Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο διάστημα. 3D συντεταγμένες

Σύστημα 2D συντεταγμένων

Τελεία Πέχει συντεταγμένες (5,2).

Το σύγχρονο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε δύο διαστάσεις (γνωστό και ως ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων)δίνονται από δύο άξονες κάθετες μεταξύ τους. Το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται οι άξονες ονομάζεται μερικές φορές xy αεροπλάνα.Ο οριζόντιος άξονας συμβολίζεται ως Χ(άξονας τετμημένος), κάθετος ως y(άξονας y). Στον τρισδιάστατο χώρο, ένας τρίτος άξονας προστίθεται σε δύο, κάθετα προς xy-plane- άξονας z.Όλα τα σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συνθέτουν το λεγόμενο Καρτεσιανός χώρος.

Το σημείο τομής όπου συναντώνται οι άξονες ονομάζεται προέλευσηκαι συμβολίζεται ως ΩΑντίστοιχα, ο άξονας Χμπορεί να χαρακτηριστεί ως Βόδι,και ο άξονας y είναι σαν Ω.Ευθείες γραμμές που σχεδιάζονται παράλληλα σε κάθε άξονα σε απόσταση ενός μόνο τμήματος (μονάδες μήκους) ξεκινώντας από τη μορφή αρχής πλέγμα συντεταγμένων.

Ένα σημείο σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων δίνεται από δύο αριθμούς που ορίζουν την απόσταση από τον άξονα Oy(τετμημένη ή συντεταγμένη χ) και από τον άξονα Ω(υ-συντεταγμένη ή y-συντεταγμένη) αντίστοιχα. Έτσι, οι συντεταγμένες σχηματίζουν ένα διατεταγμένο ζεύγος (πλούδα) αριθμών (x, y).Στον τρισδιάστατο χώρο, προστίθεται μια άλλη συντεταγμένη z (η απόσταση ενός σημείου από το επίπεδο xy) και σχηματίζεται ένα διατεταγμένο τριπλό συντεταγμένων (x, y, z).

Η επιλογή των γραμμάτων x, y, z προέρχεται από τον γενικό κανόνα για την ονομασία άγνωστων ποσοτήτων με το δεύτερο μισό του λατινικού αλφαβήτου. Τα γράμματα του πρώτου μισού του χρησιμοποιούνται για την ονομασία γνωστών ποσοτήτων.

Τα βέλη στους άξονες αντικατοπτρίζουν ότι εκτείνονται στο άπειρο προς αυτή την κατεύθυνση.

Η τομή των δύο αξόνων δημιουργεί τέσσερα τεταρτημόρια στο επίπεδο συντεταγμένων, τα οποία συμβολίζονται με τους ρωμαϊκούς αριθμούς I, II, III και IV. Συνήθως η σειρά αρίθμησης των τεταρτημορίων είναι αριστερόστροφα, ξεκινώντας από πάνω δεξιά (δηλαδή, όπου η τετμημένη και η τεταγμένη είναι θετικοί αριθμοί). Η τιμή που αποκτούν τα τετμημένα και οι τεταγμένες σε κάθε τεταρτημόριο μπορεί να συνοψιστεί στον ακόλουθο πίνακα:

Τεταρτοκύκλιο	Χ	y
Εγώ	> 0	> 0
II	<0	> 0
III	<0	<0
IV	> 0	<0

Τρισδιάστατο και ν-διάστατο σύστημα συντεταγμένων

Σε αυτό το σχήμα, το σημείο P έχει συντεταγμένες (5,0,2) και το σημείο Q έχει συντεταγμένες (-5, -5,10)

Οι συντεταγμένες στον τρισδιάστατο χώρο σχηματίζουν ένα τριπλό (x, y, z).

Οι συντεταγμένες x, y, z για ένα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα μπορούν να κατανοηθούν ως οι αποστάσεις από ένα σημείο στα αντίστοιχα επίπεδα: yz, xz και xy.

Το τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι πολύ δημοφιλές, καθώς αντιστοιχεί στις συνήθεις έννοιες των χωρικών διαστάσεων - ύψος, πλάτος και μήκος (δηλαδή, τρεις διαστάσεις). Αλλά ανάλογα με το πεδίο εφαρμογής και τα χαρακτηριστικά της μαθηματικής συσκευής, η έννοια αυτών των τριών αξόνων μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική.

Χρησιμοποιούνται επίσης συστήματα συντεταγμένων υψηλότερων διαστάσεων (για παράδειγμα, ένα σύστημα 4 διαστάσεων για την απεικόνιση του χωροχρόνου στην ειδική σχετικότητα).

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αφηρημένα n-διάστασηχώρος αποτελεί γενίκευση των παραπάνω διατάξεων και έχει nάξονες (καθένας ανά μέτρηση) που είναι αμοιβαία κάθετοι. Αντίστοιχα, η θέση ενός σημείου σε ένα τέτοιο χώρο θα καθοριστεί από μια πλειάδα του nσυντεταγμένες, ή απείρως μικρός.

Εξίσωση ευθείας σε (πλανομετρία) σε κανονική

μορφή, παραμετρική και γενική μορφή.

Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται κανονικές εξισώσεις της γραμμής στο διάστημα.

μπορεί να είναι ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι ο αριθμητής του αντίστοιχου κλάσματος είναι επίσης ίσος με μηδέν.

Αν στο (1) εισάγουμε την παράμετρο t

Χ − Χ 0 μεγάλο y − y 0 Μ z − z 0 n

τότε οι εξισώσεις της ευθείας μπορούν να γραφούν με τη μορφή

Με την εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο, προκύπτει μια μοναδική ευκαιρία να περιγραφούν γεωμετρικά σχήματα και οι ιδιότητές τους χρησιμοποιώντας εξισώσεις και ανισότητες. Αυτό έχει άλλο όνομα - μέθοδοι άλγεβρας.

