Μετασχηματισμός Fourier για μια ακολουθία εικόνων. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier στο VB.NET

Αφήνω φά(Χ 1 , Χ 2) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Κατ' αναλογία με τον μονοδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, μπορούμε να εισαγάγουμε έναν δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier:

Η συνάρτηση σε σταθερές τιμές ω 1 , ω 2 περιγράφει ένα επίπεδο κύμα στο επίπεδο Χ 1 , Χ 2 (Εικόνα 19.1).

Οι ποσότητες ω 1 , ω 2 έχουν την έννοια των χωρικών συχνοτήτων και της διάστασης mm−1 , και η συνάρτηση F(ω 1 , ω 2) καθορίζει το φάσμα των χωρικών συχνοτήτων. Ένας σφαιρικός φακός είναι ικανός να υπολογίσει το φάσμα ενός οπτικού σήματος (Εικόνα 19.2). Στο Σχήμα 19.2, εισάγονται οι ακόλουθες σημειώσεις: φ - εστιακή απόσταση,

Εικόνα 19.1 - Στον ορισμό των χωρικών συχνοτήτων

Ο δισδιάστατος μετασχηματισμός Fourier έχει όλες τις ιδιότητες του μονοδιάστατου μετασχηματισμού, επιπλέον, σημειώνουμε δύο πρόσθετες ιδιότητες, η απόδειξη των οποίων προκύπτει εύκολα από τον ορισμό του δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier.

Εικόνα 19.2 - Υπολογισμός του φάσματος του οπτικού σήματος χρησιμοποιώντας
σφαιρικός φακός

Παραγοντοποίηση. Εάν παραγοντοποιηθεί ένα δισδιάστατο σήμα,

τότε το φάσμα του παραγοντοποιείται επίσης:

Ακτινική συμμετρία. Αν το σήμα 2D είναι ακτινικά συμμετρικό, δηλαδή

Πού είναι η συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης. Ο τύπος που καθορίζει τη σχέση μεταξύ ενός ακτινικά συμμετρικού δισδιάστατου σήματος και του χωρικού του φάσματος ονομάζεται μετασχηματισμός Hankel.

ΔΙΑΛΕΞΗ 20. Διακριτός μετασχηματισμός Fourier. φίλτρο χαμηλής διέλευσης

Ο άμεσος δισδιάστατος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (DFT) μετασχηματίζει μια εικόνα που δίνεται σε ένα χωρικό σύστημα συντεταγμένων ( x, y), σε έναν δισδιάστατο διακριτό μετασχηματισμό εικόνας που καθορίζεται στο σύστημα συντεταγμένων συχνότητας ( u,v):

Ο Αντίστροφος Διακριτής Μετασχηματισμός Φουριέ (IDFT) έχει τη μορφή:

Μπορεί να φανεί ότι το DFT είναι ένας πολύπλοκος μετασχηματισμός. Ο συντελεστής αυτού του μετασχηματισμού αντιπροσωπεύει το πλάτος του φάσματος της εικόνας και υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των πραγματικών και φανταστικών μερών του DFT. Η φάση (γωνία μετατόπισης φάσης) ορίζεται ως η εφαπτομένη του τόξου του λόγου του φανταστικού τμήματος του DFT προς το πραγματικό τμήμα. Το ενεργειακό φάσμα είναι ίσο με το τετράγωνο του πλάτους του φάσματος ή το άθροισμα των τετραγώνων των φανταστικών και πραγματικών μερών του φάσματος.

Θεώρημα συνέλιξης

Σύμφωνα με το θεώρημα της συνέλιξης, η συνέλιξη δύο συναρτήσεων στο πεδίο του χώρου μπορεί να ληφθεί από το ODFT του γινομένου του DFT τους, δηλ.

Το φιλτράρισμα στον τομέα συχνότητας σάς επιτρέπει να επιλέξετε την απόκριση συχνότητας του φίλτρου από το DFT της εικόνας, παρέχοντας τον απαραίτητο μετασχηματισμό εικόνας. Εξετάστε την απόκριση συχνότητας των πιο κοινών φίλτρων.

Η σύγχρονη τεχνολογία επικοινωνίας δεν μπορεί να φανταστεί χωρίς φασματική ανάλυση. Η αναπαράσταση των σημάτων στον τομέα της συχνότητας είναι απαραίτητη τόσο για την ανάλυση των χαρακτηριστικών τους όσο και για την ανάλυση μπλοκ και κόμβων πομποδεκτών συστημάτων ραδιοεπικοινωνίας. Ο άμεσος μετασχηματισμός Fourier χρησιμοποιείται για τη μετατροπή σημάτων στον τομέα συχνότητας. Ο γενικευμένος τύπος για τον άμεσο μετασχηματισμό Fourier γράφεται ως εξής:

