόσταση μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Αν και, φυσικά, τίποτα δεν είναι ακατόρθωτο! Ας μην χρονοτριβούμε και ας προχωρήσουμε αμέσως στην εξέταση της πρώτης κατηγορίας προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης από ένα σημείο σε ένα επίπεδο

Τι χρειαζόμαστε για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα;

1. Συντεταγμένες σημείων

Έτσι, μόλις λάβουμε όλα τα απαραίτητα δεδομένα, εφαρμόζουμε τον τύπο:

Θα πρέπει να γνωρίζετε ήδη πώς κατασκευάζουμε την εξίσωση του επιπέδου από τα προηγούμενα προβλήματα που ανέλυσα στο τελευταίο μέρος. Ας ασχοληθούμε αμέσως. Το σχήμα έχει ως εξής: 1, 2 - Σας βοηθάω να αποφασίσετε, και με κάποιες λεπτομέρειες, 3, 4 - μόνο η απάντηση, παίρνετε την απόφαση μόνοι σας και συγκρίνετε. Ξεκίνησε!

Καθήκοντα:

1. Δίνεται ένας κύβος. Το μήκος της άκρης του κύβου είναι Βρείτε-δι-τε απόσταση από σε-ρε-ντι-νυ από κομμένο σε επίπεδο

2. Δεδομένου του δεξιού-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe άκρη εκατοντάδα-ro-on το os-no-va-nia είναι ίσο. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε ένα επίπεδο όπου - se-re-di-στις ακμές.

3. Στο δεξιό τριγωνικό pi-ra-mi-de με os-but-va-ni-em, το άλλο άκρο είναι ίσο, και εκατό-ro-on os-no-va-niya είναι ίσο. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από την κορυφή στο επίπεδο.

4. Στο δεξιόστροφο εξαανθρακικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι ίσες. Βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

Λύσεις:

1. Σχεδιάστε έναν κύβο με μονές άκρες, φτιάξτε ένα τμήμα και ένα επίπεδο, συμβολίστε το μέσο του τμήματος με το γράμμα

.

Αρχικά, ας ξεκινήσουμε με ένα εύκολο: βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου. Από τότε (θυμηθείτε τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος!)

Τώρα συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου σε τρία σημεία

\[\αριστερά| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Τώρα μπορώ να αρχίσω να βρίσκω την απόσταση:

2. Ξεκινάμε ξανά με ένα σχέδιο, στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα!

Για μια πυραμίδα, θα ήταν χρήσιμο να σχεδιάσετε τη βάση της ξεχωριστά.

Ακόμα και το γεγονός ότι ζωγραφίζω σαν πόδι κοτόπουλου δεν θα μας εμποδίσει να λύσουμε εύκολα αυτό το πρόβλημα!

Τώρα είναι εύκολο να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου

Αφού οι συντεταγμένες του σημείου

2. Αφού οι συντεταγμένες του σημείου α είναι το μέσο του τμήματος, τότε

Μπορούμε εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες δύο ακόμη σημείων στο επίπεδο.Συνθέτουμε την εξίσωση του επιπέδου και την απλοποιούμε:

\[\αριστερά| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(πίνακας)) \right|) \right| = 0\]

Εφόσον το σημείο έχει συντεταγμένες: , τότε υπολογίζουμε την απόσταση:

Απάντηση (πολύ σπάνια!):

Λοιπόν, κατάλαβες; Μου φαίνεται ότι όλα εδώ είναι εξίσου τεχνικά όπως στα παραδείγματα που εξετάσαμε μαζί σας στο προηγούμενο μέρος. Είμαι λοιπόν βέβαιος ότι αν έχετε κατακτήσει αυτό το υλικό, τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να λύσετε τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Θα σου δώσω μόνο τις απαντήσεις:

Υπολογισμός της απόστασης από γραμμή σε επίπεδο

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα νέο εδώ. Πώς μπορούν να εντοπιστούν μια γραμμή και ένα επίπεδο το ένα σε σχέση με το άλλο; Έχουν όλες τις δυνατότητες: να τέμνονται, ή μια ευθεία είναι παράλληλη με το επίπεδο. Ποια πιστεύετε ότι είναι η απόσταση από την ευθεία μέχρι το επίπεδο με το οποίο τέμνεται η δεδομένη ευθεία; Μου φαίνεται ότι είναι σαφές ότι μια τέτοια απόσταση είναι ίση με μηδέν. Μη ενδιαφέρουσα υπόθεση.

