Ruutvõrrandite ajalugu. Võrrandid Vana-Babülonis

Esinemisloost ruutvõrrandid

Algebra tekkis seoses erinevate ülesannete lahendamisega võrrandite abil. Tavaliselt on probleemide korral vaja leida üks või mitu tundmatut, teades samal ajal teatud soovitud ja etteantud kogustega tehtud toimingute tulemusi. Sellised ülesanded taandatakse ühe või mitme võrrandisüsteemi lahendamiseks, soovitud suuruste leidmiseks algebraliste operatsioonide abil antud suurustega. Algebra uurib suurustega seotud toimingute üldisi omadusi.

Mõned algebralised meetodid lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamiseks olid tuntud juba 4000 aastat tagasi. Vana Babülon.

Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, samuti astronoomia ja astronoomia arengut. matemaatika ise. Babüloonlased oskasid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Babüloonia tekstides toodud nende võrrandite lahendamise reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele. Vaatamata sellele kõrge tase algebra areng Babülonis, kiilkirjatekstides ei ole negatiivse arvu mõistet ja levinud meetodid ruutvõrrandite lahendused.

Diophantuse Aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid see sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mis on lahendatud võrrandite formuleerimisega. erinevad kraadid.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 2. "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis 96."

Diophantus väidab järgmiselt: ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, kuna kui need oleksid võrdsed, siis oleks nende korrutis võrdne mitte 96, vaid 100-ga. Seega on üks neist suurem kui pool nende summast, st .10 + x. Teine on väiksem, st 10 - x. Nende vahe on 2x. Siit ka võrrand:

(10+x)(10-x)=96,

Seega x = 2. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendust x = - 2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande, valides ühe tundmatutest numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni:

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks.

Ruutvõrrandid Indias

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis Aryabhattam, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India õpetlane, Brahmagupta (7. sajand), selgitas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks:

ax2 + bx = c, a>

Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus on selliste võistluste kohta öeldud järgmist: „Nii nagu päike särab oma säraga tähtedest, nii teadlane mees varjutama hiilgust populaarsed kooslused, algebraliste ülesannete väljapakkumine ja lahendamine". Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele 3 vastav võrrand on järgmine:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

ja selle võrrandi vasaku poole ruudu täiendamiseks lisab ta mõlemale poolele 322, saades siis:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1) “Ruudmed on võrdsed juurtega”, st ax2 = bx.

2) “Ruudmed on võrdsed arvuga”, st ax2 = c.

3) "Juured on võrdsed arvuga", st kirves \u003d c.

4) “Ruut ja arvud on võrdsed juurtega”, st ax2 + c = bx.

5) “Ruut ja juured on võrdsed arvuga”, st ax2 + bx = c.

6) “Juured ja arvud on võrdsed ruutudega”, st bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis kasutamist negatiivsed arvud, on kõigi nende võrrandite liikmed liikmed, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor toob välja lahendused näidatud võrrandid, kasutades al-jabri ja al-muqabala tehnikaid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta Al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Al-Khwarizmi täielike ruutvõrrandite osalise lahendamisel numbrilised näited määrab kindlaks otsustusreeglid ja seejärel nende geomeetrilised tõendid.

Võtame näite.

Ülesanne 4. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur ”(võrrandi juur on x2 + 21 \u003d 10x).

Lahendus: jaga juurte arv pooleks, saad 5, korruta 5 iseendaga, lahuta korrutisest 21, jääb 4. Võta 4 juur, saad 2. Lahuta 5-st 2, saad 3, see on soovitud juur. Või lisage 2 kuni 5, mis annab 7, see on ka juur.

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

Ruutvõrrandid EuroopasXII- XVIIV.

Euroopas Al-Khwarizmi mudelil ruutvõrrandite lahendamise vorme kirjeldati esmakordselt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised näited probleemide lahendamisel ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule.

See raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud selle raamatu ülesanded kanti üle peaaegu kõikidesse Euroopa 14.–17. sajandi õpikutesse. Üldreegli ühtseks kanooniliseks vormiks x2 + bx = c taandatud ruutvõrrandite lahendamiseks kõigi võimalike märkide ja koefitsientide kombinatsioonidega b, c sõnastas Euroopas 1544. aastal M. Stiefel.

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine aastal üldine vaade Viet on, kuid Viet tunnustas ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. arvestama lisaks positiivsele ja negatiivsed juured. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni jt teostele teadlaste viisil ruutvõrrandite lahendamine saab tänapäevase vormi.

päritolu algebralised meetodid praktiliste probleemide lahendused on seotud teadusega iidne maailm. Nagu matemaatika ajaloost teada, oli märkimisväärne osa Egiptuse, Sumeri, Babüloonia kirjatundjate-arvutite (XX-VI sajand eKr) lahendatud matemaatilise iseloomuga probleemidest arvutatud. Kuid isegi siis tekkis aeg-ajalt probleeme, kus soovitud koguse väärtust täpsustasid mõned kaudsed tingimused, mis nõuavad meie kaasaegne punkt nägemus, võrrandi või võrrandisüsteemi koostamine. Esialgu kasutati selliste ülesannete lahendamiseks aritmeetilisi meetodeid. Hiljem hakkasid kujunema algebraliste esituste alged. Näiteks Babüloonia kalkulaatorid suutsid lahendada probleeme, mida saab vähendada kaasaegne klassifikatsioon teise astme võrranditele. Lahendusmeetod on loodud sõnaülesanded, mis oli hiljem algebralise komponendi valiku ja selle sõltumatu uuringu aluseks.

See uuring viidi läbi juba teisel ajastul, esmalt araabia matemaatikute poolt (VI-X sajand pKr), kes tõid välja iseloomulikud toimingud, mille abil võrrandid taandati standardvaade sarnaste terminite taandamine, mõistete viimine võrrandi ühest osast teise koos märgimuutusega. Ja siis lõid renessansiajastu Euroopa matemaatikud pika otsimise tulemusel tänapäevase algebra keele, tähtede kasutamise, aritmeetiliste tehte sümbolite, sulgude jms kasutuselevõtu. 16. 17. sajandil. Algebra kui matemaatika spetsiifiline osa, millel on oma õppeaine, meetod, rakendusvaldkonnad, on juba välja kujunenud. Selle edasiarendus kuni meie ajani seisnes meetodite täiustamises, rakendusala laiendamises, mõistete ja nende seoste selgitamises teiste matemaatikaharude mõistetega.

