Δυνάμεις αδράνειας σε μηχανικό σύστημα. Τύπος αδρανειακής δύναμης

Όταν μελετάμε το ερώτημα ποια είναι η δύναμη της αδράνειας (SI), συχνά συμβαίνουν παρεξηγήσεις, που οδηγούν σε ψευδοεπιστημονικές ανακαλύψεις και παράδοξα. Ας εξετάσουμε αυτό το θέμα, εφαρμόζοντας μια επιστημονική προσέγγιση και τεκμηριώνοντας όλα όσα έχουν ειπωθεί με υποστηρικτικούς τύπους.

Η δύναμη της αδράνειας μας περιβάλλει παντού. Οι άνθρωποι παρατήρησαν τις εκδηλώσεις του στην αρχαιότητα, αλλά δεν μπορούσαν να το εξηγήσουν. Ο Γαλιλαίος το μελετούσε σοβαρά, και μετά το διάσημο.Χάρη στην μακροσκελή ερμηνεία του έγιναν δυνατές λανθασμένες υποθέσεις. Αυτό είναι απολύτως φυσικό, επειδή ο επιστήμονας έκανε μια υπόθεση και οι αποσκευές της γνώσης που συσσώρευσε η επιστήμη σε αυτόν τον τομέα δεν υπήρχαν ακόμη.

Ο Νεύτωνας υποστήριξε ότι η φυσική ιδιότητα όλων των υλικών αντικειμένων είναι η ικανότητα να βρίσκονται σε ευθεία γραμμή ή σε κατάσταση ηρεμίας, υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει εξωτερική επιρροή.

Ας «επεκτείνουμε» αυτή την υπόθεση στη βάση της σύγχρονης γνώσης. Ακόμη και ο Galileo Galilei επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι η δύναμη της αδράνειας σχετίζεται άμεσα με τη βαρύτητα (έλξη). Και τα φυσικά ελκυστικά αντικείμενα, των οποίων η πρόσκρουση είναι εμφανής, είναι οι πλανήτες και τα αστέρια (λόγω της μάζας τους). Και αφού έχουν σχήμα μπάλας, αυτό επεσήμανε ο Γαλιλαίος. Ωστόσο, ο Newton αγνόησε εντελώς αυτό το σημείο.

Είναι πλέον γνωστό ότι ολόκληρο το Σύμπαν διαποτίζεται από βαρυτικές γραμμές ποικίλης έντασης. Έμμεσα επιβεβαίωσε, αν και όχι μαθηματικά αποδεδειγμένη, την ύπαρξη βαρυτικής ακτινοβολίας. Επομένως, η δύναμη της αδράνειας προκύπτει πάντα με τη συμμετοχή της βαρύτητας. Ο Νεύτωνας, στην υπόθεση του για μια «φυσική ιδιοκτησία», δεν το έλαβε επίσης υπόψη του.

Είναι πιο σωστό να προχωρήσουμε από έναν άλλο ορισμό - η υποδεικνυόμενη δύναμη είναι η τιμή της οποίας είναι το γινόμενο της μάζας (m) του κινούμενου σώματος και της επιτάχυνσής του (α). Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση, δηλαδή:

όπου F, a είναι οι τιμές των διανυσμάτων δύναμης και η προκύπτουσα επιτάχυνση. m είναι η μάζα του κινούμενου σώματος (ή μαθηματική

Η φυσική και η μηχανική προσφέρουν δύο ονόματα για ένα τέτοιο φαινόμενο: Coriolis και φορητή δύναμη αδράνειας (PSI). Και οι δύο όροι είναι ισοδύναμοι. Η διαφορά είναι ότι η πρώτη επιλογή είναι γενικά αναγνωρισμένη και χρησιμοποιείται στο μάθημα της μηχανικής. Με άλλα λόγια, η ισότητα ισχύει:

F kor \u003d F ανά \u003d m * (-a kor) \u003d m * (-a per),

όπου F είναι η δύναμη Coriolis. F ανά φορητή δύναμη αδράνειας. a kor και a per είναι τα αντίστοιχα διανύσματα επιτάχυνσης.

Το PSI περιλαμβάνει τρία στοιχεία: αδράνεια, μεταφορικό SI και περιστροφικό. Εάν συνήθως δεν υπάρχουν δυσκολίες με το πρώτο, τότε τα άλλα δύο απαιτούν εξήγηση. Η μεταφορική δύναμη της αδράνειας καθορίζεται από την επιτάχυνση ολόκληρου του συστήματος ως συνόλου σε σχέση με οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα στον μεταφορικό τύπο κίνησης. Κατά συνέπεια, το τρίτο συστατικό προκύπτει λόγω της επιτάχυνσης που εμφανίζεται κατά την περιστροφή του σώματος. Ταυτόχρονα, αυτές οι τρεις δυνάμεις μπορούν να υπάρχουν ανεξάρτητα, χωρίς να αποτελούν μέρος του PSI. Όλα αυτά αντιπροσωπεύονται από τον ίδιο βασικό τύπο F = m * a, και οι διαφορές είναι μόνο στον τύπο της επιτάχυνσης, ο οποίος, με τη σειρά του, εξαρτάται από τον τύπο της κίνησης. Έτσι, αποτελούν ειδική περίπτωση αδράνειας. Καθένα από αυτά εμπλέκεται στον υπολογισμό της θεωρητικής απόλυτης επιτάχυνσης ενός υλικού σώματος (σημείου) σε ένα σταθερό πλαίσιο αναφοράς (αόρατο για παρατήρηση από ένα μη αδρανειακό πλαίσιο).

Το PSI είναι απαραίτητο κατά τη μελέτη του ζητήματος της σχετικής κίνησης, καθώς για να δημιουργηθούν τύποι για την κίνηση ενός σώματος σε ένα μη αδρανειακό σύστημα, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη όχι μόνο άλλες γνωστές δυνάμεις, αλλά και αυτή (F kor ή F ανά).

ΣΤΟ κλασική μηχανικήιδέες για δυνάμειςκαι οι ιδιότητές τους βασίζονται σε οι νόμοι του Νεύτωνακαι συνδέονται άρρηκτα με την έννοια αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς.

Πράγματι, το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δύναμη εισάγεται υπόψη από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, ενώ ο ίδιος ο νόμος διατυπώνεται μόνο για αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Κατά συνέπεια, η έννοια της δύναμης αρχικά αποδεικνύεται ότι ορίζεται μόνο για τέτοια πλαίσια αναφοράς.

Η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα που σχετίζεται επιτάχυνσηκαι μάζα υλικό σημείομε τη δύναμη που ασκεί πάνω του, γράφεται στη μορφή

Από την εξίσωση προκύπτει άμεσα ότι μόνο οι δυνάμεις είναι η αιτία της επιτάχυνσης των σωμάτων και αντίστροφα: η δράση μη αντισταθμιζόμενων δυνάμεων σε ένα σώμα προκαλεί αναγκαστικά την επιτάχυνσή του.

Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα συμπληρώνει και αναπτύσσει όσα ειπώθηκαν για τις δυνάμεις στον δεύτερο νόμο.

Η δύναμη είναι ένα μέτρο της μηχανικής δράσης σε ένα δεδομένο υλικό σώμα άλλων σωμάτων

Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, δυνάμεις μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ζεύγη, και η φύση των δυνάμεων σε κάθε τέτοιο ζεύγος είναι η ίδια.

Κάθε δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα έχει μια πηγή προέλευσης με τη μορφή άλλου σώματος. Με άλλα λόγια, οι δυνάμεις είναι απαραίτητα το αποτέλεσμα αλληλεπιδράσειςτηλ.

Δεν λαμβάνονται υπόψη ούτε χρησιμοποιούνται άλλες δυνάμεις στη μηχανική. Η δυνατότητα ύπαρξης δυνάμεων που έχουν προκύψει ανεξάρτητα, χωρίς αλληλεπιδρώντα σώματα, δεν επιτρέπεται από τη μηχανική.

Αν και τα ονόματα των δυνάμεων αδράνειας Euler και d'Alembert περιέχουν τη λέξη δύναμη, αυτά τα φυσικά μεγέθη δεν είναι δυνάμεις με την έννοια που είναι αποδεκτή στη μηχανική.

34. Η έννοια της επίπεδης-παράλληλης κίνησης άκαμπτου σώματος

Η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος ονομάζεται επίπεδο-παράλληλο εάν όλα τα σημεία του σώματος κινούνται σε επίπεδα παράλληλα προς κάποιο σταθερό επίπεδο (το κύριο επίπεδο). Αφήστε κάποιο σώμα V να κάνει μια επίπεδη κίνηση, π - το κύριο επίπεδο. Από ορισμοίεπίπεδο-παράλληλη κίνηση και τις ιδιότητες ενός απολύτως άκαμπτου σώματος, προκύπτει ότι οποιοδήποτε τμήμα της ευθείας ΑΒ, κάθετο στο επίπεδο π, θα εκτελεί μεταφορική κίνηση. Δηλαδή, οι τροχιές, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις όλων των σημείων του τμήματος ΑΒ θα είναι ίδιες. Έτσι, η κίνηση κάθε σημείου της τομής s παράλληλο προς το επίπεδο π καθορίζει την κίνηση όλων των σημείων του σώματος V που βρίσκονται στο τμήμα που είναι κάθετο στην τομή σε αυτό το σημείο. Παραδείγματα κίνησης στο επίπεδο-παράλληλη είναι: η κύλιση του τροχού κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος, καθώς όλα τα σημεία του κινούνται σε επίπεδα παράλληλα προς το επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα του τροχού. ειδική περίπτωση τέτοιας κίνησης είναι περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα, στην πραγματικότητα, όλα τα σημεία του περιστρεφόμενου σώματος κινούνται σε επίπεδα παράλληλα σε κάποιο σταθερό επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής.

35. Δυνάμεις αδράνειας στην ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση υλικού σημείου

Η δύναμη με την οποία ένα σημείο αντιστέκεται σε μεταβολή της κίνησης ονομάζεται δύναμη αδράνειας ενός υλικού σημείου. Η δύναμη της αδράνειας κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση του σημείου και είναι ίση με τη μάζα επί την επιτάχυνση.

Σε ευθεία γραμμήη κατεύθυνση της επιτάχυνσης συμπίπτει με την τροχιά. Η δύναμη της αδράνειας κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την επιτάχυνση και η αριθμητική της τιμή καθορίζεται από τον τύπο:

Με την επιταχυνόμενη κίνηση, οι κατευθύνσεις της επιτάχυνσης και της ταχύτητας συμπίπτουν και η δύναμη της αδράνειας κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση. Στην αργή κίνηση, όταν η επιτάχυνση κατευθύνεται προς την αντίθετη από την ταχύτητα κατεύθυνση, η δύναμη της αδράνειας ενεργεί προς την κατεύθυνση της κίνησης.

Στοκαμπυλόγραμμη και ανομοιόμορφηκίνησηη επιτάχυνση μπορεί να αποσυντεθεί σε κανονική ένακαι εφαπτομένη στοσυστατικά. Ομοίως, η δύναμη αδράνειας ενός σημείου αποτελείται επίσης από δύο συνιστώσες: την κανονική και την εφαπτομενική.

Κανονικόςη συνιστώσα της αδρανειακής δύναμης είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της κανονικής επιτάχυνσης και κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν την επιτάχυνση:

Εφαπτομένοςη συνισταμένη της αδρανειακής δύναμης είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της εφαπτομενικής επιτάχυνσης και κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν την επιτάχυνση:

Προφανώς, η συνολική δύναμη αδράνειας του σημείου Μισούται με το γεωμετρικό άθροισμα της κανονικής και της εφαπτομένης συνιστώσας, δηλ.

Δεδομένου ότι η εφαπτομένη και η κανονική συνιστώσα είναι αμοιβαία κάθετες, η ολική δύναμη αδράνειας.

ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ

ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ

Ένα διανυσματικό μέγεθος αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της μάζας m ενός υλικού σημείου και του w και κατευθύνεται αντίθετα προς την επιτάχυνση. Σε καμπυλόγραμμη κίνηση του S. και. μπορεί να αποσυντεθεί σε μια εφαπτομένη ή εφαπτομενική συνιστώσα Jt, που κατευθύνεται αντίθετα προς την εφαπτομένη. επιτάχυνση wt , και στην κανονική συνιστώσα Jn κατευθυνόμενη κατά μήκος της κανονικής προς την τροχιά από το κέντρο της καμπυλότητας. αριθμητικά Jt=mwt, Jn=mv2/r, όπου v - σημεία, r - ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς. Κατά τη μελέτη της κίνησης σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα αναφοράς, οι S. και. εισήχθη για να έχει μια επίσημη ευκαιρία να συνθέσει εξισώσεις δυναμικής με τη μορφή απλούστερων στατικών εξισώσεων (βλ.). Η έννοια του Σ. και. εισάγεται και στη μελέτη της σχετικής κίνησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η προσθήκη δυνάμεων αλληλεπίδρασης με άλλα σώματα που δρουν σε ένα υλικό σημείο S. και. - φορητές Jper και Coriolis δυνάμεις Jcor - σας επιτρέπει να συνθέσετε εξισώσεις κίνησης αυτού του σημείου σε ένα κινούμενο (μη αδρανειακό) πλαίσιο αναφορά με τον ίδιο τρόπο όπως σε μια αδρανειακή.

Φυσικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. . 1983 .

ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ

Μια διανυσματική ποσότητα αριθμητικά ίση με το γινόμενο της μάζας tυλικό σημείο στην επιτάχυνσή του wκαι κατευθύνεται αντίθετα προς την επιτάχυνση. Σε καμπυλόγραμμη κίνηση του S. και. μπορεί να αποσυντεθεί σε μια εφαπτομένη ή εφαπτομενική συνιστώσα που κατευθύνεται αντίθετα προς την εφαπτομένη. επιτάχυνση, και στην κανονική ή φυγόκεντρη συνιστώσα, κατευθυνόμενη κατά μήκος του Ch. κανονικές τροχιάς από το κέντρο της καμπυλότητας. αριθμητικά , , όπου v-η ταχύτητα του σημείου είναι η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς. Όταν μελετάτε την κίνηση σε σχέση με αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς S. i. εισήχθη για να έχουμε μια επίσημη ευκαιρία να συνθέσουμε δυναμικές εξισώσεις με τη μορφή απλούστερων στατικών εξισώσεων (βλ. Δ «Αρχή Alamber, Κινετοστατική).

Η έννοια του Σ. και. εισήχθη επίσης στη μελέτη σχετική κίνηση.Σε αυτή την περίπτωση, προσθέτοντας τη δύναμη μεταφοράς J nep στις δυνάμεις αλληλεπίδρασης με άλλα σώματα που δρουν στο υλικό σημείο και Δύναμη Coriolisαδράνεια, Targ.

Φυσική εγκυκλοπαίδεια. Σε 5 τόμους. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. Αρχισυντάκτης A. M. Prokhorov. 1988 .

Δείτε τι είναι η «ΔΥΝΑΜΗ ΤΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ» σε άλλα λεξικά:

- (επίσης αδρανειακή δύναμη) ένας όρος που χρησιμοποιείται ευρέως με διάφορες έννοιες στις ακριβείς επιστήμες, αλλά και ως μεταφορά στη φιλοσοφία, την ιστορία, τη δημοσιογραφία και τη μυθοπλασία. Στις ακριβείς επιστήμες, η δύναμη της αδράνειας είναι συνήθως μια έννοια ... Wikipedia

Σύγχρονη Εγκυκλοπαίδεια

Ένα διανυσματικό μέγεθος αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της μάζας m ενός υλικού σημείου και της μονάδας της επιτάχυνσής του; και κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

δύναμη αδράνειας- Ένα διανυσματικό μέγεθος, το δομοστοιχείο του οποίου είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας ενός υλικού σημείου και του δομοστοιχείου της επιτάχυνσής του και κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν την επιτάχυνση. [Συλλογή προτεινόμενων όρων. Τεύχος 102. Θεωρητική Μηχανική. Ακαδημία Επιστημών της ΕΣΣΔ. Επιτροπή…… Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

δύναμη αδράνειας- ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ, διανυσματική ποσότητα αριθμητικά ίση με το γινόμενο της μάζας m ενός υλικού σημείου και της επιτάχυνσής του u και κατευθύνεται αντίθετα προς την επιτάχυνση. Προκύπτει λόγω της μη αδράνειας του συστήματος αναφοράς (περιστροφή ή ευθύγραμμη κίνηση με ... ... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

δύναμη αδράνειας- inercijos jėga statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus materialiojo taško arba kūno masės ir pagreičio sandaugai; kryptis priešinga pagreičiui. ατιτικμενύς: αγγλ. δύναμη αδράνειας vok. Tragheitskraft, f;…… Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

Ένα διανυσματικό μέγεθος αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της μάζας m ενός υλικού σημείου και του συντελεστή της επιτάχυνσής του w και κατευθύνεται αντίθετα προς την επιτάχυνση. * * * ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗ ΑΔΕΡΕΙΑΣ, διανυσματική ποσότητα, αριθμητικά ίση με το γινόμενο της μάζας m του υλικού ... ... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

δύναμη αδράνειας- inercijos jėga statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. αδρανειακή δύναμη vok. Tragheitskraft, f rus. αδρανειακή δύναμη, fpranc. δύναμη d αδράνεια, f … Automatikos terminų žodynas

δύναμη αδράνειας- inercijos jėga statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. αδρανειακή δύναμη vok. Tragheitskraft, f rus. αδρανειακή δύναμη, fpranc. force d'inertie, f … Fizikos terminų žodynas

δύναμη αδράνειας- μια τιμή αριθμητικά ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος και της επιτάχυνσής της και στρέφεται αντίθετα από την επιτάχυνση· Δείτε επίσης: δύναμη δύναμης δύναμης τριβής δύναμης ελαφριάς δύναμης οπισθέλκουσας εσωτερικής τριβής ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό Μεταλλουργίας

Έχοντας διαπιστώσει ότι τα επιμέρους σημεία στον απόλυτο χώρο του Νεύτωνα δεν είναι μια φυσική πραγματικότητα, πρέπει τώρα να αναρωτηθούμε τι παραμένει μέσα

καθόλου αυτή η ιδέα; Παραμένει το εξής: η αντίσταση όλων των σωμάτων στην επιτάχυνση πρέπει να ερμηνευθεί με τη νευτώνεια έννοια ως δράση του απόλυτου χώρου. Η ατμομηχανή που θέτει σε κίνηση το τρένο υπερνικά την αντίσταση της αδράνειας. Ένα βλήμα που καταρρίπτει έναν τοίχο αντλεί την καταστροφική του δύναμη από την αδράνεια. Η δράση της αδράνειας εκδηλώνεται κάθε φορά που λαμβάνουν χώρα επιταχύνσεις και οι τελευταίες δεν είναι τίποτα άλλο από αλλαγές στην ταχύτητα στον απόλυτο χώρο (μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τελευταία έκφραση, αφού η μεταβολή της ταχύτητας έχει το ίδιο μέγεθος σε όλα τα αδρανειακά πλαίσια). Έτσι, τα πλαίσια αναφοράς, τα οποία κινούνται με επιτάχυνση σε σχέση με τα αδρανειακά πλαίσια, δεν είναι ισοδύναμα με τα τελευταία ή μεταξύ τους. Είναι δυνατόν, φυσικά, να καθοριστούν οι νόμοι της μηχανικής σε τέτοια συστήματα, αλλά θα λάβουν μια πιο περίπλοκη μορφή. Ακόμη και η τροχιά ενός ελεύθερου σώματος αποδεικνύεται ότι δεν είναι πλέον ομοιόμορφη και ευθύγραμμη σε ένα επιταχυνόμενο σύστημα (βλ. Κεφ. σελ. 59). Το τελευταίο μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή δήλωσης ότι σε ένα επιταχυνόμενο σύστημα, εκτός από τις πραγματικές δυνάμεις, υπάρχουν και φαινομενικές ή αδρανειακές δυνάμεις. Το σώμα, το οποίο δεν επηρεάζεται από πραγματικές δυνάμεις, εξακολουθεί να υπόκειται στη δράση αυτών των αδρανειακών δυνάμεων, επομένως η κίνησή του στη γενική περίπτωση αποδεικνύεται ανομοιόμορφη και μη ευθύγραμμη. Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο που αρχίζει να κινείται ή επιβραδύνει είναι ένα τόσο επιταχυνόμενο σύστημα. Όλοι γνωρίζουν την ώθηση ενός τρένου που κινείται ή σταματά. δεν είναι παρά η δράση της αδρανειακής δύναμης για την οποία μιλάμε.

Ας εξετάσουμε αυτό το φαινόμενο λεπτομερώς χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός συστήματος που κινείται ευθύγραμμα με επιτάχυνση.Αν μετρήσουμε την επιτάχυνση ενός σώματος σε σχέση με ένα τέτοιο κινούμενο σύστημα, τότε η επιτάχυνσή του σε σχέση με τον απόλυτο χώρο θα είναι προφανώς μεγαλύτερη κατά. νόμος της μηχανικής σε αυτόν τον χώρο έχει τη μορφή

Αν το γράψουμε στη φόρμα

τότε μπορούμε να πούμε ότι ο νόμος της κίνησης στη νευτώνεια μορφή ικανοποιείται στο επιταχυνόμενο σύστημα, δηλαδή

εκτός από το ότι τώρα η δύναμη πρέπει να οριστεί στο K, το οποίο είναι ίσο με

όπου Κ είναι η πραγματική δύναμη και είναι η φαινομενική δύναμη ή η δύναμη της αδράνειας.

Άρα, αυτή η δύναμη δρα σε ένα ελεύθερο σώμα. Η δράση του μπορεί να απεικονιστεί με τον ακόλουθο συλλογισμό: γνωρίζουμε ότι η βαρύτητα στη Γη - η δύναμη της βαρύτητας - καθορίζεται από τον τύπο G = mg, όπου είναι μια σταθερή επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας. Η δύναμη της αδράνειας δρα σε αυτή την περίπτωση όπως η βαρύτητα. το σύμβολο μείον σημαίνει ότι η δύναμη αδράνειας κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση του πλαισίου αναφοράς, το οποίο χρησιμοποιείται ως βάση. Το μέγεθος της φαινομενικής βαρυτικής επιτάχυνσης y συμπίπτει με την επιτάχυνση του πλαισίου αναφοράς.Έτσι, η κίνηση ενός ελεύθερου σώματος στο πλαίσιο είναι απλώς κίνηση του τύπου που γνωρίζουμε ως πτώση ή κίνηση ενός πεταχθέντος σώματος.

Αυτή η σχέση μεταξύ των αδρανειακών δυνάμεων σε επιταχυνόμενα συστήματα και της δύναμης της βαρύτητας εδώ φαίνεται ακόμα κάπως τεχνητή. Στην πραγματικότητα, πέρασε απαρατήρητο για διακόσια χρόνια. Ωστόσο, ήδη σε αυτό το στάδιο πρέπει να επισημάνουμε ότι αποτελεί τη βάση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν.

Δυνάμεις αδράνειας και ο βασικός νόμος της μηχανικής

Μπερνίκοφ Βασίλι Ρουσλάνοβιτς,

μηχανικός.

Πρόλογος

Οι εσωτερικές δυνάμεις σε ορισμένες περιπτώσεις είναι η αιτία της εμφάνισης εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα, , , . Οι δυνάμεις αδράνειας είναι πάντα εξωτερικές σε σχέση με οποιοδήποτε κινούμενο σύστημα υλικών σωμάτων, , , . Οι δυνάμεις αδράνειας ενεργούν με τον ίδιο τρόπο όπως οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης, είναι αρκετά πραγματικές, μπορούν να κάνουν δουλειά, να προσδώσουν επιτάχυνση, , , . Με μεγάλο αριθμό θεωρητικών προϋποθέσεων στη μηχανική, η δυνατότητα χρήσης δυνάμεων αδράνειας ως μεταφορικής δύναμης στη δημιουργία δομών δεν οδήγησε σε θετικό αποτέλεσμα. Μπορούν να σημειωθούν μόνο μερικά γνωστά σχέδια με χαμηλή απόδοση χρήσης δυνάμεων αδράνειας: το αδρανές του Tolchin, ο υγρός προωθητής vortex του Frolov, η πρόωση του Thornson. Η αργή ανάπτυξη της αδρανειακής πρόωσης εξηγείται από την έλλειψη θεμελιώδους θεωρητικής τεκμηρίωσης του παρατηρούμενου φαινομένου. Με βάση τις συνήθεις κλασικές έννοιες της φυσικής μηχανικής, σε αυτή την εργασία, έχει δημιουργηθεί μια θεωρητική βάση για τη χρήση των δυνάμεων αδράνειας ως μεταφορικής δύναμης.

§ένας. Ο βασικός νόμος της μηχανικής και οι συνέπειές του.

Ας εξετάσουμε τους νόμους του μετασχηματισμού των δυνάμεων και των επιταχύνσεων σε διαφορετικά πλαίσια αναφοράς. Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετα ακίνητο αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς και ας συμφωνήσουμε ότι η κίνηση σε σχέση με αυτό θεωρείται απόλυτη. Σε ένα τέτοιο πλαίσιο αναφοράς, η βασική εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου είναι η εξίσωση που εκφράζει τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.

Μ wκοιλιακοί = φά, (1.1)

όπου φά- η δύναμη της αλληλεπίδρασης των σωμάτων.

