Χρυσή αναλογία- αυτή είναι μια τόσο αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στα οποία το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο τμήμα όσο και το μεγαλύτερο με τα πάντα.

α:β = β:γή γ: β = β: α.

Αυτή η αναλογία είναι:

Για παράδειγμα, σε ένα κανονικό πεντάκτινο αστέρι, κάθε τμήμα διαιρείται με ένα τμήμα που το τέμνει στη χρυσή τομή (δηλαδή, ο λόγος του μπλε τμήματος προς το πράσινο, το κόκκινο προς το μπλε, το πράσινο προς το μωβ, είναι 1.618

Είναι γενικά αποδεκτό ότι ο Πυθαγόρας εισήγαγε την έννοια της χρυσής αναλογίας στην επιστημονική χρήση. Υπάρχει η υπόθεση ότι ο Πυθαγόρας δανείστηκε τις γνώσεις του από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των ανάγλυφων, των οικιακών ειδών και των διακοσμήσεων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποίησαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης κατά τη δημιουργία τους.

Το 1855, ο Γερμανός ερευνητής της χρυσής τομής, καθηγητής Zeising, δημοσίευσε το δικό του εργασία "Αισθητική έρευνα".
Ο Zeising μέτρησε περίπου δύο χιλιάδες ανθρώπινα σώματα και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η χρυσή τομή εκφράζει τον μέσο στατιστικό νόμο.

Χρυσές αναλογίες σε σημεία του ανθρώπινου σώματος

Η διαίρεση του σώματος με το σημείο του ομφαλού είναι ο πιο σημαντικός δείκτης της χρυσής τομής. Οι αναλογίες του ανδρικού σώματος κυμαίνονται εντός της μέσης αναλογίας 13: 8 = 1,625 και είναι κάπως πιο κοντά στη χρυσή τομή από τις αναλογίες του γυναικείου σώματος, σε σχέση με τις οποίες η μέση τιμή της αναλογίας εκφράζεται στην αναλογία 8: 5 = 1,6.

Σε ένα νεογέννητο, η αναλογία είναι 1: 1, στην ηλικία των 13 ετών είναι 1,6 και στην ηλικία των 21 ετών είναι ίση με το αρσενικό.
Οι αναλογίες της χρυσής τομής εκδηλώνονται επίσης σε σχέση με άλλα μέρη του σώματος - το μήκος του ώμου, του αντιβραχίου και του χεριού, του χεριού και των δακτύλων κ.λπ.
Ο Ζάιζινγκ δοκίμασε την εγκυρότητα της θεωρίας του στα ελληνικά αγάλματα. Ανέπτυξε τις αναλογίες του Απόλλωνα Μπελβεντέρε με τις περισσότερες λεπτομέρειες. Σε έρευνα υποβλήθηκαν ελληνικά αγγεία, αρχιτεκτονικές κατασκευές διαφόρων εποχών, φυτά, ζώα, αυγά πτηνών, μουσικοί τόνοι, ποιητικοί μετρητές.

Ο Zeising όρισε τη χρυσή τομή, έδειξε πώς εκφράζεται σε ευθύγραμμα τμήματα και σε αριθμούς. Όταν λήφθηκαν οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των τμημάτων, ο Zeising είδε ότι ήταν Σειρά Fibonacci.

Μια σειρά αριθμών 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, κ.λπ. γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα της ακολουθίας των αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, κ.λπ., και η αναλογία των γειτονικών αριθμών της σειράς πλησιάζει την αναλογία της χρυσής διαίρεσης.

Άρα, 21: 34 = 0,617 και 34: 55 = 0,618. (ή 1.618 όταν διαιρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό με τον μικρότερο).

Σειρά Fibonacciθα μπορούσε να είχε παραμείνει μόνο ένα μαθηματικό περιστατικό αν δεν υπήρχε το γεγονός ότι όλοι οι ερευνητές της χρυσής διαίρεσης στον φυτικό και ζωικό κόσμο, για να μην αναφέρουμε την τέχνη, κατέληξαν πάντα σε αυτή τη σειρά ως αριθμητική έκφραση του νόμου της χρυσής τομής.

Η χρυσή τομή στην τέχνη

Πίσω το 1925, ο ιστορικός τέχνης L.L. Sabaneev, έχοντας αναλύσει 1770 μουσικά έργα 42 συγγραφέων, έδειξε ότι η συντριπτική πλειονότητα των εξαιρετικών έργων μπορεί εύκολα να χωριστεί σε μέρη είτε με θέμα, είτε τον τονισμό, είτε το σύστημα τρόπων, τα οποία είναι σε σχέση με το καθένα. άλλη.χρυσή αναλογία.

Επιπλέον, όσο πιο ταλαντούχος ήταν ο συνθέτης, τόσο περισσότερες χρυσές τομές βρέθηκαν στα έργα του. Στο Arensky, τον Beethoven, τον Borodin, τον Haydn, τον Mozart, τον Scriabin, τον Chopin και τον Schubert, βρέθηκαν χρυσές τομές στο 90% όλων των έργων. Σύμφωνα με τον Sabaneev, η χρυσή τομή οδηγεί στην εντύπωση μιας ιδιαίτερης αρμονίας μιας μουσικής σύνθεσης.

Στον κινηματογράφο ο Σ. Αϊζενστάιν κατασκεύασε τεχνητά την ταινία Θωρηκτό Ποτέμκιν σύμφωνα με τους κανόνες της «χρυσής τομής». Έσπασε την ταινία σε πέντε μέρη. Στα τρία πρώτα η δράση διαδραματίζεται στο πλοίο. Στα δύο τελευταία - στην Οδησσό, όπου εκτυλίσσεται η εξέγερση. Αυτή η μετάβαση στην πόλη γίνεται ακριβώς στο σημείο της χρυσής τομής. Ναι, και σε κάθε μέρος υπάρχει ένα σημείο καμπής, το οποίο συμβαίνει σύμφωνα με το νόμο της χρυσής τομής.

Χρυσή τομή στην αρχιτεκτονική, τη γλυπτική, τη ζωγραφική

Ένα από τα ωραιότερα έργα της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι ο Παρθενώνας (V αι. π.Χ.).

Τα σχήματα δείχνουν έναν αριθμό μοτίβων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Οι αναλογίες του κτιρίου μπορούν να εκφραστούν μέσω διαφόρων βαθμών του αριθμού Ф = 0,618 ...

Στην κάτοψη του Παρθενώνα, μπορείτε επίσης να δείτε τα «χρυσά ορθογώνια»:

Μπορούμε να δούμε τη χρυσή τομή στο κτήριο της Παναγίας των Παρισίων (Notre Dame de Paris) και στην πυραμίδα του Χέοπα:

Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες χτίστηκαν σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής. το ίδιο φαινόμενο εντοπίζεται στις μεξικανικές πυραμίδες.

Η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε από πολλούς αρχαίους γλύπτες. Η χρυσή αναλογία του αγάλματος του Απόλλωνα Μπελβεντέρε είναι γνωστή: το ύψος του εικονιζόμενου διαιρείται με την ομφαλική γραμμή στη χρυσή τομή.

Περνώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορεί κανείς παρά να σταματήσει την προσοχή του στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ας δούμε προσεκτικά τον πίνακα «La Gioconda». Η σύνθεση του πορτρέτου βασίζεται σε «χρυσά τρίγωνα».

Η χρυσή τομή σε γραμματοσειρές και είδη σπιτιού

Η χρυσή τομή στην άγρια ​​ζωή

Βιολογικές μελέτες έχουν δείξει ότι, ξεκινώντας από τους ιούς και τα φυτά και τελειώνοντας με το ανθρώπινο σώμα, παντού αποκαλύπτεται η χρυσή αναλογία, που χαρακτηρίζει την αναλογικότητα και την αρμονία της δομής τους. Η χρυσή τομή αναγνωρίζεται ως παγκόσμιος νόμος των ζωντανών συστημάτων.

Διαπιστώθηκε ότι η αριθμητική σειρά των αριθμών Fibonacci χαρακτηρίζει τη δομική οργάνωση πολλών ζωντανών συστημάτων. Για παράδειγμα, μια ελικοειδής διάταξη φύλλων σε έναν κλάδο είναι ένα κλάσμα (αριθμός στροφών σε στέλεχος/αριθμός φύλλων σε έναν κύκλο, π.χ. 2/5, 3/8, 5/13) που αντιστοιχεί στη σειρά Fibonacci.

Η «χρυσή» αναλογία των λουλουδιών με πέντε πέταλα της μηλιάς, της αχλαδιάς και πολλών άλλων φυτών είναι γνωστή. Οι φορείς του γενετικού κώδικα - μόρια DNA και RNA - έχουν δομή διπλής έλικας. οι διαστάσεις του αντιστοιχούν σχεδόν πλήρως στους αριθμούς της σειράς Fibonacci.

Ο Γκαίτε τόνισε την τάση της φύσης να σπειρώνεται.

Η αράχνη περιστρέφει τον ιστό της σε ένα σπειροειδές σχέδιο. Ένας τυφώνας στριφογυρίζει. Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα.

Ο Γκαίτε ονόμασε τη σπείρα «η καμπύλη της ζωής». Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη ηλιόσπορων, σε κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτους κ.λπ.

Λουλούδια και σπόροι ηλίανθου, χαμομηλιού, λέπια σε καρπούς ανανά, κωνοφόρους κώνους είναι «συσκευασμένα» σε λογαριθμικές («χρυσές») σπείρες, κουλουριασμένες μεταξύ τους και οι αριθμοί των «δεξιών» και «αριστερών» σπειρών αναφέρονται πάντα μεταξύ τους. , ως γειτονικοί αριθμοί Fibonacci.

Σκεφτείτε ένα βλαστό κιχωρίου. Από το κύριο στέλεχος σχηματίστηκε ένα κλαδί. Εδώ είναι το πρώτο φύλλο. Η διαδικασία κάνει μια ισχυρή εκτίναξη στο διάστημα, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά ήδη πιο κοντό από το πρώτο, εκτινάσσεται ξανά στο διάστημα, αλλά με μικρότερη δύναμη, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτινάσσεται ξανά.

Εάν η πρώτη ακραία τιμή ληφθεί ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη ισούται με 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24 κ.ο.κ. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Στην ανάπτυξη, την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατήρησε ορισμένες αναλογίες. Οι ωθήσεις ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Σε πολλές πεταλούδες, η αναλογία του μεγέθους των θωρακικών και κοιλιακών τμημάτων του σώματος αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Έχοντας διπλώσει τα φτερά της, η νυχτερινή πεταλούδα σχηματίζει ένα κανονικό ισόπλευρο τρίγωνο. Αξίζει όμως να απλώσετε τα φτερά και θα δείτε την ίδια αρχή της διαίρεσης του σώματος σε 2,3,5,8. Η λιβελλούλη δημιουργείται επίσης σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής τομής: η αναλογία των μηκών της ουράς και του σώματος είναι ίση με την αναλογία του συνολικού μήκους προς το μήκος της ουράς.

Σε μια σαύρα, το μήκος της ουράς της σχετίζεται με το μήκος του υπόλοιπου σώματος από 62 έως 38. Μπορείτε να δείτε τις χρυσές αναλογίες αν κοιτάξετε προσεκτικά το αυγό ενός πουλιού.

Στην πράξη, κατά την επιλογή μιας μορφής φύλλου (εικόνα), χρησιμοποιούνται συχνά οι «κλασικές» αναλογίες των πλευρών ενός ορθογωνίου, στις οποίες ο λόγος της μικρότερης πλευράς προς τη μεγαλύτερη είναι 0,6180339 και η μεγαλύτερη προς τη μικρότερη είναι 1,6180339. Από την αρχαιότητα, αυτοί οι αριθμοί ονομάζονταν χρυσοί αριθμοί και η αναλογία των ποσοτήτων που είναι απαραίτητες για τη λήψη τους είναι γνωστή ως χρυσή αναλογία ή χρυσή αναλογία.

Η βάση του δόγματος της αρμονίας του κόσμου, που εκφράζεται με αριθμούς, έθεσε ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.). Παρουσίασε τη χρυσή τομή ως έναν από τους νόμους που προσδιορίζει με μαθηματική ακρίβεια την πιο όμορφη και αρμονική αναλογία των μερών του συνόλου, χωρισμένη σε δύο άνισα μισά.

Η κατασκευή ενός ορθογωνίου βασίζεται στην αναλογία των τμημάτων του τμήματος στις αναλογίες της χρυσής τομής. Με τη βοήθεια διαγωνίων, χωρίζεται στα συστατικά μέρη του, στα οποία σχηματίζεται η δυναμική των αναλογικών σχημάτων - ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο, καθώς και ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.

Έτσι, χρησιμοποιώντας διαγώνιες, μπορείτε να πάρετε μια διαδοχική σειρά από αυξανόμενα ορθογώνια, με λόγο διαστάσεων 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, που προέρχονται από ένα τετράγωνο.

Με πλευρά √4 σχηματίζεται ορθογώνιο με διπλό τετράγωνο. Με πλευρά √3, σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα, στα οποία η κοινή υποτείνουσα είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου, ίση με τη διπλάσια τιμή του μικρότερου σκέλους (δηλαδή της πλευράς του τετραγώνου) και έχουν οξεία γωνίες 30 και 60 μοιρών.

Η διαγώνιος χρησιμοποιείται επίσης στην κατασκευή διαδοχικά αυξανόμενων τετραγώνων, δημιουργώντας μια «δυναμική» ανάπτυξη του μεγέθους τους.

Σε αυτή την κατασκευή, η πλευρά κάθε επόμενου τετραγώνου σχετίζεται με την πλευρά του προηγούμενου, καθώς η διαγώνιος του τετραγώνου είναι με τη δική του πλευρά. Αυτοί οι μετασχηματισμοί αναφέρονται μερικές φορές ως "ενεργό τετράγωνο".

Το γεωμετρικό σύστημα των δυναμικών αναλογιών του τετραγώνου, του ορθογωνίου και του τριγώνου αποτέλεσε τη βάση για τη δημιουργία αρχιτεκτονικών δομών στην πρώιμη περίοδο της Αρχαίας Αιγύπτου. Επιπλέον, στις συνθήκες της πρωτόγονης τεχνικής της αρχιτεκτονικής κατασκευής εκείνες τις μακρινές εποχές, απαιτούνταν συνεχώς η αποκατάσταση της κάθετης στη γραμμή, η οποία στη συνέχεια γινόταν με σχοινί με 12 κόμβους. Με τη χρήση μιας τέτοιας συσκευής, ελήφθη ένα ορθογώνιο τρίγωνο με αναλογία πλευράς προς πλευρά 3: 4: 5, το οποίο αργότερα έγινε γνωστό ως το αιγυπτιακό. Επί του παρόντος, οι ορθές γωνίες χτίζονται στη βάση του και οι κάθετοι σχεδιάζονται στο τέλος του τμήματος.

Από την αρχαιότητα, η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε στην πρακτική κατασκευής διαφόρων εικόνων. Αυτό συμβάλλει στη δημιουργία αρμονικών εικόνων και ισορροπίας αναλογιών σε οτιδήποτε περιβάλλει. Οι αναλογίες της χρυσής τομής είναι παρούσες στα μαθηματικά, και ιδιαίτερα στη γεωμετρία, στις καλές τέχνες, στην καθημερινή ζωή και στη φύση, στον φυτικό και ζωικό κόσμο.

Η χρυσή τομή έχει αναπτυχθεί ευρέως στα μαθηματικά. Έτσι, τον 16ο αιώνα, ο Ιταλός επιστήμονας Fibonacci κατασκεύασε μια μαθηματική σειρά αριθμών, στην οποία ο επόμενος αριθμός καθορίζει το άθροισμα των δύο προηγούμενων - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. , 55, κ.λπ. Επιπλέον, καθιερώνεται μια άλλη εξάρτηση αυτών των αριθμών, στην οποία ο λόγος κάθε επόμενου προς τον προηγούμενο εκφράζεται με τον αριθμό 1.618 ... και ο προηγούμενος στον επόμενο - 0.618. Έτσι, σε αυτή τη μαθηματική σειρά, σχηματίζεται μια διασύνδεση αριθμών, που περιέχει τις αναλογίες της χρυσής τομής.

Ιδιαίτερα συχνά η χρυσή τομή χρησιμοποιείται στη γεωμετρία κατά τη διαίρεση ενός κύκλου σε ίσα μέρη και την κατασκευή κανονικών πολυγώνων.

Σε ένα αστρικό πολύγωνο - ένα πεντάκτινο αστέρι, κάθε σημείο τομής των πλευρών του τα χωρίζει σε δύο άνισα μέρη στις αναλογίες της χρυσής τομής.

Από την αρχαιότητα, η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί σε διάφορους τύπους καλών τεχνών - στην αρχιτεκτονική, τη γλυπτική, τη ζωγραφική. Ο Παρθενώνας είναι ένα κλασικό παράδειγμα εφαρμογής της χρυσής τομής στην αρχιτεκτονική.

Ιδιαίτερα ευρέως χρησιμοποιήθηκε στο έργο του η αναλογία της χρυσής τομής του Λεονάρντο ντα Βίντσι, την οποία ονόμασε «θεϊκή αναλογία».

Τα αρχαία αγάλματα της ελληνικής τέχνης, που αντανακλούν τις αναλογίες ενός ιδανικά διαμορφωμένου ανθρώπινου σώματος, υπακούουν επίσης στην αριθμητική αρμονία της χρυσής τομής.

Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται στην επιγραφή γραμμάτων και αριθμών σε διάφορες γραμματοσειρές.

Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται συχνά για τον προσδιορισμό του μεγέθους ενός ορθογωνίου, δεδομένης της μεγαλύτερης ή της μικρότερης πλευράς του. Εάν μια ορθογώνια εικόνα έχει μήκος (AB), τότε το ύψος της (AC) καθορίζεται από την ακόλουθη κατασκευή:

Αρχικά σχεδιάζεται τόξο ίσο με το μισό του από το άκρο του τμήματος (Β) μέχρι την τομή με την κάθετο (AO=OB=VD). Το σημείο D που προκύπτει συνδέεται με μια ευθεία γραμμή στο άλλο άκρο του τμήματος (Α). Στη συνέχεια, από το σημείο D, ένα τόξο με ακτίνα VD σχεδιάζεται στην τομή με αυτήν την ευθεία γραμμή και σημειώνεται το σημείο Ε. Ένα τόξο που σχεδιάζεται από το άκρο του τμήματος Α με ακτίνα AE καθορίζει το σημείο C κατά μήκος μιας κατακόρυφης ευθείας γραμμής και το απαιτούμενο ύψος της εικόνας AC.

Αν δίνεται το ύψος της εικόνας (AC), τότε το μήκος της (AB) καθορίζεται από άλλη κατασκευή. Πρώτον, κατασκευάζεται ένα τετράγωνο ASDE με πλευρά ίση με AC. Στη συνέχεια, από τη μέση της πλευράς του τετραγώνου (Ο), σχεδιάζεται ένα τόξο με ακτίνα ΟΔ και προκύπτει ένα σημείο Β σε μια οριζόντια ευθεία γραμμή, το οποίο θα καθορίσει το επιθυμητό μήκος της πλευράς του ορθογώνιου σχεδίου ΑΒ. .

Σε ένα ορθογώνιο με χρυσές αναλογίες, μπορείτε να δημιουργήσετε παρόμοια μορφή φύλλου οποιουδήποτε μεγέθους.

