Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που χτίζει τον κόσμο. Και ο επιστήμονας και ο απλός άνθρωπος - κανείς δεν μπορεί να κάνει χωρίς αυτό. Αρχικά, τα μικρά παιδιά διδάσκονται να μετρούν, στη συνέχεια να προσθέτουν, να αφαιρούν, να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν, από το γυμνάσιο, οι χαρακτηρισμοί των γραμμάτων μπαίνουν στο παιχνίδι και στο μεγαλύτερο δεν μπορούν πλέον να παραβλεφθούν.

Αλλά σήμερα θα μιλήσουμε για το σε τι βασίζονται όλα τα γνωστά μαθηματικά. Σχετικά με την κοινότητα των αριθμών που ονομάζεται "όρια ακολουθίας".

Τι είναι οι ακολουθίες και πού είναι το όριο τους;

Η έννοια της λέξης «ακολουθία» δεν είναι δύσκολο να ερμηνευτεί. Αυτή είναι μια τέτοια κατασκευή πραγμάτων, όπου κάποιος ή κάτι βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη σειρά ή ουρά. Για παράδειγμα, η ουρά για τα εισιτήρια στον ζωολογικό κήπο είναι μια σειρά. Και μπορεί να υπάρχει μόνο ένα! Εάν, για παράδειγμα, κοιτάξετε την ουρά προς το κατάστημα, αυτή είναι μια σειρά. Και αν ένα άτομο φύγει ξαφνικά από αυτή την ουρά, τότε αυτή είναι μια διαφορετική ουρά, μια διαφορετική σειρά.

Η λέξη "όριο" ερμηνεύεται επίσης εύκολα - αυτό είναι το τέλος του κάτι. Ωστόσο, στα μαθηματικά, τα όρια των ακολουθιών είναι εκείνες οι τιμές στην αριθμητική γραμμή στις οποίες τείνει μια ακολουθία αριθμών. Γιατί προσπαθεί και δεν τελειώνει; Είναι απλό, η αριθμητική γραμμή δεν έχει τέλος και οι περισσότερες ακολουθίες, όπως οι ακτίνες, έχουν μόνο αρχή και μοιάζουν με αυτό:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Ως εκ τούτου, ο ορισμός μιας ακολουθίας είναι συνάρτηση του φυσικού ορίσματος. Με πιο απλά λόγια, είναι μια σειρά από μέλη κάποιου συνόλου.

Πώς κατασκευάζεται μια αριθμητική ακολουθία;

Το απλούστερο παράδειγμα μιας ακολουθίας αριθμών μπορεί να μοιάζει με αυτό: 1, 2, 3, 4, …n…

Στις περισσότερες περιπτώσεις, για πρακτικούς λόγους, οι ακολουθίες δημιουργούνται από αριθμούς και κάθε επόμενο μέλος της σειράς, ας το συμβολίσουμε με Χ, έχει το δικό του όνομα. Για παράδειγμα:

x 1 - το πρώτο μέλος της ακολουθίας.

x 2 - το δεύτερο μέλος της ακολουθίας.

x 3 - το τρίτο μέλος.

Το x n είναι το ντο μέλος.

Στις πρακτικές μεθόδους, η ακολουθία δίνεται από έναν γενικό τύπο στον οποίο υπάρχει κάποια μεταβλητή. Για παράδειγμα:

X n \u003d 3n, τότε η ίδια η σειρά των αριθμών θα μοιάζει με αυτό:

Αξίζει να θυμάστε ότι στη γενική σημειογραφία των ακολουθιών, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε λατινικά γράμματα, και όχι μόνο X. Για παράδειγμα: y, z, k, κ.λπ.

Αριθμητική πρόοδος ως μέρος ακολουθιών

Πριν αναζητήσουμε τα όρια των ακολουθιών, καλό είναι να εμβαθύνουμε στην ίδια την έννοια μιας τέτοιας σειράς αριθμών, την οποία συνάντησαν όλοι όταν ήταν στις μεσαίες τάξεις. Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια σειρά αριθμών στους οποίους η διαφορά μεταξύ γειτονικών όρων είναι σταθερή.

Εργασία: "Έστω ένα 1 \u003d 15 και το βήμα της προόδου της σειράς αριθμών d \u003d 4. Δημιουργήστε τα πρώτα 4 μέλη αυτής της σειράς"

Λύση: a 1 = 15 (κατά συνθήκη) είναι το πρώτο μέλος της προόδου (αριθμητική σειρά).

και 2 = 15+4=19 είναι το δεύτερο μέλος της προόδου.

και 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 είναι ο τρίτος όρος.

και 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 είναι ο τέταρτος όρος.

Ωστόσο, με αυτή τη μέθοδο είναι δύσκολο να φτάσετε σε μεγάλες τιμές, για παράδειγμα, μέχρι 125. . Ειδικά για τέτοιες περιπτώσεις, προέκυψε ένας τύπος βολικός για πρακτική: a n \u003d a 1 + d (n-1). Σε αυτήν την περίπτωση, ένα 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Τύποι ακολουθιών

Οι περισσότερες σεκάνς είναι ατελείωτες, αξίζει να θυμόμαστε για μια ζωή. Υπάρχουν δύο ενδιαφέροντες τύποι σειρών αριθμών. Το πρώτο δίνεται από τον τύπο a n =(-1) n . Οι μαθηματικοί αναφέρονται συχνά σε αυτές τις ακολουθίες flasher. Γιατί; Ας ελέγξουμε τους αριθμούς του.

1, 1, -1, 1, -1, 1, κ.λπ. Με αυτό το παράδειγμα, γίνεται σαφές ότι οι αριθμοί σε ακολουθίες μπορούν εύκολα να επαναληφθούν.

παραγοντική ακολουθία. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι υπάρχει ένα παραγοντικό στον τύπο που ορίζει την ακολουθία. Για παράδειγμα: και n = (n+1)!

Τότε η σειρά θα μοιάζει με αυτό:

και 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

και 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, κ.λπ.

Μια ακολουθία που δίνεται από μια αριθμητική πρόοδο ονομάζεται απείρως φθίνουσα εάν η ανισότητα -1 παρατηρηθεί για όλα τα μέλη της

και 3 \u003d - 1/8, κ.λπ.

Υπάρχει ακόμη και μια ακολουθία που αποτελείται από τον ίδιο αριθμό. Έτσι, και το n \u003d 6 αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό έξι.

Προσδιορισμός του ορίου μιας ακολουθίας

Τα όρια ακολουθίας υπάρχουν εδώ και πολύ καιρό στα μαθηματικά. Φυσικά, αξίζουν το δικό τους ικανό σχέδιο. Ώρα λοιπόν να μάθουμε τον ορισμό των ορίων ακολουθίας. Αρχικά, εξετάστε το όριο για μια γραμμική συνάρτηση λεπτομερώς:

1. Όλα τα όρια συντομεύονται ως lim.
2. Η καταχώρηση ορίου αποτελείται από τη συντομογραφία lim, κάποια μεταβλητή που τείνει σε έναν ορισμένο αριθμό, μηδέν ή άπειρο, καθώς και από την ίδια τη συνάρτηση.

Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι ο ορισμός του ορίου μιας ακολουθίας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: είναι ένας ορισμένος αριθμός, στον οποίο προσεγγίζουν άπειρα όλα τα μέλη της ακολουθίας. Απλό παράδειγμα: και x = 4x+1. Τότε η ίδια η ακολουθία θα μοιάζει με αυτό.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Έτσι, αυτή η ακολουθία θα αυξάνεται απεριόριστα, πράγμα που σημαίνει ότι το όριό της είναι ίσο με το άπειρο ως x→∞, και αυτό θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:

Αν πάρουμε μια παρόμοια ακολουθία, αλλά το x τείνει στο 1, παίρνουμε:

Και η σειρά των αριθμών θα είναι ως εξής: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, κ.λπ. Κάθε φορά που χρειάζεται να αντικαθιστάτε τον αριθμό όλο και περισσότερο κοντά στο ένα (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Από αυτή τη σειρά φαίνεται ότι το όριο της συνάρτησης είναι πέντε.

Από αυτό το μέρος, αξίζει να θυμηθούμε ποιο είναι το όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας, ο ορισμός και η μέθοδος για την επίλυση απλών εργασιών.

Γενική σημειογραφία για το όριο των ακολουθιών

Έχοντας αναλύσει το όριο της αριθμητικής ακολουθίας, τον ορισμό της και τα παραδείγματα, μπορούμε να προχωρήσουμε σε ένα πιο σύνθετο θέμα. Απολύτως όλα τα όρια των ακολουθιών μπορούν να διατυπωθούν με έναν τύπο, ο οποίος συνήθως αναλύεται στο πρώτο εξάμηνο.

Λοιπόν, τι σημαίνει αυτό το σύνολο γραμμάτων, ενοτήτων και σημάτων ανισότητας;

∀ είναι ένας καθολικός ποσοτικός προσδιορισμός, που αντικαθιστά τις φράσεις "για όλους", "για όλα" κ.λπ.

∃ είναι ποσοτικός ύπαρξης, σε αυτή την περίπτωση σημαίνει ότι υπάρχει κάποια τιμή N που ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών.

Ένα μακρύ κατακόρυφο ραβδί που ακολουθεί το N σημαίνει ότι το δεδομένο σύνολο N είναι "τέτοιο". Στην πράξη, μπορεί να σημαίνει «τέτοιο», «τέτοιο» κ.λπ.

Για να εμπεδώσετε το υλικό, διαβάστε τον τύπο δυνατά.

Αβεβαιότητα και βεβαιότητα του ορίου

Η μέθοδος εύρεσης του ορίου των ακολουθιών, η οποία συζητήθηκε παραπάνω, αν και απλή στη χρήση, δεν είναι τόσο λογική στην πράξη. Προσπαθήστε να βρείτε το όριο για αυτήν τη συνάρτηση:

Αν αντικαταστήσουμε διαφορετικές τιμές x (αυξάνονται κάθε φορά: 10, 100, 1000 κ.λπ.), τότε παίρνουμε ∞ στον αριθμητή, αλλά και ∞ στον παρονομαστή. Αποδεικνύεται ένα μάλλον περίεργο κλάσμα:

Είναι όμως όντως έτσι; Ο υπολογισμός του ορίου της αριθμητικής ακολουθίας σε αυτή την περίπτωση φαίνεται αρκετά εύκολος. Θα ήταν δυνατό να αφήσουμε τα πάντα ως έχουν, γιατί η απάντηση είναι έτοιμη, και ελήφθη με λογικούς όρους, αλλά υπάρχει άλλος τρόπος ειδικά για τέτοιες περιπτώσεις.

Αρχικά, ας βρούμε τον υψηλότερο βαθμό στον αριθμητή του κλάσματος - αυτός είναι 1, αφού το x μπορεί να αναπαρασταθεί ως x 1.

Τώρα ας βρούμε τον υψηλότερο βαθμό στον παρονομαστή. Επίσης 1.

Διαιρέστε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τη μεταβλητή στον υψηλότερο βαθμό. Σε αυτή την περίπτωση, διαιρούμε το κλάσμα με x 1.

Στη συνέχεια, ας βρούμε σε ποια τιμή τείνει κάθε όρος που περιέχει τη μεταβλητή. Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνονται υπόψη τα κλάσματα. Ως x→∞, η τιμή καθενός από τα κλάσματα τείνει στο μηδέν. Όταν κάνετε μια γραπτή εργασία, αξίζει να κάνετε τις ακόλουθες υποσημειώσεις:

Λαμβάνεται η ακόλουθη έκφραση:

Φυσικά, τα κλάσματα που περιέχουν x δεν έγιναν μηδενικά! Αλλά η αξία τους είναι τόσο μικρή που είναι απολύτως επιτρεπτό να μην ληφθεί υπόψη στους υπολογισμούς. Στην πραγματικότητα, το x δεν θα είναι ποτέ ίσο με 0 σε αυτή την περίπτωση, επειδή δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Τι είναι μια γειτονιά;

Ας υποθέσουμε ότι ο καθηγητής έχει στη διάθεσή του μια σύνθετη ακολουθία, που δίνεται, προφανώς, από έναν όχι λιγότερο περίπλοκο τύπο. Ο καθηγητής βρήκε την απάντηση, αλλά ταιριάζει; Άλλωστε όλοι οι άνθρωποι κάνουν λάθη.

Ο Auguste Cauchy βρήκε έναν υπέροχο τρόπο για να αποδείξει τα όρια των ακολουθιών. Η μέθοδός του ονομαζόταν λειτουργία γειτονιάς.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο σημείο α, η γειτονιά του και προς τις δύο κατευθύνσεις στην πραγματική ευθεία είναι ίση με ε ("έψιλον"). Εφόσον η τελευταία μεταβλητή είναι η απόσταση, η τιμή της είναι πάντα θετική.

Τώρα ας ορίσουμε κάποια ακολουθία x n και ας υποθέσουμε ότι το δέκατο μέλος της ακολουθίας (x 10) περιλαμβάνεται στη γειτονιά του a. Πώς να γράψετε αυτό το γεγονός σε μαθηματική γλώσσα;

Ας υποθέσουμε ότι το x 10 βρίσκεται στα δεξιά του σημείου a, τότε η απόσταση x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Τώρα είναι καιρός να εξηγήσουμε στην πράξη τον τύπο που αναφέρθηκε παραπάνω. Είναι δίκαιο να ονομάσουμε έναν ορισμένο αριθμό a ως τελικό σημείο μιας ακολουθίας εάν η ανισότητα ε>0 ισχύει για οποιοδήποτε από τα όριά της, και ολόκληρη η γειτονιά έχει τον δικό της φυσικό αριθμό N, έτσι ώστε όλα τα μέλη της ακολουθίας με μεγαλύτερους αριθμούς θα να είναι μέσα στην ακολουθία |x n - a|< ε.

Με τέτοια γνώση, είναι εύκολο να λύσουμε τα όρια μιας ακολουθίας, να αποδείξουμε ή να διαψεύσουμε μια έτοιμη απάντηση.

Θεωρήματα

Τα θεωρήματα για τα όρια των ακολουθιών είναι ένα σημαντικό συστατικό της θεωρίας, χωρίς το οποίο η πρακτική είναι αδύνατη. Υπάρχουν μόνο τέσσερα κύρια θεωρήματα, τα οποία θυμόμαστε, μπορείτε να διευκολύνετε σημαντικά τη διαδικασία επίλυσης ή απόδειξης:

1. Μοναδικότητα του ορίου μιας ακολουθίας. Οποιαδήποτε ακολουθία μπορεί να έχει μόνο ένα όριο ή και καθόλου. Το ίδιο παράδειγμα με μια ουρά που μπορεί να έχει μόνο ένα άκρο.
2. Εάν μια σειρά αριθμών έχει ένα όριο, τότε η ακολουθία αυτών των αριθμών είναι περιορισμένη.
3. Το όριο του αθροίσματος (διαφορά, γινόμενο) των ακολουθιών είναι ίσο με το άθροισμα (διαφορά, γινόμενο) των ορίων τους.
4. Το όριο πηλίκου δύο ακολουθιών είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων εάν και μόνο αν ο παρονομαστής δεν εξαφανίζεται.

Απόδειξη ακολουθίας

Μερικές φορές απαιτείται να λυθεί ένα αντίστροφο πρόβλημα, να αποδειχθεί ένα δεδομένο όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Να αποδείξετε ότι το όριο της ακολουθίας που δίνεται από τον τύπο είναι ίσο με μηδέν.

Σύμφωνα με τον παραπάνω κανόνα, για οποιαδήποτε ακολουθία η ανισότητα |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Ας εκφράσουμε το n με όρους «έψιλον» για να δείξουμε την ύπαρξη ορισμένου αριθμού και να αποδείξουμε την ύπαρξη ορίου ακολουθίας.

Σε αυτό το στάδιο, είναι σημαντικό να υπενθυμίσουμε ότι το «έψιλον» και το «εν» είναι θετικοί αριθμοί και όχι ίσοι με το μηδέν. Τώρα μπορείτε να συνεχίσετε περαιτέρω μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας τη γνώση σχετικά με τις ανισότητες που αποκτήθηκαν στο γυμνάσιο.

Από όπου προκύπτει ότι n > -3 + 1/ε. Δεδομένου ότι αξίζει να θυμάστε ότι μιλάμε για φυσικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα μπορεί να στρογγυλοποιηθεί βάζοντάς το σε αγκύλες. Έτσι, αποδείχθηκε ότι για οποιαδήποτε τιμή της γειτονιάς «έψιλον» του σημείου a = 0, βρέθηκε μια τιμή τέτοια ώστε να ικανοποιείται η αρχική ανισότητα. Από αυτό μπορούμε με ασφάλεια να ισχυριστούμε ότι ο αριθμός a είναι το όριο της δεδομένης ακολουθίας. Q.E.D.

Με μια τόσο βολική μέθοδο, μπορείτε να αποδείξετε το όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκο μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά. Το κύριο πράγμα είναι να μην πανικοβληθείτε στη θέα της εργασίας.

Ή μήπως δεν υπάρχει;

Η ύπαρξη ορίου ακολουθίας δεν είναι απαραίτητη στην πράξη. Είναι εύκολο να βρεις τέτοιες σειρές αριθμών που πραγματικά δεν έχουν τέλος. Για παράδειγμα, το ίδιο flasher x n = (-1) n . Είναι προφανές ότι μια ακολουθία που αποτελείται από δύο μόνο ψηφία που επαναλαμβάνονται κυκλικά δεν μπορεί να έχει όριο.

Η ίδια ιστορία επαναλαμβάνεται με ακολουθίες που αποτελούνται από έναν μόνο αριθμό, κλασματικό, που έχουν κατά τη διάρκεια των υπολογισμών αβεβαιότητα οποιασδήποτε τάξης (0/0, ∞/∞, ∞/0, κ.λπ.). Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι λαμβάνει χώρα και λανθασμένος υπολογισμός. Μερικές φορές ο επανέλεγχος της δικής σας λύσης θα σας βοηθήσει να βρείτε το όριο των διαδοχών.

μονοτονική ακολουθία

Παραπάνω, εξετάσαμε πολλά παραδείγματα ακολουθιών, μεθόδους επίλυσής τους και τώρα ας προσπαθήσουμε να πάρουμε μια πιο συγκεκριμένη περίπτωση και να την ονομάσουμε "μονότονη ακολουθία".

Ορισμός: είναι δίκαιο να ονομάζουμε οποιαδήποτε ακολουθία μονότονα αύξουσα εάν ικανοποιεί την αυστηρή ανισότητα x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Μαζί με αυτές τις δύο συνθήκες, υπάρχουν και παρόμοιες μη αυστηρές ανισότητες. Αντίστοιχα, x n ≤ x n +1 (μη φθίνουσα αλληλουχία) και x n ≥ x n +1 (μη αύξουσα αλληλουχία).

Αλλά είναι πιο εύκολο να το καταλάβουμε αυτό με παραδείγματα.

Η ακολουθία που δίνεται από τον τύπο x n \u003d 2 + n σχηματίζει την ακόλουθη σειρά αριθμών: 4, 5, 6, κ.λπ. Αυτή είναι μια μονότονα αυξανόμενη ακολουθία.

Και αν πάρουμε x n \u003d 1 / n, τότε παίρνουμε μια σειρά: 1/3, ¼, 1/5, κ.λπ. Αυτή είναι μια μονότονα φθίνουσα ακολουθία.

Όριο συγκλίνουσας και οριοθετημένης ακολουθίας

Μια οριοθετημένη ακολουθία είναι μια ακολουθία που έχει ένα όριο. Μια συγκλίνουσα ακολουθία είναι μια σειρά αριθμών που έχει ένα απειροελάχιστο όριο.

Έτσι, το όριο μιας οριοθετημένης ακολουθίας είναι οποιοσδήποτε πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός. Να θυμάστε ότι μπορεί να υπάρχει μόνο ένα όριο.

Το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας είναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος (πραγματικό ή μιγαδικό). Εάν σχεδιάσετε ένα διάγραμμα ακολουθίας, τότε σε ένα ορισμένο σημείο θα συγκλίνει, όπως ήταν, θα τείνει να μετατραπεί σε μια συγκεκριμένη τιμή. Εξ ου και το όνομα - συγκλίνουσα ακολουθία.

Όριο μονοτονικής ακολουθίας

Μια τέτοια ακολουθία μπορεί να έχει ή να μην έχει όριο. Πρώτον, είναι χρήσιμο να καταλάβετε πότε είναι, από εδώ μπορείτε να ξεκινήσετε όταν αποδεικνύετε την απουσία ορίου.

Μεταξύ των μονοτονικών ακολουθιών διακρίνονται οι συγκλίνουσες και οι αποκλίνουσες. Συγκλίνουσα - αυτή είναι μια ακολουθία που σχηματίζεται από το σύνολο x και έχει ένα πραγματικό ή μιγαδικό όριο σε αυτό το σύνολο. Divergent - μια ακολουθία που δεν έχει όριο στο σύνολο της (ούτε πραγματική ούτε σύνθετη).

Επιπλέον, η ακολουθία συγκλίνει εάν τα άνω και κάτω όριά της συγκλίνουν σε μια γεωμετρική παράσταση.

Το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας μπορεί σε πολλές περιπτώσεις να είναι ίσο με μηδέν, αφού κάθε απειροελάχιστη ακολουθία έχει ένα γνωστό όριο (μηδέν).

Όποια συγκλίνουσα ακολουθία κι αν πάρετε, είναι όλες οριοθετημένες, αλλά πολύ μακριά από όλες οι οριοθετημένες ακολουθίες συγκλίνουν.

Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο δύο συγκλίνουσων ακολουθιών είναι επίσης συγκλίνουσα ακολουθία. Μπορεί όμως και το πηλίκο να συγκλίνει αν οριστεί!

Διάφορες ενέργειες με όρια

Τα όρια των ακολουθιών έχουν την ίδια σημαντική (στις περισσότερες περιπτώσεις) αξία με τους αριθμούς και τους αριθμούς: 1, 2, 15, 24, 362, κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι ορισμένες λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν με όρια.

Πρώτον, όπως τα ψηφία και οι αριθμοί, τα όρια οποιασδήποτε ακολουθίας μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν. Με βάση το τρίτο θεώρημα για τα όρια των ακολουθιών, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το όριο του αθροίσματος των ακολουθιών είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων τους.

Δεύτερον, με βάση το τέταρτο θεώρημα για τα όρια των ακολουθιών, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το όριο του γινομένου του nου αριθμού ακολουθιών είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων τους. Το ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση: το όριο του πηλίκου δύο ακολουθιών είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων τους, με την προϋπόθεση ότι το όριο δεν είναι ίσο με μηδέν. Εξάλλου, εάν το όριο των ακολουθιών είναι ίσο με μηδέν, τότε θα προκύψει διαίρεση με το μηδέν, κάτι που είναι αδύνατο.