Η δεύτερη περίπτωση είναι πιο δύσκολη: εδώ η απόσταση είναι ήδη μη μηδενική. Ωστόσο, εφόσον η ευθεία είναι παράλληλη προς το επίπεδο, τότε κάθε σημείο της ευθείας απέχει από αυτό το επίπεδο:

Με αυτόν τον τρόπο:

Και αυτό σημαίνει ότι το καθήκον μου έχει μειωθεί στο προηγούμενο: ψάχνουμε για τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στη γραμμή, ψάχνουμε την εξίσωση του επιπέδου, υπολογίζουμε την απόσταση από το σημείο στο επίπεδο. Στην πραγματικότητα, τέτοιες εργασίες στις εξετάσεις είναι εξαιρετικά σπάνιες. Κατάφερα να βρω μόνο ένα πρόβλημα και τα δεδομένα σε αυτό ήταν τέτοια που η μέθοδος συντεταγμένων δεν ήταν πολύ εφαρμόσιμη σε αυτό!

Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια άλλη, πολύ πιο σημαντική κατηγορία προβλημάτων:

Υπολογισμός της απόστασης ενός σημείου σε μια γραμμή

Τι θα χρειαστούμε;

1. Οι συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή

3. Συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας

Τι φόρμουλα χρησιμοποιούμε;

Τι σημαίνει για εσάς ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος και έτσι θα πρέπει να είναι σαφές: αυτό είναι το μήκος του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας. Εδώ είναι ένας πολύ δύσκολος αριθμητής! Η έκφραση σημαίνει τη μονάδα (μήκος) του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων και Πώς να υπολογίσετε το διανυσματικό γινόμενο, μελετήσαμε στο προηγούμενο μέρος της εργασίας. Ανανεώστε τις γνώσεις σας, θα μας είναι πολύ χρήσιμο τώρα!

Έτσι, ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι ο εξής:

1. Αναζητούμε τις συντεταγμένες του σημείου από το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

2. Αναζητούμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας προς το οποίο αναζητούμε την απόσταση:

3. Κατασκευή ενός φορέα

4. Κατασκευάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας

5. Υπολογίστε το διασταυρούμενο γινόμενο

6. Αναζητούμε το μήκος του διανύσματος που προκύπτει:

7. Υπολογίστε την απόσταση:

Έχουμε πολλή δουλειά, και τα παραδείγματα θα είναι αρκετά σύνθετα! Εστιάστε λοιπόν τώρα όλη σας την προσοχή!

1. Το Dana είναι ένα δεξιόστροφο τριγωνικό pi-ra-mi-da με κορυφή. Εκατό-ρο-ον το os-no-va-niya pi-ra-mi-dy είναι ίσο, το you-so-ta είναι ίσο. Βρείτε-δι-εκείνες τις αποστάσεις από το σε-ρε-ντι-νυ του μπο-κο-ου άκρου στην ευθεία γραμμή, όπου τα σημεία και είναι τα σε-ρε-ντι-νυ των νευρώσεων και συν-από- βετ. -στβεν-αλλά.

2. Τα μήκη των νευρώσεων και της ορθής γωνίας-no-para-ral-le-le-pi-pe-da είναι ίσα, αντίστοιχα, και η απόσταση Find-di-te από top-shi-ny έως straight-my

3. Στο δεξιό πρίσμα έξι άνθρακα, όλες οι άκρες ενός σμήνους είναι ίσες, βρείτε-δι-αυτές τις αποστάσεις από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή

Λύσεις:

1. Κάνουμε ένα προσεγμένο σχέδιο, στο οποίο σημειώνουμε όλα τα δεδομένα:

Έχουμε πολλή δουλειά για εσάς! Θα ήθελα πρώτα να περιγράψω με λόγια τι θα αναζητήσουμε και με ποια σειρά:

1. Συντεταγμένες σημείων και

2. Συντεταγμένες σημείων

3. Συντεταγμένες σημείων και

4. Συντεταγμένες διανυσμάτων και

5. Το σταυρωτό γινόμενο τους

6. Διάνυσμα μήκος

7. Το μήκος του γινομένου του διανύσματος

8. Απόσταση από έως

Λοιπόν, έχουμε πολλή δουλειά να κάνουμε! Ας σηκώσουμε τα μανίκια!

1. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του ύψους της πυραμίδας πρέπει να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου, η εφαρμογή της είναι μηδέν και η τεταγμένη ίση με την τετμημένη της. Τελικά, πήραμε τις συντεταγμένες:

Συντεταγμένες σημείων

2. - μέση του τμήματος

3. - το μέσο του τμήματος

μεσαίο σημείο

4.Συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

5. Υπολογίστε το διανυσματικό γινόμενο:

6. Το μήκος του διανύσματος: ο ευκολότερος τρόπος είναι να αντικαταστήσετε ότι το τμήμα είναι η μέση γραμμή του τριγώνου, που σημαίνει ότι είναι ίσο με το μισό της βάσης. Ετσι ώστε.

7. Θεωρούμε το μήκος του γινομένου του διανύσματος:

8. Τέλος, βρείτε την απόσταση:

Φεφ, αυτό είναι όλο! Θα σας πω ειλικρινά: η λύση σε αυτό το πρόβλημα παραδοσιακές μεθόδους(μέσω builds) θα ήταν πολύ πιο γρήγορο. Εδώ όμως μείωσα τα πάντα σε έναν έτοιμο αλγόριθμο! Νομίζω ότι σας είναι ξεκάθαρος ο αλγόριθμος λύσης; Ως εκ τούτου, θα σας ζητήσω να λύσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα δύο προβλήματα. Συγκρίνετε τις απαντήσεις;

Και πάλι, επαναλαμβάνω: είναι πιο εύκολο (γρηγορότερο) να λυθούν αυτά τα προβλήματα μέσω κατασκευών, παρά να καταφύγουμε σε μέθοδος συντεταγμένων. Έχω δείξει αυτή τη λύση μόνο για να σας δείξω καθολική μέθοδος, που επιτρέπει «να μην ολοκληρωθεί τίποτα».

Τέλος, σκεφτείτε τελευταία τάξηκαθήκοντα:

Υπολογισμός της απόστασης μεταξύ λοξών γραμμών

Εδώ ο αλγόριθμος για την επίλυση προβλημάτων θα είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Τι έχουμε:

3. Κάθε διάνυσμα που συνδέει τα σημεία της πρώτης και της δεύτερης γραμμής:

Πώς βρίσκουμε την απόσταση μεταξύ των γραμμών;

Ο τύπος είναι:

Ο αριθμητής είναι το δομοστοιχείο του μικτού γινόμενου (το εισαγάγαμε στο προηγούμενο μέρος) και ο παρονομαστής είναι ο ίδιος όπως στον προηγούμενο τύπο (η ενότητα του διανυσματικού γινόμενου των κατευθυνόμενων διανυσμάτων των γραμμών, η απόσταση μεταξύ των οποίων αναζητούν).

Θα σας το υπενθυμίσω

έπειτα ο τύπος απόστασης μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

Διαιρέστε αυτήν την ορίζουσα με την ορίζουσα! Αν και, για να είμαι ειλικρινής, εδώ δεν έχω διάθεση για αστεία! Αυτή η φόρμουλα, στην πραγματικότητα, είναι πολύ δυσκίνητο και οδηγεί σε μάλλον περίπλοκους υπολογισμούς. Αν ήμουν στη θέση σου, θα το χρησιμοποιούσα μόνο ως έσχατη λύση!

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά προβλήματα χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο:

1. Στο δεξιό τριγωνικό πρίσμα, όλες οι ακμές είναι κατά κάποιο τρόπο ίσες, βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών και.

2. Δεδομένου ενός δεξιού μπροστινού τριγωνικού πρίσματος, όλες οι άκρες του os-no-va-niya κάποιου είναι ίσες με το Se-che-tion, περνώντας από την άλλη πλευρά και οι νευρώσεις se-re-di-nu είναι yav-la-et-sya τετράγωνο-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie μεταξύ straight-we-mi και

Εγώ αποφασίζω το πρώτο και με βάση αυτό αποφασίζεις εσύ το δεύτερο!