Για να γίνει αυτό, τοποθετείται σε ένα φύλλο χαρτιού σε μια από τις γωνίες του (Α) και σχεδιάζεται μια διαγώνιος σε αυτό. Στη συνέχεια, από το σημείο Α, το δεδομένο μέγεθος της οριζόντιας ή κάθετης πλευράς του σχήματος φύλλου παραμερίζεται και χαράσσεται μια κάθετη στο άκρο του μέχρι να τέμνεται με τη διαγώνιο, η οποία θα καθορίσει τη δεύτερη πλευρά του ορθογωνίου.

Η Golden Ratio είναι μια απλή αρχή που θα σας βοηθήσει να κάνετε το σχέδιό σας οπτικά ευχάριστο. Σε αυτό το άρθρο, θα εξηγήσουμε λεπτομερώς πώς και γιατί να το χρησιμοποιήσετε.

Μια κοινή μαθηματική αναλογία στη φύση που ονομάζεται Χρυσή Αναλογία, ή Χρυσός Μέσος, βασίζεται στην Ακολουθία Φιμπονάτσι (για την οποία πιθανότατα έχετε ακούσει στο σχολείο ή διαβάσατε στον Κώδικα Ντα Βίντσι του Νταν Μπράουν) και υποδηλώνει λόγο διαστάσεων 1 :1,61.

Μια τέτοια αναλογία συναντάται συχνά στη ζωή μας (κοχύλια, ανανάδες, λουλούδια κ.λπ.) και επομένως εκλαμβάνεται από ένα άτομο ως κάτι φυσικό, ευχάριστο στο μάτι.

→ Η χρυσή τομή είναι η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στην ακολουθία Fibonacci
→ Η σχεδίαση αυτής της ακολουθίας σε κλίμακα δίνει σπείρες που μπορούν να φανούν στη φύση.

Πιστεύεται ότι η Χρυσή Αναλογία έχει χρησιμοποιηθεί από την ανθρωπότητα στην τέχνη και το σχέδιο για περισσότερα από 4.000 χρόνια, και πιθανώς ακόμη περισσότερα, σύμφωνα με επιστήμονες που ισχυρίζονται ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν αυτήν την αρχή στην κατασκευή των πυραμίδων.

Διάσημα παραδείγματα

Όπως έχουμε ήδη πει, η Χρυσή Αναλογία μπορεί να φανεί σε όλη την ιστορία της τέχνης και της αρχιτεκτονικής. Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα που επιβεβαιώνουν μόνο την εγκυρότητα της χρήσης αυτής της αρχής:

Αρχιτεκτονική: Παρθενώνας

Στην αρχαία ελληνική αρχιτεκτονική, η Χρυσή Αναλογία χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της ιδανικής αναλογίας μεταξύ του ύψους και του πλάτους ενός κτιρίου, του μεγέθους μιας στοάς, ακόμη και της απόστασης μεταξύ των κιόνων. Αργότερα, αυτή η αρχή κληρονομήθηκε από τη νεοκλασική αρχιτεκτονική.

Τέχνη: Το τελευταίο δείπνο

Για τους καλλιτέχνες, η σύνθεση είναι το θεμέλιο. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, όπως και πολλοί άλλοι καλλιτέχνες, καθοδηγήθηκε από την αρχή της Χρυσής Αναλογίας: στον Μυστικό Δείπνο, για παράδειγμα, οι φιγούρες των μαθητών βρίσκονται στα κάτω δύο τρίτα (το μεγαλύτερο από τα δύο μέρη της Χρυσής Αναλογίας ), και ο Ιησούς τοποθετείται αυστηρά στο κέντρο ανάμεσα σε δύο ορθογώνια.

Σχεδιασμός ιστοσελίδων: επανασχεδιασμός του Twitter το 2010

Ο δημιουργικός διευθυντής του Twitter Doug Bowman δημοσίευσε ένα στιγμιότυπο οθόνης στον λογαριασμό του στο Flickr εξηγώντας τη χρήση της χρυσής αναλογίας για τον επανασχεδιασμό του 2010. "Όποιος ενδιαφέρεται για τις αναλογίες #NewTwitter - να ξέρει ότι όλα γίνονται για κάποιο λόγο", είπε.

Apple iCloud

Το εικονίδιο υπηρεσίας iCloud επίσης δεν είναι καθόλου τυχαίο σκίτσο. Όπως εξηγεί ο Takamasa Matsumoto στο blog του (αυθεντική ιαπωνική έκδοση), όλα βασίζονται στα μαθηματικά της Χρυσής Αναλογίας, η ανατομία της οποίας φαίνεται στο σχήμα στα δεξιά.

Πώς να φτιάξετε τη Χρυσή Αναλογία;

Η κατασκευή είναι αρκετά απλή, και ξεκινά με την κεντρική πλατεία:

Σχεδιάστε ένα τετράγωνο. Αυτό θα σχηματίσει το μήκος της "κοντής πλευράς" του ορθογωνίου.

Χωρίστε το τετράγωνο στη μέση με μια κάθετη γραμμή έτσι ώστε να λάβετε δύο ορθογώνια.

Σε ένα ορθογώνιο, τραβήξτε μια γραμμή ενώνοντας αντίθετες γωνίες.

Αναπτύξτε αυτή τη γραμμή οριζόντια όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δημιουργήστε ένα άλλο ορθογώνιο χρησιμοποιώντας ως βάση την οριζόντια γραμμή που σχεδιάσατε στα προηγούμενα βήματα. Ετοιμος!

«Χρυσά» εργαλεία

Εάν το σχέδιο και η μέτρηση δεν είναι το αγαπημένο σας χόμπι, αφήστε όλη τη «βρώμικη δουλειά» στα εργαλεία που έχουν σχεδιαστεί ειδικά για αυτό. Με τη βοήθεια των 4 παρακάτω συντακτών, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη Χρυσή Αναλογία!

Η εφαρμογή GoldenRATIO σάς βοηθά να σχεδιάζετε ιστότοπους, διεπαφές και διατάξεις σύμφωνα με τη Χρυσή Αναλογία. Διατίθεται από το Mac App Store για 2,99 $, διαθέτει ενσωματωμένη αριθμομηχανή με οπτική ανατροφοδότηση και μια εύχρηστη λειτουργία Αγαπημένα που αποθηκεύει ρυθμίσεις για επαναλαμβανόμενες εργασίες. Συμβατό με το Adobe Photoshop.

Αυτή η αριθμομηχανή θα σας βοηθήσει να δημιουργήσετε την τέλεια τυπογραφία για τον ιστότοπό σας σύμφωνα με τις αρχές της Χρυσής Αναλογίας. Απλώς εισαγάγετε το μέγεθος γραμματοσειράς, το πλάτος του περιεχομένου στο πεδίο του ιστότοπου και κάντε κλικ στο "Ορισμός τύπου"!

Αυτή είναι μια απλή και δωρεάν εφαρμογή για Mac και PC. Απλώς εισάγετε έναν αριθμό και θα υπολογίσει την αναλογία για αυτόν σύμφωνα με τον κανόνα της χρυσής τομής.

Ένα εύχρηστο πρόγραμμα που θα σας γλιτώσει από την ανάγκη για υπολογισμούς και πλέγματα σχεδίασης. Το να βρεις τις τέλειες αναλογίες είναι εύκολο μαζί της! Λειτουργεί με όλους τους επεξεργαστές γραφικών, συμπεριλαμβανομένου του Photoshop. Παρά το γεγονός ότι το εργαλείο πληρώνεται - 49 $, είναι δυνατή η δοκιμή της δοκιμαστικής έκδοσης για 30 ημέρες.

Η γεωμετρία είναι μια ακριβής και μάλλον πολύπλοκη επιστήμη, που με όλα αυτά είναι ένα είδος τέχνης. Γραμμές, επίπεδα, αναλογίες - όλα αυτά βοηθούν στη δημιουργία πολλών πραγματικά όμορφων πραγμάτων. Και παραδόξως, αυτό βασίζεται στη γεωμετρία στις πιο διαφορετικές μορφές της. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ένα πολύ ασυνήθιστο πράγμα που σχετίζεται άμεσα με αυτό. Η χρυσή τομή είναι ακριβώς η γεωμετρική προσέγγιση που θα συζητηθεί.

Το σχήμα του αντικειμένου και η αντίληψή του

Οι άνθρωποι πιο συχνά εστιάζουν στο σχήμα ενός αντικειμένου για να το αναγνωρίσουν ανάμεσα σε εκατομμύρια άλλα. Από τη μορφή καθορίζουμε τι είδους πράγμα βρίσκεται μπροστά μας ή τι στέκεται μακριά. Πρώτα από όλα αναγνωρίζουμε τους ανθρώπους από το σχήμα του σώματος και του προσώπου. Επομένως, μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι η ίδια η μορφή, το μέγεθος και η εμφάνισή της είναι ένα από τα πιο σημαντικά πράγματα στην ανθρώπινη αντίληψη.

Για τους ανθρώπους, η μορφή οτιδήποτε έχει ενδιαφέρον για δύο βασικούς λόγους: είτε υπαγορεύεται από ζωτική ανάγκη, είτε προκαλείται από αισθητική απόλαυση από την ομορφιά. Η καλύτερη οπτική αντίληψη και μια αίσθηση αρμονίας και ομορφιάς έρχεται πιο συχνά όταν ένα άτομο παρατηρεί μια μορφή στην κατασκευή της οποίας χρησιμοποιήθηκε συμμετρία και μια ειδική αναλογία, η οποία ονομάζεται χρυσή τομή.

Η έννοια της χρυσής τομής

Άρα, η χρυσή τομή είναι η χρυσή τομή, η οποία είναι επίσης μια αρμονική διαίρεση. Για να το εξηγήσετε πιο ξεκάθαρα, εξετάστε ορισμένα χαρακτηριστικά της φόρμας. Δηλαδή: η μορφή είναι κάτι ολόκληρο, αλλά το όλο, με τη σειρά του, αποτελείται πάντα από κάποια μέρη. Αυτά τα μέρη πιθανότατα έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά, τουλάχιστον διαφορετικά μεγέθη. Λοιπόν, τέτοιες διαστάσεις βρίσκονται πάντα σε μια ορισμένη αναλογία τόσο μεταξύ τους όσο και σε σχέση με το σύνολο.

Άρα, με άλλα λόγια, μπορούμε να πούμε ότι η χρυσή τομή είναι η αναλογία δύο ποσοτήτων, η οποία έχει τον δικό της τύπο. Η χρήση αυτής της αναλογίας κατά τη δημιουργία μιας φόρμας βοηθά να γίνει όσο το δυνατόν πιο όμορφη και αρμονική για το ανθρώπινο μάτι.

Από την αρχαία ιστορία της χρυσής τομής

Η χρυσή τομή χρησιμοποιείται συχνά σε διάφορους τομείς της ζωής αυτή τη στιγμή. Αλλά η ιστορία αυτής της έννοιας πηγαίνει πίσω στην αρχαιότητα, όταν επιστήμες όπως τα μαθηματικά και η φιλοσοφία μόλις αναδύονταν. Ως επιστημονική έννοια, η χρυσή τομή άρχισε να χρησιμοποιείται την εποχή του Πυθαγόρα, δηλαδή τον 6ο αιώνα π.Χ. Αλλά ακόμη και πριν από αυτό, η γνώση μιας τέτοιας αναλογίας χρησιμοποιήθηκε στην πράξη στην αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα. Μια εντυπωσιακή απόδειξη αυτού είναι οι πυραμίδες, για την κατασκευή των οποίων χρησιμοποίησαν ακριβώς μια τέτοια χρυσή τομή.

νέα περίοδος

Η Αναγέννηση ήταν μια νέα πνοή για την αρμονική διαίρεση, ειδικά χάρη στον Λεονάρντο ντα Βίντσι. Αυτή η αναλογία χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο τόσο στη γεωμετρία όσο και στην τέχνη. Επιστήμονες και καλλιτέχνες άρχισαν να μελετούν τη χρυσή τομή πιο βαθιά και να δημιουργούν βιβλία που ασχολούνται με αυτό το θέμα.

Ένα από τα σημαντικότερα ιστορικά έργα που σχετίζονται με τη χρυσή τομή είναι το βιβλίο του Luca Pancioli με τίτλο The Divine Proportion. Οι ιστορικοί υποπτεύονται ότι η εικονογράφηση αυτού του βιβλίου έγινε από τον ίδιο τον Λεονάρντο προ-Βίντσι.

Μαθηματική έκφραση της χρυσής τομής

Τα μαθηματικά δίνουν έναν πολύ σαφή ορισμό της αναλογίας, που λέει ότι είναι η ισότητα δύο αναλογιών. Μαθηματικά, αυτό μπορεί να εκφραστεί με την ακόλουθη ισότητα: a: b \u003d c: d, όπου a, b, c, d είναι ορισμένες συγκεκριμένες τιμές.

Αν εξετάσουμε την αναλογία ενός τμήματος χωρισμένο σε δύο μέρη, τότε μπορούμε να συναντήσουμε μόνο μερικές καταστάσεις:

• Το τμήμα χωρίζεται σε δύο απολύτως άρτια μέρη, πράγμα που σημαίνει ότι AB: AC \u003d AB: BC, εάν το AB είναι η ακριβής αρχή και το τέλος του τμήματος και C είναι το σημείο που χωρίζει το τμήμα σε δύο ίσα μέρη.
• Το τμήμα χωρίζεται σε δύο άνισα μέρη, τα οποία μπορεί να είναι σε πολύ διαφορετικές αναλογίες μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι εδώ είναι απολύτως δυσανάλογα.
• Το τμήμα διαιρείται έτσι ώστε AB:AC = AC:BC.

Όσο για τη χρυσή τομή, αυτή είναι μια τόσο αναλογική διαίρεση του τμήματος σε άνισα μέρη, όταν ολόκληρο το τμήμα αναφέρεται στο μεγαλύτερο μέρος, όπως το ίδιο το μεγαλύτερο μέρος αναφέρεται στο μικρότερο. Υπάρχει μια άλλη διατύπωση: το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο, καθώς και το μεγαλύτερο με ολόκληρο το τμήμα. Σε μαθηματικούς όρους, μοιάζει με αυτό: a:b = b:c ή c:b = b:a. Αυτή είναι η μορφή της φόρμουλας της χρυσής τομής.

Χρυσή αναλογία στη φύση

Η χρυσή τομή, παραδείγματα της οποίας θα εξετάσουμε τώρα, αναφέρεται στα απίστευτα φαινόμενα στη φύση. Αυτά είναι πολύ όμορφα παραδείγματα του γεγονότος ότι τα μαθηματικά δεν είναι απλώς αριθμοί και τύποι, αλλά μια επιστήμη που έχει κάτι περισσότερο από έναν πραγματικό προβληματισμό στη φύση και στη ζωή μας γενικότερα.

Για τους ζωντανούς οργανισμούς, ένα από τα κύρια καθήκοντα της ζωής είναι η ανάπτυξη. Αυτή η επιθυμία να πάρει τη θέση της στο διάστημα, στην πραγματικότητα, πραγματοποιείται με διάφορες μορφές - ανοδική ανάπτυξη, σχεδόν οριζόντια εξάπλωση στο έδαφος ή σπειροειδής σε κάποιο είδος στήριξης. Και όσο απίστευτο κι αν είναι, πολλά φυτά μεγαλώνουν σύμφωνα με τη χρυσή τομή.

Ένα άλλο σχεδόν απίστευτο γεγονός είναι οι αναλογίες στο σώμα των σαυρών. Το σώμα τους φαίνεται αρκετά ευχάριστο στο ανθρώπινο μάτι και αυτό είναι δυνατό χάρη στην ίδια χρυσή τομή. Για να είμαστε πιο ακριβείς, το μήκος της ουράς τους σχετίζεται με το μήκος ολόκληρου του σώματος ως 62:38.

Ενδιαφέροντα στοιχεία για τους κανόνες της χρυσής τομής

Η χρυσή τομή είναι μια πραγματικά απίστευτη έννοια, πράγμα που σημαίνει ότι σε όλη την ιστορία μπορούμε να βρούμε πολλά πραγματικά ενδιαφέροντα στοιχεία σχετικά με αυτήν την αναλογία. Σας παρουσιάζουμε μερικά από αυτά:

Η χρυσή τομή στο ανθρώπινο σώμα

Σε αυτή την ενότητα, είναι απαραίτητο να αναφέρουμε ένα πολύ σημαντικό πρόσωπο, τον S. Zeising. Πρόκειται για έναν Γερμανό ερευνητή που έχει κάνει εξαιρετική δουλειά στον τομέα της μελέτης της χρυσής τομής. Δημοσίευσε μια εργασία με τίτλο Αισθητική Έρευνα. Στο έργο του παρουσίασε τη χρυσή τομή ως απόλυτη έννοια, που είναι καθολική για όλα τα φαινόμενα, τόσο στη φύση όσο και στην τέχνη. Εδώ μπορούμε να θυμηθούμε τη χρυσή τομή της πυραμίδας, μαζί με την αρμονική αναλογία του ανθρώπινου σώματος κ.ο.κ.

Ήταν ο Zeising που μπόρεσε να αποδείξει ότι η χρυσή τομή, στην πραγματικότητα, είναι ο μέσος στατιστικός νόμος για το ανθρώπινο σώμα. Αυτό φάνηκε στην πράξη, γιατί κατά τη διάρκεια της δουλειάς του έπρεπε να μετρήσει πολλά ανθρώπινα σώματα. Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι περισσότεροι από δύο χιλιάδες άνθρωποι συμμετείχαν σε αυτή την εμπειρία. Σύμφωνα με την έρευνα του Zeising, ο κύριος δείκτης της χρυσής τομής είναι η διαίρεση του σώματος με το σημείο του ομφαλού. Έτσι, ένα ανδρικό σώμα με μέση αναλογία 13:8 είναι ελαφρώς πιο κοντά στη χρυσή αναλογία από ένα γυναικείο σώμα, όπου η χρυσή αναλογία είναι 8:5. Επίσης, η χρυσή τομή μπορεί να παρατηρηθεί και σε άλλα σημεία του σώματος, όπως, για παράδειγμα, στο χέρι.

Για την κατασκευή της χρυσής τομής

Στην πραγματικότητα, η κατασκευή της χρυσής τομής είναι απλή υπόθεση. Όπως μπορούμε να δούμε, ακόμη και οι αρχαίοι άνθρωποι το αντιμετώπισαν πολύ εύκολα. Τι μπορούμε να πούμε για τις σύγχρονες γνώσεις και τεχνολογίες της ανθρωπότητας. Σε αυτό το άρθρο, δεν θα δείξουμε πώς μπορεί να γίνει αυτό απλά σε ένα κομμάτι χαρτί και με ένα μολύβι στο χέρι, αλλά θα δηλώσουμε με σιγουριά ότι αυτό είναι, στην πραγματικότητα, δυνατό. Επιπλέον, αυτό μπορεί να γίνει με περισσότερους από έναν τρόπους.

Δεδομένου ότι πρόκειται για μια αρκετά απλή γεωμετρία, η χρυσή τομή είναι αρκετά απλή στην κατασκευή ακόμη και στο σχολείο. Επομένως, πληροφορίες σχετικά με αυτό μπορούν εύκολα να βρεθούν σε εξειδικευμένα βιβλία. Μελετώντας τη χρυσή τομή, ο βαθμός 6 είναι πλήρως σε θέση να κατανοήσει τις αρχές της κατασκευής του, πράγμα που σημαίνει ότι ακόμη και τα παιδιά είναι αρκετά έξυπνα για να κατακτήσουν μια τέτοια εργασία.

Η Χρυσή Αναλογία στα Μαθηματικά

Η πρώτη γνωριμία με τη χρυσή τομή στην πράξη ξεκινά με μια απλή διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος, όλα στις ίδιες αναλογίες. Τις περισσότερες φορές αυτό γίνεται με χάρακα, πυξίδα και, φυσικά, μολύβι.

