Το πέρασμα ενός σωματιδίου μέσα από μια περιοχή στην οποία, σύμφωνα με τους νόμους της κλασικής μηχανικής, δεν μπορεί να διεισδύσει, μπορεί να εξηγηθεί από τη σχέση αβεβαιότητας. Αβεβαιότητα ορμής Arστο τμήμα Αχ =είναι Ar > -.Συνδέεται με αυτήν την εξάπλωση στις τιμές της ορμής, η κινητική

302

Τσεχική ενέργεια μπορεί να είναι

επαρκής για να ολοκληρωθεί

η ενέργεια του σωματιδίου αποδείχθηκε μεγαλύτερη από τη δυναμική ενέργεια.

Τα θεμέλια της θεωρίας των κόμβων σήραγγας τέθηκαν στα έργα του L.I.

Η διάνοιξη σήραγγας μέσω ενός φραγμού δυναμικού βασίζεται σε πολλά φαινόμενα στη φυσική στερεάς κατάστασης (για παράδειγμα, φαινόμενα σε ένα στρώμα επαφής στη διεπαφή μεταξύ δύο ημιαγωγών), ατομική και πυρηνική φυσική (για παράδειγμα, διάσπαση, θερμοπυρηνικές αντιδράσεις).

§ 222. Γραμμικός αρμονικός ταλαντωτής

Στην κβαντομηχανική

Γραμμικός αρμονικός ταλαντωτής- ένα σύστημα που εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση υπό τη δράση μιας οιονεί ελαστικής δύναμης είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιείται σε πολλά προβλήματα της κλασικής και κβαντικής θεωρίας (βλ. § 142). Τα ελατήρια, τα φυσικά και τα μαθηματικά εκκρεμή είναι παραδείγματα κλασικών αρμονικών ταλαντωτών.

Δυνητική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή [βλ. (141,5)] είναι

Πού είναι η φυσική συχνότητα του ταλαντωτή; t -σωματιδιακή μάζα.

Η εξάρτηση (222.1) έχει τη μορφή παραβολής (Εικ. 303), δηλ. Το «δυναμικό πηγάδι» σε αυτή την περίπτωση είναι παραβολικό.

Το πλάτος των μικρών ταλαντώσεων ενός κλασικού ταλαντωτή καθορίζεται από τη συνολική του ενέργεια μι(βλ. εικ. 17).

Dinger, λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (222.1) για τη δυναμική ενέργεια. Τότε οι στατικές καταστάσεις του κβαντικού ταλαντωτή καθορίζονται από την εξίσωση Schrödinger της μορφής

= 0, (222.2)

όπου E -η συνολική ενέργεια του ταλαντωτή. Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων

Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση (222.2) λύνεται μόνο για τις ιδιοτιμές ενέργειας

(222.3)

Ο τύπος (222.3) δείχνει ότι η ενέργεια ενός κβαντικού ταλαντωτή μπορεί

έχουν μόνο διακριτές τιμές,δηλ. κβαντοποιείται.Η ενέργεια περιορίζεται από κάτω από μια μη μηδενική τιμή, όπως για ένα ορθογώνιο «λάκκο» με απείρως ψηλά «τοιχώματα» (βλ. § 220), με μια ελάχιστη ενεργειακή τιμή = Σου-

η ύπαρξη ελάχιστης ενέργειας - λέγεται ενέργεια μηδενικού σημείου - είναι τυπικό για τα κβαντικά συστήματα και είναι άμεση συνέπεια της σχέσης αβεβαιότητας.

Η παρουσία μηδενικών ταλαντώσεων σημαίνει ότι το σωματίδιο δεν μπορεί να βρίσκεται στο κάτω μέρος του «δυνητικού φρεατίου» (ανεξάρτητα από το σχήμα του φρέατος). Πράγματι, η «πτώση στον πάτο του λάκκου» συνδέεται με την εξαφάνιση της ορμής του σωματιδίου και, ταυτόχρονα, την αβεβαιότητά του. Τότε η αβεβαιότητα της συντεταγμένης γίνεται αυθαίρετα μεγάλη, η οποία, με τη σειρά της, έρχεται σε αντίθεση με την παρουσία του σωματιδίου σε

«δυνητική τρύπα».

