Είναι γνωστό ότι η διατύπωση ενός προβλήματος είναι συχνά πιο σημαντική και πιο δύσκολη από την επίλυσή του. «Στην επιστήμη», έγραψε ο Άγγλος χημικός F. Soddy, «ένα πρόβλημα που τίθεται σωστά λύνεται περισσότερο από το μισό. Η διαδικασία διανοητικής προετοιμασίας που απαιτείται για να διαπιστωθεί ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα απαιτεί συχνά περισσότερο χρόνο από την ίδια τη λύση του προβλήματος.
Οι μορφές με τις οποίες εκδηλώνεται και υλοποιείται η προβληματική κατάσταση είναι πολύ διαφορετικές. Όχι πάντα, αποκαλύπτεται με τη μορφή μιας άμεσης ερώτησης που προέκυψε στην αρχή της μελέτης. Ο κόσμος των προβλημάτων είναι τόσο περίπλοκος όσο και η διαδικασία της γνώσης που τα δημιουργεί. Ο εντοπισμός προβλημάτων βρίσκεται στον πυρήνα της δημιουργικής σκέψης. Τα παράδοξα είναι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση σιωπηρών, αναμφισβήτητων τρόπων τοποθέτησης προβλημάτων. Τα παράδοξα είναι κοινά στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των επιστημονικών θεωριών, όταν γίνονται τα πρώτα βήματα σε έναν ακόμη ανεξερεύνητο τομέα και αναζητούνται οι πιο γενικές αρχές προσέγγισης του.

Παράδοξα και λογική

Με μια ευρεία έννοια, ένα παράδοξο είναι μια θέση που αποκλίνει έντονα από τις γενικά αποδεκτές, καθιερωμένες, ορθόδοξες απόψεις. «Οι γενικά αποδεκτές απόψεις και ό,τι θεωρείται θέμα μακροπρόθεσμης απόφασης, τις περισσότερες φορές αξίζουν έρευνας» (Glichtenberg). Το παράδοξο είναι η αρχή μιας τέτοιας έρευνας.
Ένα παράδοξο με μια στενότερη και πιο εξειδικευμένη έννοια είναι δύο αντίθετες, ασύμβατες δηλώσεις, για καθεμία από τις οποίες υπάρχουν φαινομενικά πειστικά επιχειρήματα.
Η πιο έντονη μορφή παραδόξου είναι η αντινομία, ένας συλλογισμός που αποδεικνύει την ισοδυναμία δύο δηλώσεων, εκ των οποίων η μία είναι άρνηση της άλλης.
Τα παράδοξα είναι ιδιαίτερα διάσημα στις πιο αυστηρές και ακριβείς επιστήμες - τα μαθηματικά και τη λογική. Και αυτό δεν είναι τυχαίο.

Λογικές- αφηρημένη επιστήμη. Δεν υπάρχουν πειράματα σε αυτό, ούτε καν γεγονότα με τη συνήθη έννοια της λέξης. Στο χτίσιμο των συστημάτων της, η λογική προέρχεται τελικά από την ανάλυση της πραγματικής σκέψης. Όμως τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης είναι συνθετικά, αδιαφοροποίητα. Δεν είναι δηλώσεις οποιωνδήποτε ξεχωριστών διαδικασιών ή γεγονότων που η θεωρία θα πρέπει να εξηγήσει. Προφανώς, μια τέτοια ανάλυση δεν μπορεί να ονομαστεί παρατήρηση: ένα συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρείται πάντα.
Κατασκευάζοντας μια νέα θεωρία, ο επιστήμονας ξεκινά συνήθως από τα γεγονότα, από αυτά που μπορεί να παρατηρηθεί στο πείραμα. Όσο ελεύθερη και αν είναι η δημιουργική του φαντασία, πρέπει να υπολογίζει με μια απαραίτητη περίσταση: μια θεωρία έχει νόημα μόνο αν συμφωνεί με τα γεγονότα που την αφορούν. Μια θεωρία που διαφωνεί με γεγονότα και παρατηρήσεις είναι τραβηγμένη και δεν έχει καμία αξία.
Αλλά αν δεν υπάρχουν πειράματα στη λογική, δεν υπάρχουν γεγονότα και δεν υπάρχει η ίδια η παρατήρηση, τότε τι εμποδίζει τη λογική φαντασία; Ποιοι παράγοντες, αν όχι γεγονότα, λαμβάνονται υπόψη κατά τη δημιουργία νέων λογικών θεωριών;
Η ασυμφωνία μεταξύ της λογικής θεωρίας και της πρακτικής της πραγματικής σκέψης αποκαλύπτεται συχνά με τη μορφή ενός λίγο πολύ οξύ λογικού παραδόξου, και μερικές φορές ακόμη και με τη μορφή μιας λογικής αντινομίας, που μιλά για την εσωτερική ασυνέπεια της θεωρίας. Αυτό ακριβώς εξηγεί τη σημασία που αποδίδεται στα παράδοξα στη λογική, και τη μεγάλη προσοχή που απολαμβάνουν σε αυτό.

Παραλλαγές του παραδόξου «Ψεύτης».

Το πιο διάσημο και ίσως το πιο ενδιαφέρον από όλα τα λογικά παράδοξα είναι το παράδοξο «Ψεύτης». Ήταν αυτός που δόξασε το όνομα του Ευβουλίδη από τη Μίλητο που το ανακάλυψε.
Υπάρχουν παραλλαγές αυτού του παραδόξου ή αντινομίας, πολλές από τις οποίες είναι μόνο φαινομενικά παράδοξες.
Στην πιο απλή εκδοχή του «Ψεύτης» ένα άτομο λέει μόνο μια φράση: «Λέω ψέματα». Ή λέει: «Η δήλωση που κάνω τώρα είναι ψευδής». Ή: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής."

Εάν η δήλωση είναι ψευδής, τότε ο ομιλητής είπε την αλήθεια, και επομένως αυτό που είπε δεν είναι ψέμα. Εάν η δήλωση δεν είναι ψευδής και ο ομιλητής ισχυρίζεται ότι είναι ψευδής, τότε αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι αν ο ομιλητής λέει ψέματα, λέει την αλήθεια και το αντίστροφο.

Στο Μεσαίωνα, η ακόλουθη διατύπωση ήταν κοινή:

«Αυτό που είπε ο Πλάτωνας είναι ψευδές», λέει ο Σωκράτης.

«Αυτό που είπε ο Σωκράτης είναι αλήθεια», λέει ο Πλάτων.

Τίθεται το ερώτημα ποιος από αυτούς εκφράζει την αλήθεια και ποιος είναι ψέμα;
Και εδώ υπάρχει ένα σύγχρονο παράδοξο αυτού του παραδόξου. Ας υποθέσουμε ότι μόνο οι λέξεις είναι γραμμένες στην μπροστινή πλευρά της κάρτας: "Στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας είναι γραμμένη μια αληθινή δήλωση." Είναι σαφές ότι αυτές οι λέξεις αντιπροσωπεύουν μια σημαντική δήλωση. Αναποδογυρίζοντας την κάρτα, πρέπει είτε να βρούμε την υποσχεμένη δήλωση, είτε δεν υπάρχει. Αν είναι γραμμένο στο πίσω μέρος, τότε είτε είναι αλήθεια είτε όχι. Ωστόσο, στο πίσω μέρος υπάρχουν οι λέξεις: "Υπάρχει μια ψευδής δήλωση γραμμένη στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας" - και τίποτα περισσότερο. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση στην μπροστινή πλευρά είναι αληθινή. Τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει να είναι αληθής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι ψευδής. Αλλά αν η δήλωση στο μπροστινό μέρος είναι ψευδής, τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει επίσης να είναι ψευδής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι αληθινή. Το τελικό αποτέλεσμα είναι ένα παράδοξο.
Το παράδοξο Liar έκανε τεράστια εντύπωση στους Έλληνες. Και είναι εύκολο να καταλάβει κανείς γιατί. Το ερώτημα που θέτει με την πρώτη ματιά φαίνεται αρκετά απλό: λέει ψέματα αυτός που λέει μόνο ότι λέει ψέματα; Αλλά η απάντηση «ναι» οδηγεί στην απάντηση «όχι», και το αντίστροφο. Και ο προβληματισμός δεν ξεκαθαρίζει καθόλου την κατάσταση. Πίσω από την απλότητα και ακόμη και τη ρουτίνα της ερώτησης, αποκαλύπτει κάποιο σκοτεινό και αμέτρητο βάθος.
Υπάρχει ακόμη και ένας θρύλος ότι κάποιος Filit Kossky, απελπισμένος να λύσει αυτό το παράδοξο, αυτοκτόνησε. Λέγεται επίσης ότι ένας από τους διάσημους αρχαίους Έλληνες λογικούς, ο Διόδωρος Κρόνος, ήδη στα παρακμιακά του χρόνια, ορκίστηκε να μην φάει μέχρι να βρει τη λύση του «Ψεύτη» και σύντομα πέθανε, χωρίς να πετύχει τίποτα.
Στο Μεσαίωνα, αυτό το παράδοξο αναφερόταν στις λεγόμενες άλυτες προτάσεις και έγινε αντικείμενο συστηματικής ανάλυσης.Στη σύγχρονη εποχή, ο «Ψεύτης» δεν τράβηξε την προσοχή για πολύ καιρό. Δεν είδαν καμία, έστω και μικρή, δυσκολία σχετικά με τη χρήση της γλώσσας. Και μόνο στη λεγόμενη σύγχρονη εποχή μας, η ανάπτυξη της λογικής έφτασε τελικά σε ένα επίπεδο όπου κατέστη δυνατή η διατύπωση των προβλημάτων που φαίνεται να κρύβονται πίσω από αυτό το παράδοξο με αυστηρούς όρους.
Τώρα ο «Ψεύτης» - αυτός ο τυπικός πρώην σοφισμός - αναφέρεται συχνά ως ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων. Μια εκτενής επιστημονική βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη σε αυτόν. Και όμως, όπως στην περίπτωση πολλών άλλων παραδόξων, δεν είναι απολύτως σαφές ποια προβλήματα κρύβονται πίσω από αυτό και πώς να απαλλαγούμε από αυτό.

Γλώσσα και μεταγλώσσα

Τώρα το "The Liar" θεωρείται συνήθως χαρακτηριστικό παράδειγμα των δυσκολιών στις οποίες οδηγεί η σύγχυση δύο γλωσσών: η γλώσσα στην οποία μιλάει κανείς για μια πραγματικότητα που βρίσκεται έξω από αυτήν και η γλώσσα στην οποία μιλάει για την ίδια πρώτη γλώσσα.

Στην καθημερινή γλώσσα δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ αυτών των επιπέδων: μιλάμε την ίδια γλώσσα για την πραγματικότητα και για τη γλώσσα. Για παράδειγμα, ένα άτομο του οποίου η μητρική γλώσσα είναι τα ρωσικά δεν βλέπει μεγάλη διαφορά μεταξύ των δηλώσεων: "Το γυαλί είναι διαφανές" και "Είναι αλήθεια ότι το γυαλί είναι διαφανές", αν και ο ένας μιλά για γυαλί και ο άλλος για μια δήλωση για το γυαλί. .
Αν κάποιος είχε την ιδέα της ανάγκης να μιλήσει για τον κόσμο σε μια γλώσσα και για τις ιδιότητες αυτής της γλώσσας σε μια άλλη, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει δύο διαφορετικές υπάρχουσες γλώσσες, ας πούμε τα ρωσικά και τα αγγλικά. Αντί να πω απλώς "Η αγελάδα είναι ουσιαστικό", θα έλεγα "Η αγελάδα είναι ουσιαστικό" και αντί για "Η δήλωση "Το γυαλί δεν είναι διαφανές" είναι ψευδής", θα έλεγα "Ο ισχυρισμός "Το γυαλί δεν είναι διαφανές" είναι ψευδής". Με αυτή τη χρήση δύο διαφορετικών γλωσσών, αυτό που λέγεται για τον κόσμο θα ήταν σαφώς διαφορετικό από αυτό που λέγεται για τη γλώσσα με την οποία μιλά κανείς για τον κόσμο. Πράγματι, οι πρώτες δηλώσεις θα αναφέρονται στα ρωσικά, ενώ οι δεύτερες στα αγγλικά.

Εάν περαιτέρω ο ειδικός μας στις γλώσσες θέλει να μιλήσει για ορισμένες περιστάσεις που ήδη αφορούν την αγγλική γλώσσα, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει άλλη γλώσσα. Γερμανός ας πούμε. Για να μιλήσουμε για αυτό το τελευταίο θα μπορούσε κανείς να καταφύγει, ας πούμε, στην ισπανική γλώσσα, κ.ο.κ.
Αποδεικνύεται, επομένως, ένα είδος κλίμακας ή ιεραρχίας γλωσσών, καθεμία από τις οποίες χρησιμοποιείται για έναν πολύ συγκεκριμένο σκοπό: στην πρώτη μιλούν για τον αντικειμενικό κόσμο, στη δεύτερη - για αυτήν την πρώτη γλώσσα, στην τρίτο - για τη δεύτερη γλώσσα, κ.λπ. Μια τέτοια διάκριση μεταξύ γλωσσών ανάλογα με τον τομέα εφαρμογής τους είναι σπάνιο φαινόμενο στην καθημερινή ζωή. Αλλά στις επιστήμες, που, όπως και η λογική, ασχολούνται ειδικά με τις γλώσσες, μερικές φορές αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να μιλήσει για τον κόσμο συνήθως ονομάζεται γλώσσα αντικειμένου. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη γλώσσα του θέματος ονομάζεται μεταγλώσσα.

Είναι σαφές ότι αν η γλώσσα και η μεταγλώσσα οριοθετηθούν με αυτόν τον τρόπο, η δήλωση «λέω ψέματα» δεν μπορεί πλέον να διατυπωθεί. Μιλάει για το ψεύδος όσων λέγονται στα ρωσικά, και, ως εκ τούτου, ανήκει στη μεταγλώσσα και πρέπει να εκφράζεται στα αγγλικά. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να ακούγεται ως εξής: "Ό,τι μιλάω στα ρωσικά είναι ψευδές" ("Ό,τι λέω στα ρωσικά είναι ψευδές"); αυτή η αγγλική δήλωση δεν λέει τίποτα για τον εαυτό της και δεν προκύπτει παράδοξο.
Η διάκριση μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας καθιστά δυνατή την εξάλειψη του παραδόξου «Ψεύτης». Έτσι, καθίσταται δυνατός ο ορθός, χωρίς αντίφαση, ο ορισμός της κλασικής έννοιας της αλήθειας: μια δήλωση είναι αληθής που αντιστοιχεί στην πραγματικότητα που περιγράφει.
Η έννοια της αλήθειας, όπως όλες οι άλλες σημασιολογικές έννοιες, έχει σχετικό χαρακτήρα: μπορεί πάντα να αποδοθεί σε μια συγκεκριμένη γλώσσα.

Όπως έδειξε ο Πολωνός λογικός Atarsky, ο κλασικός ορισμός της αλήθειας πρέπει να διατυπωθεί σε μια γλώσσα ευρύτερη από τη γλώσσα για την οποία προορίζεται. Με άλλα λόγια, αν θέλουμε να δείξουμε τι σημαίνει η φράση «μια δήλωση αληθής σε μια δεδομένη γλώσσα», πρέπει, εκτός από τις εκφράσεις αυτής της γλώσσας, να χρησιμοποιήσουμε και εκφράσεις που δεν υπάρχουν σε αυτήν.
Ο Tarski εισήγαγε την έννοια της σημασιολογικά κλειστής γλώσσας. Μια τέτοια γλώσσα περιλαμβάνει, εκτός από τις εκφράσεις της, τα ονόματά τους, και επίσης, που είναι σημαντικό να τονιστεί, δηλώσεις σχετικά με την αλήθεια των προτάσεων που διατυπώνονται σε αυτήν.

Δεν υπάρχει όριο μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας σε μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα. Τα μέσα του είναι τόσο πλούσια που επιτρέπουν όχι μόνο να ισχυριστεί κάτι για την εξωγλωσσική πραγματικότητα, αλλά και να αξιολογήσει την αλήθεια τέτοιων δηλώσεων. Αυτά τα μέσα επαρκούν, ειδικότερα, για την αναπαραγωγή της αντινομίας «Ψεύτης» στη γλώσσα. Μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα αποδεικνύεται έτσι αυτοαντιφατική. Κάθε φυσική γλώσσα είναι προφανώς σημασιολογικά κλειστή.
Ο μόνος αποδεκτός τρόπος για να εξαλειφθεί η αντινομία, και ως εκ τούτου η εσωτερική ασυνέπεια, σύμφωνα με τον Tarski, είναι να εγκαταλείψουμε τη χρήση μιας σημασιολογικά κλειστής γλώσσας. Αυτό το μονοπάτι είναι αποδεκτό, φυσικά, μόνο στην περίπτωση τεχνητών, επισημοποιημένων γλωσσών που επιτρέπουν έναν σαφή διαχωρισμό σε γλώσσα και μεταγλώσσα. Στις φυσικές γλώσσες, με τη σκοτεινή δομή τους και την ικανότητα να μιλάμε για τα πάντα στην ίδια γλώσσα, αυτή η προσέγγιση δεν είναι πολύ ρεαλιστική. Δεν έχει νόημα να τίθεται το ζήτημα της εσωτερικής συνέπειας αυτών των γλωσσών. Οι πλούσιες εκφραστικές τους δυνατότητες έχουν και τα αρνητικά τους - παράδοξα.

Άλλες λύσεις στο παράδοξο

Υπάρχουν λοιπόν δηλώσεις που μιλούν για τη δική τους αλήθεια ή ψευτιά. Η ιδέα ότι αυτού του είδους οι δηλώσεις δεν έχουν νόημα είναι πολύ παλιά. Την υπερασπίστηκε ο αρχαίος Έλληνας λογικός Χρύσιππος.
Στο Μεσαίωνα, ο Άγγλος φιλόσοφος και λογικός W. Ockham δήλωσε ότι η δήλωση «Every statement is false» δεν έχει νόημα, αφού μιλά, μεταξύ άλλων, και για τη δική της ψευδαίσθηση. Από αυτή τη δήλωση προκύπτει άμεσα μια αντίφαση. Αν κάθε πρόταση είναι ψευδής, τότε είναι και η ίδια η πρόταση. αλλά ότι είναι ψευδής σημαίνει ότι δεν είναι κάθε πρόταση ψευδής.

Η κατάσταση είναι παρόμοια με τη δήλωση «Κάθε πρόταση είναι αληθινή». Πρέπει επίσης να ταξινομηθεί ως χωρίς νόημα και επίσης οδηγεί σε μια αντίφαση: αν κάθε πρόταση είναι αληθής, τότε η άρνηση αυτής της ίδιας της δήλωσης είναι επίσης αληθής, δηλαδή η δήλωση ότι δεν είναι αληθής κάθε πρόταση.
Γιατί, ωστόσο, μια δήλωση δεν μπορεί να μιλήσει με νόημα για τη δική της αλήθεια ή ψευδή;
Ήδη σύγχρονος του Όκαμ, του Γάλλου φιλοσόφου του 14ου αιώνα. Ο J. Buridan δεν συμφώνησε με την απόφασή του. Από τη σκοπιά των συνηθισμένων ιδεών για το ανούσιο, εκφράσεις όπως "λέω ψέματα", "Κάθε δήλωση είναι αληθινή (ψευδή)" κ.λπ. αρκετά ουσιαστικό. Τι μπορείτε να σκεφτείτε, τι μπορείτε να πείτε - αυτή είναι η γενική αρχή του Buridan. Ένα άτομο μπορεί να σκεφτεί την αλήθεια της δήλωσης που εκφέρει, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να μιλήσει για αυτήν. Δεν είναι όλες οι δηλώσεις για τον εαυτό τους χωρίς νόημα. Για παράδειγμα, η δήλωση "Αυτή η πρόταση είναι γραμμένη στα ρωσικά" είναι σωστή, αλλά η δήλωση "Υπάρχουν δέκα λέξεις σε αυτήν την πρόταση" είναι ψευδής. Και τα δύο είναι απολύτως λογικά. Εάν γίνει δεκτό ότι μια δήλωση μπορεί να μιλήσει για τον εαυτό της, τότε γιατί δεν είναι ικανή να μιλήσει με νόημα για μια τέτοια ιδιότητα του εαυτού της όπως η αλήθεια;
Ο ίδιος ο Buridan θεώρησε τη δήλωση "λέω ψέματα" όχι άσκοπη, αλλά ψευδή. Το δικαιολογούσε έτσι.

Όταν ένα άτομο επιβεβαιώνει μια πρόταση, δηλώνει έτσι ότι είναι αληθινή. Εάν η πρόταση λέει από μόνη της ότι είναι η ίδια ψευδής, τότε είναι μόνο μια συνοπτική διατύπωση μιας πιο περίπλοκης έκφρασης που επιβεβαιώνει τόσο την αλήθεια όσο και την αναλήθεια της. Αυτή η έκφραση είναι αντιφατική και ως εκ τούτου ψευδής. Αλλά δεν είναι σε καμία περίπτωση χωρίς νόημα.

Το επιχείρημα του Buridan εξακολουθεί μερικές φορές να θεωρείται πειστικό.
Υπάρχουν και άλλες γραμμές κριτικής για τη λύση στο παράδοξο του «Ψεύτη», το οποίο αναπτύχθηκε λεπτομερώς από τον Tarski. Δεν υπάρχει πραγματικά αντίδοτο κατά των παραδόξων αυτού του τύπου σε σημασιολογικά κλειστές γλώσσες — και τελικά όλες οι φυσικές γλώσσες είναι;
Εάν συνέβαινε αυτό, τότε η έννοια της αλήθειας θα μπορούσε να οριστεί μόνο με αυστηρό τρόπο σε επισημοποιημένες γλώσσες. Μόνο σε αυτά είναι δυνατό να γίνει διάκριση μεταξύ της αντικειμενικής γλώσσας στην οποία οι άνθρωποι μιλούν για τον περιβάλλοντα κόσμο και της μεταγλώσσας στην οποία μιλούν για αυτήν τη γλώσσα. Αυτή η ιεραρχία γλωσσών βασίζεται στην κατάκτηση μιας ξένης γλώσσας με τη βοήθεια μιας μητρικής γλώσσας. Η μελέτη μιας τέτοιας ιεραρχίας οδήγησε σε πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητη. Αλλά δεν υπάρχει στη φυσική γλώσσα. Τον δυσφημεί; Και αν ναι, σε ποιο βαθμό; Εξάλλου, η έννοια της αλήθειας εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σε αυτό, και συνήθως χωρίς καμία επιπλοκή. Είναι η εισαγωγή μιας ιεραρχίας ο μόνος τρόπος για να εξαλειφθούν παράδοξα όπως το "The Liar;"

Στη δεκαετία του 1930, οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα έμοιαζαν αναμφίβολα καταφατικές. Ωστόσο, τώρα δεν υπάρχει προηγούμενη ομοφωνία, αν και η παράδοση της εξάλειψης των παραδόξων αυτού του τύπου με τη «στρωμάτωση» της γλώσσας παραμένει κυρίαρχη.
Τον τελευταίο καιρό, οι εγωκεντρικές εκφράσεις τραβούν όλο και περισσότερο την προσοχή. Περιέχουν λέξεις όπως «εγώ», «αυτό», «εδώ», «τώρα» και η αλήθεια τους εξαρτάται από το πότε, από ποιον, πού χρησιμοποιούνται.

Στη δήλωση "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής", εμφανίζεται η λέξη "αυτό". Σε ποιο αντικείμενο αναφέρεται; "Ψεύτης" μπορεί να υποδηλώνει ότι η λέξη "αυτό" δεν αναφέρεται στην έννοια της δεδομένης δήλωσης. Τότε όμως σε τι αναφέρεται, τι σημαίνει; Και γιατί αυτό το νόημα δεν μπορεί ακόμα να δηλωθεί με τη λέξη «αυτό»;
Χωρίς να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες εδώ, αξίζει μόνο να σημειωθεί ότι στο πλαίσιο της ανάλυσης των εγωκεντρικών εκφράσεων, το «Liar» είναι γεμάτο με ένα εντελώς διαφορετικό περιεχόμενο από πριν. Αποδεικνύεται ότι δεν προειδοποιεί πλέον για τη σύγχυση της γλώσσας και της μεταγλώσσας, αλλά επισημαίνει τους κινδύνους που συνδέονται με την κακή χρήση της λέξης «αυτό» και παρόμοιων εγωκεντρικών λέξεων.
Τα ζητήματα που έχουν συσχετιστεί στο πέρασμα των αιώνων με το «The Liar» έχουν αλλάξει ριζικά ανάλογα με το αν θεωρούνταν ως παράδειγμα αμφισημίας ή ως έκφραση που παρουσιάζεται εξωτερικά ως παράδειγμα μείγματος γλώσσας και μεταγλώσσας ή, τέλος, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα κακής χρήσης εγωκεντρικών εκφράσεων. Και δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι άλλα προβλήματα δεν θα συνδέονται με αυτό το παράδοξο στο μέλλον.

Ο γνωστός σύγχρονος Φινλανδός λογικός και φιλόσοφος H. von Wright έγραψε στο έργο του «The Liar» ότι αυτό το παράδοξο δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να κατανοηθεί ως ένα τοπικό, απομονωμένο εμπόδιο που μπορεί να αφαιρεθεί με μια εφευρετική κίνηση σκέψης. Ο Ψεύτης αγγίζει πολλά από τα πιο σημαντικά θέματα στη λογική και τη σημασιολογία. Αυτός είναι ο ορισμός της αλήθειας, η ερμηνεία της αντίφασης και των αποδείξεων, και μια ολόκληρη σειρά σημαντικών διαφορών: μεταξύ μιας πρότασης και της σκέψης που εκφράζεται από αυτήν, μεταξύ της χρήσης μιας έκφρασης και της αναφοράς της, μεταξύ της σημασίας ενός ονόματος και το αντικείμενο που υποδηλώνει.
Η κατάσταση είναι παρόμοια με άλλα λογικά παράδοξα. «Οι αντινομίες της λογικής», γράφει ο von Wrigg, «μας προβληματίζουν από την ανακάλυψή τους και πιθανότατα θα συνεχίσουν να μας προβληματίζουν για πάντα. Θα έπρεπε, νομίζω, να τα θεωρούμε όχι τόσο ως προβλήματα που περιμένουν να λυθούν, αλλά ως ανεξάντλητη πρώτη ύλη για σκέψη. Είναι σημαντικά γιατί η σκέψη γι' αυτά αγγίζει τα πιο θεμελιώδη ερωτήματα όλης της λογικής και επομένως όλης της σκέψης».

Ολοκληρώνοντας αυτή τη συζήτηση για τον «Ψεύτη» μπορούμε να θυμηθούμε ένα περίεργο επεισόδιο από την εποχή που η τυπική λογική διδάσκονταν ακόμα στο σχολείο. Σε ένα εγχειρίδιο λογικής που δημοσιεύτηκε στα τέλη της δεκαετίας του 1940, οι μαθητές της όγδοης τάξης κλήθηκαν ως εργασία για το σπίτι - ως προθέρμανση, ας πούμε - να βρουν το λάθος που έγινε σε αυτή την απλή δήλωση: «Λέω ψέματα». Και, ας μην φαίνεται παράξενο, πιστεύεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών αντιμετώπισε με επιτυχία ένα τέτοιο έργο.

§ 2. Το παράδοξο του Ράσελ

Το πιο διάσημο από τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν ήδη στον αιώνα μας είναι η αντινομία που ανακάλυψε ο B. Russell και κοινοποιήθηκε από αυτόν σε επιστολή του στον G. Ferge. Η ίδια αντινομία συζητήθηκε ταυτόχρονα στο Γκέτινγκεν από τους Γερμανούς μαθηματικούς Z. Zermelo και D. Hilbert.
Η ιδέα ήταν στον αέρα και η δημοσίευσή της δημιούργησε την εντύπωση μιας βόμβας που εκρήγνυται. Αυτό το παράδοξο προκάλεσε στα μαθηματικά, σύμφωνα με τον Hilbert, την επίδραση της πλήρους καταστροφής. Οι απλούστερες και πιο σημαντικές λογικές μέθοδοι, οι πιο κοινές και χρήσιμες έννοιες, απειλούνται.
Αμέσως έγινε φανερό ότι ούτε στη λογική ούτε στα μαθηματικά, σε όλη τη μακρά ιστορία της ύπαρξής τους, δεν είχε καθοριστεί κάτι που θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως βάση. εξάλειψη της αντινομίας. Σαφώς ήταν απαραίτητη μια απομάκρυνση από τους συνήθεις τρόπους σκέψης. Αλλά από πού και προς ποια κατεύθυνση; Πόσο ριζοσπαστική υποτίθεται ότι ήταν η απόρριψη καθιερωμένων τρόπων θεωρητικοποίησης;
Με περαιτέρω μελέτη της αντινομίας, η πεποίθηση για την ανάγκη για μια θεμελιωδώς νέα προσέγγιση αυξανόταν σταθερά. Μισό αιώνα μετά την ανακάλυψή του, οι ειδικοί στα θεμέλια της λογικής και των μαθηματικών, ο L. Frenkel και ο I. Bar-Hillel δήλωσαν ήδη χωρίς καμία επιφύλαξη: , μέχρι στιγμής πάντα απέτυχε, είναι προφανώς ανεπαρκείς για αυτόν τον σκοπό.
Ο σύγχρονος Αμερικανός λογικός H. Curry έγραψε λίγο αργότερα για αυτό το παράδοξο: «Όσον αφορά τη λογική που ήταν γνωστή τον 19ο αιώνα, η κατάσταση απλώς αψηφούσε την εξήγηση, αν και, φυσικά, στη μορφωμένη εποχή μας μπορεί να υπάρχουν άνθρωποι που θα δουν ( ή νομίζετε ότι θα δουν ), ποιο είναι το σφάλμα;

Το παράδοξο του Russell στην αρχική του μορφή συνδέεται με την έννοια ενός συνόλου ή μιας τάξης.
Μπορούμε να μιλήσουμε για σύνολα διαφορετικών αντικειμένων, για παράδειγμα, για το σύνολο όλων των ανθρώπων ή για το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ένα στοιχείο του πρώτου συνόλου θα είναι κάθε άτομο, ένα στοιχείο του δεύτερου - κάθε φυσικός αριθμός. Είναι επίσης δυνατό να θεωρήσουμε τα ίδια τα σύνολα ως κάποια αντικείμενα και να μιλάμε για σύνολα συνόλων. Μπορεί κανείς να εισαγάγει έννοιες όπως το σύνολο όλων των συνόλων ή το σύνολο όλων των εννοιών.

Σετ από συνηθισμένα σετ

Σε σχέση με οποιοδήποτε σύνολο που λαμβάνεται αυθαίρετα, φαίνεται εύλογο να αναρωτηθεί κανείς εάν είναι δικό του στοιχείο ή όχι. Τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως στοιχείο θα ονομάζονται συνηθισμένα. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι άτομο, όπως και το σύνολο των ατόμων δεν είναι άτομο. Τα σύνολα που είναι κατάλληλα στοιχεία θα είναι ασυνήθιστα. Για παράδειγμα, ένα σύνολο που ενώνει όλα τα σύνολα είναι ένα σύνολο και επομένως περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο.
Εξετάστε τώρα το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων. Δεδομένου ότι είναι ένα σύνολο, μπορεί επίσης να ρωτήσει κανείς για αυτό αν είναι συνηθισμένο ή ασυνήθιστο. Η απάντηση, ωστόσο, είναι αποθαρρυντική. Αν είναι συνηθισμένο, τότε εξ ορισμού πρέπει να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο, αφού περιέχει όλα τα συνηθισμένα σύνολα. Αυτό όμως σημαίνει ότι είναι ένα ασυνήθιστο σύνολο. Η υπόθεση ότι το σύνολο μας είναι ένα συνηθισμένο σύνολο οδηγεί έτσι σε μια αντίφαση. Άρα δεν μπορεί να είναι φυσιολογικό. Από την άλλη πλευρά, δεν μπορεί να είναι ούτε ασυνήθιστο: ένα ασυνήθιστο σύνολο περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο και τα στοιχεία του συνόλου μας είναι μόνο συνηθισμένα σύνολα. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων δεν μπορεί να είναι ούτε συνηθισμένο ούτε έκτακτο.

Έτσι, το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι κατάλληλα στοιχεία είναι κατάλληλο στοιχείο εάν και μόνο αν δεν είναι τέτοιο στοιχείο. Αυτή είναι μια σαφής αντίφαση. Και προέκυψε με βάση τις πιο εύλογες υποθέσεις και με τη βοήθεια φαινομενικά αδιαμφισβήτητων βημάτων.Η αντίφαση υποδηλώνει ότι ένα τέτοιο σύνολο απλώς δεν υπάρχει. Γιατί όμως δεν μπορεί να υπάρξει; Εξάλλου, αποτελείται από αντικείμενα που ικανοποιούν μια σαφώς καθορισμένη συνθήκη και η ίδια η συνθήκη δεν φαίνεται να είναι κατά κάποιο τρόπο εξαιρετική ή σκοτεινή. Εάν ένα σύνολο τόσο απλά και ξεκάθαρα δεν μπορεί να υπάρξει, τότε ποια είναι, στην πραγματικότητα, η διαφορά μεταξύ των δυνατών και των αδύνατων συνόλων; Το συμπέρασμα για την ανυπαρξία του υπό εξέταση συνόλου ακούγεται απροσδόκητο και εμπνέει άγχος. Κάνει τη γενική μας αντίληψη για ένα σύνολο άμορφη και χαοτική, και δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι δεν μπορεί να προκαλέσει κάποια νέα παράδοξα.