Όπως φαίνεται από αυτόν τον τύπο για την ανάλυση συχνότητας, υπολογίζεται η εξάρτηση συσχέτισης μεταξύ του σήματος που παρουσιάζεται στο πεδίο του χρόνου και του μιγαδικού εκθέτη με μια δεδομένη συχνότητα. Σε αυτή την περίπτωση, σύμφωνα με τον τύπο Euler, ο μιγαδικός εκθέτης αποσυντίθεται σε πραγματικό και φανταστικό μέρος:

(2)

Ένα σήμα που αναπαρίσταται στον τομέα συχνότητας μπορεί να μεταφραστεί εκ νέου σε αναπαράσταση χρόνου χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier. Ο γενικευμένος τύπος για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier γράφεται ως εξής:

(3)

Ο άμεσος τύπος μετασχηματισμού Fourier χρησιμοποιεί ολοκλήρωση χρόνου από μείον άπειρο έως άπειρο. Φυσικά, πρόκειται για μια μαθηματική αφαίρεση. Σε πραγματικές συνθήκες, μπορούμε να ενσωματώσουμε από έναν δεδομένο χρόνο, τον οποίο μπορούμε να συμβολίσουμε ως 0, στον χρόνο T. Ο τύπος του άμεσου μετασχηματισμού Fourier θα μετατραπεί στη συνέχεια στην ακόλουθη μορφή:

(4)

Σαν άποτέλεσμα οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier αλλάζουν σημαντικά. Φάσμα σήματος αντί για συνεχή συνάρτηση γίνεται μια διακριτή σειρά τιμών. Τώρα η ελάχιστη συχνότητα και ταυτόχρονα το βήμα των τιμών συχνότητας του φάσματος σήματος γίνεται:

, (5)

Μόνο το sin and cos λειτουργεί με τις συχνότητες k/Tείναι αμοιβαία ορθογώνια, και αυτό είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση για τον μετασχηματισμό Fourier. Το σύνολο των πρώτων συναρτήσεων επέκτασης σε μια σειρά Fourier φαίνεται στο σχήμα 1. Στην περίπτωση αυτή, η διάρκεια των συναρτήσεων συμπίπτει με τη διάρκεια της ανάλυσης Τ.

Εικόνα 1. Συναρτήσεις επέκτασης Fourier

Τώρα το φάσμα του σήματος θα μοιάζει όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.

Εικόνα 2. Φάσμα συναρτήσεων Χ(t) κατά την ανάλυση σε περιορισμένο χρονικό διάστημα

Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος για τον υπολογισμό του άμεσου μετασχηματισμού Fourier (4) μετατρέπεται στην ακόλουθη μορφή:

(6)

Ο τύπος για τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier για την περίπτωση προσδιορισμού του φάσματος σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα θα μοιάζει με αυτό:

(7)

Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να ορίσετε τον τύπο άμεσου μετασχηματισμού Fourier για δείγματα ψηφιακών σημάτων. Δεδομένου ότι αντί για συνεχές σήμα, χρησιμοποιούνται οι ψηφιακές ενδείξεις του, στην έκφραση (6) το ολοκλήρωμα αντικαθίσταται από το άθροισμα. Σε αυτή την περίπτωση, η διάρκεια του αναλυόμενου σήματος καθορίζεται από τον αριθμό των ψηφιακών δειγμάτων Ν. Ο μετασχηματισμός Fourier για δείγματα ψηφιακών σημάτων ονομάζεται διακριτός μετασχηματισμός Fourierκαι γράφεται ως εξής:

(8)

Τώρα εξετάστε πώς έχουν αλλάξει οι ιδιότητες του διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) σε σύγκριση με τον άμεσο μετασχηματισμό Fourier σε ένα περιορισμένο χρονικό διάστημα. Όταν εξετάσαμε την αναλογική δειγματοληψία, διαπιστώσαμε ότι το φάσμα του σήματος εισόδου πρέπει να είναι περιορισμένης συχνότητας. Αυτή η απαίτηση περιορίζει τον αριθμό των διακριτών στοιχείων του φάσματος σήματος. Αρχικά, μπορεί να φαίνεται ότι μπορούμε να περιορίσουμε το φάσμα του σήματος σε μια συχνότητα φά d /2, που αντιστοιχεί στον αριθμό των στοιχείων συχνότητας Κ=Ν/2. Ωστόσο, δεν είναι. Αν και το φάσμα σήματος για τα πραγματικά δείγματα σήματος για θετικές συχνότητες και αρνητικές συχνότητες είναι συμμετρικό περίπου 0, ενδέχεται να απαιτούνται αρνητικές συχνότητες για ορισμένους αλγόριθμους φάσματος, για παράδειγμα, για . Μια ακόμη μεγαλύτερη διαφορά επιτυγχάνεται όταν εκτελείται ένας διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε σύνθετα δείγματα του σήματος εισόδου. Ως αποτέλεσμα, απαιτείται η πλήρης περιγραφή του φάσματος ενός ψηφιακού σήματος Ναναγνώσεις συχνότητας ( k = 0, ..., N/2).

