Πλήρης πίνακας τριγωνομετρίας. Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη - όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε στο OGE και τη ΧΡΗΣΗ

Η τριγωνομετρία, ως επιστήμη, ξεκίνησε από την Αρχαία Ανατολή. Οι πρώτες τριγωνομετρικές αναλογίες αναπτύχθηκαν από αστρονόμους για να δημιουργήσουν ένα ακριβές ημερολόγιο και να προσανατολιστούν από τα αστέρια. Οι υπολογισμοί αυτοί αφορούσαν τη σφαιρική τριγωνομετρία, ενώ στο σχολικό μάθημα μελετούν τον λόγο των πλευρών και της γωνίας ενός επίπεδου τριγώνου.

Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των τριγώνων.

Κατά την ακμή του πολιτισμού και της επιστήμης την 1η χιλιετία μ.Χ., η γνώση εξαπλώθηκε από την Αρχαία Ανατολή στην Ελλάδα. Αλλά οι κύριες ανακαλύψεις της τριγωνομετρίας είναι η αξία των ανδρών του Αραβικού Χαλιφάτου. Συγκεκριμένα, ο Τουρκμενός επιστήμονας al-Marazvi εισήγαγε τέτοιες συναρτήσεις ως εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, συνέταξε τους πρώτους πίνακες τιμών για ημιτονοειδή, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες. Η έννοια του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς εισήχθη από Ινδούς επιστήμονες. Μεγάλη προσοχή αφιερώνεται στην τριγωνομετρία στα έργα τόσο μεγάλων μορφών της αρχαιότητας όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Ερατοσθένης.

Βασικά μεγέθη τριγωνομετρίας

Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του γράφημα: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Οι τύποι για τον υπολογισμό των τιμών αυτών των μεγεθών βασίζονται στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι πιο γνωστό στους μαθητές στη διατύπωση: «Πυθαγόρειο παντελόνι, ίσο προς όλες τις κατευθύνσεις», αφού η απόδειξη δίνεται στο παράδειγμα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου.

Το ημίτονο, το συνημίτονο και άλλες εξαρτήσεις δημιουργούν μια σχέση μεταξύ οξειών γωνιών και πλευρών οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου. Δίνουμε τύπους για τον υπολογισμό αυτών των μεγεθών για τη γωνία Α και ανιχνεύουμε τη σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Όπως μπορείτε να δείτε, το tg και το ctg είναι αντίστροφες συναρτήσεις. Εάν παριστάνουμε το σκέλος a ως γινόμενο του αμαρτήματος Α και της υποτείνουσας c και το σκέλος b ως cos A * c, τότε παίρνουμε τους ακόλουθους τύπους για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη:

τριγωνομετρικός κύκλος

Γραφικά, η αναλογία των αναφερόμενων ποσοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Ο κύκλος, σε αυτή την περίπτωση, αντιπροσωπεύει όλες τις πιθανές τιμές της γωνίας α - από 0° έως 360°. Όπως φαίνεται από το σχήμα, κάθε συνάρτηση παίρνει μια αρνητική ή θετική τιμή ανάλογα με τη γωνία. Για παράδειγμα, το sin α θα έχει πρόσημο "+" εάν το α ανήκει στα τέταρτα I και II του κύκλου, δηλαδή είναι στην περιοχή από 0 ° έως 180 °. Με α από 180° έως 360° (ΙΙΙ και IV τέταρτα), το sin α μπορεί να είναι μόνο αρνητική τιμή.

Ας προσπαθήσουμε να φτιάξουμε τριγωνομετρικούς πίνακες για συγκεκριμένες γωνίες και να μάθουμε τη σημασία των μεγεθών.

Οι τιμές του α ίσες με 30°, 45°, 60°, 90°, 180° και ούτω καθεξής ονομάζονται ειδικές περιπτώσεις. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για αυτές υπολογίζονται και παρουσιάζονται με τη μορφή ειδικών πινάκων.

Αυτές οι γωνίες δεν επιλέχθηκαν τυχαία. Ο προσδιορισμός π στους πίνακες είναι για ακτίνια. Rad είναι η γωνία στην οποία το μήκος ενός κυκλικού τόξου αντιστοιχεί στην ακτίνα του. Αυτή η τιμή εισήχθη για να δημιουργηθεί μια καθολική σχέση· κατά τον υπολογισμό σε ακτίνια, το πραγματικό μήκος της ακτίνας σε cm δεν έχει σημασία.

Οι γωνίες στους πίνακες για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αντιστοιχούν σε τιμές ακτίνων:

Έτσι, δεν είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς ότι το 2π είναι ένας πλήρης κύκλος ή 360°.

Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο και συνημίτονο

Προκειμένου να εξεταστούν και να συγκριθούν οι βασικές ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις τους. Αυτό μπορεί να γίνει με τη μορφή μιας καμπύλης που βρίσκεται σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων.

Εξετάστε έναν συγκριτικό πίνακα ιδιοτήτων για ένα ημιτονοειδές κύμα και ένα συνημιτονοειδές κύμα:

ημιτονοειδής	συνημιτονικό κύμα
y = αμαρτία x	y = cos x
ODZ [-1; ένας]	ODZ [-1; ένας]
sin x = 0, για x = πk, όπου k ϵ Z	cos x = 0, για x = π/2 + πk, όπου k ϵ Z
sin x = 1, για x = π/2 + 2πk, όπου k ϵ Z	cos x = 1, για x = 2πk, όπου k ϵ Z
sin x = - 1, στο x = 3π/2 + 2πk, όπου k ϵ Z	cos x = - 1, για x = π + 2πk, όπου k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, δηλ. περιττή συνάρτηση	cos (-x) = cos x, δηλαδή η συνάρτηση είναι άρτια
	η συνάρτηση είναι περιοδική, η μικρότερη περίοδος είναι 2π
sin x › 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα I και II ή από 0° έως 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα I και IV ή από 270° έως 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα III και IV ή από 180° έως 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, με το x να ανήκει στα τέταρτα II και III ή από 90° έως 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
αυξάνεται στο διάστημα [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	αυξάνεται στο διάστημα [-π + 2πk, 2πk]
μειώνεται στα διαστήματα [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	μειώνεται κατά διαστήματα
παράγωγο (sin x)' = cos x	παράγωγο (cos x)’ = - sin x

Ο προσδιορισμός του αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή όχι είναι πολύ απλός. Αρκεί να φανταστεί κανείς έναν τριγωνομετρικό κύκλο με σημάδια τριγωνομετρικών μεγεθών και να «διπλώσει» νοερά το γράφημα σε σχέση με τον άξονα OX. Αν τα πρόσημα είναι ίδια, η συνάρτηση είναι άρτια, διαφορετικά είναι περιττή.

