Το άθροισμα των πρώτων 100 αριθμών μιας αριθμητικής προόδου. Ο τύπος για το άθροισμα των μελών μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου

Σε αυτό το μάθημα, θα αντλήσουμε τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου και θα λύσουμε ορισμένα προβλήματα χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο.

Θέμα: Προόδους

Μάθημα: Ο τύπος για το άθροισμα των μελών μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου

1. Εισαγωγή

Εξετάστε το πρόβλημα: βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 συμπεριλαμβανομένων.

Δόθηκαν: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Εύρεση: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Λύση: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Απάντηση: 5050.

Η ακολουθία των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 είναι αριθμητική πρόοδος: a1=1, d=1.

Βρήκαμε το άθροισμα των πρώτων εκατό φυσικών αριθμών, δηλαδή το άθροισμα του πρώτου n μέλη μιας αριθμητικής προόδου.

Η εξεταζόμενη λύση προτάθηκε από τον μεγάλο μαθηματικό Carl Friedrich Gauss, ο οποίος έζησε τον 19ο αιώνα. Το πρόβλημα το έλυσε ο ίδιος σε ηλικία 5 ετών.

Αναφορά ιστορικού: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - Γερμανός μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός και αστρονόμος. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, «ο βασιλιάς των μαθηματικών». Βραβευμένος με το μετάλλιο Copley (1838), ξένο μέλος της Σουηδικής (1821) και της Ρωσικής (1824) Ακαδημίας Επιστημών, της Αγγλικής Βασιλικής Εταιρείας. Σύμφωνα με το μύθο, ένας δάσκαλος μαθηματικών στο σχολείο, για να απασχολήσει τα παιδιά για μεγάλο χρονικό διάστημα, πρότεινε να υπολογίσουν το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100. Ο νεαρός Γκάους παρατήρησε ότι τα αθροίσματα ανά ζεύγη από τα αντίθετα στα αντίθετα είναι τα ίδια: 1+100 =101, 2+99=101, κ.λπ. και πήρε αμέσως το αποτέλεσμα: 101x50=5050.

2. Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου

Εξετάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα για μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο.

Να βρείτε: το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου.

Ας δείξουμε ότι όλες οι εκφράσεις σε αγκύλες είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή, με την έκφραση . Έστω d η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου. Επειτα:

Και ούτω καθεξής. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:

Πού παίρνουμε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου:

3. Επίλυση προβλημάτων σχετικά με την εφαρμογή του τύπου για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

1. Λύστε το πρόβλημα του αθροίσματος των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Λύση: a1=1, d=1, n=100.

Γενικός τύπος:

Στην περίπτωσή μας: .

Απάντηση: 5050.

Γενικός τύπος:

. Ας βρούμε με τον τύπο του ν-ου μέλους της αριθμητικής προόδου: .

Στην περίπτωσή μας: .

Για να βρείτε, πρέπει πρώτα να βρείτε.

Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο .Πρώτα, εφαρμόστε αυτόν τον τύπο για να βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

δηλ. . Που σημαίνει .

Τώρα μπορούμε να βρούμε.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

, ας βρούμε .

4. Παραγωγή του δεύτερου τύπου για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

Λαμβάνουμε τον δεύτερο τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, δηλαδή: αποδεικνύουμε ότι .

Απόδειξη:

Στον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου ας αντικαταστήσουμε την έκφραση με , δηλαδή . Παίρνουμε: , δηλ. . Q.E.D.

Ας αναλύσουμε τους ληφθέντες τύπους. Για υπολογισμούς με τον πρώτο τύπο πρέπει να γνωρίζετε τον πρώτο όρο, τον τελευταίο όρο και το n από τον δεύτερο τύπο - πρέπει να γνωρίζετε τον πρώτο όρο, τη διαφορά και το ν.

Τέλος, σημειώστε ότι σε κάθε περίπτωση το Sn είναι τετραγωνική συνάρτηση του n, γιατί .

5. Επίλυση προβλημάτων σχετικά με την εφαρμογή του δεύτερου τύπου για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

Γενικός τύπος:

Στην περίπτωσή μας:.

Απάντηση: 403.

2. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του 4.

(12; 16; 20; ...; 96) - ένα σύνολο αριθμών που ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος.

Άρα έχουμε μια αριθμητική πρόοδο.

n βρείτε από τον τύπο για:.

δηλ. . Που σημαίνει .

Χρησιμοποιώντας τον δεύτερο τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

, ας βρούμε .

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα όλων των όρων από τον 10ο έως τον 25ο συμπεριλαμβανομένων.

Ένας τρόπος επίλυσής του είναι ο εξής:

Συνεπώς, .

6. Περίληψη του μαθήματος

Έτσι, έχουμε εξάγει τύπους για το άθροισμα των μελών μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου. Αυτοί οι τύποι έχουν χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.

Στο επόμενο μάθημα, θα εξοικειωθούμε με τη χαρακτηριστική ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra τάξη 9 (εγχειρίδιο για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση).-M.: Εκπαίδευση, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra for Grade 9 με εμβάθυνση. μελέτη μαθηματικά.-Μ.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Πρόσθετα κεφάλαια στο σχολικό εγχειρίδιο της άλγεβρας τάξης 9.-M .: Εκπαίδευση, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα για τις τάξεις 8-9 (εγχειρίδιο για μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών). - M .: Εκπαίδευση, 1996.

5. Mordkovich A. G. Algebra τάξη 9, εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra τάξη 9, βιβλίο προβλημάτων για εκπαιδευτικά ιδρύματα. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.

7. Glazer G. I. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Τάξεις 7-8 (οδηγός για δασκάλους).-Μ.: Διαφωτισμός, 1983.

1. Τμήμα Κολλεγίου. ru στα μαθηματικά.

2. Πύλη Φυσικών Επιστημών.

3. Εκθετική. ru Εκπαιδευτικός μαθηματικός ιστότοπος.

1. Νο. 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. Ν. et al. Algebra Grade 9).

2. Νο. 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα για τις τάξεις 8-9).

Κατά τη μελέτη της άλγεβρας σε ένα σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (τάξη 9), ένα από τα σημαντικά θέματα είναι η μελέτη των αριθμητικών ακολουθιών, οι οποίες περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;

Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να δοθεί ένας ορισμός της εξέλιξης που εξετάζουμε, καθώς και να δοθούν οι βασικοί τύποι που θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω στην επίλυση προβλημάτων.

Μια αριθμητική ή αλγεβρική πρόοδος είναι ένα τέτοιο σύνολο διατεταγμένων ρητών αριθμών, κάθε μέλος των οποίων διαφέρει από το προηγούμενο κατά κάποια σταθερή τιμή. Αυτή η τιμή ονομάζεται διαφορά. Δηλαδή, γνωρίζοντας οποιοδήποτε μέλος μιας διατεταγμένης σειράς αριθμών και τη διαφορά, μπορείτε να επαναφέρετε ολόκληρη την αριθμητική πρόοδο.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Η επόμενη ακολουθία αριθμών θα είναι μια αριθμητική πρόοδος: 4, 8, 12, 16, ..., αφού η διαφορά σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Αλλά το σύνολο των αριθμών 3, 5, 8, 12, 17 δεν μπορεί πλέον να αποδοθεί στον εξεταζόμενο τύπο προόδου, καθώς η διαφορά για αυτό δεν είναι σταθερή τιμή (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Σημαντικές φόρμουλες

Τώρα δίνουμε τους βασικούς τύπους που θα χρειαστούν για την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας μια αριθμητική πρόοδο. Έστω με ένα n το nο μέλος της ακολουθίας, όπου το n είναι ακέραιος. Η διαφορά συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα d. Τότε οι παρακάτω εκφράσεις είναι αληθείς:

Για να προσδιορίσετε την τιμή του nου όρου, ο τύπος είναι κατάλληλος: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων n όρων: S n = (a n + a 1)*n/2.

Για να κατανοήσουμε τυχόν παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύση στον βαθμό 9, αρκεί να θυμηθούμε αυτούς τους δύο τύπους, καθώς τυχόν προβλήματα του υπό εξέταση τύπου βασίζονται στη χρήση τους. Επίσης, μην ξεχνάτε ότι η διαφορά προόδου καθορίζεται από τον τύπο: d = a n - a n-1 .

Παράδειγμα #1: Εύρεση άγνωστου μέλους

Δίνουμε ένα απλό παράδειγμα αριθμητικής προόδου και τους τύπους που πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση.

Ας δοθεί η ακολουθία 10, 8, 6, 4, ..., είναι απαραίτητο να βρούμε πέντε όρους σε αυτήν.

Ήδη από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι 4 πρώτοι όροι είναι γνωστοί. Το πέμπτο μπορεί να οριστεί με δύο τρόπους:

Ας υπολογίσουμε πρώτα τη διαφορά. Έχουμε: d = 8 - 10 = -2. Ομοίως, θα μπορούσε κανείς να πάρει οποιουσδήποτε άλλους δύο όρους ο ένας δίπλα στον άλλο. Για παράδειγμα, d = 4 - 6 = -2. Δεδομένου ότι είναι γνωστό ότι d \u003d a n - a n-1, τότε d \u003d a 5 - a 4, από όπου παίρνουμε: a 5 \u003d a 4 + d. Αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Η δεύτερη μέθοδος απαιτεί επίσης γνώση της διαφοράς της εν λόγω προόδου, επομένως πρέπει πρώτα να την προσδιορίσετε, όπως φαίνεται παραπάνω (d = -2). Γνωρίζοντας ότι ο πρώτος όρος a 1 = 10, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον ν αριθμό της ακολουθίας. Έχουμε: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Αντικαθιστώντας το n = 5 στην τελευταία παράσταση, παίρνουμε: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Όπως μπορείτε να δείτε, και οι δύο λύσεις οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα η διαφορά d της προόδου είναι αρνητική. Τέτοιες ακολουθίες ονομάζονται φθίνουσες επειδή κάθε διαδοχικός όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

Παράδειγμα #2: διαφορά προόδου

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο, δώσε ένα παράδειγμα για το πώς

Είναι γνωστό ότι σε ορισμένους ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά και να επαναφέρετε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Αντικαθιστούμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτό, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 \u003d 6 + 6 * d. Από αυτήν την έκφραση, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) / 6 = 2. Έτσι, απαντήθηκε το πρώτο μέρος του προβλήματος.

Για να επαναφέρετε την ακολουθία στο 7ο μέλος, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό μιας αλγεβρικής προόδου, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 και 7 = 18.

Παράδειγμα #3: κάνοντας μια εξέλιξη

Ας περιπλέκουμε ακόμη περισσότερο την κατάσταση του προβλήματος. Τώρα πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο. Μπορούμε να δώσουμε το ακόλουθο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα, 4 και 5. Είναι απαραίτητο να κάνουμε μια αλγεβρική πρόοδο έτσι ώστε να χωρούν τρεις ακόμη όροι μεταξύ τους.

Πριν ξεκινήσετε την επίλυση αυτού του προβλήματος, είναι απαραίτητο να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 \u003d -4 και ένας 5 \u003d 5. Έχοντας καθορίσει αυτό, προχωράμε σε μια εργασία που είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Και πάλι, για τον nο όρο, χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Από: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Εδώ, η διαφορά δεν είναι μια ακέραια τιμή, αλλά είναι ένας ρητός αριθμός, επομένως οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.

Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τα μέλη της εξέλιξης που λείπουν. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u που συνέπεσε με την κατάσταση του προβλήματος.

Παράδειγμα #4: Το πρώτο μέλος της εξέλιξης

Συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύση. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Τώρα εξετάστε ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρείτε από ποιον αριθμό ξεκινά αυτή η ακολουθία.

Οι τύποι που έχουν χρησιμοποιηθεί μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση του 1 και του δ. Τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς στην κατάσταση του προβλήματος. Ωστόσο, ας γράψουμε τις εκφράσεις για κάθε όρο για τον οποίο έχουμε πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Πήραμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

Το καθορισμένο σύστημα είναι πιο εύκολο να λυθεί εάν εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).

Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για ένα 1 . Για παράδειγμα, πρώτα: ένα 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για το αποτέλεσμα, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε το 43ο μέλος της προόδου, το οποίο καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ένα μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιήθηκε στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά στους υπολογισμούς.

Παράδειγμα #5: Άθροισμα

Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Έστω μια αριθμητική πρόοδος της ακόλουθης μορφής: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;

Χάρη στην ανάπτυξη της τεχνολογίας υπολογιστών, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, δηλαδή να αθροιστούν διαδοχικά όλοι οι αριθμοί, κάτι που θα κάνει ο υπολογιστής μόλις κάποιος πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Είναι αξιοπερίεργο να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται «Γκαουσιανό», αφού στις αρχές του 18ου αιώνα ο διάσημος Γερμανός, ακόμη σε ηλικία μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο μυαλό του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν γνώριζε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε ζεύγη αριθμών που βρίσκονται στις άκρες της ακολουθίας, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.

Παράδειγμα #6: άθροισμα όρων από n έως m

Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγμα του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: εάν δοθεί μια σειρά αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε ποιο θα είναι το άθροισμα των όρων της από το 8 έως το 14.

Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά επίπονη. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος με τη δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.

Η ιδέα είναι να πάρουμε έναν τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Εφόσον n > m, είναι προφανές ότι το άθροισμα 2 περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), τότε παίρνουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.

Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι θέλετε να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.

Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε στην ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και χωρίστε τη γενική εργασία σε ξεχωριστές δευτερεύουσες εργασίες (σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).

Εάν υπάρχουν αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προκύπτει, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο, ανακαλύφθηκε. Μόλις το καταλάβετε, δεν είναι τόσο δύσκολο.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Καταρχήν χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ. a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Τύπος του nου όρου:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

διεύρυνση και εμβάθυνση των ιδεών των μαθητών σχετικά με εργασίες που επιλύονται με χρήση αριθμητικής προόδου. οργάνωση της δραστηριότητας αναζήτησης των μαθητών κατά την εξαγωγή του τύπου για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου.
ανάπτυξη δεξιοτήτων για την ανεξάρτητη απόκτηση νέων γνώσεων, χρήση ήδη αποκτημένων γνώσεων για την επίτευξη του στόχου.
ανάπτυξη της επιθυμίας και της ανάγκης για γενίκευση των γεγονότων που αποκτήθηκαν, η ανάπτυξη της ανεξαρτησίας.

Καθήκοντα:

γενίκευση και συστηματοποίηση της υπάρχουσας γνώσης σχετικά με το θέμα "Αριθμητική πρόοδος".
εξάγουν τύπους για τον υπολογισμό του αθροίσματος των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου.
διδάξτε πώς να εφαρμόζετε τους ληφθέντες τύπους στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
να επιστήσει την προσοχή των μαθητών στη διαδικασία εύρεσης της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.

Εξοπλισμός:

κάρτες με εργασίες για εργασία σε ομάδες και ζευγάρια.
χαρτί αξιολόγησης·
παρουσίαση«Αριθμητική πρόοδος».

Ι. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων.

1. Ανεξάρτητη εργασία σε ζευγάρια.

1η επιλογή:

Ορίστε μια αριθμητική πρόοδο. Γράψτε έναν αναδρομικό τύπο που ορίζει μια αριθμητική πρόοδο. Δώστε ένα παράδειγμα αριθμητικής προόδου και υποδείξτε τη διαφορά της.

2η επιλογή:

Να γράψετε τον τύπο για τον ν ο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Βρείτε τον 100ο όρο μιας αριθμητικής προόδου ( a n}: 2, 5, 8 …
Αυτή την ώρα, δύο μαθητές στο πίσω μέρος του πίνακα ετοιμάζουν απαντήσεις στις ίδιες ερωτήσεις.
Οι μαθητές αξιολογούν την εργασία του συνεργάτη συγκρίνοντάς την με τον πίνακα. (Παραδίδονται φυλλάδια με απαντήσεις).

2. Στιγμή παιχνιδιού.

Ασκηση 1.

Δάσκαλος.Σκέφτηκα κάποια αριθμητική πρόοδο. Κάντε μου μόνο δύο ερωτήσεις για να μπορέσετε μετά τις απαντήσεις να ονομάσετε γρήγορα το 7ο μέλος αυτής της εξέλιξης. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Ερωτήσεις από μαθητές.

Ποιος είναι ο έκτος όρος της προόδου και ποια η διαφορά;
Ποιος είναι ο όγδοος όρος της εξέλιξης και ποια η διαφορά;

Εάν δεν υπάρχουν άλλες ερωτήσεις, τότε ο δάσκαλος μπορεί να τις διεγείρει - μια «απαγόρευση» στο d (διαφορά), δηλαδή, δεν επιτρέπεται να ρωτήσετε ποια είναι η διαφορά. Μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις: ποιος είναι ο 6ος όρος της προόδου και ποιος ο 8ος όρος της προόδου;

Εργασία 2.

Υπάρχουν 20 αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Ο δάσκαλος στέκεται με την πλάτη στον πίνακα. Οι μαθητές λένε τον αριθμό του αριθμού και ο δάσκαλος καλεί αμέσως τον ίδιο τον αριθμό. Εξηγήστε πώς μπορώ να το κάνω;

Ο δάσκαλος θυμάται τον τύπο του ν’ τριμήνου a n \u003d 3n - 2και, αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές του n, βρίσκει τις αντίστοιχες τιμές α ν .

II. Δήλωση εκπαιδευτικού έργου.

Προτείνω να λυθεί ένα παλιό πρόβλημα που χρονολογείται από τη 2η χιλιετία π.Χ., που βρέθηκε σε αιγυπτιακούς παπύρους.

Μια εργασία:«Ας σας ειπωθεί: μοιράστε 10 μεζούρες κριθαριού σε 10 άτομα, η διαφορά μεταξύ του κάθε ανθρώπου και του διπλανού του είναι το 1/8 του μέτρου».

Πώς σχετίζεται αυτό το πρόβλημα με το θέμα της αριθμητικής προόδου; (Κάθε επόμενο άτομο παίρνει το 1/8 του μέτρου περισσότερο, άρα η διαφορά είναι d=1/8, 10 άτομα, άρα n=10.)
Τι νομίζετε ότι σημαίνει ο αριθμός 10; (Το άθροισμα όλων των μελών της προόδου.)
Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για να είναι εύκολο και απλό να χωρίσετε το κριθάρι ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος; (Ο πρώτος όρος της εξέλιξης.)

Στόχος του μαθήματος- να λάβουμε την εξάρτηση του αθροίσματος των όρων της προόδου από τον αριθμό τους, τον πρώτο όρο και τη διαφορά και να ελέγξουμε αν το πρόβλημα λύθηκε σωστά στην αρχαιότητα.

Πριν εξαγάγουμε τον τύπο, ας δούμε πώς έλυσαν το πρόβλημα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι.

Και το έλυσαν ως εξής:

1) 10 μέτρα: 10 = 1 μέτρο - μέσο μερίδιο.
2) 1 μέτρο ∙ = 2 μέτρα - διπλασιάστηκε μέση τιμήμερίδιο.
διπλασιάστηκε μέση τιμήη μετοχή είναι το άθροισμα των μετοχών του 5ου και του 6ου προσώπου.
3) 2 μέτρα - 1/8 μέτρο = 1 7/8 μέτρα - διπλάσιο μερίδιο του πέμπτου προσώπου.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - το μερίδιο του πέμπτου. και ούτω καθεξής, μπορείτε να βρείτε το μερίδιο κάθε προηγούμενου και επόμενου ατόμου.

Παίρνουμε τη σειρά:

III. Η λύση της εργασίας.

1. Εργασία σε ομάδες

1ος όμιλος:Να βρείτε το άθροισμα 20 διαδοχικών φυσικών αριθμών: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Γενικά

II ομάδα:Βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Συμπέρασμα:

III ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 21.

Λύση: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Συμπέρασμα:

IV ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 101.

Συμπέρασμα:

Αυτή η μέθοδος επίλυσης των εξεταζόμενων προβλημάτων ονομάζεται "μέθοδος Gauss".

2. Κάθε ομάδα παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος στον πίνακα.

3. Γενίκευση των προτεινόμενων λύσεων για μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Βρίσκουμε αυτό το άθροισμα υποστηρίζοντας παρόμοια:

4. Έχουμε λύσει την εργασία;(Ναί.)

IV. Πρωτογενής κατανόηση και εφαρμογή των τύπων που προέκυψαν στην επίλυση προβλημάτων.

1. Έλεγχος της λύσης ενός παλιού προβλήματος με τον τύπο.

2. Εφαρμογή του τύπου στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.

3. Ασκήσεις για τη διαμόρφωση της ικανότητας εφαρμογής του τύπου στην επίλυση προβλημάτων.

Α) Νο 613

δεδομένο :( και ν) -αριθμητική πρόοδος?

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Εύρημα: S 1500

Λύση: , και 1 = 1 και 1500 = 1500,

Β) Δεδομένα: ( και ν) -αριθμητική πρόοδος?
(και ν): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Εύρημα: n
Λύση:

V. Ανεξάρτητη εργασία με αμοιβαία επαλήθευση.

Ο Ντένις πήγε να δουλέψει ως κούριερ. Τον πρώτο μήνα, ο μισθός του ήταν 200 ρούβλια, κάθε επόμενο μήνα αυξανόταν κατά 30 ρούβλια. Πόσα κέρδισε σε ένα χρόνο;

δεδομένο :( και ν) -αριθμητική πρόοδος?
a 1 = 200, d=30, n=12
Εύρημα: S 12
Λύση:

Απάντηση: Ο Ντένις έλαβε 4380 ρούβλια για το έτος.

VI. Οδηγία εργασίας για το σπίτι.

σελ. 4.3 - μάθετε την παραγωγή του τύπου.
№№ 585, 623 .
Να συνθέσετε ένα πρόβλημα που θα λυνόταν χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.

VII. Συνοψίζοντας το μάθημα.

1. Φύλλο βαθμολογίας

2. Συνεχίστε τις προτάσεις

Σήμερα στην τάξη έμαθα...
Έμαθες φόρμουλες...
Νομίζω ότι …

3. Μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 500; Ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε αυτό το πρόβλημα;

Βιβλιογραφία.

1. Άλγεβρα, 9η τάξη. Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα. Εκδ. G.V. Dorofeeva.Μόσχα: Διαφωτισμός, 2009.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ VI

§ 144. Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου

Λένε ότι κάποτε ένας δάσκαλος δημοτικού σχολείου, θέλοντας να απασχολήσει την τάξη για μεγάλο χρονικό διάστημα με ανεξάρτητη εργασία, έδωσε στα παιδιά μια "δύσκολο" εργασία - να υπολογίσουν το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Ένας από τους μαθητές πρότεινε αμέσως μια λύση. Εδώ είναι.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 φορές

Ήταν ο Καρλ Γκάους, που αργότερα έγινε ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς στον κόσμο*.

*Μια παρόμοια περίπτωση με τον Γκάους συνέβη πράγματι. Ωστόσο, εδώ είναι πολύ απλοποιημένο. Οι αριθμοί που πρότεινε ο δάσκαλος ήταν πενταψήφιοι και αποτελούσαν μια αριθμητική πρόοδο με τριψήφια διαφορά.

Η ιδέα μιας τέτοιας λύσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το άθροισμα των όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου.

Λήμμα.Το άθροισμα δύο όρων μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου, σε ίση απόσταση από τα άκρα, είναι ίσο με το άθροισμα των ακραίων όρων.

Για παράδειγμα, σε μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο

1, 2, 3.....98, 99, 100

Οι όροι 2 και 99, 3 και 98, 4 και 97, κ.λπ. απέχουν ίσα από τα άκρα αυτής της προόδου. Επομένως, τα αθροίσματά τους 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 είναι ίσα με το άθροισμα των ακραίων όρων 1 + 100.

Απόδειξη του λήμματος. Αφήστε μια πεπερασμένη αριθμητική πρόοδο

ένα 1 , ένα 2 , ..., ένα n - 1 , ένα n

οποιαδήποτε δύο μέλη απέχουν εξίσου από τα άκρα. Ας υποθέσουμε ότι ένα από αυτά είναι κ -ο όρος από αριστερά, δηλαδή ένα κ , και το άλλο - κ ο όρος από τα δεξιά, δηλ. ένα n -k+ ένας . Επειτα

ένα κ + ένα n -k+ 1 =[ένα 1 + (κ - 1)ρε ] + [ένα 1 + (n - k )ρε ] = 2ένα 1 + (n - 1)ρε .

Το άθροισμα των ακραίων όρων αυτής της προόδου είναι ίσο με

ένα 1 + ένα n = ένα 1 + [ένα 1 + (n - 1)ρε ] = 2ένα 1 + (n - 1)ρε .

Με αυτόν τον τρόπο,

ένα κ + ένα n -k+ 1 = ένα 1 + ένα n

Q.E.D.

Χρησιμοποιώντας το λήμμα που μόλις αποδείχθηκε, είναι εύκολο να αποκτήσετε έναν γενικό τύπο για το άθροισμα Π μέλη οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου.

μικρό n = ένα 1 +ένα 2 + ...+ ένα n - 1 + ένα n

μικρό n = ένα n + ένα n - 1 + ... + ένα 2 + ένα 1 .

Προσθέτοντας αυτές τις δύο ισότητες ανά όρο, παίρνουμε:

2S n = (ένα 1 +ένα n ) + (ένα 2 +ένα n - 1)+...+(ένα n - 1 +ένα 2) + (ένα n +ένα 1)

ένα 1 +ένα n = ένα 2 +ένα n - 1 = ένα 3 +ένα n - 2 =... .

2S n = n (ένα 1 +ένα n ),

Το άθροισμα των μελών μιας πεπερασμένης αριθμητικής προόδου είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των ακραίων μελών και του αριθμού όλων των μελών.

Συγκεκριμένα,

Γυμνάσια

971. Να βρείτε το άθροισμα όλων των περιττών τριψήφιων αριθμών.

972. Πόσες κινήσεις θα κάνει ένα ρολόι στη διάρκεια της ημέρας αν χτυπήσει μόνο τον αριθμό των ολόκληρων ωρών;

973. Ποιο είναι το άθροισμα του πρώτου Π φυσικοί αριθμοί;

974. Να εξάγετε τον τύπο για το μήκος της διαδρομής που διανύει το σώμα κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση:

όπου v 0 - αρχική ταχύτητα μέσα m/sec , ένα - επιτάχυνση σε m/sec 2 , t - χρόνος ταξιδιού δευτ.

975. Να βρείτε το άθροισμα όλων των μη αναγώγιμων κλασμάτων με παρονομαστή 3 μεταξύ θετικών ακεραίων t και Π (t< п ).

976. Ένας εργάτης διατηρεί 16 αργαλειούς που λειτουργούν αυτόματα. Απόδοση ανά μηχανή ένα m/h. Ο εργάτης άναψε το πρώτο μηχάνημα στις 7 η, και κάθε επόμενο κατά 5 ελάχαργότερα από την προηγούμενη. Μάθετε την έξοδο σε μέτρα για τα πρώτα 2 ηδουλειά.

977. Λύστε εξισώσεις:

α) 1 + 7 + 13 + ... + Χ = 280;

β) ( Χ + 1) + (Χ + 4) + (Χ + 7) +...+ (Χ + 28) = 155

978. Από 1 Ιουλίου έως και 12 Ιουλίου, η θερμοκρασία του αέρα ανέβαινε καθημερινά κατά μέσο όρο 1/2 βαθμό. Γνωρίζοντας ότι η μέση θερμοκρασία κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου αποδείχθηκε ότι ήταν 18 3/4 μοίρες, καθορίστε ποια ήταν η θερμοκρασία του αέρα την 1η Ιουλίου.

979. Να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο της οποίας ο αριθμητικός μέσος όρος Π οι πρώτοι όροι για οποιαδήποτε Π ίσο με τον αριθμό τους.

980. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων είκοσι όρων μιας αριθμητικής προόδου στην οποία

ένα 6 + ένα 9 + ένα 12 + ένα 15 = 20.