Το παράδοξο του Ράσελ είναι αξιοσημείωτο για την ακραία γενικότητά του. Για την κατασκευή του δεν χρειάζονται περίπλοκες τεχνικές έννοιες, καθώς στην περίπτωση κάποιων άλλων παραδόξων αρκούν οι έννοιες «σύνολο» και «στοιχείο του συνόλου». Αλλά αυτή η απλότητα απλώς μιλά για τη θεμελιώδη φύση της: αγγίζει τα βαθύτερα θεμέλια του συλλογισμού μας για τα σύνολα, αφού δεν μιλάει για κάποιες ειδικές περιπτώσεις, αλλά για σύνολα γενικά.

Άλλες παραλλαγές του παραδόξου

Το παράδοξο του Ράσελ δεν είναι ειδικά μαθηματικό. Χρησιμοποιεί την έννοια του συνόλου, αλλά δεν αγγίζει ειδικές ιδιότητες που σχετίζονται ειδικά με τα μαθηματικά.
Αυτό γίνεται φανερό όταν το παράδοξο αναδιατυπώνεται με καθαρά λογικούς όρους.

Από κάθε ιδιότητα μπορεί κανείς, κατά πάσα πιθανότητα, να ρωτήσει αν ισχύει για τον εαυτό του ή όχι.
Η ιδιότητα του να είναι ζεστό, για παράδειγμα, δεν ισχύει για τον εαυτό του, αφού δεν είναι ο ίδιος ζεστός. η ιδιότητα του να είναι συγκεκριμένος επίσης δεν αναφέρεται στον εαυτό της, γιατί είναι μια αφηρημένη ιδιότητα. Αλλά η ιδιότητα του να είναι κανείς αφηρημένος, να είναι αφηρημένος, ισχύει για τον εαυτό του. Ας ονομάσουμε αυτές τις ιδιότητες ανεφάρμοστες για τον εαυτό τους ανεφάρμοστες. Ισχύει η ιδιότητα του να είναι κανείς ανεφάρμοστος για τον εαυτό του; Αποδεικνύεται ότι η ανεφάρμοστη είναι ανεφάρμοστη μόνο αν δεν είναι. Αυτό είναι, φυσικά, παράδοξο.
Η λογική, σχετιζόμενη με την ιδιότητα ποικιλία της αντινομίας του Russell είναι εξίσου παράδοξη με τη μαθηματική ποικιλία που σχετίζεται με το σύνολο.
Ο Ράσελ πρότεινε επίσης την ακόλουθη δημοφιλή εκδοχή του παραδόξου που ανακάλυψε.

Φανταστείτε ότι το συμβούλιο ενός χωριού όριζε τα καθήκοντα του κουρέα ως εξής: να ξυρίζει όλους τους άνδρες του χωριού που δεν ξυρίζονται μόνοι τους, και μόνο αυτούς τους άνδρες. Πρέπει να ξυριστεί μόνος του; Αν ναι, θα αναφέρεται σε αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους, και σε αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους, δεν πρέπει να ξυρίζεται. Αν όχι, θα ανήκει σε αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους, και ως εκ τούτου θα πρέπει να ξυριστεί μόνος του. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι αυτός ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του αν και μόνο αν δεν ξυριστεί μόνος του. Αυτό, φυσικά, είναι αδύνατο. Το επιχείρημα για τον κουρέα βασίζεται στην υπόθεση ότι υπάρχει τέτοιος κουρέας. Η αντίφαση που προκύπτει σημαίνει ότι αυτή η υπόθεση είναι ψευδής, και δεν υπάρχει τέτοιος χωρικός που θα ξυρίζει όλους αυτούς και μόνο εκείνοι οι χωρικοί που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.
Τα καθήκοντα ενός κομμωτή δεν φαίνονται αντιφατικά με την πρώτη ματιά, οπότε το συμπέρασμα ότι δεν μπορεί να υπάρχει ακούγεται κάπως απροσδόκητο. Αλλά αυτό το συμπέρασμα δεν είναι παράδοξο. Η προϋπόθεση που πρέπει να πληροί ο κουρέας του χωριού είναι στην πραγματικότητα αυτοαντιφατική και άρα αδύνατη. Δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιο κομμωτήριο σε ένα χωριό για τον ίδιο λόγο που δεν υπάρχει άνθρωπος σε αυτό που θα ήταν μεγαλύτερος από τον εαυτό του ή που θα είχε γεννηθεί πριν από τη γέννησή του.
Το επιχείρημα για το κομμωτήριο μπορεί να ονομαστεί ψευδοπαράδοξο. Στην πορεία του είναι αυστηρά ανάλογο με το παράδοξο του Ράσελ και αυτό είναι που το κάνει ενδιαφέρον. Αλλά και πάλι δεν είναι αληθινό παράδοξο.

Ένα άλλο παράδειγμα του ίδιου ψευδοπαράδοξου είναι το γνωστό επιχείρημα του καταλόγου.
Μια συγκεκριμένη βιβλιοθήκη αποφάσισε να συντάξει έναν βιβλιογραφικό κατάλογο που θα περιλαμβάνει όλους εκείνους και μόνο εκείνους τους βιβλιογραφικούς καταλόγους που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους. Θα έπρεπε ένας τέτοιος κατάλογος να περιλαμβάνει έναν σύνδεσμο προς τον εαυτό του;
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ιδέα της δημιουργίας ενός τέτοιου καταλόγου δεν είναι εφικτή. απλά δεν μπορεί να υπάρξει, γιατί πρέπει ταυτόχρονα να περιλαμβάνει αναφορά στον εαυτό του και όχι να περιλαμβάνει.
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι η καταλογογράφηση όλων των καταλόγων που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους μπορεί να θεωρηθεί ως μια ατελείωτη, ατέρμονη διαδικασία. Ας πούμε ότι κάποια στιγμή δημιουργήθηκε ένας κατάλογος, ας πούμε K1, συμπεριλαμβανομένων όλων των άλλων καταλόγων που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους. Με τη δημιουργία του Κ1, εμφανίστηκε ένας άλλος κατάλογος που δεν περιέχει σύνδεσμο προς τον εαυτό του. Δεδομένου ότι ο στόχος είναι να γίνει ένας πλήρης κατάλογος όλων των καταλόγων που δεν αναφέρονται στον εαυτό τους, είναι προφανές ότι το K1 δεν είναι η λύση. Δεν αναφέρει έναν από αυτούς τους καταλόγους - τον εαυτό του. Συμπεριλαμβανομένης αυτής της αναφοράς του εαυτού του στο K1, παίρνουμε τον κατάλογο K2. Αναφέρει το Κ1, αλλά όχι το ίδιο το Κ2. Προσθέτοντας μια τέτοια αναφορά στο K2, παίρνουμε KZ, το οποίο και πάλι δεν είναι πλήρες λόγω του ότι δεν αναφέρει τον εαυτό του. Και συνεχίζεται χωρίς τέλος.

§ 3. Παράδοξα του Γκρέλινγκ και του Μπέρι

Ένα ενδιαφέρον λογικό παράδοξο ανακάλυψαν οι Γερμανοί λογικοί K. Grelling και L. Nelson (το παράδοξο του Grelling). Αυτό το παράδοξο μπορεί να διατυπωθεί πολύ απλά.

Αυτολογικές και ετερολογικές λέξεις

Ορισμένες λέξεις που δηλώνουν ιδιότητες έχουν την ίδια ιδιότητα που ονομάζουν. Για παράδειγμα, το επίθετο "Ρώσος" είναι το ίδιο ρωσικό, το "πολυσύλλαβο" είναι το ίδιο πολυσύλλαβο και το ίδιο το "πεντασύλλαβο" έχει πέντε συλλαβές. Τέτοιες λέξεις που αναφέρονται στον εαυτό τους ονομάζονται αυτονόητες ή αυτόλογες.
Δεν υπάρχουν τόσες πολλές τέτοιες λέξεις, η συντριπτική πλειοψηφία των επιθέτων δεν έχουν τις ιδιότητες που ονομάζουν. Το "New" δεν είναι, φυσικά, νέο, το "hot" είναι hot, το "one-syllable" είναι μονοσύλλαβο και το "English" είναι αγγλικά. Οι λέξεις που δεν έχουν την ιδιότητα που συμβολίζεται με αυτές ονομάζονται ετερόλογες ή ετερόλογες. Προφανώς, όλα τα επίθετα που δηλώνουν ιδιότητες που δεν ισχύουν για λέξεις θα είναι ετερολογικά.
Αυτή η διαίρεση των επιθέτων σε δύο ομάδες φαίνεται ξεκάθαρη και απαράδεκτη. Μπορεί να επεκταθεί στα ουσιαστικά: «λέξη» είναι λέξη, «ουσιαστικό» είναι ουσιαστικό, αλλά το «ρολόι» δεν είναι ρολόι και το «ρήμα» δεν είναι ρήμα.
Ένα παράδοξο προκύπτει μόλις τίθεται το ερώτημα: σε ποια από τις δύο ομάδες ανήκει το ίδιο το επίθετο «ετερολογικό»; Εάν είναι αυτόλογη, έχει την ιδιότητα που ορίζει και πρέπει να είναι ετερόλογη. Εάν είναι ετερόλογη, δεν έχει την ιδιότητα που ονομάζει, και επομένως πρέπει να είναι αυτόλογη. Υπάρχει ένα παράδοξο.

Κατ' αναλογία με αυτό το παράδοξο, είναι εύκολο να διατυπωθούν άλλα παράδοξα της ίδιας δομής. Για παράδειγμα, είναι ή όχι ένας αυτοκτονικός που σκοτώνει κάθε μη αυτοκτονικό και δεν σκοτώνει κανέναν αυτοκτονικό;

Αποδείχθηκε ότι το παράδοξο του Γκρέλιγκ ήταν γνωστό στον Μεσαίωνα ως η αντινομία μιας έκφρασης που δεν ονομάζει τον εαυτό της. Μπορεί κανείς να φανταστεί τη στάση απέναντι στους σοφισμούς και τα παράδοξα στη σύγχρονη εποχή, αν το πρόβλημα που απαιτούσε απάντηση και προκάλεσε ζωηρή συζήτηση ξεχνιόταν ξαφνικά και ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις πεντακόσια χρόνια αργότερα!

Μια άλλη, εξωτερικά απλή αντινομία υποδείχθηκε στις αρχές του αιώνα μας από τον D. Berry.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο. Το σύνολο των ονομάτων αυτών των αριθμών που είναι διαθέσιμα, για παράδειγμα, στη ρωσική γλώσσα και περιέχουν λιγότερες από, ας πούμε, εκατό λέξεις, είναι πεπερασμένο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους δεν υπάρχουν ονόματα στα ρωσικά που να αποτελούνται από λιγότερες από εκατό λέξεις. Μεταξύ αυτών των αριθμών υπάρχει προφανώς ο μικρότερος αριθμός. Δεν μπορεί να ονομαστεί με μια ρωσική έκφραση που περιέχει λιγότερες από εκατό λέξεις. Αλλά η έκφραση: "Ο μικρότερος φυσικός αριθμός, για τον οποίο το σύνθετο όνομά του δεν υπάρχει στα ρωσικά, που αποτελείται από λιγότερες από εκατό λέξεις" είναι μόνο το όνομα αυτού του αριθμού! Αυτό το όνομα έχει μόλις διατυπωθεί στα ρωσικά και περιέχει μόνο δεκαεννέα λέξεις. Ένα προφανές παράδοξο: ο επώνυμος αριθμός αποδείχθηκε ότι ήταν αυτός για τον οποίο δεν υπάρχει όνομα!

§ 4. Άλυτη διαφορά

Ο περίφημος σοφιστής Πρωταγόρας, που έζησε τον 5ο αι. π.Χ., ήταν ένας μαθητής ονόματι Εύαθλος, που σπούδασε νομικά. Σύμφωνα με τη μεταξύ τους συμφωνία, ο Euathlus έπρεπε να πληρώσει για την εκπαίδευση μόνο εάν κέρδιζε την πρώτη του δίκη. Αν χάσει αυτή τη διαδικασία, δεν υποχρεούται καθόλου να πληρώσει. Ωστόσο, μετά την ολοκλήρωση των σπουδών του, ο Evatl δεν συμμετείχε στις διαδικασίες. Κράτησε αρκετή ώρα, η υπομονή του δασκάλου εξαντλήθηκε και κατέθεσε μήνυση κατά του μαθητή του. Έτσι, για τον Euathlus, αυτή ήταν η πρώτη δοκιμή. Ο Πρωταγόρας τεκμηρίωσε το αίτημά του ως εξής:

«Όποια κι αν είναι η απόφαση του δικαστηρίου, η Euathlus θα πρέπει να με πληρώσει. Ή θα κερδίσει την πρώτη του δοκιμή ή θα χάσει. Αν κερδίσει, θα πληρώσει βάσει του συμβολαίου μας. Αν χάσει θα πληρώσει σύμφωνα με αυτή την απόφαση.

Προφανώς ο Εύαθλος ήταν ικανός μαθητής, όπως απάντησε στον Πρωταγόρα:

- Πράγματι, ή κερδίζω τη διαδικασία ή τη χάνω. Αν κερδίσω, η δικαστική απόφαση θα με απαλλάξει από την υποχρέωση πληρωμής. Εάν η δικαστική απόφαση δεν είναι υπέρ μου, τότε έχασα την πρώτη μου υπόθεση και δεν θα πληρώσω δυνάμει του συμβολαίου μας.

Λύσεις στο παράδοξο «Πρωταγόρας και Εύαθλος»

Συγκλονισμένος από αυτή την εξέλιξη του θέματος, ο Πρωταγόρας αφιέρωσε ένα ειδικό δοκίμιο σε αυτή τη διαμάχη με τον Euathlus, «Μια δικαστική διαδικασία για πληρωμή». Δυστυχώς, όπως και τα περισσότερα από όσα έγραψε ο Πρωταγόρας, δεν έφτασε σε εμάς. Ωστόσο, πρέπει να αποτίσουμε φόρο τιμής στον Πρωταγόρα, ο οποίος διαισθάνθηκε αμέσως ένα πρόβλημα πίσω από ένα απλό δικαστικό περιστατικό που αξίζει ιδιαίτερης μελέτης.

Ο G. Leibniz, ο ίδιος δικηγόρος από την εκπαίδευση, πήρε επίσης σοβαρά αυτή τη διαμάχη. Στη διδακτορική του διατριβή «Μελέτη περίπλοκων υποθέσεων στο δίκαιο», προσπάθησε να αποδείξει ότι όλες οι υποθέσεις, ακόμη και οι πιο περίπλοκες, όπως η δίκη Πρωταγόρα και Ευάθλου, πρέπει να βρουν μια σωστή λύση στη βάση της κοινής λογικής. Σύμφωνα με τον Leibniz, το δικαστήριο θα έπρεπε να αρνηθεί τον Πρωταγόρα για την άκαιρη κατάθεση αγωγής, αλλά να του αφήσει το δικαίωμα να απαιτήσει πληρωμή χρημάτων από τον Evatl αργότερα, δηλαδή μετά την πρώτη διαδικασία που κέρδισε.

Πολλές άλλες λύσεις σε αυτό το παράδοξο έχουν προταθεί.

Αναφέρθηκαν, ειδικότερα, στο γεγονός ότι μια δικαστική απόφαση πρέπει να έχει μεγαλύτερη ισχύ από μια ιδιωτική συμφωνία μεταξύ δύο προσώπων. Μπορεί να απαντηθεί ότι χωρίς αυτή τη συμφωνία, όσο ασήμαντη κι αν φαίνεται, δεν θα υπήρχε ούτε δικαστήριο ούτε απόφασή του. Άλλωστε το δικαστήριο πρέπει να πάρει την απόφασή του ακριβώς με την περίσταση και στη βάση του.

Επίσης, έκαναν έκκληση στη γενική αρχή ότι κάθε έργο, άρα και το έργο του Πρωταγόρα, πρέπει να αμείβεται. Αλλά είναι γνωστό ότι αυτή η αρχή είχε πάντα εξαιρέσεις, ειδικά σε μια δουλοκτητική κοινωνία. Επιπλέον, απλώς δεν ισχύει για τη συγκεκριμένη κατάσταση της διαφοράς: τελικά, ο Πρωταγόρας, εγγυώντας υψηλό επίπεδο εκπαίδευσης, αρνήθηκε ο ίδιος να δεχθεί πληρωμή σε περίπτωση αποτυχίας του μαθητή του στην πρώτη διαδικασία.

Μερικές φορές μιλάνε έτσι. Και ο Πρωταγόρας και ο Εύαθλος έχουν και οι δύο δίκιο εν μέρει, και κανένας από τους δύο γενικά. Κάθε ένα από αυτά λαμβάνει υπόψη μόνο τις μισές από τις δυνατότητες που είναι ωφέλιμες για τον εαυτό του. Η πλήρης ή ολοκληρωμένη εξέταση ανοίγει τέσσερις δυνατότητες, από τις οποίες μόνο οι μισές είναι επωφελείς για έναν από τους διαφωνούντες. Ποιες από αυτές τις δυνατότητες πραγματοποιούνται, θα το αποφασίσει όχι η λογική, αλλά η ζωή. Εάν η ετυμηγορία των κριτών έχει μεγαλύτερη ισχύ από τη σύμβαση, ο Euathl θα πρέπει να πληρώσει μόνο εάν χάσει τη διαδικασία, δηλ. με δικαστική απόφαση. Εάν, ωστόσο, τοποθετηθεί ένα ιδιωτικό συμφωνητικό υψηλότερα από την απόφαση των κριτών, τότε ο Πρωταγόρας θα λάβει πληρωμή μόνο σε περίπτωση που χάσει τη διαδικασία από την Evatlus, δηλ. δυνάμει συμφωνίας με τον Πρωταγόρα.Αυτή η έφεση στη ζωή μπερδεύει τελείως τα πάντα. Από ποια, αν όχι λογική, μπορούν να καθοδηγούνται οι δικαστές σε συνθήκες όπου όλες οι σχετικές περιστάσεις είναι απολύτως σαφείς; Και τι ηγεσία θα είναι αν ο Πρωταγόρας, που διεκδικεί την πληρωμή μέσω δικαστηρίου, το πετύχει μόνο χάνοντας τη διαδικασία;

Ωστόσο, η λύση του Leibniz, που στην αρχή φαίνεται πειστική, είναι λίγο καλύτερη από την αόριστη αντίθεση λογικής και ζωής. Ουσιαστικά, ο Leibniz προτείνει αναδρομικά να αλλάξει η διατύπωση της σύμβασης και να οριστεί ότι η πρώτη αγωγή που αφορά την Euathlus, η έκβαση της οποίας θα κρίνει το ζήτημα της πληρωμής, δεν θα πρέπει να είναι δίκη με τη μήνυση του Πρωταγόρα. Αυτή η σκέψη είναι βαθιά, αλλά δεν σχετίζεται με ένα συγκεκριμένο δικαστήριο. Αν υπήρχε μια τέτοια ρήτρα στην αρχική συμφωνία, δεν θα χρειαζόταν καθόλου δικαστική προσφυγή.

Αν με τη λύση αυτής της δυσκολίας κατανοήσουμε την απάντηση στο ερώτημα αν ο Εύαθλος έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα ή όχι, τότε όλα αυτά, όπως και όλες οι άλλες νοητές λύσεις, είναι φυσικά αβάσιμες. Δεν είναι παρά μια απομάκρυνση από την ουσία της διαμάχης, είναι, θα λέγαμε, σοφιστικά τεχνάσματα και πονηριά σε μια απελπιστική και άλυτη κατάσταση. Διότι ούτε η κοινή λογική ούτε οι γενικές αρχές που αφορούν τις κοινωνικές σχέσεις μπορούν να επιλύσουν τη διαφορά.
Είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί από κοινού η σύμβαση στην αρχική της μορφή και η απόφαση του δικαστηρίου, όποια και αν είναι η τελευταία. Για να αποδειχθεί αυτό, αρκούν απλά λογικά μέσα. Με τα ίδια μέσα, μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι η συνθήκη, παρά την εντελώς αθώα εμφάνισή της, είναι αυτοαντιφατική. Απαιτεί την υλοποίηση μιας λογικά αδύνατης πρότασης: η Euathlus πρέπει και να πληρώσει για την εκπαίδευση και ταυτόχρονα να μην πληρώσει.

Κανόνες που οδηγούν σε αδιέξοδο

Ο ανθρώπινος νους, συνηθισμένος όχι μόνο στη δύναμή του, αλλά και στην ευελιξία, ακόμη και στην επινοητικότητα του, δυσκολεύεται, φυσικά, να συμφιλιωθεί με αυτήν την απόλυτη απελπισία και να παραδεχτεί ότι έχει οδηγηθεί σε αδιέξοδο. Αυτό είναι ιδιαίτερα δύσκολο όταν το αδιέξοδο δημιουργείται από το ίδιο το μυαλό: αυτό, θα λέγαμε, σκοντάφτει από το μπλε και πέφτει στα δικά του δίχτυα. Ωστόσο, πρέπει να παραδεχτεί κανείς ότι μερικές φορές, και παρεμπιπτόντως, όχι και τόσο σπάνια, συμφωνίες και συστήματα κανόνων, που σχηματίζονται αυθόρμητα ή εισάγονται συνειδητά, οδηγούν σε άλυτες, απελπιστικές καταστάσεις.

Ένα παράδειγμα από την πρόσφατη σκακιστική ζωή θα επιβεβαιώσει για άλλη μια φορά αυτή την ιδέα.

Οι διεθνείς κανόνες για τους αγώνες σκακιού υποχρεώνουν τους σκακιστές να καταγράφουν το παιχνίδι κίνηση προς κίνηση καθαρά και ευανάγνωστα. Μέχρι πρόσφατα, οι κανόνες έλεγαν επίσης ότι ένας σκακιστής που έχασε την καταγραφή πολλών κινήσεων λόγω έλλειψης χρόνου πρέπει, «μόλις τελειώσει το πρόβλημα του χρόνου του, να συμπληρώσει αμέσως τη φόρμα του, σημειώνοντας τις χαμένες κινήσεις». Με βάση αυτή την οδηγία, ένας κριτής στη Σκακιστική Ολυμπιάδα του 1980 (Μάλτα) διέκοψε τον αγώνα, ο οποίος συνεχιζόταν σε δύσκολα προβλήματα, και σταμάτησε το ρολόι, δηλώνοντας ότι οι κινήσεις ελέγχου είχαν γίνει και, ως εκ τούτου, ήταν ώρα να τεθεί τα ρεκόρ των αγώνων με τη σειρά.

«Αλλά με συγχωρείτε», φώναξε ο συμμετέχων, που ήταν στα πρόθυρα της ήττας και υπολόγιζε μόνο στην ένταση των παθών στο τέλος του παιχνιδιού, «εξάλλου, ούτε μια σημαία δεν έχει πέσει ακόμα και κανείς δεν μπορεί ποτέ (όπως γράφεται και στους κανόνες) μπορεί να πει πόσες κινήσεις έχουν γίνει.
Ωστόσο, ο διαιτητής υποστηρίχθηκε από τον αρχιδιαιτητή, ο οποίος είπε ότι, όντως, αφού έληξε το πρόβλημα του χρόνου, ήταν απαραίτητο, ακολουθώντας το γράμμα των κανονισμών, να αρχίσει η καταγραφή των χαμένων κινήσεων.
Ήταν άσκοπο να διαφωνήσουμε σε αυτήν την κατάσταση: οι ίδιοι οι κανόνες οδήγησαν σε αδιέξοδο. Έμεινε μόνο να αλλάξει η διατύπωσή τους με τέτοιο τρόπο ώστε να μην προκύψουν παρόμοιες περιπτώσεις στο μέλλον.
Αυτό έγινε στο συνέδριο της Διεθνούς Σκακιστικής Ομοσπονδίας, που γινόταν την ίδια ώρα: αντί για τις λέξεις «μόλις τελειώσει ο καιρός», οι κανόνες λένε τώρα: «μόλις η σημαία δείχνει το τέλος χρονικός".
Αυτό το παράδειγμα δείχνει ξεκάθαρα πώς να αντιμετωπίσετε αδιέξοδες καταστάσεις. Είναι άχρηστο να διαφωνούμε για το ποια πλευρά έχει δίκιο: η διαμάχη είναι άλυτη και δεν θα υπάρξει νικητής σε αυτήν. Μένει μόνο να συμβιβαστείτε με το παρόν και να φροντίσετε το μέλλον. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αναδιατυπώσετε τις αρχικές συμφωνίες ή κανόνες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην οδηγούν κανέναν άλλο στην ίδια απελπιστική κατάσταση.
Φυσικά, μια τέτοια πορεία δράσης δεν είναι λύση σε μια άλυτη διαμάχη ή διέξοδος από μια απελπιστική κατάσταση. Είναι μάλλον μια στάση μπροστά σε ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο και ένας δρόμος γύρω από αυτό.

Παράδοξο "κροκόδειλος και μητέρα"

Στην αρχαία Ελλάδα, η ιστορία ενός κροκόδειλου και μιας μητέρας ήταν πολύ δημοφιλής, συμπίπτοντας στο λογικό της περιεχόμενο με το παράδοξο του Πρωταγόρα και του Ευάθλου.
Ο κροκόδειλος άρπαξε το παιδί της από μια Αιγύπτια που στεκόταν στην όχθη του ποταμού. Στην έκκλησή της να επιστρέψει το παιδί, ο κροκόδειλος, χύνοντας, όπως πάντα, ένα κροκόδειλο δάκρυ, απάντησε:

«Η ατυχία σου με άγγιξε και θα σου δώσω την ευκαιρία να πάρεις πίσω το παιδί σου. Μαντέψτε αν θα σας το δώσω ή όχι. Αν απαντήσεις σωστά, θα επιστρέψω το παιδί. Αν δεν μαντέψεις, δεν θα το δώσω πίσω.

Σκεπτόμενη, η μητέρα απάντησε:

Δεν θα μου δώσεις το μωρό.

«Δεν θα το πάρεις», κατέληξε ο κροκόδειλος. Ή είπες την αλήθεια ή δεν είπες την αλήθεια. Αν είναι αλήθεια ότι δεν θα παρατήσω το παιδί, τότε δεν θα το παρατήσω, γιατί αλλιώς δεν θα είναι αλήθεια. Αν αυτό που ειπώθηκε δεν είναι αλήθεια, τότε δεν μαντέψατε, και δεν θα δώσω το παιδί κατόπιν συμφωνίας.

Ωστόσο, αυτό το σκεπτικό δεν φάνηκε πειστικό στη μητέρα.

«Αλλά αν είπα την αλήθεια, τότε θα μου δώσεις το παιδί, όπως συμφωνήσαμε». Αν δεν μάντεψα ότι δεν θα δώσεις στο παιδί, τότε πρέπει να μου το δώσεις, αλλιώς αυτό που είπα δεν θα είναι αναληθές.

Ποιος έχει δίκιο: μητέρα ή κροκόδειλος; Σε τι υποχρεώνει η υπόσχεση που δόθηκε στον κροκόδειλο; Για να δώσεις το παιδί ή, αντίθετα, να μην το χαρίσεις; Και στα δύο ταυτόχρονα. Αυτή η υπόσχεση είναι αυτοαντιφατική, και επομένως δεν μπορεί να εκπληρωθεί δυνάμει των νόμων της λογικής.
Ο ιεραπόστολος βρέθηκε με τους κανίβαλους και έφτασε στην ώρα του για δείπνο. Τον άφησαν να διαλέξει πώς θα φάει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πει κάποια δήλωση με την προϋπόθεση ότι αν αυτή η δήλωση αποδειχθεί αληθινή, θα τη μαγειρέψουν και αν αποδειχθεί ψευδής, θα την ψήσουν.

Τι να πει ο ιεραπόστολος;

Να πει βέβαια: «Θα με τηγανίσεις».

Αν είναι όντως τηγανητό, θα αποδειχθεί ότι είπε την αλήθεια, και επομένως πρέπει να βράσει. Αν είναι βρασμένο, η δήλωσή του θα είναι ψευδής, και πρέπει απλώς να τηγανιστεί. Οι κανίβαλοι δεν θα έχουν διέξοδο: από το «τηγανητό» ακολουθεί το «μάγειρας» και το αντίστροφο.

Αυτό το επεισόδιο του πονηρού ιεραπόστολου είναι φυσικά άλλη μια παράφραση της διαμάχης Πρωταγόρα και Ευαθλού.

Παράδοξο του Σάντσο Πάντσα

Ένα παλιό παράδοξο γνωστό στην αρχαία Ελλάδα παίζεται στον «Δον Κιχώτη» του Μ. Θερβάντες. Ο Sancho Panza έγινε κυβερνήτης του νησιού Barataria και διοικεί το δικαστήριο.
Ο πρώτος που ήρθε κοντά του είναι κάποιος επισκέπτης και του λέει: «Πρεσβύτερος, ένα συγκεκριμένο κτήμα χωρίζεται στα δύο από ένα βαθύ ποτάμι... Έτσι, μια γέφυρα έχει ρίξει πάνω από αυτό το ποτάμι, και ακριβώς εκεί στην άκρη υπάρχει ένα αγχόνη και υπάρχει κάτι σαν δικαστήριο, στο οποίο συνήθως κάθονται τέσσερις δικαστές, και κρίνουν βάσει νόμου που έχει εκδώσει ο ιδιοκτήτης του ποταμού, της γέφυρας και ολόκληρου του κτήματος, ο οποίος νόμος συντάσσεται με αυτόν τον τρόπο: ας όσοι έχουν περάσει, και όποιος ψεύδεται, χωρίς καμία επιείκεια, στείλτε τους στην αγχόνη που βρίσκεται ακριβώς εκεί και εκτελέστε τους. Από την ώρα που ψηφίστηκε αυτός ο νόμος σε όλη του τη σφοδρότητα, πολλοί κατάφεραν να περάσουν τη γέφυρα και μόλις οι δικαστές ικανοποιήθηκαν ότι οι περαστικοί έλεγαν την αλήθεια, τους άφησαν να περάσουν. Αλλά τότε μια μέρα ένας ορκισμένος άνδρας ορκίστηκε και είπε: ορκίζεται ότι ήρθε για να τον κρεμάσουν σε αυτήν ακριβώς την αγχόνη, και για τίποτα άλλο. Αυτός ο όρκος προκάλεσε σύγχυση στους δικαστές και είπαν: «Αν επιτραπεί σε αυτόν τον άνθρωπο να προχωρήσει χωρίς εμπόδια, τότε αυτό θα σημαίνει ότι παραβίασε τον όρκο και, σύμφωνα με το νόμο, υπόκειται σε θάνατο. αν τον κρεμάσουμε, τότε ορκίστηκε ότι ήρθε μόνο για να κρεμαστεί σε αυτή την αγχόνη, επομένως, ο όρκος του, αποδεικνύεται, δεν είναι ψευδής, και βάσει του ίδιου νόμου είναι απαραίτητο να τον αφήσουμε να περάσει. Και σας ρωτάω λοιπόν, κύριε κυβερνήτη, τι πρέπει να κάνουν οι δικαστές με αυτόν τον άνθρωπο, γιατί είναι ακόμα μπερδεμένοι και διστάζουν...
Ο Σάντσο πρότεινε, ίσως όχι χωρίς πονηριά, να αφεθεί ο μισός που είπε την αλήθεια και αυτός που είπε ψέματα να κρεμαστεί, και με αυτόν τον τρόπο να τηρηθούν οι κανόνες για τη διέλευση της γέφυρας σε κάθε μορφή. Αυτό το απόσπασμα είναι ενδιαφέρον από πολλές απόψεις.
Πρώτα απ 'όλα, είναι μια ξεκάθαρη απεικόνιση του γεγονότος ότι η απελπιστική κατάσταση που περιγράφεται στο παράδοξο μπορεί κάλλιστα να αντιμετωπιστεί -και όχι σε καθαρή θεωρία, αλλά στην πράξη- αν όχι ένα πραγματικό πρόσωπο, τουλάχιστον ένας λογοτεχνικός ήρωας.

Η διέξοδος που πρότεινε ο Σάντσο Πάντσα δεν ήταν φυσικά λύση στο παράδοξο. Αλλά αυτή ήταν μόνο η λύση που έμενε μόνο να καταφύγει στη θέση του.
Κάποτε, ο Μέγας Αλέξανδρος, αντί να λύσει τον πονηρό Γόρδιο δεσμό, που κανείς δεν έχει καταφέρει ακόμα, απλώς τον έκοψε. Το ίδιο έκανε και ο Σάντσο. Η προσπάθεια να λυθεί το παζλ με τους δικούς του όρους ήταν άχρηστη - ήταν απλώς άλυτο. Έμενε να απορρίψετε αυτές τις προϋποθέσεις και να εισαγάγετε τις δικές σας.
Και μια στιγμή. Με αυτό το επεισόδιο, ο Θερβάντες καταδικάζει ξεκάθαρα την υπερβολικά τυπική κλίμακα της μεσαιωνικής δικαιοσύνης, διαποτισμένη από το πνεύμα της σχολαστικής λογικής. Πόσο διαδεδομένες όμως στην εποχή του -και αυτό ήταν περίπου τετρακόσια χρόνια πριν- ήταν πληροφορίες από τον χώρο της λογικής! Αυτό το παράδοξο δεν το γνωρίζει μόνο ο ίδιος ο Θερβάντες. Ο συγγραφέας βρίσκει δυνατό να αποδώσει στον ήρωά του, έναν αγράμματο αγρότη, την ικανότητα να καταλάβει ότι αντιμετωπίζει ένα άλυτο έργο!

§ 5. Άλλα παράδοξα

Τα παραπάνω παράδοξα είναι επιχειρήματα, το αποτέλεσμα των οποίων είναι μια αντίφαση. Υπάρχουν όμως και άλλα είδη παραδόξων στη λογική. Επισημαίνουν επίσης κάποιες δυσκολίες και προβλήματα, αλλά το κάνουν με λιγότερο σκληρό και ασυμβίβαστο τρόπο. Τέτοια, συγκεκριμένα, είναι τα παράδοξα που συζητούνται παρακάτω.

