24.1. Diferentsiaalfunktsiooni mõiste

Olgu funktsioonil y=ƒ(x) punktis x nullist erinev tuletis.

Seejärel saame vastavalt teoreemile funktsiooni, selle piirväärtuse ja lõpmatu väikese funktsiooni vahelise seose kohta kirjutada D у/D x=ƒ"(x)+α, kus α→0 juures ∆х→0 või ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Seega on funktsiooni ∆у juurdekasvuks kahe liikme ƒ"(x) ∆x ja a ∆x summa, mis on lõpmatuseni ∆x→0 korral. Pealegi on esimene liige lõpmatu väike funktsioon samas suurusjärgus kui ∆x, alates ja teine ​​liige on enama lõpmatult väike funktsioon kõrge järjekord, kui ∆x:

Seetõttu nimetatakse esimest liiget ƒ"(x) ∆x põhiosa juurdekasvuga funktsioonid ∆у.

Funktsioonide diferentsiaal y=ƒ(x) punktis x kutsutakse põhiosa selle juurdekasvu, võrdne tootega funktsiooni tuletis argumendi juurdekasvuga ja seda tähistatakse dу (või dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆x. (24,1)

Dу diferentsiaali nimetatakse ka esimest järku diferentsiaal. Leiame sõltumatu muutuja x diferentsiaali ehk funktsiooni y=x diferentsiaali.

Kuna y"=x"=1, siis valemi (24.1) kohaselt on meil dy=dx=∆x, st sõltumatu muutuja diferentsiaal on võrdne selle muutuja juurdekasvuga: dx=∆x.

Seetõttu saab valemi (24.1) kirjutada järgmiselt:

dy=ƒ"(х)dх, (24,2)

teisisõnu funktsiooni diferentsiaal võrdne tootega selle funktsiooni tuletis sõltumatu muutuja diferentsiaali järgi.

Valemist (24.2) järgneb võrdsus dy/dx=ƒ"(x). Nüüd tähistus

tuletist dy/dx võib pidada diferentsiaalide dy ja dx suhteks.

<< Пример 24.1

Leia funktsiooni ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) diferentsiaal.

Lahendus: kasutades valemit dy=ƒ"(x) dx leiame

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Leia funktsiooni diferentsiaal

Arvutage dy, kui x=0, dx=0,1.

Lahendus:

Asendades x=0 ja dx=0,1, saame

24.2. Diferentsiaalfunktsiooni geomeetriline tähendus

Selgitame välja diferentsiaali geomeetrilise tähenduse.

Selleks joonestame funktsiooni y=ƒ(x) graafikule punktis M(x; y) puutuja MT ja vaatleme selle puutuja ordinaati punkti x+∆x jaoks (vt joonis 138). Joonisel ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Täisnurksest kolmnurgast MAV on meil:

Kuid tuletise geomeetrilise tähenduse järgi on tga=ƒ"(x). Seega AB=ƒ"(x) ∆x.

Võrreldes saadud tulemust valemiga (24.1), saame dy=AB, st funktsiooni y=ƒ(x) diferentsiaal punktis x on võrdne funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi juurdekasvuga selles kohas punkt, kui x saab juurdekasvu ∆x.

See on diferentsiaali geomeetriline tähendus.

24.3 Põhiteoreemid diferentsiaalide kohta

Põhiteoreemid diferentsiaalide kohta saab hõlpsasti saada, kasutades seost funktsiooni diferentsiaali ja tuletise (dy=f"(x)dx) vahel ning vastavaid teoreeme tuletisi kohta.

Näiteks kuna funktsiooni y=c tuletis on võrdne nulliga, siis konstantse väärtuse diferentsiaal on võrdne nulliga: dy=с"dx=0 dx=0.

Teoreem 24.1. Kahe diferentseeruva funktsiooni summa, korrutise ja jagatise diferentsiaal määratakse järgmiste valemitega:

Tõestame näiteks teist valemit. Diferentsiaali määratluse järgi on meil:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teoreem 24.2. Kompleksfunktsiooni diferentsiaal on võrdne selle funktsiooni tuletise vaheargumendi ja selle vaheargumendi diferentsiaali korrutisega.

