Διατύπωση Πυθαγόρειου Θεωρήματος Πυθαγόρειων τριγώνων. Διαφορετικοί τρόποι απόδειξης του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Shapovalova L.A. (σταθμός Egorlykskaya, MBOU ESOSH No. 11)

1. Glazer G.I. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο VII - VIII τάξεις, οδηγός για δασκάλους, - M: Εκπαίδευση, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. «Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών» Εγχειρίδιο για μαθητές 5-6 τάξεων. – Μ.: Διαφωτισμός, 1989.

3. Zenkevich I.G. «Μάθημα Αισθητικής των Μαθηματικών». – Μ.: Διαφωτισμός, 1981.

4. Litzman V. Το Πυθαγόρειο θεώρημα. - Μ., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Πυθαγόρας". - Μ., 1993.

6. Pichurin L.F. «Πέρα από τις σελίδες ενός εγχειριδίου άλγεβρας». - Μ., 1990.

7. Zemlyakov A.N. «Η Γεωμετρία στη 10η τάξη». - Μ., 1986.

8. Εφημερίδα «Μαθηματικά» 17/1996.

9. Εφημερίδα «Μαθηματικά» 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. «Συλλογή Προβλημάτων Μαθηματικών Δημοτικού». - Μ., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. «Εγχειρίδιο Μαθηματικών». - Μ., 1973.

12. Shchetnikov A.I. «Το Πυθαγόρειο δόγμα του αριθμού και του μεγέθους». - Νοβοσιμπίρσκ, 1997.

13. «Πραγματικοί αριθμοί. Παράλογες εκφράσεις» 8η τάξη. Tomsk University Press. – Τομσκ, 1997.

14. Atanasyan M.S. «Γεωμετρία» τάξη 7-9. – Μ.: Διαφωτισμός, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Φέτος το ακαδημαϊκό έτος, γνώρισα ένα ενδιαφέρον θεώρημα, γνωστό, όπως αποδείχθηκε, από την αρχαιότητα:

«Το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη».

Συνήθως η ανακάλυψη αυτής της δήλωσης αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και μαθηματικό Πυθαγόρα (VI αιώνα π.Χ.). Αλλά η μελέτη των αρχαίων χειρογράφων έδειξε ότι αυτή η δήλωση ήταν γνωστή πολύ πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα.

Αναρωτήθηκα γιατί, στη συγκεκριμένη περίπτωση, συνδέεται με το όνομα του Πυθαγόρα.

Συνάφεια του θέματος: Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει μεγάλη σημασία: χρησιμοποιείται στη γεωμετρία κυριολεκτικά σε κάθε βήμα. Πιστεύω ότι τα έργα του Πυθαγόρα εξακολουθούν να είναι επίκαιρα, γιατί όπου κι αν κοιτάξουμε, παντού μπορούμε να δούμε τους καρπούς των μεγάλων ιδεών του, που ενσωματώνονται σε διάφορους κλάδους της σύγχρονης ζωής.

Σκοπός της έρευνάς μου ήταν: να μάθω ποιος ήταν ο Πυθαγόρας και ποια σχέση έχει με αυτό το θεώρημα.

Μελετώντας την ιστορία του θεωρήματος, αποφάσισα να μάθω:

Υπάρχουν άλλες αποδείξεις αυτού του θεωρήματος;

Ποια είναι η σημασία αυτού του θεωρήματος στη ζωή των ανθρώπων;

Τι ρόλο έπαιξε ο Πυθαγόρας στην ανάπτυξη των μαθηματικών;

Από τη βιογραφία του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας ο Σάμος είναι σπουδαίος Έλληνας επιστήμονας. Η φήμη του συνδέεται με το όνομα του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Αν και τώρα γνωρίζουμε ήδη ότι αυτό το θεώρημα ήταν γνωστό στην αρχαία Βαβυλώνα 1200 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, και στην Αίγυπτο 2000 χρόνια πριν από αυτόν ήταν γνωστό ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5, εξακολουθούμε να το ονομάζουμε με το όνομα αυτού του αρχαίου επιστήμονας.

Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα για τη ζωή του Πυθαγόρα, αλλά ένας μεγάλος αριθμός θρύλων συνδέεται με το όνομά του.

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε το 570 π.Χ. στο νησί της Σάμου.

Ο Πυθαγόρας είχε μια όμορφη εμφάνιση, φορούσε μακριά γενειάδα και ένα χρυσό διάδημα στο κεφάλι του. Ο Πυθαγόρας δεν είναι όνομα, αλλά παρατσούκλι που έλαβε ο φιλόσοφος επειδή μιλούσε πάντα σωστά και πειστικά, σαν ελληνικό χρησμό. (Πυθαγόρας - «πειστικός λόγος»).

Το 550 π.Χ., ο Πυθαγόρας παίρνει μια απόφαση και πηγαίνει στην Αίγυπτο. Έτσι, μια άγνωστη χώρα και ένας άγνωστος πολιτισμός ανοίγεται μπροστά στον Πυθαγόρα. Πολύ έκπληκτος και έκπληκτος ο Πυθαγόρας σε αυτή τη χώρα, και μετά από κάποιες παρατηρήσεις της ζωής των Αιγυπτίων, ο Πυθαγόρας συνειδητοποίησε ότι ο δρόμος προς τη γνώση, που προστατεύεται από την κάστα των ιερέων, βρίσκεται μέσα από τη θρησκεία.

Μετά από έντεκα χρόνια σπουδών στην Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας πηγαίνει στην πατρίδα του, όπου στην πορεία πέφτει στη Βαβυλωνιακή αιχμαλωσία. Εκεί εξοικειώνεται με τη βαβυλωνιακή επιστήμη, που ήταν πιο ανεπτυγμένη από την αιγυπτιακή. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν γραμμικές, τετραγωνικές και ορισμένους τύπους κυβικών εξισώσεων. Έχοντας δραπετεύσει από την αιχμαλωσία, δεν μπορούσε να μείνει πολύ στην πατρίδα του λόγω της ατμόσφαιρας βίας και τυραννίας που βασίλευε εκεί. Αποφάσισε να μετακομίσει στον Κρότωνα (ελληνική αποικία στη βόρεια Ιταλία).

Στον Κρότωνα ξεκινά η πιο ένδοξη περίοδος στη ζωή του Πυθαγόρα. Εκεί ίδρυσε κάτι σαν θρησκευτική-ηθική αδελφότητα ή μυστικό μοναστικό τάγμα, τα μέλη του οποίου ήταν υποχρεωμένα να ηγούνται του λεγόμενου Πυθαγόρειου τρόπου ζωής.

Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι

Ο Πυθαγόρας οργάνωσε στην ελληνική αποικία στα νότια της χερσονήσου των Απεννίνων μια θρησκευτική και ηθική αδελφότητα, όπως ένα μοναστικό τάγμα, που αργότερα θα ονομαζόταν Πυθαγόρεια Ένωση. Τα μέλη της ένωσης έπρεπε να τηρούν ορισμένες αρχές: πρώτον, να αγωνίζονται για το όμορφο και ένδοξο, δεύτερον, να είναι χρήσιμο και τρίτον, να αγωνίζονται για υψηλή ευχαρίστηση.

Το σύστημα ηθικών και ηθικών κανόνων, που κληροδότησε ο Πυθαγόρας στους μαθητές του, συντάχθηκε σε ένα είδος ηθικού κώδικα των Πυθαγορείων «Χρυσοί Στίχοι», που ήταν πολύ δημοφιλείς στην εποχή της Αρχαιότητας, του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης.

Το Πυθαγόρειο σύστημα μελετών αποτελούνταν από τρεις ενότητες:

Διδασκαλία για αριθμούς - αριθμητική,

Διδασκαλία για σχήματα - γεωμετρία,

Διδασκαλία για τη δομή του σύμπαντος - αστρονομία.

Το εκπαιδευτικό σύστημα που καθόρισε ο Πυθαγόρας διήρκεσε πολλούς αιώνες.

Η σχολή του Πυθαγόρα έκανε πολλά για να δώσει στη γεωμετρία τον χαρακτήρα επιστήμης. Το κύριο χαρακτηριστικό της Πυθαγόρειας μεθόδου ήταν ο συνδυασμός της γεωμετρίας με την αριθμητική.

Ο Πυθαγόρας ασχολήθηκε πολύ με τις αναλογίες και τις προόδους και, πιθανώς, με την ομοιότητα των σχημάτων, αφού του πιστώνεται η επίλυση του προβλήματος: «Με βάση τα δύο δεδομένα, κατασκευάστε ένα τρίτο, ίσο σε μέγεθος με ένα από τα δεδομένα και παρόμοιο με το δεύτερο."

Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του εισήγαγαν την έννοια των πολυγωνικών, φιλικών, τέλειων αριθμών και μελέτησαν τις ιδιότητές τους. Η αριθμητική, ως πρακτική υπολογισμού, δεν ενδιέφερε τον Πυθαγόρα και δήλωνε περήφανα ότι «έβαζε την αριθμητική πάνω από τα συμφέροντα του εμπόρου».

Μέλη της Πυθαγόρειας Ένωσης ήταν κάτοικοι πολλών πόλεων της Ελλάδας.

Οι Πυθαγόρειοι δέχονταν επίσης τις γυναίκες στην κοινωνία τους. Η Ένωση άνθισε για περισσότερα από είκοσι χρόνια και μετά άρχισε η δίωξη των μελών της, πολλοί από τους μαθητές σκοτώθηκαν.

Υπήρχαν πολλοί διαφορετικοί θρύλοι για τον θάνατο του ίδιου του Πυθαγόρα. Όμως οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα και των μαθητών του συνέχισαν να ζουν.

Από την ιστορία της δημιουργίας του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Είναι επί του παρόντος γνωστό ότι αυτό το θεώρημα δεν ανακαλύφθηκε από τον Πυθαγόρα. Ωστόσο, ορισμένοι πιστεύουν ότι ήταν ο Πυθαγόρας που έδωσε πρώτος την πλήρη απόδειξή του, ενώ άλλοι του αρνούνται αυτή την αξία. Κάποιοι αποδίδουν στον Πυθαγόρα την απόδειξη που δίνει ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Από την άλλη, ο Πρόκλος ισχυρίζεται ότι η απόδειξη στα Στοιχεία οφείλεται στον ίδιο τον Ευκλείδη. Όπως μπορούμε να δούμε, η ιστορία των μαθηματικών δεν έχει σχεδόν κανένα αξιόπιστο συγκεκριμένο στοιχείο για τη ζωή του Πυθαγόρα και τη μαθηματική του δραστηριότητα.

Ας ξεκινήσουμε την ιστορική ανασκόπηση του Πυθαγόρειου θεωρήματος με την αρχαία Κίνα. Εδώ το μαθηματικό βιβλίο του Τσου-πέι προσελκύει ιδιαίτερη προσοχή. Αυτό το δοκίμιο λέει αυτό για το Πυθαγόρειο τρίγωνο με τις πλευρές 3, 4 και 5:

"Εάν μια ορθή γωνία αποσυντεθεί στα συστατικά μέρη της, τότε η γραμμή που συνδέει τα άκρα των πλευρών της θα είναι 5 όταν η βάση είναι 3 και το ύψος είναι 4."

Η γεωμετρία μεταξύ των Ινδουιστών ήταν στενά συνδεδεμένη με τη λατρεία. Είναι πολύ πιθανό ότι το θεώρημα του τετραγώνου της υποτείνουσας ήταν ήδη γνωστό στην Ινδία γύρω στον 8ο αιώνα π.Χ. Μαζί με καθαρά τελετουργικές συνταγές υπάρχουν και έργα γεωμετρικά θεολογικού χαρακτήρα. Σε αυτά τα γραπτά, που χρονολογούνται στον 4ο ή 5ο αιώνα π.Χ., συναντάμε την κατασκευή μιας ορθής γωνίας χρησιμοποιώντας ένα τρίγωνο με πλευρές 15, 36, 39.

Στο Μεσαίωνα, το Πυθαγόρειο θεώρημα όριζε το όριο, αν όχι της μεγαλύτερης δυνατής, τουλάχιστον καλής μαθηματικής γνώσης. Το χαρακτηριστικό σχέδιο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το οποίο τώρα μερικές φορές μετατρέπεται από μαθητές, για παράδειγμα, σε καπέλο ντυμένο με μανδύα καθηγητή ή άνδρα, χρησιμοποιήθηκε συχνά εκείνη την εποχή ως σύμβολο των μαθηματικών.

Συμπερασματικά, παρουσιάζουμε διάφορες διατυπώσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος μεταφρασμένες από τα ελληνικά, τα λατινικά και τα γερμανικά.

Το θεώρημα του Ευκλείδη λέει (κυριολεκτική μετάφραση):

"Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που εκτείνεται στη σωστή γωνία είναι ίσο με τα τετράγωνα στις πλευρές που περικλείουν τη σωστή γωνία."

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικές χώρες και διαφορετικές γλώσσες υπάρχουν διαφορετικές εκδοχές της διατύπωσης του οικείου θεωρήματος. Δημιουργημένα σε διαφορετικούς χρόνους και σε διαφορετικές γλώσσες, αντικατοπτρίζουν την ουσία ενός μαθηματικού σχεδίου, η απόδειξη του οποίου έχει επίσης πολλές επιλογές.

Πέντε τρόποι για να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα

αρχαία κινεζική απόδειξη

Σε ένα αρχαίο κινέζικο σχέδιο, τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα με σκέλη a, b και την υποτείνουσα c στοιβάζονται έτσι ώστε το εξωτερικό τους περίγραμμα να σχηματίζει ένα τετράγωνο με την πλευρά a + b και το εσωτερικό ένα τετράγωνο με την πλευρά c, χτισμένο στο υποτείνουσα

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Απόδειξη του J. Gardfield (1882)

Ας τακτοποιήσουμε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα έτσι ώστε το σκέλος του ενός από αυτά να είναι συνέχεια του άλλου.

Το εμβαδόν του τραπεζοειδούς που εξετάζεται βρίσκεται ως το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους

Από την άλλη πλευρά, το εμβαδόν του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων που λαμβάνονται:

Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε:

Η απόδειξη είναι απλή

Αυτή η απόδειξη προκύπτει στην απλούστερη περίπτωση ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου.

Μάλλον, το θεώρημα ξεκίνησε από αυτόν.

Πράγματι, αρκεί απλώς να κοιτάξουμε την παράθεση των ισοσκελές ορθογώνων τριγώνων για να δούμε ότι το θεώρημα είναι αληθές.

Για παράδειγμα, για το τρίγωνο ABC: το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα AC περιέχει 4 αρχικά τρίγωνα και τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα σκέλη περιέχουν δύο. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη των αρχαίων Ινδουιστών

Ένα τετράγωνο με πλευρά (a + b), μπορεί να χωριστεί σε μέρη είτε όπως στο σχ. 12. α, ή όπως στο σχ. 12β. Είναι σαφές ότι τα μέρη 1, 2, 3, 4 είναι τα ίδια και στα δύο σχήματα. Και αν αφαιρεθούν ίσα από ίσα (εμβαδά), τότε θα παραμείνουν ίσα, δηλ. c2 = a2 + b2.

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Για δύο χιλιετίες, η πιο κοινή ήταν η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, που εφευρέθηκε από τον Ευκλείδη. Τοποθετείται στο περίφημο βιβλίο του «Αρχές».

Ο Ευκλείδης κατέβασε το ύψος ΒΗ από την κορυφή της ορθής γωνίας στην υποτείνουσα και απέδειξε ότι η προέκτασή του διαιρεί το τετράγωνο που συμπληρώνεται στην υποτείνουσα σε δύο ορθογώνια, τα εμβαδά των οποίων είναι ίσα με τα εμβαδά των αντίστοιχων τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια.

Το σχέδιο που χρησιμοποιείται για την απόδειξη αυτού του θεωρήματος ονομάζεται αστειευόμενος «Πυθαγόρειο παντελόνι». Για πολύ καιρό θεωρούνταν ένα από τα σύμβολα της μαθηματικής επιστήμης.

Εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Η σημασία του Πυθαγόρειου θεωρήματος έγκειται στο γεγονός ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να προκύψουν από αυτό ή με τη βοήθειά του και πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν. Επιπλέον, η πρακτική σημασία του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και του αντιστρόφου του θεωρήματος είναι ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρουν τα μήκη των τμημάτων χωρίς να μετρηθούν τα ίδια τα τμήματα. Αυτό, σαν να λέμε, ανοίγει το δρόμο από μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο, από ένα επίπεδο στον ογκομετρικό χώρο και όχι μόνο. Αυτός είναι ο λόγος που το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι τόσο σημαντικό για την ανθρωπότητα, η οποία επιδιώκει να ανακαλύψει περισσότερες διαστάσεις και να δημιουργήσει τεχνολογίες σε αυτές τις διαστάσεις.

συμπέρασμα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι τόσο διάσημο που είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ένα άτομο που δεν έχει ακούσει γι 'αυτό. Έμαθα ότι υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Μελέτησα μια σειρά από ιστορικές και μαθηματικές πηγές, συμπεριλαμβανομένων πληροφοριών στο Διαδίκτυο, και συνειδητοποίησα ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ενδιαφέρον όχι μόνο για την ιστορία του, αλλά και επειδή κατέχει σημαντική θέση στη ζωή και την επιστήμη. Αυτό αποδεικνύεται από τις διάφορες ερμηνείες του κειμένου αυτού του θεωρήματος που δίνω στην παρούσα εργασία και τους τρόπους απόδειξής του.

Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα κύρια και, θα έλεγε κανείς, το σημαντικότερο θεώρημα της γεωμετρίας. Η σημασία του έγκειται στο γεγονός ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι επίσης αξιοσημείωτο στο ότι από μόνο του δεν είναι καθόλου προφανές. Για παράδειγμα, οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου φαίνονται απευθείας στο σχέδιο. Αλλά όσο και να κοιτάξετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δεν θα δείτε ποτέ ότι υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ των πλευρών του: c2 = a2 + b2. Ως εκ τούτου, η οπτικοποίηση χρησιμοποιείται συχνά για να το αποδείξει. Η αξία του Πυθαγόρα ήταν ότι έδωσε μια πλήρη επιστημονική απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Η προσωπικότητα του ίδιου του επιστήμονα, του οποίου η μνήμη δεν διατηρείται τυχαία από αυτό το θεώρημα, είναι ενδιαφέρουσα. Ο Πυθαγόρας είναι ένας υπέροχος ομιλητής, δάσκαλος και παιδαγωγός, ο διοργανωτής του σχολείου του, με επίκεντρο την αρμονία της μουσικής και των αριθμών, την καλοσύνη και τη δικαιοσύνη, τη γνώση και τον υγιεινό τρόπο ζωής. Μπορεί κάλλιστα να χρησιμεύσει ως παράδειγμα για εμάς, τους μακρινούς απογόνους.

Βιβλιογραφικός σύνδεσμος

Tumanova S.V. ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ // Ξεκινήστε από την επιστήμη. - 2016. - Αρ. 2. - Σ. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (ημερομηνία πρόσβασης: 04/06/2019).

Η δυνατότητα για δημιουργικότητα συνήθως αποδίδεται στις ανθρωπιστικές επιστήμες, αφήνοντας τη φυσική επιστημονική ανάλυση, την πρακτική προσέγγιση και τη στεγνή γλώσσα των τύπων και των αριθμών. Τα μαθηματικά δεν μπορούν να ταξινομηθούν ως μάθημα ανθρωπιστικών επιστημών. Αλλά χωρίς δημιουργικότητα στη "βασίλισσα όλων των επιστημών" δεν θα πάτε μακριά - οι άνθρωποι γνώριζαν για αυτό εδώ και πολύ καιρό. Από την εποχή του Πυθαγόρα π.χ.

Τα σχολικά εγχειρίδια, δυστυχώς, συνήθως δεν εξηγούν ότι στα μαθηματικά είναι σημαντικό όχι μόνο να συσσωρεύονται θεωρήματα, αξιώματα και τύποι. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε και να αισθανθούμε τις θεμελιώδεις αρχές του. Και ταυτόχρονα, προσπαθήστε να απελευθερώσετε το μυαλό σας από κλισέ και στοιχειώδεις αλήθειες - μόνο σε τέτοιες συνθήκες γεννιούνται όλες οι μεγάλες ανακαλύψεις.

Τέτοιες ανακαλύψεις περιλαμβάνουν αυτή που σήμερα γνωρίζουμε ως Πυθαγόρειο θεώρημα. Με τη βοήθειά του, θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι τα μαθηματικά όχι μόνο μπορούν, αλλά πρέπει να είναι διασκεδαστικά. Και ότι αυτή η περιπέτεια είναι κατάλληλη όχι μόνο για σπασίκλες με χοντρά ποτήρια, αλλά για όλους όσους είναι δυνατοί στο μυαλό και δυνατοί στο πνεύμα.

Από το ιστορικό του θέματος

Αυστηρά μιλώντας, αν και το θεώρημα ονομάζεται «Πυθαγόρειο θεώρημα», ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν το ανακάλυψε. Το ορθογώνιο τρίγωνο και οι ειδικές του ιδιότητες έχουν μελετηθεί πολύ πριν από αυτό. Υπάρχουν δύο πολικές απόψεις για αυτό το θέμα. Σύμφωνα με μια εκδοχή, ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που βρήκε πλήρη απόδειξη του θεωρήματος. Σύμφωνα με άλλη, η απόδειξη δεν ανήκει στην πατρότητα του Πυθαγόρα.

Σήμερα δεν μπορείτε πλέον να ελέγξετε ποιος έχει δίκιο και ποιος άδικο. Είναι γνωστό μόνο ότι η απόδειξη του Πυθαγόρα, αν υπήρξε ποτέ, δεν έχει διασωθεί. Ωστόσο, υπάρχουν προτάσεις ότι η περίφημη απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη μπορεί να ανήκει στον Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης την κατέγραψε μόνο.

Είναι επίσης γνωστό σήμερα ότι προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκονται σε αιγυπτιακές πηγές από την εποχή του Φαραώ Amenemhet I, σε πήλινες πινακίδες από τη Βαβυλωνία από τη βασιλεία του βασιλιά Hammurabi, στην αρχαία ινδική πραγματεία Sulva Sutra και στο αρχαίο κινεζικό έργο Zhou -bi suan jin.

Όπως μπορείτε να δείτε, το Πυθαγόρειο θεώρημα απασχολούσε το μυαλό των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Περίπου 367 διάφορα αποδεικτικά στοιχεία που υπάρχουν σήμερα χρησιμεύουν ως επιβεβαίωση. Κανένα άλλο θεώρημα δεν μπορεί να το ανταγωνιστεί από αυτή την άποψη. Αξιοσημείωτοι συγγραφείς στοιχείων περιλαμβάνουν τον Λεονάρντο ντα Βίντσι και τον 20ο Πρόεδρο των Ηνωμένων Πολιτειών, Τζέιμς Γκάρφιλντ. Όλα αυτά μιλούν για την εξαιρετική σημασία αυτού του θεωρήματος για τα μαθηματικά: τα περισσότερα θεωρήματα της γεωμετρίας προέρχονται από αυτό ή, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, συνδέονται με αυτό.

Αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Τα σχολικά εγχειρίδια δίνουν κυρίως αλγεβρικές αποδείξεις. Αλλά η ουσία του θεωρήματος βρίσκεται στη γεωμετρία, οπότε ας εξετάσουμε πρώτα από όλα εκείνες τις αποδείξεις του περίφημου θεωρήματος που βασίζονται σε αυτήν την επιστήμη.

Απόδειξη 1

Για την απλούστερη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πρέπει να ορίσετε ιδανικές συνθήκες: αφήστε το τρίγωνο να είναι όχι μόνο ορθογώνιο, αλλά και ισοσκελές. Υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ήταν ένα τέτοιο τρίγωνο που αρχικά θεωρούνταν από τους αρχαίους μαθηματικούς.

Δήλωση "Ένα τετράγωνο χτισμένο στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια του"μπορεί να απεικονιστεί με το ακόλουθο σχέδιο:

Κοιτάξτε το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ABC: Στην υποτείνουσα AC, μπορείτε να φτιάξετε ένα τετράγωνο που αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ίσα με το αρχικό ABC. Και στα σκέλη AB και BC χτισμένα σε ένα τετράγωνο, καθένα από τα οποία περιέχει δύο παρόμοια τρίγωνα.

Παρεμπιπτόντως, αυτό το σχέδιο αποτέλεσε τη βάση πολλών ανέκδοτων και κινούμενων σχεδίων αφιερωμένων στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Ίσως το πιο διάσημο είναι «Τα πυθαγόρεια παντελόνια είναι ίσα προς όλες τις κατευθύνσεις»:

Απόδειξη 2

Αυτή η μέθοδος συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία και μπορεί να θεωρηθεί ως παραλλαγή της αρχαίας ινδικής απόδειξης του μαθηματικού Bhaskari.

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β και γ(Εικ. 1). Στη συνέχεια, χτίστε δύο τετράγωνα με πλευρές ίσες με το άθροισμα των μηκών των δύο ποδιών - (α+β). Σε καθένα από τα τετράγωνα φτιάξτε κατασκευές, όπως στα σχήματα 2 και 3.

Στο πρώτο τετράγωνο, χτίστε τέσσερα από τα ίδια τρίγωνα όπως στο σχήμα 1. Ως αποτέλεσμα, προκύπτουν δύο τετράγωνα: το ένα με την πλευρά a, το δεύτερο με την πλευρά σι.

Στο δεύτερο τετράγωνο, τέσσερα παρόμοια τρίγωνα που κατασκευάστηκαν σχηματίζουν ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με την υποτείνουσα ντο.

Το άθροισμα των εμβαδών των κατασκευασμένων τετραγώνων στο Σχ. 2 είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που κατασκευάσαμε με την πλευρά c στο Σχ. 3. Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί υπολογίζοντας τα εμβαδά των τετραγώνων στο Σχ. 2 σύμφωνα με τον τύπο. Και το εμβαδόν του εγγεγραμμένου τετραγώνου στο σχήμα 3. αφαιρώντας τα εμβαδά τεσσάρων ίσων ορθογώνιων τριγώνων που εγγράφονται στο τετράγωνο από το εμβαδόν ενός μεγάλου τετραγώνου με πλευρά (α+β).

Βάζοντας όλα αυτά κάτω, έχουμε: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Αναπτύξτε τις αγκύλες, κάντε όλους τους απαραίτητους αλγεβρικούς υπολογισμούς και λάβετε αυτό a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Ταυτόχρονα, η περιοχή του εγγεγραμμένου στο Σχ.3. Το τετράγωνο μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παραδοσιακό τύπο S=c2. Εκείνοι. a2+b2=c2Έχετε αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Απόδειξη 3

Η ίδια αρχαία ινδική απόδειξη περιγράφεται τον 12ο αιώνα στην πραγματεία «The Crown of Knowledge» («Siddhanta Shiromani»), και ως κύριο επιχείρημα ο συγγραφέας χρησιμοποιεί μια έκκληση που απευθύνεται στα μαθηματικά ταλέντα και τις δυνάμεις παρατήρησης των μαθητών και ακόλουθοι: «Κοίτα!».

Αλλά θα αναλύσουμε αυτή την απόδειξη με περισσότερες λεπτομέρειες:

Μέσα στο τετράγωνο, χτίστε τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχέδιο. Η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου, που είναι και η υποτείνουσα, συμβολίζεται Με. Ας ονομάσουμε τα σκέλη του τριγώνου ένακαι σι. Σύμφωνα με το σχέδιο, η πλευρά του εσωτερικού τετραγώνου είναι (α-β).

Χρησιμοποιήστε τον τύπο τετραγωνικού εμβαδού S=c2να υπολογίσετε το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου. Και ταυτόχρονα υπολογίστε την ίδια τιμή προσθέτοντας το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου και το εμβαδόν τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων: (α-β) 2 2+4*1\2*α*β.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και τις δύο επιλογές για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τετραγώνου για να βεβαιωθείτε ότι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Και αυτό σας δίνει το δικαίωμα να το γράψετε c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ως αποτέλεσμα της λύσης, θα λάβετε τον τύπο του Πυθαγόρειου θεωρήματος c2=a2+b2. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη 4

Αυτή η περίεργη αρχαία κινεζική απόδειξη ονομάστηκε "Καρέκλα της Νύφης" - λόγω της φιγούρας που μοιάζει με καρέκλα που προκύπτει από όλες τις κατασκευές:

Χρησιμοποιεί το σχέδιο που έχουμε ήδη δει στο Σχήμα 3 στη δεύτερη απόδειξη. Και το εσωτερικό τετράγωνο με την πλευρά c είναι κατασκευασμένο με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχαία ινδική απόδειξη που δόθηκε παραπάνω.

Εάν κόψετε διανοητικά δύο πράσινα ορθογώνια τρίγωνα από το σχέδιο του Σχ. 1, τα μετακινήσετε σε αντίθετες πλευρές του τετραγώνου με την πλευρά c και προσαρτήσετε τις υποτείνουσες στις υποτείνουσες των λιλά τριγώνων, θα έχετε μια φιγούρα που ονομάζεται "καρέκλα της νύφης ” (Εικ. 2). Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να κάνετε το ίδιο με χάρτινα τετράγωνα και τρίγωνα. Θα δείτε ότι η «καρέκλα της νύφης» σχηματίζεται από δύο τετράγωνα: μικρά με μια πλευρά σικαι μεγάλο με πλάι ένα.

Αυτές οι κατασκευές επέτρεψαν στους αρχαίους Κινέζους μαθηματικούς και σε εμάς που τους ακολουθούσαμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι c2=a2+b2.

Απόδειξη 5

Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να βρεθεί μια λύση στο Πυθαγόρειο θεώρημα με βάση τη γεωμετρία. Ονομάζεται μέθοδος Garfield.

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο. Πρέπει να το αποδείξουμε BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Για να το κάνετε αυτό, συνεχίστε το πόδι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι δημιουργήστε ένα τμήμα CD, που είναι ίσο με το πόδι ΑΒ. Κάτω Κάθετο ΕΝΑ Δευθύγραμμο τμήμα ED. Τμήματα EDκαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝείναι ίσα. Ένωσε τις τελείες μικαι ΣΤΟ, καθώς μικαι ΑΠΟκαι λάβετε ένα σχέδιο όπως η παρακάτω εικόνα:

Για να αποδείξουμε τον πύργο, καταφεύγουμε και πάλι στη μέθοδο που έχουμε ήδη δοκιμάσει: βρίσκουμε την περιοχή του σχήματος που προκύπτει με δύο τρόπους και εξισώνουμε τις εκφράσεις μεταξύ τους.

Βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου ΕΝΑ ΚΡΕΒΑΤΙμπορεί να γίνει προσθέτοντας τα εμβαδά των τριών τριγώνων που το σχηματίζουν. Και ένας από αυτούς ERU, δεν είναι μόνο ορθογώνιο, αλλά και ισοσκελές. Ας μην το ξεχνάμε επίσης AB=CD, AC=EDκαι π.Χ.=Κ.Χ- αυτό θα μας επιτρέψει να απλοποιήσουμε την εγγραφή και να μην την υπερφορτώσουμε. Ετσι, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι ΕΝΑ ΚΡΕΒΑΤΙείναι τραπεζοειδές. Επομένως, υπολογίζουμε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας τον τύπο: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Για τους υπολογισμούς μας, είναι πιο βολικό και πιο σαφές να αναπαραστήσουμε το τμήμα ΕΝΑ Δως το άθροισμα των τμημάτων ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι CD.

Ας γράψουμε και τους δύο τρόπους για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός σχήματος βάζοντας ένα πρόσημο ίσου μεταξύ τους: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Χρησιμοποιούμε την ισότητα των τμημάτων που είναι ήδη γνωστά σε εμάς και περιγράφηκαν παραπάνω για να απλοποιήσουμε τη δεξιά πλευρά του συμβολισμού: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Και τώρα ανοίγουμε τις αγκύλες και μετατρέπουμε την ισότητα: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Έχοντας ολοκληρώσει όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Έχουμε αποδείξει το θεώρημα.

Φυσικά, αυτή η λίστα αποδεικτικών στοιχείων απέχει πολύ από το να είναι πλήρης. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας διανύσματα, μιγαδικούς αριθμούς, διαφορικές εξισώσεις, στερεομετρία κ.λπ. Και ακόμη και φυσικοί: αν, για παράδειγμα, χύνεται υγρό σε τετράγωνους και τριγωνικούς όγκους παρόμοιους με αυτούς που φαίνονται στα σχέδια. Χύνοντας υγρό, είναι δυνατό να αποδειχθεί η ισότητα των περιοχών και το ίδιο το θεώρημα ως αποτέλεσμα.

Λίγα λόγια για τα Πυθαγόρεια τρίδυμα

Αυτό το θέμα μελετάται ελάχιστα ή καθόλου στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Εν τω μεταξύ, είναι πολύ ενδιαφέρον και έχει μεγάλη σημασία στη γεωμετρία. Οι πυθαγόρειες τριάδες χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολλών μαθηματικών προβλημάτων. Η ιδέα τους μπορεί να σας φανεί χρήσιμη στην περαιτέρω εκπαίδευση.

Τι είναι λοιπόν τα Πυθαγόρεια τρίδυμα; Οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί, συγκεντρωμένοι σε τρία, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο εκ των οποίων είναι ίσο με τον τρίτο αριθμό στο τετράγωνο.

Οι πυθαγόρειες τριάδες μπορεί να είναι:

πρωτόγονος (και οι τρεις αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι).
μη πρωτόγονο (αν κάθε αριθμός ενός τριπλού πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό, παίρνετε ένα νέο τριπλό που δεν είναι πρωτόγονο).

Ακόμη και πριν από την εποχή μας, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γοητεύονταν από τη μανία για τους αριθμούς των πυθαγόρειων τριδύμων: στις εργασίες θεωρούσαν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3,4 και 5 μονάδες. Παρεμπιπτόντως, κάθε τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με τους αριθμούς του Πυθαγόρειου τριπλού είναι από προεπιλογή ορθογώνιο.

Παραδείγματα Πυθαγόρειων τριπλών: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) κ.λπ.

Πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκει εφαρμογή όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στην αρχιτεκτονική και τις κατασκευές, την αστρονομία, ακόμη και τη λογοτεχνία.

Πρώτον, σχετικά με την κατασκευή: το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται ευρέως σε αυτό σε προβλήματα διαφορετικών επιπέδων πολυπλοκότητας. Για παράδειγμα, δείτε το ρωμανικό παράθυρο:

Ας υποδηλώσουμε το πλάτος του παραθύρου ως σι, τότε η ακτίνα του μεγάλου ημικυκλίου μπορεί να συμβολιστεί ως Rκαι εκφράζονται μέσω β: R=b/2. Η ακτίνα των μικρότερων ημικυκλίων μπορεί επίσης να εκφραστεί ως β: r=b/4. Σε αυτό το πρόβλημα, μας ενδιαφέρει η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου του παραθύρου (ας το ονομάσουμε Π).

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι απλά χρήσιμο για τον υπολογισμό R. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το οποίο υποδεικνύεται με μια διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου αποτελείται από δύο ακτίνες: β/4+σελ. Το ένα πόδι είναι μια ακτίνα β/4, αλλο β/2-π. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, γράφουμε: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Στη συνέχεια, ανοίγουμε τις αγκύλες και παίρνουμε b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση σε bp/2=b 2 /4-bp. Και μετά χωρίζουμε όλους τους όρους σε σι, δίνουμε παρόμοια για να πάρουμε 3/2*p=b/4. Και στο τέλος το διαπιστώνουμε p=b/6- αυτό που χρειαζόμασταν.

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος των δοκών για μια δίρριχτη οροφή. Προσδιορίστε πόσο ψηλά χρειάζεται ένας κινητός πύργος για να φτάσει το σήμα σε μια συγκεκριμένη εγκατάσταση. Και μάλιστα να εγκαταστήσετε σταθερά ένα χριστουγεννιάτικο δέντρο στην πλατεία της πόλης. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το θεώρημα ζει όχι μόνο στις σελίδες των σχολικών βιβλίων, αλλά είναι συχνά χρήσιμο στην πραγματική ζωή.

Σε ό,τι αφορά τη λογοτεχνία, το Πυθαγόρειο θεώρημα ενέπνευσε τους συγγραφείς από την αρχαιότητα και συνεχίζει να το εμπνέει σήμερα. Για παράδειγμα, ο Γερμανός συγγραφέας του δέκατου ένατου αιώνα Adelbert von Chamisso εμπνεύστηκε από αυτήν για να γράψει ένα σονέτο:

Το φως της αλήθειας δεν θα εξαφανιστεί σύντομα,
Αλλά, έχοντας λάμψει, είναι απίθανο να διαλυθεί
Και, όπως πριν από χιλιάδες χρόνια,
Δεν θα προκαλέσει αμφιβολίες και διαφωνίες.

Το πιο σοφό όταν αγγίζει το μάτι
Φως της αλήθειας, ευχαριστώ τους θεούς.
Και εκατό ταύροι, μαχαιρωμένοι, ψέματα -
Το δώρο επιστροφής του τυχερού Πυθαγόρα.

Από τότε, οι ταύροι βρυχώνται απελπισμένα:
Για πάντα ξεσήκωσε τη φυλή των ταύρων
εκδήλωση που αναφέρεται εδώ.

Νομίζουν ότι ήρθε η ώρα
Και πάλι θα θυσιαστούν
Κάποιο σπουδαίο θεώρημα.

(μετάφραση Viktor Toporov)

Και τον εικοστό αιώνα, ο σοβιετικός συγγραφέας Yevgeny Veltistov στο βιβλίο του "Οι περιπέτειες της Ηλεκτρονικής" αφιέρωσε ένα ολόκληρο κεφάλαιο στις αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Και μισό κεφάλαιο της ιστορίας για τον δισδιάστατο κόσμο που θα μπορούσε να υπάρξει εάν το Πυθαγόρειο θεώρημα γινόταν ο θεμελιώδης νόμος και ακόμη και η θρησκεία για έναν μόνο κόσμο. Θα ήταν πολύ πιο εύκολο να ζεις σε αυτό, αλλά και πολύ πιο βαρετό: για παράδειγμα, κανείς εκεί δεν καταλαβαίνει τη σημασία των λέξεων «στρογγυλό» και «αφράτο».

Και στο βιβλίο «Οι περιπέτειες της Ηλεκτρονικής», ο συγγραφέας, με το στόμα του δασκάλου μαθηματικών Ταρατάρα, λέει: «Το κύριο πράγμα στα μαθηματικά είναι η κίνηση της σκέψης, οι νέες ιδέες». Αυτή η δημιουργική πτήση σκέψης είναι που δημιουργεί το Πυθαγόρειο θεώρημα - δεν είναι τυχαίο που έχει τόσες πολλές διαφορετικές αποδείξεις. Βοηθάει να υπερβείτε τα συνηθισμένα και να δείτε γνωστά πράγματα με νέο τρόπο.

συμπέρασμα

Αυτό το άρθρο δημιουργήθηκε για να μπορείτε να κοιτάξετε πέρα από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών στα μαθηματικά και να μάθετε όχι μόνο εκείνες τις αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος που δίνονται στα σχολικά βιβλία "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) και "Geometry 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), αλλά και άλλοι περίεργοι τρόποι για να αποδείξουμε το περίφημο θεώρημα. Και δείτε επίσης παραδείγματα για το πώς μπορεί να εφαρμοστεί το Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή ζωή.

Πρώτον, αυτές οι πληροφορίες θα σας επιτρέψουν να διεκδικήσετε υψηλότερες βαθμολογίες σε μαθήματα μαθηματικών - οι πληροφορίες για το θέμα από πρόσθετες πηγές εκτιμώνται πάντα ιδιαίτερα.

Δεύτερον, θέλαμε να σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε πόσο ενδιαφέροντα είναι τα μαθηματικά. Να πειστεί με συγκεκριμένα παραδείγματα ότι πάντα υπάρχει χώρος για δημιουργικότητα σε αυτό. Ελπίζουμε ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα και αυτό το άρθρο θα σας εμπνεύσουν να κάνετε τη δική σας έρευνα και συναρπαστικές ανακαλύψεις στα μαθηματικά και άλλες επιστήμες.

Πείτε μας στα σχόλια εάν βρήκατε ενδιαφέροντα τα στοιχεία που παρουσιάζονται στο άρθρο. Βρήκατε αυτές τις πληροφορίες χρήσιμες στις σπουδές σας; Πείτε μας τη γνώμη σας για το Πυθαγόρειο θεώρημα και αυτό το άρθρο - θα χαρούμε να τα συζητήσουμε όλα αυτά μαζί σας.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Πυθαγόρειο θεώρημα: Το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που υποστηρίζονται από τα πόδια ( ένακαι σι), ισούται με το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα ( ντο).

Γεωμετρική διατύπωση:

Το θεώρημα αρχικά διατυπώθηκε ως εξής:

Αλγεβρική διατύπωση:

Δηλαδή, που δηλώνει το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου διέλευσης ντο, και τα μήκη των ποδιών μέσα ένακαι σι :

ένα 2 + σι 2 = ντο 2

Και οι δύο διατυπώσεις του θεωρήματος είναι ισοδύναμες, αλλά η δεύτερη διατύπωση είναι πιο στοιχειώδης, δεν απαιτεί την έννοια του εμβαδού. Δηλαδή, η δεύτερη πρόταση μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για το εμβαδόν και μετρώντας μόνο τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα:

Απόδειξη

Αυτή τη στιγμή, 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος έχουν καταγραφεί στην επιστημονική βιβλιογραφία. Πιθανώς, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το μόνο θεώρημα με τόσο εντυπωσιακό αριθμό αποδείξεων. Μια τέτοια ποικιλία μπορεί να εξηγηθεί μόνο από τη θεμελιώδη σημασία του θεωρήματος για τη γεωμετρία.

Φυσικά, εννοιολογικά, όλα μπορούν να χωριστούν σε μικρό αριθμό τάξεων. Οι πιο διάσημες από αυτές: αποδείξεις με τη μέθοδο της περιοχής, αξιωματικές και εξωτικές αποδείξεις (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις).

Μέσα από παρόμοια τρίγωνα

Η ακόλουθη απόδειξη της αλγεβρικής διατύπωσης είναι η απλούστερη από τις αποδείξεις που χτίστηκαν απευθείας από τα αξιώματα. Συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιεί την έννοια της περιοχής σχήματος.

Αφήνω αλφάβητουπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ντο. Ας τραβήξουμε ένα ύψος από ντοκαι να συμβολίσετε τη βάση του με H. Τρίγωνο ACHπαρόμοιο με ένα τρίγωνο αλφάβητοσε δύο γωνίες. Το ίδιο και το τρίγωνο CBHπαρόμοιος αλφάβητο. Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία

παίρνουμε

Τι είναι ισοδύναμο

Προσθέτοντας, παίρνουμε

Αποδείξεις περιοχής

Οι παρακάτω αποδείξεις, παρά τη φαινομενική απλότητά τους, δεν είναι καθόλου τόσο απλές. Όλοι χρησιμοποιούν τις ιδιότητες της περιοχής, η απόδειξη των οποίων είναι πιο περίπλοκη από την απόδειξη του ίδιου του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη μέσω Ισοδυναμίας

Τοποθετήστε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα 1.
Τετράπλευρο με πλευρές ντοείναι τετράγωνο γιατί το άθροισμα δύο οξειών γωνιών είναι 90° και της ευθείας γωνίας είναι 180°.
Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός, με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά (a + b), και από την άλλη, το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων και δύο εσωτερικών τετράγωνα.

Q.E.D.

Απόδειξη μέσω Ισοδυναμίας

Μια κομψή απόδειξη μετάθεσης

Ένα παράδειγμα μιας από αυτές τις αποδείξεις φαίνεται στο σχέδιο στα δεξιά, όπου το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα μετατρέπεται με μετάθεση σε δύο τετράγωνα χτισμένα στα σκέλη.

Η απόδειξη του Ευκλείδη

Σχέδιο για την απόδειξη του Ευκλείδη

Εικονογράφηση για την απόδειξη του Ευκλείδη

Η ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη είναι η εξής: ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το μισό εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των μισών εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη, και στη συνέχεια τα εμβαδά του τα μεγάλα και τα δύο μικρά τετράγωνα είναι ίσα.

Εξετάστε το σχέδιο στα αριστερά. Κατασκευάσαμε τετράγωνα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου πάνω του και σχεδιάσαμε μια ακτίνα s από την κορυφή της ορθής γωνίας C κάθετη στην υποτείνουσα AB, κόβει το τετράγωνο ABIK, χτισμένο στην υποτείνουσα, σε δύο ορθογώνια - BHJI και HAKJ , αντίστοιχα. Αποδεικνύεται ότι τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων είναι ακριβώς ίσα με τα εμβαδά των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα αντίστοιχα σκέλη.

Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου DECA είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου AHJK Για να το κάνουμε αυτό, χρησιμοποιούμε μια βοηθητική παρατήρηση: Το εμβαδόν ενός τριγώνου με το ίδιο ύψος και βάση με το δεδομένο ορθογώνιο είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του δεδομένου ορθογωνίου. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του εμβαδού ενός τριγώνου ως το μισό του γινόμενου της βάσης και του ύψους. Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου AHK (δεν φαίνεται), το οποίο, με τη σειρά του, είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου AHJK.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι επίσης ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου DECA. Το μόνο πράγμα που πρέπει να γίνει για αυτό είναι να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων ACK και BDA (καθώς το εμβαδόν του τριγώνου BDA είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου από την παραπάνω ιδιότητα). Αυτή η ισότητα είναι προφανής, τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία. Δηλαδή - AB=AK,AD=AC - η ισότητα των γωνιών CAK και BAD είναι εύκολο να αποδειχθεί με τη μέθοδο της κίνησης: ας περιστρέψουμε το τρίγωνο CAK 90 ° αριστερόστροφα, τότε είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες πλευρές των δύο υπό εξέταση τριγώνων θα συμπίπτουν (λόγω του γεγονότος ότι η γωνία στην κορυφή του τετραγώνου είναι 90°).

Το επιχείρημα για την ισότητα των εμβαδών του τετραγώνου BCFG και του ορθογωνίου BHJI είναι εντελώς ανάλογο.

Έτσι, αποδείξαμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη. Η ιδέα πίσω από αυτήν την απόδειξη επεξηγείται περαιτέρω με το παραπάνω animation.

Απόδειξη του Λεονάρντο ντα Βίντσι

Τα κύρια στοιχεία της απόδειξης είναι η συμμετρία και η κίνηση.

Εξετάστε το σχέδιο, όπως φαίνεται από τη συμμετρία, το τμήμα ντοΕγώανατέμνει την πλατεία ΕΝΑσιHJ σε δύο πανομοιότυπα μέρη (από τρίγωνα ΕΝΑσιντοκαι JHΕγώείναι ίσα στην κατασκευή). Χρησιμοποιώντας μια αριστερόστροφη περιστροφή 90 μοιρών, βλέπουμε την ισότητα των σκιασμένων σχημάτων ντοΕΝΑJΕγώ και σολρεΕΝΑσι . Τώρα είναι σαφές ότι η περιοχή της φιγούρας που σκιάζεται από εμάς είναι ίση με το άθροισμα των μισών περιοχών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια και της περιοχής του αρχικού τριγώνου. Από την άλλη πλευρά, είναι ίσο με το μισό εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα, συν το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου. Το τελευταίο βήμα της απόδειξης αφήνεται στον αναγνώστη.

Απόδειξη με την απειροελάχιστη μέθοδο

Η ακόλουθη απόδειξη χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις αποδίδεται συχνά στον διάσημο Άγγλο μαθηματικό Χάρντι, ο οποίος έζησε το πρώτο μισό του 20ού αιώνα.

Λαμβάνοντας υπόψη το σχέδιο που φαίνεται στο σχήμα και παρατηρώντας την αλλαγή στην πλευρά ένα, μπορούμε να γράψουμε την παρακάτω σχέση για απειροελάχιστες πλευρικές προσαυξήσεις Μεκαι ένα(χρησιμοποιώντας παρόμοια τρίγωνα):

Απόδειξη με την απειροελάχιστη μέθοδο

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών, βρίσκουμε

Μια γενικότερη έκφραση για την αλλαγή της υποτείνουσας στην περίπτωση αυξήσεων και των δύο ποδιών

Ενσωματώνοντας αυτή την εξίσωση και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, παίρνουμε

ντο 2 = ένα 2 + σι 2 + σταθερό.

Έτσι, φτάνουμε στην επιθυμητή απάντηση

ντο 2 = ένα 2 + σι 2 .

Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, η τετραγωνική εξάρτηση στον τελικό τύπο εμφανίζεται λόγω της γραμμικής αναλογικότητας μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των προσαυξήσεων, ενώ το άθροισμα οφείλεται στις ανεξάρτητες συνεισφορές από την αύξηση των διαφορετικών σκελών.

Μια απλούστερη απόδειξη μπορεί να ληφθεί εάν υποθέσουμε ότι ένα από τα πόδια δεν παρουσιάζει αύξηση (σε αυτή την περίπτωση, το πόδι σι). Τότε για τη σταθερά ολοκλήρωσης παίρνουμε

Παραλλαγές και γενικεύσεις

Εάν, αντί για τετράγωνα, κατασκευάζονται άλλα παρόμοια σχήματα στα σκέλη, τότε ισχύει η ακόλουθη γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των εμβαδών παρόμοιων μορφών που είναι χτισμένα στα πόδια είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα.Συγκεκριμένα:
- Το άθροισμα των εμβαδών των κανονικών τριγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη είναι ίσο με το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα.
- Το άθροισμα των εμβαδών των ημικυκλίων που είναι χτισμένα στα πόδια (όπως και στη διάμετρο) είναι ίσο με το εμβαδόν του ημικυκλίου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα. Αυτό το παράδειγμα χρησιμοποιείται για να αποδείξει τις ιδιότητες των μορφών που οριοθετούνται από τόξα δύο κύκλων και φέρουν το όνομα hippocratic lunula.

Ιστορία

Τσου-πέι 500–200 π.Χ. Αριστερά υπάρχει η επιγραφή: το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών του ύψους και της βάσης είναι το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας.

Το αρχαίο κινέζικο βιβλίο Chu-pei μιλά για ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5: Στο ίδιο βιβλίο προτείνεται ένα σχέδιο που συμπίπτει με ένα από τα σχέδια της ινδουιστικής γεωμετρίας της Baskhara.

Ο Kantor (ο μεγαλύτερος Γερμανός ιστορικός των μαθηματικών) πιστεύει ότι η ισότητα 3 ² + 4 ² = 5² ήταν ήδη γνωστή στους Αιγύπτιους γύρω στο 2300 π.Χ. ε., την εποχή του βασιλιά Amenemhet I (σύμφωνα με τον πάπυρο 6619 του Μουσείου του Βερολίνου). Σύμφωνα με τον Κάντορ, οι άρπεδοναπτες, ή «χορδιστές», κατασκεύαζαν ορθές γωνίες χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές 3, 4 και 5.

Είναι πολύ εύκολο να αναπαραχθεί ο τρόπος κατασκευής τους. Πάρτε ένα σχοινί μήκους 12 m και δέστε το σε μια χρωματιστή λωρίδα σε απόσταση 3 m. από τη μια άκρη και 4 μέτρα από την άλλη. Μια ορθή γωνία θα περικλείεται μεταξύ των πλευρών μήκους 3 και 4 μέτρων. Θα μπορούσε να αντιταχθεί στους Harpedonapts ότι ο τρόπος οικοδόμησής τους γίνεται περιττός εάν κάποιος χρησιμοποιήσει, για παράδειγμα, το ξύλινο τετράγωνο που χρησιμοποιούν όλοι οι ξυλουργοί. Πράγματι, είναι γνωστά αιγυπτιακά σχέδια στα οποία βρίσκεται ένα τέτοιο εργαλείο, για παράδειγμα, σχέδια που απεικονίζουν ένα ξυλουργείο.

Λίγο περισσότερα είναι γνωστά για το Πυθαγόρειο θεώρημα μεταξύ των Βαβυλωνίων. Σε ένα κείμενο που χρονολογείται από την εποχή του Χαμουραμπί, δηλαδή το 2000 π.Χ. ε., δίνεται ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη Μεσοποταμία μπορούσαν να κάνουν υπολογισμούς με ορθογώνια τρίγωνα, τουλάχιστον σε ορισμένες περιπτώσεις. Βασισμένος, αφενός, στο σημερινό επίπεδο γνώσης των αιγυπτιακών και βαβυλωνιακών μαθηματικών και, αφετέρου, σε μια κριτική μελέτη ελληνικών πηγών, ο Van der Waerden (Ολλανδός μαθηματικός) κατέληξε στα εξής:

Βιβλιογραφία

Στα ρώσικα

Σκόπες Ζ. Α.Γεωμετρικές μινιατούρες. Μ., 1990
Yelensky Sh.Ακολουθώντας τα χνάρια του Πυθαγόρα. Μ., 1961
Van der Waerden B. L.Επιστήμη της Αφύπνισης. Μαθηματικά της Αρχαίας Αιγύπτου, της Βαβυλώνας και της Ελλάδας. Μ., 1959
Glazer G.I.Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Μ., 1982
W. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
- Ένας ιστότοπος για το Πυθαγόρειο θεώρημα με μεγάλο αριθμό αποδείξεων, το υλικό είναι παρμένο από το βιβλίο του W. Litzman, ένας μεγάλος αριθμός σχεδίων παρουσιάζεται ως ξεχωριστά αρχεία γραφικών.
Κεφάλαιο The Pythagorean Theorem and Pythagorean Triles από το βιβλίο του D. V. Anosov "Μια ματιά στα μαθηματικά και κάτι από αυτά"
Σχετικά με το Πυθαγόρειο θεώρημα και τις μεθόδους απόδειξής του G. Glaser, Ακαδημαϊκός της Ρωσικής Ακαδημίας Εκπαίδευσης, Μόσχα

Στα Αγγλικά

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο WolframMathWorld
Cut-The-Knot, ενότητα για το Πυθαγόρειο θεώρημα, περίπου 70 αποδείξεις και εκτενείς πρόσθετες πληροφορίες (eng.)

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Από το ιστορικό του θέματος

Αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Απόδειξη 1

Απόδειξη 2

Απόδειξη 3

Αλλά θα αναλύσουμε αυτή την απόδειξη με περισσότερες λεπτομέρειες:

Απόδειξη 4

Απόδειξη 5

Κατασκευάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο. Πρέπει να το αποδείξουμε BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Λίγα λόγια για τα Πυθαγόρεια τρίδυμα

Οι πυθαγόρειες τριάδες μπορεί να είναι:

πρωτόγονος (και οι τρεις αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι).
μη πρωτόγονο (αν κάθε αριθμός ενός τριπλού πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό, παίρνετε ένα νέο τριπλό που δεν είναι πρωτόγονο).

Πρακτική εφαρμογή του θεωρήματος

Από τότε, οι ταύροι βρυχώνται απελπισμένα:
Για πάντα ξεσήκωσε τη φυλή των ταύρων
εκδήλωση που αναφέρεται εδώ.

Νομίζουν ότι ήρθε η ώρα
Και πάλι θα θυσιαστούν
Κάποιο σπουδαίο θεώρημα.

(μετάφραση Viktor Toporov)

συμπέρασμα

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Πυθαγόρειο θεώρημα- ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνει τη σχέση

ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.

Πιστεύεται ότι αποδείχθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα, από τον οποίο πήρε το όνομά του.

Γεωμετρική διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Το θεώρημα αρχικά διατυπώθηκε ως εξής:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων,

χτισμένο σε καθετήρες.

Αλγεβρική διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των σκελών.

Και τα δύο σκευάσματα Πυθαγόρεια θεωρήματαείναι ισοδύναμα, αλλά η δεύτερη διατύπωση είναι πιο στοιχειώδης, δεν το κάνει

απαιτεί την έννοια της περιοχής. Δηλαδή, η δεύτερη δήλωση μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για την περιοχή και

μετρώντας μόνο τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Το αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αν το τετράγωνο της μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών, τότε

το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Ή, με άλλα λόγια:

Για κάθε τριπλό θετικών αριθμών ένα, σικαι ντο, τέτοιο που

υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πόδια ένακαι σικαι υποτείνουσα ντο.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα για ισοσκελές τρίγωνο.

Πυθαγόρειο θεώρημα για ισόπλευρο τρίγωνο.

Αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Αυτή τη στιγμή, 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος έχουν καταγραφεί στην επιστημονική βιβλιογραφία. Μάλλον το θεώρημα

Ο Πυθαγόρας είναι το μόνο θεώρημα με τόσο εντυπωσιακό αριθμό αποδείξεων. Τέτοια ποικιλομορφία

μπορεί να εξηγηθεί μόνο από τη θεμελιώδη σημασία του θεωρήματος για τη γεωμετρία.

Φυσικά, εννοιολογικά, όλα μπορούν να χωριστούν σε μικρό αριθμό τάξεων. Οι πιο διάσημοι από αυτούς:

απόδειξη του μέθοδος περιοχής, αξιωματικόςκαι εξωτικά στοιχεία(για παράδειγμα,

με τη χρήση διαφορικές εξισώσεις).

1. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος ως προς όμοια τρίγωνα.

Η παρακάτω απόδειξη της αλγεβρικής διατύπωσης είναι η απλούστερη από τις αποδείξεις που κατασκευάστηκαν

απευθείας από τα αξιώματα. Συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιεί την έννοια του εμβαδού μιας φιγούρας.

Αφήνω αλφάβητουπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ντο. Ας τραβήξουμε ένα ύψος από ντοκαι δηλώνουν

η ίδρυσή του μέσω H.

Τρίγωνο ACHπαρόμοιο με ένα τρίγωνο ΑΒ C σε δύο γωνίες. Το ίδιο και το τρίγωνο CBHπαρόμοιος αλφάβητο.

Εισάγοντας τη σημειογραφία:

παίρνουμε:

που ταιριάζει -

Έχοντας διπλώσει ένα 2 και σι 2, παίρνουμε:

ή , που έπρεπε να αποδειχθεί.

2. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος με τη μέθοδο της περιοχής.

Οι παρακάτω αποδείξεις, παρά τη φαινομενική απλότητά τους, δεν είναι καθόλου τόσο απλές. Ολα τους

χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της περιοχής, η απόδειξη της οποίας είναι πιο περίπλοκη από την απόδειξη του ίδιου του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη μέσω ισοσυμπλήρωσης.

Τοποθετήστε τέσσερα ίσα ορθογώνια

τρίγωνο όπως φαίνεται στην εικόνα

στα δεξιά.

Τετράπλευρο με πλευρές ντο- τετράγωνο,

αφού το άθροισμα δύο οξειών γωνιών είναι 90°, και

η αναπτυγμένη γωνία είναι 180°.

Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι, αφενός,

εμβαδόν τετραγώνου με πλευρά ( α+β), και από την άλλη, το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων και

Q.E.D.

3. Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος με την απειροελάχιστη μέθοδο.

Λαμβάνοντας υπόψη το σχέδιο που φαίνεται στο σχήμα, και

βλέποντας την πλευρά να αλλάζειένα, μπορούμε

γράψτε την παρακάτω σχέση για το άπειρο

μικρό πλαϊνές αυξήσειςΜεκαι ένα(χρησιμοποιώντας ομοιότητα

τρίγωνα):

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών, βρίσκουμε:

Μια γενικότερη έκφραση για την αλλαγή της υποτείνουσας στην περίπτωση αυξήσεων και των δύο ποδιών:

Ενσωματώνοντας αυτή την εξίσωση και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, παίρνουμε:

Έτσι, καταλήγουμε στην επιθυμητή απάντηση:

Όπως είναι εύκολο να δούμε, η τετραγωνική εξάρτηση στον τελικό τύπο εμφανίζεται λόγω της γραμμικής

αναλογικότητα μεταξύ των πλευρών του τριγώνου και των προσαυξήσεων, ενώ το άθροισμα σχετίζεται με το ανεξάρτητο

συνεισφορές από την αύξηση των διαφορετικών ποδιών.

Μια απλούστερη απόδειξη μπορεί να ληφθεί αν υποθέσουμε ότι το ένα από τα πόδια δεν παρουσιάζει αύξηση

(στην περίπτωση αυτή, το πόδι σι). Τότε για τη σταθερά ολοκλήρωσης παίρνουμε: