Gaussian μετασχηματισμός. Παραδείγματα επίλυσης της λάσπης με τη μέθοδο Gauss

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση στο σύστημα από nγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστες μεταβλητές
η ορίζουσα του κύριου πίνακα του οποίου είναι διαφορετική από το μηδέν.

Η ουσία της μεθόδου Gaussσυνίσταται στον διαδοχικό αποκλεισμό άγνωστων μεταβλητών: πρώτον, το x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη, λοιπόν x2όλων των εξισώσεων, ξεκινώντας από την τρίτη, και ούτω καθεξής, μέχρι να παραμείνει μόνο η άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση x n. Μια τέτοια διαδικασία μετασχηματισμού των εξισώσεων του συστήματος για τη διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών ονομάζεται άμεση μέθοδος Gauss. Μετά την ολοκλήρωση της κίνησης προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε x n, χρησιμοποιώντας αυτή την τιμή από την προτελευταία εξίσωση υπολογίζεται xn-1, και ούτω καθεξής, από την πρώτη εξίσωση βρίσκεται x 1. Ονομάζεται η διαδικασία υπολογισμού άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση του συστήματος στην πρώτη αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Ας περιγράψουμε εν συντομία τον αλγόριθμο για την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Καταργήστε την άγνωστη μεταβλητή x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε την πρώτη πολλαπλασιασμένη επί στην τρίτη εξίσωση και ούτω καθεξής, για να απείρως μικρόςπροσθέστε την πρώτη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

όπου ένας .

Θα φτάναμε στο ίδιο αποτέλεσμα αν εκφραζόμασταν x 1μέσω άλλων άγνωστων μεταβλητών στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και η προκύπτουσα έκφραση αντικαταστάθηκε σε όλες τις άλλες εξισώσεις. Η μεταβλητή λοιπόν x 1εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, ενεργούμε παρόμοια, αλλά μόνο με ένα μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τρίτη εξίσωση του συστήματος, προσθέστε το δεύτερο πολλαπλασιασμένο επί στην τέταρτη εξίσωση και ούτω καθεξής, για να απείρως μικρόςπροσθέστε τη δεύτερη εξίσωση, πολλαπλασιαζόμενη επί . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

όπου ένας . Η μεταβλητή λοιπόν x2εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3, ενώ ομοίως ενεργούμε και με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την απευθείας πορεία της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή, ξεκινάμε την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε x nαπό την τελευταία εξίσωση ως , χρησιμοποιώντας την τιμή που προκύπτει x nεύρημα xn-1από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1από την πρώτη εξίσωση.

Παράδειγμα.

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Εξισώσεων Γκαουσιανή μέθοδος.

Σε αυτό το άρθρο, η μέθοδος θεωρείται ως τρόπος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLAE). Η μέθοδος είναι αναλυτική, δηλαδή, σας επιτρέπει να γράψετε έναν αλγόριθμο λύσης σε μια γενική μορφή και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τιμές από συγκεκριμένα παραδείγματα εκεί. Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα ή τους τύπους του Cramer, όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε επίσης να εργαστείτε με εκείνες που έχουν άπειρες λύσεις. Ή δεν το έχουν καθόλου.

Τι σημαίνει Gauss;

Πρώτα πρέπει να γράψετε το σύστημα των εξισώσεων μας στο Φαίνεται κάπως έτσι. Το σύστημα λαμβάνεται:

Οι συντελεστές γράφονται με τη μορφή πίνακα και στα δεξιά σε ξεχωριστή στήλη - ελεύθερα μέλη. Η στήλη με τα ελεύθερα μέλη διαχωρίζεται για ευκολία.Η μήτρα που περιλαμβάνει αυτή τη στήλη ονομάζεται εκτεταμένη.

Επιπλέον, η κύρια μήτρα με τους συντελεστές πρέπει να μειωθεί στο ανώτερο τριγωνικό σχήμα. Αυτό είναι το κύριο σημείο επίλυσης του συστήματος με τη μέθοδο Gauss. Με απλά λόγια, μετά από ορισμένους χειρισμούς, η μήτρα θα πρέπει να μοιάζει με αυτό, έτσι ώστε να υπάρχουν μόνο μηδενικά στο κάτω αριστερό τμήμα της:

Στη συνέχεια, αν γράψετε ξανά τον νέο πίνακα ως σύστημα εξισώσεων, θα παρατηρήσετε ότι η τελευταία σειρά περιέχει ήδη την τιμή μιας από τις ρίζες, η οποία στη συνέχεια αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκεται μια άλλη ρίζα κ.ο.κ.

Αυτή είναι μια περιγραφή της λύσης με τη μέθοδο Gauss με τους πιο γενικούς όρους. Και τι γίνεται αν ξαφνικά το σύστημα δεν έχει λύση; Ή μήπως υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτούς; Για να απαντήσουμε σε αυτές και σε πολλές άλλες ερωτήσεις, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ξεχωριστά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται στη λύση με τη μέθοδο Gauss.

Πίνακες, οι ιδιότητές τους

Δεν υπάρχει κρυφό νόημα στη μήτρα. Είναι απλώς ένας βολικός τρόπος καταγραφής δεδομένων για μεταγενέστερες λειτουργίες. Ακόμη και οι μαθητές δεν πρέπει να τους φοβούνται.

Η μήτρα είναι πάντα ορθογώνια, γιατί είναι πιο βολική. Ακόμη και στη μέθοδο Gauss, όπου όλα καταλήγουν στην κατασκευή ενός τριγωνικού πίνακα, ένα ορθογώνιο εμφανίζεται στην καταχώρηση, μόνο με μηδενικά στο μέρος όπου δεν υπάρχουν αριθμοί. Τα μηδενικά μπορούν να παραληφθούν, αλλά υπονοούνται.

Η μήτρα έχει μέγεθος. Το "πλάτος" του είναι ο αριθμός των σειρών (m), το "μήκος" του είναι ο αριθμός των στηλών (n). Τότε το μέγεθος του πίνακα A (για τον προσδιορισμό τους χρησιμοποιούνται συνήθως κεφαλαία λατινικά γράμματα) θα συμβολίζεται ως A m×n . Αν m=n, τότε αυτός ο πίνακας είναι τετράγωνος και m=n είναι η σειρά του. Συνεπώς, οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα A μπορεί να συμβολιστεί με τον αριθμό της γραμμής και της στήλης του: a xy ; x - αριθμός σειράς, αλλαγές , y - αριθμός στήλης, αλλαγές .

Το Β δεν είναι το κύριο σημείο της λύσης. Κατ 'αρχήν, όλες οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν απευθείας με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά η σημείωση θα αποδειχθεί πολύ πιο περίπλοκη και θα είναι πολύ πιο εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτήν.

Καθοριστικός

Ο πίνακας έχει επίσης μια ορίζουσα. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό. Το να μάθετε τώρα το νόημά του δεν αξίζει τον κόπο, μπορείτε απλώς να δείξετε πώς υπολογίζεται και στη συνέχεια να πείτε ποιες ιδιότητες του πίνακα καθορίζει. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε την ορίζουσα είναι μέσω διαγωνίων. Οι φανταστικές διαγώνιοι σχεδιάζονται στον πίνακα. τα στοιχεία που βρίσκονται σε καθένα από αυτά πολλαπλασιάζονται και στη συνέχεια προστίθενται τα προκύπτοντα προϊόντα: διαγώνιες με κλίση προς τα δεξιά - με σύμβολο "συν", με κλίση προς τα αριστερά - με σύμβολο "μείον".