Olgu y=ƒ(u) ja u=φ(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni, mis moodustavad kompleksfunktsiooni y=ƒ(φ(x)). Kasutades teoreemi kompleksfunktsiooni tuletise kohta, saame kirjutada

y"x =y"u u"x.

Korrutades selle võrrandi mõlemad pooled dx-ga, saame y" x dx=y" u u" x dx. Aga y" x dx=dy ja u" x dx=du. Sellest tulenevalt saab viimase võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:

dy=y" u du.

Võrreldes valemeid dy=y" x dx ja dy=y" u du, näeme, et funktsiooni y=ƒ(x) esimene diferentsiaal määratakse sama valemiga sõltumata sellest, kas selle argument on sõltumatu muutuja või on teise argumendi funktsioon.

Seda diferentsiaali omadust nimetatakse esimese diferentsiaali kuju muutumatuks (muutumatuseks).

Valem dy=y" x dx kattub välimuselt valemiga dy=y" u du, kuid nende vahel on põhimõtteline erinevus: esimeses valemis x on sõltumatu muutuja, seega dx=∆x, teises valemis x on funktsioon, seega üldiselt öeldes du≠∆u.

Kasutades diferentsiaali definitsiooni ja diferentsiaalide põhiteoreeme, on tuletise tabelit lihtne diferentsiaalide tabeliks teisendada.

Näiteks: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferentsiaaltabel

24.5. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsete arvutuste jaoks

Nagu juba teada, saab funktsiooni y=ƒ(x) juurdekasvu ∆у punktis x esitada kui ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, kus α→0 punktis ∆х→0, või ∆у= dy+α ∆х Jättes kõrvale ∆х-st kõrgemat järku lõpmatu väikese α ∆х, saame ligikaudse võrdsuse

∆у≈dy, (24.3)

Pealegi on see võrdsus täpsem, mida väiksem on ∆х.

See võrdsus võimaldab meil suure täpsusega ligikaudselt arvutada mis tahes diferentseeruva funktsiooni juurdekasvu.

Diferentsiaali on tavaliselt palju lihtsam leida kui funktsiooni juurdekasvu, seetõttu kasutatakse arvutuspraktikas laialdaselt valemit (24.3).

<< Пример 24.3

Leidke funktsiooni y=x 3 -2x+1 juurdekasvu ligikaudne väärtus x=2 ja ∆x=0,001 korral.

Lahendus: rakendame valemit (24.3): ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Niisiis, ∆у» 0,01.

Vaatame, milline viga tekkis funktsiooni diferentsiaali arvutamisel selle juurdekasvu asemel. Selleks leiame ∆у:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Lähenduse absoluutne viga on

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Asendades ∆у ja dy väärtused võrdsusega (24.3), saame

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Funktsioonide ligikaudsete väärtuste arvutamiseks kasutatakse valemit (24.4).

<< Пример 24.4

Arvutage ligikaudu arktaan(1,05).

Lahendus. Vaatleme funktsiooni ƒ(x)=arctgx. Vastavalt valemile (24.4) on meil:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

st.

Kuna x+∆x=1,05, siis x=1 ja ∆x=0,05 korral saame:

Võib näidata, et valemi (24.4) absoluutviga ei ületa väärtust M (∆x) 2, kus M on |ƒ"(x)| suurim väärtus lõigul [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Millise vahemaa läbib keha Kuu vabalangemise ajal 10,04 sekundi jooksul langemise algusest? Keha vaba langemise võrrand

H = g l t 2 /2, g l = 1,6 m/s 2.

Lahendus: peame leidma H(10,04). Kasutame ligikaudset valemit (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Kui t=10 s ja ∆t=dt=0,04 s, leiame H"(t)=g l t

Probleem (iseseisvaks lahenduseks). Keha massiga m=20 kg liigub kiirusega ν=10,02 m/s. Arvutage ligikaudne keha kineetiline energia

24.6. Kõrgema järgu diferentsiaalid

Olgu y=ƒ(x) diferentseeruv funktsioon ja selle argument x sõltumatu muutuja. Siis on selle esimene diferentsiaal dy=ƒ"(x)dx samuti x funktsioon; selle funktsiooni diferentsiaal on leitav.

Nimetatakse funktsiooni y=ƒ(x) diferentsiaali diferentsiaal tema teine ​​diferentsiaal(või teist järku diferentsiaal) ja seda tähistatakse d 2 y või d 2 ƒ(x).