1. Σχεδιάζω ένα πρίσμα και σημειώνω τις γραμμές και

Συντεταγμένες του σημείου Γ: τότε

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Συντεταγμένες σημείων

Διανυσματικές συντεταγμένες

Διανυσματικές συντεταγμένες

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \δεξιά) = \αριστερά| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (γ))0&0&1\end(πίνακας))\\(\αρχή(πίνακας)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Θεωρούμε το διασταυρούμενο γινόμενο μεταξύ των διανυσμάτων και

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \αριστερά| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Τώρα εξετάζουμε το μήκος του:

Απάντηση:

Τώρα προσπαθήστε να ολοκληρώσετε προσεκτικά τη δεύτερη εργασία. Η απάντηση σε αυτό θα είναι:.

Συντεταγμένες και διανύσματα. Σύντομη περιγραφή και βασικοί τύποι

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. - η αρχή του διανύσματος, - το τέλος του διανύσματος.
Το διάνυσμα συμβολίζεται με ή.

Απόλυτη τιμήδιάνυσμα - το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα. Ορίζεται ως.

Διανυσματικές συντεταγμένες:

,
πού είναι τα άκρα του διανύσματος \displaystyle a .

Άθροισμα διανυσμάτων: .

Το γινόμενο των διανυσμάτων:

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία. ΣΤΟ περιγραφική γεωμετρίαορίζεται γραφικάσύμφωνα με τον παρακάτω αλγόριθμο.

Αλγόριθμος

1. Η ευθεία μεταφέρεται σε μια θέση στην οποία θα είναι παράλληλη με οποιοδήποτε επίπεδο προβολής. Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε τις μεθόδους μετασχηματισμού των ορθογώνιων προβολών.
2. Σχεδιάστε μια κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία. Στον πυρήνα αυτή η κατασκευήείναι το θεώρημα προβολής ορθής γωνίας.
3. Το μήκος μιας καθέτου προσδιορίζεται μετατρέποντας τις προεξοχές της ή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου.

Το παρακάτω σχήμα είναι ένα σύνθετο σχέδιο του σημείου M και της ευθείας b, δίνεται από το τμήμα CD. Πρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ τους.

Σύμφωνα με τον αλγόριθμό μας, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να μετακινήσουμε τη γραμμή σε θέση παράλληλη προς το επίπεδο προβολής. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι μετά τους μετασχηματισμούς, η πραγματική απόσταση μεταξύ του σημείου και της γραμμής δεν πρέπει να αλλάξει. Γι' αυτό είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε εδώ τη μέθοδο αντικατάστασης επιπέδου, η οποία δεν περιλαμβάνει κινούμενες φιγούρες στο χώρο.

Τα αποτελέσματα του πρώτου σταδίου των κατασκευών φαίνονται παρακάτω. Το σχήμα δείχνει πώς ένα πρόσθετο μετωπικό επίπεδο P 4 εισάγεται παράλληλα στο b. ΣΤΟ νέο σύστημα(P 1 , P 4) τα σημεία C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον άξονα Χ 1 με τα C"", D"", M"" από τον άξονα Χ.

Εκτελώντας το δεύτερο μέρος του αλγορίθμου, από το M"" 1 κατεβάζουμε την κάθετη M"" 1 N"" 1 στην ευθεία b"" 1, αφού η ορθή γωνία MND μεταξύ b και MN προβάλλεται στο επίπεδο P 4 σε πλήρες μέγεθος. Καθορίζουμε τη θέση του σημείου Ν" κατά μήκος της γραμμής επικοινωνίας και σχεδιάζουμε την προβολή Μ"Ν" του τμήματος ΜΝ.

Στο τελικό στάδιοείναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή του τμήματος MN από τις προβολές του M"N" και M"" 1 N"" 1 . Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο M"" 1 N"" 1 N 0, στο οποίο το σκέλος N"" 1 N 0 ισούται με τη διαφορά (Y M 1 - Y N 1) της αφαίρεσης των σημείων M "και Ν" από τον άξονα Χ 1. Το μήκος της υποτείνουσας M"" 1 N 0 του τριγώνου M"" 1 N"" 1 N 0 αντιστοιχεί στην επιθυμητή απόσταση από το M στο b.

