Mis on z-signaali teisendus. Pöördteisendus z

Diskreetsete ja digitaalsete seadmete analüüsil ja sünteesil kasutatakse laialdaselt nn z-teisendusi, mis mängivad diskreetsete signaalide suhtes sama rolli, mis Fourier' ja Laplace'i integraalteisendusel pidevate signaalide puhul.

Z-teisnduse definitsioon

Olgu see lõplik või lõpmatu arvjada, mis sisaldab mõne signaali võrdlusväärtusi. Panime selle üks-ühele vastavusse kompleksmuutuja z negatiivsete astmetega jada summaga:

Nimetagem seda summat, kui see on olemas, jada z-teisenduseks. Sellise matemaatilise objekti kasutuselevõtu otstarbekus on seotud sellega, et diskreetsete arvujadade omadusi saab uurida nende z-teisendusi uurides tavapäraste matemaatilise analüüsi meetodite abil. Matemaatikas nimetatakse z-teisendust ka algse jada genereerivaks funktsiooniks.

Valemi (1.46) põhjal saab lõpliku arvu valimitega otse leida diskreetsete signaalide z-teisendused. Niisiis, kõige lihtsam ühe valimiga diskreetne signaal vastab . Kui näiteks siis

Seeria konvergents

Kui ridade arv (1,46) on lõpmatult suur, siis on vaja uurida selle konvergentsi. Kompleksmuutuja funktsioonide teooriast on teada järgmine. Olgu vaadeldavate jadate koefitsiendid tingimusel täidetud

iga . Siin ja on püsivad reaalarvud.

Seejärel koondub seeria (1.46) kõigi z väärtuste jaoks nii, et . Selles lähenemispiirkonnas on seeria summa muutuja z analüütiline funktsioon, millel pole pooluseid ega sisuliselt ainsuse punkte.

Vaatleme näiteks diskreetset signaali, mis on moodustatud samadest üksikutest näidistest ja mis toimib tavapärase lülitusfunktsiooni mudelina. Lõputu rida

on geomeetrilise progressiooni summa ja koondub rõngas mis tahes z korral. Edenemist kokku võttes saame:

Analüütilisuse valdkonna piiril z = 1 sellel funktsioonil on üks lihtne poolus. Samamoodi saadakse lõpmatu diskreetse signaali z-teisendus, kus a on mingi reaalarv. Siin:

See väljend on mõnes rõngakujulises piirkonnas mõttekas.

Pidevate funktsioonide Z-teisendus

Eeldades, et näidud on pideva funktsiooni väärtused punktides , saab mis tahes signaali seostada selle z-teisendusega valitud diskreetimisetapis:

Näiteks kui , siis vastav z-teisendus

on analüütiline funktsioon .

Pöördteisendus z

Olgu p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> rõngakujulises piirkonnas kompleksse muutuja z analytic funktsioon. Z-teisnduse tähelepanuväärne omadus on see, et funktsioon määrab kogu lõpmatu proovide kogu. Tõepoolest, me korrutame rea mõlemad osad (1,46) teguriga:

Seejärel arvutame saadud võrrandi mõlemast osast integraalid, võttes integratsioonikontuuriks suvalise suletud kõvera, mis asub täielikult analüütilisuse piirkonnas ja hõlmab kõiki poolusi:

Integreerimiskontuuri ümbersõit toimub positiivses suunas, vastupäeva.

Võrrandi (1.50) lahendamiseks kasutame Cauchy teoreemist tulenevat põhipositsiooni:

Ilmselgelt kaovad avaldise (1.50) paremal poolel olevate terminite integraalid, välja arvatud numbriga liige m, sellepärast

Valemit (1.51) nimetatakse pöördväärtuseks z-teisendus.

Näide

Antakse vormi z-teisendus. Leidke sellele funktsioonile vastava diskreetse signaali koefitsiendid.

Kõigepealt defineerime, et funktsioon on analüütiline kogu tasapinnal, välja arvatud punkt , seega võib see tõepoolest olla mõne diskreetse signaali z-teisendus.

Enne selle ülesande lahendamist meenutagem kõrgema matemaatika kursusest kõverjooneliste integraalide lahendamise tehnikat, kasutades jääkide teooriat ja Cauchy jääkide teoreemi. Olgu punkt funktsiooni isoleeritud ainsuse punkt. Funktsiooni jääk punktis on arv, mida tähistatakse sümboliga ja mis on määratletud võrdsusega:

Kontuuriks g saame võtta ringi, mille keskpunkt on piisavalt väikese raadiusega punkt, nii et ringjoon ei lähe kaugemale funktsiooni analüütilisuse piirkonnast

Ja see ei sisaldanud funktsioone muude eripunktide sees. Funktsiooni jääk on võrdne koefitsiendiga miinus esimene aste Laurent'i laienduses punkti läheduses : . Eemaldatavas ainsuse punktis olev jääk on võrdne nulliga.