Ένα σώμα σε ηρεμία σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς σύρεται από το τελευταίο στην κίνησή του σε σχέση με το σταθερό σύστημα αναφοράς. Αυτή η κίνηση ονομάζεται φορητή. Η κίνηση ενός σώματος σε σχέση με το σύστημα αναφοράς ονομάζεται σχετική. Η απόλυτη κίνηση ενός σώματος αποτελείται από τις σχετικές και μεταφορικές κινήσεις του. Σε μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς (πλαίσια αναφοράς που κινούνται με επιτάχυνση), ο νόμος μετασχηματισμού των επιταχύνσεων για μεταφορική κίνηση έχει την ακόλουθη μορφή

wκοιλιακοί = wσχετ +wανά. (1.2)

Λαμβάνοντας υπόψη το (1.1) για τις δυνάμεις, γράφουμε την εξίσωση της σχετικής κίνησης για ένα υλικό σημείο σε ένα πλαίσιο αναφοράς που κινείται με μεταφορική επιτάχυνση

mwσχετ = F - mwλωρίδα, (1.3)

όπου mw per είναι η μεταφορική δύναμη αδράνειας, η οποία προκύπτει όχι λόγω της αλληλεπίδρασης των σωμάτων, αλλά λόγω της επιταχυνόμενης κίνησης του πλαισίου αναφοράς. Η κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση αδρανειακών δυνάμεων είναι παρόμοια με την κίνηση σε εξωτερικά πεδία δύναμης [2, σελ.359]. Η ορμή του κέντρου μάζας του συστήματος [3, σελ.198] μπορεί να αλλάξει αλλάζοντας την εσωτερική ορμή περιστροφής ή την εσωτερική μεταφορική ορμή. Οι δυνάμεις αδράνειας είναι πάντα εξωτερικές [2, σελ.359] σε σχέση με οποιοδήποτε κινούμενο σύστημα υλικών σωμάτων.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το πλαίσιο αναφοράς κινείται αρκετά αυθαίρετα σε σχέση με το σταθερό πλαίσιο αναφοράς. Αυτή η κίνηση μπορεί να χωριστεί σε δύο: μεταφορική κίνηση με ταχύτητα v o, ίση με την ταχύτητα κίνησης της αρχής και περιστροφική κίνηση γύρω από τον στιγμιαίο άξονα που διέρχεται από αυτήν την αρχή. Δηλώνουμε τη γωνιακή ταχύτητα αυτής της περιστροφής w, και την απόσταση από την αρχή των συντεταγμένων του κινούμενου συστήματος αναφοράς μέχρι το κινούμενο σημείο μέσα σε αυτό r. Επιπλέον, το κινούμενο σημείο έχει ταχύτητα σε σχέση με το κινούμενο πλαίσιο αναφοράς vσχετ. Τότε για την απόλυτη επιτάχυνση [2, σελ.362] γνωρίζουμε τη σχέση

wκοιλιακοί = wσχετ - 2[ vσχετ w] + (δ v o /dt) - w 2 r ^ + [ (ημ w/ dt) r] ,. (1.4)

όπου r ^ - συστατικό της ακτίνας-διάνυσμα r, κάθετα στον στιγμιαίο άξονα περιστροφής. Μεταφέρουμε τη σχετική επιτάχυνση στην αριστερή πλευρά, και την απόλυτη επιτάχυνση στη δεξιά πλευρά και πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με τη μάζα του σώματος, παίρνουμε τη βασική εξίσωση των δυνάμεων της σχετικής κίνησης [ 2, σελ. 364] ενός υλικού σημείου σε ένα αυθαίρετα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς

mw rel = mwκοιλιακούς + 2 m[ vσχετ w] - m(d v o /dt) + mw 2 r ^ – m[ (ημ w/ dt) r] . (1.5)

Ή αντίστοιχα

mw rel = φά + φάσε + φά n+ φά c + φάφ, (1.6)

όπου: φά- δύναμη αλληλεπίδρασης σωμάτων. φά k είναι η δύναμη αδράνειας Coriolis. φά p είναι η μεταφορική δύναμη της αδράνειας. φάγ - φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας. φά f είναι η δύναμη φάσης της αδράνειας.

Η κατεύθυνση της δύναμης αλληλεπίδρασης των σωμάτων φάσυμπίπτει με την κατεύθυνση της επιτάχυνσης του σώματος. Δύναμη αδράνειας Coriolis φάΤο k κατευθύνεται σύμφωνα με το διανυσματικό γινόμενο της ακτινικής και γωνιακής ταχύτητας, δηλαδή κάθετα και στα δύο διανύσματα. Μεταγραφική δύναμη αδράνειας φάΤο n κατευθύνεται αντίθετα από την επιτάχυνση του σώματος. Φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας φά q κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας από το κέντρο περιστροφής του σώματος. Δύναμη φάσης αδράνειας φάΤο φ κατευθύνεται αντίθετα από το διανυσματικό γινόμενο της γωνιακής επιτάχυνσης και της ακτίνας από το κέντρο περιστροφής κάθετο σε αυτά τα διανύσματα.

Έτσι, αρκεί να γνωρίζουμε το μέγεθος και την κατεύθυνση των δυνάμεων αδράνειας και αλληλεπίδρασης για να προσδιορίσουμε την τροχιά του σώματος σε σχέση με οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς.

Εκτός από τις δυνάμεις αδράνειας και την αλληλεπίδραση των σωμάτων, υπάρχουν δυνάμεις μεταβλητής μάζας, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της δράσης των δυνάμεων αδράνειας. Εξετάστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε διαφορική μορφή [2, σελ.77]

ρε Π/dt = ∑ φά, (1.7)

όπου: Πείναι η ορμή του συστήματος των σωμάτων. ∑ φάείναι το άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων.

Είναι γνωστό ότι η ορμή ενός συστήματος σωμάτων στη γενική περίπτωση εξαρτάται από το χρόνο και, κατά συνέπεια, είναι ίση με

Π(t) = m(t) v(t), (1,8)

όπου: m(t) είναι η μάζα του συστήματος των σωμάτων. v(t) είναι η ταχύτητα του συστήματος των σωμάτων.

Αφού η ταχύτητα είναι η χρονική παράγωγος των συντεταγμένων του συστήματος, τότε

v(t) = δ r(t)/dt, (1.9)

όπου rείναι το διάνυσμα ακτίνας.

Στο μέλλον, θα εννοούμε την εξάρτηση από το χρόνο: διάνυσμα μάζας, ταχύτητας και ακτίνας. Αντικαθιστώντας τα (1.9) και (1.8) στο (1.7) παίρνουμε

d(m (d r/dt))/dt = ∑ φά. (1.10)

Εισάγουμε τη μάζα m κάτω από το πρόσημο του διαφορικού [ 1, σελ.295] , στη συνέχεια

ρε[ (δ(μ r)/dt) – r(dm/dt)]/dt = ∑ φά.

Η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων

d [ (d(m r)/dt) ] dt – d [ r(dm/dt)] /dt =∑ φά.

Ας κάνουμε μια λεπτομερή διαφοροποίηση κάθε όρου σύμφωνα με τους κανόνες για τη διαφοροποίηση προϊόντων

m(d2 r/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) + (dm/dt)(d r/dt) +

+ r(d 2 m/dt 2) – r(d 2 m/dt 2)- (dm/dt)(d r/dt) = ∑ φά. (1.11)

Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους και γράφουμε την εξίσωση (1.11) στην παρακάτω μορφή

m(d2 r/dt 2) = ∑ φά- (dm/dt)(d r/dt). (1.12)

Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (1.12) βρίσκεται το άθροισμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων. Ο τελευταίος όρος ονομάζεται δύναμη μεταβλητής μάζας, δηλαδή

φά pm = - (dm/dt)(d r/dt). (1.13)

Έτσι, μια ακόμη εξωτερική δύναμη προστίθεται στις εξωτερικές δυνάμεις - η δύναμη της μεταβλητής μάζας. Η έκφραση στην πρώτη αγκύλη στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (1.13) είναι ο ρυθμός μεταβολής της μάζας και η έκφραση στη δεύτερη αγκύλη είναι ο ρυθμός διαχωρισμού (προσκόλλησης) των σωματιδίων. Έτσι, αυτή η δύναμη δρα όταν η μάζα (αντίδραση) [2, σελ.120] ενός συστήματος σωμάτων αλλάζει με το διαχωρισμό (προσκόλληση) των σωματιδίων με αντίστοιχη ταχύτητα σε σχέση με αυτό το σύστημα σωμάτων. Η εξίσωση (1.12) είναι η εξίσωση Meshchersky [2, σελ. 120], το σύμβολο μείον δείχνει ότι η εξίσωση προέκυψε με την υπόθεση της δράσης εσωτερικών δυνάμεων (διαχωρισμός σωματιδίων). Εφόσον η εξίσωση (1.12) προέκυψε με την υπόθεση αλλαγής της ορμής του συστήματος σωμάτων υπό την επίδραση εσωτερικών δυνάμεων που δημιουργούν εξωτερικές, με μια ακριβή μαθηματική μέθοδο, επομένως, όταν προέκυψε στην έκφραση (1.11), εμφανίστηκαν δύο ακόμη δυνάμεις που δεν συμμετέχουν στη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σωμάτων, αφού ακυρώνονται όταν μειωθούν παρόμοιοι όροι. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση (1.11), λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1.13), χωρίς να ακυρώσουμε παρόμοιους όρους, ως εξής

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt) = ∑ φά + φάμμ + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt). (1.14)

Ας υποδηλώσουμε τον προτελευταίο όρο της έκφρασης (1.14) με φά m , και το τελευταίο μέσα φάδ, τότε

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) = ∑ φά + φάμμ + φά m + φάδ. (1.15)

Από τη δύναμη φάΤο m δεν συμμετέχει στην αλλαγή της ορμής, τότε μπορεί να γραφτεί ως ξεχωριστή εξίσωση

φά m = r(d 2 m/dt 2). (1.16)

Εξετάστε τη φυσική έννοια της εξίσωσης (1.16), για αυτό την ξαναγράφουμε στην ακόλουθη μορφή

r = φά m/(d 2 m/dt 2). (1.17)

Ο λόγος της δύναμης προς την επιταχυνόμενη αύξηση της μάζας σε έναν ορισμένο όγκο είναι μια σταθερή τιμή ή ο χώρος που καταλαμβάνει μια ορισμένη ποσότητα ενός τύπου ουσίας χαρακτηρίζεται από έναν ελάχιστο όγκο. Δύναμη φάΤο m είναι στατικό και εκτελεί τη λειτουργία της πίεσης.

Δύναμη φάΤο q επίσης δεν συμμετέχει στη μεταβολή της ορμής του συστήματος των σωμάτων, οπότε το γράφουμε ως ξεχωριστή εξίσωση και εξετάζουμε τη φυσική του σημασία

φά d = (dm/dt)(d r/dt). (1.18)

Δύναμη φά d είναι η δύναμη της πίεσης που ασκεί μια ουσία σε υγρή ή αέρια κατάσταση στον περιβάλλοντα χώρο. Χαρακτηρίζεται από τον αριθμό, τη μάζα και την ταχύτητα των σωματιδίων που παρέχουν πίεση σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Πρέπει να σημειωθεί ότι η πίεση φά q συμπίπτει με τη μεταβλητή δύναμη μάζας φάμ.μ. και η διάκρισή τους γίνεται μόνο για να προσδιοριστεί η φύση της δράσης σε διάφορες συνθήκες. Έτσι, η εξίσωση (1.15) περιγράφει πλήρως την κατάσταση της ύλης. Δηλαδή, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1.15), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ουσία χαρακτηρίζεται από τη μάζα ως μέτρο αδράνειας, τον ελάχιστο χώρο που μπορεί να καταλάβει μια δεδομένη ποσότητα ουσίας χωρίς να αλλάξει τις ιδιότητές της και την πίεση που ασκεί η ουσία στο υγρή και αέρια κατάσταση στον περιβάλλοντα χώρο.

§2. Χαρακτηριστικά της δράσης των αδρανειακών δυνάμεων και της μεταβλητής μάζας.

Η μεταφορική επιταχυνόμενη κίνηση ενός σώματος συμβαίνει υπό τη δράση μιας δύναμης σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Δηλαδή, μια αλλαγή στο μέγεθος της ταχύτητας του σώματος συμβαίνει παρουσία επιτάχυνσης και της δύναμης που προκάλεσε αυτή την επιτάχυνση.

Η χρήση της φυγόκεντρης δύναμης αδράνειας για μεταφορική κίνηση είναι δυνατή μόνο με αύξηση της γραμμικής ταχύτητας των πηγών αυτών των δυνάμεων, αφού με μια επιταχυνόμενη κίνηση του συστήματος, οι δυνάμεις αδράνειας των πηγών προς την κατεύθυνση της αύξησης της ταχύτητας του συστήματος μειώνονται μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Επιπλέον, το πεδίο των αδρανειακών δυνάμεων πρέπει να είναι ανομοιόμορφο και να έχει μέγιστη τιμή στο τμήμα του συστήματος προς την κατεύθυνση της μεταφορικής κίνησης.

Θεωρήστε την κίνηση ενός σώματος (Εικ. 2.1) με μάζα m κατά μήκος ενός κύκλου με ακτίνα R.

Ρύζι. 2.1.

Φυγόκεντρος δύναμη φάγ, με την οποία το σώμα πιέζει τον κύκλο, καθορίζεται από τον τύπο

φά c \u003d m ω 2 R. (2.1)

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση ω = v /R, όπου v είναι η γραμμική ταχύτητα του σώματος κάθετη στην ακτίνα R, γράφουμε τον τύπο (2.1) με την παρακάτω μορφή

φά c \u003d m v 2 / R. (2.2)

Η φυγόκεντρος δύναμη δρα κατά την κατεύθυνση της ακτίνας R. Τώρα ας σπάσουμε αμέσως τον κύκλο κατά μήκος του οποίου κινείται το σώμα. Η εμπειρία δείχνει ότι το σώμα θα πετάξει εφαπτομενικά προς την κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας vπαρά προς την κατεύθυνση της φυγόκεντρης δύναμης. Δηλαδή, ελλείψει υποστήριξης, η φυγόκεντρος δύναμη εξαφανίζεται αμέσως.

Έστω ένα σώμα μάζας m να κινείται κατά μήκος ενός στοιχείου ημικυκλίου (Εικ. 2.2) με ακτίνα R και το ημικύκλιο να κινείται με επιτάχυνση w P κάθετα στη διάμετρο.

Ρύζι. 2.2.

Με μια ομοιόμορφη κίνηση του σώματος (η γραμμική ταχύτητα δεν αλλάζει σε μέγεθος) και ένα επιταχυνόμενο ημικύκλιο, η υποστήριξη με τη μορφή ημικυκλίου εξαφανίζεται αμέσως και η φυγόκεντρος δύναμη θα είναι ίση με μηδέν. Εάν το σώμα κινείται με θετική γραμμική επιτάχυνση, τότε θα φτάσει το ημικύκλιο και θα δράσει η φυγόκεντρος δύναμη. Ας βρούμε τη γραμμική επιτάχυνση w του σώματος, στην οποία δρα η φυγόκεντρος δύναμη, δηλαδή πιέζει το ημικύκλιο. Για να γίνει αυτό, ο χρόνος που αφιερώνει το σώμα σε μια εφαπτομενική διαδρομή προς τη διασταύρωση με μια διακεκομμένη γραμμή παράλληλη προς τη διάμετρο και που διασχίζεται από το σημείο Β (Εικ. 2.2) πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον χρόνο που θα περάσει το ημικύκλιο σε η διεύθυνση κάθετη στη διάμετρο. Έστω οι αρχικές ταχύτητες του σώματος και του ημικυκλίου ίσες με μηδέν και ο χρόνος που έχει παρέλθει ο ίδιος, τότε η διαδρομή S AC που διανύει το σώμα

S AC = w t 2 /2, (2,3)

και η διαδρομή που διανύει το ημικύκλιο S AB θα είναι

S AB \u003d w P t 2 / 2. (2.4)

Διαιρούμε την εξίσωση (2.3) με την (2.4) και παίρνουμε

S AC / S AB \u003d w / w P.

Τότε η επιτάχυνση του σώματος w, λαμβάνοντας υπόψη την προφανή σχέση S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2,5)

όπου 0 £ Ψ £ π/2.

Έτσι, η προβολή της επιτάχυνσης ενός σώματος σε στοιχείο κύκλου σε μια δεδομένη κατεύθυνση (Εικ. 2.2) πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με την επιτάχυνση του συστήματος προς την ίδια κατεύθυνση, προκειμένου να διατηρείται η φυγόκεντρος δύναμη σε δράση. Δηλαδή, η φυγόκεντρος δύναμη δρα ως μεταφορική κινητήρια δύναμη μόνο με την παρουσία θετικής επιτάχυνσης που αλλάζει την τιμή της γραμμικής ταχύτητας του σώματος στο σύστημα

Ομοίως, προκύπτει ο λόγος για το δεύτερο τέταρτο του ημικυκλίου (Εικ. 2.3).

Ρύζι. 2.3.

Μόνο η διαδρομή που διανύει το σώμα κατά μήκος της εφαπτομένης θα ξεκινά από ένα σημείο του ημικυκλίου που κινείται με επιτάχυνση έως ότου τέμνεται με μια διακεκομμένη γραμμή παράλληλη προς τη διάμετρο και διέρχεται από το σημείο Α της αρχικής θέσης του ημικυκλίου. Η γωνία σε αυτή την περίπτωση καθορίζεται από το διάστημα π/2 ³ Ψ ³ 0.

Για ένα σύστημα στο οποίο το σώμα κινείται ομοιόμορφα ή με επιβράδυνση σε κύκλο, η φυγόκεντρος δύναμη δεν θα προκαλέσει μεταφορική επιταχυνόμενη κίνηση του συστήματος, καθώς η γραμμική επιτάχυνση του σώματος θα είναι μηδέν ή το σώμα θα υστερεί σε σχέση με την επιταχυνόμενη κίνηση του το σύστημα.

Αν το σώμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και πλησιάζει ταυτόχρονα το κέντρο του κύκλου με ταχύτητα v, τότε υπάρχει μια δύναμη Coriolis

φά k = 2 m [ v ω]. (2.6)

Ένα τυπικό στοιχείο τροχιάς φαίνεται στο σχήμα 2.4.

Ρύζι. 2.4.

Όλοι οι τύποι (2.3), (2.4), (2.5) και τα συμπεράσματα για τη διατήρηση της φυγόκεντρης δύναμης του κυκλοφορούντος μέσου σε δράση θα ισχύουν και για τη δύναμη Coriolis, αφού κατά την επιταχυνόμενη κίνηση του συστήματος, το σώμα κινείται με θετική γραμμική η επιτάχυνση θα συμβαδίζει με την επιτάχυνση του συστήματος και, αντίστοιχα, θα κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής, και όχι κατά μήκος μιας εφαπτομένης ευθείας, όταν δεν υπάρχει δύναμη Coriolis. Η καμπύλη πρέπει να χωριστεί σε δύο μισά. Στο πρώτο μισό της καμπύλης (Εικ. 4), η γωνία αλλάζει από το αρχικό σημείο στο χαμηλότερο στο διάστημα -π/2 £ Ψ £ π/2 και στο δεύτερο μισό από το κάτω σημείο προς το κέντρο του κύκλου π/2 ³ Ψ ³ 0. Ομοίως, για την περιστροφή του σώματος και την ταυτόχρονη απομάκρυνσή του (Εικ. 2.5) από το κέντρο, η δύναμη Coriolis λειτουργεί ως μεταφορική δύναμη με θετική επιτάχυνση της γραμμικής ταχύτητας του σώματος. .

Ρύζι. 2.5.

Το διάστημα των γωνιών στο πρώτο μισό από το κέντρο του κύκλου μέχρι το κάτω σημείο 0 £ Ψ £ π/2, και στο δεύτερο μισό από το κάτω σημείο έως το τελικό σημείο π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Εξετάστε τη μεταφορική δύναμη της αδράνειας φά n (Εικ. 2.6), το οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο

φά n = -m w,(2.7)

όπου wείναι η επιτάχυνση του σώματος.

Ρύζι. 2.6.

Με θετική επιτάχυνση του σώματος δρα ενάντια στην κίνηση και με αρνητική επιτάχυνση (επιβράδυνση) δρα προς την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος. Όταν ένα στοιχείο επιτάχυνσης ή επιβράδυνσης (Εικ. 2.6) ενεργεί στο σύστημα με το οποίο συνδέονται τα στοιχεία, η επιτάχυνση του σώματος του στοιχείου σε απόλυτη τιμή, προφανώς, πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα της επιτάχυνσης του συστήματος, που προκαλείται από τη μετατόπιση δύναμη της αδράνειας του σώματος. Δηλαδή, η μεταφορική δύναμη της αδράνειας λειτουργεί ως κινητήρια δύναμη παρουσία θετικής ή αρνητικής επιτάχυνσης.

Δύναμη φάσης αδράνειας φά f (η δύναμη αδράνειας που προκαλείται από ανομοιόμορφη περιστροφή) καθορίζεται από τον τύπο

φά f = -m [(ημ ω /dt) R]. (2.8)

Αφήστε την ακτίνα Rκάθετο στο διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω , τότε ο τύπος (2.8) σε βαθμωτή μορφή παίρνει τη μορφή

F f \u003d -m (dω / dt) R. (2.9)

Με θετική γωνιακή επιτάχυνση του σώματος (Εικ. 1.7) δρα ενάντια στην κίνηση και με αρνητική γωνιακή επιτάχυνση (επιβράδυνση) δρα κατά την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος.

Ρύζι. 2.7.

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση ω = v /R, όπου v είναι η γραμμική ταχύτητα του σώματος κάθετη στην ακτίνα R, γράφουμε τον τύπο (2.9) με την παρακάτω μορφή

F f \u003d -m (dv / dt). (2.10)

Εφόσον dv/dt = w , όπου w είναι η γραμμική επιτάχυνση του σώματος, η εξίσωση (2.10) παίρνει τη μορφή

F f = -m w (2,11)

Έτσι, ο τύπος (2.11) είναι παρόμοιος με τον τύπο (2.7) για τη δύναμη μεταφορικής αδράνειας, μόνο η επιτάχυνση w πρέπει να αποσυντεθεί σε παράλληλες α II και κάθετες α ┴ συνιστώσες (Εικ. 2.8) ως προς τη διάμετρο του ημικυκλικού στοιχείου.

Ρύζι. 2.8.

Προφανώς, η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης w ┴ δημιουργεί ροπή, αφού στο πάνω μέρος του ημικυκλίου κατευθύνεται προς τα αριστερά, και στο κάτω μέρος προς τα δεξιά. Η παράλληλη συνιστώσα της επιτάχυνσης w II δημιουργεί μια μεταφορική δύναμη αδράνειας F f II , αφού κατευθύνεται στο άνω και κάτω μέρος του ημικυκλίου προς μία κατεύθυνση, συμπίπτοντας με τη διεύθυνση w II .

F fII \u003d -m w II. (2.12)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση w II = w cosΨ, λαμβάνουμε

F ФII = -m w cosΨ, (2.13)

όπου η γωνία Ψ είναι στο διάστημα -π/2 £ Ψ £ π/2.

Έτσι, λαμβάνεται ο τύπος (2.13) για τον υπολογισμό του στοιχείου της δύναμης αδράνειας φάσης για μεταφορική κίνηση. Δηλαδή, η δύναμη φάσης της αδράνειας λειτουργεί ως κινητήρια δύναμη παρουσία θετικής ή αρνητικής γραμμικής επιτάχυνσης.

Έτσι, διακρίνονται τέσσερα στοιχεία της μεταφορικής δύναμης αδράνειας: φυγόκεντρος, Coriolis, μεταφορικό, φάση. Συνδέοντας μεμονωμένα στοιχεία με συγκεκριμένο τρόπο, είναι δυνατό να δημιουργηθούν συστήματα κινητήριας δύναμης μεταφραστικής αδράνειας.

Εξετάστε τη δύναμη μιας μεταβλητής μάζας που ορίζεται από τον τύπο

φά pm = - (dm/dt)(d r/dt). (2.14)

Δεδομένου ότι ο ρυθμός αποκόλλησης (προσκόλλησης) των σωματιδίων σε σχέση με το σύστημα των σωμάτων είναι ίσος με

u=δ r/dt, (2.15)

τότε η εξίσωση (2.14) μπορεί να γραφεί ως

φάμ.μ. = - u(dm/dt). (2.16)

Στην εξίσωση (2.16), η μεταβλητή δύναμη μάζας είναι η τιμή της δύναμης που παράγεται από το διαχωριστικό σωματίδιο κατά την αλλαγή της ταχύτητάς του από μηδέν σε uή την τιμή που παράγεται από το προσχωρούν σωματίδιο κατά την αλλαγή της ταχύτητάς του από uμέχρι το μηδέν. Έτσι, η μεταβλητή δύναμη μάζας δρα τη στιγμή της επιτάχυνσης ή της επιβράδυνσης των σωματιδίων, δηλαδή είναι μια δύναμη μεταφορικής αδράνειας, αλλά υπολογίζεται από άλλες παραμέτρους. Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, καθίσταται απαραίτητο να διευκρινιστεί η παραγωγή του τύπου Tsiolkovsky. Ξαναγράφουμε την εξίσωση (1.12) σε βαθμωτή μορφή και θέτουμε ∑ φά= 0, λοιπόν

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt) (dr/dt). (2.17)

Από την επιτάχυνση του συστήματος

d 2 r / dt 2 \u003d dv / dt,

όπου v είναι η ταχύτητα του συστήματος, τότε η εξίσωση (2.17), λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (2.15), θα είναι

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (2.17) με dt παίρνουμε

mdv = -udm, (2.19)

δηλαδή γνωρίζοντας τη μέγιστη ταχύτητα u = u O του διαχωρισμού σωματιδίων, την οποία θεωρούμε σταθερή, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η τελική ταχύτητα του συστήματος v από τον λόγο της αρχικής m O και της τελικής μάζας m

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O / m \u003d e v / uo. (2.21)

Η εξίσωση (2.21) είναι η εξίσωση Tsiolkovsky.

§3. Το περίγραμμα του κυκλοφορούντος μέσου της φυγόκεντρης δύναμης αδράνειας.

Θεωρήστε την κυκλοφορία ενός μέσου κατά μήκος ενός τόρου (Εικ. 3.1) με μέση ακτίνα R, που κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω σε σχέση με το κέντρο O . Το μέτρο της φυγόκεντρης δύναμης που επενεργεί σε ένα σημειακό στοιχείο της ροής με μάζα Δm θα είναι ίσο με

∆ F= ∆m ω 2 R.

Σε οποιοδήποτε τμήμα του δακτυλίου για πανομοιότυπα στοιχεία, η φυγόκεντρος δύναμη θα είναι η ίδια σε μέγεθος και θα κατευθύνεται κατά μήκος της ακτίνας από το κέντρο, τεντώνοντας τον δακτύλιο. Η φυγόκεντρος δύναμη δεν εξαρτάται από την φορά περιστροφής.

Ρύζι. 3.1.