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης

• Παράλληλα με το CD εισάγουμε ένα νέο μετωπικό επίπεδο П 4 . Τέμνει το P 1 κατά μήκος του άξονα X 1 και το X 1 ∥C"D". Σύμφωνα με τη μέθοδο αντικατάστασης των επιπέδων, προσδιορίζουμε τις προβολές των σημείων C "" 1, D"" 1 και M"" 1, όπως φαίνεται στο σχήμα.
• Κάθετα στο Γ"" 1 Δ"" 1 χτίζουμε ένα επιπλέον οριζόντιο επίπεδο P 5, στην οποία η ευθεία b προβάλλεται στο σημείο C "2 = b" 2.
• Η απόσταση μεταξύ του σημείου M και της ευθείας b προσδιορίζεται από το μήκος του τμήματος M "2 C" 2 που σημειώνεται με κόκκινο χρώμα.

Σχετικές εργασίες:

Oh-oh-oh-oh-oh ... καλά, είναι τσίγκινο, σαν να διαβάζεις την πρόταση στον εαυτό σου =) Ωστόσο, τότε η χαλάρωση θα βοηθήσει, ειδικά επειδή αγόρασα κατάλληλα αξεσουάρ σήμερα. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω, μέχρι το τέλος του άρθρου να κρατήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Αμοιβαία διάταξη δύο ευθειών

Η περίπτωση που η αίθουσα τραγουδάει μαζί σε χορωδία. Δύο γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : παρακαλώ θυμηθείτε μαθηματικό σημάδιδιασταύρωση, θα συμβεί πολύ συχνά. Η καταχώρηση σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με την ευθεία στο σημείο.

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο γραμμές συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει τέτοιος αριθμός «λάμδα» που οι ισότητες

Ας εξετάσουμε ευθείες γραμμές και ας συνθέσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με -1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης μειωθεί κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους στις μεταβλητές είναι ανάλογοι: , αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι σαφές ότι .

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να πληρούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα συνθέσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές στις μεταβλητές δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σχήμα λύσεων που μόλις εξετάστηκε. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ παρόμοιος με τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στο μάθημα. Η έννοια της γραμμικής (μη) εξάρτησης διανυσμάτων. Διανυσματική βάση. Αλλά υπάρχει ένα πιο πολιτισμένο πακέτο:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με δείκτες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και συνεχίζουν, κατευθείαν στο Kashchei the Deathless =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε ίδιες. Εδώ η ορίζουσα δεν είναι απαραίτητη.

Προφανώς οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, ενώ .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Με αυτόν τον τρόπο,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουν.

Ο παράγοντας αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτή η εξίσωση(ταιριάζει σε οποιοδήποτε νούμερο γενικά).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το εξεταζόμενο πρόβλημα προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα λόγο να προσφέρω κάτι για μια ανεξάρτητη λύση, είναι καλύτερο να βάλετε ένα ακόμη σημαντικό τούβλο στο γεωμετρικό θεμέλιο:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού η απλούστερη εργασίατιμωρεί αυστηρά τον Αηδόνι τον Ληστή.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Δηλώστε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτό; Η γραμμή διέρχεται από το σημείο. Και αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας «ce» είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας «de».

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Η γεωμετρία του παραδείγματος φαίνεται απλή:

Η αναλυτική επαλήθευση αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν είναι σωστά απλοποιημένη, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Η αναλυτική επαλήθευση στις περισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί προφορικά. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα καταλάβετε γρήγορα πώς οι ευθείες είναι παράλληλες χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για αυτολύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης των κάθε λογής γρίφους.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι πολύ λογικός τρόπος επίλυσης. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Κάναμε μια μικρή δουλειά με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν είναι λίγο ενδιαφέρον, γι' αυτό σκεφτείτε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Εδώ είναι για σας γεωμετρική σημασίαδύο γραμμικές εξισώσειςμε δύο αγνώστουςείναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) ευθείες σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Γραφικός τρόποςείναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες του σε κάθε εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι η λύση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, εξετάσαμε έναν γραφικό τρόπο επίλυσης συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αισθητά μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης δημοτικού αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να γίνει μια σωστή και ΑΚΡΙΒΗ ζωγραφική. Επιπλέον, ορισμένες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής αναλυτική μέθοδος. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ορολογικής πρόσθεσης εξισώσεων. Για να αναπτύξετε τις σχετικές δεξιότητες, επισκεφθείτε το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Η επαλήθευση είναι ασήμαντη - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Είναι βολικό να χωρίσετε το πρόβλημα σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλούς γεωμετρικά προβλήματα, και θα επικεντρωθώ σε αυτό επανειλημμένα.

Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ένα ζευγάρι παπούτσια δεν έχει ακόμη φθαρεί, καθώς φτάσαμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ των γραμμών

Ας ξεκινήσουμε με ένα τυπικό και πολύ σημαντικό έργο. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και τώρα η καλύβα στα πόδια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να σχεδιάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση . Να γράψετε μια εξίσωση για μια κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο.

Λύση: Είναι γνωστό με την υπόθεση ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας με ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα:

Απάντηση:

Ας ξεδιπλώσουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Εξάγετε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνσυμπεραίνουμε ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε εάν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Η επαλήθευση, πάλι, είναι εύκολο να εκτελεστεί προφορικά.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών, αν η εξίσωση είναι γνωστή και τελεία.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Υπάρχουν πολλές ενέργειες στην εργασία, επομένως είναι βολικό να τακτοποιήσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Μας ένα διασκεδαστικό ταξίδισυνεχίζει:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν με τον συντομότερο τρόπο. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα "ro", για παράδειγμα: - η απόσταση από το σημείο "em" έως την ευθεία "de".

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να κάνετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν κάνετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. \u003d 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Εξετάστε μια άλλη εργασία σύμφωνα με το ίδιο σχέδιο:

Η εργασία είναι να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου, το οποίο είναι συμμετρικό στο σημείο ως προς τη γραμμή . Προτείνω να εκτελέσετε τις ενέργειες μόνοι σας, ωστόσο, θα ορίσω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη σε μια ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματοςεύρημα .

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης ίση με 2,2 μονάδες.

Εδώ μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς, αλλά στον πύργο ένας μικροϋπολογιστής βοηθάει πολύ, επιτρέποντάς σας να μετράτε κοινά κλάσματα. Το έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα το προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι επίλυσης. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά καλύτερα προσπαθήστε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι καταφέρατε να διασκορπίσετε καλά την εφευρετικότητά σας.

Γωνία μεταξύ δύο γραμμών

Όποια κι αν είναι η γωνία, τότε το τζάμπ:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμένακατακόκκινη γωνία.

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση της "κύλισης" της γωνίας είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα, εάν .

Γιατί το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορείτε να τα βγάλετε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Το γεγονός είναι ότι στους τύπους με τους οποίους θα βρούμε τις γωνίες, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αρνητικό αποτέλεσμακαι δεν πρέπει να σας εκπλήσσει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο για αρνητική γωνίαφροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του (δεξιόστροφα) με ένα βέλος.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο γραμμών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

Λύσηκαι Μέθοδος ένα

Εξετάστε δύο γραμμές δίνονται με εξισώσειςγενικά:

Αν ευθεία όχι κάθετη, έπειτα προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Πλέον μεγάλη προσοχήγυρίστε στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνδιανύσματα κατεύθυνσης ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου εξαφανίζεται και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των γραμμών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, η λύση επισημοποιείται εύκολα σε δύο βήματα:

1) Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο των κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:
οπότε οι ευθείες δεν είναι κάθετες.

2) Βρίσκουμε τη γωνία μεταξύ των γραμμών με τον τύπο:

Με τη χρήση αντίστροφη συνάρτησηεύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης του τόξου (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντηση, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και την κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και σε ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, άρα μείον, δεν πειράζει. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στην κατάσταση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και η "στρέψη" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς από αυτήν.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις ευθείες γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση . Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.