Είναι εξαιρετικά σημαντικό να σημειωθεί ότι η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα. Για έναν ορθογώνιο πίνακα, μπορείτε να κάνετε τα εξής: επιλέξτε τον μικρότερο από τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στηλών (έστω k) και, στη συνέχεια, σημειώστε τυχαία k στήλες και k σειρές στον πίνακα. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση των επιλεγμένων στηλών και γραμμών θα σχηματίσουν έναν νέο τετράγωνο πίνακα. Εάν η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα είναι ένας αριθμός διαφορετικός από το μηδέν, τότε ονομάζεται ελάσσονα βάσης του αρχικού ορθογώνιου πίνακα.

Πριν προχωρήσουμε στη λύση του συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss, δεν βλάπτει ο υπολογισμός της ορίζουσας. Εάν αποδειχθεί μηδέν, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο πίνακας έχει είτε άπειρο αριθμό λύσεων, είτε δεν υπάρχουν καθόλου. Σε μια τέτοια θλιβερή περίπτωση, πρέπει να προχωρήσετε περαιτέρω και να μάθετε για την κατάταξη του πίνακα.

Ταξινόμηση συστήματος

Υπάρχει κάτι όπως η κατάταξη μιας μήτρας. Αυτή είναι η μέγιστη τάξη της μη μηδενικής ορίζοντάς της (αν θυμηθούμε τη βασική ελάσσονα, μπορούμε να πούμε ότι η κατάταξη ενός πίνακα είναι η τάξη της ελάσσονος βάσης).

Σύμφωνα με το πώς έχουν τα πράγματα με την κατάταξη, το SLAE μπορεί να χωριστεί σε:

• Αρθρωση. Στοτων κοινών συστημάτων, η κατάταξη του κύριου πίνακα (που αποτελείται μόνο από συντελεστές) συμπίπτει με την κατάταξη του εκτεταμένου (με μια στήλη ελεύθερων όρων). Τέτοια συστήματα έχουν μια λύση, αλλά όχι απαραίτητα μία, επομένως, τα κοινά συστήματα χωρίζονται επιπλέον σε:
• - βέβαιος- έχοντας μια μοναδική λύση. Σε ορισμένα συστήματα, η κατάταξη του πίνακα και ο αριθμός των αγνώστων (ή ο αριθμός των στηλών, που είναι το ίδιο πράγμα) είναι ίσοι.
• - αόριστος -με άπειρο αριθμό λύσεων. Η κατάταξη των πινάκων για τέτοια συστήματα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.
• Ασύμβατες. Στοτέτοια συστήματα, οι τάξεις των κύριων και εκτεταμένων πινάκων δεν συμπίπτουν. Τα ασύμβατα συστήματα δεν έχουν λύση.

Η μέθοδος Gauss είναι καλή στο ότι επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει είτε μια ξεκάθαρη απόδειξη της ασυνέπειας του συστήματος (χωρίς να υπολογίζει τις ορίζουσες των μεγάλων πινάκων) είτε μια γενική λύση για ένα σύστημα με άπειρο αριθμό λύσεων κατά τη διάρκεια της λύσης.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις

Προτού προχωρήσετε απευθείας στη λύση του συστήματος, είναι δυνατό να το κάνετε λιγότερο επαχθές και πιο βολικό για υπολογισμούς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών - τέτοιοι που η εφαρμογή τους δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο την τελική απάντηση. Πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένοι από τους παραπάνω στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ισχύουν μόνο για πίνακες, η πηγή των οποίων ήταν ακριβώς το SLAE. Ακολουθεί μια λίστα με αυτούς τους μετασχηματισμούς:

1. Μετάθεση χορδής. Είναι προφανές ότι αν αλλάξουμε τη σειρά των εξισώσεων στην εγγραφή του συστήματος, τότε αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τη λύση. Κατά συνέπεια, είναι επίσης δυνατή η ανταλλαγή σειρών στη μήτρα αυτού του συστήματος, χωρίς να ξεχνάμε, φυσικά, τη στήλη των ελεύθερων μελών.
2. Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας συμβολοσειράς με κάποιο παράγοντα. Πολύ χρήσιμο! Με αυτό, μπορείτε να μειώσετε μεγάλους αριθμούς στον πίνακα ή να αφαιρέσετε μηδενικά. Το σύνολο των λύσεων, ως συνήθως, δεν θα αλλάξει και θα γίνει πιο βολικό να εκτελέσετε περαιτέρω λειτουργίες. Το κύριο πράγμα είναι ότι ο συντελεστής δεν είναι ίσος με μηδέν.
3. Διαγραφή σειρών με αναλογικούς συντελεστές. Αυτό προκύπτει εν μέρει από την προηγούμενη παράγραφο. Εάν δύο ή περισσότερες σειρές στον πίνακα έχουν αναλογικούς συντελεστές, τότε κατά τον πολλαπλασιασμό / διαίρεση μιας από τις σειρές με τον συντελεστή αναλογικότητας, λαμβάνονται δύο (ή, πάλι, περισσότερες) απολύτως ίδιες σειρές και μπορείτε να αφαιρέσετε τις επιπλέον, αφήνοντας μόνο ένας.
4. Αφαίρεση της μηδενικής γραμμής. Εάν κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών λαμβάνεται μια συμβολοσειρά κάπου στην οποία όλα τα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένου του ελεύθερου μέλους, είναι μηδέν, τότε μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να ονομαστεί μηδέν και να πεταχτεί έξω από τη μήτρα.
5. Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς τα στοιχεία μιας άλλης (στις αντίστοιχες στήλες), πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο συντελεστή. Η πιο σκοτεινή και πιο σημαντική μεταμόρφωση όλων. Αξίζει να σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Προσθήκη συμβολοσειράς πολλαπλασιασμένη με έναν παράγοντα

Για ευκολία κατανόησης, αξίζει να αποσυναρμολογήσετε αυτή τη διαδικασία βήμα προς βήμα. Δύο σειρές λαμβάνονται από τον πίνακα:

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a 21 a 22 ... a 2n | β 2

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε το πρώτο στο δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Στη συνέχεια, στη μήτρα η δεύτερη σειρά αντικαθίσταται με μια νέα και η πρώτη παραμένει αμετάβλητη.

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο χορδών, ένα από τα στοιχεία της νέας συμβολοσειράς να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, είναι δυνατό να ληφθεί μια εξίσωση στο σύστημα, όπου θα υπάρχει ένα λιγότερο άγνωστο. Και αν λάβετε δύο τέτοιες εξισώσεις, τότε η πράξη μπορεί να γίνει ξανά και να πάρετε μια εξίσωση που θα περιέχει ήδη δύο λιγότερους αγνώστους. Και αν κάθε φορά γυρνάμε στο μηδέν ένα συντελεστή για όλες τις σειρές που είναι χαμηλότερες από την αρχική, τότε μπορούμε, όπως βήματα, να κατεβούμε στο κάτω μέρος του πίνακα και να πάρουμε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ονομάζεται επίλυση του συστήματος με τη χρήση της μεθόδου Gauss.

Γενικά

Ας υπάρχει σύστημα. Έχει m εξισώσεις και n άγνωστες ρίζες. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

Ο κύριος πίνακας καταρτίζεται από τους συντελεστές του συστήματος. Μια στήλη ελεύθερων μελών προστίθεται στον εκτεταμένο πίνακα και χωρίζεται από μια ράβδο για ευκολία.