Τα τμήματα της χρυσής αναλογίας εκφράζονται ως ένα άπειρο παράλογο κλάσμα AE \u003d 0,618 ..., εάν το AB ληφθεί ως μονάδα, BE \u003d 0,382 ... Για να γίνουν αυτοί οι υπολογισμοί πιο πρακτικοί, πολύ συχνά χρησιμοποιούν μη ακριβείς , αλλά κατά προσέγγιση τιμές, δηλαδή - 0 ,62 και 0,38. Εάν το τμήμα AB ληφθεί ως 100 μέρη, τότε το μεγαλύτερο μέρος του θα είναι ίσο με 62 και το μικρότερο - με 38 μέρη, αντίστοιχα.

Η κύρια ιδιότητα της χρυσής αναλογίας μπορεί να εκφραστεί με την εξίσωση: x 2 -x-1=0. Κατά τη λύση, παίρνουμε τις ακόλουθες ρίζες: x 1,2 =. Αν και τα μαθηματικά είναι μια ακριβής και αυστηρή επιστήμη, καθώς και το τμήμα της - γεωμετρία, αλλά είναι ακριβώς τέτοιες ιδιότητες όπως οι νόμοι της χρυσής τομής που φέρνουν μυστήριο σε αυτό το θέμα.

Η αρμονία στην τέχνη μέσα από τη χρυσή τομή

Για να συνοψίσουμε, ας εξετάσουμε εν συντομία όσα έχουν ήδη ειπωθεί.

Βασικά, πολλά έργα τέχνης εμπίπτουν στον κανόνα της χρυσής τομής, όπου η αναλογία είναι κοντά στα 3/8 και 5/8. Αυτή είναι η πρόχειρη φόρμουλα για τη χρυσή τομή. Το άρθρο έχει ήδη αναφέρει πολλά για παραδείγματα χρήσης της ενότητας, αλλά θα το δούμε ξανά μέσα από το πρίσμα της αρχαίας και της σύγχρονης τέχνης. Έτσι, τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα από την αρχαιότητα:

Όσο για την ήδη συνειδητή χρήση της αναλογίας, από την εποχή του Λεονάρντο ντα Βίντσι, έχει τεθεί σε χρήση σε όλους σχεδόν τους τομείς της ζωής - από την επιστήμη μέχρι την τέχνη. Ακόμη και η βιολογία και η ιατρική έχουν αποδείξει ότι η χρυσή τομή λειτουργεί ακόμη και σε ζωντανά συστήματα και οργανισμούς.

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι ανησυχούν για το αν τέτοια άπιαστα πράγματα όπως η ομορφιά και η αρμονία υπόκεινται σε μαθηματικούς υπολογισμούς. Φυσικά, όλοι οι νόμοι της ομορφιάς δεν μπορούν να περιληφθούν σε λίγους τύπους, αλλά μελετώντας τα μαθηματικά, μπορούμε να ανακαλύψουμε ορισμένους όρους ομορφιάς - τη χρυσή τομή. Καθήκον μας είναι να μάθουμε ποια είναι η χρυσή τομή και να διαπιστώσουμε πού βρήκε η ανθρωπότητα τη χρήση της χρυσής τομής.

Μάλλον δώσατε προσοχή στο γεγονός ότι αντιμετωπίζουμε διαφορετικά αντικείμενα και φαινόμενα της γύρω πραγματικότητας. Είναι ηευπρέπεια, να είσαι ηη ομοιομορφία, η δυσαναλογία εκλαμβάνονται από εμάς ως άσχημα και δημιουργούν μια αποκρουστική εντύπωση. Και αντικείμενα και φαινόμενα, που χαρακτηρίζονται από μέτρο, σκοπιμότητα και αρμονία, εκλαμβάνονται ως όμορφα και μας προκαλούν ένα αίσθημα θαυμασμού, χαράς, ευθυμίας.

Ένα άτομο στη δραστηριότητά του συναντά συνεχώς αντικείμενα που βασίζονται στη χρυσή τομή. Υπάρχουν πράγματα που δεν μπορούν να εξηγηθούν. Έρχεσαι λοιπόν σε ένα άδειο παγκάκι και κάθεσαι σε αυτό. Που θα καθίσεις; στη μέση? Ή μήπως από την ίδια την άκρη; Όχι, πιθανότατα όχι το ένα ή το άλλο. Θα καθίσετε με τέτοιο τρόπο ώστε η αναλογία ενός μέρους του πάγκου προς ένα άλλο σε σχέση με το σώμα σας να είναι περίπου 1,62. Πράγμα απλό, απολύτως ενστικτώδες... Καθισμένος σε ένα παγκάκι, αναπαρήγαγες τη «χρυσή τομή».

Η χρυσή τομή ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, στην Ινδία και την Κίνα. Ο μεγάλος Πυθαγόρας δημιούργησε ένα κρυφό σχολειό όπου μελετήθηκε η μυστική ουσία της «χρυσής τομής». Ο Ευκλείδης το εφάρμοσε, δημιουργώντας τη γεωμετρία του, και ο Φειδίας - τα αθάνατα γλυπτά του. Ο Πλάτων είπε ότι το σύμπαν είναι διατεταγμένο σύμφωνα με τη «χρυσή τομή». Ο Αριστοτέλης βρήκε την αντιστοιχία της «χρυσής τομής» με τον ηθικό νόμο. Την υψηλότερη αρμονία της «χρυσής τομής» θα κηρύξουν ο Λεονάρντο ντα Βίντσι και ο Μιχαήλ Άγγελος, γιατί η ομορφιά και η «χρυσή τομή» είναι ένα και το αυτό. Και οι χριστιανοί μύστες θα σχεδιάσουν πεντάγραμμα της «χρυσής τομής» στους τοίχους των μοναστηριών τους, ξεφεύγοντας από τον Διάβολο. Την ίδια στιγμή, οι επιστήμονες -από τον Πατσιόλι μέχρι τον Αϊνστάιν- θα ψάξουν, αλλά δεν θα βρουν ποτέ το ακριβές νόημά του. Είναι ηη τελευταία σειρά μετά την υποδιαστολή είναι 1,6180339887... Ένα παράξενο, μυστηριώδες, ανεξήγητο πράγμα - αυτή η θεϊκή αναλογία συνοδεύει μυστικά όλα τα έμβια όντα. Η άψυχη φύση δεν ξέρει τι είναι η «χρυσή τομή». Αλλά σίγουρα θα δείτε αυτή την αναλογία στις καμπύλες των θαλάσσιων κοχυλιών, και με τη μορφή λουλουδιών, και με τη μορφή σκαθαριών και σε ένα όμορφο ανθρώπινο σώμα. Κάθε τι ζωντανό και κάθε τι όμορφο - όλα υπακούουν στον θείο νόμο, του οποίου το όνομα είναι η «χρυσή τομή». Ποια είναι λοιπόν η «χρυσή τομή»; Τι είναι αυτός ο τέλειος, θεϊκός συνδυασμός; Ίσως είναι ο νόμος της ομορφιάς; Ή είναι ακόμα ένα μυστικιστικό μυστικό; Επιστημονικό φαινόμενο ή ηθική αρχή; Η απάντηση είναι ακόμα άγνωστη. Πιο συγκεκριμένα - όχι, είναι γνωστό. "Χρυσή τομή" είναι και αυτό, και άλλο, και το τρίτο. Μόνο όχι ξεχωριστά, αλλά ταυτόχρονα... Και αυτό είναι το αληθινό του μυστήριο, το μεγάλο μυστικό του.

Είναι μάλλον δύσκολο να βρεθεί ένα αξιόπιστο μέτρο για μια αντικειμενική αξιολόγηση της ίδιας της ομορφιάς, και η λογική από μόνη της δεν θα κάνει εδώ. Ωστόσο, εδώ θα βοηθήσει η εμπειρία εκείνων για τους οποίους η αναζήτηση της ομορφιάς ήταν το ίδιο το νόημα της ζωής, που την έκαναν επάγγελμά τους. Πρώτα απ 'όλα, αυτοί είναι άνθρωποι της τέχνης, όπως τους λέμε: καλλιτέχνες, αρχιτέκτονες, γλύπτες, μουσικοί, συγγραφείς. Αλλά αυτοί είναι άνθρωποι των ακριβών επιστημών, πρώτα απ 'όλα, μαθηματικοί.

Εμπιστευόμενος το μάτι περισσότερο από άλλα αισθητήρια όργανα, ο άνθρωπος έμαθε πρώτα από όλα να διακρίνει τα αντικείμενα γύρω του από το σχήμα. Το ενδιαφέρον για τη μορφή ενός αντικειμένου μπορεί να υπαγορεύεται από ζωτική αναγκαιότητα ή μπορεί να προκαλείται από την ομορφιά της φόρμας. Η φόρμα, η οποία βασίζεται σε συνδυασμό συμμετρίας και χρυσής τομής, συμβάλλει στην καλύτερη οπτική αντίληψη και στην εμφάνιση μιας αίσθησης ομορφιάς και αρμονίας. Το σύνολο αποτελείται πάντα από μέρη, μέρη διαφορετικών μεγεθών βρίσκονται σε μια ορισμένη σχέση μεταξύ τους και με το σύνολο. Η αρχή της χρυσής τομής είναι η υψηλότερη εκδήλωση της δομικής και λειτουργικής τελειότητας του συνόλου και των μερών του στην τέχνη, την επιστήμη, την τεχνολογία και τη φύση.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ - ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

Στα μαθηματικά, μια αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών:

Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη με τους εξής τρόπους:

• σε δύο ίσα μέρη - AB: AC = AB: BC;
• σε δύο άνισα μέρη σε οποιαδήποτε αναλογία (τέτοια μέρη δεν σχηματίζουν αναλογίες).
• Έτσι, όταν AB:AC=AC:BC.

Το τελευταίο είναι η χρυσή διαίρεση (τομή).

Η χρυσή τομή είναι μια τέτοια αναλογική διαίρεση ενός τμήματος σε άνισα μέρη, στα οποία ολόκληρο το τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο μέρος με τον ίδιο τρόπο που το ίδιο το μεγαλύτερο τμήμα σχετίζεται με το μικρότερο, με άλλα λόγια, το μικρότερο τμήμα είναι σχετίζεται με το μεγαλύτερο όπως και το μεγαλύτερο με τα πάντα

a:b=b:c ή c:b=b:a.

Γεωμετρική αναπαράσταση της χρυσής τομής

Η πρακτική εξοικείωση με τη χρυσή τομή ξεκινά με τη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος στη χρυσή τομή χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα.

Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σύμφωνα με τη χρυσή τομή. BC=1/2AB; CD=BC

Από το σημείο Β αποκαθίσταται κάθετος ίση με το μισό ΑΒ. Το σημείο Γ που προκύπτει συνδέεται με μια ευθεία με το σημείο Α. Στην ευθεία που προκύπτει, σχεδιάζεται ένα τμήμα BC που τελειώνει με το σημείο Δ. Το τμήμα ΑΔ μεταφέρεται στην ευθεία ΑΒ. Το σημείο Ε που προκύπτει διαιρεί το τμήμα ΑΒ στον λόγο της χρυσής τομής.

Τα τμήματα της χρυσής τομής εκφράζονται χωρίς ητελικό κλάσμα AE=0,618..., αν το ΑΒ ληφθεί ως μονάδα, BE=0,382... Για πρακτικούς σκοπούς, χρησιμοποιούνται συχνά κατά προσέγγιση τιμές 0,62 και 0,38. Εάν το τμήμα ΑΒ ληφθεί ως 100 μέρη, τότε το μεγαλύτερο μέρος του τμήματος είναι 62 και το μικρότερο 38 μέρη.

Οι ιδιότητες της χρυσής τομής περιγράφονται από την εξίσωση:

Λύση αυτής της εξίσωσης:

Οι ιδιότητες της χρυσής τομής δημιούργησαν γύρω από αυτόν τον αριθμό μια ρομαντική αύρα μυστηρίου και σχεδόν μια μυστικιστική γενιά. Για παράδειγμα, σε ένα κανονικό πεντάκτινο αστέρι, κάθε τμήμα διαιρείται με το τμήμα που το διασχίζει αναλογικά με τη χρυσή τομή (δηλαδή η αναλογία του μπλε τμήματος προς το πράσινο, το κόκκινο προς το μπλε, το πράσινο προς το μωβ, είναι 1,618).

ΔΕΥΤΕΡΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Αυτή η αναλογία βρίσκεται στην αρχιτεκτονική.

Κατασκευή της δεύτερης χρυσής τομής

Η διαίρεση γίνεται ως εξής. Το τμήμα ΑΒ διαιρείται αναλογικά με τη χρυσή τομή. Από το σημείο Γ αποκαθίσταται το κάθετο CD. Η ακτίνα ΑΒ είναι το σημείο D, το οποίο συνδέεται με μια γραμμή με το σημείο Α. Η ορθή γωνία ACD διχοτομείται. Τραβιέται μια ευθεία από το σημείο Γ μέχρι την τομή με την ευθεία ΑΔ. Το σημείο Ε διαιρεί το τμήμα AD σε σχέση με το 56:44.

Διαίρεση ορθογωνίου με γραμμή της δεύτερης χρυσής τομής

Το σχήμα δείχνει τη θέση της γραμμής της δεύτερης χρυσής τομής. Βρίσκεται στη μέση μεταξύ της γραμμής χρυσής τομής και της μεσαίας γραμμής του ορθογωνίου.

ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ (πεντάγραμμο)

Για να βρείτε τμήματα της χρυσής αναλογίας της αύξουσας και φθίνουσας σειράς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πεντάγραμμο.

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου και πενταγράμμου

Για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο. Η μέθοδος κατασκευής του αναπτύχθηκε από τον Γερμανό ζωγράφο και γραφίστα Albrecht Dürer. Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α ένα σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, υψωμένη στο σημείο Ο, τέμνεται με τον κύκλο στο σημείο Δ. Με πυξίδα, σημειώστε το τμήμα CE=ED στη διάμετρο. Το μήκος μιας πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι DC. Αφήνουμε στην άκρη τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε βαθμούς για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μέσω μιας διαγώνιου και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.

Κάθε άκρο του πενταγωνικού αστέρα είναι ένα χρυσό τρίγωνο. Οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 36 0 στην κορυφή και η βάση που βρίσκεται στο πλάι το χωρίζει αναλογικά με τη χρυσή τομή.

Σχεδιάστε την ευθεία γραμμή ΑΒ. Από το σημείο Α αφήνουμε πάνω του ένα τμήμα Ο αυθαίρετου μεγέθους τρεις φορές, μέσω του προκύπτοντος σημείου P σχεδιάζουμε μια κάθετη στην ευθεία ΑΒ, στην κάθετη δεξιά και αριστερά του σημείου P αναβάλλουμε τα τμήματα Ο. Το προκύπτον Τα σημεία d και d 1 συνδέονται με ευθείες γραμμές με το σημείο A. Το τμήμα dd 1 το βάζουμε στη γραμμή Ad 1, παίρνοντας το σημείο C. Διαίρεσε τη γραμμή Ad 1 αναλογικά με τη χρυσή τομή. Οι γραμμές Ad 1 και dd 1 χρησιμοποιούνται για την κατασκευή ενός "χρυσού" ορθογωνίου.

Κατασκευή του χρυσού τριγώνου

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ

Πράγματι, οι αναλογίες της πυραμίδας του Χέοπα, των ναών, των ειδών οικιακής χρήσης και των διακοσμήσεων από τον τάφο του Τουταγχαμών δείχνουν ότι οι Αιγύπτιοι τεχνίτες χρησιμοποιούσαν τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης κατά τη δημιουργία τους. Ο Γάλλος αρχιτέκτονας Le Corbusier διαπίστωσε ότι στο ανάγλυφο από το ναό του Φαραώ Seti I στην Άβυδο και στο ανάγλυφο που απεικονίζει τον Φαραώ Ramses, οι αναλογίες των μορφών αντιστοιχούν στις τιμές της χρυσής διαίρεσης. Ο αρχιτέκτονας Khesira, που απεικονίζεται σε ανάγλυφο ξύλινης σανίδας από τον τάφο του ονόματός του, κρατά στα χέρια του όργανα μέτρησης, στα οποία είναι σταθερές οι αναλογίες της χρυσής διαίρεσης.

Οι Έλληνες ήταν επιδέξιοι γεωμέτρους. Ακόμη και η αριθμητική διδάσκονταν στα παιδιά τους με τη βοήθεια γεωμετρικών σχημάτων. Το τετράγωνο του Πυθαγόρα και η διαγώνιος αυτού του τετραγώνου αποτέλεσαν τη βάση για την κατασκευή δυναμικών ορθογωνίων.

Δυναμικά ορθογώνια

Για τη χρυσή διαίρεση γνώριζε και ο Πλάτων. Ο Πυθαγόρειος Τίμαιος, στον ομώνυμο διάλογο του Πλάτωνα, λέει: «Είναι αδύνατο δύο πράγματα να ενωθούν τέλεια χωρίς ένα τρίτο, αφού πρέπει να εμφανιστεί ένα πράγμα ανάμεσά τους που θα τα κρατούσε ενωμένα. Η αναλογία μπορεί να το επιτύχει καλύτερα αυτό, γιατί αν τρεις αριθμοί έχουν την ιδιότητα ότι ο μέσος όρος σχετίζεται με το μικρότερο, καθώς ο μεγαλύτερος είναι με τον μέσο όρο, και αντίστροφα, τόσο μικρότερος είναι ο μέσος όρος καθώς ο μέσος όρος είναι ο μεγαλύτερος, τότε ο τελευταίος και η πρώτη θα είναι η μέση, και η μέση - πρώτη και τελευταία. Έτσι, ό,τι είναι απαραίτητο θα είναι το ίδιο, και αφού θα είναι το ίδιο, θα κάνει ένα σύνολο. Ο Πλάτων χτίζει τον γήινο κόσμο χρησιμοποιώντας τρίγωνα δύο τύπων: ισοσκελές και μη ισοσκελές. Θεωρεί ότι το πιο όμορφο ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό στο οποίο η υποτείνουσα είναι δύο φορές μικρότερη από τα σκέλη (ένα τέτοιο ορθογώνιο είναι μισό ισόπλευρο, η κύρια μορφή των Βαβυλωνίων, έχει αναλογία 1: 3 1/2 , η οποία διαφέρει από τη χρυσή τομή κατά περίπου 1/25, και ονομάζεται Χρονομέτρηση «αντίπαλος της χρυσής αναλογίας»). Χρησιμοποιώντας τρίγωνα, ο Πλάτωνας κατασκευάζει τέσσερα κανονικά πολύεδρα, συνδέοντάς τα με τα τέσσερα γήινα στοιχεία (γη, νερό, αέρας και φωτιά). Και μόνο το τελευταίο από τα πέντε υπάρχοντα κανονικά πολύεδρα - το δωδεκάεδρο, του οποίου και οι δώδεκα όψεις είναι κανονικά πεντάγωνα, ισχυρίζεται ότι είναι μια συμβολική εικόνα του ουράνιου κόσμου.

εικοσάεδρο και δωδεκάεδρο

Η τιμή της ανακάλυψης του δωδεκάεδρου (ή, όπως υποτίθεται, του ίδιου του Σύμπαντος, αυτής της πεμπτουσίας των τεσσάρων στοιχείων, που συμβολίζεται, αντίστοιχα, με το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και τον κύβο) ανήκει στον Ιππάσο, ο οποίος αργότερα πέθανε σε ναυάγιο. Αυτή η φιγούρα αποτυπώνει πραγματικά πολλές σχέσεις της χρυσής τομής, έτσι στον τελευταίο ανατέθηκε ο κύριος ρόλος στον ουράνιο κόσμο, στον οποίο στη συνέχεια επέμεινε ο ανήλικος αδελφός Luca Pacioli.

Στην πρόσοψη του αρχαιοελληνικού ναού του Παρθενώνα υπάρχουν χρυσές αναλογίες. Κατά τις ανασκαφές του βρέθηκαν πυξίδες, τις οποίες χρησιμοποιούσαν αρχιτέκτονες και γλύπτες του αρχαίου κόσμου. Η πυξίδα της Πομπηίας (Μουσείο στη Νάπολη) περιέχει επίσης τις αναλογίες της χρυσής διαίρεσης.

Αντίκες πυξίδες με χρυσή τομή

Στην αρχαία γραμματεία που μας έχει φτάσει, η χρυσή διαίρεση αναφέρθηκε για πρώτη φορά στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στο 2ο βιβλίο των «Αρχών» δίνεται η γεωμετρική κατασκευή της χρυσής διαίρεσης. Μετά τον Ευκλείδη, ο Υψίλης (2ος αιώνας π.Χ.), ο Πάππος (3ος αιώνας μ.Χ.) και άλλοι μελέτησαν τη χρυσή διαίρεση.Στη μεσαιωνική Ευρώπη γνώρισαν τη χρυσή διαίρεση από αραβικές μεταφράσεις των «Αρχών» του Ευκλείδη. Ο μεταφραστής J. Campano από τη Ναβάρρα (3ος αιώνας) σχολίασε τη μετάφραση. Τα μυστικά του χρυσού τμήματος φυλάσσονταν ζηλότυπα, φυλάσσονταν με αυστηρή μυστικότητα. Ήταν γνωστοί μόνο στους μυημένους.

Στο Μεσαίωνα, το πεντάγραμμο δαιμονοποιήθηκε (όπως, πράγματι, πολλά που θεωρούνταν θεϊκά στον αρχαίο παγανισμό) και βρήκε καταφύγιο στις απόκρυφες επιστήμες. Ωστόσο, η Αναγέννηση φέρνει ξανά στο φως τόσο το πεντάγραμμο όσο και τη χρυσή τομή. Έτσι, ένα σχήμα που περιγράφει τη δομή του ανθρώπινου σώματος απέκτησε ευρεία κυκλοφορία σε εκείνη την περίοδο της διεκδίκησης του ουμανισμού.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι κατέφυγε επίσης επανειλημμένα σε μια τέτοια εικόνα, στην πραγματικότητα, αναπαράγοντας ένα πεντάγραμμο. Η ερμηνεία του: το ανθρώπινο σώμα έχει θεϊκή τελειότητα, επειδή οι αναλογίες που είναι εγγενείς σε αυτό είναι οι ίδιες με την κύρια ουράνια μορφή. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι, ένας καλλιτέχνης και επιστήμονας, είδε ότι οι Ιταλοί καλλιτέχνες είχαν μεγάλη εμπειρική εμπειρία, αλλά λίγη γνώση. Συνέλαβε και άρχισε να γράφει ένα βιβλίο για τη γεωμετρία, αλλά εκείνη την εποχή εμφανίστηκε ένα βιβλίο του μοναχού Luca Pacioli και ο Λεονάρντο εγκατέλειψε την ιδέα του. Σύμφωνα με συγχρόνους και ιστορικούς της επιστήμης, ο Luca Pacioli ήταν ένας πραγματικός φωτιστής, ο μεγαλύτερος μαθηματικός στην Ιταλία μεταξύ του Fibonacci και του Galileo. Ο Luca Pacioli ήταν μαθητής του καλλιτέχνη Piero della Francesca, ο οποίος έγραψε δύο βιβλία, ένα από τα οποία ονομαζόταν On Perspective in Painting. Θεωρείται ο δημιουργός της περιγραφικής γεωμετρίας.

Ο Λούκα Πατσιόλι γνώριζε καλά τη σημασία της επιστήμης για την τέχνη.

Το 1496, μετά από πρόσκληση του Δούκα Μορώ, ήρθε στο Μιλάνο, όπου έδωσε διαλέξεις για τα μαθηματικά. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι εργαζόταν επίσης στο δικαστήριο του Μόρο στο Μιλάνο εκείνη την εποχή. Το 1509, το De divina proportione, 1497 του Luca Pacioli, που δημοσιεύτηκε στη Βενετία το 1509, δημοσιεύτηκε στη Βενετία με έξοχα εκτελεσμένες εικονογραφήσεις, γι' αυτό και πιστεύεται ότι έγιναν από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι. Το βιβλίο ήταν ένας ενθουσιώδης ύμνος στη χρυσή τομή. Υπάρχει μόνο μία τέτοια αναλογία και η μοναδικότητα είναι η υψηλότερη ιδιότητα του Θεού. Ενσαρκώνει την αγία τριάδα. Αυτή η αναλογία δεν μπορεί να εκφραστεί με έναν προσιτό αριθμό, παραμένει κρυφή και μυστική και αποκαλείται παράλογη από τους ίδιους τους μαθηματικούς (άρα ο Θεός δεν μπορεί ούτε να οριστεί ούτε να εξηγηθεί με λέξεις). Ο Θεός δεν αλλάζει ποτέ και αντιπροσωπεύει τα πάντα σε όλα και τα πάντα σε κάθε μέρος του, επομένως η χρυσή τομή για κάθε συνεχή και καθορισμένη ποσότητα (ανεξάρτητα από το αν είναι μεγάλη ή μικρή) είναι η ίδια, δεν μπορεί να αλλάξει ή να αλλάξει. μυαλό. Ο Θεός δημιούργησε την ουράνια αρετή, που αλλιώς ονομάζεται πέμπτη ουσία, με τη βοήθειά της τέσσερα άλλα απλά σώματα (τέσσερα στοιχεία - γη, νερό, αέρας, φωτιά) και στη βάση τους δημιούργησε κάθε άλλο πράγμα στη φύση. Έτσι, η ιερή αναλογία μας, σύμφωνα με τον Πλάτωνα στον Τίμαιο, δίνει επίσημη ύπαρξη στον ίδιο τον ουρανό, γιατί αποδίδεται στη μορφή ενός σώματος που ονομάζεται δωδεκάεδρο, το οποίο δεν μπορεί να κατασκευαστεί χωρίς τη χρυσή τομή. Αυτά είναι τα επιχειρήματα του Πατσιόλι.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι έδωσε επίσης μεγάλη προσοχή στη μελέτη της χρυσής διαίρεσης. Κατασκεύασε τμήματα ενός στερεομετρικού σώματος που σχηματιζόταν από κανονικά πεντάγωνα, και κάθε φορά έβγαζε ορθογώνια με λόγους διαστάσεων σε χρυσή διαίρεση. Ως εκ τούτου, έδωσε σε αυτό το τμήμα το όνομα της χρυσής τομής. Έτσι, εξακολουθεί να είναι το πιο δημοφιλές.

Την ίδια περίοδο, στη βόρεια Ευρώπη, στη Γερμανία, ο Άλμπρεχτ Ντύρερ δούλευε τα ίδια προβλήματα. Σκιαγραφεί μια εισαγωγή στο πρώτο σχέδιο μιας πραγματείας για τις αναλογίες. Ο Dürer γράφει: «Είναι απαραίτητο αυτός που γνωρίζει κάτι να το διδάσκει σε άλλους που το έχουν ανάγκη. Αυτό αποφάσισα να κάνω».

Κρίνοντας από μια από τις επιστολές του Dürer, συναντήθηκε με τον Luca Pacioli κατά τη διάρκεια της παραμονής του στην Ιταλία. Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ αναπτύσσει λεπτομερώς τη θεωρία των αναλογιών του ανθρώπινου σώματος. Ο Dürer έδωσε μια σημαντική θέση στο σύστημα αναλογιών του στη χρυσή τομή. Το ύψος ενός ατόμου διαιρείται σε χρυσές αναλογίες από τη γραμμή της ζώνης, καθώς και μια γραμμή που τραβιέται μέσα από τις άκρες των μεσαίων δακτύλων των χαμηλών χεριών, το κάτω μέρος του προσώπου - από το στόμα κ.λπ. Γνωστή αναλογική πυξίδα Dürer.

Μεγάλος αστρονόμος του 16ου αιώνα Ο Johannes Kepler αποκάλεσε τη χρυσή τομή έναν από τους θησαυρούς της γεωμετρίας. Είναι ο πρώτος που επέστησε την προσοχή στη σημασία της χρυσής αναλογίας για τη βοτανική (ανάπτυξη και δομή των φυτών).

Ο Κέπλερ ονόμασε τη χρυσή αναλογία αυτοσυνεχόμενη. «Είναι διατεταγμένη με τέτοιο τρόπο», έγραψε, «ότι οι δύο μικρότεροι όροι αυτής της άπειρης αναλογίας αθροίζονται στον τρίτο όρο, και τυχόν δύο τελευταίοι όροι, αν προστεθούν μαζί, δίνουν τον επόμενο όρο, και η ίδια αναλογία παραμένει μέχρι το άπειρο».

Η κατασκευή μιας σειράς τμημάτων της χρυσής τομής μπορεί να γίνει τόσο προς την κατεύθυνση της αύξησης (αύξηση σειρά) όσο και προς την κατεύθυνση της μείωσης (φθίνουσα σειρά).

Εάν βρίσκεται σε ευθεία γραμμής αυθαίρετου μήκους, αναβάλετε το τμήμα Μ , αφήστε στην άκρη ένα τμήμα Μ . Με βάση αυτά τα δύο τμήματα, κατασκευάζουμε μια κλίμακα τμημάτων της χρυσής αναλογίας της αύξουσας και της φθίνουσας σειράς.

Χτίζοντας μια κλίμακα τμημάτων της χρυσής τομής

Στους επόμενους αιώνες, ο κανόνας της χρυσής αναλογίας μετατράπηκε σε ακαδημαϊκό κανόνα και όταν, με την πάροδο του χρόνου, ξεκίνησε ένας αγώνας στην τέχνη με μια ακαδημαϊκή ρουτίνα, στον πυρετό του αγώνα, «πέταξαν το παιδί έξω με το νερό». Η χρυσή τομή «ανακαλύφθηκε» ξανά στα μέσα του 19ου αιώνα.

Το 1855, ο Γερμανός ερευνητής της χρυσής τομής, καθηγητής Zeising, δημοσίευσε το έργο του Αισθητική Έρευνα. Με το Zeising, αυτό ακριβώς που συνέβη ήταν αναπόφευκτο να συμβεί στον ερευνητή που θεωρεί το φαινόμενο ως τέτοιο, χωρίς σύνδεση με άλλα φαινόμενα. Απολυτοποίησε την αναλογία της χρυσής τομής, δηλώνοντάς την καθολική για όλα τα φαινόμενα της φύσης και της τέχνης. Ο Zeising είχε πολλούς οπαδούς, αλλά υπήρχαν και αντίπαλοι που δήλωναν το δόγμα των αναλογιών του ως «μαθηματική αισθητική».

Ο Zeising έκανε εξαιρετική δουλειά. Μέτρησε περίπου δύο χιλιάδες ανθρώπινα σώματα και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η χρυσή τομή εκφράζει τον μέσο στατιστικό νόμο. Η διαίρεση του σώματος με το σημείο του ομφαλού είναι ο πιο σημαντικός δείκτης της χρυσής τομής. Οι αναλογίες του ανδρικού σώματος κυμαίνονται εντός της μέσης αναλογίας 13:8=1,625 και είναι κάπως πιο κοντά στη χρυσή τομή από τις αναλογίες του γυναικείου σώματος, σε σχέση με τις οποίες η μέση τιμή της αναλογίας εκφράζεται σε αναλογία 8:5 =1,6. Σε ένα νεογέννητο, η αναλογία είναι 1: 1, στην ηλικία των 13 ετών είναι 1,6 και στην ηλικία των 21 ετών είναι ίση με το αρσενικό. Οι αναλογίες της χρυσής τομής εκδηλώνονται επίσης σε σχέση με άλλα μέρη του σώματος - το μήκος του ώμου, του αντιβραχίου και του χεριού, του χεριού και των δακτύλων κ.λπ.

Ο Ζάιζινγκ δοκίμασε την εγκυρότητα της θεωρίας του στα ελληνικά αγάλματα. Ανέπτυξε τις αναλογίες του Απόλλωνα Μπελβεντέρε με τις περισσότερες λεπτομέρειες. Σε έρευνα υποβλήθηκαν ελληνικά αγγεία, αρχιτεκτονικές κατασκευές διαφόρων εποχών, φυτά, ζώα, αυγά πτηνών, μουσικοί τόνοι, ποιητικοί μετρητές. Ο Zeising όρισε τη χρυσή τομή, έδειξε πώς εκφράζεται σε ευθύγραμμα τμήματα και σε αριθμούς. Όταν λήφθηκαν οι αριθμοί που εκφράζουν τα μήκη των τμημάτων, ο Zeising είδε ότι αποτελούσαν μια σειρά Fibonacci, η οποία μπορούσε να συνεχιστεί επ 'αόριστον προς τη μία κατεύθυνση και την άλλη. Το επόμενο βιβλίο του είχε τον τίτλο «Η χρυσή διαίρεση ως ο βασικός μορφολογικός νόμος στη φύση και την τέχνη». Το 1876, ένα μικρό βιβλίο, σχεδόν ένα φυλλάδιο, εκδόθηκε στη Ρωσία, που περιγράφει το έργο του Zeising. Ο συγγραφέας κατέφυγε με τα αρχικά Yu.F.V. Δεν αναφέρεται ούτε ένας πίνακας σε αυτή την έκδοση.

Στα τέλη του 19ου - αρχές του 20ου αιώνα. εμφανίστηκαν πολλές καθαρά φορμαλιστικές θεωρίες σχετικά με τη χρήση της χρυσής τομής σε έργα τέχνης και αρχιτεκτονικής. Με την ανάπτυξη του σχεδιασμού και της τεχνικής αισθητικής, ο νόμος της χρυσής τομής επεκτάθηκε και στη σχεδίαση αυτοκινήτων, επίπλων κ.λπ.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Η χρυσή τομή δεν μπορεί να θεωρηθεί από μόνη της, χωριστά, χωρίς σύνδεση με τη συμμετρία. Ο μεγάλος Ρώσος κρυσταλλογράφος G.V. Ο Wulff (1863-1925) θεωρούσε τη χρυσή τομή ως μια από τις εκδηλώσεις συμμετρίας.

Η χρυσή διαίρεση δεν είναι εκδήλωση ασυμμετρίας, κάτι αντίθετο από τη συμμετρία. Σύμφωνα με τις σύγχρονες αντιλήψεις, η χρυσή διαίρεση είναι μια ασύμμετρη συμμετρία. Η επιστήμη της συμμετρίας περιλαμβάνει έννοιες όπως η στατική και η δυναμική συμμετρία. Η στατική συμμετρία χαρακτηρίζει την ανάπαυση, την ισορροπία και η δυναμική συμμετρία χαρακτηρίζει την κίνηση, την ανάπτυξη. Έτσι, στη φύση, η στατική συμμετρία αντιπροσωπεύεται από τη δομή των κρυστάλλων και στην τέχνη χαρακτηρίζει την ειρήνη, την ισορροπία και την ακινησία. Η δυναμική συμμετρία εκφράζει δραστηριότητα, χαρακτηρίζει την κίνηση, την ανάπτυξη, τον ρυθμό, είναι απόδειξη ζωής. Η στατική συμμετρία χαρακτηρίζεται από ίσα τμήματα, ίσα μεγέθη. Η δυναμική συμμετρία χαρακτηρίζεται από αύξηση των τμημάτων ή μείωσή τους και εκφράζεται στις τιμές της χρυσής τομής μιας αυξανόμενης ή φθίνουσας σειράς.

ΣΕΙΡΑ FIBONACCCI

Το όνομα του Ιταλού μαθηματικού μοναχού Λεονάρντο από την Πίζα, πιο γνωστού ως Φιμπονάτσι, συνδέεται έμμεσα με την ιστορία της χρυσής τομής. Ταξίδεψε πολύ στην Ανατολή, μύησε στην Ευρώπη τους αραβικούς αριθμούς. Το 1202 εκδόθηκε το μαθηματικό του έργο «The Book of the Abacus» (πίνακας μέτρησης), στο οποίο συγκεντρώθηκαν όλα τα γνωστά τότε προβλήματα.

Μια σειρά αριθμών 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, κ.λπ. γνωστή ως σειρά Fibonacci. Η ιδιαιτερότητα της ακολουθίας των αριθμών είναι ότι κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων 2+3=5. 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 κ.λπ., και η αναλογία των διπλανών αριθμών της σειράς πλησιάζει την αναλογία της χρυσής διαίρεσης. Άρα, 21:34=0,617 και 34:55=0,618. Αυτή η αναλογία συμβολίζεται με το σύμβολο Ф. Μόνο αυτή η αναλογία - 0,618: 0,382 - δίνει μια συνεχή διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος στη χρυσή αναλογία, την αύξηση ή τη μείωσή του στο άπειρο, όταν το μικρότερο τμήμα σχετίζεται με το μεγαλύτερο. μεγαλύτερο είναι σε όλα.

Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το μήκος κάθε άρθρωσης του δακτύλου σχετίζεται με το μήκος της επόμενης άρθρωσης σε αναλογία F. Η ίδια σχέση παρατηρείται σε όλα τα δάχτυλα των χεριών και των ποδιών. Αυτή η σύνδεση είναι κατά κάποιο τρόπο ασυνήθιστη, επειδή το ένα δάχτυλο είναι μακρύτερο από το άλλο χωρίς ορατό σχέδιο, αλλά αυτό δεν είναι τυχαίο, όπως δεν είναι τυχαία τα πάντα στο ανθρώπινο σώμα. Οι αποστάσεις στα δάχτυλα, σημειωμένες από το Α έως το Β έως το Γ έως το Δ έως το Ε, σχετίζονται μεταξύ τους στην αναλογία F, όπως και οι φάλαγγες των δακτύλων από F έως G έως H.

Ρίξτε μια ματιά σε αυτόν τον σκελετό βατράχου και δείτε πώς κάθε οστό συμμορφώνεται με το μοτίβο της αναλογίας F, όπως ακριβώς συμβαίνει στο ανθρώπινο σώμα.

ΓΕΝΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΗ

Οι επιστήμονες συνέχισαν να αναπτύσσουν ενεργά τη θεωρία των αριθμών Fibonacci και τη χρυσή τομή. Ο Yu. Matiyasevich λύνει το 10ο πρόβλημα του Hilbert χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci. Υπάρχουν μέθοδοι για την επίλυση ενός αριθμού κυβερνητικών προβλημάτων (θεωρία αναζήτησης, παιχνίδια, προγραμματισμός) χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή. Στις ΗΠΑ δημιουργείται ακόμη και η Mathematical Fibonacci Association, η οποία από το 1963 εκδίδει ειδικό περιοδικό.

Ένα από τα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα είναι η ανακάλυψη γενικευμένων αριθμών Fibonacci και γενικευμένων χρυσών αναλογιών.

Η σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) και η «δυαδική» σειρά βαρών 1, 2, 4, 8 που ανακάλυψε είναι εντελώς διαφορετικές με την πρώτη ματιά. Αλλά οι αλγόριθμοι για την κατασκευή τους είναι πολύ παρόμοιοι μεταξύ τους: στην πρώτη περίπτωση, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα του προηγούμενου αριθμού με τον εαυτό του 2=1+1. 4=2+2..., στο δεύτερο - αυτό είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Είναι δυνατόν να βρεθεί μια γενική μαθηματική τύπος από ποια σειρά "δυαδική" και η σειρά Fibonacci; Ή μήπως αυτός ο τύπος θα μας δώσει νέα αριθμητικά σύνολα με μερικές νέες μοναδικές ιδιότητες;

Πράγματι, ας ορίσουμε μια αριθμητική παράμετρο S, η οποία μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές: 0, 1, 2, 3, 4, 5... και να διαχωρίζεται από την προηγούμενη με βήματα S. Αν συμβολίσουμε το ν ο μέλος αυτής της σειράς με; S (n), τότε παίρνουμε τον γενικό τύπο; S(n)=; S(n-1)+; S(n-S-1).