Ο μετασχηματισμός Fourier (§ 1.5) μπορεί να θεωρηθεί ως γραμμικός μετασχηματισμός με πυρήνα

Ας βρούμε τη διακριτή του αναπαράσταση από τη βάση

για σήματα με φάσμα περιορισμένο στο διάστημα, για το οποίο ισχύει η αναπαράσταση

Ο μετασχηματισμός Fourier ενός τέτοιου σήματος είναι ίσος με

Σκεφτείτε τώρα το περιοδικό σήμα

Το φάσμα του είναι

όπου είναι οι μετρήσεις του φάσματος του σήματος που λαμβάνονται στο τμήμα (βλ. Πίνακας 1.2, γραμμή 19). Εάν το T είναι αρκετά μεγάλο και το σήμα πέσει στο μηδέν αρκετά γρήγορα σε αυτό το διάστημα, έτσι ώστε οι παραμορφώσεις του στο άθροισμα (3,60) λόγω υπέρθεσης των περιόδων να μπορούν να αγνοηθούν, τότε

όπου η άθροιση πάνω από k πραγματοποιείται εντός των ορίων

Οι τιμές του T και μπορούν πάντα να επιλέγονται έτσι ώστε η τιμή να είναι ακέραιος. Σημειώστε το με Ν. Σημειώστε επίσης

Εδώ επιλέγεται έτσι ώστε το άθροισμα στο (3.62) να μπορεί να πραγματοποιηθεί πάνω από k από το 0 έως το Στη συνέχεια λαμβάνουμε

Αυτή η σχέση ονομάζεται διακριτός μετασχηματισμός Fourier

Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier είναι αναστρέψιμος:

Ο πυρήνας του είναι μια μήτρα

είναι μια διακριτή αναπαράσταση του πυρήνα του συνεχούς μετασχηματισμού Fourier.

Ο τύπος (3.65) είναι ανάλογος του (3.3). Σημειώστε ότι μπορείτε να το λάβετε απευθείας από το (3.3) για τη βάση

Οι συντελεστές ακολουθίας είναι περίπου ίσοι με τις μετρήσεις του φάσματος του σήματος που συνεχίζονται περιοδικά με την περίοδο T, που λαμβάνονται με ένα βήμα. Αυτή είναι η σχέση μεταξύ του DFT και του συνεχούς μετασχηματισμού Fourier. Από την υπόθεση περιορισμένου μήκους του σήματος, προκύπτει ότι το θεώρημα δειγματοληψίας ισχύει για το φάσμα του και ότι, κατά συνέπεια, μπορεί να αποκατασταθεί από τις τιμές - τους συντελεστές DFT των δειγμάτων σήματος.

Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες ιδιότητες ενός μονοδιάστατου DFT δίνονται στον Πίνακα. 3.1. Για τη διευκόλυνση της σύγκρισής τους με τις ιδιότητες του συνεχούς μετασχηματισμού Fourier στη δεξιά στήλη του Πίνακα. Το 3.1 δείχνει τους αριθμούς των αντίστοιχων γραμμών του πίνακα. 1.2. Η κύρια διαφορά μεταξύ DFT και

(δείτε σάρωση)

(δείτε σάρωση)

(δείτε σάρωση)

Η συνέχεια του πίνακα. 3.1 (δείτε σάρωση)

συνεχής μετασχηματισμός Fourier - κυκλικότητα ή περιοδικότητα: οι αριθμοί των δειγμάτων της ακολουθίας και του DFT της υπολογίζονται ως modulo N, δηλαδή σαν σε κύκλο. ο αριθμός των σημείων στον κύκλο είναι N (Πίνακας 3.1, γραμμή 2).

Κατ' αναλογία με το μονοδιάστατο DFT, εφαρμόζοντας το θεώρημα της δισδιάστατης δειγματοληψίας σε δισδιάστατα σήματα και φάσματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα δισδιάστατο DFT. Συνήθως, χρησιμοποιείται μόνο ένα τέτοιο δισδιάστατο DFT, το οποίο προκύπτει από το θεώρημα της δισδιάστατης δειγματοληψίας σε ορθογώνιες συντεταγμένες:

Είναι βολικό στο ότι μετατρέπεται σε δύο μονοδιάστατα DFT, δηλαδή είναι διαχωρίσιμο.

Το αντίστροφο 2D DFT γράφεται ως

Μερικές ιδιότητες του δισδιάστατου DFT δίνονται στον Πίνακα. 3.2. Το δισδιάστατο DFT χαρακτηρίζεται από δισδιάστατη κυκλικότητα (περιοδικότητα). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι συντελεστές του δισδιάστατου DFT είναι δείγματα του δισδιάστατου συνεχούς φάσματος του σήματος που πολλαπλασιάζεται περιοδικά στο επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπως στο Σχ. 3.4, α.