Seega, pidades silmas võrrandi mõistega seotud materjali tähtsust ja ulatust, on selle uurimine kaasaegne metoodika matemaatika on seotud selle tekke ja toimimise kolme peamise valdkonnaga.

Ruutvõrrandi lahendamiseks peate teadma:

diskriminandi leidmise valem;

ruutvõrrandi juurte leidmise valem;

· Algoritmid seda tüüpi võrrandite lahendamiseks.

lahendada mittetäielikke ruutvõrrandeid;

lahendada täisruutvõrrandid;

lahendada etteantud ruutvõrrandid;

leida lahendatud võrranditest vigu ja parandada need;

Tehke kontroll.

Iga võrrandi lahendus koosneb kahest põhiosast:

selle võrrandi teisendamine kõige lihtsamateks;

võrrandite lahendamine vastavalt tuntud reeglid, valemid või algoritmid.

Õpilaste aktiivsusmeetodite üldistamine ruutvõrrandite lahendamisel toimub järk-järgult. Teema "Ruudvõrrandid" uurimisel saab eristada järgmisi etappe:

I etapp – "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine."

II etapp – "Täielike ruutvõrrandite lahendamine".

III etapp – "Taatud ruutvõrrandite lahendamine".

Esimeses etapis võetakse arvesse mittetäielikke ruutvõrrandeid. Kuna algul õppisid matemaatikud lahendama mittetäielikke ruutvõrrandeid, siis selleks ei pidanud nad, nagu öeldakse, midagi leiutama. Need on võrrandid kujul: ax2 = 0, ax2 + c = 0, kus c≠ 0, ax2 + bx = 0, kus b ≠ 0. Vaatleme mitme järgmise võrrandi lahendust:

1. Kui ax2 = 0. Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) leia x2;

2) leia x.

Näiteks 5x2 = 0 . Jagades võrrandi mõlemad pooled 5-ga, selgub: x2 = 0, seega x = 0.

2. Kui ax2 + c = 0, c≠ 0 Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) tõsta terminid paremale poole;

2) leidke kõik arvud, mille ruudud on võrdsed arvuga c.

Näiteks x2 - 5 = 0, See võrrand on samaväärne võrrandiga x2 = 5. Seetõttu peate leidma kõik arvud, mille ruudud on võrdsed arvuga 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> ja sellel pole muid juuri.

3. Kui ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Seda tüüpi võrrandid lahendatakse vastavalt algoritmile:

1) liigutada ühistegurit sulgudest välja;

2) leidke x1, x2.

Näiteks x2 - 3x \u003d 0. Kirjutame võrrandi x2 - 3x \u003d 0 ümber kujul x (x - 3) \u003d 0. Ilmselgelt on sellel võrrandil juured x1 \u003d 0, x2 \u003d. sellel pole muid juuri, sest kui x asemel on asendatud mõni muu arv peale nulli ja 3, siis võrrandi x (x - 3) \u003d 0 vasakul küljel saate arvu, mis ei ole võrdne nulliga.

Niisiis näitavad need näited, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid:

1) kui võrrandi kuju on ax2 = 0, siis on sellel üks juur x = 0;

2) kui võrrand on kujul ax2 + bx = 0, siis kasutatakse faktoriseerimise meetodit: x (ax + b) = 0; nii et kas x = 0 või ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Juhul -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, st - = m, kus m>0, võrrandil x2 = m on kaks juurt

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (sel juhul on lubatud lühem märge =.

Seega võib mittetäielikul ruutvõrrandil olla kaks juurt, üks juur, mitte ühtegi juurt.

Teises etapis viiakse läbi üleminek täieliku ruutvõrrandi lahendusele. Need on võrrandid kujul ax2 + bx + c = 0, kus a, b, c on antud arvud, a ≠ 0, x on tundmatu.

Iga täieliku ruutvõrrandi saab teisendada vormiks , et määrata ruutvõrrandi juurte arv ja leida need juured. Arvestatud järgmistel juhtudel Täielike ruutvõrrandite lahendused: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Kui D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Näiteks 2x2 + 4x + 7 = 0. Lahendus: siin a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Kuna D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Kui D \u003d 0, siis ruutvõrrandil ax2 + bx + c \u003d 0 on üks juur, mis leitakse valemiga.

Näiteks 4x - 20x + 25 = 0. Lahendus: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 \u003d 0.

Kuna D = 0, siis antud võrrand on üks juur. See juur leitakse valemiga ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Koostatakse algoritm võrrandi kujul ax2 + bx + c = 0 lahendamiseks.

1. Arvutage diskriminant D valemiga D = b2 - 4ac.

2. Kui D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Kui D = 0, siis ruutvõrrandil on üks juur, mis leitakse valemiga

4..gif" width="101" height="45">.

See algoritm on universaalne, see on rakendatav nii mittetäielike kui ka täielike ruutvõrrandite jaoks. Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid see algoritm tavaliselt ei lahenda.

Matemaatikud on praktilised ja säästlikud inimesed, seetõttu kasutavad nad valemit: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, millel on sama märk kui D..gif" width="89" height="49">, siis võrrandil (3) on kaks juurt ;

2) kui siis võrrandil on kaks langevat juurt;

3) kui siis võrrandil pole juuri.

Ruutvõrrandi uurimisel on oluliseks punktiks Vieta teoreemi käsitlemine, mis väidab taandatud ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahelise seose olemasolu.

Vieta teoreem. Antud ruutvõrrandi juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidine märk, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.

Teisisõnu, kui x1 ja x2 on võrrandi x2 + px + q = 0 juured, siis

Neid valemeid nimetatakse Vieta valemiteks prantsuse matemaatiku F. Vieta () auks, kes võttis kasutusele algebraliste sümbolite süsteemi, töötas välja elementaaralgebra alused. Ta oli üks esimesi, kes hakkas numbreid tähistama tähtedega, mis arendas võrranditeooriat märkimisväärselt.