Προφανώς, με S=0 από αυτόν τον τύπο θα πάρουμε μια «δυαδική» σειρά, με S=1 - μια σειρά Fibonacci, με S=2, 3, 4. νέες σειρές αριθμών, που ονομάζονται αριθμοί S-Fibonacci.

Γενικά, η χρυσή αναλογία S είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης της χρυσής διατομής x S+1 -x S -1=0.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι όταν S=0, προκύπτει η διαίρεση του τμήματος στο μισό, και όταν S=1, προκύπτει η γνωστή κλασική χρυσή τομή.

Οι αναλογίες των γειτονικών αριθμών S Fibonacci με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια συμπίπτουν στο όριο με τις χρυσές αναλογίες S! Οι μαθηματικοί σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι οι χρυσές τομές S είναι αριθμητικές αναλλοίωτες των αριθμών S Fibonacci.

Τα στοιχεία που επιβεβαιώνουν την ύπαρξη χρυσών τομών S στη φύση δίνονται από τον Λευκορώσο επιστήμονα E.M. Soroko στο βιβλίο "Structural Harmony of Systems" (Μινσκ, "Science and Technology", 1984). Αποδεικνύεται, για παράδειγμα, ότι τα καλά μελετημένα δυαδικά κράματα έχουν ειδικές, έντονες λειτουργικές ιδιότητες (θερμικά σταθερά, σκληρά, ανθεκτικά στη φθορά, ανθεκτικά στην οξείδωση κ.λπ.) μόνο εάν τα ειδικά βάρη των αρχικών συστατικών σχετίζονται μεταξύ τους κατά ένα από χρυσές αναλογίες S. Αυτό επέτρεψε στον συγγραφέα να διατυπώσει μια υπόθεση ότι οι χρυσές τομές S είναι αριθμητικές αμετάβλητες συστημάτων αυτοοργάνωσης. Αφού επιβεβαιωθεί πειραματικά, αυτή η υπόθεση μπορεί να έχει θεμελιώδη σημασία για την ανάπτυξη των συνεργειών, ενός νέου πεδίου της επιστήμης που μελετά τις διαδικασίες σε συστήματα αυτοοργάνωσης.

Χρησιμοποιώντας χρυσούς κωδικούς αναλογίας S, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα βαθμών χρυσών αναλογιών S με ακέραιους συντελεστές.

Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ αυτής της μεθόδου κωδικοποίησης αριθμών είναι ότι οι βάσεις των νέων κωδικών, που είναι χρυσές αναλογίες S, αποδεικνύονται παράλογοι αριθμοί για S>0. Έτσι, τα νέα συστήματα αριθμών με παράλογες βάσεις, όπως λέγαμε, έθεσαν «ανάποδα» την ιστορικά καθιερωμένη ιεραρχία των σχέσεων μεταξύ ορθολογικών και παράλογων αριθμών. Γεγονός είναι ότι στην αρχή «ανακαλύφθηκαν» οι φυσικοί αριθμοί. τότε οι λόγοι τους είναι ρητοί αριθμοί. Και μόνο αργότερα, αφού οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ασύγκριτα τμήματα, εμφανίστηκαν παράλογοι αριθμοί. Για παράδειγμα, σε δεκαδικά, πεπτικά, δυαδικά και άλλα κλασικά συστήματα αριθμών θέσης, οι φυσικοί αριθμοί επιλέχθηκαν ως ένα είδος θεμελιώδη αρχή: 10, 5, 2, από τους οποίους, σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, όλοι οι άλλοι φυσικοί, καθώς και ορθολογικοί και κατασκευάστηκαν παράλογοι αριθμοί.

Ένα είδος εναλλακτικής λύσης στις υπάρχουσες μεθόδους αρίθμησης είναι ένα νέο, παράλογο, σύστημα, ως θεμελιώδης αρχή της αρχής του υπολογισμού του οποίου επιλέγεται ένας παράλογος αριθμός (που, υπενθυμίζουμε, είναι η ρίζα της εξίσωσης της χρυσής τομής) ; άλλοι πραγματικοί αριθμοί εκφράζονται ήδη μέσω αυτού.

Σε ένα τέτοιο σύστημα αριθμών, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός είναι πάντα αναπαραστάσιμος ως πεπερασμένος αριθμός - και όχι άπειρος, όπως πιστεύαμε προηγουμένως! είναι το άθροισμα των δυνάμεων οποιασδήποτε από τις χρυσές αναλογίες S. Αυτός είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους η «παράλογη» αριθμητική, έχοντας εκπληκτική μαθηματική απλότητα και κομψότητα, φαίνεται να έχει απορροφήσει τις καλύτερες ιδιότητες της κλασικής δυαδικής και της αριθμητικής «Fibonacci».

ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΗ

Ό,τι πήρε κάποια μορφή, διαμορφώθηκε, μεγάλωσε, προσπάθησε να πάρει θέση στο χώρο και να διατηρηθεί. Αυτή η φιλοδοξία βρίσκει υλοποίηση κυρίως σε δύο παραλλαγές: ανοδική ανάπτυξη ή εξάπλωση στην επιφάνεια της γης και στρίψιμο σε μια σπείρα.

Το κέλυφος είναι στριμμένο σε μια σπείρα. Αν το ξεδιπλώσετε, θα έχετε ένα μήκος ελαφρώς κατώτερο από το μήκος του φιδιού. Ένα μικρό κέλυφος δέκα εκατοστών έχει μια σπείρα μήκους 35 εκ. Οι σπείρες είναι πολύ συνηθισμένες στη φύση. Η έννοια της χρυσής τομής θα είναι ελλιπής, αν όχι για τη σπείρα.

Το σχήμα του σπειροειδώς κατσαρωμένου κελύφους τράβηξε την προσοχή του Αρχιμήδη. Το μελέτησε και συνήγαγε την εξίσωση της σπείρας. Η σπείρα που σχεδιάζεται σύμφωνα με αυτή την εξίσωση ονομάζεται με το όνομά του. Η αύξηση στο βήμα της είναι πάντα ομοιόμορφη. Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική.

Ακόμη και ο Γκαίτε τόνιζε την τάση της φύσης προς τη σπείρα. Η σπειροειδής και σπειροειδής διάταξη των φύλλων στα κλαδιά των δέντρων είχε παρατηρηθεί πολύ καιρό πριν.

Η σπείρα φάνηκε στη διάταξη ηλιόσπορων, σε κουκουνάρια, ανανάδες, κάκτους κ.λπ. Η κοινή εργασία βοτανολόγων και μαθηματικών έχει ρίξει φως σε αυτά τα εκπληκτικά φυσικά φαινόμενα. Αποδείχθηκε ότι στη διάταξη των φύλλων σε ένα κλαδί (phylotaxis), ηλιόσπορους, κουκουνάρια, εκδηλώνεται η σειρά Fibonacci και επομένως ο νόμος της χρυσής τομής εκδηλώνεται. Η αράχνη περιστρέφει τον ιστό της σε ένα σπειροειδές σχέδιο. Ένας τυφώνας στριφογυρίζει. Ένα φοβισμένο κοπάδι ταράνδων σκορπίζεται σε μια σπείρα. Το μόριο DNA συστρέφεται σε διπλή έλικα. Ο Γκαίτε ονόμασε τη σπείρα «η καμπύλη της ζωής».

Σειρά Mandelbrot

Η χρυσή σπείρα σχετίζεται στενά με τους κύκλους. Η σύγχρονη επιστήμη του χάους μελετά απλές πράξεις κυκλικής ανάδρασης και τις μορφές φράκταλ που δημιουργούνται από αυτές, οι οποίες ήταν προηγουμένως άγνωστες. Το σχήμα δείχνει τη γνωστή σειρά Mandelbrot - μια σελίδα από το λεξικό ηάκρα μεμονωμένων μοτίβων, που ονομάζονται σειρά Julian. Μερικοί επιστήμονες συσχετίζουν τη σειρά Mandelbrot με τον γενετικό κώδικα των κυτταρικών πυρήνων. Μια σταθερή αύξηση των τμημάτων αποκαλύπτει εκπληκτικά φράκταλ στην καλλιτεχνική τους πολυπλοκότητα. Και εδώ, επίσης, υπάρχουν λογαριθμικές σπείρες! Αυτό είναι ακόμη πιο σημαντικό γιατί τόσο η σειρά Mandelbrot όσο και η σειρά Julian δεν είναι εφευρέσεις του ανθρώπινου μυαλού. Προκύπτουν από τη σφαίρα των πρωτοτύπων του Πλάτωνα. Όπως είπε ο γιατρός R. Penrose, "είναι σαν το Έβερεστ"

Ανάμεσα στα χόρτα της άκρης του δρόμου, φυτρώνει ένα απαράμιλλο φυτό - κιχώριο. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Από το κύριο στέλεχος σχηματίστηκε ένα κλαδί. Εδώ είναι το πρώτο φύλλο.

Το εξάρτημα κάνει μια ισχυρή εκτόξευση στο διάστημα, σταματά, απελευθερώνει ένα φύλλο, αλλά ήδη πιο κοντό από το πρώτο, εκτοξεύει ξανά στο διάστημα, αλλά μικρότερης δύναμης, απελευθερώνει ένα φύλλο ακόμη μικρότερου μεγέθους και εκτοξεύεται ξανά.

Εάν η πρώτη ακραία τιμή ληφθεί ως 100 μονάδες, τότε η δεύτερη είναι 62 μονάδες, η τρίτη είναι 38, η τέταρτη είναι 24, και ούτω καθεξής. Το μήκος των πετάλων υπόκειται επίσης στη χρυσή αναλογία. Στην ανάπτυξη, την κατάκτηση του χώρου, το φυτό διατήρησε ορισμένες αναλογίες. Οι ωθήσεις ανάπτυξής του μειώθηκαν σταδιακά ανάλογα με τη χρυσή τομή.

Ραδίκι

Σε πολλές πεταλούδες, η αναλογία του μεγέθους των θωρακικών και κοιλιακών τμημάτων του σώματος αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Έχοντας διπλώσει τα φτερά της, η νυχτερινή πεταλούδα σχηματίζει ένα κανονικό ισόπλευρο τρίγωνο. Αλλά αξίζει να απλώσετε τα φτερά και θα δείτε την ίδια αρχή της διαίρεσης του σώματος σε 2, 3, 5, 8. Η λιβελλούλη δημιουργείται επίσης σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής αναλογίας: την αναλογία των μηκών της ουράς και το σώμα είναι ίσο με την αναλογία του συνολικού μήκους προς το μήκος της ουράς.

Στη σαύρα, με την πρώτη ματιά, αποτυπώνονται αναλογίες που είναι ευχάριστες στα μάτια μας - το μήκος της ουράς της σχετίζεται με το μήκος του υπόλοιπου σώματος από 62 έως 38.

ζωοτόκος σαύρα

Τόσο στον φυτικό όσο και στον ζωικό κόσμο, η διαμορφωτική τάση της φύσης διασπά επίμονα - συμμετρία ως προς την κατεύθυνση ανάπτυξης και κίνησης. Εδώ η χρυσή τομή εμφανίζεται στις αναλογίες των μερών που είναι κάθετες προς την κατεύθυνση της ανάπτυξης.

Η φύση έχει πραγματοποιήσει τη διαίρεση σε συμμετρικά μέρη και χρυσές αναλογίες. Σε μέρη εκδηλώνεται επανάληψη της δομής του συνόλου.

Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη των μορφών των αυγών πτηνών. Οι διάφορες μορφές τους κυμαίνονται μεταξύ δύο ακραίων τύπων: ο ένας μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο της χρυσής τομής, το άλλο σε ένα ορθογώνιο με ενότητα 1.272 (η ρίζα της χρυσής αναλογίας)

Τέτοιες μορφές αυγών πτηνών δεν είναι τυχαίες, αφού έχει πλέον αποδειχθεί ότι το σχήμα των αυγών που περιγράφεται από την αναλογία της χρυσής τομής αντιστοιχεί σε χαρακτηριστικά υψηλότερης αντοχής του κελύφους του αυγού.

Οι χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ, τα νύχια των λιονταριών και τα ράμφη των παπαγάλων είναι λογαριθμικές μορφές και μοιάζουν με το σχήμα ενός άξονα που τείνει να μετατραπεί σε σπείρα.

Στην άγρια ​​ζωή, οι μορφές που βασίζονται στην «πενταγωνική» συμμετρία (αστερίες, αχινοί, λουλούδια) είναι ευρέως διαδεδομένες.

Η χρυσή τομή υπάρχει στη δομή όλων των κρυστάλλων, αλλά οι περισσότεροι κρύσταλλοι είναι μικροσκοπικά μικροί, έτσι ώστε δεν μπορούμε να τους δούμε με γυμνό μάτι. Ωστόσο, οι νιφάδες χιονιού, που είναι επίσης κρύσταλλοι νερού, είναι αρκετά προσιτές στα μάτια μας. Όλες οι φιγούρες εξαιρετικής ομορφιάς που σχηματίζουν νιφάδες χιονιού, όλοι οι άξονες, οι κύκλοι και οι γεωμετρικές φιγούρες σε νιφάδες χιονιού είναι επίσης πάντα, χωρίς εξαίρεση, κατασκευασμένες σύμφωνα με την τέλεια σαφή φόρμουλα της χρυσής τομής.

Στον μικρόκοσμο, τρισδιάστατες λογαριθμικές μορφές χτισμένες σύμφωνα με χρυσές αναλογίες είναι πανταχού παρούσες. Για παράδειγμα, πολλοί ιοί έχουν τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα εικοσάεδρου. Ίσως ο πιο διάσημος από αυτούς τους ιούς είναι ο ιός Adeno. Το πρωτεϊνικό κέλυφος του ιού Adeno σχηματίζεται από 252 μονάδες πρωτεϊνικών κυττάρων διατεταγμένων σε μια συγκεκριμένη αλληλουχία. Σε κάθε γωνία του εικοσάεδρου υπάρχουν 12 πρωτεϊνικές κυτταρικές μονάδες σε σχήμα πενταγωνικού πρίσματος και δομές που μοιάζουν με ακίδα εκτείνονται από αυτές τις γωνίες.

Αδενοϊός

Η χρυσή τομή στη δομή των ιών ανακαλύφθηκε για πρώτη φορά τη δεκαετία του 1950. επιστήμονες από το Birkbeck College του Λονδίνου A. Klug και D. Kaspar. Η πρώτη λογαριθμική μορφή αποκαλύφθηκε από μόνη της από τον ιό Polyo. Η μορφή αυτού του ιού αποδείχθηκε ότι ήταν παρόμοια με αυτή του ιού Rhino.

Τίθεται το ερώτημα: πώς οι ιοί σχηματίζουν τόσο περίπλοκες τρισδιάστατες μορφές, η συσκευή των οποίων περιέχει τη χρυσή τομή, η οποία είναι αρκετά δύσκολο να κατασκευαστεί ακόμη και με το ανθρώπινο μυαλό μας; Ο ανακαλύπτων αυτών των μορφών ιών, ο ιολόγος A. Klug, κάνει το εξής σχόλιο: «Ο Δρ Κάσπαρ και εγώ έχουμε δείξει ότι για το σφαιρικό κέλυφος του ιού, το βέλτιστο σχήμα είναι η συμμετρία όπως το σχήμα του εικοσάεδρου. Μια τέτοια σειρά ελαχιστοποιεί τον αριθμό των συνδετικών στοιχείων... Οι περισσότεροι από τους γεωδαιτικούς ημισφαιρικούς κύβους του Buckminster Fuller κατασκευάζονται σύμφωνα με μια παρόμοια γεωμετρική αρχή. Η εγκατάσταση τέτοιων κύβων απαιτεί ένα εξαιρετικά ακριβές και λεπτομερές σχήμα επεξήγησης, ενώ οι ίδιοι οι ασυνείδητοι ιοί κατασκευάζουν ένα τόσο περίπλοκο κέλυφος ελαστικών, εύκαμπτων πρωτεϊνικών κυτταρικών μονάδων.

Το σχόλιο του Klug θυμίζει για άλλη μια φορά μια εξαιρετικά προφανή αλήθεια: στη δομή ακόμη και ενός μικροσκοπικού οργανισμού, τον οποίο οι επιστήμονες κατατάσσουν ως «την πιο πρωτόγονη μορφή ζωής», σε αυτήν την περίπτωση, έναν ιό, υπάρχει ένα σαφές σχέδιο και ένα λογικό έργο εφαρμόστηκε. Αυτό το έργο είναι ασύγκριτο στην τελειότητα και την ακρίβεια της εκτέλεσής του με τα πιο προηγμένα αρχιτεκτονικά έργα που δημιουργούνται από ανθρώπους. Για παράδειγμα, έργα που δημιουργήθηκαν από τον λαμπρό αρχιτέκτονα Buckminster Fuller.

Τρισδιάστατα μοντέλα του δωδεκάεδρου και του εικοσάεδρου υπάρχουν επίσης στη δομή των σκελετών των μονοκύτταρων θαλάσσιων μικροοργανισμών radiolarians (ακτίνων), ο σκελετός των οποίων είναι κατασκευασμένος από πυρίτιο.

Οι ακτινοβολητές σχηματίζουν το σώμα τους με μια πολύ εξαίσια, ασυνήθιστη ομορφιά. Το σχήμα τους είναι ένα κανονικό δωδεκάεδρο και από κάθε γωνία του φυτρώνουν ένα ψευδο-επιμήκυνση-άκρο και άλλες ασυνήθιστες μορφές-αναπτύξεις.

Ο μεγάλος Γκαίτε, ποιητής, φυσιοδίφης και καλλιτέχνης (ζωγράφιζε και ζωγράφιζε με ακουαρέλα), ονειρευόταν να δημιουργήσει ένα ενιαίο δόγμα για τη μορφή, το σχηματισμό και τη μεταμόρφωση των οργανικών σωμάτων. Ήταν αυτός που εισήγαγε τον όρο μορφολογία στην επιστημονική χρήση.

Ο Πιερ Κιουρί στις αρχές του αιώνα μας διατύπωσε μια σειρά από βαθιές ιδέες συμμετρίας. Υποστήριξε ότι δεν μπορεί κανείς να εξετάσει τη συμμετρία οποιουδήποτε σώματος χωρίς να λάβει υπόψη τη συμμετρία του περιβάλλοντος.

Τα πρότυπα της «χρυσής» συμμετρίας εκδηλώνονται στις ενεργειακές μεταπτώσεις στοιχειωδών σωματιδίων, στη δομή κάποιων χημικών ενώσεων, σε πλανητικά και διαστημικά συστήματα, στις γονιδιακές δομές των ζωντανών οργανισμών. Αυτά τα μοτίβα, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκονται στη δομή των μεμονωμένων ανθρώπινων οργάνων και του σώματος στο σύνολό του, και εκδηλώνονται επίσης στους βιορυθμούς και τη λειτουργία του εγκεφάλου και την οπτική αντίληψη.

ΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Όλα τα ανθρώπινα οστά είναι σε αναλογία με τη χρυσή τομή. Οι αναλογίες των διαφόρων σημείων του σώματός μας συνθέτουν έναν αριθμό πολύ κοντά στη χρυσή τομή. Εάν αυτές οι αναλογίες συμπίπτουν με τον τύπο της χρυσής αναλογίας, τότε η εμφάνιση ή το σώμα ενός ατόμου θεωρείται ότι είναι ιδανικά χτισμένο.