• η πρώτη σειρά του πίνακα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή k = (-a 21 / a 11).
• Η πρώτη τροποποιημένη σειρά και η δεύτερη σειρά του πίνακα προστίθενται.
• αντί για τη δεύτερη σειρά, το αποτέλεσμα της προσθήκης από την προηγούμενη παράγραφο εισάγεται στη μήτρα.
• τώρα ο πρώτος συντελεστής στη νέα δεύτερη σειρά είναι 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Τώρα εκτελείται η ίδια σειρά μετασχηματισμών, εμπλέκονται μόνο η πρώτη και η τρίτη σειρά. Αντίστοιχα, σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, το στοιχείο a 21 αντικαθίσταται από ένα 31 . Στη συνέχεια όλα επαναλαμβάνονται για ένα 41, ... ένα m1. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας όπου το πρώτο στοιχείο στις σειρές είναι ίσο με μηδέν. Τώρα πρέπει να ξεχάσουμε τη γραμμή νούμερο ένα και να εκτελέσουμε τον ίδιο αλγόριθμο ξεκινώντας από τη δεύτερη γραμμή:

• συντελεστής k \u003d (-a 32 / a 22).
• η δεύτερη τροποποιημένη γραμμή προστίθεται στην "τρέχουσα" γραμμή.
• το αποτέλεσμα της προσθήκης αντικαθίσταται στην τρίτη, τέταρτη και ούτω καθεξής γραμμές, ενώ η πρώτη και η δεύτερη παραμένουν αμετάβλητες.
• στις σειρές του πίνακα, τα δύο πρώτα στοιχεία είναι ήδη ίσα με μηδέν.

Ο αλγόριθμος πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να εμφανιστεί ο συντελεστής k = (-a m,m-1 /a mm). Αυτό σημαίνει ότι ο αλγόριθμος εκτελέστηκε τελευταία μόνο για την κατώτερη εξίσωση. Τώρα η μήτρα μοιάζει με τρίγωνο ή έχει βαθμιδωτό σχήμα. Η κατώτατη γραμμή περιέχει την ισότητα a mn × x n = b m . Ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι γνωστοί και η ρίζα εκφράζεται μέσω αυτών: x n = b m /a mn. Η προκύπτουσα ρίζα αντικαθίσταται στην επάνω σειρά για να βρεθεί x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Και ούτω καθεξής κατ' αναλογία: σε κάθε επόμενη γραμμή υπάρχει μια νέα ρίζα και, έχοντας φτάσει στην "κορυφή" του συστήματος, μπορείτε να βρείτε πολλές λύσεις. Θα είναι το μόνο.

Όταν δεν υπάρχουν λύσεις

Εάν σε μια από τις σειρές του πίνακα όλα τα στοιχεία, εκτός από τον ελεύθερο όρο, είναι ίσα με μηδέν, τότε η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή τη σειρά μοιάζει με 0 = b. Δεν έχει λύση. Και αφού μια τέτοια εξίσωση περιλαμβάνεται στο σύστημα, τότε το σύνολο των λύσεων ολόκληρου του συστήματος είναι κενό, είναι δηλαδή εκφυλισμένο.

Όταν υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων

Μπορεί να αποδειχθεί ότι στον μειωμένο τριγωνικό πίνακα δεν υπάρχουν σειρές με ένα στοιχείο - τον συντελεστή της εξίσωσης και ένα - ένα ελεύθερο μέλος. Υπάρχουν μόνο συμβολοσειρές που, όταν ξαναγραφούν, θα μοιάζουν με εξίσωση με δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή γενικής λύσης. Πως να το κάνεις?

Όλες οι μεταβλητές στον πίνακα χωρίζονται σε βασικές και ελεύθερες. Βασικά - αυτά είναι αυτά που στέκονται "στην άκρη" των σειρών στον κλιμακωτό πίνακα. Τα υπόλοιπα είναι δωρεάν. Στη γενική λύση, οι βασικές μεταβλητές γράφονται ως προς τις ελεύθερες.

Για ευκολία, ο πίνακας ξαναγράφεται πρώτα σε ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, στην τελευταία από αυτές, όπου ακριβώς έμεινε μόνο μία βασική μεταβλητή, παραμένει στη μία πλευρά, και όλα τα άλλα μεταφέρονται στην άλλη. Αυτό γίνεται για κάθε εξίσωση με μία βασική μεταβλητή. Στη συνέχεια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, όπου είναι δυνατόν, αντί για τη βασική μεταβλητή, αντικαθίσταται η έκφραση που προκύπτει γι' αυτήν. Εάν, ως αποτέλεσμα, εμφανιστεί ξανά μια παράσταση που περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, εκφράζεται ξανά από εκεί και ούτω καθεξής, έως ότου κάθε βασική μεταβλητή γραφτεί ως έκφραση με ελεύθερες μεταβλητές. Αυτή είναι η γενική λύση του SLAE.

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη βασική λύση του συστήματος - δώστε στις δωρεάν μεταβλητές οποιεσδήποτε τιμές και, στη συνέχεια, για τη συγκεκριμένη περίπτωση υπολογίστε τις τιμές των βασικών μεταβλητών. Υπάρχουν άπειρες συγκεκριμένες λύσεις.

Λύση με συγκεκριμένα παραδείγματα

Εδώ είναι το σύστημα των εξισώσεων.

Για ευκολία, είναι καλύτερο να δημιουργήσετε αμέσως τη μήτρα του

Είναι γνωστό ότι κατά την επίλυση με τη μέθοδο Gauss, η εξίσωση που αντιστοιχεί στην πρώτη σειρά θα παραμείνει αμετάβλητη στο τέλος των μετασχηματισμών. Επομένως, θα είναι πιο κερδοφόρο εάν το επάνω αριστερό στοιχείο του πίνακα είναι το μικρότερο - τότε τα πρώτα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών μετά τις πράξεις θα μετατραπούν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στον μεταγλωττισμένο πίνακα θα είναι πλεονεκτικό να τοποθετηθεί το δεύτερο στη θέση της πρώτης σειράς.

δεύτερη γραμμή: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

τρίτη γραμμή: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Τώρα, για να μην μπερδευτούμε, είναι απαραίτητο να γράψουμε τον πίνακα με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα των μετασχηματισμών.

Είναι προφανές ότι μια τέτοια μήτρα μπορεί να γίνει πιο βολική για την αντίληψη με τη βοήθεια ορισμένων λειτουργιών. Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε όλα τα "πλην" από τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1".

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στην τρίτη σειρά όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια των τριών. Στη συνέχεια, μπορείτε να μειώσετε τη συμβολοσειρά με αυτόν τον αριθμό, πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1/3" (μείον - ταυτόχρονα για να αφαιρέσετε τις αρνητικές τιμές).

Φαίνεται πολύ πιο ωραίο. Τώρα πρέπει να αφήσουμε μόνη την πρώτη γραμμή και να δουλέψουμε με τη δεύτερη και την τρίτη. Η εργασία είναι να προσθέσετε τη δεύτερη σειρά στην τρίτη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη με έναν τέτοιο παράγοντα ώστε το στοιχείο a 32 να γίνει ίσο με μηδέν.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 κλάσματα, και μόνο τότε, όταν ληφθούν οι απαντήσεις, αποφασίστε εάν θα στρογγυλοποιήσετε και θα μεταφράσετε σε άλλη μορφή σημειογραφίας)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Ο πίνακας γράφεται ξανά με νέες τιμές.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Όπως μπορείτε να δείτε, ο προκύπτων πίνακας έχει ήδη μια κλιμακωτή μορφή. Επομένως, δεν απαιτούνται περαιτέρω μετασχηματισμοί του συστήματος με τη μέθοδο Gauss. Αυτό που μπορεί να γίνει εδώ είναι να αφαιρέσετε τον συνολικό συντελεστή "-1/7" από την τρίτη γραμμή.