Näiteks ülaltoodud võrrandil x2 - 7x +10 \u003d 0 on juured 2 ja 5. Juurte summa on 7 ja korrutis on 10. On näha, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga , võetud vastupidise märgiga ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega.

Tõsi on ka teoreem vastupidine teoreem Vieta.

Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile. Kui valemid (5) kehtivad arvude x1, x2, p, q puhul, siis x1 ja x2 on võrrandi x2 + px + q = 0 juured.

Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi kasutatakse sageli erinevate ülesannete lahendamisel.

Näiteks. Kirjutame etteantud ruutvõrrandi, mille juurteks on arvud 1 ja -3.

Vieta valemite järgi

– p = x1 + x2 = – 2,

Seetõttu on soovitud võrrandi vorm x2 + 2x - 3 = 0.

Vieta teoreemi omandamise keerukus on seotud mitme asjaoluga. Kõigepealt on vaja arvestada otsese ja pöördteoreemi erinevusega. Vieta otseses teoreemis on ruutvõrrand ja selle juured antud; pöördväärtuses on ainult kaks arvu ja ruutvõrrand ilmneb teoreemi lõpus. Õpilased teevad sageli vea, põhjendades oma arutluskäiku vale viitega otsesele või vastupidisele Vieta teoreemile.

Näiteks ruutvõrrandi juurte leidmisel valiku teel tuleb viidata Vieta pöördteoreemile, mitte otsesele, nagu õpilased sageli teevad. Vieta teoreemide laiendamiseks nulldiskriminandi korral peame nõustuma, et sel juhul on ruutvõrrandil kaks võrdne juur. Sellise kokkuleppe mugavus avaldub lagunemises ruudukujuline kolmik kordajate jaoks.

Avaleht > Teata

MOU keskkool kangelaste järgi Nõukogude Liit
Sotnikova A.T. ja Shepeleva N. G. s. Uritskoe

Aruanne teemal:

"Tekkimise ajalugu

ruutvõrrandid"

Koostanud:Izotova Julia,
Ampleeva Jelena,
Šepelev Nikolai,

Djatšenko Juri.

Oh matemaatika. Sa oled sajandeid kaetud hiilgusega,

Kõigi maiste valgustite valgusti.

Sa majesteetlik kuninganna

Pole ime, et Gauss ristis.

Range, loogiline, majesteetlik,

Lennult sale, nagu nool,

Sinu igavene hiilgus

Läbi aegade saavutas ta surematuse.

Kiidame inimmõistust

Tema maagiliste käte tööd,

Selle vanuse lootus

Kõigi maiste teaduste kuninganna.

Tahame teile täna öelda

Esinemise ajalugu

Mida peaks teadma iga õpilane

Ruutvõrrandite ajalugu.

Eukleides, III sajandil eKr. e. võttis geomeetriline algebra oma "Põhimõttes" kogu teise raamatu vältel, mis sisaldab kogu ruutvõrrandite lahendamiseks vajalikku materjali.

Eukleides (Eνκλειδηζ), Vana-Kreeka matemaatik, esimese meieni jõudnud matemaatikateoreetilise traktaadi autor

Teave Eukleidese kohta on äärmiselt napp. Ainus asi, mida võib pidada usaldusväärseks, on see teaduslik tegevus voolas Aleksandrias III sajandil eKr. e. Euclid - esimene matemaatik Aleksandria kool. Tema põhitöö"Algused" (latiniseeritud kujul - "Elements") sisaldab planimeetria, stereomeetria ja mitmete arvuteooria küsimuste esitlust; selles võttis ta kokku Kreeka matemaatika senise arengu ja lõi aluse edasine areng matemaatika. Heron - Kreeka matemaatik ja insener esimest korda Kreekas 1. sajandil pKr. annab puhtalgebralise ruutvõrrandi lahendamise viisi.

Aleksandria heron; Heron, I c. n. e., kreeka mehaanik ja matemaatik. Tema eluaeg on ebakindel, teada on vaid see, et ta tsiteeris Archimedest (suri 212 eKr), teda ennast tsiteeris Pappus (u 300 pKr). Praegu on valdav arvamus, et ta elas 1. sajandil. n. e. Ta õppis geomeetriat, mehaanikat, hüdrostaatikat, optikat; leiutas aurumasina prototüübi ja täppisnivelleerimisriistad. Populaarseimad automaadid olid automaatteatrid, purskkaevud jt. G. kirjeldas teodoliiti, tuginedes staatika ja kineetika seadustele ning kirjeldas kangi, plokki, propellerit ja sõjaväemasinaid. Optikas sõnastas ta valguse peegelduse seadused, matemaatikas - meetodid kõige olulisema mõõtmiseks. geomeetrilised kujundid. Peamised tööd G. on ietrik, pneumaatika, autopoeetika, mehaanika (prantsuse; teos on säilinud täielikult araabia keeles), katoptika (peeglite teadus; säilinud ainult aastal Ladina tõlge) ja teised G. kasutas oma eelkäijate saavutusi: Euclid, Archimedes, Strato Lampsakist. Tema stiil on lihtne ja selge, kuigi kohati liiga lakooniline või struktureerimata. Huvi G. kirjutiste vastu tekkis III sajandil. n. e. Kreeka ning seejärel Bütsantsi ja Araabia üliõpilased kommenteerisid ja tõlkisid tema teoseid.

Diophantus- Kreeka teadlane 3. sajandil pKr, ilma geomeetriat kasutamata, lahendas mõned ruutvõrrandid puhtalt algebraliselt ning võrrand ise ja selle lahendus kirjutati sümboolsel kujul

„Ma räägin teile, kuidas Kreeka matemaatik Diophantos ruutvõrrandeid koostas ja lahendas. Siin on näiteks üks tema ülesannetest:"Leidke kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96."

1. Ülesande tingimusest järeldub, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui nad oleksid võrdsed, poleks nende korrutis 96, vaid 100.

