Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων υπό όρους πιθανότητα. Το θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων

Πιθανότητα γεγονότος A είναι ο λόγος του αριθμού m των αποτελεσμάτων της δοκιμής που ευνοούν την έναρξη του συμβάντος Α προς τον συνολικό αριθμό n όλων των εξίσου πιθανών ασύμβατων αποτελεσμάτων: P(A)=m/n.

Υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος Το A (ή η πιθανότητα ενός γεγονότος Α, υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί ένα συμβάν Β), είναι ο αριθμός P B (A) \u003d P (AB) / P (B), όπου το A και το B είναι δύο τυχαία συμβάντα της ίδιας δοκιμής .

Το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ονομάζεται γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Το άθροισμα δύο γεγονότων συμβολίζεται με Α+Β.

Κανόνες πρόσθεσης πιθανοτήτων :

κοινές εκδηλώσεις Α και Β:
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), όπου P(A) είναι η πιθανότητα του γεγονότος A, P(B) είναι η πιθανότητα του γεγονότος B, P(A+B ) είναι η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα δύο γεγονότα, το P(AB) είναι η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης δύο γεγονότων.
κανόνας προσθήκης ασυμβίβαστα γεγονότα Α και Β:
P(A+B) = P(A)+P(B), όπου P(A) είναι η πιθανότητα του γεγονότος A, P(B) είναι η πιθανότητα του γεγονότος B.

Το γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων ονομάζεται γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι καθένα από αυτά θα συμβεί. Το γινόμενο δύο γεγονότων συμβολίζεται ΑΒ.

Κανόνες πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων :

εξαρτημένα γεγονότα Α και Β:
Р(АВ)= Р(А)*Р А (В)= Р(В)*Р В (А), όπου Р А (В) είναι η υπό όρους πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β, εάν το γεγονός Α έχει ήδη συμβεί, Р В (А ) είναι η υπό όρους πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α, εάν το γεγονός Β έχει ήδη συμβεί.
κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων ανεξάρτητες εκδηλώσεις Α και Β:
P(AB) = P(A)*P(B), όπου P(A) είναι η πιθανότητα του γεγονότος A, P(B) είναι η πιθανότητα του συμβάντος B.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα «Επιχειρήσεις σε εκδηλώσεις. Κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων»

Εργασία 1 . Το κουτί περιέχει 250 λαμπτήρες, εκ των οποίων οι 100 είναι 90W, οι 50 οι 60W, οι 50 οι 25W και οι 50 οι 15W. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι η ισχύς οποιουδήποτε λαμπτήρα τυχαία λήψης δεν θα υπερβαίνει τα 60 watt.

Λύση.

A \u003d (η ισχύς του λαμπτήρα είναι 90 W), η πιθανότητα P (A) \u003d 100/250 \u003d 0,4.
B \u003d (η ισχύς του λαμπτήρα είναι 60W).
C \u003d (η ισχύς του λαμπτήρα είναι 25W).
D = (η ισχύς του λαμπτήρα είναι 15W).

2. Γεγονότα Α, Β, Γ, Δ μορφή πλήρες σύστημα , αφού όλα είναι ασύμβατα και σίγουρα ένα από αυτά θα συμβεί σε αυτό το πείραμα (επιλογή λαμπτήρα). Η πιθανότητα εμφάνισης ενός από αυτά είναι αξιόπιστο γεγονός, τότε Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)=1.

3. Τα συμβάντα (ισχύς λαμπτήρα όχι μεγαλύτερη από 60 W) (δηλαδή μικρότερη ή ίση με 60 W) και (ισχύς λαμπτήρα μεγαλύτερη από 60 W) (στην περίπτωση αυτή - 90 W) είναι αντίθετα. Με την ιδιότητα των αντίθετων αριθμών P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Δεδομένου ότι P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), παίρνουμε P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Εργασία 2 . Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο από τον πρώτο σκοπευτή με μία βολή είναι 0,7 και από τον δεύτερο σκοπευτή - 0,9. Βρείτε την πιθανότητα ότι
α) ο στόχος θα χτυπηθεί μόνο από έναν σκοπευτή.
β) ο στόχος θα χτυπηθεί από τουλάχιστον έναν σκοπευτή.

Λύση.
1. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:
А1 = (ο πρώτος σκοπευτής χτυπά το στόχο), Р(А1)=0,7 από την κατάσταση του προβλήματος.
Α1 = (ο πρώτος σουτέρ αστόχησε), ενώ Р(А1)+Р(А̄1) = 1, αφού τα Α1 και Ᾱ1 είναι αντίθετα γεγονότα. Επομένως Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (ο δεύτερος σκοπευτής χτυπά το στόχο), Р(А2)=0,9 από την κατάσταση του προβλήματος.
Α2 = (ο δεύτερος σουτέρ αστόχησε), ενώ Р(А̄2)=1-0,9=0,1.

2. Το συμβάν A=(στόχος που χτυπήθηκε μόνο από έναν σκοπευτή) σημαίνει ότι έχει συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα γεγονότα: είτε A1A2 είτε A1A2.
Σύμφωνα με τον κανόνα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων Р(А)= Р(А1А2) + Р(А1А2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
Р(А̄1А2)= Р(А̄1)*Р(А2)=0,3*0,9=0,27.
Τότε Р(А)= Р(А1А2)+Р(А±1А2)=0,07+0,27=0,34.

3. Γεγονός Β=(στόχος που χτυπήθηκε από τουλάχιστον έναν σκοπευτή) σημαίνει ότι είτε ο πρώτος σκοπευτής χτύπησε τον στόχο, είτε ο δεύτερος σκοπευτής πέτυχε τον στόχο, είτε και οι δύο σκοπευτές πέτυχαν τον στόχο.

Το συμβάν B̄=(ο στόχος δεν χτυπιέται από κανένα σκοπευτή) είναι το αντίθετο από το γεγονός Β, που σημαίνει P(B)=1-P(B̄).
Το συμβάν B̄ σημαίνει την ταυτόχρονη εμφάνιση ανεξάρτητων γεγονότων Ā1 και Ā2, επομένως P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Τότε Р(В)=1-Р(B̄)=1-0,3=0,7.

Εργασία 3 . Το γραπτό της εξέτασης αποτελείται από τρεις ερωτήσεις. Η πιθανότητα ο μαθητής να απαντήσει στην πρώτη ερώτηση είναι 0,7. στο δεύτερο - 0,9? στο τρίτο - 0,6. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής, επιλέγοντας ένα εισιτήριο, να απαντήσει:
α) όλες οι ερωτήσεις
δ) τουλάχιστον δύο ερωτήσεις.

Λύση. 1. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:
А1 = (ο μαθητής απάντησε στην πρώτη ερώτηση), Р(А1)=0,7 από την συνθήκη του προβλήματος.
A1 = (ο μαθητής δεν απάντησε στην πρώτη ερώτηση), ενώ P(A1) + P(Ā1) = 1, αφού τα A1 και Ā1 είναι αντίθετα γεγονότα. Επομένως Р(А̄1)=1-0,7=0,3;
А2 = (ο μαθητής απάντησε στη δεύτερη ερώτηση), Р(А2)=0,9 από την συνθήκη του προβλήματος.
А2 = (ο μαθητής δεν απάντησε στη δεύτερη ερώτηση), ενώ Р(А̄2)=1-0,9=0,1;
А3 = (ο μαθητής απάντησε στην τρίτη ερώτηση), Р(А3)=0,6 από την συνθήκη του προβλήματος.
А3 = (ο μαθητής δεν απάντησε στην τρίτη ερώτηση), ενώ Р(А̄3)=1-0,6=0,4.

2. Γεγονός Α = (ο μαθητής απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις) σημαίνει την ταυτόχρονη εμφάνιση ανεξάρτητων γεγονότων Α1, Α2 και Α3, δηλ. Р(А)= Р(А1А2А3).Σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων: Р(А1А2А3)= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Τότε P(A)=P(A1A2A3)=0,378.

3. Το γεγονός Δ = (ο μαθητής απάντησε σε δύο τουλάχιστον ερωτήσεις) σημαίνει ότι η απάντηση δίνεται σε οποιεσδήποτε δύο ερωτήσεις ή και στις τρεις, δηλ. έχει συμβεί ένα από τα τέσσερα ασύμβατα συμβάντα: είτε A1A2Ā3, είτε A1Ā2A3, είτε А1А2А3, είτε А1А2А3.
Σύμφωνα με τον κανόνα πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1Ā2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
Р(A1A2Ā3)= Р(A1)*Р(A2)*Р(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
Р(А1Ā2А3)= Р(А1)*Р(Ā2)*Р(А3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P (A1A2A3) \u003d P (A1) * P (A2) * P (A3) \u003d 0,7 * 0,9 * 0,6 \u003d 0,378.
Τότε Р(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Θεώρημα πρόσθεσης

Εξετάστε ασύμβατα τυχαία συμβάντα.

Είναι γνωστό ότι τα ασύμβατα τυχαία συμβάντα $A$ και $B$ στην ίδια δοκιμή έχουν πιθανότητες $P\left(A\right)$ και $P\left(B\right)$ αντίστοιχα. Ας βρούμε την πιθανότητα του αθροίσματος $A+B$ αυτών των γεγονότων, δηλαδή την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι σε αυτό το τεστ ο αριθμός όλων των εξίσου δυνατών στοιχειωδών γεγονότων είναι $n$. Από αυτά, τα συμβάντα $A$ και $B$ ευνοούνται από τα στοιχειώδη συμβάντα $m_(A)$ και $m_(B)$, αντίστοιχα. Εφόσον τα συμβάντα $A$ και $B$ δεν είναι συμβατά, το συμβάν $A+B$ προτιμάται από τα στοιχειώδη συμβάντα $m_(A) +m_(B)$. Έχουμε $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$.

Θεώρημα 1

Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους.

Σημείωση 1

Συνέπεια 1.Η πιθανότητα του αθροίσματος οποιουδήποτε αριθμού ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Συνέπεια 2.Το άθροισμα των πιθανοτήτων μιας πλήρους ομάδας ασυμβίβαστων γεγονότων (το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των στοιχειωδών γεγονότων) είναι ίσο με ένα.

Συνέπεια 3.Το άθροισμα των πιθανοτήτων των αντίθετων γεγονότων είναι ίσο με ένα, αφού σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων.

Παράδειγμα 1

Η πιθανότητα να μην βρέξει ποτέ στην πόλη για κάποιο χρονικό διάστημα είναι $p=0,7$. Βρείτε την πιθανότητα $q$ ότι την ίδια ώρα θα βρέξει στην πόλη τουλάχιστον μία φορά.

Αντίθετα είναι τα γεγονότα «για κάποιο διάστημα δεν έβρεξε ποτέ στην πόλη» και «για κάποιο διάστημα έβρεξε στην πόλη τουλάχιστον μια φορά». Επομένως $p+q=1$, από όπου $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Εξετάστε κοινά τυχαία γεγονότα.

Είναι γνωστό ότι κοινά τυχαία συμβάντα $A$ και $B$ στην ίδια δοκιμή έχουν πιθανότητες $P\left(A\right)$ και $P\left(B\right)$ αντίστοιχα. Ας βρούμε την πιθανότητα του αθροίσματος $A+B$ αυτών των γεγονότων, δηλαδή την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι σε αυτό το τεστ ο αριθμός όλων των εξίσου δυνατών στοιχειωδών γεγονότων είναι $n$. Από αυτά, τα συμβάντα $A$ και $B$ ευνοούνται από τα στοιχειώδη συμβάντα $m_(A)$ και $m_(B)$, αντίστοιχα. Εφόσον τα συμβάντα $A$ και $B$ είναι κοινά, τότε από τον συνολικό αριθμό των $m_(A) +m_(B) $ στοιχειωδών γεγονότων, ένας ορισμένος αριθμός $m_(AB) $ ευνοεί και τα δύο συμβάν $A$ και το συμβάν $B$, δηλαδή η κοινή τους εμφάνιση (το γινόμενο των γεγονότων $A\cdot B$). Αυτή η ποσότητα $m_(AB)$ εισήγαγε και $m_(A)$ και $m_(B)$. Άρα το συμβάν $A+B$ προτιμάται από $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ στοιχειώδη γεγονότα. Έχουμε: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ δεξιά )$.

Θεώρημα 2

Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο κοινών γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων μείον την πιθανότητα του γινομένου τους.

Σχόλιο. Εάν τα συμβάντα $A$ και $B$ είναι ασύμβατα, τότε το προϊόν τους $A\cdot B$ είναι ένα αδύνατο συμβάν του οποίου η πιθανότητα είναι $P\left(A\cdot B\right)=0$. Επομένως, ο τύπος για την προσθήκη των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου για την πρόσθεση των πιθανοτήτων κοινών γεγονότων.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την πιθανότητα ότι όταν ρίχνονται δύο ζάρια ταυτόχρονα, ο αριθμός 5 θα εμφανιστεί τουλάχιστον μία φορά.

Όταν ρίχνετε δύο ζάρια ταυτόχρονα, ο αριθμός όλων των εξίσου δυνατών στοιχειωδών γεγονότων είναι ίσος με $n=36$, καθώς έξι ψηφία του δεύτερου ζαριού μπορούν να πέσουν σε κάθε ψηφίο του πρώτου ζαριού. Από αυτές, το συμβάν $A$ - ο αριθμός 5 που κυκλοφόρησε στον πρώτο ζάρι - συμβαίνει 6 φορές, το συμβάν $B$ - ο αριθμός 5 που κύλησε στο δεύτερο ζάρι - εμφανίζεται επίσης 6 φορές. Από όλες τις δώδεκα φορές, ο αριθμός 5 εμφανίζεται μία φορά και στα δύο ζάρια. Άρα $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων

Εξετάστε ανεξάρτητα γεγονότα.

Τα συμβάντα $A$ και $B$ που συμβαίνουν σε δύο διαδοχικές δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $B$ δεν εξαρτάται από το εάν το συμβάν $A$ έλαβε χώρα ή δεν έλαβε χώρα.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 2 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες σε ένα δοχείο. Το τεστ είναι να βγάλεις την μπάλα. Το γεγονός $A$ είναι "μια λευκή μπάλα κληρώθηκε στην πρώτη δοκιμή". Πιθανότητα $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Μετά την πρώτη δοκιμή, η μπάλα τοποθετήθηκε πίσω και πραγματοποιήθηκε μια δεύτερη δοκιμή. Γεγονός $B$ -- `` κληρώθηκε η λευκή μπάλα στη δεύτερη δοκιμή''. Πιθανότητα $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Η πιθανότητα $P\left(B\right)$ δεν εξαρτάται από το αν το συμβάν $A$ έλαβε χώρα ή όχι, επομένως τα γεγονότα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα.

Είναι γνωστό ότι ανεξάρτητα τυχαία συμβάντα $A$ και $B$ δύο διαδοχικών δοκιμών έχουν πιθανότητες $P\left(A\right)$ και $P\left(B\right)$ αντίστοιχα. Ας βρούμε την πιθανότητα του γινομένου $A\cdot B$ αυτών των γεγονότων, δηλαδή την πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους.

Ας υποθέσουμε ότι στην πρώτη δοκιμή ο αριθμός όλων των εξίσου δυνατών στοιχειωδών γεγονότων είναι $n_(1) $. Από αυτά, το $A$ ευνοείται από $m_(1)$ στοιχειώδη γεγονότα. Ας υποθέσουμε επίσης ότι στη δεύτερη δοκιμή ο αριθμός όλων των εξίσου δυνατών στοιχειωδών γεγονότων είναι $n_(2) $. Από αυτά, το συμβάν $B$ ευνοείται από τα στοιχειώδη συμβάντα $m_(2)$. Τώρα σκεφτείτε ένα νέο στοιχειώδες γεγονός, το οποίο συνίσταται στη διαδοχική εμφάνιση γεγονότων από την πρώτη και τη δεύτερη δοκιμή. Ο συνολικός αριθμός τέτοιων εξίσου πιθανών στοιχειωδών γεγονότων είναι ίσος με $n_(1) \cdot n_(2) $. Εφόσον τα συμβάντα $A$ και $B$ είναι ανεξάρτητα, από αυτόν τον αριθμό η κοινή εμφάνιση του γεγονότος $A$ και του γεγονότος $B$ (τα προϊόντα των συμβάντων $A\cdot B$) ευνοείται από $m_( 1) \cdot m_(2) $ συμβάντα . Έχουμε: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Θεώρημα 3

Η πιθανότητα του γινομένου δύο ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Εξετάστε εξαρτημένα γεγονότα.

Σε δύο διαδοχικές δοκιμές, συμβαίνουν συμβάντα $A$ και $B$. Ένα συμβάν $B$ λέγεται ότι εξαρτάται από το συμβάν $A$ εάν η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος $B$ εξαρτάται από το αν το συμβάν $A$ έλαβε χώρα ή όχι. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος $B$, η οποία υπολογίστηκε υπό την προϋπόθεση ότι έλαβε χώρα το συμβάν $A$, ονομάζεται υπό όρους πιθανότητα του γεγονότος $B$ υπό την συνθήκη $A$ και συμβολίζεται με $P\αριστερά (Β/Α\δεξιά)$.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 2 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες σε ένα δοχείο. Το τεστ είναι η εξαγωγή της μπάλας. Το γεγονός $A$ είναι "μια λευκή μπάλα κληρώθηκε στην πρώτη δοκιμή". Πιθανότητα $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Μετά την πρώτη δοκιμή, η μπάλα δεν επανατοποθετείται και γίνεται η δεύτερη δοκιμή. Γεγονός $B$ -- `` κληρώθηκε η λευκή μπάλα στη δεύτερη δοκιμή''. Εάν κληρώθηκε μια λευκή μπάλα στην πρώτη δοκιμή, τότε η πιθανότητα είναι $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Εάν μια μαύρη μπάλα κληρώθηκε στην πρώτη δοκιμή, τότε η πιθανότητα είναι $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Έτσι, η πιθανότητα του συμβάντος $B$ εξαρτάται από το αν το συμβάν $A$ έλαβε χώρα ή όχι, επομένως, το συμβάν $B$ εξαρτάται από το συμβάν $A$.

Ας υποθέσουμε ότι τα συμβάντα $A$ και $B$ συμβαίνουν σε δύο διαδοχικές δοκιμές. Είναι γνωστό ότι το συμβάν $A$ έχει την πιθανότητα εμφάνισης $P\left(A\right)$. Είναι επίσης γνωστό ότι το συμβάν $B$ εξαρτάται από το συμβάν $A$ και η υπό όρους πιθανότητά του υπό την συνθήκη $A$ είναι ίση με $P\left(B/A\right)$.

Θεώρημα 4

Η πιθανότητα του γινομένου του συμβάντος $A$ και του γεγονότος $B$ που εξαρτάται από αυτό, δηλαδή η πιθανότητα της κοινής εμφάνισής τους, μπορούν να βρεθούν με τον τύπο $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Ο συμμετρικός τύπος $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ είναι επίσης έγκυρος, όπου το συμβάν $A$ θεωρείται ότι να εξαρτάται από το συμβάν $ B$.

Για τις συνθήκες του τελευταίου παραδείγματος, βρίσκουμε την πιθανότητα να κληρωθεί η άσπρη μπάλα και στις δύο δοκιμές. Ένα τέτοιο συμβάν είναι προϊόν των γεγονότων $A$ και $B$. Η πιθανότητά του είναι $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων. Αυτό το άρθρο θα επικεντρωθεί στην επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων. Νωρίτερα, έχουμε ήδη αναλύσει μερικές από τις απλούστερες εργασίες, για να τις επιλύσετε αρκεί να γνωρίζετε και να κατανοήσετε τον τύπο (σας συμβουλεύω να τον επαναλάβετε).

Υπάρχουν εργασίες που είναι λίγο πιο περίπλοκες, για τη λύση τους πρέπει να γνωρίζετε και να κατανοήσετε: τον κανόνα της πρόσθεσης πιθανοτήτων, τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, τις έννοιες των εξαρτημένων και ανεξάρτητων γεγονότων, αντίθετα γεγονότα, κοινά και ασύμβατα γεγονότα. Μην φοβάστε τους ορισμούς, όλα είναι απλά)).Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ακριβώς τέτοιες εργασίες.

Κάποια σημαντική και απλή θεωρία:

ασύμβατες αν η επέλευση ενός εξ αυτών αποκλείει την εμφάνιση των άλλων. Δηλαδή, μόνο ένα συγκεκριμένο γεγονός μπορεί να συμβεί, ή ένα άλλο.

Ένα κλασικό παράδειγμα: όταν πετάτε ένα ζάρι (ζάρια), μόνο ένα μπορεί να πέσει έξω, ή μόνο δύο, ή μόνο τρία κ.λπ. Καθένα από αυτά τα συμβάντα είναι ασύμβατο με τα άλλα και η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου (σε ένα τεστ). Το ίδιο και με το νόμισμα - η απώλεια του "αετού" εξαλείφει την πιθανότητα απώλειας "ουρών".

Αυτό ισχύει και για πιο σύνθετους συνδυασμούς. Για παράδειγμα, ανάβουν δύο λαμπτήρες φωτισμού. Κάθε ένα από αυτά μπορεί ή δεν μπορεί να καεί για κάποιο χρονικό διάστημα. Υπάρχουν επιλογές:

Το πρώτο καίγεται και το δεύτερο καίγεται
Το πρώτο καίγεται και το δεύτερο δεν καίγεται
Το πρώτο δεν καίγεται και το δεύτερο καίγεται
Το πρώτο δεν καίγεται και το δεύτερο καίγεται.

Και οι 4 αυτές παραλλαγές γεγονότων είναι ασυμβίβαστες - απλά δεν μπορούν να συμβούν μαζί και καμία από αυτές με κανένα άλλο ...

Ορισμός: Τα συμβάντα καλούνται άρθρωσηαν η επέλευση του ενός δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου.

Παράδειγμα: μια βασίλισσα θα ληφθεί από μια τράπουλα και μια κάρτα με το φτυάρι από μια τράπουλα. Δύο γεγονότα εξετάζονται. Αυτά τα γεγονότα δεν αλληλοαποκλείονται - μπορείτε να σχεδιάσετε τη Βασίλισσα των Μπαστούνι και έτσι θα συμβούν και τα δύο γεγονότα.

Στο άθροισμα των πιθανοτήτων

Το άθροισμα δύο γεγονότων Α και Β ονομάζεται γεγονός Α + Β, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι είτε το γεγονός Α είτε το γεγονός Β είτε και τα δύο θα συμβούν ταυτόχρονα.

Εάν συμβεί ασύμβατεςγεγονότα Α και Β, τότε η πιθανότητα του αθροίσματος αυτών των γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων των γεγονότων:

Παράδειγμα ζαριών:

Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε έναν αριθμό μικρότερο από τέσσερα;

Οι αριθμοί μικρότεροι από τέσσερα είναι 1,2,3. Γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να πάρουμε 1 είναι 1/6, 2 είναι 1/6 και 3 είναι 1/6. Αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα της πρόσθεσης. Η πιθανότητα να πάρεις έναν αριθμό μικρότερο από τέσσερα είναι:

Πράγματι, αν προχωρήσουμε από την έννοια της κλασικής πιθανότητας: τότε ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων είναι 6 (ο αριθμός όλων των όψεων του κύβου), ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι 3 (ένα, δύο ή τρία). Η επιθυμητή πιθανότητα είναι 3 έως 6 ή 3/6 = 0,5.

* Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο κοινών γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η κοινή τους εμφάνιση: P (A + B) \u003d P (A) + P (B) -P (AB )

Στον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων

Έστω δύο ασύμβατα γεγονότα Α και Β, οι πιθανότητες τους είναι αντίστοιχα P(A) και P(B). Το γινόμενο δύο γεγονότων Α και Β ονομάζεται ένα τέτοιο γεγονός Α Β, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι αυτά τα γεγονότα θα συμβούν μαζί, δηλαδή θα συμβούν και το γεγονός Α και το γεγονός Β. Η πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων των γεγονότων Α και Β.Υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο:

Όπως έχετε ήδη παρατηρήσει, το λογικό συνδετικό "AND" σημαίνει πολλαπλασιασμό.

Ένα παράδειγμα με τα ίδια ζάρια:Πέτα ένα ζάρι δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να κυλήσουν δύο εξάρια;

Η πιθανότητα να κυλήσει ένα εξάρι για πρώτη φορά είναι 1/6. Ο δεύτερος χρόνος είναι επίσης ίσος με 1/6. Η πιθανότητα να λάβουμε έξι την πρώτη και τη δεύτερη φορά είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων:

Με απλά λόγια: όταν ένα γεγονός συμβαίνει σε ένα τεστ, ΚΑΙ τότε συμβαίνει ένα άλλο (άλλα), τότε η πιθανότητα να συμβούν μαζί είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Λύναμε προβλήματα με ζάρια, αλλά χρησιμοποιήσαμε μόνο λογικούς συλλογισμούς, δεν χρησιμοποιήσαμε τον τύπο του προϊόντος. Στα προβλήματα που εξετάζονται παρακάτω, κανείς δεν μπορεί να κάνει χωρίς τύπους, ή μάλλον, θα είναι ευκολότερο και γρηγορότερο να πάρει το αποτέλεσμα με αυτούς.

Αξίζει να αναφέρουμε μια ακόμη απόχρωση. Κατά τη συλλογιστική επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιείται η έννοια της ΣΥΓΧΡΟΝΟΤΗΤΑΣ γεγονότων. Τα γεγονότα συμβαίνουν ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ - αυτό δεν σημαίνει ότι συμβαίνουν σε ένα δευτερόλεπτο (σε μια χρονική στιγμή). Αυτό σημαίνει ότι συμβαίνουν σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (με ένα τεστ).

Για παράδειγμα:

Δύο λαμπτήρες καίγονται μέσα σε ένα χρόνο (μπορεί να ειπωθεί - ταυτόχρονα μέσα σε ένα χρόνο)

Δύο αυτόματα χαλάνε μέσα σε ένα μήνα (μπορεί να ειπωθεί - ταυτόχρονα μέσα σε ένα μήνα)

Τα ζάρια ρίχνονται τρεις φορές (οι πόντοι πέφτουν ταυτόχρονα, που σημαίνει σε ένα τεστ)

Ο δίαθλος κάνει πέντε βολές. Συμβάντα (πλάνοι) συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας δοκιμής.

Τα γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα εάν η πιθανότητα κάποιου από αυτά δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του άλλου γεγονότος.

Εξετάστε τα καθήκοντα:

Δύο εργοστάσια παράγουν το ίδιο γυαλί για προβολείς αυτοκινήτων. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 35% αυτών των γυαλιών, το δεύτερο - 65%. Το πρώτο εργοστάσιο παράγει το 4% των ελαττωματικών γυαλιών και το δεύτερο - 2%. Βρείτε την πιθανότητα ένα ποτήρι που αγοράστηκε κατά λάθος σε ένα κατάστημα να είναι ελαττωματικό.

Το πρώτο εργοστάσιο παράγει 0,35 προϊόντα (ποτήρια). Η πιθανότητα αγοράς ελαττωματικού γυαλιού από το πρώτο εργοστάσιο είναι 0,04.

Το δεύτερο εργοστάσιο παράγει 0,65 ποτήρια. Η πιθανότητα αγοράς ελαττωματικού γυαλιού από το δεύτερο εργοστάσιο είναι 0,02.

Η πιθανότητα το γυαλί να αγοράστηκε από το πρώτο εργοστάσιο ΚΑΙ ταυτόχρονα να είναι ελαττωματικό είναι 0,35∙0,04 = 0,0140.

Η πιθανότητα το γυαλί να αγοράστηκε στο δεύτερο εργοστάσιο ΚΑΙ ταυτόχρονα να είναι ελαττωματικό είναι 0,65∙0,02 = 0,0130.

Η αγορά ελαττωματικού γυαλιού σε κατάστημα συνεπάγεται ότι αυτό (ελαττωματικό γυαλί) αγοράστηκε ΕΙΤΕ από το πρώτο εργοστάσιο ΕΙΤΕ από το δεύτερο. Αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα, δηλαδή προσθέτουμε τις προκύπτουσες πιθανότητες:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Απάντηση: 0,027

Αν ο γκρανμάστερ Α. παίζει λευκό, τότε κερδίζει τον γκρανμάστερ Β. με πιθανότητα 0,62. Αν ο Α. παίξει μαύρο, τότε ο Α. κερδίζει τον Β. με πιθανότητα 0,2. Οι Grandmaster A. και B. παίζουν δύο παιχνίδια, και στο δεύτερο παιχνίδι αλλάζουν το χρώμα των κομματιών. Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ο Α. και τις δύο φορές.

Οι πιθανότητες να κερδίσετε το πρώτο και το δεύτερο παιχνίδι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Λέγεται ότι ένας γκραν μάστερ πρέπει να κερδίσει και τις δύο φορές, δηλαδή να κερδίσει την πρώτη φορά ΚΑΙ ταυτόχρονα να κερδίσει τη δεύτερη φορά. Στην περίπτωση που ανεξάρτητα συμβάντα πρέπει να συμβούν μαζί, οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων πολλαπλασιάζονται, δηλαδή χρησιμοποιείται ο κανόνας του πολλαπλασιασμού.

Η πιθανότητα παραγωγής αυτών των γεγονότων θα είναι ίση με 0,62∙0,2 = 0,124.

Απάντηση: 0,124

Στην εξέταση της γεωμετρίας, ο μαθητής λαμβάνει μία ερώτηση από τη λίστα των ερωτήσεων των εξετάσεων. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση με εγγεγραμμένο κύκλο είναι 0,3. Η πιθανότητα να πρόκειται για ερώτηση παραλληλογράμμου είναι 0,25. Δεν υπάρχουν ερωτήσεις που να σχετίζονται με αυτά τα δύο θέματα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να λάβει μια ερώτηση για ένα από αυτά τα δύο θέματα στην εξέταση.

Δηλαδή, είναι απαραίτητο να βρεθεί η πιθανότητα ο μαθητής να πάρει μια ερώτηση ΕΙΤΕ στο θέμα «Εγγεγραμμένος κύκλος», ΕΙΤΕ στο θέμα «Παραλληλόγραμμο». Σε αυτήν την περίπτωση, οι πιθανότητες συνοψίζονται, καθώς αυτά τα γεγονότα είναι ασύμβατα και μπορεί να συμβεί οποιοδήποτε από αυτά τα γεγονότα: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Τα ασύνδετα γεγονότα είναι γεγονότα που δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα.

Απάντηση: 0,55

Ο δίαθλος πυροβολεί πέντε φορές στους στόχους. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα ο αθλητής του δίαθλου να χτύπησε τους στόχους τις πρώτες τέσσερις φορές και να έχασε τον τελευταίο. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στο πλησιέστερο εκατοστό.

Εφόσον ο αθλητής του δίαθλου χτυπά τον στόχο με πιθανότητα 0,9, αστοχεί με πιθανότητα 1 - 0,9 = 0,1

*Ένα αστοχία και ένα χτύπημα είναι γεγονότα που δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα με ένα σουτ, το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι 1.

Μιλάμε για την ανάθεση αρκετών (ανεξάρτητων) εκδηλώσεων. Εάν συμβεί ένα γεγονός και ταυτόχρονα συμβεί ένα άλλο (επακόλουθο) την ίδια στιγμή (δοκιμή), τότε οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων πολλαπλασιάζονται.

Η πιθανότητα παραγωγής ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους.

Έτσι, η πιθανότητα του γεγονότος «χτύπησε, χτύπησε, χτύπησε, χτύπησε, έχασε» ισούται με 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Στρογγυλοποιώντας στα εκατοστά, παίρνουμε 0,07

Απάντηση: 0,07

Το κατάστημα διαθέτει δύο μηχανήματα πληρωμής. Κάθε ένα από αυτά μπορεί να είναι ελαττωματικό με πιθανότητα 0,07, ανεξάρτητα από το άλλο αυτόματο. Βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι επισκευάσιμο.

Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα δύο αυτόματα είναι ελαττωματικά.

Αυτά τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως η πιθανότητα θα είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να λειτουργούν και τα δύο αυτόματα ή ένα από αυτά θα είναι ίση με 1 - 0,0049 = 0,9951.

* Και τα δύο είναι επισκευάσιμα και κάποια είναι πλήρως - πληροί την προϋπόθεση "τουλάχιστον ένα".

Μπορεί κανείς να παρουσιάσει τις πιθανότητες όλων των (ανεξάρτητων) γεγονότων προς δοκιμή:

1. "ελαττωματικός-ελαττωματικός" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. "Καλό-Ελαττωματικό" 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "Faulty-Faulty" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «υγιεινό-υγιεινό» 0,93∙0,93 = 0,8649

Για να προσδιορίσετε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα αυτόματο είναι σε καλή κατάσταση, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τις πιθανότητες ανεξάρτητων γεγονότων 2,3 και 4: ένα συγκεκριμένο γεγονός Ένα γεγονός ονομάζεται ένα γεγονός που είναι βέβαιο ότι θα συμβεί ως αποτέλεσμα μιας εμπειρίας. Η εκδήλωση ονομάζεται αδύνατοαν δεν συμβεί ποτέ ως αποτέλεσμα εμπειρίας.

Για παράδειγμα, εάν μια μπάλα τραβηχτεί τυχαία από ένα κουτί που περιέχει μόνο κόκκινες και πράσινες μπάλες, τότε η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες είναι ένα αδύνατο γεγονός. Η εμφάνιση του κόκκινου και η εμφάνιση των πράσινων μπάλων αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων.

Ορισμός:Τα γεγονότα λέγονται εξίσου δυνατό , αν δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ένα από αυτά θα εμφανιστεί ως αποτέλεσμα του πειράματος με μεγαλύτερη πιθανότητα.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η εμφάνιση κόκκινων και πράσινων μπάλων είναι εξίσου πιθανά γεγονότα εάν το κουτί περιέχει τον ίδιο αριθμό κόκκινων και πράσινων μπάλων. Εάν υπάρχουν περισσότερες κόκκινες μπάλες στο κουτί από τις πράσινες, τότε η εμφάνιση μιας πράσινης μπάλας είναι λιγότερο πιθανή από την εμφάνιση μιας κόκκινης.

Στο θα εξετάσουμε περισσότερα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το άθροισμα και το γινόμενο των πιθανοτήτων των γεγονότων, μην το χάσετε!

Αυτό είναι όλο. Σου εύχομαι επιτυχία!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

Η Μαρία Ιβάνοβνα επιπλήττει τον Βάσια:
Petrov, γιατί δεν ήσουν στο σχολείο χθες;!
Η μαμά μου έπλυνε το παντελόνι μου χθες.
- Και λοιπόν?
- Και περνούσα από το σπίτι και είδα ότι τα δικά σου ήταν κρεμασμένα. Νόμιζα ότι δεν θα ερχόσουν.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Στο Για την εκτίμηση της πιθανότητας εμφάνισης οποιουδήποτε τυχαίου γεγονότος, είναι πολύ σημαντικό να έχουμε μια καλή ιδέα εκ των προτέρων εάν η πιθανότητα () της εμφάνισης του γεγονότος που μας ενδιαφέρει εξαρτάται από το πώς εξελίσσονται άλλα γεγονότα.

Στην περίπτωση του κλασικού σχήματος, όταν όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά, μπορούμε ήδη να εκτιμήσουμε τις τιμές πιθανότητας του μεμονωμένου συμβάντος που μας ενδιαφέρει μόνοι μας. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό ακόμα κι αν το συμβάν είναι μια περίπλοκη συλλογή από πολλά στοιχειώδη αποτελέσματα. Και αν συμβαίνουν πολλά τυχαία γεγονότα ταυτόχρονα ή διαδοχικά; Πώς επηρεάζει αυτό την πιθανότητα του συμβάντος που μας ενδιαφέρει;

Εάν ρίξω ένα ζάρι μερικές φορές και θέλω να πάρω έξι και είμαι πάντα άτυχος, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αυξήσω το στοίχημά μου επειδή, σύμφωνα με τη θεωρία πιθανοτήτων, πρόκειται να σταθώ τυχερός; Αλίμονο, η θεωρία πιθανοτήτων δεν λέει τίποτα τέτοιο. Χωρίς ζάρια, χωρίς χαρτιά, χωρίς κέρματα δεν μπορώ να θυμηθώ τι μας έδειξαν την προηγούμενη φορά. Δεν τους έχει καθόλου σημασία αν για πρώτη φορά ή για δέκατη φορά σήμερα δοκιμάζω τη μοίρα μου. Κάθε φορά που κυλώ ξανά, ξέρω μόνο ένα πράγμα: και αυτή τη φορά η πιθανότητα να κυλήσω ξανά ένα «έξι» είναι το ένα έκτο. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι ο αριθμός που χρειάζομαι δεν θα πέσει ποτέ έξω. Σημαίνει μόνο ότι η απώλεια μου μετά την πρώτη εκτίναξη και μετά από οποιαδήποτε άλλη εκτίναξη είναι ανεξάρτητα γεγονότα.

Τα γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητος, εάν η υλοποίηση ενός από αυτά δεν επηρεάζει την πιθανότητα του άλλου γεγονότος με οποιονδήποτε τρόπο. Για παράδειγμα, οι πιθανότητες να χτυπηθεί ένας στόχος με το πρώτο από τα δύο όπλα δεν εξαρτώνται από το αν το άλλο όπλο χτύπησε τον στόχο, επομένως τα γεγονότα "το πρώτο όπλο χτύπησε τον στόχο" και "το δεύτερο όπλο χτύπησε τον στόχο" είναι ανεξάρτητα.

Εάν δύο γεγονότα Α και Β είναι ανεξάρτητα και η πιθανότητα καθενός από αυτά είναι γνωστή, τότε η πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης τόσο του γεγονότος Α όσο και του γεγονότος Β (που συμβολίζεται με ΑΒ) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα

P(AB) = P(A)*P(B)- πιθανότητα ταυτόχρονοςδύο ανεξάρτητοςεκδηλώσεις είναι δουλειάτις πιθανότητες αυτών των γεγονότων.

Παράδειγμα.Οι πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος κατά την εκτόξευση του πρώτου και του δεύτερου πυροβόλου είναι αντίστοιχα ίσες: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπήσετε με ένα βόλι και από τα δύο όπλα ταυτόχρονα.

Λύση:Όπως έχουμε ήδη δει, τα γεγονότα Α (χτύπημα από το πρώτο όπλο) και Β (χτύπημα από το δεύτερο όπλο) είναι ανεξάρτητα, δηλ. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Τι συμβαίνει με τις εκτιμήσεις μας εάν τα γεγονότα έναρξης δεν είναι ανεξάρτητα; Ας αλλάξουμε λίγο το προηγούμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα.Δύο σκοπευτές σε έναν αγώνα πυροβολούν στόχους και αν ένας από αυτούς σουτάρει με ακρίβεια, τότε ο αντίπαλος αρχίζει να νευριάζει και τα αποτελέσματά του χειροτερεύουν. Πώς να μετατρέψετε αυτήν την καθημερινή κατάσταση σε μαθηματικό πρόβλημα και να σκιαγραφήσετε τρόπους επίλυσής της; Είναι διαισθητικά σαφές ότι είναι απαραίτητο να διαχωριστούν με κάποιο τρόπο τα δύο σενάρια, να συνθέσουμε, στην πραγματικότητα, δύο σενάρια, δύο διαφορετικά καθήκοντα. Στην πρώτη περίπτωση, αν ο αντίπαλος αστοχήσει, το σενάριο θα είναι ευνοϊκό για τον νευρικό αθλητή και η ευστοχία του θα είναι μεγαλύτερη. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν ο αντίπαλος συνειδητοποίησε αξιοπρεπώς την ευκαιρία του, η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο για τον δεύτερο αθλητή μειώνεται.

Για να διαχωρίσουμε τα πιθανά σενάρια (συχνά ονομάζονται υποθέσεις) της εξέλιξης των γεγονότων, θα χρησιμοποιήσουμε συχνά το σχήμα «δέντρο πιθανοτήτων». Αυτό το διάγραμμα είναι παρόμοιο ως προς το νόημα με το δέντρο αποφάσεων, το οποίο πιθανότατα έπρεπε ήδη να αντιμετωπίσετε. Κάθε κλάδος είναι ένα ξεχωριστό σενάριο, μόνο που τώρα έχει τη δική του σημασία του λεγόμενου υποθετικόςπιθανότητες (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Αυτό το σχήμα είναι πολύ βολικό για την ανάλυση διαδοχικών τυχαίων γεγονότων.

Μένει να διευκρινιστεί ένα ακόμη σημαντικό ερώτημα: πού βρίσκονται οι αρχικές τιμές των πιθανοτήτων πραγματικές καταστάσεις ? Τελικά, η θεωρία των πιθανοτήτων δεν λειτουργεί με τα ίδια νομίσματα και ζάρια, έτσι δεν είναι; Συνήθως αυτές οι εκτιμήσεις λαμβάνονται από στατιστικά στοιχεία και όταν δεν υπάρχουν στατιστικά στοιχεία, διεξάγουμε τη δική μας έρευνα. Και συχνά πρέπει να το ξεκινήσουμε όχι με τη συλλογή δεδομένων, αλλά με το ερώτημα ποιες πληροφορίες χρειαζόμαστε γενικά.

Παράδειγμα.Σε μια πόλη 100.000 κατοίκων, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε το μέγεθος της αγοράς για ένα νέο μη απαραίτητο προϊόν, όπως ένα βαμμένο μαλακτικό μαλλιών. Ας εξετάσουμε το σχήμα "δέντρο των πιθανοτήτων". Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να εκτιμήσουμε κατά προσέγγιση την τιμή της πιθανότητας σε κάθε «κλάδο». Έτσι, οι εκτιμήσεις μας για την ικανότητα της αγοράς:

1) Το 50% όλων των κατοίκων της πόλης είναι γυναίκες,

2) Από όλες τις γυναίκες, μόνο το 30% βάφει συχνά τα μαλλιά τους,

3) από αυτά, μόνο το 10% χρησιμοποιεί βάλσαμα για βαμμένα μαλλιά,

4) από αυτά, μόνο το 10% μπορεί να συγκεντρώσει το θάρρος να δοκιμάσει ένα νέο προϊόν,

5) Το 70% από αυτούς συνήθως αγοράζουν τα πάντα όχι από εμάς, αλλά από τους ανταγωνιστές μας.

Λύση:Σύμφωνα με το νόμο του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, προσδιορίζουμε την πιθανότητα του γεγονότος που μας ενδιαφέρει A \u003d (κάτοικος της πόλης αγοράζει αυτό το νέο βάλσαμο από εμάς) \u003d 0,00045.

Πολλαπλασιάστε αυτή την τιμή πιθανότητας με τον αριθμό των κατοίκων της πόλης. Ως αποτέλεσμα, έχουμε μόνο 45 πιθανούς αγοραστές και δεδομένου ότι ένα φιαλίδιο αυτού του προϊόντος διαρκεί αρκετούς μήνες, το εμπόριο δεν είναι πολύ ζωηρό.

Ωστόσο, υπάρχουν οφέλη από τις εκτιμήσεις μας.

Πρώτον, μπορούμε να συγκρίνουμε τις προβλέψεις διαφορετικών επιχειρηματικών ιδεών, θα έχουν διαφορετικές «πιρούνες» στα διαγράμματα και, φυσικά, οι τιμές πιθανότητας θα είναι επίσης διαφορετικές.

Δεύτερον, όπως έχουμε ήδη πει, μια τυχαία μεταβλητή δεν ονομάζεται τυχαία επειδή δεν εξαρτάται από τίποτα απολύτως. Μόνο αυτή ακριβήςη τιμή δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Γνωρίζουμε ότι ο μέσος αριθμός αγοραστών μπορεί να αυξηθεί (για παράδειγμα, με τη διαφήμιση ενός νέου προϊόντος). Λογικό λοιπόν να εστιάσουμε σε εκείνα τα «πιρούνια» όπου η κατανομή των πιθανοτήτων δεν μας ταιριάζει ιδιαίτερα, σε εκείνους τους παράγοντες που είμαστε σε θέση να επηρεάσουμε.

Εξετάστε ένα άλλο ποσοτικό παράδειγμα έρευνας για τη συμπεριφορά των καταναλωτών.

Παράδειγμα.Κατά μέσο όρο 10.000 άτομα επισκέπτονται την αγορά τροφίμων την ημέρα. Η πιθανότητα ένας επισκέπτης της αγοράς να μπει σε ένα περίπτερο γαλακτοκομικών είναι 1/2. Είναι γνωστό ότι σε αυτό το περίπτερο πωλούνται κατά μέσο όρο 500 κιλά διάφορα προϊόντα την ημέρα.

Μπορεί να υποστηριχθεί ότι η μέση αγορά στο περίπτερο ζυγίζει μόνο 100 g;

Συζήτηση.Φυσικά και όχι. Είναι σαφές ότι δεν κατέληξαν όλοι όσοι μπήκαν στο περίπτερο να αγοράσουν κάτι εκεί.

Όπως φαίνεται στο διάγραμμα, για να απαντήσουμε στην ερώτηση σχετικά με το μέσο βάρος αγοράς, πρέπει να βρούμε την απάντηση στο ερώτημα, ποια είναι η πιθανότητα κάποιος που μπαίνει στο περίπτερο να αγοράσει κάτι εκεί. Αν δεν έχουμε τέτοια στοιχεία στη διάθεσή μας, αλλά τα χρειαζόμαστε, θα πρέπει να τα αποκτήσουμε μόνοι μας, αφού παρατηρήσουμε για αρκετή ώρα τους επισκέπτες του περιπτέρου. Ας υποθέσουμε ότι οι παρατηρήσεις μας δείχνουν ότι μόνο το ένα πέμπτο των επισκεπτών στο περίπτερο αγοράζουν κάτι.

Μόλις ληφθούν αυτές οι εκτιμήσεις από εμάς, η εργασία γίνεται ήδη απλή. Από τα 10.000 άτομα που βγήκαν στην αγορά, τα 5.000 θα πάνε στο περίπτερο των γαλακτοκομικών προϊόντων, θα γίνουν μόνο 1.000 αγορές.Το μέσο βάρος αγοράς είναι 500 γραμμάρια. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι για να οικοδομήσουμε μια πλήρη εικόνα του τι συμβαίνει, η λογική της υπό όρους «διακλάδωσης» πρέπει να ορίζεται σε κάθε στάδιο του συλλογισμού μας τόσο ξεκάθαρα σαν να δουλεύαμε με μια «συγκεκριμένη» κατάσταση και όχι με πιθανότητες.

Εργασίες για αυτοέλεγχο

1. Έστω ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από n στοιχεία συνδεδεμένα σε σειρά, καθένα από τα οποία λειτουργεί ανεξάρτητα από τα άλλα.

Η πιθανότητα p μη αποτυχίας κάθε στοιχείου είναι γνωστή. Προσδιορίστε την πιθανότητα σωστής λειτουργίας ολόκληρου του τμήματος του κυκλώματος (γεγονός Α).

2. Ο μαθητής γνωρίζει 20 από τις 25 ερωτήσεις εξετάσεων. Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να γνωρίζει τις τρεις ερωτήσεις που του έδωσε ο εξεταστής.

3. Η παραγωγή αποτελείται από τέσσερα διαδοχικά στάδια, καθένα από τα οποία λειτουργεί εξοπλισμό για τον οποίο οι πιθανότητες αστοχίας εντός του επόμενου μήνα είναι, αντίστοιχα, p 1 , p 2 , p 3 και p 4 . Βρείτε την πιθανότητα σε ένα μήνα να μην υπάρξει διακοπή της παραγωγής λόγω βλάβης του εξοπλισμού.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Τα γεγονότα ονομάζονται ασυμβίβαστα εάν η εμφάνιση ενός από αυτά αποκλείει την εμφάνιση άλλων γεγονότων στην ίδια δοκιμή. Διαφορετικά, ονομάζονται αρθρώσεις.
Μια πλήρης ομάδα είναι ένα σύνολο γεγονότων, ο συνδυασμός των οποίων είναι ένα αξιόπιστο γεγονός.
Τα αντίθετα είναι δύο μοναδικά πιθανά γεγονότα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα.
Τα γεγονότα ονομάζονται εξαρτημένα αν η πιθανότητα εμφάνισης ενός από αυτά εξαρτάται από την εμφάνιση ή μη άλλων γεγονότων.
Τα γεγονότα ονομάζονται ανεξάρτητα εάν η πιθανότητα ενός από αυτά δεν εξαρτάται από την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση των άλλων.
Το θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων
P(A+B)=P(A)+P(B),
όπου τα Α, Β είναι ασύμβατα γεγονότα.

Θεώρημα πρόσθεσης για πιθανότητες κοινών γεγονότων
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), όπου τα Α και Β είναι κοινά γεγονότα.

Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων
,
όπου τα Α και Β είναι ανεξάρτητα γεγονότα.
Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων εξαρτημένων γεγονότων
P (AB) \u003d P (A) P A (B),
όπου P A (B) είναι η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β, υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το συμβάν Α. Τα Α και Β είναι εξαρτώμενα γεγονότα.

Εργασία 1.
Ο σκοπευτής εκτοξεύει δύο βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε κάθε βολή είναι 0,8. Φτιάξτε μια πλήρη ομάδα γεγονότων και βρείτε τις πιθανότητες τους. Λύση.
Δοκιμή - Εκτελούνται δύο βολές στον στόχο.
Εκδήλωση ΑΛΛΑ- απέτυχε και τις δύο φορές.
Εκδήλωση ΣΤΟ- χτύπησε μια φορά.
Εκδήλωση ΑΠΟ- το πήρα και τις δύο φορές.
.

Ελεγχος: Π(Α) +Π(Β) +Π(Γ) = 1.
Εργασία 2.
Σύμφωνα με την πρόβλεψη των μετεωρολόγων Р(βροχή)=0,4; P(άνεμος)=0,7; P(βροχή και άνεμος)=0,2. Ποια είναι η πιθανότητα να βρέξει ή να άνεμος; Λύση. Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανότητας και λόγω της συμβατότητας των προτεινόμενων γεγονότων, έχουμε:
P (βροχή ή άνεμος ή και τα δύο) \u003d P (βροχή) + P (άνεμος) - P (βροχή και άνεμος) \u003d 0,4 + 0,7-0,2 \u003d 0,9.
Εργασία 3.
Στο σταθμό αναχώρησης, υπάρχουν 8 παραγγελίες για την αποστολή εμπορευμάτων: πέντε - στο εσωτερικό και τρεις - για εξαγωγή. Ποια είναι η πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένες παραγγελίες να είναι για εγχώρια κατανάλωση; Λύση.Εκδήλωση ΑΛΛΑ- η πρώτη παραγγελία λαμβάνεται τυχαία - εντός της χώρας. Εκδήλωση ΣΤΟ- το δεύτερο προορίζεται επίσης για εγχώρια κατανάλωση. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα.Στη συνέχεια, με το θεώρημα για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων εξαρτημένων γεγονότων, έχουμε

Εργασία 4.
Από μια παρτίδα προϊόντων, ο έμπορος επιλέγει τυχαία προϊόντα της υψηλότερης ποιότητας. Η πιθανότητα ότι το επιλεγμένο είδος θα είναι του υψηλότερου βαθμού είναι 0,8. πρώτη τάξη - 0,7; δεύτερη τάξη - 0,5. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τρία τυχαία επιλεγμένα προϊόντα θα υπάρχουν:
α) μόνο δύο ποιότητες premium.
β) ο καθένας είναι διαφορετικός. Λύση.Αφήστε το γεγονός να είναι προϊόν της υψηλότερης βαθμολογίας. εκδήλωση - προϊόν της πρώτης τάξης. εκδήλωση - προϊόν δεύτερης κατηγορίας.
Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος. ; Οι εκδηλώσεις είναι ανεξάρτητες.
α) Εκδήλωση ΑΛΛΑ– μόνο δύο premium προϊόντα θα φαίνονται έτσι τότε

β) Γεγονός ΣΤΟ- και τα τρία προϊόντα είναι διαφορετικά - το εκφράζουμε ως εξής: , έπειτα .
Εργασία 5.
Οι πιθανότητες να χτυπηθεί ο στόχος κατά την βολή από τρία όπλα είναι οι εξής: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον ενός χτυπήματος (συμβάν ΑΛΛΑ) με ένα σάλβο από όλα τα όπλα. Λύση.Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος από καθένα από τα όπλα δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα της βολής από άλλα όπλα, επομένως τα υπό εξέταση γεγονότα (χτύπημα από το πρώτο όπλο), (χτύπημα από το δεύτερο όπλο) και (χτύπημα από το τρίτο όπλο) είναι συνολικά ανεξάρτητα.
Οι πιθανότητες γεγονότων αντίθετων από γεγονότα (δηλαδή πιθανότητες απώλειας) είναι αντίστοιχα ίσες με:

Επιθυμητή πιθανότητα
Εργασία 6.
Το τυπογραφείο διαθέτει 4 τυπογραφεία. Για κάθε μηχάνημα, η πιθανότητα να λειτουργεί αυτήν τη στιγμή είναι 0,9. Βρείτε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα μηχάνημα λειτουργεί αυτή τη στιγμή (γεγονός ΑΛΛΑ). Λύση.Τα συμβάντα "η μηχανή λειτουργεί" και "η μηχανή δεν λειτουργεί" (αυτή τη στιγμή) είναι αντίθετα, οπότε το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με ένα:
Ως εκ τούτου, η πιθανότητα ότι το μηχάνημα δεν λειτουργεί αυτήν τη στιγμή είναι ίση με
Η επιθυμητή πιθανότητα. Πρόβλημα 7. Υπάρχουν 6 εγχειρίδια για τη θεωρία των πιθανοτήτων στο αναγνωστήριο, εκ των οποίων τα τρία είναι δεμένα. Ο βιβλιοθηκάριος πήρε δύο σχολικά βιβλία τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα να είναι δεμένα και τα δύο σχολικά βιβλία.

Λύση.Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:
A1 - το πρώτο εγχειρίδιο που ελήφθη σε βιβλιοδεσία.
Το Α2 είναι το δεύτερο βιβλιοδετημένο βιβλίο.
Μια εκδήλωση που συνίσταται στο γεγονός ότι και τα δύο εγχειρίδια είναι δεμένα. Τα συμβάντα Α1 και Α2 είναι εξαρτημένα, αφού η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α2 εξαρτάται από την εμφάνιση του γεγονότος Α1. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων εξαρτημένων γεγονότων: .
Η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος A1 p(A1) σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας:
Ρ(Α1)=m/n=3/6=0,5.
Η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α2 προσδιορίζεται από την υπό όρους πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α2 υπό την προϋπόθεση της εμφάνισης του συμβάντος Α1, δηλ. (Α2)==0,4.
Τότε η επιθυμητή πιθανότητα να συμβεί το συμβάν:
Ρ(Α)=0,5*0,4=0,2.