Χρυσές αναλογίες σε σημεία του ανθρώπινου σώματος

Αν πάρουμε το σημείο του ομφαλού ως κέντρο του ανθρώπινου σώματος και την απόσταση μεταξύ του ανθρώπινου ποδιού και του ομφαλού ως μονάδα μέτρησης, τότε το ύψος ενός ατόμου ισοδυναμεί με τον αριθμό 1.618.

• η απόσταση από το επίπεδο του ώμου μέχρι το στέμμα του κεφαλιού και το μέγεθος του κεφαλιού είναι 1:1,618.
• η απόσταση από το σημείο του ομφαλού μέχρι το στέμμα του κεφαλιού και από το επίπεδο του ώμου μέχρι το στέμμα του κεφαλιού είναι 1:1.618.
• Η απόσταση του σημείου του ομφαλού από τα γόνατα και από τα γόνατα έως τα πόδια είναι 1:1.618.
• η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού μέχρι την άκρη του άνω χείλους και από την άκρη του άνω χείλους μέχρι τα ρουθούνια είναι 1:1,618.
• Στην πραγματικότητα, η ακριβής παρουσία της χρυσής αναλογίας στο πρόσωπο ενός ατόμου είναι το ιδανικό της ομορφιάς για το ανθρώπινο βλέμμα.
• η απόσταση από την άκρη του πηγουνιού μέχρι την επάνω γραμμή των φρυδιών και από την επάνω γραμμή των φρυδιών μέχρι το στέμμα είναι 1:1,618.
• ύψος προσώπου/πλάτος προσώπου.
• το κεντρικό σημείο σύνδεσης των χειλιών με τη βάση της μύτης / το μήκος της μύτης.
• ύψος προσώπου/απόσταση από την άκρη του πηγουνιού έως το κεντρικό σημείο της ένωσης των χειλιών.
• πλάτος στόματος/πλάτος μύτης.
• πλάτος της μύτης/απόσταση μεταξύ των ρουθουνιών.
• απόσταση μεταξύ των κόρης / απόσταση μεταξύ των φρυδιών.

Αρκεί απλώς να φέρετε την παλάμη σας πιο κοντά σας τώρα και να κοιτάξετε προσεκτικά τον δείκτη σας και θα βρείτε αμέσως τη φόρμουλα της χρυσής τομής σε αυτήν.

Κάθε δάχτυλο του χεριού μας αποτελείται από τρεις φάλαγγες. Το άθροισμα των μηκών των δύο πρώτων φαλαγγών του δακτύλου σε σχέση με όλο το μήκος του δακτύλου δίνει τη χρυσή τομή (με εξαίρεση τον αντίχειρα).

Επιπλέον, η αναλογία μεταξύ του μεσαίου και του μικρού δακτύλου είναι επίσης ίση με τη χρυσή τομή.

Ένα άτομο έχει 2 χέρια, τα δάχτυλα σε κάθε χέρι αποτελούνται από 3 φάλαγγες (με εξαίρεση τον αντίχειρα). Κάθε χέρι έχει 5 δάχτυλα, δηλαδή 10 συνολικά, αλλά με εξαίρεση δύο δύο φαλαγγικούς αντίχειρες, μόνο 8 δάχτυλα δημιουργούνται σύμφωνα με την αρχή της χρυσής αναλογίας. Ενώ όλοι αυτοί οι αριθμοί 2, 3, 5 και 8 είναι οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci.

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι στους περισσότερους ανθρώπους η απόσταση μεταξύ των άκρων των απλωμένων βραχιόνων είναι ίση με το ύψος.

Οι αλήθειες της χρυσής τομής βρίσκονται μέσα μας και στον χώρο μας. Η ιδιαιτερότητα των βρόγχων που αποτελούν τους πνεύμονες ενός ατόμου έγκειται στην ασυμμετρία τους. Οι βρόγχοι αποτελούνται από δύο κύριους αεραγωγούς, ο ένας (αριστερά) είναι μακρύτερος και ο άλλος (δεξιά) είναι πιο κοντός. Διαπιστώθηκε ότι αυτή η ασυμμετρία συνεχίζεται στους κλάδους των βρόγχων, σε όλους τους μικρότερους αεραγωγούς. Επιπλέον, η αναλογία του μήκους των βραχέων και μακριών βρόγχων είναι επίσης η χρυσή αναλογία και είναι ίση με 1:1,618.

Στο ανθρώπινο εσωτερικό αυτί υπάρχει ένα όργανο Κοχλίας («Σαλιγκάρι»), το οποίο εκτελεί τη λειτουργία της μετάδοσης ηχητικών κραδασμών. Αυτή η οστεώδης δομή είναι γεμάτη με υγρό και δημιουργείται επίσης με τη μορφή σαλιγκαριού, που περιέχει ένα σταθερό λογαριθμικό σπειροειδές σχήμα =73 0 43".

Η αρτηριακή πίεση αλλάζει καθώς η καρδιά χτυπά. Φτάνει στη μέγιστη τιμή του στην αριστερή κοιλία της καρδιάς τη στιγμή της συστολής του (συστολή). Στις αρτηρίες κατά τη συστολή των κοιλιών της καρδιάς, η αρτηριακή πίεση φτάνει σε μέγιστη τιμή ίση με 115-125 mm Hg σε ένα νέο, υγιές άτομο. Τη στιγμή της χαλάρωσης του καρδιακού μυός (διαστολή), η πίεση μειώνεται στα 70-80 mm Hg. Ο λόγος της μέγιστης (συστολικής) προς την ελάχιστη (διαστολική) πίεση είναι κατά μέσο όρο 1,6, δηλαδή κοντά στη χρυσή τομή.

Αν πάρουμε ως μονάδα τη μέση αρτηριακή πίεση στην αορτή, τότε η συστολική αρτηριακή πίεση στην αορτή είναι 0,382 και η διαστολική 0,618, δηλαδή η αναλογία τους αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Αυτό σημαίνει ότι το έργο της καρδιάς σε σχέση με τους χρονικούς κύκλους και τις αλλαγές στην αρτηριακή πίεση βελτιστοποιείται σύμφωνα με την ίδια αρχή του νόμου της χρυσής αναλογίας.

Το μόριο DNA αποτελείται από δύο κάθετα συνυφασμένες έλικες. Κάθε μία από αυτές τις σπείρες έχει μήκος 34 angstroms και πλάτος 21 angstroms. (1 angstrom είναι εκατο εκατομμυριοστό του εκατοστού).

Η δομή του τμήματος της έλικας του μορίου του DNA

Άρα το 21 και το 34 είναι αριθμοί που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο στην ακολουθία των αριθμών Fibonacci, δηλαδή ο λόγος του μήκους και του πλάτους της λογαριθμικής έλικας του μορίου DNA φέρει τον τύπο της χρυσής τομής 1: 1,618.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΓΛΥΠΤΙΚΗ

Γλυπτές κατασκευές, μνημεία ανεγέρθηκαν για να διαιωνίσουν σημαντικά γεγονότα, να διατηρήσουν στη μνήμη των απογόνων τα ονόματα διάσημων προσώπων, τα κατορθώματα και τις πράξεις τους. Είναι γνωστό ότι ακόμη και στην αρχαιότητα η βάση της γλυπτικής ήταν η θεωρία των αναλογιών. Η σχέση των μερών του ανθρώπινου σώματος συνδέθηκε με τη φόρμουλα της χρυσής τομής. Οι αναλογίες της «χρυσής τομής» δημιουργούν την εντύπωση αρμονίας, ομορφιάς, έτσι οι γλύπτες τις χρησιμοποιούσαν στα έργα τους. Οι γλύπτες υποστηρίζουν ότι η μέση χωρίζει το τέλειο ανθρώπινο σώμα σε σχέση με τη «χρυσή τομή». Έτσι, για παράδειγμα, το περίφημο άγαλμα του Απόλλωνα Μπελβεντέρε αποτελείται από μέρη που χωρίζονται σε χρυσές αναλογίες. Ο μεγάλος αρχαίος Έλληνας γλύπτης Φειδίας χρησιμοποιούσε συχνά τη «χρυσή τομή» στα έργα του. Τα πιο γνωστά από αυτά ήταν το άγαλμα του Ολυμπίου Διός (που θεωρούνταν ένα από τα θαύματα του κόσμου) και η Αθηνά Παρθενώνα.

Η χρυσή αναλογία του αγάλματος του Απόλλωνα Μπελβεντέρε είναι γνωστή: το ύψος του εικονιζόμενου διαιρείται με την ομφαλική γραμμή στη χρυσή τομή.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

Στα βιβλία για τη «χρυσή τομή» μπορεί κανείς να βρει την παρατήρηση ότι στην αρχιτεκτονική, όπως και στη ζωγραφική, όλα εξαρτώνται από τη θέση του παρατηρητή και αν κάποιες αναλογίες σε ένα κτίριο από τη μια φαίνεται να σχηματίζουν τη «χρυσή τομή», τότε από άλλες απόψεις θα φαίνονται διαφορετικά. Η "χρυσή τομή" δίνει την πιο χαλαρή αναλογία των μεγεθών ορισμένων μηκών.

Ένα από τα ωραιότερα έργα της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής είναι ο Παρθενώνας (V αι. π.Χ.).

Τα σχήματα δείχνουν έναν αριθμό μοτίβων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Οι αναλογίες του κτιρίου μπορούν να εκφραστούν μέσω διαφόρων βαθμών του αριθμού Ф = 0,618 ...

Ο Παρθενώνας έχει 8 κίονες στις κοντές πλευρές και 17 στις μακριές. Οι προεξοχές είναι κατασκευασμένες εξ ολοκλήρου από τετράγωνα μάρμαρο Πεντηλείας. Η αρχοντιά του υλικού από το οποίο χτίστηκε ο ναός κατέστησε δυνατό τον περιορισμό της χρήσης χρωματισμού, συνηθισμένο στην ελληνική αρχιτεκτονική, τονίζει μόνο τις λεπτομέρειες και σχηματίζει ένα έγχρωμο φόντο (μπλε και κόκκινο) για το γλυπτό. Ο λόγος του ύψους του κτιρίου προς το μήκος του είναι 0,618. Αν χωρίσουμε τον Παρθενώνα σύμφωνα με τη «χρυσή τομή», θα έχουμε ορισμένες προεξοχές της πρόσοψης.

Στην κάτοψη του Παρθενώνα διακρίνονται και τα «χρυσά ορθογώνια».

Μπορούμε να δούμε τη χρυσή τομή στο κτίριο της Παναγίας των Παρισίων (Notre Dame de Paris) και στην πυραμίδα του Χέοπα.

Όχι μόνο οι αιγυπτιακές πυραμίδες χτίστηκαν σύμφωνα με τις τέλειες αναλογίες της χρυσής τομής. το ίδιο φαινόμενο εντοπίζεται στις μεξικανικές πυραμίδες.

Για πολύ καιρό πίστευαν ότι οι αρχιτέκτονες της Αρχαίας Ρωσίας έχτισαν τα πάντα "με το μάτι", χωρίς ειδικούς μαθηματικούς υπολογισμούς. Ωστόσο, η τελευταία έρευνα έδειξε ότι οι Ρώσοι αρχιτέκτονες γνώριζαν καλά τις μαθηματικές αναλογίες, όπως αποδεικνύεται από την ανάλυση της γεωμετρίας των αρχαίων ναών.

Ο διάσημος Ρώσος αρχιτέκτονας Μ. Καζάκοφ χρησιμοποίησε ευρέως τη «χρυσή τομή» στο έργο του. Το ταλέντο του ήταν πολύπλευρο, αλλά σε μεγαλύτερο βαθμό αποκαλύφθηκε σε πολυάριθμα ολοκληρωμένα έργα κατοικιών και κτημάτων. Για παράδειγμα, η «χρυσή τομή» βρίσκεται στην αρχιτεκτονική του κτιρίου της Γερουσίας στο Κρεμλίνο. Σύμφωνα με το έργο του M. Kazakov, το Νοσοκομείο Golitsyn χτίστηκε στη Μόσχα, το οποίο σήμερα ονομάζεται Πρώτο Κλινικό Νοσοκομείο που φέρει το όνομα του N.I. Πιρόγκοφ.

Παλάτι Petrovsky στη Μόσχα. Κατασκευασμένο σύμφωνα με το έργο του M.F. Καζάκοβα

Ένα άλλο αρχιτεκτονικό αριστούργημα της Μόσχας - το σπίτι του Πάσκοφ - είναι ένα από τα τελειότερα έργα αρχιτεκτονικής του V. Bazhenov.

Σπίτι Pashkov

Η υπέροχη δημιουργία του V. Bazhenov μπήκε σταθερά στο σύνολο του κέντρου της σύγχρονης Μόσχας, το εμπλούτισε. Η εξωτερική όψη του σπιτιού έχει παραμείνει σχεδόν αμετάβλητη μέχρι σήμερα, παρά το γεγονός ότι κάηκε σοβαρά το 1812. Κατά την αναστήλωση, το κτίριο απέκτησε πιο ογκώδεις μορφές. Δεν έχει διατηρηθεί ούτε η εσωτερική διαρρύθμιση του κτιρίου, που μόνο το σχέδιο του κάτω ορόφου δίνει μια ιδέα.

Πολλές δηλώσεις του αρχιτέκτονα αξίζουν προσοχής στις μέρες μας. Για την αγαπημένη του τέχνη, ο V. Bazhenov είπε: «Η αρχιτεκτονική έχει τρία κύρια θέματα: ομορφιά, ηρεμία και δύναμη του κτιρίου... Για να επιτευχθεί αυτό, η γνώση της αναλογίας, της προοπτικής, της μηχανικής ή της φυσικής γενικά χρησιμεύει ως οδηγός, και όλοι τους έχουν έναν κοινό ηγέτη είναι λόγος».

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Οποιοδήποτε μουσικό κομμάτι έχει ένα χρονικό διάστημα και χωρίζεται σε κάποια «αισθητικά ορόσημα» σε ξεχωριστά μέρη που τραβούν την προσοχή και διευκολύνουν την αντίληψη ως σύνολο. Αυτά τα ορόσημα μπορεί να είναι δυναμικά και αντονικά σημεία κορύφωσης ενός μουσικού έργου. Τα ξεχωριστά χρονικά διαστήματα ενός μουσικού κομματιού, τα οποία συνδέονται με ένα «κλιμακτικό γεγονός», κατά κανόνα, είναι στην αναλογία της Χρυσής Αναλογίας.

Πίσω στο 1925, ο κριτικός τέχνης L.L. Ο Sabaneev, έχοντας αναλύσει 1770 μουσικά κομμάτια από 42 συγγραφείς, έδειξε ότι η συντριπτική πλειονότητα των εξαιρετικών έργων μπορούν εύκολα να χωριστούν σε μέρη είτε με θέμα, είτε με τονισμό, είτε με τροπικό σύστημα, που σχετίζονται με τη χρυσή τομή. Επιπλέον, όσο πιο ταλαντούχος ήταν ο συνθέτης, τόσο περισσότερες χρυσές τομές βρέθηκαν στα έργα του. Σύμφωνα με τον Sabaneev, η χρυσή τομή οδηγεί στην εντύπωση μιας ιδιαίτερης αρμονίας μιας μουσικής σύνθεσης. Αυτό το αποτέλεσμα επαληθεύτηκε από τον Sabaneev και στα 27 etudes του Chopin. Βρήκε σε αυτά 178 χρυσές τομές. Ταυτόχρονα, αποδείχτηκε ότι όχι μόνο μεγάλα τμήματα των ετιντ χωρίζονται κατά διάρκεια σε σχέση με τη χρυσή τομή, αλλά μέρη των ετιύδων στο εσωτερικό χωρίζονται συχνά στην ίδια αναλογία.

Ο συνθέτης και επιστήμονας M.A. Ο Marutaev μέτρησε τον αριθμό των μέτρων στη διάσημη σονάτα Appassionata και βρήκε μια σειρά από ενδιαφέρουσες αριθμητικές σχέσεις. Συγκεκριμένα, στην ανάπτυξη, η κεντρική δομική ενότητα της σονάτας, όπου τα θέματα αναπτύσσονται εντατικά και τα πλήκτρα αντικαθιστούν το ένα το άλλο, υπάρχουν δύο κύριες ενότητες. Στον πρώτο - 43,25 κύκλους, στον δεύτερο - 26,75. Η αναλογία 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 δίνει τη χρυσή τομή.

Οι Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) έχουν τον μεγαλύτερο αριθμό έργων στα οποία υπάρχει Χρυσή Τομή.

Αν η μουσική είναι η αρμονική διάταξη των ήχων, τότε η ποίηση είναι η αρμονική διάταξη του λόγου. Ένας καθαρός ρυθμός, μια τακτική εναλλαγή τονισμένων και άτονων συλλαβών, μια διατεταγμένη διάσταση ποιημάτων, ο συναισθηματικός τους πλούτος κάνουν την ποίηση αδελφή των μουσικών έργων. Η χρυσή τομή στην ποίηση εκδηλώνεται κυρίως ως η παρουσία μιας συγκεκριμένης στιγμής του ποιήματος (κορύφωμα, σημασιολογική καμπή, κύρια ιδέα του έργου) στη γραμμή που αποδίδεται στο σημείο διαίρεσης του συνολικού αριθμού των γραμμών του ποιήματος στη χρυσή τομή. Έτσι, εάν το ποίημα περιέχει 100 γραμμές, τότε το πρώτο σημείο της Χρυσής Αναλογίας πέφτει στην 62η γραμμή (62%), το δεύτερο - στην 38η (38%) κ.λπ. Τα έργα του Alexander Sergeevich Pushkin, συμπεριλαμβανομένου του "Eugene Onegin", είναι η καλύτερη αντιστοιχία στη χρυσή τομή! Τα έργα των Shota Rustaveli και M.Yu. Το Lermontov είναι επίσης χτισμένο στην αρχή της Χρυσής Τομής.

Ο Stradivari έγραψε ότι χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή για να καθορίσει τις θέσεις για εγκοπές σε σχήμα f στα σώματα των διάσημων βιολιών του.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΗΣΗ

Οι μελέτες ποιητικών έργων από αυτές τις θέσεις μόλις ξεκινούν. Και πρέπει να ξεκινήσετε με την ποίηση του Α.Σ. Πούσκιν. Εξάλλου, τα έργα του είναι ένα παράδειγμα από τις πιο εξαιρετικές δημιουργίες του ρωσικού πολιτισμού, ένα παράδειγμα του υψηλότερου επιπέδου αρμονίας. Από την ποίηση του Α.Σ. Πούσκιν, θα ξεκινήσουμε την αναζήτηση της χρυσής αναλογίας - το μέτρο της αρμονίας και της ομορφιάς.

Μεγάλο μέρος στη δομή των ποιητικών έργων κάνει αυτή τη μορφή τέχνης να σχετίζεται με τη μουσική. Ένας καθαρός ρυθμός, μια τακτική εναλλαγή τονισμένων και άτονων συλλαβών, μια διατεταγμένη διάσταση ποιημάτων, ο συναισθηματικός τους πλούτος κάνουν την ποίηση αδελφή των μουσικών έργων. Κάθε στίχος έχει τη δική του μουσική μορφή, το δικό του ρυθμό και μελωδία. Αναμένεται ότι στη δομή των ποιημάτων θα εμφανιστούν ορισμένα χαρακτηριστικά μουσικών έργων, μοτίβα μουσικής αρμονίας και, κατά συνέπεια, η χρυσή τομή.

