Η γωνία είναι θετική και αρνητική. Αρνητική γωνία

Μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Είναι σχεδόν το ίδιο με το προηγούμενο μάθημα. Υπάρχουν τσεκούρια, ένας κύκλος, μια γωνία, όλα είναι πηγούνι-china. Προστέθηκαν αριθμοί τετάρτων (στις γωνίες ενός μεγάλου τετραγώνου) - από το πρώτο έως το τέταρτο. Και ξαφνικά ποιος δεν ξέρει; Όπως μπορείτε να δείτε, τα τέταρτα (λέγονται και η όμορφη λέξη "τεταρτημόρια") αριθμούνται αριστερόστροφα. Προστέθηκαν τιμές γωνίας σε άξονες. Όλα είναι ξεκάθαρα, χωρίς διακοσμητικά στοιχεία.

Και πρόσθεσε ένα πράσινο βέλος. Με ένα συν. Τι εννοεί; Να σας θυμίσω ότι η σταθερή πλευρά της γωνίας πάντα καρφωμένο στον θετικό άξονα ΟΗ. Έτσι, αν στρίψουμε την κινούμενη πλευρά της γωνίας συν βέλος, δηλ. σε αύξοντες αριθμούς τριμήνου, η γωνία θα θεωρείται θετική.Για παράδειγμα, η εικόνα δείχνει μια θετική γωνία +60°.

Αν αναβάλουμε τις γωνίες προς την αντίθετη κατεύθυνση, δεξιόστροφα, η γωνία θα θεωρείται αρνητική.Τοποθετήστε το δείκτη του ποντικιού πάνω από την εικόνα (ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet), θα δείτε ένα μπλε βέλος με ένα μείον. Αυτή είναι η κατεύθυνση της αρνητικής ανάγνωσης των γωνιών. Μια αρνητική γωνία (-60°) εμφανίζεται ως παράδειγμα. Και θα δείτε επίσης πώς έχουν αλλάξει οι αριθμοί στους άξονες ... τους μετέφρασα και σε αρνητικές γωνίες. Η αρίθμηση των τεταρτημορίων δεν αλλάζει.

Εδώ αρχίζουν συνήθως οι πρώτες παρεξηγήσεις. Πως και έτσι!? Και αν η αρνητική γωνία στον κύκλο συμπίπτει με τη θετική!; Και γενικά, αποδεικνύεται ότι η ίδια θέση της κινητής πλευράς (ή ένα σημείο στον αριθμητικό κύκλο) μπορεί να ονομαστεί και αρνητική και θετική γωνία!;

Ναί. Ακριβώς. Ας υποθέσουμε ότι μια θετική γωνία 90 μοιρών παίρνει έναν κύκλο ακριβώς το ίδιο θέση ως αρνητική γωνία μείον 270 μοιρών. Μια θετική γωνία, για παράδειγμα +110° μοίρες, παίρνει ακριβώς το ίδιο θέση καθώς η αρνητική γωνία είναι -250°.

Κανένα πρόβλημα. Όλα είναι σωστά.) Η επιλογή θετικού ή αρνητικού υπολογισμού της γωνίας εξαρτάται από την κατάσταση της ανάθεσης. Αν η συνθήκη δεν λέει τίποτα απλό κείμενο σχετικά με το πρόσημο της γωνίας, (όπως "προσδιορίστε το μικρότερο θετικόςγωνία», κ.λπ.), τότε εργαζόμαστε με αξίες που μας βολεύουν.

Εξαίρεση (και πώς χωρίς αυτές;!) είναι οι τριγωνομετρικές ανισότητες, αλλά εκεί θα κατακτήσουμε αυτό το κόλπο.

Και τώρα μια ερώτηση για εσάς. Πώς μπορώ να ξέρω ότι η θέση της γωνίας 110° είναι ίδια με τη θέση της γωνίας -250°;
Θα υπενθυμίσω ότι αυτό οφείλεται στον πλήρη τζίρο. Σε 360°... Δεν είναι σαφές; Στη συνέχεια σχεδιάζουμε έναν κύκλο. Ζωγραφίζουμε σε χαρτί. Σήμανση της γωνίας σχετικά με 110°. Και πιστεύωπόσο απομένει μέχρι μια πλήρη στροφή. Απομένουν μόλις 250°...

Το έπιασα? Και τώρα - προσοχή! Αν οι γωνίες 110° και -250° καταλαμβάνουν τον κύκλο ίδιο θέση, τότε τι; Ναι, το γεγονός ότι οι γωνίες είναι 110 ° και -250 ° ακριβώς το ίδιο ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη!
Εκείνοι. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) και ούτω καθεξής. Τώρα αυτό είναι πραγματικά σημαντικό! Και από μόνο του - υπάρχουν πολλά καθήκοντα όπου είναι απαραίτητο να απλοποιηθούν οι εκφράσεις και ως βάση για την επακόλουθη ανάπτυξη τύπων μείωσης και άλλες περιπλοκές της τριγωνομετρίας.

Φυσικά, πήρα 110 ° και -250 ° τυχαία, καθαρά για παράδειγμα. Όλες αυτές οι ισότητες λειτουργούν για οποιεσδήποτε γωνίες καταλαμβάνουν την ίδια θέση στον κύκλο. 60° και -300°, -75° και 285°, και ούτω καθεξής. Σημειώνω αμέσως ότι οι γωνίες σε αυτά τα ζευγάρια - διάφορος.Αλλά έχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις - το ίδιο.

Νομίζω ότι καταλαβαίνεις ποιες είναι οι αρνητικές γωνίες. Είναι αρκετά απλό. Η αριστερόστροφη φορά είναι θετική μέτρηση. Στην πορεία, είναι αρνητικό. Θεωρήστε τη γωνία θετική ή αρνητική εξαρτάται από εμάς. Από την επιθυμία μας. Λοιπόν, και περισσότερα από την εργασία, φυσικά... Ελπίζω να καταλαβαίνετε πώς να μετακινηθείτε σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις από αρνητικές σε θετικές γωνίες και αντίστροφα. Σχεδιάστε έναν κύκλο, μια κατά προσέγγιση γωνία και δείτε πόσα λείπει πριν από μια πλήρη στροφή, δηλ. έως 360°.

Γωνίες μεγαλύτερες από 360°.

Ας ασχοληθούμε με γωνίες που είναι μεγαλύτερες από 360 °. Και συμβαίνουν τέτοια πράγματα; Υπάρχουν φυσικά. Πώς να τα σχεδιάσετε σε έναν κύκλο; Δεν είναι πρόβλημα! Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να καταλάβουμε σε ποιο τέταρτο θα πέσει μια γωνία 1000 °; Εύκολα! Κάνουμε μια πλήρη στροφή αριστερόστροφα (η γωνία μας δόθηκε θετική!). Πίσω 360°. Λοιπόν, ας προχωρήσουμε! Μια άλλη στροφή - έχει ήδη αποδειχθεί 720 °. Πόσο μένει; 280°. Δεν αρκεί για μια πλήρη στροφή ... Αλλά η γωνία είναι μεγαλύτερη από 270 ° - και αυτό είναι το όριο μεταξύ του τρίτου και του τέταρτου τριμήνου. Άρα η γωνία των 1000° πέφτει στο τέταρτο τέταρτο. Τα παντα.

Όπως μπορείτε να δείτε, είναι αρκετά απλό. Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι η γωνία των 1000° και η γωνία των 280°, που αποκτήσαμε απορρίπτοντας τις "επιπλέον" πλήρεις στροφές, είναι, αυστηρά, διάφοροςγωνίες. Αλλά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών ακριβώς το ίδιο! Εκείνοι. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° κ.λπ. Αν ήμουν ημιτόνιο, δεν θα παρατηρούσα τη διαφορά μεταξύ αυτών των δύο γωνιών...

Γιατί είναι απαραίτητα όλα αυτά; Γιατί χρειάζεται να μεταφράσουμε τις γωνίες από τη μία στην άλλη; Ναι, όλα για το ίδιο.) Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις. Η απλοποίηση των εκφράσεων, στην πραγματικότητα, είναι το κύριο καθήκον των σχολικών μαθηματικών. Λοιπόν, στην πορεία, το κεφάλι προπονείται.)

Λοιπόν, θα εξασκηθούμε;)

Απαντάμε σε ερωτήσεις. Απλό στην αρχή.

1. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία -325°;

2. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία 3000°;

3. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία -3000°;

Υπάρχει ένα πρόβλημα? Ή ανασφάλεια; Πηγαίνουμε στην Ενότητα 555, Πρακτική εργασία με τριγωνομετρικό κύκλο. Εκεί, στο πρώτο μάθημα αυτής της πολύ "Πρακτικής εργασίας ..." όλα είναι αναλυτικά ... In τέτοιοςερωτήματα αβεβαιότητας δεν πρέπει!

4. Ποιο είναι το σημάδι της αμαρτίας555°;

5. Ποιο είναι το πρόσημο του tg555°;

Προσδιορίζεται? Εξοχος! Αμφιβολία? Είναι απαραίτητο να Ενότητα 555 ... Με την ευκαιρία, εκεί θα μάθετε πώς να σχεδιάζετε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Πολύ χρήσιμο πράγμα.

Και τώρα οι πιο έξυπνες ερωτήσεις.

6. Φέρτε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.

7. Φέρτε την έκφραση cos777° στο συνημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.

8. Μετατρέψτε την έκφραση cos(-777°) στο συνημίτονο της μικρότερης θετικής γωνίας.

9. Φέρτε την έκφραση sin777° στο ημίτονο της μεγαλύτερης αρνητικής γωνίας.

Τι, ερωτήσεις 6-9 μπερδεμένες; Συνηθίστε το, δεν υπάρχουν τέτοιες διατυπώσεις στο διαγώνισμα ... Έτσι, θα το μεταφράσω. Μόνο για'σένα!

Οι λέξεις "μειώστε την έκφραση σε ..." σημαίνουν να μεταμορφώσετε την έκφραση έτσι ώστε η αξία της δεν έχει αλλάξεικαι η εμφάνιση έχει αλλάξει σύμφωνα με την εργασία. Έτσι, στις εργασίες 6 και 9, πρέπει να πάρουμε ένα ημίτονο, μέσα στο οποίο βρίσκεται η μικρότερη θετική γωνία.Όλα τα άλλα δεν έχουν σημασία.

Θα δώσω τις απαντήσεις με τη σειρά (κατά παράβαση των κανόνων μας). Αλλά τι να κάνετε, υπάρχουν μόνο δύο ζώδια, και μόνο τέσσερα τέταρτα ... Δεν θα σκορπίσετε σε επιλογές.

6. αμαρτία57°.

7.cos(-57°).

8.cos57°.

9.-sin(-57°)

Υποθέτω ότι οι απαντήσεις στις ερωτήσεις 6-9 μπέρδεψαν κάποιους. Ειδικά -sin(-57°), σωστά;) Πράγματι, στους βασικούς κανόνες για τη μέτρηση των γωνιών υπάρχει χώρος για λάθη ... Γι 'αυτό έπρεπε να κάνω ένα μάθημα: "Πώς να προσδιορίσω τα σημάδια των συναρτήσεων και να δώσω γωνίες σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο;" Στην Ενότητα 555. Οι εργασίες 4 - 9 έχουν διευθετηθεί. Καλά ταξινομημένο, με όλες τις παγίδες. Και είναι εδώ.)

Στο επόμενο μάθημα θα ασχοληθούμε με τα μυστηριώδη ακτίνια και τον αριθμό «Πι». Μάθετε πώς να μετατρέπετε εύκολα και σωστά τις μοίρες σε ακτίνια και το αντίστροφο. Και θα εκπλαγούμε να διαπιστώσουμε ότι αυτές οι στοιχειώδεις πληροφορίες στον ιστότοπο αρκετά πια για να λύσετε μερικούς μη τυπικούς γρίφους τριγωνομετρίας!

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Στο τελευταίο μάθημα, κατακτήσαμε με επιτυχία (ή επαναλάβαμε - όπως αρέσει στον καθένα) τις βασικές έννοιες όλης της τριγωνομετρίας. το τριγωνομετρικός κύκλος , γωνία σε κύκλο , ημίτονο και συνημίτονο αυτής της γωνίας και επίσης κατακτήθηκε σημάδια τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε τέταρτα . Έμαθα αναλυτικά. Στα δάχτυλα, θα έλεγε κανείς.

Αλλά αυτό δεν είναι ακόμα αρκετό. Για να εφαρμόσουμε με επιτυχία όλες αυτές τις απλές έννοιες στην πράξη, χρειαζόμαστε μια άλλη χρήσιμη δεξιότητα. Δηλαδή το σωστό δουλεύοντας με γωνίες στην τριγωνομετρία. Χωρίς αυτή την ικανότητα στην τριγωνομετρία - τίποτα. Ακόμα και στα πιο πρωτόγονα παραδείγματα. Γιατί; Ναι, γιατί η γωνία είναι η βασική υποκριτική φιγούρα σε όλη την τριγωνομετρία! Όχι, όχι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όχι ημίτονο με συνημίτονο, όχι εφαπτομένη με συνεφαπτομένη, δηλαδή η ίδια η γωνία. Χωρίς γωνία - χωρίς τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ναι ...

Πώς να δουλέψετε με γωνίες σε κύκλο; Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθουμε ειρωνικά δύο σημεία.

1) ΠωςΜετρώνται οι γωνίες σε έναν κύκλο;

2) Τιείναι μετρημένα (μετρημένα);

Η απάντηση στην πρώτη ερώτηση είναι το θέμα του σημερινού μαθήματος. Με το πρώτο ερώτημα θα ασχοληθούμε λεπτομερώς εδώ και τώρα. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα δεν θα δοθεί εδώ. Γιατί είναι αρκετά ανεπτυγμένο. Όπως και η ίδια η δεύτερη ερώτηση, είναι πολύ ολισθηρή, ναι.) Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες προς το παρόν. Αυτό είναι το θέμα του επόμενου ξεχωριστού μαθήματος.

Να ξεκινήσουμε?

Πώς υπολογίζονται οι γωνίες σε έναν κύκλο; Θετικές και αρνητικές γωνίες.

Όσοι διαβάζουν τον τίτλο της παραγράφου μπορεί να έχουν ήδη τα μαλλιά τους. Πως και έτσι?! Αρνητικές γωνίες; Είναι κι αυτό δυνατό;

προς το αρνητικό αριθμοίτο έχουμε ήδη συνηθίσει. Μπορούμε να τα αναπαραστήσουμε στον αριθμητικό άξονα: θετικά στα δεξιά του μηδενός, αρνητικά στα αριστερά του μηδενός. Ναι, και κοιτάμε περιοδικά το θερμόμετρο έξω από το παράθυρο. Ειδικά το χειμώνα, στον παγετό.) Και τα χρήματα στο τηλέφωνο είναι στο «μείον» (δηλ. καθήκον) μερικές φορές φεύγουν. Είναι όλα γνωστά.

Τι γίνεται όμως με τις γωνίες; Αποδεικνύεται ότι οι αρνητικές γωνίες στα μαθηματικά συμβαίνει επίσης!Όλα εξαρτώνται από το πώς θα μετρήσετε αυτήν ακριβώς τη γωνία ... όχι, όχι σε μια αριθμητική ευθεία, αλλά σε έναν αριθμητικό κύκλο! Δηλαδή σε κύκλο. Κύκλος - εδώ είναι, ένα ανάλογο της αριθμητικής γραμμής στην τριγωνομετρία!

Ετσι, Πώς υπολογίζονται οι γωνίες σε έναν κύκλο;Δεν υπάρχει τίποτα να γίνει, θα πρέπει πρώτα να σχεδιάσουμε αυτόν ακριβώς τον κύκλο.

Θα ζωγραφίσω αυτή την όμορφη εικόνα:

Μοιάζει πολύ με τις εικόνες από το προηγούμενο μάθημα. Υπάρχουν άξονες, υπάρχει κύκλος, υπάρχει γωνία. Υπάρχουν όμως και νέες πληροφορίες.

Πρόσθεσα επίσης αριθμούς για 0°, 90°, 180°, 270° και 360° στους άξονες. Τώρα αυτό είναι πιο ενδιαφέρον.) Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Σωστά! Αυτές είναι οι τιμές των γωνιών που μετρώνται από τη σταθερή μας πλευρά, οι οποίες πέφτουν στους άξονες συντεταγμένων.Υπενθυμίζουμε ότι η σταθερή πλευρά της γωνίας είναι πάντα σταθερά συνδεδεμένη με τον θετικό ημιάξονα OX. Και οποιαδήποτε γωνία στην τριγωνομετρία μετριέται από αυτόν τον ημιάξονα. Αυτή η βασική προέλευση των γωνιών πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ειρωνικά. Και οι άξονες - τέμνονται σε ορθή γωνία, σωστά; Έτσι προσθέτουμε 90 ° σε κάθε τέταρτο.

Και άλλα προστέθηκαν κόκκινο βέλος. Με ένα συν. Το κόκκινο είναι επίτηδες για να τραβήξει τα βλέμματα. Και μου έμεινε καλά στη μνήμη. Γιατί αυτό πρέπει να το θυμόμαστε αξιόπιστα.) Τι σημαίνει αυτό το βέλος;

Έτσι αποδεικνύεται, αν στρίψουμε τη γωνία μας συν βέλος(αριστερόστροφα, κατά την αρίθμηση των τετάρτων), μετά η γωνία θα θεωρηθεί θετικό!Το σχήμα δείχνει μια γωνία +45° ως παράδειγμα. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι οι αξονικές γωνίες 0°, 90°, 180°, 270° και 360° περιτυλίγονται επίσης με ακρίβεια συν! Με το κόκκινο βέλος.

Ας δούμε τώρα μια άλλη εικόνα:

Σχεδόν όλα είναι ίδια εδώ. Μόνο οι γωνίες στους άξονες είναι αριθμημένες αντίστροφα.Δεξιόστροφος. Και έχουν ένα σύμβολο μείον.) μπλε βέλος. Επίσης με ένα μείον. Αυτό το βέλος είναι η κατεύθυνση της αρνητικής ένδειξης των γωνιών στον κύκλο. Μας δείχνει ότι αν αναβάλουμε τη γωνιά μας δεξιόστροφος, έπειτα η γωνία θα θεωρείται αρνητική.Για παράδειγμα, έδειξα γωνία -45°.

Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι η αρίθμηση των τετάρτων δεν αλλάζει ποτέ! Δεν έχει σημασία αν τυλίγουμε τις γωνίες σε συν ή πλην. Πάντα αυστηρά αριστερόστροφα.)

Θυμάμαι:

1. Η αρχή της μέτρησης των γωνιών γίνεται από τον θετικό ημιάξονα ΟΧ. Με την ώρα - "μείον", ενάντια στο ρολόι - "συν".

2. Η αρίθμηση των τετάρτων είναι πάντα αριστερόστροφα, ανεξάρτητα από την κατεύθυνση υπολογισμού των γωνιών.

Παρεμπιπτόντως, η υπογραφή των γωνιών στους άξονες 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, κάθε φορά που σχεδιάζετε έναν κύκλο, δεν είναι καθόλου απαίτηση. Αυτό είναι καθαρά για την κατανόηση της ουσίας. Αλλά αυτοί οι αριθμοί πρέπει να υπάρχουν στο κεφάλι σουκατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος στην τριγωνομετρία. Γιατί; Ναι, γιατί αυτή η στοιχειώδης γνώση δίνει απαντήσεις σε πολλά άλλα ερωτήματα σε όλη την τριγωνομετρία! Το πιο σημαντικό ερώτημα είναι σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία που μας ενδιαφέρει; Είτε το πιστεύετε είτε όχι, η σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση λύνει τη μερίδα του λέοντος όλων των άλλων προβλημάτων με την τριγωνομετρία. Με αυτό το σημαντικό μάθημα (την κατανομή των γωνιών σε τέταρτα) θα ασχοληθούμε στο ίδιο μάθημα, αλλά λίγο αργότερα.

Οι τιμές των γωνιών που βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων (0°, 90°, 180°, 270° και 360°) πρέπει να θυμούνται! Θυμηθείτε σταθερά, στον αυτοματισμό. Και στα συν και στα πλην.

Από αυτή τη στιγμή όμως αρχίζουν οι πρώτες εκπλήξεις. Και μαζί τους δύσκολες ερωτήσεις που μου απευθύνονται, ναι ...) Και τι θα συμβεί αν η αρνητική γωνία στον κύκλο ταιριάζει με το θετικό;Τελικά φαίνεται πως το ίδιο σημείοσε έναν κύκλο μπορεί να συμβολιστεί ως θετική γωνία και ως αρνητική ???

Αρκετά σωστό! Έτσι είναι.) Για παράδειγμα, μια θετική γωνία +270° καταλαμβάνει έναν κύκλο την ίδια θέση , που είναι η αρνητική γωνία -90°. Ή, για παράδειγμα, θα πάρει μια θετική γωνία +45° σε έναν κύκλο την ίδια θέση , που είναι η αρνητική γωνία -315°.

Βλέπουμε την επόμενη εικόνα και βλέπουμε τα πάντα:

Ομοίως, μια θετική γωνία +150° θα πάει όπου μια αρνητική γωνία -210°, μια θετική γωνία +230° θα πάει στο ίδιο σημείο με μια αρνητική γωνία -130°. Και ούτω καθεξής…

Και τώρα τι μπορώ να κάνω; Πώς ακριβώς να μετρήσω τις γωνίες, αν είναι δυνατόν έτσι κι έτσι; Πόσο σωστά;

Απάντηση: πάντως σωστό!Τα μαθηματικά δεν απαγορεύουν καμία από τις δύο κατευθύνσεις για την καταμέτρηση γωνιών. Και η επιλογή μιας συγκεκριμένης κατεύθυνσης εξαρτάται αποκλειστικά από την εργασία. Εάν η εργασία δεν λέει τίποτα σε απλό κείμενο για το πρόσημο της γωνίας (όπως π.χ «προσδιορίστε το μεγαλύτερο αρνητικόςγωνία"κ.λπ.), τότε εργαζόμαστε με τις πιο βολικές γωνίες για εμάς.

Φυσικά, για παράδειγμα, σε τέτοια ενδιαφέροντα θέματα όπως οι τριγωνομετρικές εξισώσεις και οι ανισώσεις, η κατεύθυνση του υπολογισμού των γωνιών μπορεί να έχει τεράστιο αντίκτυπο στην απάντηση. Και στα σχετικά θέματα, θα εξετάσουμε αυτές τις παγίδες.

Θυμάμαι:

Οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μπορεί να υποδηλωθεί τόσο με θετικές όσο και με αρνητικές γωνίες. Ο καθενας! Τι θέλουμε.

Τώρα ας σκεφτούμε αυτό. Ανακαλύψαμε ότι η γωνία των 45° είναι ακριβώς ίδια με τη γωνία των -315°; Πώς έμαθα για αυτά τα ίδια 315° ? Δεν μπορείτε να μαντέψετε; Ναί! Μέσα από μια πλήρη στροφή.) Σε 360 °. Έχουμε γωνία 45°. Πόσο λείπει πριν από μια πλήρη στροφή; Αφαιρέστε 45° από 360° - εδώ παίρνουμε 315° . Τυλίγουμε προς την αρνητική κατεύθυνση - και έχουμε γωνία -315 °. Ακόμα ασαφές; Στη συνέχεια, κοιτάξτε ξανά την παραπάνω εικόνα.

Και αυτό πρέπει πάντα να γίνεται όταν μεταφράζετε θετικές γωνίες σε αρνητικές (και αντίστροφα) - σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώστε σχετικά μεΣε μια δεδομένη γωνία, εξετάζουμε πόσες μοίρες λείπουν πριν από μια πλήρη στροφή και τυλίγουμε τη διαφορά που προκύπτει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Και αυτό είναι.)

Τι άλλο είναι ενδιαφέρον για τις γωνίες που καταλαμβάνουν την ίδια θέση στον κύκλο, τι πιστεύετε; Και το γεγονός ότι τέτοιες γωνίες ακριβώς το ίδιο ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη! Είναι πάντα!

Για παράδειγμα:

Sin45° = αμαρτία (-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg (-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Και τώρα αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό! Για ποιο λόγο? Ναι, όλα για το ίδιο!) Για να απλοποιηθούν οι εκφράσεις. Για την απλοποίηση των εκφράσεων είναι μια βασική διαδικασία για μια επιτυχημένη λύση όποιοςεργασίες στα μαθηματικά. Και η τριγωνομετρία επίσης.

Έτσι, καταλάβαμε τον γενικό κανόνα για την καταμέτρηση γωνιών σε έναν κύκλο. Λοιπόν, αν εδώ υπαινίσσαμε πλήρεις στροφές, περίπου τέταρτα, τότε θα ήταν καιρός να στρίψουμε και να σχεδιάσουμε αυτές ακριβώς τις γωνίες. Να ζωγραφίσουμε;)

Ας ξεκινήσουμε με θετικόςγωνίες. Θα είναι πιο εύκολο να σχεδιάσετε.

Σχεδιάστε γωνίες εντός μιας περιστροφής (μεταξύ 0° και 360°).

Ας σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, μια γωνία 60°. Όλα είναι απλά εδώ, χωρίς διακοσμητικά στοιχεία. Σχεδιάζουμε άξονες συντεταγμένων, έναν κύκλο. Μπορείτε απευθείας με το χέρι, χωρίς καμία πυξίδα και χάρακα. Ζωγραφίζουμε σχηματικώςΑ: Δεν έχουμε σύνταξη μαζί σας. Δεν υπάρχει ανάγκη συμμόρφωσης με τους GOST, δεν θα τιμωρηθούν.)

Μπορείτε (για τον εαυτό σας) να σημειώσετε τις τιμές των γωνιών στους άξονες και να υποδείξετε το βέλος προς την κατεύθυνση ενάντια στον χρόνο.Σε τελική ανάλυση, θα εξοικονομήσουμε χρήματα ως συν;) Δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό, αλλά πρέπει να κρατήσετε τα πάντα στο μυαλό σας.

Και τώρα σχεδιάζουμε τη δεύτερη (κινητή) πλευρά της γωνίας. Ποιο τρίμηνο; Στο πρώτο φυσικά! Για 60 μοίρες είναι αυστηρά μεταξύ 0° και 90°. Έτσι ισοπαλιώνουμε στο πρώτο τέταρτο. διαγωνίως σχετικά με 60 μοίρες προς τη σταθερή πλευρά. Πώς να μετρήσετε σχετικά με 60 μοίρες χωρίς μοιρογνωμόνιο; Εύκολα! 60° είναι δύο τρίτα ορθής γωνίας!Διανοούμε το πρώτο τέταρτο του κύκλου σε τρία μέρη, παίρνουμε τα δύο τρίτα για τον εαυτό μας. Και σχεδιάζουμε ... Πόσο πραγματικά φτάνουμε εκεί (αν συνδέσουμε ένα μοιρογνωμόνιο και το μετρήσουμε) - 55 μοίρες ή 64 - δεν έχει σημασία! Είναι σημαντικό ότι ακόμα κάπου περίπου 60°.

Παίρνουμε μια εικόνα:

Αυτό είναι όλο. Και δεν χρειάζονταν εργαλεία. Αναπτύσσουμε μάτι! Θα σας φανεί χρήσιμο σε προβλήματα γεωμετρίας.) Αυτό το αντιαισθητικό σχέδιο μπορεί να είναι απαραίτητο όταν πρέπει να χαράξετε έναν κύκλο και μια γωνία βιαστικά, χωρίς να σκέφτεστε πραγματικά την ομορφιά. Αλλά ταυτόχρονα και σκαρίφημα σωστά, χωρίς λάθη, με όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Για παράδειγμα, ως βοήθημα στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Τώρα ας σχεδιάσουμε μια γωνία, για παράδειγμα, 265°. Μαντέψτε πού μπορεί να είναι; Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο ότι ούτε στο πρώτο τρίμηνο ούτε καν στο δεύτερο: τελειώνουν στις 90 και 180 μοίρες. Μπορείτε να σκεφτείτε ότι οι 265° είναι 180° συν άλλες 85°. Δηλαδή, στον αρνητικό ημιάξονα OX (όπου 180 °) πρέπει να προστεθεί σχετικά με 85°. Ή, ακόμα πιο εύκολο, να μαντέψουμε ότι η 265 ° δεν φτάνει στον αρνητικό ημιάξονα OY (όπου 270 °) κάποιων ατυχών 5 °. Με μια λέξη, στο τρίτο δεκάλεπτο θα υπάρχει αυτή η γωνία. Πολύ κοντά στον αρνητικό άξονα ΟΥ, στις 270 μοίρες, αλλά ακόμα στον τρίτο!

Σχεδιάζω:

Και πάλι, εδώ δεν απαιτείται απόλυτη ακρίβεια. Ας στην πραγματικότητα αυτή η γωνία αποδείχθηκε, ας πούμε, 263 μοίρες. Αλλά το πιο σημαντικό ερώτημα (ποιο τρίμηνο;)απαντήσαμε σωστά. Γιατί είναι αυτή η πιο σημαντική ερώτηση; Ναι, γιατί κάθε εργασία με γωνία στην τριγωνομετρία (είτε σχεδιάζουμε αυτή τη γωνία είτε όχι) ξεκινά με την απάντηση σε αυτήν ακριβώς την ερώτηση! Είναι πάντα. Εάν αγνοήσετε αυτήν την ερώτηση ή προσπαθήσετε να την απαντήσετε διανοητικά, τότε τα λάθη είναι σχεδόν αναπόφευκτα, ναι... Το χρειάζεστε;

Θυμάμαι:

Οποιαδήποτε εργασία με γωνία (συμπεριλαμβανομένης της σχεδίασης αυτής ακριβώς της γωνίας σε έναν κύκλο) ξεκινά πάντα με τον προσδιορισμό του τετάρτου στο οποίο πέφτει αυτή η γωνία.

Τώρα, ελπίζω να σχεδιάσετε σωστά τις γωνίες, για παράδειγμα, 182°, 88°, 280°. ΣΤΟ σωστόςκατάλυμα. Στο τρίτο, πρώτο και τέταρτο, αν μη τι άλλο ...)

Το τέταρτο τέταρτο τελειώνει σε γωνία 360°. Αυτή είναι μια πλήρης στροφή. Το Pepper είναι σαφές ότι αυτή η γωνία καταλαμβάνει την ίδια θέση στον κύκλο με 0 ° (δηλαδή, το σημείο αναφοράς). Αλλά οι γωνίες δεν τελειώνουν εκεί, ναι...

Τι να κάνετε με γωνίες μεγαλύτερες από 360°;

«Υπάρχουν τέτοια πράγματα;»- εσύ ρωτάς. Υπάρχουν, πώς! Συμβαίνει, για παράδειγμα, μια γωνία 444 °. Και μερικές φορές, ας πούμε, μια γωνία 1000 °. Υπάρχουν όλα τα είδη γωνιών.) Απλά οπτικά, τέτοιες εξωτικές γωνίες γίνονται αντιληπτές λίγο πιο περίπλοκες από τις συνηθισμένες γωνίες σε μία στροφή. Αλλά πρέπει επίσης να μπορείς να σχεδιάζεις και να υπολογίζεις τέτοιες γωνίες, ναι.

Για να σχεδιάσετε σωστά τέτοιες γωνίες σε έναν κύκλο, πρέπει να κάνετε το ίδιο πράγμα - μάθετε σε ποιο τρίμηνο πέφτει η γωνία ενδιαφέροντος. Εδώ η δυνατότητα ακριβούς προσδιορισμού του τετάρτου είναι πολύ πιο σημαντική από ό, τι για γωνίες από 0 ° έως 360 °! Η ίδια η διαδικασία για τον προσδιορισμό ενός τετάρτου περιπλέκεται από ένα μόνο βήμα. Ποιο, θα το δείτε σύντομα.

Έτσι, για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία 444°. Αρχίζουμε να γυρίζουμε. Οπου? Ως συν, φυσικά! Μας έδωσαν μια θετική οπτική γωνία! +444°. Στρίβουμε, στρίβουμε ... Στρίψαμε μια στροφή - φτάσαμε στους 360 °.

Πόσο απομένει μέχρι τις 444°;Μετράμε την υπόλοιπη ουρά:

444°-360° = 84°.

Άρα 444° είναι μια πλήρης στροφή (360°) συν άλλες 84°. Προφανώς, αυτό είναι το πρώτο τρίμηνο. Έτσι, η γωνία 444° πέφτει στο πρώτο τρίμηνο.Μισό τελειωμένο.

Απομένει τώρα να απεικονίσουμε αυτή τη γωνία. Πως? Πολύ απλό! Κάνουμε μια πλήρη στροφή κατά μήκος του κόκκινου (συν) βέλους και προσθέτουμε άλλες 84 °.

Σαν αυτό:

Εδώ δεν μπέρδεψα το σχέδιο - υπογράψτε τέταρτα, σχεδιάστε γωνίες στους άξονες. Όλη αυτή η καλοσύνη θα έπρεπε να είναι στο μυαλό μου για πολύ καιρό.)

Έδειξα όμως με ένα «σαλιγκάρι» ή μια σπείρα πώς ακριβώς σχηματίζεται η γωνία των 444 ° από τις γωνίες των 360 ° και 84 °. Η διακεκομμένη κόκκινη γραμμή είναι μια πλήρης στροφή. Στην οποία βιδώνονται επιπλέον 84° (συμπαγή γραμμή). Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι εάν αυτή η πολύ πλήρης στροφή απορριφθεί, τότε αυτό δεν θα επηρεάσει τη θέση της γωνίας μας με κανέναν τρόπο!

Αλλά αυτό είναι σημαντικό! Θέση γωνίας 444° συμπίπτει εντελώςμε θέση γωνίας 84°. Δεν υπάρχουν θαύματα, απλά συμβαίνει.)

Είναι δυνατόν να απορρίψετε όχι μία πλήρη στροφή, αλλά δύο ή περισσότερες;

Γιατί όχι? Εάν η γωνία είναι βαριά, τότε δεν είναι απλώς δυνατή, αλλά και απαραίτητη! Η γωνία δεν θα αλλάξει! Πιο συγκεκριμένα, η ίδια η γωνία, φυσικά, θα αλλάξει σε μέγεθος. Αλλά η θέση του για τον κύκλο - δεν υπάρχει περίπτωση!) Γι' αυτό γεμάτοςορμή, ότι όσα αντίγραφα και αν προσθέσετε, όσα και αν αφαιρέσετε, θα συνεχίσετε να χτυπάτε το ίδιο σημείο. Ωραίο, σωστά;

Θυμάμαι:

Αν προσθέσουμε (αφαιρέσουμε) στη γωνία οποιαδήποτε ολόκληροςαριθμός πλήρων περιστροφών, η θέση της αρχικής γωνίας στον κύκλο ΔΕΝ θα αλλάξει!

Για παράδειγμα:

Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία 1000°;

Κανένα πρόβλημα! Θεωρούμε πόσες πλήρεις στροφές κάθονται σε χίλιες μοίρες. Μια περιστροφή είναι 360°, μια άλλη είναι ήδη 720°, η τρίτη είναι 1080°… Σταμάτα! Προτομή! Έτσι, σε γωνία 1000 ° κάθεται δύοπλήρη κύκλο εργασιών. Πετάξτε τα από τις 1000° και υπολογίστε το υπόλοιπο:

1000° - 2 360° = 280°

Άρα η θέση της γωνίας 1000° στον κύκλο ίδιο, η οποία είναι ίδια με τη γωνία των 280°. Με τους οποίους είναι ήδη πολύ πιο ευχάριστο να δουλεύεις.) Και πού πέφτει αυτή η γωνιά; Πέφτει στο τέταρτο τρίμηνο: 270° (αρνητικός ημιάξονας OY) συν άλλες δέκα.

Σχεδιάζω:

Εδώ δεν τράβηξα πλέον δύο πλήρεις στροφές με μια διακεκομμένη σπείρα: αποδεικνύεται ότι είναι οδυνηρά μακρύ. Απλώς ζωγράφισε την υπόλοιπη αλογοουρά από το μηδέν, απόρριψη όλαεπιπλέον στροφές. Είναι σαν να μην υπήρχαν καν.)

Αλλη μια φορά. Με την καλή έννοια, οι γωνίες 444° και 84°, καθώς και 1000° και 280° είναι διαφορετικές. Αλλά για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, αυτές οι γωνίες είναι το ίδιο!

Όπως μπορείτε να δείτε, για να εργαστείτε με γωνίες μεγαλύτερες από 360°, πρέπει να ορίσετε πόσες πλήρεις στροφές κάθονται σε μια δεδομένη μεγάλη γωνία. Αυτό είναι το πολύ πρόσθετο βήμα που πρέπει να γίνει εκ των προτέρων όταν εργάζεστε με τέτοιες γωνίες. Τίποτα περίπλοκο, σωστά;

Το να ρίχνεις ολόκληρες στροφές, φυσικά, είναι μια ευχάριστη εμπειρία.) Αλλά στην πράξη, όταν εργάζεσαι με απολύτως εφιαλτικές γωνίες, εμφανίζονται και δυσκολίες.

Για παράδειγμα:

Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία 31240°;

Και τι, θα προσθέσουμε 360 μοίρες πολλές, πολλές φορές; Είναι δυνατόν, αν δεν καίει ιδιαίτερα. Αλλά δεν μπορούμε μόνο να προσθέσουμε.) Μπορούμε και να χωρίσουμε!

Ας χωρίσουμε λοιπόν την τεράστια γωνία μας σε 360 μοίρες!

Με αυτήν την ενέργεια, απλώς ανακαλύπτουμε πόσες πλήρεις στροφές κρύβονται στις 31240 μοίρες μας. Μπορείτε να μοιραστείτε μια γωνία, μπορείτε (ψιθυρίστε στο αυτί σας :)) σε μια αριθμομηχανή.)

Παίρνουμε 31240:360 = 86,777777….

Το γεγονός ότι ο αριθμός αποδείχθηκε κλασματικός δεν είναι τρομακτικό. Είμαστε μόνο ολόκληροςΜε ενδιαφέρουν οι τζίροι! Επομένως, δεν υπάρχει λόγος να χωρίσουμε μέχρι το τέλος.)

Έτσι, στη δασύτριχη γωνιά μας κάθεται έως και 86 πλήρεις στροφές. Φρίκη…

Σε βαθμούς θα είναι86 360° = 30960°

Σαν αυτό. Δηλαδή πόσες μοίρες μπορούν να εκτιναχθούν ανώδυνα από μια δεδομένη γωνία 31240 °. Λείψανα:

31240° - 30960° = 280°

Τα παντα! Η θέση γωνίας 31240° αναγνωρίζεται πλήρως! Στην ίδια θέση με 280°. Εκείνοι. τέταρτο τέταρτο.) Φαίνεται ότι έχουμε ήδη απεικονίσει αυτή τη γωνία στο παρελθόν; Πότε σχεδιάστηκε η γωνία των 1000°;) Εκεί πήγαμε και 280 μοίρες. Σύμπτωση.)

Το ηθικό δίδαγμα της ιστορίας λοιπόν είναι το εξής:

Αν μας δοθεί μια τρομερή βαριά γωνία, τότε:

1. Προσδιορίστε πόσες πλήρεις στροφές βρίσκονται σε αυτή τη γωνία. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε την αρχική γωνία κατά 360 και απορρίψτε το κλασματικό τμήμα.

2. Θεωρούμε πόσες μοίρες είναι ο λαμβανόμενος αριθμός στροφών. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμό των περιστροφών επί 360.

3. Αφαιρέστε αυτές τις στροφές από την αρχική γωνία και εργαστείτε με τη συνήθη γωνία στην περιοχή από 0° έως 360°.

Πώς να δουλέψετε με αρνητικές γωνίες;

Κανένα πρόβλημα! Με τον ίδιο τρόπο όπως και με τα θετικά, με μία μόνο διαφορά. Τι? Ναί! Πρέπει να γυρίσετε τις γωνίες αντιθετη πλευρα, μείον! δεξιόστροφος.)

Ας σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, μια γωνία -200°. Στην αρχή, όλα είναι όπως συνήθως για θετικές γωνίες - άξονες, κύκλος. Ας σχεδιάσουμε ένα μπλε βέλος με ένα μείον και ας υπογράψουμε τις γωνίες στους άξονες με διαφορετικό τρόπο. Θα πρέπει φυσικά να μετρηθούν και προς την αρνητική κατεύθυνση. Αυτές θα είναι όλες οι ίδιες γωνίες, με βήμα κατά 90°, αλλά μετρημένες προς την αντίθετη κατεύθυνση, μείον: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Η εικόνα θα μοιάζει με αυτό:

Όταν εργάζεστε με αρνητικές γωνίες, υπάρχει συχνά ένα αίσθημα ελαφριάς σύγχυσης. Πως και έτσι?! Αποδεικνύεται ότι ο ίδιος άξονας είναι και οι δύο, ας πούμε, +90° και -270°; Όχι, κάτι δεν πάει καλά εδώ...

Ναι, όλα είναι καθαρά και διαφανή! Εξάλλου, γνωρίζουμε ήδη ότι οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μπορεί να ονομαστεί και θετική και αρνητική γωνία! Απολύτως οποιαδήποτε. Συμπεριλαμβανομένων ορισμένων από τους άξονες συντεταγμένων. Στην περίπτωσή μας χρειαζόμαστε αρνητικόςυπολογισμός γωνιών. Έτσι, τραβάμε όλες τις γωνίες στο μείον.)

Τώρα η σχεδίαση της σωστής γωνίας των -200° δεν αποτελεί πρόβλημα. Αυτό είναι -180° και μείονάλλες 20°. Ξεκινάμε την περιέλιξη από το μηδέν στο μείον: πετάμε στο τέταρτο τρίμηνο, το τρίτο είναι επίσης παρελθόν, φτάνουμε στους -180 °. Πού να κουρδίσετε τα υπόλοιπα είκοσι; Ναι, όλα είναι εκεί! Με το ρολόι.) Η συνολική γωνία -200° πέφτει σε δεύτεροςτέταρτο.

Τώρα καταλαβαίνετε πόσο σημαντικό είναι να θυμάστε τις γωνίες στους άξονες συντεταγμένων;

Οι γωνίες στους άξονες των συντεταγμένων (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) πρέπει να θυμούνται με ακρίβεια για να προσδιοριστεί με ακρίβεια το τέταρτο στο οποίο πέφτει η γωνία!

Και αν η γωνία είναι μεγάλη, με πολλές πλήρεις στροφές; Είναι εντάξει! Τι διαφορά έχει πού στρέφονται αυτές οι πλήρεις ταχύτητες - συν ή πλην; Ένα σημείο σε έναν κύκλο δεν αλλάζει τη θέση του!

Για παράδειγμα:

Σε ποιο τεταρτημόριο πέφτει η γωνία -2000°;

Ολα τα ίδια! Αρχικά, εξετάζουμε πόσες πλήρεις περιστροφές κάθονται σε αυτή την κακή γωνιά. Για να μην μπλέξουμε στα σημάδια, ας αφήσουμε το μείον προς το παρόν και απλά διαιρούμε το 2000 με το 360. Παίρνουμε 5 με ουρά. Η ουρά δεν μας ενοχλεί ακόμα, θα τη μετρήσουμε λίγο αργότερα όταν τραβήξουμε τη γωνία. Πιστεύουμε πέντεπλήρεις στροφές σε μοίρες:

5 360° = 1800°

Voot. Αυτό είναι πόσες επιπλέον μοίρες μπορείτε να πετάξετε με ασφάλεια από τη γωνία μας χωρίς να βλάψετε την υγεία.

Μετράμε την υπόλοιπη ουρά:

2000° – 1800° = 200°

Και τώρα μπορείτε επίσης να θυμηθείτε για το μείον.) Πού θα τυλίγουμε την ουρά 200 °; Μειονέκτημα, φυσικά! Μας δίνεται αρνητική οπτική γωνία.)

2000° = -1800° - 200°

Έτσι σχεδιάζουμε μια γωνία -200 °, μόνο χωρίς επιπλέον στροφές. Μόλις το σχεδίασα, αλλά, ας είναι, θα το ζωγραφίσω άλλη μια φορά. Με το χέρι.

Το πιπέρι είναι σαφές ότι η δεδομένη γωνία -2000 °, καθώς και -200 °, πέφτει σε δεύτερο τέταρτο.

Λοιπόν, κινούμαστε σε έναν κύκλο ... συγγνώμη ... σε ένα μουστάκι:

Εάν δοθεί μια πολύ μεγάλη αρνητική γωνία, τότε το πρώτο μέρος της εργασίας με αυτήν (εύρεση του αριθμού των πλήρων περιστροφών και απόρριψή τους) είναι το ίδιο όπως όταν εργάζεστε με θετική γωνία. Το σύμβολο μείον δεν παίζει κανένα ρόλο σε αυτό το στάδιο της λύσης. Το σήμα λαμβάνεται υπόψη μόνο στο τέλος, όταν εργάζεστε με τη γωνία που απομένει μετά την αφαίρεση των πλήρων στροφών.

Όπως μπορείτε να δείτε, το να σχεδιάσετε αρνητικές γωνίες σε έναν κύκλο δεν είναι πιο δύσκολο από το να σχεδιάσετε θετικές γωνίες.

Όλα είναι ίδια, μόνο προς την άλλη κατεύθυνση! Με την ώρα!

Και τώρα - το πιο ενδιαφέρον! Καλύψαμε θετικές γωνίες, αρνητικές γωνίες, μεγάλες γωνίες, μικρές γωνίες - όλο το εύρος. Ανακαλύψαμε επίσης ότι οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μπορεί να ονομαστεί θετική και αρνητική γωνία, απορρίψαμε πλήρεις στροφές ... Δεν υπάρχουν σκέψεις; Θα πρέπει να αναβληθεί...

Ναί! Σε όποιο σημείο του κύκλου κι αν πάρετε, θα αντιστοιχεί ατελείωτες γωνίες! Μεγάλα και όχι τόσο, θετικά και αρνητικά - όλοι! Και η διαφορά μεταξύ αυτών των γωνιών θα είναι ολόκληρος αριθμός πλήρων στροφών. Είναι πάντα! Έτσι ο τριγωνομετρικός κύκλος είναι διατεταγμένος, ναι ...) Γι' αυτό ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗη εργασία είναι να βρεθεί η γωνία με το γνωστό ημίτονο / συνημίτονο / εφαπτομένη / συνεφαπτομένη - λύνεται ασαφής. Και πολύ πιο δύσκολο. Σε αντίθεση με το άμεσο πρόβλημα - να βρει ολόκληρο το σύνολο των τριγωνομετρικών του συναρτήσεων για μια δεδομένη γωνία. Και σε πιο σοβαρά θέματα τριγωνομετρίας ( καμάρες, τριγωνομετρική εξισώσειςκαι ανισότητες ) θα συναντάμε αυτό το τσιπ συνεχώς. Συνηθίζω.)

1. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία -345°;

2. Σε ποιο τέταρτο πέφτει η γωνία 666°;

3. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία 5555°;

4. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η γωνία -3700°;

5. Ποιο είναι το σημάδιcos999°;

6. Ποιο είναι το σημάδιctg999°;

Και λειτούργησε; Εκπληκτικός! Υπάρχει ένα πρόβλημα? Μετά εσύ.

Απαντήσεις:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Αυτή τη φορά οι απαντήσεις δίνονται με τη σειρά, σπάζοντας την παράδοση. Γιατί υπάρχουν μόνο τέσσερα τέταρτα, και υπάρχουν μόνο δύο σημάδια. Δεν θα ξεφύγεις...)

Στο επόμενο μάθημα, θα μιλήσουμε για ακτίνια, για τον μυστηριώδη αριθμό "pi", θα μάθουμε πώς να μετατρέπουμε εύκολα και απλά τα ακτίνια σε μοίρες και το αντίστροφο. Και θα εκπλαγούμε αν ανακαλύψουμε ότι ακόμη και αυτές οι απλές γνώσεις και δεξιότητες θα είναι ήδη αρκετά για να λύσουμε με επιτυχία πολλά μη ασήμαντα προβλήματα στην τριγωνομετρία!

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Ένα ζεύγος διαφορετικών ακτίνων Oa και Ob, που βγαίνει από το ίδιο σημείο O, ονομάζεται γωνία και συμβολίζεται με το σύμβολο (a, b). Το σημείο Ο ονομάζεται κορυφή της γωνίας και οι ακτίνες Oa u Ob είναι οι πλευρές της γωνίας. Αν τα Α και Β είναι δύο σημεία των ακτίνων Oa και Ob, τότε το (a, b) συμβολίζεται και με το σύμβολο AOB (Εικ. 1.1).

Η γωνία (a, b) ονομάζεται ξεδιπλωμένη αν οι ακτίνες Oa και Ob, που αναδύονται από ένα σημείο, βρίσκονται στην ίδια ευθεία και δεν συμπίπτουν (δηλαδή έχουν αντίθετη κατεύθυνση).

Εικ.1.1

Δύο γωνίες θεωρούνται ίσες εάν η μία γωνία μπορεί να υπερτεθεί στην άλλη έτσι ώστε οι πλευρές των γωνιών να συμπίπτουν. Διχοτόμος γωνίας είναι μια ακτίνα που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Λένε ότι η ακτίνα OS που προέρχεται από την κορυφή της γωνίας AOB βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της εάν τέμνει το τμήμα AB (Εικ. 1.2). Ένα σημείο C λέγεται ότι βρίσκεται μεταξύ των πλευρών μιας γωνίας εάν μια ακτίνα μπορεί να τραβηχτεί μέσα από αυτό το σημείο, ξεκινώντας από την κορυφή της γωνίας και κείται μεταξύ των πλευρών της γωνίας. Το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας σχηματίζει την εσωτερική περιοχή της γωνίας (Εικ. 1.3). Το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που δεν ανήκουν στην εσωτερική περιοχή και τις πλευρές της γωνίας σχηματίζει την εξωτερική περιοχή της γωνίας.

Η γωνία (a, b) θεωρείται μεγαλύτερη από τη γωνία (c, d) εάν η γωνία (c, d) μπορεί να υπερτεθεί στη γωνία (a, b) έτσι ώστε μετά το συνδυασμό ενός ζεύγους πλευρών, η δεύτερη πλευρά του η γωνία (c, d) θα βρίσκεται μεταξύ των πλευρών της γωνίας (a, b). Στο σχ. 1.4 Το AOB είναι μεγαλύτερο από το AOC.

Αφήστε την ακτίνα c να βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές της γωνίας (a, b) (Εικ. 1.5). Τα ζεύγη ακτίνων a, c και c, b σχηματίζουν δύο γωνίες. Η γωνία (α, β) λέγεται ότι είναι το άθροισμα δύο γωνιών (α, γ) και (γ, β), και γράφουν: (α, β) = (α, γ) + (γ, β).

Εικ.1.3

Συνήθως στη γεωμετρία ασχολούνται με γωνίες μικρότερες από τη διευρυμένη. Ωστόσο, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο γωνιών, μπορείτε να πάρετε μια γωνία που είναι μεγαλύτερη από τη διευρυμένη. Σε αυτή την περίπτωση, εκείνο το τμήμα του επιπέδου, που θεωρείται η εσωτερική περιοχή της γωνίας, σημειώνεται με ένα τόξο. Στο σχ. 1.6 Το εσωτερικό τμήμα της γωνίας AOB, που προκύπτει ως αποτέλεσμα της προσθήκης των γωνιών AOC και COB και του μεγαλύτερου διογκωμένου, σημειώνεται με τόξο.

Εικ.1.5

Υπάρχουν επίσης γωνίες μεγαλύτερες από 360°. Τέτοιες γωνίες σχηματίζονται, για παράδειγμα, από την περιστροφή της προπέλας του αεροσκάφους, την περιστροφή του τυμπάνου στο οποίο τυλίγεται το σχοινί κ.λπ.

Στο μέλλον, όταν εξετάζουμε κάθε γωνία, θα συμφωνήσουμε να θεωρήσουμε μια από τις πλευρές αυτής της γωνίας ως την αρχική της πλευρά και την άλλη ως την τελική της πλευρά.

Οποιαδήποτε γωνία, όπως η γωνία AOB (Εικ. 1.7), μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα της περιστροφής της κινούμενης δέσμης γύρω από την κορυφή Ο από την αρχική πλευρά της γωνίας (OA) στην τελική της πλευρά (OB). Θα μετρήσουμε αυτή τη γωνία, λαμβάνοντας υπόψη τον συνολικό αριθμό περιστροφών που έγιναν γύρω από το σημείο Ο, καθώς και την κατεύθυνση στην οποία έγινε η περιστροφή.

Θετικές και αρνητικές γωνίες.

Έστω ότι έχουμε μια γωνία που σχηματίζεται από τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ (Εικ. 1.8). Η κινητή δέσμη, που περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο από την αρχική της θέση (ΟΑ), μπορεί να πάρει την τελική θέση (ΟΒ) με δύο διαφορετικές κατευθύνσεις περιστροφής. Αυτές οι κατευθύνσεις φαίνονται στο Σχήμα 1.8 με τα αντίστοιχα βέλη.

Εικ.1.7

Όπως στον αριθμητικό άξονα μία από τις δύο κατευθύνσεις θεωρείται θετική και η άλλη αρνητική, διακρίνονται επίσης δύο διαφορετικές κατευθύνσεις περιστροφής της κινούμενης δέσμης. Συμφωνήσαμε να θεωρήσουμε τη θετική φορά περιστροφής την κατεύθυνση που είναι αντίθετη από τη φορά περιστροφής της φοράς του ρολογιού. Η φορά περιστροφής που συμπίπτει με τη φορά περιστροφής του ωροδείκτη θεωρείται αρνητική.

Σύμφωνα με αυτούς τους ορισμούς, οι γωνίες χωρίζονται επίσης σε θετικές και αρνητικές.

Θετική γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται από την περιστροφή της κινητής δέσμης γύρω από το σημείο εκκίνησης προς τη θετική κατεύθυνση.

Το σχήμα 1.9 δείχνει μερικές θετικές γωνίες. (Η φορά περιστροφής της κινούμενης δέσμης φαίνεται με βέλη στα σχέδια.)

Η αρνητική γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται από την περιστροφή της κινητής δέσμης γύρω από το σημείο εκκίνησης προς την αρνητική κατεύθυνση.

Το σχήμα 1.10 δείχνει μερικές αρνητικές γωνίες. (Η φορά περιστροφής της κινούμενης δέσμης φαίνεται με βέλη στα σχέδια.)

Αλλά δύο συμπίπτουσες δέσμες μπορούν επίσης να σχηματίσουν γωνίες +360°n και -360°n (n = 0,1,2,3,...). Ας συμβολίσουμε με b τη μικρότερη δυνατή μη αρνητική γωνία περιστροφής που μετατρέπει τη δέσμη ΟΑ στη θέση ΟΒ. Εάν τώρα η δέσμη OB κάνει μια επιπλέον πλήρη περιστροφή γύρω από το σημείο Ο, τότε παίρνουμε μια διαφορετική τιμή γωνίας, δηλαδή: ABO \u003d b + 360 °.

Μέτρηση γωνιών με κυκλικά τόξα. Μονάδες τόξου και γωνίας

Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι βολικό να μετράτε τις γωνίες χρησιμοποιώντας κυκλικά τόξα. Η δυνατότητα μιας τέτοιας μέτρησης βασίζεται στη γνωστή πρόταση επιπεδομετρίας ότι σε έναν κύκλο (ή σε ίσους κύκλους) οι κεντρικές γωνίες και τα τόξα που τους αντιστοιχούν είναι σε ευθεία αναλογία.

Έστω κάποιο τόξο ενός δεδομένου κύκλου ως μονάδα μέτρησης τόξων. Ως μονάδα μέτρησης των γωνιών θα ληφθεί η κεντρική γωνία που αντιστοιχεί σε αυτό το τόξο. Υπό αυτή την προϋπόθεση, οποιοδήποτε κυκλικό τόξο και η κεντρική γωνία που αντιστοιχεί σε αυτό το τόξο θα περιέχει τον ίδιο αριθμό μονάδων. Επομένως, μετρώντας τα τόξα ενός κύκλου, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η τιμή των κεντρικών γωνιών που αντιστοιχούν σε αυτά τα τόξα.

Εξετάστε τα δύο πιο κοινά συστήματα μέτρησης τόξων και γωνιών.

Μέτρο μοιρών γωνιών

Κατά τη μέτρηση των γωνιών σε μοίρες, η βασική μονάδα μέτρησης των γωνιών (η γωνία αναφοράς με την οποία συγκρίνονται οι διαφορετικές γωνίες) λαμβάνεται ως γωνία μιας μοίρας (που συμβολίζεται με 1;). Μια γωνία μιας μοίρας είναι μια γωνία ίση με το 1/180 μιας ευθείας γωνίας. Μια γωνία ίση με το 1/60 μιας γωνίας σε 1° είναι μια γωνία ενός λεπτού (σημαίνει 1"). Μια γωνία ίση με το 1/60 μιας γωνίας σε ένα λεπτό είναι μια γωνία ενός δευτερολέπτου (σημαίνει 1").

Ακτινικό μέτρο γωνιών

Μαζί με το μέτρο βαθμού των γωνιών στη γεωμετρία και την τριγωνομετρία, χρησιμοποιείται ένα άλλο μέτρο γωνιών, που ονομάζεται ακτίνιο. Θεωρούμε έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο το Ο. Σχεδιάστε δύο ακτίνες O A και OB έτσι ώστε το μήκος του τόξου ΑΒ να είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου (Εικ. 1.12). Η προκύπτουσα κεντρική γωνία AOB θα είναι γωνία ενός ακτινίου. Ως μονάδα μέτρησης για το μέτρο του ακτινίου των γωνιών λαμβάνεται μια γωνία 1 ακτινίου. Κατά τη μέτρηση γωνιών σε ακτίνια, η αναπτυγμένη γωνία είναι ίση με p ακτίνια.

Οι μονάδες βαθμών και ακτίνων μέτρησης των γωνιών σχετίζονται με ισότητες:

1 ακτίνιο \u003d 180? / p57 ° 17 "45"; 1? \u003d p / 180 ακτίνια 0,017453 ακτίνια.

1"=p/180*60 radians0,000291 radians;

1""=p/180*60*60 radians0,000005 radians.

Το μέτρο του βαθμού (ή ακτινίου) μιας γωνίας ονομάζεται επίσης μέγεθος της γωνίας. Η τιμή της γωνίας AOB μερικές φορές συμβολίζεται /

Ταξινόμηση γωνιών

Μια γωνία ίση με 90°, ή σε ακτινικό μέτρο p/2, ονομάζεται ορθή γωνία. συχνά δηλώνεται με το γράμμα d. Μια γωνία μικρότερη από 90° ονομάζεται οξεία γωνία. Μια γωνία μεγαλύτερη από 90° αλλά μικρότερη από 180° ονομάζεται αμβλεία γωνία.

Δύο γωνίες που μοιράζονται την ίδια πλευρά και άθροισμα είναι 180° ονομάζονται γειτονικές γωνίες. Δύο γωνίες που μοιράζονται την ίδια πλευρά και άθροισμα είναι 90° ονομάζονται συμπληρωματικές γωνίες.