Η εισαγωγή των ακτίνων και η απαρίθμηση των κύριων ιδιοτήτων του ημιτονοειδούς και συνημιτονικού κύματος μας επιτρέπουν να φέρουμε το ακόλουθο μοτίβο:

Είναι πολύ εύκολο να επαληθεύσετε την ορθότητα του τύπου. Για παράδειγμα, για x = π/2, το ημίτονο είναι ίσο με 1, όπως και το συνημίτονο του x = 0. Ο έλεγχος μπορεί να γίνει κοιτάζοντας πίνακες ή ανιχνεύοντας καμπύλες συναρτήσεων για δεδομένες τιμές.

Ιδιότητες εφαπτοειδούς και συνεφαπτοειδούς

Τα γραφήματα των συναρτήσεων εφαπτομένης και συνεφαπτομένης διαφέρουν σημαντικά από το ημιτονοειδές και συνημιτονικό κύμα. Οι τιμές tg και ctg είναι αντίστροφες μεταξύ τους.

1. Υ = tgx.
2. Η εφαπτομένη τείνει στις τιμές του y στο x = π/2 + πk, αλλά δεν τις φτάνει ποτέ.
3. Η μικρότερη θετική περίοδος της εφαπτομένης είναι το π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, δηλαδή, η συνάρτηση είναι περιττή.
5. Tg x = 0, για x = πk.
6. Η συνάρτηση αυξάνεται.
7. Tg x › 0, για x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, για x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Παράγωγος (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Εξετάστε τη γραφική αναπαράσταση του συνεφαπτοειδούς παρακάτω στο κείμενο.

Οι κύριες ιδιότητες του συνταγονοειδούς:

1. Υ = ctgx.
2. Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, στην εφαπτομενική Y μπορεί να λάβει τις τιμές του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών.
3. Το συνεφαπτοειδές τείνει στις τιμές του y στο x = πk, αλλά δεν τις φτάνει ποτέ.
4. Η μικρότερη θετική περίοδος του συνεφαπτοειδούς είναι το π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, δηλαδή, η συνάρτηση είναι περιττή.
6. Ctg x = 0, για x = π/2 + πk.
7. Η συνάρτηση μειώνεται.
8. Ctg x › 0, για x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, για x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Παράγωγο (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Διόρθωση

Ξεκινάμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.

Θυμηθείτε ότι ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, η μισή από την ξεδιπλωμένη γωνία.

Κοφτερή γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.

Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)

Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται . Σημειώστε ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία Α συμβολίζεται.

Μια γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.

ΥποτείνουσαΟρθογώνιο τρίγωνο είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.

Πόδια- πλευρές απέναντι από αιχμηρές γωνίες.

Το πόδι απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο πόδι, που βρίσκεται στη μία πλευρά της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα:

Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:

Εφαπτομένοςοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το παρακείμενο:

Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου μιας γωνίας προς το συνημίτονό της:

Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο (ή, ισοδύναμα, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):

Δώστε προσοχή στις βασικές αναλογίες για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, που δίνονται παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι στην επίλυση προβλημάτων.

Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.

Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Γιατί όμως χρειαζόμαστε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;

Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι.

Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .

Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας δύο πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Έτσι, για τις γωνίες - την αναλογία τους, για τις πλευρές - τη δική τους. Τι να κάνετε όμως αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι γνωστές μια γωνία (εκτός από μια ορθή) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε άλλες πλευρές;

Αυτό αντιμετώπιζαν οι άνθρωποι στο παρελθόν, φτιάχνοντας χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.

Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας- δώστε την αναλογία μεταξύ κόμματακαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.

Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα τιμών ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης για "καλές" γωνίες από έως.

Παρατηρήστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Για τις αντίστοιχες τιμές των γωνιών, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.

Ας αναλύσουμε αρκετά προβλήματα στην τριγωνομετρία από τις εργασίες του Bank of FIPI.

1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .

Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.

Επειδή η , .

2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα .

Ας βρούμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το πρόβλημα λύθηκε.

Συχνά σε προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και . Απομνημονεύστε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!

Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.

Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.

Θεωρήσαμε προβλήματα για την επίλυση ορθογωνίων τριγώνων - δηλαδή για την εύρεση άγνωστων πλευρών ή γωνιών. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Στις παραλλαγές της εξέτασης στα μαθηματικά, υπάρχουν πολλές εργασίες όπου εμφανίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη ή η συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας του τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.

Οι έννοιες του ημιτόνου (), του συνημιτονοειδούς (), της εφαπτομένης (), της συνεφαπτομένης () είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την έννοια της γωνίας. Για να κατανοήσουμε καλά αυτές τις, με την πρώτη ματιά, πολύπλοκες έννοιες (που προκαλούν μια κατάσταση φρίκης σε πολλούς μαθητές) και για να βεβαιωθούμε ότι «ο διάβολος δεν είναι τόσο τρομακτικός όσο είναι ζωγραφισμένος», ας ξεκινήσουμε από την αρχή. και να κατανοήσουν την έννοια της γωνίας.

Η έννοια της γωνίας: ακτίνιο, βαθμός

Ας δούμε την εικόνα. Το διάνυσμα «γύρισε» σε σχέση με το σημείο κατά ένα ορισμένο ποσό. Άρα το μέτρο αυτής της περιστροφής σε σχέση με την αρχική θέση θα είναι γωνία.

Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για την έννοια της γωνίας; Λοιπόν, μονάδες γωνίας, φυσικά!

Η γωνία, τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τριγωνομετρία, μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες και ακτίνια.

Η γωνία σε (μία μοίρα) είναι η κεντρική γωνία του κύκλου, με βάση ένα κυκλικό τόξο ίσο με το τμήμα του κύκλου. Έτσι, ολόκληρος ο κύκλος αποτελείται από «κομμάτια» κυκλικών τόξων ή η γωνία που περιγράφει ο κύκλος είναι ίση.

Δηλαδή, το παραπάνω σχήμα δείχνει μια γωνία που είναι ίση, δηλαδή αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο στο μέγεθος της περιφέρειας.

Μια γωνία σε ακτίνια ονομάζεται η κεντρική γωνία ενός κύκλου, που βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Λοιπόν, κατάλαβες; Αν όχι, τότε ας δούμε την εικόνα.

Έτσι, το σχήμα δείχνει μια γωνία ίση με ένα ακτίνιο, δηλαδή, αυτή η γωνία βασίζεται σε ένα κυκλικό τόξο, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου (το μήκος είναι ίσο με το μήκος ή η ακτίνα είναι ίση με το μήκος του τόξου). Έτσι, το μήκος του τόξου υπολογίζεται από τον τύπο:

Πού είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.

