Τετράγωνα σχήματα.
Σημασία των μορφών. Το κριτήριο του Sylvester

Το επίθετο "τετράγωνο" υποδηλώνει αμέσως ότι κάτι εδώ συνδέεται με ένα τετράγωνο (δεύτερου βαθμού), και πολύ σύντομα θα μάθουμε αυτό το "κάτι" και τι είναι μια μορφή. Βγήκε αμέσως :)

Καλώς ήρθατε στο νέο μου μάθημα, και ως άμεση προθέρμανση, θα δούμε το ριγέ σχήμα γραμμικός. Γραμμική μορφή μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςΠολυώνυμο 1ου βαθμού:

- κάποιοι συγκεκριμένοι αριθμοί * (υποθέτουμε ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το μηδέν), και είναι μεταβλητές που μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές.

* Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε μόνο πραγματικούς αριθμούς .

Έχουμε ήδη συναντήσει τον όρο «ομογενής» στο μάθημα για ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων, και σε αυτή την περίπτωση σημαίνει ότι το πολυώνυμο δεν έχει προστιθέμενη σταθερά .

Για παράδειγμα: – γραμμική μορφή δύο μεταβλητών

Τώρα το σχήμα είναι τετραγωνικό. τετραγωνική μορφή μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού, κάθε όρος του οποίουπεριέχει είτε το τετράγωνο της μεταβλητής είτε διπλόγινόμενο μεταβλητών. Έτσι, για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών έχει την ακόλουθη μορφή:

Προσοχή!Αυτή είναι μια τυπική καταχώρηση και δεν χρειάζεται να αλλάξετε τίποτα σε αυτήν! Παρά την "τρομερή" εμφάνιση, όλα είναι απλά εδώ - διπλοί δείκτης σταθερών σηματοδοτούν ποιες μεταβλητές περιλαμβάνονται σε έναν ή τον άλλο όρο:
– αυτός ο όρος περιέχει το προϊόν και (τετράγωνο)·
- εδώ είναι η δουλειά.
- και εδώ είναι το έργο.

- Προβλέπω αμέσως ένα χονδροειδές λάθος όταν χάνουν το «μείον» του συντελεστή, μη συνειδητοποιώντας ότι αναφέρεται στον όρο:

Μερικές φορές υπάρχει μια "σχολική" εκδοχή του σχεδίου στο πνεύμα, αλλά μόνο μερικές φορές. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι οι σταθερές εδώ δεν μας λένε απολύτως τίποτα και επομένως είναι πιο δύσκολο να θυμηθούμε την "εύκολη σημειογραφία". Ειδικά όταν υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές.

Και η τετραγωνική μορφή τριών μεταβλητών περιέχει ήδη έξι όρους:

... γιατί μπαίνουν «δύο» πολλαπλασιαστές στους «μεικτούς» όρους; Αυτό είναι βολικό και σύντομα θα γίνει σαφές γιατί.

Ωστόσο, θα γράψουμε τον γενικό τύπο, είναι βολικό να το κανονίσουμε με ένα "φύλλο":

- μελετήστε προσεκτικά κάθε γραμμή - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό!

Η τετραγωνική μορφή περιέχει όρους με τετραγωνισμένες μεταβλητές και όρους με τα γινόμενα ζεύγους τους (εκ. συνδυαστικός τύπος συνδυασμών) . Τίποτα άλλο - όχι "μοναχικό x" και καμία προστιθέμενη σταθερά (τότε δεν παίρνετε μια τετραγωνική μορφή, αλλά ετερογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού).

Σημειογραφία μήτρας τετραγωνικής μορφής

Ανάλογα με τις τιμές, η εξεταζόμενη μορφή μπορεί να λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές και το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε γραμμική μορφή - εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές της είναι μη μηδενικός, τότε μπορεί να αποδειχθεί θετικός ή αρνητικός (ανάλογα στις αξίες).

Αυτή η μορφή ονομάζεται εναλλασσόμενος. Και αν όλα είναι διαφανή με τη γραμμική μορφή, τότε τα πράγματα είναι πολύ πιο ενδιαφέροντα με την τετραγωνική μορφή:

Είναι ξεκάθαρο ότι αυτή η μορφή μπορεί να πάρει τις τιμές οποιουδήποτε σημείου, επομένως, η τετραγωνική μορφή μπορεί επίσης να είναι εναλλασσόμενη.

Μπορεί να μην είναι:

– πάντα, εκτός αν και τα δύο είναι ίσα με μηδέν.

- Για οποιονδηποτε διάνυσμαεκτός από το μηδέν.

Και γενικά μιλώντας,αν για κανένα μη μηδενικόδιάνυσμα , , τότε ονομάζεται η τετραγωνική μορφή θετική οριστική; αν τότε αρνητική οριστική.

Και όλα θα ήταν καλά, αλλά η βεβαιότητα της τετραγωνικής μορφής είναι ορατή μόνο σε απλά παραδείγματα, και αυτή η ορατότητα έχει ήδη χαθεί με μια μικρή περιπλοκή:
– ?

Θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι η μορφή ορίζεται θετικά, αλλά είναι πράγματι έτσι; Ξαφνικά υπάρχουν τιμές στις οποίες είναι μικρότερη από το μηδέν;

Για αυτόν τον λογαριασμό, εκεί θεώρημα: Αν όλοι ιδιοτιμέςΟι πίνακες τετραγωνικής μορφής είναι θετικοί * , τότε ορίζεται θετικά. Αν όλα είναι αρνητικά, τότε είναι αρνητικά.

* Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι όλες οι ιδιοτιμές ενός πραγματικού συμμετρικού πίνακα έγκυρος

Ας γράψουμε τον πίνακα της παραπάνω φόρμας:
και από την εξίσωση ας τη βρούμε ιδιοτιμές:

Λύνουμε το παλιό καλό τετραγωνική εξίσωση:

, άρα η μορφή ορίζεται θετικά, δηλ. για οποιεσδήποτε μη μηδενικές τιμές, είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Η εξεταζόμενη μέθοδος φαίνεται να λειτουργεί, αλλά υπάρχει ένα μεγάλο ΑΛΛΑ. Ήδη για τον πίνακα "τρία επί τρία", η αναζήτηση ιδιοτιμών είναι μια μακρά και δυσάρεστη εργασία. με μεγάλη πιθανότητα παίρνετε πολυώνυμο 3ου βαθμού με παράλογες ρίζες.

Πώς να είσαι; Υπάρχει πιο εύκολος τρόπος!

Το κριτήριο του Sylvester

Όχι, όχι Sylvester Stallone :) Αρχικά, να σας θυμίσω τι γωνιακά ανήλικαμήτρες. το καθοριστικές που «φυτρώνουν» από την επάνω αριστερή γωνία του:

και η τελευταία είναι ακριβώς ίση με την ορίζουσα του πίνακα.

Τώρα, στην πραγματικότητα, κριτήριο:

1) Ορίζεται τετραγωνική μορφή θετικώςαν και μόνο αν ΟΛΕΣ οι γωνιακές ελάσσονες του είναι μεγαλύτερες από το μηδέν: .