2. Seega. üks neist saab olema üle poole nende summast, s.o. 10 + x, teine on väiksem, st. 10 - x.

3. Nende vahe on 2x.

4. Siit tuleneb võrrand (10 + x) * (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. Vastus x = 2. Üks soovitud numbritest on 12,
muu - 8. Lahendust x = - 2 Diophantuse jaoks pole olemas, sest Kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid numbreid. Diophantus oskas väga lahendada keerulised võrrandid, kasutas tundmatute jaoks tähttähistusi, võttis arvutamiseks kasutusele spetsiaalse sümboli, kasutas sõnade lühendeid. Bhaskare – Akaria- India matemaatik XII sajandil pKr. avastas ruutvõrrandite lahendamise üldise meetodi.

Analüüsime ühte India matemaatikute probleemi, näiteks Bhaskara probleemi:

“Ahviparv lõbutseb: kaheksandik nende koguarvust ruudus hullab metsas, ülejäänud kaksteist karjuvad künka otsas. Ütle mulle, kui palju ahve seal on?"

Ülesannet kommenteerides tahaksin öelda, et ülesandele vastab võrrand (x/8) 2 + 12 = x. Bhaskara kirjutab kujul x 2 - 64x \u003d - 768. Lisades mõlemale osale ruudu 32, saab võrrand järgmise kuju:

x 2 – 64 x + 32 2 = – 768 + 1024

(x - 32) 2 = 256

Pärast ekstraheerimist ruutjuur saame: x - 32 \u003d 16.

"IN sel juhul, ütleb Bhaskara, - esimese osa negatiivsed ühikud on sellised, et teise osa ühikud on neist väiksemad ja seetõttu võib viimast pidada nii positiivseks kui negatiivseks ja saame kahekordne väärtus teadmata: 48 ja 16".

Tuleb järeldada, et Bhaskara lahendus näitab, et ta teadis ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Tehakse ettepanek lahendada vana India Bhaskara probleem:

«Kolme võrra vähendatud viiendiku ahvide ruut peitus grotis, üks ahv ronis puu otsa, paistis. Mitu ahvi seal oli? Tuleb märkida, et antud ülesanne lahendatud elementaarselt, taandades ruutvõrrandiks.

Al - Khorezmi - araabia õpetlane, kes aastal 825 kirjutas raamatu "Restaureerimise ja vastuseisu raamat". See oli maailma esimene algebra õpik. Ta andis ka kuut tüüpi ruutvõrrandid ja iga kuue võrrandi jaoks verbaalne vorm sõnastas oma otsuse jaoks erireegli. Traktaadis loetleb Khorezmi 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

1. "Ruutid võrdub juurtega", st. kirves 2 = sisse.

2. "Ruudmed on võrdsed arvuga", st. kirves 2 = s.

3. "Juured on võrdsed arvuga", st. ah = s.

4. "Ruut ja arvud on võrdsed juurtega", st. kirves 2 + c \u003d sisse.

5. "Ruut ja juured on võrdsed arvuga", st. ax 2 + in = s.

6. "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st. in + c \u003d ah 2.

Analüüsime al-Khwarizmi probleemi, mis on taandatud ruutvõrrandi lahendamiseks. "Ruut ja arv on võrdsed juurtega." Näiteks üks ruut ja arv 21 võrdub sama ruudu 10 juurega, s.t. küsimus on, millest moodustatakse ruut, mis peale 21 lisamist võrdub sama ruudu 10 juurega?

JA al-Khwarizmi 4. valemit kasutades peavad õpilased üles kirjutama: x 2 + 21 = 10x

François Viet - Prantsuse matemaatik, sõnastas ja tõestas teoreemi antud ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise kohta.

Minu esitletav kunst on uus või vähemalt barbarite mõju tõttu nii rikutud, et olen pidanud vajalikuks sellele täiesti uue ilme anda.

François Viet

Yette François (1540-13.12. 1603) sündis Fontenay-le-Comte'i linnas Poitou provintsis, mitte kaugel sellest. kuulus kindlus La Rochelle. Olles saanud juriidiline haridus, alates üheksateistkümnendast eluaastast töötas ta edukalt advokaadina aastal kodulinn. Advokaadina nautis Viet elanike seas prestiiži ja lugupidamist. Ta oli lai haritud inimene. Teadis astronoomiat ja matemaatikat ja kõike muud vaba aeg andis neile teadustele.

Vieta peamine kirg oli matemaatika. Ta uuris põhjalikult klassikute Archimedese ja Diophantuse loomingut, Cardano, Bombelli, Stevini jt vahetuid eelkäijaid. Vieta mitte ainult ei imetlenud neid, vaid nägi neis suurt viga, milleks oli verbaalsest sümboolikast tingitud arusaamise raskus: peaaegu kõik toimingud ja märgid salvestati sõnadega, polnud vihjet nendele mugavatele, peaaegu automaatsetele reeglitele, mida me nüüd kasutame. . Võimatu oli kirja panna ja seetõttu ka üldises vormis alustada, algebralisi võrdlusi või mis tahes muud algebralised avaldised. Igat tüüpi võrrandit arvuliste koefitsientidega lahendati kasutades erireegel. Seetõttu oli vaja tõestada, et neid on üldised toimingudüle kõigi arvude, mis neist numbritest endist ei sõltu. Viet ja tema järgijad tegid kindlaks, et pole vahet, kas kõne all olev arv on objektide arv või lõigu pikkus. Peaasi, et nende arvudega on võimalik sooritada algebralisi tehteid ja selle tulemusena saada jällegi samasuguseid arve. Seega saab neid tähistada mõne abstraktse märgiga. Viet tegi just seda. Ta mitte ainult ei tutvustanud oma sõnasõnalist arvutust, vaid tegi põhimõtteliselt uue avastuse, seades endale eesmärgiks uurida mitte numbreid, vaid nende põhjal toiminguid. See salvestusmeetod võimaldas Vietil teha olulisi avastusiõppides ühised omadused algebralised võrrandid. Pole juhus, et Vietat nimetatakse algebra "isaks", tähesümbolite rajajaks.

Teabeallikad:

http :// som. fio. et/ ressursse/ Karpuhina/2003/12/ Lõpetatud%20 tööd/ Kontsert/ indeks1. htm

http :// lehekülgi. marsu. et/ iac/ kool/ s4/ lehel74. html

Ruutvõrrandite ajaloost Autor: 9. "A" klassi õpilane Radchenko Svetlana Juhendaja: Alabugina I.A. matemaatikaõpetaja Kemerovo oblasti MBOU “Gurjevski keskkool nr 5” Esitluse ainevaldkond: matemaatika Õpetaja abistamiseks kokku 20 slaidi Sisu Sissejuhatus…………………………………………………… ...................................... ...................................... ...................... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. võrrandid………………………………………………………………………………………………………………………………… ...................... …………13 Algoritm täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks…………………………..14 rakendusülesannete lahendamine…………………………………………………………… ……………………………….16 5. Järeldus. ……………………………………………………………………………… 18 1. 2. 6. Kasutatud kirjanduse loetelu…………………………… ……… …………….19 2 Sissejuhatus Pidada õnnetuks seda päeva või tundi, mille jooksul te ei õppinud midagi uut, ei andnud teie haridusele midagi juurde. Jan Amos Comenius 3 Ruutvõrrandid on alus, millel toetub algebra majesteetlik ehitis. Neid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste, eksponentsiaalsete, logaritmiliste, irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Ruutvõrrandid kooli algebra kursusel võtavad juhtiv koht. Suur osa matemaatika kooliajast on pühendatud nende õppimisele. Põhimõtteliselt teenivad ruutvõrrandid konkreetseid praktilisi eesmärke. Enamik probleeme ruumivormide ja kvantitatiivsed suhted tegelik maailm taandub lahendamisele mitmesugused võrrandid, sealhulgas ruutvõrrandid. Nende lahendamise viise valdades leiavad inimesed vastused erinevatele teaduse ja tehnika küsimustele. Ruutvõrrandite tekkimise ajaloost Vana-Babülon: juba umbes 2000 aastat eKr teadsid babüloonlased ruutvõrrandeid lahendada. Tunti nii täielike kui ka mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid. Näiteks Vana-Babülonis lahendati järgmised ruutvõrrandid: 4 India Ruutvõrrandite abil lahendatud ülesandeid leidub astronoomia traktaadis "Aryabhattiam", mille kirjutas India astronoom ja matemaatik Aryabhata aastal 499 pKr. Teine India teadlane Brahmagupta tõi välja universaalse reegli kanooniliseks vormiks taandatud ruutvõrrandi lahendamiseks: ax2+bx=c; pealegi eeldati, et kõik selles sisalduvad koefitsiendid, välja arvatud "a", võivad olla negatiivsed. Teadlase sõnastatud reegel langeb sisuliselt kokku tänapäevasega. 5 Al-Khwarizmi ruutvõrrandid: Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaarsete ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt: “Ruut võrdub juurtega”, s.o. ax2 = bx.; "Ruudmed on võrdsed arvuga", st ax2 = c; "Juured on võrdsed arvuga", st ax \u003d c; "Ruut ja arvud on võrdsed juurtega", st. ax2 + c = bx; "Ruudud ja juured on võrdsed arvuga", st ax2 + bx = c; "Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c = ax2. 6 Kuidas Diophantos ruutvõrrandeid koostas ja lahendas: Üks omapärasemaid Vana-Kreeka matemaatikuid oli Diophantos Aleksandriast. Siiani pole Diophantuse sünniaastat ega surmakuupäeva selgitatud; Arvatakse, et ta elas 3. sajandil. AD Diophantose teostest on olulisim Aritmeetika, millest 13 raamatut on tänaseni säilinud vaid 6. Diophantuse "Aritmeetika" ei sisalda algebra süstemaatilist kirjeldust, kuid sisaldab mitmeid ülesandeid, millega kaasnevad selgitused ja mis on lahendatud erineva astme võrrandite koostamisega. Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid. 7 Ruutvõrrandid Euroopas XII-XVII sajand: Itaalia matemaatik Leonard Fibonacci töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Üldreegli ühtseks kanooniliseks vormiks x2 + bx = c taandatud ruutvõrrandite lahendamiseks kõigi võimalike märkide ja koefitsientide kombinatsioonidega b, c sõnastas Euroopas 1544. aastal Michael Stiefel. 8 François Viet Prantsuse matemaatik F. Viet (1540-1603), võttis kasutusele algebraliste sümbolite süsteemi, töötas välja elementaaralgebra alused. Ta oli üks esimesi, kes hakkas numbreid tähistama tähtedega, mis arendas võrranditeooriat märkimisväärselt. Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tundis ära ainult positiivsed juured. 9 Ruutvõrrandid tänapäeval Ruutvõrrandite lahendamise oskus on aluseks teiste võrrandite ja nende süsteemide lahendamisel. Võrrandite lahendamise õppimine algab nende kõige lihtsamatest tüüpidest ja programm põhjustab järk-järgult nii nende tüüpide kui ka identsete ja samaväärsed teisendused, mida saab kasutada suvalise võrrandi taandamiseks kõige lihtsamateks. Selles suunas tuleks üles ehitada ka üldistatud meetodite moodustamise protsess võrrandite lahendamiseks koolikursus algebra. Gümnaasiumi matemaatikakursusel puutuvad õpilased kokku uute võrrandite, süsteemide või süvaõpe juba tuntud võrrandid 10 Ruutvõrrandite uurimise meetodid Algebra süstemaatilise kursuse õppimise algusest on põhitähelepanu pööratud ruutvõrrandite lahendamise meetoditele, millest saab eriline uurimisobjekt. Seda teemat iseloomustab esituse suur sügavus ja selle abil loodud seoste rikkus õppimisel, ettekande loogiline paikapidavus. Seetõttu on sellel võrrandite ja ebavõrdsuste reas erandlik koht. Ruutvõrrandi uurimisel on oluliseks punktiks Vieta teoreemi käsitlemine, mis väidab taandatud ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahelise seose olemasolu. Vieta teoreemi omandamise keerukus on seotud mitme asjaoluga. Kõigepealt on vaja arvestada otsese ja pöördteoreemi erinevusega. 11 10 võimalust ruutvõrrandite lahendamiseks: võrrandi vasaku külje faktoriseerimine. Täisruudu valiku meetod. Ruutvõrrandite lahendamine valemiga. Võrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. Võrrandite lahendamine "ülekande" meetodil Ruutvõrrandi kordajate omadused. Ruutvõrrandi graafiline lahendus. Ruutvõrrandite lahendamine kompassi ja sirgjoonega. 12 Ruutvõrrandite lahendamine nomogrammi abil. Ruutvõrrandite lahendamise geomeetriline viis. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks 1) kui võrrandi kuju on ax2 = 0, siis on tal üks juur x = 0; 2) kui võrrand on kujul ax2 + bx = 0, siis kasutatakse faktoriseerimise meetodit: x (ax + b) = 0; seega kas x = 0 või ax + b = 0. Selle tulemusena saadakse kaks juurt: x1 = 0; x2 \u003d 3) kui võrrandi vorm on ax2 + c \u003d 0, siis teisendatakse see kujule ax2 \u003d - c ja seejärel x2. = Kui -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, st. - \u003d m, kus m>0, võrrandil x2 \u003d m on kaks juurt. Seega võib mittetäielikul ruutvõrrandil olla kaks juurt, üks juur, juur puudub. 13 Algoritm täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks. Need on võrrandid kujul ax2 + bx + c = 0, kus a, b, c on antud numbrid ja ≠ 0, x on tundmatu. Iga täieliku ruutvõrrandi saab teisendada vormiks, et määrata ruutvõrrandi juurte arv ja leida need juured. Vaadeldakse järgmisi täielike ruutvõrrandite lahendamise juhtumeid: D< 0, D = 0, D >0. 1. Kui D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, siis ruutvõrrandil ax2 + bx + c = 0 on kaks juurt, mis leitakse valemitega: ; 14 Taandatud ruutvõrrandite lahendus F. Vieta teoreem: Taandatud ruutvõrrandi juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Teisisõnu, kui x1 ja x2 on võrrandi x2 +px + q = 0 juured, siis x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Pöördteoreem Vieta teoreemile: Kui valemid (*) kehtivad arvude x1, x2, p, q puhul, siis x1 ja x2 on võrrandi x2 + px + q = 0 juured. 15. ruutvõrrandid rakenduslike Bhaskari probleemide lahendamiseks ( 1114-1185) - XII sajandi suurim India matemaatik ja astronoom. Ta juhtis Ujjainis asuvat astronoomiaobservatooriumi. Bhaskara kirjutas traktaadi "Siddhanta-shiromani" ("Õpetamise kroon"), mis koosneb neljast osast: "Lilavati" on pühendatud aritmeetikale, "Bizhdaganita" - algebrale, "Goladhaya" - sfäärile, "Granhaganita" - planeetide liikumise teooriale. Bhaskara sai võrrandite negatiivsed juured, kuigi ta kahtles nende olulisuses. Talle kuulub üks varasemaid igiliikuri projekte. 16 Üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara: Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest. 17 Kokkuvõte Ruutvõrrandite lahendamise teaduse areng on käinud pika ja okkalise tee. Alles pärast Stiefeli, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girardi, Descartes’i, Newtoni töid sai ruutvõrrandite lahendamise teadus tänapäevase kuju. Ruutvõrrandite väärtus ei seisne ainult ülesannete lahendamise elegantsuses ja lühiduses, kuigi see on väga oluline. Vähem oluline pole ka asjaolu, et ruutvõrrandite kasutamise tulemusel ülesannete lahendamisel avastatakse sageli uusi detaile, saab teha huvitavaid üldistusi ja täpsustusi, mis on ajendatud saadud valemite ja seoste analüüsist. Uurides ruutvõrrandite kujunemise ajalooga seotud kirjandust ja Interneti-ressursse, küsisin endalt: "Mis ajendas nii raskel ajal elanud teadlasi teadusega tegelema, isegi surmaohus?" Ilmselt on see ennekõike inimmõistuse uudishimulikkus, mis on teaduse arengu võti. Küsimused maailma olemuse, inimese koha kohta selles maailmas kummitavad alati mõtlevaid, uudishimulikke, mõistlikke inimesi. Inimesed on püüdnud mõista iseennast, oma kohta maailmas igal ajal. Vaata ka endasse, võib-olla su loomulik uudishimu kannatab, sest oled argielule, laiskusele allunud? Paljude teadlaste saatus – 18 näidet, mida järgida. Kõik nimed pole hästi tuntud ja populaarsed. Mõelge: mis ma olen ümbritsevate inimeste jaoks? Kuid kõige tähtsam on see, kuidas ma endasse suhtun, kas ma väärin austust? Mõelge sellele... Viited 1. Zvavich L.I. “Algebra 8. klass”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ entsüklopeediline sõnaraamat noor matemaatik”, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev “Algebra klass 8”, M, 2012. /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/ index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Tänan tähelepanu eest 20