Λοιπόν, γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να απαντήσετε σε πόσα ακτίνια περιέχει μια γωνία που περιγράφεται από έναν κύκλο; Ναι, για αυτό πρέπει να θυμάστε τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου. Εκεί είναι:

Λοιπόν, τώρα ας συσχετίσουμε αυτούς τους δύο τύπους και ας πάρουμε ότι η γωνία που περιγράφεται από τον κύκλο είναι ίση. Δηλαδή, συσχετίζοντας την τιμή σε μοίρες και ακτίνια, παίρνουμε αυτό. Αντίστοιχα, . Όπως μπορείτε να δείτε, σε αντίθεση με τους "βαθμούς", η λέξη "ακτίνιο" παραλείπεται, καθώς η μονάδα μέτρησης είναι συνήθως καθαρή από τα συμφραζόμενα.

Πόσα είναι τα ακτίνια; Σωστά!

Το έπιασα? Στη συνέχεια, στερεώστε προς τα εμπρός:

Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε κοίτα απαντήσεις:

Ορθογώνιο τρίγωνο: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη γωνίας

Έτσι, με την έννοια της γωνίας κατανοητή. Τι είναι όμως το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη μιας γωνίας; Ας το καταλάβουμε. Για αυτό, ένα ορθογώνιο τρίγωνο θα μας βοηθήσει.

Πώς ονομάζονται οι πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου; Αυτό είναι σωστό, η υποτείνουσα και τα πόδια: η υποτείνουσα είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η πλευρά). τα πόδια είναι οι δύο υπόλοιπες πλευρές και (αυτές που γειτνιάζουν με τη σωστή γωνία), επιπλέον, αν λάβουμε υπόψη τα πόδια ως προς τη γωνία, τότε το πόδι είναι το διπλανό πόδι και το πόδι είναι το αντίθετο. Λοιπόν, ας απαντήσουμε τώρα στην ερώτηση: τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας;

Ημίτονο γωνίαςείναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

στο τρίγωνο μας.

Συνημίτονο γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υπόταση.

στο τρίγωνο μας.

Εφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του αντίθετου (μακριού) ποδιού προς το διπλανό (κοντά).

στο τρίγωνο μας.

Συμεφαπτομένη γωνίας- αυτή είναι η αναλογία του διπλανού (κοντού) ποδιού προς το αντίθετο (μακριά).

στο τρίγωνο μας.

Αυτοί οι ορισμοί είναι απαραίτητοι θυμάμαι! Για να είναι πιο εύκολο να θυμάστε ποιο πόδι θα διαιρέσετε με τι, πρέπει να το καταλάβετε ξεκάθαρα εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένημόνο τα πόδια κάθονται και η υποτείνουσα εμφανίζεται μόνο στο κόλποςκαι συνημίτονο. Και τότε μπορείτε να καταλήξετε σε μια αλυσίδα ενώσεων. Για παράδειγμα, αυτό:

συνημίτονο→ αφή→ αφή→ παρακείμενο;

Συνεφαπτομένη→αφή→αφή→παρακείμενο.

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να θυμόμαστε ότι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ως λόγοι των πλευρών ενός τριγώνου δεν εξαρτώνται από τα μήκη αυτών των πλευρών (σε μία γωνία). Μην εμπιστεύεσαι? Στη συνέχεια, βεβαιωθείτε κοιτάζοντας την εικόνα:

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας. Εξ ορισμού, από ένα τρίγωνο: , αλλά μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας από ένα τρίγωνο: . Βλέπετε, τα μήκη των πλευρών είναι διαφορετικά, αλλά η τιμή του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι η ίδια. Έτσι, οι τιμές του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εξαρτώνται αποκλειστικά από το μέγεθος της γωνίας.

Εάν καταλαβαίνετε τους ορισμούς, τότε προχωρήστε και διορθώστε τους!

Για το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, βρίσκουμε.

Λοιπόν, το κατάλαβες; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας: υπολογίστε το ίδιο για τη γωνία.

Μοναδικός (τριγωνομετρικός) κύκλος

Κατανοώντας τις έννοιες των μοιρών και των ακτίνων, θεωρήσαμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με. Ένας τέτοιος κύκλος ονομάζεται μονόκλινο. Είναι πολύ χρήσιμο στη μελέτη της τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, μένουμε σε αυτό με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτός ο κύκλος είναι χτισμένος στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ένα, ενώ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στην αρχή, η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι σταθερή κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα (στο παράδειγμά μας, αυτή είναι η ακτίνα).

Κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς: τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα και τη συντεταγμένη κατά μήκος του άξονα. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί συντεταγμένων; Και γενικά τι σχέση έχουν με το επίμαχο θέμα; Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε το θεωρούμενο ορθογώνιο τρίγωνο. Στο παραπάνω σχήμα, μπορείτε να δείτε δύο ολόκληρα ορθογώνια τρίγωνα. Θεωρήστε ένα τρίγωνο. Είναι ορθογώνιο γιατί είναι κάθετο στον άξονα.

Τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Σωστά. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι είναι η ακτίνα του κύκλου μονάδας, και επομένως, . Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στον τύπο συνημιτόνου μας. Να τι συμβαίνει:

Και τι ισούται με από ένα τρίγωνο; Λοιπόν, φυσικά,! Αντικαταστήστε την τιμή της ακτίνας σε αυτόν τον τύπο και λάβετε:

Λοιπόν, μπορείτε να μου πείτε ποιες είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει στον κύκλο; Λοιπόν, δεν υπάρχει περίπτωση; Και αν το αντιλαμβάνεστε και είναι απλώς νούμερα; Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Λοιπόν, φυσικά, η συντεταγμένη! Σε ποια συντεταγμένη αντιστοιχεί; Σωστά, συντονίσου! Έτσι, το σημείο.

Και τι τότε είναι ίσα και; Αυτό είναι σωστό, ας χρησιμοποιήσουμε τους κατάλληλους ορισμούς της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης και ας καταλάβουμε ότι, α.

Τι γίνεται αν η γωνία είναι μεγαλύτερη; Εδώ, για παράδειγμα, όπως σε αυτή την εικόνα:

Τι έχει αλλάξει σε αυτό το παράδειγμα; Ας το καταλάβουμε. Για να το κάνουμε αυτό, στρέφουμε ξανά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο: μια γωνία (όπως δίπλα σε μια γωνία). Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας; Σωστά, τηρούμε τους αντίστοιχους ορισμούς των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Λοιπόν, όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή του ημιτόνου της γωνίας εξακολουθεί να αντιστοιχεί στη συντεταγμένη. η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας - η συντεταγμένη. και τις τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στις αντίστοιχες αναλογίες. Έτσι, αυτές οι σχέσεις είναι εφαρμόσιμες σε οποιεσδήποτε περιστροφές του διανύσματος ακτίνας.