Niisiis, definitsiooni järgi d 2 y=d(dy). Leiame avaldise funktsiooni y=ƒ(x) teise diferentsiaali jaoks.

Kuna dx=∆х ei sõltu x-st, siis diferentseerimisel arvestame dx konstanti:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 st.

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24,5)

Siin tähistab dx 2 (dx) 2.

Kolmandat järku diferentsiaal määratletakse ja leitakse sarnaselt

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

Ja üldiselt on n-ndat järku diferentsiaal diferentsiaal (n-1)-ndat järku diferentsiaalist: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Siit leiame, et eriti juhul, kui n=1,2,3

vastavalt saame:

ehk funktsiooni tuletiseks võib pidada selle sobivat järku diferentsiaali ja sõltumatu muutuja diferentsiaali vastava astme suhet.

Pange tähele, et kõik ülaltoodud valemid kehtivad ainult siis, kui x on sõltumatu muutuja. Kui funktsioon y=ƒ(x), kus x on mõne muu sõltumatu muutuja funktsioon, siis teise ja kõrgema järgu diferentsiaalidel ei ole vormimuutuse omadust ja need arvutatakse teiste valemite abil. Näitame seda teist järku diferentsiaali näitel.

Kasutades korrutise diferentsiaalvalemit (d(uv)=vdu+udv), saame:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , st.

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x. (24,6)

Võrreldes valemeid (24.5) ja (24.6), oleme veendunud, et kompleksfunktsiooni korral muutub teist järku diferentsiaalvalem: ilmub teine ​​liige ƒ"(x) d 2 x.

On selge, et kui x on sõltumatu muutuja, siis

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

ja valem (24.6) läheb valemiks (24.5).

<< Пример 24.6

Leidke d 2 y, kui y = e 3x ja x on sõltumatu muutuja.

Lahendus: Kuna y"=3e 3x, y"=9e 3x, siis valemi (24.5) järgi on meil d 2 y=9e 3x dx 2.

<< Пример 24.7

Leia d 2 y, kui y=x 2 ja x=t 3 +1 ning t on sõltumatu muutuja.

Lahendus: kasutame valemit (24.6): kuna

y" = 2x, y" = 2, dx = 3t 2 dt, d 2 x = 6 tdt 2,

See d 2 y=2dt 2 +2x 6tdt 2 =2 (3t 2 dt) 2 +2 (t 3 +1) 6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 = (30t 4 +12t)dt 2

Teine lahendus: y=x 2, x=t 3 +1. Seetõttu y=(t 3 +1) 2. Seejärel vastavalt valemile (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2.

Kõrgemate tellimuste erinevused.

Olgu funktsioon y = ¦(x) defineeritud mingis intervallis X (näiteks intervallis) ja omab igas sisemises punktis kõigi järkude tuletisi. Siis selle diferentsiaal dу=у 1 dх. Me nimetame seda esimese järgu diferentsiaaliks.

Igas konkreetses punktis on funktsiooni diferentsiaal arv. Intervalli puhul on see x funktsioon. Seetõttu võime rääkida esimesest diferentsiaalist.

Definitsioon: Funktsiooni y = ¦(x) esimest järku diferentsiaali nimetatakse selle funktsiooni teist järku diferentsiaaliks ja kirjutatakse sümboolselt d(dу)=d 2 y.

Üleüldse: funktsiooni y= ¦(x) n-ndat järku diferentsiaal on diferentsiaal funktsiooni d n y= d(d n-1 y) (n-1) järku diferentsiaalist.

Kasutatavad on ka tähised d¦(x) , d 2 ¦(x) , d n ¦(x)

Esimesest kõrgemat järku diferentsiaale nimetatakse kõrgema järgu diferentsiaalideks.

Kõrgemat järku diferentsiaalide arvutamisel tuleb arvestada, et dx on suvaline arv, kuid sõltumatu x-st ning diferentseerimisel x suhtes tuleb seda pidada konstantseks teguriks.

Seetõttu dу=у 1 dх, d 2 у= d(dу)= d(у 1 dх)= dх d(y 1)= dх(y 11 dх)=у 11 (dх) 2. Diferentsiaali aste on tavaks kirjutada ilma sulgudeta (dx) 2 = dx 2.