Ιδιότητες τιμής ακολουθίας

Φαίνεται ότι το όριο της αριθμητικής ακολουθίας έχει ήδη αναλυθεί με κάποια λεπτομέρεια, αλλά φράσεις όπως "άπειρα μικροί" και "άπειρα μεγάλοι" αριθμοί αναφέρονται περισσότερες από μία φορές. Προφανώς, αν υπάρχει μια ακολουθία 1/x, όπου x→∞, τότε ένα τέτοιο κλάσμα είναι απείρως μικρό, και αν η ίδια ακολουθία, αλλά το όριο τείνει στο μηδέν (x→0), τότε το κλάσμα γίνεται απείρως μεγάλη τιμή . Και τέτοιες αξίες έχουν τα δικά τους χαρακτηριστικά. Οι ιδιότητες του ορίου μιας ακολουθίας που έχει αυθαίρετες μικρές ή μεγάλες τιμές είναι οι εξής:

1. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού αυθαίρετα μικρών ποσοτήτων θα είναι επίσης μια μικρή ποσότητα.
2. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού μεγάλων τιμών θα είναι μια απείρως μεγάλη τιμή.
3. Το γινόμενο των αυθαίρετα μικρών ποσοτήτων είναι απείρως μικρό.
4. Το γινόμενο αυθαίρετα μεγάλων αριθμών είναι μια απείρως μεγάλη ποσότητα.
5. Εάν η αρχική ακολουθία τείνει σε έναν άπειρο αριθμό, τότε το αντίστροφό του θα είναι απειροελάχιστο και θα τείνει στο μηδέν.

Στην πραγματικότητα, ο υπολογισμός του ορίου μιας ακολουθίας δεν είναι τόσο δύσκολο έργο εάν γνωρίζετε έναν απλό αλγόριθμο. Όμως τα όρια των σεκάνς είναι ένα θέμα που απαιτεί μέγιστη προσοχή και επιμονή. Αρκεί βέβαια να συλλάβουμε απλώς την ουσία της λύσης τέτοιων εκφράσεων. Ξεκινώντας από μικρά, με την πάροδο του χρόνου, μπορείτε να φτάσετε σε μεγάλα ύψη.

Δίνονται δηλώσεις των κύριων θεωρημάτων και ιδιοτήτων των αριθμητικών ακολουθιών με όρια. Περιέχει τον ορισμό μιας ακολουθίας και το όριό της. Εξετάζονται αριθμητικές πράξεις με ακολουθίες, ιδιότητες που σχετίζονται με ανισότητες, κριτήρια σύγκλισης, ιδιότητες απείρως μικρών και άπειρα μεγάλων ακολουθιών.

Περιεχόμενο

Ιδιότητες πεπερασμένων ορίων ακολουθιών

Βασικές ιδιότητες

Ένα σημείο α είναι το όριο μιας ακολουθίας αν και μόνο αν βρίσκεται έξω από οποιαδήποτε γειτονιά αυτού του σημείου πεπερασμένος αριθμός στοιχείωνακολουθίες ή το κενό σύνολο.

Αν ο αριθμός a δεν είναι το όριο της ακολουθίας , τότε υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου a , έξω από το οποίο υπάρχει άπειρος αριθμός στοιχείων ακολουθίας.

Θεώρημα μοναδικότητας για το όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας. Εάν μια ακολουθία έχει ένα όριο, τότε είναι μοναδική.

Εάν μια ακολουθία έχει ένα πεπερασμένο όριο, τότε αυτό περιορισμένος.

Αν κάθε στοιχείο της ακολουθίας ισούται με τον ίδιο αριθμόΓ : , τότε αυτή η ακολουθία έχει όριο ίσο με τον αριθμό C .

Αν η ακολουθία προσθέστε, αποθέστε ή αλλάξτε τα πρώτα m στοιχεία, τότε αυτό δεν θα επηρεάσει τη σύγκλισή του.

Αποδείξεις βασικών ιδιοτήτωνδίνεται στη σελίδα
Βασικές ιδιότητες πεπερασμένων ορίων ακολουθιών >>> .

Αριθμητική με όρια

Ας υπάρχουν πεπερασμένα όρια και ακολουθίες και . Και έστω C μια σταθερά, δηλαδή ένας δεδομένος αριθμός. Επειτα
;
;
;
, αν .
Στην περίπτωση του πηλίκου, θεωρείται ότι για όλα τα n .

Αν τότε .

Αριθμητικές αποδείξεις ιδιοτήτωνδίνεται στη σελίδα
Αριθμητικές ιδιότητες πεπερασμένων ορίων ακολουθιών >>> .

Ιδιότητες που σχετίζονται με ανισότητες

Αν τα στοιχεία της ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, ικανοποιούν την ανισότητα, τότε το όριο α αυτής της ακολουθίας ικανοποιεί και την ανισότητα.

Εάν τα στοιχεία της ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιον αριθμό, ανήκουν σε ένα κλειστό διάστημα (τμήμα) , τότε το όριο a ανήκει επίσης σε αυτό το διάστημα: .

Αν και και στοιχεία ακολουθιών, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, ικανοποιούν την ανισότητα , τότε .

Αν και, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, , τότε .
Συγκεκριμένα, εάν, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, , τότε
αν τότε ;
αν τότε .

Αν και , τότε .

Αφήστε και . Αν ένα < b , τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε για όλα τα n > Νη ανισότητα ικανοποιείται.

Αποδείξεις ιδιοτήτων που σχετίζονται με ανισότητεςδίνεται στη σελίδα
Ιδιότητες ορίων ακολουθίας που σχετίζονται με >>> ανισότητες.

Απειροελάχιστες και απειροελάχιστες ακολουθίες

Απειροελάχιστη ακολουθία

Μια απειροελάχιστη ακολουθία είναι μια ακολουθία της οποίας το όριο είναι μηδέν:
.

Άθροισμα και Διαφοράπεπερασμένος αριθμός απειροελάχιστων ακολουθιών είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Προϊόν μιας οριοθετημένης ακολουθίαςσε ένα απειροελάχιστο είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Γινόμενο πεπερασμένου αριθμούοι απειροελάχιστες ακολουθίες είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Για να έχει μια ακολουθία ένα όριο a , είναι απαραίτητο και επαρκές ότι , όπου είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Αποδείξεις ιδιοτήτων απειροελάχιστων ακολουθιώνδίνεται στη σελίδα
Άπειρες μικρές ακολουθίες - ορισμός και ιδιότητες >>> .

Απεριόριστα μεγάλη ακολουθία

Μια απείρως μεγάλη ακολουθία είναι μια ακολουθία που έχει ένα απείρως μεγάλο όριο. Δηλαδή, εάν για οποιονδήποτε θετικό αριθμό υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός N , ανάλογα με το , ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς η ανίσωση
.
Σε αυτή την περίπτωση, γράψτε
.
Ή στο .
Λένε ότι τείνει στο άπειρο.

Αν , ξεκινώντας από κάποιον αριθμό N , τότε
.
Αν τότε
.

Αν οι ακολουθίες είναι απείρως μεγάλες, τότε ξεκινώντας από κάποιον αριθμό N , ορίζεται μια ακολουθία που είναι απείρως μικρή. Αν είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία με μη μηδενικά στοιχεία, τότε η ακολουθία είναι απείρως μεγάλη.

Αν η ακολουθία είναι απείρως μεγάλη και η ακολουθία οριοθετημένη, τότε
.

Εάν οι απόλυτες τιμές των στοιχείων της ακολουθίας οριοθετούνται από κάτω από έναν θετικό αριθμό () και είναι απείρως μικρές με μη μηδενικά στοιχεία, τότε
.

Λεπτομερώς ορισμός μιας απείρως μεγάλης ακολουθίας με παραδείγματαδίνεται στη σελίδα
Ορισμός απείρως μεγάλης ακολουθίας >>> .
Αποδείξεις για ιδιότητες απείρως μεγάλων ακολουθιώνδίνεται στη σελίδα
Ιδιότητες άπειρων μεγάλων ακολουθιών >>> .

Κριτήρια σύγκλισης ακολουθίας

Μονότονες ακολουθίες

Μια αυστηρά αύξουσα ακολουθία είναι μια ακολουθία για όλα τα στοιχεία της οποίας ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες:
.

Παρόμοιες ανισότητες ορίζουν άλλες μονότονες ακολουθίες.

Αυστηρά φθίνουσα ακολουθία:
.
Μη φθίνουσα ακολουθία:
.
Μη αυξανόμενη ακολουθία:
.

Συνεπάγεται ότι μια αυστηρά αυξανόμενη ακολουθία είναι επίσης μη φθίνουσα. Μια αυστηρά φθίνουσα ακολουθία είναι επίσης μη αυξανόμενη.

Μια μονοτονική ακολουθία είναι μια μη φθίνουσα ή μη αυξανόμενη ακολουθία.

Μια μονοτονική ακολουθία οριοθετείται τουλάχιστον στη μία πλευρά από . Μια μη φθίνουσα ακολουθία οριοθετείται από κάτω: . Μια μη αυξανόμενη ακολουθία οριοθετείται από πάνω: .

Θεώρημα Weierstrass. Για να έχει μια μη φθίνουσα (μη αύξουσα) ακολουθία πεπερασμένο όριο, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι οριοθετημένη από πάνω (από κάτω). Εδώ το Μ είναι κάποιος αριθμός.

Δεδομένου ότι οποιαδήποτε μη φθίνουσα (μη αύξουσα) ακολουθία οριοθετείται από κάτω (από πάνω), το θεώρημα Weierstrass μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής:

Για να έχει μια μονότονη ακολουθία πεπερασμένο όριο, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι οριοθετημένη: .

Μονοτονική απεριόριστη ακολουθίαέχει ένα άπειρο όριο, ίσο για μη φθίνουσες και μη αύξουσες ακολουθίες.

Απόδειξη του θεωρήματος Weierstrassδίνεται στη σελίδα
Το θεώρημα του Weierstrass για το όριο μιας μονότονης ακολουθίας >>> .

Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας

Κατάσταση Cauchy
Η συνέπεια ικανοποιεί Κατάσταση Cauchy, εάν για οποιοδήποτε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός τέτοιος ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς n και m που ικανοποιούν την συνθήκη, η ανίσωση
.

Μια θεμελιώδης ακολουθία είναι μια ακολουθία που ικανοποιεί την κατάσταση Cauchy.

Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας. Για να έχει μια ακολουθία πεπερασμένο όριο, είναι απαραίτητο και επαρκές να ικανοποιεί τη συνθήκη Cauchy.

Απόδειξη του κριτηρίου σύγκλισης Cauchyδίνεται στη σελίδα
Κριτήριο σύγκλισης Cauchy για μια ακολουθία >>> .

Υποακολουθίες

Θεώρημα Bolzano-Weierstrass. Από οποιαδήποτε οριοθετημένη ακολουθία, μπορεί να διακριθεί μια συγκλίνουσα υποακολουθία. Και από οποιαδήποτε απεριόριστη ακολουθία - μια απείρως μεγάλη υποακολουθία που συγκλίνει προς ή προς .

Απόδειξη του θεωρήματος Bolzano-Weierstrassδίνεται στη σελίδα
Θεώρημα Bolzano–Weierstrass >>> .

Οι ορισμοί, τα θεωρήματα και οι ιδιότητες των υποακολουθιών και των μερικών ορίων συζητούνται στη σελίδα
Υποακολουθίες και επιμέρους όρια ακολουθιών >>>.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΕΚ. Νικόλσκι. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. Τόμος 1. Μόσχα, 2003.
V.A. Zorich. Μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Μόσχα, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Πόζνιακ. Βασικές αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Μέρος 1. Μόσχα, 2005.

Δείτε επίσης:

Το Xn είναι στοιχεία ή μέλη ακολουθίας, το n είναι ένα μέλος ακολουθίας. Αν η συνάρτηση f(n) δίνεται αναλυτικά, δηλαδή με τύπο, τότε xn=f(n) ονομάζεται τύπος ενός μέλους της ακολουθίας.

Ο αριθμός a ονομάζεται όριο της ακολουθίας (xn) αν για οποιοδήποτε ε>0 υπάρχει αριθμός n=n(ε) από τον οποίο ξεκινά η ανίσωση |xn-a |

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι υπό τις συνθήκες του Παραδείγματος 1 ο αριθμός a=1 δεν είναι το όριο της ακολουθίας του προηγούμενου παραδείγματος. Λύση. Απλοποιήστε ξανά τον κοινό όρο της ακολουθίας. Πάρτε ε=1 (αυτός είναι οποιοσδήποτε αριθμός >

Τα προβλήματα του απευθείας υπολογισμού του ορίου μιας ακολουθίας είναι μάλλον μονότονα. Όλα περιέχουν αναλογίες πολυωνύμων ως προς το n ή παράλογες εκφράσεις ως προς αυτά τα πολυώνυμα. Κατά την έναρξη της επίλυσης, αφαιρέστε τις παρενθέσεις (ριζικό πρόσημο) του στοιχείου που βρίσκεται στον υψηλότερο βαθμό. Ας υποθέσουμε ότι για τον αριθμητή της αρχικής παράστασης αυτό θα οδηγήσει στην εμφάνιση του παράγοντα a^p και για τον παρονομαστή b^q. Προφανώς, όλοι οι υπόλοιποι όροι έχουν τη μορφή C / (n-k) και τείνουν στο μηδέν όταν n>

Ο πρώτος τρόπος υπολογισμού του ορίου μιας ακολουθίας βασίζεται στον ορισμό της. Είναι αλήθεια ότι θα πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν δίνει τρόπους για να αναζητήσετε απευθείας το όριο, αλλά σας επιτρέπει μόνο να αποδείξετε ότι κάποιος αριθμός a είναι (ή δεν είναι) όριο. Παράδειγμα 1. Αποδείξτε ότι η ακολουθία (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) έχει όριο a=3. Λύση. Αποδείξτε εφαρμόζοντας τον ορισμό με αντίστροφη σειρά. Δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά. Πρώτα ελέγξτε εάν είναι δυνατό να απλοποιήσετε τον τύπο για xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+ 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) Θεωρήστε την ανισότητα |(3n+1)/(n+2)-3|0 μπορείτε να βρείτε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό nε μεγαλύτερο από -2+ 5/ε.

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι υπό τις συνθήκες του Παραδείγματος 1 ο αριθμός a=1 δεν είναι το όριο της ακολουθίας του προηγούμενου παραδείγματος. Λύση. Απλοποιήστε ξανά τον κοινό όρο της ακολουθίας. Πάρτε ε=1 (αυτός είναι οποιοσδήποτε αριθμός >0) Γράψτε την τελική ανισότητα του γενικού ορισμού |(3n+1)/(n+2)-1|

Τα προβλήματα του απευθείας υπολογισμού του ορίου μιας ακολουθίας είναι μάλλον μονότονα. Όλα περιέχουν αναλογίες πολυωνύμων ως προς το n ή παράλογες εκφράσεις σε σχέση με αυτά τα πολυώνυμα. Κατά την έναρξη της επίλυσης, αφαιρέστε τις παρενθέσεις (ριζικό πρόσημο) του στοιχείου που βρίσκεται στον υψηλότερο βαθμό. Ας υποθέσουμε ότι για τον αριθμητή της αρχικής παράστασης αυτό θα οδηγήσει στην εμφάνιση του παράγοντα a^p και για τον παρονομαστή b^q. Προφανώς, όλοι οι υπόλοιποι όροι έχουν τη μορφή С/(n-k) και τείνουν στο μηδέν για n>k (το n τείνει στο άπειρο). Στη συνέχεια, γράψτε την απάντηση: 0 εάν pq.