Έχει ήδη αναφερθεί ότι η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας είναι κατά μήκος της θετικής κατεύθυνσης του άξονα. Μέχρι στιγμής έχουμε περιστρέψει αυτό το διάνυσμα αριστερόστροφα, αλλά τι συμβαίνει αν το περιστρέψουμε δεξιόστροφα; Τίποτα το εξαιρετικό, θα έχετε επίσης μια γωνία συγκεκριμένου μεγέθους, αλλά μόνο αυτή θα είναι αρνητική. Έτσι, όταν περιστρέφουμε το διάνυσμα ακτίνας αριστερόστροφα, παίρνουμε θετικές γωνίεςκαι όταν περιστρέφεται δεξιόστροφα - αρνητικός.

Έτσι, γνωρίζουμε ότι μια ολόκληρη περιστροφή του διανύσματος ακτίνας γύρω από τον κύκλο είναι ή. Είναι δυνατή η περιστροφή του διανύσματος ακτίνας κατά ή κατά; Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Στην πρώτη περίπτωση, επομένως, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει μια πλήρη περιστροφή και θα σταματήσει στη θέση ή.

Στη δεύτερη περίπτωση, δηλαδή, το διάνυσμα ακτίνας θα κάνει τρεις πλήρεις στροφές και θα σταματήσει στη θέση ή.

Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γωνίες που διαφέρουν κατά ή (όπου είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός) αντιστοιχούν στην ίδια θέση του διανύσματος ακτίνας.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια γωνία. Η ίδια εικόνα αντιστοιχεί στη γωνία κ.ο.κ. Αυτή η λίστα μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον. Όλες αυτές οι γωνίες μπορούν να γραφτούν με τον γενικό τύπο ή (όπου είναι ένας ακέραιος αριθμός)

Τώρα, γνωρίζοντας τους ορισμούς των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, προσπαθήστε να απαντήσετε με ποιες τιμές ισούνται με:

Ακολουθεί ένας κύκλος μονάδας για να σας βοηθήσει:

Υπάρχουν δυσκολίες; Τότε ας το καταλάβουμε. Ξέρουμε λοιπόν ότι:

Από εδώ προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων που αντιστοιχούν σε ορισμένα μέτρα της γωνίας. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά: η γωνία στο αντιστοιχεί σε ένα σημείο με συντεταγμένες, επομένως:

Δεν υπάρχει;

Περαιτέρω, ακολουθώντας την ίδια λογική, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες στο αντιστοιχούν σε σημεία με συντεταγμένες, αντίστοιχα. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα αντίστοιχα σημεία. Δοκιμάστε το πρώτα μόνοι σας και μετά ελέγξτε τις απαντήσεις.

Απαντήσεις:

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Έτσι, μπορούμε να φτιάξουμε τον παρακάτω πίνακα:

Δεν χρειάζεται να θυμάστε όλες αυτές τις αξίες. Αρκεί να θυμάστε την αντιστοιχία μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων στον κύκλο μονάδας και των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Αλλά οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών σε και, που δίνονται στον παρακάτω πίνακα, πρέπει να θυμόμαστε:

Μην φοβάστε, τώρα θα δείξουμε ένα από τα παραδείγματα μάλλον απλή απομνημόνευση των αντίστοιχων τιμών:

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο, είναι ζωτικής σημασίας να θυμάστε τις τιμές του ημιτόνου και για τα τρία μέτρα της γωνίας (), καθώς και την τιμή της εφαπτομένης της γωνίας μέσα. Γνωρίζοντας αυτές τις τιμές, είναι αρκετά εύκολο να επαναφέρετε ολόκληρο τον πίνακα - οι τιμές συνημιτόνου μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη, δηλαδή:

Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να επαναφέρετε τις τιμές για. Ο αριθμητής " " θα ταιριάζει και ο παρονομαστής " " θα ταιριάζει. Οι τιμές της συνεφαπτομένης μεταφέρονται σύμφωνα με τα βέλη που φαίνονται στο σχήμα. Εάν το καταλαβαίνετε και θυμάστε το διάγραμμα με βέλη, τότε θα αρκεί να θυμάστε ολόκληρη την τιμή από τον πίνακα.

Συντεταγμένες ενός σημείου σε κύκλο

Είναι δυνατόν να βρούμε ένα σημείο (τις συντεταγμένες του) σε έναν κύκλο, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου, την ακτίνα και τη γωνία περιστροφής του?

Λοιπόν, φυσικά και μπορείς! Ας βγάλουμε γενικός τύπος για την εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου.

Εδώ, για παράδειγμα, έχουμε έναν τέτοιο κύκλο:

Μας δίνεται ότι το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το σημείο κατά μοίρες.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, η συντεταγμένη του σημείου αντιστοιχεί στο μήκος του τμήματος. Το μήκος του τμήματος αντιστοιχεί στη συντεταγμένη του κέντρου του κύκλου, δηλαδή είναι ίσο με. Το μήκος ενός τμήματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του συνημιτόνου:

Τότε έχουμε ότι για το σημείο τη συντεταγμένη.

Με την ίδια λογική, βρίσκουμε την τιμή της συντεταγμένης y για το σημείο. Με αυτόν τον τρόπο,

Έτσι, σε γενικές γραμμές, οι συντεταγμένες των σημείων καθορίζονται από τους τύπους:

Συντεταγμένες κέντρου κύκλου,

ακτίνα κύκλου,

Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας.

Όπως μπορείτε να δείτε, για τον μοναδιαίο κύκλο που εξετάζουμε, αυτοί οι τύποι μειώνονται σημαντικά, καθώς οι συντεταγμένες του κέντρου είναι μηδέν και η ακτίνα είναι ίση με ένα:

Λοιπόν, ας δοκιμάσουμε αυτές τις φόρμουλες για μια γεύση, εξασκώντας την εύρεση σημείων σε έναν κύκλο;

1. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει με την ενεργοποίηση ενός σημείου.

2. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει από την περιστροφή ενός σημείου επάνω.

3. Βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο μονάδας που προκύπτει με την ενεργοποίηση ενός σημείου.

4. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.

5. Σημείο - το κέντρο του κύκλου. Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση. Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου που λαμβάνεται περιστρέφοντας το διάνυσμα της αρχικής ακτίνας κατά.

Δυσκολεύεστε να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε έναν κύκλο;

Λύστε αυτά τα πέντε παραδείγματα (ή κατανοήστε καλά τη λύση) και θα μάθετε πώς να τα βρείτε!

1.