Αυτό το άρθρο θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε το έργο ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων. Μια πιο οπτική και λεπτομερής εικόνα είναι διαθέσιμη σε γραφικές απεικονίσεις.

Για να εισαγάγετε ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε δύο κάθετες γραμμές στο επίπεδο. Επιλέγω θετική κατεύθυνση, σημειώνεται με ένα βέλος. Πρέπει να επιλέξει κλίμακα.Το σημείο τομής των ευθειών θα ονομάζεται γράμμα Ο. Αυτή θεωρείται σημείο αναφοράς. Αυτό ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένωνστην επιφάνεια.

Οι ευθείες με αρχή Ο που έχουν κατεύθυνση και κλίμακα ονομάζονται γραμμή συντεταγμένωνή άξονα συντεταγμένων.

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων συμβολίζεται O x y . Οι άξονες συντεταγμένων ονομάζονται O x και O y, καλούνται αντίστοιχα τετμημένηκαι άξονας y.

Εικόνα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Οι άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων έχουν την ίδια μονάδα μεταβολής και κλίμακας, η οποία εμφανίζεται ως παύλα στην αρχή των αξόνων συντεταγμένων. Η τυπική κατεύθυνση είναι O x από αριστερά προς τα δεξιά και O y από κάτω προς τα πάνω. Μερικές φορές χρησιμοποιείται μια εναλλακτική περιστροφή στην απαιτούμενη γωνία.

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται Καρτεσιανό προς τιμήν του ανακάλυψε του René Descartes. Μπορείτε συχνά να βρείτε το όνομα ως ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Ο τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος έχει παρόμοιο σύστημα, μόνο που αποτελείται όχι από δύο, αλλά από τρεις άξονες O x, O y, O z. Αυτές είναι τρεις αμοιβαία κάθετες γραμμές, όπου το O z έχει το όνομα απλικέ άξονα.

Στην κατεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων χωρίζονται σε δεξιά και αριστερά ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου.

Οι άξονες των συντεταγμένων τέμνονται στο σημείο Ο, που ονομάζεται αρχή. Κάθε άξονας έχει θετική κατεύθυνση, η οποία υποδεικνύεται από τα βέλη στους άξονες. Εάν, όταν το O x περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90 °, η θετική του φορά συμπίπτει με το θετικό O y, τότε αυτό ισχύει για τη θετική φορά του O z. Ένα τέτοιο σύστημα θεωρείται σωστά.Με άλλα λόγια, αν συγκρίνουμε την κατεύθυνση του Χ με τον αντίχειρα, τότε ο δείκτης είναι υπεύθυνος για το Υ και ο μεσαίος για το Ζ.

Το αριστερό σύστημα συντεταγμένων σχηματίζεται με παρόμοιο τρόπο. Και τα δύο συστήματα δεν μπορούν να συνδυαστούν, αφού οι αντίστοιχοι άξονες δεν θα ταιριάζουν.

Αρχικά, παραμερίζουμε το σημείο M στον άξονα συντεταγμένων O x. Κάθε πραγματικός αριθμός x M είναι ίσος με το μόνο σημείο M που βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία. Εάν το σημείο βρίσκεται στη γραμμή συντεταγμένων σε απόσταση 2 από την αρχή στη θετική κατεύθυνση, τότε είναι ίσο με 2, εάν - 3, τότε η αντίστοιχη απόσταση είναι 3. Μηδέν είναι η αρχή των γραμμών συντεταγμένων.

Με άλλα λόγια, κάθε σημείο M που βρίσκεται στο O x είναι ίσο με έναν πραγματικό αριθμό x M . Αυτός ο πραγματικός αριθμός είναι μηδέν αν το σημείο Μ βρίσκεται στην αρχή, δηλαδή στη τομή των O x και O y. Ο αριθμός του μήκους του τμήματος είναι πάντα θετικός εάν το σημείο αφαιρεθεί σε θετική κατεύθυνση και αντίστροφα.

Ο διαθέσιμος αριθμός x M ονομάζεται συντεταγμένησημείο Μ σε μια δεδομένη γραμμή συντεταγμένων.

Ας πάρουμε ένα σημείο ως προβολή του σημείου M x στο O x και ως προβολή του σημείου M y στο O y. Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες γραμμές κάθετες στους άξονες O x και O y μπορούν να συρθούν στο σημείο M, όπου λαμβάνουμε τα αντίστοιχα σημεία τομής M x και M y .

Τότε το σημείο M x στον άξονα O x έχει τον αντίστοιχο αριθμό x M , και M y στο O y - y M . Στους άξονες συντεταγμένων μοιάζει με αυτό:

Κάθε σημείο M σε ένα δεδομένο επίπεδο σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχει ένα αντίστοιχο ζεύγος αριθμών (x M , y M), που ονομάζεται συντεταγμένες. Αψίσσα Μείναι x M, τεταγμένος Μείναι y M .

Η αντίστροφη πρόταση θεωρείται επίσης αληθής: κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x M , y M) έχει ένα αντίστοιχο σημείο που δίνεται στο επίπεδο.

Ορισμός σημείου Μ στον τρισδιάστατο χώρο. Έστω M x , M y , M z , που είναι προβολές του σημείου M στους αντίστοιχους άξονες O x, O y, O z . Τότε οι τιμές αυτών των σημείων στους άξονες О x, О у, О z θα λάβουν τις τιμές x M , y M , z M . Ας το αναπαραστήσουμε σε γραμμές συντεταγμένων.