Πιστεύω ότι όλοι γνωρίζουν γενικά την ύπαρξη ενός τόσο υπέροχου μαθηματικού εργαλείου όπως ο μετασχηματισμός Fourier. Ωστόσο, στα πανεπιστήμια, για κάποιο λόγο, διδάσκεται τόσο άσχημα που σχετικά λίγοι άνθρωποι καταλαβαίνουν πώς λειτουργεί αυτός ο μετασχηματισμός και πώς πρέπει να χρησιμοποιείται σωστά. Εν τω μεταξύ, τα μαθηματικά αυτού του μετασχηματισμού είναι εκπληκτικά όμορφα, απλά και κομψά. Καλώ όλους να μάθουν λίγα περισσότερα για τον μετασχηματισμό Fourier και το σχετικό θέμα του πώς τα αναλογικά σήματα μπορούν να μετατραπούν αποτελεσματικά σε ψηφιακά για υπολογιστική επεξεργασία.

Χωρίς να χρησιμοποιώ πολύπλοκους τύπους και matlab, θα προσπαθήσω να απαντήσω στις ακόλουθες ερωτήσεις:

• FT, DTF, DTFT - ποιες είναι οι διαφορές και πώς οι φαινομενικά εντελώς διαφορετικοί τύποι δίνουν τέτοια εννοιολογικά παρόμοια αποτελέσματα;
• Πώς να ερμηνεύσετε σωστά τα αποτελέσματα του Fast Fourier Transform (FFT).
• Τι να κάνετε εάν δοθεί ένα σήμα 179 δειγμάτων και το FFT απαιτεί μια ακολουθία μήκους ίση με την ισχύ δύο ως είσοδο
• Γιατί, όταν προσπαθούμε να πάρουμε το φάσμα ενός ημιτονοειδούς χρησιμοποιώντας Fourier, αντί για το αναμενόμενο μεμονωμένο "ραβδί", ένα περίεργο squiggle βγαίνει στο γράφημα και τι μπορεί να γίνει για αυτό
• Γιατί τα αναλογικά φίλτρα τοποθετούνται πριν από το ADC και μετά το DAC
• Είναι δυνατή η ψηφιοποίηση ενός σήματος ADC με συχνότητα μεγαλύτερη από το ήμισυ του ρυθμού δειγματοληψίας (η απάντηση του σχολείου είναι λανθασμένη, η σωστή απάντηση είναι δυνατή)
• Πώς η ψηφιακή ακολουθία επαναφέρει το αρχικό σήμα

Θα προχωρήσω από την υπόθεση ότι ο αναγνώστης κατανοεί τι είναι ένα ολοκλήρωμα, ένας μιγαδικός αριθμός (καθώς και το μέτρο και το όρισμά του), τη συνέλιξη των συναρτήσεων, συν τουλάχιστον «στα δάχτυλα» φαντάζεται τι είναι η συνάρτηση δέλτα Dirac. Δεν ξέρω - δεν πειράζει, διαβάστε τους παραπάνω συνδέσμους. Με τον όρο «προϊόν συναρτήσεων» σε αυτό το κείμενο, θα εννοώ πάντα «σημειωτικό πολλαπλασιασμό»

Θα πρέπει πιθανώς να ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι ο συνηθισμένος μετασχηματισμός Fourier είναι κάτι που, όπως μπορείτε να μαντέψετε από το όνομα, μετατρέπει μια συνάρτηση σε άλλη, δηλαδή εκχωρεί σε κάθε συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής x (t) το φάσμα της ή εικόνα Fourier y (w):

Αν δώσουμε αναλογίες, τότε ένα παράδειγμα μετασχηματισμού παρόμοιου σε νόημα μπορεί να είναι, για παράδειγμα, η διαφοροποίηση, η οποία μετατρέπει μια συνάρτηση σε παράγωγό της. Δηλαδή, ο μετασχηματισμός Fourier είναι, στην πραγματικότητα, η ίδια λειτουργία με τη λήψη της παραγώγου, και συχνά συμβολίζεται με παρόμοιο τρόπο, σχεδιάζοντας ένα τριγωνικό "καπάκι" πάνω από τη συνάρτηση. Μόνο σε αντίθεση με τη διαφοροποίηση, η οποία μπορεί επίσης να οριστεί για πραγματικούς αριθμούς, ο μετασχηματισμός Fourier «λειτουργεί» πάντα με πιο γενικούς μιγαδικούς αριθμούς. Εξαιτίας αυτού, προκύπτουν συνεχώς προβλήματα με την εμφάνιση των αποτελεσμάτων αυτού του μετασχηματισμού, καθώς οι μιγαδικοί αριθμοί καθορίζονται όχι από μία, αλλά από δύο συντεταγμένες σε ένα γράφημα που λειτουργεί με πραγματικούς αριθμούς. Ο πιο βολικός τρόπος, κατά κανόνα, είναι να αναπαραστήσετε μιγαδικούς αριθμούς ως ενότητα και όρισμα και να τους σχεδιάσετε ξεχωριστά ως δύο ξεχωριστά γραφήματα:

Το γράφημα του ορίσματος μιας μιγαδικής τιμής αναφέρεται συχνά σε αυτή την περίπτωση ως "φάσμα φάσης" και το γράφημα του συντελεστή ονομάζεται συχνά "φάσμα πλάτους". Το φάσμα πλάτους, κατά κανόνα, παρουσιάζει πολύ μεγαλύτερο ενδιαφέρον και επομένως το τμήμα «φάσης» του φάσματος συχνά παραλείπεται. Σε αυτό το άρθρο, θα επικεντρωθούμε επίσης σε πράγματα «πλάτους», αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε την ύπαρξη του τμήματος φάσης που λείπει από το γράφημα. Επιπλέον, αντί του συνήθους συντελεστή μιας μιγαδικής τιμής, συχνά σχεδιάζεται ο λογάριθμός της πολλαπλασιασμένος με το 10. Το αποτέλεσμα είναι ένα λογαριθμικό διάγραμμα, οι τιμές στο οποίο εμφανίζονται σε ντεσιμπέλ (dB).

Λάβετε υπόψη ότι όχι πολύ έντονα αρνητικοί αριθμοί του λογαριθμικού γραφήματος (-20 dB ή λιγότεροι) σε αυτήν την περίπτωση αντιστοιχούν σε σχεδόν μηδενικούς αριθμούς στο «κανονικό» γράφημα. Ως εκ τούτου, οι μακριές και πλατιές "ουρές" διαφόρων φασμάτων σε τέτοια γραφήματα, όταν εμφανίζονται σε "κανονικές" συντεταγμένες, κατά κανόνα, πρακτικά εξαφανίζονται. Η ευκολία μιας τέτοιας φαινομενικά περίεργης αναπαράστασης προκύπτει από το γεγονός ότι οι μετασχηματισμοί Fourier διαφόρων συναρτήσεων συχνά χρειάζεται να πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους. Με έναν τέτοιο σημειακό πολλαπλασιασμό εικόνων Fourier με μιγαδικές τιμές, τα φάσματα φάσης τους προστίθενται και τα φάσματα πλάτους τους πολλαπλασιάζονται. Το πρώτο είναι εύκολο να γίνει, ενώ το δεύτερο είναι σχετικά δύσκολο. Ωστόσο, οι λογάριθμοι του πλάτους προστίθενται όταν πολλαπλασιάζονται τα πλάτη, επομένως τα γραφήματα λογαριθμικού πλάτους μπορούν, όπως τα γραφήματα φάσης, απλώς να προστίθενται σημείο προς σημείο. Επιπλέον, σε πρακτικά προβλήματα είναι συχνά πιο βολικό να λειτουργεί όχι με το "πλάτος" του σήματος, αλλά με τη "δύναμή" του (το τετράγωνο του πλάτους). Στη λογαριθμική κλίμακα, και τα δύο γραφήματα (τόσο το πλάτος όσο και η ισχύς) φαίνονται πανομοιότυπα και διαφέρουν μόνο ως προς τον συντελεστή - όλες οι τιμές στο γράφημα ισχύος είναι ακριβώς δύο φορές μεγαλύτερες από ό,τι στην κλίμακα πλάτους. Κατά συνέπεια, για να σχεδιάσετε την κατανομή συχνότητας της ισχύος (σε ντεσιμπέλ), δεν μπορείτε να τετραγωνίσετε τίποτα, αλλά να υπολογίσετε τον δεκαδικό λογάριθμο και να τον πολλαπλασιάσετε επί 20.

Βαριέσαι? Περιμένετε, λίγο ακόμα, με το βαρετό μέρος του άρθρου που εξηγεί πώς να ερμηνεύσετε τα γραφήματα, σύντομα θα τελειώσουμε :). Αλλά πριν από αυτό, ένα πολύ σημαντικό πράγμα που πρέπει να καταλάβετε είναι ότι ενώ όλα τα παραπάνω διαγράμματα φάσματος σχεδιάστηκαν για ορισμένες περιορισμένες περιοχές τιμών (ιδίως, θετικοί αριθμοί), όλα αυτά τα διαγράμματα συνεχίζουν στην πραγματικότητα στο συν και πλην άπειρο. Οι γραφικές γραφές απλώς δείχνουν κάποιο από το «πιο σημαντικό» μέρος της γραφικής παράστασης, το οποίο συνήθως αντικατοπτρίζεται για αρνητικές τιμές της παραμέτρου και συχνά επαναλαμβάνεται περιοδικά σε αυξήσεις όταν προβάλλεται σε μεγαλύτερη κλίμακα.