Μπορεί να φανεί ότι. Και ξέρουμε τι αντιστοιχεί σε μια πλήρη στροφή του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:

2. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:

Μπορεί να φανεί ότι. Γνωρίζουμε τι αντιστοιχεί σε δύο πλήρεις περιστροφές του σημείου εκκίνησης. Έτσι, το επιθυμητό σημείο θα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως όταν στρίβετε. Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του σημείου:

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι τιμές πίνακα. Θυμόμαστε τις αξίες τους και παίρνουμε:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

3. Ο κύκλος είναι μονάδα με κέντρο σε ένα σημείο, που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απλοποιημένους τύπους:

Μπορεί να φανεί ότι. Ας απεικονίσουμε το εξεταζόμενο παράδειγμα στο σχήμα:

Η ακτίνα κάνει γωνίες με τον άξονα ίσο με και. Γνωρίζοντας ότι οι πινακικές τιμές του συνημιτόνου και του ημιτόνου είναι ίσες και αφού καθορίσουμε ότι το συνημίτονο εδώ παίρνει μια αρνητική τιμή και το ημίτονο είναι θετικό, έχουμε:

Παρόμοια παραδείγματα αναλύονται λεπτομερέστερα κατά τη μελέτη των τύπων για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο θέμα.

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

4.

Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη)

Για να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα πρόσημα ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς, κατασκευάζουμε έναν μοναδιαίο κύκλο και μια γωνία:

Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή, δηλαδή, είναι θετική και η τιμή, δηλαδή, είναι αρνητική. Γνωρίζοντας τις πινακικές τιμές των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, παίρνουμε ότι:

Ας αντικαταστήσουμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο μας και ας βρούμε τις συντεταγμένες:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

5. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τύπους σε γενική μορφή, όπου

Οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (στο παράδειγμά μας,

Ακτίνα κύκλου (ανά συνθήκη)

Γωνία περιστροφής του διανύσματος ακτίνας (κατά συνθήκη).

Αντικαταστήστε όλες τις τιμές στον τύπο και λάβετε:

και - τιμές πίνακα. Τα θυμόμαστε και τα αντικαθιστούμε στον τύπο:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο έχει συντεταγμένες.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι (μακρυνού) σκέλους προς το διπλανό (κοντά).

Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού (κοντού) σκέλους προς το αντίθετο (μακριά).