Ruutvõrrandite ajaloost.

a) Ruutvõrrandid Vana-Babülonis

Vajaduse lahendada iidsetel aegadel mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis vajadus lahendada alade leidmisega seotud probleeme maatükid ja sõjalise iseloomuga mullatöödega, samuti astronoomia ja matemaatika enda arendamisega. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. babüloonlased. Kaasaegset algebralist tähistust rakendades võib öelda, et nende kiilkirjatekstides on lisaks mittetäielikele ka näiteks täisruutvõrrandid:

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d 14

Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid. Peaaegu kõik seni leitud kiilkirjatekstid annavad ainult retseptidena välja toodud lahendusprobleeme, viitamata nende leidmise viisidele.

Vaatamata algebra kõrgele arengutasemele Babülonis, puudub kiilkirjatekstides negatiivse arvu mõiste ja ruutvõrrandite lahendamise üldmeetodid.

Diophantose aritmeetika ei sisalda algebra süstemaatilist esitust, kuid sisaldab süstemaatilist ülesannete jada, millele on lisatud selgitused ja mida lahendatakse erineva astme võrrandite koostamisega.

Võrrandite koostamisel valib Diophantos lahenduse lihtsustamiseks oskuslikult tundmatuid.

Siin on näiteks üks tema ülesannetest.

Ülesanne 2. "Leia kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja korrutis 96."