Τώρα ας υπολογίσουμε τη συνολική φυγόκεντρη δύναμη που ενεργεί κάθετα στη διάμετρο του άνω ημικυκλίου (Εικ. 3.2). Προφανώς, στην κατεύθυνση από το μέσο της διαμέτρου, η κάθετη προβολή της δύναμης θα είναι μέγιστη, μειώνοντας σταδιακά προς τα άκρα του ημικυκλίου, λόγω της συμμετρίας της καμπύλης σε σχέση με τη μέση γραμμή. Επιπλέον, το αποτέλεσμα των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων που δρουν παράλληλα με τη διάμετρο θα είναι ίσο με μηδέν, αφού είναι ίσες και αντίθετα κατευθυνόμενες.

Ρύζι. 3.2.

Γράφουμε τη στοιχειώδη συνάρτηση της φυγόκεντρης δύναμης που επενεργεί σε σημειακό τμήμα με μάζα ∆ m και μήκος ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Η μάζα ενός σημειακού στοιχείου είναι ίση με την πυκνότητα ροής πολλαπλασιαζόμενη επί τον όγκο του

∆ m=ρ ∆ v. (3.2)

Μήκος μισού κορμού κατά μήκος της μέσης γραμμής

όπου π είναι ο αριθμός pi.

Όγκος μισού τόρου

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

όπου r είναι η ακτίνα του σωληναρίου.

Για ένα στοιχειώδες τόμο, γράφουμε

∆ V = ∆ ℓ r 2 .

Είναι γνωστό ότι για έναν κύκλο

∆ ℓ=R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

Αντικαθιστώντας την έκφραση (3.3) στην (3.2) παίρνουμε:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

Τώρα αντικαθιστούμε το (3.4) στο (3.1), στη συνέχεια

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Φυγόκεντρη δύναμη που ενεργεί σε κάθετη διεύθυνση (Εικ. 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)-Ψ).

Είναι γνωστό ότι cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, λοιπόν

∆ F┴ = ∆ F sin Ψ.

Αντικαταστήστε την τιμή για ∆ F παίρνουμε

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 αμαρτία Ψ ∆ Ψ.

Βρείτε τη συνολική φυγόκεντρη δύναμη που ενεργεί στην κάθετη κατεύθυνση στην περιοχή από 0 έως Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Ενσωματώνουμε αυτήν την έκφραση και μετά παίρνουμε

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Ας υποθέσουμε ότι η επιτάχυνση w του κυκλοφορούντος μέσου είναι δέκα φορές μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του συστήματος w c, δηλ.

Σε αυτή την περίπτωση, σύμφωνα με τον τύπο (2.5), λαμβάνουμε

Να υπολογίσετε τη γωνία δράσης των δυνάμεων αδράνειας σε ακτίνια

Ψ ≈ 0,467 π,

που αντιστοιχεί σε γωνία 84 μοιρών.

Έτσι, το γωνιακό διάστημα δράσης των αδρανειακών δυνάμεων είναι

0 £ Ψ £ 84° στο αριστερό μισό του περιγράμματος και συμμετρικά 96° £ Ψ £ 180° στο δεξιό μισό του περιγράμματος. Δηλαδή, το διάστημα απουσίας ενεργών δυνάμεων αδράνειας σε ολόκληρο το κύκλωμα είναι περίπου 6,7% (στην πραγματικότητα, η επιτάχυνση του κυκλοφορούντος μέσου είναι πολύ μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του συστήματος, επομένως το διάστημα απουσίας ενεργών δυνάμεων αδράνειας θα είναι λιγότερο από 1% και μπορεί να αγνοηθεί). Για τον προσδιορισμό της συνολικής φυγόκεντρης δύναμης, σε αυτά τα διαστήματα γωνιών, αρκεί να αντικαταστήσουμε το πρώτο διάστημα με τον τύπο (3.5) και, λόγω συμμετρίας, πολλαπλασιάζουμε επί 2, παίρνουμε

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

Μετά από απλούς υπολογισμούς, παίρνουμε

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2.

Είναι γνωστό ότι η γωνιακή ταχύτητα

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 v 2.

Εφόσον το κυκλοφορούν μέσο πρέπει να κινείται με επιτάχυνση για να δράσει η αδρανειακή δύναμη, εκφράζουμε τη γραμμική ταχύτητα ως προς την επιτάχυνση, υποθέτοντας ότι η αρχική ταχύτητα είναι μηδέν

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 (w t) 2. (3.8)

Η μέση τιμή για τη διάρκεια της θετικής επιτάχυνσης, την οποία θεωρούμε σταθερή, θα είναι

F ┴CP \u003d ((1,8ρ π r 2 w 2) / t) ∫t 2 dt.

Μετά από υπολογισμούς, παίρνουμε

F ┴CP \u003d 0,6ρ π r 2 w 2 t 2. (3.9).

Έτσι, αναγνωρίστηκε το περίγραμμα του κυκλοφορούντος μέσου, από το οποίο είναι δυνατό να γίνει ένα κλειστό κύκλωμα και να συνοψιστούν οι φυγόκεντρες δυνάμεις τους.

Ας συνθέσουμε ένα κλειστό κύκλωμα τεσσάρων περιγραμμάτων διαφορετικών τμημάτων (Εικ.3.3): δύο άνω περιγράμματα με ακτίνα R. με τμήμα S και δύο κάτω περιγράμματα με ακτίνα R 1 με τμήμα S 1, παραβλέποντας τα φαινόμενα ακμών όταν το κυκλοφορούν μέσο περνά από το ένα τμήμα στο άλλο. Αφήστε τον Σ< S 1 и радиус

R1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2, (3.10)

όπου r 1 και r είναι οι ακτίνες της ροής του κυκλοφορούντος μέσου της αντίστοιχης τομής.

Επιπλέον, καταγράφουμε την προφανή σχέση για ταχύτητες και επιταχύνσεις

v/v 1 = w / w 1 . (3.11)

Ας βρούμε την επιτάχυνση του μέσου του κάτω περιγράμματος, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.10) και (3.11) για υπολογισμούς

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Τώρα, σύμφωνα με την εξίσωση (3.9), προσδιορίζουμε τη φυγόκεντρο δύναμη για το κάτω κύκλωμα, λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (3.12) και μετά από υπολογισμούς παίρνουμε

F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3,13)

Κατά τη σύγκριση της έκφρασης για τη φυγόκεντρο δύναμη του άνω περιγράμματος (3.9) και του κάτω περιγράμματος (3.13), προκύπτει ότι διαφέρουν κατά την τιμή (r 2 / r 1 2).

Δηλαδή για το r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Ρύζι. 3.3.

Το αποτέλεσμα των φυγόκεντρων δυνάμεων που δρουν σε δύο περιγράμματα στο άνω μισό επίπεδο (το όριο του άνω και του κάτω ημιεπιπέδου φαίνεται με μια λεπτή γραμμή) κατευθύνεται αντίθετα από το αποτέλεσμα των φυγόκεντρων δυνάμεων που δρουν σε δύο περιγράμματα στο κάτω μισό -επίπεδο. Προφανώς, η συνολική φυγόκεντρος δύναμη F C θα ενεργήσει προς την κατεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.3, ας πάρουμε αυτή την κατεύθυνση ως θετική. Να υπολογίσετε τη συνολική φυγόκεντρη δύναμη F C

F C \u003d 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 \u003d 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Όπως μπορείτε να δείτε, η συνολική φυγόκεντρος δύναμη εξαρτάται από την πυκνότητα της ροής, τα τμήματα των αντίθετων περιγραμμάτων και την επιτάχυνση της ροής. Η συνολική φυγόκεντρος δύναμη δεν εξαρτάται από την ακτίνα των περιγραμμάτων. Για ένα σύστημα στο οποίο το μέσο κυκλοφορίας κινείται ομοιόμορφα ή με επιβράδυνση σε κύκλο, η φυγόκεντρος δύναμη δεν θα προκαλέσει μεταφορική επιταχυνόμενη κίνηση του συστήματος.

Έτσι, επισημάνθηκε το βασικό περίγραμμα του κυκλοφορούντος μέσου, η δυνατότητα χρήσης των περιγραμμάτων του κυκλοφορούντος μέσου διαφορετικών τμημάτων για την άθροιση της φυγόκεντρης δύναμης σε μια ορισμένη κατεύθυνση και την αλλαγή της συνολικής ορμής ενός κλειστού συστήματος σωμάτων υπό την επίδραση εμφανίστηκαν εξωτερικές δυνάμεις αδράνειας που προκαλούνται από εσωτερικές δυνάμεις.

Έστω r = 0,025m; r 1 \u003d 0,05 m; ρ \u003d 1000 kg / m 3; w \u003d 5m / s 2, t = 1s, τότε κατά τη θετική επιτάχυνση η μέση τιμήολική φυγόκεντρη δύναμη F C.≈ 44N.

§τέσσερα. Το περίγραμμα του κυκλοφορούντος μέσου της δύναμης αδράνειας Coriolis.

Είναι γνωστό ότι η δύναμη αδράνειας Coriolis προκύπτει όταν ένα σώμα μάζας m περιστρέφεται γύρω από έναν κύκλο και ταυτόχρονα τον κινεί ακτινικά και είναι κάθετο στη γωνιακή ταχύτητα ω και ταχύτητα ακτινικής κίνησης v. Διεύθυνση της δύναμης Coriolis φάσυμπίπτει με την κατεύθυνση του γινομένου του διανύσματος στον τύπο φά= 2 m[ vw].

Ρύζι. 4.1.

Το σχήμα 4.1 δείχνει την κατεύθυνση της δύναμης Coriolis όταν το σώμα περιστρέφεται σε κύκλο αριστερόστροφα και το μετακινεί ακτινικά στο κέντρο του κύκλου στο πρώτο μισό κύκλο. και το Σχ.4.2 δείχνει την κατεύθυνση της δύναμης Coriolis όταν το σώμα περιστρέφεται γύρω από τον κύκλο επίσης αριστερόστροφα και το μετακινεί ακτινικά από το κέντρο του κύκλου στο δεύτερο μισό κύκλο.

Ρύζι. 4.2.

Ας συνδυάσουμε το αριστερό μέρος της κίνησης του σώματος στο Σχ.4.1 και το δεξί μέρος στο Σχ.4.2. τότε μπαίνουμε στο Σχ. 4.3 παραλλαγή της τροχιάς της κίνησης του σώματος για την περίοδο.

Ρύζι. 4.3.

Εξετάστε την κίνηση ενός κυκλοφορούντος μέσου (υγρού) μέσω σωλήνων που καμπυλώνονται σύμφωνα με την τροχιά. Οι δυνάμεις Coriolis της αριστερής και της δεξιάς καμπύλης δρουν σε τομέα 180 μοιρών στην ακτινική διεύθυνση όταν κινούνται από το σημείο Β στο σημείο Ο προς τα αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, σε σχέση με τον άξονα Χ. Οι συνιστώσες της δύναμης Coriolis του αριστερά και δεξιά καμπύλες F| | Το εναλλασσόμενο ρεύμα παράλληλο στην ευθεία αντισταθμίζει το ένα το άλλο, αφού είναι το ίδιο, αντίθετα κατευθυνόμενα και συμμετρικά ως προς τον άξονα Χ. Οι συμμετρικές συνιστώσες της δύναμης Coriolis της αριστερής και της δεξιάς καμπύλης F^ κάθετα στην ευθεία AC αθροίζονται, αφού κατευθύνονται προς μία κατεύθυνση.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της δύναμης Coriolis που ενεργεί κατά μήκος του άξονα Χ στο αριστερό μισό της τροχιάς. Δεδομένου ότι η σύνταξη της εξίσωσης τροχιάς είναι μια δύσκολη εργασία, αναζητούμε μια λύση για την εύρεση της δύναμης Coriolis χρησιμοποιώντας μια κατά προσέγγιση μέθοδο. Έστω v η ταχύτητα της σταθεράς του ρευστού σε όλη την τροχιά. Την ακτινική ταχύτητα v p και τη γραμμική ταχύτητα περιστροφής v l, σύμφωνα με το παραλληλόγραμμο θεώρημα των ταχυτήτων, εκφράζουμε (Εικ. 3) μέσω της ταχύτητας v και της γωνίας α.

v p \u003d v cosα, v l \u003d v sinα.

Η τροχιά της κίνησης (Εικ. 4.3) κατασκευάζεται λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι στο σημείο Β η ακτινική ταχύτητα v p είναι ίση με μηδέν, και η γραμμική ταχύτητα v l είναι ίση με v. Στο κέντρο του κύκλου O, με ακτίνα Ro, η ακτινική ταχύτητα v p είναι ίση με v, και η γραμμική ταχύτητα v l είναι ίση με μηδέν, και η εφαπτομένη της τροχιάς στο κέντρο του κύκλου είναι κάθετη στην εφαπτομένη του τροχιά στην αρχή (σημείο Β). Η ακτίνα μειώνεται μονοτονικά από το Ro στο μηδέν. Η γωνία α αλλάζει από 90° στο σημείο Β σε 0° στο κέντρο του κύκλου. Στη συνέχεια, από γραφικές κατασκευές επιλέγουμε το μήκος της τροχιάς 1/4 της περιφέρειας του κύκλου με ακτίνα R 0 . Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τη μάζα ενός υγρού χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον όγκο ενός τόρου. Δηλαδή, η μάζα του κυκλοφορούντος μέσου θα είναι ίση με το 1/4 της μάζας του κορμού με μέση ακτίνα R 0 και εσωτερική ακτίνα του σωλήνα r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

όπου ρ είναι η πυκνότητα του υγρού.

Η ενότητα της προβολής της δύναμης Coriolis σε κάθε σημείο της τροχιάς στον άξονα Χ βρίσκεται από τον τύπο

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

όπου v p cf είναι η μέση τιμή της ακτινικής ταχύτητας. ω cf είναι η μέση τιμή της γωνιακής ταχύτητας. b είναι η γωνία μεταξύ της δύναμης Coriolis F και του άξονα X (-90° £ b £ 90° ).

Για τεχνικούς υπολογισμούς, είναι δυνατόν να μην ληφθεί υπόψη το διάστημα απουσίας της δράσης των αδρανειακών δυνάμεων, καθώς η επιτάχυνση του κυκλοφορούντος μέσου είναι πολύ μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του συστήματος. Δηλαδή, επιλέγουμε το διάστημα γωνίας μεταξύ της δύναμης Coriolis F και του άξονα X (-90° £ b £ 90°). Η γωνία α αλλάζει από 90° στο σημείο Β σε 0° στο κέντρο του κύκλου και στη συνέχεια η μέση τιμή της ακτινικής ταχύτητας

v p cf = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Η μέση τιμή της γωνιακής ταχύτητας θα είναι ίση με

ω cf = (1/ ((v π /2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

Το κατώτερο όριο της γωνιακής ταχύτητας του ολοκληρώματος στον τύπο (4.4) προσδιορίζεται στο σημείο εκκίνησης Β. Είναι προφανώς ίσο με v / Rо. Η ανώτερη τιμή του ολοκληρώματος ορίζεται ως το όριο του λόγου

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4,5)

v l ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

όπου R είναι η ακτίνα του ρεύματος.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή μέθοδο [7, σελ.410] εύρεσης ορίων για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών: τη συνάρτηση vsinα /R στο σημείο (R= 0, α = 0) σε οποιαδήποτε ευθεία R = kα που διέρχεται από την αρχή έχει ένα όριο. Σε αυτή την περίπτωση, το όριο δεν υπάρχει, αλλά υπάρχει ένα όριο για μια συγκεκριμένη γραμμή. Ας βρούμε τον συντελεστή k στην εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή.

Σε α = 0 ® R= 0, σε α = π /2 ® R= R (Εικ. 3), επομένως k = 2Rо/π , τότε ο τύπος (5) μετατρέπεται σε μια μορφή που περιλαμβάνει το πρώτο αξιοσημείωτο όριο

ℓim (v π sinα /2Rо α) = (v π/2Rо) ℓim sinα/α = v π/2Rо. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή που λαμβάνεται από τους τύπους (4.1), (4.3) και (4.4) σε (4.2) και λαμβάνουμε

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Ας βρούμε το άθροισμα των προβολών της δύναμης Coriolis στο διάστημα (-90° £ b £ 90° ) για την αριστερή καμπύλη.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Τέλος, το άθροισμα των προβολών της δύναμης Coriolis για την αριστερή και τη δεξιά καμπύλη

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Σύμφωνα με τη σχέση (3.7), ξαναγράφουμε την εξίσωση (4.7) στη μορφή

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή της δύναμης Coriolis στο χρόνο, υποθέτοντας ότι η επιτάχυνση είναι σταθερή

Fc = ∑F^ cp = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

Μετά από υπολογισμούς, παίρνουμε

Fc ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Έστω r = 0,02m; w \u003d 5m / s 2; ρ \u003d 1000 kg / m 3; t = 1c, τότε η συνολική μέση δύναμη αδράνειας Coriolis κατά τη δράση της θετικής επιτάχυνσης του κυκλοφορούντος μέσου θα είναι Fk ≈ 33N.

Στο κέντρο του κύκλου στην τροχιά υπάρχει μια καμπή (Εικ. 4.3), η οποία μπορεί να ερμηνευθεί, για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί, ως ημικύκλιο με μικρή ακτίνα. Για λόγους σαφήνειας, χωρίζουμε την τροχιά σε δύο μισά και εισάγουμε ένα ημικύκλιο στο κάτω μέρος και μια ευθεία γραμμή στο πάνω μέρος, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.4, και κατευθύνουμε το κυκλοφορούν μέσο κατά μήκος ενός σωλήνα με ακτίνα r, καμπυλωμένη στο σχήμα της τροχιάς.

Ρύζι. 4.4.

Στον τύπο (3.5), ορίσαμε τη γωνία Ψ = 180° και στη συνέχεια τη συνολική φυγόκεντρο δύναμη Fc που ενεργεί κατά την κάθετη κατεύθυνση για το κύκλωμα του μέσου κυκλοφορίας

Fc = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

Έτσι, η φυγόκεντρος δύναμη δεν εξαρτάται από την ακτίνα R, αλλά εξαρτάται μόνο από τη γωνία ολοκλήρωσης (βλ. τύπο (3.5)) σε σταθερή πυκνότητα ροής ρ, ακτίνα r και ταχύτητα του κυκλοφορούντος μέσου v σε κάθε σημείο του η τροχιά. Δεδομένου ότι η ακτίνα R μπορεί να είναι οτιδήποτε, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι για οποιαδήποτε κυρτή καμπύλη με ακμές κάθετες στην ευθεία γραμμή AOB (Εικ. 3.2), η φυγόκεντρος δύναμη θα προσδιοριστεί με την έκφραση (4.10). Θα πρέπει να σημειωθεί, κατά συνέπεια, ότι κάθε άκρο μιας κυρτής καμπύλης μπορεί να είναι κάθετη στη δική της ευθεία, οι οποίες είναι παράλληλες και δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Το άθροισμα των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων (Εικ. 4) που ενεργούν ενάντια στην κατεύθυνση του άξονα Χ, που προκύπτουν σε ημικύκλιο και δύο μισά μιας κυρτής καμπύλης (η ευθεία γραμμή δεν συμβάλλει στη φυγόκεντρη δύναμη) πάνω από μια διακεκομμένη γραμμή και οι προεξοχές που δρουν κατά μήκος του άξονα Χ, που προκύπτουν σε δύο κυρτές καμπύλες κάτω από διακεκομμένες γραμμές αντισταθμίζονται, αφού είναι ίδιες και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Με αυτόν τον τρόπο. Η φυγόκεντρος δύναμη δεν συμβάλλει στη μεταφορική κίνηση.

§5. Περιστροφικά συστήματα στερεάς κατάστασης. Φυγόκεντρες δυνάμεις αδράνειας.

1. Το διάνυσμα της ίδιας της γωνιακής ταχύτητας των ράβδων είναι κάθετο στο διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του κέντρου μάζας της ράβδου και της ακτίνας του κοινού άξονα περιστροφής των ράβδων.

Η ενέργεια της μεταφορικής κίνησης μπορεί να μετατραπεί σε ενέργεια περιστροφικής κίνησης και αντίστροφα. Θεωρήστε ένα ζεύγος αντίθετων ράβδων μήκους ℓ με σημειακά βάρη ίδιας μάζας στα άκρα, που περιστρέφονται ομοιόμορφα γύρω από το δικό τους κέντρο μάζας και γύρω από ένα κοινό κέντρο O με ακτίνα R με γωνιακή ταχύτητα ω (Εικ. 5.1): μισή στροφή της ράβδου σε μία περιστροφή γύρω από έναν κοινό άξονα. Αφήστε το R³ℓ/2. Για μια πλήρη περιγραφή της διαδικασίας, αρκεί να εξετάσουμε την περιστροφή στο εύρος των γωνιών 0£ α £ π/2. Τακτοποιούμε τις δυνάμεις που δρουν παράλληλα προς τον άξονα Χ που διέρχονται από το κοινό κέντρο Ο και τη θέση των ράβδων υπό γωνίαα = 45 μοίρες, στο επίπεδο του άξονα Χ και του κοινού άξονα περιστροφής, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.1.

Ρύζι. 5.1.

Η γωνία α σχετίζεται με τη συχνότητα ω και τον χρόνο t κατά

α = ωt/2, (5.1.1)

αφού μια μισή στροφή της ράβδου συμβαίνει σε μια περιστροφή γύρω από έναν κοινό άξονα. Είναι σαφές ότι η φυγόκεντρος δύναμηαδράνεια θα υπάρχουν περισσότερα μακρινά φορτία από το κέντρο παρά κοντά. Προβολές φυγόκεντρων δυνάμεωναδράνεια στον άξονα Χ θα είναι

Fц1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fц2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fц3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fц4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Γράφουμε τη διαφορά φυγόκεντρης δύναμηςαδράνεια ενεργώντας σε απομακρυσμένα φορτία. Διαφορά φυγόκεντρης δύναμηςαδράνεια στο δεύτερο φορτίο

Fц2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Διαφορά φυγόκεντρης δύναμηςαδράνεια στο τρίτο φορτίο

Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Μέση τιμή διαφορικών φυγόκεντρων δυνάμεωναδράνεια για μισή στροφή

Fav c2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π "-0,4mω 2 ℓ. (5.1.9)

Δέχτηκε δύο αντίθετες και ίσες σε απόλυτη τιμή φυγόκεντρες δυνάμειςαδράνεια που είναι εξωτερικά. Επομένως, μπορούν να αναπαρασταθούν ως δύο πανομοιότυπα απείρως απομακρυσμένα σώματα (δεν περιλαμβάνονται στο σύστημα), που αλληλεπιδρούν ταυτόχρονα με το σύστημα: το δεύτερο φορτίο τραβά το σύστημα προς το πρώτο σώμα και το τρίτο φορτίο απομακρύνει το σύστημα από το δεύτερο σώμα.

Η μέση τιμή της δύναμης εξαναγκασμένης δράσης στο σύστημα ανά μισή στροφή κατά μήκος του άξονα Χ είναι ίση με το άθροισμα των δυνάμεων έλξης Fav c2-1 και απώθησης Fav c3-4 από εξωτερικά σώματα

Fp = | Fcp c2-1 | + | Αγαπημένα ts3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Για να εξαλειφθεί η ροπή του συστήματος δύο ράβδων στο κατακόρυφο επίπεδο (Εικ. 5.2), είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ένα άλλο ζεύγος αντίθετων ράβδων που περιστρέφονται ταυτόχρονα στο ίδιο επίπεδο προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ρύζι. 5.2.

Για να εξαλείψουμε τη ροπή του συστήματος κατά μήκος ενός κοινού άξονα με το κέντρο Ο, χρησιμοποιούμε το ίδιο ζεύγος τεσσάρων ράβδων, αλλά περιστρέφονται προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με τον κοινό άξονα (Εικ. 5.3).

Ρύζι. 5.3.

Τέλος, για ένα σύστημα τεσσάρων ζευγών περιστρεφόμενων ράβδων (Εικ. 5.3), η ελκτική δύναμη θα είναι

Ft \u003d 4Fp \u003d 3,2mω 2 ℓ. (5.1.11)

Έστω m = 0,1kg; ω =2 πf, όπου f = 10r/s; ℓ = 0,5m, μετά Ft ≈ 632N.

2. Το διάνυσμα της ίδιας της γωνιακής ταχύτητας των ράβδων είναι κάθετο στο διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του κέντρου μάζας της ράβδου και είναι παράλληλο με την ακτίνα του κοινού άξονα περιστροφής των ράβδων.

Θεωρήστε ένα ζευγάρι ράβδων μήκους ℓ απέναντι κάθετα μεταξύ τους με σημειακά βάρη ίδιας μάζας στα άκρα, που περιστρέφονται ομοιόμορφα γύρω από το δικό τους κέντρο μάζας και γύρω από ένα κοινό κέντρο O με ακτίνα R με γωνιακή ταχύτητα ω (Εικ. 5.4): μισή στροφή της ράβδου σε μία περιστροφή γύρω από έναν κοινό άξονα.

Ρύζι. 5.4.

Για τον υπολογισμό επιλέγουμε μόνο m1 και m2, αφού η λύση είναι παρόμοια για τα m3 και m4. Ας προσδιορίσουμε τις γωνιακές ταχύτητες των φορτίων σε σχέση με το κοινό κέντρο Ο. Οι μονάδες των προβολών της γραμμικής ταχύτητας των φορτίων σε σχέση με το δικό τους κέντρο μάζας παράλληλο προς το επίπεδο περιστροφής ως προς το κοινό κέντρο Ο θα είναι ( Εικ. 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) αμαρτία (Ψ/2), (5.2.1)

όπου Ψ = ωt.

Ξεχωρίζουμε τις προβολές της εφαπτομένης αυτών των ταχυτήτων κάθετων στις ακτίνες r1 και r2 αντίστοιχασε σχέση με το κέντρο Ο παίρνουμε

v1R = v2R = (ωℓ/4) αμαρτία ( Ψ /2) συνσι, (5.2.2)

cosσι= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R είναι η απόσταση από το κέντρο O έως το κέντρο μάζας των φορτίων, r1, r2 είναι η απόσταση από τα φορτία στο κέντρο O και r1 = r2.

Ρύζι. 5.5.

Οι μονάδες της γραμμικής ταχύτητας των φορτίων σε σχέση με το κοινό κέντρο Ο χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η γραμμική τους ταχύτητα σε σχέση με το δικό τους κέντρο μάζας θα είναι

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Ας βρούμε τη συνολική γωνιακή ταχύτητα κάθε φορτίου σε σχέση με τον κοινό άξονα περιστροφής, δεδομένου ότι οι γραμμικές ταχύτητες είναι αντίθετα κατευθυνόμενες για το πρώτο φορτίο και το ίδιο για το δεύτερο, τότε

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓRαμαρτία (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2 / 4) συν 2 (Ψ / 2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Αντίστοιχα, οι φυγόκεντρες δυνάμεις θα είναι

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 \u003d mω 2 2 r2

Ή αναλυτικά

F 1 \u003d mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 \u003d mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν ℓ=4R. Σε αυτή την περίπτωση, στοΨ=180° γωνιακή συχνότητα πρώτου βάρους ω 1 = 0 και δεν αλλάζει κατεύθυνση, το δεύτερο φορτίο έχει ω 2 = 2ω (Εικ.5.6).

Ρύζι. 5.6.

Ας προχωρήσουμε στον ορισμό των φυγόκεντρων δυνάμεων προς την κατεύθυνση του άξονα Χ στο ℓ= 4R

F 1 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)–sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ αμαρτία(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Πρέπει να σημειωθεί ότι με την αύξηση της γωνίαςΨ από 0 έως 180 ° στο σημείοΨ = b= 60 ° προβολή φυγόκεντρης δύναμηςΤο F 2 αλλάζει πρόσημο από αρνητικό σε θετικό.

Αρχικά, προσθέτουμε τις μέσες τιμές της προβολής στον άξονα Χ της φυγόκεντρης δύναμης του πρώτου φορτίου και τη μέση τιμή της προβολής του δεύτερου στο διάστημα γωνίας

0 £ Ψ £60° , λαμβάνοντας υπόψη τα σημάδια, αφού είναι αντίθετα κατευθυνόμενα

F СР 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( β+Ψ) - F 2 sin( σι-Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

όπου b= arccos(1/ Ö (1 +4 co 2 (Ψ /2))) προσδιορίζεται από τον τύπο (5.2.3).

Φυγόκεντρος δύναμηΤο F СР 1-2 στον τύπο (5.2.12) είναι θετικό, δηλαδή κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα Χ. Τώρα προσθέτουμε την εξίσου κατευθυνόμενη μέση τιμή της προβολής στον άξονα Χ της φυγόκεντρης δύναμης του πρώτου φορτίου και τη μέση τιμή της προβολής του δεύτερου στο διάστημα γωνίας 60° £ Ψ £180°

F СР 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + σι)+ F 2 sin(Ψ- σι))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Μέση τιμή στο διάστημα 0° £ Ψ £180° προφανώς θα είναι

F СР = (F СР 1-2 + 2F СР 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Για m3 και m4, η μέση τιμή της προβολής στον άξονα Χ της φυγόκεντρης δύναμης θα είναι η ίδια, αλλά ενεργώντας προς την αντίθετη κατεύθυνση.

F T \u003d 4 F СР \u003d 5,6mω 2 R. (5.2.15)

Έστω m = 0,1kg; ω =2 πf, όπου f = 10r/s; ℓ= 4R, όπου R = 0,1 m, μετά F T ≈ 220N.

3. Το διάνυσμα της ίδιας της γωνιακής ταχύτητας των ράβδων είναι παράλληλο και εξίσου κατευθυνόμενο με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του κέντρου μάζας της ράβδου που περιστρέφεται γύρω από κοινό άξονα.

Ας εξετάσουμε ένα ζεύγος απέναντι, που βρίσκεται στο υδάτινο επίπεδο, ράβδους μήκους ℓ με σημειακά βάρη ίδιας μάζας στα άκρα, που περιστρέφονται ομοιόμορφα γύρω από το δικό τους κέντρο μάζας και γύρω από ένα κοινό κέντρο O με ακτίνα R με γωνιακή ταχύτητα ω (Εικ. 5.7): μισή στροφή της ράβδου σε μία περιστροφή γύρω από έναν κοινό άξονα.

Ρύζι. 5.7.

Ομοίως με την προηγούμενη περίπτωση, επιλέγουμε μόνο τα m1 και m2 για υπολογισμό, αφού η λύση για τα m3 και m4 είναι παρόμοια. Θα κάνουμε μια κατά προσέγγιση εκτίμηση των ενεργών δυνάμεων αδράνειας στο ℓ = 2R χρησιμοποιώντας τις μέσες τιμές της γωνιακής ταχύτητας σε σχέση με το κέντρο O, καθώς και τις μέσες τιμές της απόστασης από τα φορτία στο κέντρο O Προφανώς, η γωνιακή ταχύτητα του πρώτου φορτίου στην αρχή θα είναι 1,5ω του δεύτερου φορτίου 0,5ω, και σε μισή στροφή και για τα δύο ω. Η απόσταση από το πρώτο βάρος μέχρι το κέντρο O στην αρχή του 2R από το δεύτερο βάρος είναι 0 και μετά από μισή στροφή από κάθε RÖ 2.

Ρύζι. 5.8.

Και στο διάστημα 0° £ Ψ 36 £° (Εικ. 5.8) οι φυγόκεντρες δυνάμεις αθροίζονται προς την κατεύθυνση του άξονα Χ, στο διάστημα 36° £ Ψ 72 £° (Εικ. 5.8, Εικ. 5.9) η δύναμη του δεύτερου σώματος αφαιρείται από τη δύναμη του πρώτου σώματος και η διαφορά τους δρα κατά μήκος του άξονα Χ, στο διάστημα 72° £ Ψ 90 £° (Εικ. 5.9) οι δυνάμεις αθροίζονται και δρουν αντίθετα από τον άξονα Χ.

Ρύζι. 5.9.

Ας προσδιορίσουμε τις μέσες τιμές της γωνιακής ταχύτητας και των ακτίνων των φορτίων ανά μισή στροφή.

Μέση γωνιακή ταχύτητα του πρώτου φορτίου

ω СР 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Μέση γωνιακή ταχύτητα του δεύτερου φορτίου

ω СР 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Μέση ακτίνα του πρώτου φορτίου

R SR 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + Ö 2)/2.(5.3.3)

Μέση ακτίνα του δεύτερου φορτίου

R СР 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (RÖ 2)/2.(5.3.4)

Η προβολή της φυγόκεντρης δύναμης που ασκεί το πρώτο βάρος προς την κατεύθυνση του άξονα Χ θα είναι

F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Η προβολή της φυγόκεντρης δύναμης που ασκεί το δεύτερο βάρος προς την κατεύθυνση του άξονα Χ θα είναι

F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ 36 £° θα είναι

0,2 p

F СР 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

Η μέση τιμή της διαφοράς μεταξύ των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων του πρώτου και του δεύτερου φορτίου στο διάστημα 36° £ Ψ 72 £° θα είναι

0,4 p

F СР 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0,2 p

Η μέση τιμή του αθροίσματος των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων του πρώτου και του δεύτερου φορτίου στο διάστημα 72° £ Ψ 90 £° θα είναι

0,5 p

F СР- (1 + 2) \u003d - (1 / 0,1 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ "-3,72mω 2 R. (5.3.9)

0,4 p

Η μέση τιμή του αθροίσματος των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων του πρώτου και του δεύτερου φορτίου στο διάστημα 0° £ Ψ 90 £° θα είναι

F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 – 2 + F СР- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

Ομοίως, υπολογίζεται το άθροισμα των προβολών των φυγόκεντρων δυνάμεων για το τρίτο και το τέταρτο φορτίο.

Για να εξαλειφθεί η ροπή, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ένα άλλο ζεύγος ράβδων, αλλά περιστρέφοντας προς την αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση με το δικό τους κέντρο μάζας και σε σχέση με τον κοινό άξονα περιστροφής, τότε η τελική δύναμη ώθησης θα είναι

F T \u003d 4F СР \u003d 2,48mω 2 R. (5.3.11)

Έστω m = 0,1kg; ω =2 πf, όπου f = 10r/s; R = 0,25m, μετά F T ≈ 245N.

§6. Δύναμη φάσης αδράνειας.

Για να εφαρμόσουμε τη δύναμη αδράνειας φάσης, χρησιμοποιούμε έναν αρθρωτό σύνδεσμο με δύο στροφάλους ως μεταφορική δύναμη για να μετατρέψουμε την ομοιόμορφη περιστροφή του κινητήρα σε ανομοιόμορφη περιστροφή φορτίων σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο τρόπο με βελτιστοποίηση της φύσης της κίνησης των εμπορευμάτων για η αποτελεσματική χρήση των δυνάμεων αδράνειας και με την κατάλληλη επιλογή της σχετικής θέσης των φορτίων, αντισταθμίζει την αντίστροφη ώθηση

Ο αρθρωτός σύνδεσμος τεσσάρων ράβδων θα είναι διπλής στροφάλου εάν η κεντρική απόσταση του AG (Εικ.6.1) θα είναι μικρότερο από το μήκος οποιουδήποτε κινητού συνδέσμου και το άθροισμα της απόστασης από το κέντρο προς το κέντρο και το μήκος του μεγαλύτερου από τους κινητούς συνδέσμους θα είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο συνδέσμων.

Ρύζι. 6.1.

Ο σύνδεσμος VG (μοχλός), στον οποίο στερεώνεται ένα φορτίο μάζας m, είναι ένας κινούμενος στρόφαλος σε έναν σταθερό άξονα G και ο σύνδεσμος AB είναι ο κορυφαίος. Ο σύνδεσμος Α είναι ο άξονας του κινητήρα. Ο σύνδεσμος BV είναι μια μπιέλα. Η αναλογία των μηκών της μπιέλας και του στροφάλου κίνησης επιλέγεται έτσι ώστε όταν το φορτίο φτάσει στο ακραίο σημείο D, να υπάρχει ορθή γωνία μεταξύ της μπιέλας και του στροφάλου κίνησης, η οποία εξασφαλίζει μέγιστη απόδοση. Στη συνέχεια, με ομοιόμορφη περιστροφή του άξονα του κινητήρα Α με τον στροφάλο κίνησης AB με γωνιακή ταχύτητα w, η μπιέλα BV μεταδίδει την κίνηση στον κινούμενο στρόφαλο VG, επιβραδύνοντάς την. Έτσι, το φορτίο επιβραδύνεται από το σημείο Ε στο σημείο D κατά μήκος του άνω ημικυκλίου. Σε αυτή την περίπτωση, η δύναμη της αδράνειας δρα κατά την κατεύθυνση της κίνησης του φορτίου. Εξετάστε την κίνηση του φορτίου στο αντίθετο ημικύκλιο (Εικ. 6.2), όπου η μπιέλα, ισιώνοντας, επιταχύνει το φορτίο.

Ρύζι. 6.2.

Σε αυτή την περίπτωση, η δύναμη αδράνειας δρα ενάντια στην κατεύθυνση κίνησης του φορτίου, συμπίπτοντας με την κατεύθυνση της δύναμης αδράνειας στο πρώτο ημικύκλιο. Το ενσωματωμένο σχέδιο πρόωσης φαίνεται στο Σχήμα 6.3.

Ρύζι. 6.3.

Οι στρόφαλοι κίνησης AB και A¢ B¢ συνδέονται άκαμπτα σε ευθεία γραμμή στον άξονα του κινητήρα και οι κινούμενοι στρόφαλοι (μοχλοί) περιστρέφονται ανεξάρτητα σε έναν σταθερό άξονα. Προστίθενται οι διαμήκεις συνιστώσες των αδρανειακών δυνάμεων προς την κατεύθυνση από το σημείο Ε έως το σημείο Δ των άνω και κάτω φορτίων, παρέχοντας μεταφορική κίνηση. Δεν υπάρχει αντίστροφη ώθηση, αφού τα βάρη περιστρέφονται προς την ίδια κατεύθυνση και, κατά μέσο όρο, είναι συμμετρικά αντίθετα.

Ας υπολογίσουμε τη δύναμη της αδράνειας της ενεργού φάσης.

Έστω AB = BV = r, GV = R.

Ας υποθέσουμε ότι στην άκρα δεξιά θέση, η γωνία Ψ μεταξύ της ακτίνας R και της μεσαίας γραμμής DE είναι 0° (Εικ.6.4) και

r + r - AG = R, (6.1)

και επίσης στην άκρα αριστερή θέση στο Ψ =180° (Εικ.6.5) η γωνία

Ð ABV = 90° . (6.2)

Στη συνέχεια, με βάση αυτές τις συνθήκες, είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι οι παραδοχές ικανοποιούνται για τις ακόλουθες τιμές

r = 2R/(2+r 2), (6,3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6.4)

Τώρα ας προσδιορίσουμε τις γωνιακές ταχύτητες στην άκρα δεξιά και αριστερή θέση. Προφανώς, στη σωστή θέση, οι γωνιακές ταχύτητες των AG και GV συμπίπτουν και είναι ίσες με w .

Ρύζι. 6.4.

Στην αριστερή θέση, η γωνιακή ταχύτητα w του GW θα είναι προφανώς ίση με

w HW = (180° /225° )w. (6.5)

Η αύξηση της γωνιακής ταχύτητας ∆w κατά το χρόνο ∆t = 225° /w = 5π/4w θα είναι

∆w = w GW - w = - 0,2w . (6.6)

Αφήστε τη γωνιακή επιτάχυνση να είναι εξίσου αργή, λοιπόν

dω / dt \u003d ∆w / ∆t \u003d - 0,16w 2 / π. (6.7)

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της δύναμης φάσης της αδράνειας (2.8) σε κλιμακωτή μορφή

F f \u003d -m [(dω / dt) R] \u003d 0,16mw 2 R / π. (6.8)

Ρύζι. 6.5.

Η προβολή της δύναμης φάσης της αδράνειας προς την κατεύθυνση της ΕΔ θα είναι

FED \u003d 0,16mw 2 RsinΨ / π. (6.9)

Η μέση τιμή της προβολής της δύναμης φάσης αδράνειας για ένα μισό κύκλο

F СР = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Για δύο φορτία (Εικ. 6.3) η δύναμη διπλασιάζεται. Για να εξαλειφθεί η ροπή, είναι απαραίτητο να εφαρμόσετε ένα άλλο ζεύγος βαρών, αλλά περιστρέφοντας προς την αντίθετη κατεύθυνση. Τέλος, η δύναμη έλξης για τέσσερα φορτία θα είναι

F T \u003d 4F СР \u003d 1,28mω 2 R / π 2. (6.11)

Έστω m = 0,1kg; ω =2 πf, όπου f = 10r/s; R = 0,5m, μετά F T = 25,6N.

§7. Γυροσκόπιο. Coriolis και φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας.

Εξετάστε την ταλαντωτική κίνηση ενός φορτίου μάζας m κατά μήκος ενός ημικυκλίου (Εικ. 7.1) με ακτίνα R με γραμμική ταχύτητα v. Η φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας Fc που ασκεί ένα φορτίο μάζας m θα είναι ίση με m v 2 / R, κατευθυνόμενη κατά μήκος η ακτίνα από το κέντρο Ο. Η προβολή της φυγόκεντρης δύναμης στον άξονα Χ θα είναι ίση με

F c׀׀ \u003d (m v 2 / R) sin α. (7.1)

Το φορτίο πρέπει να κινείται με επιτάχυνση w γύρω από την περιφέρεια έτσι ώστε η φυγόκεντρος δύναμη να είναι αποτελεσματική για τη μεταφορική κίνηση του συστήματος, και από τότε v = wt, τότε

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

όπου t είναι ο χρόνος.

Ρύζι. 7.1.

Λόγω της αδράνειας του φορτίου, εμφανίζεται μια αντίστροφη ώθηση στα άκρα του ημικυκλίου, η οποία εμποδίζει την προς τα εμπρός κίνηση του συστήματος προς την κατεύθυνση του άξονα Χ.

Είναι γνωστό ότι υπό την επίδραση μιας δύναμης που αλλάζει την κατεύθυνση του άξονα του γυροσκόπιου, προχωρά υπό την επίδραση της δύναμης Coriolis και αυτή η κίνηση είναι αδράνεια. Δηλαδή, με τη στιγμιαία εφαρμογή μιας δύναμης που αλλάζει την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής, το γυροσκόπιο αρχίζει αμέσως να προχωρά και εξίσου στιγμιαία σταματά όταν αυτή η δύναμη εξαφανίζεται. Αντί για φορτίο, χρησιμοποιούμε ένα γυροσκόπιο που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Τώρα εφαρμόζουμε τη δύναμη F κάθετα στον άξονα περιστροφής του γυροσκόπιου (Εικ. 7.2) και ενεργούμε στον άξονα έτσι ώστε ο συγκρατητής με το γυροσκόπιο να εκτελεί μια αδρανειακή ταλαντωτική κίνηση (προχωράει) σε ένα συγκεκριμένο τομέα (στη βέλτιστη περίπτωση με τελική τιμή α = 180 °). Η στιγμιαία διακοπή της μετάπτωσης του συγκρατητήρα με το γυροσκόπιο και η επανάληψη της προς την αντίθετη κατεύθυνση συμβαίνει όταν η φορά της δύναμης F αλλάζει προς το αντίθετο. Έτσι, υπάρχει μια ταλαντευτική κίνηση χωρίς αδράνεια του συγκρατητήρα με το γυροσκόπιο, η οποία εξαλείφει την αντίστροφη ώθηση που εμποδίζει τη μεταφορική κίνηση κατά μήκος του άξονα Χ.

Ρύζι. 7.2.

Γωνιακή ταχύτητα μετάπτωσης

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

όπου: M - ροπή δύναμης. I Z είναι η ροπή αδράνειας του γυροσκόπιου. ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του γυροσκοπίου.

Ροπή δύναμης (υποθέτοντας ότι το ℓ είναι κάθετο στο F)

M = ℓ F, (7,4)

όπου: ℓ είναι η απόσταση από το σημείο εφαρμογής της δύναμης F στο κέντρο αδράνειας του γυροσκόπιου. F είναι η δύναμη που εφαρμόζεται στον άξονα του γυροσκόπιου.

Αντικαθιστώντας το (7.4) στο (7.3) παίρνουμε

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

Στη δεξιά πλευρά του τύπου (7.5), τα συστατικά ℓ , I Z , Τα ω θεωρούνται σταθερά, και η δύναμη F, ανάλογα με το χρόνο t, ας μεταβάλλεται σύμφωνα με ένα τμηματικά γραμμικό νόμο (Εικ. 7.3).

Ρύζι. 7.3.

Είναι γνωστό ότι η γραμμική ταχύτητα σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα με την παρακάτω σχέση

v = R (dα /dt). (7.6)

Διαφοροποιώντας τον τύπο (7.6) ως προς το χρόνο, λαμβάνουμε την επιτάχυνση

w = R (d 2 α / dt 2). (7.7)

Αντικαθιστούμε τον τύπο (7.5) στον τύπο (7.7) και παίρνουμε

w = (R ℓ/Ι Ζω ) (dF/dt). (7.8)

Έτσι, η επιτάχυνση εξαρτάται από τον ρυθμό μεταβολής της δύναμης F, που κάνει τη φυγόκεντρο δύναμη να ενεργεί για τη μεταφορική κίνηση του συστήματος.

Πρέπει να σημειωθεί ότι σε υψηλή γωνιακή ταχύτητα ω και dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Για να αντισταθμίσουμε την κάθετη προβολή της φυγόκεντρης δύναμης Fц ┴, χρησιμοποιούμε το δεύτερο ίδιο γυροσκόπιο, το οποίο ταλαντώνεται ταυτόχρονα σε αντιφάση με το πρώτο γυροσκόπιο (Εικ. 7.4). Η προβολή της φυγόκεντρης δύναμης Fc ┴ στο δεύτερο γυροσκόπιο θα κατευθύνεται αντίθετα από την προβολή στο πρώτο. Είναι προφανές ότι οι κάθετες συνιστώσες Fц ┴ θα αντισταθμιστούν και οι παράλληλες Fц׀׀ θα αθροιστούν.

Ρύζι. 7.4.

Εάν ο τομέας ταλάντωσης των γυροσκοπίων δεν είναι περισσότερο από ένα ημικύκλιο, τότε δεν θα προκύψει η αντίθετη φυγόκεντρος δύναμη, μειώνοντας τη φυγόκεντρο δύναμη προς την κατεύθυνση του άξονα Χ.

Για να εξαλειφθεί η ροπή της συσκευής, η οποία συμβαίνει λόγω της αναγκαστικής περιστροφής του άξονα των γυροσκοπίων, είναι απαραίτητο να εγκαταστήσετε ένα άλλο ζεύγος των ίδιων γυροσκοπίων, οι άξονες των οποίων περιστρέφονται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Τομείς ταλαντωτικής κίνησης στηριγμάτων με γυροσκόπια σε ζεύγος, των οποίων οι άξονες του γυροσκόπιου περιστρέφονται προς μία κατεύθυνση, πρέπει να κατευθύνονται συμμετρικά προς μία κατεύθυνση με τομείς συγκρατητών με γυροσκόπια, οι άξονες του γυροσκοπίου των οποίων περιστρέφονται προς την αντίθετη κατεύθυνση (Εικ. 7.5 ).

Ρύζι. 7.5.

Ας υπολογίσουμε τη μέση τιμή της προβολής φυγόκεντρης δύναμης Fц׀׀ για ένα γυροσκόπιο (Εικ. 7.2) στη βάση, που ταλαντώνεται στον τομέα του ημικυκλίου από 0 έως π και υποδηλώνουμε αυτήν την τιμή με Fп

Fπ = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)

Για τέσσερα γυροσκόπια στις βάσεις, η μέση τιμή της μεταφορικής δύναμης Fp για κάθε μισό κύκλο θα είναι:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Έστω η μάζα του υποδοχέα πολύ μικρότερη από τη μάζα του γυροσκοπίου και η μάζα του γυροσκοπίου m = 1 kg. Επιτάχυνση w = 5 m/s 2, και η επιτάχυνση του γυροσκόπιου είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του συστήματος, τότε μπορούμε να αγνοήσουμε το μικρό διάστημα απουσίας της φυγόκεντρης δύναμης στο κέντρο. Χρόνος επιτάχυνσης t = 1 δευτ. Ακτίνα (μήκος) συγκράτησης R = 0,5 m. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο (7.10), η μεταφορική δύναμη θα είναι Fπ = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127N.

Βιβλιογραφία

1. Vygodsky M. Ya. Εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών, 14η έκδοση, - M .: LLC "Big Bear", APP "Dzhangar", 2001, 864s.

2. Sivukhin DV Γενικό μάθημα φυσικής. Τ.1. Μηχανική. 5η έκδ., στερεοφωνικό. - Μ.: FIZMATLIT., 2010, 560s.

3. Shipov G.I. Θεωρία φυσικού κενού. Θεωρητικά πειράματα και τεχνολογίες. 2η έκδ., - Μ.: Nauka, 1996, 456s.

4.Olkhovsky I.I. Μάθημα Θεωρητικής Μηχανικής για Φυσικούς: Διδακτικό βιβλίο. 4η έκδ., στερ. - Αγία Πετρούπολη: Εκδοτικός οίκος "Lan", 2009, 576s.

5. Ένας οδηγός για τη φυσική για μηχανικούς και φοιτητές / B.M. Yavorsky, A.A. Detlaf, A.K. Lebedev. - 8η έκδ., αναθεωρημένη. και σωστή. - M .: Onyx Publishing House LLC, Mir and Education Publishing House, 2008, 1056s.

6. Khaikin S.E. Physical Foundations of Mechanics, 2η έκδ., διορθ. και επιπλέον Φροντιστήριο. Η κύρια έκδοση φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας. Μ.: Nauka, 1971, 752σ.

7. Zorich V.A. Μαθηματική ανάλυση. Μέρος 1. Εκδ. 2η, αναθ. και επιπλέον Μ.: ΦΑΖΗΣ, 1997, 554s.

8. Aleksandrov N.V. και Yashkin A.Ya. Μάθημα γενικής φυσικής. Μηχανική. Proc. επίδομα μερικών φοιτητών φιζ.-ματ. ψεύτικο. πεδ. συνάδελφος. Μ., «Διαφωτισμός», 1978, 416s.

9. Geronimus Ya. L. Theoretical mechanics (δοκίμια για τις κύριες διατάξεις): Η κύρια έκδοση της φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας του εκδοτικού οίκου Nauka, 1973, 512p.

10. Μάθημα θεωρητικής μηχανικής: εγχειρίδιο / A.A. Yablonsky, V.M. Nikiforova. - 15η έκδ., σβησμένο. – Μ.: KNORUS, 2010, 608s.

11. Turyshev M.V., Για την κίνηση των κλειστών συστημάτων, ή υπό ποιες συνθήκες δεν πληρούται ο νόμος διατήρησης της ορμής, «Φυσικές και τεχνικές επιστήμες», Νο. 3 (29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Aizerman M.A. Κλασική Μηχανική: Σχολικό βιβλίο. - 2η έκδ., αναθεωρημένη. – Μ.: Επιστήμη. Κύρια έκδοση φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας, 1980, 368s.

13. Yavorsky V.M., Pinsky A.A. Βασικές αρχές Φυσικής: Σχολικό βιβλίο. Σε 2 τόμους Τ.1. Μηχανική, Μοριακή Φυσική. Ηλεκτροδυναμική / Εκδ. Yu.I.Dika. - 5η έκδ., στερεοφωνικό. – Μ.: FIZMATLIT. 2003. - 576s.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Mechanics: Textbook: Per. από τα αγγλικά / Εκδ. A.I. Shalnikova και A.S. Akhmatova. - 3η έκδ., Rev. – Μ.: Επιστήμη. Η κύρια έκδοση φυσικής και μαθηματικής λογοτεχνίας. 1983. - (Berkeley Physics Course, Τόμος 1). - 448 δευτ.

15. Tolchin VN, Inertsoid, Forces of inertia as a source of translational motion. Πέρμιος. Εκδοτικός οίκος βιβλίων Perm, 1977, δεκαετία του '99.

16. Frolov A.V. Vortex mover, New Energy, No. 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17. Bernikov V.R. Μερικές συνέπειες από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής, «Περιοδικό επιστημονικών δημοσιεύσεων μεταπτυχιακών φοιτητών και διδακτορικών φοιτητών», Αρ. 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18. Bernikov V.R. Αδρανειακές Δυνάμεις και Επιτάχυνση, Επιστημονική Προοπτική, Νο 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19. Bernikov V.R. Δυνάμεις αδράνειας και εφαρμογή τους, «Περιοδικό επιστημονικών δημοσιεύσεων μεταπτυχιακών φοιτητών και διδακτορικών φοιτητών», Αρ. 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.