Ας ξεκινήσουμε με το μέγεθος του ποιήματος, δηλαδή τον αριθμό των γραμμών σε αυτό. Φαίνεται ότι αυτή η παράμετρος του ποιήματος μπορεί να αλλάξει αυθαίρετα. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι δεν ήταν έτσι. Για παράδειγμα, η ανάλυση ποιημάτων του Α.Σ. Ο Πούσκιν έδειξε ότι τα μεγέθη των στίχων κατανέμονται πολύ άνισα. αποδείχθηκε ότι ο Πούσκιν προτιμά σαφώς τα μεγέθη των 5, 8, 13, 21 και 34 γραμμών (αριθμοί Fibonacci).

Πολλοί ερευνητές έχουν παρατηρήσει ότι τα ποιήματα είναι σαν κομμάτια μουσικής. έχουν και κορυφαία σημεία που χωρίζουν το ποίημα αναλογικά με τη χρυσή τομή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα ποίημα του A.S. Πούσκιν "Υποδηματοποιός":

Ας αναλύσουμε αυτήν την παραβολή. Το ποίημα αποτελείται από 13 στίχους. Υπογραμμίζει δύο σημασιολογικά μέρη: το πρώτο σε 8 γραμμές και το δεύτερο (η ηθική της παραβολής) σε 5 γραμμές (13, 8, 5 είναι οι αριθμοί Fibonacci).

Ένα από τα τελευταία ποιήματα του Πούσκιν, "Δεν εκτιμώ τα δικαιώματα υψηλού προφίλ ..." αποτελείται από 21 γραμμές και σε αυτό διακρίνονται δύο σημασιολογικά μέρη: σε 13 και 8 γραμμές:

Δεν εκτιμώ τα δικαιώματα υψηλού προφίλ, Από την οποία δεν ζαλίζεται κανείς. Δεν γκρινιάζω για το γεγονός ότι οι θεοί αρνήθηκαν Είμαι στη γλυκιά παρτίδα των προκλητικών φόρων Ή να εμποδίσει τους βασιλιάδες να πολεμήσουν μεταξύ τους. Και λίγη θλίψη για μένα, είναι ο Τύπος ελεύθερος Κοροϊδεύεις μπαμπούκους ή ευαίσθητη λογοκρισία Στα σχέδια περιοδικών, ο τζόκερ είναι ντροπιαστικός. Όλα αυτά, βλέπετε, λόγια, λόγια, λόγια. Άλλα, καλύτερα, δικαιώματα μου είναι αγαπητά: Ένα άλλο, καλύτερο, χρειάζομαι ελευθερία: Βασιστείτε στον βασιλιά, βασιστείτε στον λαό - Δεν μας νοιάζει όλους; Ο Θεός είναι μαζί τους. Μην δίνετε αναφορά, μόνο στον εαυτό σας Σερβίρετε και παρακαλώ. για δύναμη, για ζωντάνια Μην λυγίζετε ούτε τη συνείδηση, ούτε τις σκέψεις, ούτε το λαιμό. Στην όρεξη σου να περιπλανιέσαι εδώ κι εκεί, Θαυμάζοντας τη θεϊκή ομορφιά της φύσης, Και πριν από τα πλάσματα της τέχνης και της έμπνευσης Τρέμοντας χαρούμενα σε απολαύσεις τρυφερότητας, Εδώ είναι η ευτυχία! Σωστά...

Είναι χαρακτηριστικό ότι το πρώτο μέρος αυτού του στίχου (13 σειρές) χωρίζεται σε 8 και 5 σειρές ως προς το σημασιολογικό περιεχόμενο, δηλαδή ολόκληρο το ποίημα είναι χτισμένο σύμφωνα με τους νόμους της χρυσής τομής.

Αδιαμφισβήτητο ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανάλυση του μυθιστορήματος «Ευγένιος Ονέγκιν» που έκανε ο N. Vasyutinskiy. Αυτό το μυθιστόρημα αποτελείται από 8 κεφάλαια, το καθένα με μέσο όρο περίπου 50 στίχους. Το πιο τέλειο, το πιο εκλεπτυσμένο και συναισθηματικά πλούσιο είναι το όγδοο κεφάλαιο. Έχει 51 στίχους. Μαζί με την επιστολή του Yevgeny στην Τατιάνα (60 γραμμές), αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στον αριθμό Fibonacci 55!

Ο N. Vasyutinsky δηλώνει: "Το αποκορύφωμα του κεφαλαίου είναι η δήλωση αγάπης του Evgeny για την Τατιάνα - η γραμμή "Χλωμό και ξεθωριάζει ... αυτό είναι ευδαιμονία!" Αυτή η γραμμή χωρίζει ολόκληρο το όγδοο κεφάλαιο σε δύο μέρη: το πρώτο έχει 477 γραμμές και το δεύτερο έχει 295 γραμμές. Η αναλογία τους είναι 1,617! Η πιο λεπτή αντιστοιχία με την αξία της χρυσής τομής! Αυτό είναι ένα μεγάλο θαύμα αρμονίας, που πέτυχε η ιδιοφυΐα του Πούσκιν!

Ο E. Rosenov ανέλυσε πολλά ποιητικά έργα του M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Τολστόι και ανακάλυψε επίσης τη «χρυσή τομή» σε αυτά.

Το διάσημο ποίημα του Lermontov "Borodino" χωρίζεται σε δύο μέρη: μια εισαγωγή που απευθύνεται στον αφηγητή, που καταλαμβάνει μόνο μία στροφή ("Πες μου, θείε, δεν είναι χωρίς λόγο ...") και το κύριο μέρος, που αντιπροσωπεύει ένα ανεξάρτητο σύνολο, που χωρίζεται σε δύο ισοδύναμα μέρη. Το πρώτο από αυτά περιγράφει, με αυξανόμενη ένταση, την προσδοκία μιας μάχης, το δεύτερο περιγράφει την ίδια τη μάχη με σταδιακή μείωση της έντασης προς το τέλος του ποιήματος. Το όριο μεταξύ αυτών των τμημάτων είναι η κορύφωση του έργου και πέφτει ακριβώς στο σημείο που το χωρίζει με τη χρυσή τομή.

Το κύριο μέρος του ποιήματος αποτελείται από 13 επτά γραμμές, δηλαδή 91 γραμμές. Διαιρώντας το με τη χρυσή τομή (91:1.618=56.238), βεβαιωνόμαστε ότι το σημείο διαίρεσης βρίσκεται στην αρχή του 57ου στίχου, όπου υπάρχει μια σύντομη φράση: «Λοιπόν, ήταν μια μέρα!» Είναι αυτή η φράση που αντιπροσωπεύει το «κορυφαίο σημείο της ενθουσιασμένης προσδοκίας», που ολοκληρώνει το πρώτο μέρος του ποιήματος (προσδοκία της μάχης) και ανοίγει το δεύτερο μέρος του (περιγραφή της μάχης).

Έτσι, η χρυσή τομή παίζει πολύ ουσιαστικό ρόλο στην ποίηση, αναδεικνύοντας την κορύφωση του ποιήματος.

Πολλοί ερευνητές του ποιήματος του Shota Rustaveli «Ο ιππότης στο δέρμα του πάνθηρα» σημειώνουν την εξαιρετική αρμονία και μελωδία του στίχου του. Αυτές οι ιδιότητες του ποιήματος Γεωργιανός επιστήμονας, ακαδημαϊκός G.V. Η Τσερετέλη το αποδίδει στη συνειδητή χρήση της χρυσής τομής από την ποιήτρια τόσο στη διαμόρφωση της μορφής του ποιήματος όσο και στην κατασκευή των ποιημάτων της.

Το ποίημα του Ρουσταβέλι αποτελείται από 1587 στροφές, καθεμία από τις οποίες αποτελείται από τέσσερις γραμμές. Κάθε γραμμή αποτελείται από 16 συλλαβές και χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη των 8 συλλαβών σε κάθε μισή γραμμή. Όλα τα ημίστιχα χωρίζονται σε δύο τμήματα δύο τύπων: Α - ένα ημίστιχο με ίσα τμήματα και ζυγό αριθμό συλλαβών (4 + 4). Το Β είναι ημιευθεία με ασύμμετρη διαίρεση σε δύο άνισα μέρη (5+3 ή 3+5). Έτσι, στη μισή γραμμή Β, οι αναλογίες είναι 3:5:8, που είναι μια προσέγγιση της χρυσής αναλογίας.

Έχει διαπιστωθεί ότι από τις 1587 στροφές στο ποίημα του Ρουσταβέλη, περισσότερες από τις μισές (863) είναι κατασκευασμένες σύμφωνα με την αρχή της χρυσής τομής.

Στην εποχή μας έχει γεννηθεί ένα νέο είδος τέχνης - ο κινηματογράφος, που έχει απορροφήσει τη δραματουργία της δράσης, της ζωγραφικής, της μουσικής. Είναι θεμιτό να αναζητούμε εκδηλώσεις της χρυσής τομής σε εξαιρετικά έργα κινηματογράφου. Ο πρώτος που το έκανε αυτό ήταν ο δημιουργός του αριστουργήματος του παγκόσμιου κινηματογράφου "Θωρηκτό Ποτέμκιν", σκηνοθέτης Σεργκέι Αϊζενστάιν. Κατά την κατασκευή αυτής της εικόνας, κατάφερε να ενσωματώσει τη βασική αρχή της αρμονίας - τη χρυσή τομή. Όπως σημειώνει ο ίδιος ο Αϊζενστάιν, η κόκκινη σημαία στον ιστό του επαναστατημένου θωρηκτού (το απόγειο της ταινίας) κυματίζει στο σημείο της χρυσής αναλογίας, μετρημένη από το τέλος της ταινίας.

ΧΡΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΓΡΑΜΤΟΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΟΙΚΙΑΚΟΥ

Ένα ιδιαίτερο είδος καλών τεχνών της αρχαίας Ελλάδας πρέπει να αναδειχθεί η κατασκευή και η ζωγραφική κάθε είδους αγγείων. Σε κομψή μορφή, οι αναλογίες της χρυσής τομής μαντεύονται εύκολα.

Στη ζωγραφική και στη γλυπτική ναών, σε είδη οικιακής χρήσης, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι απεικόνιζαν συχνότερα θεούς και Φαραώ. Καθιερώθηκαν οι κανόνες της εικόνας ενός όρθιου προσώπου, που περπατά, κάθεται κ.λπ. Οι καλλιτέχνες έπρεπε να απομνημονεύουν μεμονωμένες φόρμες και σχήματα εικόνων από πίνακες και δείγματα. Οι αρχαίοι Έλληνες καλλιτέχνες έκαναν ειδικά ταξίδια στην Αίγυπτο για να μάθουν πώς να χρησιμοποιούν τον κανόνα.

ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

Είναι γνωστό ότι το μέγιστο ένταση ήχου, που προκαλεί πόνο, ισούται με 130 ντεσιμπέλ. Αν διαιρέσουμε αυτό το διάστημα με τη χρυσή αναλογία 1,618, παίρνουμε 80 ντεσιμπέλ, που είναι τυπικά για την ένταση μιας ανθρώπινης κραυγής. Αν τώρα διαιρέσουμε τα 80 ντεσιμπέλ με τη χρυσή τομή, θα έχουμε 50 ντεσιμπέλ, που αντιστοιχεί στην ένταση της ανθρώπινης ομιλίας. Τέλος, αν διαιρέσουμε 50 ντεσιμπέλ με το τετράγωνο της χρυσής αναλογίας 2,618, θα έχουμε 20 ντεσιμπέλ, που αντιστοιχεί σε έναν ανθρώπινο ψίθυρο. Έτσι, όλες οι χαρακτηριστικές παράμετροι της έντασης του ήχου αλληλοσυνδέονται μέσω της χρυσής αναλογίας.

Σε θερμοκρασία 18-20 0 C μεσοδιάστημα υγρασίαΤο 40-60% θεωρείται βέλτιστο. Τα όρια του εύρους βέλτιστης υγρασίας μπορούν να ληφθούν εάν η απόλυτη υγρασία 100% διαιρεθεί δύο φορές με τη χρυσή αναλογία: 100 / 2,618 = 38,2% (κατώτερο όριο). 100/1.618=61,8% (ανώτατο όριο).

Στο πίεση αέρα 0,5 MPa, ένα άτομο αισθάνεται δυσφορία, η σωματική και ψυχολογική του δραστηριότητα επιδεινώνεται. Σε πίεση 0,3-0,35 MPa, επιτρέπεται μόνο βραχυπρόθεσμη λειτουργία και σε πίεση 0,2 MPa, επιτρέπεται να λειτουργεί για όχι περισσότερο από 8 λεπτά. Όλες αυτές οι χαρακτηριστικές παράμετροι συνδέονται μεταξύ τους με τη χρυσή αναλογία: 0,5/1,618=0,31 MPa. 0,5/2,618=0,19 MPa.

Παράμετροι ορίων εξωτερική θερμοκρασία, εντός του οποίου είναι δυνατή η κανονική ύπαρξη (και, κυρίως, η καταγωγή) ενός ατόμου, είναι το εύρος θερμοκρασίας από 0 έως + (57-58) 0 C. Προφανώς, το πρώτο όριο των εξηγήσεων μπορεί να παραλειφθεί.

Διαιρούμε το υποδεικνυόμενο εύρος θετικών θερμοκρασιών με τη χρυσή αναλογία. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε δύο όρια (και τα δύο όρια είναι θερμοκρασίες χαρακτηριστικές του ανθρώπινου σώματος): το πρώτο αντιστοιχεί στη θερμοκρασία, το δεύτερο όριο αντιστοιχεί στη μέγιστη δυνατή θερμοκρασία εξωτερικού αέρα για το ανθρώπινο σώμα.

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

Ακόμη και στην Αναγέννηση, οι καλλιτέχνες ανακάλυψαν ότι κάθε εικόνα έχει ορισμένα σημεία που προσελκύουν ακούσια την προσοχή μας, τα λεγόμενα οπτικά κέντρα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν έχει σημασία τι μορφή έχει η εικόνα οριζόντια ή κάθετη. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια σημεία και βρίσκονται σε απόσταση 3/8 και 5/8 από τα αντίστοιχα άκρα του επιπέδου.

Αυτή η ανακάλυψη μεταξύ των καλλιτεχνών εκείνης της εποχής ονομάστηκε "χρυσή τομή" της εικόνας.

Περνώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορεί κανείς παρά να σταματήσει την προσοχή του στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Η ταυτότητά του είναι ένα από τα μυστήρια της ιστορίας. Ο ίδιος ο Λεονάρντο ντα Βίντσι είπε: «Κανείς που δεν είναι μαθηματικός να μην τολμήσει να διαβάσει τα έργα μου».

Απέκτησε φήμη ως ένας αξεπέραστος καλλιτέχνης, ένας σπουδαίος επιστήμονας, μια ιδιοφυΐα που περίμενε πολλές εφευρέσεις που δεν εφαρμόστηκαν μέχρι τον 20ο αιώνα.

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ήταν ένας σπουδαίος καλλιτέχνης, οι σύγχρονοί του το είχαν ήδη αναγνωρίσει, αλλά η προσωπικότητα και οι δραστηριότητές του θα παραμείνουν τυλιγμένες στο μυστήριο, αφού άφησε στους επόμενους όχι μια συνεκτική παρουσίαση των ιδεών του, αλλά μόνο πολλά χειρόγραφα σκίτσα, σημειώσεις που λένε «και τα δύο στον κόσμο».

Έγραφε από δεξιά προς τα αριστερά με δυσανάγνωστο χειρόγραφο και με το αριστερό του χέρι. Αυτό είναι το πιο διάσημο παράδειγμα γραφής καθρέφτη που υπάρχει.

Το πορτρέτο της Μόνα Λίζα (Τζοκόντα) έχει τραβήξει την προσοχή των ερευνητών εδώ και πολλά χρόνια, οι οποίοι διαπίστωσαν ότι η σύνθεση του σχεδίου βασίζεται σε χρυσά τρίγωνα που αποτελούν μέρη ενός κανονικού αστρικού πενταγώνου. Υπάρχουν πολλές εκδοχές για την ιστορία αυτού του πορτρέτου. Εδώ είναι ένα από αυτά.

Κάποτε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι έλαβε εντολή από τον τραπεζίτη Francesco del Giocondo να ζωγραφίσει ένα πορτρέτο μιας νεαρής γυναίκας, της συζύγου του τραπεζίτη, της Monna Lisa. Η γυναίκα δεν ήταν όμορφη, αλλά την έλκυε η απλότητα και η φυσικότητα της εμφάνισής της. Ο Λεονάρντο συμφώνησε να ζωγραφίσει ένα πορτρέτο. Το μοντέλο του ήταν λυπημένο και λυπημένο, αλλά ο Λεονάρντο της είπε ένα παραμύθι, αφού το άκουσε, έγινε ζωντανή και ενδιαφέρουσα.

ΙΣΤΟΡΙΑ. Μια φορά κι έναν καιρό ήταν ένας φτωχός, είχε τέσσερις γιους: τρεις έξυπνους, και ο ένας έτσι κι από κει. Και μετά ήρθε ο θάνατος για τον πατέρα. Πριν αποχωριστεί τη ζωή του, κάλεσε τα παιδιά του κοντά του και είπε: «Γιοι μου, σύντομα θα πεθάνω. Μόλις με θάψεις, κλείδωσε την καλύβα και πήγαινε στα πέρατα του κόσμου να κάνεις τη δική σου περιουσία. Είθε ο καθένας σας να μάθει κάτι για να τρέφεται». Ο πατέρας πέθανε και οι γιοι διασκορπίστηκαν σε όλο τον κόσμο, συμφωνώντας να επιστρέψουν στο ξέφωτο του πατρικού τους άλσους τρία χρόνια αργότερα. Ήρθε ο πρώτος αδερφός, που έμαθε ξυλουργική, έκοψε ένα δέντρο και το έκοψε, έκανε μια γυναίκα από αυτό, έφυγε λίγο και περιμένει. Ο δεύτερος αδερφός γύρισε, είδε μια ξύλινη γυναίκα και, αφού ήταν ράφτης, σε ένα λεπτό την έντυσε: ως επιδέξιος τεχνίτης, της έραψε όμορφα μεταξωτά ρούχα. Ο τρίτος γιος στόλισε τη γυναίκα με χρυσάφι και πολύτιμους λίθους – άλλωστε ήταν κοσμηματοπώλης. Τελικά έφτασε και ο τέταρτος αδερφός. Δεν ήξερε να ξυλουργεί και να ράβει, ήξερε μόνο να ακούει τι έλεγε η γη, τα δέντρα, τα βότανα, τα ζώα και τα πουλιά, ήξερε την πορεία των ουράνιων σωμάτων και ήξερε επίσης να τραγουδά υπέροχα τραγούδια. Τραγούδησε ένα τραγούδι που έκανε τα αδέρφια που κρύβονταν πίσω από τους θάμνους να κλαίνε. Με αυτό το τραγούδι, ξαναζωντάνεψε τη γυναίκα, χαμογέλασε και αναστέναξε. Τα αδέρφια όρμησαν κοντά της και ο καθένας φώναξε το ίδιο πράγμα: «Πρέπει να είσαι γυναίκα μου». Αλλά η γυναίκα απάντησε: «Με δημιούργησες - γίνε ο πατέρας μου. Με ντύσατε, και με στόλισατε - γίνετε αδέρφια μου. Κι εσύ που μου εμφύσησες την ψυχή μου και με έμαθες να απολαμβάνω τη ζωή, σε χρειάζομαι μόνος σου για μια ζωή.

Αφού τελείωσε το παραμύθι, ο Λεονάρντο κοίταξε τη Μόνα Λίζα, με το πρόσωπό της φωτισμένο από φως, τα μάτια της έλαμψαν. Μετά, σαν να ξύπνησε από ένα όνειρο, αναστέναξε, πέρασε το χέρι της στο πρόσωπό της και χωρίς λέξη πήγε στη θέση της, σταύρωσε τα χέρια της και πήρε τη συνηθισμένη της στάση. Αλλά η πράξη έγινε - ο καλλιτέχνης ξύπνησε το αδιάφορο άγαλμα. το χαμόγελο της ευδαιμονίας, που χάθηκε αργά από το πρόσωπό της, έμεινε στις γωνίες του στόματός της και έτρεμε, δίνοντας στο πρόσωπό της μια εκπληκτική, μυστηριώδη και ελαφρώς πονηρή έκφραση, όπως αυτή ενός ανθρώπου που έμαθε ένα μυστικό και, κρατώντας το προσεκτικά, δεν μπορεί συγκρατήσει τον θρίαμβό του. Ο Λεονάρντο δούλευε στη σιωπή, φοβούμενος να χάσει αυτή τη στιγμή, αυτή την αχτίδα του ήλιου που φώτιζε το βαρετό του μοντέλο...

Είναι δύσκολο να σημειωθεί τι παρατηρήθηκε σε αυτό το αριστούργημα τέχνης, αλλά όλοι μίλησαν για τη βαθιά γνώση του Λεονάρντο για τη δομή του ανθρώπινου σώματος, χάρη στην οποία κατάφερε να πιάσει αυτό το, σαν να λέγαμε, μυστηριώδες χαμόγελο. Μίλησαν για την εκφραστικότητα μεμονωμένων τμημάτων της εικόνας και για το τοπίο, έναν πρωτόγνωρο σύντροφο του πορτρέτου. Μίλησαν για τη φυσικότητα της έκφρασης, την απλότητα της πόζας, την ομορφιά των χεριών. Ο καλλιτέχνης έχει κάνει κάτι πρωτόγνωρο: η εικόνα απεικονίζει αέρα, τυλίγει τη φιγούρα με μια διαφανή ομίχλη. Παρά την επιτυχία, ο Λεονάρντο ήταν θλιβερός, η κατάσταση στη Φλωρεντία φαινόταν οδυνηρή στον καλλιτέχνη, ετοιμάστηκε να πάει. Οι υπενθυμίσεις για εντολές πλημμύρας δεν τον βοήθησαν.

Η χρυσή τομή στην εικόνα του Ι.Ι. Shishkin "Άλσος Πεύκων". Σε αυτόν τον διάσημο πίνακα του I.I. Shishkin, τα κίνητρα της χρυσής τομής είναι ξεκάθαρα ορατά. Το φωτεινό πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) διαιρεί το μήκος της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα δεξιά του πεύκου είναι ένας λόφος που φωτίζεται από τον ήλιο. Χωρίζει τη δεξιά πλευρά της εικόνας οριζόντια σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα αριστερά του κύριου πεύκου υπάρχουν πολλά πεύκα - αν θέλετε, μπορείτε να συνεχίσετε με επιτυχία τη διαίρεση της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή και περαιτέρω.

πευκοδάσος

Η παρουσία στην εικόνα φωτεινών κατακόρυφων και οριζόντιων, που τη χωρίζει σε σχέση με τη χρυσή τομή, της προσδίδει τον χαρακτήρα ισορροπίας και ηρεμίας σύμφωνα με την πρόθεση του καλλιτέχνη. Όταν η πρόθεση του καλλιτέχνη είναι διαφορετική, αν, ας πούμε, δημιουργήσει μια εικόνα με δράση ταχέως αναπτυσσόμενη, ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα σύνθεσης (με υπεροχή των κατακόρυφων και οριζόντιων) γίνεται απαράδεκτο.

ΣΕ ΚΑΙ. Σουρίκοφ. "Boyar Morozova"

Ο ρόλος της ανατίθεται στο μεσαίο τμήμα της εικόνας. Δεσμεύεται από το σημείο της υψηλότερης ανόδου και το σημείο της χαμηλότερης πτώσης της πλοκής της εικόνας: η άνοδος του χεριού της Μορόζοβα με το σημείο του σταυρού με δύο δάχτυλα, ως το υψηλότερο σημείο. άπλωσε αβοήθητα το χέρι στην ίδια αρχόντισσα, αλλά αυτή τη φορά το χέρι μιας ηλικιωμένης γυναίκας - μιας περιπλανώμενης ζητιάνας, ένα χέρι από κάτω από το οποίο, μαζί με την τελευταία ελπίδα της σωτηρίας, γλιστράει και η άκρη του ελκήθρου.

Και τι γίνεται με το «υψηλότερο σημείο»; Με την πρώτη ματιά, έχουμε μια φαινομενική αντίφαση: τελικά, το τμήμα A 1 B 1, το οποίο είναι 0,618 ... από τη δεξιά άκρη της εικόνας, δεν περνά από το χέρι, ούτε καν από το κεφάλι ή το μάτι του αρχόντισσα, αλλά αποδεικνύεται ότι είναι κάπου μπροστά στο στόμα της ευγενούς.

Η χρυσή τομή πραγματικά κόβει εδώ το πιο σημαντικό πράγμα. Σε αυτόν, και ακριβώς σε αυτόν, βρίσκεται η μεγαλύτερη δύναμη της Μορόζοβα.

Δεν υπάρχει πιο ποιητικός πίνακας από αυτόν του Σάντρο Μποτιτσέλι και ο μεγάλος Σάντρο δεν έχει πιο διάσημο πίνακα από την Αφροδίτη του. Για τον Μποτιτσέλι, η Αφροδίτη του είναι η ενσάρκωση της ιδέας της παγκόσμιας αρμονίας της «χρυσής τομής» που επικρατεί στη φύση. Η αναλογική ανάλυση της Αφροδίτης μας πείθει για αυτό.

Αφροδίτη

Ραφαήλ «Σχολείον Αθηνών». Ο Ραφαήλ δεν ήταν μαθηματικός, αλλά, όπως πολλοί καλλιτέχνες εκείνης της εποχής, είχε σημαντικές γνώσεις γεωμετρίας. Στη διάσημη τοιχογραφία «Η Σχολή των Αθηνών», όπου η κοινωνία των μεγάλων φιλοσόφων της αρχαιότητας στον ναό της επιστήμης, την προσοχή μας τραβάει η ομάδα του Ευκλείδη, του μεγαλύτερου αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, που αποσυναρμολογεί ένα περίπλοκο σχέδιο.

Ο έξυπνος συνδυασμός δύο τριγώνων είναι επίσης κατασκευασμένος σύμφωνα με τη χρυσή τομή: μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο με λόγο διαστάσεων 5/8. Αυτό το σχέδιο είναι εκπληκτικά εύκολο να εισαχθεί στο επάνω τμήμα της αρχιτεκτονικής. Η επάνω γωνία του τριγώνου στηρίζεται στον θεμέλιο λίθο της αψίδας στην περιοχή που βρίσκεται πιο κοντά στον θεατή, η κάτω - στο σημείο εξαφάνισης των προοπτικών και το πλευρικό τμήμα υποδεικνύει τις αναλογίες του χωρικού χάσματος μεταξύ των δύο τμημάτων των τόξων .

Η χρυσή σπείρα στον πίνακα του Ραφαήλ «Η σφαγή των αθώων». Σε αντίθεση με τη χρυσή τομή, η αίσθηση της δυναμικής, του ενθουσιασμού, είναι ίσως πιο έντονη σε ένα άλλο απλό γεωμετρικό σχήμα - τη σπείρα. Η πολυμορφική σύνθεση, που έγινε το 1509 - 1510 από τον Ραφαήλ, όταν ο διάσημος ζωγράφος δημιούργησε τις τοιχογραφίες του στο Βατικανό, μόλις διακρίνεται από τον δυναμισμό και τη δραματικότητα της πλοκής. Ο Ραφαήλ δεν ολοκλήρωσε ποτέ την ιδέα του, ωστόσο, το σκίτσο του χαράχθηκε από έναν άγνωστο Ιταλό γραφίστα Marcantinio Raimondi, ο οποίος, με βάση αυτό το σκίτσο, δημιούργησε το χαρακτικό της Σφαγής των Αθώων.

Σφαγή αθώων

Αν στο προπαρασκευαστικό σκίτσο του Ραφαήλ σχεδιάζουμε διανοητικά γραμμές που τρέχουν από το σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης - τα σημεία όπου τα δάχτυλα του πολεμιστή έκλεισαν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού, κατά μήκος των φιγούρων του παιδιού, η γυναίκα που το κρατά στον εαυτό της, ο πολεμιστής με το ξίφος ανασηκωμένο και, στη συνέχεια, κατά μήκος των φιγούρων της ίδιας ομάδας στη δεξιά πλευρά σκίτσο (στο σχήμα, αυτές οι γραμμές σχεδιάζονται με κόκκινο χρώμα) και στη συνέχεια συνδέστε αυτά τα κομμάτια της καμπύλης με μια διακεκομμένη γραμμή και μετά μια χρυσή η σπείρα λαμβάνεται με πολύ υψηλή ακρίβεια. Αυτό μπορεί να ελεγχθεί μετρώντας την αναλογία των μηκών των τμημάτων που κόβονται από τη σπείρα στις ευθείες γραμμές που διέρχονται από την αρχή της καμπύλης.

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΕΙΚΟΝΑΣ

Η ικανότητα του ανθρώπινου οπτικού αναλυτή να διακρίνει αντικείμενα που κατασκευάζονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο της χρυσής τομής ως όμορφα, ελκυστικά και αρμονικά είναι γνωστή εδώ και πολύ καιρό. Η χρυσή τομή δίνει την αίσθηση του πιο τέλειου ενοποιημένου συνόλου. Η μορφή πολλών βιβλίων ακολουθεί τη χρυσή τομή. Επιλέγεται για παράθυρα, πίνακες ζωγραφικής και φακέλους, γραμματόσημα, επαγγελματικές κάρτες. Ένα άτομο μπορεί να μην γνωρίζει τίποτα για τον αριθμό Ф, αλλά στη δομή των αντικειμένων, καθώς και στην ακολουθία των γεγονότων, βρίσκει υποσυνείδητα στοιχεία της χρυσής αναλογίας.

Έχουν διεξαχθεί μελέτες στις οποίες ζητήθηκε από τα υποκείμενα να επιλέξουν και να αντιγράψουν ορθογώνια διαφόρων αναλογιών. Υπήρχαν τρία ορθογώνια για να διαλέξετε: ένα τετράγωνο (40:40 mm), ένα ορθογώνιο "χρυσής τομής" με λόγο διαστάσεων 1:1,62 (31:50 mm) και ένα ορθογώνιο με επιμήκεις αναλογίες 1:2,31 (26: 60 mm).

Όταν επιλέγετε ορθογώνια σε κανονική κατάσταση, σε 1/2 περιπτώσεις προτιμάται ένα τετράγωνο. Το δεξί ημισφαίριο προτιμά τη χρυσή τομή και απορρίπτει το επίμηκες ορθογώνιο. Αντίθετα, το αριστερό ημισφαίριο έλκεται προς επιμήκεις αναλογίες και απορρίπτει τη χρυσή τομή.

Κατά την αντιγραφή αυτών των ορθογωνίων, παρατηρήθηκαν τα εξής: όταν το δεξί ημισφαίριο ήταν ενεργό, οι αναλογίες στα αντίγραφα διατηρούνταν με τη μεγαλύτερη ακρίβεια. όταν το αριστερό ημισφαίριο ήταν ενεργό, οι αναλογίες όλων των ορθογωνίων παραμορφώθηκαν, τα ορθογώνια τεντώθηκαν (το τετράγωνο σχεδιάστηκε ως ορθογώνιο με λόγο διαστάσεων 1:1,2· οι αναλογίες του τεντωμένου ορθογωνίου αυξήθηκαν απότομα και έφτασαν το 1:2,8 ). Οι αναλογίες του "χρυσού" ορθογωνίου παραμορφώθηκαν έντονα. οι αναλογίες του σε αντίγραφα έγιναν οι αναλογίες του ορθογωνίου 1:2,08.

Όταν σχεδιάζετε τα δικά σας σχέδια, επικρατούν αναλογίες κοντά στη χρυσή τομή και επιμήκεις. Κατά μέσο όρο, οι αναλογίες είναι 1:2, ενώ το δεξί ημισφαίριο προτιμά τις αναλογίες της χρυσής τομής, το αριστερό ημισφαίριο απομακρύνεται από τις αναλογίες της χρυσής τομής και τεντώνει το σχέδιο.

Τώρα σχεδιάστε μερικά ορθογώνια, μετρήστε τις πλευρές τους και βρείτε την αναλογία διαστάσεων. Ποιο ημισφαίριο έχεις;

Η ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ

Ένα παράδειγμα χρήσης της χρυσής τομής στη φωτογραφία είναι η θέση των βασικών εξαρτημάτων του κάδρου σε σημεία που βρίσκονται 3/8 και 5/8 από τις άκρες του κάδρου. Αυτό μπορεί να διευκρινιστεί από το ακόλουθο παράδειγμα: μια φωτογραφία μιας γάτας, η οποία βρίσκεται σε αυθαίρετη θέση στο πλαίσιο.

Τώρα ας χωρίσουμε υπό όρους το πλαίσιο σε τμήματα, σε αναλογία 1,62 του συνολικού μήκους από κάθε πλευρά του πλαισίου. Στη διασταύρωση των τμημάτων, θα υπάρχουν τα κύρια "οπτικά κέντρα" στα οποία αξίζει να τοποθετήσετε τα απαραίτητα βασικά στοιχεία της εικόνας. Ας μετακινήσουμε τη γάτα μας στα σημεία των «οπτικών κέντρων».

ΧΡΥΣΗ ΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ

Είναι γνωστό από την ιστορία της αστρονομίας ότι ο I. Titius, Γερμανός αστρονόμος του 18ου αιώνα, χρησιμοποιώντας αυτή τη σειρά, βρήκε κανονικότητα και τάξη στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών του ηλιακού συστήματος.

Ωστόσο, μια περίπτωση που φαινόταν να είναι αντίθετη με το νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ του Άρη και του Δία. Η εστιασμένη παρατήρηση αυτής της περιοχής του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών. Αυτό συνέβη μετά τον θάνατο του Τίτιου στις αρχές του 19ου αιώνα. Η σειρά Fibonacci χρησιμοποιείται ευρέως: με τη βοήθειά της, αντιπροσωπεύουν την αρχιτεκτονική των ζωντανών όντων και τις ανθρωπογενείς δομές και τη δομή των Γαλαξιών. Αυτά τα γεγονότα αποτελούν απόδειξη της ανεξαρτησίας της αριθμητικής σειράς από τις συνθήκες εκδήλωσής της, που είναι ένα από τα σημάδια της καθολικότητάς της.

Οι δύο Χρυσές Σπείρες του γαλαξία είναι συμβατές με το αστέρι του Δαβίδ.

Δώστε προσοχή στα αστέρια που αναδύονται από τον γαλαξία σε μια λευκή σπείρα. Ακριβώς 180 0 από μια από τις σπείρες, βγαίνει μια άλλη σπείρα που ξεδιπλώνεται... Για πολύ καιρό, οι αστρονόμοι απλώς πίστευαν ότι ό,τι υπάρχει εκεί είναι αυτό που βλέπουμε. αν κάτι είναι ορατό, τότε υπάρχει. Είτε δεν παρατήρησαν καθόλου το αόρατο μέρος της Πραγματικότητας, είτε δεν το θεώρησαν σημαντικό. Αλλά η αόρατη πλευρά της Πραγματικότητάς μας είναι στην πραγματικότητα πολύ μεγαλύτερη από την ορατή πλευρά και, πιθανώς, πιο σημαντική... Με άλλα λόγια, το ορατό μέρος της Πραγματικότητας είναι πολύ λιγότερο από το ένα τοις εκατό του συνόλου - σχεδόν τίποτα. Στην πραγματικότητα, το αληθινό μας σπίτι είναι το αόρατο σύμπαν...

Στο Σύμπαν, όλοι οι γαλαξίες που είναι γνωστοί στην ανθρωπότητα και όλα τα σώματα σε αυτούς υπάρχουν με τη μορφή μιας σπείρας, που αντιστοιχεί στον τύπο της χρυσής τομής. Στη σπείρα του γαλαξία μας βρίσκεται η χρυσή τομή

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Η φύση, κατανοητή ως ολόκληρος ο κόσμος στην ποικιλία των μορφών της, αποτελείται, όπως λέγαμε, από δύο μέρη: τη έμψυχη και την άψυχη φύση. Τα δημιουργήματα άψυχης φύσης χαρακτηρίζονται από υψηλή σταθερότητα, χαμηλή μεταβλητότητα, αν κρίνουμε από την κλίμακα της ανθρώπινης ζωής. Ένας άνθρωπος γεννιέται, ζει, γερνά, πεθαίνει, αλλά τα γρανιτένια βουνά παραμένουν ίδια και οι πλανήτες περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο με τον ίδιο τρόπο όπως στην εποχή του Πυθαγόρα.

Ο κόσμος της άγριας ζωής εμφανίζεται μπροστά μας εντελώς διαφορετικός - κινητός, ευμετάβλητος και εκπληκτικά ποικιλόμορφος. Η ζωή μας δείχνει ένα φανταστικό καρναβάλι διαφορετικότητας και πρωτοτυπίας δημιουργικών συνδυασμών! Ο κόσμος της άψυχης φύσης είναι πρώτα απ' όλα ένας κόσμος συμμετρίας, που δίνει σταθερότητα και ομορφιά στις δημιουργίες του. Ο κόσμος της φύσης είναι, πρώτα απ' όλα, ένας κόσμος αρμονίας, στον οποίο λειτουργεί ο «νόμος της χρυσής τομής».

Στον σύγχρονο κόσμο, η επιστήμη έχει ιδιαίτερη σημασία, λόγω της αυξημένης επίδρασης του ανθρώπου στη φύση. Σημαντικά καθήκοντα στην παρούσα φάση είναι η αναζήτηση νέων τρόπων συνύπαρξης ανθρώπου και φύσης, η μελέτη φιλοσοφικών, κοινωνικών, οικονομικών, εκπαιδευτικών και άλλων προβλημάτων που αντιμετωπίζει η κοινωνία.

Στην παρούσα εργασία εξετάστηκε η επίδραση των ιδιοτήτων της «χρυσής τομής» στη ζωντανή και μη φύση, στην ιστορική πορεία της εξέλιξης της ιστορίας της ανθρωπότητας και του πλανήτη συνολικά. Αναλύοντας όλα τα παραπάνω, μπορεί κανείς για άλλη μια φορά να θαυμάσει το μεγαλείο της διαδικασίας της γνώσης του κόσμου, την ανακάλυψη των συνεχώς νέων προτύπων του και να συμπεράνει: η αρχή της χρυσής τομής είναι η υψηλότερη εκδήλωση της δομικής και λειτουργικής τελειότητας του το σύνολο και τα μέρη του στην τέχνη, την επιστήμη, την τεχνολογία και τη φύση. Αναμένεται ότι οι νόμοι ανάπτυξης διαφόρων συστημάτων της φύσης, οι νόμοι της ανάπτυξης, δεν είναι πολύ διαφορετικοί και μπορούν να εντοπιστούν στους πιο διαφορετικούς σχηματισμούς. Αυτή είναι η εκδήλωση της ενότητας της φύσης. Η ιδέα μιας τέτοιας ενότητας, που βασίζεται στην εκδήλωση των ίδιων προτύπων σε ετερογενή φυσικά φαινόμενα, έχει διατηρήσει τη συνάφειά της από τον Πυθαγόρα μέχρι σήμερα.