Παράδοξα ανακριβών εννοιών

Οι περισσότερες από τις έννοιες όχι μόνο της φυσικής γλώσσας, αλλά και της γλώσσας της επιστήμης είναι ανακριβείς ή, όπως ονομάζονται επίσης, θολές. Συχνά αυτό αποδεικνύεται ότι είναι η αιτία παρεξηγήσεων, διαφωνιών ή ακόμα και απλώς οδηγεί σε αδιέξοδα.
Εάν η ιδέα είναι ανακριβής, το όριο της περιοχής των αντικειμένων στα οποία εφαρμόζεται είναι χωρίς ευκρίνεια, θολό. Πάρτε, για παράδειγμα, την έννοια του "σωρού". Ένας κόκκος (ένας κόκκος άμμου, μια πέτρα κ.λπ.) δεν είναι ακόμα σωρό. Χίλιοι κόκκοι είναι ήδη, προφανώς, ένα μάτσο. Και τρεις κόκκους; Και δέκα; Ποιος αριθμός κόκκων προστίθεται για να σχηματιστεί ένας σωρός; Όχι πολύ σαφές. Με τον ίδιο τρόπο, δεν είναι ξεκάθαρο με την αφαίρεση ποιου κόκκου εξαφανίζεται ο σωρός.
Τα εμπειρικά χαρακτηριστικά «μεγάλο», «βαρύ», «στενό» κ.λπ. είναι ανακριβή. Τέτοιες συνηθισμένες έννοιες όπως «σοφός», «άλογο», «σπίτι» κ.λπ. είναι ανακριβείς.
Δεν υπάρχει κόκκος άμμου που, όταν αφαιρεθεί, μπορούμε να πούμε ότι με την αφαίρεσή του, ό,τι μένει δεν μπορεί πλέον να ονομάζεται σπίτι. Άλλωστε αυτό φαίνεται να σημαίνει ότι σε κανένα σημείο της σταδιακής αποξήλωσης του σπιτιού -μέχρι την πλήρη εξαφάνισή του- δεν υπάρχει λόγος να δηλωθεί ότι δεν υπάρχει σπίτι! Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράδοξο και αποθαρρυντικό.
Είναι εύκολο να δούμε ότι το επιχείρημα για την αδυναμία σχηματισμού σωρού πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη γνωστή μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Ένας κόκκος δεν σχηματίζει σωρό. Αν n κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς, τότε n+1 κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς. Επομένως, κανένας αριθμός κόκκων δεν μπορεί να σχηματίσει σωρούς.
Η πιθανότητα αυτή και παρόμοιες αποδείξεις να οδηγήσουν σε παράλογα συμπεράσματα σημαίνει ότι η αρχή της μαθηματικής επαγωγής έχει περιορισμένο πεδίο εφαρμογής. Δεν πρέπει να χρησιμοποιείται σε συλλογισμούς με ανακριβείς, ασαφείς έννοιες.

Ένα καλό παράδειγμα του πώς αυτές οι έννοιες μπορούν να οδηγήσουν σε ανεπίλυτες διαφορές είναι μια περίεργη δίκη που έλαβε χώρα το 1927 στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο γλύπτης C. Brancusi προσέφυγε στα δικαστήρια ζητώντας να αναγνωριστούν τα έργα του ως έργα τέχνης. Ανάμεσα στα έργα που στάλθηκαν στη Νέα Υόρκη για την έκθεση ήταν και το γλυπτό «Bird», που θεωρείται πλέον κλασικό του αφηρημένου στυλ. Πρόκειται για μια διαμορφωμένη στήλη από στιλβωμένο μπρούντζο ύψους περίπου ενάμιση μέτρου, που δεν έχει καμία εξωτερική ομοιότητα με πουλί. Οι τελωνειακοί αρνήθηκαν κατηγορηματικά να αναγνωρίσουν τις αφηρημένες δημιουργίες του Μπρανκούζι ως έργα τέχνης. Τα έβαλαν κάτω από «Μεταλλικά νοσοκομειακά σκεύη και είδη οικιακής χρήσης» και τους επέβαλαν βαρύ τελωνείο. Αγανακτισμένος, ο Μπρανκούζι μήνυσε.

Το έθιμο υποστήριξαν καλλιτέχνες - μέλη της Εθνικής Ακαδημίας, που υπερασπίστηκαν τις παραδοσιακές μεθόδους στην τέχνη. Ενήργησαν ως μάρτυρες της υπεράσπισης στη δίκη και επέμειναν κατηγορηματικά ότι η προσπάθεια να χαρακτηριστεί το «Πουλί» ως έργο τέχνης ήταν απλώς μια απάτη.
Αυτή η σύγκρουση τονίζει έντονα τη δυσκολία λειτουργίας με την έννοια του «έργου τέχνης». Η γλυπτική θεωρείται παραδοσιακά μια μορφή καλών τεχνών. Αλλά ο βαθμός ομοιότητας της γλυπτικής εικόνας με το πρωτότυπο μπορεί να ποικίλλει εντός πολύ μεγάλων ορίων. Και σε ποιο σημείο μια γλυπτική εικόνα, που απομακρύνεται όλο και περισσότερο από το πρωτότυπο, παύει να είναι έργο τέχνης και γίνεται «μεταλλικό σκεύος»; Αυτό το ερώτημα είναι τόσο δύσκολο να απαντηθεί όσο το ερώτημα πού είναι το όριο μεταξύ ενός σπιτιού και των ερειπίων του, μεταξύ ενός αλόγου με ουρά και ενός αλόγου χωρίς ουρά κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, οι μοντερνιστές είναι γενικά πεπεισμένοι ότι η γλυπτική είναι ένα αντικείμενο εκφραστικής μορφής και δεν χρειάζεται να είναι καθόλου εικόνα.

Επομένως, ο χειρισμός ανακριβών εννοιών απαιτεί μια ορισμένη προσοχή. Δεν θα ήταν καλύτερα να τα αποφύγεις τελείως;

Ο Γερμανός φιλόσοφος E. Husserl είχε την τάση να απαιτεί τέτοια ακραία αυστηρότητα και ακρίβεια από τη γνώση που δεν υπάρχει ούτε στα μαθηματικά. Σε σχέση με αυτό, οι βιογράφοι του Husserl θυμούνται με ειρωνεία ένα περιστατικό που του συνέβη στην παιδική του ηλικία. Του δόθηκε ένα μαχαίρι στυλό και, αποφασίζοντας να κάνει τη λεπίδα όσο το δυνατόν πιο κοφτερή, την ακόνισε μέχρι που δεν έμεινε τίποτα από τη λεπίδα.
Οι πιο ακριβείς έννοιες είναι προτιμότερες από τις ανακριβείς σε πολλές περιπτώσεις. Η συνήθης επιθυμία να διευκρινιστούν οι έννοιες που χρησιμοποιούνται είναι αρκετά δικαιολογημένη. Αλλά πρέπει, φυσικά, να έχει τα όριά του. Ακόμη και στη γλώσσα της επιστήμης, ένα σημαντικό μέρος των εννοιών είναι ανακριβείς. Και αυτό δεν συνδέεται με τα υποκειμενικά και τυχαία λάθη μεμονωμένων επιστημόνων, αλλά με την ίδια τη φύση της επιστημονικής γνώσης. Στη φυσική γλώσσα, οι ανακριβείς έννοιες είναι συντριπτικές. αυτό μιλά, μεταξύ άλλων, για την ευελιξία και τη λανθάνουσα δύναμη του. Όποιος απαιτεί τη μέγιστη ακρίβεια από όλες τις έννοιες διατρέχει τον κίνδυνο να μείνει χωρίς γλώσσα εντελώς. «Στερήστε τις λέξεις από κάθε ασάφεια, κάθε αβεβαιότητα», έγραψε ο Γάλλος αισθητικός J. Joubert, «μετατρέψτε τις... σε μονοψήφια - το παιχνίδι θα αφήσει τον λόγο, και μαζί του την ευγλωττία και την ποίηση: οτιδήποτε είναι κινητό και μεταβλητό σε προσκολλήσεις ψυχή, δεν θα μπορέσει να βρει την έκφρασή της. Μα τι λέω: στερήστε ... θα πω κι άλλα. Στέρησε τη λέξη από κάθε ανακρίβεια - και θα χάσεις ακόμη και αξιώματα.
Για πολύ καιρό, τόσο οι λογικοί όσο και οι μαθηματικοί δεν έδιναν σημασία στις δυσκολίες που σχετίζονται με τις ασαφείς έννοιες και τα αντίστοιχα σύνολα τους. Το ερώτημα τέθηκε ως εξής: οι έννοιες πρέπει να είναι ακριβείς και οτιδήποτε ασαφές δεν αξίζει σοβαρού ενδιαφέροντος. Τις τελευταίες δεκαετίες, ωστόσο, αυτή η υπερβολικά αυστηρή στάση έχει χάσει την ελκυστικότητά της. Κατασκευάζονται λογικές θεωρίες που λαμβάνουν ειδικά υπόψη τη μοναδικότητα του συλλογισμού με ανακριβείς έννοιες.
Η μαθηματική θεωρία των λεγόμενων ασαφών συνόλων, ακαθόριστες συλλογές αντικειμένων, αναπτύσσεται ενεργά.
Η ανάλυση των προβλημάτων ανακρίβειας είναι ένα βήμα προς την προσέγγιση της λογικής στην πρακτική της συνηθισμένης σκέψης. Και μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα φέρει πολλά ακόμα ενδιαφέροντα αποτελέσματα.

Παράδοξα επαγωγικής λογικής

Δεν υπάρχει, ίσως, τμήμα λογικής που να μην έχει τα δικά του παράδοξα.
Η επαγωγική λογική έχει τα δικά της παράδοξα, τα οποία καταπολεμούνται ενεργά, αλλά μέχρι στιγμής χωρίς ιδιαίτερη επιτυχία, για σχεδόν μισό αιώνα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το παράδοξο επιβεβαίωσης που ανακάλυψε ο Αμερικανός φιλόσοφος Κ. Χέμπελ. Είναι φυσικό να θεωρήσουμε ότι οι γενικές προτάσεις, ιδίως οι επιστημονικοί νόμοι, επιβεβαιώνονται από τα θετικά τους παραδείγματα. Εάν, ας πούμε, ληφθεί υπόψη η πρόταση "Όλα τα Α είναι Β", τότε τα θετικά παραδείγματα αυτής θα είναι αντικείμενα που έχουν ιδιότητες Α και Β. Συγκεκριμένα, υποστηρικτικά παραδείγματα για την πρόταση "Όλα τα κοράκια είναι μαύρα" είναι αντικείμενα που είναι και τα δύο κοράκια και μαύρα. Αυτή η δήλωση ισοδυναμεί, ωστόσο, με τη δήλωση «Όλα τα πράγματα που δεν είναι μαύρα δεν είναι κοράκια», και η επιβεβαίωση του δεύτερου πρέπει να είναι και η επιβεβαίωση του πρώτου. Αλλά το «Όλα δεν είναι μαύρα δεν είναι κοράκι» επιβεβαιώνεται από κάθε περίπτωση μη μαύρου αντικειμένου που δεν είναι κοράκι. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι οι παρατηρήσεις «Λευκή αγελάδα», «Καφέ παπούτσια» κ.λπ. επιβεβαιώστε τη δήλωση "Όλα τα κοράκια είναι μαύρα".

Ένα απροσδόκητο παράδοξο αποτέλεσμα προκύπτει από φαινομενικά αθώες εγκαταστάσεις.

Στη λογική των κανόνων, μια σειρά από νόμους του προκαλούν ανησυχία. Όταν διατυπώνονται με ουσιαστικούς όρους, η ασυνέπειά τους με τις συνήθεις έννοιες του σωστού και του λάθους γίνεται εμφανής. Για παράδειγμα, ένας από τους νόμους λέει ότι από την εντολή "Στείλτε ένα γράμμα!" ακολουθεί η σειρά «Στείλτε το γράμμα ή κάψτε το!».
Ένας άλλος νόμος ορίζει ότι αν κάποιος έχει παραβιάσει ένα από τα καθήκοντά του, έχει το δικαίωμα να κάνει ό,τι θέλει. Η λογική μας διαίσθηση δεν θέλει να τα βάλει με αυτού του είδους τους «νόμους υποχρεώσεων».
Στη λογική της γνώσης συζητείται έντονα το παράδοξο της λογικής παντογνωσίας. Ισχυρίζεται ότι ένας άνθρωπος γνωρίζει όλες τις λογικές συνέπειες που απορρέουν από τις θέσεις που παίρνει. Για παράδειγμα, αν κάποιος γνωρίζει τα πέντε αξιώματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη, τότε, επομένως, γνωρίζει όλη αυτή τη γεωμετρία, αφού προκύπτει από αυτά. Αλλά δεν είναι. Ένα άτομο μπορεί να συμφωνήσει με τα αξιώματα και ταυτόχρονα να μην μπορεί να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα και επομένως να αμφιβάλλει ότι είναι γενικά αληθές.

§ 6. Τι είναι ένα λογικό παράδοξο

Δεν υπάρχει εξαντλητικός κατάλογος λογικών παραδόξων και είναι αδύνατο.
Τα θεωρούμενα παράδοξα είναι μόνο ένα μέρος όλων αυτών που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής. Είναι πιθανό να ανακαλυφθούν πολλά άλλα παράδοξα στο μέλλον, ακόμη και εντελώς νέοι τύποι αυτών. Η ίδια η έννοια του παραδόξου δεν είναι τόσο σαφής ώστε να είναι δυνατό να συνταχθεί μια λίστα με τουλάχιστον ήδη γνωστά παράδοξα.
«Τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων είναι ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα, όχι όμως για τα μαθηματικά, αλλά μάλλον για τη λογική και τη θεωρία της γνώσης», γράφει ο Αυστριακός μαθηματικός και λογικός K. Gödel. «Η λογική είναι συνεπής. Δεν υπάρχουν λογικά παράδοξα», λέει ο μαθηματικός D. Bochvar. Τέτοιες αποκλίσεις είναι άλλοτε σημαντικές, άλλοτε λεκτικές. Το θέμα είναι σε μεγάλο βαθμό στο τι ακριβώς εννοείται με το λογικό παράδοξο.

Η ιδιαιτερότητα των λογικών παραδόξων

Απαραίτητο χαρακτηριστικό των λογικών παραδόξων είναι το λογικό λεξικό.
Τα παράδοξα που είναι λογικά πρέπει να διατυπώνονται με λογικούς όρους. Ωστόσο, στη λογική δεν υπάρχουν σαφή κριτήρια για τη διαίρεση των όρων σε λογικούς και μη. Η λογική, που ασχολείται με την ορθότητα του συλλογισμού, επιδιώκει να μειώσει στο ελάχιστο τις έννοιες από τις οποίες εξαρτάται η ορθότητα των πρακτικά εφαρμοσμένων συμπερασμάτων. Αλλά αυτό το ελάχιστο δεν είναι προκαθορισμένο με σαφήνεια. Επιπλέον, οι μη λογικές δηλώσεις μπορούν επίσης να διατυπωθούν με λογικούς όρους. Το αν ένα συγκεκριμένο παράδοξο χρησιμοποιεί μόνο καθαρά λογικές προϋποθέσεις δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια.
Τα λογικά παράδοξα δεν διαχωρίζονται αυστηρά από όλα τα άλλα παράδοξα, όπως τα δεύτερα δεν διακρίνονται ξεκάθαρα από καθετί μη παράδοξο και συνεπές με τις επικρατούσες ιδέες. Στην αρχή της μελέτης των λογικών παραδόξων, φαινόταν ότι μπορούσαν να διακριθούν από την παραβίαση κάποιας ανεξερεύνητης ακόμη θέσης ή κανόνα λογικής. Η αρχή του φαύλου κύκλου που εισήγαγε ο B. Russell ήταν ιδιαίτερα ενεργή στη διεκδίκηση του ρόλου ενός τέτοιου κανόνα. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν μπορεί να περιέχει μέλη που ορίζονται μόνο από την ίδια συλλογή.
Όλα τα παράδοξα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό - την αυτο-εφαρμογή ή την κυκλικότητα. Σε καθένα από αυτά, το εν λόγω αντικείμενο χαρακτηρίζεται από κάποιο σύνολο αντικειμένων στα οποία ανήκει το ίδιο. Αν επιλέξουμε, για παράδειγμα, το πιο πονηρό άτομο, το κάνουμε με τη βοήθεια ενός πληθυσμού ανθρώπων στον οποίο ανήκει αυτό το άτομο. Και αν πούμε: «Αυτή η δήλωση είναι ψευδής», χαρακτηρίζουμε τη δήλωση που μας ενδιαφέρει αναφερόμενοι στο σύνολο όλων των ψευδών δηλώσεων που την περιλαμβάνει.

Σε όλα τα παράδοξα, υπάρχει μια αυτο-εφαρμογή των εννοιών, που σημαίνει ότι υπάρχει, σαν να λέγαμε, κίνηση σε κύκλο, που οδηγεί στο τέλος στην αφετηρία. Στην προσπάθεια να χαρακτηρίσουμε το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, στρεφόμαστε στο σύνολο των αντικειμένων που το περιλαμβάνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι, για την οριστικότητά του, χρειάζεται το ίδιο το αντικείμενο που εξετάζουμε και δεν μπορεί να γίνει σαφώς κατανοητό χωρίς αυτό. Σε αυτόν τον κύκλο, ίσως, βρίσκεται η πηγή των παραδόξων.
Η κατάσταση περιπλέκεται, ωστόσο, από το γεγονός ότι ένας τέτοιος κύκλος υπάρχει σε πολλά εντελώς μη παράδοξα επιχειρήματα. Το Circular είναι μια τεράστια ποικιλία από τους πιο συνηθισμένους, ακίνδυνους και ταυτόχρονα βολικούς τρόπους έκφρασης. Παραδείγματα όπως «η μεγαλύτερη από όλες τις πόλεις», «ο μικρότερος από όλους τους φυσικούς αριθμούς», «ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου σιδήρου» κ.λπ., δείχνουν ότι δεν οδηγεί κάθε περίπτωση αυτοεφαρμογής σε αντίφαση και ότι είναι σημαντικό όχι μόνο στη συνηθισμένη γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης.
Μια απλή αναφορά στη χρήση αυτοεφαρμόσιμων εννοιών είναι επομένως ανεπαρκής για να δυσφημήσει τα παράδοξα. Χρειάζεται κάποιο πρόσθετο κριτήριο για τον διαχωρισμό της αυτο-εφαρμογής, που οδηγεί σε ένα παράδοξο, από όλες τις άλλες περιπτώσεις.
Υπήρξαν πολλές προτάσεις για το σκοπό αυτό, αλλά δεν βρέθηκε επιτυχής διευκρίνιση της κυκλικότητας. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να χαρακτηριστεί η κυκλικότητα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κυκλικός συλλογισμός να οδηγεί σε ένα παράδοξο και κάθε παράδοξο είναι το αποτέλεσμα κάποιου κυκλικού συλλογισμού.
Μια προσπάθεια να βρεθεί κάποια συγκεκριμένη αρχή λογικής, η παραβίαση της οποίας θα ήταν χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των λογικών παραδόξων, δεν οδήγησε σε κάτι συγκεκριμένο.
Κάποιος τύπος ταξινόμησης των παραδόξων θα ήταν αναμφίβολα χρήσιμος, υποδιαιρώντας τα σε τύπους και τύπους, ομαδοποιώντας ορισμένα παράδοξα και αντιπαραβάλλοντάς τα σε άλλα. Ωστόσο, και σε αυτή την περίπτωση δεν έχει επιτευχθεί τίποτα βιώσιμο.

Ο Άγγλος λογικός F. Ramsey, που πέθανε το 1930, όταν δεν ήταν ακόμη είκοσι επτά ετών, πρότεινε να χωριστούν όλα τα παράδοξα σε συντακτικά και σημασιολογικά. Το πρώτο περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το παράδοξο του Russell, το δεύτερο - τα παράδοξα του "Ψεύτη", του Grelling κ.λπ.
Σύμφωνα με τον Ramsey, τα παράδοξα της πρώτης ομάδας περιέχουν μόνο έννοιες που ανήκουν στη λογική ή στα μαθηματικά. Οι τελευταίες περιλαμβάνουν έννοιες όπως «αλήθεια», «προσδιορισμός», «ονομασία», «γλώσσα», οι οποίες δεν είναι αυστηρά μαθηματικές, αλλά μάλλον σχετίζονται με τη γλωσσολογία ή ακόμα και τη θεωρία της γνώσης. Τα σημασιολογικά παράδοξα φαίνεται να οφείλουν την εμφάνισή τους όχι σε κάποιο λάθος στη λογική, αλλά στην ασάφεια ή ασάφεια κάποιων μη λογικών εννοιών, επομένως τα προβλήματα που θέτουν αφορούν τη γλώσσα και πρέπει να λυθούν από τη γλωσσολογία.

Φάνηκε στον Ramsey ότι οι μαθηματικοί και οι λογικοί δεν χρειάζεται να ενδιαφέρονται για τα σημασιολογικά παράδοξα. Αργότερα, ωστόσο, αποδείχθηκε ότι μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα της σύγχρονης λογικής προέκυψαν ακριβώς σε σχέση με μια βαθύτερη μελέτη ακριβώς αυτών των μη λογικών παραδόξων.
Η διαίρεση των παραδόξων που πρότεινε ο Ramsey χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχή και διατηρεί κάποια σημασία ακόμη και τώρα. Ταυτόχρονα, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι αυτή η διαίρεση είναι μάλλον ασαφής και βασίζεται κυρίως σε παραδείγματα και όχι σε μια εις βάθος συγκριτική ανάλυση των δύο ομάδων παραδόξων. Οι σημασιολογικές έννοιες είναι πλέον καλά καθορισμένες και είναι δύσκολο να μην αναγνωρίσουμε ότι αυτές οι έννοιες είναι πράγματι λογικές. Με την ανάπτυξη της σημασιολογίας, η οποία ορίζει τις βασικές της έννοιες με όρους θεωρίας συνόλων, η διάκριση που κάνει ο Ramsey γίνεται όλο και πιο θολή.

Παράδοξα και Σύγχρονη Λογική

Ποια συμπεράσματα για τη λογική προκύπτουν από την ύπαρξη παραδόξων;
Καταρχάς, η παρουσία ενός μεγάλου αριθμού παραδόξων μιλά για τη δύναμη της λογικής ως επιστήμης και όχι για την αδυναμία της, όπως μπορεί να φαίνεται.

Δεν ήταν τυχαίο ότι η ανακάλυψη των παραδόξων συνέπεσε με την περίοδο της πιο εντατικής ανάπτυξης της σύγχρονης λογικής και των μεγαλύτερων επιτυχιών της.
Τα πρώτα παράδοξα ανακαλύφθηκαν πριν ακόμη από την εμφάνιση της λογικής ως ειδικής επιστήμης. Πολλά παράδοξα ανακαλύφθηκαν στο Μεσαίωνα. Αργότερα, όμως, αποδείχτηκε ότι ξεχάστηκαν και ανακαλύφθηκαν ξανά ήδη στον αιώνα μας.
Οι μεσαιωνικοί λογικοί δεν γνώριζαν τις έννοιες του "συνόλου" και του "στοιχείου του συνόλου", που εισήχθησαν στην επιστήμη μόλις στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Αλλά η όρεξη για τα παράδοξα ακονίστηκε στον Μεσαίωνα σε τέτοιο βαθμό που ήδη από εκείνη την πρώιμη εποχή εκφράστηκαν ορισμένες ανησυχίες για αυτοεφαρμοστέες έννοιες. Το απλούστερο παράδειγμα αυτού είναι η έννοια του «να είσαι το στοιχείο του εαυτού σου» που εμφανίζεται σε πολλά από τα σημερινά παράδοξα.
Ωστόσο, τέτοιοι φόβοι, όπως όλες οι προειδοποιήσεις για τα παράδοξα γενικά, δεν ήταν συστηματικοί και συγκεκριμένοι μέχρι τον αιώνα μας. Δεν οδήγησαν σε σαφείς προτάσεις για επανεξέταση των συνήθων τρόπων σκέψης και έκφρασης.
Μόνο η σύγχρονη λογική έχει βγάλει από τη λήθη το ίδιο το πρόβλημα των παραδόξων, ανακάλυψε ή ανακάλυψε εκ νέου τα περισσότερα από τα συγκεκριμένα λογικά παράδοξα. Έδειξε περαιτέρω ότι οι τρόποι σκέψης που παραδοσιακά διερευνώνται από τη λογική είναι εντελώς ανεπαρκείς για την εξάλειψη των παραδόξων και υπέδειξε θεμελιωδώς νέες μεθόδους αντιμετώπισής τους.
Τα παράδοξα θέτουν ένα σημαντικό ερώτημα: πού, στην πραγματικότητα, μας αποτυγχάνουν μερικές από τις συνήθεις μεθόδους σχηματισμού εννοιών και συλλογισμού; Άλλωστε, έμοιαζαν απόλυτα φυσικές και πειστικές, μέχρι που αποδείχθηκε ότι ήταν παράδοξοι.

Τα παράδοξα υπονομεύουν την πεποίθηση ότι οι συνήθεις μέθοδοι θεωρητικής σκέψης από μόνες τους και χωρίς ιδιαίτερο έλεγχο πάνω τους παρέχουν μια αξιόπιστη πρόοδο προς την αλήθεια.
Απαιτώντας μια ριζική αλλαγή σε μια υπερβολικά ευκολόπιστη προσέγγιση της θεωρίας, τα παράδοξα είναι μια σκληρή κριτική της λογικής στην αφελή, διαισθητική της μορφή. Παίζουν το ρόλο ενός παράγοντα που ελέγχει και θέτει περιορισμούς στον τρόπο κατασκευής των απαγωγικών συστημάτων λογικής. Και αυτός ο ρόλος τους μπορεί να συγκριθεί με τον ρόλο ενός πειράματος που ελέγχει την ορθότητα των υποθέσεων σε επιστήμες όπως η φυσική και η χημεία και τους αναγκάζει να κάνουν αλλαγές σε αυτές τις υποθέσεις.
Ένα παράδοξο σε μια θεωρία μιλά για την ασυμβατότητα των υποθέσεων που τη διέπουν. Λειτουργεί ως έγκαιρα ανιχνευμένο σύμπτωμα της νόσου, χωρίς το οποίο θα μπορούσε να είχε αγνοηθεί.
Φυσικά, η ασθένεια εκδηλώνεται με πολλούς τρόπους και στο τέλος είναι δυνατόν να αποκαλυφθεί χωρίς τέτοια οξεία συμπτώματα όπως τα παράδοξα. Για παράδειγμα, τα θεμέλια της θεωρίας συνόλων θα αναλύονταν και θα τελειοποιούνταν ακόμη και αν δεν ανακαλύφθηκαν παράδοξα σε αυτόν τον τομέα. Αλλά δεν θα υπήρχε αυτή η οξύτητα και ο επείγων χαρακτήρας με τον οποίο τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν σε αυτό έθεσαν το πρόβλημα της αναθεώρησης της θεωρίας συνόλων.

Μια εκτενής βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη στα παράδοξα, έχει προταθεί ένας μεγάλος αριθμός από τις εξηγήσεις τους. Καμία όμως από αυτές τις εξηγήσεις δεν είναι καθολικά αποδεκτή και δεν υπάρχει πλήρης συμφωνία για την προέλευση των παραδόξων και για το πώς να απαλλαγούμε από αυτά.
«Τα τελευταία εξήντα χρόνια, εκατοντάδες βιβλία και άρθρα έχουν αφιερωθεί στον στόχο της επίλυσης παραδόξων, αλλά τα αποτελέσματα είναι εκπληκτικά φτωχά σε σύγκριση με τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν», γράφει ο A. Frenkel. «Φαίνεται ότι», καταλήγει η ανάλυσή του για τα παράδοξα, ο Χ. Κάρι, «ότι απαιτείται πλήρης μεταρρύθμιση της λογικής και η μαθηματική λογική μπορεί να γίνει το κύριο εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της μεταρρύθμισης».

Είναι γνωστό ότι η διατύπωση ενός προβλήματος είναι συχνά πιο σημαντική και πιο δύσκολη από την επίλυσή του. «Στην επιστήμη», έγραψε ο Άγγλος χημικός F. Soddy, «ένα πρόβλημα που τίθεται σωστά λύνεται περισσότερο από το μισό. Η διαδικασία διανοητικής προετοιμασίας που απαιτείται για να ανακαλύψει κανείς ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη εργασία απαιτεί συχνά περισσότερο χρόνο από την ίδια την εργασία.

Οι μορφές με τις οποίες εκδηλώνεται και υλοποιείται η προβληματική κατάσταση είναι πολύ διαφορετικές. Όχι πάντα, αποκαλύπτεται με τη μορφή μιας άμεσης ερώτησης που προέκυψε στην αρχή της μελέτης. Ο κόσμος των προβλημάτων είναι τόσο περίπλοκος όσο και η διαδικασία της γνώσης που τα δημιουργεί. Ο εντοπισμός προβλημάτων βρίσκεται στον πυρήνα της δημιουργικής σκέψης. Τα παράδοξα είναι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση σιωπηρών, αναμφισβήτητων τρόπων τοποθέτησης προβλημάτων. Τα παράδοξα είναι κοινά στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των επιστημονικών θεωριών, όταν γίνονται τα πρώτα βήματα σε έναν ακόμη ανεξερεύνητο τομέα και αναζητούνται οι πιο γενικές αρχές προσέγγισης του.

Με μια ευρεία έννοια, ένα παράδοξο είναι μια θέση που αποκλίνει έντονα από τις γενικά αποδεκτές, καθιερωμένες, ορθόδοξες απόψεις. «Γενικά αποδεκτές απόψεις και ό,τι θεωρείται θέμα εδώ και καιρό αποφασισμένο, τις περισσότερες φορές αξίζουν έρευνα» (G. Lichtenberg). Το παράδοξο είναι η αρχή μιας τέτοιας έρευνας.

Ένα παράδοξο με μια στενότερη και πιο εξειδικευμένη έννοια είναι δύο αντίθετες, ασύμβατες δηλώσεις, για καθεμία από τις οποίες υπάρχουν φαινομενικά πειστικά επιχειρήματα.

Η πιο έντονη μορφή παραδόξου είναι η αντινομία, ένας συλλογισμός που αποδεικνύει την ισοδυναμία δύο δηλώσεων, εκ των οποίων η μία είναι άρνηση της άλλης.

Τα παράδοξα είναι ιδιαίτερα διάσημα στις πιο αυστηρές και ακριβείς επιστήμες - τα μαθηματικά και τη λογική. Και αυτό δεν είναι τυχαίο.

Η λογική είναι μια αφηρημένη επιστήμη. Δεν υπάρχουν πειράματα σε αυτό, ούτε καν γεγονότα με τη συνήθη έννοια της λέξης. Στο χτίσιμο των συστημάτων της, η λογική προέρχεται τελικά από την ανάλυση της πραγματικής σκέψης. Όμως τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης είναι συνθετικά, αδιαφοροποίητα. Δεν είναι δηλώσεις οποιωνδήποτε ξεχωριστών διαδικασιών ή γεγονότων που η θεωρία θα πρέπει να εξηγήσει. Προφανώς, μια τέτοια ανάλυση δεν μπορεί να ονομαστεί παρατήρηση: ένα συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρείται πάντα.

Κατασκευάζοντας μια νέα θεωρία, ο επιστήμονας ξεκινά συνήθως από τα γεγονότα, από αυτά που μπορεί να παρατηρηθεί στο πείραμα. Όσο ελεύθερη και αν είναι η δημιουργική του φαντασία, πρέπει να υπολογίζει με μια απαραίτητη περίσταση: μια θεωρία έχει νόημα μόνο αν συμφωνεί με τα γεγονότα που την αφορούν. Μια θεωρία που διαφωνεί με γεγονότα και παρατηρήσεις είναι τραβηγμένη και δεν έχει καμία αξία.

Αλλά αν δεν υπάρχουν πειράματα στη λογική, δεν υπάρχουν γεγονότα και δεν υπάρχει η ίδια η παρατήρηση, τότε τι εμποδίζει τη λογική φαντασία; Ποιοι παράγοντες, αν όχι γεγονότα, λαμβάνονται υπόψη κατά τη δημιουργία νέων λογικών θεωριών;

Η ασυμφωνία μεταξύ της λογικής θεωρίας και της πρακτικής της πραγματικής σκέψης αποκαλύπτεται συχνά με τη μορφή ενός λίγο πολύ οξύ λογικού παραδόξου, και μερικές φορές ακόμη και με τη μορφή μιας λογικής αντινομίας, που μιλά για την εσωτερική ασυνέπεια της θεωρίας. Αυτό ακριβώς εξηγεί τη σημασία που αποδίδεται στα παράδοξα στη λογική, και τη μεγάλη προσοχή που απολαμβάνουν σε αυτό.

Το πιο διάσημο και ίσως το πιο ενδιαφέρον από όλα τα λογικά παράδοξα είναι το παράδοξο Ψεύτης. Ήταν αυτός που δόξασε το όνομα του Ευβουλίδη από τη Μίλητο που το ανακάλυψε.

Υπάρχουν παραλλαγές αυτού του παραδόξου ή αντινομίας, πολλές από τις οποίες είναι μόνο φαινομενικά παράδοξες.

Στην πιο απλή εκδοχή του «Ψεύτης» ένα άτομο λέει μόνο μια φράση: «Λέω ψέματα». Ή λέει: «Η δήλωση που κάνω τώρα είναι ψευδής». Ή: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής."

Εάν η δήλωση είναι ψευδής, τότε ο ομιλητής είπε την αλήθεια, και επομένως αυτό που είπε δεν είναι ψέμα. Εάν η δήλωση δεν είναι ψευδής και ο ομιλητής ισχυρίζεται ότι είναι ψευδής, τότε αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι αν ο ομιλητής λέει ψέματα, λέει την αλήθεια και το αντίστροφο.

Στο Μεσαίωνα, η ακόλουθη διατύπωση ήταν κοινή:

«Αυτό που είπε ο Πλάτωνας είναι ψευδές», λέει ο Σωκράτης.

«Αυτό που είπε ο Σωκράτης είναι η αλήθεια», λέει ο Πλάτων.

Τίθεται το ερώτημα ποιος από αυτούς εκφράζει την αλήθεια και ποιος είναι ψέμα;

Και εδώ υπάρχει ένα σύγχρονο παράδοξο αυτού του παραδόξου. Ας υποθέσουμε ότι μόνο οι λέξεις είναι γραμμένες στην μπροστινή πλευρά της κάρτας: "Στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας είναι γραμμένη μια αληθινή δήλωση." Είναι σαφές ότι αυτές οι λέξεις αντιπροσωπεύουν μια σημαντική δήλωση. Αναποδογυρίζοντας την κάρτα, πρέπει είτε να βρούμε την υποσχεμένη δήλωση, είτε δεν υπάρχει. Αν είναι γραμμένο στο πίσω μέρος, τότε είτε είναι αλήθεια είτε όχι. Ωστόσο, στο πίσω μέρος υπάρχουν οι λέξεις: "Υπάρχει μια ψευδής δήλωση γραμμένη στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας" - και τίποτα περισσότερο. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση στην μπροστινή πλευρά είναι αληθινή. Τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει να είναι αληθής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι ψευδής. Αλλά αν η δήλωση στο μπροστινό μέρος είναι ψευδής, τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει επίσης να είναι ψευδής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι αληθινή. Το αποτέλεσμα είναι ένα παράδοξο.

Το παράδοξο Liar έκανε τεράστια εντύπωση στους Έλληνες. Και είναι εύκολο να καταλάβει κανείς γιατί. Το ερώτημα που θέτει με την πρώτη ματιά φαίνεται αρκετά απλό: λέει ψέματα αυτός που λέει μόνο ότι λέει ψέματα; Αλλά η απάντηση «ναι» οδηγεί στην απάντηση «όχι», και το αντίστροφο. Και ο προβληματισμός δεν ξεκαθαρίζει καθόλου την κατάσταση. Πίσω από την απλότητα και ακόμη και τη ρουτίνα της ερώτησης, αποκαλύπτει κάποιο σκοτεινό και αμέτρητο βάθος.

Υπάρχει ακόμη και ένας θρύλος ότι κάποιος Filit Kossky, απελπισμένος να λύσει αυτό το παράδοξο, αυτοκτόνησε. Λέγεται επίσης ότι ένας από τους διάσημους αρχαίους Έλληνες λογικούς, ο Διόδωρος Κρόνος, ήδη στα παρακμιακά του χρόνια, έκανε όρκο να μην φάει μέχρι να βρει τη λύση του «Ψεύτη» και σύντομα πέθανε χωρίς να καταφέρει τίποτα.

Στο Μεσαίωνα, αυτό το παράδοξο αναφερόταν στις λεγόμενες αδιευκρίνιστες προτάσεις και έγινε αντικείμενο συστηματικής ανάλυσης.

Στη σύγχρονη εποχή, ο «Ψεύτης» δεν τράβηξε την προσοχή για πολύ καιρό. Δεν είδαν καμία, έστω και μικρή, δυσκολία σχετικά με τη χρήση της γλώσσας. Και μόνο στη λεγόμενη σύγχρονη εποχή μας, η ανάπτυξη της λογικής έφτασε τελικά σε ένα επίπεδο όπου κατέστη δυνατή η διατύπωση των προβλημάτων που φαίνεται να κρύβονται πίσω από αυτό το παράδοξο με αυστηρούς όρους.

Τώρα ο «Ψεύτης» - αυτός ο τυπικός πρώην σοφισμός - αναφέρεται συχνά ως ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων. Μια εκτενής επιστημονική βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη σε αυτόν. Και όμως, όπως στην περίπτωση πολλών άλλων παραδόξων, δεν είναι απολύτως σαφές ποια προβλήματα κρύβονται πίσω από αυτό και πώς να απαλλαγούμε από αυτό.

Τώρα το "The Liar" θεωρείται συνήθως χαρακτηριστικό παράδειγμα των δυσκολιών στις οποίες οδηγεί η σύγχυση δύο γλωσσών: η γλώσσα στην οποία μιλάει κανείς για μια πραγματικότητα που βρίσκεται έξω από αυτήν και η γλώσσα στην οποία μιλάει για την ίδια πρώτη γλώσσα.

Στην καθημερινή γλώσσα δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ αυτών των επιπέδων: μιλάμε την ίδια γλώσσα για την πραγματικότητα και για τη γλώσσα. Για παράδειγμα, ένα άτομο του οποίου η μητρική γλώσσα είναι τα ρωσικά δεν βλέπει καμία ιδιαίτερη διαφορά μεταξύ των δηλώσεων: "Το γυαλί είναι διαφανές" και "Είναι αλήθεια ότι το γυαλί είναι διαφανές", αν και το ένα μιλάει για γυαλί και το άλλο για μια δήλωση σχετικά με το γυαλί.

Αν κάποιος είχε μια ιδέα για την ανάγκη να μιλήσει για τον κόσμο σε μια γλώσσα και για τις ιδιότητες αυτής της γλώσσας σε μια άλλη, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει δύο διαφορετικές υπάρχουσες γλώσσες, ας πούμε τα ρωσικά και τα αγγλικά. Αντί να πω απλώς "Η αγελάδα είναι ουσιαστικό", θα έλεγα "Η αγελάδα είναι ουσιαστικό" και αντί για "Η δήλωση "Το γυαλί δεν είναι διαφανές" είναι ψευδής" θα έλεγα "Ο ισχυρισμός "Το γυαλί δεν είναι διαφανές" είναι ψευδής ". Με αυτή τη χρήση δύο διαφορετικών γλωσσών, αυτό που λέγεται για τον κόσμο θα ήταν σαφώς διαφορετικό από αυτό που λέγεται για τη γλώσσα με την οποία μιλά κανείς για τον κόσμο. Πράγματι, οι πρώτες δηλώσεις θα αναφέρονται στη ρωσική γλώσσα, ενώ οι δεύτερες θα αναφέρονται στα αγγλικά.

Εάν περαιτέρω ο ειδικός μας στις γλώσσες θέλει να μιλήσει για ορισμένες περιστάσεις που ήδη αφορούν την αγγλική γλώσσα, θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει άλλη γλώσσα. Γερμανός ας πούμε. Για να μιλήσουμε για αυτό το τελευταίο θα μπορούσε κανείς να καταφύγει, ας πούμε, στην ισπανική γλώσσα, κ.ο.κ.

Αποδεικνύεται, επομένως, ένα είδος κλίμακας ή ιεραρχίας γλωσσών, καθεμία από τις οποίες χρησιμοποιείται για έναν πολύ συγκεκριμένο σκοπό: στην πρώτη μιλούν για τον αντικειμενικό κόσμο, στη δεύτερη - για αυτήν την πρώτη γλώσσα, στην τρίτο - για τη δεύτερη γλώσσα, κ.λπ. Μια τέτοια διάκριση μεταξύ γλωσσών ανάλογα με τον τομέα εφαρμογής τους είναι σπάνιο φαινόμενο στην καθημερινή ζωή. Αλλά στις επιστήμες, που, όπως και η λογική, ασχολούνται ειδικά με τις γλώσσες, μερικές φορές αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να μιλήσει για τον κόσμο συνήθως ονομάζεται γλώσσα αντικειμένου. Η γλώσσα που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη γλώσσα του θέματος ονομάζεται μεταγλώσσα.

Είναι σαφές ότι αν η γλώσσα και η μεταγλώσσα οριοθετηθούν με αυτόν τον τρόπο, η δήλωση «λέω ψέματα» δεν μπορεί πλέον να διατυπωθεί. Μιλάει για το ψεύδος όσων λέγονται στα ρωσικά, και, ως εκ τούτου, ανήκει στη μεταγλώσσα και πρέπει να εκφράζεται στα αγγλικά. Συγκεκριμένα, θα πρέπει να ακούγεται ως εξής: "Ό,τι μιλάω στα ρωσικά είναι ψευδές" ("Ό,τι λέω στα ρωσικά είναι ψευδές"); αυτή η αγγλική δήλωση δεν λέει τίποτα για τον εαυτό της και δεν προκύπτει παράδοξο.

Η διάκριση μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας καθιστά δυνατή την εξάλειψη του παραδόξου «Ψεύτης». Έτσι, καθίσταται δυνατός ο ορθός, χωρίς αντίφαση, ο ορισμός της κλασικής έννοιας της αλήθειας: μια δήλωση είναι αληθής που αντιστοιχεί στην πραγματικότητα που περιγράφει.

Η έννοια της αλήθειας, όπως όλες οι άλλες σημασιολογικές έννοιες, έχει σχετικό χαρακτήρα: μπορεί πάντα να αποδοθεί σε μια συγκεκριμένη γλώσσα.

Όπως έδειξε ο Πολωνός λογικός A. Tarski, ο κλασικός ορισμός της αλήθειας θα πρέπει να διατυπωθεί σε μια γλώσσα ευρύτερη από τη γλώσσα για την οποία προορίζεται. Με άλλα λόγια, αν θέλουμε να δείξουμε τι σημαίνει η φράση «μια δήλωση αληθής σε μια δεδομένη γλώσσα», πρέπει, εκτός από τις εκφράσεις αυτής της γλώσσας, να χρησιμοποιήσουμε και εκφράσεις που δεν υπάρχουν σε αυτήν.

Ο Tarski εισήγαγε την έννοια της σημασιολογικά κλειστής γλώσσας. Μια τέτοια γλώσσα περιλαμβάνει, εκτός από τις εκφράσεις της, τα ονόματά τους, και επίσης, που είναι σημαντικό να τονιστεί, δηλώσεις σχετικά με την αλήθεια των προτάσεων που διατυπώνονται σε αυτήν.

Δεν υπάρχει όριο μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας σε μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα. Τα μέσα του είναι τόσο πλούσια που επιτρέπουν όχι μόνο να ισχυριστεί κάτι για την εξωγλωσσική πραγματικότητα, αλλά και να αξιολογήσει την αλήθεια τέτοιων δηλώσεων. Αυτά τα μέσα επαρκούν, ιδίως, για την αναπαραγωγή της αντινομίας «Ψεύτης» στη γλώσσα. Μια σημασιολογικά κλειστή γλώσσα αποδεικνύεται έτσι αυτοαντιφατική. Κάθε φυσική γλώσσα είναι προφανώς σημασιολογικά κλειστή.

Ο μόνος αποδεκτός τρόπος για να εξαλειφθεί η αντινομία, και ως εκ τούτου η εσωτερική ασυνέπεια, σύμφωνα με τον Tarski, είναι να εγκαταλείψουμε τη χρήση μιας σημασιολογικά κλειστής γλώσσας. Αυτό το μονοπάτι είναι αποδεκτό, φυσικά, μόνο στην περίπτωση τεχνητών, επισημοποιημένων γλωσσών που επιτρέπουν έναν σαφή διαχωρισμό σε γλώσσα και μεταγλώσσα. Στις φυσικές γλώσσες, με τη σκοτεινή δομή τους και την ικανότητα να μιλάμε για τα πάντα στην ίδια γλώσσα, αυτή η προσέγγιση δεν είναι πολύ ρεαλιστική. Δεν έχει νόημα να τίθεται το ζήτημα της εσωτερικής συνέπειας αυτών των γλωσσών. Οι πλούσιες εκφραστικές τους δυνατότητες έχουν και τα αρνητικά τους - παράδοξα.

Υπάρχουν λοιπόν δηλώσεις που μιλούν για τη δική τους αλήθεια ή ψευτιά. Η ιδέα ότι αυτού του είδους οι δηλώσεις δεν έχουν νόημα είναι πολύ παλιά. Την υπερασπίστηκε ο αρχαίος Έλληνας λογικός Χρύσιππος.

Στο Μεσαίωνα, ο Άγγλος φιλόσοφος και λογικός W. Ockham δήλωσε ότι η δήλωση «Every statement is false» δεν έχει νόημα, αφού μιλά, μεταξύ άλλων, και για τη δική της ψευδαίσθηση. Από αυτή τη δήλωση προκύπτει άμεσα μια αντίφαση. Αν κάθε πρόταση είναι ψευδής, τότε είναι και η ίδια η πρόταση. αλλά ότι είναι ψευδής σημαίνει ότι δεν είναι κάθε πρόταση ψευδής. Η κατάσταση είναι παρόμοια με τη δήλωση «Κάθε δήλωση είναι αληθινή». Πρέπει επίσης να ταξινομηθεί ως χωρίς νόημα και επίσης οδηγεί σε μια αντίφαση: αν κάθε πρόταση είναι αληθής, τότε η άρνηση αυτής της ίδιας της δήλωσης είναι επίσης αληθής, δηλαδή η δήλωση ότι δεν είναι αληθής κάθε πρόταση.

Γιατί, ωστόσο, μια δήλωση δεν μπορεί να μιλήσει με νόημα για τη δική της αλήθεια ή ψευδή;

Ήδη σύγχρονος του Όκαμ, του Γάλλου φιλοσόφου του 14ου αιώνα. Ο J. Buridan δεν συμφώνησε με την απόφασή του. Από τη σκοπιά των συνηθισμένων ιδεών για το ανούσιο, εκφράσεις όπως "λέω ψέματα", "Κάθε δήλωση είναι αληθινή (ψευδή)" κ.λπ. αρκετά ουσιαστικό. Τι μπορείτε να σκεφτείτε, τι μπορείτε να πείτε - αυτή είναι η γενική αρχή του Buridan. Ένα άτομο μπορεί να σκεφτεί την αλήθεια της δήλωσης που εκφέρει, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να μιλήσει για αυτήν. Δεν είναι όλες οι δηλώσεις για τον εαυτό τους χωρίς νόημα. Για παράδειγμα, η δήλωση "Αυτή η πρόταση είναι γραμμένη στα ρωσικά" είναι σωστή, αλλά η δήλωση "Υπάρχουν δέκα λέξεις σε αυτήν την πρόταση" είναι ψευδής. Και τα δύο είναι απολύτως λογικά. Εάν γίνει δεκτό ότι μια δήλωση μπορεί να μιλήσει για τον εαυτό της, τότε γιατί δεν είναι ικανή να μιλήσει με νόημα για μια τέτοια ιδιότητα του εαυτού της όπως η αλήθεια;

Ο ίδιος ο Buridan θεώρησε τη δήλωση "λέω ψέματα" όχι άσκοπη, αλλά ψευδή. Το δικαιολογούσε έτσι. Όταν ένα άτομο επιβεβαιώνει μια πρόταση, δηλώνει έτσι ότι είναι αληθινή. Εάν η πρόταση λέει από μόνη της ότι είναι η ίδια ψευδής, τότε είναι μόνο μια συνοπτική διατύπωση μιας πιο περίπλοκης έκφρασης που επιβεβαιώνει τόσο την αλήθεια όσο και την αναλήθεια της. Αυτή η έκφραση είναι αντιφατική και ως εκ τούτου ψευδής. Αλλά δεν είναι σε καμία περίπτωση χωρίς νόημα.

Το επιχείρημα του Buridan εξακολουθεί μερικές φορές να θεωρείται πειστικό.

Υπάρχουν και άλλες γραμμές κριτικής για τη λύση στο παράδοξο του «Ψεύτη», το οποίο αναπτύχθηκε λεπτομερώς από τον Tarski. Δεν υπάρχει πραγματικά αντίδοτο σε παράδοξα αυτού του τύπου σε σημασιολογικά κλειστές γλώσσες — και τελικά όλες οι φυσικές γλώσσες είναι;

Εάν συνέβαινε αυτό, τότε η έννοια της αλήθειας θα μπορούσε να οριστεί μόνο με αυστηρό τρόπο σε επισημοποιημένες γλώσσες. Μόνο σε αυτά είναι δυνατό να γίνει διάκριση μεταξύ της αντικειμενικής γλώσσας στην οποία οι άνθρωποι μιλούν για τον περιβάλλοντα κόσμο και της μεταγλώσσας στην οποία μιλούν για αυτήν τη γλώσσα. Αυτή η ιεραρχία γλωσσών βασίζεται στην κατάκτηση μιας ξένης γλώσσας με τη βοήθεια μιας μητρικής γλώσσας. Η μελέτη μιας τέτοιας ιεραρχίας οδήγησε σε πολλά ενδιαφέροντα συμπεράσματα, και σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητη. Αλλά δεν υπάρχει στη φυσική γλώσσα. Τον δυσφημεί; Και αν ναι, σε ποιο βαθμό; Εξάλλου, η έννοια της αλήθειας εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σε αυτό, και συνήθως χωρίς καμία επιπλοκή. Είναι η εισαγωγή μιας ιεραρχίας ο μόνος τρόπος για να εξαλειφθούν παράδοξα όπως ο Ψεύτης;

Στη δεκαετία του 1930, οι απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα έμοιαζαν αναμφίβολα καταφατικές. Ωστόσο, τώρα δεν υπάρχει προηγούμενη ομοφωνία, αν και η παράδοση της εξάλειψης των παραδόξων αυτού του τύπου με τη «στρωμάτωση» της γλώσσας παραμένει κυρίαρχη.

Τον τελευταίο καιρό, οι εγωκεντρικές εκφράσεις τραβούν όλο και περισσότερο την προσοχή. Περιέχουν λέξεις όπως «εγώ», «αυτό», «εδώ», «τώρα» και η αλήθεια τους εξαρτάται από το πότε, από ποιον, πού χρησιμοποιούνται.

Στη δήλωση "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής", εμφανίζεται η λέξη "αυτό". Σε ποιο αντικείμενο αναφέρεται; "Ψεύτης" μπορεί να υποδηλώνει ότι η λέξη "αυτό" δεν αναφέρεται στην έννοια της δεδομένης δήλωσης. Τότε όμως σε τι αναφέρεται, τι σημαίνει; Και γιατί αυτό το νόημα δεν μπορεί ακόμα να δηλωθεί με τη λέξη «αυτό»;

Χωρίς να υπεισέλθω σε λεπτομέρειες εδώ, αξίζει μόνο να σημειωθεί ότι στο πλαίσιο της ανάλυσης των εγωκεντρικών εκφράσεων, το «Ψεύτης» γεμίζει με ένα εντελώς διαφορετικό περιεχόμενο από πριν. Αποδεικνύεται ότι δεν προειδοποιεί πλέον για τη σύγχυση της γλώσσας και της μεταγλώσσας, αλλά επισημαίνει τους κινδύνους που συνδέονται με την κακή χρήση της λέξης «αυτό» και παρόμοιων εγωκεντρικών λέξεων.

Τα ζητήματα που έχουν συσχετιστεί στο πέρασμα των αιώνων με το «The Liar» έχουν αλλάξει ριζικά ανάλογα με το αν θεωρούνταν ως παράδειγμα αμφισημίας ή ως έκφραση που παρουσιάζεται εξωτερικά ως παράδειγμα μείγματος γλώσσας και μεταγλώσσας ή, τέλος, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα κακής χρήσης εγωκεντρικών εκφράσεων. Και δεν υπάρχει βεβαιότητα ότι άλλα προβλήματα δεν θα συνδέονται με αυτό το παράδοξο στο μέλλον.

Ο γνωστός σύγχρονος Φινλανδός λογικός και φιλόσοφος G. von Wright έγραψε στο έργο του για τον Ψεύτη ότι αυτό το παράδοξο δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να κατανοηθεί ως ένα τοπικό, απομονωμένο εμπόδιο που μπορεί να αφαιρεθεί με μια εφευρετική κίνηση σκέψης. Ο Ψεύτης αγγίζει πολλά από τα πιο σημαντικά θέματα στη λογική και τη σημασιολογία. Αυτός είναι ο ορισμός της αλήθειας, η ερμηνεία της αντίφασης και των αποδείξεων, και μια ολόκληρη σειρά σημαντικών διαφορών: μεταξύ μιας πρότασης και της σκέψης που εκφράζεται από αυτήν, μεταξύ της χρήσης μιας έκφρασης και της αναφοράς της, μεταξύ της σημασίας ενός ονόματος και το αντικείμενο που υποδηλώνει.

Η κατάσταση είναι παρόμοια με άλλα λογικά παράδοξα. «Οι αντινομίες της λογικής», γράφει ο φον Ράιτ, «μας προβληματίζουν από την ανακάλυψή τους και πιθανότατα θα μας προβληματίζουν πάντα. Θα έπρεπε, νομίζω, να τα θεωρούμε όχι τόσο ως προβλήματα που περιμένουν να λυθούν, αλλά ως ανεξάντλητη πρώτη ύλη για σκέψη. Είναι σημαντικά γιατί η σκέψη γι' αυτά αγγίζει τα πιο θεμελιώδη ερωτήματα όλης της λογικής και επομένως όλης της σκέψης».

Ολοκληρώνοντας αυτή τη συζήτηση για τον «Ψεύτη» μπορούμε να θυμηθούμε ένα περίεργο επεισόδιο από την εποχή που η τυπική λογική διδάσκονταν ακόμα στο σχολείο. Σε ένα εγχειρίδιο λογικής που δημοσιεύθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 1940, οι μαθητές της όγδοης τάξης κλήθηκαν ως εργασία για το σπίτι - ως προθέρμανση, ας πούμε - να βρουν το λάθος που έγινε σε αυτή την απλή δήλωση: «Λέω ψέματα». Και, ας μην φαίνεται παράξενο, πιστεύεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών αντιμετώπισε με επιτυχία ένα τέτοιο έργο.

Το πιο διάσημο από τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν ήδη στον αιώνα μας είναι η αντινομία που ανακάλυψε ο B. Russell και κοινοποιήθηκε από αυτόν σε επιστολή του στον G. Ferge. Η ίδια αντινομία συζητήθηκε ταυτόχρονα στο Γκέτινγκεν από τους Γερμανούς μαθηματικούς Z. Zermelo και D. Hilbert.

Η ιδέα ήταν στον αέρα και η δημοσίευσή της δημιούργησε την εντύπωση μιας βόμβας που εκρήγνυται. Αυτό το παράδοξο προκάλεσε στα μαθηματικά, σύμφωνα με τον Hilbert, την επίδραση της πλήρους καταστροφής. Οι απλούστερες και πιο σημαντικές λογικές μέθοδοι, οι πιο κοινές και χρήσιμες έννοιες, απειλούνται.

Αμέσως έγινε φανερό ότι ούτε στη λογική ούτε στα μαθηματικά, σε όλη τη μακρά ιστορία της ύπαρξής τους, δεν είχε γίνει κάτι αποφασιστικά που θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως βάση για την εξάλειψη της αντινομίας. Σαφώς ήταν απαραίτητη μια απομάκρυνση από τους συνήθεις τρόπους σκέψης. Αλλά από πού και προς ποια κατεύθυνση; Πόσο ριζοσπαστική υποτίθεται ότι ήταν η απόρριψη καθιερωμένων τρόπων θεωρητικοποίησης;

Με περαιτέρω μελέτη της αντινομίας, η πεποίθηση για την ανάγκη για μια θεμελιωδώς νέα προσέγγιση αυξανόταν σταθερά. Μισό αιώνα μετά την ανακάλυψή του, οι ειδικοί στα θεμέλια της λογικής και των μαθηματικών, ο L. Frenkel και ο I. Bar-Hillel δήλωσαν ήδη χωρίς καμία επιφύλαξη: , μέχρι στιγμής πάντα απέτυχε, είναι προφανώς ανεπαρκείς για αυτόν τον σκοπό.

Ο σύγχρονος Αμερικανός λογικός H. Curry έγραψε λίγο αργότερα για αυτό το παράδοξο: «Όσον αφορά τη λογική που ήταν γνωστή τον 19ο αιώνα, η κατάσταση απλώς αψηφούσε την εξήγηση, αν και, φυσικά, στη μορφωμένη εποχή μας μπορεί να υπάρχουν άνθρωποι που βλέπουν (ή νομίζουν ότι βλέπουν ), ποιο είναι το σφάλμα;

Το παράδοξο του Russell στην αρχική του μορφή συνδέεται με την έννοια ενός συνόλου ή μιας τάξης.

Μπορούμε να μιλήσουμε για σύνολα διαφορετικών αντικειμένων, για παράδειγμα, για το σύνολο όλων των ανθρώπων ή για το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ένα στοιχείο του πρώτου συνόλου θα είναι κάθε άτομο, ένα στοιχείο του δεύτερου - κάθε φυσικός αριθμός. Είναι επίσης δυνατό να θεωρήσουμε τα ίδια τα σύνολα ως κάποια αντικείμενα και να μιλάμε για σύνολα συνόλων. Μπορεί κανείς να εισαγάγει έννοιες όπως το σύνολο όλων των συνόλων ή το σύνολο όλων των εννοιών.

Σε σχέση με οποιοδήποτε σύνολο που λαμβάνεται αυθαίρετα, φαίνεται εύλογο να αναρωτηθεί κανείς εάν είναι δικό του στοιχείο ή όχι. Τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους ως στοιχείο θα ονομάζονται συνηθισμένα. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ανθρώπων δεν είναι άτομο, όπως και το σύνολο των ατόμων δεν είναι άτομο. Τα σύνολα που είναι κατάλληλα στοιχεία θα είναι ασυνήθιστα. Για παράδειγμα, ένα σύνολο που ενώνει όλα τα σύνολα είναι ένα σύνολο και επομένως περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο.

Εξετάστε τώρα το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων. Δεδομένου ότι είναι ένα σύνολο, μπορεί επίσης να ρωτήσει κανείς για αυτό αν είναι συνηθισμένο ή ασυνήθιστο. Η απάντηση, ωστόσο, είναι αποθαρρυντική. Αν είναι συνηθισμένο, τότε εξ ορισμού πρέπει να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο, αφού περιέχει όλα τα συνηθισμένα σύνολα. Αυτό όμως σημαίνει ότι είναι ένα ασυνήθιστο σύνολο. Η υπόθεση ότι το σύνολο μας είναι ένα συνηθισμένο σύνολο οδηγεί έτσι σε μια αντίφαση. Άρα δεν μπορεί να είναι φυσιολογικό. Από την άλλη πλευρά, δεν μπορεί να είναι ούτε ασυνήθιστο: ένα ασυνήθιστο σύνολο περιέχει τον εαυτό του ως στοιχείο και τα στοιχεία του συνόλου μας είναι μόνο συνηθισμένα σύνολα. Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο όλων των συνηθισμένων συνόλων δεν μπορεί να είναι ούτε συνηθισμένο ούτε έκτακτο.

Έτσι, το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι κατάλληλα στοιχεία είναι κατάλληλο στοιχείο εάν και μόνο αν δεν είναι τέτοιο στοιχείο. Αυτή είναι μια σαφής αντίφαση. Και λήφθηκε με βάση τις πιο εύλογες υποθέσεις και με τη βοήθεια φαινομενικά αδιαμφισβήτητων βημάτων.

Η αντίφαση λέει ότι ένα τέτοιο σύνολο απλά δεν υπάρχει. Γιατί όμως δεν μπορεί να υπάρξει; Εξάλλου, αποτελείται από αντικείμενα που ικανοποιούν μια σαφώς καθορισμένη συνθήκη και η ίδια η συνθήκη δεν φαίνεται να είναι κατά κάποιο τρόπο εξαιρετική ή σκοτεινή. Εάν ένα σύνολο τόσο απλά και ξεκάθαρα δεν μπορεί να υπάρξει, τότε ποια είναι, στην πραγματικότητα, η διαφορά μεταξύ των δυνατών και των αδύνατων συνόλων; Το συμπέρασμα για την ανυπαρξία του υπό εξέταση συνόλου ακούγεται απροσδόκητο και εμπνέει άγχος. Κάνει τη γενική μας αντίληψη για ένα σύνολο άμορφη και χαοτική, και δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι δεν μπορεί να προκαλέσει κάποια νέα παράδοξα.

Το παράδοξο του Ράσελ είναι αξιοσημείωτο για την ακραία γενικότητά του. Για την κατασκευή του δεν χρειάζονται περίπλοκες τεχνικές έννοιες, καθώς σε κάποια άλλα παράδοξα αρκούν οι έννοιες «σύνολο» και «στοιχείο του συνόλου». Αλλά αυτή η απλότητα απλώς μιλά για τη θεμελιώδη φύση της: αγγίζει τα βαθύτερα θεμέλια του συλλογισμού μας για τα σύνολα, αφού δεν μιλάει για κάποιες ειδικές περιπτώσεις, αλλά για σύνολα γενικά.

Το παράδοξο του Ράσελ δεν είναι ειδικά μαθηματικό. Χρησιμοποιεί την έννοια του συνόλου, αλλά δεν αγγίζει ειδικές ιδιότητες που σχετίζονται ειδικά με τα μαθηματικά.

Αυτό γίνεται φανερό όταν το παράδοξο αναδιατυπώνεται με καθαρά λογικούς όρους.

Από κάθε ιδιότητα μπορεί κανείς, κατά πάσα πιθανότητα, να ρωτήσει αν ισχύει για τον εαυτό του ή όχι.

Η ιδιότητα του να είναι ζεστό, για παράδειγμα, δεν ισχύει για τον εαυτό του, αφού δεν είναι ο ίδιος ζεστός. η ιδιότητα του να είναι συγκεκριμένος επίσης δεν αναφέρεται στον εαυτό της, γιατί είναι μια αφηρημένη ιδιότητα. Αλλά η ιδιότητα του να είναι κανείς αφηρημένος, να είναι αφηρημένος, ισχύει για τον εαυτό του. Ας ονομάσουμε αυτές τις ιδιότητες ανεφάρμοστες για τον εαυτό τους ανεφάρμοστες. Ισχύει η ιδιότητα του να είναι κανείς ανεφάρμοστος για τον εαυτό του; Αποδεικνύεται ότι η ανεφάρμοστη είναι ανεφάρμοστη μόνο αν δεν είναι. Αυτό είναι, φυσικά, παράδοξο.

Η λογική, σχετιζόμενη με την ιδιότητα ποικιλία της αντινομίας του Russell είναι εξίσου παράδοξη με τη μαθηματική ποικιλία που σχετίζεται με το σύνολο.

Ο Ράσελ πρότεινε επίσης την ακόλουθη δημοφιλή εκδοχή του παραδόξου που ανακάλυψε.

Φανταστείτε ότι το συμβούλιο ενός χωριού όριζε τα καθήκοντα του κουρέα ως εξής: να ξυρίζει όλους τους άνδρες του χωριού που δεν ξυρίζονται μόνοι τους, και μόνο αυτούς τους άνδρες. Πρέπει να ξυριστεί μόνος του; Αν ναι, θα αναφέρεται σε αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους, και σε αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους, δεν πρέπει να ξυρίζεται. Αν όχι, θα ανήκει σε αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους, και ως εκ τούτου θα πρέπει να ξυριστεί μόνος του. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι αυτός ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του αν και μόνο αν δεν ξυριστεί μόνος του. Αυτό, φυσικά, είναι αδύνατο.

Το επιχείρημα για τον κουρέα βασίζεται στην υπόθεση ότι υπάρχει τέτοιος κουρέας. Η αντίφαση που προκύπτει σημαίνει ότι αυτή η υπόθεση είναι ψευδής, και δεν υπάρχει τέτοιος χωρικός που θα ξυρίζει όλους αυτούς και μόνο εκείνοι οι χωρικοί που δεν ξυρίζονται μόνοι τους.

Τα καθήκοντα ενός κομμωτή δεν φαίνονται αντιφατικά με την πρώτη ματιά, οπότε το συμπέρασμα ότι δεν μπορεί να υπάρχει ακούγεται κάπως απροσδόκητο. Ωστόσο, αυτό το συμπέρασμα δεν είναι παράδοξο. Η προϋπόθεση που πρέπει να πληροί ο κουρέας του χωριού είναι στην πραγματικότητα αυτοαντιφατική και άρα αδύνατη. Δεν μπορεί να υπάρχει τέτοιο κομμωτήριο σε ένα χωριό για τον ίδιο λόγο που δεν υπάρχει άνθρωπος σε αυτό που θα ήταν μεγαλύτερος από τον εαυτό του ή που θα είχε γεννηθεί πριν από τη γέννησή του.

Το επιχείρημα για το κομμωτήριο μπορεί να ονομαστεί ψευδοπαράδοξο. Στην πορεία του είναι αυστηρά ανάλογο με το παράδοξο του Ράσελ και αυτό είναι που το κάνει ενδιαφέρον. Αλλά και πάλι δεν είναι αληθινό παράδοξο.

Ένα άλλο παράδειγμα του ίδιου ψευδοπαράδοξου είναι το γνωστό επιχείρημα του καταλόγου.

Μια συγκεκριμένη βιβλιοθήκη αποφάσισε να συντάξει έναν βιβλιογραφικό κατάλογο που θα περιλαμβάνει όλους εκείνους και μόνο εκείνους τους βιβλιογραφικούς καταλόγους που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους. Θα έπρεπε ένας τέτοιος κατάλογος να περιλαμβάνει έναν σύνδεσμο προς τον εαυτό του;

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η ιδέα της δημιουργίας ενός τέτοιου καταλόγου δεν είναι εφικτή. απλά δεν μπορεί να υπάρξει, γιατί πρέπει ταυτόχρονα να περιλαμβάνει αναφορά στον εαυτό του και όχι να περιλαμβάνει.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι η καταλογογράφηση όλων των καταλόγων που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους μπορεί να θεωρηθεί ως μια ατελείωτη, ατέρμονη διαδικασία. Ας πούμε ότι κάποια στιγμή δημιουργήθηκε ένας κατάλογος, ας πούμε K1, συμπεριλαμβανομένων όλων των άλλων καταλόγων που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους. Με τη δημιουργία του Κ1, εμφανίστηκε ένας άλλος κατάλογος που δεν περιέχει σύνδεσμο προς τον εαυτό του. Δεδομένου ότι ο στόχος είναι να γίνει ένας πλήρης κατάλογος όλων των καταλόγων που δεν αναφέρονται στον εαυτό τους, είναι προφανές ότι το K1 δεν είναι η λύση. Δεν αναφέρει έναν από αυτούς τους καταλόγους - τον εαυτό του. Συμπεριλαμβανομένης αυτής της αναφοράς του εαυτού του στο K1, παίρνουμε τον κατάλογο K2. Αναφέρει το Κ1, αλλά όχι το ίδιο το Κ2. Προσθέτοντας μια τέτοια αναφορά στο K2, παίρνουμε KZ, το οποίο και πάλι δεν είναι πλήρες λόγω του ότι δεν αναφέρει τον εαυτό του. Και συνεχίζεται χωρίς τέλος.

Ένα ενδιαφέρον λογικό παράδοξο ανακάλυψαν οι Γερμανοί λογικοί K. Grelling και L. Nelson (το παράδοξο του Grelling). Αυτό το παράδοξο μπορεί να διατυπωθεί πολύ απλά.

Ορισμένες λέξεις που δηλώνουν ιδιότητες έχουν την ίδια ιδιότητα που ονομάζουν. Για παράδειγμα, το επίθετο "Ρώσος" είναι το ίδιο ρωσικό, το "πολυσύλλαβο" είναι το ίδιο πολυσύλλαβο και το ίδιο το "πεντασύλλαβο" έχει πέντε συλλαβές. Τέτοιες λέξεις που αναφέρονται στον εαυτό τους ονομάζονται αυτονόητες ή αυτόλογες.

Δεν υπάρχουν τόσες πολλές τέτοιες λέξεις, η συντριπτική πλειοψηφία των επιθέτων δεν έχουν τις ιδιότητες που ονομάζουν. Το "New" δεν είναι, φυσικά, νέο, το "hot" είναι hot, το "one-syllable" είναι μονοσύλλαβο και το "English" είναι το αγγλικό. Οι λέξεις που δεν έχουν την ιδιότητα που δηλώνουν ονομάζονται ψευδώνυμα ή ετερολογικές. Προφανώς, όλα τα επίθετα που δηλώνουν ιδιότητες που δεν ισχύουν για λέξεις θα είναι ετερολογικά.

Αυτή η διαίρεση των επιθέτων σε δύο ομάδες φαίνεται ξεκάθαρη και απαράδεκτη. Μπορεί να επεκταθεί στα ουσιαστικά: «λέξη» είναι λέξη, «ουσιαστικό» είναι ουσιαστικό, αλλά το «ρολόι» δεν είναι ρολόι και το «ρήμα» δεν είναι ρήμα.

Ένα παράδοξο προκύπτει μόλις τίθεται το ερώτημα: σε ποια από τις δύο ομάδες ανήκει το ίδιο το επίθετο «ετερολογικό»; Εάν είναι αυτόλογη, έχει την ιδιότητα που ορίζει και πρέπει να είναι ετερόλογη. Εάν είναι ετερόλογη, δεν έχει την ιδιότητα που ονομάζει, και επομένως πρέπει να είναι αυτόλογη. Υπάρχει ένα παράδοξο.

Κατ' αναλογία με αυτό το παράδοξο, είναι εύκολο να διατυπωθούν άλλα παράδοξα της ίδιας δομής. Για παράδειγμα, είναι ή όχι ένας αυτοκτονικός που σκοτώνει κάθε μη αυτοκτονικό και δεν σκοτώνει κανέναν αυτοκτονικό;

Αποδείχθηκε ότι το παράδοξο του Γκρέλιγκ ήταν γνωστό στον Μεσαίωνα ως η αντινομία μιας έκφρασης που δεν ονομάζει τον εαυτό της. Μπορεί κανείς να φανταστεί τη στάση απέναντι στους σοφισμούς και τα παράδοξα στη σύγχρονη εποχή, αν το πρόβλημα που απαιτούσε απάντηση και προκάλεσε ζωηρή συζήτηση ξεχνιόταν ξαφνικά και ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις πεντακόσια χρόνια αργότερα!

Μια άλλη, εξωτερικά απλή αντινομία υποδείχθηκε στις αρχές του αιώνα μας από τον D. Berry.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο. Το σύνολο των ονομάτων αυτών των αριθμών που είναι διαθέσιμα, για παράδειγμα, στη ρωσική γλώσσα και περιέχουν λιγότερες από, ας πούμε, εκατό λέξεις, είναι πεπερασμένο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους δεν υπάρχουν ονόματα στα ρωσικά που να αποτελούνται από λιγότερες από εκατό λέξεις. Μεταξύ αυτών των αριθμών υπάρχει προφανώς ο μικρότερος αριθμός. Δεν μπορεί να ονομαστεί με μια ρωσική έκφραση που περιέχει λιγότερες από εκατό λέξεις. Αλλά η έκφραση: "Ο μικρότερος φυσικός αριθμός για τον οποίο δεν υπάρχει το σύνθετο όνομά του στα ρωσικά, που αποτελείται από λιγότερες από εκατό λέξεις" είναι μόνο το όνομα αυτού του αριθμού! Αυτό το όνομα έχει μόλις διατυπωθεί στα ρωσικά και περιέχει μόνο δεκαεννέα λέξεις. Ένα προφανές παράδοξο: ο επώνυμος αριθμός αποδείχθηκε ότι ήταν αυτός για τον οποίο δεν υπάρχει όνομα!

Στην καρδιά ενός διάσημου παραδόξου βρίσκεται αυτό που φαίνεται να είναι ένα μικρό περιστατικό που συνέβη πριν από δύο χιλιάδες χρόνια και δεν έχει ξεχαστεί μέχρι σήμερα.

Ο περίφημος σοφιστής Πρωταγόρας, που έζησε τον 5ο αι. π.Χ., ήταν ένας μαθητής ονόματι Εύαθλος, που σπούδασε νομικά. Σύμφωνα με τη μεταξύ τους συμφωνία, ο Euathlus έπρεπε να πληρώσει για την εκπαίδευση μόνο εάν κέρδιζε την πρώτη του δίκη. Αν χάσει αυτή τη διαδικασία, δεν υποχρεούται καθόλου να πληρώσει. Ωστόσο, μετά την ολοκλήρωση των σπουδών του, ο Evatl δεν συμμετείχε στις διαδικασίες. Κράτησε αρκετή ώρα, η υπομονή του δασκάλου εξαντλήθηκε και κατέθεσε μήνυση κατά του μαθητή του. Έτσι, για τον Euathlus, αυτή ήταν η πρώτη δοκιμή. Ο Πρωταγόρας τεκμηρίωσε το αίτημά του ως εξής:

«Όποια κι αν είναι η απόφαση του δικαστηρίου, η Euathlus θα πρέπει να με πληρώσει. Ή θα κερδίσει την πρώτη του δοκιμή ή θα χάσει. Αν κερδίσει, θα πληρώσει βάσει του συμβολαίου μας. Αν χάσει θα πληρώσει σύμφωνα με αυτή την απόφαση.

Προφανώς ο Εύαθλος ήταν ικανός μαθητής, όπως απάντησε στον Πρωταγόρα:

- Πράγματι, ή κερδίζω τη διαδικασία ή τη χάνω. Αν κερδίσω, η δικαστική απόφαση θα με απαλλάξει από την υποχρέωση πληρωμής. Εάν η δικαστική απόφαση δεν είναι υπέρ μου, τότε έχασα την πρώτη μου υπόθεση και δεν θα πληρώσω δυνάμει του συμβολαίου μας.

Συγκλονισμένος από αυτή την εξέλιξη του θέματος, ο Πρωταγόρας αφιέρωσε ένα ειδικό δοκίμιο σε αυτή τη διαμάχη με τον Euathlus, «Δίκη για πληρωμή». Δυστυχώς, όπως και τα περισσότερα από όσα έγραψε ο Πρωταγόρας, δεν έφτασε σε εμάς. Ωστόσο, πρέπει να αποτίσουμε φόρο τιμής στον Πρωταγόρα, ο οποίος διαισθάνθηκε αμέσως ένα πρόβλημα πίσω από ένα απλό δικαστικό περιστατικό που αξίζει ιδιαίτερης μελέτης.

Ο G. Leibniz, ο ίδιος δικηγόρος από την εκπαίδευση, πήρε επίσης σοβαρά αυτή τη διαμάχη. Στη διδακτορική του διατριβή «Μελέτη περίπλοκων υποθέσεων στο δίκαιο», προσπάθησε να αποδείξει ότι όλες οι υποθέσεις, ακόμη και οι πιο περίπλοκες, όπως η δίκη Πρωταγόρα και Ευάθλου, πρέπει να βρουν μια σωστή λύση στη βάση της κοινής λογικής. Σύμφωνα με τον Leibniz, το δικαστήριο θα έπρεπε να αρνηθεί τον Πρωταγόρα για την άκαιρη κατάθεση αγωγής, αλλά να του αφήσει το δικαίωμα να απαιτήσει πληρωμή χρημάτων από τον Evatl αργότερα, δηλαδή μετά την πρώτη διαδικασία που κέρδισε.

Πολλές άλλες λύσεις σε αυτό το παράδοξο έχουν προταθεί.

Αναφέρθηκαν, ειδικότερα, στο γεγονός ότι μια δικαστική απόφαση πρέπει να έχει μεγαλύτερη ισχύ από μια ιδιωτική συμφωνία μεταξύ δύο προσώπων. Μπορεί να απαντηθεί ότι χωρίς αυτή τη συμφωνία, όσο ασήμαντη κι αν φαίνεται, δεν θα υπήρχε ούτε δικαστήριο ούτε απόφασή του. Άλλωστε το δικαστήριο πρέπει να πάρει την απόφασή του ακριβώς με την περίσταση και στη βάση του.

Επίσης, έκαναν έκκληση στη γενική αρχή ότι κάθε έργο, άρα και το έργο του Πρωταγόρα, πρέπει να αμείβεται. Αλλά είναι γνωστό ότι αυτή η αρχή είχε πάντα εξαιρέσεις, ειδικά σε μια δουλοκτητική κοινωνία. Επιπλέον, απλώς δεν ισχύει για τη συγκεκριμένη κατάσταση της διαφοράς: τελικά, ο Πρωταγόρας, εγγυώντας υψηλό επίπεδο εκπαίδευσης, αρνήθηκε ο ίδιος να δεχθεί πληρωμή σε περίπτωση αποτυχίας του μαθητή του στην πρώτη διαδικασία.

Μερικές φορές μιλάνε έτσι. Και ο Πρωταγόρας και ο Εύαθλος έχουν και οι δύο δίκιο εν μέρει, και κανένας από τους δύο γενικά. Κάθε ένα από αυτά λαμβάνει υπόψη μόνο τις μισές από τις δυνατότητες που είναι ωφέλιμες για τον εαυτό του. Η πλήρης ή ολοκληρωμένη εξέταση ανοίγει τέσσερις δυνατότητες, από τις οποίες μόνο οι μισές είναι επωφελείς για έναν από τους διαφωνούντες. Ποιες από αυτές τις δυνατότητες πραγματοποιούνται, θα το αποφασίσει όχι η λογική, αλλά η ζωή. Εάν η ετυμηγορία των κριτών έχει μεγαλύτερη ισχύ από τη σύμβαση, ο Euathl θα πρέπει να πληρώσει μόνο εάν χάσει τη διαδικασία, δηλ. με δικαστική απόφαση. Εάν, ωστόσο, τοποθετηθεί ένα ιδιωτικό συμφωνητικό υψηλότερα από την απόφαση των κριτών, τότε ο Πρωταγόρας θα λάβει πληρωμή μόνο σε περίπτωση που χάσει τη διαδικασία από την Evatlus, δηλ. δυνάμει συμφωνίας με τον Πρωταγόρα.

Αυτή η έκκληση στη ζωή μπερδεύει τελικά τα πάντα. Από ποια, αν όχι λογική, μπορούν να καθοδηγούνται οι δικαστές σε συνθήκες όπου όλες οι σχετικές περιστάσεις είναι απολύτως σαφείς; Και τι ηγεσία θα είναι αν ο Πρωταγόρας, που διεκδικεί την πληρωμή μέσω δικαστηρίου, το πετύχει μόνο χάνοντας τη διαδικασία;

Ωστόσο, η λύση του Leibniz, που στην αρχή φαίνεται πειστική, είναι λίγο καλύτερη από την αόριστη αντίθεση λογικής και ζωής. Ουσιαστικά, ο Leibniz προτείνει αναδρομικά να αλλάξει η διατύπωση της σύμβασης και να οριστεί ότι η πρώτη αγωγή που αφορά την Euathlus, η έκβαση της οποίας θα κρίνει το ζήτημα της πληρωμής, δεν θα πρέπει να είναι δίκη με τη μήνυση του Πρωταγόρα. Αυτή η σκέψη είναι βαθιά, αλλά δεν σχετίζεται με ένα συγκεκριμένο δικαστήριο. Αν υπήρχε μια τέτοια ρήτρα στην αρχική συμφωνία, δεν θα χρειαζόταν καθόλου δικαστική προσφυγή.

Αν με τη λύση αυτής της δυσκολίας κατανοήσουμε την απάντηση στο ερώτημα αν ο Εύαθλος έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα ή όχι, τότε όλα αυτά, όπως και όλες οι άλλες νοητές λύσεις, είναι φυσικά αβάσιμες. Δεν είναι παρά μια απομάκρυνση από την ουσία της διαμάχης, είναι, θα λέγαμε, σοφιστικά τεχνάσματα και πονηριά σε μια απελπιστική και άλυτη κατάσταση. Διότι ούτε η κοινή λογική ούτε οι γενικές αρχές που αφορούν τις κοινωνικές σχέσεις μπορούν να επιλύσουν τη διαφορά.

Είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί από κοινού η σύμβαση στην αρχική της μορφή και η απόφαση του δικαστηρίου, όποια και αν είναι η τελευταία. Για να αποδειχθεί αυτό, αρκούν απλά λογικά μέσα. Με τα ίδια μέσα, μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι η συνθήκη, παρά την εντελώς αθώα εμφάνισή της, είναι αυτοαντιφατική. Απαιτεί την υλοποίηση μιας λογικά αδύνατης πρότασης: η Euathlus πρέπει και να πληρώσει για την εκπαίδευση και ταυτόχρονα να μην πληρώσει.

Ο ανθρώπινος νους, συνηθισμένος όχι μόνο στη δύναμή του, αλλά και στην ευελιξία, ακόμη και στην επινοητικότητα του, δυσκολεύεται, φυσικά, να συμφιλιωθεί με αυτήν την απόλυτη απελπισία και να παραδεχτεί ότι έχει οδηγηθεί σε αδιέξοδο. Αυτό είναι ιδιαίτερα δύσκολο όταν το αδιέξοδο δημιουργείται από το ίδιο το μυαλό: αυτό, θα λέγαμε, σκοντάφτει από το μπλε και πέφτει στα δικά του δίχτυα. Ωστόσο, πρέπει να παραδεχτεί κανείς ότι μερικές φορές, και παρεμπιπτόντως, όχι και τόσο σπάνια, συμφωνίες και συστήματα κανόνων, που σχηματίζονται αυθόρμητα ή εισάγονται συνειδητά, οδηγούν σε άλυτες, απελπιστικές καταστάσεις.

Ένα παράδειγμα από την πρόσφατη σκακιστική ζωή θα επιβεβαιώσει για άλλη μια φορά αυτή την ιδέα.

Οι διεθνείς κανόνες για τους αγώνες σκακιού υποχρεώνουν τους σκακιστές να καταγράφουν το παιχνίδι κίνηση προς κίνηση καθαρά και ευανάγνωστα. Μέχρι πρόσφατα, οι κανόνες έλεγαν επίσης ότι ένας σκακιστής που έχασε την καταγραφή πολλών κινήσεων λόγω έλλειψης χρόνου πρέπει, «μόλις τελειώσει το πρόβλημα του χρόνου, να συμπληρώσει αμέσως τη φόρμα του, σημειώνοντας τις χαμένες κινήσεις». Με βάση αυτή την οδηγία, ένας κριτής στη Σκακιστική Ολυμπιάδα του 1980 (Μάλτα) διέκοψε τον αγώνα, ο οποίος συνεχιζόταν σε δύσκολα προβλήματα, και σταμάτησε το ρολόι, δηλώνοντας ότι οι κινήσεις ελέγχου είχαν γίνει και, ως εκ τούτου, ήταν ώρα να τεθεί τα ρεκόρ των αγώνων με τη σειρά.

«Αλλά με συγχωρείτε», φώναξε ο συμμετέχων, που ήταν στα πρόθυρα της ήττας και υπολόγιζε μόνο στην ένταση των παθών στο τέλος του παιχνιδιού, «εξάλλου, ούτε μια σημαία δεν έχει πέσει ακόμα και κανείς δεν μπορεί ποτέ (όπως γράφεται και στους κανόνες) μπορεί να πει πόσες κινήσεις έχουν γίνει.

Ωστόσο, ο διαιτητής υποστηρίχθηκε από τον αρχιδιαιτητή, ο οποίος είπε ότι, όντως, αφού έληξε το πρόβλημα του χρόνου, ήταν απαραίτητο, ακολουθώντας το γράμμα των κανονισμών, να αρχίσει η καταγραφή των χαμένων κινήσεων.

Ήταν άσκοπο να διαφωνήσουμε σε αυτήν την κατάσταση: οι ίδιοι οι κανόνες οδήγησαν σε αδιέξοδο. Έμεινε μόνο να αλλάξει η διατύπωσή τους με τέτοιο τρόπο ώστε να μην προκύψουν παρόμοιες περιπτώσεις στο μέλλον.

Αυτό έγινε στο συνέδριο της Διεθνούς Σκακιστικής Ομοσπονδίας, που γινόταν την ίδια ώρα: αντί για τις λέξεις «μόλις τελειώσει ο καιρός», οι κανόνες λένε τώρα: «μόλις η σημαία δείχνει το τέλος χρονικός".

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ξεκάθαρα πώς να αντιμετωπίσετε αδιέξοδες καταστάσεις. Είναι άχρηστο να διαφωνούμε για το ποια πλευρά έχει δίκιο: η διαμάχη είναι άλυτη και δεν θα υπάρξει νικητής σε αυτήν. Μένει μόνο να συμβιβαστείτε με το παρόν και να φροντίσετε το μέλλον. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αναδιατυπώσετε τις αρχικές συμφωνίες ή κανόνες με τέτοιο τρόπο ώστε να μην οδηγούν κανέναν άλλο στην ίδια απελπιστική κατάσταση.

Φυσικά, μια τέτοια πορεία δράσης δεν είναι λύση σε μια άλυτη διαμάχη ή διέξοδος από μια απελπιστική κατάσταση. Είναι μάλλον μια στάση μπροστά σε ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο και ένας δρόμος γύρω από αυτό.

Στην αρχαία Ελλάδα, η ιστορία ενός κροκόδειλου και μιας μητέρας ήταν πολύ δημοφιλής, συμπίπτοντας στο λογικό της περιεχόμενο με το παράδοξο «Πρωταγόρας και Εύαθλος».

Ο κροκόδειλος άρπαξε το παιδί της από μια Αιγύπτια που στεκόταν στην όχθη του ποταμού. Στην έκκλησή της να επιστρέψει το παιδί, ο κροκόδειλος, χύνοντας, όπως πάντα, ένα κροκόδειλο δάκρυ, απάντησε:

«Η ατυχία σου με άγγιξε και θα σου δώσω την ευκαιρία να πάρεις πίσω το παιδί σου. Μαντέψτε αν θα σας το δώσω ή όχι. Αν απαντήσεις σωστά, θα επιστρέψω το παιδί. Αν δεν μαντέψεις, δεν θα το δώσω πίσω.

Σκεπτόμενη, η μητέρα απάντησε:

Δεν θα μου δώσεις το μωρό.

«Δεν θα το καταλάβεις», κατέληξε ο κροκόδειλος. Ή είπες την αλήθεια ή δεν είπες. Αν είναι αλήθεια ότι δεν θα παρατήσω το παιδί, τότε δεν θα το παρατήσω, γιατί αλλιώς δεν θα είναι αλήθεια. Αν αυτό που ειπώθηκε δεν είναι αλήθεια, τότε δεν μαντέψατε, και δεν θα δώσω το παιδί κατόπιν συμφωνίας.

Ωστόσο, αυτό το σκεπτικό δεν φάνηκε πειστικό στη μητέρα.

- Μα αν είπα την αλήθεια, τότε θα μου δώσεις το παιδί, όπως συμφωνήσαμε. Αν δεν μάντεψα ότι δεν θα δώσεις στο παιδί, τότε πρέπει να μου το δώσεις, αλλιώς αυτό που είπα δεν θα είναι αναληθές.

Ποιος έχει δίκιο: μητέρα ή κροκόδειλος; Σε τι υποχρεώνει η υπόσχεση που δόθηκε στον κροκόδειλο; Για να δώσεις το παιδί ή, αντίθετα, να μην το χαρίσεις; Και στα δύο ταυτόχρονα. Αυτή η υπόσχεση είναι αυτοαντιφατική, και επομένως δεν μπορεί να εκπληρωθεί δυνάμει των νόμων της λογικής.

Ο ιεραπόστολος βρέθηκε με τους κανίβαλους και έφτασε στην ώρα του για δείπνο. Τον άφησαν να διαλέξει πώς θα φάει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πει κάποια δήλωση με την προϋπόθεση ότι αν αυτή η δήλωση αποδειχθεί αληθινή, θα τη μαγειρέψουν και αν αποδειχθεί ψευδής, θα την ψήσουν.

Τι να πει ο ιεραπόστολος;

Να πει βέβαια: «Θα με τηγανίσεις».

Αν είναι όντως τηγανητό, θα αποδειχθεί ότι είπε την αλήθεια, και επομένως πρέπει να βράσει. Αν είναι βρασμένο, η δήλωσή του θα είναι ψευδής, και πρέπει απλώς να τηγανιστεί. Οι κανίβαλοι δεν θα έχουν διέξοδο: από το «τηγανητό» ακολουθεί το «μάγειρας» και το αντίστροφο.

Αυτό το επεισόδιο του πονηρού ιεραπόστολου είναι φυσικά άλλη μια παράφραση της διαμάχης Πρωταγόρα και Ευαθλού.

Ένα παλιό παράδοξο γνωστό στην Αρχαία Ελλάδα παίζεται στον Δον Κιχώτη από τον Μ. Θερβάντες. Ο Sancho Panza έγινε κυβερνήτης του νησιού Barataria και διοικεί το δικαστήριο.

Ο πρώτος που ήρθε κοντά του είναι κάποιος επισκέπτης και του λέει: «Πρεσβύτερος, ένα συγκεκριμένο κτήμα χωρίζεται στα δύο από ένα βαθύ ποτάμι... Έτσι, μια γέφυρα πέταξε σε αυτό το ποτάμι, και ακριβώς εκεί στην άκρη στέκεται μια αγχόνη και υπάρχει κάτι σαν δικαστήριο, στο οποίο συνήθως κάθονται τέσσερα άτομα, δικαστές, και κρίνουν βάσει νόμου που έχει εκδοθεί από τον ιδιοκτήτη του ποταμού, της γέφυρας και ολόκληρης της περιουσίας, ο οποίος νόμος συντάσσεται με αυτόν τον τρόπο: και όποιος ψεύδεται, χωρίς καμία επιείκεια, στείλε τους στην αγχόνη που βρίσκεται ακριβώς εκεί και εκτέλεσε τους. Από την ώρα που ψηφίστηκε αυτός ο νόμος σε όλη του τη σφοδρότητα, πολλοί κατάφεραν να περάσουν τη γέφυρα και μόλις οι δικαστές ικανοποιήθηκαν ότι οι περαστικοί έλεγαν την αλήθεια, τους άφησαν να περάσουν. Αλλά τότε μια μέρα ένας ορκισμένος άνδρας ορκίστηκε και είπε: ορκίζεται ότι ήρθε για να τον κρεμάσουν σε αυτήν ακριβώς την αγχόνη, και για τίποτα άλλο. Αυτός ο όρκος προκάλεσε σύγχυση στους δικαστές και είπαν: «Αν επιτραπεί σε αυτόν τον άνθρωπο να προχωρήσει χωρίς εμπόδια, τότε αυτό θα σημαίνει ότι παραβίασε τον όρκο και, σύμφωνα με το νόμο, υπόκειται σε θάνατο. αν τον κρεμάσουμε, τότε ορκίστηκε ότι ήρθε μόνο για να κρεμαστεί σε αυτή την αγχόνη, επομένως, ο όρκος του, αποδεικνύεται, δεν είναι ψευδής, και βάσει του ίδιου νόμου είναι απαραίτητο να τον αφήσουμε να περάσει. Και σας ρωτάω λοιπόν, κύριε κυβερνήτη, τι να κάνουν οι δικαστές με αυτόν τον άνθρωπο, γιατί είναι ακόμα μπερδεμένοι και διστακτικοί...

Ο Σάντσο πρότεινε, ίσως όχι χωρίς πονηριά, να αφεθεί ο μισός που είπε την αλήθεια και αυτός που είπε ψέματα να κρεμαστεί, και με αυτόν τον τρόπο να τηρηθούν οι κανόνες για τη διέλευση της γέφυρας σε κάθε μορφή. Αυτό το απόσπασμα είναι ενδιαφέρον από πολλές απόψεις.

Πρώτα απ 'όλα, είναι μια ξεκάθαρη απεικόνιση του γεγονότος ότι η απελπιστική κατάσταση που περιγράφεται στο παράδοξο μπορεί κάλλιστα να αντιμετωπιστεί -και όχι σε καθαρή θεωρία, αλλά στην πράξη- αν όχι ένα πραγματικό πρόσωπο, τουλάχιστον ένας λογοτεχνικός ήρωας.

Η διέξοδος που πρότεινε ο Σάντσο Πάντσα δεν ήταν φυσικά λύση στο παράδοξο. Αλλά αυτή ήταν μόνο η λύση που έμενε μόνο να καταφύγει στη θέση του.

Κάποτε, ο Μέγας Αλέξανδρος, αντί να λύσει τον πονηρό Γόρδιο δεσμό, που κανείς δεν έχει καταφέρει ακόμα, απλώς τον έκοψε. Το ίδιο έκανε και ο Σάντσο. Η προσπάθεια να λυθεί το παζλ με τους δικούς του όρους ήταν άχρηστη - ήταν απλώς άλυτο. Έμενε να απορρίψετε αυτές τις προϋποθέσεις και να εισαγάγετε τις δικές σας.

Και μια στιγμή. Με αυτό το επεισόδιο, ο Θερβάντες καταδικάζει ξεκάθαρα την υπερβολικά τυπική κλίμακα της μεσαιωνικής δικαιοσύνης, διαποτισμένη από το πνεύμα της σχολαστικής λογικής. Πόσο διαδεδομένες όμως στην εποχή του -και αυτό ήταν περίπου τετρακόσια χρόνια πριν- ήταν πληροφορίες από τον χώρο της λογικής! Αυτό το παράδοξο δεν το γνωρίζει μόνο ο ίδιος ο Θερβάντες. Ο συγγραφέας βρίσκει δυνατό να αποδώσει στον ήρωά του, έναν αγράμματο αγρότη, την ικανότητα να καταλάβει ότι αντιμετωπίζει ένα άλυτο έργο!

Τα παραπάνω παράδοξα είναι επιχειρήματα, το αποτέλεσμα των οποίων είναι μια αντίφαση. Υπάρχουν όμως και άλλα είδη παραδόξων στη λογική. Επισημαίνουν επίσης κάποιες δυσκολίες και προβλήματα, αλλά το κάνουν με λιγότερο σκληρό και ασυμβίβαστο τρόπο. Τέτοια, συγκεκριμένα, είναι τα παράδοξα που συζητούνται παρακάτω.

Οι περισσότερες από τις έννοιες όχι μόνο της φυσικής γλώσσας, αλλά και της γλώσσας της επιστήμης είναι ανακριβείς ή, όπως ονομάζονται επίσης, θολές. Συχνά αυτό αποδεικνύεται ότι είναι η αιτία παρεξηγήσεων, διαφωνιών ή ακόμα και απλώς οδηγεί σε αδιέξοδα.

Εάν η ιδέα είναι ανακριβής, το όριο της περιοχής των αντικειμένων στα οποία εφαρμόζεται είναι χωρίς ευκρίνεια, θολό. Πάρτε, για παράδειγμα, την έννοια του "σωρού". Ένας κόκκος (ένας κόκκος άμμου, μια πέτρα κ.λπ.) δεν είναι ακόμα σωρό. Χίλιοι κόκκοι είναι ήδη, προφανώς, ένα μάτσο. Και τρεις κόκκους; Και δέκα; Ποιος αριθμός κόκκων προστίθεται για να σχηματιστεί ένας σωρός; Όχι πολύ σαφές. Με τον ίδιο τρόπο, δεν είναι ξεκάθαρο με την αφαίρεση ποιου κόκκου εξαφανίζεται ο σωρός.

Ανακριβή είναι τα εμπειρικά χαρακτηριστικά του «μεγάλου», του «βαριού», του «στενού» κ.λπ. Τέτοιες συνηθισμένες έννοιες όπως "σοφός άνθρωπος", "άλογο", "σπίτι" κ.λπ. είναι ανακριβείς.

Δεν υπάρχει κόκκος άμμου που, όταν αφαιρεθεί, μπορούμε να πούμε ότι με την αφαίρεσή του, ό,τι μένει δεν μπορεί πλέον να ονομάζεται σπίτι. Άλλωστε αυτό φαίνεται να σημαίνει ότι σε κανένα σημείο της σταδιακής αποξήλωσης του σπιτιού -μέχρι την πλήρη εξαφάνισή του- δεν υπάρχει λόγος να δηλωθεί ότι δεν υπάρχει σπίτι! Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράδοξο και αποθαρρυντικό.

Είναι εύκολο να δούμε ότι το επιχείρημα για την αδυναμία σχηματισμού σωρού πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη γνωστή μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Ένας κόκκος δεν σχηματίζει σωρό. Αν n κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς, τότε n+1 κόκκοι δεν σχηματίζουν σωρούς. Επομένως, κανένας αριθμός κόκκων δεν μπορεί να σχηματίσει σωρούς.

Η πιθανότητα αυτή και παρόμοιες αποδείξεις να οδηγήσουν σε παράλογα συμπεράσματα σημαίνει ότι η αρχή της μαθηματικής επαγωγής έχει περιορισμένο πεδίο εφαρμογής. Δεν πρέπει να χρησιμοποιείται σε συλλογισμούς με ανακριβείς, ασαφείς έννοιες.

Ένα καλό παράδειγμα του πώς αυτές οι έννοιες μπορούν να οδηγήσουν σε ανεπίλυτες διαφορές είναι μια περίεργη δίκη που έλαβε χώρα το 1927 στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο γλύπτης C. Brancusi προσέφυγε στα δικαστήρια ζητώντας να αναγνωριστούν τα έργα του ως έργα τέχνης. Ανάμεσα στα έργα που στάλθηκαν στη Νέα Υόρκη για την έκθεση ήταν και το γλυπτό «Bird», που θεωρείται πλέον κλασικό του αφηρημένου στυλ. Πρόκειται για μια διαμορφωμένη στήλη από στιλβωμένο μπρούντζο ύψους περίπου ενάμιση μέτρου, που δεν έχει καμία εξωτερική ομοιότητα με πουλί. Οι τελωνειακοί αρνήθηκαν κατηγορηματικά να αναγνωρίσουν τις αφηρημένες δημιουργίες του Μπρανκούζι ως έργα τέχνης. Τα έβαλαν στον τίτλο «Μεταλλικό Νοσοκομείο και Οικιακά Σκεύη» και τους επέβαλαν βαρύ δασμό. Αγανακτισμένος, ο Μπρανκούζι μήνυσε.

Το έθιμο υποστήριξαν καλλιτέχνες - μέλη της Εθνικής Ακαδημίας, που υπερασπίστηκαν τις παραδοσιακές μεθόδους στην τέχνη. Λειτούργησαν ως μάρτυρες υπεράσπισης στη δίκη και επέμειναν κατηγορηματικά ότι η προσπάθεια να περάσει το «Πουλί» ως έργο τέχνης ήταν απλώς μια απάτη.

Αυτή η σύγκρουση τονίζει έντονα τη δυσκολία λειτουργίας με την έννοια του «έργου τέχνης». Η γλυπτική θεωρείται παραδοσιακά μια μορφή καλών τεχνών. Αλλά ο βαθμός ομοιότητας της γλυπτικής εικόνας με το πρωτότυπο μπορεί να ποικίλλει εντός πολύ μεγάλων ορίων. Και σε ποιο σημείο μια γλυπτική εικόνα, που απομακρύνεται όλο και περισσότερο από το πρωτότυπο, παύει να είναι έργο τέχνης και γίνεται «μεταλλικό σκεύος»; Αυτό το ερώτημα είναι τόσο δύσκολο να απαντηθεί όσο το ερώτημα πού είναι το όριο μεταξύ ενός σπιτιού και των ερειπίων του, μεταξύ ενός αλόγου με ουρά και ενός αλόγου χωρίς ουρά κ.λπ. Παρεμπιπτόντως, οι μοντερνιστές είναι γενικά πεπεισμένοι ότι η γλυπτική είναι ένα αντικείμενο εκφραστικής μορφής και δεν χρειάζεται να είναι καθόλου εικόνα.

Επομένως, ο χειρισμός ανακριβών εννοιών απαιτεί μια ορισμένη προσοχή. Δεν θα ήταν καλύτερα να τα αποφύγεις τελείως;

Ο Γερμανός φιλόσοφος E. Husserl είχε την τάση να απαιτεί τέτοια ακραία αυστηρότητα και ακρίβεια από τη γνώση που δεν υπάρχει ούτε στα μαθηματικά. Σε σχέση με αυτό, οι βιογράφοι του Husserl θυμούνται με ειρωνεία ένα περιστατικό που του συνέβη στην παιδική του ηλικία. Του δόθηκε ένα μαχαίρι στυλό και, αποφασίζοντας να κάνει τη λεπίδα όσο το δυνατόν πιο κοφτερή, την ακόνισε μέχρι που δεν έμεινε τίποτα από τη λεπίδα.

Οι πιο ακριβείς έννοιες είναι προτιμότερες από τις ανακριβείς σε πολλές περιπτώσεις. Η συνήθης επιθυμία να διευκρινιστούν οι έννοιες που χρησιμοποιούνται είναι αρκετά δικαιολογημένη. Αλλά πρέπει, φυσικά, να έχει τα όριά του. Ακόμη και στη γλώσσα της επιστήμης, ένα σημαντικό μέρος των εννοιών είναι ανακριβείς. Και αυτό δεν συνδέεται με τα υποκειμενικά και τυχαία λάθη μεμονωμένων επιστημόνων, αλλά με την ίδια τη φύση της επιστημονικής γνώσης. Στη φυσική γλώσσα, οι ανακριβείς έννοιες είναι συντριπτικές. αυτό μιλά, μεταξύ άλλων, για την ευελιξία και τη λανθάνουσα δύναμη του. Όποιος απαιτεί τη μέγιστη ακρίβεια από όλες τις έννοιες διατρέχει τον κίνδυνο να μείνει χωρίς γλώσσα εντελώς. «Στερήστε τις λέξεις από κάθε ασάφεια, κάθε αβεβαιότητα», έγραψε ο Γάλλος αισθητικός J. Joubert, «μετατρέψτε τις... σε μονοψήφια - το παιχνίδι θα αφήσει τον λόγο, και μαζί του την ευγλωττία και την ποίηση: οτιδήποτε είναι κινητό και μεταβλητό σε οι στοργές της ψυχής, δεν μπορούν να βρουν την έκφρασή της. Μα τι λέω: στερήστε ... θα πω κι άλλα. Στέρησε τη λέξη από κάθε ανακρίβεια - και θα χάσεις ακόμη και αξιώματα.

Για πολύ καιρό, τόσο οι λογικοί όσο και οι μαθηματικοί δεν έδιναν σημασία στις δυσκολίες που σχετίζονται με τις ασαφείς έννοιες και τα αντίστοιχα σύνολα τους. Το ερώτημα τέθηκε ως εξής: οι έννοιες πρέπει να είναι ακριβείς και οτιδήποτε ασαφές δεν αξίζει σοβαρού ενδιαφέροντος. Τις τελευταίες δεκαετίες, ωστόσο, αυτή η υπερβολικά αυστηρή στάση έχει χάσει την ελκυστικότητά της. Κατασκευάζονται λογικές θεωρίες που λαμβάνουν ειδικά υπόψη τη μοναδικότητα του συλλογισμού με ανακριβείς έννοιες.

Η μαθηματική θεωρία των λεγόμενων ασαφών συνόλων, ακαθόριστες συλλογές αντικειμένων, αναπτύσσεται ενεργά.

Η ανάλυση των προβλημάτων ανακρίβειας είναι ένα βήμα προς την προσέγγιση της λογικής στην πρακτική της συνηθισμένης σκέψης. Και μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα φέρει πολλά ακόμα ενδιαφέροντα αποτελέσματα.

Δεν υπάρχει, ίσως, τμήμα λογικής που να μην έχει τα δικά του παράδοξα.

Η επαγωγική λογική έχει τα δικά της παράδοξα, τα οποία καταπολεμούνται ενεργά, αλλά μέχρι στιγμής χωρίς ιδιαίτερη επιτυχία, για σχεδόν μισό αιώνα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το παράδοξο επιβεβαίωσης που ανακάλυψε ο Αμερικανός φιλόσοφος Κ. Χέμπελ. Είναι φυσικό να θεωρήσουμε ότι οι γενικές προτάσεις, ιδίως οι επιστημονικοί νόμοι, επιβεβαιώνονται από τα θετικά τους παραδείγματα. Εάν, ας πούμε, ληφθεί υπόψη η πρόταση "Όλα τα κοράκια είναι Β", τότε τα θετικά της παραδείγματα θα είναι αντικείμενα που έχουν ιδιότητες Α και Β. Ειδικότερα, υποστηρικτικά παραδείγματα για την πρόταση "Όλα τα κοράκια είναι μαύρα" είναι αντικείμενα που είναι και κοράκια και μαύρος. Αυτή η δήλωση ισοδυναμεί, ωστόσο, με τη δήλωση «Όλα τα πράγματα που δεν είναι μαύρα δεν είναι κοράκια», και η επιβεβαίωση του δεύτερου πρέπει επίσης να είναι επιβεβαίωση του πρώτου. Αλλά το «Όλα δεν είναι μαύρα δεν είναι κοράκι» επιβεβαιώνεται από κάθε περίπτωση μη μαύρου αντικειμένου που δεν είναι κοράκι. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι οι παρατηρήσεις «Η αγελάδα είναι λευκή», «Τα παπούτσια είναι καφέ» κ.λπ. επιβεβαιώστε τη δήλωση "Όλα τα κοράκια είναι μαύρα".

Ένα απροσδόκητο παράδοξο αποτέλεσμα προκύπτει από φαινομενικά αθώες εγκαταστάσεις.

Στη λογική των κανόνων, μια σειρά από νόμους του προκαλούν ανησυχία. Όταν διατυπώνονται με ουσιαστικούς όρους, η ασυνέπειά τους με τις συνήθεις έννοιες του σωστού και του λάθους γίνεται εμφανής. Για παράδειγμα, ένας από τους νόμους λέει ότι από τη διαταγή "Στείλτε ένα γράμμα!" ακολουθεί η σειρά «Στείλτε το γράμμα ή κάψτε το!».

Ένας άλλος νόμος ορίζει ότι αν κάποιος έχει παραβιάσει ένα από τα καθήκοντά του, έχει το δικαίωμα να κάνει ό,τι θέλει. Η λογική μας διαίσθηση δεν θέλει να τα βάλει με αυτού του είδους τους «υποχρεωτικούς νόμους».

Στη λογική της γνώσης συζητείται έντονα το παράδοξο της λογικής παντογνωσίας. Ισχυρίζεται ότι ένας άνθρωπος γνωρίζει όλες τις λογικές συνέπειες που απορρέουν από τις θέσεις που παίρνει. Για παράδειγμα, αν κάποιος γνωρίζει τα πέντε αξιώματα της γεωμετρίας του Ευκλείδη, τότε, επομένως, γνωρίζει όλη αυτή τη γεωμετρία, αφού προκύπτει από αυτά. Αλλά δεν είναι. Ένα άτομο μπορεί να συμφωνήσει με τα αξιώματα και ταυτόχρονα να μην μπορεί να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα και επομένως να αμφιβάλλει ότι είναι γενικά αληθές.

Δεν υπάρχει εξαντλητικός κατάλογος λογικών παραδόξων και είναι αδύνατο.

Τα θεωρούμενα παράδοξα είναι μόνο ένα μέρος όλων αυτών που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής. Είναι πιθανό να ανακαλυφθούν πολλά άλλα παράδοξα στο μέλλον, ακόμη και εντελώς νέοι τύποι αυτών. Η ίδια η έννοια του παραδόξου δεν είναι τόσο σαφής ώστε να είναι δυνατό να συνταχθεί μια λίστα με τουλάχιστον ήδη γνωστά παράδοξα.

«Τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων είναι ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα, όχι όμως για τα μαθηματικά, αλλά μάλλον για τη λογική και την επιστημολογία», γράφει ο Αυστριακός μαθηματικός και λογικός K. Gödel. «Η λογική είναι ασυνεπής. Δεν υπάρχουν λογικά παράδοξα», λέει ο μαθηματικός D. Bochvar. Τέτοιες αποκλίσεις είναι άλλοτε σημαντικές, άλλοτε λεκτικές. Το θέμα είναι σε μεγάλο βαθμό στο τι ακριβώς εννοείται με το λογικό παράδοξο.

Απαραίτητο χαρακτηριστικό των λογικών παραδόξων είναι το λογικό λεξικό.

Τα παράδοξα που είναι λογικά πρέπει να διατυπώνονται με λογικούς όρους. Ωστόσο, στη λογική δεν υπάρχουν σαφή κριτήρια για τη διαίρεση των όρων σε λογικούς και μη. Η λογική, που ασχολείται με την ορθότητα του συλλογισμού, επιδιώκει να μειώσει στο ελάχιστο τις έννοιες από τις οποίες εξαρτάται η ορθότητα των πρακτικά εφαρμοσμένων συμπερασμάτων. Αλλά αυτό το ελάχιστο δεν είναι προκαθορισμένο με σαφήνεια. Επιπλέον, οι μη λογικές δηλώσεις μπορούν επίσης να διατυπωθούν με λογικούς όρους. Το αν ένα συγκεκριμένο παράδοξο χρησιμοποιεί μόνο καθαρά λογικές προϋποθέσεις δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια.

Τα λογικά παράδοξα δεν διαχωρίζονται αυστηρά από όλα τα άλλα παράδοξα, όπως τα δεύτερα δεν διακρίνονται ξεκάθαρα από καθετί μη παράδοξο και συνεπές με τις επικρατούσες ιδέες.

Στην αρχή της μελέτης των λογικών παραδόξων, φαινόταν ότι μπορούσαν να διακριθούν από την παραβίαση κάποιας ανεξερεύνητης ακόμη θέσης ή κανόνα λογικής. Η αρχή του φαύλου κύκλου που εισήγαγε ο B. Russell ήταν ιδιαίτερα ενεργή στη διεκδίκηση του ρόλου ενός τέτοιου κανόνα. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν μπορεί να περιέχει μέλη που ορίζονται μόνο από την ίδια συλλογή.

Όλα τα παράδοξα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό - την αυτο-εφαρμογή ή την κυκλικότητα. Σε καθένα από αυτά, το εν λόγω αντικείμενο χαρακτηρίζεται από κάποιο σύνολο αντικειμένων στα οποία ανήκει το ίδιο. Αν επιλέξουμε, για παράδειγμα, το πιο πονηρό άτομο, το κάνουμε με τη βοήθεια ενός πληθυσμού ανθρώπων στον οποίο ανήκει αυτό το άτομο. Και αν πούμε: «Αυτή η δήλωση είναι ψευδής», χαρακτηρίζουμε τη δήλωση που μας ενδιαφέρει αναφερόμενοι στο σύνολο όλων των ψευδών δηλώσεων που την περιλαμβάνει.

Σε όλα τα παράδοξα, υπάρχει μια αυτο-εφαρμογή των εννοιών, που σημαίνει ότι υπάρχει, σαν να λέγαμε, κίνηση σε κύκλο, που οδηγεί στο τέλος στην αφετηρία. Στην προσπάθεια να χαρακτηρίσουμε το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, στρεφόμαστε στο σύνολο των αντικειμένων που το περιλαμβάνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι, για την οριστικότητά του, χρειάζεται το ίδιο το αντικείμενο που εξετάζουμε και δεν μπορεί να γίνει σαφώς κατανοητό χωρίς αυτό. Σε αυτόν τον κύκλο, ίσως, βρίσκεται η πηγή των παραδόξων.

Η κατάσταση περιπλέκεται, ωστόσο, από το γεγονός ότι ένας τέτοιος κύκλος υπάρχει σε πολλά εντελώς μη παράδοξα επιχειρήματα. Το Circular είναι μια τεράστια ποικιλία από τους πιο συνηθισμένους, ακίνδυνους και ταυτόχρονα βολικούς τρόπους έκφρασης. Παραδείγματα όπως «η μεγαλύτερη από όλες τις πόλεις», «ο μικρότερος από όλους τους φυσικούς αριθμούς», «ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου σιδήρου» κ.λπ., δείχνουν ότι δεν οδηγεί κάθε περίπτωση αυτοεφαρμογής σε αντίφαση και ότι είναι σημαντικό όχι μόνο στη συνηθισμένη γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης.

Μια απλή αναφορά στη χρήση αυτοεφαρμόσιμων εννοιών είναι επομένως ανεπαρκής για να δυσφημήσει τα παράδοξα. Χρειάζεται κάποιο πρόσθετο κριτήριο για τον διαχωρισμό της αυτο-εφαρμογής, που οδηγεί σε ένα παράδοξο, από όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Υπήρξαν πολλές προτάσεις για το σκοπό αυτό, αλλά δεν βρέθηκε επιτυχής διευκρίνιση της κυκλικότητας. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να χαρακτηριστεί η κυκλικότητα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κυκλικός συλλογισμός να οδηγεί σε ένα παράδοξο και κάθε παράδοξο είναι το αποτέλεσμα κάποιου κυκλικού συλλογισμού.

Μια προσπάθεια να βρεθεί κάποια συγκεκριμένη αρχή λογικής, η παραβίαση της οποίας θα ήταν χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των λογικών παραδόξων, δεν οδήγησε σε κάτι συγκεκριμένο.

Κάποιος τύπος ταξινόμησης των παραδόξων θα ήταν αναμφίβολα χρήσιμος, υποδιαιρώντας τα σε τύπους και τύπους, ομαδοποιώντας ορισμένα παράδοξα και αντιπαραβάλλοντάς τα σε άλλα. Ωστόσο, και σε αυτή την περίπτωση δεν έχει επιτευχθεί τίποτα βιώσιμο.

Ο Άγγλος λογικός F. Ramsey, που πέθανε το 1930, όταν δεν ήταν ακόμη είκοσι επτά ετών, πρότεινε να χωριστούν όλα τα παράδοξα σε συντακτικά και σημασιολογικά. Το πρώτο περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το παράδοξο του Russell, το δεύτερο - τα παράδοξα του "Ψεύτη", του Grelling κ.λπ.

Σύμφωνα με τον Ramsey, τα παράδοξα της πρώτης ομάδας περιέχουν μόνο έννοιες που ανήκουν στη λογική ή στα μαθηματικά. Οι τελευταίες περιλαμβάνουν έννοιες όπως «αλήθεια», «καθορισμός», «ονομασία», «γλώσσα», οι οποίες δεν είναι αυστηρά μαθηματικές, αλλά μάλλον σχετίζονται με τη γλωσσολογία ή ακόμα και με τη θεωρία της γνώσης. Τα σημασιολογικά παράδοξα φαίνεται να οφείλουν την εμφάνισή τους όχι σε κάποιο λάθος στη λογική, αλλά στην ασάφεια ή ασάφεια κάποιων μη λογικών εννοιών, επομένως τα προβλήματα που θέτουν αφορούν τη γλώσσα και πρέπει να λυθούν από τη γλωσσολογία.

Φάνηκε στον Ramsey ότι οι μαθηματικοί και οι λογικοί δεν χρειάζεται να ενδιαφέρονται για τα σημασιολογικά παράδοξα. Αργότερα, ωστόσο, αποδείχθηκε ότι μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα της σύγχρονης λογικής προέκυψαν ακριβώς σε σχέση με μια βαθύτερη μελέτη ακριβώς αυτών των μη λογικών παραδόξων.

Η διαίρεση των παραδόξων που πρότεινε ο Ramsey χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχή και διατηρεί κάποια σημασία ακόμη και τώρα. Ταυτόχρονα, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι αυτή η διαίρεση είναι μάλλον ασαφής και βασίζεται κυρίως σε παραδείγματα και όχι σε μια εις βάθος συγκριτική ανάλυση των δύο ομάδων παραδόξων. Οι σημασιολογικές έννοιες είναι πλέον καλά καθορισμένες και είναι δύσκολο να μην αναγνωρίσουμε ότι αυτές οι έννοιες είναι πράγματι λογικές. Με την ανάπτυξη της σημασιολογίας, η οποία ορίζει τις βασικές της έννοιες με όρους θεωρίας συνόλων, η διάκριση που κάνει ο Ramsey γίνεται όλο και πιο θολή.

Ποια συμπεράσματα για τη λογική προκύπτουν από την ύπαρξη παραδόξων;

Καταρχάς, η παρουσία ενός μεγάλου αριθμού παραδόξων μιλά για τη δύναμη της λογικής ως επιστήμης και όχι για την αδυναμία της, όπως μπορεί να φαίνεται.

Δεν ήταν τυχαίο ότι η ανακάλυψη των παραδόξων συνέπεσε με την περίοδο της πιο εντατικής ανάπτυξης της σύγχρονης λογικής και των μεγαλύτερων επιτυχιών της.

Τα πρώτα παράδοξα ανακαλύφθηκαν πριν ακόμη από την εμφάνιση της λογικής ως ειδικής επιστήμης. Πολλά παράδοξα ανακαλύφθηκαν στο Μεσαίωνα. Αργότερα, όμως, αποδείχτηκε ότι ξεχάστηκαν και ανακαλύφθηκαν ξανά ήδη στον αιώνα μας.

Οι μεσαιωνικοί λογικοί δεν γνώριζαν τις έννοιες του "συνόλου" και του "στοιχείου του συνόλου", που εισήχθησαν στην επιστήμη μόλις στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Αλλά η όρεξη για τα παράδοξα ακονίστηκε στον Μεσαίωνα σε τέτοιο βαθμό που ήδη από εκείνη την πρώιμη εποχή εκφράστηκαν ορισμένες ανησυχίες για αυτοεφαρμοστέες έννοιες. Το απλούστερο παράδειγμα αυτού είναι η έννοια του «να είσαι το στοιχείο του εαυτού σου» που εμφανίζεται σε πολλά από τα σημερινά παράδοξα.

Ωστόσο, τέτοιοι φόβοι, όπως όλες οι προειδοποιήσεις για τα παράδοξα γενικά, δεν ήταν συστηματικοί και συγκεκριμένοι μέχρι τον αιώνα μας. Δεν οδήγησαν σε σαφείς προτάσεις για επανεξέταση των συνήθων τρόπων σκέψης και έκφρασης.

Μόνο η σύγχρονη λογική έχει βγάλει από τη λήθη το ίδιο το πρόβλημα των παραδόξων, ανακάλυψε ή ανακάλυψε εκ νέου τα περισσότερα από τα συγκεκριμένα λογικά παράδοξα. Έδειξε περαιτέρω ότι οι τρόποι σκέψης που παραδοσιακά διερευνώνται από τη λογική είναι εντελώς ανεπαρκείς για την εξάλειψη των παραδόξων και υπέδειξε θεμελιωδώς νέες μεθόδους αντιμετώπισής τους.

Τα παράδοξα θέτουν ένα σημαντικό ερώτημα: πού, στην πραγματικότητα, μας αποτυγχάνουν μερικές από τις συνήθεις μεθόδους σχηματισμού εννοιών και συλλογισμού; Άλλωστε, έμοιαζαν απόλυτα φυσικές και πειστικές, μέχρι που αποδείχθηκε ότι ήταν παράδοξοι.

Τα παράδοξα υπονομεύουν την πεποίθηση ότι οι συνήθεις μέθοδοι θεωρητικής σκέψης από μόνες τους και χωρίς ιδιαίτερο έλεγχο πάνω τους παρέχουν μια αξιόπιστη πρόοδο προς την αλήθεια.

Απαιτώντας μια ριζική αλλαγή σε μια υπερβολικά ευκολόπιστη προσέγγιση της θεωρίας, τα παράδοξα είναι μια σκληρή κριτική της λογικής στην αφελή, διαισθητική της μορφή. Παίζουν το ρόλο ενός παράγοντα που ελέγχει και θέτει περιορισμούς στον τρόπο κατασκευής των απαγωγικών συστημάτων λογικής. Και αυτός ο ρόλος τους μπορεί να συγκριθεί με τον ρόλο ενός πειράματος που ελέγχει την ορθότητα των υποθέσεων σε επιστήμες όπως η φυσική και η χημεία και τους αναγκάζει να κάνουν αλλαγές σε αυτές τις υποθέσεις.

Ένα παράδοξο σε μια θεωρία μιλά για την ασυμβατότητα των υποθέσεων που τη διέπουν. Λειτουργεί ως έγκαιρα ανιχνευμένο σύμπτωμα της νόσου, χωρίς το οποίο θα μπορούσε να είχε αγνοηθεί.

Φυσικά, η ασθένεια εκδηλώνεται με πολλούς τρόπους και στο τέλος είναι δυνατόν να αποκαλυφθεί χωρίς τέτοια οξεία συμπτώματα όπως τα παράδοξα. Για παράδειγμα, τα θεμέλια της θεωρίας συνόλων θα αναλύονταν και θα τελειοποιούνταν ακόμη και αν δεν ανακαλύφθηκαν παράδοξα σε αυτόν τον τομέα. Αλλά δεν θα υπήρχε αυτή η οξύτητα και ο επείγων χαρακτήρας με τον οποίο τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν σε αυτό έθεσαν το πρόβλημα της αναθεώρησης της θεωρίας συνόλων.

Μια εκτενής βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη στα παράδοξα, έχει προταθεί ένας μεγάλος αριθμός από τις εξηγήσεις τους. Καμία όμως από αυτές τις εξηγήσεις δεν είναι καθολικά αποδεκτή και δεν υπάρχει πλήρης συμφωνία για την προέλευση των παραδόξων και για το πώς να απαλλαγούμε από αυτά.

«Τα τελευταία εξήντα χρόνια, εκατοντάδες βιβλία και άρθρα έχουν αφιερωθεί στον στόχο της επίλυσης παραδόξων, αλλά τα αποτελέσματα είναι εκπληκτικά φτωχά σε σύγκριση με τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν», γράφει ο A. Frenkel. «Φαίνεται ότι», καταλήγει η ανάλυσή του για τα παράδοξα, ο Χ. Κάρι, «ότι απαιτείται πλήρης μεταρρύθμιση της λογικής και η μαθηματική λογική μπορεί να γίνει το κύριο εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της μεταρρύθμισης».

Πρέπει να σημειωθεί μια σημαντική διαφορά.

Η εξάλειψη των παραδόξων και η επίλυσή τους δεν είναι το ίδιο πράγμα. Το να αφαιρέσετε ένα παράδοξο από μια συγκεκριμένη θεωρία σημαίνει να το αναδιαρθρώσετε με τέτοιο τρόπο ώστε ο παράδοξος ισχυρισμός να αποδειχθεί αναπόδεικτος σε αυτήν. Κάθε παράδοξο βασίζεται σε μεγάλο αριθμό ορισμών, υποθέσεων και επιχειρημάτων. Το συμπέρασμά του στη θεωρία είναι μια ορισμένη αλυσίδα συλλογισμών. Επίσημα μιλώντας, μπορεί κανείς να αμφισβητήσει οποιονδήποτε από τους κρίκους του, να τον απορρίψει και έτσι να σπάσει την αλυσίδα και να εξαλείψει το παράδοξο. Σε πολλά έργα αυτό γίνεται και περιορίζεται σε αυτό.

Αλλά αυτή δεν είναι ακόμη η επίλυση του παραδόξου. Δεν αρκεί να βρούμε έναν τρόπο να το αποκλείσουμε· πρέπει να δικαιολογήσουμε πειστικά την προτεινόμενη λύση. Η ίδια η αμφιβολία για κάποιο βήμα που οδηγεί σε ένα παράδοξο πρέπει να είναι βάσιμη.

Πρώτα απ 'όλα, η απόφαση να εγκαταλείψουμε ορισμένα λογικά μέσα που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μιας παράδοξης δήλωσης πρέπει να συνδέεται με τις γενικές μας σκέψεις σχετικά με τη φύση της λογικής απόδειξης και άλλες λογικές διαισθήσεις. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, η εξάλειψη του παραδόξου αποδεικνύεται ότι στερείται γερών και σταθερών θεμελίων και εκφυλίζεται σε ένα κατεξοχήν τεχνικό έργο.

Επιπλέον, η απόρριψη κάποιας υπόθεσης, ακόμη κι αν παρέχει την εξάλειψη κάποιου συγκεκριμένου παραδόξου, δεν εγγυάται αυτόματα την εξάλειψη όλων των παραδόξων. Αυτό υποδηλώνει ότι τα παράδοξα δεν πρέπει να «κυνηγούνται» ένα προς ένα. Ο αποκλεισμός ενός από αυτούς πρέπει πάντα να είναι τόσο δικαιολογημένος ώστε να υπάρχει μια βέβαιη εγγύηση ότι άλλα παράδοξα θα εξαλειφθούν με το ίδιο βήμα.

Κάθε φορά που ανακαλύπτεται ένα παράδοξο, γράφει ο A. Tarsky, «πρέπει να υποβάλλουμε τον τρόπο σκέψης μας σε μια ενδελεχή αναθεώρηση, να απορρίψουμε κάποιες υποθέσεις στις οποίες πιστεύαμε και να βελτιώσουμε τις μεθόδους επιχειρηματολογίας που χρησιμοποιήσαμε. Αυτό το κάνουμε σε μια προσπάθεια όχι μόνο να απαλλαγούμε από τις αντινομίες, αλλά και να αποτρέψουμε την εμφάνιση νέων.

Και τέλος, μια άστοχη και απρόσεκτη απόρριψη πάρα πολλών ή πολύ ισχυρών υποθέσεων μπορεί απλώς να οδηγήσει στο γεγονός ότι, αν και δεν περιέχει παράδοξα, θα αποδειχθεί μια σημαντικά ασθενέστερη θεωρία που έχει μόνο ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Ποιο μπορεί να είναι το ελάχιστο, λιγότερο ριζοσπαστικό σύνολο μέτρων για την αποφυγή γνωστών παραδόξων;

Ένας τρόπος είναι να ξεχωρίσουμε, μαζί με σωστές και ψευδείς προτάσεις, και προτάσεις χωρίς νόημα. Αυτό το μονοπάτι υιοθέτησε ο B. Russell. Οι παράδοξοι συλλογισμοί κηρύχθηκαν από τον ίδιο ως ανούσιοι με το σκεπτικό ότι παραβίαζαν τις απαιτήσεις της λογικής γραμματικής. Δεν έχει νόημα κάθε πρόταση που δεν παραβιάζει τους κανόνες της συνηθισμένης γραμματικής - πρέπει επίσης να ικανοποιεί τους κανόνες μιας ειδικής, λογικής γραμματικής.

Ο Ράσελ έχτισε μια θεωρία λογικών τύπων, ένα είδος λογικής γραμματικής, του οποίου το καθήκον ήταν να εξαλείψει όλες τις γνωστές αντινομίες. Στη συνέχεια, η θεωρία αυτή απλοποιήθηκε ουσιαστικά και ονομάστηκε απλή θεωρία τύπων.

Η κύρια ιδέα της θεωρίας των τύπων είναι η κατανομή λογικά διαφορετικών τύπων αντικειμένων, η εισαγωγή ενός είδους ιεραρχίας ή κλίμακας των αντικειμένων που εξετάζονται. Ο χαμηλότερος ή μηδενικός τύπος περιλαμβάνει μεμονωμένα αντικείμενα που δεν είναι σετ. Ο πρώτος τύπος περιλαμβάνει σύνολα αντικειμένων μηδενικού τύπου, δηλ. τα άτομα; στο δεύτερο - σύνολα ατόμων κ.λπ. Με άλλα λόγια, γίνεται διάκριση μεταξύ αντικειμένων, ιδιοτήτων αντικειμένων, ιδιοτήτων ιδιοτήτων αντικειμένων κ.λπ. Ταυτόχρονα, εισάγονται ορισμένοι περιορισμοί στην κατασκευή προτάσεων. Οι ιδιότητες μπορούν να αποδοθούν σε αντικείμενα, οι ιδιότητες των ιδιοτήτων σε ιδιότητες κ.λπ. Αλλά είναι αδύνατο να υποστηρίξουμε με νόημα ότι τα αντικείμενα έχουν ιδιότητες ιδιοτήτων.

Ας πάρουμε μια σειρά από προτάσεις:

Αυτό το σπίτι είναι κόκκινο.

Το κόκκινο είναι χρώμα.

Το χρώμα είναι ένα οπτικό φαινόμενο.

Σε αυτές τις προτάσεις, η έκφραση "αυτό το σπίτι" υποδηλώνει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, η λέξη "κόκκινο" υποδηλώνει την ιδιότητα που είναι εγγενής σε αυτό το αντικείμενο, "να είναι χρώμα" - στην ιδιότητα αυτής της ιδιότητας ("να είναι κόκκινο") και " να είναι ένα οπτικό φαινόμενο" - υποδηλώνει την ιδιότητα της ιδιότητας "να είναι ένα χρώμα" που ανήκει στην ιδιότητα "να είσαι κόκκινο". Εδώ δεν έχουμε να κάνουμε μόνο με αντικείμενα και τις ιδιότητές τους, αλλά και με τις ιδιότητες των ιδιοτήτων («η ιδιότητα του να είναι κόκκινο έχει την ιδιότητα να είναι χρώμα»), ακόμη και με τις ιδιότητες των ιδιοτήτων των ιδιοτήτων.

Και οι τρεις προτάσεις από την παραπάνω σειρά έχουν, φυσικά, νόημα. Κατασκευάζονται σύμφωνα με τις απαιτήσεις της θεωρίας τύπων. Και ας πούμε ότι η πρόταση "Αυτό το σπίτι είναι ένα χρώμα" παραβιάζει αυτές τις απαιτήσεις. Αποδίδει σε ένα αντικείμενο αυτό το χαρακτηριστικό που μπορεί να ανήκει μόνο σε ιδιότητες, αλλά όχι σε αντικείμενα. Παρόμοια παραβίαση περιέχεται στην πρόταση «Αυτό το σπίτι είναι ένα οπτικό φαινόμενο». Και οι δύο αυτές προτάσεις πρέπει να χαρακτηριστούν ως ανούσιες.

Μια απλή θεωρία τύπων εξαλείφει το παράδοξο του Ράσελ. Ωστόσο, για να εξαλειφθούν τα παράδοξα του Liar και του Berry, δεν αρκεί πλέον απλώς η διαίρεση των υπό εξέταση αντικειμένων σε τύπους. Είναι απαραίτητο να εισαχθεί κάποια πρόσθετη παραγγελία εντός των ίδιων των τύπων.

Η εξάλειψη των παραδόξων μπορεί επίσης να επιτευχθεί με την αποφυγή της χρήσης πολύ μεγάλων σετ, παρόμοιων με το σύνολο όλων των σετ. Αυτό το μονοπάτι προτάθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό E. Zermelo, ο οποίος συνέδεσε την εμφάνιση των παραδόξων με την απεριόριστη κατασκευή συνόλων. Τα αποδεκτά σύνολα ορίστηκαν από αυτόν με κάποια λίστα αξιωμάτων που διατυπώθηκε με τέτοιο τρόπο ώστε να μην συνάγονται γνωστά παράδοξα από αυτά. Ταυτόχρονα, αυτά τα αξιώματα ήταν αρκετά ισχυρά ώστε να συνάγουν από αυτά τα συνήθη επιχειρήματα των κλασικών μαθηματικών, αλλά χωρίς παράδοξα.

Ούτε αυτοί οι δύο ούτε οι άλλοι προτεινόμενοι τρόποι εξάλειψης των παραδόξων είναι γενικά αποδεκτοί. Δεν υπάρχει κοινή πεποίθηση ότι κάποια από τις προτεινόμενες θεωρίες επιλύει λογικά παράδοξα και όχι απλώς τα απορρίπτει χωρίς βαθιά εξήγηση. Το πρόβλημα της εξήγησης των παραδόξων είναι ακόμα ανοιχτό και σημαντικό.

Ο G. Frege, ο μεγαλύτερος λογικός του περασμένου αιώνα, είχε δυστυχώς πολύ κακό χαρακτήρα. Επιπλέον, ήταν ανεπιφύλακτα και μάλιστα σκληρός απέναντι στην κριτική του προς τους συγχρόνους του.

Ίσως γι' αυτό η συμβολή του στη λογική και τη θεμελίωση των μαθηματικών δεν έτυχε αναγνώρισης για πολύ καιρό. Και όταν άρχισε να του έρχεται η φήμη, ο νεαρός Άγγλος λογικός B. Russell του έγραψε ότι προκύπτει μια αντίφαση στο σύστημα που δημοσιεύτηκε στον πρώτο τόμο του βιβλίου του The Fundamental Laws of Arithmetic. Ο δεύτερος τόμος αυτού του βιβλίου ήταν ήδη υπό έκδοση, και ο Frege μπορούσε μόνο να προσθέσει ένα ειδικό παράρτημα σε αυτό, στο οποίο περιέγραψε αυτή την αντίφαση (αργότερα ονομάστηκε "παράδοξο του Ράσελ") και παραδέχτηκε ότι δεν ήταν σε θέση να την εξαλείψει.

Ωστόσο, οι συνέπειες αυτής της αναγνώρισης ήταν τραγικές για τον Frege. Έζησε το μεγαλύτερο σοκ. Και παρόλο που ήταν τότε μόλις 55 ετών, δεν δημοσίευσε άλλο σημαντικό έργο για τη λογική, αν και έζησε για περισσότερα από είκοσι χρόνια. Δεν απάντησε καν στη ζωηρή συζήτηση που προκάλεσε το παράδοξο του Ράσελ και δεν αντέδρασε με κανέναν τρόπο στις πολλές προτεινόμενες λύσεις σε αυτό το παράδοξο.

Την εντύπωση που έκαναν στους μαθηματικούς και τους λογικούς τα πρόσφατα ανακαλυφθέντα παράδοξα εκφράστηκε καλά από τον D. Hilbert: «... Η κατάσταση στην οποία βρισκόμαστε τώρα σε σχέση με τα παράδοξα είναι αφόρητη για πολύ καιρό. Σκεφτείτε το: στα μαθηματικά - αυτό το μοντέλο βεβαιότητας και αλήθειας - ο σχηματισμός εννοιών και η πορεία των συμπερασμάτων, όπως όλοι τις μελετούν, τις διδάσκουν και τις εφαρμόζουν, οδηγεί στον παραλογισμό. Πού να αναζητήσετε την αξιοπιστία και την αλήθεια, αν ακόμη και η ίδια η μαθηματική σκέψη δεν λειτουργεί σωστά;

Ο Frege ήταν τυπικός εκπρόσωπος της λογικής του τέλους του δέκατου ένατου αιώνα, απαλλαγμένος από κάθε είδους παράδοξα, λογική, σίγουρος για τις δυνατότητές της και ισχυριζόμενος ότι είναι κριτήριο αυστηρότητας ακόμη και για τα μαθηματικά. Τα παράδοξα έδειχναν ότι η απόλυτη αυστηρότητα που πέτυχε η δήθεν λογική δεν ήταν παρά μια ψευδαίσθηση. Έδειξαν αναμφισβήτητα ότι η λογική - με τη διαισθητική μορφή που είχε στις αρχές του αιώνα - χρειάζεται μια βαθιά αναθεώρηση.

Έχει περάσει περίπου ένας αιώνας από τότε που ξεκίνησε η ζωηρή συζήτηση για τα παράδοξα. Η αναθεώρηση της λογικής που αναλήφθηκε δεν οδήγησε, ωστόσο, σε ξεκάθαρη επίλυσή τους.

Και την ίδια στιγμή, ένα τέτοιο κράτος δεν απασχολεί σχεδόν κανέναν σήμερα. Με την πάροδο του χρόνου, οι στάσεις απέναντι στα παράδοξα έχουν γίνει πιο ήρεμες και ακόμη πιο ανεκτικές από ό,τι την εποχή που ανακαλύφθηκαν. Δεν είναι μόνο ότι τα παράδοξα έχουν γίνει κάτι οικείο. Και, φυσικά, όχι ότι τα έβαλαν μαζί τους. Παραμένουν ακόμα στο επίκεντρο των λογικών, η αναζήτηση των λύσεών τους συνεχίζεται ενεργά. Η κατάσταση άλλαξε πρωτίστως γιατί τα παράδοξα αποδείχθηκαν, ας πούμε, τοπικά. Έχουν βρει τη σαφή, αν και προβληματική, θέση τους σε ένα ευρύ φάσμα λογικών μελετών. Έγινε σαφές ότι η απόλυτη λιτότητα, όπως παρουσιάστηκε στα τέλη του περασμένου αιώνα και ακόμη και μερικές φορές στις αρχές αυτού του αιώνα, είναι, καταρχήν, ένα ανέφικτο ιδανικό.

Συνειδητοποιήθηκε επίσης ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα παραδόξων που να είναι μόνο του. Τα προβλήματα που σχετίζονται με αυτά είναι διαφορετικών τύπων και επηρεάζουν, στην πραγματικότητα, όλα τα κύρια τμήματα της λογικής. Η ανακάλυψη ενός παραδόξου μας αναγκάζει να αναλύσουμε βαθύτερα τις λογικές μας διαισθήσεις και να εμπλακούμε σε μια συστηματική επανεπεξεργασία των θεμελίων της επιστήμης της λογικής. Ταυτόχρονα, η επιθυμία να αποφευχθούν τα παράδοξα δεν είναι ούτε το μοναδικό, ούτε καν το κύριο καθήκον. Αν και είναι σημαντικά, αποτελούν απλώς μια αφορμή για προβληματισμό πάνω στα κεντρικά θέματα της λογικής. Συνεχίζοντας τη σύγκριση των παραδόξων με ιδιαίτερα έντονα συμπτώματα της νόσου, μπορεί να ειπωθεί ότι η επιθυμία για άμεση εξάλειψη των παραδόξων θα ήταν σαν μια επιθυμία να αφαιρεθούν τέτοια συμπτώματα χωρίς ιδιαίτερη ανησυχία για την ίδια την ασθένεια. Αυτό που απαιτείται δεν είναι απλώς η επίλυση των παραδόξων, αλλά η εξήγησή τους, η οποία βαθαίνει την κατανόησή μας για τα λογικά σχήματα σκέψης.

Και για να ολοκληρώσουμε αυτή τη σύντομη συζήτηση για τα λογικά παράδοξα, εδώ είναι μερικά προβλήματα που ο αναγνώστης θα βρει χρήσιμο να συλλογιστεί. Είναι απαραίτητο να αποφασιστεί εάν οι δηλώσεις και το σκεπτικό που δίνονται είναι πραγματικά λογικά παράδοξα ή απλώς φαίνονται να είναι. Για να γίνει αυτό, προφανώς, θα πρέπει κάποιος να αναδιαρθρώσει με κάποιο τρόπο το αρχικό υλικό και να προσπαθήσει να αντλήσει μια αντίφαση από αυτό: τόσο την επιβεβαίωση όσο και την άρνηση του ίδιου πράγματος για το ίδιο πράγμα. Εάν εντοπιστεί ένα παράδοξο, μπορείτε να σκεφτείτε τι προκαλεί την εμφάνισή του και πώς να το εξαλείψετε. Μπορείτε ακόμη και να προσπαθήσετε να επινοήσετε το δικό σας παράδοξο του ίδιου τύπου, δηλ. κατασκευασμένο σύμφωνα με το ίδιο σχήμα, αλλά με βάση άλλες έννοιες.

1. Αυτός που λέει: «Δεν ξέρω τίποτα» κάνει μια φαινομενικά παράδοξη, αυτοαντιφατική δήλωση. Δηλώνει επί της ουσίας «Ξέρω ότι δεν ξέρω τίποτα». Αλλά η γνώση ότι δεν υπάρχει γνώση εξακολουθεί να είναι γνώση. Αυτό σημαίνει ότι ο ομιλητής, αφενός, διαβεβαιώνει ότι δεν έχει καμία γνώση, και αφετέρου, με τον ίδιο τον ισχυρισμό αυτού λέει ότι έχει κάποια γνώση. Τι συμβαίνει εδώ;

Αναλογιζόμενος αυτή τη δυσκολία, μπορεί να υπενθυμιστεί ότι ο Σωκράτης εξέφρασε μια παρόμοια ιδέα πιο προσεκτικά. Είπε: «Ξέρω μόνο ότι δεν ξέρω τίποτα». Από την άλλη, ένας άλλος αρχαίος Έλληνας, ο Μητρόδωρος, ισχυρίστηκε με απόλυτη πεποίθηση: «Δεν ξέρω τίποτα και δεν ξέρω καν ότι δεν ξέρω τίποτα». Υπάρχει παράδοξο σε αυτή τη δήλωση;

2. Τα ιστορικά γεγονότα είναι μοναδικά. Η ιστορία, αν επαναλαμβάνεται, είναι, σύμφωνα με μια γνωστή έκφραση, την πρώτη φορά σαν τραγωδία και τη δεύτερη σαν φάρσα. Από τη μοναδικότητα των ιστορικών γεγονότων, μερικές φορές προκύπτει η ιδέα ότι η ιστορία δεν διδάσκει τίποτα. «Ίσως το μεγαλύτερο μάθημα της ιστορίας», γράφει ο O. Huxley, «βρίσκεται πραγματικά στο γεγονός ότι κανείς δεν έχει μάθει ποτέ τίποτα από την ιστορία».

Είναι απίθανο αυτή η ιδέα να είναι σωστή. Το παρελθόν είναι ακριβώς αυτό που μελετάται κυρίως για να κατανοήσουμε καλύτερα το παρόν και το μέλλον. Άλλο είναι ότι τα «μαθήματα» του παρελθόντος, κατά κανόνα, είναι διφορούμενα.

Δεν είναι αυτοαντιφατική η πεποίθηση ότι η ιστορία δεν διδάσκει τίποτα; Εξάλλου, η ίδια προκύπτει από την ιστορία ως ένα από τα μαθήματά της. Δεν θα ήταν καλύτερο για τους υποστηρικτές αυτής της ιδέας να τη διατυπώσουν με τέτοιο τρόπο ώστε να μην ισχύει για τους εαυτούς τους: «Η ιστορία διδάσκει το μόνο πράγμα - τίποτα δεν μπορεί να διδαχθεί από αυτήν» ή «Η ιστορία δεν διδάσκει τίποτα εκτός από αυτό το μάθημα δικό της»;

3. «Αποδείχθηκε ότι δεν υπάρχουν στοιχεία». Αυτό φαίνεται να είναι μια εσωτερικά αντιφατική δήλωση: είναι μια απόδειξη ή προϋποθέτει μια απόδειξη που έχει ήδη γίνει («αποδείχθηκε ότι…») και ταυτόχρονα υποστηρίζει ότι δεν υπάρχει απόδειξη.

Ο γνωστός αρχαίος σκεπτικιστής Sextus Empiricus πρότεινε την εξής λύση: αντί της παραπάνω δήλωσης, αποδεχτείτε τη δήλωση «Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει άλλη απόδειξη εκτός από αυτό» (ή: «Έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει τίποτα άλλο αποδεδειγμένο από αυτό"). Αλλά αυτή η διέξοδος δεν είναι απατηλή; Εξάλλου, υποστηρίζεται, στην ουσία, ότι υπάρχει μόνο μία και μοναδική απόδειξη - η απόδειξη της ανυπαρξίας οποιασδήποτε απόδειξης («Υπάρχει μία και μοναδική απόδειξη: η απόδειξη ότι δεν υπάρχουν άλλες αποδείξεις»). Ποια είναι λοιπόν η λειτουργία της ίδιας της απόδειξης, αν, κρίνοντας από αυτόν τον ισχυρισμό, ήταν δυνατό να πραγματοποιηθεί μόνο μία φορά; Σε κάθε περίπτωση, η γνώμη του ίδιου του Σέξτου για την αξία των αποδεικτικών στοιχείων δεν ήταν πολύ υψηλή. Έγραψε, συγκεκριμένα: «Όπως έχουν δίκιο όσοι κάνουν χωρίς αποδείξεις, έτσι έχουν και εκείνοι που, έχοντας την τάση να αμφιβάλλουν, προβάλλουν αβάσιμα την αντίθετη γνώμη».

4. «Καμία δήλωση δεν είναι αρνητική», ή πιο απλά: «Δεν υπάρχουν αρνητικές δηλώσεις». Ωστόσο, αυτή η έκφραση είναι μια δήλωση και είναι ακριβώς αρνητική. Μοιάζει με παράδοξο. Ποια αναδιατύπωση αυτής της δήλωσης θα μπορούσε να αποφύγει το παράδοξο;

Ο μεσαιωνικός φιλόσοφος και λογικός Zh. Ο γάιδαρος, όπως κάθε άλλο ζώο, προσπαθεί να διαλέξει το καλύτερο από δύο πράγματα. Τα δύο μπράτσα δεν διακρίνονται τελείως μεταξύ τους, και ως εκ τούτου δεν μπορεί να προτιμήσει κανένα από τα δύο. Ωστόσο, αυτός ο «γάιδαρος μπουριντάν» δεν υπάρχει στα γραπτά του ίδιου του Μπουριντάν. Στη λογική, ο Μπουριντάν είναι πολύ γνωστός και συγκεκριμένα για το βιβλίο του για τα σοφίσματα. Περιέχει το ακόλουθο συμπέρασμα, σχετικό με το θέμα μας: καμία δήλωση δεν είναι αρνητική. Επομένως, υπάρχει μια αρνητική πρόταση. Είναι δικαιολογημένο αυτό το συμπέρασμα;

5. Είναι γνωστή η περιγραφή του N.V. Gogol για το παιχνίδι πούλι του Chichikov με τον Nozdrev. Το παιχνίδι τους δεν τελείωσε ποτέ, ο Chichikov παρατήρησε ότι ο Nozdryov απατούσε και αρνήθηκε να παίξει από φόβο μήπως χάσει. Πρόσφατα, ένας ειδικός στα drafts ανακατασκεύασε τις παρατηρήσεις εκείνων που έπαιξαν την πορεία αυτού του παιχνιδιού και έδειξε ότι η θέση του Chichikov δεν ήταν ακόμη απελπιστική.

Ας υποθέσουμε ότι ο Chichikov παρόλα αυτά συνέχισε το παιχνίδι και τελικά κέρδισε το παιχνίδι, παρά το κόλπο του συντρόφου του. Σύμφωνα με τη συμφωνία, ο ηττημένος Nozdryov έπρεπε να δώσει στον Chichikov πενήντα ρούβλια και «κάποιο κουτάβι της μεσαίας τάξης ή μια χρυσή σφραγίδα για ένα ρολόι». Αλλά ο Nozdryov πιθανότατα θα αρνιόταν να πληρώσει, επισημαίνοντας ότι ο ίδιος εξαπάτησε όλο το παιχνίδι και ότι το να μην παίζεις σύμφωνα με τους κανόνες, όπως λέγαμε, δεν είναι παιχνίδι. Ο Chichikov θα μπορούσε να είχε αντίρρηση ότι το να μιλάμε για απάτη εδώ είναι άτοπο: ο ίδιος ο ηττημένος απάτησε, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να πληρώσει ακόμη περισσότερο.

Πράγματι, θα έπρεπε να πληρώσει ο Nozdryov σε μια τέτοια κατάσταση ή όχι; Από τη μια ναι γιατί έχασε. Αλλά από την άλλη, όχι, αφού ένα παιχνίδι που δεν είναι σύμφωνα με τους κανόνες δεν είναι καθόλου παιχνίδι. Δεν μπορεί να υπάρξει νικητής ή ηττημένος σε ένα τέτοιο «παιχνίδι». Εάν ο ίδιος ο Chichikov είχε εξαπατήσει, ο Nozdryov, φυσικά, δεν θα ήταν υποχρεωμένος να πληρώσει. Αλλά, ωστόσο, ήταν ο ηττημένος Nozdryov που απάτησε ...

Κάτι παράδοξο γίνεται αισθητό εδώ: «από τη μια…», «από την άλλη…», και, επιπλέον, και στις δύο πλευρές είναι εξίσου πειστικό, αν και αυτές οι πλευρές είναι ασυμβίβαστες.

Πρέπει να πληρώσει ακόμα ο Nozdryov ή όχι;

6. «Κάθε κανόνας έχει εξαιρέσεις». Αλλά αυτή η δήλωση είναι από μόνη της κανόνας. Όπως όλοι οι άλλοι κανόνες, πρέπει να έχει εξαιρέσεις. Μια τέτοια εξαίρεση θα ήταν προφανώς ο κανόνας «Υπάρχουν κανόνες που δεν έχουν εξαιρέσεις». Δεν υπάρχει παράδοξο σε όλα; Ποιο από τα προηγούμενα παραδείγματα μοιάζει με αυτούς τους δύο κανόνες; Επιτρέπεται να συλλογίζεται έτσι: κάθε κανόνας έχει εξαιρέσεις; Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κανόνες χωρίς εξαιρέσεις;

7. «Κάθε γενίκευση είναι λάθος». Είναι σαφές ότι αυτή η δήλωση συνοψίζει την εμπειρία της νοητικής λειτουργίας της γενίκευσης και είναι η ίδια μια γενίκευση. Όπως όλες οι άλλες γενικεύσεις, πρέπει να είναι λάθος. Άρα, πρέπει να υπάρχουν αληθινές γενικεύσεις. Ωστόσο, είναι σωστό να επιχειρηματολογούμε ως εξής: κάθε γενίκευση είναι λάθος, επομένως, υπάρχουν αληθινές γενικεύσεις;

8. Κάποιος συγγραφέας έχει συνθέσει έναν «Επιτάφιο σε όλα τα είδη» που έχει σχεδιαστεί για να αποδείξει ότι τα λογοτεχνικά είδη, η διάκριση μεταξύ των οποίων προκάλεσε τόσες πολλές διαμάχες, είναι νεκρά και δεν μπορούν να θυμηθούν.

Αλλά ο επιτάφιος, εν τω μεταξύ, είναι επίσης ένα είδος κατά κάποιο τρόπο, το είδος των επιτύμβιων επιγραφών, που αναπτύχθηκε στην αρχαιότητα και εισήλθε στη λογοτεχνία ως ένα είδος επιγράμματος:

Εδώ ξεκουράζομαι: Τζίμι Χογκ.
Είθε ο Θεός να μου συγχωρέσει τις αμαρτίες μου,
Τι θα έκανα αν ήμουν Θεός
Και είναι ο αείμνηστος Τζίμι Χογκ.

Ο επιτάφιος λοιπόν σε όλα τα είδη, ανεξαιρέτως, αμαρτάνει σαν με ασυνέπεια. Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να το επαναδιατυπώσετε;

9. «Ποτέ μην λες ποτέ». Απαγορεύοντας τη χρήση της λέξης «ποτέ», πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτή τη λέξη δύο φορές!

Το ίδιο φαίνεται να συμβαίνει και με τη συμβουλή: «Είναι καιρός όσοι λένε «ήρθε η ώρα» να πουν κάτι άλλο από το «ήρθε η ώρα».

Υπάρχει μια περίεργη ασυνέπεια σε τέτοιες συμβουλές και μπορεί να αποφευχθεί;

10. Στο ποίημα «Μην πιστεύεις», που δημοσιεύτηκε, φυσικά, στην ενότητα «Ειρωνική Ποίηση», ο συγγραφέας του συνιστά να μην πιστεύεις σε τίποτα:

... Μην πιστεύετε στη μαγική δύναμη της φωτιάς:
Καίγεται ενώ σε αυτό τοποθετούνται καυσόξυλα.
Μην πιστεύετε στο άλογο με χρυσαφένια χαίτη
Όχι για κανένα γλυκό μελόψωμο!
Μην πιστεύετε ότι τα αστέρια κοπάδια
Ορμώντας σε μια ατελείωτη δίνη.
Τι θα σου μείνει όμως τότε;
Μην πιστεύεις αυτό που είπα.
Μην πιστεύεις.

(Β. Προυντόφσκι)

Είναι όμως αληθινή αυτή η γενική δυσπιστία; Προφανώς, είναι αντιφατικό και, επομένως, λογικά αδύνατο.

11. Ας υποθέσουμε ότι, σε αντίθεση με την κοινή πεποίθηση, υπάρχουν ακόμα άτομα που δεν ενδιαφέρονται. Ας τα μαζέψουμε νοερά μαζί και ας διαλέξουμε μεταξύ τους το μικρότερο σε ύψος, ή το μεγαλύτερο σε βάρος, ή κάποιο άλλο «πιο ...». Αυτό το άτομο θα ήταν ενδιαφέρον να το δούμε, οπότε άσκοπα τον συμπεριλάβαμε στη λίστα των μη ενδιαφέροντων. Αφού το αποκλείσουμε, θα βρούμε ξανά ανάμεσα στα υπόλοιπα «το πολύ…» με την ίδια έννοια, κ.ο.κ. Και όλα αυτά μέχρι να μείνει μόνο ένας άνθρωπος χωρίς κανέναν να συγκριθεί. Αποδεικνύεται όμως ότι αυτό ακριβώς τον ενδιαφέρει! Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν αδιάφοροι άνθρωποι. Και το επιχείρημα ξεκίνησε με το γεγονός ότι υπάρχουν τέτοιοι άνθρωποι.

Μπορεί κανείς, συγκεκριμένα, να προσπαθήσει να βρει ανάμεσα στους αδιάφορους ανθρώπους τον πιο αδιάφορο από όλους τους αδιάφορους. Σε αυτό αναμφίβολα θα είναι ενδιαφέρον και θα πρέπει να αποκλειστεί από μη ενδιαφέροντες ανθρώπους. Ανάμεσα στα υπόλοιπα, πάλι, υπάρχει το λιγότερο ενδιαφέρον κ.ο.κ.

Υπάρχει σίγουρα μια νότα παραδόξου σε αυτά τα επιχειρήματα. Υπάρχει κάποιο λάθος εδώ, και αν ναι, ποιο είναι αυτό;

12. Ας πούμε ότι σας δόθηκε ένα λευκό φύλλο χαρτιού και σας δόθηκε εντολή να περιγράψετε αυτό το φύλλο σε αυτό. Γράφετε: πρόκειται για ένα ορθογώνιο φύλλο, λευκό, τάδε διαστάσεων, φτιαγμένο από πεπιεσμένες ίνες ξύλου κ.λπ.

Η περιγραφή φαίνεται να είναι πλήρης. Αλλά είναι ξεκάθαρα ελλιπής! Κατά τη διαδικασία της περιγραφής, το αντικείμενο άλλαξε: εμφανίστηκε κείμενο σε αυτό. Ως εκ τούτου, είναι επίσης απαραίτητο να προσθέσετε στην περιγραφή: και επιπλέον, σε αυτό το φύλλο χαρτιού γράφει: αυτό είναι ένα φύλλο ορθογώνιου σχήματος, λευκό ... κ.λπ. στο άπειρο.

Φαίνεται σαν ένα παράδοξο εδώ, έτσι δεν είναι;

Μια γνωστή παιδική ομοιοκαταληξία:

Ο παπάς είχε ένα σκύλο
Την αγαπούσε
Έφαγε ένα κομμάτι κρέας
Την σκότωσε.
Σκοτώθηκε και θάφτηκε
Και στον πίνακα έγραψε:
«Ο παπάς είχε σκύλο...»

Θα μπορούσε ποτέ αυτός ο σκύλος ποπ να τελειώσει την ταφόπλακά του; Η σύνθεση αυτής της επιγραφής δεν μοιάζει με την πλήρη περιγραφή ενός φύλλου χαρτιού;

13. Ένας συγγραφέας δίνει αυτή τη «λεπτή» συμβουλή: «Αν τα μικρά κόλπα δεν σας επιτρέπουν να πετύχετε αυτό που θέλετε, καταφύγετε σε μεγάλα κόλπα». Αυτή η συμβουλή προσφέρεται κάτω από τον τίτλο "Κόλπα του εμπορίου". Αλλά είναι πραγματικά ένα από αυτά τα κόλπα; Άλλωστε, τα «μικρά κόλπα» δεν βοηθούν και ακριβώς γι' αυτόν τον λόγο πρέπει να καταφύγετε σε αυτή τη συμβουλή.

14. Ονομάζουμε κανονικό ένα παιχνίδι αν τελειώνει σε πεπερασμένο αριθμό κινήσεων. Παραδείγματα κανονικών παιχνιδιών είναι το σκάκι, το πούλι, το ντόμινο: αυτοί οι αγώνες πάντα τελειώνουν είτε με νίκη ενός από τα μέρη είτε με ισοπαλία. Το παιχνίδι, που δεν είναι φυσιολογικό, συνεχίζεται επ' αόριστον χωρίς αποτέλεσμα. Ας εισαγάγουμε επίσης την έννοια του supergame: η πρώτη κίνηση ενός τέτοιου παιχνιδιού είναι να καθοριστεί ποιο παιχνίδι πρέπει να παιχτεί. Αν, για παράδειγμα, εσείς και εγώ σκοπεύουμε να παίξουμε ένα σούπερ παιχνίδι και η πρώτη κίνηση είναι δική μου, μπορώ να πω, "Ας παίξουμε σκάκι". Στη συνέχεια, ως απάντηση κάνετε την πρώτη κίνηση της παρτίδας σκακιού, ας πούμε, e2 - e4, και συνεχίζουμε το παιχνίδι μέχρι να τελειώσει (ιδίως λόγω της λήξης του χρόνου που ορίζεται από τους κανονισμούς του τουρνουά). Ως πρώτη μου κίνηση, μπορώ να προτείνω να παίξω tic-tac-toe και άλλα παρόμοια. Αλλά το παιχνίδι που επιλέγω πρέπει να είναι κανονικό. δεν μπορείτε να επιλέξετε ένα παιχνίδι που δεν είναι φυσιολογικό.

Προκύπτει ένα πρόβλημα: είναι το ίδιο το supergame φυσιολογικό ή όχι; Ας υποθέσουμε ότι αυτό είναι ένα κανονικό παιχνίδι. Δεδομένου ότι μπορεί να επιλέξει οποιοδήποτε από τα κανονικά παιχνίδια ως την πρώτη του κίνηση, μπορώ να πω, "Ας παίξουμε το σούπερ παιχνίδι". Μετά από αυτό, το σούπερ παιχνίδι έχει ξεκινήσει και η επόμενη κίνηση σε αυτό είναι δική σας. Έχετε το δικαίωμα να πείτε: «Ας παίξουμε ένα σούπερ παιχνίδι». Μπορώ να επαναλάβω: «Ας παίξουμε το σούπερ παιχνίδι» και έτσι η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ’ αόριστον. Επομένως, το υπερπαιχνίδι δεν ισχύει για κανονικά παιχνίδια. Αλλά λόγω του γεγονότος ότι το supergame δεν είναι φυσιολογικό, δεν μπορώ να προτείνω ένα supergame με την πρώτη μου κίνηση στο supergame. Πρέπει να διαλέξω το κανονικό παιχνίδι. Όμως η επιλογή ενός κανονικού παιχνιδιού που έχει τέλος έρχεται σε αντίθεση με το αποδεδειγμένο γεγονός ότι το supergame δεν ανήκει στα κανονικά.

Λοιπόν, είναι το supergame ένα κανονικό παιχνίδι ή όχι;

Προσπαθώντας να απαντήσει κανείς σε αυτό το ερώτημα, δεν πρέπει φυσικά να ακολουθήσει τον εύκολο δρόμο των καθαρά λεκτικών διακρίσεων. Ο πιο απλός τρόπος είναι να πούμε ότι ένα κανονικό παιχνίδι είναι παιχνίδι και ένα σούπερ παιχνίδι είναι απλώς μια φάρσα.

Ποια άλλα παράδοξα θυμίζει αυτό το παράδοξο ότι το supergame είναι ταυτόχρονα φυσιολογικό και μη φυσιολογικό;

Bayif J.K. Λογικές εργασίες. - Μ., 1983.

Μπουρμπάκη Ν. Δοκίμια για την ιστορία των μαθηματικών. - Μ., 1963.

Gardner M. Έλα μαντέψτε! – Μ.: 1984.

Ivin A.A. Σύμφωνα με τους νόμους της λογικής. - Μ., 1983.

Κλήνη Σ.Κ. Μαθηματική λογική. - Μ., 1973.

Smallian R.M. Ποιο είναι το όνομα αυτού του βιβλίου; – Μ.: 1982.

Smallian R.M. Πριγκίπισσα ή τίγρη; – Μ.: 1985.

Frenkel A., Bar-Hillel I. Θεμέλια της θεωρίας συνόλων. - Μ., 1966.

Ποια είναι η σημασία των παραδόξων για τη λογική;

Ποιες λύσεις προτάθηκαν για το παράδοξο Liar;

Ποια είναι τα χαρακτηριστικά μιας σημασιολογικά κλειστής γλώσσας;

Ποια είναι η ουσία του παραδόξου πολλών συνηθισμένων συνόλων;

Υπάρχει λύση στη διαμάχη Πρωταγόρα και Ευαθλού; Ποιες λύσεις προτάθηκαν για αυτή τη διαμάχη;

Ποια είναι η ουσία του παραδόξου των ανακριβών ονομάτων;

Ποια θα μπορούσε να είναι η ιδιαιτερότητα των λογικών παραδόξων;

Ποια συμπεράσματα για τη λογική προκύπτουν από την ύπαρξη λογικών παραδόξων;

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της εξάλειψης και της εξήγησης ενός παραδόξου; Ποιο είναι το μέλλον των λογικών παραδόξων;

Η έννοια του λογικού παραδόξου

Το παράδοξο του ψεύτη

Το παράδοξο του Ράσελ

Παράδοξο «Πρωταγόρας και Εύαθλος»

Ο ρόλος των παραδόξων στην ανάπτυξη της λογικής

Προοπτικές επίλυσης παραδόξων

Διάκριση μεταξύ γλώσσας και μεταγλώσσας

Εξάλειψη και επίλυση παραδόξων

Δεν υπάρχει εξαντλητικός κατάλογος λογικών παραδόξων και είναι αδύνατο.

Τα θεωρούμενα παράδοξα είναι μόνο ένα μέρος όλων αυτών που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής. Είναι πιθανό να ανακαλυφθούν πολλά άλλα παράδοξα στο μέλλον, ακόμη και εντελώς νέοι τύποι αυτών. Η ίδια η έννοια του παραδόξου δεν είναι τόσο σαφής ώστε να είναι δυνατό να συνταχθεί μια λίστα με τουλάχιστον ήδη γνωστά παράδοξα.

«Τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων είναι ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα, όχι όμως για τα μαθηματικά, αλλά μάλλον για τη λογική και την επιστημολογία», γράφει ο Αυστριακός μαθηματικός και λογικός K. Gödel. «Η λογική είναι ασυνεπής. Δεν υπάρχουν λογικά παράδοξα», λέει ο μαθηματικός D. Bochvar. Τέτοιες αποκλίσεις είναι άλλοτε σημαντικές, άλλοτε λεκτικές. Το θέμα είναι σε μεγάλο βαθμό στο τι ακριβώς εννοείται με το λογικό παράδοξο.

Η ιδιαιτερότητα των λογικών παραδόξων

Απαραίτητο χαρακτηριστικό των λογικών παραδόξων είναι το λογικό λεξικό.

Τα παράδοξα που είναι λογικά πρέπει να διατυπώνονται με λογικούς όρους. Ωστόσο, στη λογική δεν υπάρχουν σαφή κριτήρια για τη διαίρεση των όρων σε λογικούς και μη. Η λογική, που ασχολείται με την ορθότητα του συλλογισμού, επιδιώκει να μειώσει στο ελάχιστο τις έννοιες από τις οποίες εξαρτάται η ορθότητα των πρακτικά εφαρμοσμένων συμπερασμάτων. Αλλά αυτό το ελάχιστο δεν είναι προκαθορισμένο με σαφήνεια. Επιπλέον, οι μη λογικές δηλώσεις μπορούν επίσης να διατυπωθούν με λογικούς όρους. Το αν ένα συγκεκριμένο παράδοξο χρησιμοποιεί μόνο καθαρά λογικές προϋποθέσεις δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια.

Τα λογικά παράδοξα δεν διαχωρίζονται αυστηρά από όλα τα άλλα παράδοξα, όπως τα δεύτερα δεν διακρίνονται ξεκάθαρα από καθετί μη παράδοξο και συνεπές με τις επικρατούσες ιδέες.

Στην αρχή της μελέτης των λογικών παραδόξων, φαινόταν ότι μπορούσαν να διακριθούν από την παραβίαση κάποιας ανεξερεύνητης ακόμη θέσης ή κανόνα λογικής. Η αρχή του φαύλου κύκλου που εισήγαγε ο B. Russell ήταν ιδιαίτερα ενεργή στη διεκδίκηση του ρόλου ενός τέτοιου κανόνα. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν μπορεί να περιέχει μέλη που ορίζονται μόνο από την ίδια συλλογή.

Όλα τα παράδοξα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό - την αυτο-εφαρμογή ή την κυκλικότητα. Σε καθένα από αυτά, το εν λόγω αντικείμενο χαρακτηρίζεται από κάποιο σύνολο αντικειμένων στα οποία ανήκει το ίδιο. Αν επιλέξουμε, για παράδειγμα, το πιο πονηρό άτομο, το κάνουμε με τη βοήθεια ενός πληθυσμού ανθρώπων στον οποίο ανήκει αυτό το άτομο. Και αν πούμε: «Αυτή η δήλωση είναι ψευδής», χαρακτηρίζουμε τη δήλωση που μας ενδιαφέρει αναφερόμενοι στο σύνολο όλων των ψευδών δηλώσεων που την περιλαμβάνει.

Σε όλα τα παράδοξα, υπάρχει μια αυτο-εφαρμογή των εννοιών, που σημαίνει ότι υπάρχει, σαν να λέγαμε, κίνηση σε κύκλο, που οδηγεί στο τέλος στην αφετηρία. Στην προσπάθεια να χαρακτηρίσουμε το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, στρεφόμαστε στο σύνολο των αντικειμένων που το περιλαμβάνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι, για την οριστικότητά του, χρειάζεται το ίδιο το αντικείμενο που εξετάζουμε και δεν μπορεί να γίνει σαφώς κατανοητό χωρίς αυτό. Σε αυτόν τον κύκλο, ίσως, βρίσκεται η πηγή των παραδόξων.

Η κατάσταση περιπλέκεται, ωστόσο, από το γεγονός ότι ένας τέτοιος κύκλος υπάρχει σε πολλά εντελώς μη παράδοξα επιχειρήματα. Το Circular είναι μια τεράστια ποικιλία από τους πιο συνηθισμένους, ακίνδυνους και ταυτόχρονα βολικούς τρόπους έκφρασης. Παραδείγματα όπως «η μεγαλύτερη από όλες τις πόλεις», «ο μικρότερος από όλους τους φυσικούς αριθμούς», «ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου σιδήρου» κ.λπ., δείχνουν ότι δεν οδηγεί κάθε περίπτωση αυτοεφαρμογής σε αντίφαση και ότι είναι σημαντικό όχι μόνο στη συνηθισμένη γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης.

Μια απλή αναφορά στη χρήση αυτοεφαρμόσιμων εννοιών είναι επομένως ανεπαρκής για να δυσφημήσει τα παράδοξα. Χρειάζεται κάποιο πρόσθετο κριτήριο για τον διαχωρισμό της αυτο-εφαρμογής, που οδηγεί σε ένα παράδοξο, από όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Υπήρξαν πολλές προτάσεις για το σκοπό αυτό, αλλά δεν βρέθηκε επιτυχής διευκρίνιση της κυκλικότητας. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να χαρακτηριστεί η κυκλικότητα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κυκλικός συλλογισμός να οδηγεί σε ένα παράδοξο και κάθε παράδοξο είναι το αποτέλεσμα κάποιου κυκλικού συλλογισμού.

Μια προσπάθεια να βρεθεί κάποια συγκεκριμένη αρχή λογικής, η παραβίαση της οποίας θα ήταν χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των λογικών παραδόξων, δεν οδήγησε σε κάτι συγκεκριμένο.

Κάποιος τύπος ταξινόμησης των παραδόξων θα ήταν αναμφίβολα χρήσιμος, υποδιαιρώντας τα σε τύπους και τύπους, ομαδοποιώντας ορισμένα παράδοξα και αντιπαραβάλλοντάς τα σε άλλα. Ωστόσο, και σε αυτή την περίπτωση δεν έχει επιτευχθεί τίποτα βιώσιμο.

Ο Άγγλος λογικός F. Ramsey, που πέθανε το 1930, όταν δεν ήταν ακόμη είκοσι επτά ετών, πρότεινε να χωριστούν όλα τα παράδοξα σε συντακτικά και σημασιολογικά. Το πρώτο περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το παράδοξο του Russell, το δεύτερο - τα παράδοξα του "Ψεύτη", του Grelling κ.λπ.

Σύμφωνα με τον Ramsey, τα παράδοξα της πρώτης ομάδας περιέχουν μόνο έννοιες που ανήκουν στη λογική ή στα μαθηματικά. Οι τελευταίες περιλαμβάνουν έννοιες όπως «αλήθεια», «καθορισμός», «ονομασία», «γλώσσα», οι οποίες δεν είναι αυστηρά μαθηματικές, αλλά μάλλον σχετίζονται με τη γλωσσολογία ή ακόμα και με τη θεωρία της γνώσης. Τα σημασιολογικά παράδοξα φαίνεται να οφείλουν την εμφάνισή τους όχι σε κάποιο λάθος στη λογική, αλλά στην ασάφεια ή ασάφεια κάποιων μη λογικών εννοιών, επομένως τα προβλήματα που θέτουν αφορούν τη γλώσσα και πρέπει να λυθούν από τη γλωσσολογία.

Φάνηκε στον Ramsey ότι οι μαθηματικοί και οι λογικοί δεν χρειάζεται να ενδιαφέρονται για τα σημασιολογικά παράδοξα. Αργότερα, ωστόσο, αποδείχθηκε ότι μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα της σύγχρονης λογικής προέκυψαν ακριβώς σε σχέση με μια βαθύτερη μελέτη ακριβώς αυτών των μη λογικών παραδόξων.

Η διαίρεση των παραδόξων που πρότεινε ο Ramsey χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχή και διατηρεί κάποια σημασία ακόμη και τώρα. Ταυτόχρονα, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι αυτή η διαίρεση είναι μάλλον ασαφής και βασίζεται κυρίως σε παραδείγματα και όχι σε μια εις βάθος συγκριτική ανάλυση των δύο ομάδων παραδόξων. Οι σημασιολογικές έννοιες είναι πλέον καλά καθορισμένες και είναι δύσκολο να μην αναγνωρίσουμε ότι αυτές οι έννοιες είναι πράγματι λογικές. Με την ανάπτυξη της σημασιολογίας, η οποία ορίζει τις βασικές της έννοιες με όρους θεωρίας συνόλων, η διάκριση που κάνει ο Ramsey γίνεται όλο και πιο θολή.

Παράδοξα και Σύγχρονη Λογική

Ποια συμπεράσματα για τη λογική προκύπτουν από την ύπαρξη παραδόξων;

Καταρχάς, η παρουσία ενός μεγάλου αριθμού παραδόξων μιλά για τη δύναμη της λογικής ως επιστήμης και όχι για την αδυναμία της, όπως μπορεί να φαίνεται.

Δεν ήταν τυχαίο ότι η ανακάλυψη των παραδόξων συνέπεσε με την περίοδο της πιο εντατικής ανάπτυξης της σύγχρονης λογικής και των μεγαλύτερων επιτυχιών της.

Τα πρώτα παράδοξα ανακαλύφθηκαν πριν ακόμη από την εμφάνιση της λογικής ως ειδικής επιστήμης. Πολλά παράδοξα ανακαλύφθηκαν στο Μεσαίωνα. Αργότερα, όμως, αποδείχτηκε ότι ξεχάστηκαν και ανακαλύφθηκαν ξανά ήδη στον αιώνα μας.

Οι μεσαιωνικοί λογικοί δεν γνώριζαν τις έννοιες του "συνόλου" και του "στοιχείου του συνόλου", που εισήχθησαν στην επιστήμη μόλις στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Αλλά η όρεξη για τα παράδοξα ακονίστηκε στον Μεσαίωνα σε τέτοιο βαθμό που ήδη από εκείνη την πρώιμη εποχή εκφράστηκαν ορισμένες ανησυχίες για αυτοεφαρμοστέες έννοιες. Το απλούστερο παράδειγμα αυτού είναι η έννοια του «να είσαι το στοιχείο του εαυτού σου» που εμφανίζεται σε πολλά από τα σημερινά παράδοξα.

Ωστόσο, τέτοιοι φόβοι, όπως όλες οι προειδοποιήσεις για τα παράδοξα γενικά, δεν ήταν συστηματικοί και συγκεκριμένοι μέχρι τον αιώνα μας. Δεν οδήγησαν σε σαφείς προτάσεις για επανεξέταση των συνήθων τρόπων σκέψης και έκφρασης.

Μόνο η σύγχρονη λογική έχει βγάλει από τη λήθη το ίδιο το πρόβλημα των παραδόξων, ανακάλυψε ή ανακάλυψε εκ νέου τα περισσότερα από τα συγκεκριμένα λογικά παράδοξα. Έδειξε περαιτέρω ότι οι τρόποι σκέψης που παραδοσιακά διερευνώνται από τη λογική είναι εντελώς ανεπαρκείς για την εξάλειψη των παραδόξων και υπέδειξε θεμελιωδώς νέες μεθόδους αντιμετώπισής τους.

Τα παράδοξα θέτουν ένα σημαντικό ερώτημα: πού, στην πραγματικότητα, μας αποτυγχάνουν μερικές από τις συνήθεις μεθόδους σχηματισμού εννοιών και συλλογισμού; Άλλωστε, έμοιαζαν απόλυτα φυσικές και πειστικές, μέχρι που αποδείχθηκε ότι ήταν παράδοξοι.

Τα παράδοξα υπονομεύουν την πεποίθηση ότι οι συνήθεις μέθοδοι θεωρητικής σκέψης από μόνες τους και χωρίς ιδιαίτερο έλεγχο πάνω τους παρέχουν μια αξιόπιστη πρόοδο προς την αλήθεια.

Απαιτώντας μια ριζική αλλαγή σε μια υπερβολικά ευκολόπιστη προσέγγιση της θεωρίας, τα παράδοξα είναι μια σκληρή κριτική της λογικής στην αφελή, διαισθητική της μορφή. Παίζουν το ρόλο ενός παράγοντα που ελέγχει και θέτει περιορισμούς στον τρόπο κατασκευής των απαγωγικών συστημάτων λογικής. Και αυτός ο ρόλος τους μπορεί να συγκριθεί με τον ρόλο ενός πειράματος που ελέγχει την ορθότητα των υποθέσεων σε επιστήμες όπως η φυσική και η χημεία και τους αναγκάζει να κάνουν αλλαγές σε αυτές τις υποθέσεις.

Ένα παράδοξο σε μια θεωρία μιλά για την ασυμβατότητα των υποθέσεων που τη διέπουν. Λειτουργεί ως έγκαιρα ανιχνευμένο σύμπτωμα της νόσου, χωρίς το οποίο θα μπορούσε να είχε αγνοηθεί.

Φυσικά, η ασθένεια εκδηλώνεται με πολλούς τρόπους και στο τέλος είναι δυνατόν να αποκαλυφθεί χωρίς τέτοια οξεία συμπτώματα όπως τα παράδοξα. Για παράδειγμα, τα θεμέλια της θεωρίας συνόλων θα αναλύονταν και θα τελειοποιούνταν ακόμη και αν δεν ανακαλύφθηκαν παράδοξα σε αυτόν τον τομέα. Αλλά δεν θα υπήρχε αυτή η οξύτητα και ο επείγων χαρακτήρας με τον οποίο τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν σε αυτό έθεσαν το πρόβλημα της αναθεώρησης της θεωρίας συνόλων.

Μια εκτενής βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη στα παράδοξα, έχει προταθεί ένας μεγάλος αριθμός από τις εξηγήσεις τους. Καμία όμως από αυτές τις εξηγήσεις δεν είναι καθολικά αποδεκτή και δεν υπάρχει πλήρης συμφωνία για την προέλευση των παραδόξων και για το πώς να απαλλαγούμε από αυτά.

«Τα τελευταία εξήντα χρόνια, εκατοντάδες βιβλία και άρθρα έχουν αφιερωθεί στον στόχο της επίλυσης παραδόξων, αλλά τα αποτελέσματα είναι εκπληκτικά φτωχά σε σύγκριση με τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν», γράφει ο A. Frenkel. «Φαίνεται ότι», καταλήγει η ανάλυσή του για τα παράδοξα, ο Χ. Κάρι, «ότι απαιτείται πλήρης μεταρρύθμιση της λογικής και η μαθηματική λογική μπορεί να γίνει το κύριο εργαλείο για την πραγματοποίηση αυτής της μεταρρύθμισης».

Εξάλειψη και εξήγηση των παραδόξων

Πρέπει να σημειωθεί μια σημαντική διαφορά.

Η εξάλειψη των παραδόξων και η επίλυσή τους δεν είναι καθόλου το ίδιο πράγμα. Το να εξαλείψεις ένα παράδοξο από μια ορισμένη θεωρία σημαίνει να το ανακατασκευάσεις με τέτοιο τρόπο ώστε ο παράδοξος ισχυρισμός να αποδειχθεί αναπόδεικτος σε αυτήν. Κάθε παράδοξο βασίζεται σε μεγάλο αριθμό ορισμών, υποθέσεων και επιχειρημάτων. Το συμπέρασμά του στη θεωρία είναι μια ορισμένη αλυσίδα συλλογισμών. Επίσημα μιλώντας, μπορεί κανείς να αμφισβητήσει οποιονδήποτε από τους κρίκους του, να τον απορρίψει και έτσι να σπάσει την αλυσίδα και να εξαλείψει το παράδοξο. Σε πολλά έργα αυτό γίνεται και περιορίζεται σε αυτό.

Αλλά αυτή δεν είναι ακόμη η επίλυση του παραδόξου. Δεν αρκεί να βρούμε έναν τρόπο να το αποκλείσουμε· πρέπει να δικαιολογήσουμε πειστικά την προτεινόμενη λύση. Η ίδια η αμφιβολία για κάποιο βήμα που οδηγεί σε ένα παράδοξο πρέπει να είναι βάσιμη.

Πρώτα απ 'όλα, η απόφαση να εγκαταλείψουμε ορισμένα λογικά μέσα που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή μιας παράδοξης δήλωσης πρέπει να συνδέεται με τις γενικές μας σκέψεις σχετικά με τη φύση της λογικής απόδειξης και άλλες λογικές διαισθήσεις. Εάν δεν συμβαίνει αυτό, η εξάλειψη του παραδόξου αποδεικνύεται ότι στερείται γερών και σταθερών θεμελίων και εκφυλίζεται σε ένα κατεξοχήν τεχνικό έργο.

Επιπλέον, η απόρριψη κάποιας υπόθεσης, ακόμη κι αν παρέχει την εξάλειψη κάποιου συγκεκριμένου παραδόξου, δεν εγγυάται αυτόματα την εξάλειψη όλων των παραδόξων. Αυτό υποδηλώνει ότι τα παράδοξα δεν πρέπει να «κυνηγούνται» ένα προς ένα. Ο αποκλεισμός ενός από αυτούς πρέπει πάντα να είναι τόσο δικαιολογημένος ώστε να υπάρχει μια βέβαιη εγγύηση ότι άλλα παράδοξα θα εξαλειφθούν με το ίδιο βήμα.

Κάθε φορά που ανακαλύπτεται ένα παράδοξο, γράφει ο A. Tarsky, «πρέπει να υποβάλλουμε τον τρόπο σκέψης μας σε μια ενδελεχή αναθεώρηση, να απορρίψουμε κάποιες υποθέσεις στις οποίες πιστεύαμε και να βελτιώσουμε τις μεθόδους επιχειρηματολογίας που χρησιμοποιήσαμε. Αυτό το κάνουμε σε μια προσπάθεια όχι μόνο να απαλλαγούμε από τις αντινομίες, αλλά και να αποτρέψουμε την εμφάνιση νέων.

Και τέλος, μια άστοχη και απρόσεκτη απόρριψη πάρα πολλών ή πολύ ισχυρών υποθέσεων μπορεί απλώς να οδηγήσει στο γεγονός ότι, αν και δεν περιέχει παράδοξα, θα αποδειχθεί μια σημαντικά ασθενέστερη θεωρία που έχει μόνο ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Ποιο μπορεί να είναι το ελάχιστο, λιγότερο ριζοσπαστικό σύνολο μέτρων για την αποφυγή γνωστών παραδόξων;

Λογική γραμματική

Ένας τρόπος είναι να ξεχωρίσουμε, μαζί με σωστές και ψευδείς προτάσεις, και προτάσεις χωρίς νόημα. Αυτό το μονοπάτι υιοθέτησε ο B. Russell. Οι παράδοξοι συλλογισμοί κηρύχθηκαν από τον ίδιο ως ανούσιοι με το σκεπτικό ότι παραβίαζαν τις απαιτήσεις της λογικής γραμματικής. Δεν έχει νόημα κάθε πρόταση που δεν παραβιάζει τους κανόνες της συνηθισμένης γραμματικής - πρέπει επίσης να ικανοποιεί τους κανόνες μιας ειδικής, λογικής γραμματικής.

Ο Ράσελ έχτισε μια θεωρία λογικών τύπων, ένα είδος λογικής γραμματικής, του οποίου το καθήκον ήταν να εξαλείψει όλες τις γνωστές αντινομίες. Στη συνέχεια, η θεωρία αυτή απλοποιήθηκε ουσιαστικά και ονομάστηκε απλή θεωρία τύπων.

Η κύρια ιδέα της θεωρίας των τύπων είναι η κατανομή λογικά διαφορετικών τύπων αντικειμένων, η εισαγωγή ενός είδους ιεραρχίας ή κλίμακας των αντικειμένων που εξετάζονται. Ο χαμηλότερος ή μηδενικός τύπος περιλαμβάνει μεμονωμένα αντικείμενα που δεν είναι σετ. Ο πρώτος τύπος περιλαμβάνει σύνολα αντικειμένων μηδενικού τύπου, δηλ. τα άτομα; στο δεύτερο - σύνολα ατόμων κ.λπ. Με άλλα λόγια, γίνεται διάκριση μεταξύ αντικειμένων, ιδιοτήτων αντικειμένων, ιδιοτήτων ιδιοτήτων αντικειμένων κ.λπ. Ταυτόχρονα, εισάγονται ορισμένοι περιορισμοί στην κατασκευή προτάσεων. Οι ιδιότητες μπορούν να αποδοθούν σε αντικείμενα, οι ιδιότητες των ιδιοτήτων σε ιδιότητες κ.λπ. Αλλά είναι αδύνατο να υποστηρίξουμε με νόημα ότι τα αντικείμενα έχουν ιδιότητες ιδιοτήτων.

Ας πάρουμε μια σειρά από προτάσεις:

Αυτό το σπίτι είναι κόκκινο.

Το κόκκινο είναι χρώμα.

Το χρώμα είναι ένα οπτικό φαινόμενο.

Σε αυτές τις προτάσεις, η έκφραση "αυτό το σπίτι" υποδηλώνει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο, η λέξη "κόκκινο" υποδηλώνει την ιδιότητα που είναι εγγενής σε αυτό το αντικείμενο, "να είναι χρώμα" - στην ιδιότητα αυτής της ιδιότητας ("να είναι κόκκινο") και " να είναι ένα οπτικό φαινόμενο" - υποδηλώνει την ιδιότητα της ιδιότητας "να είναι ένα χρώμα" που ανήκει στην ιδιότητα "να είσαι κόκκινο". Εδώ δεν έχουμε να κάνουμε μόνο με αντικείμενα και τις ιδιότητές τους, αλλά και με τις ιδιότητες των ιδιοτήτων («η ιδιότητα του να είναι κόκκινο έχει την ιδιότητα να είναι χρώμα»), ακόμη και με τις ιδιότητες των ιδιοτήτων των ιδιοτήτων.

Και οι τρεις προτάσεις από την παραπάνω σειρά έχουν, φυσικά, νόημα. Κατασκευάζονται σύμφωνα με τις απαιτήσεις της θεωρίας τύπων. Και ας πούμε ότι η πρόταση "Αυτό το σπίτι είναι ένα χρώμα" παραβιάζει αυτές τις απαιτήσεις. Αποδίδει σε ένα αντικείμενο αυτό το χαρακτηριστικό που μπορεί να ανήκει μόνο σε ιδιότητες, αλλά όχι σε αντικείμενα. Παρόμοια παραβίαση περιέχεται στην πρόταση «Αυτό το σπίτι είναι ένα οπτικό φαινόμενο». Και οι δύο αυτές προτάσεις πρέπει να χαρακτηριστούν ως ανούσιες.

Μια απλή θεωρία τύπων εξαλείφει το παράδοξο του Ράσελ. Ωστόσο, για να εξαλειφθούν τα παράδοξα του Liar και του Berry, δεν αρκεί πλέον απλώς η διαίρεση των υπό εξέταση αντικειμένων σε τύπους. Είναι απαραίτητο να εισαχθεί κάποια πρόσθετη παραγγελία εντός των ίδιων των τύπων.

Η εξάλειψη των παραδόξων μπορεί επίσης να επιτευχθεί με την αποφυγή της χρήσης πολύ μεγάλων σετ, παρόμοιων με το σύνολο όλων των σετ. Αυτό το μονοπάτι προτάθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό E. Zermelo, ο οποίος συνέδεσε την εμφάνιση των παραδόξων με την απεριόριστη κατασκευή συνόλων. Τα αποδεκτά σύνολα ορίστηκαν από αυτόν με κάποια λίστα αξιωμάτων που διατυπώθηκε με τέτοιο τρόπο ώστε να μην συνάγονται γνωστά παράδοξα από αυτά. Ταυτόχρονα, αυτά τα αξιώματα ήταν αρκετά ισχυρά ώστε να συνάγουν από αυτά τα συνήθη επιχειρήματα των κλασικών μαθηματικών, αλλά χωρίς παράδοξα.

Ούτε αυτοί οι δύο ούτε οι άλλοι προτεινόμενοι τρόποι εξάλειψης των παραδόξων είναι γενικά αποδεκτοί. Δεν υπάρχει κοινή πεποίθηση ότι κάποια από τις προτεινόμενες θεωρίες επιλύει λογικά παράδοξα και όχι απλώς τα απορρίπτει χωρίς βαθιά εξήγηση. Το πρόβλημα της εξήγησης των παραδόξων είναι ακόμα ανοιχτό και σημαντικό.

Το μέλλον των παραδόξων

Ο G. Frege, ο μεγαλύτερος λογικός του περασμένου αιώνα, είχε δυστυχώς πολύ κακό χαρακτήρα. Επιπλέον, ήταν ανεπιφύλακτα και μάλιστα σκληρός απέναντι στην κριτική του προς τους συγχρόνους του.

Ίσως γι' αυτό η συμβολή του στη λογική και τη θεμελίωση των μαθηματικών δεν έτυχε αναγνώρισης για πολύ καιρό. Και όταν άρχισε να του έρχεται η φήμη, ο νεαρός Άγγλος λογικός B. Russell του έγραψε ότι προκύπτει μια αντίφαση στο σύστημα που δημοσιεύτηκε στον πρώτο τόμο του βιβλίου του The Fundamental Laws of Arithmetic. Ο δεύτερος τόμος αυτού του βιβλίου ήταν ήδη υπό έκδοση, και ο Frege μπορούσε μόνο να προσθέσει ένα ειδικό παράρτημα σε αυτό, στο οποίο περιέγραψε αυτή την αντίφαση (αργότερα ονομάστηκε "παράδοξο του Ράσελ") και παραδέχτηκε ότι δεν ήταν σε θέση να την εξαλείψει.

Ωστόσο, οι συνέπειες αυτής της αναγνώρισης ήταν τραγικές για τον Frege. Έζησε το μεγαλύτερο σοκ. Και παρόλο που ήταν τότε μόλις 55 ετών, δεν δημοσίευσε άλλο σημαντικό έργο για τη λογική, αν και έζησε για περισσότερα από είκοσι χρόνια. Δεν απάντησε καν στη ζωηρή συζήτηση που προκάλεσε το παράδοξο του Ράσελ και δεν αντέδρασε με κανέναν τρόπο στις πολλές προτεινόμενες λύσεις σε αυτό το παράδοξο.

Την εντύπωση που έκαναν στους μαθηματικούς και τους λογικούς τα πρόσφατα ανακαλυφθέντα παράδοξα εκφράστηκε καλά από τον D. Hilbert: «... Η κατάσταση στην οποία βρισκόμαστε τώρα σε σχέση με τα παράδοξα είναι αφόρητη για πολύ καιρό. Σκεφτείτε: στα μαθηματικά - αυτό το μοντέλο της βεβαιότητας και της αλήθειας - ο σχηματισμός των εννοιών και η πορεία των συμπερασμάτων, όπως όλοι τις μελετούν, τις διδάσκουν και τις εφαρμόζουν, οδηγεί στον παραλογισμό. Πού να αναζητήσετε την αξιοπιστία και την αλήθεια, αν ακόμη και η ίδια η μαθηματική σκέψη δεν λειτουργεί σωστά;

Ο Frege ήταν τυπικός εκπρόσωπος της λογικής του τέλους του δέκατου ένατου αιώνα, απαλλαγμένος από κάθε είδους παράδοξα, λογική, σίγουρος για τις δυνατότητές της και ισχυριζόμενος ότι είναι κριτήριο αυστηρότητας ακόμη και για τα μαθηματικά. Τα παράδοξα έδειχναν ότι η απόλυτη αυστηρότητα που πέτυχε η δήθεν λογική δεν ήταν παρά μια ψευδαίσθηση. Έδειξαν αναμφισβήτητα ότι η λογική - με τη διαισθητική μορφή που είχε στις αρχές του αιώνα - χρειάζεται μια βαθιά αναθεώρηση.

Έχει περάσει περίπου ένας αιώνας από τότε που ξεκίνησε η ζωηρή συζήτηση για τα παράδοξα. Η αναθεώρηση της λογικής που αναλήφθηκε δεν οδήγησε, ωστόσο, σε ξεκάθαρη επίλυσή τους.

Και την ίδια στιγμή, ένα τέτοιο κράτος δεν απασχολεί σχεδόν κανέναν σήμερα. Με την πάροδο του χρόνου, οι στάσεις απέναντι στα παράδοξα έχουν γίνει πιο ήρεμες και ακόμη πιο ανεκτικές από ό,τι την εποχή που ανακαλύφθηκαν. Δεν είναι μόνο ότι τα παράδοξα έχουν γίνει κάτι οικείο. Και, φυσικά, όχι ότι τα έβαλαν μαζί τους. Παραμένουν ακόμα στο επίκεντρο των λογικών, η αναζήτηση των λύσεών τους συνεχίζεται ενεργά. Η κατάσταση άλλαξε πρωτίστως γιατί τα παράδοξα αποδείχθηκαν, ας πούμε, τοπικά. Έχουν βρει τη σαφή, αν και προβληματική, θέση τους σε ένα ευρύ φάσμα λογικών μελετών. Έγινε σαφές ότι η απόλυτη λιτότητα, όπως παρουσιάστηκε στα τέλη του περασμένου αιώνα και ακόμη και μερικές φορές στις αρχές αυτού του αιώνα, είναι, καταρχήν, ένα ανέφικτο ιδανικό.

Συνειδητοποιήθηκε επίσης ότι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα παραδόξων που να είναι μόνο του. Τα προβλήματα που σχετίζονται με αυτά είναι διαφορετικών τύπων και επηρεάζουν, στην πραγματικότητα, όλα τα κύρια τμήματα της λογικής. Η ανακάλυψη ενός παραδόξου μας αναγκάζει να αναλύσουμε βαθύτερα τις λογικές μας διαισθήσεις και να εμπλακούμε σε μια συστηματική επανεπεξεργασία των θεμελίων της επιστήμης της λογικής. Ταυτόχρονα, η επιθυμία να αποφευχθούν τα παράδοξα δεν είναι ούτε το μοναδικό, ούτε καν το κύριο καθήκον. Αν και είναι σημαντικά, αποτελούν απλώς μια αφορμή για προβληματισμό πάνω στα κεντρικά θέματα της λογικής. Συνεχίζοντας τη σύγκριση των παραδόξων με ιδιαίτερα έντονα συμπτώματα της νόσου, μπορεί να ειπωθεί ότι η επιθυμία για άμεση εξάλειψη των παραδόξων θα ήταν σαν μια επιθυμία να αφαιρεθούν τέτοια συμπτώματα χωρίς ιδιαίτερη ανησυχία για την ίδια την ασθένεια. Αυτό που απαιτείται δεν είναι απλώς η επίλυση των παραδόξων, αλλά η εξήγησή τους, η οποία βαθαίνει την κατανόησή μας για τα λογικά σχήματα σκέψης.

Σύμφωνα με τους νόμους της λογικής Ivin Alexander Arkhipovich

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΛΟΓΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ;

Δεν υπάρχει εξαντλητικός κατάλογος λογικών παραδόξων και είναι αδύνατο.

Τα θεωρούμενα παράδοξα είναι μόνο ένα μέρος όλων αυτών που έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής. Είναι πιθανό ότι στο μέλλον θα ανακαλυφθούν πολλοί άλλοι, ακόμη και εντελώς νέοι τύποι. Η ίδια η έννοια του παραδόξου δεν είναι τόσο σαφής ώστε να είναι δυνατό να συνταχθεί μια λίστα με τουλάχιστον ήδη γνωστά παράδοξα.

«Τα παράδοξα της θεωρίας συνόλων είναι ένα πολύ σοβαρό πρόβλημα, όχι όμως για τα μαθηματικά, αλλά μάλλον για τη λογική και την επιστημολογία», γράφει ο Αυστριακός μαθηματικός και λογικός K. Gödel. «Η λογική είναι ασυνεπής. Δεν υπάρχουν λογικά παράδοξα, - λέει ο Σοβιετικός μαθηματικός D. Bochvar. - Τέτοιες αποκλίσεις είναι άλλοτε σημαντικές, άλλοτε λεκτικές. Το θέμα είναι σε μεγάλο βαθμό στο τι ακριβώς εννοείται με τον όρο «λογικό παράδοξο».

Απαραίτητο χαρακτηριστικό των λογικών παραδόξων είναι το λογικό λεξικό. Τα παράδοξα που είναι λογικά πρέπει να διατυπώνονται με λογικούς όρους. Ωστόσο, στη λογική δεν υπάρχουν σαφή κριτήρια για τη διαίρεση των όρων σε λογικούς και εξωλογικούς. Η λογική, που ασχολείται με την ορθότητα του συλλογισμού, επιδιώκει να μειώσει στο ελάχιστο τις έννοιες από τις οποίες εξαρτάται η ορθότητα των πρακτικά εφαρμοσμένων συμπερασμάτων. Αλλά αυτό το ελάχιστο δεν είναι προκαθορισμένο με σαφήνεια. Επιπλέον, οι μη λογικές δηλώσεις μπορούν επίσης να διατυπωθούν με λογικούς όρους. Το αν ένα συγκεκριμένο παράδοξο χρησιμοποιεί μόνο καθαρά λογικές προϋποθέσεις δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια.

Τα λογικά παράδοξα δεν διαχωρίζονται αυστηρά από όλα τα άλλα παράδοξα, όπως τα δεύτερα δεν διακρίνονται ξεκάθαρα από καθετί μη παράδοξο και συνεπές με τις επικρατούσες ιδέες.

Στην αρχή της μελέτης των λογικών παραδόξων, φαινόταν ότι μπορούσαν να διακριθούν από την παραβίαση κάποιας ανεξερεύνητης ακόμη θέσης ή κανόνα λογικής. Η «αρχή του φαύλου κύκλου» που εισήγαγε ο B. Russell ήταν ιδιαίτερα ενεργή στη διεκδίκηση του ρόλου ενός τέτοιου κανόνα. Αυτή η αρχή δηλώνει ότι μια συλλογή αντικειμένων δεν μπορεί να περιέχει μέλη που ορίζονται μόνο από την ίδια συλλογή.

Όλα τα παράδοξα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό - την αυτο-εφαρμογή ή την κυκλικότητα. Σε καθένα από αυτά, το εν λόγω αντικείμενο χαρακτηρίζεται από κάποιο σύνολο αντικειμένων στα οποία ανήκει το ίδιο. Αν ξεχωρίσουμε, για παράδειγμα, ένα άτομο ως το πιο πονηρό σε μια τάξη, αυτό το κάνουμε με τη βοήθεια ενός συνόλου ανθρώπων στο οποίο ανήκει και αυτό το άτομο (με τη βοήθεια της «τάξης του»). Και αν πούμε: «Αυτή η δήλωση είναι ψευδής», χαρακτηρίζουμε τη δήλωση που μας ενδιαφέρει αναφερόμενοι στο σύνολο όλων των ψευδών δηλώσεων που την περιλαμβάνει.

Σε όλα τα παράδοξα λαμβάνει χώρα η αυτο-εφαρμογή, που σημαίνει ότι υπάρχει, σαν να λέγαμε, μια κίνηση σε κύκλο, που οδηγεί στο τέλος στην αφετηρία. Στην προσπάθεια να χαρακτηρίσουμε το αντικείμενο που μας ενδιαφέρει, στρεφόμαστε στο σύνολο των αντικειμένων που το περιλαμβάνει. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι, για την οριστικότητά του, χρειάζεται το ίδιο το αντικείμενο που εξετάζουμε και δεν μπορεί να γίνει σαφώς κατανοητό χωρίς αυτό. Σε αυτόν τον κύκλο, ίσως, βρίσκεται η πηγή των παραδόξων.

Η κατάσταση περιπλέκεται, ωστόσο, από το γεγονός ότι ένας τέτοιος κύκλος υπάρχει και σε πολλά εντελώς μη παράδοξα επιχειρήματα. Το Circular είναι μια τεράστια ποικιλία από τους πιο συνηθισμένους, ακίνδυνους και ταυτόχρονα βολικούς τρόπους έκφρασης. Παραδείγματα όπως «η μεγαλύτερη από όλες τις πόλεις», «ο μικρότερος από όλους τους φυσικούς αριθμούς», «ένα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου σιδήρου» κ.λπ., δείχνουν ότι δεν οδηγεί κάθε περίπτωση αυτοεφαρμογής σε αντίφαση και ότι είναι σημαντικό όχι μόνο στη συνηθισμένη γλώσσα, αλλά και στη γλώσσα της επιστήμης.

Μια απλή αναφορά στη χρήση αυτοεφαρμόσιμων εννοιών είναι επομένως ανεπαρκής για να δυσφημήσει τα παράδοξα. Χρειάζεται κάποιο πρόσθετο κριτήριο για τον διαχωρισμό της αυτο-εφαρμογής, που οδηγεί σε ένα παράδοξο, από όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Υπήρξαν πολλές προτάσεις για το σκοπό αυτό, αλλά δεν βρέθηκε επιτυχής διευκρίνιση της κυκλικότητας. Αποδείχθηκε ότι ήταν αδύνατο να χαρακτηριστεί η κυκλικότητα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε κυκλικός συλλογισμός να οδηγεί σε ένα παράδοξο και κάθε παράδοξο είναι το αποτέλεσμα κάποιου κυκλικού συλλογισμού.

Μια προσπάθεια να βρεθεί κάποια συγκεκριμένη αρχή λογικής, η παραβίαση της οποίας θα ήταν χαρακτηριστικό γνώρισμα όλων των λογικών παραδόξων, δεν οδήγησε σε κάτι συγκεκριμένο.

Κάποιος τύπος ταξινόμησης των παραδόξων θα ήταν αναμφίβολα χρήσιμος, υποδιαιρώντας τα σε τύπους και τύπους, ομαδοποιώντας ορισμένα παράδοξα και αντιπαραβάλλοντάς τα σε άλλα. Ωστόσο, και σε αυτή την περίπτωση δεν έχει επιτευχθεί τίποτα βιώσιμο.

Ο Άγγλος λογικός F. Ramsey, που πέθανε το 1930, όταν δεν ήταν ακόμη είκοσι επτά ετών, πρότεινε να χωριστούν όλα τα παράδοξα σε συντακτικά και σημασιολογικά. Το πρώτο περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το παράδοξο του Ράσελ, το δεύτερο - τα παράδοξα του «ψεύτη», του Γκρέλινγκ κ.λπ.

Σύμφωνα με τον F. Ramsey, τα παράδοξα της πρώτης ομάδας περιέχουν μόνο έννοιες που ανήκουν στη λογική ή στα μαθηματικά. Οι τελευταίες περιλαμβάνουν έννοιες όπως «αλήθεια», «καθορισμός», «ονομασία», «γλώσσα», οι οποίες δεν είναι αυστηρά μαθηματικές, αλλά μάλλον σχετίζονται με τη γλωσσολογία ή ακόμα και με τη θεωρία της γνώσης. Τα σημασιολογικά παράδοξα φαίνεται να οφείλουν την εμφάνισή τους όχι σε κάποιο λάθος στη λογική, αλλά στην ασάφεια ή ασάφεια κάποιων μη λογικών εννοιών, επομένως τα προβλήματα που θέτουν αφορούν τη γλώσσα και πρέπει να λυθούν από τη γλωσσολογία.

Φάνηκε στον F. Ramsey ότι οι μαθηματικοί και οι λογικοί δεν χρειάζεται να ενδιαφέρονται για τα σημασιολογικά παράδοξα.

Αργότερα, ωστόσο, αποδείχθηκε ότι μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα της σύγχρονης λογικής προέκυψαν ακριβώς σε σχέση με μια βαθύτερη μελέτη ακριβώς αυτών των «μη λογικών» παραδόξων.

Η διαίρεση των παραδόξων που πρότεινε ο F. Ramsey χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχή και διατηρεί κάποια σημασία ακόμη και τώρα. Ταυτόχρονα, γίνεται ολοένα και πιο σαφές ότι αυτή η διαίρεση είναι μάλλον ασαφής και βασίζεται κυρίως σε παραδείγματα και όχι σε μια εις βάθος συγκριτική ανάλυση των δύο ομάδων παραδόξων. Οι σημασιολογικές έννοιες είναι πλέον καλά καθορισμένες και είναι δύσκολο να μην αναγνωρίσουμε ότι αυτές οι έννοιες είναι πράγματι λογικές. Με την ανάπτυξη της σημασιολογίας, η οποία ορίζει τις βασικές της έννοιες με όρους θεωρίας συνόλων, η διάκριση που κάνει ο F. Ramsey γίνεται όλο και πιο θολή.