2) Ορίζεται τετραγωνική μορφή αρνητικόςαν και μόνο αν τα γωνιακά ελάσσονα του εναλλάσσονται στο πρόσημο, ενώ η 1η ελάσσονα είναι μικρότερη από το μηδέν: , , αν είναι άρτιο ή , αν είναι περιττό.

Αν τουλάχιστον ένα γωνιακό μικρό έχει το αντίθετο πρόσημο, τότε η μορφή εναλλασσόμενη πινακίδα. Εάν τα γωνιακά δευτερεύοντα είναι του πρόσημου «εκείνου», αλλά υπάρχουν μηδενικά μεταξύ τους, τότε αυτή είναι μια ειδική περίπτωση, την οποία θα αναλύσω λίγο αργότερα, αφού κάνουμε κλικ σε πιο συνηθισμένα παραδείγματα.

Ας αναλύσουμε τα γωνιακά ελάσσονα του πίνακα :

Και αυτό μας λέει αμέσως ότι η μορφή δεν καθορίζεται αρνητικά.

συμπέρασμα: όλες οι δευτερεύουσες γωνίες είναι μεγαλύτερες από το μηδέν, άρα το σχήμα ορίζεται θετικά.

Υπάρχει διαφορά με τη μέθοδο ιδιοτιμής; ;)

Γράφουμε τον πίνακα σχήματος από Παράδειγμα 1:

το πρώτο του γωνιακό μικρό, και το δεύτερο , από όπου προκύπτει ότι η μορφή είναι εναλλασσόμενη, δηλ. ανάλογα με τις τιμές, μπορεί να πάρει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Ωστόσο, αυτό είναι τόσο προφανές.

Πάρτε τη φόρμα και τον πίνακα της από Παράδειγμα 2:

εδώ καθόλου χωρίς διορατικότητα να μην καταλάβω. Αλλά με το κριτήριο Sylvester, δεν μας ενδιαφέρει:
, επομένως η μορφή δεν είναι σίγουρα αρνητική.

, και σίγουρα όχι θετικό. (επειδή όλα τα δευτερεύοντα γωνία πρέπει να είναι θετικά).

συμπέρασμα: το σχήμα εναλλάσσεται.

Παραδείγματα προθέρμανσης για αυτολύση:

Παράδειγμα 4

Διερεύνηση τετραγωνικών μορφών για προσδιορισμό προσήμου

ένα)

Σε αυτά τα παραδείγματα, όλα είναι ομαλά (δείτε το τέλος του μαθήματος), αλλά στην πραγματικότητα, για να ολοκληρώσετε μια τέτοια εργασία Το κριτήριο του Sylvester μπορεί να μην είναι αρκετό.

Το θέμα είναι ότι υπάρχουν «οριακές» περιπτώσεις, δηλαδή: εάν υπάρχουν μη μηδενικόδιάνυσμα , τότε ορίζεται το σχήμα μη αρνητικό, αν τότε μη θετικό. Αυτές οι μορφές έχουν μη μηδενικόδιανύσματα για τα οποία .

Εδώ μπορείτε να φέρετε ένα τέτοιο "κουμπί ακορντεόν":

Επισήμανση πλήρες τετράγωνο, βλέπουμε αμέσως μη αρνητικότηταμορφή: , επιπλέον, ισούται με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα με ίσες συντεταγμένες, για παράδειγμα: .

Παράδειγμα "Mirror". μη θετικόορισμένη μορφή:

και ένα ακόμη πιο ασήμαντο παράδειγμα:
– εδώ η μορφή είναι ίση με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα , όπου είναι ένας αυθαίρετος αριθμός.

Πώς να αποκαλύψετε τη μη αρνητικότητα ή τη μη θετικότητα μιας φόρμας;

Για αυτό χρειαζόμαστε την ιδέα μεγάλα ανήλικα μήτρες. Το κύριο δευτερεύον είναι ένα δευτερεύον που αποτελείται από στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση γραμμών και στηλών με τους ίδιους αριθμούς. Άρα, ο πίνακας έχει δύο κύριες δευτερεύουσες της 1ης τάξης:
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 1ης σειράς και της 1ης στήλης).
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 2ης σειράς και της 2ης στήλης),

και ένα μεγάλο δευτερεύον 2ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.

Matrix "τρία επί τρία" Υπάρχουν επτά κύριοι ανήλικοι και εδώ πρέπει ήδη να κουνήσετε τους δικέφαλους σας:
- τρία ανήλικα 1ης τάξης,
τρεις ανήλικοι 2ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 3ης σειράς και 1ης, 3ης στήλης.
- αποτελείται από στοιχεία της 2ης, 3ης σειράς και 2ης, 3ης στήλης,
και ένα μικρό 3ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης, 3ης σειράς και 1ης, 2ης και 3ης στήλης.
Ασκησηγια κατανόηση: γράψτε όλα τα κύρια δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα .
Ελέγχουμε στο τέλος του μαθήματος και συνεχίζουμε.

Κριτήριο Schwarzenegger:

1) Ορίζεται μη μηδενική* τετραγωνική μορφή μη αρνητικόεάν και μόνο εάν ΟΛΟΙ οι κύριοι ανήλικοι του μη αρνητικό(μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν).

* Η μηδενική (εκφυλισμένη) τετραγωνική μορφή έχει όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν.

2) Μη μηδενική τετραγωνική μορφή με καθορισμένο πίνακα μη θετικόεάν και μόνο εάν είναι:
– κύριοι ανήλικοι 1ης τάξης μη θετικό(μικρότερο ή ίσο με μηδέν).
είναι κύριοι ανήλικοι 2ης τάξης μη αρνητικό;
– κύριοι ανήλικοι 3ης τάξης μη θετικό(η εναλλαγή έχει αρχίσει)
…
– μείζον ελάσσονος της τάξεως μη θετικό, αν είναι περίεργο ή μη αρνητικό, αν είναι άρτιος.

Εάν τουλάχιστον ένα μικρό είναι αντίθετου πρόσημου, τότε η μορφή είναι εναλλασσόμενη.

Ας δούμε πώς λειτουργεί το κριτήριο στα παραπάνω παραδείγματα:

Ας φτιάξουμε μια μήτρα σχήματος και Πρωτα απο ολαΑς υπολογίσουμε τα γωνιακά ελάσσονα - τι γίνεται αν ορίζεται θετικά ή αρνητικά;

Οι λαμβανόμενες τιμές δεν ικανοποιούν το κριτήριο Sylvester, ωστόσο, το δεύτερο δευτερεύον όχι αρνητικό, και αυτό καθιστά απαραίτητο τον έλεγχο του 2ου κριτηρίου (στην περίπτωση του 2ου κριτηρίου δεν θα εκπληρωθεί αυτόματα, δηλαδή βγαίνει αμέσως συμπέρασμα για την εναλλαγή προσήμων του εντύπου).

Κύριοι ανήλικοι 1ης τάξης:
- είναι θετικά
2η τάξη μείζονος σημασίας:
- όχι αρνητικό.

Έτσι, ΟΛΕΣ οι κύριες δευτερεύουσες είναι μη αρνητικές, άρα η μορφή μη αρνητικό.

Ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας , για το οποίο προφανώς δεν ικανοποιείται το κριτήριο Sylvester. Δεν λάβαμε όμως και αντίθετα πρόσημα (γιατί και τα δύο γωνιακά ελάσσονα είναι ίσα με μηδέν). Επομένως, ελέγχουμε την εκπλήρωση του κριτηρίου της μη αρνητικότητας / μη θετικότητας. Κύριοι ανήλικοι 1ης τάξης:
- όχι θετικό
2η τάξη μείζονος σημασίας:
- όχι αρνητικό.

Έτσι, σύμφωνα με το κριτήριο Schwarzenegger (σημείο 2), η μορφή προσδιορίζεται μη θετικά.

Τώρα, πλήρως οπλισμένοι, θα αναλύσουμε ένα πιο διασκεδαστικό πρόβλημα:

Παράδειγμα 5

Εξετάστε την τετραγωνική μορφή για προσδιορισμό προσήμου

Αυτή η φόρμα είναι διακοσμημένη με την τάξη "άλφα", η οποία μπορεί να είναι ίση με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Αλλά θα είναι μόνο πιο διασκεδαστικό αποφασίζω.

Αρχικά, ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας, πιθανώς, πολλοί έχουν ήδη προσαρμοστεί για να το κάνουν προφορικά: on κύρια διαγώνιοβάζουμε τους συντελεστές στα τετράγωνα και στα συμμετρικά σημεία - τους μισούς συντελεστές των αντίστοιχων "μικτών" προϊόντων:

Ας υπολογίσουμε τα γωνιακά δευτερεύοντα:

Θα επεκτείνω την τρίτη ορίζουσα κατά μήκος της 3ης γραμμής:

Μια τετραγωνική μορφή είναι ένα ομοιογενές πολυώνυμο 2ου βαθμού σε πολλές μεταβλητές.

Η τετραγωνική μορφή στις μεταβλητές αποτελείται από όρους δύο τύπων: τα τετράγωνα των μεταβλητών και τα ζεύγη γινόμενα τους με ορισμένους συντελεστές. Είναι σύνηθες να γράψετε την τετραγωνική μορφή με τη μορφή του ακόλουθου τετραγωνικού σχήματος:

Τα ζεύγη ομοίων όρων γράφονται με τους ίδιους συντελεστές, έτσι ώστε ο καθένας από αυτούς να είναι ο μισός συντελεστής του αντίστοιχου γινομένου των μεταβλητών. Έτσι, κάθε τετραγωνική μορφή συνδέεται φυσικά με τον πίνακα συντελεστών του, ο οποίος είναι συμμετρικός.

Είναι επίσης βολικό να αναπαραστήσετε την τετραγωνική μορφή με τον ακόλουθο συμβολισμό πίνακα. Δηλώστε με Χ μια στήλη μεταβλητών με Χ - μια σειρά, δηλ. έναν πίνακα που μεταφέρεται με Χ. Στη συνέχεια

Οι τετραγωνικοί τύποι απαντώνται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και στις εφαρμογές τους.

Στη θεωρία αριθμών και στην κρυσταλλογραφία, οι τετραγωνικές μορφές θεωρούνται με την υπόθεση ότι οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές. Στην αναλυτική γεωμετρία, η τετραγωνική μορφή είναι μέρος της εξίσωσης μιας καμπύλης (ή επιφάνειας) τάξης. Στη μηχανική και τη φυσική, η τετραγωνική μορφή φαίνεται να εκφράζει την κινητική ενέργεια του συστήματος ως προς τις συνιστώσες των γενικευμένων ταχυτήτων κ.λπ. σε ερωτήσεις για τη λύση των οποίων είναι σημαντικό να βρούμε πώς η δεδομένη συνάρτηση που βρίσκεται κοντά στο δεδομένο σημείο αποκλίνει από τη γραμμική συνάρτηση που την προσεγγίζει. Ένα παράδειγμα ενός προβλήματος αυτού του τύπου είναι η μελέτη μιας συνάρτησης για μέγιστο και ελάχιστο.

Εξετάστε, για παράδειγμα, το πρόβλημα της εξερεύνησης του μέγιστου και του ελάχιστου για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι την τάξη. Απαραίτητη προϋπόθεση για να δώσει ένα σημείο το μέγιστο ή το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων της τάξης στο σημείο.Ας υποθέσουμε ότι αυτή η συνθήκη πληρούται. Δίνουμε στις μεταβλητές x και y μικρές προσαυξήσεις και k και θεωρούμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης Σύμφωνα με τον τύπο Taylor, αυτή η αύξηση, μέχρι μικρές υψηλότερες τάξεις, είναι ίση με την τετραγωνική μορφή όπου είναι οι τιμές της δεύτερης παράγωγοι που υπολογίζονται στο σημείο Εάν αυτή η τετραγωνική μορφή είναι θετική για όλες τις τιμές του και k (εκτός από το ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο σε ένα σημείο· εάν είναι αρνητική, τότε έχει ένα μέγιστο. Τέλος, εάν το σχήμα λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές, τότε δεν θα υπάρχει μέγιστο ή ελάχιστο. Με παρόμοιο τρόπο μελετώνται συναρτήσεις μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Η μελέτη των τετραγωνικών μορφών συνίσταται κυρίως στη μελέτη του προβλήματος της ισοδυναμίας των μορφών σε σχέση με το ένα ή το άλλο σύνολο γραμμικών μετασχηματισμών μεταβλητών. Δύο τετραγωνικές μορφές λέγονται ισοδύναμες εάν η μία από αυτές μπορεί να μεταφραστεί στην άλλη μέσω ενός από τους μετασχηματισμούς του δεδομένου συνόλου. Στενά συνδεδεμένο με το πρόβλημα της ισοδυναμίας είναι το πρόβλημα της αναγωγής της μορφής, δηλ. μετατρέποντάς το σε κάποια πιθανώς απλούστερη μορφή.

Σε διάφορες ερωτήσεις που σχετίζονται με τετραγωνικούς τύπους, εξετάζονται επίσης διάφορα σύνολα αποδεκτών μετασχηματισμών μεταβλητών.

Σε ζητήματα ανάλυσης, εφαρμόζονται τυχόν μη μοναδικοί μετασχηματισμοί μεταβλητών. Για τους σκοπούς της αναλυτικής γεωμετρίας, οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί έχουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον, δηλαδή αυτοί που αντιστοιχούν στη μετάβαση από ένα σύστημα μεταβλητών καρτεσιανών συντεταγμένων σε ένα άλλο. Τέλος, στη θεωρία αριθμών και στην κρυσταλλογραφία εξετάζονται γραμμικοί μετασχηματισμοί με ακέραιους συντελεστές και με ορίζουσα ίση με μία.

Θα εξετάσουμε δύο από αυτά τα προβλήματα: το ζήτημα της αναγωγής μιας τετραγωνικής μορφής στην απλούστερη μορφή της μέσω οποιωνδήποτε μη μοναδικών μετασχηματισμών και το ίδιο ερώτημα για τους ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Πρώτα απ 'όλα, ας μάθουμε πώς ένας πίνακας μιας τετραγωνικής μορφής μετασχηματίζεται κάτω από έναν γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών.

Έστω, όπου το A είναι ένας συμμετρικός πίνακας συντελεστών μορφής, το X είναι μια στήλη μεταβλητών.