Τώρα όλα είναι όμορφα. Το σημείο είναι μικρό - γράψτε ξανά τον πίνακα με τη μορφή συστήματος εξισώσεων και υπολογίστε τις ρίζες

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Ο αλγόριθμος με τον οποίο θα βρεθούν τώρα οι ρίζες ονομάζεται αντίστροφη κίνηση στη μέθοδο Gauss. Η εξίσωση (3) περιέχει την τιμή του z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Και η πρώτη εξίσωση σας επιτρέπει να βρείτε το x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Έχουμε το δικαίωμα να ονομάσουμε ένα τέτοιο σύστημα κοινό, και μάλιστα οριστικό, δηλαδή να έχει μια μοναδική λύση. Η απάντηση είναι γραμμένη με την ακόλουθη μορφή:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Παράδειγμα αόριστου συστήματος

Η παραλλαγή της επίλυσης ενός συγκεκριμένου συστήματος με τη μέθοδο Gauss έχει αναλυθεί, τώρα είναι απαραίτητο να εξεταστεί η περίπτωση εάν το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή, μπορούν να βρεθούν άπειρες λύσεις για αυτό.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Η ίδια η μορφή του συστήματος είναι ήδη ανησυχητική, επειδή ο αριθμός των αγνώστων είναι n = 5 και η κατάταξη του πίνακα του συστήματος είναι ήδη ακριβώς μικρότερη από αυτόν τον αριθμό, επειδή ο αριθμός των σειρών είναι m = 4, δηλαδή, η μεγαλύτερη τάξη της ορίζουσας του τετραγώνου είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων και είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε τη γενική του μορφή. Η μέθοδος Gauss για γραμμικές εξισώσεις καθιστά δυνατό να γίνει αυτό.

Πρώτα, ως συνήθως, συντάσσεται η επαυξημένη μήτρα.

Δεύτερη γραμμή: συντελεστής k = (-a 21 / a 11) = -3. Στην τρίτη γραμμή, το πρώτο στοιχείο είναι πριν από τους μετασχηματισμούς, οπότε δεν χρειάζεται να αγγίξετε τίποτα, πρέπει να το αφήσετε ως έχει. Τέταρτη γραμμή: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με κάθε έναν από τους συντελεστές τους με τη σειρά και προσθέτοντάς τα στις επιθυμητές σειρές, λαμβάνουμε έναν πίνακα με την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σειρά αποτελούνται από στοιχεία που είναι ανάλογα μεταξύ τους. Το δεύτερο και το τέταρτο είναι γενικά το ίδιο, οπότε ένα από αυτά μπορεί να αφαιρεθεί αμέσως, και το υπόλοιπο πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή "-1" και να πάρει τον αριθμό γραμμής 3. Και πάλι, αφήστε μία από τις δύο ίδιες γραμμές.

Αποδείχθηκε μια τέτοια μήτρα. Το σύστημα δεν έχει ακόμη καταγραφεί, είναι απαραίτητο εδώ να προσδιοριστούν οι βασικές μεταβλητές - που στέκονται στους συντελεστές a 11 \u003d 1 και a 22 \u003d 1, και δωρεάν - όλα τα υπόλοιπα.

Η δεύτερη εξίσωση έχει μόνο μία βασική μεταβλητή - x 2 . Ως εκ τούτου, μπορεί να εκφραστεί από εκεί, γράφοντας μέσα από τις μεταβλητές x 3 , x 4 , x 5 , οι οποίες είναι ελεύθερες.

Αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση.

Προέκυψε μια εξίσωση στην οποία η μόνη βασική μεταβλητή είναι x 1. Ας κάνουμε το ίδιο με το x 2 .

Όλες οι βασικές μεταβλητές, από τις οποίες υπάρχουν δύο, εκφράζονται ως τρεις ελεύθερες, τώρα μπορείτε να γράψετε την απάντηση σε μια γενική μορφή.

Μπορείτε επίσης να καθορίσετε μία από τις συγκεκριμένες λύσεις του συστήματος. Για τέτοιες περιπτώσεις, κατά κανόνα, τα μηδενικά επιλέγονται ως τιμές για τις ελεύθερες μεταβλητές. Τότε η απάντηση θα είναι:

16, 23, 0, 0, 0.

Ένα παράδειγμα ασυμβίβαστου συστήματος

Η λύση ασυνεπών συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η ταχύτερη. Τελειώνει μόλις σε ένα από τα στάδια προκύψει μια εξίσωση που δεν έχει λύση. Δηλαδή, το στάδιο με τον υπολογισμό των ριζών, που είναι αρκετά μακρύ και θλιβερό, εξαφανίζεται. Θεωρείται το ακόλουθο σύστημα:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ως συνήθως, η μήτρα συντάσσεται:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Και μειώνεται σε μια κλιμακωτή μορφή:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Μετά τον πρώτο μετασχηματισμό, η τρίτη γραμμή περιέχει μια εξίσωση της μορφής

χωρίς λύση. Επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές και η απάντηση είναι το κενό σύνολο.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου

Εάν επιλέξετε ποια μέθοδο θα επιλύσετε SLAE σε χαρτί με στυλό, τότε η μέθοδος που εξετάστηκε σε αυτό το άρθρο φαίνεται η πιο ελκυστική. Στους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, είναι πολύ πιο δύσκολο να μπερδευτείτε από ό,τι συμβαίνει εάν πρέπει να αναζητήσετε με μη αυτόματο τρόπο τον προσδιοριστή ή κάποιον δύσκολο αντίστροφο πίνακα. Ωστόσο, εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα για εργασία με δεδομένα αυτού του τύπου, για παράδειγμα, υπολογιστικά φύλλα, τότε αποδεικνύεται ότι τέτοια προγράμματα περιέχουν ήδη αλγόριθμους για τον υπολογισμό των κύριων παραμέτρων των πινάκων - ορίζοντα, δευτερεύουσες, αντίστροφες και ούτω καθεξής. Και αν είστε βέβαιοι ότι το μηχάνημα θα υπολογίσει μόνο του αυτές τις τιμές και δεν θα κάνει λάθος, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο μήτρας ή τους τύπους Cramer, επειδή η εφαρμογή τους αρχίζει και τελειώνει με τον υπολογισμό των καθοριστικών παραγόντων και των αντίστροφων πινάκων.

Εφαρμογή

Δεδομένου ότι η λύση Gauss είναι ένας αλγόριθμος και ο πίνακας είναι, στην πραγματικότητα, ένας δισδιάστατος πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον προγραμματισμό. Αλλά επειδή το άρθρο τοποθετείται ως οδηγός "για ανδρείκελα", θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πιο εύκολο μέρος για να τοποθετήσετε τη μέθοδο είναι τα υπολογιστικά φύλλα, για παράδειγμα, το Excel. Και πάλι, κάθε SLAE που εισάγεται σε έναν πίνακα με τη μορφή πίνακα θα θεωρείται από το Excel ως ένας δισδιάστατος πίνακας. Και για πράξεις με αυτά, υπάρχουν πολλές ωραίες εντολές: πρόσθεση (μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες του ίδιου μεγέθους!), Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πίνακα (επίσης με ορισμένους περιορισμούς), εύρεση των αντίστροφων και μεταφερόμενων πινάκων και, το πιο σημαντικό , υπολογίζοντας την ορίζουσα. Εάν αυτή η χρονοβόρα εργασία αντικατασταθεί από μία μόνο εντολή, είναι πολύ πιο γρήγορο να προσδιοριστεί η κατάταξη μιας μήτρας και, επομένως, να διαπιστωθεί η συμβατότητα ή η ασυνέπειά της.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή βρίσκει μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (SLE) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian. Δίνεται αναλυτική λύση. Για να υπολογίσετε, επιλέξτε τον αριθμό των μεταβλητών και τον αριθμό των εξισώσεων. Στη συνέχεια, εισαγάγετε τα δεδομένα στα κελιά και κάντε κλικ στο "Υπολογισμός".

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Αναπαράσταση αριθμού:

Ακέραιοι ή/και κοινά κλάσματα
Ακέραιοι ή/και δεκαδικοί αριθμοί

Αριθμός ψηφίων μετά το δεκαδικό διαχωριστικό

×

Προειδοποίηση

Διαγραφή όλων των κελιών;

Κλείσιμο Clear

Οδηγίες εισαγωγής δεδομένων.Οι αριθμοί εισάγονται ως ακέραιοι αριθμοί (παραδείγματα: 487, 5, -7623, κ.λπ.), δεκαδικοί αριθμοί (π.χ. 67., 102,54, κ.λπ.) ή κλάσματα. Το κλάσμα πρέπει να πληκτρολογηθεί με τη μορφή a/b, όπου τα a και b (b>0) είναι ακέραιοι ή δεκαδικοί αριθμοί. Παραδείγματα 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 κ.λπ.

Μέθοδος Gauss

Η μέθοδος Gauss είναι μια μέθοδος μετάβασης από το αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων (με χρήση ισοδύναμων μετασχηματισμών) σε ένα σύστημα που είναι πιο εύκολο να λυθεί από το αρχικό σύστημα.

Οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί του συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι:

• ανταλλάσσοντας δύο εξισώσεις στο σύστημα,
• πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε εξίσωσης στο σύστημα με έναν μη μηδενικό πραγματικό αριθμό,
• προσθέτοντας σε μια εξίσωση μια άλλη εξίσωση πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Θεωρήστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

(1)

Γράφουμε το σύστημα (1) σε μορφή πίνακα:

τσεκούρι=β

(2)

(3)

ΕΝΑονομάζεται πίνακας συντελεστών του συστήματος, σι− δεξιά πλευρά των περιορισμών, Χ− διάνυσμα μεταβλητών που πρέπει να βρεθεί. Αφήστε την κατάταξη ( ΕΝΑ)=Π.

Οι ισοδύναμοι μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν την κατάταξη του πίνακα συντελεστών και την κατάταξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος. Το σύνολο των λύσεων του συστήματος επίσης δεν αλλάζει υπό ισοδύναμους μετασχηματισμούς. Η ουσία της μεθόδου Gauss είναι να φέρει τον πίνακα των συντελεστών ΕΝΑσε διαγώνιο ή κλιμακωτό.

Ας δημιουργήσουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Στο επόμενο στάδιο, επαναφέρουμε όλα τα στοιχεία της στήλης 2, κάτω από το στοιχείο. Εάν το δεδομένο στοιχείο είναι μηδενικό, τότε αυτή η σειρά εναλλάσσεται με τη σειρά που βρίσκεται κάτω από τη δεδομένη σειρά και έχει ένα μη μηδενικό στοιχείο στη δεύτερη στήλη. Στη συνέχεια, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της στήλης 2 κάτω από το κύριο στοιχείο ένα 22. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις σειρές 3, ... Μμε τη σειρά 2 πολλαπλασιασμένη επί − ένα 32 /ένα 22 , ..., −ένα m2 / ένα 22, αντίστοιχα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, λαμβάνουμε μια μήτρα διαγώνιας ή κλιμακωτής μορφής. Αφήστε τον επαυξημένο πίνακα που προκύπτει να μοιάζει με:

(7)

Επειδή rankA=κατάταξη(Α|β), τότε το σύνολο των λύσεων (7) είναι ( n−p) είναι ποικιλία. συνεπώς n−pάγνωστα μπορούν να επιλεγούν αυθαίρετα. Οι υπόλοιποι άγνωστοι από το σύστημα (7) υπολογίζονται ως εξής. Από την τελευταία εξίσωση που εκφράζουμε Χ p μέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές και εισάγετε στις προηγούμενες παραστάσεις. Στη συνέχεια, από την προτελευταία εξίσωση, εκφράζουμε Χ p−1 μέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές και εισάγετε στις προηγούμενες παραστάσεις κ.λπ. Εξετάστε τη μέθοδο Gauss σε συγκεκριμένα παραδείγματα.

Παραδείγματα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss

Παράδειγμα 1. Βρείτε τη γενική λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Σημειώστε με ένα ij στοιχεία Εγώ-η γραμμή και ι-η στήλη.

Εξαιρέστε τα στοιχεία της 1ης στήλης του πίνακα κάτω από το στοιχείο έναέντεκα . Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε τις σειρές 2,3 με τη σειρά 1, πολλαπλασιαζόμενες με -2/3, -1/2, αντίστοιχα:

Διαιρούμε κάθε γραμμή του πίνακα με το αντίστοιχο κύριο στοιχείο (αν υπάρχει το κύριο στοιχείο):

Αντικαθιστώντας τις ανώτερες εκφράσεις με τις κάτω, παίρνουμε τη λύση.

Από τις αρχές του 16ου-18ου αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν να μελετούν εντατικά τις συναρτήσεις, χάρη στις οποίες έχουν αλλάξει τόσα πολλά στη ζωή μας. Η τεχνολογία υπολογιστών χωρίς αυτή τη γνώση απλά δεν θα υπήρχε. Για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, γραμμικών εξισώσεων και συναρτήσεων, έχουν δημιουργηθεί διάφορες έννοιες, θεωρήματα και τεχνικές λύσης. Μία από αυτές τις καθολικές και ορθολογικές μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και των συστημάτων τους ήταν η μέθοδος Gauss. Πίνακες, η κατάταξή τους, ορίζουσα - τα πάντα μπορούν να υπολογιστούν χωρίς τη χρήση πολύπλοκων πράξεων.

Τι είναι το SLAU

Στα μαθηματικά, υπάρχει η έννοια του SLAE - ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Τι αντιπροσωπεύει; Αυτό είναι ένα σύνολο από εξισώσεις m με τους απαιτούμενους n αγνώστους, που συνήθως συμβολίζονται ως x, y, z ή x 1 , x 2 ... x n ή άλλα σύμβολα. Για να λύσετε αυτό το σύστημα με τη μέθοδο Gaussian σημαίνει να βρείτε όλα τα άγνωστα άγνωστα. Αν ένα σύστημα έχει τον ίδιο αριθμό αγνώστων και εξισώσεων, τότε ονομάζεται σύστημα ν-ης τάξης.

Οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι επίλυσης SLAE

Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μελετώνται διάφορες μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Τις περισσότερες φορές, αυτές είναι απλές εξισώσεις που αποτελούνται από δύο άγνωστα, επομένως οποιαδήποτε υπάρχουσα μέθοδος για την εύρεση της απάντησης σε αυτά δεν θα πάρει πολύ χρόνο. Μπορεί να μοιάζει με μια μέθοδο αντικατάστασης, όταν μια άλλη εξίσωση προέρχεται από μια εξίσωση και αντικαθίσταται στην αρχική. Ή όρος προς όρο αφαίρεση και πρόσθεση. Αλλά η μέθοδος Gauss θεωρείται η πιο εύκολη και καθολική. Καθιστά δυνατή την επίλυση εξισώσεων με οποιονδήποτε αριθμό αγνώστων. Γιατί αυτή η τεχνική θεωρείται λογική; Όλα είναι απλά. Η μέθοδος του πίνακα είναι καλή επειδή δεν απαιτεί πολλές φορές να ξαναγράψετε περιττούς χαρακτήρες με τη μορφή αγνώστων, αρκεί να κάνετε αριθμητικές πράξεις στους συντελεστές - και θα έχετε ένα αξιόπιστο αποτέλεσμα.