Το συμπέρασμα σχετικά με την παρουσία της ενέργειας των ταλαντώσεων μηδενικού σημείου ενός κβαντικού ταλαντωτή έρχεται σε αντίθεση με τα συμπεράσματα της κλασικής θεωρίας, σύμφωνα με την οποία η μικρότερη ενέργεια που μπορεί να έχει ένας ταλαντωτής είναι μηδέν (αντιστοιχεί σε ένα σωματίδιο σε ηρεμία στη θέση ισορροπίας) . Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα συμπεράσματα της κλασικής φυσικής στο Τ= 0, η ενέργεια της δονητικής κίνησης των ατόμων του κρυστάλλου θα έπρεπε να έχει εξαφανιστεί. Κατά συνέπεια, η σκέδαση του φωτός λόγω των δονήσεων των ατόμων θα πρέπει επίσης να εξαφανιστεί. Ωστόσο, το πείραμα δείχνει ότι η ένταση της σκέδασης φωτός με τη μείωση της θερμοκρασίας δεν είναι ίση με το μηδέν, αλλά τείνει σε μια ορισμένη οριακή τιμή, που δείχνει ότι σε Τ 0 δονήσεις ατόμων σε έναν κρύσταλλο δεν σταματούν. Αυτή είναι μια επιβεβαίωση της παρουσίας μηδενικών διακυμάνσεων.

Από τον τύπο (222.3) προκύπτει επίσης ότι τα επίπεδα ενέργειας ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους (βλ. Εικ. 303), δηλαδή, η απόσταση μεταξύ των γειτονικών επιπέδων ενέργειας είναι ίση με την ελάχιστη ενεργειακή τιμή =

Μια αυστηρή λύση του προβλήματος του κβαντικού ταλαντωτή οδηγεί σε μια άλλη σημαντική διαφορά από την κλασική.

Η μορφή της κυματικής εξίσωσης ενός φυσικού συστήματος καθορίζεται από το Hamiltonian του, το οποίο, λόγω αυτού, αποκτά θεμελιώδη σημασία σε ολόκληρο τον μαθηματικό μηχανισμό της κβαντικής μηχανικής.

Η μορφή του Hamiltonian ενός ελεύθερου σωματιδίου έχει ήδη καθιερωθεί από τις γενικές απαιτήσεις που σχετίζονται με την ομοιογένεια και την ισοτροπία του χώρου και την αρχή της σχετικότητας του Galileo. Στην κλασική μηχανική, αυτές οι απαιτήσεις οδηγούν σε μια τετραγωνική εξάρτηση της ενέργειας ενός σωματιδίου από την ορμή του: όπου η σταθερά ονομάζεται μάζα του σωματιδίου (βλ. I, § 4). Στην κβαντομηχανική, οι ίδιες απαιτήσεις οδηγούν στην ίδια σχέση για τις ιδιοτιμές της ενέργειας και της ορμής - ταυτόχρονα μετρήσιμα διατηρημένα (για ένα ελεύθερο σωματίδιο) ποσότητες.

Αλλά για να ισχύει η σχέση για όλες τις ιδιοτιμές ενέργειας και ορμής, πρέπει να ισχύει και για τους τελεστές τους:

Αντικαθιστώντας το (15.2) εδώ, λαμβάνουμε το Hamiltonian ενός ελεύθερα κινούμενου σωματιδίου στη μορφή

πού είναι ο τελεστής Laplace.

Η Χαμιλτονιανή ενός συστήματος μη αλληλεπιδρώντων σωματιδίων είναι ίση με το άθροισμα των Χαμιλτονιανών καθενός από αυτά:

όπου ο δείκτης a αριθμεί τα σωματίδια. είναι ο τελεστής Laplace, στον οποίο γίνεται διαφοροποίηση ως προς τις συντεταγμένες του σωματιδίου.

Στην κλασική (μη σχετικιστική) μηχανική, η αλληλεπίδραση των σωματιδίων περιγράφεται με έναν πρόσθετο όρο στη συνάρτηση Hamilton - τη δυναμική ενέργεια της αλληλεπίδρασης, η οποία είναι συνάρτηση των συντεταγμένων των σωματιδίων.

Προσθέτοντας την ίδια συνάρτηση στο Hamiltonian του συστήματος, περιγράφεται επίσης η αλληλεπίδραση των σωματιδίων στην κβαντομηχανική:

ο πρώτος όρος μπορεί να θεωρηθεί ως ο τελεστής κινητικής ενέργειας και ο δεύτερος ως ο δυνητικός τελεστής ενέργειας. Συγκεκριμένα, η Χαμιλτονιανή για ένα σωματίδιο σε ένα εξωτερικό πεδίο είναι

όπου U(x, y, z) είναι η δυναμική ενέργεια ενός σωματιδίου σε ένα εξωτερικό πεδίο.

Η αντικατάσταση των παραστάσεων (17.2)-(17.5) στη γενική εξίσωση (8.1) δίνει τις κυματικές εξισώσεις για τα αντίστοιχα συστήματα. Γράφουμε εδώ την εξίσωση κύματος για ένα σωματίδιο σε εξωτερικό πεδίο

Η εξίσωση (10.2), που καθορίζει τις στατικές καταστάσεις, παίρνει τη μορφή

Οι εξισώσεις (17.6) και (17.7) καθιερώθηκαν από τον Schrödinger το 1926 και ονομάζονται εξισώσεις Schrödinger.

Για ένα ελεύθερο σωματίδιο, η εξίσωση (17.7) έχει τη μορφή

Αυτή η εξίσωση έχει λύσεις πεπερασμένες σε ολόκληρο τον χώρο για οποιαδήποτε θετική τιμή της ενέργειας Ε. Για καταστάσεις με συγκεκριμένες κατευθύνσεις κίνησης, αυτές οι λύσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή ορμής και . Οι συνολικές (χρονο-εξαρτώμενες) κυματοσυναρτήσεις τέτοιων στατικών καταστάσεων έχουν τη μορφή

(17,9)

Κάθε τέτοια συνάρτηση - ένα επίπεδο κύμα - περιγράφει μια κατάσταση στην οποία το σωματίδιο έχει μια ορισμένη ενέργεια Ε και ορμή. Η συχνότητα αυτού του κύματος είναι και το διάνυσμα κύματός του που αντιστοιχεί στο μήκος κύματος ονομάζεται μήκος κύματος de Broglie του σωματιδίου.

Έτσι, το ενεργειακό φάσμα ενός ελεύθερα κινούμενου σωματιδίου αποδεικνύεται συνεχές, εκτεινόμενο από το μηδέν σε καθεμία από αυτές τις ιδιοτιμές (με εξαίρεση μόνο η τιμή είναι εκφυλισμένη και ο εκφυλισμός είναι άπειρης πολλαπλότητας. Πράγματι, για κάθε μη μηδενική τιμή του Ε αντιστοιχεί ένα άπειρο σύνολο ιδιοσυναρτήσεων (17, 9), οι οποίες διαφέρουν σε διανυσματικές κατευθύνσεις για την ίδια απόλυτη τιμή.

Ας παρακολουθήσουμε πώς συμβαίνει η μετάβαση ορίου στην κλασική μηχανική στην εξίσωση Schrödinger, θεωρώντας για απλότητα μόνο ένα σωματίδιο σε ένα εξωτερικό πεδίο. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Schrödinger (17.6) την οριακή έκφραση (6.1) της κυματικής συνάρτησης, λαμβάνουμε, αφού διαφοροποιήσουμε,

Αυτή η εξίσωση έχει καθαρά πραγματικούς και καθαρά φανταστικούς όρους (υπενθυμίζουμε ότι το S και το a είναι πραγματικοί). εξισώνοντας και τα δύο χωριστά με μηδέν, παίρνουμε δύο εξισώσεις:

Παραβλέποντας τον όρο που περιέχει στην πρώτη από αυτές τις εξισώσεις, λαμβάνουμε

(17,10)

δηλ., όπως θα έπρεπε, η κλασική εξίσωση Hamilton-Jacobi για τη δράση του σωματιδίου S. Παρεμπιπτόντως, βλέπουμε ότι για το , η κλασική μηχανική ισχύει μέχρι τις τιμές της πρώτης (και όχι μηδενικής) τάξης μέχρι και συμπεριλαμβανομένων.

Η δεύτερη από τις εξισώσεις που προέκυψαν μετά τον πολλαπλασιασμό με το 2α μπορεί να ξαναγραφτεί στη μορφή

Αυτή η εξίσωση έχει μια σαφή φυσική σημασία: υπάρχει μια πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης ενός σωματιδίου σε ένα ή άλλο μέρος στο χώρο, υπάρχει μια κλασική ταχύτητα v του σωματιδίου. Επομένως, η εξίσωση (17.11) δεν είναι παρά μια εξίσωση συνέχειας που δείχνει ότι η πυκνότητα πιθανότητας «κινείται» σύμφωνα με τους νόμους της κλασικής μηχανικής με την κλασική ταχύτητα v σε κάθε σημείο.

Μια εργασία

Βρείτε τον νόμο μετασχηματισμού της κυματικής συνάρτησης κάτω από τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου.

Λύση. Ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό πάνω από την κυματική συνάρτηση της ελεύθερης κίνησης ενός σωματιδίου (επίπεδο κύμα). Δεδομένου ότι οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί ως προς τα επίπεδα κύματα, ο νόμος μετασχηματισμού θα βρεθεί και για μια αυθαίρετη συνάρτηση κύματος.

Επίπεδα κύματα στα πλαίσια αναφοράς Κ και Κ" (το Κ" κινείται σε σχέση με το Κ με ταχύτητα V):

και η ροπή και οι ενέργειες του σωματιδίου και στα δύο συστήματα σχετίζονται μεταξύ τους με τους τύπους

(βλ. I, § 8), Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις σε παίρνουμε

Σε αυτή τη μορφή, αυτός ο τύπος δεν περιέχει πλέον ποσότητες που χαρακτηρίζουν την ελεύθερη κίνηση ενός σωματιδίου και καθιερώνει τον επιθυμητό γενικό νόμο για τον μετασχηματισμό της κυματικής συνάρτησης μιας αυθαίρετης κατάστασης του σωματιδίου. Για ένα σύστημα σωματιδίων, ο εκθέτης στο (1) πρέπει να περιλαμβάνει το άθροισμα των σωματιδίων.

Γενική εξίσωση Schrödinger. Εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις

Η στατιστική ερμηνεία των κυμάτων de Broglie (βλ. § 216) και η σχέση αβεβαιότητας Heisenberg (βλ. 5 215) οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση της κίνησης στην κβαντομηχανική, που περιγράφει την κίνηση των μικροσωματιδίων σε διάφορα πεδία δύναμης, θα πρέπει να είναι μια εξίσωση από στα οποία τα παρατηρήσιμα αντικείμενα βιώνουν τις κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων. Η βασική εξίσωση πρέπει να είναι μια εξίσωση για την κυματοσυνάρτηση Ψ (x, y, z, t), αφού είναι ακριβώς αυτή ή, ακριβέστερα, η ποσότητα |Ψ| 2, καθορίζει την πιθανότητα το σωματίδιο να παραμείνει τη στιγμή t στον όγκο dV, δηλαδή στην περιοχή με συντεταγμένες x και x+dx, y και y+dy, z και z+dz. Εφόσον η επιθυμητή εξίσωση πρέπει να λαμβάνει υπόψη τις κυματικές ιδιότητες των σωματιδίων, πρέπει να είναι μια κυματική εξίσωση, παρόμοια με την εξίσωση που περιγράφει τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.

Η βασική εξίσωση της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής διατυπώθηκε το 1926 από τον E. Schrödinger. Η εξίσωση Schrödinger, όπως όλες οι βασικές εξισώσεις της φυσικής (για παράδειγμα, οι εξισώσεις του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική και οι εξισώσεις του Maxwell για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο), δεν προέρχεται, αλλά υποτίθεται. Η ορθότητα αυτής της εξίσωσης επιβεβαιώνεται από τη συμφωνία με την εμπειρία των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται με τη βοήθειά της, η οποία, με τη σειρά της, της δίνει τον χαρακτήρα ενός νόμου της φύσης. Η εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή

όπου h=h/(2π), m είναι η μάζα του σωματιδίου, Δ είναι ο τελεστής Laplace ( ),

i - φανταστική μονάδα, U (x, y, z, t) - δυναμική συνάρτηση ενός σωματιδίου στο πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται, Ψ (x, y, z, t ) - την επιθυμητή κυματική συνάρτηση του σωματιδίου.

Η εξίσωση (217.1) ισχύει για κάθε σωματίδιο (με σπιν ίσο με 0, βλέπε § 225) που κινείται με μικρή (σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός) ταχύτητα, δηλ. με ταχύτητα υ.<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

πρέπει να είναι συνεχής. 3) η συνάρτηση |Ψ| 2 πρέπει να είναι ενσωματώσιμο. αυτή η συνθήκη στις απλούστερες περιπτώσεις ανάγεται στην συνθήκη της ομαλοποίησης των πιθανοτήτων (216.3).

Για να φτάσουμε στην εξίσωση Schrödinger, ας εξετάσουμε ένα ελεύθερα κινούμενο σωματίδιο, το οποίο, σύμφωνα με την ιδέα του de Broglie, συνδέεται με ένα επίπεδο κύμα. Για απλότητα, εξετάζουμε τη μονοδιάστατη περίπτωση. Η εξίσωση για ένα επίπεδο κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x είναι (βλ. § 154)

Ή σε σύνθετη σημειογραφία . Επομένως, το επίπεδο κύμα του de Broglie έχει τη μορφή

(217.2)

(λαμβάνοντας υπόψη ότι ω = E/h, k=p/h). Στην κβαντομηχανική, ο εκθέτης λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο, αλλά αφού μόνο |Ψ| 2 , τότε αυτό (βλέπε (217.2)) δεν είναι ουσιαστικό. Επειτα

,

; (217.3)

Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ ενέργειας E και ορμής p (E = p 2 /(2m)) και αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (217.3), λαμβάνουμε τη διαφορική εξίσωση

που συμπίπτει με την εξίσωση (217.1) για την περίπτωση U = 0 (θεωρήσαμε ελεύθερο σωματίδιο).

Εάν ένα σωματίδιο κινείται σε ένα πεδίο δύναμης που χαρακτηρίζεται από δυναμική ενέργεια U, τότε η συνολική ενέργεια Ε είναι το άθροισμα της κινητικής και της δυνητικής ενέργειας. Εκτελώντας παρόμοιο συλλογισμό χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ E και p (για αυτήν την περίπτωση, p 2 / (2m) = E - U), περιστρέφουμε σε μια διαφορική εξίσωση που συμπίπτει με το (217.1).

Ο παραπάνω συλλογισμός δεν πρέπει να ληφθεί ως παραγωγή της εξίσωσης Schrödinger. Εξηγούν μόνο πώς μπορεί να επιτευχθεί αυτή η εξίσωση. Η απόδειξη της ορθότητας της εξίσωσης Schrödinger είναι η συμφωνία με την εμπειρία των συμπερασμάτων στα οποία οδηγεί.

Η εξίσωση (217.1) είναι η γενική εξίσωση Schrödinger. Ονομάζεται επίσης χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger. Για πολλά φυσικά φαινόμενα που συμβαίνουν στον μικρόκοσμο, η εξίσωση (217.1) μπορεί να απλοποιηθεί εξαλείφοντας την εξάρτηση του Ψ από το χρόνο, με άλλα λόγια, να βρεθεί η εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις - μια κατάσταση με σταθερές τιμές ενέργειας. Αυτό είναι δυνατό εάν το πεδίο δύναμης στο οποίο κινείται το σωματίδιο είναι ακίνητο, δηλ. η συνάρτηση U = U(x, y, z ) δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο και έχει την έννοια της δυνητικής ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή, η λύση της εξίσωσης Schrödinger μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων, η μία από τις οποίες είναι συνάρτηση μόνο συντεταγμένων, η άλλη είναι μόνο συνάρτηση του χρόνου και η εξάρτηση από το χρόνο εκφράζεται με τον παράγοντα

,

όπου Ε - η συνολική ενέργεια του σωματιδίου, η οποία είναι σταθερή στην περίπτωση ακίνητου πεδίου. Αντικαθιστώντας το (217.4) με το (217.1), παίρνουμε

οπότε, αφού διαιρέσουμε με τον κοινό παράγοντα e – i (E/ h) t και τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς, καταλήγουμε στην εξίσωση που ορίζει τη συνάρτηση ψ:

(217.5)

Η εξίσωση (217.5) ονομάζεται εξίσωση Schrödinger για στατικές καταστάσεις.

Αυτή η εξίσωση περιλαμβάνει τη συνολική ενέργεια Ε του σωματιδίου ως παράμετρο. Στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αποδεικνύεται ότι τέτοιες εξισώσεις έχουν άπειρο αριθμό λύσεων, από τις οποίες επιλέγονται λύσεις που έχουν φυσική σημασία επιβάλλοντας οριακές συνθήκες. Για την εξίσωση Schrödinger, τέτοιες συνθήκες είναι οι συνθήκες κανονικότητας των κυματοσυναρτήσεων: οι κυματοσυναρτήσεις πρέπει να είναι πεπερασμένες, μονής τιμής και συνεχείς μαζί με τις πρώτες τους παραγώγους. Έτσι, μόνο λύσεις που εκφράζονται με κανονικές συναρτήσεις ψ . Αλλά οι κανονικές λύσεις δεν λαμβάνουν χώρα για καμία τιμή της παραμέτρου Ε, αλλά μόνο για ένα συγκεκριμένο σύνολο από αυτές, το οποίο είναι χαρακτηριστικό του δεδομένου προβλήματος. Αυτές οι ενεργειακές τιμές ονομάζονται εγγενείς. Οι λύσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές ενέργειας ονομάζονται ιδιοσυναρτήσεις. Οι ιδιοτιμές E μπορούν να σχηματίσουν είτε συνεχή είτε διακριτή σειρά. Στην πρώτη περίπτωση, μιλάμε για ένα συνεχές ή συνεχές φάσμα, στη δεύτερη για ένα διακριτό φάσμα.

1. Εισαγωγή

Η κβαντική θεωρία γεννήθηκε το 1900, όταν ο Max Planck πρότεινε ένα θεωρητικό συμπέρασμα σχετικά με τη σχέση μεταξύ της θερμοκρασίας ενός σώματος και της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από αυτό το σώμα - ένα συμπέρασμα που για μεγάλο χρονικό διάστημα διέφευγε άλλους επιστήμονες. Όπως και οι προκάτοχοί του, ο Planck πρότεινε ότι η ατομική Οι ταλαντωτές εκπέμπουν ακτινοβολία, αλλά ταυτόχρονα πίστευε ότι η ενέργεια των ταλαντωτών (και, κατά συνέπεια, η ακτινοβολία που εκπέμπουν) υπάρχει με τη μορφή μικρών διακριτών τμημάτων, τα οποία ο Αϊνστάιν ονόμασε κβάντα. Η ενέργεια κάθε κβαντικού είναι ανάλογη της συχνότητας ακτινοβολίας. Αν και η φόρμουλα του Πλανκ έτυχε ευρέως θαυμασμού, οι υποθέσεις που έκανε παρέμεναν ακατανόητες, καθώς έρχονταν σε αντίθεση με την κλασική φυσική.

Το 1905, ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε την κβαντική θεωρία για να εξηγήσει ορισμένες πτυχές του φωτοηλεκτρικού φαινομένου - της εκπομπής ηλεκτρονίων από μια μεταλλική επιφάνεια που εκτίθεται στην υπεριώδη ακτινοβολία. Στην πορεία, ο Αϊνστάιν παρατήρησε ένα φαινομενικά παράδοξο: το φως, που ήταν γνωστό εδώ και δύο αιώνες ότι ταξιδεύει σε συνεχή κύματα, μπορούσε υπό ορισμένες συνθήκες να συμπεριφέρεται σαν ένα ρεύμα σωματιδίων.

Περίπου οκτώ χρόνια αργότερα, ο Niels Bohr επέκτεινε την κβαντική θεωρία στο άτομο και εξήγησε τις συχνότητες των κυμάτων που εκπέμπονται από άτομα που διεγείρονται σε μια φλόγα ή σε ένα ηλεκτρικό φορτίο. Ο Ernest Rutherford έδειξε ότι η μάζα ενός ατόμου είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου συγκεντρωμένη στον κεντρικό πυρήνα, ο οποίος φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο και περιβάλλεται σε σχετικά μεγάλες αποστάσεις από ηλεκτρόνια που φέρουν αρνητικό φορτίο, με αποτέλεσμα το άτομο ως σύνολο να είναι ηλεκτρικά ουδέτερο. Ο Bohr πρότεινε ότι τα ηλεκτρόνια μπορούν να βρίσκονται μόνο σε ορισμένες διακριτές τροχιές που αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα ενέργειας και ότι το «άλμα» ενός ηλεκτρονίου από τη μια τροχιά στην άλλη, με χαμηλότερη ενέργεια, συνοδεύεται από την εκπομπή ενός φωτονίου, του οποίου η ενέργεια είναι ίση στη διαφορά ενέργειας μεταξύ των δύο τροχιών. Η συχνότητα, σύμφωνα με τη θεωρία του Planck, είναι ανάλογη με την ενέργεια του φωτονίου. Έτσι, το μοντέλο Bohr του ατόμου καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των διαφόρων φασματικών γραμμών χαρακτηριστικών μιας ουσίας που εκπέμπει ακτινοβολία και της ατομικής δομής. Παρά την αρχική επιτυχία, το μοντέλο του ατόμου του Bohr σύντομα απαιτούσε τροποποιήσεις για την εξάλειψη των διαφορών μεταξύ θεωρίας και πειράματος. Επιπλέον, η κβαντική θεωρία σε εκείνο το στάδιο δεν παρείχε ακόμη μια συστηματική διαδικασία για την επίλυση πολλών κβαντικών προβλημάτων.

Ένα νέο ουσιαστικό χαρακτηριστικό της κβαντικής θεωρίας εμφανίστηκε το 1924, όταν ο de Broglie πρότεινε μια ριζική υπόθεση σχετικά με την κυματική φύση της ύλης: εάν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως το φως, μερικές φορές συμπεριφέρονται σαν σωματίδια (όπως έδειξε ο Αϊνστάιν), τότε τα σωματίδια, όπως Το ηλεκτρόνιο, υπό ορισμένες συνθήκες, μπορεί να συμπεριφέρεται σαν κύματα. Στη διατύπωση του de Broglie, η συχνότητα που αντιστοιχεί σε ένα σωματίδιο σχετίζεται με την ενέργειά του, όπως στην περίπτωση ενός φωτονίου (σωματίδιο φωτός), αλλά η μαθηματική έκφραση του de Broglie ήταν μια ισοδύναμη σχέση μεταξύ του μήκους κύματος, της μάζας του σωματιδίου και του ταχύτητα (ορμή). Η ύπαρξη ηλεκτρονικών κυμάτων αποδείχθηκε πειραματικά το 1927 από τους Clinton Davisson και Lester Germer στις Ηνωμένες Πολιτείες και από τον John Paget Thomson στην Αγγλία.

Εντυπωσιασμένος από τα σχόλια του Αϊνστάιν στις ιδέες του de Broglie, ο Schrödinger προσπάθησε να εφαρμόσει την κυματική περιγραφή των ηλεκτρονίων στην κατασκευή μιας συνεπούς κβαντικής θεωρίας, που δεν σχετίζεται με το ανεπαρκές μοντέλο του ατόμου του Bohr. Κατά μία έννοια, σκόπευε να φέρει την κβαντική θεωρία πιο κοντά στην κλασική φυσική, η οποία έχει συσσωρεύσει πολλά παραδείγματα της μαθηματικής περιγραφής των κυμάτων. Η πρώτη προσπάθεια, που έγινε από τον Σρέντινγκερ το 1925, κατέληξε σε αποτυχία.

Οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων στη θεωρία του Schrödinger II ήταν κοντά στην ταχύτητα του φωτός, κάτι που απαιτούσε τη συμπερίληψη της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας του Αϊνστάιν σε αυτήν και λαμβάνοντας υπόψη τη σημαντική αύξηση της μάζας του ηλεκτρονίου που είχε προβλέψει σε πολύ υψηλές ταχύτητες.

Ένας από τους λόγους για την αποτυχία του Σρέντινγκερ ήταν ότι δεν έλαβε υπόψη την παρουσία μιας συγκεκριμένης ιδιότητας του ηλεκτρονίου, που τώρα είναι γνωστή ως σπιν (η περιστροφή ενός ηλεκτρονίου γύρω από τον άξονά του, σαν κορυφή), η οποία εκείνη την εποχή ήταν ελάχιστα γνωστό.

Η επόμενη προσπάθεια έγινε από τον Schrödinger το 1926. Αυτή τη φορά, οι ταχύτητες των ηλεκτρονίων επιλέχθηκαν από τον ίδιο ώστε να είναι τόσο μικρές που η ανάγκη για εμπλοκή της θεωρίας της σχετικότητας εξαφανίστηκε από μόνη της.

Η δεύτερη προσπάθεια στέφθηκε με την εξαγωγή της κυματικής εξίσωσης Schrödinger, η οποία δίνει μια μαθηματική περιγραφή της ύλης ως προς την κυματική συνάρτηση. Ο Schrödinger ονόμασε τη θεωρία του κυματομηχανική. Οι λύσεις της εξίσωσης κυμάτων ήταν σε συμφωνία με τις πειραματικές παρατηρήσεις και είχαν βαθιά επίδραση στην μετέπειτα ανάπτυξη της κβαντικής θεωρίας.

Λίγο πριν από αυτό, ο Werner Heisenberg, ο Max Born και ο Pascual Jordan δημοσίευσαν μια άλλη εκδοχή της κβαντικής θεωρίας, που ονομάζεται μηχανική μήτρας, η οποία περιέγραφε κβαντικά φαινόμενα χρησιμοποιώντας πίνακες παρατηρήσιμων στοιχείων. Αυτοί οι πίνακες είναι μαθηματικά σύνολα ταξινομημένα με συγκεκριμένο τρόπο, που ονομάζονται πίνακες, στα οποία, σύμφωνα με γνωστούς κανόνες, μπορούν να εκτελεστούν διάφορες μαθηματικές πράξεις. Η μηχανική μήτρας κατέστησε επίσης δυνατή την επίτευξη συμφωνίας με τα παρατηρούμενα πειραματικά δεδομένα, αλλά σε αντίθεση με την κυματομηχανική, δεν περιείχε συγκεκριμένες αναφορές σε χωρικές συντεταγμένες ή χρόνο. Ο Χάιζενμπεργκ επέμεινε ιδιαίτερα στην εγκατάλειψη οποιωνδήποτε απλών οπτικών αναπαραστάσεων ή μοντέλων προς όφελος μόνο εκείνων των ιδιοτήτων που θα μπορούσαν να προσδιοριστούν από το πείραμα.

Ο Schrödinger έδειξε ότι η κυματομηχανική και η μηχανική πινάκων είναι μαθηματικά ισοδύναμες. Τώρα συλλογικά γνωστές ως κβαντική μηχανική, αυτές οι δύο θεωρίες παρείχαν την πολυαναμενόμενη κοινή βάση για την περιγραφή των κβαντικών φαινομένων. Πολλοί φυσικοί προτιμούσαν την κυματομηχανική, επειδή η μαθηματική της συσκευή ήταν πιο οικεία σε αυτούς και οι έννοιές της έμοιαζαν πιο «φυσικές». Οι πράξεις σε πίνακες είναι πιο περίπλοκες.

Συνάρτηση Ψ. Ομαλοποίηση πιθανοτήτων.

Η ανακάλυψη των κυματικών ιδιοτήτων των μικροσωματιδίων έδειξε ότι η κλασική μηχανική δεν μπορεί να δώσει μια σωστή περιγραφή της συμπεριφοράς τέτοιων σωματιδίων. Υπήρχε ανάγκη να δημιουργηθεί η μηχανική των μικροσωματιδίων, η οποία θα λάμβανε επίσης υπόψη τις κυματικές τους ιδιότητες. Η νέα μηχανική που δημιούργησαν οι Schrödinger, Heisenberg, Dirac και άλλοι ονομάστηκε κυματική ή κβαντική μηχανική.

Αεροπλάνο κύμα De Broglie

είναι ένας πολύ ειδικός σχηματισμός κύματος που αντιστοιχεί στην ελεύθερη ομοιόμορφη κίνηση ενός σωματιδίου προς μια ορισμένη κατεύθυνση και με μια ορισμένη ορμή. Αλλά ένα σωματίδιο, ακόμη και σε ελεύθερο χώρο και ειδικά σε πεδία δύναμης, μπορεί να εκτελέσει άλλες κινήσεις που περιγράφονται από πιο περίπλοκες κυματικές συναρτήσεις. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μια πλήρης περιγραφή της κατάστασης ενός σωματιδίου στην κβαντομηχανική δεν δίνεται από ένα κύμα επίπεδο de Broglie, αλλά από κάποια πιο περίπλοκη συνάρτηση

Μέσω της κυματικής συνάρτησης προσδιορίζεται η σχετική πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Σε αυτό το στάδιο, όταν συζητούνται μόνο οι λόγοι πιθανότητας, η συνάρτηση κύματος ορίζεται θεμελιωδώς μέχρι έναν αυθαίρετο σταθερό παράγοντα. Εάν σε όλα τα σημεία του χώρου η κυματική συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο σταθερό (γενικά μιλώντας, μιγαδικό) αριθμό που είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε θα ληφθεί μια νέα κυματοσυνάρτηση που περιγράφει ακριβώς την ίδια κατάσταση. Δεν έχει νόημα να πούμε ότι το Ψ είναι μηδέν σε όλα τα σημεία του χώρου, επειδή μια τέτοια «κυματική συνάρτηση» δεν επιτρέπει ποτέ να συμπεράνουμε σχετικά με τη σχετική πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε διαφορετικά σημεία του χώρου. Αλλά η αβεβαιότητα στον ορισμό του Ψ μπορεί να περιοριστεί σημαντικά μεταβαίνοντας από τη σχετική στην απόλυτη πιθανότητα. Ας διαχειριστούμε τον απροσδιόριστο παράγοντα στη συνάρτηση Ψ έτσι ώστε η τιμή |Ψ|2dV να δίνει την απόλυτη πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου στο στοιχείο όγκου χώρου dV. Τότε |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* είναι το μιγαδικό συζυγές του Ψ) θα έχει την έννοια της πυκνότητας πιθανότητας που θα πρέπει να αναμένεται όταν προσπαθούμε να ανιχνεύσουμε ένα σωματίδιο στο διάστημα. Στην περίπτωση αυτή, το Ψ θα εξακολουθήσει να προσδιορίζεται μέχρι έναν αυθαίρετο σταθερό μιγαδικό συντελεστή, του οποίου το μέτρο όμως είναι ίσο με ένα. Με αυτόν τον ορισμό, η συνθήκη κανονικοποίησης πρέπει να ικανοποιείται:

όπου το ολοκλήρωμα καταλαμβάνεται σε ολόκληρο τον άπειρο χώρο. Σημαίνει ότι σε όλο το διάστημα το σωματίδιο θα ανιχνευθεί με βεβαιότητα. Αν το ολοκλήρωμα του |Ψ|2 ληφθεί πάνω από έναν ορισμένο όγκο V1, υπολογίζουμε την πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο στο χώρο του όγκου V1.

Η κανονικοποίηση (2) μπορεί να είναι αδύνατη εάν το ολοκλήρωμα (2) αποκλίνει. Αυτό θα συμβεί, για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός κύματος επιπέδου de Broglie, όταν η πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου είναι η ίδια σε όλα τα σημεία του χώρου. Αλλά τέτοιες περιπτώσεις θα πρέπει να θεωρηθούν ως εξιδανικεύσεις μιας πραγματικής κατάστασης στην οποία το σωματίδιο δεν πηγαίνει στο άπειρο, αλλά αναγκάζεται να παραμείνει σε μια περιορισμένη περιοχή του χώρου. Τότε η ομαλοποίηση δεν είναι δύσκολη.

Άρα, η άμεση φυσική σημασία δεν συνδέεται με την ίδια τη συνάρτηση Ψ, αλλά με το μέτρο της Ψ*Ψ. Γιατί, λοιπόν, στην κβαντική θεωρία λειτουργούν με τις κυματοσυναρτήσεις Ψ, και όχι απευθείας με τα πειραματικά παρατηρούμενα μεγέθη Ψ*Ψ; Αυτό είναι απαραίτητο για την ερμηνεία των κυματικών ιδιοτήτων της ύλης - παρεμβολή και περίθλαση. Εδώ η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια όπως σε κάθε κυματική θεωρία. Αποδέχεται (τουλάχιστον στη γραμμική προσέγγιση) την εγκυρότητα της αρχής της υπέρθεσης των ίδιων των κυματικών πεδίων και όχι των εντάσεων τους και έτσι επιτυγχάνει την ένταξη στη θεωρία των φαινομένων κυματικής παρεμβολής και περίθλασης. Έτσι, στην κβαντομηχανική, η αρχή της υπέρθεσης των κυματοσυναρτήσεων γίνεται αποδεκτή ως ένα από τα κύρια αξιώματα, η οποία συνίσταται στα ακόλουθα.