Παραδείγματα πολλαπλασιασμού απλών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Κανόνας πολλαπλασιασμού των κλασμάτων με ακέραιους αριθμούς

§ 87. Πρόσθεση κλασμάτων.

Η πρόσθεση κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την πρόσθεση ακέραιων αριθμών. Η πρόσθεση κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), ο οποίος περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα μονάδων όρων.

Θα εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις με τη σειρά:

1. Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.
2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

1. Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1 / 5 + 2 / 5 .

Πάρτε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 17), πάρτε το ως μονάδα και χωρίστε το σε 5 ίσα μέρη, τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος ΑΒ και το τμήμα του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι αν πάρουμε το τμήμα AD, τότε θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το ποσό που προκύπτει, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος προέκυψε προσθέτοντας τους αριθμητές των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.

Από αυτό παίρνουμε τον ακόλουθο κανόνα: Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

2. Πρόσθεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Ας προσθέσουμε κλάσματα: 3/4 + 3/8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6/8 + 3/8 δεν θα μπορούσε να έχει γραφτεί. το έχουμε γράψει εδώ για μεγαλύτερη σαφήνεια.

Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή.

Εξετάστε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες στα αντίστοιχα κλάσματα):

3. Πρόσθεση μικτών αριθμών.

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Ας φέρουμε πρώτα τα κλασματικά μέρη των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ας τα ξαναγράψουμε:

Τώρα προσθέστε τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη με τη σειρά:

§ 88. Αφαίρεση κλασμάτων.

Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση των ακέραιων αριθμών. Αυτή είναι μια ενέργεια με την οποία, δεδομένου του αθροίσματος δύο όρων και ενός από αυτούς, βρίσκεται ένας άλλος όρος. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις με τη σειρά:

1. Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

1. Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

13 / 15 - 4 / 15

Ας πάρουμε το τμήμα ΑΒ (Εικ. 18), το πάρουμε ως μονάδα και το χωρίσουμε σε 15 ίσα μέρη. τότε το τμήμα AC αυτού του τμήματος θα είναι το 1/15 του AB και το τμήμα AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Ας αφήσουμε στην άκρη ένα άλλο τμήμα ΕΔ, ίσο με 4/15 ΑΒ.

Πρέπει να αφαιρέσουμε 4/15 από 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, θα παραμείνει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι τα 9/15 του τμήματος ΑΒ. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε:

Το παράδειγμα που κάναμε δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς προέκυψε αφαιρώντας τους αριθμητές και ο παρονομαστής παρέμεινε ο ίδιος.

Επομένως, για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δευτερεύοντος από τον αριθμητή του δευτερεύοντος και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή.

2. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Παράδειγμα. 3/4 - 5/8

Αρχικά, ας μειώσουμε αυτά τα κλάσματα στον μικρότερο κοινό παρονομαστή:

Ο ενδιάμεσος σύνδεσμος 6 / 8 - 5 / 8 είναι γραμμένος εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορεί να παραλειφθεί στο μέλλον.

Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, πρέπει πρώτα να το φέρετε στον μικρότερο κοινό παρονομαστή, στη συνέχεια να αφαιρέσετε τον αριθμητή του υποκατηγορούμενου από τον αριθμητή του minuend και να υπογράψετε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.

Παράδειγμα. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Ας φέρουμε τα κλασματικά μέρη του minuend και του subtrahend στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:

Αφαιρέσαμε ένα σύνολο από ένα σύνολο και ένα κλάσμα από ένα κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που το κλασματικό μέρος του subtrahend είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του minuend. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το ακέραιο μέρος του μειωμένου, να τη χωρίσετε σε εκείνα τα μέρη στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να προσθέσετε στο κλασματικό μέρος του μειωμένου. Και τότε η αφαίρεση θα γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:

§ 89. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο.
2. Εύρεση κλάσματος δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιασμός ακέραιου αριθμού με κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση ποσοστών ενός δεδομένου αριθμού. Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο.

Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου με έναν ακέραιο. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστής) με έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) σημαίνει τη σύνθεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων, στον οποίο κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.

Έτσι, εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε το 1/9 επί 7, τότε αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:

Πήραμε εύκολα το αποτέλεσμα, αφού η δράση περιορίστηκε στην πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Συνεπώς,

Η εξέταση αυτής της ενέργειας δείχνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο ισοδυναμεί με την αύξηση αυτού του κλάσματος όσες φορές υπάρχουν μονάδες στον ακέραιο. Και αφού η αύξηση του κλάσματος επιτυγχάνεται είτε αυξάνοντας τον αριθμητή του

είτε μειώνοντας τον παρονομαστή του , τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον ακέραιο είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή με αυτόν, αν είναι δυνατή μια τέτοια διαίρεση.

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο ή, αν είναι δυνατόν, να διαιρέσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

2. Εύρεση κλάσματος δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε, ή να υπολογίσετε, ένα μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των εργασιών και άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό ορισμένων αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, το οποίο υποδεικνύεται επίσης εδώ με ένα συγκεκριμένο κλάσμα. Για να διευκολυνθεί η κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε τη μέθοδο επίλυσής τους.

Εργασία 1.Είχα 60 ρούβλια. Το 1/3 από αυτά τα χρήματα ξόδεψα για την αγορά βιβλίων. Πόσο κόστισαν τα βιβλία;

Εργασία 2.Το τρένο πρέπει να καλύπτει την απόσταση μεταξύ των πόλεων Α και Β, ίση με 300 km. Έχει ήδη διανύσει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;

Εργασία 3.Στο χωριό υπάρχουν 400 σπίτια, τα 3/4 από τούβλα, τα υπόλοιπα ξύλινα. Πόσα σπίτια από τούβλα υπάρχουν;

Εδώ είναι μερικά από τα πολλά προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσουμε για να βρούμε ένα κλάσμα ενός δεδομένου αριθμού. Συνήθως ονομάζονται προβλήματα για την εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.

Λύση του προβλήματος 1.Από 60 ρούβλια. Ξόδεψα το 1/3 σε βιβλία. Έτσι, για να βρείτε το κόστος των βιβλίων, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 με το 3:

Λύση προβλήματος 2.Το νόημα του προβλήματος είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 km. Υπολογίστε το πρώτο 1/3 των 300. Αυτό επιτυγχάνεται με διαίρεση 300 km με 3:

300: 3 = 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).

Για να βρείτε τα δύο τρίτα του 300, πρέπει να διπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε με το 2:

100 x 2 = 200 (δηλαδή τα 2/3 των 300).

Λύση του προβλήματος 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα, που είναι τα 3/4 των 400. Ας βρούμε πρώτα το 1/4 των 400,

400: 4 = 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).

Για να υπολογίσουμε τρία τέταρτα του 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλαδή να πολλαπλασιαστεί επί 3:

100 x 3 = 300 (δηλαδή τα 3/4 των 400).

Με βάση την επίλυση αυτών των προβλημάτων, μπορούμε να εξαγάγουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Για να βρείτε την τιμή ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο που προκύπτει με τον αριθμητή του.

3. Πολλαπλασιασμός ακέραιου αριθμού με κλάσμα.

Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων θα πρέπει να νοείται ως η προσθήκη πανομοιότυπων όρων (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Σε αυτή την παράγραφο (παράγραφος 1) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο σημαίνει την εύρεση του αθροίσματος πανομοιότυπων όρων ίσο με αυτό το κλάσμα.

Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στην εύρεση του αθροίσματος των πανομοιότυπων όρων.

Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε έναν τέτοιο, για παράδειγμα, πολλαπλασιασμό: 9 2 / 3. Είναι προφανές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν ισχύει για αυτήν την περίπτωση. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.

Εξαιτίας αυτού, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, με άλλα λόγια, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να γίνει κατανοητό από τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, πώς θα πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η ενέργεια.

Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου με ένα κλάσμα είναι ξεκάθαρη από τον ακόλουθο ορισμό: να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο (πολλαπλασιαστή) με ένα κλάσμα (πολλαπλασιαστής) σημαίνει να βρείτε αυτό το κλάσμα του πολλαπλασιαστή.

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 9 με 2/3 σημαίνει ότι βρίσκουμε τα 2/3 των εννέα μονάδων. Στην προηγούμενη παράγραφο, τέτοια προβλήματα επιλύθηκαν. οπότε είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι καταλήγουμε στο 6.

Αλλά τώρα τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί τέτοιες φαινομενικά διαφορετικές ενέργειες όπως η εύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού ονομάζονται η ίδια λέξη "πολλαπλασιασμός" στην αριθμητική;

Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επαναλαμβάνοντας τον αριθμό με όρους πολλές φορές) και η νέα ενέργεια (εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού) δίνουν απάντηση σε ομοιογενείς ερωτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι προχωράμε εδώ από το σκεπτικό ότι ομοιογενείς ερωτήσεις ή εργασίες επιλύονται με μία και την ίδια ενέργεια.

Για να το κατανοήσετε αυτό, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (4), δηλαδή 50 x 4 = 200 (ρούβλια).

Ας πάρουμε το ίδιο πρόβλημα, αλλά σε αυτό η ποσότητα του υφάσματος θα εκφραστεί ως κλασματικός αριθμός: «1 m ύφασμα κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν τα 3/4 m τέτοιου υφάσματος;

Αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρούβλια (50) με τον αριθμό των μέτρων (3/4).

Μπορείτε επίσης να αλλάξετε τους αριθμούς σε αυτό πολλές φορές χωρίς να αλλάξετε την έννοια του προβλήματος, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κ.λπ.

Δεδομένου ότι αυτά τα προβλήματα έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο σε αριθμούς, ονομάζουμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους ίδια λέξη - πολλαπλασιασμός.

Πώς πολλαπλασιάζεται ένας ακέραιος αριθμός με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε τους αριθμούς που συναντήθηκαν στο τελευταίο πρόβλημα:

Σύμφωνα με τον ορισμό, πρέπει να βρούμε τα 3/4 του 50. Πρώτα βρίσκουμε το 1/4 του 50 και μετά τα 3/4.

Το 1/4 του 50 είναι 50/4.

Τα 3/4 του 50 είναι .

Συνεπώς.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5 / 8 = ?

Το 1/8 των 12 είναι 12/8,

Τα 5/8 του αριθμού 12 είναι .

Συνεπώς,

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:

Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον ακέραιο με τον αριθμητή του κλάσματος και να κάνετε αυτό το γινόμενο αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος ως παρονομαστή.

Γράφουμε αυτόν τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας απόλυτα σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38

Πρέπει να θυμόμαστε ότι πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) περικοπές, για παράδειγμα:

4. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια σημασία με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου με ένα κλάσμα, δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε το κλάσμα στον πολλαπλασιαστή από το πρώτο κλάσμα (πολλαπλασιαστής).

Δηλαδή, πολλαπλασιάζοντας το 3/4 με το 1/2 (μισό) σημαίνει ότι βρίσκουμε το μισό του 3/4.

Πώς πολλαπλασιάζεις ένα κλάσμα με ένα κλάσμα;

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: 3/4 επί 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε τα 5/7 από τα 3/4. Βρείτε πρώτα το 1/7 των 3/4 και μετά το 5/7

Το 1/7 του 3/4 θα εκφραζόταν ως εξής:

Οι αριθμοί 5/7 3/4 θα εκφραστούν ως εξής:

Με αυτόν τον τρόπο,

Άλλο παράδειγμα: 5/8 επί 4/9.

Το 1/9 της 5/8 είναι ,

4/9 οι αριθμοί 5/8 είναι .

Με αυτόν τον τρόπο,

Από αυτά τα παραδείγματα, μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερο γινόμενο παρονομαστή του γινομένου.

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γραφτεί γενικά ως εξής:

Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (αν είναι δυνατόν) μειώσεις. Εξετάστε παραδείγματα:

5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από ακατάλληλα κλάσματα, αυτή η περίσταση χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον πολλαπλασιασμό μικτών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστής ή και οι δύο συντελεστές εκφράζονται ως μικτοί αριθμοί, τότε αντικαθίστανται από ακατάλληλα κλάσματα. Πολλαπλασιάστε, για παράδειγμα, μεικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Μετατρέπουμε κάθε ένα από αυτά σε ένα ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια θα πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα που προκύπτουν σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα:

Κανόνας.Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με ένα κλάσμα.

Σημείωση.Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τον νόμο κατανομής ως εξής:

6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.Όταν λύνουμε προβλήματα και όταν εκτελούμε διάφορους πρακτικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε όλα τα είδη κλασμάτων. Πρέπει όμως να έχουμε κατά νου ότι πολλές ποσότητες δεν δέχονται καμία, αλλά φυσικές υποδιαιρέσεις γι' αυτές. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε το ένα εκατοστό (1/100) του ρουβλίου, θα είναι μια δεκάρα, τα δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τα τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή μια δεκάρα. Μπορείτε να πάρετε το ένα τέταρτο του ρουβλίου, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλ. 50 καπίκια (πενήντα καπίκια). Αλλά πρακτικά δεν Πάρτε, για παράδειγμα, 2/7 ρούβλια επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομα.

Η μονάδα μέτρησης για το βάρος, δηλαδή το κιλό, επιτρέπει, πρώτα απ 'όλα, δεκαδικές υποδιαιρέσεις, για παράδειγμα, 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού όπως 1/6, 1/11, 1/ 13 είναι ασυνήθιστες.

Γενικά τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές υποδιαιρέσεις.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό σε μια μεγάλη ποικιλία περιπτώσεων να χρησιμοποιείται η ίδια (ομοιόμορφη) μέθοδος υποδιαίρεσης ποσοτήτων. Η πολυετής πείρα έχει δείξει ότι μια τόσο δικαιολογημένη διαίρεση είναι η διαίρεση των «εκατοντάδων». Ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα που σχετίζονται με τους πιο διαφορετικούς τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.

Παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου είναι 10 ρούβλια. Μειώθηκε κατά 1 ρούβλι. 20 κοπ.

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν κατά τη διάρκεια του έτους στους καταθέτες τα 2/100 του ποσού που μπαίνει στο ταμιευτήριο.

Παράδειγμα. 500 ρούβλια τοποθετούνται στο ταμείο, το εισόδημα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5/100 του συνόλου των μαθητών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μόνο 1.200 μαθητές φοίτησαν στο σχολείο, 60 από αυτούς αποφοίτησαν από το σχολείο.

Το εκατοστό ενός αριθμού ονομάζεται ποσοστό..

Η λέξη «τοις εκατό» είναι δανεισμένη από τη λατινική γλώσσα και η ρίζα της «cent» σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (pro centum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Το νόημα αυτής της έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στην αρχαία Ρώμη τόκοι ήταν τα χρήματα που πλήρωνε ο οφειλέτης στον δανειστή «για κάθε εκατό». Η λέξη "cent" ακούγεται με τόσο γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (λένε εκατοστό).

Για παράδειγμα, αντί να πούμε ότι το εργοστάσιο παρήγαγε το 1/100 όλων των προϊόντων που παρήγαγε τον περασμένο μήνα, θα πούμε το εξής: το εργοστάσιο παρήγαγε το ένα τοις εκατό των απορριμμάτων τον περασμένο μήνα. Αντί να πούμε: το εργοστάσιο παρήγαγε 4/100 περισσότερα προϊόντα από το καθορισμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο υπερέβη το σχέδιο κατά 4 τοις εκατό.

Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να εκφραστούν διαφορετικά:

1. Η τιμή των βιβλίων έχει μειωθεί κατά 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.

2. Τα ταμιευτήρια καταβάλλουν στους καταθέτες το 2 τοις εκατό ετησίως του ποσού που τοποθετείται σε αποταμιεύσεις.

3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5 τοις εκατό του αριθμού όλων των μαθητών του σχολείου.

Για να συντομεύσετε το γράμμα, συνηθίζεται να γράφετε το σύμβολο% αντί της λέξης "ποσοστό".

Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι το σύμβολο % συνήθως δεν γράφεται στους υπολογισμούς, μπορεί να γραφτεί στη δήλωση προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο με αυτό το εικονίδιο.

Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε έναν ακέραιο με το καθορισμένο εικονίδιο με ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

Αντίθετα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο με το υποδεικνυόμενο εικονίδιο αντί για ένα κλάσμα με παρονομαστή 100:

7. Εύρεση ποσοστών ενός δεδομένου αριθμού.

Εργασία 1.Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με τα καυσόξυλα σημύδας να αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσο ξύλο σημύδας υπήρχε;

Το νόημα αυτού του προβλήματος είναι ότι τα καυσόξυλα σημύδας ήταν μόνο ένα μέρος των καυσόξυλων που παραδόθηκαν στο σχολείο και αυτό το μέρος εκφράζεται ως κλάσμα 30/100. Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 200 με το 30 / 100 (οι εργασίες για την εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού λύνονται πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα.).

Άρα το 30% των 200 ισούται με 60.

Το κλάσμα 30 / 100 που συναντάται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Θα ήταν δυνατό να πραγματοποιηθεί αυτή η μείωση από την αρχή. η λύση στο πρόβλημα δεν θα άλλαζε.

Εργασία 2.Στην κατασκήνωση βρίσκονταν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών. Τα παιδιά ηλικίας 11 ετών ήταν 21%, τα παιδιά ηλικίας 12 ετών ήταν 61% και τελικά τα παιδιά ηλικίας 13 ετών ήταν 18%. Πόσα παιδιά κάθε ηλικίας βρίσκονταν στην κατασκήνωση;

Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να εκτελέσετε τρεις υπολογισμούς, δηλαδή να βρείτε διαδοχικά τον αριθμό των παιδιών ηλικίας 11 ετών, μετά 12 ετών και, τέλος, 13 ετών.

Έτσι, εδώ θα χρειαστεί να βρείτε ένα κλάσμα ενός αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:

1) Πόσα παιδιά ήταν 11 ετών;

2) Πόσα παιδιά ήταν 12 ετών;

3) Πόσα παιδιά ήταν 13 ετών;

Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. Το άθροισμά τους πρέπει να είναι 300:

63 + 183 + 54 = 300

Θα πρέπει επίσης να προσέξετε το γεγονός ότι το άθροισμα των ποσοστών που δίνονται στην συνθήκη του προβλήματος είναι 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Αυτό υποδηλώνει ότι ο συνολικός αριθμός των παιδιών στην κατασκήνωση λήφθηκε ως 100%.

3 a da cha 3.Ο εργαζόμενος λάμβανε 1.200 ρούβλια το μήνα. Από αυτά ξόδεψε το 65% σε φαγητό, το 6% σε διαμέρισμα και θέρμανση, το 4% σε φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο, 10% σε πολιτιστικές ανάγκες και 15% εξοικονόμησε. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρονται στην εργασία;

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να βρείτε ένα κλάσμα του αριθμού 1.200 5 φορές. Ας το κάνουμε.

1) Πόσα χρήματα ξοδεύονται για φαγητό; Η εργασία λέει ότι αυτή η δαπάνη είναι το 65% όλων των κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:

2) Πόσα χρήματα πληρώθηκαν για ένα διαμέρισμα με θέρμανση; Επιχειρηματολογώντας όπως το προηγούμενο, καταλήγουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:

3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για φυσικό αέριο, ρεύμα και ραδιόφωνο;

4) Πόσα χρήματα ξοδεύονται για πολιτιστικές ανάγκες;

5) Πόσα χρήματα εξοικονόμησε ο εργάτης;

Για επαλήθευση, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, το οποίο είναι εύκολο να ελεγχθεί αθροίζοντας τα ποσοστά που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Έχουμε λύσει τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι αυτές οι εργασίες αφορούσαν διαφορετικά πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφορετικών ηλικιών, έξοδα του εργάτη), λύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη επειδή σε όλες τις εργασίες ήταν απαραίτητο να βρεθεί μερικά τοις εκατό των δεδομένων αριθμών.

§ 90. Διαίρεση κλασμάτων.

Κατά τη μελέτη της διαίρεσης των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.
2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο
3. Διαίρεση ακέραιου με κλάσμα.
4. Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Εύρεση αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του.
7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Ας τα εξετάσουμε διαδοχικά.

1. Διαιρέστε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο.

Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα των ακεραίων, διαίρεση είναι η ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι, δεδομένου του γινόμενου δύο παραγόντων (το μέρισμα) και ενός από αυτούς τους παράγοντες (τον διαιρέτη), βρίσκεται ένας άλλος παράγοντας.

Η διαίρεση ενός ακέραιου με έναν ακέραιο θεωρήσαμε στο τμήμα των ακεραίων. Συναντήσαμε εκεί δύο περιπτώσεις διαίρεσης: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο, ή «εντελώς» (150: 10 = 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 = 11 και 1 στο υπόλοιπο). Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι στο πεδίο των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντα δυνατή, γιατί το μέρισμα δεν είναι πάντα το γινόμενο του διαιρέτη και του ακέραιου. Μετά την εισαγωγή του πολλαπλασιασμού με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε κάθε περίπτωση διαίρεσης ακεραίων αριθμών ως πιθανή (αποκλείεται μόνο η διαίρεση με το μηδέν).

Για παράδειγμα, η διαίρεση του 7 με το 12 σημαίνει την εύρεση ενός αριθμού του οποίου το γινόμενο επί 12 θα ήταν 7. Αυτός ο αριθμός είναι το κλάσμα 7/12 επειδή 7/12 12 = 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 = 14/25 επειδή 14/25 25 = 14.

Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο, πρέπει να φτιάξετε ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με το μέρισμα και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.

2. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο.

Διαιρέστε το κλάσμα 6 / 7 με 3. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαίρεσης που δόθηκε παραπάνω, έχουμε εδώ το γινόμενο (6 / 7) και έναν από τους παράγοντες (3). απαιτείται να βρεθεί ένας τέτοιος δεύτερος παράγοντας που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 3, θα δώσει στο δεδομένο γινόμενο 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό το προϊόν. Αυτό σημαίνει ότι η εργασία που τέθηκε μπροστά μας ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η αναγωγή ενός κλάσματος μπορεί να γίνει είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Επομένως, μπορείτε να γράψετε:

Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμητής 6 διαιρείται με το 3, επομένως ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5 / 8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με το 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:

Με βάση αυτό, μπορούμε να ορίσουμε τον κανόνα: Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον ακέραιο(αν είναι δυνατόν), αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.

3. Διαίρεση ακέραιου με κλάσμα.

Ας χρειαστεί να διαιρέσουμε το 5 με το 1/2, δηλαδή να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιάσουμε με το 1/2, θα δώσει το γινόμενο 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 5, αφού το 1/2 είναι σωστό κλάσμα, και όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα σωστό κλάσμα, το γινόμενο πρέπει να είναι μικρότερο από τον πολλαπλασιαστή. Για να γίνει πιο σαφές, ας γράψουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1 / 2 = Χ , άρα x 1 / 2 \u003d 5.

Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό Χ , το οποίο, όταν πολλαπλασιαζόταν με το 1/2, θα έδινε 5. Αφού πολλαπλασιάζοντας έναν ορισμένο αριθμό με το 1/2 σημαίνει ότι βρίσκουμε το 1/2 αυτού του αριθμού, τότε, επομένως, το 1/2 του άγνωστου αριθμού Χ είναι το 5 και ο ακέραιος αριθμός Χ διπλάσια, δηλαδή 5 2 \u003d 10.

Άρα 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Ας ελέγξουμε:

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 6 με το 2/3. Ας προσπαθήσουμε πρώτα να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).

Εικ.19

Σχεδιάστε ένα τμήμα ΑΒ, ίσο με το 6 από ορισμένες μονάδες, και διαιρέστε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3 / 3) σε ολόκληρο το τμήμα ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Συνδέουμε με τη βοήθεια μικρών αγκύλων 18 ληφθέντα τμήματα των 2. Θα υπάρχουν μόνο 9 τμήματα. Αυτό σημαίνει ότι το κλάσμα 2/3 περιέχεται σε μονάδες b 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ακέραιες μονάδες. Συνεπώς,

Πώς να πάρετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχέδιο χρησιμοποιώντας μόνο υπολογισμούς; Θα υποστηρίξουμε ως εξής: απαιτείται να διαιρεθεί το 6 με το 2 / 3, δηλ. απαιτείται να απαντηθεί η ερώτηση, πόσες φορές το 2 / 3 περιέχεται στο 6. Ας μάθουμε πρώτα: πόσες φορές είναι το 1 / 3 περιέχεται στο 6; Σε μια ολόκληρη μονάδα - 3 τρίτα και σε 6 μονάδες - 6 φορές περισσότερο, δηλαδή 18 τρίτα. Για να βρούμε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 6 με το 3. Επομένως, το 1/3 περιέχεται σε μονάδες b 18 φορές και το 2/3 περιέχεται σε μονάδες b όχι 18 φορές, αλλά το μισό φορές, δηλ. 18: 2 = 9 Επομένως, όταν διαιρούμε το 6 με το 2/3 κάναμε τα εξής:

Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός ακέραιου με ένα κλάσμα. Για να διαιρέσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτόν τον ακέραιο με τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος και, κάνοντας αυτό το γινόμενο αριθμητή, να τον διαιρέσετε με τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος.

Γράφουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Για να γίνει αυτός ο κανόνας απόλυτα σαφής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Επομένως, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος ορίστηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος λήφθηκε εκεί.

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

4. Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα.

Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 3/4 με το 3/8. Τι θα δηλώνει τον αριθμό που θα προκύψει ως αποτέλεσμα της διαίρεσης; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, ας κάνουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).

Πάρτε το τμήμα ΑΒ, πάρτε το ως μονάδα, χωρίστε το σε 4 ίσα μέρη και σημειώστε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος AB. Ας διαιρέσουμε τώρα καθένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ θα χωριστεί σε 8 ίσα μέρη και κάθε τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Συνδέουμε 3 τέτοια τμήματα με τόξα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με τα 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι το τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται στο τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Άρα το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα. Έστω ότι απαιτείται να διαιρεθεί το 15/16 με το 3/32:

Μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που, αφού πολλαπλασιαστεί με το 3 / 32, θα δώσει ένα γινόμενο ίσο με 15 / 16. Ας γράψουμε τους υπολογισμούς ως εξής:

15 / 16: 3 / 32 = Χ

3 / 32 Χ = 15 / 16

3/32 άγνωστος αριθμός Χ απαρτίζουν 15/16

1/32 άγνωστος αριθμός Χ είναι ,

32 / 32 αριθμοί Χ μακιγιάζ .

Συνεπώς,

Έτσι, για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και να κάνετε το πρώτο γινόμενο αριθμητή και το δεύτερος ο παρονομαστής.

Ας γράψουμε τον κανόνα χρησιμοποιώντας γράμματα:

Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές οι συντομογραφίες, για παράδειγμα:

5. Διαίρεση μικτών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση μικτών αριθμών, πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ακατάλληλα κλάσματα και, στη συνέχεια, τα κλάσματα που προκύπτουν πρέπει να διαιρεθούν σύμφωνα με τους κανόνες για τη διαίρεση των κλασματικών αριθμών. Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα:

Τώρα ας χωρίσουμε:

Έτσι, για να διαιρέσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να διαιρέσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση των κλασμάτων.

6. Εύρεση αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του.

Μεταξύ των διαφόρων εργασιών για τα κλάσματα, μερικές φορές υπάρχουν εκείνες στις οποίες δίνεται η τιμή κάποιου κλάσματος ενός άγνωστου αριθμού και απαιτείται να βρεθεί αυτός ο αριθμός. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι αντίστροφος από το πρόβλημα της εύρεσης ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. εκεί δόθηκε ένας αριθμός και απαιτήθηκε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, εδώ δίνεται ένα κλάσμα ενός αριθμού και απαιτείται να βρεθεί αυτός ο ίδιος ο αριθμός. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμη πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε στη λύση αυτού του τύπου προβλήματος.

Εργασία 1.Την πρώτη μέρα, οι υαλοπίνακες υάλωσαν 50 παράθυρα, που είναι το 1/3 όλων των παραθύρων του χτισμένου σπιτιού. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;

Λύση.Το πρόβλημα λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 όλων των παραθύρων του σπιτιού, που σημαίνει ότι υπάρχουν 3 φορές περισσότερα παράθυρα συνολικά, δηλ.

Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.

Εργασία 2.Το μαγαζί πούλησε 1.500 κιλά αλεύρι, δηλαδή τα 3/8 του συνολικού αποθέματος αλευριού του μαγαζιού. Ποια ήταν η αρχική προσφορά του μαγαζιού σε αλεύρι;

Λύση.Από την κατάσταση του προβλήματος φαίνεται ότι τα 1.500 κιλά αλεύρι που πωλούνται αποτελούν τα 3/8 του συνολικού αποθέματος. Αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθέματος θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή, για να το υπολογίσετε, πρέπει να μειώσετε το 1500 κατά 3 φορές:

1.500: 3 = 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθέματος).

Προφανώς, ολόκληρο το απόθεμα θα είναι 8 φορές μεγαλύτερο. Συνεπώς,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Η αρχική προσφορά αλευριού στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.

Από την εξέταση αυτού του προβλήματος, μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας.

Για να βρείτε έναν αριθμό με μια δεδομένη τιμή του κλάσματός του, αρκεί να διαιρέσετε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Επιλύσαμε δύο προβλήματα σχετικά με την εύρεση ενός αριθμού με βάση το κλάσμα του. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ιδιαίτερα καλά από το τελευταίο, λύνονται με δύο ενέργειες: τη διαίρεση (όταν βρεθεί ένα μέρος) και τον πολλαπλασιασμό (όταν βρεθεί ο ακέραιος αριθμός).

Ωστόσο, αφού μελετήσουμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν με μία ενέργεια, δηλαδή: διαίρεση με ένα κλάσμα.

Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί με μια ενέργεια ως εξής:

Στο μέλλον, θα λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης ενός αριθμού με το κλάσμα του σε μια ενέργεια - διαίρεση.

7. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.

Σε αυτές τις εργασίες, θα χρειαστεί να βρείτε έναν αριθμό, γνωρίζοντας μερικά τοις εκατό αυτού του αριθμού.

Εργασία 1.Στις αρχές του τρέχοντος έτους, έλαβα 60 ρούβλια από το ταμιευτήριο. εισόδημα από το ποσό που έβαλα σε αποταμιεύσεις πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έβαλα στο ταμιευτήριο; (Τα ταμεία δίνουν στους καταθέτες το 2% του εισοδήματος ετησίως.)

Το νόημα του προβλήματος είναι ότι ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό το έβαλα σε ένα ταμιευτήριο και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, έλαβα 60 ρούβλια από αυτήν. εισόδημα, που είναι τα 2/100 των χρημάτων που έβαλα. Πόσα χρήματα κατέθεσα;

Επομένως, γνωρίζοντας το μέρος αυτών των χρημάτων, που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και σε κλάσματα), πρέπει να βρούμε ολόκληρο το, ακόμη άγνωστο, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο πρόβλημα εύρεσης ενός αριθμού με δεδομένο το κλάσμα του. Οι παρακάτω εργασίες επιλύονται με διαίρεση:

Έτσι, 3.000 ρούβλια μπήκαν στο ταμιευτήριο.

Εργασία 2.Σε δύο εβδομάδες, οι ψαράδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο πρόγραμμα κατά 64%, έχοντας ετοιμάσει 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιο τους;

Από την κατάσταση του προβλήματος γίνεται γνωστό ότι οι ψαράδες ολοκλήρωσαν μέρος του σχεδίου. Το τμήμα αυτό ισούται με 512 τόνους, που είναι το 64% του σχεδίου. Πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να συγκομιστούν σύμφωνα με το σχέδιο, δεν γνωρίζουμε. Η λύση του προβλήματος θα συνίσταται στην εύρεση αυτού του αριθμού.

Τέτοιες εργασίες επιλύονται με διαίρεση:

Έτσι, σύμφωνα με το σχέδιο, πρέπει να προετοιμάσετε 800 τόνους ψαριών.

Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ρώτησε τον διερχόμενο αγωγό πόσο από το ταξίδι είχαν ήδη διανύσει. Σε αυτό ο μαέστρος απάντησε: «Έχουμε ήδη καλύψει το 30% ολόκληρου του ταξιδιού». Ποια είναι η απόσταση Μόσχα - Ρίγα;

Από την κατάσταση του προβλήματος φαίνεται ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χιλιόμετρα. Πρέπει να βρούμε ολόκληρη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλ., για αυτό το μέρος, βρείτε το σύνολο:

§ 91. Αριθμοί αμοιβαίοι. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.

Πάρτε το κλάσμα 2/3 και αναδιατάξτε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε ένα κλάσμα, το αντίστροφο αυτού.

Για να πάρετε ένα κλάσμα αντίστροφο ενός δεδομένου, πρέπει να βάλετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να πάρουμε ένα κλάσμα που είναι το αντίστροφο οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:

3/4, αντίστροφα 4/3; 5/6, αντίστροφα 6/5

Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου λέγονται αμοιβαία αντίστροφα.

Ας σκεφτούμε τώρα ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, θα είναι 2 / 1, ή μόνο 2. Αναζητώντας το αντίστροφο αυτού, πήραμε έναν ακέραιο. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι μεμονωμένη. Αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), οι αντίστροφοι θα είναι ακέραιοι, για παράδειγμα:

1 / 3, αντίστροφο 3; 1/5, αντίστροφα 5

Δεδομένου ότι κατά την εύρεση των αντίστροφων συναντηθήκαμε και με ακέραιους αριθμούς, στο μέλλον δεν θα μιλάμε για αντίστροφα, αλλά για αντίστροφα.

Ας μάθουμε πώς να γράψουμε το αντίστροφο ενός ακέραιου αριθμού. Για τα κλάσματα, αυτό λύνεται απλά: πρέπει να βάλετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε το αντίστροφο ενός ακέραιου, αφού οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να έχει παρονομαστή 1. Επομένως, το αντίστροφο του 7 θα είναι 1 / 7, επειδή 7 \u003d 7 / 1; για τον αριθμό 10 το αντίστροφο είναι 1 / 10 αφού 10 = 10 / 1

Αυτή η ιδέα μπορεί να εκφραστεί με άλλο τρόπο: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού προκύπτει διαιρώντας το ένα με τον δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Πράγματι, αν θέλετε να γράψετε έναν αριθμό που είναι ο αντίστροφος του κλάσματος 5 / 9, τότε μπορούμε να πάρουμε το 1 και να το διαιρέσουμε με το 5 / 9, δηλ.

Τώρα ας επισημάνουμε ένα ιδιοκτησίααμοιβαία αμοιβαίοι αριθμοί, που θα μας φανούν χρήσιμοι: το γινόμενο αμοιβαίων αμοιβαίων αριθμών είναι ίσο με ένα.Πράγματι:

Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε αμοιβαία με τον ακόλουθο τρόπο. Ας βρούμε το αντίστροφο του 8.

Ας το συμβολίσουμε με το γράμμα Χ , μετά 8 Χ = 1, επομένως Χ = 1/8. Ας βρούμε έναν άλλο αριθμό, το αντίστροφο του 7/12, να τον συμβολίσουμε με ένα γράμμα Χ , μετά 7/12 Χ = 1, επομένως Χ = 1:7 / 12 ή Χ = 12 / 7 .

Εισαγάγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαίων αριθμών προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.

Όταν διαιρέσουμε τον αριθμό 6 με 3 / 5, τότε κάνουμε τα εξής:

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην έκφραση και συγκρίνετε τη με τη δεδομένη: .

Εάν πάρουμε την έκφραση χωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε είναι αδύνατο να λύσουμε το ερώτημα από πού προήλθε: από τη διαίρεση του 6 με 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό του 6 με το 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού με έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω επιβεβαιώνουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.

ΠΑΡΑΚΑΜΠΤΩΣΤΕ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΤΣΟΥΡΓΙΕΣ ΗΔΗ! 🙂

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι δυνατοί «όχι πολύ. »
Και για όσους «πολύ άρτια. "")

Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Σας υπενθυμίζω: για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:

Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν χρειάζεται εδώ...

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αναστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:

Εάν συλληφθεί ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση με ακέραιους αριθμούς και κλάσματα, δεν πειράζει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με μια μονάδα στον παρονομαστή - και πάμε! Για παράδειγμα:

Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

Πώς να φέρετε αυτό το κλάσμα σε μια αξιοπρεπή μορφή; Ναι, πολύ εύκολο! Χρησιμοποιήστε τη διαίρεση σε δύο σημεία:

Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά σε ένα τριώροφο κλάσμα είναι εύκολο να κάνεις λάθος. Σημειώστε, για παράδειγμα:

Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

Ποια είναι η σειρά διαίρεσης; Ή αγκύλες, ή (όπως εδώ) το μήκος των οριζόντιων παύλων. Αναπτύξτε ένα μάτι. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:

μετά διαιρέστε-πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

Και άλλο ένα πολύ απλό και σημαντικό κόλπο. Σε δράσεις με πτυχία θα σου φανεί χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε τη μονάδα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:

Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο.

Αυτές είναι όλες οι ενέργειες με τα κλάσματα. Το πράγμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Λάβετε υπόψη τις πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!

1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Δεν είναι κοινές λέξεις, δεν είναι καλές ευχές! Αυτή είναι μια σοβαρή ανάγκη! Κάντε όλους τους υπολογισμούς στις εξετάσεις ως μια ολοκληρωμένη εργασία, με συγκέντρωση και σαφήνεια. Είναι προτιμότερο να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδεύετε κατά τον υπολογισμό στο κεφάλι σας.

2. Σε παραδείγματα με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων - πηγαίνετε στα συνηθισμένα κλάσματα.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα στο στοπ.

4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).

Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά αυτού του θέματος και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα θα μπορούσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα.

Θυμηθείτε τη σωστή απάντηση που λαμβάνεται από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά - δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.

Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται για προετοιμασία για τις εξετάσεις. Λύνουμε ένα παράδειγμα, ελέγχουμε, λύνουμε τα παρακάτω. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από τον πρώτο έως τον τελευταίο. Αλλά μόνο μετάκοιτάξτε τις απαντήσεις.

Ψάχνετε για απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες σαστισμένοι, μακριά από πειρασμούς, θα λέγαμε. Εδώ είναι, οι απαντήσεις, χωρισμένες με ερωτηματικό.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Και τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πήγαν καλά - χαρούμενος για εσάς! Οι στοιχειώδεις υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι.

Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά. το διαλυτός Προβλήματα.

Στην Ειδική Ενότητα 555 «Κλάσματα» αναλύονται όλα αυτά (και όχι μόνο!) παραδείγματα. Με λεπτομερείς εξηγήσεις για το τι, γιατί και πώς. Μια τέτοια ανάλυση βοηθάει πολύ στην έλλειψη γνώσεων και δεξιοτήτων!

Ναι, και για το δεύτερο πρόβλημα υπάρχει κάτι.) Πολύ πρακτικές συμβουλές, πώς να γίνεις πιο προσεκτικός. Ναι ναι! Συμβουλές που μπορούν να εφαρμοστούν καθε.

Εκτός από τη γνώση και την προσοχή, απαιτείται ένας ορισμένος αυτοματισμός για την επιτυχία. Πού να το πάρετε; Ακούω έναν βαρύ αναστεναγμό... Ναι, μόνο στην πράξη, πουθενά αλλού.

Μπορείτε να μεταβείτε στον ιστότοπο 321start.ru για εκπαίδευση. Εκεί, στην επιλογή «Δοκιμάστε», υπάρχουν 10 παραδείγματα προς χρήση από όλους. Με άμεση επαλήθευση. Για εγγεγραμμένους χρήστες - 34 παραδείγματα από απλά έως σοβαρά. Είναι μόνο για κλάσματα.

Αν σας αρέσει αυτός ο ιστότοπος.

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Εδώ μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθετε με ενδιαφέρον!

Και εδώ μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παράγωγα.

Κανόνας 1

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Κανόνας 2

Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα:

1. να βρείτε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων

2. Γράψτε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Κανόνας 3

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους γράψετε ως ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.

Κανόνας 4

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Παράδειγμα 1

Υπολογίζω

Παράδειγμα 2

Υπολογίζω

Παράδειγμα 3

Υπολογίζω

Παράδειγμα 4

Υπολογίζω

Μαθηματικά. Άλλα υλικά

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε μια λογική δύναμη. (

Αύξηση ενός αριθμού σε φυσική δύναμη. (

Μέθοδος γενικευμένων διαστημάτων για την επίλυση αλγεβρικών ανισώσεων (Συγγραφέας Kolchanov A.V.)

Μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων για την επίλυση αλγεβρικών ανισοτήτων (Συγγραφέας Kolchanov A.V.)

Σημάδια διαιρετότητας (Lungu Alena)

Δοκιμάστε τον εαυτό σας στο θέμα «Πολλαπλασιασμός και διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων»

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων με διάφορους πιθανούς τρόπους.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα

Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες πολλαπλασιασμού κλασμάτων.

Προς την πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, απαραίτητη:

πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.

πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.

Πριν πολλαπλασιάσουμε αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς σας.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό

Σε κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόπρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.

Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό

Μερικές φορές στους υπολογισμούς είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτήν την έκδοση του κανόνα εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό

Ποιος είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό; Ας αναλύσουμε τη θεωρία, ας βγάλουμε ένα συμπέρασμα και ας χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να δούμε πώς μπορεί να γίνει η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό σύμφωνα με έναν νέο σύντομο κανόνα.

Συνήθως, η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων. Ο πρώτος αριθμός (κλάσμα) πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο του δεύτερου. Δεδομένου ότι ο δεύτερος αριθμός είναι ακέραιος, η αμοιβαία του είναι ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με ένα και ο παρονομαστής είναι ο δεδομένος αριθμός. Σχηματικά, η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό μοιάζει με αυτό:

Από αυτό συμπεραίνουμε:

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και αφήστε τον αριθμητή ίδιο. Ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί ακόμη πιο συνοπτικά:

Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ο αριθμός πηγαίνει στον παρονομαστή.

Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν αριθμό:

Για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ξαναγράφουμε τον αριθμητή αμετάβλητο και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό. Μειώνουμε το 6 και το 3 κατά 3.

Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ξαναγράφουμε τον αριθμητή και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό. Μειώνουμε το 16 και το 24 κατά 8.

Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ο αριθμός πηγαίνει στον παρονομαστή, οπότε αφήνουμε τον αριθμητή ίδιο και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον διαιρέτη. Μειώνουμε το 21 και το 35 κατά 7.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (δείτε το μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Η πιο δύσκολη στιγμή σε αυτές τις ενέργειες ήταν να φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμα πιο εύκολες από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, εξετάστε την απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διακεκριμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται σε πολλαπλασιασμό. Για να αναστρέψετε ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, ολόκληρο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα μειωμένο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν, μετά από όλες τις μειώσεις, το κλάσμα αποδείχθηκε λανθασμένο, θα πρέπει να διακρίνεται ολόκληρο το τμήμα σε αυτό. Αλλά αυτό που ακριβώς δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρούμενες μεθόδους, μέγιστους συντελεστές και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ακέραιο μέρος και αρνητικά κλάσματα

Εάν υπάρχει ένα ακέραιο μέρος στα κλάσματα, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τα όρια πολλαπλασιασμού ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

1. Συν φορές το μείον δίνει μείον?
2. Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες συναντώνται μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν απαιτούνταν να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα προϊόν, μπορούν να γενικευθούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

3. Σταυρώνουμε ανά δύο τα μειονεκτήματα μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε μια ακραία περίπτωση, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό που δεν βρήκε ταίριασμα.
4. Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, αφού δεν βρήκε ζεύγος, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Παίρνεις αρνητικό κλάσμα.

Μεταφράζουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά βγάζουμε τα μείον έξω από τα όρια πολλαπλασιασμού. Ό,τι απομένει πολλαπλασιάζεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που έρχεται πριν από ένα κλάσμα με τονισμένο ακέραιο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο στο ακέραιο μέρος του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε αγκύλες. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει πιο ακριβής η όλη σημειογραφία.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πολύ επίπονη πράξη. Οι αριθμοί εδώ είναι αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε την εργασία, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε ακόμη περισσότερο το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι έχει απομείνει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Οι μονάδες παρέμειναν στη θέση τους, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, μπορούν να παραλειφθούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, σε καμία περίπτωση μην χρησιμοποιείτε αυτήν την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά την προσθήκη ενός κλάσματος, το άθροισμα εμφανίζεται στον αριθμητή ενός κλάσματος και όχι στο γινόμενο των αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Δεν υπάρχει απλώς κανένας άλλος λόγος για τη μείωση των κλασμάτων, επομένως η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Σε γενικές γραμμές, να είστε προσεκτικοί.

Διαίρεση κλασμάτων.

Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό.

Παραδείγματα διαίρεσης κλάσματος με φυσικό αριθμό

Διαίρεση φυσικού αριθμού με κλάσμα.

Παραδείγματα διαίρεσης φυσικού αριθμού με κλάσμα

Διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων.

Παραδείγματα διαίρεσης συνηθισμένων κλασμάτων

Διαίρεση μικτών αριθμών.

Για να διαιρέσετε έναν μικτό αριθμό με έναν άλλο, χρειάζεστε:
• μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
• πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου.
• μειώστε το προκύπτον κλάσμα.
• Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Παραδείγματα διαίρεσης μικτών αριθμών

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Τυχόν άσεμνο σχόλιο θα αφαιρεθεί και οι συντάκτες τους θα μπουν στη μαύρη λίστα!

Καλώς ήρθατε στο OnlineMSchool.
Το όνομά μου είναι Dovzhik Mikhail Viktorovich. Είμαι ο ιδιοκτήτης και συγγραφέας αυτού του ιστότοπου, έχω γράψει όλο το θεωρητικό υλικό, καθώς και ανέπτυξα διαδικτυακές ασκήσεις και αριθμομηχανές που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να μελετήσετε μαθηματικά.

Κλάσματα. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσουμε τα συνηθισμένα κλάσματα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή (παίρνουμε τον αριθμητή του γινομένου) και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή (παίρνουμε τον παρονομαστή του γινομένου).

Τύπος πολλαπλασιασμού κλασμάτων:





Πριν προχωρήσετε στον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρονομαστών, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για τη δυνατότητα μείωσης του κλάσματος. Εάν καταφέρετε να μειώσετε το κλάσμα, τότε θα είναι πιο εύκολο για σας να συνεχίσετε να κάνετε υπολογισμούς.

Σημείωση! Δεν χρειάζεται να ψάχνουμε για κοινό παρονομαστή!!

Διαίρεση συνηθισμένου κλάσματος με κλάσμα.

Η διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με ένα κλάσμα έχει ως εξής: αναποδογυρίστε το δεύτερο κλάσμα (δηλαδή αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά τόπους) και μετά πολλαπλασιάζονται τα κλάσματα.

Ο τύπος για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:





Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό.

Σημείωση!Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, ο αριθμητής του κλάσματος πολλαπλασιάζεται με τον φυσικό μας αριθμό και ο παρονομαστής του κλάσματος παραμένει ο ίδιος. Εάν το αποτέλεσμα του προϊόντος είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε φροντίστε να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα μετατρέποντας το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.



Διαίρεση κλασμάτων που περιλαμβάνουν φυσικό αριθμό.

Δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της πρόσθεσης, μετατρέπουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα με μονάδα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:



Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (μικτοί):

• μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
• πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.
• μειώνουμε το κλάσμα?
• αν πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.



Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσουμε τον αριθμητή αμετάβλητο.



Από το παραπάνω παράδειγμα, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολυεπίπεδα κλάσματα.

Στο γυμνάσιο, συχνά συναντώνται τριώροφα (ή περισσότερα) κλάσματα. Παράδειγμα:

Για να φέρει ένα τέτοιο κλάσμα στη συνηθισμένη του μορφή, χρησιμοποιείται διαίρεση σε 2 σημεία:



Σημείωση!Κατά τη διαίρεση των κλασμάτων, η σειρά διαίρεσης είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Σημείωση, για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση ενός με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο:

Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα στην εργασία με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή. Κάντε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, συγκεντρωμένα και καθαρά. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδευτείτε στους υπολογισμούς στο κεφάλι σας.

2. Σε εργασίες με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων, πηγαίνετε στον τύπο των συνηθισμένων κλασμάτων.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.

4. Φέρνουμε κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών επιπέδων σε συνηθισμένες, χρησιμοποιώντας διαίρεση σε 2 σημεία.

• Κάτω και όχι μέχρι- Επανασχεδιασμένο τραγούδι "Spring Tango" (Η ώρα έρχεται - πουλιά από το νότο φτάνουν) - μουσική. Valery Milyaev άκουσα λάθος, παρεξήγησα, δεν πρόλαβα, με την έννοια ότι δεν μάντεψα, έγραψα όλα τα ρήματα με όχι ξεχωριστά, δεν ήξερα για το πρόθεμα nedo-. Συμβαίνει, […]
• Η σελίδα δεν βρέθηκε Στην τρίτη τελική ανάγνωση, εγκρίθηκε μια δέσμη κυβερνητικών εγγράφων που προβλέπουν τη δημιουργία ειδικών διοικητικών περιφερειών (ΕΔΠ). Λόγω της εξόδου από την Ευρωπαϊκή Ένωση, το Ηνωμένο Βασίλειο δεν θα συμπεριληφθεί στον ευρωπαϊκό χώρο ΦΠΑ και […]
• Η Μικτή Ερευνητική Επιτροπή θα εμφανιστεί το φθινόπωρο
• Ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου Πώς μοιάζει ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου Πώς προετοιμάζεται ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου Η προετοιμασία τεχνικών περιγραφών μεθόδων αποθήκευσης, επεξεργασίας και μετάδοσης σημάτων ή/και δεδομένων ειδικά για σκοπούς κατοχύρωσης διπλωμάτων ευρεσιτεχνίας δεν είναι συνήθως ιδιαίτερα δύσκολη και […]
• ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ 12 Δεκεμβρίου 1993 ΤΟ ΣΥΝΤΑΓΜΑ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ (με την επιφύλαξη τροποποιήσεων που έγιναν από τους νόμους της Ρωσικής Ομοσπονδίας σχετικά με τροποποιήσεις στο Σύνταγμα της Ρωσικής Ομοσπονδίας με ημερομηνία 30-20 Δεκεμβρίου 2008 FKZ, με ημερομηνία 30 Δεκεμβρίου 2008 N 7-FKZ, […]
• Οι Chastushkas σχετικά με τη συνταξιοδότηση για μια γυναίκα είναι κουλ για έναν ήρωα της ημέρας οι άνδρες για τον ήρωα της ημέρας για έναν άνδρα - σε χορωδία για τον ήρωα της ημέρας για μια γυναίκα - μύηση σε συνταξιούχους οι γυναίκες είναι κωμικές Διαγωνισμοί για συνταξιούχους θα είναι ενδιαφέροντες Οικοδεσπότης : Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Μια στιγμή προσοχής! Αίσθηση! Μόνο […]

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινιστεί ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος ακουμπάει σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Αυτό που θέλω να επισημάνω συγκεκριμένα είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι δύο διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται καθώς παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Πολύ καλά, οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται στη Wikipedia. Εμείς κοιτάμε.

Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, στα οποία το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «μυαλό μου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τους συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Καταρχάς θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε κέρματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα θυμηθεί μανιωδώς τη φυσική: διαφορετικά νομίσματα έχουν διαφορετικές ποσότητες βρωμιάς, η κρυσταλλική δομή και η διάταξη των ατόμων για κάθε νόμισμα είναι μοναδική...

Και τώρα έχω την πιο ενδιαφέρουσα ερώτηση: πού είναι το όριο πέρα ​​από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.

Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σούλερ βγάζει έναν άσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσετ. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Κυριακή 18 Μαρτίου 2018

Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά είναι σαμάνοι για αυτό, για να διδάξουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.

Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά με τον οποίο μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών, η εργασία ακούγεται ως εξής: "Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό". Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν στοιχειωδώς.

Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και έτσι, ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.

1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε γραφικό σύμβολο αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

2. Κόψαμε μια λαμβανόμενη εικόνα σε πολλές εικόνες που περιέχουν ξεχωριστούς αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.

3. Μετατρέψτε μεμονωμένους γραφικούς χαρακτήρες σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε τον αριθμό. Έτσι, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. Με έναν μεγάλο αριθμό 12345, δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, σκεφτείτε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα στο μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι σαν να βρίσκεις το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά θα σου έδινε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα.

Το μηδέν σε όλα τα αριθμητικά συστήματα φαίνεται το ίδιο και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι . Μια ερώτηση για τους μαθηματικούς: πώς δηλώνεται στα μαθηματικά αυτό που δεν είναι αριθμός; Τι, για τους μαθηματικούς, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς; Για τους σαμάνους, μπορώ να το επιτρέψω αυτό, αλλά για τους επιστήμονες, όχι. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης αριθμών. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα μετά τη σύγκριση τους, τότε αυτό δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.

Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής ενέργειας δεν εξαρτάται από την τιμή του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.

Σημάδι στην πόρτα Ανοίγει την πόρτα και λέει:

Ωχ! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της αόριστης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψη στον ουρανό! Nimbus στην κορυφή και βέλος επάνω. Ποια άλλη τουαλέτα;

Θηλυκό... Ένα φωτοστέφανο από πάνω και ένα βέλος κάτω είναι αρσενικό.

Εάν έχετε ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού να αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,

Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:

Προσωπικά, κάνω μια προσπάθεια με τον εαυτό μου να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός μοιρών). Και αυτό το κορίτσι δεν το θεωρώ ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα τόξο στερεότυπο της αντίληψης των γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Το 1Α δεν είναι "μείον τέσσερις μοίρες" ή "ένα α". Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα τον αριθμό και το γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.

Θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων με διάφορους πιθανούς τρόπους.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα

Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες πολλαπλασιασμού κλασμάτων.

Προς την πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, απαραίτητη:

• πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.
• πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.

Πριν πολλαπλασιάσουμε αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς σας.



Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό

Σε κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόπρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.

Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.



Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.



Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό

Μερικές φορές στους υπολογισμούς είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.



Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτήν την έκδοση του κανόνα εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Ενέργειες με κλάσματα

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:

• Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
• Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:



Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:

Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .

Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:



Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, το ακέραιο μέρος κατανέμεται εύκολα - δύο διαιρούμενο με δύο ισούται με ένα:



Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .



Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.

Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

1. Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.
2. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι αρχικά αναζητείται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το ίδιο κάνουν και με το δεύτερο κλάσμα - το NOC διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.

Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6

LCM (2 και 3) = 6

Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.

Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.

Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:



Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:



Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:

Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).



Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).

Σημειώστε ότι έχουμε ζωγραφίσει αυτό το παράδειγμα με πάρα πολλές λεπτομέρειες. Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα δεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:



Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:

3. Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
4. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
5. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
6. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
7. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω διάγραμμα.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM για τους παρονομαστές των κλασμάτων

Βρίσκουμε το LCM για τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4. Πρέπει να βρείτε το LCM για αυτούς τους αριθμούς:

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα

Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:



Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε το ακέραιο μέρος του

Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:



Πήρε μια απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

8. Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
9. Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν το παράδειγμα είναι πλήρες, τότε συνηθίζεται να απαλλαγούμε από το ακατάλληλο κλάσμα. Ας απαλλαγούμε από το λάθος κλάσμα στην απάντηση. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, γιατί αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:

Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12

LCM (3 και 4) = 12

Τώρα πίσω στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράφουμε το τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Πήρε μια απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.

Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:

Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):

Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο απλό και πιο όμορφο αισθητικά. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα. Θυμηθείτε ότι η αναγωγή ενός κλάσματος είναι η διαίρεση του αριθμητή και του παρονομαστή με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του αριθμητή και του παρονομαστή.

Για να μειώσετε σωστά ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 20 και 30.

Μην συγχέετε το GCD με το NOC. Το πιο συνηθισμένο λάθος που κάνουν πολλοί αρχάριοι. Ο GCD είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης. Το βρίσκουμε για αναγωγή κλασμάτων.

Και το LCM είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο. Το βρίσκουμε για να φέρουμε κλάσματα στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Τώρα θα βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (gcd) των αριθμών 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το GCD για τους αριθμούς 20 και 30:

GCD (20 και 30) = 10

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10:

Πήρε μια ωραία απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1

Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα

Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.

Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:

Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειωθεί αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρεθεί με το gcd του αριθμητή και του παρονομαστή. Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:

Το GCD για (105 και 150) είναι 15

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD:

Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα", και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:

Αντίστροφοι αριθμοί

Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».

Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμό ένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα δίνει μια μονάδα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.

Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:

Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.

Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

• το αντίστροφο του 3 είναι κλάσμα
• το αντίστροφο του 4 είναι κλάσμα

Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Σας υπενθυμίζω: για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:

Για παράδειγμα:

Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν χρειάζεται εδώ...

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αναστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:

Για παράδειγμα:

Εάν συλληφθεί ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση με ακέραιους αριθμούς και κλάσματα, δεν πειράζει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με μια μονάδα στον παρονομαστή - και πάμε! Για παράδειγμα:

Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

Πώς να φέρετε αυτό το κλάσμα σε μια αξιοπρεπή μορφή; Ναι, πολύ εύκολο! Χρησιμοποιήστε τη διαίρεση σε δύο σημεία:

Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά σε ένα τριώροφο κλάσμα είναι εύκολο να κάνεις λάθος. Σημειώστε, για παράδειγμα:

Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

Ποια είναι η σειρά διαίρεσης; Ή αγκύλες, ή (όπως εδώ) το μήκος των οριζόντιων παύλων. Αναπτύξτε ένα μάτι. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:

μετά διαιρέστε-πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

Και άλλο ένα πολύ απλό και σημαντικό κόλπο. Σε δράσεις με πτυχία θα σου φανεί χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε τη μονάδα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:

Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο.

Αυτές είναι όλες οι ενέργειες με τα κλάσματα. Το πράγμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Λάβετε υπόψη τις πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!

Πρακτικές συμβουλές:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Δεν είναι κοινές λέξεις, δεν είναι καλές ευχές! Αυτή είναι μια σοβαρή ανάγκη! Κάντε όλους τους υπολογισμούς στις εξετάσεις ως μια ολοκληρωμένη εργασία, με συγκέντρωση και σαφήνεια. Είναι προτιμότερο να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδεύετε κατά τον υπολογισμό στο κεφάλι σας.

2. Σε παραδείγματα με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων - πηγαίνετε στα συνηθισμένα κλάσματα.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα στο στοπ.

4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).

5. Χωρίζουμε τη μονάδα σε κλάσμα στο μυαλό μας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.

Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά αυτού του θέματος και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα θα μπορούσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα...

Θυμηθείτε τη σωστή απάντηση που λαμβάνεται από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά - δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.

Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται για προετοιμασία για τις εξετάσεις. Λύνουμε ένα παράδειγμα, ελέγχουμε, λύνουμε τα παρακάτω. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από τον πρώτο έως τον τελευταίο. Αλλά μόνο μετάκοιτάξτε τις απαντήσεις.

Υπολογίζω:

Αποφασίσατε;

Ψάχνετε για απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα συγκεκριμένα σε χάλια, μακριά από τον πειρασμό, ας πούμε... Εδώ είναι οι απαντήσεις, γραμμένες με ερωτηματικό.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Και τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πήγαν καλά - χαρούμενος για εσάς! Οι στοιχειώδεις υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι...

Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.