Πού χρησιμοποιούνται στην πράξη τα SLAE;

Η λύση του SLAE είναι τα σημεία τομής των ευθειών στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. Στην εποχή των υπολογιστών μας υψηλής τεχνολογίας, τα άτομα που συμμετέχουν στενά στην ανάπτυξη παιχνιδιών και άλλων προγραμμάτων πρέπει να γνωρίζουν πώς να λύνουν τέτοια συστήματα, τι αντιπροσωπεύουν και πώς να ελέγχουν την ορθότητα του αποτελέσματος που προκύπτει. Τις περισσότερες φορές, οι προγραμματιστές αναπτύσσουν ειδικούς υπολογιστές γραμμικής άλγεβρας, που περιλαμβάνει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss σας επιτρέπει να υπολογίσετε όλες τις υπάρχουσες λύσεις. Χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι απλοποιημένοι τύποι και τεχνικές.

Κριτήριο συμβατότητας SLAE

Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να λυθεί μόνο εάν είναι συμβατό. Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε το SLAE με τη μορφή Ax=b. Έχει λύση αν το rang(A) ισούται με το rang(A,b). Σε αυτήν την περίπτωση, το (A,b) είναι ένας πίνακας εκτεταμένης μορφής που μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα A ξαναγράφοντας τον με ελεύθερους όρους. Αποδεικνύεται ότι η επίλυση γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian είναι αρκετά εύκολη.

Ίσως κάποια σημειογραφία δεν είναι απολύτως σαφής, επομένως είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τα πάντα με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχει ένα σύστημα: x+y=1; 2x-3y=6. Αποτελείται από δύο μόνο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστοι. Το σύστημα θα έχει λύση μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα του είναι ίση με την κατάταξη του επαυξημένου πίνακα. Τι είναι ο βαθμός; Αυτός είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων γραμμών του συστήματος. Στην περίπτωσή μας, η κατάταξη του πίνακα είναι 2. Ο πίνακας Α θα αποτελείται από τους συντελεστές που βρίσκονται κοντά στα άγνωστα και οι συντελεστές πίσω από το σύμβολο "=" θα ταιριάζουν επίσης στον διευρυμένο πίνακα.

Γιατί το SLAE μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα

Με βάση το κριτήριο συμβατότητας σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα Kronecker-Capelli, το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian cascade, μπορείτε να λύσετε τον πίνακα και να λάβετε τη μόνη αξιόπιστη απάντηση για ολόκληρο το σύστημα. Εάν η κατάταξη ενός συνηθισμένου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του, αλλά μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων, τότε το σύστημα έχει άπειρο αριθμό απαντήσεων.

Μετασχηματισμοί μήτρας

Πριν προχωρήσουμε στην επίλυση πινάκων, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ποιες ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν στα στοιχεία τους. Υπάρχουν αρκετοί στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

• Ξαναγράφοντας το σύστημα σε μορφή μήτρας και πραγματοποιώντας τη λύση του, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων της σειράς με τον ίδιο συντελεστή.
• Προκειμένου να μετατραπεί ένας πίνακας σε κανονική μορφή, μπορούν να αντικατασταθούν δύο παράλληλες σειρές. Η κανονική μορφή υποδηλώνει ότι όλα τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται κατά μήκος της κύριας διαγωνίου γίνονται ένα και τα υπόλοιπα γίνονται μηδενικά.
• Τα αντίστοιχα στοιχεία των παράλληλων σειρών του πίνακα μπορούν να προστεθούν το ένα στο άλλο.

Μέθοδος Jordan-Gauss

Η ουσία της επίλυσης συστημάτων γραμμικών ομοιογενών και ανομοιογενών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η σταδιακή εξάλειψη των αγνώστων. Ας πούμε ότι έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων στο οποίο υπάρχουν δύο άγνωστοι. Για να τα βρείτε, πρέπει να ελέγξετε το σύστημα για συμβατότητα. Η εξίσωση Gauss λύνεται πολύ απλά. Είναι απαραίτητο να γράψετε τους συντελεστές που βρίσκονται κοντά σε κάθε άγνωστο σε μορφή πίνακα. Για να λύσετε το σύστημα, πρέπει να γράψετε τον επαυξημένο πίνακα. Εάν μία από τις εξισώσεις περιέχει μικρότερο αριθμό αγνώστων, τότε το "0" πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση του στοιχείου που λείπει. Όλες οι γνωστές μέθοδοι μετασχηματισμού εφαρμόζονται στον πίνακα: πολλαπλασιασμός, διαίρεση με έναν αριθμό, προσθήκη των αντίστοιχων στοιχείων των σειρών μεταξύ τους και άλλα. Αποδεικνύεται ότι σε κάθε σειρά είναι απαραίτητο να αφήσετε μία μεταβλητή με την τιμή "1", η υπόλοιπη πρέπει να μειωθεί στο μηδέν. Για πιο ακριβή κατανόηση, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη μέθοδο Gauss με παραδείγματα.

Ένα απλό παράδειγμα επίλυσης συστήματος 2x2

Αρχικά, ας πάρουμε ένα απλό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, στο οποίο θα υπάρχουν 2 άγνωστοι.

Ας το ξαναγράψουμε σε μια επαυξημένη μήτρα.

Για να λυθεί αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, απαιτούνται μόνο δύο πράξεις. Πρέπει να φέρουμε τη μήτρα στην κανονική μορφή έτσι ώστε να υπάρχουν μονάδες κατά μήκος της κύριας διαγωνίου. Έτσι, μεταφράζοντας από τη φόρμα του πίνακα πίσω στο σύστημα, παίρνουμε τις εξισώσεις: 1x+0y=b1 και 0x+1y=b2, όπου b1 και b2 είναι οι απαντήσεις που λαμβάνονται κατά τη διαδικασία επίλυσης.

1. Το πρώτο βήμα για την επίλυση του επαυξημένου πίνακα θα είναι το εξής: η πρώτη σειρά πρέπει να πολλαπλασιαστεί με -7 και τα αντίστοιχα στοιχεία να προστεθούν στη δεύτερη σειρά, αντίστοιχα, για να απαλλαγούμε από έναν άγνωστο στη δεύτερη εξίσωση.
2. Δεδομένου ότι η λύση των εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss συνεπάγεται τη μεταφορά του πίνακα στην κανονική μορφή, τότε είναι απαραίτητο να κάνουμε τις ίδιες πράξεις με την πρώτη εξίσωση και να αφαιρέσουμε τη δεύτερη μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή από την πρώτη και παίρνουμε την απαραίτητη απάντηση - τη λύση του SLAE. Ή, όπως φαίνεται στο σχήμα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με έναν παράγοντα -1 και προσθέτουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Αυτό είναι το ίδιο.

Όπως μπορείτε να δείτε, το σύστημά μας επιλύεται με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Το ξαναγράφουμε στην απαιτούμενη μορφή: x=-5, y=7.

Ένα παράδειγμα επίλυσης SLAE 3x3

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πιο πολύπλοκο σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της απάντησης ακόμη και για το πιο φαινομενικά συγκεχυμένο σύστημα. Επομένως, για να εμβαθύνουμε στη μεθοδολογία υπολογισμού, μπορούμε να προχωρήσουμε σε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα με τρία άγνωστα.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ξαναγράφουμε το σύστημα με τη μορφή διευρυμένου πίνακα και αρχίζουμε να το φέρνουμε στην κανονική μορφή.

Για να λύσετε αυτό το σύστημα, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολύ περισσότερες ενέργειες από ό,τι στο προηγούμενο παράδειγμα.