Seega d 2 y = y''dx 2, kuid seda ei tohiks segi ajada d(x 2) = 2xdx

Samamoodi: d 3 y = d (y 11 dx 2) = dx 2 d (y 11) = dx 2 (y 111 dx) = y 111 dx 3; d 3 y = y 111 dx 3.

Siin on jällegi dx 3 = dx dx dx, mitte d(x 3) = 3x 2 dx

d n y= y n dх n

Siin dх n = (dх) n nagu varem.

Eelkõige n-ndat järku diferentsiaali üldvalemist järgneb n-ndat järku tuletise valem.

У (n) = d n у/dх n, st. N-ndat järku tuletis on funktsiooni n-nda diferentsiaali ja diferentsiaali n-nda astme jagatis. sõltumatu muuta.

Oleme näinud, et esimese diferentsiaali dу = у 1 dх vorm ei sõltu sellest, kas x on sõltumatu muutuja või on x ise mõne muutuja t funktsioon.

Järkjärgu n=2 diferentsiaali kuju sel juhul enam ei säili, sellel puudub invariantsus.

Sõltumatu muutuja x d 2 korral y=y 11 dx 2 on teist järku diferentsiaal. Olgu nüüd x=, dу 1 =у 1 dх. Kuid nüüd pole dx enam suvaline konstant, dx = dt, st. dx- on t funktsioon ja seetõttu ei saa me d 2 y leidmisel diferentsiaalmärgist dx-i välja võtta.

d 2 y= d (y 1 dx) = d (y 1)dx+ y 1 d (dx)= y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, s.o.

d 2 y = y 11 dx 2 + y 1 d 2 x – diferentsiaali kuju on muutunud, lisandunud on termin y 1 d 2 x. Pealegi ei säili kuju d n y. See tähendab, et juhul, kui x ei ole sõltumatu muutuja, tuleks tähistust y (n) = d p y/ dx p mõista ühe sümbolina, mitte diferentsiaalide seosena.

Kahe muutuja funktsiooni osatuletised.
Lahenduste kontseptsioon ja näited

Selles tunnis jätkame tutvumist kahe muutuja funktsiooniga ja käsitleme võib-olla kõige levinumat temaatilist ülesannet - leidmist esimest ja teist järku osatuletised, samuti funktsiooni summaarne diferentsiaal. Osakoormusega üliõpilased puutuvad reeglina osatuletistega kokku 1. kursusel 2. semestril. Pealegi ilmub minu tähelepanekute kohaselt osatuletisi leidmise ülesanne peaaegu alati eksamile.

Alloleva materjali tõhusaks uurimiseks peate vajalik suutma enam-vähem kindlalt leida ühe muutuja funktsioonide "tavalisi" tuletisi. Tundides saate õppida, kuidas tuletisinstrumente õigesti käsitleda Kuidas tuletist leida? Ja Kompleksfunktsiooni tuletis. Vajame ka elementaarfunktsioonide ja diferentseerimisreeglite tuletiste tabelit, mis on kõige mugavam, kui see on trükitud kujul käepärast. Võrdlusmaterjali saate lehelt Matemaatilised valemid ja tabelid.

Kordame kiirelt üle kahe muutuja funktsiooni kontseptsiooni, püüan piirduda miinimumiga. Kahe muutuja funktsioon kirjutatakse tavaliselt kujul , kusjuures muutujaid kutsutakse sõltumatud muutujad või argumendid.

Näide: – kahe muutuja funktsioon.

Mõnikord kasutatakse tähistust. On ka ülesandeid, kus tähe asemel kasutatakse tähte.

Geomeetrilisest vaatenurgast kujutab kahe muutuja funktsioon kõige sagedamini pinda kolmemõõtmelises ruumis (tasand, silinder, kera, paraboloid, hüperboloid jne). Kuid tegelikult on see rohkem analüütiline geomeetria ja meie päevakorras on matemaatiline analüüs, mida ülikooliõpetaja ei lasknud mul kunagi maha kanda ja mis on minu "tugev külg".

Liigume edasi esimest ja teist järku osatuletiste leidmise küsimuse juurde. Mul on hea uudis neile, kes on joonud paar tassi kohvi ja häälestavad mõnda uskumatult rasket materjali: osatuletised on peaaegu samad, mis ühe muutuja funktsiooni "tavalised" tuletised.