Για να λάβετε τις προβολές του σημείου M, πρέπει να προσθέσετε κάθετες ευθείες O x, O y, O z για να συνεχίσετε και να απεικονίσετε με τη μορφή επιπέδων που διέρχονται από το M. Έτσι, τα επίπεδα τέμνονται στα M x , M y , M z

Κάθε σημείο του τρισδιάστατου χώρου έχει τα δικά του δεδομένα (x M , y M , z M) , τα οποία έχουν το όνομα σημειακές συντεταγμένες M , x M , y M , z M -αυτοί είναι οι αριθμοί που λέγονται τετμημένη, τεταγμένηκαι απλικέδεδομένο σημείο Μ . Για αυτήν την κρίση, ισχύει και η αντίστροφη πρόταση: κάθε διατεταγμένο τριπλό πραγματικών αριθμών (x M , y M , z M) σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έχει ένα αντίστοιχο σημείο M τρισδιάστατου χώρου.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αν εισαγάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο, τότε θα μπορούμε να περιγράψουμε γεωμετρικά σχήματα και τις ιδιότητές τους χρησιμοποιώντας εξισώσεις και ανισότητες, δηλαδή θα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μεθόδους της άλγεβρας. Επομένως, η έννοια του συστήματος συντεταγμένων είναι πολύ σημαντική.

Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε πώς ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τοποθετείται σε ένα επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο και θα μάθουμε πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες των σημείων. Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφικές απεικονίσεις.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Εισάγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε δύο αμοιβαία κάθετες γραμμές στο επίπεδο, επιλέγουμε σε καθεμία από αυτές θετική κατεύθυνση, υποδεικνύοντάς το με ένα βέλος και επιλέξτε σε καθένα από αυτά κλίμακα(μονάδα μήκους). Σημειώνουμε το σημείο τομής αυτών των ευθειών με το γράμμα Ο και θα το εξετάσουμε σημείο αναφοράς. Έτσι πήραμε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένωνστην επιφάνεια.

Κάθε μία από τις γραμμές με την επιλεγμένη αρχή Ο, κατεύθυνση και κλίμακα ονομάζεται γραμμή συντεταγμένωνή άξονα συντεταγμένων.

Ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο συνήθως συμβολίζεται με Oxy, όπου Ox και Oy είναι οι άξονες συντεταγμένων του. Ο άξονας Ox ονομάζεται άξονας x, και ο άξονας Oy είναι άξονας y.

Τώρα ας συμφωνήσουμε για την εικόνα ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων στο επίπεδο.

Συνήθως, η μονάδα μήκους στους άξονες Ox και Oy επιλέγεται να είναι η ίδια και απεικονίζεται από την αρχή των συντεταγμένων σε κάθε άξονα συντεταγμένων στη θετική κατεύθυνση (σημειώνεται με παύλα στους άξονες συντεταγμένων και η μονάδα γράφεται δίπλα στο it), ο άξονας της τετμημένης κατευθύνεται προς τα δεξιά και ο άξονας y είναι προς τα πάνω. Όλες οι άλλες επιλογές για την κατεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων μειώνονται στον εκφρασμένο (άξονας Ox - προς τα δεξιά, άξονας Oy - επάνω) περιστρέφοντας το σύστημα συντεταγμένων σε κάποια γωνία σε σχέση με την αρχή και κοιτάζοντας το από την άλλη πλευρά του το αεροπλάνο (αν χρειαστεί).

Το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται συχνά καρτεσιανό, αφού εισήχθη για πρώτη φορά στο επίπεδο από τον Ρενέ Ντεκάρτ. Ακόμη πιο συχνά, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, βάζοντας τα όλα μαζί.

Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο.

Ομοίως, το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz τίθεται σε τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, αλλά δεν λαμβάνονται δύο, αλλά τρεις αμοιβαία κάθετες γραμμές. Με άλλα λόγια, ο άξονας συντεταγμένων Oz προστίθεται στους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy, ο οποίος ονομάζεται άξονας εφαρμογής.

Ανάλογα με την κατεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων, τα δεξιά και τα αριστερά ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων διακρίνονται στον τρισδιάστατο χώρο.

Εάν κοιτάξετε από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Oz και η συντομότερη στροφή από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox στη θετική κατεύθυνση του άξονα Oy συμβαίνει αριστερόστροφα, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται σωστά.

Εάν παρατηρηθεί από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Oz και η συντομότερη περιστροφή από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Oy συμβαίνει δεξιόστροφα, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται αριστερά.

Συντεταγμένες ενός σημείου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο.

Αρχικά, θεωρήστε την ευθεία συντεταγμένων Ox και πάρτε κάποιο σημείο M πάνω της.

Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο M σε αυτή τη γραμμή συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα σημείο που βρίσκεται στη γραμμή συντεταγμένων σε απόσταση από την αρχή στη θετική κατεύθυνση αντιστοιχεί στον αριθμό , και ο αριθμός -3 αντιστοιχεί σε ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση 3 από την αρχή στην αρνητική κατεύθυνση. Ο αριθμός 0 αντιστοιχεί στην προέλευση.

Από την άλλη πλευρά, κάθε σημείο M στην ευθεία συντεταγμένων Ox αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό. Αυτός ο πραγματικός αριθμός είναι μηδέν αν το σημείο Μ συμπίπτει με την αρχή (σημείο Ο). Αυτός ο πραγματικός αριθμός είναι θετικός και ίσος με το μήκος του τμήματος ΟΜ σε μια δεδομένη κλίμακα, εάν το σημείο Μ αφαιρεθεί από την αρχή σε θετική κατεύθυνση. Αυτός ο πραγματικός αριθμός είναι αρνητικός και ισούται με το μήκος του τμήματος ΟΜ με αρνητικό πρόσημο εάν το σημείο Μ αφαιρεθεί από την αρχή κατά την αρνητική κατεύθυνση.

Ο αριθμός καλείται συντεταγμένησημεία Μ στη γραμμή συντεταγμένων.

Τώρα σκεφτείτε ένα επίπεδο με το εισαγόμενο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Σημειώνουμε ένα αυθαίρετο σημείο Μ σε αυτό το επίπεδο.