1. Πρώτα πρέπει να κάνετε στην πρώτη στήλη ένα μεμονωμένο στοιχείο και τα υπόλοιπα μηδενικά. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με -1 και προσθέστε τη δεύτερη εξίσωση σε αυτήν. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή στην αρχική της μορφή και τη δεύτερη - ήδη σε τροποποιημένη μορφή.
2. Στη συνέχεια, αφαιρούμε τον ίδιο πρώτο άγνωστο από την τρίτη εξίσωση. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της πρώτης σειράς με -2 και τα προσθέτουμε στην τρίτη σειρά. Τώρα η πρώτη και η δεύτερη γραμμή ξαναγράφονται στην αρχική τους μορφή και η τρίτη - ήδη με αλλαγές. Όπως μπορείτε να δείτε από το αποτέλεσμα, πήραμε το πρώτο στην αρχή της κύριας διαγωνίου του πίνακα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά. Μερικές ακόμη ενέργειες και το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss θα λυθεί αξιόπιστα.
3. Τώρα πρέπει να κάνετε πράξεις σε άλλα στοιχεία των σειρών. Το τρίτο και το τέταρτο βήμα μπορούν να συνδυαστούν σε ένα. Πρέπει να διαιρέσουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή με -1 για να απαλλαγούμε από τις αρνητικές στη διαγώνιο. Έχουμε ήδη φέρει την τρίτη γραμμή στην απαιτούμενη φόρμα.
4. Στη συνέχεια, κανονικοποιούμε τη δεύτερη γραμμή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της τρίτης σειράς με -3 και τα προσθέτουμε στη δεύτερη γραμμή του πίνακα. Από το αποτέλεσμα φαίνεται ότι η δεύτερη γραμμή περιορίζεται επίσης στη μορφή που χρειαζόμαστε. Μένει να κάνουμε μερικές ακόμη πράξεις και να αφαιρέσουμε τους συντελεστές των αγνώστων από την πρώτη σειρά.
5. Για να κάνετε 0 από το δεύτερο στοιχείο της σειράς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την τρίτη σειρά με -3 και να την προσθέσετε στην πρώτη σειρά.
6. Το επόμενο αποφασιστικό βήμα είναι να προσθέσετε τα απαραίτητα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Έτσι παίρνουμε την κανονική μορφή του πίνακα και, κατά συνέπεια, την απάντηση.

Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση των εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι αρκετά απλή.

Ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος εξισώσεων 4x4

Μερικά πιο πολύπλοκα συστήματα εξισώσεων μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο Gaussian χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστών. Είναι απαραίτητο να οδηγήσετε συντελεστές για άγνωστα σε υπάρχοντα κενά κελιά και το πρόγραμμα θα υπολογίσει το απαιτούμενο αποτέλεσμα βήμα προς βήμα, περιγράφοντας κάθε ενέργεια λεπτομερώς.

Οι οδηγίες βήμα προς βήμα για την επίλυση ενός τέτοιου παραδείγματος περιγράφονται παρακάτω.

Στο πρώτο βήμα, οι ελεύθεροι συντελεστές και οι αριθμοί για αγνώστους εισάγονται σε κενά κελιά. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο επαυξημένο πίνακα που γράφουμε με το χέρι.

Και εκτελούνται όλες οι απαραίτητες αριθμητικές πράξεις για να φέρουν τον εκτεταμένο πίνακα στην κανονική μορφή. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η απάντηση σε ένα σύστημα εξισώσεων δεν είναι πάντα ακέραιοι. Μερικές φορές η λύση μπορεί να είναι από κλασματικούς αριθμούς.

Έλεγχος της ορθότητας της λύσης

Η μέθοδος Jordan-Gauss προβλέπει τον έλεγχο της ορθότητας του αποτελέσματος. Για να μάθετε εάν οι συντελεστές υπολογίζονται σωστά, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε το αποτέλεσμα στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να ταιριάζει με τη δεξιά πλευρά, η οποία βρίσκεται πίσω από το σύμβολο ίσον. Εάν οι απαντήσεις δεν ταιριάζουν, τότε πρέπει να υπολογίσετε ξανά το σύστημα ή να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε μια άλλη γνωστή σε εσάς μέθοδο επίλυσης SLAE, όπως αντικατάσταση ή αφαίρεση και πρόσθεση ανά όρο. Εξάλλου, τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που έχει έναν τεράστιο αριθμό διαφορετικών μεθόδων επίλυσης. Αλλά να θυμάστε: το αποτέλεσμα πρέπει να είναι πάντα το ίδιο, ανεξάρτητα από τη μέθοδο λύσης που χρησιμοποιήσατε.

Μέθοδος Gauss: τα πιο συνηθισμένα λάθη στην επίλυση SLAE

Κατά την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων, τις περισσότερες φορές συμβαίνουν σφάλματα, όπως εσφαλμένη μεταφορά συντελεστών σε μορφή πίνακα. Υπάρχουν συστήματα στα οποία λείπουν κάποιοι άγνωστοι σε μία από τις εξισώσεις, οπότε, μεταφέροντας τα δεδομένα στον εκτεταμένο πίνακα, μπορούν να χαθούν. Ως αποτέλεσμα, κατά την επίλυση αυτού του συστήματος, το αποτέλεσμα μπορεί να μην αντιστοιχεί στο πραγματικό.

Ένα άλλο από τα κύρια λάθη μπορεί να είναι η εσφαλμένη σύνταξη του τελικού αποτελέσματος. Πρέπει να γίνει ξεκάθαρα κατανοητό ότι ο πρώτος συντελεστής θα αντιστοιχεί στον πρώτο άγνωστο από το σύστημα, ο δεύτερος - στον δεύτερο και ούτω καθεξής.

Η μέθοδος Gauss περιγράφει λεπτομερώς τη λύση γραμμικών εξισώσεων. Χάρη σε αυτόν, είναι εύκολο να εκτελέσετε τις απαραίτητες λειτουργίες και να βρείτε το σωστό αποτέλεσμα. Επιπλέον, αυτό είναι ένα καθολικό εργαλείο για την εύρεση μιας αξιόπιστης απάντησης σε εξισώσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Ίσως αυτός είναι ο λόγος που χρησιμοποιείται τόσο συχνά στην επίλυση SLAE.

Έστω το σύστημα Δ≠0. (ένας)
Μέθοδος Gaussείναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων.