Έχοντας αποφασίσει τι σχεδιάζεται στα γραφήματα, ας επιστρέψουμε στον ίδιο τον μετασχηματισμό Fourier και τις ιδιότητές του. Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι ορισμού αυτού του μετασχηματισμού, που διαφέρουν σε μικρές λεπτομέρειες (διαφορετικές κανονικοποιήσεις). Για παράδειγμα, στα πανεπιστήμιά μας, για κάποιο λόγο, χρησιμοποιούν συχνά την κανονικοποίηση του μετασχηματισμού Fourier που καθορίζει το φάσμα ως προς τη γωνιακή συχνότητα (ακτίνια ανά δευτερόλεπτο). Θα χρησιμοποιήσω μια πιο βολική δυτική διατύπωση που ορίζει το φάσμα με βάση τη συνήθη συχνότητα (hertz). Οι άμεσοι και αντίστροφοι μετασχηματισμοί Fourier σε αυτήν την περίπτωση ορίζονται από τους τύπους στα αριστερά και μερικές από τις ιδιότητες αυτού του μετασχηματισμού που χρειαζόμαστε είναι μια λίστα με επτά στοιχεία στα δεξιά:

Η πρώτη από αυτές τις ιδιότητες είναι η γραμμικότητα. Αν πάρουμε κάποιο γραμμικό συνδυασμό συναρτήσεων, τότε ο μετασχηματισμός Fourier αυτού του συνδυασμού θα είναι ο ίδιος γραμμικός συνδυασμός των εικόνων Fourier αυτών των συναρτήσεων. Αυτή η ιδιότητα επιτρέπει σε κάποιον να μειώσει τις πολύπλοκες συναρτήσεις και τους μετασχηματισμούς Fourier τους σε απλούστερες. Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourier μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης με συχνότητα f και πλάτος a είναι ένας συνδυασμός δύο συναρτήσεων δέλτα που βρίσκονται στα σημεία f και -f και με συντελεστή a/2:

Αν πάρουμε μια συνάρτηση που αποτελείται από το άθροισμα ενός συνόλου ημιτονοειδών με διαφορετικές συχνότητες, τότε, σύμφωνα με την ιδιότητα της γραμμικότητας, ο μετασχηματισμός Fourier αυτής της συνάρτησης θα αποτελείται από το αντίστοιχο σύνολο συναρτήσεων δέλτα. Αυτό μας επιτρέπει να δώσουμε μια αφελή, αλλά οπτική ερμηνεία του φάσματος σύμφωνα με την αρχή «εάν στο φάσμα μιας συνάρτησης η συχνότητα f αντιστοιχεί στο πλάτος a, τότε η αρχική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα ημιτονοειδών, ένα από τα οποία θα να είναι ένα ημιτονοειδές με συχνότητα f και πλάτος 2a”. Αυστηρά μιλώντας, αυτή η ερμηνεία είναι εσφαλμένη, καθώς η συνάρτηση δέλτα και το σημείο στο γράφημα είναι τελείως διαφορετικά πράγματα, αλλά όπως θα δούμε παρακάτω, για διακριτούς μετασχηματισμούς Fourier, δεν θα είναι τόσο μακριά από την αλήθεια.

Η δεύτερη ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier είναι η ανεξαρτησία του φάσματος πλάτους από τη χρονική μετατόπιση του σήματος. Εάν μετακινήσουμε τη συνάρτηση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά κατά μήκος του άξονα x, τότε μόνο το φάσμα φάσεων της θα αλλάξει.

Η τρίτη ιδιότητα - τέντωμα (συμπίεση) της αρχικής συνάρτησης κατά μήκος του άξονα χρόνου (x) συμπιέζει αναλογικά (τεντώνει) τον μετασχηματισμό Fourier της κατά μήκος της κλίμακας συχνότητας (w). Συγκεκριμένα, το φάσμα ενός σήματος πεπερασμένης διάρκειας είναι πάντα απείρως ευρύ και αντίστροφα, το φάσμα πεπερασμένου πλάτους αντιστοιχεί πάντα σε ένα σήμα απεριόριστης διάρκειας.

Η τέταρτη και η πέμπτη ιδιοκτησία είναι ίσως οι πιο χρήσιμες από όλες. Καθιστούν δυνατή τη μείωση της συνέλιξης των συναρτήσεων στον σημειακό πολλαπλασιασμό των μετασχηματισμών Fourier τους, και αντίστροφα - τον κατά σημείο πολλαπλασιασμό των συναρτήσεων στη συνέλιξη των μετασχηματισμών Fourier τους. Λίγο πιο πέρα ​​θα δείξω πόσο βολικό είναι.

Η έκτη ιδιότητα μιλά για τη συμμετρία των εικόνων Fourier. Συγκεκριμένα, από αυτήν την ιδιότητα προκύπτει ότι στον μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης με πραγματική τιμή (δηλαδή οποιουδήποτε «πραγματικού» σήματος) το φάσμα πλάτους είναι πάντα μια άρτια συνάρτηση και το φάσμα φάσης (αν μειωθεί στο εύρος -pi.. .pi) είναι περίεργο . Αυτός είναι ο λόγος που το αρνητικό μέρος του φάσματος δεν σχεδιάζεται σχεδόν ποτέ στα γραφήματα του φάσματος - για σήματα πραγματικής αξίας, δεν παρέχει καμία νέα πληροφορία (αλλά, επαναλαμβάνω, δεν είναι ούτε μηδέν).