Έστω η προβολή του σημείου M στην ευθεία Ox και έστω οι προβολές του σημείου M στην ευθεία συντεταγμένων Oy (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο). Δηλαδή, αν σχεδιάσουμε ευθείες στο σημείο Μ που είναι κάθετες στους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy, τότε τα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τις ευθείες Ox και Oy είναι, αντίστοιχα, τα σημεία και .

Έστω ένα σημείο στον άξονα συντεταγμένων Ox αντιστοιχεί σε έναν αριθμό και ένα σημείο στον άξονα Oy σε έναν αριθμό.

Κάθε σημείο M του επιπέδου σε ένα δεδομένο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αντιστοιχεί σε ένα μόνο διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, που ονομάζεται συντεταγμένες του σημείου Μστην επιφάνεια. Η συντεταγμένη ονομάζεται τετμημένο σημείο Μ, ένα - σημείο τεταγμένης Μ.

Η αντίστροφη πρόταση ισχύει επίσης: κάθε διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί σε ένα σημείο M του επιπέδου σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Συντεταγμένες ενός σημείου σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε τρισδιάστατο χώρο.

Ας δείξουμε πώς καθορίζονται οι συντεταγμένες του σημείου Μ σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που δίνεται σε τρισδιάστατο χώρο.

Έστω και είναι οι προβολές του σημείου M στους άξονες συντεταγμένων Ox , Oy και Oz αντίστοιχα. Έστω αυτά τα σημεία στους άξονες συντεταγμένων Ox , Oy και Oz αντιστοιχούν σε πραγματικούς αριθμούς και .

Στα προηγούμενα κεφάλαια εξετάστηκαν οι τεχνικές για την κατασκευή σχεδίων στο επίπεδο XY. Η θέση οποιουδήποτε σημείου σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων χαρακτηρίζεται από δύο τιμές - την τετμημένη και την τεταγμένη. Για την εκτέλεση κατασκευών σε τρισδιάστατο χώρο, προστίθεται μια τρίτη τιμή σε αυτές τις συντεταγμένες, η οποία καθορίζει τον όγκο ενός συγκεκριμένου προϊόντος. Μιλάμε για τη συντεταγμένη Ζ, η οποία δίνει όγκο σε επίπεδα αντικείμενα. Η δυνατότητα σωστής ρύθμισης των συντεταγμένων των τρισδιάστατων αντικειμένων συμβάλλει στη σωστή μοντελοποίηση των χωρικών λεπτομερειών. Για τους σκοπούς αυτούς, το AutoCAD έχει τρεις τύπους συστημάτων αναφοράς: τρισδιάστατες καρτεσιανές, κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.

ΚΑΡΤΣΤΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΟΝΤΕΣ

Για να υποδείξετε τη θέση ενός σημείου σε τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, είναι απαραίτητο να προσθέσετε μια τρίτη τιμή, τη συντεταγμένη Z, στις τιμές των συντεταγμένων του στο επίπεδο XY. Για παράδειγμα, στο σχ. Το 10.4 δείχνει ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες στο επίπεδο XY είναι 13,19 και κατά μήκος του άξονα Z - 11 μονάδες.

Κατά την εισαγωγή συντεταγμένων σε αυτό το σύστημα, πρώτα απ 'όλα, καθορίζεται η συντεταγμένη X, μετά το Y διαχωρίζεται με κόμμα και μόνο τότε το Z. Για παράδειγμα: 13,19,11. Εάν η αριθμητική τιμή της συντεταγμένης είναι κλασματική, τότε είναι απαραίτητο να διαχωριστούν τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη με μια τελεία. Επίσης, δεν επιτρέπονται κενά μεταξύ αριθμών και κόμματος.

Σημείωση. Εάν μια τιμή Z παραλειφθεί κατά την εισαγωγή τρισδιάστατων συντεταγμένων, το AutoCAD θα την ορίσει αυτόματα στην προεπιλεγμένη τιμή που έχει καταγραφεί στη μεταβλητή συστήματος ELEVATION που ονομάζεται elevation.

Κατά τη δημιουργία τρισδιάστατων αντικειμένων, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της ανύψωσης (επίπεδο XY) και του ύψους. Το υψόμετρο καθορίζεται από τη συντεταγμένη Z του επιπέδου XY στο οποίο είναι χτισμένο το αντικείμενο. Είναι σαφές ότι εάν το υψόμετρο είναι μηδέν (η προεπιλεγμένη τιμή), τότε το επίπεδο του αντικειμένου (του επιπέδου του) συμπίπτει με το επίπεδο XY. Με θετική ανύψωση, το αντικείμενο βρίσκεται πάνω από το επίπεδο XY και με αρνητική ανύψωση, είναι κάτω. Όσον αφορά το ύψος των τρισδιάστατων αντικειμένων, αυτό καθορίζει την απόσταση με την οποία το αντικείμενο μετατοπίζεται σε σχέση με το υψόμετρο.

Συνήθως, η επεξεργασία των παραμέτρων ανύψωσης και ύψους γίνεται όταν είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν πολλά σημεία για τα οποία η συντεταγμένη Ζ έχει την ίδια τιμή. Η απλοποίηση των κατασκευών οφείλεται στο γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση θα αρκεί να εισαγάγετε για κάθε τέτοιο σημείο μόνο δύο τιμές που καθορίζουν τη θέση του στο επίπεδο XY.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η τρέχουσα τιμή υψομέτρου αποθηκεύεται στο όνομα της μεταβλητής συστήματος ELEVATION και το ύψος αποθηκεύεται στη μεταβλητή THICKNEES. Για να αλλάξετε την τιμή και των δύο παραμέτρων που έχουν εκχωρηθεί σε αντικείμενα που δημιουργήθηκαν πρόσφατα, πρέπει να εκτελέσετε την εντολή Elev και να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

Εντολή: Ελευ
Καθορίστε το νέο προεπιλεγμένο υψόμετρο<0.0000>: <Ввод нового значения возвышения>
Καθορίστε νέο προεπιλεγμένο πάχος<0.0000>: <Ввод нового значения высоты>

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η τιμή του ύψους του αντικειμένου μπορεί να αλλάξει από την παλέτα Ιδιότητες (Ιδιότητες).

ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Η θέση ενός σημείου σε κυλινδρικές συντεταγμένες προσδιορίζεται επίσης από τρία μεγέθη, αλλά ένα από αυτά είναι γωνιακό.

Όπως γνωρίζετε, ένας κυκλικός κύλινδρος σχηματίζεται περιστρέφοντας τη γεννήτρια 2-3 (Εικ. 10.5a) γύρω από τον κύκλο, περιγράφοντας μια γωνία 360 °. Είναι αυτή η αρχή που τίθεται στην έννοια των κυλινδρικών συντεταγμένων. Κατά τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου, πρέπει πρώτα να καθορίσετε την ακτίνα του κυλίνδρου (0-1), στη συνέχεια τη γωνία περιστροφής της γεννήτριας (1-2) και, τέλος, το ύψος του κυλίνδρου (2-3) . Για παράδειγμα, το σημείο που φαίνεται στο Σχ. 10.36, δημιουργήθηκε σε σχέση με το τρέχον UCS μετά την εισαγωγή 23 στη γραμμή εντολών<55,12. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей, запятая перед этим значком не ставится, а после величины угла – должна вводиться обязательно. Таким образом, в цилиндрической системе координат положение точки определяется в следующем порядке: радиус – угол – образующая.

Θα πρέπει να δώσετε προσοχή στον κανόνα των ζωδίων. Όσον αφορά τις γραμμικές συντεταγμένες, όλα είναι απλά εδώ - η κατεύθυνση των αξόνων καθορίζει τις θετικές τιμές της αναφοράς. Σε αυτή την περίπτωση, η θετική κατεύθυνση του άξονα Z μπορεί να ελεγχθεί από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Αυτός ο κανόνας έχει ως εξής. Εάν ο αντίχειρας του δεξιού χεριού είναι ευθυγραμμισμένος με τον άξονα Χ και ο δείκτης με τον άξονα Υ, τότε τα υπόλοιπα δάχτυλα σε λυγισμένη θέση θα υποδεικνύουν τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ζ (Εικ. 10.56).

Για να προσδιορίσετε τη θετική φορά περιστροφής γύρω από οποιονδήποτε άξονα, πρέπει να ακολουθήσετε τον ακόλουθο κανόνα. Εάν εγκαταστήσετε τον παρατηρητή από την πλευρά της θετικής κατεύθυνσης του άξονα, τότε η θετική κατεύθυνση ανάγνωσης των γωνιών θα συμπίπτει με την κίνηση αριστερόστροφα (Εικ. 10.4). Έτσι, για να εισαγάγετε μια δεξιόστροφη κατεύθυνση γωνίας, η τιμή της γωνίας πρέπει να εισαχθεί με το σύμβολο μείον.

ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Η θέση ενός σημείου σε σφαιρικές συντεταγμένες προσδιορίζεται επίσης από τρία μεγέθη, εκ των οποίων το ένα είναι γραμμικό και τα άλλα δύο είναι γωνιακά.

Όπως γνωρίζετε, μια σφαιρική επιφάνεια είναι ένας τόπος σημείων στο διάστημα που ισαπέχει από ένα σημείο - το κέντρο της μπάλας. Επομένως, για να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου που βρίσκεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας (Εικ. 10.7α), αρκεί να υποδείξετε την ακτίνα του κύκλου, η περιστροφή του οποίου σχηματίζει τη σφαίρα (0-1), στη συνέχεια τη γωνία που σχηματίζεται από την περιστροφή του κύκλου γύρω από τον άξονα Ζ (1-2), και τέλος, τη γωνία που σχηματίζεται από την περιστροφή του κύκλου γύρω από τον άξονα Χ (2-3). Για παράδειγμα, το σημείο που φαίνεται στο Σχ. 10.76, δημιουργήθηκε σε σχέση με το τρέχον UCS μετά την εισαγωγή 25 στη γραμμή εντολών<55<27. Значок «<» указывает на то, что после него вводится числовое значение угла поворота образующей. Таким образом, в сферической системе координат положение точки определяется в следующем порядке:

ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

Τα φίλτρα σημειακών συντεταγμένων είναι ένας άλλος τρόπος εισαγωγής συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο, με ένα διακριτικό χαρακτηριστικό που εξαρτάται από τις συντεταγμένες των αντικειμένων που έχουν εισαχθεί προηγουμένως. Με άλλα λόγια, για να εκχωρήσετε συντεταγμένες με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να κουμπώσετε στους κόμβους των υπαρχόντων αντικειμένων για να εξαγάγετε αυτόματα τη συντεταγμένη που παραγγείλατε από αυτούς.

Σημείωση. Ο καθορισμός συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο μέσω σημείων φιλτραρίσματος μπορεί να είναι αποτελεσματικός μόνο όταν χρησιμοποιείτε λειτουργίες κουμπώματος αντικειμένων.

Ένα διατεταγμένο σύστημα δύο ή τριών τεμνόμενων αξόνων κάθετων μεταξύ τους με κοινή αρχή (προέλευση) και κοινή μονάδα μήκους ονομάζεται ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων .

Γενικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (συγγενικό σύστημα συντεταγμένων) μπορεί επίσης να περιλαμβάνει όχι απαραίτητα κάθετους άξονες. Προς τιμή του Γάλλου μαθηματικού Rene Descartes (1596-1662), ονομάζεται ένα τέτοιο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο μια κοινή μονάδα μήκους μετράται σε όλους τους άξονες και οι άξονες είναι ευθύγραμμοι.

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο έχει δύο άξονες ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα - τρεις άξονες. Κάθε σημείο σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα καθορίζεται από ένα διατεταγμένο σύνολο συντεταγμένων - αριθμών σύμφωνα με το μοναδιαίο μήκος του συστήματος συντεταγμένων.