Ας υποδείξουμε έναν μη παραδοσιακό τρόπο εύρεσης του ορίου μιας ακολουθίας και άπειρων αθροισμάτων. Θα χρησιμοποιήσουμε συναρτησιακές ακολουθίες (τα μέλη της συνάρτησής τους ορίζονται σε κάποιο διάστημα (a,b)) Παράδειγμα 3. Βρείτε το άθροισμα της μορφής 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Λύση. Οποιοσδήποτε αριθμός a^0=1. Βάλτε 1=exp(0) και εξετάστε την ακολουθία συναρτήσεων (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Αριθμητική ακολουθία.
Πως ?

Σε αυτό το μάθημα, θα μάθουμε πολλά ενδιαφέροντα πράγματα από τη ζωή των μελών μιας μεγάλης κοινότητας που ονομάζεται Vkontakte ακολουθίες αριθμών. Το υπό εξέταση θέμα δεν αναφέρεται μόνο στην πορεία της μαθηματικής ανάλυσης, αλλά αγγίζει και τα βασικά διακριτά μαθηματικά. Επιπλέον, το υλικό θα απαιτηθεί για την ανάπτυξη και άλλων τμημάτων του πύργου, ιδίως κατά τη διάρκεια της μελέτης σειρά αριθμώνκαι λειτουργικές σειρές. Μπορείς να πεις ειλικρινά ότι αυτό είναι σημαντικό, μπορείς να πεις καθησυχαστικά ότι είναι απλό, μπορείς να πεις πολλές περισσότερες φράσεις κατά τη διάρκεια της υπηρεσίας, αλλά σήμερα είναι η πρώτη, ασυνήθιστα νωχελική σχολική εβδομάδα, οπότε είναι τρομερά σπαστικό για μένα να συνθέσω την πρώτη παράγραφο =) Έχω ήδη αποθηκεύσει το αρχείο στην καρδιά μου και ετοιμάστηκα να κοιμηθώ, ξαφνικά… η ιδέα μιας ειλικρινούς εξομολόγησης φώτισε το κεφάλι, που ανακούφισε απίστευτα την ψυχή και πίεσε για περαιτέρω χτύπημα των δακτύλων στο πληκτρολόγιο.

Ας ξεφύγουμε από τις καλοκαιρινές αναμνήσεις και ας δούμε αυτόν τον συναρπαστικό και θετικό κόσμο ενός νέου κοινωνικού δικτύου:

Η έννοια της αριθμητικής ακολουθίας

Αρχικά, ας σκεφτούμε την ίδια τη λέξη: τι είναι μια ακολουθία; Η συνέπεια είναι όταν κάτι βρίσκεται πίσω από κάτι. Για παράδειγμα, η ακολουθία των ενεργειών, η ακολουθία των εποχών. Ή όταν κάποιος βρίσκεται πίσω από κάποιον. Για παράδειγμα, μια ακολουθία ανθρώπων σε μια ουρά, μια ακολουθία ελεφάντων σε ένα μονοπάτι προς μια τρύπα ποτίσματος.

Ας διευκρινίσουμε αμέσως τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της ακολουθίας. Πρώτα, μέλη της ακολουθίαςβρίσκονται αυστηρά με συγκεκριμένη σειρά. Έτσι, εάν δύο άτομα στην ουρά ανταλλάσσονται, τότε αυτό θα είναι ήδη αλλοακολουθία. Δεύτερον, στον καθένα μέλος της ακολουθίαςμπορείτε να εκχωρήσετε έναν σειριακό αριθμό:

Το ίδιο συμβαίνει και με τους αριθμούς. Αφήνω στον καθέναφυσική αξία σύμφωνα με κάποιον κανόναχαρτογραφημένο σε πραγματικό αριθμό. Τότε λέμε ότι δίνεται μια αριθμητική ακολουθία.

Ναι, στα μαθηματικά προβλήματα, σε αντίθεση με τις καταστάσεις ζωής, η ακολουθία περιέχει σχεδόν πάντα άπειρα πολλάαριθμοί.

Εν:
που ονομάζεται πρώτο μέλοςακολουθίες?
– δεύτερο μέλοςακολουθίες?
– τρίτο μέλοςακολουθίες?
…
– απείρως μικρόςή κοινό μέλοςακολουθίες?
…

Στην πράξη, συνήθως δίνεται η σειρά τύπος κοινού όρου, για παράδειγμα:
είναι μια ακολουθία θετικών ζυγών αριθμών:

Έτσι, η εγγραφή καθορίζει μοναδικά όλα τα μέλη της ακολουθίας - αυτός είναι ο κανόνας (τύπος) σύμφωνα με τον οποίο οι φυσικές τιμές οι αριθμοί ταιριάζουν. Επομένως, η ακολουθία συχνά υποδηλώνεται εν συντομία με ένα κοινό μέλος και άλλα λατινικά γράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του "x", για παράδειγμα:

Ακολουθία θετικών περιττών αριθμών:

Μια άλλη κοινή ακολουθία:

Όπως, πιθανότατα, έχουν παρατηρήσει πολλοί, η μεταβλητή "en" παίζει το ρόλο ενός είδους μετρητή.

Στην πραγματικότητα, ασχοληθήκαμε με αριθμητικές ακολουθίες στο γυμνάσιο. Ας θυμηθούμε αριθμητική πρόοδος. Δεν θα ξαναγράψω τον ορισμό, ας θίξουμε την ίδια την ουσία με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Ας είναι ο πρώτος όρος και βήμααριθμητική πρόοδος. Επειτα:
είναι ο δεύτερος όρος αυτής της εξέλιξης.
είναι το τρίτο μέλος αυτής της εξέλιξης.
- τέταρτο
- πέμπτο
…
Και, προφανώς, ερωτάται το νθ μέλος επαναλαμβανόμενοςτύπος

Σημείωση : σε έναν αναδρομικό τύπο, κάθε επόμενος όρος εκφράζεται με όρους του προηγούμενου όρου ή ακόμη και με όρους ενός ολόκληρου συνόλου προηγούμενων όρων.

Ο προκύπτων τύπος είναι ελάχιστα χρήσιμος στην πράξη - για να λάβετε, ας πούμε, σε , πρέπει να διαβάσετε όλους τους προηγούμενους όρους. Και στα μαθηματικά, προκύπτει μια πιο βολική έκφραση για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου: . Στην περίπτωσή μας:

Αντικαταστήστε τους φυσικούς αριθμούς στον τύπο και ελέγξτε την ορθότητα της αριθμητικής ακολουθίας που κατασκευάστηκε παραπάνω.

Παρόμοιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν για γεωμετρική πρόοδος, ο ντος όρος του οποίου δίνεται από τον τύπο , όπου είναι ο πρώτος όρος , και είναι παρονομαστήςπροόδους. Στις αναθέσεις ματάν, ο πρώτος όρος είναι συχνά ίσος με ένα.

Η πρόοδος ορίζει τη σειρά ;
προχώρηση ορίζει τη σειρά.
προχώρηση ορίζει τη σειρά ;
προχώρηση ορίζει τη σειρά .

Ελπίζω όλοι να γνωρίζουν ότι το -1 σε μια περιττή δύναμη είναι -1, και σε μια άρτια δύναμη είναι ένα.

Η εξέλιξη ονομάζεται απείρως μειώνεται, εάν (οι δύο τελευταίες περιπτώσεις).