Τέλος, η τελευταία, έβδομη ιδιότητα, λέει ότι ο μετασχηματισμός Fourier διατηρεί την «ενέργεια» του σήματος. Έχει νόημα μόνο για σήματα πεπερασμένης διάρκειας, των οποίων η ενέργεια είναι πεπερασμένη, και λέει ότι το φάσμα τέτοιων σημάτων στο άπειρο πλησιάζει γρήγορα το μηδέν. Ακριβώς λόγω αυτής της ιδιότητας, κατά κανόνα, μόνο το "κύριο" μέρος του σήματος απεικονίζεται στα γραφήματα του φάσματος, το οποίο φέρει τη μερίδα του λέοντος της ενέργειας - το υπόλοιπο του γραφήματος απλώς τείνει στο μηδέν (αλλά, και πάλι , δεν είναι μηδέν).

Οπλισμένοι με αυτές τις 7 ιδιότητες, ας ρίξουμε μια ματιά στα μαθηματικά της «ψηφιοποίησης» ενός σήματος για τη μετάφραση ενός συνεχούς σήματος σε μια ακολουθία ψηφίων. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λάβουμε μια συνάρτηση γνωστή ως "Dirac comb":

Μια χτένα Dirac είναι απλώς μια περιοδική ακολουθία συναρτήσεων μονάδας δέλτα, που ξεκινά από το μηδέν και συνεχίζει με το βήμα Τ. Για την ψηφιοποίηση σημάτων, το T επιλέγεται όσο το δυνατόν μικρότερο, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Αντί για συνεχή συνάρτηση, μετά από τέτοιο πολλαπλασιασμό, προκύπτει μια ακολουθία παλμών δέλτα συγκεκριμένου ύψους. Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με την ιδιότητα 5 του μετασχηματισμού Fourier, το φάσμα του προκύπτοντος διακριτού σήματος είναι η συνέλιξη του αρχικού φάσματος με την αντίστοιχη χτένα Dirac. Είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι, με βάση τις ιδιότητες της συνέλιξης, το φάσμα του αρχικού σήματος, όπως ήταν, «αντιγράφεται» άπειρες φορές κατά μήκος του άξονα συχνότητας με βήμα 1/Τ και στη συνέχεια συνοψίζεται .

Σημειώστε ότι εάν το αρχικό φάσμα είχε πεπερασμένο πλάτος και χρησιμοποιούσαμε αρκετά υψηλό ρυθμό δειγματοληψίας, τότε τα αντίγραφα του αρχικού φάσματος δεν θα επικαλύπτονται και, επομένως, δεν θα προστεθούν μεταξύ τους. Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα είναι εύκολο να αποκατασταθεί το αρχικό φάσμα από ένα τέτοιο «διπλωμένο» φάσμα - θα αρκεί απλώς να πάρουμε τη συνιστώσα του φάσματος στην περιοχή του μηδέν, «κόβοντας» τα επιπλέον αντίγραφα που πηγαίνουν στο άπειρο. Ο απλούστερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να πολλαπλασιάσετε το φάσμα με μια ορθογώνια συνάρτηση ίση με T στην περιοχή -1/2T...1/2T και μηδέν εκτός αυτής της περιοχής. Ένας παρόμοιος μετασχηματισμός Fourier αντιστοιχεί στη συνάρτηση sinc (Tx) και σύμφωνα με την ιδιότητα 4, ένας τέτοιος πολλαπλασιασμός ισοδυναμεί με συνέλιξη της αρχικής ακολουθίας συναρτήσεων δέλτα με τη συνάρτηση sinc(Tx)

Δηλαδή, χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier, βρήκαμε έναν τρόπο να επαναφέρουμε εύκολα το αρχικό σήμα από ένα με χρονική δειγματοληψία, υπό την προϋπόθεση ότι χρησιμοποιούμε συχνότητα δειγματοληψίας τουλάχιστον δύο φορές (λόγω της παρουσίας αρνητικών συχνοτήτων στο φάσμα) υψηλότερη από τη μέγιστη συχνότητα που υπάρχει στο αρχικό σήμα. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ευρέως γνωστό και ονομάζεται θεώρημα Kotelnikov / Shannon-Nyquist. Ωστόσο, όπως είναι εύκολο να δούμε τώρα (κατανοώντας την απόδειξη), αυτό το αποτέλεσμα, σε αντίθεση με μια ευρέως διαδεδομένη παρανόηση, καθορίζει επαρκής, αλλά όχι απαραίτητηπροϋπόθεση για την επαναφορά του αρχικού σήματος. Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι να διασφαλίσουμε ότι το τμήμα του φάσματος που μας ενδιαφέρει μετά τη δειγματοληψία του σήματος δεν επικαλύπτει το ένα το άλλο και εάν το σήμα είναι αρκετά στενής ζώνης (έχει μικρό «πλάτος» του μη μηδενικού μέρους του φάσμα), τότε αυτό το αποτέλεσμα μπορεί συχνά να επιτευχθεί ακόμη και με ρυθμό δειγματοληψίας πολύ χαμηλότερο από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας σήματος. Αυτή η τεχνική ονομάζεται «υποδειγματοληψία» (subsampling, bandpass sampling) και χρησιμοποιείται αρκετά ευρέως στην επεξεργασία όλων των ειδών ραδιοσημάτων. Για παράδειγμα, εάν πάρουμε ένα ραδιόφωνο FM που λειτουργεί στη ζώνη συχνοτήτων από 88 έως 108 MHz, τότε για να το ψηφιοποιήσουμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ADC με συχνότητα μόνο 43,5 MHz αντί για τα 216 MHz που υποτίθεται από το θεώρημα Kotelnikov. Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, χρειάζεστε ένα υψηλής ποιότητας ADC και ένα καλό φίλτρο.

