Ινδικός τρόπος πολλαπλασιασμού

Η πιο πολύτιμη συνεισφορά στο θησαυροφυλάκιο της μαθηματικής γνώσης έγινε στην Ινδία. Οι Ινδουιστές πρότειναν τον τρόπο που χρησιμοποιούμε για να γράφουμε αριθμούς χρησιμοποιώντας δέκα σημάδια: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Η βάση αυτής της μεθόδου είναι η ιδέα ότι το ίδιο ψηφίο αντιπροσωπεύει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες ή χιλιάδες, ανάλογα με το πού καταλαμβάνει αυτός ο αριθμός. Η θέση που καταλαμβάνεται, ελλείψει ψηφίων, καθορίζεται από μηδενικά που έχουν εκχωρηθεί στους αριθμούς.

Οι Ινδοί σκέφτηκαν καλά. Βρήκαν έναν πολύ απλό τρόπο πολλαπλασιασμού. Έκαναν πολλαπλασιασμό, ξεκινώντας με την υψηλότερη σειρά, και κατέγραψαν τα ημιτελή γινόμενα ακριβώς πάνω από τον πολλαπλασιαστή, κομμάτι προς κομμάτι. Ταυτόχρονα, το ανώτερο ψηφίο του πλήρους προϊόντος ήταν άμεσα ορατό και, επιπλέον, αποκλείστηκε η παράλειψη οποιουδήποτε ψηφίου. Το πρόσημο του πολλαπλασιασμού δεν ήταν ακόμη γνωστό, έτσι άφησαν μια μικρή απόσταση μεταξύ των παραγόντων. Για παράδειγμα, ας τα πολλαπλασιάσουμε με τον τρόπο 537 επί 6:

Πολλαπλασιασμός με τη μέθοδο «ΜΙΚΡΟ ΚΑΣΤΡΟ».

Ο πολλαπλασιασμός των αριθμών μελετάται πλέον στην πρώτη τάξη του σχολείου. Αλλά στον Μεσαίωνα, πολύ λίγοι κατέκτησαν την τέχνη του πολλαπλασιασμού. Ένας σπάνιος αριστοκράτης θα μπορούσε να καυχηθεί ότι γνωρίζει τον πίνακα πολλαπλασιασμού, ακόμα κι αν αποφοίτησε από ένα ευρωπαϊκό πανεπιστήμιο.

Κατά τη διάρκεια των χιλιετιών της ανάπτυξης των μαθηματικών, έχουν εφευρεθεί πολλοί τρόποι πολλαπλασιασμού των αριθμών. Ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli, στην πραγματεία του The Sum of Knowledge in Arithmetic, Relations and Proportionality (1494), απαριθμεί οκτώ διαφορετικές μεθόδους πολλαπλασιασμού. Το πρώτο από αυτά ονομάζεται "Μικρό Κάστρο", και το δεύτερο δεν είναι λιγότερο ρομαντικό που ονομάζεται "Ζήλια ή Πολλαπλασιασμός Δικτύων".

Το πλεονέκτημα της μεθόδου πολλαπλασιασμού "Μικρό Κάστρο" είναι ότι τα ψηφία των υψηλότερων ψηφίων καθορίζονται από την αρχή και αυτό μπορεί να είναι σημαντικό εάν πρέπει να εκτιμήσετε γρήγορα την τιμή.

Τα ψηφία του άνω αριθμού, ξεκινώντας από το πιο σημαντικό ψηφίο, πολλαπλασιάζονται εναλλάξ με τον κάτω αριθμό και γράφονται σε μια στήλη με την προσθήκη του απαιτούμενου αριθμού μηδενικών. Στη συνέχεια αθροίζονται τα αποτελέσματα.

Στην αρχαία Ινδία χρησιμοποιούνταν δύο μέθοδοι πολλαπλασιασμού: πλέγματα και γαλέρες.
Με την πρώτη ματιά φαίνονται πολύ περίπλοκα, αλλά αν ακολουθήσετε τις ασκήσεις βήμα προς βήμα, θα δείτε ότι είναι αρκετά απλό.
Πολλαπλασιάζουμε, για παράδειγμα, τους αριθμούς 6827 και 345:
1. Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο πλέγμα και γράφουμε έναν από τους αριθμούς πάνω από τις στήλες, και τον δεύτερο σε ύψος. Στο προτεινόμενο παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα από αυτά τα πλέγματα.

2. Έχοντας επιλέξει το πλέγμα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό κάθε σειράς διαδοχικά με τους αριθμούς κάθε στήλης. Σε αυτήν την περίπτωση, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά το 3 με το 6, με το 8, με το 2 και με το 7. Δείτε αυτό το διάγραμμα πώς γράφεται το γινόμενο στο αντίστοιχο κελί.

3. Δείτε πώς φαίνεται το πλέγμα με όλα τα γεμάτα κελιά.

4. Τέλος, αθροίστε τους αριθμούς, ακολουθώντας τις διαγώνιες ρίγες. Αν το άθροισμα μιας διαγωνίου περιέχει δεκάδες, τότε τις προσθέτουμε στην επόμενη διαγώνιο.

Δείτε πώς τα αποτελέσματα της πρόσθεσης των αριθμών κατά μήκος των διαγωνίων (που επισημαίνονται με κίτρινο χρώμα) σχηματίζουν τον αριθμό 2355315, που είναι το γινόμενο των αριθμών 6827 και 345.

Σκοπός της εργασίας: Να εξερευνήσει και να δείξει ασυνήθιστους τρόπους πολλαπλασιασμού Εργασίες: Να βρει ασυνήθιστους τρόπους πολλαπλασιασμού. Μάθετε να τα εφαρμόζετε. Επιλέξτε μόνοι σας τα πιο ενδιαφέροντα ή ευκολότερα από αυτά που προσφέρονται στο σχολείο και χρησιμοποιήστε τα όταν μετράτε. Διδάξτε στους συμμαθητές να χρησιμοποιούν έναν νέο τρόπο πολλαπλασιασμού

Μέθοδοι: μέθοδος αναζήτησης με χρήση επιστημονικής και εκπαιδευτικής βιβλιογραφίας, καθώς και αναζήτηση των απαραίτητων πληροφοριών στο Διαδίκτυο. μια πρακτική μέθοδος για την εκτέλεση υπολογισμών χρησιμοποιώντας μη τυπικούς αλγόριθμους μέτρησης. ανάλυση των δεδομένων που ελήφθησαν κατά τη διάρκεια της μελέτης Η συνάφεια αυτού του θέματος έγκειται στο γεγονός ότι η χρήση μη τυποποιημένων μεθόδων στον σχηματισμό υπολογιστικών δεξιοτήτων ενισχύει το ενδιαφέρον των μαθητών για τα μαθηματικά και συμβάλλει στην ανάπτυξη των μαθηματικών ικανοτήτων

Στο μάθημα των μαθηματικών, μάθαμε έναν ασυνήθιστο τρόπο πολλαπλασιασμού με μια στήλη. Μας άρεσε και αποφασίσαμε να μάθουμε άλλους τρόπους πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών. Ρωτήσαμε τους συμμαθητές μας αν γνωρίζουν άλλους τρόπους μέτρησης; Όλοι μίλησαν μόνο για εκείνες τις μεθόδους που μελετώνται στο σχολείο. Αποδείχθηκε ότι όλοι οι φίλοι μας δεν γνωρίζουν τίποτα για άλλες μεθόδους. Στην ιστορία των μαθηματικών, είναι γνωστές περίπου 30 μέθοδοι πολλαπλασιασμού, που διαφέρουν στο σχήμα καταγραφής ή στην ίδια την πορεία του υπολογισμού. Η μέθοδος πολλαπλασιασμού «σε στήλη», που μελετάμε στο σχολείο, είναι ένας από τους τρόπους. Είναι όμως ο πιο αποτελεσματικός τρόπος; Ας δούμε! Εισαγωγή

Αυτή είναι μια από τις πιο κοινές μεθόδους που έχουν χρησιμοποιήσει με επιτυχία οι Ρώσοι έμποροι για πολλούς αιώνες. Η αρχή αυτής της μεθόδου: πολλαπλασιασμός στα δάχτυλα μονοψήφιων αριθμών από το 6 έως το 9. Τα δάχτυλα εδώ χρησίμευαν ως βοηθητική υπολογιστική συσκευή. Για να γίνει αυτό, από το ένα χέρι άπλωσαν τόσα δάχτυλα όσα ο πρώτος παράγοντας ξεπερνά τον αριθμό 5 και από το δεύτερο έκαναν το ίδιο για τον δεύτερο παράγοντα. Τα υπόλοιπα δάχτυλα ήταν λυγισμένα. Στη συνέχεια λήφθηκε ο αριθμός (σύνολο) των τεντωμένων δακτύλων και πολλαπλασιάστηκαν επί 10, στη συνέχεια οι αριθμοί πολλαπλασιάστηκαν δείχνοντας πόσα δάχτυλα ήταν λυγισμένα στα χέρια και αθροίστηκαν τα αποτελέσματα. Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε το 7 με το 8. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, τα 2 και 3 δάχτυλα θα είναι λυγισμένα. Αν προσθέσουμε τον αριθμό των λυγισμένων δακτύλων (2 + 3 = 5) και πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό των μη λυγισμένων δακτύλων (23 = 6), τότε παίρνουμε τους αριθμούς των δεκάδων και τις μονάδες του επιθυμητού γινόμενου 56, αντίστοιχα. Έτσι μπορείτε να υπολογίσετε το γινόμενο οποιουδήποτε μονοψήφιου αριθμού μεγαλύτερου του 5.

Ο πολλαπλασιασμός για τον αριθμό 9 είναι πολύ εύκολος να αναπαραχθεί «στα δάχτυλα».Απλώστε τα δάχτυλα και στα δύο χέρια και γυρίστε τις παλάμες μακριά σας. Αντιστοιχίστε διανοητικά τους αριθμούς από το 1 έως το 10 στα δάχτυλα με τη σειρά, ξεκινώντας από το μικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού και τελειώνοντας με το μικρό δάχτυλο του δεξιού χεριού. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 6. Λυγίζουμε ένα δάχτυλο με έναν αριθμό ίσο με τον αριθμό με τον οποίο θα πολλαπλασιάσουμε το εννιά. Στο παράδειγμά μας, πρέπει να λυγίσετε το δάχτυλο με τον αριθμό 6. Ο αριθμός των δακτύλων στα αριστερά του λυγισμένου δακτύλου μας δείχνει τον αριθμό των δεκάδων στην απάντηση, τον αριθμό των δακτύλων προς τα δεξιά - τον αριθμό των. Στα αριστερά, έχουμε 5 δάχτυλα μη λυγισμένα, στα δεξιά - 4 δάχτυλα. Έτσι, 9 6=54.

Η μέθοδος πολλαπλασιασμού του "Μικρού Κάστρου" Το πλεονέκτημα της μεθόδου πολλαπλασιασμού "Μικρό Κάστρο" είναι ότι τα ψηφία υψηλής τάξης καθορίζονται από την αρχή, κάτι που είναι σημαντικό εάν χρειάζεται να εκτιμήσετε γρήγορα την τιμή. Τα ψηφία του άνω αριθμού, ξεκινώντας από το πιο σημαντικό ψηφίο, πολλαπλασιάζονται εναλλάξ με τον κάτω αριθμό και γράφονται σε μια στήλη με την προσθήκη του απαιτούμενου αριθμού μηδενικών. Στη συνέχεια αθροίζονται τα αποτελέσματα.

«Ζήλια» ή «πολλαπλασιασμός πλέγματος» Αρχικά, σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο, χωρίζεται σε τετράγωνα και οι διαστάσεις των πλευρών του ορθογωνίου αντιστοιχούν στον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων για τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή. Στη συνέχεια τα τετράγωνα κελιά χωρίζονται διαγώνια και «... λαμβάνεται μια εικόνα που μοιάζει με δικτυωτά παντζούρια-στόρια, - γράφει ο Pacioli. - Τέτοια παραθυρόφυλλα ήταν κρεμασμένα στα παράθυρα των ενετικών σπιτιών ... "

Πολλαπλασιασμός πλέγματος = +1 +2

Μέθοδος αγροτών Αυτή είναι η μέθοδος των Μεγαλορώσων αγροτών.Η ουσία της έγκειται στο γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός οποιωνδήποτε αριθμών μειώνεται σε μια σειρά από διαδοχικές διαιρέσεις ενός αριθμού στο μισό, ενώ διπλασιάζεται ένας άλλος αριθμός ……….32 74…… ………….8 296……….4 592…………………1 3732=1184

Αγροτικός τρόπος (μονοί αριθμοί) 47 x =1645

Βήμα 1. πρώτος αριθμός 15: Σχεδιάστε τον πρώτο αριθμό - σε μία γραμμή. Σχεδιάζουμε το δεύτερο σχήμα - πέντε γραμμές. Βήμα 2. δεύτερος αριθμός 23: Σχεδιάστε τον πρώτο αριθμό - δύο γραμμές. Σχεδιάζουμε το δεύτερο σχήμα - τρεις γραμμές. Βήμα 3. Μετρήστε τον αριθμό των πόντων σε ομάδες. Βήμα 4. Το αποτέλεσμα είναι 345. Ας πολλαπλασιάσουμε δύο διψήφιους αριθμούς: 15 * 23

Ινδική μέθοδος πολλαπλασιασμού (σταυρός) 24 και X 3 2 1)4x2=8 - το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος. 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16 ; 6 - το προτελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος, θυμηθείτε τη μονάδα. 3) 2x3=6 και ακόμη και ο αριθμός που έχουμε κατά νου, έχουμε 7 - αυτό είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος. Παίρνουμε όλα τα ψηφία του προϊόντος: 7,6,8. Απάντηση: 768.

Ινδική μέθοδος πολλαπλασιασμού = = = = 3822 Η βάση αυτής της μεθόδου είναι η ιδέα ότι το ίδιο ψηφίο αντιπροσωπεύει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες ή χιλιάδες, ανάλογα με το πού καταλαμβάνει αυτός ο αριθμός. Η θέση που καταλαμβάνεται, ελλείψει ψηφίων, καθορίζεται από μηδενικά που έχουν εκχωρηθεί στους αριθμούς. ξεκινάμε τον πολλαπλασιασμό από την υψηλότερη σειρά και σημειώνουμε τα ημιτελή γινόμενα ακριβώς πάνω από τον πολλαπλασιαστή, κομμάτι προς κομμάτι. Στην περίπτωση αυτή, το πιο σημαντικό ψηφίο του πλήρους προϊόντος είναι άμεσα ορατό και, επιπλέον, αποκλείεται η παράλειψη οποιουδήποτε ψηφίου. Το πρόσημο του πολλαπλασιασμού δεν ήταν ακόμη γνωστό, οπότε έμεινε μικρή απόσταση μεταξύ των παραγόντων

Αριθμός βάσης Πολλαπλασιασμός 18*19 20 (βασικός αριθμός) * 2 1 (18-1)*20 = Απάντηση: 342 Σύντομη σημείωση: 18*19 = 20*17+2 = 342

Νέα μέθοδος πολλαπλασιασμού X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5

Συμπέρασμα: Έχοντας μάθει να μετράμε με όλους τους τρόπους που παρουσιάζονται, καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι απλούστερες μέθοδοι είναι αυτές που μελετάμε στο σχολείο ή ίσως απλώς τις συνηθίσαμε Από όλες τις θεωρούμενες ασυνήθιστες μεθόδους μέτρησης, η μέθοδος του γραφικού πολλαπλασιασμού φαινόταν πιο ενδιαφέρον. Το δείξαμε στους συμμαθητές μας και τους άρεσε πάρα πολύ. Η μέθοδος «διπλασιασμού και διπλασιασμού» που χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι αγρότες φαινόταν να είναι η απλούστερη.

Συμπέρασμα Περιγράφοντας τις αρχαίες μεθόδους υπολογισμού και τις σύγχρονες μεθόδους γρήγορης μέτρησης, προσπαθήσαμε να δείξουμε ότι, τόσο στο παρελθόν όσο και στο μέλλον, δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς τα μαθηματικά, μια επιστήμη που δημιουργήθηκε από το ανθρώπινο μυαλό. Η μελέτη των αρχαίων μεθόδων πολλαπλασιασμού έδειξε ότι αυτή η αριθμητική πράξη ήταν δύσκολη και πολύπλοκη λόγω της ποικιλίας των μεθόδων και της δυσκίνητης εφαρμογής τους Η σύγχρονη μέθοδος πολλαπλασιασμού είναι απλή και προσιτή σε όλους. Όμως, πιστεύουμε ότι η μέθοδος πολλαπλασιασμού σε μια στήλη δεν είναι τέλεια και μπορείτε να βρείτε ακόμα πιο γρήγορες και πιο αξιόπιστες μεθόδους. Είναι πιθανό ότι την πρώτη φορά πολλοί δεν θα μπορέσουν γρήγορα, εν κινήσει, να εκτελέσουν αυτές ή άλλοι υπολογισμοί.Δεν πειράζει. Απαιτείται συνεχής υπολογιστική εκπαίδευση. Θα σας βοηθήσει να αναπτύξετε χρήσιμες νοητικές δεξιότητες μέτρησης!

Υλικά που χρησιμοποιήθηκαν: html Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. «Μαθηματικά». – Μ.: Avanta +, – 688 σελ. Εγκυκλοπαίδεια «Γνωρίζω τον κόσμο. Μαθηματικά». - M .: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Γρήγορος λογαριασμός. Τριάντα απλές μέθοδοι νοητικής καταμέτρησης. L., s.

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

«Η καταμέτρηση και οι υπολογισμοί είναι η βάση της τάξης στο κεφάλι».
Pestalozzi

Στόχος:

• Εξοικειωθείτε με τις παλιές μεθόδους πολλαπλασιασμού.
• Διευρύνετε τις γνώσεις σας για διάφορες τεχνικές πολλαπλασιασμού.
• Μάθετε να εκτελείτε πράξεις με φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τις παλιές μεθόδους πολλαπλασιασμού.

1. Ο παλιός τρόπος πολλαπλασιασμού με το 9 στα δάχτυλά σας
2. Πολλαπλασιασμός με τη μέθοδο Ferrol.
3. Ιαπωνικός τρόπος πολλαπλασιασμού.
4. Ιταλικός τρόπος πολλαπλασιασμού ("Πλέγμα")
5. Ρωσικός τρόπος πολλαπλασιασμού.
6. Ινδικός τρόπος πολλαπλασιασμού.

Πρόοδος μαθήματος

Η συνάφεια της χρήσης τεχνικών γρήγορης καταμέτρησης.

Στη σύγχρονη ζωή, κάθε άτομο συχνά πρέπει να εκτελέσει έναν τεράστιο όγκο υπολογισμών και υπολογισμών. Ως εκ τούτου, ο σκοπός της δουλειάς μου είναι να δείξω εύκολες, γρήγορες και ακριβείς μεθόδους μέτρησης που όχι μόνο θα σας βοηθήσουν κατά τη διάρκεια οποιωνδήποτε υπολογισμών, αλλά θα προκαλέσουν μεγάλη έκπληξη μεταξύ φίλων και συντρόφων, επειδή η ελεύθερη εκτέλεση των εργασιών μέτρησης μπορεί να υποδηλώνει σε μεγάλο βαθμό την εξαιρετική τη διάνοιά σου. Ένα θεμελιώδες στοιχείο μιας κουλτούρας υπολογιστών είναι οι συνειδητές και ισχυρές δεξιότητες υπολογιστών. Το πρόβλημα της διαμόρφωσης μιας υπολογιστικής κουλτούρας είναι σχετικό για ολόκληρο το σχολικό μάθημα στα μαθηματικά, ξεκινώντας από τις δημοτικές τάξεις, και απαιτεί όχι μόνο την κατοχή υπολογιστικών δεξιοτήτων, αλλά τη χρήση τους σε διάφορες καταστάσεις. Η κατοχή υπολογιστικών δεξιοτήτων και ικανοτήτων έχει μεγάλη σημασία για την αφομοίωση του υλικού που μελετάται, επιτρέπει σε κάποιον να καλλιεργήσει πολύτιμες ιδιότητες εργασίας: υπεύθυνη στάση απέναντι στην εργασία του, ικανότητα εντοπισμού και διόρθωσης λαθών που έγιναν στην εργασία, ακριβής εκτέλεση της εργασίας, και μια δημιουργική στάση στην εργασία. Ωστόσο, πρόσφατα το επίπεδο των υπολογιστικών δεξιοτήτων, οι μετασχηματισμοί έκφρασης έχουν μια έντονη πτωτική τάση, οι μαθητές κάνουν πολλά λάθη κατά τον υπολογισμό, χρησιμοποιούν όλο και περισσότερο μια αριθμομηχανή, δεν σκέφτονται ορθολογικά, γεγονός που επηρεάζει αρνητικά την ποιότητα της εκπαίδευσης και το επίπεδο των μαθηματικών γνώσεων των μαθητών γενικά. Ένα από τα συστατικά της κουλτούρας υπολογιστών είναι λεκτική καταμέτρησηπου έχει μεγάλη σημασία. Η ικανότητα να κάνει γρήγορα και σωστά απλούς υπολογισμούς "στο μυαλό" είναι απαραίτητη για κάθε άτομο.

Αρχαίοι τρόποι πολλαπλασιασμού αριθμών.

1. Ο παλιός τρόπος πολλαπλασιασμού με το 9 στα δάχτυλά σας

Είναι απλό. Για να πολλαπλασιάσετε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ 1 και 9 με 9, κοιτάξτε τους δείκτες. Λυγίστε το δάχτυλο που αντιστοιχεί στον αριθμό που πολλαπλασιάζεται (για παράδειγμα 9 x 3 - λυγίστε το τρίτο δάχτυλο), μετρήστε τα δάχτυλα μέχρι το στραβό δάχτυλο (στην περίπτωση 9 x 3 είναι 2) και μετά μετρήστε μετά το στραβό δάχτυλο (στην περίπτωσή μας 7). Η απάντηση είναι 27.

2. Πολλαπλασιασμός με τη μέθοδο Ferrol.

Για να πολλαπλασιάσετε τις μονάδες του γινομένου πολλαπλασιασμού, πολλαπλασιάστε τις μονάδες των παραγόντων, για να πάρετε δεκάδες, πολλαπλασιάστε τις δεκάδες του ενός με τις μονάδες του άλλου και αντίστροφα και προσθέστε τα αποτελέσματα, για να πάρετε εκατοντάδες, πολλαπλασιάστε τις δεκάδες. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Ferrol, είναι εύκολο να πολλαπλασιάσετε προφορικά διψήφιους αριθμούς από το 10 στο 20.

Για παράδειγμα: 12x14=168

α) 2x4=8, γράψε 8

β) 1x4+2x1=6, γράψε 6

γ) 1x1=1, γράψτε 1.

3. Ιαπωνική μέθοδος πολλαπλασιασμού

Αυτή η τεχνική μοιάζει με τον πολλαπλασιασμό με μια στήλη, αλλά χρειάζεται πολύ χρόνο.

Χρήση υποδοχής. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 13 με το 24. Ας σχεδιάσουμε την παρακάτω εικόνα:

Αυτό το σχέδιο αποτελείται από 10 γραμμές (ο αριθμός μπορεί να είναι οποιοσδήποτε)

• Αυτές οι γραμμές αντιπροσωπεύουν τον αριθμό 24 (2 γραμμές, εσοχή, 4 γραμμές)
• Και αυτές οι γραμμές αντιπροσωπεύουν τον αριθμό 13 (1 γραμμή, εσοχή, 3 γραμμές)

(οι διασταυρώσεις στο σχήμα υποδεικνύονται με τελείες)

Αριθμός διελεύσεων:

• Επάνω αριστερό άκρο: 2
• Κάτω αριστερό άκρο: 6
• Πάνω δεξιά: 4
• Κάτω δεξιά: 12

1) Διασταυρώσεις στην επάνω αριστερή άκρη (2) - ο πρώτος αριθμός της απάντησης

2) Το άθροισμα των τομών της κάτω αριστερής και πάνω δεξιάς ακμής (6 + 4) - ο δεύτερος αριθμός της απάντησης

3) Διασταυρώσεις στην κάτω δεξιά άκρη (12) - ο τρίτος αριθμός της απάντησης.

Αποδεικνύεται: 2; 10; 12.

Επειδή Οι δύο τελευταίοι αριθμοί είναι διψήφιοι και δεν μπορούμε να τους γράψουμε, μετά γράφουμε μόνο μονάδες και προσθέτουμε δεκάδες στον προηγούμενο.

4. Ιταλικός τρόπος πολλαπλασιασμού ("Πλέγμα")

Στην Ιταλία, καθώς και σε πολλές χώρες της Ανατολής, αυτή η μέθοδος έχει γίνει πολύ διάσημη.

Χρήση υποδοχής:

Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε το 6827 επί 345.

1. Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο πλέγμα και γράφουμε έναν από τους αριθμούς πάνω από τις στήλες, και τον δεύτερο σε ύψος.

2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό κάθε σειράς διαδοχικά με τους αριθμούς κάθε στήλης.

• 6*3 = 18. Σημειώστε 1 και 8
• 8*3 = 24. Σημειώστε 2 και 4

Αν ο πολλαπλασιασμός παράγει έναν μονοψήφιο αριθμό, γράφουμε 0 στην κορυφή και αυτόν τον αριθμό στο κάτω.

(Όπως στο παράδειγμά μας, πολλαπλασιάζοντας το 2 με το 3, πήραμε 6. Στην κορυφή, γράψαμε 0 και στο κάτω 6)

3. Συμπληρώστε ολόκληρο το πλέγμα και προσθέστε τους αριθμούς που ακολουθούν τις διαγώνιες λωρίδες. Αρχίζουμε να διπλώνουμε από δεξιά προς τα αριστερά. Αν το άθροισμα μιας διαγωνίου περιέχει δεκάδες, τότε τις προσθέτουμε στις μονάδες της επόμενης διαγωνίου.

Απάντηση: 2355315.

5. Ρωσικός τρόπος πολλαπλασιασμού.

Αυτή η τεχνική πολλαπλασιασμού χρησιμοποιήθηκε από Ρώσους αγρότες περίπου πριν από 2-4 αιώνες και αναπτύχθηκε στην αρχαιότητα. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι: «Με το πόσο διαιρούμε τον πρώτο παράγοντα, πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο με τόσο πολύ». Ακολουθεί ένα παράδειγμα: Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 32 με το 13. Έτσι θα είχαν λύσει οι πρόγονοί μας αυτό το παράδειγμα 3 -4 αιώνες πριν:

• 32 * 13 (32 διαιρούμενο με 2 και 13 πολλαπλασιασμένο με 2)
• 16 * 26 (16 διαιρούμενο με 2 και 26 πολλαπλασιασμένο με 2)
• 8 * 52 (κ.λπ.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Η διχοτόμηση συνεχίζεται μέχρι το πηλίκο να γίνει 1, ενώ διπλασιάζεται ένας άλλος αριθμός παράλληλα. Ο τελευταίος διπλασιασμένος αριθμός δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε σε τι βασίζεται αυτή η μέθοδος: το προϊόν δεν αλλάζει εάν ο ένας παράγοντας μειωθεί στο μισό και ο άλλος διπλασιαστεί. Είναι σαφές, επομένως, ότι ως αποτέλεσμα της επανειλημμένης επανάληψης αυτής της λειτουργίας, λαμβάνεται το επιθυμητό προϊόν

Ωστόσο, τι να κάνετε εάν πρέπει να διαιρέσετε έναν περιττό αριθμό στο μισό; Ο δημοφιλής τρόπος βγαίνει εύκολα από αυτή τη δυσκολία. Είναι απαραίτητο, - λέει ο κανόνας, - στην περίπτωση ενός περιττού αριθμού, απορρίψτε τη μονάδα και διαιρέστε το υπόλοιπο στο μισό. αλλά από την άλλη πλευρά, στον τελευταίο αριθμό της δεξιάς στήλης θα χρειαστεί να προσθέσετε όλους εκείνους τους αριθμούς αυτής της στήλης που αντιστοιχούν στους περιττούς αριθμούς της αριστερής στήλης: το άθροισμα θα είναι το επιθυμητό γινόμενο. Στην πράξη, αυτό γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε όλες οι γραμμές με ζυγούς αριστερούς αριθμούς να διαγράφονται. παραμένουν μόνο εκείνα που περιέχουν περιττό αριθμό στα αριστερά. Ακολουθεί ένα παράδειγμα (οι αστερίσκοι υποδεικνύουν ότι αυτή η γραμμή πρέπει να διαγραφεί):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Προσθέτοντας τους μη διασταυρωμένους αριθμούς, έχουμε ένα εντελώς σωστό αποτέλεσμα:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Απάντηση: 323.

6. Ινδικός τρόπος πολλαπλασιασμού.

Αυτή η μέθοδος πολλαπλασιασμού χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Ινδία.

Για να πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, το 793 με το 92, γράφουμε έναν αριθμό ως πολλαπλασιαστή και κάτω από αυτόν έναν άλλο ως παράγοντα. Για να διευκολύνετε την πλοήγηση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πλέγμα (A) ως αναφορά.

Τώρα πολλαπλασιάζουμε το αριστερό ψηφίο του πολλαπλασιαστή με κάθε ψηφίο του πολλαπλασιαστή, δηλαδή 9x7, 9x9 και 9x3. Γράφουμε τα προϊόντα που προκύπτουν στο πλέγμα (Β), έχοντας υπόψη τους ακόλουθους κανόνες:

• Κανόνας 1. Οι μονάδες του πρώτου γινομένου πρέπει να γράφονται στην ίδια στήλη με τον πολλαπλασιαστή, δηλαδή, σε αυτήν την περίπτωση, κάτω από το 9.
• Κανόνας 2. Το επόμενο έργο πρέπει να είναι γραμμένο με τέτοιο τρόπο ώστε οι ενότητες να τοποθετούνται στη στήλη αμέσως δεξιά από την προηγούμενη εργασία.

Επαναλάβετε όλη τη διαδικασία με άλλους πολλαπλασιαστικούς αριθμούς, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες (C).

Στη συνέχεια προσθέτουμε τους αριθμούς στις στήλες και παίρνουμε την απάντηση: 72956.

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε μια μεγάλη λίστα έργων. Οι Ινδοί, που είχαν μεγάλη εξάσκηση, έγραφαν κάθε φιγούρα όχι στην αντίστοιχη στήλη, αλλά από πάνω, όσο το δυνατόν περισσότερο. Στη συνέχεια συγκέντρωσαν τους αριθμούς στις στήλες και έβγαλαν το αποτέλεσμα.

συμπέρασμα

Μπήκαμε στη νέα χιλιετία! Μεγάλες ανακαλύψεις και επιτεύγματα της ανθρωπότητας. Ξέρουμε πολλά, μπορούμε να κάνουμε πολλά. Φαίνεται κάτι υπερφυσικό ότι με τη βοήθεια αριθμών και τύπων μπορεί κανείς να υπολογίσει την πτήση ενός διαστημόπλοιου, την «οικονομική κατάσταση» στη χώρα, τον καιρό για το «αύριο», να περιγράψει τον ήχο των νότων σε μια μελωδία. Γνωρίζουμε τη ρήση του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, φιλοσόφου, που έζησε τον 4ο αιώνα π.Χ. - του Πυθαγόρα - «Όλα είναι ένας αριθμός!».

Σύμφωνα με τη φιλοσοφική άποψη αυτού του επιστήμονα και των οπαδών του, οι αριθμοί διέπουν όχι μόνο το μέτρο και το βάρος, αλλά και όλα τα φαινόμενα που συμβαίνουν στη φύση και είναι η ουσία της αρμονίας που βασιλεύει στον κόσμο, την ψυχή του σύμπαντος.

Περιγράφοντας τις αρχαίες μεθόδους υπολογισμού και τις σύγχρονες μεθόδους γρήγορης καταμέτρησης, προσπάθησα να δείξω ότι τόσο στο παρελθόν όσο και στο μέλλον, δεν μπορεί κανείς να κάνει χωρίς τα μαθηματικά, μια επιστήμη που δημιουργήθηκε από το ανθρώπινο μυαλό.

«Όποιος ασχολείται με τα μαθηματικά από την παιδική του ηλικία αναπτύσσει την προσοχή, εκπαιδεύει τον εγκέφαλο, τη θέλησή του, καλλιεργεί την επιμονή και την επιμονή στην επίτευξη του στόχου».(Α.Μαρκουσέβιτς)

Βιβλιογραφία.

1. Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. «Τ.23». Universal Encyclopedic Dictionary \ ed. κολέγιο: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury και άλλοι - M .: World of encyclopedias Avanta +, Astrel, 2008. - 688 p.
2. Ozhegov S.I. Λεξικό της ρωσικής γλώσσας: περίπου. 57000 λέξεις / Εκδ. μέλος - corr. ANSIR N.Yu. Σβέντοβα. - 20η έκδ. - Μ .: Εκπαίδευση, 2000. - 1012 σελ.
3. Θέλω να μάθω τα πάντα! The Great Illustrated Encyclopedia of Intelligence / Per. από τα Αγγλικά. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. – Μ.: Εκδοτικός Οίκος ΕΚΜΟ, 2006. – 440 σελ.
4. Sheinina O.S., Solovieva G.M. Μαθηματικά. Τάξεις του σχολικού κύκλου 5-6 κελιά / O.S. Sheinina, G.M. Solovieva - M .: Εκδοτικός Οίκος NTsENAS, 2007. - 208 σελ.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. The Amazing World of Numbers: A Book of Students, - M. Education, 1986.
6. Minskykh E. M. «Από το παιχνίδι στη γνώση», M., «Διαφωτισμός», 1982
7. Svechnikov A. A. Αριθμοί, σχήματα, καθήκοντα M., Διαφωτισμός, 1977.
8. http://matsievsky.ru newmail. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. en/mod/1/6506/history. html

Ερευνητική εργασία στα μαθηματικά στο δημοτικό σχολείο

Σύντομη περίληψη της ερευνητικής εργασίας
Κάθε μαθητής ξέρει πώς να πολλαπλασιάζει πολυψήφιους αριθμούς με μια «στήλη». Σε αυτή την εργασία, ο συγγραφέας εφιστά την προσοχή στην ύπαρξη εναλλακτικών μεθόδων πολλαπλασιασμού που είναι διαθέσιμες σε μικρότερους μαθητές, οι οποίες μπορούν να μετατρέψουν τους «κουραστικούς» υπολογισμούς σε ένα διασκεδαστικό παιχνίδι.
Η εργασία εξετάζει έξι μη παραδοσιακούς τρόπους πολλαπλασιασμού πολυψήφιων αριθμών που χρησιμοποιούνται σε διαφορετικές ιστορικές εποχές: Ρώσος αγρότης, πλέγμα, μικρό κάστρο, κινέζος, γιαπωνέζος, σύμφωνα με τον πίνακα του V. Okoneshnikov.
Το έργο έχει σχεδιαστεί για να αναπτύξει γνωστικό ενδιαφέρον για το αντικείμενο που μελετάται, να εμβαθύνει τη γνώση στον τομέα των μαθηματικών.
Πίνακας περιεχομένων
Εισαγωγή 3
Κεφάλαιο 1. Εναλλακτικοί τρόποι πολλαπλασιασμού 4
1.1. Λίγη ιστορία 4
1.2. Ρωσικός αγροτικός τρόπος πολλαπλασιασμού 4
1.3. Πολλαπλασιασμός με τη μέθοδο «Μικρό Κάστρο» 5
1.4. Πολλαπλασιασμός αριθμών με τη μέθοδο της «ζήλιας» ή «πολλαπλασιασμού πλέγματος» 5
1.5. Κινεζική μέθοδος πολλαπλασιασμού 5
1.6. Ιαπωνική μέθοδος πολλαπλασιασμού 6
1.7. Πίνακας Okoneshnikov 6
1.8 Πολλαπλασιασμός με στήλη. 7
Κεφάλαιο 2. Πρακτικό μέρος 7
2.1. Αγροτικός τρόπος 7
2.2. Μικρό κάστρο 7
2.3. Πολλαπλασιασμός αριθμών με τη μέθοδο της «ζήλιας» ή «πολλαπλασιασμού πλέγματος» 7
2.4. Κινεζικός τρόπος 8
2.5. Ιαπωνικός τρόπος 8
2.6. Πίνακας Okoneshnikov 8
2.7. Ερωτηματολόγιο 8
Συμπέρασμα 9
Παράρτημα 10

«Το θέμα των μαθηματικών είναι τόσο σοβαρό που είναι χρήσιμο να εκμεταλλευόμαστε ευκαιρίες για να το κάνουμε λίγο διασκεδαστικό».
Β. Πασκάλ
Εισαγωγή
Είναι αδύνατο για ένα άτομο να κάνει χωρίς υπολογισμούς στην καθημερινή ζωή. Επομένως, στα μαθήματα των μαθηματικών, πρώτα απ' όλα διδασκόμαστε να εκτελούμε πράξεις σε αριθμούς, δηλαδή να μετράμε. Πολλαπλασιάζουμε, διαιρούμε, προσθέτουμε και αφαιρούμε με τους συνήθεις τρόπους για όλους όσους σπουδάζουν στο σχολείο. Προέκυψε το ερώτημα: υπάρχουν άλλοι εναλλακτικοί τρόποι υπολογισμού; Ήθελα να τα μελετήσω πιο αναλυτικά. Για να απαντηθούν αυτά τα ερωτήματα, πραγματοποιήθηκε η παρούσα μελέτη.
Σκοπός της μελέτης: ο εντοπισμός μη παραδοσιακών μεθόδων πολλαπλασιασμού προκειμένου να μελετηθεί η δυνατότητα εφαρμογής τους.
Σύμφωνα με τον στόχο, διαμορφώσαμε τις ακόλουθες εργασίες:
- Βρείτε όσο το δυνατόν περισσότερους ασυνήθιστους τρόπους πολλαπλασιασμού.
- Μάθετε να τα εφαρμόζετε.
- Επιλέξτε μόνοι σας τα πιο ενδιαφέροντα ή ευκολότερα από αυτά που προσφέρονται στο σχολείο και χρησιμοποιήστε τα όταν μετράτε.
- Ελέγξτε στην πράξη τον πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών.
- Διεξαγωγή έρευνας σε μαθητές της Δ' τάξης
Αντικείμενο μελέτης:διάφορους μη τυπικούς πολυψήφιους αλγόριθμους πολλαπλασιασμού
Αντικείμενο έρευνας: μαθηματική δράση «πολλαπλασιασμός»
Υπόθεση: Εάν υπάρχουν τυπικοί τρόποι πολλαπλασιασμού πολυψήφιων αριθμών, ίσως υπάρχουν εναλλακτικοί τρόποι.
Συνάφεια: διάδοση γνώσεων για εναλλακτικές μεθόδους πολλαπλασιασμού.
Πρακτική σημασία. Στην πορεία της εργασίας λύθηκαν πολλά παραδείγματα και δημιουργήθηκε ένα άλμπουμ, το οποίο περιλαμβάνει παραδείγματα με διάφορους αλγόριθμους πολλαπλασιασμού πολλών αριθμών με διάφορους εναλλακτικούς τρόπους. Αυτό μπορεί να ενδιαφέρει τους συμμαθητές να διευρύνουν τους μαθηματικούς τους ορίζοντες και να χρησιμεύσει ως η αρχή νέων πειραμάτων.

Κεφάλαιο 1

1.1. Λίγο ιστορία
Οι μέθοδοι υπολογισμού που χρησιμοποιούμε τώρα δεν ήταν πάντα τόσο απλές και βολικές. Τα παλιά χρόνια χρησιμοποιούνταν πιο δύσκαμπτες και πιο αργές μέθοδοι. Και αν ένας σύγχρονος μαθητής μπορούσε να γυρίσει πεντακόσια χρόνια πίσω, θα εξέπληττε τους πάντες με την ταχύτητα και την ακρίβεια των υπολογισμών του. Η φήμη γι' αυτόν θα είχε διαδοθεί στα γύρω σχολεία και τα μοναστήρια, επισκιάζοντας τη δόξα των πιο επιδέξιων μετρητών εκείνης της εποχής, και άνθρωποι θα έρχονταν από παντού για να σπουδάσουν με τον νέο μεγάλο δάσκαλο.
Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης ήταν ιδιαίτερα δύσκολες τα παλιά χρόνια.
Στο βιβλίο του V. Bellyustin «Πώς οι άνθρωποι έφτασαν σταδιακά στην πραγματική αριθμητική», περιγράφονται 27 μέθοδοι πολλαπλασιασμού και ο συγγραφέας σημειώνει: «είναι πολύ πιθανό να υπάρχουν περισσότερες μέθοδοι κρυμμένες στις εσοχές των βιβλιοθηκών, διάσπαρτες σε πολλά , κυρίως χειρόγραφες συλλογές.» Και όλες αυτές οι μέθοδοι πολλαπλασιασμού συναγωνίζονταν μεταξύ τους και αφομοιώνονταν με μεγάλη δυσκολία.
Εξετάστε τους πιο ενδιαφέροντες και απλούς τρόπους πολλαπλασιασμού.
1.2. Ρωσικός αγροτικός τρόπος πολλαπλασιασμού
Στη Ρωσία, πριν από 2-3 αιώνες, διαδόθηκε μια μέθοδος στους αγρότες ορισμένων επαρχιών που δεν απαιτούσε γνώση ολόκληρου του πίνακα πολλαπλασιασμού. Χρειαζόταν μόνο να μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε με το 2. Αυτή η μέθοδος ονομαζόταν μέθοδος αγροτών.
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς, γράφτηκαν δίπλα-δίπλα και στη συνέχεια ο αριστερός αριθμός διαιρέθηκε με το 2 και ο δεξιός πολλαπλασιάστηκε με το 2. Καταγράψτε τα αποτελέσματα σε μια στήλη μέχρι να παραμείνει το 1 στα αριστερά. Το υπόλοιπο απορρίπτεται. Διαγράφουμε εκείνες τις γραμμές στις οποίες υπάρχουν ζυγοί αριθμοί στα αριστερά. Προστίθενται οι υπόλοιποι αριθμοί στη δεξιά στήλη.
1.3. Πολλαπλασιασμός με τη μέθοδο «Μικρό Κάστρο».
Ο Ιταλός μαθηματικός Luca Pacioli στην πραγματεία του «Το άθροισμα της γνώσης στην αριθμητική, τις αναλογίες και την αναλογικότητα» (1494) δίνει οκτώ διαφορετικές μεθόδους πολλαπλασιασμού. Το πρώτο από αυτά ονομάζεται «Μικρό Κάστρο».
Το πλεονέκτημα της μεθόδου πολλαπλασιασμού "Μικρό Κάστρο" είναι ότι τα ψηφία των υψηλότερων ψηφίων καθορίζονται από την αρχή και αυτό μπορεί να είναι σημαντικό εάν πρέπει να εκτιμήσετε γρήγορα την τιμή.
Τα ψηφία του άνω αριθμού, ξεκινώντας από το πιο σημαντικό ψηφίο, πολλαπλασιάζονται εναλλάξ με τον κάτω αριθμό και γράφονται σε μια στήλη με την προσθήκη του απαιτούμενου αριθμού μηδενικών. Στη συνέχεια αθροίζονται τα αποτελέσματα.
1.4. Πολλαπλασιασμός αριθμών με τη μέθοδο «ζήλεια» ή «πολλαπλασιασμός πλέγματος».
Η δεύτερη μέθοδος του Luca Pacioli ονομάζεται «ζήλεια» ή «πολλαπλασιασμός πλέγματος».
Αρχικά, σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο, χωρισμένο σε τετράγωνα. Στη συνέχεια τα τετράγωνα κελιά χωρίζονται διαγώνια και «... βγαίνει μια εικόνα που μοιάζει με δικτυωτά παντζούρια, περσίδες», γράφει ο Pacioli. «Τέτοια παντζούρια ήταν κρεμασμένα στα παράθυρα των ενετικών σπιτιών, εμποδίζοντας τους περαστικούς να δουν τις κυρίες και τις μοναχές να κάθονται στα παράθυρα».
Πολλαπλασιάζοντας κάθε ψηφίο του πρώτου παράγοντα με κάθε ψηφίο του δεύτερου, τα γινόμενα γράφονται στα αντίστοιχα κελιά, τοποθετώντας δεκάδες πάνω από τη διαγώνιο και μονάδες κάτω από αυτήν. Τα ψηφία του προϊόντος λαμβάνονται προσθέτοντας τα ψηφία σε λοξές λωρίδες. Τα αποτελέσματα των προσθηκών καταγράφονται κάτω από τον πίνακα, καθώς και στα δεξιά του.
1.5. Κινεζική μέθοδος πολλαπλασιασμού
Τώρα ας φανταστούμε μια μέθοδο πολλαπλασιασμού, που συζητείται έντονα στο Διαδίκτυο, η οποία ονομάζεται κινέζικη. Κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών λαμβάνονται υπόψη τα σημεία τομής των γραμμών, τα οποία αντιστοιχούν στον αριθμό των ψηφίων κάθε ψηφίου και των δύο παραγόντων.
1.6. Ιαπωνική μέθοδος πολλαπλασιασμού
Η ιαπωνική μέθοδος πολλαπλασιασμού είναι μια γραφική μέθοδος που χρησιμοποιεί κύκλους και γραμμές. Όχι λιγότερο αστείο και ενδιαφέρον από το κινέζικο. Ακόμα και κάτι σαν αυτόν.
1.7. Το τραπέζι του Okoneshnikov
Ο διδάκτωρ Φιλοσοφίας Vasily Okoneshnikov, ο οποίος είναι επίσης ο εφευρέτης ενός νέου συστήματος νοητικής μέτρησης, πιστεύει ότι οι μαθητές του σχολείου θα μπορούν να μάθουν να προσθέτουν και να πολλαπλασιάζουν εκατομμύρια, δισεκατομμύρια, ακόμη και εξάξια δισεκατομμύρια με τετράδα δισεκατομμύρια προφορικά. Σύμφωνα με τον ίδιο τον επιστήμονα, το σύστημα των εννέα δεκαδικών είναι το πιο πλεονεκτικό από αυτή την άποψη - όλα τα δεδομένα τοποθετούνται απλά σε εννέα κελιά διατεταγμένα σαν κουμπιά σε μια αριθμομηχανή.
Σύμφωνα με τον επιστήμονα, πριν γίνει υπολογιστικός «υπολογιστής», είναι απαραίτητο να απομνημονεύσει τον πίνακα που δημιούργησε.
Ο πίνακας χωρίζεται σε 9 μέρη. Είναι διατεταγμένα σύμφωνα με την αρχή μιας μίνι αριθμομηχανής: στα αριστερά στην κάτω γωνία "1", στα δεξιά στην επάνω γωνία "9". Κάθε μέρος είναι ένας πίνακας πολλαπλασιασμού αριθμών από το 1 έως το 9 (σύμφωνα με το ίδιο σύστημα «κουμπιού»). Για να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό, για παράδειγμα, με το 8, βρίσκουμε ένα μεγάλο τετράγωνο που αντιστοιχεί στον αριθμό 8 και γράφουμε από αυτό το τετράγωνο τους αριθμούς που αντιστοιχούν στα ψηφία του πολλαπλασιαστή πολλαπλών τιμών. Προσθέτουμε τους αριθμούς που προκύπτουν ειδικά: το πρώτο ψηφίο παραμένει αμετάβλητο και όλα τα υπόλοιπα προστίθενται σε ζεύγη. Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού.
Εάν η πρόσθεση δύο ψηφίων έχει ως αποτέλεσμα έναν αριθμό μεγαλύτερο από εννέα, τότε το πρώτο ψηφίο του προστίθεται στο προηγούμενο ψηφίο του αποτελέσματος και το δεύτερο γράφεται στη «δική του» θέση.
Η νέα μεθοδολογία δοκιμάστηκε σε πολλά ρωσικά σχολεία και πανεπιστήμια. Το Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας επέτρεψε τη δημοσίευση ενός νέου πίνακα πολλαπλασιασμού σε τετραγωνισμένα τετράδια μαζί με τον συνηθισμένο Πυθαγόρειο πίνακα - μέχρι στιγμής μόνο για γνωριμία.
1.8. Πολλαπλασιασμός στηλών.
Πολλοί άνθρωποι δεν γνωρίζουν ότι ο συγγραφέας της συνήθους μεθόδου μας για τον πολλαπλασιασμό ενός πολυψήφιου αριθμού με έναν πολυψήφιο αριθμό με μια στήλη πρέπει να θεωρείται ο Adam Rize (Παράρτημα 7). Αυτός ο αλγόριθμος θεωρείται ο πιο βολικός.
Κεφάλαιο 2. Πρακτικό μέρος
Κατακτώντας τις αναφερόμενες μεθόδους πολλαπλασιασμού, επιλύθηκαν πολλά παραδείγματα, σχεδιάστηκε ένα άλμπουμ με δείγματα διαφόρων αλγορίθμων υπολογισμού. (Εφαρμογή). Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο υπολογισμού με παραδείγματα.
2.1. αγροτικό τρόπο
Πολλαπλασιάστε το 47 επί 35 (Παράρτημα 1),
-γράψτε τους αριθμούς σε μια γραμμή, σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή μεταξύ τους.
-θα διαιρέσουμε τον αριστερό αριθμό με το 2, θα πολλαπλασιάσουμε τον σωστό αριθμό με το 2 (αν υπάρχει υπόλοιπο κατά τη διαίρεση, τότε απορρίπτουμε το υπόλοιπο).
- η διαίρεση τελειώνει όταν μια μονάδα εμφανίζεται στα αριστερά.
- διαγράψτε εκείνες τις γραμμές στις οποίες υπάρχουν ζυγοί αριθμοί στα αριστερά.
Προσθέτουμε τους αριθμούς που απομένουν στα δεξιά - αυτό είναι το αποτέλεσμα.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Συμπέρασμα. Η μέθοδος είναι βολική γιατί αρκεί να γνωρίζετε τον πίνακα μόνο με 2. Ωστόσο, όταν εργάζεστε με μεγάλους αριθμούς, είναι πολύ δυσκίνητη. Βολικό για εργασία με διψήφιους αριθμούς.
2.2. μικρό κάστρο
(Παράρτημα 2). Συμπέρασμα. Η μέθοδος μοιάζει πολύ με τη σύγχρονη "στήλη" μας. Επιπλέον, προσδιορίζονται άμεσα οι αριθμοί των υψηλότερων βαθμών. Αυτό είναι σημαντικό εάν πρέπει να εκτιμήσετε γρήγορα την τιμή.
2.3. Πολλαπλασιασμός αριθμών με τη μέθοδο «ζήλεια» ή «πολλαπλασιασμός πλέγματος».
Ας πολλαπλασιάσουμε, για παράδειγμα, τους αριθμούς 6827 και 345 (Παράρτημα 3):
1. Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο πλέγμα και γράφουμε έναν από τους πολλαπλασιαστές πάνω από τις στήλες και το δεύτερο - σε ύψος.
2. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό κάθε σειράς διαδοχικά με τους αριθμούς κάθε στήλης. Πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά το 3 επί 6, επί 8, επί 2 και επί 7 κ.λπ.
4. Προσθέστε τους αριθμούς που ακολουθούν τις διαγώνιες λωρίδες. Αν το άθροισμα μιας διαγωνίου περιέχει δεκάδες, τότε τις προσθέτουμε στην επόμενη διαγώνιο.
Από τα αποτελέσματα της πρόσθεσης των αριθμών κατά μήκος των διαγωνίων, συντάσσεται ο αριθμός 2355315, ο οποίος είναι το γινόμενο των αριθμών 6827 και 345, δηλαδή 6827 ∙ 345 = 2355315.
Συμπέρασμα. Η μέθοδος "πολλαπλασιασμού πλέγματος" δεν είναι χειρότερη από τη συμβατική. Είναι ακόμη πιο απλό, αφού οι αριθμοί εισάγονται στα κελιά του πίνακα απευθείας από τον πίνακα πολλαπλασιασμού χωρίς ταυτόχρονη πρόσθεση, που υπάρχει στην τυπική μέθοδο.
2.4. κινέζικο τρόπο
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 12 επί 321 (Παράρτημα 4). Σε ένα φύλλο χαρτιού, σχεδιάστε εναλλάξ γραμμές, ο αριθμός των οποίων καθορίζεται από αυτό το παράδειγμα.
Σχεδιάζουμε τον πρώτο αριθμό - 12. Για να το κάνουμε αυτό, από πάνω προς τα κάτω, από αριστερά προς τα δεξιά, σχεδιάζουμε:
ένα πράσινο ραβδί (1)
και δύο πορτοκαλί (2).
Σχεδιάζουμε τον δεύτερο αριθμό - 321, από κάτω προς τα πάνω, από αριστερά προς τα δεξιά:
τρία μπλε μπαστούνια (3).
δύο κόκκινα (2)?
ένα λιλά (1).
Τώρα χωρίζουμε τα σημεία τομής με ένα απλό μολύβι και προχωράμε στην καταμέτρησή τους. Μετακινούμαστε από δεξιά προς τα αριστερά (δεξιόστροφα): 2, 5, 8, 3.
Διαβάστε το αποτέλεσμα από αριστερά προς τα δεξιά - 3852
Συμπέρασμα. Ένας ενδιαφέρον τρόπος, αλλά το να σχεδιάσετε 9 ευθείες γραμμές όταν πολλαπλασιάζονται με το 9 είναι κατά κάποιο τρόπο μακρύ και χωρίς ενδιαφέρον και στη συνέχεια να μετράτε περισσότερα σημεία τομής. Χωρίς επιδεξιότητα, είναι δύσκολο να κατανοήσουμε τη διαίρεση ενός αριθμού σε ψηφία. Γενικά, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς έναν πίνακα πολλαπλασιασμού!
2.5. Ιαπωνικό τρόπο
Πολλαπλασιάστε το 12 με το 34 (Παράρτημα 5). Δεδομένου ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι ένας διψήφιος αριθμός και το πρώτο ψηφίο του πρώτου παράγοντα είναι το 1, χτίζουμε δύο μονούς κύκλους στην επάνω σειρά και δύο δυαδικούς κύκλους στην κάτω σειρά, καθώς το δεύτερο ψηφίο του πρώτου παράγοντα είναι 2 .
Δεδομένου ότι το πρώτο ψηφίο του δεύτερου παράγοντα είναι 3 και το δεύτερο είναι 4, χωρίζουμε τους κύκλους της πρώτης στήλης σε τρία μέρη, τη δεύτερη στήλη σε τέσσερα μέρη.
Ο αριθμός των τμημάτων στα οποία χωρίζονται οι κύκλοι είναι η απάντηση, δηλαδή 12 x 34 = 408.
Συμπέρασμα. Η μέθοδος είναι πολύ παρόμοια με τα κινέζικα γραφικά. Μόνο οι ευθείες αντικαθίστανται από κύκλους. Είναι ευκολότερο να προσδιοριστούν τα ψηφία ενός αριθμού, αλλά το σχέδιο κύκλων είναι λιγότερο βολικό.
2.6. Το τραπέζι του Okoneshnikov
Απαιτείται ο πολλαπλασιασμός 15647 x 5. Ανακαλούμε αμέσως το μεγάλο «κουμπί» 5 (είναι στη μέση) και πάνω του βρίσκουμε νοερά μικρά κουμπιά 1, 5, 6, 4, 7 (βρίσκονται επίσης, όπως στο μια αριθμομηχανή). Αντιστοιχούν στους αριθμούς 05, 25, 30, 20, 35. Προσθέτουμε τους αριθμούς που προκύπτουν: το πρώτο ψηφίο είναι 0 (παραμένει αμετάβλητο), το 5 προστίθεται νοερά στο 2, παίρνουμε 7 - αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος , 5 προστίθεται στο 3, παίρνουμε το τρίτο ψηφίο - 8 , 0+2=2, 0+3=3 και το τελευταίο ψηφίο του γινομένου παραμένει - 5. Το αποτέλεσμα είναι 78.235.
Συμπέρασμα. Η μέθοδος είναι πολύ βολική, αλλά πρέπει να μάθετε από την καρδιά ή να έχετε πάντα ένα τραπέζι στο χέρι.
2.7. Έρευνα μαθητών
Διεξήχθη έρευνα μεταξύ των μαθητών της τέταρτης τάξης. Συμμετείχαν 26 άτομα (Παράρτημα 8). Με βάση την έρευνα, αποκαλύφθηκε ότι όλοι οι ερωτηθέντες ξέρουν πώς να πολλαπλασιάζονται με τον παραδοσιακό τρόπο. Αλλά τα περισσότερα παιδιά δεν γνωρίζουν για μη παραδοσιακές μεθόδους πολλαπλασιασμού. Και υπάρχουν και αυτοί που θέλουν να τους γνωρίσουν.
Μετά την αρχική έρευνα πραγματοποιήθηκε εξωσχολική δραστηριότητα «Πολλαπλασιασμός με πάθος» όπου τα παιδιά εξοικειώθηκαν με εναλλακτικούς αλγόριθμους πολλαπλασιασμού. Μετά από αυτό, διεξήχθη μια έρευνα προκειμένου να εντοπιστούν οι πιο αγαπημένες μέθοδοι. Ο αδιαμφισβήτητος ηγέτης ήταν η πιο σύγχρονη μέθοδος του Βασίλι Οκονέσνικοφ. (Παράρτημα 9)
συμπέρασμα
Έχοντας μάθει να μετράει με όλους τους τρόπους που παρουσιάζονται, πιστεύω ότι η πιο βολική μέθοδος πολλαπλασιασμού είναι η μέθοδος «Μικρό Κάστρο» - γιατί μοιάζει πολύ με τη σημερινή μας!
Από όλες τις ασυνήθιστες μεθόδους μέτρησης που βρήκα, η «ιαπωνική» μέθοδος φαινόταν πιο ενδιαφέρουσα. Η απλούστερη μέθοδος μου φάνηκε ότι ήταν η μέθοδος «διπλασιασμού και διάσπασης» που χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι αγρότες. Το χρησιμοποιώ όταν πολλαπλασιάζω όχι πολύ μεγάλους αριθμούς. Είναι πολύ βολικό να το χρησιμοποιείτε κατά τον πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών.
Έτσι, πέτυχα τον στόχο της έρευνάς μου - μελέτησα και έμαθα πώς να εφαρμόζω μη παραδοσιακούς τρόπους πολλαπλασιασμού πολυψήφιων αριθμών. Η υπόθεσή μου επιβεβαιώθηκε - κατέκτησα έξι εναλλακτικές μεθόδους και ανακάλυψα ότι αυτοί δεν είναι όλοι οι πιθανοί αλγόριθμοι.
Οι αντισυμβατικές μέθοδοι πολλαπλασιασμού που μελέτησα είναι πολύ ενδιαφέρουσες και έχουν το δικαίωμα να υπάρχουν. Και σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι ακόμη πιο εύκολο στη χρήση. Νομίζω ότι μπορείς να μιλήσεις για την ύπαρξη αυτών των μεθόδων στο σχολείο, στο σπίτι και να εκπλήξεις τους φίλους και τους γνωστούς σου.
Μέχρι στιγμής, έχουμε μελετήσει και αναλύσει μόνο τις ήδη γνωστές μεθόδους πολλαπλασιασμού. Αλλά ποιος ξέρει, ίσως στο μέλλον εμείς οι ίδιοι να μπορέσουμε να ανακαλύψουμε νέους τρόπους πολλαπλασιασμού. Επίσης, δεν θέλω να σταματήσω εκεί και να συνεχίσω να μελετώ τις μη παραδοσιακές μεθόδους πολλαπλασιασμού.
Κατάλογος πηγών πληροφοριών
1. Κατάλογος παραπομπών
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Διασκεδαστικά μαθηματικά. - Μ.: AST - PRESS, 1999. - 368 σελ.
1.2. Belyustina V. Πώς οι άνθρωποι έφτασαν σταδιακά στην πραγματική αριθμητική. - ΛΚΙ, 2012.-208 σελ.
1.3. Depman I. Ιστορίες για τα μαθηματικά. - Λένινγκραντ.: Εκπαίδευση, 1954. - 140 σελ.
1.4. Likum A. Τα πάντα για τα πάντα. Τ. 2. - Μ .: Φιλολογική Εταιρεία «Λόγος», 1993. - 512 σελ.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. Αρχαία ψυχαγωγικά προβλήματα. – Μ.: Επιστήμη. Κύρια έκδοση φυσικής και μαθηματικής βιβλιογραφίας, 1985. - 160 σελ.
1.6. Perelman Ya.I. Διασκεδαστική αριθμητική. - M.: Rusanova, 1994 - 205s.
1.7. Perelman Ya.I. Γρήγορος λογαριασμός. Τριάντα απλές μέθοδοι νοητικής καταμέτρησης. L.: Lenizdat, 1941 - 12 p.
1.8. Savin A.P. Μαθηματικές μικρογραφίες. Διασκεδαστικά μαθηματικά για παιδιά. - Μ.: Παιδική λογοτεχνία, 1998 - 175 σελ.
1.9. Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. Μαθηματικά. - Μ.: Avanta +, 2003. - 688 σελ.
1.10. Γνωρίζω τον κόσμο: Παιδική Εγκυκλοπαίδεια: Μαθηματικά / σύντ. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: AST Publishing House LLC, 2000. - 480 p.
2. Άλλες πηγές πληροφοριών
Πηγές Διαδικτύου:
2.1. Korneev A.A. Το φαινόμενο του ρωσικού πολλαπλασιασμού. Ιστορία. [Ηλεκτρονικός πόρος]