Σημειώστε ότι, όπως προκύπτει από τον ορισμό, υπάρχει ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ευθεία γραμμή, δηλαδή σε μία διάσταση. Η εισαγωγή καρτεσιανών συντεταγμένων σε μια ευθεία είναι ένας από τους τρόπους με τους οποίους σε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας αποδίδεται ένας καλά καθορισμένος πραγματικός αριθμός, δηλαδή μια συντεταγμένη.

Η μέθοδος των συντεταγμένων, που προέκυψε στα έργα του René Descartes, σηματοδότησε μια επαναστατική αναδιάρθρωση όλων των μαθηματικών. Κατέστη δυνατή η ερμηνεία αλγεβρικών εξισώσεων (ή ανισώσεων) με τη μορφή γεωμετρικών εικόνων (γραφημάτων) και, αντιστρόφως, η αναζήτηση λύσης σε γεωμετρικά προβλήματα χρησιμοποιώντας αναλυτικούς τύπους, συστήματα εξισώσεων. Ναι, ανισότητα z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyκαι βρίσκεται πάνω από αυτό το επίπεδο κατά 3 μονάδες.

Με τη βοήθεια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, η υπαγωγή ενός σημείου σε μια δεδομένη καμπύλη αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι αριθμοί Χκαι yικανοποιεί κάποια εξίσωση. Έτσι, οι συντεταγμένες ενός σημείου ενός κύκλου με κέντρο σε ένα δεδομένο σημείο ( ένα; σι) ικανοποιεί την εξίσωση (Χ - ένα)² + ( y - σι)² = R² .

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

Δύο κάθετοι άξονες σε ένα επίπεδο με κοινή αρχή και την ίδια μορφή μονάδας κλίμακας Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο αεροπλάνο . Ένας από αυτούς τους άξονες ονομάζεται άξονας Βόδι, ή άξονας x , το άλλο - ο άξονας Oy, ή άξονας y . Αυτοί οι άξονες ονομάζονται επίσης άξονες συντεταγμένων. Σημειώστε με ΜΧκαι Μyαντίστοιχα η προβολή αυθαίρετου σημείου Μστον άξονα Βόδικαι Oy. Πώς να λάβετε προβολές; Περάστε από την τελεία Μ Βόδι. Αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα Βόδιστο σημείο ΜΧ. Περάστε από την τελεία Μευθεία κάθετη στον άξονα Oy. Αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα Oyστο σημείο Μy. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χκαι yσημεία Μθα ονομάσουμε αντίστοιχα μεγέθη των κατευθυνόμενων τμημάτων ΟΜΧκαι ΟΜy. Οι τιμές αυτών των κατευθυντικών τμημάτων υπολογίζονται αντίστοιχα ως Χ = Χ0 - 0 και y = y0 - 0 . Καρτεσιανές συντεταγμένες Χκαι yσημεία Μ τετμημένη και τεταγμένη . Το γεγονός ότι η τελεία Μέχει συντεταγμένες Χκαι y, συμβολίζεται ως εξής: Μ(Χ, y) .

Οι άξονες συντεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτοκύκλιο , του οποίου η αρίθμηση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Υποδεικνύει επίσης τη διάταξη των πινακίδων για τις συντεταγμένες των σημείων, ανάλογα με τη θέση τους σε ένα ή άλλο τεταρτημόριο.

Εκτός από τις καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες στο επίπεδο, συχνά λαμβάνεται υπόψη και το πολικό σύστημα συντεταγμένων. Σχετικά με τη μέθοδο μετάβασης από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο - στο μάθημα πολικό σύστημα συντεταγμένων .

Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες στο διάστημα εισάγονται σε πλήρη αναλογία με τις καρτεσιανές συντεταγμένες σε ένα επίπεδο.

Τρεις αμοιβαίοι κάθετοι άξονες στο χώρο (άξονες συντεταγμένων) με κοινή αρχή Οκαι την ίδια μορφή μονάδας κλίμακας Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα .

Ένας από αυτούς τους άξονες ονομάζεται άξονας Βόδι, ή άξονας x , το άλλο - ο άξονας Oy, ή άξονας y , τρίτος - άξονας Οζ, ή άξονας εφαρμογής . Αφήνω ΜΧ, Μy Μz- προβολές αυθαίρετου σημείου Μχώρους στον άξονα Βόδι , Oyκαι Οζαντίστοιχα.

Περάστε από την τελεία Μ ΒόδιΒόδιστο σημείο ΜΧ. Περάστε από την τελεία Μεπίπεδο κάθετο στον άξονα Oy. Αυτό το επίπεδο τέμνει τον άξονα Oyστο σημείο Μy. Περάστε από την τελεία Μεπίπεδο κάθετο στον άξονα Οζ. Αυτό το επίπεδο τέμνει τον άξονα Οζστο σημείο Μz.

Καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες Χ , yκαι zσημεία Μθα ονομάσουμε αντίστοιχα μεγέθη των κατευθυνόμενων τμημάτων ΟΜΧ, ΟΜyκαι ΟΜz. Οι τιμές αυτών των κατευθυντικών τμημάτων υπολογίζονται αντίστοιχα ως Χ = Χ0 - 0 , y = y0 - 0 και z = z0 - 0 .

Καρτεσιανές συντεταγμένες Χ , yκαι zσημεία Μονομάζονται ανάλογα τετμημένη , τεταγμένη και απλικέ .

Λαμβάνονται σε ζεύγη, οι άξονες συντεταγμένων βρίσκονται στα επίπεδα συντεταγμένων xOy , yOzκαι zOx .

Προβλήματα σχετικά με σημεία στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Παράδειγμα 1

ΕΝΑ(2; -3) ;

σι(3; -1) ;

ντο(-5; 1) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα x.