Kui punkt on poolus n funktsiooni järjekord, siis

Lihtsa masti puhul ()

Kui punkti naabruses olevat funktsiooni saab esitada kahe analüütilise funktsiooni jagatisena

ja st. on siis funktsiooni lihtpoolus

Pöördudes valemi (1.48) poole, leiame, et

mis tahes idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> jaoks. Seega on algne diskreetne signaal järgmine:

Seos Laplace'i ja Fourier' teisendustega

Määratleme ideaalse MIP-kujulise signaali jaoks:

Teisendades selle Laplace'i järgi, saame kujutise mis tahes konstandi a ja b kohta. Seda omadust saab tõestada, asendades summa valemiga (1.46). on arvujada, mille ühine liige on võrdne:

Sellist diskreetset keerdumist, erinevalt ringkonvolutsioonist, nimetatakse mõnikord ka lineaarkonvolutsiooniks.

Arvutame diskreetse konvolutsiooni z-teise:

Kahe diskreetse signaali konvolutsioon vastab nende z-teisenduste korrutisele.

Diskreetsete ja digitaalsete seadmete analüüsis ja sünteesis kasutatakse laialdaselt nn z-teisendust, mis mängib diskreetsete signaalide suhtes sama rolli, mis Fourier ja Laplace'i integraal teisendab pidevate signaalide suhtes. See osa kirjeldab selle funktsionaalse teisenduse teooria aluseid ja mõningaid selle omadusi.

Definitsioon z -konversioonid. Olgu see lõplik või lõpmatu arvjada, mis sisaldab mõne signaali võrdlusväärtusi. Panime selle üks-ühele vastavusse kompleksmuutuja negatiivsete astmete jada summaga z:

Nimetagem seda summat, kui see on olemas, z-muutumine järjestused (X juurde }. Sellise matemaatilise objekti kasutuselevõtu otstarbekus on seotud sellega, et diskreetsete arvujadade omadusi saab uurida nende z-teisendusi uurides tavapäraste matemaatilise analüüsi meetodite abil.

Valemi (2.113) põhjal saab otse leida diskreetse z-teisendused piiratud arvu näidistega signaale. Niisiis, kõige lihtsam diskreetne signaal ühtsusega vastab täpsele näidule.

Kui näiteks

Seeriate lähenemine. Kui ridade arv (2,113) on lõpmatult suur, siis on vaja uurida selle konvergentsi. Kompleksmuutuja funktsioonide teooriast on teada järgmine. Olgu vaadeldavate jadate koefitsiendid tingimusel täidetud

iga . Siin M > 0 ja R 0 > 0 - konstantsed reaalarvud. Seejärel koondub jada (2.113) kõigi z väärtuste korral nii, et |z| > R 0 . Selles lähenemispiirkonnas on seeria summa muutuja z analüütiline funktsioon, millel pole pooluseid ega sisuliselt ainsuse punkte.

Vaatleme näiteks diskreetset signaali, mis on moodustatud samadest üksikutest näidistest ja mis toimib tavalise lülitusfunktsiooni mudelina. Lõpmatu jada on geomeetrilise progressiooni summa ja koondub ringi mis tahes z korral.

Edenemist kokku võttes saame

Kui z= 1 on analüütilisuse valdkonna piiril, on sellel funktsioonil üks lihtpoolus.

Samamoodi saadakse lõpmatu diskreetse signaali z-teisendus, kus a - mingi reaalne arv. Siin

See väljend on rõngakujulises piirkonnas mõttekas.

z -pidevate funktsioonide teisendamine. Eeldusel, et näidud on pideva funktsiooni väärtused x(t) punktides , mis tahes signaali x(t) saate selle valitud diskreetimissagedusega vastendada z-teisendusega:

Näiteks kui , siis vastav z-teisendus

.

on analüütiline funktsioon .

Tagurpidiz- teisendamine. Lase X(z) on kompleksmuutuja z funktsioon, mis on analüütiline rõngakujulises piirkonnas |z| > R 0 . Z-teisendi tähelepanuväärne omadus on see, et funktsioon X(z) määratleb kogu lõpmatu proovide kogu.

Tõepoolest, me korrutame rea mõlemad osad (2,113) teguriga:

. (2.115)

ja seejärel arvutame saadud võrdsuse mõlema osa integraalid, võttes integratsioonikontuuriks suvalise suletud kõvera, mis asub täielikult analüütilisuse valdkonnas ja ümbritseb funktsiooni kõiki poolusi X(z). Sel juhul kasutame Cauchy teoreemist tulenevat –põhipositsiooni:

.

Ilmselgelt kaovad parempoolsete terminite integraalid, välja arvatud numbriga liige t, sellepärast

Seda valemit nimetatakse tagurpidi z -muutumine .

Ühendus Laplace'i ja Fourier' teisendustega . Määratleme ideaalse MIP-kujulise signaali jaoks:

.

Selle Laplace'i järgi teisendades saame pildi

mis läheb otse z-teisendusse, kui teostame asendust . Kui paneme , siis väljend

Pöördume tagasi diskreetse Fourier' teisenduse valemi juurde:

Diskreetsete süsteemide teoorias on tavaks kasutada veidi teistsugust tähistusvormi, mis on seotud Z-teisendusega. Tehkem järgmine asendus:

.

Siis on ülaltoodud valem oluliselt lihtsustatud:

.

Muutuja z vastsaadud funktsiooni X(z) nimetatakse diskreetse signaali x(k) Z-kujutiseks või Z-kujutiseks.

Diskreetsete signaalide ja süsteemide Z-teisendused mängivad sama rolli kui Laplace'i teisendus analoogsüsteemide jaoks. Seetõttu vaatleme mitmeid näiteid Z määramise kohta - mõnede tüüpiliste diskreetsete signaalide kujutised.

1.Üksik impulss(Joonis 9.14) on δ - impulsi diskreetne analoog ja see on üks aruanne ühe väärtusega:

Z - leitakse ühe impulsi teisendus kui

δ - Diraci impulsi puhul.

2. Diskreetne üksikhüpe(joonis 9.15) on Heaviside kaasamise funktsiooni täielik analoog:

Z - ühikuhüppe kujutise võib leida kui

Saadud summa on lõpmatu geomeetrilise progressiooni liikmete summa, mille esialgne liige on võrdne 1-ga ja nimetaja
. Sarja tingimuste summa on:

.

3. Diskreetne eksponent(joonis 9.16) on signaal, mis on määratletud avaldisega:

Kell
diskreetne eksponent kahaneb (joonis 9.16), kui
- suureneb, kell
- vahelduv.Z - sellise eksponendi kujutis

Nagu eelmisel juhul, saime geomeetrilise progressiooni nullliikmega, mis on võrdne ühega, kuid nimetajaga
. Progressiooniliikmete lõpmatu summa määrab Z - eksponendi kujutise:

4. Diskreetne summutatud harmooniline. Erinevalt eelmistest näidetest kirjutame selle üldises vormis:

G de α – harmooniline summutustegur,

ω on harmooniline sagedus,

φ on võnkumiste algfaas,

- proovivõtuperiood.

Tutvustame järgmist tähistust:

Joonis 9.17 näitab diskreetse summutatud harmoonilise graafikut järgmiste andmetega: a=0,9,
, φ=π/9. Võttes arvesse aktsepteeritud tähistust, võib diskreetse summutatud harmoonilise avaldise esitada järgmiselt:

.

Harmooniku Z-kujutise saamisel tuleks koosinusfunktsiooni väljendada kahe kompleksse astendaja summa kaudu. Seejärel, olles teinud mitmeid algebralisi ja trigonomeetrilisi teisendusi, on lõpuks võimalik saada järgmine avaldis:

.

Ülaltoodud näidetest on näha, et Z - enamiku diskreetsete signaalide kujutised on muutuja murdosalised ratsionaalsed funktsioonid
. Z-teisenduse päritolu Laplace'i ja Fourier' teisendusest toob kaasa asjaolu, et Z-teisendusel on sarnased omadused.

1. Lineaarsus.

Z - teisendus on lineaarne, nii et kui on kaks signaali, siis nende signaalide summa
on Z-kujutisega
.

2. Diskreetne signaali aja viivitus.

Kui diskreetne signaal x(k), millel on Z, on X(z) kujutis, viivitage m diskreetmise sammu võrra
, siis viivitatud signaalil y(k)=x(k-m) on Z - kujutis
. Väljendus
võib pidada signaali viivituse operaatoriks ühe diskreetimisastmega.

3. Diskreetsete signaalide konvolutsioon.

Analoogiliselt analoogsignaalide konvolutsiooniga

,

Fourier - mille kujutis on võrdne Fourier' korrutisega - keerdunud signaalide kujutised, kahe diskreetse signaali konvolutsioon on defineeritud kui

.

