Κατά τη μελέτη της γεωμετρίας, προκύπτουν πολλά ερωτήματα σχετικά με το θέμα των διανυσμάτων. Ο μαθητής αντιμετωπίζει ιδιαίτερες δυσκολίες όταν είναι απαραίτητο να βρει τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων.

Βασικοί όροι

Πριν εξετάσετε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με τον ορισμό ενός διανύσματος και την έννοια της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση, δηλαδή ένα τμήμα για το οποίο ορίζεται η αρχή και το τέλος του.

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο που έχουν κοινή αρχή είναι η μικρότερη από τις γωνίες, κατά την οποία απαιτείται να μετακινηθεί ένα από τα διανύσματα γύρω από ένα κοινό σημείο, σε μια θέση όπου οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν.

Φόρμουλα Λύσης

Μόλις καταλάβετε τι είναι ένα διάνυσμα και πώς προσδιορίζεται η γωνία του, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Ο τύπος λύσης για αυτό είναι αρκετά απλός και το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θα είναι η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας. Εξ ορισμού, ισούται με το πηλίκο του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων και το γινόμενο των μηκών τους.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων θεωρείται ως το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων πολλαπλασιαστή που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους. Το μήκος ενός διανύσματος, ή ο συντελεστής του, υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του.

Έχοντας λάβει την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό πίνακα.

Παράδειγμα

Αφού καταλάβετε πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, η λύση στο αντίστοιχο πρόβλημα γίνεται απλή και απλή. Ως παράδειγμα, εξετάστε το απλό πρόβλημα εύρεσης του μεγέθους μιας γωνίας.

Πρώτα απ 'όλα, θα είναι πιο βολικό να υπολογίσουμε τις τιμές των μηκών των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους που είναι απαραίτητο για την επίλυση. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω περιγραφή, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο, υπολογίζουμε την τιμή του συνημιτόνου της επιθυμητής γωνίας:

Αυτός ο αριθμός δεν είναι μία από τις πέντε κοινές τιμές συνημιτόνου, επομένως για να λάβετε την τιμή της γωνίας, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή ή τον τριγωνομετρικό πίνακα Bradis. Αλλά πριν λάβουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, ο τύπος μπορεί να απλοποιηθεί για να απαλλαγούμε από το επιπλέον αρνητικό πρόσημο:

Η τελική απάντηση μπορεί να παραμείνει σε αυτή τη φόρμα για να διατηρηθεί η ακρίβεια ή μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες. Σύμφωνα με τον πίνακα Bradis, η τιμή του θα είναι περίπου 116 μοίρες και 70 λεπτά και η αριθμομηχανή θα δείξει τιμή 116,57 μοίρες.

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Όταν εξετάζουμε δύο διανύσματα σε τρισδιάστατο χώρο, είναι πολύ πιο δύσκολο να καταλάβουμε για ποια γωνία μιλάμε αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Για να απλοποιήσετε την αντίληψη, μπορείτε να σχεδιάσετε δύο τεμνόμενα τμήματα που σχηματίζουν τη μικρότερη γωνία μεταξύ τους και θα είναι η επιθυμητή. Παρά την παρουσία μιας τρίτης συντεταγμένης στο διάνυσμα, η διαδικασία υπολογισμού των γωνιών μεταξύ των διανυσμάτων δεν θα αλλάξει. Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο και τις μονάδες των διανυσμάτων, την αρκοσίνη του πηλίκου τους και θα είναι η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα.

Στη γεωμετρία, συχνά εμφανίζονται προβλήματα με χώρους που έχουν περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Αλλά για αυτούς, ο αλγόριθμος για την εύρεση της απάντησης μοιάζει παρόμοιος.

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Ένα από τα κοινά λάθη κατά τη σύνταξη μιας απάντησης σε ένα πρόβλημα που έχει σχεδιαστεί για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι η απόφαση να γράψουμε ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα, δηλαδή, η επιθυμητή γωνία αποδείχθηκε ότι ήταν 0 ή 180 μοίρες. Αυτή η απάντηση είναι λανθασμένη.

Έχοντας λάβει μια τιμή γωνίας 0 μοιρών ως αποτέλεσμα της λύσης, η σωστή απάντηση θα ήταν να ορίσουμε τα διανύσματα ως συνκατευθυνόμενα, δηλαδή τα διανύσματα θα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Στην περίπτωση λήψης 180 μοιρών, τα διανύσματα θα έχουν τη φύση αντίθετων κατευθύνσεων.

Ειδικά Διανύσματα

Με την εύρεση των γωνιών μεταξύ των διανυσμάτων, μπορεί να βρεθεί ένας από τους ειδικούς τύπους, εκτός από τους συνκατευθυνόμενους και αντίθετα κατευθυνόμενους που περιγράφηκαν παραπάνω.

• Πολλά διανύσματα παράλληλα σε ένα επίπεδο ονομάζονται συνεπίπεδα.
• Τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και φορά ονομάζονται ίσα.
• Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, ονομάζονται συγγραμμικά.
• Αν το μήκος του διανύσματος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν, τότε λέγεται μηδέν και αν είναι ένα, τότε λέγεται ένα.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων, :

Εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι οξεία, τότε το γινόμενο κουκίδων τους είναι θετικό. αν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία, τότε το βαθμωτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων είναι αρνητικό. Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα διανύσματα είναι ορθογώνια.

Ασκηση.Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και

Λύση.Συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας

16. Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών, ευθείας και επιπέδου

Γωνία μεταξύ γραμμής και επιπέδουΤέμνουσα αυτή την ευθεία και όχι κάθετη σε αυτήν είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας και της προβολής της σε αυτό το επίπεδο.

Ο προσδιορισμός της γωνίας μεταξύ μιας ευθείας και ενός επιπέδου μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου είναι η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών: της ίδιας της γραμμής και της προβολής της στο επίπεδο. Επομένως, η γωνία μεταξύ ευθείας και επιπέδου είναι οξεία γωνία.

Η γωνία μεταξύ μιας κάθετης ευθείας και ενός επιπέδου θεωρείται ίση και η γωνία μεταξύ μιας παράλληλης ευθείας και ενός επιπέδου είτε δεν προσδιορίζεται καθόλου είτε θεωρείται ίση με .

§ 69. Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ ευθειών.

Το πρόβλημα του υπολογισμού της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα λύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως στο επίπεδο (§ 32). Να συμβολίσετε με φ τη γωνία μεταξύ των ευθειών μεγάλο 1 και μεγάλο 2, και μέσω ψ - η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης ένα και σι αυτές τις ευθείες γραμμές.

Τότε αν

ψ 90° (Εικ. 206.6), μετά φ = 180° - ψ. Είναι προφανές ότι και στις δύο περιπτώσεις ισχύει η ισότητα cos φ = |cos ψ|. Με τον τύπο (1) § 20 έχουμε

Συνεπώς,

Αφήστε τις ευθείες να δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις

Στη συνέχεια, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν μία από τις γραμμές (ή και οι δύο) δίνεται από μη κανονικές εξισώσεις, τότε για να υπολογίσετε τη γωνία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων κατεύθυνσης αυτών των γραμμών και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (1).

17. Παράλληλες ευθείες, Θεωρήματα για παράλληλες ευθείες

Ορισμός.Δύο γραμμές σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλοαν δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο γραμμές σε τρεις διαστάσεις ονομάζονται παράλληλοαν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Από τον ορισμό του προϊόντος με κουκκίδες:

.

Συνθήκη ορθογωνικότητας δύο διανυσμάτων:

Συνθήκη συγγραμμικότητας για δύο διανύσματα:

.

Προκύπτει από τον ορισμό 5 - . Πράγματι, από τον ορισμό του γινομένου ενός διανύσματος με έναν αριθμό, προκύπτει. Επομένως, με βάση τον κανόνα της ισότητας των διανυσμάτων, γράφουμε , , , που συνεπάγεται . Αλλά το διάνυσμα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα.

Προβολή από διάνυσμα σε διάνυσμα:

.

Παράδειγμα 4. Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε το βαθμωτό προϊόν.

Λύση. βρίσκουμε από τον τύπο του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων που δίνεται από τις συντεταγμένες τους. Επειδή η

, ,

Παράδειγμα 5Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε την προβολή.

Λύση. Επειδή η

, ,

Με βάση τον τύπο προβολής, έχουμε

.

Παράδειγμα 6Δεδομένα σημεία , , , .

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Λύση. Σημειώστε ότι τα διανύσματα

, ,

δεν είναι συγγραμμικές, καθώς οι συντεταγμένες τους δεν είναι ανάλογες:

.

Αυτά τα διανύσματα δεν είναι επίσης κάθετα, αφού το γινόμενο κουκίδων τους είναι .

Ας βρούμε,

Γωνία βρείτε από τον τύπο:

.

Παράδειγμα 7Προσδιορίστε για ποια διανύσματα και συγγραμμική.

Λύση. Στην περίπτωση της συγγραμμικότητας, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων και πρέπει να είναι αναλογικό, δηλαδή:

.

Από εδώ και .

Παράδειγμα 8. Προσδιορίστε σε ποια τιμή του διανύσματος και είναι κάθετοι.

Λύση. Διάνυσμα και είναι κάθετοι αν το γινόμενο της τελείας τους είναι μηδέν. Από αυτή τη συνθήκη παίρνουμε: . Αυτό είναι, .

Παράδειγμα 9. Εύρημα , αν , , .

Λύση. Λόγω των ιδιοτήτων του βαθμωτού προϊόντος, έχουμε:

Παράδειγμα 10. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , όπου και - μοναδιαία διανύσματα και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και είναι ίση με 120ο.

Λύση. Εχουμε: , ,

Τέλος έχουμε: .

5 Β. διανυσματικό προϊόν.

Ορισμός 21.διανυσματική τέχνηδιάνυσμα σε διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα , ή , που ορίζεται από τις ακόλουθες τρεις συνθήκες:

1) Η ενότητα του διανύσματος είναι , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , δηλ. .

Από αυτό προκύπτει ότι ο συντελεστής ενός διασταυρούμενου γινομένου είναι αριθμητικά ίσος με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου χτισμένου σε διανύσματα και όπως στις πλευρές.

2) Το διάνυσμα είναι κάθετο σε καθένα από τα διανύσματα και ( ; ), δηλ. κάθετο στο επίπεδο του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα και .

3) Το διάνυσμα κατευθύνεται με τέτοιο τρόπο ώστε αν το δούμε από το άκρο του, τότε η συντομότερη στροφή από διάνυσμα σε διάνυσμα θα ήταν αριστερόστροφα (τα διανύσματα , , σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό).

Πώς να υπολογίσετε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων;

Κατά τη μελέτη της γεωμετρίας, προκύπτουν πολλά ερωτήματα σχετικά με το θέμα των διανυσμάτων. Ο μαθητής αντιμετωπίζει ιδιαίτερες δυσκολίες όταν είναι απαραίτητο να βρει τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων.

Βασικοί όροι

Πριν εξετάσετε τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων, είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με τον ορισμό ενός διανύσματος και την έννοια της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Διάνυσμα είναι ένα τμήμα που έχει κατεύθυνση, δηλαδή ένα τμήμα για το οποίο ορίζεται η αρχή και το τέλος του.

Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων σε ένα επίπεδο που έχουν κοινή αρχή είναι η μικρότερη από τις γωνίες, κατά την οποία απαιτείται να μετακινηθεί ένα από τα διανύσματα γύρω από ένα κοινό σημείο, σε μια θέση όπου οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν.

Φόρμουλα Λύσης

Μόλις καταλάβετε τι είναι ένα διάνυσμα και πώς προσδιορίζεται η γωνία του, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Ο τύπος λύσης για αυτό είναι αρκετά απλός και το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θα είναι η τιμή του συνημιτόνου της γωνίας. Εξ ορισμού, ισούται με το πηλίκο του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων και το γινόμενο των μηκών τους.

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων θεωρείται ως το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων πολλαπλασιαστή που πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους. Το μήκος ενός διανύσματος, ή ο συντελεστής του, υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του.

Έχοντας λάβει την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας, μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της ίδιας της γωνίας χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό πίνακα.

Παράδειγμα

Αφού καταλάβετε πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, η λύση στο αντίστοιχο πρόβλημα γίνεται απλή και απλή. Ως παράδειγμα, εξετάστε το απλό πρόβλημα εύρεσης του μεγέθους μιας γωνίας.

Πρώτα απ 'όλα, θα είναι πιο βολικό να υπολογίσουμε τις τιμές των μηκών των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους που είναι απαραίτητο για την επίλυση. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω περιγραφή, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο, υπολογίζουμε την τιμή του συνημιτόνου της επιθυμητής γωνίας:

Αυτός ο αριθμός δεν είναι μία από τις πέντε κοινές τιμές συνημιτόνου, επομένως για να λάβετε την τιμή της γωνίας, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή ή τον τριγωνομετρικό πίνακα Bradis. Αλλά πριν λάβουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, ο τύπος μπορεί να απλοποιηθεί για να απαλλαγούμε από το επιπλέον αρνητικό πρόσημο:

Η τελική απάντηση μπορεί να παραμείνει σε αυτή τη φόρμα για να διατηρηθεί η ακρίβεια ή μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες. Σύμφωνα με τον πίνακα Bradis, η τιμή του θα είναι περίπου 116 μοίρες και 70 λεπτά και η αριθμομηχανή θα δείξει τιμή 116,57 μοίρες.

Υπολογισμός γωνίας σε ν-διάστατο χώρο

Όταν εξετάζουμε δύο διανύσματα σε τρισδιάστατο χώρο, είναι πολύ πιο δύσκολο να καταλάβουμε για ποια γωνία μιλάμε αν δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Για να απλοποιήσετε την αντίληψη, μπορείτε να σχεδιάσετε δύο τεμνόμενα τμήματα που σχηματίζουν τη μικρότερη γωνία μεταξύ τους και θα είναι η επιθυμητή. Παρά την παρουσία μιας τρίτης συντεταγμένης στο διάνυσμα, η διαδικασία υπολογισμού των γωνιών μεταξύ των διανυσμάτων δεν θα αλλάξει. Υπολογίστε το βαθμωτό γινόμενο και τις μονάδες των διανυσμάτων, την αρκοσίνη του πηλίκου τους και θα είναι η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα.

Στη γεωμετρία, συχνά εμφανίζονται προβλήματα με χώρους που έχουν περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Αλλά για αυτούς, ο αλγόριθμος για την εύρεση της απάντησης μοιάζει παρόμοιος.

Διαφορά μεταξύ 0 και 180 μοιρών

Ένα από τα κοινά λάθη κατά τη σύνταξη μιας απάντησης σε ένα πρόβλημα που έχει σχεδιαστεί για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι η απόφαση να γράψουμε ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα, δηλαδή, η επιθυμητή γωνία αποδείχθηκε ότι ήταν 0 ή 180 μοίρες. Αυτή η απάντηση είναι λανθασμένη.

Έχοντας λάβει μια τιμή γωνίας 0 μοιρών ως αποτέλεσμα της λύσης, η σωστή απάντηση θα ήταν να ορίσουμε τα διανύσματα ως συνκατευθυνόμενα, δηλαδή τα διανύσματα θα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Στην περίπτωση λήψης 180 μοιρών, τα διανύσματα θα έχουν τη φύση αντίθετων κατευθύνσεων.

Ειδικά Διανύσματα

Με την εύρεση των γωνιών μεταξύ των διανυσμάτων, μπορεί να βρεθεί ένας από τους ειδικούς τύπους, εκτός από τους συνκατευθυνόμενους και αντίθετα κατευθυνόμενους που περιγράφηκαν παραπάνω.

• Πολλά διανύσματα παράλληλα σε ένα επίπεδο ονομάζονται συνεπίπεδα.
• Τα διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και φορά ονομάζονται ίσα.
• Τα διανύσματα που βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση, ονομάζονται συγγραμμικά.
• Αν το μήκος του διανύσματος είναι μηδέν, δηλαδή η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν, τότε λέγεται μηδέν και αν είναι ένα, τότε λέγεται ένα.

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων;

Βοηθήστε με παρακαλώ! Ξέρω τον τύπο αλλά δεν μπορώ να τον καταλάβω
διάνυσμα a (8; 10; 4) διάνυσμα b (5; -20; -10)

Αλεξάντερ Τίτοφ

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που δίνονται από τις συντεταγμένες τους βρίσκεται σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο. Πρώτα πρέπει να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων a και b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Αντικαθιστούμε εδώ τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων και θεωρούμε:
(α,β) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τα μήκη καθενός από τα διανύσματα. Το μήκος ή το μέτρο ενός διανύσματος είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του:
|α| = ρίζα του (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ρίζα του (8^2 + 10^2 + 4^2) = ρίζα του (64 + 100 + 16) = ρίζα του 180 = 6 ρίζες του 5
|β| = τετραγωνική ρίζα του (x2^2 + y2^2 + z2^2) = τετραγωνική ρίζα του (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = τετραγωνική ρίζα του (25 + 400 + 100 ) = τετραγωνική ρίζα από 525 = 5 ρίζες από 21.
Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα μήκη. Παίρνουμε 30 ρίζες από τις 105.
Και τέλος, διαιρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων. Παίρνουμε -200 / (30 ρίζες από 105) ή
- (4 ρίζες του 105) / 63. Αυτό είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Και η ίδια η γωνία είναι ίση με το συνημίτονο τόξου αυτού του αριθμού
f \u003d τόξα (-4 ρίζες από 105) / 63.
Αν μέτρησα σωστά.

Πώς να υπολογίσετε το ημίτονο μιας γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων

Μιχαήλ Τκάτσεφ

Πολλαπλασιάζουμε αυτά τα διανύσματα. Το γινόμενο κουκίδων τους είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Η γωνία είναι άγνωστη σε εμάς, αλλά οι συντεταγμένες είναι γνωστές.
Ας το γράψουμε μαθηματικά έτσι.
Έστω, δίνονται τα διανύσματα a(x1;y1) και b(x2;y2)
Επειτα

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Διαφωνούμε.
Το α*β-κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων των συντεταγμένων αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή ίσο με x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-το γινόμενο των διανυσματικών μηκών είναι ίσο με √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Άρα το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων είναι:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Γνωρίζοντας το συνημίτονο μιας γωνίας, μπορούμε να υπολογίσουμε το ημίτονο της. Ας συζητήσουμε πώς να το κάνουμε:

Αν το συνημίτονο μιας γωνίας είναι θετικό, τότε αυτή η γωνία βρίσκεται σε 1 ή 4 τέταρτα, άρα το ημίτονο της είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Επειδή όμως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι μικρότερη ή ίση με 180 μοίρες, τότε το ημίτονο του είναι θετικό. Ομοίως υποστηρίζουμε αν το συνημίτονο είναι αρνητικό.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Αυτό είναι)))) καλή τύχη να το καταλάβεις)))

Ντμίτρι Λεβίτσεφ

Το γεγονός ότι είναι αδύνατο να γίνει απευθείας ημιτονία δεν είναι αλήθεια.
Εκτός από τον τύπο:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Υπάρχει και αυτό:
||=|α|*|β|*αμαρτία Α
Δηλαδή, αντί για το βαθμωτό γινόμενο, μπορείτε να πάρετε τη μονάδα του διανυσματικού γινόμενου.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Συνεχίζουμε να ασχολούμαστε με διανύσματα. Στο πρώτο μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελαΈχουμε εξετάσει την έννοια του διανύσματος, τις ενέργειες με διανύσματα, τις συντεταγμένες του διανύσματος και τα απλούστερα προβλήματα με διανύσματα. Εάν ήρθατε σε αυτή τη σελίδα για πρώτη φορά από μηχανή αναζήτησης, σας συνιστώ ανεπιφύλακτα να διαβάσετε το παραπάνω εισαγωγικό άρθρο, γιατί για να αφομοιώσετε το υλικό, πρέπει να καθοδηγηθείτε στους όρους και τη σημειογραφία που χρησιμοποιώ, να έχετε βασικές γνώσεις διανυσμάτων και να μπορεί να λύνει στοιχειώδη προβλήματα. Αυτό το μάθημα είναι μια λογική συνέχεια του θέματος και σε αυτό θα αναλύσω λεπτομερώς τυπικές εργασίες που χρησιμοποιούν το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Αυτή είναι μια ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ δουλειά.. Προσπαθήστε να μην παραλείψετε τα παραδείγματα, συνοδεύονται από ένα χρήσιμο μπόνους - η πρακτική θα σας βοηθήσει να εμπεδώσετε το υλικό που καλύπτεται και να "πιάσετε το χέρι σας" στην επίλυση κοινών προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Προσθήκη διανυσμάτων, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό…. Θα ήταν αφελές να πιστεύουμε ότι οι μαθηματικοί δεν έχουν καταλήξει σε κάτι άλλο. Εκτός από τις ενέργειες που έχουν ήδη εξεταστεί, υπάρχει μια σειρά από άλλες πράξεις με διανύσματα, και συγκεκριμένα: τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνκαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων μας είναι γνωστό από το σχολείο, τα άλλα δύο προϊόντα σχετίζονται παραδοσιακά με το μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Τα θέματα είναι απλά, ο αλγόριθμος για την επίλυση πολλών προβλημάτων στερεότυπος και κατανοητός. Το μόνο πράγμα. Υπάρχει ένας αξιοπρεπής όγκος πληροφοριών, επομένως δεν είναι επιθυμητό να προσπαθήσετε να ελέγξετε και να λύσετε ΟΛΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΜΟΝΑ. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ανδρείκελα, πιστέψτε με, ο συγγραφέας δεν θέλει απολύτως να αισθάνεται σαν τον Chikatilo από τα μαθηματικά. Λοιπόν, ούτε από τα μαθηματικά, φυσικά, =) Οι πιο προετοιμασμένοι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα υλικά επιλεκτικά, κατά κάποιο τρόπο, για να «αποκτήσουν» τη γνώση που λείπει, για εσάς θα είμαι ένας ακίνδυνος Κόμης Δράκουλας =)

Τέλος, ας ανοίξουμε λίγο την πόρτα και ας ρίξουμε μια ματιά στο τι συμβαίνει όταν δύο διανύσματα συναντώνται μεταξύ τους….

Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων.
Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Τυπικές εργασίες

Η έννοια του προϊόντος κουκίδων

Πρώτα για γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Νομίζω ότι όλοι κατανοούν διαισθητικά ποια είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, αλλά για κάθε περίπτωση, λίγο περισσότερο. Θεωρήστε ελεύθερα μη μηδενικά διανύσματα και . Αν αναβάλουμε αυτά τα διανύσματα από ένα αυθαίρετο σημείο, τότε παίρνουμε μια εικόνα που πολλοί έχουν ήδη παρουσιάσει νοερά:

Ομολογώ, εδώ περιέγραψα την κατάσταση μόνο σε επίπεδο κατανόησης. Εάν χρειάζεστε έναν αυστηρό ορισμό της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων, ανατρέξτε στο εγχειρίδιο, αλλά για πρακτικές εργασίες, κατ 'αρχήν, δεν το χρειαζόμαστε. Επίσης ΕΔΩ ΚΑΙ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ, μερικές φορές αγνοώ μηδενικά διανύσματα λόγω της χαμηλής πρακτικής σημασίας τους. Έκανα μια κράτηση ειδικά για προχωρημένους επισκέπτες του ιστότοπου, οι οποίοι μπορούν να με κατηγορήσουν για τη θεωρητική ανεπάρκεια ορισμένων από τις παρακάτω δηλώσεις.

μπορεί να λάβει τιμές από 0 έως 180 μοίρες (από 0 έως ακτίνια) συμπεριλαμβανομένων. Αναλυτικά, αυτό το γεγονός γράφεται ως διπλή ανισότητα: ή (σε ακτίνια).

Στη βιβλιογραφία, το εικονίδιο γωνίας συχνά παραλείπεται και απλώς γράφεται.

Ορισμός:Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

Τώρα αυτός είναι ένας αρκετά αυστηρός ορισμός.

Εστιάζουμε σε βασικές πληροφορίες:

Ονομασία:το κλιμακωτό γινόμενο συμβολίζεται με ή απλά .

Το αποτέλεσμα της επέμβασης είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: Πολλαπλασιάστε ένα διάνυσμα με ένα διάνυσμα για να πάρετε έναν αριθμό. Πράγματι, αν τα μήκη των διανυσμάτων είναι αριθμοί, το συνημίτονο της γωνίας είναι ένας αριθμός, τότε το γινόμενο τους θα είναι επίσης ένας αριθμός.

Μόνο μερικά παραδείγματα προθέρμανσης:

Παράδειγμα 1

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο . Σε αυτήν την περίπτωση:

Απάντηση:

Οι τιμές συνημιτόνου μπορούν να βρεθούν στο τριγωνομετρικός πίνακας. Συνιστώ να το εκτυπώσετε - θα απαιτείται σχεδόν σε όλα τα τμήματα του πύργου και θα απαιτηθεί πολλές φορές.

Καθαρά από μαθηματική άποψη, το κλιμακωτό γινόμενο είναι αδιάστατο, δηλαδή το αποτέλεσμα, στη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι απλώς ένας αριθμός και τέλος. Από την άποψη των προβλημάτων της φυσικής, το κλιμακωτό γινόμενο έχει πάντα μια συγκεκριμένη φυσική σημασία, δηλαδή, μετά το αποτέλεσμα, πρέπει να υποδεικνύεται μία ή άλλη φυσική μονάδα. Το κανονικό παράδειγμα υπολογισμού του έργου μιας δύναμης μπορεί να βρεθεί σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο (ο τύπος είναι ακριβώς ένα γινόμενο με τελείες). Το έργο μιας δύναμης μετριέται σε Joules, επομένως, η απάντηση θα γραφτεί πολύ συγκεκριμένα, για παράδειγμα,.

Παράδειγμα 2

Βρείτε αν , και η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτοαπόφασης, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Γωνία μεταξύ διανυσμάτων και τιμής προϊόντος κουκκίδας

Στο Παράδειγμα 1, το βαθμωτό γινόμενο αποδείχθηκε θετικό και στο Παράδειγμα 2, αποδείχθηκε αρνητικό. Ας μάθουμε από τι εξαρτάται το πρόσημο του βαθμωτού προϊόντος. Ας δούμε τον τύπο μας: . Τα μήκη των μη μηδενικών διανυσμάτων είναι πάντα θετικά: , οπότε το πρόσημο μπορεί να εξαρτάται μόνο από την τιμή του συνημιτόνου.

Σημείωση: Για καλύτερη κατανόηση των παρακάτω πληροφοριών, είναι καλύτερο να μελετήσετε το γράφημα συνημιτόνου στο εγχειρίδιο Γραφήματα και ιδιότητες συνάρτησης. Δείτε πώς συμπεριφέρεται το συνημίτονο στο τμήμα.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να ποικίλλει εντός και είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης: (από 0 έως 90 μοίρες), τότε , και το προϊόν κουκκίδας θα είναι θετικό συν-σκηνοθεσία, τότε η γωνία μεταξύ τους θεωρείται μηδέν και το βαθμωτό γινόμενο θα είναι επίσης θετικό. Αφού , τότε ο τύπος απλοποιείται: .

2) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων χαζος: (από 90 έως 180 μοίρες), λοιπόν και αντίστοιχα, το προϊόν κουκκίδας είναι αρνητικό: . Ειδική περίπτωση: αν τα διανύσματα κατευθύνεται αντίθετα, τότε εξετάζεται η γωνία μεταξύ τους αναπτυχθεί: (180 μοίρες). Το κλιμακωτό γινόμενο είναι επίσης αρνητικό, αφού

Οι αντίστροφες δηλώσεις είναι επίσης αληθείς:

1) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι οξεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα είναι ομοκατευθυντικά.

2) Αν , τότε η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων είναι αμβλεία. Εναλλακτικά, τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα.

Όμως η τρίτη περίπτωση παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

3) Αν γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων ευθεία: (90 μοίρες) τότε και το προϊόν κουκκίδας είναι μηδέν: . Ισχύει και το αντίστροφο: αν , τότε . Η συμπαγής δήλωση διατυπώνεται ως εξής: Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι μηδέν αν και μόνο αν τα δεδομένα διανύσματα είναι ορθογώνια. Σύντομη μαθηματική σημειογραφία:

! Σημείωση : επαναλαμβάνω θεμέλια της μαθηματικής λογικής: το εικονίδιο λογικής συνέπειας διπλής όψης συνήθως διαβάζεται "εάν και μόνο τότε", "εάν και μόνο εάν". Όπως μπορείτε να δείτε, τα βέλη κατευθύνονται και προς τις δύο κατευθύνσεις - "από αυτό ακολουθεί αυτό, και αντίστροφα - από αυτό ακολουθεί αυτό." Ποια είναι, παρεμπιπτόντως, η διαφορά από το εικονίδιο μονόδρομης παρακολούθησης; Ισχυρισμοί εικονιδίων μόνο αυτόότι «από αυτό προκύπτει αυτό», και όχι το ότι ισχύει το αντίστροφο. Για παράδειγμα: , αλλά δεν είναι κάθε ζώο πάνθηρας, επομένως το εικονίδιο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτήν την περίπτωση. Ταυτόχρονα, αντί για το εικονίδιο μπορώχρησιμοποιήστε το εικονίδιο μιας όψης. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση του προβλήματος, ανακαλύψαμε ότι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα διανύσματα είναι ορθογώνια: - μια τέτοια εγγραφή θα είναι σωστή και ακόμη πιο κατάλληλη από .

Η τρίτη περίπτωση έχει μεγάλη πρακτική σημασία., καθώς σας επιτρέπει να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή όχι. Θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος.

Ιδιότητες προϊόντος με κουκκίδες

Ας επιστρέψουμε στην κατάσταση όταν δύο διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Σε αυτήν την περίπτωση, η γωνία μεταξύ τους είναι μηδέν, και ο τύπος του κλιμακωτού γινομένου παίρνει τη μορφή: .

Τι συμβαίνει αν ένα διάνυσμα πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του; Είναι σαφές ότι το διάνυσμα είναι συν-κατευθυνόμενο με τον εαυτό του, επομένως χρησιμοποιούμε τον παραπάνω απλοποιημένο τύπο:

Ο αριθμός καλείται κλιμακωτό τετράγωνοδιάνυσμα , και συμβολίζονται ως .

Με αυτόν τον τρόπο, το βαθμωτό τετράγωνο ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του δεδομένου διανύσματος:

Από αυτή την ισότητα, μπορείτε να πάρετε έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:

Αν και φαίνεται σκοτεινό, αλλά οι εργασίες του μαθήματος θα βάλουν τα πάντα στη θέση τους. Για να λύσουμε προβλήματα, χρειαζόμαστε επίσης ιδιότητες προϊόντος κουκκίδας.

Για αυθαίρετα διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) - μετατοπιζόμενο ή ανταλλακτικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων.

2) - διανομή ή διανεμητικόςνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Με απλά λόγια, μπορείτε να ανοίξετε παρενθέσεις.

3) - συνδυασμός ή προσεταιριστικήνόμος κλιμακωτών προϊόντων. Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το βαθμωτό γινόμενο.

Συχνά, κάθε είδους ιδιότητες (που πρέπει επίσης να αποδειχθούν!) Εκλαμβάνονται από τους μαθητές ως περιττά σκουπίδια, τα οποία πρέπει μόνο να απομνημονευθούν και να ξεχαστούν με ασφάλεια αμέσως μετά την εξέταση. Φαίνεται ότι αυτό που είναι σημαντικό εδώ, όλοι γνωρίζουν ήδη από την πρώτη τάξη ότι το προϊόν δεν αλλάζει από μια μετάθεση των παραγόντων:. Πρέπει να σας προειδοποιήσω, στα ανώτερα μαθηματικά με μια τέτοια προσέγγιση είναι εύκολο να μπλέξετε τα πράγματα. Έτσι, για παράδειγμα, η ιδιότητα αντικατάστασης δεν ισχύει για αλγεβρικοί πίνακες. Δεν είναι αλήθεια για διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων. Επομένως, είναι τουλάχιστον καλύτερο να εμβαθύνετε σε όποιες ιδιότητες θα συναντήσετε κατά τη διάρκεια των ανώτερων μαθηματικών για να καταλάβετε τι μπορεί και τι δεν μπορεί να γίνει.

Παράδειγμα 3

.

Λύση:Αρχικά, ας ξεκαθαρίσουμε την κατάσταση με το διάνυσμα. Τι είναι αυτό; Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ένα καλά καθορισμένο διάνυσμα, το οποίο συμβολίζεται με . Η γεωμετρική ερμηνεία των ενεργειών με διανύσματα μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Διανύσματα για ανδρείκελα. Ο ίδιος μαϊντανός με διάνυσμα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Έτσι, σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί το βαθμωτό γινόμενο. Θεωρητικά, πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο εργασίας , αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν γνωρίζουμε τα μήκη των διανυσμάτων και τη γωνία μεταξύ τους. Αλλά στη συνθήκη, παρόμοιες παράμετροι δίνονται για διανύσματα, οπότε θα πάμε προς την άλλη κατεύθυνση:

(1) Αντικαθιστούμε εκφράσεις διανυσμάτων .

(2) Ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων, ένα χυδαίο στριφτάρι γλώσσας μπορεί να βρεθεί στο άρθρο Μιγαδικοί αριθμοίή Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης. Δεν θα επαναλάβω τον εαυτό μου =) Παρεμπιπτόντως, η διανεμητική ιδιότητα του βαθμωτού προϊόντος μας επιτρέπει να ανοίξουμε τις αγκύλες. Έχουμε το δικαίωμα.

(3) Στον πρώτο και τον τελευταίο όρο, γράφουμε συμπαγή τα βαθμωτά τετράγωνα των διανυσμάτων: . Στον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε τη δυνατότητα μετατροπής του κλιμακωτού γινομένου: .

(4) Ακολουθούν παρόμοιοι όροι: .

(5) Στον πρώτο όρο, χρησιμοποιούμε τον βαθμωτό τετράγωνο τύπο, ο οποίος αναφέρθηκε όχι πολύ καιρό πριν. Στον τελευταίο όρο, αντίστοιχα, λειτουργεί το ίδιο: . Ο δεύτερος όρος επεκτείνεται σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

(6) Αντικαταστήστε αυτές τις προϋποθέσεις , και πραγματοποιήστε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τους τελικούς υπολογισμούς.

Απάντηση:

Η αρνητική τιμή του γινόμενου κουκίδων δηλώνει το γεγονός ότι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία.

Η εργασία είναι τυπική, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 4

Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και , αν είναι γνωστό ότι .

Τώρα μια άλλη κοινή εργασία, μόνο για τον νέο τύπο μήκους διανύσματος. Οι χαρακτηρισμοί εδώ θα επικαλύπτονται λίγο, οπότε για λόγους σαφήνειας, θα το ξαναγράψω με διαφορετικό γράμμα:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Λύσηθα είναι ως εξής:

(1) Παρέχουμε τη διανυσματική έκφραση .

(2) Χρησιμοποιούμε τον τύπο μήκους: , ενώ έχουμε μια ακέραια παράσταση ως διάνυσμα "ve".

(3) Χρησιμοποιούμε τον σχολικό τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος. Δώστε προσοχή στο πώς λειτουργεί περιέργως εδώ: - στην πραγματικότητα, αυτό είναι το τετράγωνο της διαφοράς και, στην πραγματικότητα, είναι έτσι. Όσοι επιθυμούν μπορούν να αναδιατάξουν τα διανύσματα σε σημεία: - αποδείχθηκε το ίδιο μέχρι μια αναδιάταξη των όρων.

(4) Αυτό που ακολουθεί είναι ήδη γνωστό από τα δύο προηγούμενα προβλήματα.

Απάντηση:

Δεδομένου ότι μιλάμε για μήκος, μην ξεχάσετε να υποδείξετε τη διάσταση - "μονάδες".

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος αν .

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Συνεχίζουμε να αποσπάμε χρήσιμα πράγματα από το βαθμωτό προϊόν. Ας δούμε ξανά τη φόρμουλα μας . Με τον κανόνα της αναλογίας, επαναφέρουμε τα μήκη των διανυσμάτων στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς:

Ας ανταλλάξουμε τα μέρη:

Ποιο είναι το νόημα αυτού του τύπου; Εάν είναι γνωστά τα μήκη δύο διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους, τότε μπορεί να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων και, κατά συνέπεια, η ίδια η γωνία.

Το κλιμακωτό γινόμενο είναι αριθμός; Αριθμός. Τα διανυσματικά μήκη είναι αριθμοί; Αριθμοί. Άρα ένα κλάσμα είναι και ένας αριθμός. Και αν το συνημίτονο της γωνίας είναι γνωστό: , τότε χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία: .

Παράδειγμα 7

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , αν είναι γνωστό ότι .

Λύση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Στο τελικό στάδιο των υπολογισμών, χρησιμοποιήθηκε μια τεχνική - η εξάλειψη του παραλογισμού στον παρονομαστή. Για να εξαλείψω τον παραλογισμό, πολλαπλασίασα τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί .

Οπότε αν , έπειτα:

Οι τιμές των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορούν να βρεθούν από τριγωνομετρικός πίνακας. Αν και αυτό συμβαίνει σπάνια. Σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, κάποια αδέξια αρκούδα εμφανίζεται πολύ πιο συχνά και η τιμή της γωνίας πρέπει να βρεθεί περίπου χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Στην πραγματικότητα, θα δούμε αυτή την εικόνα ξανά και ξανά.

Απάντηση:

Και πάλι, μην ξεχάσετε να καθορίσετε τη διάσταση - ακτίνια και μοίρες. Προσωπικά, για να καταργήσω σκόπιμα όλες τις ερωτήσεις, προτιμώ να αναφέρω και τις δύο (εκτός, φυσικά, υπό όρους, απαιτείται η παρουσίαση της απάντησης μόνο σε ακτίνια ή μόνο σε μοίρες).

Τώρα θα είστε σε θέση να αντιμετωπίσετε μόνοι σας ένα πιο δύσκολο έργο:

Παράδειγμα 7*

Δίνονται τα μήκη των διανυσμάτων και η γωνία μεταξύ τους. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων , .

Το έργο δεν είναι τόσο δύσκολο όσο πολύπλευρο.
Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο επίλυσης:

1) Σύμφωνα με την συνθήκη, απαιτείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και , επομένως πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο .

2) Βρίσκουμε το βαθμωτό γινόμενο (βλ. Παραδείγματα Νο. 3, 4).

3) Βρείτε το μήκος του διανύσματος και το μήκος του διανύσματος (βλ. Παραδείγματα Νο. 5, 6).

4) Το τέλος της λύσης συμπίπτει με το Παράδειγμα Νο. 7 - γνωρίζουμε τον αριθμό , πράγμα που σημαίνει ότι είναι εύκολο να βρεθεί η ίδια η γωνία:

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Η δεύτερη ενότητα του μαθήματος είναι αφιερωμένη στο ίδιο γινόμενο κουκίδων. Συντεταγμένες. Θα είναι ακόμα πιο εύκολο από ότι στο πρώτο μέρος.

Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων,
δίνονται από συντεταγμένες σε ορθοκανονική βάση

Απάντηση:

Περιττό να πούμε ότι η ενασχόληση με τις συντεταγμένες είναι πολύ πιο ευχάριστη.

Παράδειγμα 14

Να βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και αν

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συσχέτιση της πράξης, δηλαδή να μην μετράτε, αλλά να βγάλετε αμέσως το τριπλό από το βαθμωτό γινόμενο και να πολλαπλασιάσετε με αυτό τελευταίο. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στο τέλος της παραγράφου, ένα προκλητικό παράδειγμα υπολογισμού του μήκους ενός διανύσματος:

Παράδειγμα 15

Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων , αν

Λύση:και πάλι η μέθοδος της προηγούμενης ενότητας προτείνεται από μόνη της: αλλά υπάρχει και άλλος τρόπος:

Ας βρούμε το διάνυσμα:

Και το μήκος του σύμφωνα με τον ασήμαντο τύπο :

Το βαθμωτό προϊόν δεν είναι καθόλου σχετικό εδώ!

Πόσο εκτός λειτουργίας είναι κατά τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος:
Να σταματήσει. Γιατί να μην εκμεταλλευτείτε την προφανή ιδιότητα μήκους ενός διανύσματος; Τι μπορεί να ειπωθεί για το μήκος ενός διανύσματος; Αυτό το διάνυσμα είναι 5 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα. Η κατεύθυνση είναι αντίθετη, αλλά δεν πειράζει, γιατί μιλάμε για μήκος. Προφανώς, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με το γινόμενο μονάδα μέτρησηςαριθμοί ανά διάνυσμα μήκος:
- το σημάδι της ενότητας "τρώει" το πιθανό μείον του αριθμού.

Με αυτόν τον τρόπο:

Απάντηση:

Ο τύπος για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων που δίνονται με συντεταγμένες

Τώρα έχουμε πλήρεις πληροφορίες έτσι ώστε ο τύπος που προέκυψε προηγουμένως για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων εκφραστεί με όρους διανυσματικών συντεταγμένων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των επίπεδων διανυσμάτωνκαι , που δίνονται στην ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:
.

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων του χώρου, που δίνεται στην ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 16

Δίνονται τρεις κορυφές τριγώνου. Βρείτε (γωνία κορυφής ).

Λύση:Κατά συνθήκη, το σχέδιο δεν απαιτείται, αλλά και πάλι:

Η απαιτούμενη γωνία σημειώνεται με πράσινο τόξο. Υπενθυμίζουμε αμέσως τον σχολικό προσδιορισμό της γωνίας: - ιδιαίτερη προσοχή Μέσηςγράμμα - αυτή είναι η κορυφή της γωνίας που χρειαζόμαστε. Για συντομία, θα μπορούσε να γραφτεί και απλά.

Από το σχέδιο είναι προφανές ότι η γωνία του τριγώνου συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και, με άλλα λόγια: .

Είναι επιθυμητό να μάθετε πώς να κάνετε την ανάλυση που εκτελείται διανοητικά.

Ας βρούμε τα διανύσματα:

Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Και τα μήκη των διανυσμάτων:

Συνημίτονο γωνίας:

Αυτή είναι η σειρά της εργασίας που προτείνω στα ανδρείκελα. Οι πιο προχωρημένοι αναγνώστες μπορούν να γράψουν τους υπολογισμούς "σε μία γραμμή":

Εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας "κακής" τιμής συνημιτόνου. Η τιμή που προκύπτει δεν είναι τελική, επομένως δεν έχει πολύ νόημα να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας βρούμε τη γωνία:

Αν κοιτάξετε το σχέδιο, το αποτέλεσμα είναι αρκετά εύλογο. Για να ελέγξετε τη γωνία μπορεί επίσης να μετρηθεί με ένα μοιρογνωμόνιο. Μην καταστρέφετε την επίστρωση της οθόνης =)

Απάντηση:

Στην απάντηση, μην το ξεχνάτε αυτό ρώτησε για τη γωνία του τριγώνου(και όχι για τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων), μην ξεχάσετε να υποδείξετε την ακριβή απάντηση: και την κατά προσέγγιση τιμή της γωνίας: βρέθηκε με μια αριθμομηχανή.

Όσοι έχουν απολαύσει τη διαδικασία μπορούν να υπολογίσουν τις γωνίες και να βεβαιωθούν ότι η κανονική ισότητα είναι αληθινή

Παράδειγμα 17

Ένα τρίγωνο δίνεται στο διάστημα από τις συντεταγμένες των κορυφών του. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των πλευρών και

Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος

Μια μικρή τελική ενότητα θα αφιερωθεί στις προβολές, στις οποίες «εμπλέκεται» και το βαθμωτό προϊόν:

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα. Διανυσματική προβολή σε άξονες συντεταγμένων.
Διάνυσμα συνημίτονα κατεύθυνσης

Εξετάστε τα διανύσματα και:

Προβάλλουμε το διάνυσμα στο διάνυσμα, για αυτό παραλείπουμε την αρχή και το τέλος του διανύσματος κάθετεςανά διάνυσμα (πράσινες διακεκομμένες γραμμές). Φανταστείτε ότι ακτίνες φωτός πέφτουν κάθετα σε ένα διάνυσμα. Τότε το τμήμα (κόκκινη γραμμή) θα είναι η «σκιά» του διανύσματος. Στην περίπτωση αυτή, η προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα είναι το ΜΗΚΟΣ του τμήματος. Δηλαδή η ΠΡΟΒΟΛΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Αυτός ο ΑΡΙΘΜΟΣ συμβολίζεται ως εξής: , "μεγάλο διάνυσμα" υποδηλώνει ένα διάνυσμα ΠΟΥ ΤΟέργο, το "small subscript vector" υποδηλώνει το διάνυσμα ΣΤΟπου προβάλλεται.

Το ίδιο το λήμμα έχει ως εξής: «η προβολή του διανύσματος «a» στο διάνυσμα «be»».

Τι συμβαίνει εάν το διάνυσμα "be" είναι "πολύ μικρό"; Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be". Και το διάνυσμα "a" θα προβληθεί ήδη προς την κατεύθυνση του διανύσματος "be", απλά - σε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be". Το ίδιο θα συμβεί αν το διάνυσμα "a" παραμεριστεί στο τριακοστό βασίλειο - θα εξακολουθεί να προβάλλεται εύκολα στη γραμμή που περιέχει το διάνυσμα "be".

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων αρωματώδης(όπως στην εικόνα), λοιπόν

Αν οι φορείς ορθογώνιο, τότε (η προβολή είναι ένα σημείο του οποίου οι διαστάσεις θεωρούνται μηδέν).

Αν η γωνίαμεταξύ των διανυσμάτων χαζος(στο σχήμα, αναδιατάξτε νοερά το βέλος του διανύσματος), στη συνέχεια (το ίδιο μήκος, αλλά λαμβάνεται με το σύμβολο μείον).

Αφήστε κατά μέρος αυτά τα διανύσματα από ένα σημείο:

Προφανώς, όταν μετακινείται ένα διάνυσμα, η προβολή του δεν αλλάζει

Εντολή

Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα που δίνονται στο επίπεδο, γραφικά από ένα σημείο: διάνυσμα Α με συντεταγμένες (x1, y1) Β με συντεταγμένες (x2, y2). Γωνίαμεταξύ τους συμβολίζεται ως θ. Για να βρείτε το μέτρο του βαθμού της γωνίας θ, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό του βαθμωτού γινομένου.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας, δηλαδή (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Τώρα πρέπει να εκφράσετε το συνημίτονο της γωνίας από αυτό: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Το κλιμακωτό γινόμενο μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (A,B)=x1*x2+y1*y2, αφού το γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων διανυσμάτων. Εάν το κλιμακωτό γινόμενο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν, τότε τα διανύσματα είναι κάθετα (η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες) και μπορούν να παραληφθούν περαιτέρω υπολογισμοί. Εάν το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι θετικό, τότε η γωνία μεταξύ αυτών φορείςοξεία, και αν αρνητική, τότε η γωνία είναι αμβλεία.

Τώρα υπολογίστε τα μήκη των διανυσμάτων Α και Β χρησιμοποιώντας τους τύπους: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Το μήκος ενός διανύσματος υπολογίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του.

Αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν του βαθμωτού γινομένου και τα μήκη των διανυσμάτων στον τύπο για τη γωνία που λήφθηκε στο βήμα 2, δηλαδή cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Τώρα, γνωρίζοντας την τιμή του , για να βρείτε το μέτρο του βαθμού της γωνίας μεταξύ φορείςπρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα Bradis ή να πάρετε από αυτό: θ=arccos(cos(θ)).

Αν τα διανύσματα Α και Β δίνονται σε τρισδιάστατο χώρο και έχουν συντεταγμένες (x1, y1, z1) και (x2, y2, z2) αντίστοιχα, τότε προστίθεται μια ακόμη συντεταγμένη κατά την εύρεση του συνημιτόνου της γωνίας. Σε αυτήν την περίπτωση συνημίτονο: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Χρήσιμες συμβουλές

Εάν δύο διανύσματα δεν σχεδιάζονται από ένα σημείο, τότε για να βρείτε τη γωνία μεταξύ τους με παράλληλη μετάφραση, πρέπει να συνδυάσετε τις αρχές αυτών των διανυσμάτων.
Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες.

Πηγές:

• πώς να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων
• Γωνία μεταξύ γραμμής και επιπέδου

Για την επίλυση πολλών προβλημάτων, εφαρμοσμένων και θεωρητικών, στη φυσική και στη γραμμική άλγεβρα, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων. Αυτή η φαινομενικά απλή εργασία μπορεί να προκαλέσει πολλές δυσκολίες, εάν δεν κατανοείτε ξεκάθαρα την ουσία του βαθμωτού προϊόντος και ποια αξία εμφανίζεται ως αποτέλεσμα αυτού του προϊόντος.

Εντολή

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων σε έναν γραμμικό διανυσματικό χώρο είναι η ελάχιστη γωνία στο , στην οποία επιτυγχάνεται η συνκατεύθυνση των διανυσμάτων. Ένα από τα διανύσματα μεταφέρεται γύρω από το σημείο εκκίνησης του. Από τον ορισμό, γίνεται προφανές ότι η τιμή της γωνίας δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 180 μοίρες (δείτε το βήμα).

Σε αυτή την περίπτωση, πολύ σωστά θεωρείται ότι σε έναν γραμμικό χώρο, όταν τα διανύσματα μεταφέρονται παράλληλα, η γωνία μεταξύ τους δεν αλλάζει. Επομένως, για τον αναλυτικό υπολογισμό της γωνίας, ο χωρικός προσανατολισμός των διανυσμάτων δεν έχει σημασία.

Το αποτέλεσμα του γινόμενου κουκίδων είναι ένας αριθμός, διαφορετικά ένας βαθμωτός. Θυμηθείτε (αυτό είναι σημαντικό να το γνωρίζετε) για να αποφύγετε σφάλματα σε περαιτέρω υπολογισμούς. Ο τύπος για το βαθμωτό γινόμενο, που βρίσκεται σε ένα επίπεδο ή στο χώρο των διανυσμάτων, έχει τη μορφή (δείτε το σχήμα για το βήμα).

Εάν τα διανύσματα βρίσκονται στο χώρο, τότε εκτελέστε τον υπολογισμό με παρόμοιο τρόπο. Το μόνο πράγμα θα είναι η εμφάνιση του όρου στο μέρισμα - αυτός είναι ο όρος για την αίτηση, δηλ. το τρίτο συστατικό του διανύσματος. Αντίστοιχα, κατά τον υπολογισμό του συντελεστή διανυσμάτων, πρέπει επίσης να λαμβάνεται υπόψη η συνιστώσα z, στη συνέχεια για διανύσματα που βρίσκονται στο χώρο, η τελευταία έκφραση μετατρέπεται ως εξής (βλ. Εικόνα 6 στο βήμα).

Ένα διάνυσμα είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με δεδομένη κατεύθυνση. Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων έχει φυσική σημασία, για παράδειγμα, όταν βρίσκουμε το μήκος της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Εντολή

Γωνία μεταξύ δύο μη μηδενικών διανυσμάτων με χρήση υπολογισμού κουκκίδων. Εξ ορισμού, το γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών και της γωνίας μεταξύ τους. Από την άλλη πλευρά, το εσωτερικό γινόμενο για δύο διανύσματα a με συντεταγμένες (x1; y1) και b με συντεταγμένες (x2; y2) υπολογίζεται: ab = x1x2 + y1y2. Από αυτούς τους δύο τρόπους, το γινόμενο κουκίδων είναι εύκολο να διαμορφωθεί σε γωνία μεταξύ των διανυσμάτων.

Βρείτε τα μήκη ή τις ενότητες των διανυσμάτων. Για τα διανύσματά μας a και b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων πολλαπλασιάζοντας τις συντεταγμένες τους σε ζεύγη: ab = x1x2 + y1y2. Από τον ορισμό του γινόμενου τελείας ab = |a|*|b|*cos α, όπου α είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. Τότε παίρνουμε ότι x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Τότε cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Βρείτε τη γωνία α χρησιμοποιώντας τους πίνακες Bradys.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση

Το βαθμωτό γινόμενο είναι ένα βαθμωτό χαρακτηριστικό των μηκών των διανυσμάτων και της γωνίας μεταξύ τους.

Το επίπεδο είναι μια από τις βασικές έννοιες στη γεωμετρία. Επίπεδο είναι μια επιφάνεια για την οποία η πρόταση είναι αληθής - κάθε ευθεία γραμμή που συνδέει δύο από τα σημεία του ανήκει εξ ολοκλήρου σε αυτήν την επιφάνεια. Τα επίπεδα συνήθως συμβολίζονται με ελληνικά γράμματα α, β, γ κ.λπ. Δύο επίπεδα τέμνονται πάντα σε μια ευθεία που ανήκει και στα δύο επίπεδα.

Εντολή

Θεωρήστε τα ημιεπίπεδα α και β που σχηματίζονται στη τομή του . Γωνία που σχηματίζεται από μια ευθεία γραμμή α και δύο ημιεπίπεδα α και β από μια διεδρική γωνία. Στην περίπτωση αυτή, τα ημιεπίπεδα που σχηματίζουν μια διεδρική γωνία από τις όψεις, η ευθεία a κατά μήκος της οποίας τέμνονται τα επίπεδα ονομάζεται ακμή της διεδρικής γωνίας.

Διεδρική γωνία, όπως μια επίπεδη γωνία, σε μοίρες. Για να φτιάξετε μια διεδρική γωνία, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα αυθαίρετο σημείο O στην όψη του. Και στα δύο, δύο ακτίνες a διατρέχουν το σημείο O. Η γωνία ΑΟΒ που προκύπτει ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας α.

Έστω λοιπόν το διάνυσμα V = (a, b, c) και το επίπεδο A x + B y + C z = 0, όπου A, B και C είναι οι συντεταγμένες του κανονικού N. Τότε το συνημίτονο της γωνίας Το α μεταξύ των διανυσμάτων V και N είναι: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Για να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας σε μοίρες ή ακτίνια, πρέπει να υπολογίσετε τη συνάρτηση αντίστροφη προς το συνημίτονο από την έκφραση που προκύπτει, δηλ. αρκοσίνη: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Παράδειγμα: βρείτε γωνίαμεταξύ διάνυσμα(5, -3, 8) και επίπεδο, που δίνεται από τη γενική εξίσωση 2 x - 5 y + 3 z = 0. Λύση: γράψτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου N = (2, -5, 3). Αντικαταστήστε όλες τις γνωστές τιμές στον παραπάνω τύπο: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Σχετικά βίντεο

Γράψτε μια εξίσωση και απομονώστε το συνημίτονο από αυτήν. Σύμφωνα με έναν τύπο, το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ίσο με τα μήκη τους πολλαπλασιαζόμενα μεταξύ τους και με το συνημίτονο γωνία, και από την άλλη - το άθροισμα των γινομένων των συντεταγμένων κατά μήκος καθενός από τους άξονες. Εξισώνοντας και τους δύο τύπους, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το συνημίτονο γωνίαπρέπει να είναι ίσος με τον λόγο του αθροίσματος των γινομένων των συντεταγμένων προς το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων.

Καταγράψτε την εξίσωση που προκύπτει. Για να γίνει αυτό, πρέπει να ορίσουμε και τα δύο διανύσματα. Ας πούμε ότι δίνονται σε ένα τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα και οι αφετηρίες τους είναι σε ένα πλέγμα. Η κατεύθυνση και το μέγεθος του πρώτου διανύσματος θα δοθεί από το σημείο (X1,Y1,Z1), το δεύτερο - (X2,Y2,Z2), και η γωνία θα συμβολίζεται με το γράμμα γ. Τότε τα μήκη καθενός από τα διανύσματα μπορούν να είναι, για παράδειγμα, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα για σχηματισμό από τις προβολές τους σε κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων: √(X12 + Y12 + Z12) και √(X22 + Y22 + Z2²). Αντικαταστήστε αυτές τις εκφράσεις στον τύπο που διατυπώθηκε στο προηγούμενο βήμα και λαμβάνετε την ισότητα: cos(γ) = (X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2) / (√(X12 + Y1² + Z1²) * √(X₂² + Y22 + Z22 )).

Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι το άθροισμα του τετραγώνου κόλποςκαι συν κόλποςαπό γωνίαμια τιμή δίνει πάντα μια. Ως εκ τούτου, αυξάνοντας αυτό που προέκυψε στο προηγούμενο βήμα για το co κόλποςτετράγωνο και αφαιρώντας από τη μονάδα, και μετά την τετραγωνική ρίζα, λύνεις το πρόβλημα. Γράψτε τον επιθυμητό τύπο σε γενική μορφή: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2) / (√(X1² + Y1² + Z1² ) * √(X22 + Y2² + Z2²)) = √(1 - ((X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2)² / ((X12 + Y12 + Z12 + Z1²) ) )).

Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων (εφεξής στο κείμενο της κοινοπραξίας). Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Η εξέταση των μαθηματικών περιλαμβάνει μια ομάδα προβλημάτων για την επίλυση διανυσμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένα προβλήματα. Μπορείτε να τα δείτε στην κατηγορία "Διανύσματα". Γενικά, η θεωρία των διανυσμάτων είναι απλή, το κύριο πράγμα είναι να τη μελετήσουμε με συνέπεια. Οι υπολογισμοί και οι ενέργειες με διανύσματα στο μάθημα των σχολικών μαθηματικών είναι απλοί, οι τύποι δεν είναι περίπλοκοι. Εξετάσουμε . Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε εργασίες σχετικά με την κοινή επιχείρηση διανυσμάτων (που περιλαμβάνονται στην εξέταση). Τώρα «βύθιση» στη θεωρία:

H Για να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, πρέπει να αφαιρέσετε από τις συντεταγμένες του τέλους τουαντίστοιχες συντεταγμένες της αρχής του

Και επιπλέον:

*Το διανυσματικό μήκος (μέτρο) ορίζεται ως εξής:

Αυτές οι φόρμουλες πρέπει να απομνημονεύονται!!!

Ας δείξουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Είναι σαφές ότι μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως 180 0(ή σε ακτίνια από 0 έως Pi).

Μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα σχετικά με το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου. Τα μήκη των διανυσμάτων είναι προφανώς θετικά. Άρα το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου εξαρτάται από την τιμή του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων.

Πιθανές περιπτώσεις:

1. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι έντονη (από 0 0 έως 90 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει θετική τιμή.

2. Εάν η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία (από 90 0 έως 180 0), τότε το συνημίτονο της γωνίας θα έχει αρνητική τιμή.

*Στις μηδέν μοίρες, όταν δηλαδή τα διανύσματα έχουν την ίδια φορά, το συνημίτονο είναι ίσο με ένα και, κατά συνέπεια, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Στο 180 o, δηλαδή όταν τα διανύσματα έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, το συνημίτονο είναι ίσο με μείον ένα,και το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Τώρα το ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ!

Στο 90 o, δηλαδή, όταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το συνημίτονο είναι μηδέν, και επομένως η κοινοπραξία είναι μηδέν. Αυτό το γεγονός (συνέπεια, συμπέρασμα) χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλημάτων όπου μιλάμε για την αμοιβαία διάταξη των διανυσμάτων, συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων που περιλαμβάνονται στην ανοιχτή τράπεζα εργασιών στα μαθηματικά.

Διατυπώνουμε τη δήλωση: το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τα δεδομένα διανύσματα βρίσκονται σε κάθετες ευθείες.

Έτσι, οι τύποι για τα διανύσματα SP είναι:

Εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων ή οι συντεταγμένες των σημείων των αρχών και των άκρων τους, τότε μπορούμε πάντα να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:

Εξετάστε τα καθήκοντα:

27724 Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων a και b .

Μπορούμε να βρούμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων χρησιμοποιώντας έναν από τους δύο τύπους:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι άγνωστη, αλλά μπορούμε εύκολα να βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο. Εφόσον οι αρχές και των δύο διανυσμάτων συμπίπτουν με την αρχή, οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι ίσες με τις συντεταγμένες των άκρων τους, δηλαδή

Πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος περιγράφεται στο.

Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 40

Βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και χρησιμοποιήστε τον τύπο:

Για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος, που σημαίνει

Υπολογίζουμε το βαθμωτό γινόμενο:

Απάντηση: 40

Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a και b . Δώστε την απάντησή σας σε μοίρες.

Έστω οι συντεταγμένες των διανυσμάτων να έχουν τη μορφή:

Για να βρούμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων:

Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων:

Συνεπώς:

Οι συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων είναι:

Ας τα συνδέσουμε στον τύπο:

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι 45 μοίρες.

Απάντηση: 45