Λύση. Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα x βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα x, δηλαδή στον άξονα Βόδι, και επομένως έχει μια τετμημένη ίση με την τετμημένη του ίδιου του σημείου, και μια τεταγμένη (συντεταγμένη στον άξονα Oy, το οποίο ο άξονας x τέμνει στο σημείο 0), ίσο με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες αυτών των σημείων στον άξονα x:

ΕΝΑx(2;0);

σιx(3;0);

ντοx(-5;0).

Παράδειγμα 2Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-3; 2) ;

σι(-5; 1) ;

ντο(3; -2) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα y.

Λύση. Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα y βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα y, δηλαδή στον άξονα Oy, και επομένως έχει μια τεταγμένη ίση με την τεταγμένη του ίδιου του σημείου και μια τετμημένη (η συντεταγμένη στον άξονα Βόδι, τον οποίο ο άξονας y τέμνει στο σημείο 0), ίσο με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες αυτών των σημείων στον άξονα y:

ΕΝΑy(0; 2);

σιy (0; 1);

ντοy(0;-2).

Παράδειγμα 3Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(2; 3) ;

σι(-3; 2) ;

ντο(-1; -1) .

Βόδι .

Βόδι Βόδι Βόδι, θα έχει την ίδια τετμημένη με το δεδομένο σημείο, και η τεταγμένη ίση σε απόλυτη τιμή με τη τεταγμένη του δεδομένου σημείου και αντίθετη σε πρόσημο από αυτήν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Βόδι :

ΕΝΑ"(2; -3) ;

ΣΙ"(-3; -2) ;

ΝΤΟ"(-1; 1) .

Λύστε μόνοι σας προβλήματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και μετά δείτε τις λύσεις

Παράδειγμα 4Προσδιορίστε σε ποια τεταρτημόρια (τέταρτα, σχήμα με τεταρτημόρια - στο τέλος της παραγράφου "Ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο") μπορεί να εντοπιστεί το σημείο Μ(Χ; y) , αν

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) Χ − y = 0 ;

4) Χ + y = 0 ;

5) Χ + y > 0 ;

6) Χ + y < 0 ;

7) Χ − y > 0 ;

8) Χ − y < 0 .

Παράδειγμα 5Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-2; 5) ;

σι(3; -5) ;

ντο(ένα; σι) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy .

Συνεχίζουμε να λύνουμε τα προβλήματα μαζί

Παράδειγμα 6Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(-1; 2) ;

σι(3; -1) ;

ντο(-2; -2) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy .

Λύση. Περιστρέψτε 180 μοίρες γύρω από τον άξονα Oyκατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα από άξονα Oyμέχρι αυτό το σημείο. Στο σχήμα, όπου υποδεικνύονται τα τεταρτημόρια του επιπέδου, βλέπουμε ότι το σημείο συμμετρικό προς το δεδομένο ως προς τον άξονα Oy, θα έχει την ίδια τεταγμένη με το δεδομένο σημείο, και μια τετμημένη ίση σε απόλυτη τιμή με την τετμημένη του δεδομένου σημείου και αντίθετη σε πρόσημο με αυτήν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς τον άξονα Oy :

ΕΝΑ"(1; 2) ;

ΣΙ"(-3; -1) ;

ΝΤΟ"(2; -2) .

Παράδειγμα 7Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο

ΕΝΑ(3; 3) ;

σι(2; -4) ;

ντο(-2; 1) .

Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς την αρχή.

Λύση. Περιστρέφουμε 180 μοίρες γύρω από την αρχή του κατευθυνόμενου τμήματος πηγαίνοντας από την αρχή στο δεδομένο σημείο. Στο σχήμα, όπου υποδεικνύονται τα τεταρτημόρια του επιπέδου, βλέπουμε ότι ένα σημείο συμμετρικό σε ένα δεδομένο ως προς την αρχή των συντεταγμένων θα έχει μια τετμημένη και μια τεταγμένη ίση σε απόλυτη τιμή με την τετμημένη και την τεταγμένη του δεδομένου σημείου , αλλά απέναντι σε αυτά. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με αυτά τα σημεία ως προς την αρχή:

ΕΝΑ"(-3; -3) ;

ΣΙ"(-2; 4) ;

ντο(2; -1) .

Παράδειγμα 8

ΕΝΑ(4; 3; 5) ;

σι(-3; 2; 1) ;

ντο(2; -3; 0) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων:

1) σε αεροπλάνο Oxy ;

2) στο αεροπλάνο Oxz ;

3) στο αεροπλάνο Oyz ;

4) στον άξονα της τετμημένης.

5) στον άξονα y.

6) στον άξονα απλικέ.

1) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oxyπου βρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τετμημένη και τεταγμένη ίση με την τετμημένη και τεταγμένη του δεδομένου σημείου και μια εφαρμογή ίση με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oxy :

ΕΝΑxy(4;3;0);

σιxy (-3; 2; 0);

ντοxy(2;-3;0).

2) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oxzπου βρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τετμημένη και εφαρμογή ίση με την τετμημένη και εφαρμογή του δεδομένου σημείου και μια τεταγμένη ίση με το μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oxz :

ΕΝΑxz (4; 0; 5);

σιxz (-3; 0; 1);

ντοxz(2;0;0).

3) Προβολή σημείου σε επίπεδο Oyzβρίσκεται σε αυτό το ίδιο το επίπεδο, και επομένως έχει μια τεταγμένη και μια εφαρμογή ίση με την τεταγμένη και μια εφαρμογή ενός δεδομένου σημείου και μια τετμημένη ίση με μηδέν. Έτσι παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων Oyz :

ΕΝΑyz (0; 3; 5);

σιyz (0; 2; 1);

ντοyz(0;-3;0).

4) Όπως προκύπτει από το θεωρητικό μέρος αυτού του μαθήματος, η προβολή ενός σημείου στον άξονα x βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα x, δηλαδή στον άξονα Βόδι, και επομένως έχει μια τετμημένη ίση με την τετμημένη του ίδιου του σημείου, και η τεταγμένη και η εφαρμογή της προβολής είναι ίσες με μηδέν (αφού η τεταγμένη και η εφαρμογή άξονες τέμνουν την τετμημένη στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα x:

ΕΝΑx(4;0;0);

σιx(-3;0;0);

ντοx(2;0;0).

5) Η προβολή ενός σημείου στον άξονα y βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα y, δηλαδή στον άξονα Oy, και επομένως έχει τεταγμένη ίση με την τεταγμένη του ίδιου του σημείου, και η τετμημένη και η εφαρμογή της προβολής είναι ίσα με μηδέν (αφού η τετμημένη και οι εφαρμοζόμενοι άξονες τέμνουν τον άξονα τεταγμένης στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα y:

ΕΝΑy(0;3;0);

σιy(0;2;0);

ντοy(0;-3;0).

6) Η προβολή ενός σημείου στον άξονα εφαρμογής βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα εφαρμογής, δηλαδή στον άξονα Οζ, και επομένως έχει μια εφαρμογή ίση με την εφαρμογή του ίδιου του σημείου, και η τετμημένη και η τεταγμένη της προβολής είναι ίσες με μηδέν (αφού οι άξονες της τετμημένης και της τεταγμένης τέμνουν τον άξονα εφαρμογής στο σημείο 0). Λαμβάνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στον άξονα εφαρμογής:

ΕΝΑz(0; 0; 5);

σιz(0;0;1);

ντοz(0; 0; 0).

Παράδειγμα 9Οι πόντοι δίνονται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

ΕΝΑ(2; 3; 1) ;

σι(5; -3; 2) ;

ντο(-3; 2; -1) .

Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτά τα σημεία ως προς:

1) αεροπλάνο Oxy ;

2) αεροπλάνο Oxz ;

3) αεροπλάνο Oyz ;

4) άξονας τετμημένης?

5) άξονας y.

6) άξονας απλικέ.

7) η προέλευση των συντεταγμένων.

1) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oxy Oxy, θα έχει μια τετμημένη και μια τεταγμένη ίση με την τετμημένη και μια τεταγμένη του δεδομένου σημείου και μια εφαρμογή ίση σε μέγεθος με την εφαρμογή του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο με αυτό. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oxy :

ΕΝΑ"(2; 3; -1) ;

ΣΙ"(5; -3; -2) ;

ΝΤΟ"(-3; 2; 1) .

2) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oxzγια την ίδια απόσταση. Σύμφωνα με το σχήμα που δείχνει τον χώρο συντεταγμένων, βλέπουμε ότι το σημείο είναι συμμετρικό με το δεδομένο ως προς τον άξονα Oxz, θα έχει τετμημένη και ισχύει ίση με την τετμημένη και εφαρμογή του δεδομένου σημείου, και μια τεταγμένη ίση σε μέγεθος με την τεταγμένη του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο από αυτήν. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oxz :

ΕΝΑ"(2; -3; 1) ;

ΣΙ"(5; 3; 2) ;

ΝΤΟ"(-3; -2; -1) .

3) «Προωθήστε» το σημείο στην άλλη πλευρά του άξονα Oyzγια την ίδια απόσταση. Σύμφωνα με το σχήμα που δείχνει τον χώρο συντεταγμένων, βλέπουμε ότι το σημείο είναι συμμετρικό με το δεδομένο ως προς τον άξονα Oyz, θα έχει μια τεταγμένη και μια εφαρμογή ίσες με την τεταγμένη και μια εφαρμογή του δεδομένου σημείου, και μια τετμημένη ίση σε μέγεθος με την τετμημένη του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετη σε πρόσημο από αυτήν. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών προς τα δεδομένα ως προς το επίπεδο Oyz :

ΕΝΑ"(-2; 3; 1) ;

ΣΙ"(-5; -3; 2) ;

ΝΤΟ"(3; 2; -1) .

Κατ' αναλογία με συμμετρικά σημεία στο επίπεδο και σημεία στο χώρο συμμετρικά με δεδομένα ως προς τα επίπεδα, σημειώνουμε ότι στην περίπτωση συμμετρίας ως προς κάποιο άξονα του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο διάστημα, η συντεταγμένη στον άξονα γύρω από τον οποίο τίθεται η συμμετρία θα διατηρήσει το πρόσημο του και οι συντεταγμένες στους άλλους δύο άξονες θα είναι ίδιες σε απόλυτη τιμή με τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετες σε πρόσημο.

4) Η τετμημένη θα διατηρήσει το πρόσημά της, ενώ η τεταγμένη και η αίτηση θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα για τον άξονα x:

ΕΝΑ"(2; -3; -1) ;

ΣΙ"(5; 3; -2) ;

ΝΤΟ"(-3; -2; 1) .

5) Η τεταγμένη θα διατηρήσει το πρόσημά της, ενώ η τετμημένη και η αίτηση θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα για τον άξονα y:

ΕΝΑ"(-2; 3; -1) ;

ΣΙ"(-5; -3; -2) ;

ΝΤΟ"(3; 2; 1) .

6) Η αίτηση θα διατηρήσει το πρόσημά της και η τετμημένη και η τεταγμένη θα αλλάξουν πρόσημο. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων συμμετρικών με τα δεδομένα σχετικά με τον άξονα εφαρμογής:

ΕΝΑ"(-2; -3; 1) ;

ΣΙ"(-5; 3; 2) ;

ΝΤΟ"(3; -2; -1) .

7) Κατ' αναλογία με τη συμμετρία στην περίπτωση σημείων σε ένα επίπεδο, στην περίπτωση συμμετρίας ως προς την αρχή, όλες οι συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς ένα δεδομένο θα είναι ίσες σε απόλυτη τιμή με τις συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου, αλλά αντίθετες σε υπογραφή τους. Έτσι, παίρνουμε τις ακόλουθες συντεταγμένες σημείων που είναι συμμετρικά με τα δεδομένα ως προς την αρχή.