Ας προσθέσουμε δύο νέους φίλους στη λίστα μας, ένας από τους οποίους μόλις χτύπησε στη μήτρα της οθόνης:

Η ακολουθία στη μαθηματική ορολογία ονομάζεται "φλας":

Με αυτόν τον τρόπο, Τα μέλη της ακολουθίας μπορούν να επαναληφθούν. Έτσι, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η ακολουθία αποτελείται από δύο άπειρα εναλλασσόμενους αριθμούς.

Συμβαίνει η ακολουθία να αποτελείται από τους ίδιους αριθμούς; Φυσικά. Για παράδειγμα, ορίζει έναν άπειρο αριθμό «τριπλών». Για τους αισθητικούς, υπάρχει περίπτωση όπου το "en" εξακολουθεί να εμφανίζεται επίσημα στον τύπο:

Ας προσκαλέσουμε μια απλή φίλη να χορέψουμε:

Τι συμβαίνει όταν το "en" αυξάνεται στο άπειρο; Προφανώς, οι όροι της ακολουθίας θα απείρως κοντάπλησιάζει το μηδέν. Αυτό είναι το όριο αυτής της ακολουθίας, η οποία γράφεται ως εξής:

Αν το όριο μιας ακολουθίας είναι μηδέν, τότε καλείται απειροελάχιστος.

Στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης, δίνεται αυστηρός ορισμός του ορίου ακολουθίαςμέσω της λεγόμενης γειτονιάς έψιλον. Το επόμενο άρθρο θα αφιερωθεί σε αυτόν τον ορισμό, αλλά προς το παρόν ας αναλύσουμε το νόημά του:

Ας απεικονίσουμε τους όρους της ακολουθίας και τη συμμετρική γειτονιά ως προς το μηδέν (όριο) στην πραγματική γραμμή:


Τώρα κρατήστε τη μπλε γειτονιά με τις άκρες των παλάμων σας και αρχίστε να τη μειώνετε, τραβώντας την στο όριο (κόκκινη κουκκίδα). Ένας αριθμός είναι το όριο μιας ακολουθίας εάν ΓΙΑ ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ προεπιλεγμένη -γειτονιά (αυθαίρετα μικρό)μέσα θα είναι άπειρα πολλάμέλη της ακολουθίας, και ΕΞΩ από αυτήν - μόνο τελικόςαριθμός μελών (ή καθόλου). Δηλαδή, η γειτονιά του έψιλον μπορεί να είναι μικροσκοπική, και ακόμη λιγότερο, αλλά η «άπειρη ουρά» της ακολουθίας πρέπει αργά ή γρήγορα πλήρωςεισαγάγετε αυτήν την περιοχή.

Η ακολουθία είναι επίσης απείρως μικρή: με τη διαφορά ότι τα μέλη της δεν πηδάνε πέρα ​​δώθε, αλλά πλησιάζουν το όριο αποκλειστικά από τα δεξιά.

Φυσικά, το όριο μπορεί να είναι ίσο με οποιονδήποτε άλλο πεπερασμένο αριθμό, ένα στοιχειώδες παράδειγμα:

Εδώ το κλάσμα τείνει στο μηδέν, και κατά συνέπεια, το όριο είναι ίσο με "δύο".

Αν η ακολουθία υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο, τότε λέγεται συγκλίνουσα(συγκεκριμένα, απειροελάχιστοςστο ). Σε διαφορετική περίπτωση - αποκλίνων, ενώ είναι δυνατές δύο επιλογές: είτε το όριο δεν υπάρχει καθόλου, είτε είναι άπειρο. Στην τελευταία περίπτωση, η ακολουθία ονομάζεται απείρως μεγάλο. Ας ρίξουμε καλπασμό στα παραδείγματα της πρώτης παραγράφου:

Ακολουθίες είναι απείρως μεγάλο, καθώς τα μέλη τους κινούνται σταθερά προς το «συν άπειρο»:

Μια αριθμητική πρόοδος με τον πρώτο όρο και ένα βήμα είναι επίσης απείρως μεγάλη:

Παρεμπιπτόντως, οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος αποκλίνει επίσης, εκτός από την περίπτωση με μηδενικό βήμα - όταν προστίθεται άπειρα σε έναν συγκεκριμένο αριθμό. Το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας υπάρχει και συμπίπτει με τον πρώτο όρο.

Οι σεκάνς έχουν παρόμοια μοίρα:

Οποιαδήποτε απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος, όπως υποδηλώνει το όνομα, απείρως μικρό:

Εάν ο παρονομαστής είναι μια γεωμετρική πρόοδος, τότε η ακολουθία είναι απείρως μεγάλη Α:

Αν, για παράδειγμα, , τότε δεν υπάρχει κανένα όριο, αφού τα μέλη πηδούν ακούραστα είτε στο «συν άπειρο», μετά στο «μείον άπειρο». Και η κοινή λογική και τα θεωρήματα του μάταν υποδηλώνουν ότι αν κάτι προσπαθεί κάπου, τότε αυτό το αγαπημένο μέρος είναι μοναδικό.

Μετά από μια μικρή αποκάλυψη γίνεται σαφές ότι το flasher φταίει για την ασυγκράτητη ρίψη, η οποία, παρεμπιπτόντως, αποκλίνει από μόνη της.
Πράγματι, για μια ακολουθία είναι εύκολο να επιλέξετε μια -γειτονιά, η οποία, ας πούμε, συγκρατεί μόνο τον αριθμό -1. Ως αποτέλεσμα, ένας άπειρος αριθμός μελών ακολουθίας ("συν ένα") θα παραμείνει εκτός της δεδομένης γειτονιάς. Αλλά εξ ορισμού, η "άπειρη ουρά" της ακολουθίας από μια ορισμένη στιγμή (φυσικός αριθμός) πρέπει πλήρωςεισάγετε ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ γειτονιά του ορίου της. Συμπέρασμα: δεν υπάρχει όριο.

Το παραγοντικό είναι απείρως μεγάλοαλληλουχία:

Επιπλέον, μεγαλώνει αλματωδώς, άρα είναι ένας αριθμός που έχει περισσότερα από 100 ψηφία (ψηφία)! Γιατί ακριβώς 70; Ζητά έλεος η μηχανική μου αριθμομηχανή.

Με μια βολή ελέγχου, όλα είναι λίγο πιο περίπλοκα και μόλις φτάσαμε στο πρακτικό μέρος της διάλεξης, στο οποίο θα αναλύσουμε παραδείγματα μάχης:

Αλλά τώρα είναι απαραίτητο να μπορούμε να λύσουμε τα όρια των συναρτήσεων, τουλάχιστον στο επίπεδο δύο βασικών μαθημάτων: Όρια. Παραδείγματα λύσεωνκαι Αξιοσημείωτα όρια. Επειδή πολλές μέθοδοι λύσης θα είναι παρόμοιες. Αλλά, πρώτα απ 'όλα, ας αναλύσουμε τις θεμελιώδεις διαφορές μεταξύ του ορίου μιας ακολουθίας και του ορίου μιας συνάρτησης:

Στο όριο της ακολουθίας, η "δυναμική" μεταβλητή "en" μπορεί να τείνει μόνο στο "συν το άπειρο"– προς την κατεύθυνση της αύξησης των φυσικών αριθμών .
Στο όριο της συνάρτησης, το "x" μπορεί να κατευθυνθεί οπουδήποτε - στο "συν / πλην άπειρο" ή σε έναν αυθαίρετο πραγματικό αριθμό.

Ακολουθία διακεκριμένος(ασυνεχές), δηλαδή αποτελείται από ξεχωριστά απομονωμένα μέλη. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, το κουνελάκι βγήκε βόλτα. Το όρισμα της συνάρτησης χαρακτηρίζεται από συνέχεια, δηλαδή, το "x" ομαλά, χωρίς περιστατικό, τείνει προς τη μία ή την άλλη τιμή. Και, κατά συνέπεια, οι τιμές της συνάρτησης θα πλησιάζουν συνεχώς το όριό τους.