Ας κάνουμε έναν γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών, γράφοντάς τον σε συντομογραφία. Εδώ το C υποδηλώνει τον πίνακα των συντελεστών αυτού του μετασχηματισμού, το X είναι μια στήλη νέων μεταβλητών. Τότε και ως εκ τούτου, έτσι ώστε ο πίνακας της μετασχηματισμένης τετραγωνικής μορφής είναι

Ο πίνακας αυτόματα αποδεικνύεται συμμετρικός, κάτι που επαληθεύεται εύκολα. Έτσι, το πρόβλημα της αναγωγής μιας τετραγωνικής μορφής στην απλούστερη μορφή της είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της αναγωγής ενός συμμετρικού πίνακα στην απλούστερη μορφή του πολλαπλασιάζοντάς τον από αριστερά και δεξιά με αμοιβαία μετατιθέμενους πίνακες.

Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Πίνακας τετραγωνικής μορφής. Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής. Μέθοδος Lagrange. Η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής. Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικού εντύπου. Θετική οριστική τετραγωνική μορφή. Τετράγωνοι.

Η έννοια της τετραγωνικής μορφής:μια συνάρτηση σε ένα διανυσματικό χώρο που δίνεται από ένα ομοιογενές πολυώνυμο δεύτερου βαθμού στις συντεταγμένες του διανύσματος.

τετραγωνική μορφή από nάγνωστος ονομάζεται το άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο ενός από αυτά τα άγνωστα, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών αγνώστων.

Τετραγωνικός πίνακας:Ο πίνακας ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής στη δεδομένη βάση. Εάν το χαρακτηριστικό πεδίου δεν είναι ίσο με 2, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής είναι συμμετρικός, δηλαδή .

Γράψτε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής:

Συνεπώς,

Σε μορφή διανυσματικού πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι:

Α, όπου

Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής:Μια τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονική αν όλα δηλ.

Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας γραμμικούς μετασχηματισμούς. Στην πράξη, συνήθως χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι.

Μέθοδος Lagrange : διαδοχική επιλογή πλήρων τετραγώνων. Για παράδειγμα, εάν

Στη συνέχεια γίνεται παρόμοια διαδικασία με την τετραγωνική μορφή κλπ. Αν σε τετραγωνική μορφή όλα εκτός από είναι στη συνέχεια, μετά από προκαταρκτική μετατροπή, το θέμα περιορίζεται στην εξεταζόμενη διαδικασία. Έτσι, αν, για παράδειγμα, τότε θέσουμε

Η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής είναι:Μια κανονική τετραγωνική μορφή είναι μια κανονική τετραγωνική μορφή στην οποία όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με +1 ή -1.

Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικής φόρμας:Η κατάταξη της τετραγωνικής μορφής ΑΛΛΑονομάζεται η κατάταξη του πίνακα ΑΛΛΑ. Η κατάταξη μιας τετραγωνικής μορφής δεν αλλάζει υπό μη εκφυλιστικούς μετασχηματισμούς των αγνώστων.

Ο αριθμός των αρνητικών συντελεστών ονομάζεται δείκτης αρνητικού σχήματος.

Ο αριθμός των θετικών όρων στην κανονική μορφή ονομάζεται θετικός δείκτης αδράνειας της τετραγωνικής μορφής, ο αριθμός των αρνητικών όρων ονομάζεται αρνητικός δείκτης. Η διαφορά μεταξύ θετικών και αρνητικών δεικτών ονομάζεται υπογραφή της τετραγωνικής μορφής

Θετική οριστική τετραγωνική μορφή:Πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετική-ορισμένη (αρνητική-ορισμένη) εάν για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν

. (36)

Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας ονομάζεται επίσης θετική οριστική (αρνητική οριστική).

Η κλάση θετικών-οριστικών (αρνητικού-οριστικού) μορφών είναι μέρος της κατηγορίας των μη αρνητικών (αντίστοιχα, μη θετικών) μορφών.

Τετράγωνα:Τετραγωνικό - n-διαστατική υπερεπιφάνεια σε n+1-διάστατος χώρος, που ορίζεται ως το σύνολο των μηδενικών ενός πολυωνύμου δεύτερου βαθμού. Εάν εισάγετε τις συντεταγμένες ( Χ 1 , Χ 2 , x n+1 ) (στον ευκλείδειο ή συγγενικό χώρο), η γενική τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή

Αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί πιο συμπαγή σε συμβολισμό πίνακα:

όπου x = ( Χ 1 , Χ 2 , x n+1 ) είναι ένα διάνυσμα γραμμής, Χ T είναι το μεταφερόμενο διάνυσμα, Qείναι ο πίνακας μεγέθους ( n+1)×( n+1) (υποτίθεται ότι τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία του είναι μη μηδενικό), Πείναι ένα διάνυσμα γραμμής, και Rείναι μια σταθερά. Τις περισσότερες φορές, τα τετράγωνα θεωρούνται πάνω από πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς. Ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί στα τετραγωνικά στον προβολικό χώρο, βλέπε παρακάτω.

Γενικότερα, το σύνολο των μηδενικών ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων είναι γνωστό ως αλγεβρική ποικιλία. Έτσι, ένα τετράγωνο είναι μια (συγγενική ή προβολική) αλγεβρική ποικιλία δεύτερου βαθμού και κωδικοδιάστασης 1.

Μετασχηματισμοί επιπέδου και διαστήματος.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου. Ορισμός της κίνησης. ιδιότητες κίνησης. Δύο είδη κινήσεων: κίνηση πρώτου είδους και κίνηση δεύτερου είδους. Παραδείγματα κίνησης. Αναλυτική έκφραση κίνησης. Ταξινόμηση επίπεδων κινήσεων (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών). Ομάδα κινήσεων αεροπλάνου.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου: Ορισμός.Ένας επίπεδος μετασχηματισμός που διατηρεί την απόσταση μεταξύ των σημείων ονομάζεται κίνηση(ή μετατόπιση) του αεροπλάνου. Ο μετασχηματισμός επιπέδου ονομάζεται συγγενείς, εάν παίρνει τρία σημεία που βρίσκονται στην ίδια ευθεία σε τρία σημεία που βρίσκονται επίσης στην ίδια ευθεία και ταυτόχρονα διατηρεί την απλή σχέση των τριών σημείων.

Ορισμός κίνησης:Αυτός είναι ένας μετασχηματισμός σχήματος που διατηρεί τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Αν δύο φιγούρες συνδυάζονται ακριβώς μεταξύ τους μέσω κίνησης, τότε αυτές οι φιγούρες είναι ίδιες, ίσες.

Ιδιότητες κίνησης:Κάθε κίνηση διατήρησης προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε παράλληλη μετατόπιση είτε περιστροφή· κάθε κίνηση αλλαγής προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε αξονική συμμετρία είτε ολισθαίνουσα συμμετρία. Τα σημεία που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή, όταν κινούνται, περνούν σε σημεία που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή και διατηρείται η σειρά της αμοιβαίας διάταξης τους. Κατά την κίνηση, οι γωνίες μεταξύ των ημιγραμμών διατηρούνται.

Δύο είδη κινήσεων: κίνηση του πρώτου είδους και κίνηση του δεύτερου είδους:Οι κινήσεις του πρώτου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που διατηρούν τον προσανατολισμό των βάσεων μιας συγκεκριμένης φιγούρας. Μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Κινήσεις δεύτερου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που αλλάζουν τον προσανατολισμό των βάσεων προς το αντίθετο. Δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Παραδείγματα κινήσεων του πρώτου είδους είναι η μετατόπιση και η περιστροφή γύρω από μια ευθεία γραμμή, και οι κινήσεις του δεύτερου είδους είναι κεντρικές και κατοπτρικές συμμετρίες.

Η σύνθεση οποιουδήποτε αριθμού κινήσεων πρώτου είδους είναι κίνηση πρώτου είδους.

Η σύνθεση ενός ζυγού αριθμού κινήσεων του δεύτερου είδους είναι μια κίνηση του 1ου είδους και η σύνθεση ενός περιττού αριθμού κινήσεων του 2ου είδους είναι μια κίνηση του 2ου είδους.

Παραδείγματα κίνησης:Παράλληλη μεταφορά. Έστω ένα δεδομένο διάνυσμα. Η παράλληλη μεταφορά στο διάνυσμα α είναι η αντιστοίχιση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο Μ αντιστοιχίζεται στο σημείο Μ 1, ότι το διάνυσμα ΜΜ 1 είναι ίσο με το διάνυσμα α.

Η παράλληλη μετάφραση είναι μια κίνηση γιατί είναι μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, διατηρώντας τις αποστάσεις. Οπτικά, αυτή η κίνηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μετατόπιση ολόκληρου του επιπέδου προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου διανύσματος α κατά το μήκος του.

Στροφή .Ας ορίσουμε ένα σημείο O στο επίπεδο ( κέντρο στροφής) και ορίστε τη γωνία α ( γωνία περιστροφής). Η περιστροφή του επιπέδου γύρω από το σημείο Ο κατά τη γωνία α είναι η χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο Μ χαρτογραφείται στο σημείο Μ 1, ότι OM = OM 1 και η γωνία MOM 1 είναι ίση με α. Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο Ο παραμένει στη θέση του, δηλαδή εμφανίζεται από μόνο του και όλα τα άλλα σημεία περιστρέφονται γύρω από το σημείο Ο προς την ίδια κατεύθυνση - δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα (το σχήμα δείχνει μια αριστερόστροφη περιστροφή).

Μια στροφή είναι μια κίνηση γιατί είναι μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, η οποία διατηρεί αποστάσεις.

Αναλυτική έκφραση κίνησης:η αναλυτική σύνδεση μεταξύ των συντεταγμένων της προεικόνας και της εικόνας του σημείου έχει τη μορφή (1).

Ταξινόμηση επίπεδων κινήσεων (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών): Ορισμός:

Ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι αμετάβλητο (σταθερό) εάν, κάτω από έναν δεδομένο μετασχηματισμό, μετασχηματίζεται στον εαυτό του.

Παράδειγμα: Με την κεντρική συμμετρία, το σημείο του κέντρου συμμετρίας είναι αμετάβλητο. Κατά τη στροφή, το σημείο του κέντρου περιστροφής είναι αμετάβλητο. Με την αξονική συμμετρία, η ευθεία είναι αμετάβλητη - ο άξονας συμμετρίας είναι η γραμμή των αμετάβλητων σημείων.

Θεώρημα: Αν η κίνηση δεν έχει αμετάβλητο σημείο, τότε έχει τουλάχιστον μία αμετάβλητη κατεύθυνση.

Παράδειγμα: Παράλληλη μεταφορά. Πράγματι, οι γραμμές παράλληλες προς αυτή την κατεύθυνση είναι αμετάβλητες ως σύνολο, αν και δεν αποτελούνται από αμετάβλητα σημεία.

Θεώρημα: Εάν κάποια ακτίνα κινείται, η ακτίνα μεταφράζεται στον εαυτό της, τότε αυτή η κίνηση είναι είτε πανομοιότυπος μετασχηματισμός, είτε συμμετρία ως προς τη γραμμή που περιέχει τη δεδομένη ακτίνα.

Επομένως, ανάλογα με την παρουσία αμετάβλητων σημείων ή σχημάτων, είναι δυνατό να ταξινομηθούν οι κινήσεις.

Όνομα κίνησης	Αμετάβλητα σημεία	Αμετάβλητες γραμμές
Κίνηση πρώτου είδους.
1. - στροφή	(κέντρο) - 0	Οχι
2. Μετασχηματισμός ταυτότητας	όλα τα σημεία του αεροπλάνου	όλα ίσια
3. Κεντρική συμμετρία	σημείο 0 - κέντρο	όλες οι γραμμές που διέρχονται από το σημείο 0
4. Παράλληλη μεταφορά	Οχι	όλα ίσια
Κίνηση δεύτερου είδους.
5. Αξονική συμμετρία.	σύνολο σημείων	άξονας συμμετρίας (ίσιος) όλος ευθύς

Ομάδα κίνησης αεροπλάνου:Στη γεωμετρία, οι ομάδες μορφών αυτοσυμπτώσεων παίζουν σημαντικό ρόλο. Εάν - κάποια φιγούρα στο επίπεδο (ή στο διάστημα), τότε μπορούμε να εξετάσουμε το σύνολο όλων εκείνων των κινήσεων του επιπέδου (ή του χώρου), στο οποίο το σχήμα περνά στον εαυτό του.

Αυτό το σετ είναι μια ομάδα. Για παράδειγμα, για ένα ισόπλευρο τρίγωνο, η ομάδα των επίπεδων κινήσεων που παίρνουν το τρίγωνο μέσα του αποτελείται από 6 στοιχεία: περιστροφές ανά γωνίες γύρω από ένα σημείο και συμμετρίες περίπου τριών ευθειών.

Φαίνονται στο σχ. 1 με κόκκινες γραμμές. Τα στοιχεία της ομάδας αυτοσυμπτώσεων ενός κανονικού τριγώνου μπορούν να προσδιοριστούν με άλλο τρόπο. Για να το διευκρινίσουμε αυτό, ας αριθμήσουμε τις κορυφές ενός κανονικού τριγώνου με αριθμούς 1, 2, 3. μπορεί να εισαχθεί υπό όρους με τη μορφή μιας από αυτές τις αγκύλες:

και τα λοιπά.

όπου οι αριθμοί 1, 2, 3 δηλώνουν τους αριθμούς εκείνων των κορυφών στις οποίες περνούν οι κορυφές 1, 2, 3 ως αποτέλεσμα της εξεταζόμενης κίνησης.

Οι προβολικοί χώροι και τα μοντέλα τους.

Έννοια του προβολικού χώρου και μοντέλο του προβολικού χώρου. Βασικά στοιχεία προβολικής γεωμετρίας. Μια δέσμη γραμμών με κέντρο στο σημείο Ο είναι ένα μοντέλο προβολικού επιπέδου. προβολικά σημεία. Το εκτεταμένο επίπεδο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ένας εκτεταμένος τρισδιάστατος συγγενικός ή Ευκλείδειος χώρος είναι ένα προβολικό μοντέλο χώρου. Εικόνες αεροπλάνων και χωρικών μορφών σε παράλληλη σχεδίαση.

Έννοια προβολικού χώρου και μοντέλο προβολικού χώρου:

Ένας προβολικός χώρος πάνω από ένα πεδίο είναι ένας χώρος που αποτελείται από γραμμές (μονοδιάστατους υποχώρους) κάποιου γραμμικού χώρου σε ένα δεδομένο πεδίο. Τα ευθύγραμμα διαστήματα λέγονται αποσιωπητικάπροβολικός χώρος. Αυτός ο ορισμός προσφέρεται για γενίκευση σε ένα αυθαίρετο σώμα

Εάν έχει διάσταση , τότε η διάσταση του προβολικού χώρου ονομάζεται αριθμός , και ο ίδιος ο προβολικός χώρος συμβολίζεται και ονομάζεται συσχετισμένος με (για να το δείξει αυτό, υιοθετείται ο συμβολισμός).

Η μετάβαση από ένα διανυσματικό χώρο διάστασης στον αντίστοιχο προβολικό χώρο ονομάζεται προβολικοποίησηχώρους.

Τα σημεία μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες.

Βασικά στοιχεία της προβολικής γεωμετρίας:Η προβολική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά προβολικά επίπεδα και χώρους. Το κύριο χαρακτηριστικό της προβολικής γεωμετρίας είναι η αρχή της δυαδικότητας, η οποία προσθέτει μια χαριτωμένη συμμετρία σε πολλά σχέδια. Η προβολική γεωμετρία μπορεί να μελετηθεί τόσο από καθαρά γεωμετρική άποψη, όσο και από αναλυτική (χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες) και σαλγεβρική άποψη, θεωρώντας το προβολικό επίπεδο ως δομή πάνω από ένα πεδίο. Συχνά, και ιστορικά, το πραγματικό προβολικό επίπεδο αντιμετωπίζεται ως το Ευκλείδειο επίπεδο με την προσθήκη μιας «γραμμής στο άπειρο».

Ενώ οι ιδιότητες των σχημάτων που πραγματεύεται η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μετρικός(συγκεκριμένες τιμές γωνιών, τμημάτων, εμβαδών) και η ισοδυναμία των σχημάτων είναι ισοδύναμη με τους μαθηματική αναλογία(δηλαδή, όταν τα σχήματα μπορούν να μεταφραστούν το ένα στο άλλο μέσω της κίνησης διατηρώντας τις μετρικές ιδιότητες), υπάρχουν πιο «βαθύτερες» ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων που διατηρούνται από μετασχηματισμούς ενός γενικότερου τύπου από την κίνηση. Η προβολική γεωμετρία μελετά τις ιδιότητες των σχημάτων που είναι αμετάβλητες κάτω από την κλάση προβολικοί μετασχηματισμοί, καθώς και αυτές οι ίδιες οι μεταμορφώσεις.

Η προβολική γεωμετρία συμπληρώνει τον Ευκλείδειο παρέχοντας όμορφες και απλές λύσεις σε πολλά προβλήματα που περιπλέκονται από την παρουσία παράλληλων ευθειών. Η προβολική θεωρία των κωνικών τομών είναι ιδιαίτερα απλή και κομψή.

Υπάρχουν τρεις κύριες προσεγγίσεις στην προβολική γεωμετρία: ανεξάρτητη αξιωματοποίηση, προσθήκη στην ευκλείδεια γεωμετρία και δομή σε ένα πεδίο.

Αξιωματοποίηση

Ένας προβολικός χώρος μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων.

Η Coxeter παρέχει τα ακόλουθα:

1. Υπάρχει μια γραμμή και ένα σημείο δεν είναι πάνω της.

2. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία σημεία σε κάθε γραμμή.

3. Ακριβώς μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί μέσα από δύο σημεία.

4. Αν ΕΝΑ, σι, ντο, και ρεδιαφορετικά σημεία και ΑΒκαι CDδιασταυρώνονται, λοιπόν ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι BDδιατέμνω.

5. Αν αλφάβητοείναι ένα επίπεδο, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο που δεν είναι στο επίπεδο αλφάβητο.

6. Δύο διακριτά επίπεδα τέμνονται σε δύο τουλάχιστον σημεία.

7. Τρία διαγώνια σημεία ενός πλήρους τετράπλευρου δεν είναι συγγραμμικά.

8. Αν υπάρχουν τρία σημεία σε μια ευθεία Χ Χ

Το προβολικό επίπεδο (χωρίς την τρίτη διάσταση) ορίζεται από κάπως διαφορετικά αξιώματα:

1. Ακριβώς μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί μέσα από δύο σημεία.

2. Οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται.

3. Υπάρχουν τέσσερα σημεία, από τα οποία δεν υπάρχουν τρία συγγραμμικά.

4. Τρία διαγώνια σημεία πλήρων τετραπλευρών δεν είναι συγγραμμικά.

5. Αν υπάρχουν τρία σημεία σε μια ευθεία Χείναι αμετάβλητα υπό την προβολικότητα του φ, τότε όλα τα σημεία επάνω Χείναι αμετάβλητα ως προς το φ.

6. Θεώρημα Desargues: Αν δύο τρίγωνα είναι προοπτικά μέσω ενός σημείου, τότε είναι προοπτικά μέσω μιας ευθείας.

Με την παρουσία μιας τρίτης διάστασης, το θεώρημα του Desargues μπορεί να αποδειχθεί χωρίς να εισαχθεί το ιδανικό σημείο και ευθεία.

Μοντέλο εκτεταμένου επιπέδου - προβολικού επιπέδου:σε ένα συγγενικό διάστημα A3, πάρτε μια δέσμη ευθειών S(O) με κέντρο σε ένα σημείο O και ένα επίπεδο Π που δεν διέρχεται από το κέντρο της δέσμης: O 6∈ Π. Μια δέσμη γραμμών σε έναν συγγενικό χώρο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ας ορίσουμε την αντιστοίχιση του συνόλου των σημείων του επιπέδου Π στο σύνολο των γραμμών της δέσμης S (Διάολε, προσευχήσου αν έχεις αυτή την ερώτηση, λυπάμαι)

Εκτεταμένο τρισδιάστατο συγγενικό ή Ευκλείδειο χώρο - μοντέλο προβολικού χώρου:

Για να κάνουμε την αντιστοίχιση επιφανειακή, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία τυπικής επέκτασης του συγγενικού επιπέδου Π στο προβολικό επίπεδο, Π, συμπληρώνοντας το επίπεδο Π με ένα σύνολο ακατάλληλων σημείων (M∞) έτσι ώστε: ((M∞)) = Ρ0(Ο). Εφόσον στη χαρτογράφηση η αντίστροφη εικόνα κάθε επιπέδου της δέσμης επιπέδων S(O) είναι μια ευθεία στο επίπεδο d, είναι προφανές ότι το σύνολο όλων των ακατάλληλων σημείων του εκτεταμένου επιπέδου: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), είναι μια ακατάλληλη γραμμή d∞ του εκτεταμένου επιπέδου που είναι η αντίστροφη εικόνα του ενικού επιπέδου Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Ας συμφωνήσουμε ότι εδώ και παρακάτω θα κατανοήσουμε την τελευταία ισότητα P0(O) = Π0 με την έννοια της ισότητας των συνόλων σημείων, αλλά προικισμένης με διαφορετικές δομές. Συμπληρώνοντας το συγγενικό επίπεδο με μια ακατάλληλη γραμμή, έχουμε διασφαλίσει ότι η αντιστοίχιση (I.21) γίνεται διχαστική στο σύνολο όλων των σημείων του εκτεταμένου επιπέδου:

Εικόνες επίπεδων και χωρικών μορφών σε παράλληλο σχέδιο:

Στη στερεομετρία μελετώνται οι χωρικές μορφές, αλλά στο σχέδιο απεικονίζονται ως επίπεδες μορφές. Πώς, λοιπόν, πρέπει να απεικονίζεται μια χωρική φιγούρα σε ένα επίπεδο; Συνήθως στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται παράλληλος σχεδιασμός για αυτό. Έστω p κάποιο επίπεδο, μεγάλο- μια ευθεία που το τέμνει (Εικ. 1). Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο ΕΝΑ, που δεν ανήκει στη γραμμή μεγάλοσχεδιάστε μια γραμμή παράλληλη προς την ευθεία μεγάλο. Το σημείο τομής αυτής της ευθείας με το επίπεδο p ονομάζεται παράλληλη προβολή του σημείου ΕΝΑστο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας μεγάλο. Ας το χαρακτηρίσουμε ΕΝΑ«.Αν το σημείο ΕΝΑανήκει στη γραμμή μεγάλο, μετά η παράλληλη προβολή ΕΝΑπρος το επίπεδο p θεωρείται το σημείο τομής της ευθείας μεγάλομε αεροπλάνο σ.

Έτσι, κάθε σημείο ΕΝΑο χώρος αντιστοιχίζεται στην προβολή του ΕΝΑ" στο επίπεδο p. Αυτή η αντιστοιχία ονομάζεται παράλληλη προβολή στο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας γραμμής μεγάλο.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού του επιπέδου. Παραδείγματα μετασχηματισμών προβολικού επιπέδου. Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών. Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας. Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών.

Η έννοια ενός μετασχηματισμού προβολικού επιπέδου:Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού γενικεύει την έννοια της κεντρικής προβολής. Αν εκτελέσουμε την κεντρική προβολή του επιπέδου α σε κάποιο επίπεδο α 1 , τότε η προβολή του α 1 σε α 2 , α 2 σε α 3 , ... και, τέλος, σε κάποιο επίπεδο α nπάλι στο α 1 , τότε η σύνθεση όλων αυτών των προβολών είναι ο προβολικός μετασχηματισμός του επιπέδου α. μια τέτοια αλυσίδα μπορεί να περιλαμβάνει παράλληλες προβολές.

Παραδείγματα μετασχηματισμών προβολικού επιπέδου:Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός επαυξημένου επιπέδου είναι η αντιστοίχιση ενός προς ένα στον εαυτό του, η οποία διατηρεί τη συγγραμμικότητα των σημείων ή, με άλλα λόγια, η εικόνα οποιασδήποτε ευθείας γραμμής είναι μια ευθεία γραμμή. Οποιοσδήποτε προβολικός μετασχηματισμός είναι μια σύνθεση μιας αλυσίδας κεντρικών και παράλληλων προβολών. Ένας συγγενικός μετασχηματισμός είναι μια ειδική περίπτωση ενός προβολικού, στον οποίο η γραμμή στο άπειρο πηγαίνει στον εαυτό της.

Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών:

Κάτω από έναν προβολικό μετασχηματισμό, τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία αντιστοιχίζονται σε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία.

Κάτω από έναν προβολικό μετασχηματισμό, το πλαίσιο πηγαίνει πάνω στο πλαίσιο.

Κάτω από έναν προβολικό μετασχηματισμό, μια γραμμή πηγαίνει σε μια ευθεία γραμμή, ένα δεμάτι σε ένα δεμάτιο.

Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας:

Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός επιπέδου που έχει μια γραμμή αμετάβλητων σημείων και επομένως ένα μολύβι αμετάβλητων γραμμών ονομάζεται ομολογία.

1. Μια ευθεία που διέρχεται από αντίστοιχα μη συμπίπτοντα σημεία ομολογίας είναι μια αμετάβλητη ευθεία.

2. Οι γραμμές που διέρχονται από τα αντίστοιχα μη συμπίπτοντα σημεία ομολογίας ανήκουν στο ίδιο μολύβι, το κέντρο του οποίου είναι ένα αμετάβλητο σημείο.

3. Ένα σημείο, η εικόνα του και το κέντρο της ομολογίας βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών:θεωρήστε μια προβολική χαρτογράφηση του προβολικού επιπέδου P 2 στον εαυτό του, δηλαδή έναν προβολικό μετασχηματισμό αυτού του επιπέδου (P 2 ' = P 2).

Όπως και πριν, η σύνθεση f των προβολικών μετασχηματισμών f 1 και f 2 του προβολικού επιπέδου P 2 είναι το αποτέλεσμα διαδοχικής εκτέλεσης μετασχηματισμών f 1 και f 2: f = f 2 °f 1 .

Θεώρημα 1: Το σύνολο H όλων των προβολικών μετασχηματισμών του προβολικού επιπέδου P 2 είναι μια ομάδα υπό τη σύνθεση προβολικών μετασχηματισμών.

Θετικοί οριστικοί τετραγωνικοί τύποι

Ορισμός. Τετραγωνική μορφή από nάγνωστος λέγεται θετική οριστική, αν η κατάταξή του είναι ίση με τον θετικό δείκτη αδράνειας και είναι ίση με τον αριθμό των αγνώστων.

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη εάν και μόνο εάν παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο μεταβλητών τιμών.

Απόδειξη.Έστω η τετραγωνική μορφή ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των αγνώστων

επανήλθε στο φυσιολογικό

.

Για οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών, τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς διαφορετικό από το μηδέν, δηλ. . Η αναγκαιότητα του θεωρήματος αποδεικνύεται.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο μεταβλητών, αλλά ο δείκτης αδράνειάς της είναι θετικός. Με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό των αγνώστων

Ας το επαναφέρουμε στο κανονικό. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε αυτήν την κανονική μορφή το τετράγωνο της τελευταίας μεταβλητής είτε απουσιάζει είτε εισάγεται σε αυτήν με πρόσημο μείον, δηλ. , πού ή . Ας υποθέσουμε ότι είναι ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών, που προκύπτει ως αποτέλεσμα της επίλυσης του συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Σε αυτό το σύστημα, ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών και η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική. Σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και είναι μη μηδενική. Για αυτό το σετ. Αντίφαση με την προϋπόθεση. Φτάνουμε σε αντίφαση με την υπόθεση, η οποία αποδεικνύει την επάρκεια του θεωρήματος.

Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί από τους συντελεστές εάν μια τετραγωνική μορφή είναι θετική-οριστική. Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνει ένα άλλο θεώρημα, για τη διατύπωση του οποίου εισάγουμε μια ακόμη έννοια. Κύρια ανήλικα διαγώνια μήτραείναι οι ανήλικοι που βρίσκονται στην επάνω αριστερή γωνία του:

, , , … , .

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι κύριες δευτερεύουσες διαγώνιες της είναι θετικές.

Απόδειξηθα πραγματοποιήσουμε με τη μέθοδο της πλήρους μαθηματικής επαγωγής στον αριθμό nμεταβλητές τετραγωνικής μορφής φά.

Υπόθεση επαγωγής.Ας υποθέσουμε ότι για τετραγωνικές μορφές με λιγότερες μεταβλητές nη δήλωση είναι σωστή.

Εξετάστε την τετραγωνική μορφή από nμεταβλητές. Συλλέξτε σε μία παρένθεση όλους τους όρους που περιέχουν . Οι υπόλοιποι όροι σχηματίζουν μια τετραγωνική μορφή σε μεταβλητές. Με την υπόθεση της επαγωγής, η δήλωση είναι αληθής γι' αυτήν.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Τότε και η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Αν υποθέσουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει, τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών , για το οποίο και αντίστοιχα, , πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το ότι ο τετραγωνικός τύπος είναι θετική οριστική. Με την υπόθεση της επαγωγής, όλα τα κύρια διαγώνια δευτερεύοντα δευτεροβάθμιας μορφής είναι θετικά, δηλ. όλα τα πρώτα κύρια ανήλικα δευτεροβάθμιας μορφής φάείναι θετικές. Τελευταίο κύριο δευτερεύον μιας τετραγωνικής μορφής – είναι η ορίζουσα του πίνακα του. Αυτή η ορίζουσα είναι θετική, αφού το πρόσημο της συμπίπτει με το πρόσημο της μήτρας της κανονικής της μορφής, δηλ. με το πρόσημο της προσδιοριστικής μήτρας ταυτότητας.

Έστω θετικές όλες οι κύριες διαγώνιες δευτερεύουσες δευτερεύουσες της τετραγωνικής μορφής. Τότε όλες οι κύριες διαγώνιες δευτερεύουσες δευτερεύουσες της τετραγωνικής μορφής είναι θετικές από την ισότητα . Σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική, επομένως υπάρχει ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός μεταβλητών που ανάγει τη μορφή στη μορφή του αθροίσματος των τετραγώνων των νέων μεταβλητών. Αυτός ο γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να επεκταθεί σε έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό όλων των μεταβλητών ορίζοντας . Η τετραγωνική μορφή ανάγεται με αυτόν τον μετασχηματισμό στη μορφή

Τετραγωνικές μορφές

τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2,..., x n) των n μεταβλητών ονομάζεται το άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών, που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ο πίνακας Α, που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές, ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής. Είναι πάντα συμμετρικόςμήτρα (δηλαδή, μια μήτρα συμμετρική ως προς την κύρια διαγώνιο, a ij = a ji).

Στον συμβολισμό πίνακα, η τετραγωνική μορφή έχει τη μορφή f(X) = X T AX, όπου

Πράγματι

Για παράδειγμα, ας γράψουμε την τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές στα τετράγωνα των μεταβλητών και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με το ήμισυ των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Να γιατί

Έστω ότι η μήτρα-στήλη των μεταβλητών X λαμβάνεται από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό της μήτρας-στήλης Υ, δηλ. X = CY, όπου C είναι ένας μη εκφυλισμένος πίνακας τάξης n. Στη συνέχεια η τετραγωνική μορφή
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Έτσι, κάτω από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό C, ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * = C T AC.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τετραγωνική μορφή f(y 1, y 2) που προκύπτει από την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 με γραμμικό μετασχηματισμό.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονικός(Εχει κανονική άποψη) αν όλοι οι συντελεστές του a ij = 0 για i ≠ j, δηλ.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Η μήτρα του είναι διαγώνιος.

Θεώρημα(η απόδειξη δεν δίνεται εδώ). Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό.

Για παράδειγμα, ας ανάγουμε στην κανονική μορφή την τετραγωνική μορφή
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πρώτα το πλήρες τετράγωνο για τη μεταβλητή x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Τώρα επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο για τη μεταβλητή x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Στη συνέχεια, ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 και y 3 \u003d x 3 φέρνει αυτήν την τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Σημειώστε ότι η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής ορίζεται διφορούμενα (η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή με διαφορετικούς τρόπους). Ωστόσο, οι κανονικές μορφές που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους έχουν μια σειρά από κοινές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές μιας τετραγωνικής φόρμας δεν εξαρτάται από το πώς η μορφή ανάγεται σε αυτήν τη μορφή (για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα θα υπάρχουν πάντα δύο αρνητικοί και ένας θετικός συντελεστής). Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ο νόμος της αδράνειας των τετραγωνικών μορφών.

Ας το επαληθεύσουμε αυτό αναγωγή της ίδιας τετραγωνικής μορφής στην κανονική μορφή με διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε τον μετασχηματισμό με τη μεταβλητή x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, όπου y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 και y 3 = x 1 . Εδώ, ένας θετικός συντελεστής 2 για y 3 και δύο αρνητικοί συντελεστές (-3) για y 1 και y 2 (και χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο, πήραμε έναν θετικό συντελεστή 2 για το y 1 και δύο αρνητικούς συντελεστές - (-5) για το y 2 και (-1 /20) για y 3).

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής, που ονομάζεται ο βαθμός της τετραγωνικής μορφής, ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν μεταβάλλεται υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Η τετραγωνική μορφή f(X) ονομάζεται θετικώς (αρνητικός) βέβαιος, εάν για όλες τις τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, είναι θετικό, δηλ. f(X) > 0 (αρνητικό, δηλ.
f(X)< 0).

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 είναι θετική οριστική, επειδή είναι το άθροισμα των τετραγώνων και η τετραγωνική μορφή f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 είναι αρνητική οριστική, επειδή αντιπροσωπεύει ότι μπορεί να αναπαρασταθεί ως f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις, είναι κάπως πιο δύσκολο να διαπιστωθεί η προσήλωση-οριστικότητα μιας τετραγωνικής μορφής, επομένως ένα από τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιείται για αυτό (τα διατυπώνουμε χωρίς αποδείξεις).

Θεώρημα. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική (αρνητική) ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα της είναι θετικές (αρνητικές).

Θεώρημα (κριτήριο Sylvester). Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα αυτής της μορφής είναι θετικά.

Μείζονα (γωνιακό) ελάσσοναΗ k-η τάξη του πίνακα A της ν-ης τάξης ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τις πρώτες k σειρές και στήλες του πίνακα A ().

Σημειώστε ότι για αρνητικούς-οριστικούς τετραγωνικούς τύπους, τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται και η δευτερεύουσα πρώτης τάξης πρέπει να είναι αρνητική.

Για παράδειγμα, εξετάζουμε την τετραγωνική μορφή f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 για την οριστικότητα του πρόσημου.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Μέθοδος 2. Η κύρια ελάσσονα της πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 = 2 > 0. Η κύρια ελάσσονα της δεύτερης τάξης D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Εξετάζουμε μια άλλη τετραγωνική μορφή για την οριστικότητα του πρόσημου, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής А = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική.