Κυματική συνάρτηση ενός σωματιδίου. Η φυσική σημασία της κυματικής συνάρτησης

> Λειτουργία κυμάτων

Διαβάστε σχετικά κυματική συνάρτησηκαι η θεωρία των πιθανοτήτων της κβαντικής μηχανικής: η ουσία της εξίσωσης Schrödinger, η κατάσταση ενός κβαντικού σωματιδίου, ένας αρμονικός ταλαντωτής, ένα σχήμα.

Μιλάμε για το πλάτος πιθανότητας στην κβαντομηχανική, το οποίο περιγράφει την κβαντική κατάσταση του σωματιδίου και τη συμπεριφορά του.

Εκμάθηση εργασίας

• Συνδυάστε τη συνάρτηση κύματος και την πυκνότητα πιθανότητας ανίχνευσης σωματιδίων.

Βασικά σημεία

• |ψ| Το 2 (x) αντιστοιχεί στην πυκνότητα πιθανότητας ανίχνευσης ενός σωματιδίου σε μια συγκεκριμένη θέση και στιγμή.
• Οι νόμοι της κβαντικής μηχανικής χαρακτηρίζουν την εξέλιξη της κυματικής συνάρτησης. Η εξίσωση Schrödinger εξηγεί το όνομά του.
• Η κυματική συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί πολλούς μαθηματικούς περιορισμούς για υπολογισμό και φυσική ερμηνεία.

Οροι

• Η εξίσωση Schrödinger είναι μια μερική διαφορική που χαρακτηρίζει την αλλαγή στην κατάσταση ενός φυσικού συστήματος. Διατυπώθηκε το 1925 από τον Erwin Schrödinger.
• Ένας αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα σύστημα που, όταν μετατοπιστεί από την αρχική του θέση, υφίσταται την επίδραση μιας δύναμης F ανάλογης με τη μετατόπιση x.

Στην κβαντομηχανική, η κυματική συνάρτηση αντανακλά το πλάτος πιθανότητας που χαρακτηρίζει την κβαντική κατάσταση του σωματιδίου και τη συμπεριφορά του. Συνήθως η τιμή είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Τα πιο κοινά σύμβολα συνάρτησης κυμάτων είναι ψ (x) ή Ψ(x). Αν και το ψ είναι μιγαδικός αριθμός, το |ψ| Το 2 είναι πραγματικό και αντιστοιχεί στην πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης ενός σωματιδίου σε συγκεκριμένο τόπο και χρόνο.

Εδώ οι τροχιές του αρμονικού ταλαντωτή εμφανίζονται στην κλασική (Α-Β) και την κβαντική (ΝΤΟ-Η) μηχανική. Στην κβαντική μπάλα, η κυματική συνάρτηση φαίνεται με μπλε το πραγματικό μέρος και κόκκινο το φανταστικό. ΤροχιέςΝΤΟ-Τα F είναι παραδείγματα στάσιμων κυμάτων. Κάθε τέτοια συχνότητα θα είναι ανάλογη με το πιθανό επίπεδο ενέργειας του ταλαντωτή

Οι νόμοι της κβαντικής μηχανικής εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου. Η συνάρτηση κυμάτων μοιάζει με άλλες, όπως τα κύματα στο νερό ή μια χορδή. Το γεγονός είναι ότι ο τύπος Schrödinger είναι ένας τύπος κυματικής εξίσωσης στα μαθηματικά. Αυτό οδηγεί στη δυαδικότητα των κυματικών σωματιδίων.

Η συνάρτηση κυμάτων πρέπει να συμμορφώνεται με τους περιορισμούς:

• πάντα οριστικό.
• πάντα συνεχής και συνεχώς διαφοροποιήσιμος.
• ικανοποιεί την αντίστοιχη συνθήκη κανονικοποίησης ώστε το σωματίδιο να υπάρχει με 100% βεβαιότητα.

Εάν οι απαιτήσεις δεν ικανοποιούνται, τότε η συνάρτηση κύματος δεν μπορεί να ερμηνευτεί ως πλάτος πιθανότητας. Αν αγνοήσουμε αυτές τις θέσεις και χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση κύματος για να προσδιορίσουμε τις παρατηρήσεις ενός κβαντικού συστήματος, δεν θα λάβουμε πεπερασμένες και καθορισμένες τιμές.

Ο δυϊσμός σωματικών κυμάτων στην κβαντική φυσική περιγράφει την κατάσταση ενός σωματιδίου χρησιμοποιώντας την κυματική συνάρτηση ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- συνάρτηση psi).

Ορισμός 1

κυματική συνάρτησηείναι μια συνάρτηση που χρησιμοποιείται στην κβαντική μηχανική. Περιγράφει την κατάσταση ενός συστήματος που έχει διαστάσεις στο χώρο. Είναι φορέας κατάστασης.

Αυτή η συνάρτηση είναι πολύπλοκη και τυπικά έχει κυματικές ιδιότητες. Η κίνηση οποιουδήποτε σωματιδίου του μικροκόσμου καθορίζεται από πιθανολογικούς νόμους. Η κατανομή πιθανοτήτων αποκαλύπτεται όταν γίνεται ένας μεγάλος αριθμός παρατηρήσεων (μετρήσεων) ή ένας μεγάλος αριθμός σωματιδίων. Η κατανομή που προκύπτει είναι παρόμοια με την κατανομή της έντασης του κύματος. Δηλαδή σε σημεία με μέγιστη ένταση σημειώνεται ο μέγιστος αριθμός σωματιδίων.

Το σύνολο των ορισμάτων συνάρτησης κύματος καθορίζει την αναπαράστασή του. Έτσι, η αναπαράσταση συντεταγμένων είναι δυνατή: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, αναπαράσταση ορμής: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, κ.λπ.

Στην κβαντική φυσική, ο στόχος δεν είναι η ακριβής πρόβλεψη ενός γεγονότος, αλλά η εκτίμηση της πιθανότητας ενός γεγονότος. Γνωρίζοντας το μέγεθος της πιθανότητας, βρείτε τις μέσες τιμές των φυσικών μεγεθών. Η συνάρτηση κύματος σάς επιτρέπει να βρείτε παρόμοιες πιθανότητες.

Έτσι η πιθανότητα παρουσίας ενός μικροσωματιδίου στον όγκο dV τη χρονική στιγμή t μπορεί να οριστεί ως:

όπου $\psi^*$ είναι η σύνθετη συζευγμένη συνάρτηση με τη συνάρτηση $\psi.$ Η πυκνότητα πιθανότητας (πιθανότητα ανά μονάδα όγκου) είναι:

Η πιθανότητα είναι μια ποσότητα που μπορεί να παρατηρηθεί σε ένα πείραμα. Ταυτόχρονα, η κυματική συνάρτηση δεν είναι διαθέσιμη για παρατήρηση, αφού είναι πολύπλοκη (στην κλασική φυσική, οι παράμετροι που χαρακτηρίζουν την κατάσταση του σωματιδίου είναι διαθέσιμες για παρατήρηση).

Συνθήκη κανονικοποίησης για συναρτήσεις $\psi$

Η συνάρτηση κύματος ορίζεται μέχρι έναν αυθαίρετο σταθερό παράγοντα. Αυτό το γεγονός δεν επηρεάζει την κατάσταση του σωματιδίου, την οποία περιγράφει η συνάρτηση $\psi$. Ωστόσο, η συνάρτηση κύματος επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιεί την συνθήκη κανονικοποίησης:

όπου το ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε ολόκληρο τον χώρο ή σε μια περιοχή στην οποία η κυματική συνάρτηση δεν είναι ίση με μηδέν. Η συνθήκη κανονικοποίησης (2) σημαίνει ότι σε ολόκληρη την περιοχή όπου $\psi\ne 0$ το σωματίδιο υπάρχει αξιόπιστα. Μια κυματική συνάρτηση που υπακούει στην συνθήκη κανονικοποίησης ονομάζεται κανονικοποιημένη. Εάν $(\left|\psi\right|)^2=0$, τότε αυτή η συνθήκη σημαίνει ότι σίγουρα δεν υπάρχουν σωματίδια στην υπό μελέτη περιοχή.

Η κανονικοποίηση της μορφής (2) είναι δυνατή για ένα διακριτό φάσμα ιδιοτιμών.

Η συνθήκη κανονικοποίησης μπορεί να μην είναι εφικτή. Έτσι, εάν το $\psi$ είναι μια συνάρτηση επιπέδου κύματος του de Broglie και η πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου είναι η ίδια για όλα τα σημεία του χώρου. Αυτές οι περιπτώσεις θεωρούνται ως ένα ιδανικό μοντέλο στο οποίο το σωματίδιο είναι παρόν σε μια μεγάλη αλλά περιορισμένη περιοχή του χώρου.

Αρχή υπέρθεσης κυματικής συνάρτησης

Αυτή η αρχή είναι ένα από τα κύρια αξιώματα της κβαντικής θεωρίας. Η σημασία του είναι η εξής: εάν για κάποιο σύστημα οι καταστάσεις που περιγράφονται από τις κυματοσυναρτήσεις $\psi_1\ (\rm u)\ $ $\psi_2$ είναι δυνατές, τότε για αυτό το σύστημα υπάρχει μια κατάσταση:

όπου $C_(1\ )και\ C_2$ είναι σταθεροί συντελεστές. Η αρχή της υπέρθεσης επιβεβαιώνεται εμπειρικά.

Μπορούμε να μιλήσουμε για την προσθήκη οποιουδήποτε αριθμού κβαντικών καταστάσεων:

όπου $(\left|C_n\right|)^2$ είναι η πιθανότητα να βρεθεί το σύστημα στην κατάσταση που περιγράφεται από τη συνάρτηση κύματος $\psi_n.$

Στατικές καταστάσεις

Στην κβαντική θεωρία, οι στατικές καταστάσεις (καταστάσεις στις οποίες όλες οι παρατηρήσιμες φυσικές παράμετροι δεν αλλάζουν στο χρόνο) παίζουν ιδιαίτερο ρόλο. (Η ίδια η κυματική συνάρτηση είναι θεμελιωδώς μη παρατηρήσιμη). Σε ακίνητη κατάσταση, η συνάρτηση $\psi$ έχει τη μορφή:

όπου το $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ δεν εξαρτάται από το χρόνο, το $E$ είναι η ενέργεια του σωματιδίου. Στη μορφή (3) της κυματικής συνάρτησης, η πυκνότητα πιθανότητας ($P$) είναι μια χρονική σταθερά:

Από τις φυσικές ιδιότητες των στατικών καταστάσεων ακολουθήστε τις μαθηματικές απαιτήσεις για την κυματοσυνάρτηση $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Μαθηματικές απαιτήσεις για την κυματική συνάρτηση για στατικές καταστάσεις

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - η συνάρτηση πρέπει να βρίσκεται σε όλα τα σημεία:

• συνεχής,
• ξεκάθαρος,
• πεπερασμένος.

Εάν η δυναμική ενέργεια έχει επιφάνεια ασυνέχειας, τότε σε τέτοιες επιφάνειες η συνάρτηση $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ και η πρώτη της παράγωγος πρέπει να παραμένουν συνεχείς. Σε μια περιοχή του χώρου όπου η δυναμική ενέργεια γίνεται άπειρη, το $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Η συνέχεια της συνάρτησης $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ απαιτεί ότι $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ σε οποιοδήποτε όριο αυτής της περιοχής. Η συνθήκη συνέχειας επιβάλλεται στις μερικές παραγώγους της κυματικής συνάρτησης ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ μερικό z)$).

Παράδειγμα 1

Ασκηση:Για κάποιο σωματίδιο, δίνεται μια κυματική συνάρτηση της μορφής: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, όπου $r$ είναι η απόσταση από το σωματίδιο έως το κέντρο δύναμης (Εικ. 1 ), $a=const$. Εφαρμόστε τη συνθήκη κανονικοποίησης, βρείτε τον παράγοντα κανονικοποίησης Α.

Εικόνα 1.

Λύση:

Γράφουμε την συνθήκη κανονικοποίησης για την περίπτωσή μας με τη μορφή:

\[\int((\αριστερά|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right)))\]

όπου $dV=4\pi r^2dr$ (βλ. Εικ.1 Είναι σαφές από τις συνθήκες ότι το πρόβλημα έχει σφαιρική συμμετρία). Από τις συνθήκες του προβλήματος έχουμε:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\αριστερά(1.2\δεξιά).\]

Ας αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις $dV$ και κυμάτων (1.2) στην συνθήκη κανονικοποίησης:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ σωστά).)\]

Ας ενσωματώσουμε στην αριστερή πλευρά:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\αριστερά(1.4\δεξιά).)\]

Από τον τύπο (1.4) εκφράζουμε τον επιθυμητό συντελεστή:

Απάντηση:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Παράδειγμα 2

Ασκηση:Ποια είναι η πιο πιθανή απόσταση ($r_B$) ενός ηλεκτρονίου από τον πυρήνα εάν η κυματική συνάρτηση που περιγράφει τη θεμελιώδη κατάσταση ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο υδρογόνου μπορεί να οριστεί ως: $\psi=Ae^(-(r)/ (α))$, όπου $ r$ είναι η απόσταση από το ηλεκτρόνιο στον πυρήνα, $a$ είναι η πρώτη ακτίνα Bohr;

Λύση:

Χρησιμοποιούμε τον τύπο που καθορίζει την πιθανότητα παρουσίας ενός μικροσωματιδίου στον όγκο $dV$ τη στιγμή $t$:

όπου $dV=4\pi r^2dr.\ $Συνεπώς, έχουμε:

Σε αυτήν την περίπτωση, το $p=\frac(dP)(dr)$ μπορεί να γραφτεί ως:

Για να προσδιορίσουμε την πιο πιθανή απόσταση, εξισώνουμε την παράγωγο $\frac(dp)(dr)$ με μηδέν:

\[(\αριστερά.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Εφόσον η λύση $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ δεν μας ταιριάζει, απορρίπτεται:

Η ανακάλυψη των κυματικών ιδιοτήτων των μικροσωματιδίων έδειξε ότι η κλασική μηχανική δεν μπορεί να δώσει μια σωστή περιγραφή της συμπεριφοράς τέτοιων σωματιδίων. Μια θεωρία που καλύπτει όλες τις ιδιότητες των στοιχειωδών σωματιδίων πρέπει να λαμβάνει υπόψη όχι μόνο τις σωματικές τους ιδιότητες, αλλά και τις κυματικές ιδιότητες. Από τα πειράματα που εξετάστηκαν προηγουμένως, προκύπτει ότι μια δέσμη στοιχειωδών σωματιδίων έχει τις ιδιότητες ενός επιπέδου κύματος που διαδίδεται προς την κατεύθυνση της ταχύτητας των σωματιδίων. Στην περίπτωση διάδοσης κατά μήκος του άξονα, αυτή η κυματική διαδικασία μπορεί να περιγραφεί από την κυματική εξίσωση de Broglie (7.43.5):

(7.44.1)

πού είναι η ενέργεια και είναι η ορμή του σωματιδίου. Κατά τη διάδοση σε αυθαίρετη κατεύθυνση:

(7.44.2)

Ας ονομάσουμε τη συνάρτηση κυματική συνάρτηση και ας μάθουμε τη φυσική της σημασία συγκρίνοντας την περίθλαση των κυμάτων φωτός και των μικροσωματιδίων.

Σύμφωνα με τις κυματικές ιδέες για τη φύση του φωτός, η ένταση του σχεδίου περίθλασης είναι ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους του φωτεινού κύματος. Σύμφωνα με τις έννοιες της θεωρίας των φωτονίων, η ένταση καθορίζεται από τον αριθμό των φωτονίων που πέφτουν σε ένα δεδομένο σημείο του σχεδίου περίθλασης. Κατά συνέπεια, ο αριθμός των φωτονίων σε ένα δεδομένο σημείο του σχεδίου περίθλασης δίνεται από το τετράγωνο του πλάτους του φωτεινού κύματος, ενώ για ένα μόνο φωτόνιο το τετράγωνο του πλάτους καθορίζει την πιθανότητα ένα φωτόνιο να χτυπήσει ένα συγκεκριμένο σημείο.

Το σχέδιο περίθλασης που παρατηρείται για τα μικροσωματίδια χαρακτηρίζεται επίσης από μια άνιση κατανομή των ροών μικροσωματιδίων. Η παρουσία μεγίστων στο σχέδιο περίθλασης από την άποψη της κυματικής θεωρίας σημαίνει ότι αυτές οι κατευθύνσεις αντιστοιχούν στην υψηλότερη ένταση των κυμάτων de Broglie. Η ένταση είναι μεγαλύτερη όπου ο αριθμός των σωματιδίων είναι μεγαλύτερος. Έτσι, το σχέδιο περίθλασης για τα μικροσωματίδια είναι μια εκδήλωση μιας στατιστικής κανονικότητας και μπορούμε να πούμε ότι η γνώση της κυματικής μορφής de Broglie, δηλ. Ψ -συναρτήσεις, σας επιτρέπει να κρίνετε την πιθανότητα μιας ή άλλης από τις πιθανές διαδικασίες.

Έτσι, στην κβαντική μηχανική, η κατάσταση των μικροσωματιδίων περιγράφεται με έναν ριζικά νέο τρόπο - με τη βοήθεια της κυματικής συνάρτησης, η οποία είναι ο κύριος φορέας πληροφοριών σχετικά με τις σωματικές και κυματικές τους ιδιότητες. Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε ένα στοιχείο όγκου είναι

(7.44.3)

αξία

(7.44.4)

έχει την έννοια της πυκνότητας πιθανότητας, δηλ. καθορίζει την πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου σε μονάδα όγκου στη γειτονιά ενός δεδομένου σημείου. Έτσι, δεν είναι η ίδια η συνάρτηση που έχει φυσικό νόημα, αλλά το τετράγωνο του συντελεστή της, που ορίζει την ένταση των κυμάτων de Broglie. Η πιθανότητα εύρεσης ενός σωματιδίου κάθε φορά σε έναν πεπερασμένο όγκο, σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανότητας, είναι ίση με

(7.44.5)

Εφόσον το σωματίδιο υπάρχει, βρίσκεται αναγκαστικά κάπου στο διάστημα. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα, λοιπόν

. (7.44.6)

Η έκφραση (7.44.6) ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης πιθανότητας. Η κυματική συνάρτηση που χαρακτηρίζει την πιθανότητα ανίχνευσης της δράσης ενός μικροσωματιδίου σε ένα στοιχείο όγκου πρέπει να είναι πεπερασμένη (η πιθανότητα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από μία), μονοσήμαντη (η πιθανότητα δεν μπορεί να είναι διφορούμενη τιμή) και συνεχής (η πιθανότητα δεν μπορεί να αλλάξει απότομα).

κυματική συνάρτηση
κυματική συνάρτηση

κυματική συνάρτηση (ή διάνυσμα κατάστασης) είναι μια σύνθετη συνάρτηση που περιγράφει την κατάσταση ενός κβαντομηχανικού συστήματος. Οι γνώσεις του επιτρέπουν την απόκτηση των πιο ολοκληρωμένων πληροφοριών για το σύστημα, κάτι που είναι ουσιαστικά εφικτό στον μικρόκοσμο. Έτσι, με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε όλα τα μετρήσιμα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, την πιθανότητα να βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη θέση στο χώρο και την εξέλιξη στο χρόνο. Η κυματική συνάρτηση μπορεί να βρεθεί λύνοντας την κυματική εξίσωση Schrödinger.
Η κυματική συνάρτηση ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) ενός σημειακού σωματιδίου χωρίς δομή είναι μια σύνθετη συνάρτηση των συντεταγμένων αυτού του σωματιδίου και του χρόνου. Το απλούστερο παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι η κυματική συνάρτηση ενός ελεύθερου σωματιδίου με ορμή και συνολική ενέργεια E (επίπεδο κύμα)

.

Η κυματική συνάρτηση του συστήματος Α των σωματιδίων περιέχει τις συντεταγμένες όλων των σωματιδίων: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Τετράγωνο μέτρο της κυματικής συνάρτησης ενός μεμονωμένου σωματιδίου | ψ (,τ)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) δίνει την πιθανότητα ανίχνευσης ενός σωματιδίου τη στιγμή t σε ένα σημείο του χώρου που περιγράφεται από συντεταγμένες , δηλαδή, | ψ (,τ)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz είναι η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε μια περιοχή του χώρου με όγκο dv = dxdydz γύρω από ένα σημείο x, y, z. Ομοίως, η πιθανότητα να βρεθεί τη χρονική στιγμή t ένα σύστημα Α σωματιδίων με συντεταγμένες 1 , 2 ,..., Α σε ένα στοιχείο όγκου ενός πολυδιάστατου χώρου δίνεται από το | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Η κυματική συνάρτηση καθορίζει πλήρως όλα τα φυσικά χαρακτηριστικά ενός κβαντικού συστήματος. Άρα η μέση παρατηρούμενη τιμή του φυσικού μεγέθους F για το σύστημα δίνεται από την έκφραση

,

όπου είναι ο χειριστής αυτής της ποσότητας και η ενοποίηση πραγματοποιείται σε ολόκληρη την περιοχή του πολυδιάστατου χώρου.
Αντί για τις συντεταγμένες των σωματιδίων x, y, z, η ροπή τους p x, p y, pz ή άλλα σύνολα φυσικών μεγεθών μπορούν να επιλεγούν ως ανεξάρτητες μεταβλητές της κυματικής συνάρτησης. Αυτή η επιλογή εξαρτάται από την αναπαράσταση (συντεταγμένη, ορμή ή άλλη).
Η κυματική συνάρτηση ψ (,t) ενός σωματιδίου δεν λαμβάνει υπόψη τα εσωτερικά χαρακτηριστικά και τους βαθμούς ελευθερίας του, δηλ. περιγράφει την κίνησή του ως ένα ολόκληρο αντικείμενο χωρίς δομή (σημείο) κατά μήκος μιας ορισμένης τροχιάς (τροχίας) στο διάστημα. Αυτά τα εσωτερικά χαρακτηριστικά ενός σωματιδίου μπορεί να είναι το σπιν, η ελικότητα, η ισοσπιν (για σωματίδια που αλληλεπιδρούν έντονα), το χρώμα (για τα κουάρκ και τα γκλουόνια) και μερικά άλλα. Τα εσωτερικά χαρακτηριστικά ενός σωματιδίου δίνονται από μια ειδική κυματοσυνάρτηση της εσωτερικής του κατάστασης φ. Στην περίπτωση αυτή, η ολική κυματική συνάρτηση του σωματιδίου Ψ μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο της τροχιακής συνάρτησης ψ και της εσωτερικής συνάρτησης φ:

γιατί συνήθως τα εσωτερικά χαρακτηριστικά ενός σωματιδίου και οι βαθμοί ελευθερίας του, που περιγράφουν την τροχιακή κίνηση, δεν εξαρτώνται μεταξύ τους.
Για παράδειγμα, περιοριζόμαστε στην περίπτωση που το μόνο εσωτερικό χαρακτηριστικό που λαμβάνεται υπόψη από τη συνάρτηση είναι το σπιν των σωματιδίων και αυτό το σπιν είναι ίσο με 1/2. Ένα σωματίδιο με τέτοιο σπιν μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις - με την προβολή σπιν στον άξονα z ίση με +1/2 (σπιν προς τα πάνω) και με την προβολή σπιν στον άξονα z ίση με -1/2 (σπιν κάτω). Αυτή η δυαδικότητα περιγράφεται από μια συνάρτηση spin που λαμβάνεται ως spinor δύο συστατικών:

Τότε η κυματική συνάρτηση Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ θα περιγράψει την κίνηση ενός σωματιδίου με σπιν 1/2 κατευθυνόμενη προς τα πάνω κατά μήκος της τροχιάς που καθορίζεται από τη συνάρτηση ψ , και την κυματική συνάρτηση Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ θα περιγράψει την κίνηση κατά μήκος της ίδιας τροχιάς του ίδιου σωματιδίου, αλλά με το σπιν στραμμένο προς τα κάτω.
Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι στην κβαντική μηχανική είναι δυνατές τέτοιες καταστάσεις που δεν μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας την κυματική συνάρτηση. Τέτοιες καταστάσεις ονομάζονται μικτές καταστάσεις και περιγράφονται με όρους πιο σύνθετης προσέγγισης χρησιμοποιώντας την έννοια του πίνακα πυκνότητας. Οι καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος που περιγράφονται από την κυματική συνάρτηση ονομάζονται καθαρές.

Για να περιγραφούν οι κυματοειδείς ιδιότητες ενός ηλεκτρονίου στην κβαντομηχανική, χρησιμοποιείται η κυματική συνάρτηση, η οποία συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα psi (Τ). Οι κύριες ιδιότητες της κυματικής συνάρτησης είναι:

• σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου με συντεταγμένες x, y, zέχει ένα ορισμένο πρόσημο και πλάτος: NPV:, στο, ΣΟΛ);
• τετραγωνικό μέτρο συνάρτησης κύματος | FH, y,z)| 2 ισούται με την πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε μονάδα όγκου, δηλ. πυκνότητα πιθανότητας.

Η πυκνότητα πιθανότητας εύρεσης ηλεκτρονίου σε διάφορες αποστάσεις από τον πυρήνα ενός ατόμου απεικονίζεται με διάφορους τρόπους. Συχνά χαρακτηρίζεται από τον αριθμό των σημείων ανά μονάδα όγκου (Εικ. 9.1, ένα).Το bitmap της πυκνότητας πιθανότητας μοιάζει με σύννεφο. Μιλώντας για ένα νέφος ηλεκτρονίων, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ένα ηλεκτρόνιο είναι ένα σωματίδιο που εμφανίζει ταυτόχρονα και σωματικό και κυματικό

Ρύζι. 9.1.

ιδιότητες. Η περιοχή πιθανότητας ανίχνευσης ηλεκτρονίων δεν έχει σαφή όρια. Ωστόσο, είναι δυνατή η επιλογή ενός χώρου όπου η πιθανότητα ανίχνευσής του είναι υψηλή ή και μέγιστη.

Στο σχ. 9.1, έναη διακεκομμένη γραμμή υποδηλώνει μια σφαιρική επιφάνεια, μέσα στην οποία η πιθανότητα ανίχνευσης ηλεκτρονίου είναι 90%. Στο σχ. Το 9.1, b δείχνει μια εικόνα περιγράμματος της πυκνότητας ηλεκτρονίων στο άτομο υδρογόνου. Το πιο κοντινό περίγραμμα στον πυρήνα καλύπτει την περιοχή του χώρου στην οποία η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου είναι 10%, ενώ η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου μέσα στο δεύτερο περίγραμμα από τον πυρήνα είναι 20%, εντός του τρίτου - 30%, κ.λπ. Στο σχ. 9.1, το νέφος ηλεκτρονίων απεικονίζεται ως μια σφαιρική επιφάνεια, μέσα στην οποία η πιθανότητα ανίχνευσης ηλεκτρονίου είναι 90%.

Τέλος, στο σχ. 9.1, d και b, η πιθανότητα ανίχνευσης ηλεκτρονίου βρίσκεται σε διαφορετικές αποστάσεις φαίνεται με δύο τρόπους σολαπό τον πυρήνα: στο επάνω μέρος φαίνεται η "κοπή" αυτής της πιθανότητας που διέρχεται από τον πυρήνα, και στο κάτω μέρος - η ίδια η συνάρτηση 4lg 2 |U| 2.

εξίσωση Schrödingsr. Αυτή η θεμελιώδης εξίσωση της κβαντικής μηχανικής διατυπώθηκε από τον Αυστριακό φυσικό E. Schrödinger το 1926. Σχετίζει τη συνολική ενέργεια ενός σωματιδίου ΜΙ,ίσο με το άθροισμα δυναμικών και κινητικών ενεργειών, δυναμική ενέργεια;“, μάζα σωματιδίων tκαι η κυματική συνάρτηση 4*. Για ένα μόνο σωματίδιο, όπως ένα ηλεκτρόνιο με μάζα t e,μοιάζει με αυτό:

Από μαθηματική άποψη, αυτή είναι μια εξίσωση με τρεις αγνώστους: Y, μικαι?". Λύστε το, δηλ. μπορείτε να βρείτε αυτούς τους αγνώστους αν το λύσετε μαζί με δύο άλλες εξισώσεις (χρειάζονται τρεις εξισώσεις για να βρείτε τρεις αγνώστους). Ως τέτοιες εξισώσεις, χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις για δυναμική ενέργεια και οριακές συνθήκες.

Η εξίσωση δυναμικής ενέργειας δεν περιέχει την κυματική συνάρτηση U. Περιγράφει την αλληλεπίδραση φορτισμένων σωματιδίων σύμφωνα με το νόμο του Κουλόμπ. Στην αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου με έναν πυρήνα με φορτίο +z, η δυναμική ενέργεια είναι ίση με

όπου r =Υ* 2 + y 2+ z 2 .

Αυτή είναι η περίπτωση του λεγόμενου ατόμου ενός ηλεκτρονίου. Σε πιο πολύπλοκα συστήματα, όταν υπάρχουν πολλά φορτισμένα σωματίδια, η εξίσωση δυναμικής ενέργειας αποτελείται από το άθροισμα των ίδιων όρων Coulomb.

Η εξίσωση των συνοριακών συνθηκών είναι η έκφραση

Σημαίνει ότι η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου τείνει στο μηδέν σε μεγάλες αποστάσεις από τον πυρήνα ενός ατόμου.

Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σας επιτρέπει να βρείτε την κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου; = (x, y, z) ως συνάρτηση συντεταγμένων. Αυτή η κατανομή ονομάζεται τροχιακή.

τροχιακό -είναι μια κυματική συνάρτηση που ορίζεται από το διάστημα.

Το σύστημα εξισώσεων, το οποίο περιλαμβάνει τις εξισώσεις Schrödinger, δυναμικής ενέργειας και συνοριακών συνθηκών, δεν έχει μία, αλλά πολλές λύσεις. Κάθε μία από τις λύσεις περιλαμβάνει ταυτόχρονα 4 x = (x, y, ΣΟΛ)και μι, δηλ. περιγράφει το νέφος ηλεκτρονίων και την αντίστοιχη συνολική του ενέργεια. Κάθε λύση προσδιορίζεται κβαντικούς αριθμούς.

Η φυσική έννοια των κβαντικών αριθμών μπορεί να γίνει κατανοητή λαμβάνοντας υπόψη τις δονήσεις μιας χορδής, ως αποτέλεσμα των οποίων σχηματίζεται ένα στάσιμο κύμα (Εικ. 9.2).

Μήκος στάσιμου κύματος Χκαι μήκος χορδής σιπου σχετίζονται με την εξίσωση

Το μήκος στάσιμου κύματος μπορεί να έχει μόνο αυστηρά καθορισμένες τιμές που αντιστοιχούν στον αριθμό Π,που παίρνει μόνο μη αρνητικές ακέραιες τιμές 1,2,3 κ.λπ. Όπως είναι προφανές από το Σχ. 9.2, ο αριθμός των μέγιστων πλάτους ταλάντωσης, δηλ. σχήμα στάσιμου κύματος, που καθορίζεται μοναδικά από την τιμή Π.

Δεδομένου ότι το κύμα ηλεκτρονίων σε ένα άτομο είναι μια πιο περίπλοκη διαδικασία από το στάσιμο κύμα μιας χορδής, οι τιμές της συνάρτησης κύματος ηλεκτρονίων καθορίζονται όχι από ένα, αλλά από τέσσερα

Ρύζι. 9.2.

4 αριθμοί, οι οποίοι ονομάζονται κβαντικοί αριθμοί και συμβολίζονται με γράμματα Π, /, tκαι μικρό.Δίνεται ένα σύνολο κβαντικών αριθμών Π, /, tαντιστοιχούν ταυτόχρονα σε μια ορισμένη κυματοσυνάρτηση H "lDl, και τη συνολική ενέργεια E "j.Κβαντικός αριθμός tστο μιδεν υποδεικνύουν, αφού ελλείψει εξωτερικού πεδίου, η ενέργεια των ηλεκτρονίων από tδεν εξαρτάται. Κβαντικός αριθμός μικρόδεν επηρεάζει 4 * n xt,ούτε επάνω E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*σελ
• Τα σύμβολα --, --- σημαίνουν τις δεύτερες μερικές παραγώγους των συναρτήσεων fir1 arcs 8z2 H "-. Αυτές είναι παράγωγοι των πρώτων παραγώγων. Η έννοια της πρώτης παραγώγου συμπίπτει με την κλίση της συνάρτησης H" από το όρισμα x, u ή z στα γραφήματα; \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).