Osatuletistele kehtivad kõik diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel. Siin on vaid paar väikest erinevust, millest saame kohe teada:

...jah, muide, selle teema jaoks, mille ma lõin väike pdf raamat, mis võimaldab teil "hambad sisse saada" vaid paari tunniga. Kuid saiti kasutades saate kindlasti sama tulemuse - võib-olla veidi aeglasemalt:

Näide 1

Leia funktsiooni esimest ja teist järku osatuletis

Esiteks leiame esimest järku osatuletised. Neid on kaks.

Nimetused:
või – osaline tuletis „x” suhtes
või – osaline tuletis „y” suhtes

Alustame . Kui leiame osalise tuletise "x" suhtes, peetakse muutujat konstantseks (konstantseks arvuks).

Kommentaarid tehtud toimingute kohta:

(1) Esimese asjana teeme osatuletise leidmisel järelduse kõik funktsioon sulgudes põhiarvu all koos alaindeksiga.

Tähelepanu, oluline! ME EI KAOTA lahendusprotsessi käigus märke. Sel juhul, kui joonistate "kriipsu" kuhugi ilma , võib õpetaja selle vähemalt ülesande kõrvale panna (tähelepanematuse eest osa punktist kohe ära hammustada).

(2) Kasutame eristamise reegleid , . Sellise lihtsa näite puhul saab mõlemat reeglit hõlpsasti ühe sammuga rakendada. Pöörake tähelepanu esimesele terminile: alates peetakse konstandiks ja tuletismärgist võib välja võtta mis tahes konstandi, siis paneme selle sulgudest välja. See tähendab, et selles olukorras pole see parem kui tavaline number. Vaatame nüüd kolmandat terminit: siin, vastupidi, pole midagi välja võtta. Kuna see on konstant, on see ka konstant ja selles mõttes pole see parem kui viimane termin - "seitse".

(3) Kasutame tabelituletisi ja .

(4) Lihtsustame või, nagu mulle meeldib öelda, "näpistage" vastust.

Nüüd . Kui leiame "y" suhtes osatuletise, siis muutujapeetakse konstantseks (konstantseks arvuks).

(1) Kasutame samu diferentseerimisreegleid , . Esimeses liikmes võtame tuletise märgist konstandi välja, teisest liikmest ei saa me midagi välja võtta, kuna see on juba konstant.

(2) Kasutame elementaarfunktsioonide tuletiste tabelit. Muudame mõtteliselt kõik tabelis olevad "X-id" "mina"-deks. See tähendab, et see tabel kehtib võrdselt (ja peaaegu iga tähe jaoks). Eelkõige näevad meie kasutatavad valemid välja järgmised: ja .

Mida tähendavad osatuletised?

Sisuliselt sarnanevad 1. järku osatuletised "tavaline" tuletis:

- See funktsioonid, mis iseloomustavad muutuse kiirus toimib vastavalt telje ja telje suunas. Nii näiteks funktsioon iseloomustab "tõusude" ja "nõlvade" järsust pinnad abstsisstelje suunas ja funktsioon räägib meile sama pinna "reljeefist" ordinaattelje suunas.

! Märge : siin peame silmas juhiseid, mida paralleelselt koordinaatteljed.

Parema mõistmise huvides vaatleme konkreetset tasapinna punkti ja arvutame selle funktsiooni väärtuse (“kõrgus”):
– ja kujutage nüüd ette, et olete siin (PINNAEL).

Arvutame osatuletise "x" suhtes antud punktis:

Tuletise “X” negatiivne märk räägib meile sellest väheneb toimib punktis abstsisstelje suunas. Teisisõnu, kui teeme väikese, väikese (lõpmatult väike) samm telje tipu poole (paralleelselt selle teljega), siis läheme mööda pinna nõlva alla.

Nüüd saame teada "maastiku" olemuse ordinaattelje suunas:

Tuletis "y" suhtes on positiivne, seega teljesuunalises punktis funktsioon suureneb. Lihtsamalt öeldes ootame siin ülesmäge tõusu.

Lisaks iseloomustab punktis olev osatuletis muutuse kiirus toimib vastavas suunas. Mida suurem on saadud väärtus modulo– mida järsem on pind ja vastupidi, mida lähemal on see nullile, seda lamedam on pind. Seega on meie näites abstsisstelje suunas olev “kalle” järsem kui ordinaattelje suunaline “mägi”.

Kuid need olid kaks privaatset teed. On täiesti selge, et hetkest, kus me oleme, (ja üldiselt mis tahes punktist antud pinnal) saame liikuda mõnes teises suunas. Seega on huvi luua üldine "navigatsioonikaart", mis teavitaks meid maapinna "maastikust". kui võimalik igas punktis selle funktsiooni määratluspiirkond mööda kõiki olemasolevaid teid. Räägin sellest ja muudest huvitavatest asjadest ühes järgmistest õppetundidest, kuid nüüd pöördume tagasi probleemi tehnilise poole juurde.

Süstematiseerime elementaarsed rakendatavad reeglid:

1) Kui me diferentseerime suhtes , peetakse muutujat konstandiks.

2) Kui diferentseerimine toimub vastavalt, siis peetakse seda konstandiks.

3) Elementaarfunktsioonide tuletiste reeglid ja tabel kehtivad ja rakendatavad iga muutuja (või mis tahes muu) suhtes, mille alusel diferentseerimist teostatakse.

Teine samm. Leiame teist järku osatuletisi. Neid on neli.

Nimetused:
või – teine ​​tuletis „x” suhtes
või – teine ​​tuletis „y” suhtes
või - segatud tuletis "x by igr"
või - segatud"Y" tuletis

Teise tuletisega probleeme pole. Lihtsamalt öeldes teine ​​tuletis on esimese tuletise tuletis.

Mugavuse huvides kirjutan ümber juba leitud esimest järku osatuletised:

Esiteks leiame segatuletised:

Nagu näete, on kõik lihtne: võtame osatuletise ja eristame selle uuesti, kuid sel juhul - seekord "Y" järgi.

Samamoodi:

Praktilistes näidetes saate keskenduda järgmisele võrdsusele:

Seega on teist järku segatuletiste kaudu väga mugav kontrollida, kas oleme esimest järku osatuletisi õigesti leidnud.

Leidke teine ​​tuletis "x" suhtes.
Ei mingeid leiutisi, võtame selle ja eristage seda uuesti "x"-ga:

Samamoodi:

Tuleb märkida, et leidmisel peate näitama suurenenud tähelepanu, kuna nende kontrollimiseks pole imelisi võrdusi.

Teised tuletised leiavad ka laialdasi praktilisi rakendusi, eriti kasutatakse neid leidmise probleemis kahe muutuja funktsiooni äärmus. Kuid igal asjal on oma aeg:

Näide 2

Arvutage funktsiooni esimest järku osatuletised punktis. Leidke teist järku tuletised.

See on näide, mida saate ise lahendada (vastused tunni lõpus). Kui teil on raskusi juurte eristamisega, naaske õppetundi Kuidas tuletist leida?Üldiselt õpite üsna pea selliseid tuletisi "lennult" leidma.

Tutvume keerukamate näidetega:

Näide 3

Kontrollige seda. Kirjutage üles esimest järku kogu erinevus.

Lahendus: leidke esimest järku osatuletised:

Pöörake tähelepanu alaindeksile: , “X” kõrvale ei ole keelatud sulgudesse kirjutada, et see on konstant. See märkus võib olla algajatele väga kasulik, et hõlbustada lahenduses navigeerimist.

Täiendavad kommentaarid:

(1) Viime kõik konstandid tuletise märgist kaugemale. Sel juhul ja , ja seetõttu peetakse nende korrutist konstantseks arvuks.

(2) Ärge unustage, kuidas juuri õigesti eristada.

(1) Me võtame tuletise märgist välja kõik konstandid, sel juhul on konstant .

(2) Algarvu all on jäänud kahe funktsiooni korrutis, seetõttu peame korrutise eristamiseks kasutama reeglit .

(3) Ärge unustage, et see on keeruline funktsioon (ehkki keerukatest lihtsaim). Kasutame vastavat reeglit: .

Nüüd leiame teist järku segatuletised:

See tähendab, et kõik arvutused tehti õigesti.