Εξαιτίας διακριτικότηταμέσα στις σεκάνς υπάρχουν τα δικά τους επώνυμα πράγματα, όπως παραγοντικά, flashers, progressions κ.λπ. Και τώρα θα προσπαθήσω να αναλύσω τα όρια που είναι χαρακτηριστικά των ακολουθιών.

Ας ξεκινήσουμε με τις προόδους:

Παράδειγμα 1

Βρείτε το όριο μιας ακολουθίας

Λύση: κάτι παρόμοιο με μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, αλλά είναι πραγματικά; Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε τους πρώτους όρους:

Αφού , μιλάμε για άθροισμαμέλη μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο .

Λήψη απόφασης:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου: . Στην περίπτωση αυτή: - ο πρώτος όρος, - ο παρονομαστής της προόδου.

Παράδειγμα 2

Γράψτε τους τέσσερις πρώτους όρους της ακολουθίας και βρείτε το όριό της

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Για να εξαλείψετε την αβεβαιότητα στον αριθμητή, θα χρειαστεί να εφαρμόσετε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου:
, όπου είναι ο πρώτος και είναι ο ντος όρος της προόδου.

Δεδομένου ότι το "en" τείνει πάντα στο "συν άπειρο" μέσα σε ακολουθίες, δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η απροσδιοριστία είναι μία από τις πιο δημοφιλείς.
Και πολλά παραδείγματα επιλύονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως τα όρια των συναρτήσεων!

Ή ίσως κάτι πιο περίπλοκο όπως ? Δείτε το Παράδειγμα #3 του άρθρου Μέθοδοι επίλυσης ορίων.

Από τυπική άποψη, η διαφορά θα είναι μόνο σε ένα γράμμα - υπάρχει "x" και εδώ "en".
Η λήψη είναι η ίδια - ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να διαιρεθούν με το "en" στον υψηλότερο βαθμό.

Επίσης, μέσα σε ακολουθίες, η αβεβαιότητα είναι αρκετά συνηθισμένη. Μπορείτε να μάθετε πώς να λύνετε όρια όπως από τα Παραδείγματα Νο. 11-13 του ίδιου άρθρου.

Για να αντιμετωπίσετε το όριο, ανατρέξτε στο Παράδειγμα #7 του μαθήματος Αξιοσημείωτα όρια(το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο ισχύει και για τη διακριτή περίπτωση). Η λύση θα είναι πάλι σαν αντίγραφο carbon με διαφορά σε ένα μόνο γράμμα.

Τα ακόλουθα τέσσερα παραδείγματα (αρ. 3-6) είναι επίσης «διπρόσωπα», αλλά στην πράξη, για κάποιο λόγο, είναι πιο τυπικά για τα όρια των ακολουθιών παρά για τα όρια των συναρτήσεων:

Παράδειγμα 3

Βρείτε το όριο μιας ακολουθίας

Λύση: πρώτα ολοκληρωμένη λύση και μετά σχόλια βήμα προς βήμα:

(1) Στον αριθμητή χρησιμοποιούμε τον τύπο δύο φορές.

(2) Δίνουμε όμοιους όρους στον αριθμητή.

(3) Για να εξαλείψουμε την αβεβαιότητα, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το ("en" στον υψηλότερο βαθμό).

Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το όριο μιας ακολουθίας

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου", συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμούνα βοηθήσω.

Εντός του s εκδηλωτικόςΟι ακολουθίες χρησιμοποιούν παρόμοια μέθοδο διαίρεσης αριθμητή και παρονομαστή:

Παράδειγμα 5

Βρείτε το όριο μιας ακολουθίας

Λύσηας το κάνουμε με τον ίδιο τρόπο:

Ένα παρόμοιο θεώρημα ισχύει επίσης, παρεμπιπτόντως, για τις συναρτήσεις: το γινόμενο μιας δεσμευμένης συνάρτησης από μια απειροελάχιστη συνάρτηση είναι μια απειροελάχιστη συνάρτηση.

Παράδειγμα 9

Βρείτε το όριο μιας ακολουθίας

Όριο ακολουθίας αριθμώνείναι το όριο της ακολουθίας των στοιχείων του χώρου των αριθμών. Ένας αριθμητικός χώρος είναι ένας μετρικός χώρος στον οποίο η απόσταση ορίζεται ως ο συντελεστής της διαφοράς μεταξύ των στοιχείων. Επομένως, ο αριθμός καλείται όριο ακολουθίας, εάν για οποιοδήποτε υπάρχει αριθμός ανάλογα με τέτοιο ώστε να ισχύει η ανισότητα για οποιαδήποτε .

Η έννοια του ορίου μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών διατυπώνεται πολύ απλά, και στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών, η ύπαρξη ορίου μιας ακολουθίας ισοδυναμεί με την ύπαρξη ορίων των αντίστοιχων ακολουθιών πραγματικών και φανταστικών μερών μιγαδικών αριθμοί.

Το όριο (μιας αριθμητικής ακολουθίας) είναι μια από τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως το όριο μιας ακολουθίας προσεγγίσεων στην επιθυμητή τιμή. Το σύστημα αριθμών παρέχει μια τέτοια ακολουθία βελτιώσεων. Οι ακέραιοι παράλογοι αριθμοί περιγράφονται με περιοδικές ακολουθίες προσεγγίσεων, ενώ οι άρρητοι αριθμοί περιγράφονται με μη περιοδικές ακολουθίες προσεγγίσεων.

Στις αριθμητικές μεθόδους, όπου χρησιμοποιείται η αναπαράσταση αριθμών με πεπερασμένο αριθμό σημείων, η επιλογή του συστήματος προσεγγίσεων παίζει ιδιαίτερο ρόλο. Το κριτήριο για την ποιότητα του συστήματος προσεγγίσεων είναι ο ρυθμός σύγκλισης. Από αυτή την άποψη, οι αναπαραστάσεις των αριθμών με τη μορφή συνεχόμενων κλασμάτων είναι αποτελεσματικές.

Ορισμός

Ο αριθμός καλείται το όριο της αριθμητικής ακολουθίας, εάν η ακολουθία είναι απείρως μικρή, δηλαδή όλα τα στοιχεία της, ξεκινώντας από μερικά, είναι λιγότερα από οποιονδήποτε θετικό αριθμό που έχει ληφθεί εκ των προτέρων.

Στην περίπτωση που μια αριθμητική ακολουθία έχει όριο με τη μορφή πραγματικού αριθμού, καλείται συγκλίνουσα σε αυτόν τον αριθμό. Διαφορετικά, καλείται η ακολουθία αποκλίνων . Εάν, επιπλέον, είναι απεριόριστο, τότε το όριό του θεωρείται ίσο με το άπειρο.

Επιπλέον, αν όλα τα στοιχεία μιας αδέσμευτης ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, έχουν θετικό πρόσημο, τότε λέμε ότι το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας είναι ίσο με συν το άπειρο .

Εάν τα στοιχεία μιας απεριόριστης ακολουθίας, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, έχουν αρνητικό πρόσημο, τότε λένε ότι το όριο μιας τέτοιας ακολουθίας είναι ίσο με μείον το άπειρο .

Αυτός ο ορισμός έχει ένα αναπόφευκτο μειονέκτημα: εξηγεί τι είναι ένα όριο, αλλά δεν δίνει τρόπο υπολογισμού του, ούτε πληροφορίες για την ύπαρξή του. Όλα αυτά συνάγονται από τις ιδιότητες του ορίου που αποδεικνύονται παρακάτω.