Επιλέξτε μια ρουμπρίκα Βιβλία Μαθηματικά Φυσική Έλεγχος και διαχείριση πρόσβασης Πυρασφάλεια Χρήσιμος εξοπλισμός προμηθευτές Όργανα μέτρησης (KIP) Μέτρηση υγρασίας - προμηθευτές στη Ρωσική Ομοσπονδία. Μέτρηση πίεσης. Μέτρηση κόστους. Ροόμετρα. Μέτρηση θερμοκρασίας Μέτρηση επιπέδου. Μετρητές στάθμης. Τεχνολογίες χωρίς τάφρο Αποχετευτικά συστήματα. Προμηθευτές αντλιών στη Ρωσική Ομοσπονδία. Επισκευή αντλίας. Εξαρτήματα σωληνώσεων. Βαλβίδες πεταλούδας (δισκοβαλβίδες). Βαλβίδες αντεπιστροφής. Οπλισμός ελέγχου. Διχτυωτά φίλτρα, λασποσυλλέκτες, μαγνητομηχανικά φίλτρα. Σφαίρες Βαλβίδες. Σωλήνες και στοιχεία αγωγών. Τσιμούχες για σπειρώματα, φλάντζες κ.λπ. Ηλεκτροκινητήρες, ηλεκτροκινητήρες… Εγχειρίδιο Αλφάβητα, ονομασίες, μονάδες, κωδικοί… Αλφάβητα, συμπ. Ελληνικά και Λατινικά. Σύμβολα. Κωδικοί. Άλφα, βήτα, γάμμα, δέλτα, έψιλον… Ονομασίες ηλεκτρικών δικτύων. Μετατροπή μονάδας Decibel. Ονειρο. Ιστορικό. Μονάδες τι; Μονάδες μέτρησης πίεσης και κενού. Μετατροπή μονάδων πίεσης και κενού. Μονάδες μήκους. Μετάφραση μονάδων μήκους (γραμμικό μέγεθος, αποστάσεις). Μονάδες όγκου. Μετατροπή μονάδων όγκου. Μονάδες πυκνότητας. Μετατροπή μονάδων πυκνότητας. Μονάδες περιοχής. Μετατροπή μονάδων επιφάνειας. Μονάδες μέτρησης σκληρότητας. Μετατροπή μονάδων σκληρότητας. Μονάδες θερμοκρασίας. Μετατροπή μονάδων θερμοκρασίας σε κλίμακες Kelvin / Κελσίου / Φαρενάιτ / Rankine / Delisle / Newton / Reamure Μονάδες μέτρησης γωνιών ("γωνιακές διαστάσεις"). Μετατρέψτε τις μονάδες γωνιακής ταχύτητας και γωνιακής επιτάχυνσης. Τυπικά σφάλματα μέτρησης Τα αέρια είναι διαφορετικά ως μέσα εργασίας. Άζωτο N2 (ψυκτικό R728) Αμμωνία (ψυκτικό R717). Αντιψυκτικό. Υδρογόνο H^2 (ψυκτικό R702) Υδρατμοί. Αέρας (Ατμόσφαιρα) Φυσικό αέριο - φυσικό αέριο. Το βιοαέριο είναι αέριο αποχέτευσης. Υγροποιημένο αέριο. NGL. LNG. Προπάνιο-βουτάνιο. Οξυγόνο O2 (ψυκτικό R732) Έλαια και λιπαντικά Μεθάνιο CH4 (ψυκτικό R50) Ιδιότητες νερού. μονοξείδιο του άνθρακα CO. μονοξείδιο του άνθρακα. Διοξείδιο του άνθρακα CO2. (Ψυκτικό R744). Χλώριο Cl2 Υδροχλώριο HCl, γνωστό και ως υδροχλωρικό οξύ. Ψυκτικά μέσα (ψυκτικά). Ψυκτικό (Ψυκτικό) R11 - Φθοριοχλωρομεθάνιο (CFCI3) Ψυκτικό (Ψυκτικό) R12 - Διφθοροδιχλωρομεθάνιο (CF2CCl2) Ψυκτικό (Ψυκτικό) R125 - Πενταφθοροαιθάνιο (CF2HCF3). Ψυκτικό μέσο (Ψυκτικό) R134a - 1,1,1,2-Τετραφθοροαιθάνιο (CF3CFH2). Ψυκτικό μέσο (Ψυκτικό) R22 - Διφθοροχλωρομεθάνιο (CF2ClH) Ψυκτικό μέσο (Ψυκτικό) R32 - Διφθορομεθάνιο (CH2F2). Ψυκτικό μέσο (Ψυκτικό) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Ποσοστό κατά μάζα. Άλλα Υλικά - θερμικές ιδιότητες Λειαντικά - τρίξιμο, λεπτότητα, εξοπλισμός λείανσης. Χώμα, χώμα, άμμος και άλλα πετρώματα. Δείκτες χαλάρωσης, συρρίκνωσης και πυκνότητας εδαφών και πετρωμάτων. Συρρίκνωση και χαλάρωση, φορτία. Γωνίες κλίσης. Ύψη από προεξοχές, χωματερές. Ξύλο. Ξυλεία. Ξυλεία. κούτσουρα. Καυσόξυλα… Κεραμικά. Κόλλες και αρμοί κόλλας Πάγος και χιόνι (νερό πάγος) Μέταλλα Αλουμίνιο και κράματα αλουμινίου Χαλκός, μπρούντζος και ορείχαλκος Χάλκινος ορείχαλκος Χαλκός (και ταξινόμηση κραμάτων χαλκού) Νικέλιο και κράματα Συμμόρφωση με ποιότητες κραμάτων Χάλυβες και κράματα Πίνακες αναφοράς βαρών προϊόντων έλασης μετάλλων και σωλήνες. +/-5% Βάρος σωλήνα. μεταλλικό βάρος. Μηχανικές ιδιότητες χάλυβα. Ορυκτά χυτοσιδήρου. Αμίαντο. Προϊόντα διατροφής και πρώτες ύλες τροφίμων. Ιδιότητες, κ.λπ. Σύνδεση με άλλη ενότητα του έργου. Καουτσούκ, πλαστικά, ελαστομερή, πολυμερή. Λεπτομερής περιγραφή των ελαστομερών PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE τροποποιημένο), Αντοχή υλικών. Sopromat. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ. Φυσικές, μηχανικές και θερμικές ιδιότητες. Σκυρόδεμα. Λύση σκυροδέματος. Λύση. Εξαρτήματα κατασκευής. Χάλυβας και άλλα. Πίνακες εφαρμογής υλικών. Χημική αντίσταση. Εφαρμογή θερμοκρασίας. Αντοχή στη διάβρωση. Στεγανοποιητικά υλικά - στεγανωτικά αρμών. PTFE (fluoroplast-4) και παράγωγα υλικά. Ταινία FUM. Αναερόβιες κόλλες Μη στεγνωτικά (μη σκληρυντικά) σφραγιστικά. Σφραγιστικά σιλικόνης (οργανοπυρίτιο). Γραφίτης, αμίαντος, παρονίτες και παράγωγα υλικά Παρονίτης. Θερμικά διογκωμένος γραφίτης (TRG, TMG), συνθέσεις. Ιδιότητες. Εφαρμογή. Παραγωγή. Σφραγίδες υγιεινής από ελαστομερή λινάρι Μονωτήρες και θερμομονωτικά υλικά. (σύνδεσμος στην ενότητα του έργου) Τεχνικές και έννοιες μηχανικής Προστασία από εκρήξεις. Την προστασία του περιβάλλοντος. Διάβρωση. Κλιματικές τροποποιήσεις (πίνακες συμβατότητας υλικού) Κατηγορίες πίεσης, θερμοκρασίας, στεγανότητας Πτώση (απώλεια) πίεσης. — Μηχανική έννοια. Πυροπροστασία. Φωτιές. Θεωρία αυτόματου ελέγχου (ρύθμιση). TAU Μαθηματικό Εγχειρίδιο Αριθμητική, Γεωμετρικές προόδους και αθροίσματα ορισμένων αριθμητικών σειρών. Γεωμετρικά σχήματα. Ιδιότητες, τύποι: περίμετροι, εμβαδά, όγκοι, μήκη. Τρίγωνα, Ορθογώνια κ.λπ. Μοίρες σε ακτίνια. επίπεδες φιγούρες. Ιδιότητες, πλευρές, γωνίες, σημεία, περίμετροι, ισότητες, ομοιότητες, συγχορδίες, τομείς, εμβαδά κ.λπ. Περιοχές ακανόνιστων μορφών, όγκοι ακανόνιστων σωμάτων. Η μέση τιμή του σήματος. Τύποι και μέθοδοι υπολογισμού του εμβαδού. Γραφικές παραστάσεις. Κατασκευή γραφημάτων. Ανάγνωση διαγραμμάτων. Ολοκληρωτικός και διαφορικός λογισμός. Πίνακες παράγωγα και ολοκληρώματα. Πίνακας παραγώγων. Πίνακας ολοκληρωμάτων. Πίνακας πρωτόγονων. Βρείτε παράγωγο. Βρείτε το ολοκλήρωμα. Diffury. Μιγαδικοί αριθμοί. φανταστική μονάδα. Γραμμική άλγεβρα. (Διανύσματα, πίνακες) Μαθηματικά για τους μικρούς. Νηπιαγωγείο - 7η τάξη. Μαθηματική λογική. Λύση εξισώσεων. Τετραγωνικές και διτετραγωνικές εξισώσεις. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι. Μέθοδοι. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Παραδείγματα λύσεων σε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις τάξης υψηλότερης από την πρώτη. Παραδείγματα λύσεων στην απλούστερη = αναλυτικά επιλύσιμες συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Συστήματα συντεταγμένων. Ορθογώνιο καρτεσιανό, πολικό, κυλινδρικό και σφαιρικό. Δισδιάστατο και τρισδιάστατο. Αριθμητικά συστήματα. Αριθμοί και ψηφία (πραγματικοί, μιγαδικοί, ....). Πίνακες αριθμητικών συστημάτων. Power series των Taylor, Maclaurin (=McLaren) και περιοδικών σειρών Fourier. Αποσύνθεση συναρτήσεων σε σειρές. Πίνακες λογαρίθμων και βασικοί τύποι Πίνακες αριθμητικών τιμών Πίνακες Bradys. Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική Τριγωνομετρικές συναρτήσεις, τύποι και γραφήματα. sin, cos, tg, ctg….Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τύποι μείωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τριγωνομετρικές ταυτότητες. Αριθμητικές μέθοδοι Εξοπλισμός - πρότυπα, διαστάσεις Οικιακές συσκευές, οικιακός εξοπλισμός. Συστήματα αποχέτευσης και αποχέτευσης. Χωρητικότητες, δεξαμενές, δεξαμενές, δεξαμενές. Όργανα και έλεγχος Όργανα και αυτοματισμός. Μέτρηση θερμοκρασίας. Μεταφορείς, ιμάντα μεταφοράς. Δοχεία (σύνδεσμος) Εξοπλισμός εργαστηρίου. Αντλίες και αντλιοστάσια Αντλίες υγρών και χαρτοπολτών. Μηχανική ορολογία. Λεξικό. Προβολή. Διήθηση. Διαχωρισμός σωματιδίων μέσω πλέγματος και κόσκινων. Κατά προσέγγιση αντοχή σχοινιών, καλωδίων, κορδονιών, σχοινιών από διάφορα πλαστικά. Προϊόντα από καουτσούκ. Αρθρώσεις και προσαρτήματα. Διάμετροι υπό όρους, ονομαστική, Du, DN, NPS και NB. Μετρικές και ίντσες διάμετροι. SDR. Κλειδιά και κλειδαριές. Πρότυπα επικοινωνίας. Σήματα σε συστήματα αυτοματισμού (I&C) Αναλογικά σήματα εισόδου και εξόδου οργάνων, αισθητήρων, μετρητών ροής και συσκευών αυτοματισμού. διεπαφές σύνδεσης. Πρωτόκολλα επικοινωνίας (επικοινωνίες) Τηλεφωνία. Εξαρτήματα σωληνώσεων. Γερανοί, βαλβίδες, βαλβίδες πύλης…. Μήκη κτιρίου. Φλάντζες και κλωστές. Πρότυπα. Διαστάσεις σύνδεσης. κλωστές. Ονομασίες, διαστάσεις, χρήση, τύποι ... (σύνδεσμος αναφοράς) Συνδέσεις («υγιεινές», «άσηπτες») αγωγοί στις βιομηχανίες τροφίμων, γαλακτοκομικών και φαρμακευτικών προϊόντων. Σωλήνες, αγωγοί. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Επιλογή διαμέτρου αγωγού. Ρυθμοί ροής. Εξοδα. Δύναμη. Πίνακες επιλογής, πτώση πίεσης. Χαλκοσωλήνες. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Σωλήνες από πολυβινυλοχλωρίδιο (PVC). Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Οι σωλήνες είναι πολυαιθυλενίου. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Σωλήνες πολυαιθυλενίου PND. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Σωλήνες από χάλυβα (συμπεριλαμβανομένου του ανοξείδωτου χάλυβα). Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Ο σωλήνας είναι χάλυβας. Ο σωλήνας είναι ανοξείδωτος. Σωλήνες από ανοξείδωτο χάλυβα. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Ο σωλήνας είναι ανοξείδωτος. Σωλήνες από ανθρακούχο χάλυβα. Διάμετροι σωλήνων και άλλα χαρακτηριστικά. Ο σωλήνας είναι χάλυβας. Προσαρμογή. Φλάντζες σύμφωνα με GOST, DIN (EN 1092-1) και ANSI (ASME). Σύνδεση με φλάντζα. Συνδέσεις φλάντζας. Σύνδεση με φλάντζα. Στοιχεία αγωγών. Ηλεκτρικοί λαμπτήρες Ηλεκτρικοί σύνδεσμοι και καλώδια (καλώδια) Ηλεκτροκινητήρες. Ηλεκτροκινητήρες. Ηλεκτρικές συσκευές μεταγωγής. (Σύνδεσμος στην ενότητα) Πρότυπα για την προσωπική ζωή των μηχανικών Γεωγραφία για μηχανικούς. Αποστάσεις, διαδρομές, χάρτες….. Μηχανικοί στην καθημερινότητα. Οικογένεια, παιδιά, αναψυχή, ένδυση και στέγαση. Παιδιά μηχανικών. Μηχανικοί στα γραφεία. Μηχανικοί και άλλοι άνθρωποι. Κοινωνικοποίηση μηχανικών. Περιέργειες. Αναπαυόμενοι μηχανικοί. Αυτό μας συγκλόνισε. Μηχανικοί και τρόφιμα. Συνταγές, χρησιμότητα. Κόλπα για εστιατόρια. Διεθνές εμπόριο για μηχανικούς. Μαθαίνουμε να σκεφτόμαστε με τρόπο huckster. Μεταφορές και ταξίδια. Ιδιωτικά αυτοκίνητα, ποδήλατα…. Φυσική και χημεία του ανθρώπου. Οικονομικά για μηχανικούς. Bormotologiya χρηματοδότες - ανθρώπινη γλώσσα. Τεχνολογικές έννοιες και σχέδια Χαρτί γραφή, σχέδιο, γραφείο και φάκελοι. Τυπικά μεγέθη φωτογραφιών. Αερισμός και κλιματισμός. Ύδρευση και αποχέτευση Παροχή ζεστού νερού (ΖΝΧ). Παροχή πόσιμου νερού Λύματα. Παροχή κρύου νερού Γαλβανική βιομηχανία Ψύξη Γραμμές / συστήματα ατμού. Γραμμές / συστήματα συμπύκνωσης. Γραμμές ατμού. Αγωγοί συμπυκνώματος. Βιομηχανία τροφίμων Προμήθεια φυσικού αερίου Συγκόλληση μετάλλων Σύμβολα και ονομασίες εξοπλισμού σε σχέδια και διαγράμματα. Συμβολικές γραφικές παραστάσεις σε έργα θέρμανσης, εξαερισμού, κλιματισμού και παροχής θερμότητας και ψύξης, σύμφωνα με το Πρότυπο ANSI / ASHRAE 134-2005. Αποστείρωση εξοπλισμού και υλικών Παροχή θερμότητας Ηλεκτρονική βιομηχανία Τροφοδοτικό Φυσική αναφορά Αλφάβητα. Αποδεκτοί χαρακτηρισμοί. Βασικές φυσικές σταθερές. Η υγρασία είναι απόλυτη, σχετική και συγκεκριμένη. Υγρασία αέρα. Ψυχρομετρικοί πίνακες. Διαγράμματα Ramzin. Χρονικό ιξώδες, αριθμός Reynolds (Re). Μονάδες ιξώδους. Αέρια. Ιδιότητες αερίων. Μεμονωμένες σταθερές αερίου. Πίεση και κενό Μήκος κενού, απόσταση, γραμμική διάσταση Ήχος. Υπέρηχος. Συντελεστές ηχοαπορρόφησης (σύνδεση σε άλλη ενότητα) Κλίμα. κλιματικά δεδομένα. φυσικά δεδομένα. SNiP 23-01-99. Κλιματολογία κτιρίων. (Στατιστικές κλιματικών δεδομένων) SNIP 23-01-99 Πίνακας 3 - Μέση μηνιαία και ετήσια θερμοκρασία αέρα, ° С. Πρώην ΕΣΣΔ. SNIP 23-01-99 Πίνακας 1. Κλιματικές παράμετροι της ψυχρής περιόδου του έτους. RF. SNIP 23-01-99 Πίνακας 2. Κλιματικές παράμετροι της θερμής περιόδου. Πρώην ΕΣΣΔ. SNIP 23-01-99 Πίνακας 2. Κλιματικές παράμετροι της θερμής περιόδου. RF. SNIP 23-01-99 Πίνακας 3. Μέση μηνιαία και ετήσια θερμοκρασία αέρα, °С. RF. SNiP 23-01-99. Πίνακας 5α* - Μέση μηνιαία και ετήσια μερική πίεση υδρατμών, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Πίνακας 1. Κλιματικές παράμετροι της ψυχρής περιόδου. Πρώην ΕΣΣΔ. Πυκνότητα. Βάρος. Ειδικό βάρος. Χύδην πυκνότητα. Επιφανειακή τάση. Διαλυτότητα. Διαλυτότητα αερίων και στερεών. Φως και χρώμα. Συντελεστές ανάκλασης, απορρόφησης και διάθλασης Χρώμα αλφάβητο:) - Ονομασίες (κωδικοποιήσεις) χρώματος (χρώματα). Ιδιότητες κρυογονικών υλικών και μέσων. Πίνακες. Συντελεστές τριβής για διάφορα υλικά. Θερμικές ποσότητες, συμπεριλαμβανομένων των θερμοκρασιών βρασμού, τήξης, φλόγας, κ.λπ.…… για περισσότερες πληροφορίες, δείτε: Αδιαβατικοί συντελεστές (δείκτες). Συναγωγή και πλήρης εναλλαγή θερμότητας. Συντελεστές θερμικής γραμμικής διαστολής, θερμικής ογκομετρικής διαστολής. Θερμοκρασίες, βρασμός, τήξη, άλλα… Μετατροπή μονάδων θερμοκρασίας. Ευφλεκτότητα. θερμοκρασία μαλακώματος. Σημεία βρασμού Σημεία τήξης Θερμική αγωγιμότητα. Συντελεστές θερμικής αγωγιμότητας. Θερμοδυναμική. Ειδική θερμότητα εξάτμισης (συμπύκνωση). Ενθαλπία εξάτμισης. Ειδική θερμότητα καύσης (θερμιδική αξία). Η ανάγκη για οξυγόνο. Ηλεκτρικά και μαγνητικά μεγέθη Ηλεκτρικές διπολικές ροπές. Η διηλεκτρική σταθερά. Ηλεκτρική σταθερά. Μήκη ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων (βιβλίο αναφοράς άλλης ενότητας) Ισχύς μαγνητικού πεδίου Έννοιες και τύποι για τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό. Ηλεκτροστατική. Πιεζοηλεκτρικές μονάδες. Ηλεκτρική αντοχή υλικών Ηλεκτρικό ρεύμα Ηλεκτρική αντίσταση και αγωγιμότητα. Ηλεκτρονικά δυναμικά Βιβλίο αναφοράς χημικών "Χημικό αλφάβητο (λεξικό)" - ονόματα, συντμήσεις, προθέματα, ονομασίες ουσιών και ενώσεων. Υδατικά διαλύματα και μείγματα για την επεξεργασία μετάλλων. Υδατικά διαλύματα για την εφαρμογή και αφαίρεση μεταλλικών επικαλύψεων Υδατικά διαλύματα για την αφαίρεση εναποθέσεων άνθρακα (επιθέσεις πίσσας, εναποθέσεις άνθρακα από κινητήρες εσωτερικής καύσης ...) Υδατικά διαλύματα για παθητικοποίηση. Υδατικά διαλύματα για χάραξη - αφαίρεση οξειδίων από την επιφάνεια Υδατικά διαλύματα για φωσφοροποίηση Υδατικά διαλύματα και μείγματα για χημική οξείδωση και χρωματισμό μετάλλων. Υδατικά διαλύματα και μείγματα για χημική στίλβωση Απολιπαντικά υδατικά διαλύματα και οργανικοί διαλύτες pH. πίνακες pH. Κάψιμο και εκρήξεις. Οξείδωση και αναγωγή. Τάξεις, κατηγορίες, ονομασίες επικινδυνότητας (τοξικότητας) χημικών ουσιών Περιοδικό σύστημα χημικών στοιχείων του DI Mendeleev. Περιοδικός Πίνακας. Πυκνότητα οργανικών διαλυτών (g/cm3) ανάλογα με τη θερμοκρασία. 0-100 °C. Ιδιότητες λύσεων. Σταθερές διάστασης, οξύτητα, βασικότητα. Διαλυτότητα. Μίγματα. Θερμικές σταθερές ουσιών. Ενθαλπία. εντροπία. Gibbs Energy… (σύνδεσμος στο χημικό βιβλίο αναφοράς του έργου) Ρυθμιστές ηλεκτρικής μηχανικής Συστήματα αδιάλειπτης παροχής ρεύματος. Συστήματα αποστολής και ελέγχου Συστήματα δομημένης καλωδίωσης Κέντρα δεδομένων