Η ουσία της μεθόδου Gauss είναι ο μετασχηματισμός (1) σε ένα σύστημα με τριγωνικό πίνακα, από τον οποίο λαμβάνονται στη συνέχεια διαδοχικά (αντίστροφα) οι τιμές όλων των αγνώστων. Ας εξετάσουμε ένα από τα υπολογιστικά σχήματα. Αυτό το κύκλωμα ονομάζεται κύκλωμα μονής διαίρεσης. Ας ρίξουμε λοιπόν μια ματιά σε αυτό το διάγραμμα. Έστω ένα 11 ≠0 (κύριο στοιχείο) διαιρούμενο με το 11 την πρώτη εξίσωση. Παίρνω
(2)
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2), είναι εύκολο να εξαιρέσουμε το άγνωστο x 1 από τις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος (για αυτό, αρκεί να αφαιρέσουμε την εξίσωση (2) από κάθε εξίσωση προκαταρκτικά πολλαπλασιασμένη με τον αντίστοιχο συντελεστή x 1), δηλαδή , στο πρώτο βήμα παίρνουμε
.
Με άλλα λόγια, στο βήμα 1, κάθε στοιχείο των επόμενων σειρών, ξεκινώντας από τη δεύτερη, ισούται με τη διαφορά μεταξύ του αρχικού στοιχείου και του γινόμενου της «προβολής» του στην πρώτη στήλη και στην πρώτη (μετασχηματισμένη) σειρά.
Μετά από αυτό, αφήνοντας μόνη την πρώτη εξίσωση, θα εκτελέσουμε έναν παρόμοιο μετασχηματισμό στις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος που λήφθηκαν στο πρώτο βήμα: επιλέγουμε από αυτές μια εξίσωση με κύριο στοιχείο και τη χρησιμοποιούμε για να εξαιρέσουμε το x 2 από τις υπόλοιπες εξισώσεις (βήμα 2).
Μετά από n βήματα, αντί για (1) παίρνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα
(3)
Έτσι, στο πρώτο στάδιο, θα αποκτήσουμε ένα τριγωνικό σύστημα (3). Αυτό το βήμα καλείται προς τα εμπρός.
Στο δεύτερο στάδιο (αντίστροφη κίνηση) βρίσκουμε διαδοχικά από το (3) τις τιμές x n , x n -1 , …, x 1 .
Ας συμβολίσουμε τη λύση που προκύπτει ως x 0 . Τότε η διαφορά ε=b-A x 0 ονομάζεται υπολειπόμενο.
Αν ε=0, τότε η ευρεθείσα λύση x 0 είναι σωστή.

Οι υπολογισμοί με τη μέθοδο Gauss πραγματοποιούνται σε δύο στάδια:

1. Το πρώτο στάδιο ονομάζεται άμεση πορεία της μεθόδου. Στο πρώτο στάδιο, το αρχικό σύστημα μετατρέπεται σε τριγωνική μορφή.
2. Το δεύτερο στάδιο ονομάζεται αντίστροφο. Στο δεύτερο στάδιο, επιλύεται ένα τριγωνικό σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.

Οι συντελεστές a 11 , a 22 , ..., ονομάζονται κύρια στοιχεία.
Σε κάθε βήμα, θεωρήθηκε ότι το κύριο στοιχείο είναι διαφορετικό από το μηδέν. Εάν αυτό δεν συμβαίνει, τότε οποιοδήποτε άλλο στοιχείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ηγέτης, σαν να αναδιατάσσει τις εξισώσεις του συστήματος.

Σκοπός της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος Gauss προορίζεται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αναφέρεται σε άμεσες μεθόδους λύσης.

Τύποι μεθόδου Gauss

1. Κλασική μέθοδος Gauss;
2. Τροποποιήσεις της μεθόδου Gauss. Μία από τις τροποποιήσεις της μεθόδου Gauss είναι το κύκλωμα με την επιλογή του κύριου στοιχείου. Χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss με την επιλογή του κύριου στοιχείου είναι μια τέτοια μετάθεση των εξισώσεων έτσι ώστε στο k-ο βήμα το κύριο στοιχείο να είναι το μεγαλύτερο στοιχείο της k-ης στήλης.
3. Μέθοδος Jordan-Gauss;

Η διαφορά μεταξύ της μεθόδου Jordan-Gauss και της κλασικής Μέθοδος Gaussσυνίσταται στην εφαρμογή του κανόνα του ορθογωνίου όταν η κατεύθυνση της αναζήτησης λύσης είναι κατά μήκος της κύριας διαγώνιου (μετατροπή στον πίνακα ταυτότητας). Στη μέθοδο Gauss, η κατεύθυνση της αναζήτησης λύσης εμφανίζεται κατά μήκος των στηλών (μετατροπή σε σύστημα με τριγωνικό πίνακα).
Απεικονίστε τη διαφορά Μέθοδος Jordan-Gaussαπό τη μέθοδο Gauss σε παραδείγματα.

Παράδειγμα λύσης Gauss
Ας λύσουμε το σύστημα:

Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, ανταλλάσσουμε τις γραμμές:

Πολλαπλασιάστε τη 2η σειρά με (2). Προσθέστε την 3η γραμμή στη 2η

Πολλαπλασιάστε τη 2η σειρά με (-1). Προσθέστε τη 2η σειρά στην 1η

Από την 1η γραμμή εκφράζουμε x 3:
Από τη 2η γραμμή εκφράζουμε x 2:
Από την 3η γραμμή εκφράζουμε x 1:

Ένα παράδειγμα λύσης με τη μέθοδο Jordan-Gauss
Θα λύσουμε το ίδιο SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jordano-Gauss.

Θα επιλέξουμε διαδοχικά το στοιχείο επίλυσης του RE, το οποίο βρίσκεται στην κύρια διαγώνιο του πίνακα.
Το στοιχείο ενεργοποίησης είναι ίσο με (1).



ΒΑ \u003d ΝΑ - (A * B) / RE
RE - στοιχείο ενεργοποίησης (1), A και B - στοιχεία μήτρας που σχηματίζουν ένα ορθογώνιο με στοιχεία STE και RE.
Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

x 1	x2	x 3	σι
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Το στοιχείο ενεργοποίησης είναι ίσο με (3).
Στη θέση του στοιχείου επίλυσης, παίρνουμε 1 και στην ίδια τη στήλη γράφουμε μηδενικά.
Όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των στοιχείων της στήλης Β, καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου.
Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τέσσερις αριθμούς που βρίσκονται στις κορυφές του ορθογωνίου και περιλαμβάνουν πάντα το στοιχείο ενεργοποίησης του RE.

x 1	x2	x 3	σι
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Το στοιχείο ενεργοποίησης είναι (-4).
Στη θέση του στοιχείου επίλυσης, παίρνουμε 1 και στην ίδια τη στήλη γράφουμε μηδενικά.
Όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα, συμπεριλαμβανομένων των στοιχείων της στήλης Β, καθορίζονται από τον κανόνα του ορθογωνίου.
Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τέσσερις αριθμούς που βρίσκονται στις κορυφές του ορθογωνίου και περιλαμβάνουν πάντα το στοιχείο ενεργοποίησης του RE.
Ας παρουσιάσουμε τον υπολογισμό κάθε στοιχείου με τη μορφή πίνακα:

x 1	x2	x 3	σι
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Απάντηση: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος Gauss εφαρμόζεται σε πολλές γλώσσες προγραμματισμού, και συγκεκριμένα: Pascal, C ++, php, Delphi, και υπάρχει επίσης μια διαδικτυακή υλοποίηση της μεθόδου Gauss.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss στη θεωρία παιγνίων

Στη θεωρία παιγνίων, κατά την εύρεση της μέγιστης βέλτιστης στρατηγικής ενός παίκτη, συντάσσεται ένα σύστημα εξισώσεων, το οποίο λύνεται με τη μέθοδο Gauss.

Εφαρμογή της μεθόδου Gauss στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Για να αναζητήσετε μια συγκεκριμένη λύση σε μια διαφορική εξίσωση, βρείτε πρώτα τις παραγώγους του αντίστοιχου βαθμού για τη γραπτή συγκεκριμένη λύση (y=f(A,B,C,D)), οι οποίες αντικαθίστανται στην αρχική εξίσωση. Περαιτέρω, για να βρεθούν οι μεταβλητές A, B, C, D, συντάσσεται ένα σύστημα εξισώσεων, το οποίο λύνεται με τη μέθοδο Gauss.

Εφαρμογή της μεθόδου Jordano-Gauss στον γραμμικό προγραμματισμό

Στον γραμμικό προγραμματισμό, ειδικότερα, στη μέθοδο simplex, για να μετασχηματίσει έναν πίνακα simplex σε κάθε επανάληψη, χρησιμοποιείται ο κανόνας του ορθογωνίου, ο οποίος χρησιμοποιεί τη μέθοδο Jordan-Gauss.