Σημειώνω ότι η «διπλασιασμός» υψηλών συχνοτήτων από συχνότητες χαμηλότερης τάξης (aliasing) είναι μια άμεση ιδιότητα της δειγματοληψίας σήματος, «χαλάζοντας» αμετάκλητα το αποτέλεσμα. Επομένως, εάν το σήμα, καταρχήν, μπορεί να περιέχει συχνότητες υψηλής τάξης (δηλαδή, σχεδόν πάντα), τοποθετείται ένα αναλογικό φίλτρο μπροστά από το ADC, το οποίο «κόβει» οτιδήποτε περιττό απευθείας στο αρχικό σήμα (καθώς θα είναι πολύ αργά για να το κάνετε αυτό μετά τη δειγματοληψία). Τα χαρακτηριστικά αυτών των φίλτρων, ως αναλογικών συσκευών, δεν είναι ιδανικά, επομένως εξακολουθεί να συμβαίνει κάποια «βλάβη» του σήματος και στην πράξη προκύπτει ότι οι υψηλότερες συχνότητες στο φάσμα είναι συνήθως αναξιόπιστες. Για να μειωθεί αυτό το πρόβλημα, δεν είναι ασυνήθιστο να γίνεται δειγματοληψία του σήματος με ρυθμό υπερδειγματοληψίας, ενώ ρυθμίζεται το αναλογικό φίλτρο εισόδου σε χαμηλότερο εύρος ζώνης και χρησιμοποιείται μόνο το κάτω μέρος της θεωρητικά διαθέσιμης περιοχής συχνοτήτων του ADC.

Μια άλλη κοινή παρανόηση, παρεμπιπτόντως, είναι όταν το σήμα στην έξοδο του DAC τραβιέται σε "βήματα". Τα "βήματα" αντιστοιχούν στη συνέλιξη της δειγματοληπτικής ακολουθίας σημάτων με ορθογώνια συνάρτηση πλάτους T και ύψους 1:

Με έναν τέτοιο μετασχηματισμό, το φάσμα του σήματος πολλαπλασιάζεται με το μετασχηματισμό Fourier αυτής της ορθογώνιας συνάρτησης και για μια παρόμοια ορθογώνια συνάρτηση είναι πάλι sinc(w), «τεντωμένο» όσο ισχυρότερο, τόσο μικρότερο είναι το πλάτος του αντίστοιχου ορθογωνίου. Το φάσμα του σήματος δειγματοληψίας με παρόμοιο "DAC" πολλαπλασιάζεται κατά σημείο με αυτό το φάσμα. Σε αυτή την περίπτωση, οι περιττές υψηλές συχνότητες με «επιπλέον αντίγραφα» του φάσματος δεν αποκόπτονται εντελώς και το πάνω μέρος του «χρήσιμου» τμήματος του φάσματος, αντίθετα, αποδυναμώνεται.

Στην πράξη, φυσικά, κανείς δεν το κάνει αυτό. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις για την κατασκευή ενός DAC, αλλά ακόμη και στα πιο παρόμοια DAC τύπου στάθμισης, αντίθετα, οι ορθογώνιοι παλμοί στο DAC επιλέγονται όσο το δυνατόν συντομότεροι (προσεγγίζοντας μια πραγματική ακολουθία συναρτήσεων δέλτα) προκειμένου να αποφευχθεί η περιττή καταστολή του χρήσιμου μέρους του φάσματος. Οι «επιπλέον» συχνότητες στο προκύπτον ευρυζωνικό σήμα αποσβένονται σχεδόν πάντα περνώντας το σήμα από ένα αναλογικό χαμηλοπερατό φίλτρο, έτσι ώστε να μην υπάρχουν «ψηφιακά βήματα» ούτε «μέσα» στον μετατροπέα ή, επιπλέον, στην έξοδό του.

Ωστόσο, ας επιστρέψουμε στον μετασχηματισμό Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier που περιγράφεται παραπάνω και εφαρμόζεται σε μια προ-δειγματοληψία ακολουθία σημάτων ονομάζεται Μετασχηματισμός Διακριτού Χρόνου Fourier (DTFT). Το φάσμα που προκύπτει από έναν τέτοιο μετασχηματισμό είναι πάντα 1/T-περιοδικό, επομένως το φάσμα DTFT καθορίζεται πλήρως από τις τιμές του στο τμήμα)