Diophantus väidab nii: ülesande tingimusest tuleneb, et soovitud arvud ei ole võrdsed, sest kui need oleksid võrdsed, siis poleks nende korrutis 96, vaid 100. Seega on üks neist rohkem kui pool nende arvust. summa, st 0,10 + x. Teine on väiksem, st 10 - x. Nende vahe on 2x. Siit ka võrrand:

(10+x)(10-x)=96,

või

100 -x 2 = 96.

Seega x = 2. Üks soovitud arvudest on 12, teine on 8. Lahendust x = - 2 Diophantuse jaoks ei eksisteeri, kuna kreeka matemaatika teadis ainult positiivseid arve.

Kui lahendame selle ülesande, valides ühe tundmatutest numbritest tundmatuks, siis jõuame võrrandi lahenduseni:

Selge on see, et Diophantus lihtsustab lahendust, valides tundmatuks soovitud arvude poole vahe; tal õnnestub taandada probleem mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks.
b) Ruutvõrrandid Indias.

Ruutvõrrandite ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattayam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabahatta. Teine India teadlane Brahmagupta (7. sajand) kirjeldas üldreeglit ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks.

Oh 2 + bx = c, a > 0

Võrrandis on koefitsiendid , välja arvatud A, võib olla negatiivne. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga.

Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus öeldakse selliste võistluste kohta järgmist: "Nii nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud inimene avalike koosolekute au, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid." Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

3. ülesanne.

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.

Ülesandele 3 vastav võrrand on järgmine:

Bhaskara kirjutab varjus:

x 2 – 64 x = – 768

ja selle võrrandi vasaku külje lõpetamiseks ruudule lisab mõlemale poolele 32 2, saades:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Al-Khwarizmi ruutvõrrandid

Al-Khwarizmi algebraline traktaat annab lineaar- ja ruutvõrrandite klassifikatsiooni. Autor loetleb 6 tüüpi võrrandeid, väljendades neid järgmiselt:

"Ruudud on võrdsed juurtega", st ax 2 = bx.
"Ruudmed on võrdsed arvuga", st ax 2 = c.
"Juured on võrdsed arvuga", st ax = c.
"Ruudud ja arvud on võrdsed juurtega", st ax 2 + c \u003d bx.
"Ruut ja juured on võrdsed arvuga", st ax 2 + bx \u003d c.
"Juured ja arvud on võrdsed ruutudega", st bx + c == ax 2.

Al-Khwarizmi jaoks, kes vältis negatiivsete arvude kasutamist, on kõigi nende võrrandite tingimused liitmised, mitte lahutamised. Sel juhul ei võeta ilmselgelt arvesse võrrandeid, millel pole positiivseid lahendeid. Autor esitab meetodid nende võrrandite lahendamiseks, kasutades al-jabri ja al-muqabala meetodeid. Tema otsus ei lange muidugi meie omaga täielikult kokku. Rääkimata tõsiasjast, et see on puhtalt retooriline, tuleb näiteks märkida, et esimest tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamisel ei võta Al-Khwarizmi, nagu kõik matemaatikud enne 17. sajandit, nulli. lahendus, ilmselt seetõttu, et konkreetsete praktiliste ülesannete puhul pole see oluline. Täielike ruutvõrrandite lahendamisel kehtestab Al-Khwarizmi nende lahendamise reeglid, kasutades konkreetseid arvulisi näiteid ja seejärel nende geomeetrilisi tõestusi.

Võtame näite.

Ülesanne 4. “Ruut ja arv 21 on võrdsed 10 juurega. Leidke juur "(mis tähendab võrrandi juurt x 2 + 21 \u003d 10x).

Al-Khwarizmi traktaat on esimene meieni jõudnud raamat, milles on süstemaatiliselt välja toodud ruutvõrrandite klassifikatsioon ja toodud nende lahendamise valemid.

d) Ruutvõrrandid sisse Euroopa XIII-XVII sajandite jooksul

Valemid ruutvõrrandite lahendamiseks al-Khwarizmi mudelil Euroopas esitati esmakordselt "Abakuse raamatus", mille kirjutas 1202. aastal Itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci. See mahukas töö, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami- kui ka islamiriikidest Vana-Kreeka, erineb nii esituse terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud Abakuse raamatu ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16.–17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII.

Üldreegel ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud üheks kanooniliseks vormiks

x 2 + bx \u003d c,

koefitsientide kõigi võimalike märkide kombinatsioonide jaoks b, Koos sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Vietal on ruutvõrrandi lahendamise valemi üldine tuletis, kuid Vieta tuvastas ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvestage lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles XVII sajandil. tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste töödele võtab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

Praktiliste probleemide lahendamise algebraliste meetodite päritolu on seotud antiikmaailma teadusega. Nagu matemaatika ajaloost teada, oli märkimisväärne osa Egiptuse, Sumeri, Babüloonia kirjatundjate-arvutite (XX-VI sajand eKr) lahendatud matemaatilise iseloomuga probleemidest arvutatud. Kuid ka siis tekkis aeg-ajalt probleeme, kus mingi suuruse soovitud väärtuse määrasid mingid kaudsed tingimused, mis nõuavad meie kaasaegsest vaatepunktist võrrandi või võrrandisüsteemi sõnastamist. Esialgu kasutati selliste ülesannete lahendamiseks aritmeetilisi meetodeid. Hiljem hakkasid kujunema algebraliste esituste alged. Näiteks Babüloonia kalkulaatorid suutsid lahendada ülesandeid, mis tänapäevase klassifikatsiooni seisukohalt on taandatud teise astme võrranditeks. Loodi tekstülesannete lahendamise meetod, mis hiljem oli aluseks algebralise komponendi esiletõstmisel ja selle iseseisval uurimisel.

See uuring viidi läbi juba teisel ajastul, esmalt araabia matemaatikute poolt (VI-X sajand pKr), kes tõid välja iseloomulikud toimingud, mille abil võrrandid taandati standardvormiks, sarnaste mõistete redutseerimine, terminite ülekandmine ühest osast. võrrand teisega märgimuutusega. Ja siis lõid renessansiajastu Euroopa matemaatikud pika otsimise tulemusel tänapäevase algebra keele, tähtede kasutamise, aritmeetiliste tehte sümbolite, sulgude jms kasutuselevõtu. 16. 17. sajandil. algebra kui matemaatika spetsiifiline osa, millel on oma õppeaine, meetod, rakendusvaldkonnad, on juba moodustatud. Selle edasiarendus kuni meie ajani seisnes meetodite täiustamises, rakendusala laiendamises, mõistete ja nende seoste selgitamises teiste matemaatikaharude mõistetega.

Seega, pidades silmas võrrandi mõistega seotud materjali tähtsust ja ulatust, on selle uurimine kaasaegses matemaatikametoodikas seotud selle esinemise ja toimimise kolme peamise valdkonnaga.

Ruutvõrrandite lahenduste väljatöötamise ajalugu

Aristoteles

D. I. Mendelejev

Leidke ristküliku kujuga välja küljed, kui selle pindala on selline 12 , A

Mõelgem sellele probleemile.

Olgu x välja pikkus, siis selle laius,
on selle piirkond.
Teeme ruutvõrrandi:
Papüürus annab tema otsuse reegli: "Jaga 12 poolt".
12: .
Niisiis, .
"Välja pikkus on 4", - seisab papüüruses.

Vähendatud ruutvõrrand
kus on reaalarvud.

Ühes Babüloonia ülesandes oli vaja määrata ka ristkülikukujulise välja pikkus (tähistagem seda) ja laius ().

Lisades ristkülikukujulise välja pikkuse ja kaks laiust, saate 14 ja välja pindala on 24. Leidke selle küljed.

Teeme võrrandisüsteemi:

Siit saame ruutvõrrandi.

Selle lahendamiseks lisame avaldisele teatud arvu,

Et saada täisruut:

Seega,.

Üldiselt ruutvõrrand

Sellel on kaks juurt:

DIOFANT
Vana-Kreeka matemaatik, kes elas arvatavasti 3. sajandil eKr. e. Algebraliste võrrandite lahendamisele pühendatud raamatu "Aritmeetika" autor.
Tänapäeval mõistetakse "Diofantiini võrrandite" all tavaliselt täisarvuliste kordajatega võrrandeid, mille lahendused tuleb leida täisarvude hulgast. Diophantus oli ka üks esimesi, kes arendas matemaatilise tähistuse.

"Leidke kaks arvu, teades, et nende summa on 20 ja nende korrutis on 96."

Üks arvudest on rohkem kui pool nende summast, see tähendab 10+, teine vähem, see tähendab 10-.

Siit ka võrrand ()()=96

Siin on üks kuulsate probleemidest

12. sajandi India matemaatik Bhaskara:

Meeldiv ahvikari

Sööge hästi, lõbutsege.

Nad tegid kaheksanda osa ruudus

Heinamaal lõbutsemas.

Ja kaksteist viinapuudes ...

Nad hakkasid hüppama, rippuma ...

Kui palju ahve oli

Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et ta oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest.
Võrrandi vastav lahend

Bhaskara kirjutab vormis ja selle võrrandi vasaku poole ruudu lõpetamiseks lisame mõlemale poolele 32 2, saades

"AL-JEBR" – TAASTAMINE – AL-KHOREZMI NIMETAS NEGATIIVSETE LIIKMETE VÕRDSE MÕLEMALT OSALT VÄLJA VÄLJATAMISEKS, LISADES VÕRDSED LIIKMED, KUID VASTU MÄRGIS.

"AL-MUKABALA" – VASTUNUD – SAMADE LIIKMETE VÕRDENDI OSADE VÄHENDAMINE.

"AL-JABRI" Reegel

VÕRRANDI LAHENDUSEL

KUI ESIMENE OSA,

POLE TÄHTIS, MIS

KOHTU NEGATIIVSE LIIKMEGA,

OLEME MÕLEMAKS OSAKS

ANNAME VÕRDSE LIIKME,

AINULT TEISE MÄRGIGA,

JA LEIAME POSITIIVSE TULEMUSE.

1) ruudud on võrdsed juurtega, see tähendab;

2) ruudud on võrdsed arvuga, see tähendab;

3) juured on võrdsed arvuga, see tähendab;

4) ruudud ja arvud on võrdsed juurtega, s.t.;

5) ruudud ja juured on võrdsed arvuga, s.t.;

6) juured ja arvud on võrdsed ruutudega, s.o .

Ülesanne . Ruut ja arv 21 on võrdne 10 juurega. Leia juur.

Lahendus. Jagage juurte arv pooleks - saate 5, korrutage 5 iseendaga,

Lahutage korrutisest 21, jättes 4.

Võtke ruutjuur 4-st ja saate 2.

Lahutage 5-st 2 - saate 3, see on soovitud juur. Või lisage 5-le, mis annab 7, see on ka juur.

Fibonacci sündis itaalia keeles kaubanduskeskus Pisa linn, arvatavasti 1170. aastatel. . Aastal 1192 määrati ta esindama Pisani kaubanduskolooniat Põhja-Aafrika. Isa palvel kolis ta Alžeeriasse ja õppis seal matemaatikat. Aastal 1200 naasis Leonardo Pisasse ja hakkas kirjutama oma esimest teost "Abakuse raamat". [ . Matemaatika ajaloolase A. P. Juškevitši sõnul Abakuse raamat” tõuseb järsult kõrgemale XII-XIV sajandi Euroopa aritmeetika- ja algebrakirjandusest meetodite mitmekesisuse ja tugevuse, ülesannete rikkuse, esitamise tõendite poolest ... Hilisemad matemaatikud ammutasid sellest laialdaselt nii probleeme kui meetodid nende lahendamiseks ».

Joonistame funktsiooni

Graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole, kuna

2) Parabooli tipu koordinaadid

Rääkis W. Sauer :

«Algebraõpilasel on sageli kasulikum lahendada sama ülesanne kolmes erinevatel viisidel kui lahendada kolm või neli erinevat ülesannet. Ühe probleemi lahendamine erinevaid meetodeid, saate võrrelda, milline neist on lühem ja tõhusam. Nii saadakse kogemusi."

"Linn on erinevate ühtsus"

Aristoteles

"Komamärgiga väljendatud arvu loevad sakslane, venelane, araablane ja jänki samamoodi"