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινιστεί ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος ακουμπάει σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Αυτό που θέλω να επισημάνω συγκεκριμένα είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι δύο διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται καθώς παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Πολύ καλά, οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται στη Wikipedia. Εμείς κοιτάμε.

Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, στα οποία το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «μυαλό μου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τους συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Καταρχάς θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε κέρματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα θυμηθεί μανιωδώς τη φυσική: διαφορετικά νομίσματα έχουν διαφορετικές ποσότητες βρωμιάς, η κρυσταλλική δομή και η διάταξη των ατόμων για κάθε νόμισμα είναι μοναδική...

Και τώρα έχω την πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού είναι το όριο πέρα ​​από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.

Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σούλερ βγάζει έναν άσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσετ. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Κυριακή 18 Μαρτίου 2018

Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά είναι σαμάνοι για αυτό, για να διδάξουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.

Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά με τον οποίο μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών, η εργασία ακούγεται ως εξής: "Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό". Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν στοιχειωδώς.

Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και έτσι, ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.

1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε γραφικό σύμβολο αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

2. Κόψαμε μια λαμβανόμενη εικόνα σε πολλές εικόνες που περιέχουν ξεχωριστούς αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.

3. Μετατρέψτε μεμονωμένους γραφικούς χαρακτήρες σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε τον αριθμό. Έτσι, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. Με έναν μεγάλο αριθμό 12345, δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, σκεφτείτε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα στο μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι σαν να βρίσκεις το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά θα σου έδινε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα.

Το μηδέν σε όλα τα αριθμητικά συστήματα φαίνεται το ίδιο και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι . Μια ερώτηση για τους μαθηματικούς: πώς δηλώνεται στα μαθηματικά αυτό που δεν είναι αριθμός; Τι, για τους μαθηματικούς, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς; Για τους σαμάνους, μπορώ να το επιτρέψω αυτό, αλλά για τους επιστήμονες, όχι. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης αριθμών. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Εάν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα μετά τη σύγκριση τους, τότε αυτό δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.

Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής ενέργειας δεν εξαρτάται από την τιμή του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.

Σημάδι στην πόρτα Ανοίγει την πόρτα και λέει:

Ωχ! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της αόριστης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψη στον ουρανό! Nimbus στην κορυφή και βέλος επάνω. Τι άλλη τουαλέτα;

Θηλυκό... Ένα φωτοστέφανο από πάνω και ένα βέλος κάτω είναι αρσενικό.

Εάν έχετε ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού να αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,

Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:

Προσωπικά, κάνω μια προσπάθεια με τον εαυτό μου να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός μοιρών). Και αυτό το κορίτσι δεν το θεωρώ ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα τόξο στερεότυπο της αντίληψης των γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Το 1Α δεν είναι "μείον τέσσερις μοίρες" ή "ένα α". Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα τον αριθμό και το γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.