Paneme kirja kogu erinevuse. Vaadeldava ülesande kontekstis ei ole mõtet öelda, milline on kahe muutuja funktsiooni summaarne diferentsiaal. On oluline, et just seda erinevust tuleb väga sageli praktilistes ülesannetes kirja panna.

Esimese järgu kogu erinevus kahe muutuja funktsioonil on vorm:

Sel juhul:

See tähendab, et peate lihtsalt rumalalt valemisse asendama juba leitud esimest järku osatuletised. Selles ja sarnastes olukordades on kõige parem kirjutada diferentsiaalmärgid lugejatesse:

Ja vastavalt lugejate korduvatele palvetele teist järku täielik diferentsiaal.

See näeb välja selline:

Leiame HOOLIKALT 2. järku “ühetähelised” tuletised:

ja kirjutage üles "koletis", "kinnitades" hoolikalt ruudud, korrutis ja unustamata segatuletist kahekordistada:

Pole hullu, kui miski tundub keeruline; tuletisinstrumentide juurde saate alati hiljem tagasi tulla, kui olete diferentseerimistehnika omandanud:

Näide 4

Leia funktsiooni esimest järku osatuletised . Kontrollige seda. Kirjutage üles esimest järku kogu erinevus.

Vaatame näiteid keeruliste funktsioonidega:

Näide 5

Leia funktsiooni esimest järku osatuletised.

Lahendus:

Näide 6

Leia funktsiooni esimest järku osatuletised .
Kirjutage kogu erinevus.

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus). Ma ei anna teile täielikku lahendust, sest see on üsna lihtne.

Üsna sageli rakendatakse kõiki ülaltoodud reegleid kombineeritult.

Näide 7

Leia funktsiooni esimest järku osatuletised .

(1) Kasutame summa eristamiseks reeglit

(2) Esimest liiget peetakse sel juhul konstandiks, kuna avaldises pole midagi, mis sõltuks x-st - ainult y. Teate, alati on tore, kui murdosa saab nulliks muuta). Teise termini puhul rakendame toodete eristamise reeglit. Muide, selles mõttes poleks midagi muutunud, kui selle asemel oleks antud funktsioon - oluline on see, et siin kahe funktsiooni korrutis, IGA neist sõltub "X", ja seetõttu peate kasutama toodete eristamise reeglit. Kolmanda liikme puhul rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit.

(1) Esimene liige nii lugejas kui ka nimetajas sisaldab "Y"-d, seetõttu peate kasutama jagatiste eristamiseks reeglit: . Teine liige sõltub AINULT "x-st", mis tähendab, et seda peetakse konstandiks ja see muutub nulliks. Kolmanda liikme jaoks kasutame keeruka funktsiooni eristamise reeglit.

Nendele lugejatele, kes jõudsid julgelt peaaegu tunni lõpuni, räägin kergenduseks ühe vana Mekhmatovi nalja:

Ühel päeval ilmus funktsioonide ruumi kuri tuletis ja hakkas kõiki eristama. Kõik funktsioonid on igas suunas laiali, keegi ei taha teisendada! Ja ainult üks funktsioon ei jookse ära. Tuletis läheneb talle ja küsib:

- Miks sa minu eest ära ei jookse?

- Ha. Aga ma ei hooli, sest ma olen "e X-i võimuses" ja sa ei tee mulle midagi!

Mille peale salakavala naeratusega kuri tuletis vastab:

- Siin sa eksid, ma eristan sind “Y” järgi, nii et sa peaksid olema null.

Kes naljast aru sai, on tuletised selgeks saanud, vähemalt “C” tasemel).

Näide 8

Leia funktsiooni esimest järku osatuletised .

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesande terviklahendus ja näide on tunni lõpus.

Noh, see on peaaegu kõik. Lõpuks ei saa ma aidata, kuid palun matemaatikahuvilisi veel ühe näitega. Asi pole isegi amatöörides, igaühel on erinev matemaatilise ettevalmistuse tase – on inimesi (ja mitte nii harva), kellele meeldib võistelda raskemate ülesannetega. Kuigi selle õppetunni viimane näide ei ole niivõrd keeruline, kuivõrd arvutuslikust seisukohast kohmakas.

Olgu y = f (x) diferentseeruv funktsioon ja selle argumendid sõltumatud muutujad. Siis on selle esimene diferentsiaal = f ′ (x)dx samuti funktsioon otx; leiate selle funktsiooni diferentsiaali.

Funktsiooni y = f (x) diferentsiaali nimetatakse selle diferentsiaaliks teine ​​diferentsiaal(või teist järku diferentsiaal) ja seda tähistatakse d 2 y või d 2 f (x):

d 2 y = f′′ (x) dx2

Siin tähistab dx 2 (dx )2.

Kolmandat järku diferentsiaal defineeritakse ja leitakse sarnaselt: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Üldiselt on n-ndat järku diferentsiaal diferentsiaal (n-1) järku diferentsiaalist:d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx)n.

Siit leiame, et f (n) (x) = d n y. Täpsemalt, kui n = 1, 2, 3, saame: dx n

f '(x) =			f ′′ (x) =	d 2 a		f ′′′(x) =	d 3 a	Need. funktsiooni tuletiseks võib pidada

selle vastava järgu diferentsiaali ja sõltumatu muutuja diferentsiaali vastava astme suhe.

Pange tähele, et kõik ülaltoodud valemid kehtivad ainult siis, kui x on sõltumatu muutuja.

Näide. Leidke d 2 y, kui y = e 3 x nende sõltumatu muutuja Lahendus: kuna y ′ = 3e 3 x ,y ′′ = 9e 3 x, siis saame d 2 y = 9e 3 x dx 2.

L'Hopitali reeglid

L'Hopitali reegleid kasutatakse kuju 0 0 ja ∞ ∞ määramatuste paljastamiseks, mida nimetatakse fundamentaalseteks.

Teoreem 3. (L'Hopitali reegel kuju 0 0 määramatuste avalikustamiseks).

Olgu funktsioonid f (x) ja g (x) pidevad ja diferentseeruvad punktide 0 ja

kaovad selles punktis: f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0. Olgu g ′ (x )≠ 0 punkti x 0 läheduses. Kui

on piir

f'(x)

L siis

f(x)

f'(x)

g(x)

g'(x)

x → x0

x → x0

x → x0

Näide. Leia lim1 − cos6 x .

x → 0

2x2

Lahendus: lim

1− cos 6x

lk L.

6sin 6x

lk L.

36 hind 6x

x → 0

x → 0

x → 0

Teoreem 4. (L'Hopitali reegel kuju ∞ ∞ määramatuste avalikustamiseks).

Olgu funktsioonid f (x) ja g (x) pidevad ja diferentseeruvad punktide 0 läheduses (v.a.
võib-olla punktid x 0), selles naabruses limf (x) = limg (x) = ∞,g ′ (x)≠ 0. Kui on
	f'(x)			f(x)			f'(x)	x → x0	x → x0
piir lim
	g'(x)			g(x)
x → x0			x → x0			x → x0	g'(x)

tg 3 x

Näide. Leia lim tg 5 x

x → π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim 3cos

lk L.

lk L.

x →

tg 5 x

x →

x →

cos2 5x

lim − 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10 x

5 x →

− 6 cos 3x sin 3x

x →

sin6x

x →

6cos6x

Vormi , [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ] määramatused taandatakse identsete teisendustega kaheks peamiseks viisiks.

Olgu f (x) → 0 ja g (x) → 0 → x 0. Siis on ilmsed järgmised muutused:

lim(f (x) g (x)) =[ 0 ∞] = lim

f(x)

f(x)

∞ ).

x→x

x→x

x→x

g(x)

g(x)

Leia lim tg

π x

(2 − x ).

x → 2

2 − x

0 = piir

−1

limtg π x (2− x ) = [ ∞ 0] = lim

lk L.

x → 2

x → 2

π x

ctg 4

x → 2

2 π x

Olgu f (x) → ∞ ja g (x) → ∞ tulevad → x 0. Siis saate seda teha:

lim (f (x) −g (x)) =[ ∞ − ∞] =lim

g(x)

f(x)

x → x0

x → x0

x → x0

f(x)

g(x)

g(x)

f(x)

Olgu f (x) → 1 ja g (x) → ∞ või f (x) → ∞ ja g (x) → 0 või f (x) → 0 ja g (x) → 0 kohas → x 0.

Kuju lim f (x) g (x) piiri leidmiseks tuletage meelde logaritmi omadus

x → x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Näide. Leidke lim x → 0 (cos2 x ) x 2 .