Z - kahe signaali konvolutsiooni kujutis on võrdne Z korrutisega - algsete diskreetsete signaalide kujutised

4. Korrutamine diskreetse astendajaga.

Kui diskreetne signaal
, millel on Z-kujutis
, korrutatuna eksponendiga
, siis Z – toote kujutis saab kuju
.

Vaadeldavad Z-teisendusomadused võimaldavad paljudel juhtudel lihtsalt leida antud signaali Z-kujutist või lahendada pöördülesannet – kasutades signaali teadaolevat Z-kujutist selle esituse leidmiseks ajas.

Z-teisendust kasutatakse peamiselt diskreetsete filtrite arvutamiseks. Z-teisenduste matemaatiline aparaat mängib digitaalseadmete puhul sama rolli kui analoogskeemide puhul. Z-teisendust kasutades saab hõlpsasti arvutada sagedusfiltrid, faasikorrektorid või Hilberti teisendused nende digitaalsel kujul rakendamiseks. Eraldagem kohe diskreetsete ja digitaalsete filtrite mõisted. Diskreetsetes filtrites on impulssreaktsioon ajaliselt diskreetne, kuid signaali näidised ja filtri parameetrid võivad omandada mis tahes väärtuse. Digitaalsetes filtrites esitatakse nii signaali näidised kui ka filtri parameetrid (näiteks koefitsiendid) teatud mahuga kahendarvudega. Diskreetse filtri näide on lülitatud kondensaatorfilter.

Arvestades signaalide diskreetsust, leidsime, et sisend-analoogsignaali spekter, kui see on teisendatud diskreetsele kujule, kordub piki sagedustelge lõpmatu arv kordi. Sama juhtub ka diskreetse filtri sageduskarakteristikuga. Näide madalpääsfiltri amplituud-sageduskarakteristiku muutmisest selle diskreetse rakendamise ajal on näidatud joonisel 1.

Joonis 1. Diskreetfiltri sageduskarakteristiku näide

Näidatud näites on diskreetimissagedus 50 kHz. Seetõttu moodustatakse selle sageduse lähedale veel kaks diskreetse filtri pääsuriba. Diskreetne filter, nagu kommutaatoriga kondensaatorfilter või digitaalfilter, vajab sisendsignaali kõrgsageduskomponentide mahasurumiseks korralikult töötamiseks analoogset antialiasfiltrit. Selle idealiseeritud sageduskarakteristik on joonisel 1 näidatud punasega.

Kui on olemas analoogfiltri ülekandekarakteristik H(s) filtri nullide ja pooluste kujul, siis diskreetses filtris korratakse perioodiliselt nullid ja poolused perioodiga 1/ T, kus T on proovivõtuperiood. Teisisõnu korratakse filtrit sel viisil, nagu on näidatud joonisel 1. Nullide ja pooluste asukoht s-tasandi sagedusteljel tavaliste ja diskreetsete filtrite puhul on näidatud joonisel 2.

Joonis 2. Nullide ja pooluste perioodiline kordumine s-tasandil

Diskreetfiltri juures näeme lõpmatult palju nulle ja pooluseid, mis pole selle rakendamiseks kuigi mugav. Lõpmatul sagedusteljel nullide ja pooluste lõputu kordamise asemel saate selle telje teisendada rõngasteljeks (kasutage ristkoordinaadi asemel polaarkoordinaatsüsteemi). Selline teisendus on näidatud joonisel 3.

Joonis 3. Kompleksse s-tasandi teisendamine keeruliseks z-tasandiks

Selles teisenduses hõivab nullsagedus +1 punkti positsiooni tegelikul z-tasandi teljel, sagedus, mis on võrdne ∞-ga, teisendatakse tegeliku z-tasandi telje punktiks −1 ja sagedustelg ise teisendatakse. ühiku raadiusega ringiks. Sageduse kasvades liigume ringis vastupäeva, realiseerides seeläbi diskreetfiltri amplituud-sageduskarakteristikute lõpmatu kordumise.

Matemaatiliselt toimub kaardistamine kompleksse s-tasandilt kompleksse z-tasandini järgmiselt:

Z = e s T (1)

kus s = σ + jω

Seejärel läheb diskreetse signaali Laplace'i teisendus z-teisendusse:

(2)

Kompleksselt s-tasandilt komplekssele z-tasandile üleminekul kaardistatakse kõik diskreetse filtri lõpmatult korduvad nullid ja poolused s-tasandil z-tasandil lõpliku arvu nullide ja poolustega. Seejärel saab diskreetfiltri ülekandekarakteristiku avaldise esitada järgmiselt:

(3)